lecturas de fisica i

Selección de Lecturas de Fisica I

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LA OPTIMIZACIÓN DEL MISMO

Todos los derechos reservados. Sólo se admitirá la reproducción total o parcial de este material didáctico con fines exclusivamente

instruccionales y no comerciales.

2008 Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada Bolivariana (UNEFA)

Av. La Estancia con Av. Caracas y Calle Holanda frente al Edificio Banaven (Cubo Negro), Chuao. Código Postal 1061 Caracas, Venezuela

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ÍNDICE

TÓPICOS PÁGINAS

INTRODUCCIÓN 4

UNIDAD 1. INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. 5

Lectura Nº 1: Magnitudes Físicas. Gómez, G. (2009). Magnitudes Físicas. Artículo no publicado.UNEFA.Valencia.

5

Lectura Nº 2: Elementos Constitutivos de la Materia y Cifras Significativas Gómez, G. (2009). Elementos Constitutivos de la Materia y Cifras Significativas. Artículo no publicado. UNEFA.Valencia.

19

Lectura Nº 3: Álgebra Vectorial. Gómez, G. (2009). Álgebra Vectorial. Artículo no publicado. UNEFA.Valencia.

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UNIDAD 2: MOVIMIENTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. 40

Lectura Nº 4: Cinemática de la partícula. Gómez Gustavo (2009). Cinemática de la partícula. Artículo no publicado. UNEFA Valencia.

40

Lectura Nº 5: Dinámica de la Partícula. Gómez Gustavo (2009). Dinámica de la partícula. Artículo no publicado. UNEFA Valencia.

110

UNIDAD 3. TRABAJO, ENERGÍA Y MOVIMIENTO. 150

Lectura Nº 6: Trabajo mecánico, energía y choques. Gómez Gustavo (2009). Trabajo mecánico, energía y choques. Artículo no publicado. UNEFA Valencia.

150

UNIDAD 4. LA PARTÍCULA Y EL CUERPO RÍGIDO. 194

Lectura Nº 7: Sólido rígido. Gómez Gustavo (2009). Sólido rígido. Artículo no publicado. UNEFA Valencia.

194

BIBLIOGRAFÍA

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INTRODUCCIÓN

La física, podríamos definirla como la ciencia que estudia los conceptos fundamentales de la materia, la energía y el espacio, así como las relaciones entre ellos, por lo que la misma es de vital importancia para la carrera de TSU en Agronomía, no sólo para niveles superiores a la misma, sino para el futuro ejercicio profesional.

Para iniciar su estudio te invitamos revisar la Selección de Lecturas, la cual está conformada por contenidos e informaciones básicas que te facilitarán el logro de los objetivos planteados. Cada una de ellas ha sido identificada numéricamente, siguiendo el orden lógico en atención a la información que consideramos debe trasmitirse según su complejidad e importancia. Se constituyó en cuatro (04) unidades, en concordancia con el programa de estudios, que podrás manejar de forma coordinada con la Guía Didáctica, ambos instrumentos tienen soporte científico para garantizar un producto de calidad y excelencia.

Iniciaremos nuestro recorrido por la física con el estudio de las unidades y medidas, el álgebra vectorial, el estudio del movimiento, la dinámica y la estática, todas áreas básicas y como ya se señaló, sobre las que descansan los cimientos de la ingeniería y otras áreas del saber humano.

¡Éxito!

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UNIDAD 1. INTRODUCCION A LA FISICA.

LECTURA Nº 1: MAGNITUDES FÍSICAS.

Material elaborado y recopilado con fines instruccionales por:

Gómez Gustavo (2009). Magnitudes Físicas. Artículo no publicado. UNEFA.Valencia.

Magnitudes Físicas. La observación de un fenómeno es en general incompleta, a menos que dé lugar a una información cuantitativa. Para obtener dicha información se requiere la medición de una propiedad física. Así, la medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental o de otro profesional que utilice los conocimientos de física.

La medición es la técnica por medio de la cual asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad.

Supongamos una ventana hecha con mosaicos de colores tal como se ve en la figura, tomando un mosaico como unidad, y contando el número de mosaicos medimos la superficie de la ventana, 36 mosaicos. En la figura de al lado, la medida de la misma superficie da una cantidad diferente de 18 mosaicos.

Fig. 1

La medida de una misma magnitud física (una superficie) da lugar a dos cantidades distintas debido a que se han empleado distintas unidades de medida.

Este ejemplo, nos pone de manifiesto la necesidad de establecer una única unidad de medida para una magnitud dada, de modo que la información sea comprendida por todas las personas. Este es el espíritu del Sistema Internacional de Unidades de medida (SI), obligatorio en la República Bolivariana de Venezuela, en la mayoría de los países y estándar científico.

Si bien es cierto que el SI es el sistema comúnmente aceptado en la mayoría de los países, es el sistema de medición utilizado por la comunidad científica internacional, y establecido como estándar en el comercio internacional, también existen otros, que si bien están en desuso progresivo, se resisten a desaparecer a favor de la conveniencia del estándar internacional. Esto, tiene que ver con muchos aspectos de carácter social, cultural,

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costumbre en alguna disciplina en particular, identidad nacional y hasta aspectos políticos y geopolíticos. Un ejemplo lo representa el sistema ingles de medición y su derivado norte americano que por razones coloniales, ha quedado como herencia de aquellas épocas. Independientemente de las razones por las cuales aun se mantienen en vigencia estos sistemas, lo cierto es que se usan y es importante entonces conocer las equivalencias correspondientes con el SI.

Magnitudes fundamentales: magnitudes escalares y vectoriales.

El acto de “medir una magnitud”, da como resultado un número o cuantificación de la magnitud física medida. Existen magnitudes físicas que teniendo el mismo valor numérico pueden considerarse diferentes entre si. Esto se debe a que algunas magnitudes no quedan definidas solo con un número, sino que requieren otra información para quedar definidas completamente. De esta manera, las magnitudes físicas se pueden clasificar en:

- Las magnitudes escalares

- Las magnitudes vectoriales

Las magnitudes escalares, son aquellas que quedan totalmente definidas con un número. Entre estas magnitudes tenemos la longitud, el tiempo, la masa, el volumen, etc. Si medimos una barra de 1,5 m, esta tendrá la misma longitud independientemente de donde y como ubiquemos la barra para medir su longitud.

Las magnitudes vectoriales requieren, además de un número que las defina (su tamaño), una dirección y un sentido para quedar totalmente definidas. La dirección y el sentido de la magnitud deben estar incluidos en cualquier cálculo en el que intervengan dichas cantidades. Son magnitudes vectoriales el desplazamiento, la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc. Si una fuerza es aplicada sobre un cuerpo en movimiento y queremos detenerlo, el tamaño, la dirección y el sentido de la fuerza son elementos importantes en el efecto que producirá la aplicación de esa fuerza en el resultado deseado, no solo el tamaño.

Medida de una magnitud.

El lenguaje de la física y la tecnología, es universal. Los hechos y las leyes deben expresarse de una manera precisa y consistente, de manera que un término determinado signifique exactamente lo mismo para todos. Por ejemplo, supongamos que alguien nos dice que el desplazamiento del pistón de un motor es 3,28 litros (200 pulgadas cúbicas). Debemos responder dos preguntas para entender esa afirmación: (1) ¿Cómo se midió el desplazamiento del pistón? y (2) ¿Qué es un litro?

El desplazamiento de un pistón representa el volumen que el pistón desplaza o expulsa en su movimiento desde el fondo hasta la parte superior del cilindro. En realidad no se trata de un desplazamiento, en el sentido usual de la palabra, sino de un volumen. Un patrón de medición de volumen que se reconoce en todo el mundo es el litro. Por tanto, cuando un motor tiene una etiqueta que indica: “desplazamiento del pistón = 3,28 litros”, todos los mecánicos entienden de manera igual dicha especificación.

Una cantidad física se mide comparándola con un patrón previamente conocido. Por ejemplo, supongamos que se quiere medir la longitud de una barra metálica. Con los instrumentos adecuados, se determina que la longitud de la barra es de cuatro metros. No

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es que la barra contenga cuatro cosas llamadas metros, sino que simplemente se ha comparado con un patrón conocido como metro. La longitud también se podría representar como 13,1 pies o 4,37 yardas, si usáramos otros patrones conocidos. La magnitud de una cantidad física se define como un número y una unidad de medida. Ambos son necesarios porque por si solos, el número o la unidad carecen de significado.

Una cantidad física se define indicando como se mide. Por ejemplo, una caloría se define como la cantidad de energía (calórica) que hay que suministrar a 1 gramo de agua inicialmente a 14,5 ºC, para elevar su temperatura a 15,5 ºC. Veinte calorías, representan 20 veces el tamaño del patrón de una caloría. Dependiendo del dispositivo de medición, cada cantidad puede representarse en unidades diferentes. Por ejemplo, algunas unidades de distancia son, metros, kilómetros, millas, pies, y algunas unidades de rapidez son metros por segundo, kilómetros por hora, millas por hora, pies por segundo, no importa cuales sean las unidades elegidas, la rapidez debe ser una longitud dividida entre un tiempo.

Sistemas de unidades S.I, C.G.S. y M.K.S.

El Sistema Internacional SI.

El Sistema Internacional de unidades mejor conocido como el Sistema SI, (del Francés Le Système International d'Unités), por largo tiempo ha sido el sistema dominante en las ciencias. Hoy en día, el sistema SI se ha convertido en el sistema de medida más usado internacionalmente en el comercio y adoptado como estándar en la mayoría de los países del mundo. También es conocido como sistema métrico de medida.

Unidades básicas del SI

La siguiente tabla muestra una lista de las Magnitudes físicas básicas, el nombre de la unidad que la describe y su símbolo en el SI.

Magnitud Nombre Símbolo

Longitud metro M

Masa kilogramo Kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Cantidad de sustancia Mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Tabla 1

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A estas unidades también se las llama puras, ya que están definidas por un patrón generalmente arbitrario que se asigna como referencia y no dependen de ninguna otra magnitud para quedar definidas. La definición de estos patrones es:

Unidad de longitud: metro (m) El metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo.

Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo internacional del kilogramo

Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de intensidad de corriente eléctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2.10-7

newton por metro de longitud.

Unidad de temperaturatermodinámica

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvin, se utiliza también la temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T - T0 donde T0 = 273,15 K por definición.

Unidad de cantidad de sustancia El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Unidad de intensidad luminosa La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

Tabla 2

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Unidades del SI suplementarias.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI básicas

Ángulo plano Radián Rad mm-1= 1

Ángulo sólido Estereorradián Sr M2m-2= 1

Unidad de ángulo plano El radián (rad) es el ángulo plano comprendido entre dos radios de un círculo que, sobre la

circunferencia de dicho círculo, interceptan un arco de longitud igual a la del radio.

Unidad de ángulo sólido El estereorradián (sr) es el ángulo sólido que, teniendo su vértice en el centro de una esfera,

intercepta sobre la superficie de dicha esfera un área igual a la de un cuadrado que tenga por

lado el radio de la esfera. Tabla 3

Unidades del SI derivadas

Las unidades SI derivadas se definen de forma que sean coherentes con las unidades básicas y suplementarias, es decir, se definen por expresiones algebraicas bajo la forma de productos de potencias de las unidades SI básicas y/o suplementarias con un factor numérico igual 1. Se les suele llamar compuestas. Varias de estas unidades SI derivadas se expresan simplemente a partir de las unidades SI básicas y suplementarias. Otras han recibido un nombre especial y un símbolo particular.

Si una unidad SI derivada puede expresarse de varias formas equivalentes utilizando, bien nombres de unidades básicas y suplementarias, o bien nombres especiales de otras unidades SI derivadas, se admite el empleo preferencial de ciertas combinaciones o de ciertos nombres especiales, con el fin de facilitar la distinción entre magnitudes que tengan las mismas dimensiones. Por ejemplo, el hertz se emplea para la frecuencia, con preferencia al segundo a la potencia menos uno, y para el momento de fuerza (torque), se prefiere el newton metro al joule.

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A- Unidades SI derivadas expresadas a partir de unidades básicas y suplementarias.

Magnitud Nombre Símbolo

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Velocidad metro por segundo m/s

Aceleración metro por segundo cuadrado m/s2

Número de ondas metro a la potencia menos uno m-1

Masa en volumen kilogramo por metro cúbico kg/m3

Velocidad angular radián por segundo rad/s

Aceleración angular radián por segundo cuadrado rad/s2 Tabla 4

Unidad de velocidad Un metro por segundo (m/s o m s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con movimiento uniforme, recorre, unalongitud de un metro en 1 segundo

Unidad de aceleración Un metro por segundo cuadrado (m/s2 o m s-2) es la aceleración de un cuerpo, animado de movimiento uniformemente variado, cuya velocidad varía cada segundo, 1 m/s.

Unidad de número de ondas Un metro a la potencia menos uno (m-1) es el número de ondas de una radiación monocromática cuya longitud de onda es igual a 1 metro.

Unidad de velocidad angular Un radián por segundo (rad/s o rad s-1) es la velocidad de un cuerpo que, con una rotación uniforme alrededor de un eje fijo, gira en 1 segundo, 1 radián.

Unidad de aceleración angular Un radián por segundo cuadrado (rad/s2 o rad s-2) es la aceleración angular de un cuerpo animado de una rotación uniformemente variada alrededor de un eje fijo, cuya velocidad angular, varía 1 radián por segundo, en 1 segundo.

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B- Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales.

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en otras

unidades SI

Expresión en unidades SI

básicas

Frecuencia Hertz Hz s-1

Fuerza Newton N m kg s-2

Presión Pascal Pa N m-2 m-1 kg s-2

Energía, trabajo, cantidad de calor

Joule J N m m2 kg s-2

Potencia Watt W J s-1 m2 kg s-3

Cantidad de electricidad carga eléctrica

Coulomb C s A

Potencial eléctrico fuerza electromotriz

Volt V W A-1 m2 kg s-3 A-1

Resistencia eléctrica Ohm V A-1 m2 kg s-3 A-2

Capacidad eléctrica Farad F C V-1 m-2 kg-1 s4 A2

Flujo magnético Weber Wb V s m2 kg s-2 A-1

Inducción magnética Tesla T Wb m2 kg s-2 A1

Inductancia Henry H Wb A-1 m2 kg s-2 A-2 Tabla 5

Unidad de frecuencia

Un hertz (Hz) es la frecuencia de un fenómeno periódico cuyo periodo es 1 segundo.

Unidad de fuerza Un newton (N) es la fuerza que, aplicada a un cuerpo que tiene una masa de 1 kilogramo, le comunica una aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.

Unidad de presión Un pascal (Pa) es la presión uniforme que, actuando sobre una superficie plana de 1 metro cuadrado, ejerce perpendicularmente a esta superficie una fuerza total de 1 newton.

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Unidad de energía, trabajo, cantidad de calor

Un joule (J) es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, cuyo punto de aplicación se desplaza 1 metro en la dirección de la fuerza.

Unidad de potencia, flujo radiante

Un watt (W) es la potencia que da lugar a una producción de energía igual a 1 joule por segundo.

Unidad de cantidad de electricidad, carga eléctrica

Un coulomb (C) es la cantidad de electricidad transportada en 1 segundo por una corriente de intensidad 1 ampere.

Unidad de potencial eléctrico, fuerza electromotriz

Un volt (V) es la diferencia de potencial eléctrico que existe entre dos puntos de un hilo conductor que transporta una corriente de intensidad constante de 1 ampere cuando la potencia disipada entre estos puntos es igual a 1 watt.

Unidad de resistencia eléctrica

Un ohm (Ω) es la resistencia eléctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de 1 volt aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad 1 ampere, cuando no haya fuerza electromotriz en el conductor.

Unidad de capacidad eléctrica

Un farad (F) es la capacidad de un condensador eléctrico que entre sus armaduras aparece una diferencia de potencial eléctrico de 1 volt, cuando está cargado con una cantidad de electricidad igual a 1 coulomb.

Unidad de flujo magnético

Un weber (Wb) es el flujo magnético que, al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 volt si se anula dicho flujo en un segundo por decaimiento uniforme.

Unidad de inducción magnética

Una tesla (T) es la inducción magnética uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a través de esta superficie un flujo magnético total de 1 weber.

Unidad de inductancia

Un henry (H) es la inductancia eléctrica de un circuito cerrado en el que se produce una fuerza electromotriz de 1 volt, cuando la corriente eléctrica que recorre el circuito varía uniformemente a razón de un ampere por segundo.

Tabla 6

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C- Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres especiales

Magnitud Nombre Símbolo Expresión en unidades SI

básicas

Viscosidad dinámica pascal segundo Pa s m-1 kg s-1

Entropía joule por kelvin J/K m2 kg s-2 K-1

Capacidad térmica másica joule por kilogramo kelvin

J(kg K) m2 s-2 K-1

Conductividad térmica watt por metro kelvin W(m K) m kg s-3 K-1

Intensidad del campo eléctrico

volt por metro V/m m kg s-3 A-1

Unidad de viscosidad dinámica Un pascal segundo (Pa s) es la viscosidad dinámica de un fluido homogéneo, en el cual, el movimiento rectilíneo y uniforme de una superficie plana de 1 metro cuadrado, da lugar a una fuerza retardatriz de 1 newton, cuando hay una diferencia de velocidad de 1 metro por segundo entre dos planos paralelos separados por 1 metro de distancia.

Unidad de entropía

Un joule por kelvin (J/K) es el aumento de entropía de un sistema que recibe una cantidad de calor de 1 joule, a la temperatura termodinámica constante de 1 kelvin, siempre que en el sistema no tenga lugar ninguna transformación irreversible.

Unidad de capacidad térmica másica

Un joule por kilogramo kelvin (J/(kg K) es la capacidad térmica másica de un cuerpo homogéneo de una masa de 1 kilogramo, en el que el aporte de una cantidad de calor de un joule, produce una elevación de temperatura termodinámica de 1 kelvin.

Unidad de conductividad térmica Un watt por metro kelvin (W m/K) es la conductividad térmica de un cuerpo homogéneo isótropo, en la que una diferencia de temperatura de 1 kelvin entre dos planos paralelos, de área 1 metro cuadrado y distantes 1 metro, produce entre estos planos un flujo térmico de 1 watt.

Unidad de intensidad del campo eléctrico

Un volt por metro (V/m) es la intensidad de un campo eléctrico, que ejerce una fuerza de 1 newton sobre un cuerpo cargado con una cantidad de electricidad de 1 coulomb.

Tabla 7

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D- Unidades definidas a partir de las unidades SI, pero que no son múltiplos o submúltiplos decimales de dichas unidades.

Magnitud Nombre Símbolo Relación

Ángulo plano Vuelta 1 vuelta= 2 π rad

Grado º (π/180) rad

minuto de ángulo ' (π /10800) rad

segundo de ángulo " (π /648000) rad

Tiempo Minuto min 60 s

Hora h 3600 s

Día d 86400 s Tabla 8

E- Unidades en uso con el Sistema Internacional cuyo valor en unidades SI se ha obtenido experimentalmente:

Magnitud Nombre Símbolo Valor en unidades SI

Masa unidad de masa atómica u 1,6605402 10-27 kg

Energía Electronvolt eV 1,60217733 10-19 J Tabla 9

F- Múltiplos y submúltiplos decimales

Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo Símbolo

1018 Exa E 10-1 deci d

1015 Penta P 10-2 centi c

1012 Tera T 10-3 mili m

109 Giga G 10-6 micro υ

106 Mega M 10-9 nano n

15

103 Kilo K 10-12 pico p

102 Hecto H 10-15 femto f

101 Deca Da 10-18 atto a Tabla 10

Nótese que a excepción de centi (0,01) y hecto (100), todos los demás prefijos numéricos están representados por múltiplos de potencias de 3. A este tipo de notación se llama “notación de ingeniería”.

El sistema MKS y CGS.

Los sistemas MKS y CGS, son sistemas de medición que consideran como fundamentales las magnitudes “longitud”, “masa” y “tiempo”. En el caso del sistema MKS se utilizan las mismas unidades del SI. En el caso del sistema CGS se usa los centímetros para longitud y gramos para la masa.

Unidad Sistema M.K.S (metros, Kilogramos, Segundos)

Sistema C.G.S (Centímetros, gramos,

Segundos,

Unidades puras (o sus derivadas)

Distancia Metros (m) Centímetros (cm)

Masa Kilogramos (Kg) Gramos (grs)

Tiempo Segundos (seg) Segundos (seg) Tabla 11

En el estudio de la ciencia, lo que determina el uso de uno u otro estándar de medición es generalmente el tamaño de la magnitud, dada su unidad de medida. Es decir, es conveniente utilizar unidades que produzcan números manejables en la medición. Por ejemplo, en la construcción de una carretera es inconveniente utilizar la unidad milímetro (mm) para designar la longitud de la misma ya que por ejemplo entre las ciudades de Valencia y Caracas habría 280.000.000 mm. Es mucho mejor expresar estas distancias en Km ya que el número es mucho más manejable (280 Km).

Importancia del S.I.

Si bien es cierto que el SI es el sistema comúnmente aceptado en la mayoría de los países, y es el sistema de medición utilizado por la comunidad científica internacional, también existen otros, que si bien están en desuso progresivo, se resisten a desaparecer a favor de la conveniencia del estándar internacional. Esto, tiene que ver con muchos aspectos de carácter social, cultural, costumbre en alguna disciplina en particular, identidad nacional y hasta aspectos políticos. Un ejemplo lo representa el sistema ingles de medición y su derivado norte americano que por razones coloniales, ha quedado como herencia de aquellas épocas. Independientemente de las razones por las cuales aun se mantienen en vigencia estos sistemas, lo cierto es que se usan y es importante entonces conocer las

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equivalencias correspondientes con el SI. A continuación, se presenta una lista con las más comúnmente usadas y su equivalencia al SI.

Longitud. Volumen Masa.

1 Amstrong (A) = 10-8 cm = 10-10 m

1 cc = 0,0610 pulgadas cúbicas

1 onza oz = 28,35 g

1 cm = 0,3937 pulgadas (in)

1 litro = 0,2642 galones americans

1 libra (lb) =0,4536kg

1 m = 3,281 pies (ft) 1 litro = 0,220 galones

imperiales

1 Km = 0,621 millas

1 pulgada = 2,54 cm Temperatura Tiempo.

1 pie = 30,48 cm ºC = (ºF -32)/1,8 1 hora = 60 min = 3600

seg

1 yarda (yd) = 0,9144 m ºK = ºC + 273,15 1 dia = 24 horas = 1440

min Tabla 12

Ejercicios resueltos.

Ejemplo 1. La distancia entre la Ciudad de Caracas y la ciudad de Valencia es de 169 Km. (aproximadamente). ¿Cuantas yardas (yd) son?

Un método:

a- llevaremos Km. a m (metros)

b- Metros a cm

c- Cm a pulgadas (in)

d- Pulgadas a pie (ft)

e- Ft a yardas (yd)

a.- 1 Km = 1000 m entonces 169 Km * 1000 m/km = 169.000 m

b.- 1 m = 100 cm entoces 169.000 m * 100 cm/m = 16.900.000 cm

c.- 2,54 cm = 1 in entonces 16.900.000 cm / 2.54 in/cm = 6.653.543,307 in

d.- 1 pie (ft) = 12 in entonces 6653543,307 in / 12 ft/in = 554.461,942 ft

e.- 1 yarda = 3 ft entonces 554461,942 ft / 3yd/ft = 184.820,647 yd

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Ejemplo 2. Un carro recorre 10 millas en una hora. ¿Cuánto metros recorre en 600 minutos? Si todo se mantiene constante.

a- millas a metros

b- horas a minutos.

1 milla = 1609,344 m entonces 10 mi * 1609,344 m/mi = 16093,44 m.

En una hora recorrió 16093,44 m (16093,44 m/h) es decir 16093,44 m/60 seg = 268,224 m/s (esto es metro por segundo)

En 600 seg recorre 268,224 * 600 seg = 1.612.934,4 m

Ejemplo 3. ¿Qué cantidad de asfalto se necesita para cubrir una carretea de 0.75 Km de largo, 12 m de ancho, con una capa de asfalto de 10 cm de espesor?

La cantidad (C )seria: Largo * ancho * espesor = L *A* E

a- Km a m

b- Cm a m

c- Calculamos.

0,75 Km * 1000 m/km = 75.000 m

10 cm / 100 m/cm = 0.1 m C= 75000*12*0.1 = 90.000 m³

¿Cuántos pies cúbicos de asfalto (ft³) existen en la carretera anterior?

a- m³ a cm³

b- cm³ a in³

c- in³ a ft³

1 m³ = 1.000.000 cm³ entonces 90000 m³ * 1000000 cm³ = 90000000000 cm³

1 in³ = 16,387 cm³ entonces 90000000000 cm ³ / 19.387 in³/cm³ =

5.492.158.418,258 in³

1 ft³ = 1728 in³ entonces 5.492.158.418, 258 in³ / 1728 ft³/in³ = 3.178.332,418 ft³

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Ecuaciones dimensionales y su aplicación.

Como ya hemos dicho, existen diferentes sistemas de unidades. Las cantidades físicas pueden expresarse en distintas unidades según la escala en que esté graduado el instrumento de medición.

Una distancia puede expresarse en metros, kilómetros, centímetros o píes, sin importar cual sea la unidad empleada para medir la cantidad física distancia, pues todas ellas se refieren a una dimensión fundamental llamada longitud, representada por L.

El buen manejo de las dimensiones de las cantidades físicas en una ecuación o fórmula física, nos permite comprobar si son correctas y si se trabajaron debidamente.

Al aplicar una ecuación o fórmula física, debemos recordar dos reglas:

1.- Las dimensiones de las cantidades físicas a ambos lados del signo de igualdad, deben ser las mismas.

2.- Sólo pueden sumarse o restarse cantidades físicas de la misma dimensión.

Ejemplo 4. Partiendo de las dimensiones: longitud (L), masa (M) y tiempo (t), obtendremos las ecuaciones dimensionales de algunas cantidades físicas:

• Ecuación dimensional para el área:

A = lado x lado = L .L = L2

• Ecuación dimensional para la velocidad:

V = d / t = L / t

Si conocemos las dimensiones de una cantidad física podemos trabajar las unidades correspondientes según el sistema de unidades.

Ejemplo 5. Demostrar que la fórmula d = Vo.t + (a.t2) / 2, es dimensionalmente válida.

Solución:

Sustituyendo las cantidades físicas por sus dimensiones tenemos que:

msx

smsx

sm

=//

+// 11

2

2 , m = m

Por lo tanto L = L

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LECTURA Nº 2: ELEMENTOS CONSTITUTIVOS DE LA MATERIA y CIFRAS SIGNIFICATIVAS


Gómez, G. (2009). Elementos Constitutivos de la Materia y Cifras Significativas. Artículo no publicado. UNEFA.Valencia.

Elementos constitutivos de la materia. Densidad de masa y masa atómica.

Densidad de masa: Se entiende como la relación existente entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa este en el espacio. Es muy común la pregunta: ¿Qué tiene mas masa, un Kg. de algodón o un kilogramo de plomo? La respuesta es sencilla, ambos tienen la misma masa, 1 Kg. La diferencia está en el espacio que ocupan estas masas de un Kg., es decir su volumen. Obviamente, un Kg. de algodón ocupara un volumen mucho mayor que un Kg. de plomo. Esta, es la idea principal que quiere expresar la densidad. Las unidades de densidad en el sistema internacional son el Kg/m3 aunque para volúmenes pequeños se suele usar el g/cm3. Así, si una masa de 8 Kg, ocupa un espacio de 0,002 m3, su densidad será 4000 Kg/m3

La densidad es una propiedad física de tipo característica, es decir la relación masa – volumen de un cuerpo es una propiedad que define al material y junto con otras, nos permite identificarlo. Por ejemplo, si tenemos en un recipiente un líquido en un ambiente a 1 atm de presión (746 mmHg), cuyo punto de ebullición es 100 ºC, su punto de congelación es 0 ºC y densidad 1 g/cm3 (1000 Kg/m3), muy probablemente será agua.

En resumen, la ecuación que define la densidad de un material, viene dada por la expresión:

vmd =

Estructura de la materia.

Molécula: Es la fracción de materia mas pequeña que puede existir libremente.

Átomo: Es la parte más pequeña en la que puede dividirse la materia, sin que pierda sus características.

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Fig. 2

O

O

O

O

Nucleo.

Orbitas de los electrones

Orbitales.

NucleoK

L M

N O

PQ

( a )

( b )

Estructura Atómica.

El átomo, como ya se dijo es la parte más pequeña en la que puede dividirse la materia. Algunos modelos, que nos dan una idea acerca de la estructura del átomo son:

El Núcleo. En el núcleo se encuentran los neutrones y protones. Los protones, son partículas cargadas positivamente y de masa relativamente grande con respecto a otras partículas subatómicas. Los neutrones, son partículas subatómicas de masa igual a la de los protones, pero sin carga eléctrica.

La Corona. En la corona, se encuentran las órbitas en las que giran los electrones (partículas negativas), de masa relativamente pequeña con respecto a los protones y neutrones. El máximo número de órbitas que puede tener un átomo es de siete y se las representa con las letras K, L, M, N, O, P, Q (ver figura 3.1 (b)). Es conveniente resaltar, que los electrones, a diferencia de neutrones y protones en el núcleo, pueden moverse entre las órbitas (siguiendo ciertas leyes) e incluso viajar a través de otros átomos (corriente eléctrica).

El número atómico (Z). El número atómico de un elemento, es la cantidad de protones que tiene el átomo del elemento en el núcleo. De hecho, un elemento se define por la cantidad de protones que tenga en su núcleo, ya que la cantidad de neutrones y electrones pueden variar dentro del átomo y seguir siendo el mismo átomo. En la tabla periódica (anexos), se encuentran los números atómicos de los elementos conocidos. Es conveniente señalar que el átomo es eléctricamente neutro es decir, la cantidad de electrones y protones es la misma (ya que tienen la misma carga eléctrica.

Nro de electrones = Nro de protones.

La Masa atómica (MA). La masa atómica de un elemento, está definida por la cantidad de neutrones y protones contenidas en el núcleo. La masa representada por la cantidad de electrones presentes en el átomo, se puede despreciar, ya que es relativamente pequeña con respecto a la masa de los protones y neutrones. La masa representada de esta manera, (recordar que el PA es el peso de un mol de átomos de sustancia) nos da una idea acerca del peso atómico (ver tabla periódica).

MA = ( Nro de Protones + Nro de Neutrones )

21

El concepto de mol.

El mol, es una unidad fundamental en el estudio de la química. Debido a la pequeñez de los átomos, moléculas, y demás partículas básicas que conforman la materia, y la imposibilidad de manipularlas experimentalmente, se introdujo el concepto de mol, que no es más que un grupo de partículas (átomos, moléculas, iones, etc.) de manera de este grupo si sea manipulable. Esto logra solucionar problemas como por el ejemplo el planteado al querer calcular la masa de un átomo. Conocida la masa de un mol de átomos y la cantidad de átomos que el mol representa, se puede calcular fácilmente la masa de un átomo de un material determinado.

1 mol = 6, 02 .1023 particulas (Número de Avogadro).

1 mol de gas en condiciones normales, ocupa un volumen de 22,4 Lts

El peso atómico y el peso molecular, representa la masa de 1 mol de sustancia

considerada.

Peso Atómico (PA). El peso atómico o masa atómica, es el peso de 1 mol de átomos del elemento considerado. Las unidades del peso atómico son g/mol (gramos sobre mol), y la fuente más importante en la cual podemos hallar estos valores es la tabla periódica de los elementos.

Peso Molecular (PM): El peso molecular, es el peso de un mol de moléculas, y la molécula de una sustancia determinada está formada por la combinación de dos o más átomos. Según el tipo de átomos, su peso y la cantidad de estos en la molécula, así será el peso molecular. Para calcular el peso molecular de una sustancia se procede de la siguiente manera:

Ejemplo 6. Hallar el PM del ácido sulfúrico. H2SO4

Átomo Peso Atómico

Cantidad Peso en la molécula

Hidrógeno 1 g/mol 2 2 g/mol

Azufre 32 g/mol 1 32 g/mol

Oxígeno 16 g/mol 4 64 g/mol

Peso Molecular (PM) (total del peso de átomos)

98 g/mol

Tabla 13

Reglas del redondeo. 1. Si el primer dígito no significativo es menor que 5, elimínelo sin cambiar el valor del último dígito significativo. Es decir que si el último digito significativo es 3 en la cantidad 85.32 y queremos redondear hasta ese digito, el 2 no aumentara el valor del último digito significativo por ser el 2 menor que 5 y la cantidad se queda redondeada en 85.3 con tres dígitos significativos.

22

2. Si el primer dígito no significativo es mayor que 5 o es 5 seguido de números diferentes a cero, elimine los dígitos no significativos y aumente el último dígito significativo en una unidad. Ej. 85.35 y 85.36 son iguales a 85.4 con tres cifras significativas. 3. Si el primer dígito no significativo es 5 y va seguido de ceros, elimine el 5 y: si el último digito significativo es impar, auméntelo en una unidad; o si el último dígito significativo es par, déjelo como está. De esta forma, tenemos que 87.250 es igual a 87.2 con tres dígitos significativos y 87.350 es igual a 87.4.

Cifras significativas.

Por cifras significativas de una magnitud, entendemos aquellos dígitos que son relevantes en la medición. Esto, tiene un significado especial en lo referido a la precisión que se requiere en la medición. Es muy común que se presente la dificultad para entender cuáles son los dígitos significativos de una cifra, especialmente los ceros, en un número que se ha obtenido de una medición. Nuestro objetivo en esta sección será:

• Explicar el concepto de cifras significativas.

• Definir las reglas para decidir el número de cifras significativas en una cantidad medida.

• Explicar el concepto de un número exacto.

• Definir las reglas para determinar el número de cifras significativas en una cantidad calculada como resultado de una operación matemática

• Proveer algunos ejercicios para probar el conocimiento del concepto de cifras significativas.

• Usar un instrumento de medida hasta el límite de su precisión.

Regla #1 - Todos los dígitos desde 1 hasta 9 son significativos

Si la masa de un objeto medido es 24.3 g, esto significa que la masa es conocida entre los valores 24.2 y 24.4 g. Esta cantidad medida tiene 3 cifras significativas en 24.3

Si la masa de un objeto medido es 53.6427 g, esto significa que la masa se encuentra entre 53.6426 y 53.6428 g. Hay 6 cifras significativas en la cantidad medida 53.6427.

Ejemplo 7.

Número cifras significativas

123.456 6

3.45 3

234.567 6 Tabla 14

23

Regla #2 - El cero es significativo cuando se encuentra entre dos dígitos diferente de cero.

En las cantidades 508, 50.8, 5.08 y 0.508 hay 3 cifras significativas porque el cero entre los dígitos se considera también significativo entre 5 y 8.

número ceros incluidos en la cantidad

número de cifras significativas

120.305 2 6

20.305 2 5

20.3 1 3 Tabla 15

Regla #3 - El cero al final de la derecha del punto decimal en una medida que es mayor a la unidad se considera significativo.

En las cantidades 568.0, 56.80 y 5.680 hay 4 cifras significativas.

número número de ceros al final números de cifras significativas

123.4500 2 6

3.0470 1 5

0.8100 2 4

0.0690 1 3 Tabla 16

Regla #4 - El cero al final de la derecha del punto decimal en una medida que es menor a la unidad se considera significativo.

En las cantidades 0.5680 y 0.56800 hay 4 y 5 cifras significativas respectivamente.

Regla #5 - El cero usado después del punto decimal en una medida menor a la unidad no se consideran significativos.

En las cantidades 0.456, 0.0456 y 0.00456 hay 3 cifras significativas.

Ejemplo 8.

· 0.00341........3 sig. digs.

· 1.0040..........5 sig. digs.

· 0.00005........1 sig. dig.

· 65000...........2 sig. digs.

· 40300...........3 sig. digs.

· 200300.........4 sig. digs.

24

8.33 tiene 3 cifras significativas 9.1167 tiene 5 cifras significativas



20600. y .020600 tienen 5 cifras significativas 2.06 x10^3 tiene 3 cifras significativas

Cuántas cifras significativas hay en 2000

2000 → 2 x 103 es expresado a una cifra significativa

2000 → 2.0 x 103 es expresado a dos cifras significativas

2000 → 2.00 x 103 es expresado a tres cifras significativas

2000 → 2.000 x 103 es expresado a cuatro cifras significativas

Por ejemplo la figura muestra la misma temperatura leída con dos diferentes termómetros. El de la izquierda es más exacto y con una precisión hasta 3 cifras significativas y el de la derecha es exacto hasta dos cifras significativas después del punto decimal.

Suma y resta de números tomando en cuenta las reglas de las cifras significativas

Número Punto decimal Error Cifras significativas Punto decimal

4.0345 4 .0002 5

0.062 3 .002 2

Suma

4.0965= 4. 097

4 .002 4 3

Diferencia

3.9725 = 3.972

4 .002 4 3

Tabla 17

Fig. 3

25

1. Suma o diferencia: el número de cifras significativas a la derecha del punto decimal en la

suma final o diferencia es determinado por la menor cantidad de cifras significativas en

cualquiera de los números originales.

6.2456 + 6.2 = 12.4456 redondeado a 12.4, tiene 3 cifras significativas en la respuesta

1.003

13.45

+ 0.0057__

14.4587

Redondeado es 14.46

2. Multiplicación y División: El número de cifras significativas en el producto final o el cociente es determinado por el número original que tiene el menor número de cifras significativas.

A. 2.51 x 2.30 = 5.773 redondeado a 5.77

B. 2.4 x 0.000673 = 0.0016152 redondeado a 0.0016

C. Si un objeto tiene una masa de 29.1143 g y un volumen de 25.0 cm3, entonces:

Densidad = 29. 1143 g = 1.164572 g cm-3 = 1.16 g cm-3

25. 0 cm3

El punto decimal colocado en el resultado es debido a la cantidad que posee menor lugar decimal.

Ejemplo 9.

:

Número Lugares decimal Error Cifras significativas. Lugar decimal

.012 2 .02 2

1.6 1 .2 2

10.976

3 .002 5

Sum

12.696=12.7

3 .002 3 1

Tabla 18

26

El número de cifras significativas en una medida, como 2.531, es igual al número de dígitos ciertos (2, 5, y 3) mas el último digito (1), que es la cifra incierta porque es estimado por aproximación. Si aumentamos la sensibilidad del equipo usado para realizar una medición, el número de cifras significativas aumenta.

Escala postal 3 ±1 g 1 cifra significativa

Balanza de dos platillos 2.53 ±0.01 g 3 cifra significativa

Balanza analítica 2.531 ±0.001 g 4 cifra significativa

150.0 g H2O (usando cifras significativas)

+ 0.507 g soluto

150.5 g solución

Tabla 19

Ejercicios Propuestos:

1. ¿Cuándo convierte 3.6 kg a gramos? ¿Cuántas cifras significativas recibe para la cantidad?

2. ¿Cuántas cifras significativas hay en los resultados de los siguientes:

a.) 723.9 X 2.30 b.) 0035.8 X 1.1/ 0.0004 c.) 123.67 X 0.0039 ?

3. ¿Cuál es la respuesta para el número correcto de cifras significativas para la suma de: 720.34, 645.1, 45.897, 9984?

4. ¿Cuántas cifras significativas hay en el promedio de las siguientes series:

124.57 mm. 124.72 mm 124.56 mm

5. De un ejemplo de un número exacto:

Bibliografía Consultada:

Blatt, F. (1991). Fundamentos de Física. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana

Gómez, G.( 2009). Manual de las Ciencias Básicas y del Cálculo analítico. NEFA.Carabobo Hewitt, P. (1999). Física Conceptual. Pearson Serway. (1992) . Física. Editorial McGraw-Hill Tipler (1994). Física. Editorial Reverté

27

LECTURA Nº 3: ALGEBRA VECTORIAL.


Gómez Gustavo (2009). Álgebra Vectorial. Artículo no publicado. UNEFA.Valencia.

Vectores y escalares.

Magnitudes escalares y vectoriales.

Entre las magnitudes que estudia la matemática existen dos de suma importancia, que son las magnitudes escalares y las magnitudes vectoriales. La importancia de estas, se ve reflejada en su aplicación en otras ciencias como la física o la química.

Magnitudes Escalares. Son aquellas que solo necesitan un valor escalar (con su respectiva unidad) para quedar totalmente definidas. Algunos ejemplos de estas, lo representan la distancia entre dos puntos o la temperatura de algún cuerpo. Estas dos magnitudes con solo conocer su valor nos ofrecen toda la información que requerimos.

Magnitudes vectoriales. Las magnitudes vectoriales, a diferencia de las magnitudes escalares, requieren información adicional a la magnitud escalar para poder ser expresadas correctamente, que son la dirección y el sentido de la magnitud. Un ejemplo de esta situación lo representa el desplazamiento. Si alguien le dice a una persona "camina tres pasos" (sería la magnitud o el tamaño del desplazamiento), la primera pregunta sería ¿hacia adonde?, la orden se corregiría así "sobre esta recta" (la dirección del desplazamiento), y surgiría la pregunta ¿hacia la derecha o hacia la izquierda? y la respuesta para nuestro ejemplo, "hacia la derecha" (el sentido del desplazamiento). En conclusión, una magnitud vectorial tiene módulo (tamaño), dirección y sentido.

Fig. 4

Un vector puede tener dos tres o más componentes, nuestro estudio se basará en vectores

de dos y tres componentes, dejando los vectores de más de tres componentes para estudios

posteriores.

Tamaño del

I A I

w

Dirección

vector

Sentido

P2

P1

x 1 x 2

y 1

y 2

Elementos de un vector.

28

Fig. 5

Cálculo de la componente de un vector definido por dos puntos.

Un vector puede ser definido por dos puntos, el punto de partida del vector y el punto de llegada del vector (los extremos del vector). La forma de hallar el vector dados los puntos de los extremos es la siguiente En dos dimensiones (R2): Dado ),( 211 yxP y ),( 222 yxP

( )12121221 ,, zzyyxxpp −−−=

En tres dimensiones (R3): Dado yyxP ),( 11 ),( 222 yxP

( )121221 , yyxxpp −−=

Cálculo del módulo de un vector.

Como ya se mencionó, el módulo de un vector viene representado por su tamaño. El cálculo del módulo del vector, viene dado por:

Conocidos los puntos extremos del vector.

Dado ),( 111 yxP y ),( 222 yxP , 21 PP = ( ) ( )212

212 yyxx −+−

Dado ),,( 1111 zyxP y ),,,( 2222 zyxP

21 PP = ( ) ( ) ( )212

212

212 zzyyxx −+−+−

Conocida las componentes de un vector.

Dado: ( )yxA ,= 22 yxA +=

Dado: ( )zyxA ,,= 222 zyxA ++=

x

P2

P1

x 1 x 2

y 1

y 2

a)

x

y A

B

C

b)

P

P 1

2

z

y

c)

x

y

z

AB

C

d)

29

Suma y diferencia de vectores

El vector suma de un conjunto de vectores se obtiene sumando algebraicamente sus componentes, de acuerdo con la expresión:

=±±±= ...cbaR ( )iba xx ...±± + ( ) jba yy ..±± + ( ) kba zz ..±±

Suma analítica de vectores. La suma de vectores se realiza sumando las componentes del vector.

En R2: ( )AA YXA ,= y ( )⇒= bb YXB ,

( );, baBa YYXXBA ++=+

( )baBa YYXXBA −−=− ,

En R3: ( )aAA ZYXA ,,= y ( )⇒= bbb ZYXB ,, ),,( BABABA ZZYYXXBA −−−=−rr

Ejemplo.1 Sea ( )3,2=A ; ( )3,1=B ; ( )2,3,1=C ; ( )3,1,2 −=D

( ) ( ) ( ) ( )6,333,123,13,2 =++=+=+BA

( ) ( ) ( ) ( )0,133,123,13,2 =−−=−=−BA

( ) ( ) ( )( ) ( )5,2,332,13,213,1,22,3,1 =+−++=−+=+DC

( ) ( ) ( )( ) ( )1,4,132,13,213,1,22,3,1 −−=−−−−=−−=−DC

Multiplicación por un escalar.

Se multiplica el escalar por cada componente.

En R2: Sea K ∈R y ( )AA YXA ,= ⇒ ( )AA YKXKAK .,.. =

En R3: Sea K ∈R y ( )aAA ZYXA ,,= ⇒ ( )AAA ZKYKXKAK .,.,. =

Ejemplo.2 Sea ;2;3 21 =−= KK ( )1,2=A y ( )1,1,2−=B

( ) ( ))1(3),2.(31,2.3.1 −−=−=AK = ( )3,6 −−

( ) ( ) ( )2,2,41.2),2.(21,1,2.2.2 −=−=−=BK

30

Cálculo de la resultante entre vectores conocido su módulo, dirección y sentido.

Como ya se mencionó, las magnitudes vectoriales son aquellas que tienen módulo, dirección y sentido. Gran cantidad de variables físicas tales como la fuerza, la velocidad, la aceleración, entre otras, son magnitudes vectoriales. Cuando magnitudes vectoriales de la misma especie actúan sobre un punto, nos enfrentamos al problema de encontrar el vector resultante producto de la acción de los vectores sobre dicho punto. Esta resultante, no se puede hallar sumando directamente vectores, ya que esta depende de la posición de los vectores.

Vectores paralelos.

A.- Dos vectores paralelos y del mismo sentido.

El módulo del vector resultante, es la suma de los módulos de los vectores.

BAR +=.

Gráficamente:

Dos vectores paralelos y de sentido contrario.

El módulo del vector resultante, es la resta de los módulos de los vectores.

BAR −=.

Gráficamente:

B.- Dos vectores perpendiculares.

El módulo del vector resultante, se halla con el Teorema de Pitágoras aplicado al triángulo que forman los vectores y la representación gráfica de su suma.

22

BAR +=

Gráficamente:

A A

B

B

RA

B

Fig. 8

Fig. 6

ABP P R

PB A R

Fig. 7

31

C.- Dos vectores formando un ángulo “w” El módulo del vector resultante se obtiene aplicando la ley del coseno al triángulo que forman los vectores y la representación gráfica de la suma de ellos.

( )wBABAR −−+= º180cos...222

Gráficamente:

Descomposición de vectores en los ejes coordenados, para conocer la resultante.

Cuando se trata de hallar la resultante de la acción de tres o más vectores, podemos realizar las operaciones anteriores por pares, hasta que tengamos dos vectores y obtener finalmente la resultante. Existe una manera quizás más sencilla y corta, pero sujeta a ciertas condiciones. Se trata de la descomposición de los vectores en sus componentes en los ejes coordenados. Para poder realizar esta operación, debemos conocer el ángulo que forma el vector con los ejes coordenados.

Lo anterior, puede resultar sencillo, si ubicamos los ejes de tal manera que queden determinados los ángulos y no tener que recurrir en exceso a la aplicación de las propiedades de los ángulos. Los pasos a seguir son los siguientes:

• El centro del eje de coordenadas, es el punto donde están aplicados los vectores.

• La orientación del eje de coordenada (la inclinación), dependerá de la conveniencia para conocer los ángulos de los vectores con los ejes coordenados.

• Se descomponen los vectores en los ejes según las leyes trigonométricas.

• Se realiza la sumatoria de los vectores descompuestos en cada eje, obteniendo dos vectores, uno en el eje x y otro en el eje y.

• Se aplica la obtención de la resultante de dos vectores perpendiculares.

• Para conocer la dirección del vector con respecto a alguno de los ejes, se aplican las leyes trigonométricas.

A

B

A

B

Rw

180 - w

Fig. 9

32

Ejemplo.3 Sean los vectores descritos en la figura 10.

,xCxBxAxV −−= donde

==

==

==

05,2º20sen.

5,3º60cos.

cos

CxC

BxB

334,30º.AxA

⇒ 22,105,25,333,4xV −=−−=

CyByAyVy −+= donde, 92,264,506,65,2

64,5º20cos.

06,6º60.

5,2º30.

−=−+=⇒

==

==

==

yV

CCy

senBBy

senAAy

Luego,

( ) ( ) ( ) ( )16,3

92,222,1 222

=

+−=+= RyRxR

,

,º32,6722192,2arctan =

−

=r

º68,112º180 =−= rr

Producto escalar, vectorial, doble producto y producto mixto de vectores

Producto escalar

Es una multiplicación de vectores que da como resultado un escalar, es decir un número real.

En R2: Sea ( )AA YXA ,= y ( )BB YXB ,= ⇒ A BABA YYXXB +=o

En R3: Sea ( )AAA ZYXA ,,= y ( )BBB ZYXB ,,= ⇒ A BABABA ZZYYXXB ... ++=o

B

A

CB x Cx Ax

Cy

By

A x

Descpmposición gráfica de vectores.

a

c

b

Fig. 10

IR yI = 2 ,92

I R x I = - 1 ,22

R

r r´

r = 67 ,32 ºr` = 112 ,68 º

33

Ejemplo.4 ( )3,2,1−=ASea y ( )3,2,2 −=B

( ) ( ) =−−= 2,1,2.3,2,1BA o ( ) ( ) ( ) 2622231.22.1 =+−−=+−+−

El producto escalar, también se puede hallar por la fórmula:

,cos.. wBABA =o Donde w es el ángulo entre ByA Esta fórmula se suele usar para hallar el ángulo entre dos vectores ya que Donde w es el ángulo entre cosarw =

BABA

.o

Proyección de un vector sobre otro

La proyección de un vector sobre otro viene dada por la siguiente expresión:

Proyección de br

sobre ar ( ) a

a

babbproya

.cos. 2

o== α

Proyección de ar sobre br

( ) bb

baaaproyB

.cos 2

or== α

Producto vectorial de vectores

El producto vectorial de dos vectores da como resultado un tercer vector, cuya DIRECCIÓN es perpendicular al plano determinado por ambos vectores, de SENTIDO el que proporciona la regla del tornillo al girar el primer vector sobre el segundo por el camino angular más corto y de MODULO el e resulta de la siguiente expresión:

αsenbaba ..=×

Fig. 11

34

El producto vectorial, se realiza para vectores en tres dimensiones, ya que el resultado de esta operación, da como resultado otro vector perpendicular al plano que forman los dos vectores en producto vectorial.

( ) ( )BBB

AAABBBAAA

ZYXZYXkji

BxAZYXByZYXASea === ;,,,,,

Donde:

( )( )( )1,0,0

0,1,00,0,1

===

kji

wsenBABxA 2222..=

( )22

2

222

2

2

.1cos1

. BA

BAwBA

BxAwsen o

−=−==⇒

Propiedades del producto vectorial.

( ) ( ) 0;0 == BxABBxAA oo

( )BxAAxB −=

0=AxA

« El módulo del producto vectorial de dos vectores equivale al área del paralelogramo definido por ambos »

Interpretación gráfica de las operaciones con vectores.

Fig. 12

A B

A B

A + B A

B A - B

A

A

A

2A B

A x B

w

A

a) Suma y resta de vectores. b) Multiplicación de vectorespor un escalar.

Producto vectorial.

35

Producto mixto de tres vectores

Sean los vectores cba rrr ,, . La expresión )( cxba rro

r, se conoce como producto mixto de

dichos vectores. El producto mixto expresado en función de las componentes de los vectores es:

« El producto mixto de tres vectores representa el volumen del paralelepípedo

determinado por ellos »

De lo anterior se deduce que si el producto mixto de tres vectores es nulo, los vectores son coplanarios.

Doble producto vectorial

Dados los vectores cba ,, , llamaremos doble producto vectorial de los mismos a la expresión:

( ) ( ) ( ) cbabcacba .... −=××

Sistema cartesiano trirrectángular: componentes, módulos cosenos, directores y expresión analítica de un vector.

Representaciones en el plano y en el espacio.

Representación de puntos en el plano: Para representar un punto en el plano, solo basta con ubicar las coordenadas del punto en los ejes, y desde cada uno de ellos trazar una recta paralela al eje ortogonal (perpendicular) de cada coordenada, el corte de las paralelas será el punto buscado.

Fig. 13

x 1

y 1 ,( )Sea el punto

x 1

y 1

Se ubican los puntos.

x 1

y 1

x 1

y 1 ,( )P1

Se trazan paralelas a los ejes desde los puntosy en la intersección ubicamos P1

36

Representación de puntos en el espacio: Para representar puntos en el espacio, se siguen los siguientes pasos.

1.- Se ubica los puntos en sus respectivos ejes de coordenadas.

2.- Se traza una recta desde el punto x, paralela al eje y.

3.- Se traza una recta desde el punto y, paralela al eje x.

4.- Se une el centro del sistema de coordenadas con el corte entre las rectas paralelas (punto C).

5.- Se traza una paralela al eje z, desde el punto C.

6.- Se traza una recta desde la coordenada z del punto, paralela a la recta que une el centro del sistema de coordenadas con el punto C.

7.- El punto, lo ubicamos en el corte de la recta del paso 5 y la recta del paso 6.

Sea el punto A (1, 2, 2)

x

z

y12

2

C

z

y12

2

C

A (1, 2, 2)

x

Fig. 13

Expresión general de un vector

Todo vector del espacio de tres dimensiones se puede escribir en la forma kajaiaa yx 2++= siendo zyx aaa ,, las componentes del vector a y los vectores kji , vectores unitarios dirigidos según los ejes coordenados x,y,z. El módulo del vector viene dado por:

222zyx aaaa ++= (1)

Ángulos directores de un vector

Se llaman ángulos directores de un vector a cada uno de los ángulos βα y γ que forma con los ejes coordenados x, y, z, según muestra la Figura. Los cosenos directores se pueden obtener sin más que observar que:

aa

a

a

aa zyx === γβα cos,cos,cos (2)

37

Siendo el módulo del vector. De (1) y (2) se obtiene la relación entre los ángulos directores:

1coscoscos 222 =++ γβα (3)

Vector Unitario

Vector unitario es aquel que puede tener cualquier dirección, pero su módulo es la unidad. Para obtener un vector unitario a partir de un vector dado a , basta dividir éste entre su módulo .

El vector resultante tiene la misma dirección y sentido que el vector dado. Si a es el módulo del vector y llamamos u al vector unitario buscado, tendremos:

aau =

Ejercicios Resueltos

Ejemplo.5 Dados los vectores, ( ) ( ) ( )kjizykjivkjju 3862,63 −+=+−=+−=

hallar sus módulos, su suma y los ángulos y cósenos directores del vector suma.

Obtener un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma.

Solución:

( ) ( ) ( ) 74318;41162;22323 222222222 =−++==+−+==+−+= zvu

( ) ( ) ( ) kjikjikjikjiS +−=−+++−++−= 7133862323

( )

2191cos

2197cos;

21913cos

2197132191713 222

=−

==

+−===+−+=

γβα

kjiSSuS

"31'7º86"49'13º118º,"35'32º28: yaquiDe βα =

Fig. 14

38

Ejemplo 6. El módulo de un vector es 18 y sus cosenos directores son proporcionales los números 2, -2 y 1. Hallar la suma baS += si el vector kjib +−= 23 . Hallar también un vector unitario en la dirección y sentido del vector suma. Solución: Sea kajaiaa zyx ++= el vector buscado. Al ser los cosenos directores proporcionales a los números 2,-2 y 1, podremos escribir: cos a =2K, cos ß=-2K, cos y =K (1). Utilizando la fórmula (3) del resumen teórico resulta: 4K2+4K2+K2=1 de donde 9K2=1 y K=± 1/3. De las relaciones (1) se obtiene (K=1/3): cos a =2/3 ; B cos β =-2/3 ; cos y =1/3 De la fórmula (2), despejando los valores de ax,ay y az y siendo a =18, queda:

kjia 61212 +−= Luego:

( ) ( ) kjikjikjibas 714152361212 +−=+−++−=+= de donde:

( )

47071415

47071415 222

kjiSSS

S

+−==

=++=

Ejemplo 7Dados los vectores a =(3,-2,1) y b de módulo 3 y contenido sobre la recta

0=− yx , hallar: a) Módulo de a b) Producto escalar de a y b c) Angulo que forman. Solución: a) Si el vector b está situado sobre la recta x-y=0 quiere decir que está dirigido sobre la bisectriz del primer-tercer cuadrante del plano XY. Esto indica que bz=0, bx=±3.cos 45° y by=±3.sen 45°.

Por tanto el vector es: b = ji223

223 +

El módulo de a es: ( ) 14123 222 =+−+=a Observar que se eligieron los valores

positivos de bx y by.

b) zzyyxx babababa .... ++= = ( )2230,

223,

223.1,2,3 =

−

39

c) Para calcular el ángulo que forman ambos vectores basta aplicar la relación (5) del resumen teórico:

( )143223

.

.,cos ==bababa con lo que: ( ) º10,79, =ba

Bibliografía Consultada:


Gómez, G.( 2009). Manual de las Ciencias Básicas y del Cálculo analítico. UNEFA.Carabobo Hewitt, P. (1999). Física Conceptual. Pearson Serway. (1992) . Física. Editorial McGraw-Hill Tipler (1994). Física. Editorial Reverté

40

UNIDAD 2: MOVIMIENTO EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.

LECTURA Nº 4: CINEMÁTICA DE LA PARTICULA.


Gómez Gustavo (2009). Cinemática de la partícula. Artículo no publicado. (Valencia).

Cinemática de la partícula. Sistemas de referencia y su importancia.

La cinemática, es la parte de la física que estudia el movimiento, sin importar las causas que lo producen. Las posibilidades de movimientos y las trayectorias que puede describir un cuerpo, son casi ilimitadas, sin embargo para facilitar el estudio de estas, la cinemática divide el movimiento en categorías o clases, según la trayectoria que describen y demás características del movimiento.

Tipos de movimientos.

De manera de simplificar su estudio, el movimiento puede clasificarse de acuerdo al numero de dimensiones (unidimensional, bidimensional o tridimensional) en el cual se desarrolla, lo cual tiene que ver con la “forma de la trayectoria que describe” y de acuerdo a las características de cambio de sus variables, es decir con velocidad constante, variable u oscilatoria y con aceleración variable, constante u oscilatoria.

De acuerdo a la trayectoria que describen y las dimensiones en las cuales se desarrollan, tenemos que los movimientos más comunes son:

- Movimiento rectilíneo (una dimensión)

- Movimiento parabólico (dos dimensiones)

- Movimiento circular (dos dimensiones)

- Movimientos lineales y planos en el espacio (tres dimensiones)

La razón por la cual hacemos énfasis en estos movimientos es principalmente, por que describen trayectorias con formas regulares que son la base para el estudio de trayectorias más complejas. Además, múltiples fenómenos se pueden explicar a partir de estos movimientos.

41

De acuerdo a las características de cambio de las variables que intervienen en el movimiento, tenemos:

- Movimiento Uniforme. (velocidad constante)

- Movimiento uniformemente acelerado (cambio de velocidad de manera constante y uniforme)

- Movimiento acelerado (no hay condición en las posibilidades de cambio de la aceleración)

- Movimiento armónico. (los valores de posición, velocidad y aceleración se restituyen a sus valores iniciales luego de ocurrir una variación)

En el estudio de estos movimientos, existen combinaciones entre las dimensiones que describen y las características de variación de las variables. De ahí los siguientes movimientos objeto de estudio:

- Movimiento rectilíneo uniforme. (MRU)

- Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

- Péndulo (movimiento armónico simple en dos dimensiones)

- Muelles suspendidos o resortes. (movimiento armónico simple en una dimensión) Sistemas de referencia y su importancia.

Cuando establecemos las condiciones de movimiento de un cuerpo, uno de los aspectos más importantes que nos interesa conocer es donde se encuentra dicho cuerpo y en que dimensiones se mueve este cuerpo. Esto, además de determinar las condiciones de “posición” de un cuerpo, también determina el comportamiento de las otras variables contempladas en el movimiento. A manera de resumen se señala lo siguiente:

Entre los sistemas de referencia más usados, podemos encontrar:

Coordenadas lineales, Coordenadas rectangulares o cartesianas, Coordenadas polares, Coordenadas espaciales.

Coordenadas lineales: Las coordenadas lineales nos permiten cuantificar a partir de un punto llamado origen, variables en una sola dirección pero en dos sentidos. Ejemplo: Desplazamiento (izquierda - derecha), Cantidades (disminución - aumento), etc. La matemática, generaliza esto en sentido positivo y negativo. Para graficar en este sistema, basta con ubicar el punto indicado en el lugar correspondiente según la "escala asignada".

Coordenadas rectangulares: Nos permiten establecer una relación entre dos variables en ambos sentidos para cada variable. Ejemplo: Arriba - abajo, Izquierda - derecha. Para graficar un punto en este sistema, se ubica un punto cualquiera de la coordenada en su respectivo eje, y luego nos desplazaremos horizontalmente o vertical (según los ejes) hacia la siguiente.

42

Coordenadas Polares: Igualmente permiten establecer una relación entre dos variables, siendo especialmente útil para aquellas en donde sea conveniente establecer la relación en base a un ángulo y un escalar. Ejemplo: Mínima distancia entre un punto y el origen (referencia) y el ángulo de inclinación con respecto a una linea determinada desde el origen.

Coordenadas espaciales: Permiten establecer una relación entre tres variables a partir de un origen o referencia común.

0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1S is te m a line a l

P (2 )

x-x

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

4321

-1-2-3-4

P (2 ,3 )

x

y

-y

-x

S is te m a rec ta ng u la r

r w

P (r,w )

e je p o la r.0

S is te m a po la r.

P (a ,b ,c )

z

-z

x-x

y

-y

0 a

b

c

S is te m a e s p a c ia l.

Fig. 1.

Variables Cinemáticas: posición, desplazamiento, velocidad (media e instantánea) y aceleración (media e instantánea). Movimiento acelerado y desacelerado. Trayectoria, distancia y rapidez.

Antes de introducirnos en el estudio de las categorías o tipos de movimientos, es conveniente que tengamos claros algunos conceptos y variables que intervienen en el movimiento.

Movimiento: Es el cambio de posición respecto de una inicial, a lo largo de una trayectoria.

Intervalo de tiempo ( t∆ ): Es la duración de un evento. Generalmente se mide en seg, minutos u horas. La notación “ ∆ ” significa “variación”

Instante de tiempo (dt): Es un momento. Indica la condición puntual de un evento. Se le asigna la notación “diferencial”, ya que su duración es infinitesimal.

Posición (x): Es la ubicación en la que se encuentra un cuerpo respecto a una referencia.

Desplazamiento ( of xxx −=∆ ): Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo y su magnitud o tamaño está representada por la diferencia entre la posición final e inicial. Es una magnitud vectorial

43

Distancia (d): Es la longitud del recorrido. Velocidad (

→

V ): Es el cambio de posición con respecto al tiempo. Es una magnitud vectorial. Rapidez instantánea (

dtdxV = ): Es el módulo de la velocidad en un instante.

La aceleración (dtdva = ): Es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

Movimiento Rectilíneo. Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta. Fig. 2

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición y desplazamiento La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x =f (t). Fig. 3.

Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado ∆x=x'- x en el intervalo de tiempo ∆t=t'-t, que va desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por tx

ttxxv

∆∆

=−−

=''

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo ∆ t tan pequeño como sea posible, en el límite cuando ∆ t tiende a cero.

dtdx

txv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

44

Pero dicho límite es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t. Aceleración

Fig. 4

En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad ∆ v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, ∆ t=t'-t.

tv

ttvva

∆∆

=−−

=''

La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo ∆ t tiende a cero, que no es otra cosa que la definición de la derivada de v.

dtdv

tva

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

Calculo del desplazamiento a partir de la velocidad del móvil.

Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto v.dt, representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.

45

Fig. 5

En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.

Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Calculo del cambio de velocidad dada la aceleración.

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.

Fig. 6

En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.

46

Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son

Movimiento rectilíneo uniforme

Fig. 7

Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando

o gráficamente, en la representación de v en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Fig. 8

Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

47

Fig. 9

Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado más simplificadas.

La velocidad y la aceleración como vectores

La velocidad y la aceleración son magnitudes vectoriales. Estas se caracterizan por que además de tamaño, tienen dirección y sentido. En la lectura Nro. 2, se realizó una amplia discusión al respecto.

Fig. 10

Nótese que si el carro va para la derecha, la velocidad siempre para la derecha, pero la aceleración no siempre tiene la dirección del movimiento. Esto, es importante por lo siguiente: si la velocidad que tiene un objeto va en el mismo sentido que el eje x, esa velocidad será ( + ) . Si va hacia la izquierda será ( - ) .

48

Lo mismo pasa con la aceleración observemos:

Fig. 11

Ejemplo 1. Un carro que viaja con una velocidad de 54 Km/h (15 m/s) frena durante 3 seg con una aceleración de 2m/s2 ¿ Qué distancia recorrió en ese intervalo ?

Se hace un esquema de lo que pasa. El carro viene a 54 Km/h y empieza a frenar:

Fig. 12

Se toma un sistema de referencia y se plantean las ecuaciones horarias (porque incluyen el tiempo):

Fig. 13

.

215

2150

2

2

222

1

ctesm2 -a

horarias. Ecuaciones t sm

smv

tsm t

sm x

B

B

B

==

←⋅

−+=

⋅

−+⋅+=

En la 1ª ec horaria se reemplaza t por 3 seg y se calcula la posición final:

( ) final Posición m x seg sm seg

sm x f

f ←=⇒⋅−⋅= 3631315 2

49

Conclusión: En los tres segundos el carro recorre 36 metros.

Si nos hubiéramos equivocado en el signo de la aceleración y se hubiera puesto positiva, nos habría quedado así:

( ) error) un es (que m X seg sm seg

sm x ff 5431315 2 =⇒⋅+⋅=

Lo mismo hubiera pasado si se hubiera calculado la velocidad final después de los 3 seg:

! ERROR sm v seg

sm

smv ff ←=⇒⋅+= 213215 2

Nos damos cuenta porque la velocidad final tiene que dar menor que la inicial. (recordar que el carro está frenando ).

Obtención de la aceleración a partir de la posición; proceso inverso: importancia de las condiciones iniciales.

Es importante señalar, que el movimiento rectilíneo variado puede ser “uniformemente acelerado” (aumento de la velocidad) o uniformemente desacelerado” (disminución de la velocidad). En las ecuaciones anteriores, la aceleración tomara signo positivo en caso de ser acelerado y negativo en caso de ser desacelerado. En el siguiente cuadro, se presentan estas ecuaciones escritas en estos términos. Se han incluido los despejes correspondientes.

Distancia recorrida

Tiempo transcurrido Velocidad Inicial Velocidad Final Aceleración

Tabla 1.

Por otro lado, como ya hemos señalado, el cambio de posición a lo largo de una trayectoria, queda definida por una función del su posición con respecto al tiempo.

Posición: )(tFx = ∫= dttVx ).(

x = Vo . t! a . t2

2 t = V f − V oa

Vo=Vf−(!a).tVf =Vo! a. t a = Vf − Vo

t

x = ! V f 2 − V o2

2.a t = − Vo ! 2. V o2 − 2.(!a).x

2 . ( !a) Vo = ! a.t2 − 2x2. t Vf = Vo2 !2 . a . x = V f 2 −Vo2

2.xa

a = 2 .(x − Vo.t)t 2Vo = Vf2 − (!2ax)

50

Velocidad: dtdxV = ∫= dttaV ).(

Aceleración: ,dtdva =

Movimiento en una dimensión: análisis de gráficos, caída libre, encuentros.

Un ejemplo de este movimiento es el desplazamiento de un carrito a lo largo de una pista recta, que se desliza impulsado por una fuerza constante a lo a lo largo de un riel. Es conveniente recordar, que no tomaremos en cuenta la magnitud de esta fuerza. Solo nos interesa su acción para producir el movimiento.

Si disponemos de un raíl horizontal por el que se mueve el carrito, una regla adosada al raíl, y un cronómetro con dos dispositivos: uno que lo pone en marcha y otro que lo para.

Aceleramos el carrito, mediante una cuerda que pasa por una polea. Una pesa cuelga de la cuerda.

El carrito se sitúa en el origen y la fuerza que se ejerce sobre el carrito actúa durante todo su recorrido. Casos como este representan el movimiento uniformemente acelerado.

En las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, la velocidad es una función lineal del tiempo, pero no así la posición del móvil. Por lo que solamente se puede aplicar el procedimiento de la regresión lineal a una tabla de datos tiempo-velocidad.

Si suponemos que el movimiento es uniformemente acelerado, vamos a demostrar que la velocidad media <v> del móvil entre los instantes t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante intermedio (t1+t2)/2. En efecto,

Fig. 14

Sea x1 la posición del móvil en el instante t1

Sea x2 la posición del móvil en el instante t2.

La velocidad media del móvil entre los instantes t1 y t2 es

tx

ttxxv

∆∆

=−−

=''

Podemos expresar la posición x2 en términos de la posición inicial x1 y de la velocidad inicial v1.

51

La velocidad media vale entonces

Que como podemos comprobar es la velocidad en el instante intermedio entre t1 y t2

La velocidad media en el intervalo comprendido entre el instante t1 y t2 es igual a la velocidad en el instante (t1+t2)/2 intermedio en entre dichos instantes.

Por tanto, para transformar una tabla tiempo-desplazamiento en otra tiempo-velocidad, procedemos del siguiente modo:

En la tabla de desplazamientos calculamos la velocidad media entre los instantes t1 y t2 mediante la fórmula

tx

ttxxv

∆∆

=−−

='' Dicha velocidad se la asignamos al instante (t1+t2)/2.

Ejemplo 2:

Tiempo (s) desplazamiento (cm) tiempo (s) velocidad (cm/s)

5.1 5 6.15 2.38

7.2 10 8 3.125

8.8 15 9.45 3.846

10.1 20 10.75 3.846

11.4 25 11.9 5

12.4 30 12.9 5

13.4 35 13.85 5.56

14.3 40 14.65 7.14

15 45

Tabla 2.

52

Construcción de gráficos en el MRU

Supongamos que un cuerpo se mueve a 100 por hora. Una hormiga, por ejemplo.

Fig. 15

Después de una hora habrá recorrido 100 Km. Después de 2 hs habrá recorrido 200 Km y así sucesivamente. Esto, se puede escribir en una tabla:

POSICIÓN TIEMPO

0 Km 0 hs

100 Km 1 h

200 Km 2 hs

Tabla 3.

Ahora, se puede hacer un gráfico poniendo para cada tiempo la posición correspondiente, a 0 le corresponde 0; a 1 le corresponde 100; etc.

Fig. 16

Uniendo todos los puntos tengo el gráfico de la posición en función del tiempo:

Fig. 17

53

A este gráfico se lo suele llamar abreviadamente x = f ( t )

Representación de la posición X en función del tiempo.

Se puede dibujar también los gráficos de velocidad y aceleración en función del tiempo.

Fig. 18

En estos 3 gráficos se ven perfectamente las características del MRU. Es decir:

El gráfico de V en función de t muestra que la velocidad se mantiene constante.

El gráfico de a en función de t muestra que la aceleración es todo el tiempo cero.

El gráfico de x en función del tiempo muestra que la posición aumenta linealmente con el tiempo

Calculo de la velocidad en el MRU

La velocidad se obtiene por el cálculo del espacio recorrido sobre tiempo empleado.

Fig. 19

Supongamos que el cuerpo salió de la posición x0 y llegó a la posición xf .

La velocidad será:

ttxx

v

. txv

f

f

0

0

−

−=

∆∆

=

54

Ecuaciones horarias en el MRU

La definición de velocidad es: 0

0

ttxx

v−−

= . Si ahora se despeja x – x o nos queda :

→ v . ( t – to ) = x – x o

→ x = xo + v. ( t – to ) ← 1ra ECUACION HORARIA

Esta ecuación nos muestra la posición en función del tiempo.

Se la llama horaria porque en ella interviene el tiempo.

Como ( t - t0 ) es ∆t, a veces se la suele escribir como x = x0 + v x ∆t .

Y también si “t0” vale cero, se escribe x = x0 + vx t

Supongamos que lo que se está moviendo partió en t0 = 0 en la posición x0 = 200 Km. Si el

objeto salió con una velocidad de 100 Km/h, su ecuación horaria será:

x = 200 Km + 100 h

Km . ( t – 0 )

→ x = 200 Km + 100 h

Km t

Si en la ecuación se le da valores a t ( 1 h, 2 hs, 3 hs, etc) se obtiene la posición donde se encuentra el cuerpo en ese momento.

Las otras dos ecuaciones horarias para el caso del MRU son:

0 ay ctev ==

En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son:

X = Xo + V . ( t – to )

V = Cte

a = 0

55

Pendiente de una recta

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje “X”. Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la división entre la cantidad que está representando el cateto opuesto y la cantidad que está representando el cateto adyacente.

Veamos: supongamos que se tiene la siguiente recta que proviene de la representación de la posición en función del tiempo para un objeto moviéndose con MRU:

Fig. 20

Para el ángulo alfa, el cateto opuesto REPRESENTA 160 m. El cateto adyacente REPRESENTA 8 seg.

De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser:

En este caso:

smpendiente

sm pendiente 20

8160

=⇒=

La pendiente de un gráfico como el anterior da en unidades de velocidad. La pendiente de la recta en el gráfico posición en función del tiempo representa la velocidad del movimiento.

Esto es por que en el cálculo “opuesto sobre adyacente” hacemos ∆ x / ∆ t, y esto es justamente la velocidad.

Cat.Ady. el representa que ValorOp. Cat. el representa que Valor Pendiente =

Pendiente de una recta

56

Representación gráfica de las ecuaciones horarias.

En cinemática se usan 3 gráficos muy importantes que son los de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Cada gráfico es la representación de una de las ecuaciones horarias.

Recordemos primero cómo se representa una recta en matemática.

La ecuación de la recta tiene la forma y = m.x + b. “b” es el lugar donde la recta corta al eje “Y” (ordenada al origen ) y “m” es la pendiente.

Fig. 21

Ahora, se toma la 1ra ecuación horaria con t0 = 0, nos queda x = x0 + v . t . Ahora observemos esta comparación:

0xtvx

bxmy

+⋅=

+⋅=bbbb

Se observa que la ecuación de X en función del tiempo en el MRU también es una recta en donde la velocidad es la pendiente y X0 es el lugar donde la recta corta el eje vertical.

Para cada ecuación horaria puedo hacer lo mismo y entonces tendremos 3 gráficos, uno para cada ecuación. Los tres gráficos característicos del MRU quedan así:

57

Fig. 22 Velocidad media

Si un cuerpo va de un lugar a otro y sin ir todo el tiempo a la misma velocidad, su velocidad media se calcula así:

Supongamos que en carro desde valencia a Coro ( unos 375 Km ).

Si tarda 6 hs en llegar. Su velocidad media va a ser:

media Velocidad distancia esa recorrer en empleado Tiempollegada de punto ely partida de punto

el entrehay que recta línea en Distancia

v m =

hKm6hs

375Kmv

recta) línea (en txv

m

m

5,62==⇒

∆∆

=

Los 3 gráficos

representativos del

movimiento rectilíneo

y uniforme

Posición en función del tiempo ( Muestra que x aumenta linealmente con t ) Velocidad en función del tiempo ( Muestra que v se mantiene constante). Aceleración en función del tiempo ( Muestra que la a es todo el tiempo cero ).

58


Ejemplo 1. Una persona sale de la posición x0 = 400 Km a las 8 hs y llega a la posición xf = 700 Km a las 11 hs. (fue en línea recta y con v = constante). Se pide:

a) Tomar un sistema de referencia y representar lo descrito en el problema.

b) Calcular con qué velocidad se movió (en Km/h y en m/s)

c) Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas.

d) Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs.

e) Dibujar los gráficos de x = f(t), v = v(t) y a = a(t).

Solución:

a) El sistema de referencia es el siguiente:

Fig. 23

b) Se calcula con qué velocidad se movió. V era ∆ x / ∆ t , entonces:

Adecuando las unidades:

segm

hKm

segm

hKm

6,3100100

36001000.100100 =⇒=

hKmvhs

Kmv

hshsKmKmv

ttxx

vf

f

/1003

300811

4007000

0

=

=

−−

=

−−

=

59

c) Escribir las 3 ec. horarias y verificarlas.

==

−+=

0

).( 0

aCteV

ttvxx

Se reemplaza por los datos y nos queda:

Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que están bien planteadas.

A partir de la 2da y la 3 ra (V = 100 Km / h, y a = 0 ) se verifica que el movimiento es rectilíneo y uniforme de manera que la velocidad es constante, y la aceleración cero.

Vamos a la verificación de la 1ra ecuación.

Para comprobar nuestros cálculos, podemos reemplazar t por 8 hs (= t0 ), la posición tendría que dar 400 Km ( = x0 ). Veamos:

x = 400 Km

Veamos ahora a la posición final. Para t = 11 hs la posición tiene que dar x = 700Km. Se reemplaza “t cero” por 11 hs.

Km xhs

hs hs hKm Km x

hs t hKm Km x

700

)3

811(100400

)8(100400

=

−+=

−+=

43421

0100

)8(100400

==

−+=

ahKmv

hsth

KmKmx

Kmx

hshshKmKmx

hsthKmKmx

4000

)88(100400

)8(100400

=

−+=

−+=

43421

60

d) Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs.

Se procede de igual manera, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs:

hs. 9 las a Posición Km hsx

h

hs hs h

Km Km x

←=⇒

−+=

500)9(

)1

89(100400 43421

Para t = 10 hs :

hs 10 las a Posición Km hsxhs

hs hs h

Km Km hsx

←=⇒

−+=

600)10(

)2

810(100400)10( 43421

e) Dibujar los gráficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t) .

Del que cálculo anterior se puede construir una tabla como esta:

x t

400 Km 8 hs

500 Km 9 hs

600 Km 10 hs

700 Km 11 hs

Tabla 4.

Ahora, se representan estos puntos en el gráfico x-t :

Fig. 24

61

Por ser una recta, conocidos 2 puntos es suficiente.

Finalmente el gráfico posición en función del tiempo x (t) es:

Fig. 25

Los otros dos gráficos quedarían de esta forma :

Fig. 26

Por último podemos verificar que la pendiente del gráfico de posición en función del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos:

Fig. 27

⇒=adyacente opuestopendiente hKmpend

8hs-11hs400Km- 700Kmpend 100.. =⇒=

62

Ejemplo 2. Un carro tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los primeros 10 Km los recorre a 10 Km/h. Después recorre 30 Km á 30 Km por hora. Y, por último, recorre los 60 Km finales a 60 Km/h.

a) ¿Qué tiempo tardó en recorrer los 100 Km?

b) ¿A qué velocidad constante tendría que haber ido para recorrer los 100 Km en el mismo tiempo?

c) Dibujar los gráficos: x(t), v(t) y a(t).

Se Hace un esquema de lo que plantea el problema:

Fig. 28

hhKm

Kmt

hhKm

Kmt

hhKm

Kmt

vxt

: serát txv que Dado tramo. cada recorrer en tardó que tiempo Ela)

==∆

==∆

==∆

⇒∆

=∆

∆∆∆

=

16060

13030

11010

.

,

3

2

1

El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir:

∆t total = ∆t1 + ∆t2 + ∆t ⇒ ∆t total = 3 hs.

Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km.

b) La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma distancia en el mismo tiempo es justamente la velocidad media.

63

Entonces:

media Velocidad hKm v 3hs

100Kmv txv

m

mm

←=⇒

=⇒∆∆

=

3,33)

c) Veamos cómo dan los gráficos:

Fig. 29

Es importante observar cómo en el primer gráfico las rectas se van inclinando más y más hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Más aumenta la velocidad, más aumenta la pendiente. Y es que la pendiente de la recta en el gráfico X (t) es justamente la velocidad. Por eso, al aumentar la velocidad, aumenta la inclinación.

Encuentros

Dos objetos se encuentran cuando pasan por el mismo lugar al mismo tiempo.

Para que esto ocurra, no basta con que pasen por el mismo lugar. Tienen que pasar por el mismo lugar al mismo tiempo.

Una situación de encuentro podría ser la siguiente: Se muestra una ruta vista de arriba.

Fig. 30

64

En algún momento los dos carros se van a encontrar en alguna parte de la ruta.

Lo que ocurre lo podemos ver en la figura:

Fig. 31

En lenguaje físico sería encuentro. t para t xx eBA ==

Esta condición se cumple en todos los casos y en todos los problemas de encuentro. Es decir, puede ser que los carros estén viajando en el mismo sentido o en sentido contrario. Puede ser que uno vaya frenando y el otro acelerando. Puede uno ir con MRUV y el otro con MRU. En todos los caos la condición será xA = xB para t = te.

Resolución de problemas de encuentro.

Los problemas de encuentro son problemas en los que un objeto sale del lugar A y otra sale del lugar B. Pueden salir al mismo tiempo o no. Pueden moverse en el mismo sentido o no. Pueden ir con MRU o no.

Lo que siempre nos interesa conocer es: dónde se encuentran los objetos y después de cuánto tiempo.

Para resolver esto conviene seguir estos pasos.

1.- Se hace un dibujo de lo que plantea el problema. En ese dibujo se elije un sistema de referencia. Sobre este sistema marco las posiciones iniciales de los móviles y la velocidad de c/u de ellos con su signo. Si la velocidad va en el mismo sentido del eje x es (+). Si va al revés, es (-).

2.- Se escriben las ecuaciones horarias para c/u de los móviles. ( xA = ..., xB = ...)

3.- Se plantea la condición de encuentro donde la posición de A debe ser igual a la de B para t = te.

4.- Se igualan las ecuaciones y se despeja te . Reemplazando te en la ecuación de xA o de xB y se calcula la posición de encuentro.

65

5.- Es conveniente hacer un gráfico posición en función del tiempo para los 2 móviles en donde se vea la posición de encuentro y el tiempo de encuentro.

Ejemplo 4. Un carro y un autobus están ubicados como muestra el dibujo y se mueven a 60 y 20 Km/h respectivamente.

a) Calcular cuánto tiempo tardan en encontrarse.

b) Hallar el lugar donde se encuentran.

c) Hacer el gráfico de x(t) para los 2 móviles y verificar los puntos a) y b).

Se realiza un dibujo que explique el enunciado.

Fig. 32

Se hace un esquema y se elije un sistema de referencia, indicando las posiciones y las velocidades iniciales:

Fig. 33

Se plantean las ecuaciones horarias.

0

20

201,0

==

⋅+=

A

B

B

a hKmv

th

KmKmx

0

60

600

==

⋅+=

A

A

A

a carro hKmv el

thKmx Para

Para el Bus

66

Se plantea la condición de encuentro que dice que la posición de los 2 vehículos debe coincidir en el momento del encuentro:

xA = xB para t = te

Las ecuaciones de la posición para A y B son:

⋅+=

⋅+=

th

Km Km x

th

Km x

B

A

201,0

600

Se igualan las ecuaciones y se despeja

ENCUENTRO DE TIEMPO

seg t :3600 por ndomultiplica entonces, , segundos3600 sonhora Una

hs hKm

Km t Km th

Km

Km th

Km th

Km th

Km Km th

Km

e

ee

eeee

←=

==⇒=⋅⇒

=⋅−⋅⇒⋅+=⋅

9

0025,040

1,01,040

1,02060201,060

Reemplazando te en cualquiera de las ecuaciones horarias se tiene la posición de encuentro. Por ejemplo, si se reemplaza en la de xA :

) m 150 ( Km x

th

Km x

ENCUENTRO DE POSICIONe

hs 0,0025 ee

←==⇒

⋅+=

15,0

600

Para verificar se puede reemplazar te en la otra ecuación y verificar que da lo mismo.

. m) 150( Km x th

Kmx ehs 0,0025

ee ==⇒⋅+= 15,0201,0

Es decir que la respuesta al problema es que el carro alcanza al bus en 9 seg, después de recorrer 150 m.

De la misma manera, se podría haber dicho que el encuentro se produce a los 9 segundos y después que el bus recorrió 50 m. Esto es importante. Debido a que cuando se dice que el encuentro se produce a los 150 metros se tiene que aclarar desde dónde están medidos esos 150 metros.

67

La situación final vendría a ser esta:

Fig. 34

c) Otra manera de verificar la situación, es hacer el gráfico x(t) representando c/u de las ecuaciones horarias. Lo que se hace es ir dándole valores a t y calcular los valores de x.

Carro xA t | xB t Bus

xA = 60.t 0 0 | 100m 0 xB = 0,1 + 20.t

50m 3 seg | 116m 3 seg

100m 6 seg | 133m 6 seg

150m 9 seg | 150m 9 seg

Tabla 5 La representación de las 2 rectas queda así:

Fig. 35

El lugar donde se cortan las rectas indica el tiempo de encuentro sobre el eje horizontal y la posición de encuentro sobre el eje vertical.

Siguiendo estos pasos se pueden resolver todos los ejercicios de encuentro.

Posición de encuentro

Tiempo de encuentro

68

Puede ocurrir, que en un problema uno de los móviles salga antes que el otro. Supongamos por ejemplo que el carro hubiera salido 3 seg antes que el Bus. En ese caso lo que se hace es calcular qué distancia recorrió el carro en esos 3 seg y plantear un nuevo problema de encuentro. Es decir:

Fig. 36

Este método de resolver problemas de encuentro para móviles que no salen en el mismo momento sirve para todos los casos de encuentro. Se puede aplicar siempre. Los objetos pueden estar moviéndose en el mismo sentido, en sentido contrario, con MRU, con MRUV, caída libre, o tiro vertical.

Ahora bien. Existe otro método para resolver este tipo de problemas. Este método es el que generalmente se usa.

En realidad, y como lo vimos anteriormente, las ecuaciones horarias están escritas en función de “(t – t0)”. De manera que si uno de los móviles salió 3 seg antes que el otro, lo único que se tiene que hacer es reemplazar “t0” por 3 segundos.

MRUV - Movimiento rectlíneo uniformemente variado

Se dice que un movimiento es uniformemente variado si la velocidad cambia lo mismo en cada segundo que pasa es decir, tiene una variación lineal con respecto al tiempo.

Fig. 37

En éste ejemplo, cuando la persona ve al monstruo se pone a correr. Después de 1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de 2 segundos es de 20 Km/h.

Es decir, su velocidad está aumentando, de manera uniforme, a razón de 10 Km/h por cada segundo que pasa.

69

En física, la palabra uniforme significa “siempre igual, siempre lo mismo, siempre de la misma manera“.

Se dice entonces que el movimiento de la persona de la figura 37 es “uniformemente variado aumentando ∆ v = 10 Km/h en cada ∆ t = 1 seg.

Para este tipo de movimiento, el concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entender el MRUV y también otros movimientos como caída libre y tiro vertical.

En el ejemplo, la persona pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg. Pero podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más lentamente. Se dice entonces que la aceleración es la rapidez con la que está cambiando la velocidad.

Cuanto más rápido aumenta (o disminuye) la velocidad, mayor es el tamaño de la aceleración.

La aceleración es una medida del cambio de la velocidad con respecto al tiempo.

naceleració de Definición tva

:decir Es

←∆∆

=

Supongamos un carro que tiene una velocidad v0 en t0 y otra velocidad v al tiempo t:

Fig. 38 En ese caso, la aceleración del carro va a ser:

ttvv

a 0

0

−−

=

Nótese, que cuando en física se habla de aceleración, hablamos de aumentar o disminuir la velocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE. Para la física, un carro que está frenando tiene aceleración.

En la vida diaria no se usa así la palabra aceleración. Esto, suele causar algunas confusiones.

70

Ejemplo 5. Un carro que se mueve con MRUV tiene en un determinado momento una velocidad de 30 m/s y, 10 segundos después, una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración.

Para calcular lo que se pide se aplica la definición anterior: ⋅−

−=

0

0

ttvv

af

f

2/110

/1010

/30/40 sms

smas

smsma ==⇒−

=

Nótese que el resultado da en m/s 2. Éstas son las unidades en las que se mide la aceleración. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad de longitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h 2 ).

Es importante conocer muy bien el significado de “1 m/s 2 ”

Esto último, se puede escribir como:

La aceleración de este carro es tal que su velocidad aumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa.

Un esquema de la situación sería éste:

Fig. 39

De acá, es importante observar lo siguiente: Al tener ya una idea de lo que es la aceleración se puede decir que la característica del movimiento uniformemente variado es, justamente, que tiene aceleración constante.

Otra manera de decir lo mismo (y esto se ve en el dibujo) es decir que en el MRUV la velocidad aumenta todo el tiempo (o disminuye todo el tiempo) y ese aumento (o disminución) es LINEAL CON EL TIEMPO.

La aceleración que tiene un objeto que se mueve puede ser (+) o (-). Esto depende de 2 cosas:

1 – De si el objeto se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio.

2 – De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés.

s

sm

1

1 Variación de velocidad. Intervalo de tiempo.

71

Observemos esto con un ejemplo numérico. Supongamos que en todos los casos el ∆ t es

de 1 segundo y calculamos el signo de la aceleración en: ⋅−

−=

0

0

ttvv

af

f

Fig. 40

Estos son los 4 casos posibles. La conclusión que se obtiene es que hay que se debe tener cuidado con el signo de la aceleración al hacer los cálculos.

Función Cuadrática.

Hagamos un paréntesis en nuestro estudio de la cinemática, para refrescar algunos conocimientos matemáticos que se aplicarán a continuación. La función cuadrática, se caracteriza por que su representación gráfica tiene forma de parábola y puede ser expresada según las ecuaciones de la parábola. Es muy importante hacer un repaso de esta función, ya que muchos comportamientos de los cuerpos referidos a su movimiento, se describen con esta función.

La función cuadrática tiene la forma: y = F(x) = a.x2 + b.x + c

72

El vértice de la parábola, se puede hallar con las siguientes fórmulas:

V(XV, YV),eXV = − b

2aYV = 4ac − b2

4a

Los puntos de corte con el eje x, se calculan igualando a cero la expresión (se hace y = 0) y resolviendo la ecuación de segundo grado que se forma. Los valores de x1 y x2, serán los puntos de corte con el eje x.

x 1,2 =−b! b2 − 4ac

2.a

La parábola, puede tomar las siguientes formas según los valores de a, b, c.

a) b)

c)d)

e)

f )

V

V

V = x1 = x2

V = x1 = x2V

V

x1 x2

x1 x2

no tiene corte con x

no tiene corte con x

Fig. 41

Para tener una gráfica aproximada de la función cuadrática (la parábola), :

1.- Se determinan las coordenadas del vértice con las fórmulas correspondiente.

2.- Se determinan los puntos de corte con el eje x.

3.- Se construye una tabla, para conocer el valor que toma "y" cuando le asignamos un valor a "x". Para construir la tabla, se le dan a x por lo menos 7 valores. El valor central de x en la tabla (el cuarto), debe ser la coordenada x del vértice, es decir, tres valores de "x" mayores que la coordenada "x" del vértice y tres valores de "x" menores que la coordenada "x" del vértice.

4.- Se llevan los valores a un eje de coordenadas, y se unen los puntos en orden creciente odecreciente respecto de los valores de x.

73

Ecuaciones horarias y gráficos en el mruv

Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. Observemos como son cada una en el MRUV. Para simplificar la explicación comenzaremos por la última.

3ª Ecuación horaria ( a = f(t) )

La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que la aceleración es constante. No cambia. Siempre es igual. Siempre vale lo mismo.

Esto puesto en forma matemática sería: horariaecuaciónctea era3←=

El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal.

Fig. 42

2ª Ecuación horaria ( v = f (t) )

Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidad aumenta (o disminuye) linealmente con el tiempo. Esto viene de la definición de aceleración, que es:

⋅−

−=

0

0

ttvv

a f

Entonces, despejando : vf - v0 = a ( t – t 0 ) ⇒ vf = v0 + a ( t – t 0 )

Si se hace “to” = cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así:

vf = v0+ a . t 2da ECUACION HORARIA

74

Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma y = m x + b. La representación es:

Fig. 43

Por ejemplo, una 2ª ecuación horaria típica podría ser: vf = 10 sm + 2 2s

m t

El objeto que se moviera siguiendo esta expresión habría salido con una velocidad inicial de 10 m/s y tendría una aceleración de 2 m /s 2.

1ra Ecuación horaria ( x = f(t) )

La ecuación de la posición en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta:

x = x0 + v0 t + ½ a t 2 ← 1ra ECUACION HORARIA.

Nótese, que es la ecuación de una parábola. Cada término de la ecuación x = x0 + v0 t + ½ a t 2 tiene su equivalente en la expresión Y = a x2 + b x + C . La expresión completa de la 1ª ecuación horaria sería:

2ttattvxx )()( 02

1000 −⋅+−⋅+=

La representación de la posición en función del tiempo es esta:

Fig. 44

La figura 44, representa la variación de la posición en función del tiempo para un movimiento uniformemente variado. Nos muestra posición del móvil para cualquier instante t.

75

2tsmt

sm m X .2.14 2++=

De esta manera tenemos el movimiento completamente descrito desde el punto de vista cinemático.

La fig. 44, es la representación gráfica de la función x = x0 + v0 t + ½ a t 2 .

Esta parábola puede ser para la derecha, para la izquierda, muy cerrada, muy abierta. Eso va a depender de los valores de 0x , de 0v y de a. Ahora, el hecho de que la parábola vaya para arriba o para abajo depende ÚNICAMENTE del signo de la aceleración. Si a es ( + ) , irá para arriba ( ∪ ). Si a es ( - ) , irá para abajo ( ∩ ).

Ejemplo 6.

Supongamos que se tiene la siguiente ecuación horaria para un objeto que se mueve con MRUV :

Este sería el caso de un objeto que salió de la posición inicial 4 m con una velocidad de 1 m/s y una aceleración de 4 m/ s2.

Para saber cómo es el gráfico, se le dan valores a t y se calculan los valores de x. Puede utilizarse el método señalado en la sección “Ecuación de la Parábola”.

x [m] t [seg]

4 0

7 1

4 2

Tabla 6

La representación gráfica es:

Fig. 45

76

Ejemplo 7

Una hormiga sale de la posición X0 = 0 y comienza a moverse con aceleración a = 2 m/s2. (v0= 0 ).

a) Escribir las ecuaciones horarias.

b) Hacer los gráficos x(t), v(t) y a(t).

Fig. 46

Las ecuaciones horarias para un objeto que se mueve con movimiento rectilíneo uniformemente variado son:

ctea

tavv

ta tvxx

f

2

=

⋅+=

⋅+⋅+=

0

21

00

0x y v0 valen cero. Reemplazando por los otros datos:

ctesma

tsmv

tsm tx

2

2f

22

==

⋅+=

⋅+⋅+=

2

20

200 21

Ahora, dando valores a t se obtienen los valores de x y de v. Se construyen las tablas:

X T V t a T

0 0 0 0 2m/s2 0

1 m 1 s 2 m/s 1 s 2m/s2 1 s

4 m 2 s 4 m/s 2 s 2m/s2 2 s

Tabla 7.

77

( ) aria.complement Ecuación xxavv f2f ←−⋅=− 0

20 2

Teniendo las tablas se pueden representar las ecuaciones horarias.

Fig. 47

La ecuación complementaria

Hay una fórmula más que se usa a veces para resolver los problemas. Se le suele llamar ecuación complementaria. La fórmula es ésta:

La deducción de esta ecuación es:

Se escriben las 2 primeras ecuaciones horarias. Se despeja t de la 2ª y se reemplaza en la 1ª.

avv

t tavv

ta tvxx

ff

2

−=⇒⋅+=

⋅+⋅+=

00

21

00

Sobre esta ecuación es importante señalar lo siguiente:

Primero: La ecuación complementaria NO es una ecuación horaria. En ella no aparece el tiempo.

Segundo: Esta fórmula no es una ecuación nueva. Es mezcla de las otras dos ( de la 1ª y la 2ª ).

Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuación complementaria para resolver un problema. Todo problema de MRUV puede resolverse usando solamente la 1ª y la 2ª ecuación horaria.

78

Lo importante de la expresión vf 2 – v0

2 = 2 a ( xf – x0 ) es que facilita las cuentas cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es dato.

Ejemplo 8

En el problema anterior, calcular la velocidad que tiene la hormiga después de recorrer 1 m.

Usando la ecuación complementaria:

( ) ( ) smV m sm v xx a vv f

2ff

2f 201.2.20.2 20

20 =⇒−=−⇒−=−

Observemos el cálculo sin usar la ecuación complementaria:

222

121

00

0

00

2001 tsmtm ta tvxx

:era horaria . ec 1ª Lam 1 recorrer en picadorus

la tardó que Tiempo sm2

vt

avv

t tavv

:horaria ecuación 2ª la De

2

f

ff

⋅⋅+⋅+=⇒⋅+⋅+=

←=⇒

−=⇒⋅+=

verifica) (Se smv v

ms

sm1m

smv

smm :

smv

por t doReemplazan

ff

2

ff

24

221

22

2

4

2

222 21

=⇒⋅⋅=⇒

⋅⋅=

Resolución de problemas de MRUV

Generalmente hay dos tipos de problemas de MRUV:

1 - Ejercicios de MRUV analíticos, (donde hay que usar fórmulas y ecuaciones).

2 - Ejercicios de MRUV gráficos (donde hay que usar gráficos).

Los problemas gráficos no tienen una manera especial de resolverse. Cada uno es diferente. Hay que observar bien el gráfico y pensar.

79

Suele darse la representación de la posición en función del tiempo o de la velocidad en función del tiempo. Por ejemplo, podría ser así :

Fig. 48

Dado el gráfico, se puede pedir calcular cualquier variable del movimiento. Puede ser la velocidad en un punto, la aceleración en un intervalo, el espacio recorrido, etc. Para resolver esto hay que ir analizando pendientes, áreas etc.

Si el problema es de MRUV propiamente dicho, lo que hay que hacer es un esquema de lo que el problema plantea, tomar un sistema de referencia y escribir las ecuaciones horarias. Recordar:

Caída libre y lanzamiento vertical

La caída libre, es una variedad del movimiento M.R.U.A, que se desarrolla en la vertical. Ocurre cuando dejamos caer (es decir, sin impulsar) un objeto desde cierta altura. La velocidad del movimiento irá incrementándose desde cero, hasta la máxima velocidad, que es con la que llega al suelo. La aceleración del movimiento será la aceleración de la fuerza de gravedad (9,8 m/seg2 ), que es la fuerza con la que la tierra atrae a los cuerpos. La descripción gráfica del movimiento se observa en la figura.

h = altura en un instante.

Vo = Velocidad Inicial.

Vo = 0

y

y = Distancia recorrida desde que comenzó a caer.

h

h max.h max = altura desde la cual se lanza el objeto.

Tv = Tiempo de vuelo (tiempo que se mantiene en el aire).

Fig. 49

80

Ecuaciones de la caída libre.

Distancia recorrida

(y)

Velocidad Final

Velocidad en un

instante t.

Tiempo Tiempo de vuelo Altura en un instante

Altura Máxima

Tabla 8

Todas estas ecuaciones, se despejan de 4 ecuaciones que son:

V2 = 2gy y =g.t2

2 y = h max − h

El Lanzamiento vertical, tiene dos variantes, cuando lanzamos un objeto "verticalmente hacia arriba", y cuando lanzamos un objeto "verticalmente hacia abajo". En ambos casos, "la velocidad inicial del movimiento es distinta de cero".

Lanzamiento verticalmente hacia arriba. En este tipo de lanzamiento, se observan dos movimientos en uno, cuando el objeto está subiendo, y cuando el objeto está bajando. Es importante diferenciarlos, ya que en el primer caso, la velocidad inicial será la que tenemos que imprimirle para que comience a subir, y la velocidad final será cero (momento en que comienza a caer); en el segundo caso, la velocidad inicial (que es la velocidad cuando comienza a caer) es cero y la velocidad final será con la que llega al suelo. Es importante resaltar que en el caso en que la superficie de lanzamiento (el suelo) no tenga relieves (sea plano), la velocidad inicial y final será la misma en magnitud. La descripción gráfica del movimiento se presenta en la figura 50.

Cuando sube V = 0

y = h

h max

Cuando baja.

y

h

Vo = Vf

Cuando baja.

y

h

h max

Vo = 0

Fig. 50

y = g . t 22

V f = g. t max V=g.t t = Vg t v = Vf

g

h m ax = Vf2

2gtv = 2.hmaxgt = 2.yg

V = 2g.yy = V 22g

V f = 2 g . h ma x

hm a x =g.tv2

2h=hmax − y

81

Ecuaciones del lanzamiento vertical.

Variable Cuando se lanza hacia arriba

(Formulas Generales) Cuando se lanza hacia

abajo

Altura máxima (hmax)

hmax = Vo2

2.g

hmax = Vf2 − Vo2

2g

hmax = Vo.tm +g.tm2

2

Tiempo máximo

(tmax ó tm)

t max = Vog

tmax = tv2 (& &)

t max = Vf − Vo

g

Velocidad inicial (vo)

Vo = 2.hmax. gVo = t max.g

Vo = Vf2 − 2g.hmaxVo = Vf − g. t

Velocidad final (vf)

Vf = g.t maxVf = 2g.h max

Vf = Vo (si la linea de lanz. coincide con la de llegada) Cuando Sube Cuando Baja

Vf = Vo2 + 2g.hmaxVf = Vo + g. t

Velocidad a un instante

t. (v)

V = Vo − g.tV = Vo2 − 2.g.h

V = g.(t − tmax)V = 2.g.y

V = Vo2 + 2g.yV = Vo + g.t

Altura en un instante t.

(h)

y = h

h = Vo2 − V2

2g

h = Vo.t −g.t2

2

h = hmax − y h = hmax − y

Distancia recorrida.

(y) y = h

y =

g.(t − tmax)2

2y = V2

2g

y = Vo.t +g.t2

2y = V2 − Vo2

2g

Tiempo t = 2.h

g

t = Vo − Vg

t = tc + t max (&)

tc =2.yg

tc = Vg

t = V − Vog

Tabla 9.

Nota: ( * ) = tc, representa el tiempo que lleva cayendo el objeto desde de que comenzó a caer. (**) y es igual a t − t max El tv, es el tiempo de vuelo (el tiempo que tarda en subir y caer ó el tiempo que está en el aire). El tmax, es el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima.

82

Ahora que conocemos las ecuaciones y la descripción gráfica de los movimientos verticales, analicemos algunas situaciones. Supongamos que una persona una moneda, por ejemplo.

Fig. 51

Cuando se deja caer un objeto, lo que cae, lo hace con MRUV. Todo objeto que se suelte va a caer con una aceleración de 9,8 m/s2. Puede ser una moneda, una pluma o un elefante. Si suponemos que no hay resistencia del aire, todos los objetos caen con la misma aceleración.

Este hecho puede parecer incorrecto, pero es así. En la realidad real, una pluma cae más despacio que una moneda por la resistencia que opone el aire. Pero si sacamos el aire, la pluma y la moneda van a ir cayendo todo el tiempo juntas.

Fig. 52

Esta aceleración con la que caen los objetos hacia la Tierra se llama, como ya se señaló, aceleración de la gravedad. Se la denomina con la letra “g” y siempre apunta hacia abajo.

En el caso de la moneda que cae, se podría “acostar“ al problema y lo que se tendría sería un objeto que acelera con aceleración 9,8 m / s 2 así :

0

0

2

0

2

x s

m 9,8a

:esto tendría abajo para inicial velocidad con lanzado hubiera lo siY

x sm 9,8a

v

→=→

→=→

83

Es decir que una caída libre es un MRUV. Más aun, la caída libre es simplemente un caso particular de un MRUV. Para resolver estos problemas se pueden aplicar los mismos razonamientos, las mismas ecuaciones, etc. La única diferencia es que antes todo ocurria en un eje horizontal. Ahora todo pasa en un eje vertical. Lo demás es todo igual.

En las tablas 8 y 9, se señalan las ecuaciones de la caida libre y del lanzamiento vertical, ya despejadas y adecuadas a las particularidades del movimiento vertical (particularidades que son solo de forma y nombres).

En el tiro o lanzamiento vertical ocurre lo mismo. Lanzamiento vertical significa lanzar algo para arriba.

Fig. 53

Si se “acuesta” una situación de lanzamiento vertical, lo que se va a obtener será:

Es decir, se tiene la situación de un objeto que sale con una determinada velocidad inicial y se va frenando debido a una aceleración negativa. Esto es un movimiento rectilíneo uniformemente variado.

Fig. 54

0

sm 9,8 a)( v

x

→ ← →

−=+ 2)(0

84

Tanto la caída libre como el tiro vertical son casos de movimiento rectilíneo uniformemente variado. Los problemas se piensan de la misma manera y se resuelven de la misma manera. Las ecuaciones son las mismas. Los gráficos son los mismos.

Caída libre y tiro vertical no deben ser considerados como un tema nuevo, son sólo la aplicación del tema anterior.

Cómo resolver problemas de caída libre y lanzamiento vertical

Se hace un esquema de lo que pasa. Sobre ese esquema, tomo un eje vertical Y.

Este eje se puede poner apuntando para arriba o para abajo (como más convenga) Puede ser algo así:

Fig. 55

Sobre este esquema marco los sentidos de v0 y de g. Si v0 y g apuntan en el mismo sentido del eje Y, serán (+) .Si alguna va al revés del eje Y será (-) .( como en el dibujo).

El eje horizontal X, se puede indicar o no. No se usa en estos problemas pero se puede indicar.

La aceleración del movimiento es constante y de valor “g”. Generalmente se la toma como 9,8 m/s2 ≅ 10 m/s2.

Si, por ejemplo en la fig. 55, v0 = 10 m/s, la aceleración de la gravedad 9,8 m/s 2 y la altura del edificio fuera de 20 m, las ecuaciones horarias quedarían:

( ) Complement Ec. yygvv

gcteaHorarias

tgvv Ecuaciones

tg tvyy

ff

f

2

←−⋅⋅=−

==

⋅+=←

⋅+⋅+=

02

02

0

21

00

2

85

ctesm 9,8 -a

Datos los

por tsm9,8-

sm10v

Reemplacé

tsm9,8- 2

1tsm 10m 20y

2

2f

22

==

←⋅

+=

⋅

+⋅+=

Usando las primeras 2 ecuaciones horarias se despeja lo que se requiera.

En este tipo de problemas suelen pedirte siempre las mismas cosas. Puede ser el tiempo que tarda en llegar a la altura máxima. Puede ser la velocidad inicial con la que fue lanzado. Puede ser cuánto tarda en caer. Siempre son cosas por el estilo.

Pueden tomarte un problema de encuentro también. En ese caso hay que plantear las ecuaciones horarias para cada uno de los cuerpos y después seguir los pasos de siempre para resolver problemas de encuentro

Ejemplo 9.

Una persona, está parada a 20 m de altura. Calcular qué tiempo tarda y con qué velocidad toca el suelo una piedra si:

a) Se deja caer.

b) Se lanza hacia abajo con V0 = 10 m/s.

c) Se lanza hacia arriba con V0 = 10 m/s.

Un esquema de lo que pasa es el siguiente:

Fig. 56

86

a) En este caso Vo vale cero porque la piedra se deja caer.

Fig. 57

Reemplazo por los valores y las ecuaciones del movimiento quedan así :

==

←⋅

+=

⋅

+=

ctesm9,8 - a

horarias Ecuaciones tsm9,8- 0 v

tsm9,8-m y

2

2f

222

120

El tiempo que la piedra tarda en caer se despeja de la 1ª ecuación. Cuando la piedra toca el suelo su posición es y = 0. Entonces en la primera ecuación se reemplaza y por cero. Nos queda:

tarda que Tiempo seg ,t sm,

m t m tsm, t

sm ,m 2

←=⇒

=⇒=⇒−=

0229420209489200

22

22

221

Reemplazando este tiempo en la segunda ecuación se tiene la velocidad con la que toca el piso:

sm v s

smv ff 8,1902,28,9 2 −=⇒⋅−=

El signo negativo de vf nos indica que la velocidad va en sentido contrario al eje Y.

b) La lanza hacia abajo con v0 = 10 m/s.

Tomamos el mismo sistema de referencia que se tomo antes. Eje Y positivo vertical hacia arriba. Ahora la velocidad inicial es (-) porque va al revés del eje Y.

87

Fig. 58

Igual que anteriormente, cuando la piedra toca el suelo, y = 0. Entonces:

( )

02010949,410200 22

22 =−⋅+⋅⇒−⋅−=⇒= 321

43421 cba

m tsm t

sm, t

smt

smm 0 y

Esto es una ecuación cuadrática. Reemplazando los valores de a, b y c en la fórmula de la ecuación cuadrática.

La solución t1 no se considera porque tiempos negativos no tienen sentido físico. Ahora reemplazando este tiempo de 1,24 segundos en la 2ª ecuación:

piso. el tocar al Velocidad smv s

sm

sm v ff ←−=⇒⋅−−= 18,2224,18,910 2

c) Para el caso cuando el se lanza para arriba con v0 = 10 m/s, el signo de vo cambia. Ahora v0 es positiva. Pero no el signo de g. La gravedad sigue apuntando para abajo como siempre. Entonces al ir al revés del eje Y su signo es negativo. Las ecuaciones horarias quedan:

( )

caida. de Tiempo seg tseg ; , t

sm,

sm,

sm

t

:cálculos los Haciendosm

m sm

sm

sm

t

acab bt

,

←=−=⇒

±−=⇒

⋅

−⋅⋅−

±−

=⇒

⋅⋅⋅−±−

=

24,1283

89

182210

9,42

209,441010

24

21

2

21

2

2

2

2,1

2

2,1

88

−=

−+=

tsm

smv

tsmt

smmy

f .8,910

.9.4.1020

2

22

Haciendo lo mismo que en los 2 casos anteriores me queda:

stsoluciónestadescartasest 28.3)(;24,1 22 =−=

smv f 18,22−=

Nótese que en los casos b) y c) el tiempo de caída no dio lo mismo. Eso es lógico. En un caso se esta lanzando la piedra para arriba y en el otro para abajo, pero en los casos b) y c) la velocidad de la piedra al tocar el piso se obtuvo el mismo resultado. Esto último, parecería contradictorio ya que el objeto que sube y baja recorre el doble de distancia que el objeto que solo baja en caída libre. Lo que ocurre es que luego de subir y detenerse al llegar a la altura máxima se puede decir que el cuerpo inicia u nuevo movimiento de caída libre.

Movimiento en dos dimensiones: movimiento parabólico; encuentro en dos dimensiones. Movimiento circular: tratamiento escalar y vectorial en coordenadas polares. Movimiento curvilíneo general en el plano; aceleración tangencial y normal.

Movimiento dos dimensiones o en el plano.

El movimiento en el plano, es un movimiento que se produce en dos dimensiones, una horizontal o eje "x", y otra vertical o eje "y". Dependiendo de las condiciones del movimiento, y desde un punto de vista básico, algunos de ellos son: este puede ser:

Lanzamiento de proyectiles (tiro oblicuo).

Movimiento circular.

El péndulo.

Lanzamiento de proyectiles (Tiro oblícuo).

Cuando no existen fuerzas externas (a excepción de la fuerza gravitatoria) que modifiquen las condiciones del movimiento, un objeto que sea lanzado formando un ángulo de inclinación con la horizontal es decir, que existe una componente horizontal del movimiento, y una componente vertical en el movimiento, va a desarrollar un movimiento en forma de parábola. Con respecto a la componente horizontal del movimiento, observamos que se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (ya que no hay fuerzas que modifiquen la velocidad, es decir, no hay aceleración). En la componente vertical del movimiento, participa

89

una fuerza, la fuerza de atracción terrestre, que modifica la velocidad, es decir que la aceleración del movimiento en "y" es la aceleración de la gravedad. Por ser distintos, debemos separar estos dos movimientos. El lanzamiento de proyectiles, desde el punto de vista gráfico se describe en la figura 59.

0 x max

y

x

h max

x max

wMovimiento visto enperspectiva.

w x max

h max

yx

Vo

Vo y

Movimiento visto lateralmente.

Vox

V

v

h max = altura máxima.x max= alcance horizontal máximo.w = ángulo de tiro.Vo = Velocidad inicial.

= Plano del movimientoV = Velocidad en un instante t.

Movimiento observado desde arriba(M.R.U)

Movimiento observado de frente(lanzamiento vertical)

Fig. 59

Descripción

Fig. 60

En la figura 60, tenemos un proyectil que se ha disparado con una velocidad inicial v0, haciendo un ángulo q con la horizontal, las componentes de la velocidad inicial son:

Las ecuaciones del movimiento se obtienen fácilmente teniendo en cuenta que el movimiento resultante es la composición de dos movimientos:

• Movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje X

• Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y

Eliminado el tiempo en las ecuaciones que nos dan las posiciones x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria, que tiene la forma y = ax2 + bx + c, lo que representa una parábola.

Obtenemos la altura máxima, cuando la componente vertical de la velocidad vy es cero; el alcance horizontal x cuando el cuerpo retorna al suelo y = 0.

90

Ecuaciones del lanzamiento de proyectiles.

Variable Cuando está subiendo Cuando está cayendo.

Alcance Máximo (x max).

x max = Vox. tvx max = 2.Vox. t maxx max = 2.Vo. cosw. t max

x max = Vo2.sen2wg

Altura Máxima (h max). h max =Voy2

2g

h max = Vo2.sen2w2g

Velocidad inicial (Vo)

Vo = Vf

Vo =g. t maxsenw

Vo =xmax.gsen2w

Vo =2.g.hmax

sen2w Velocidad en "x" en un

instante t. Vox = Vx = x max

tvVox = V x = Vo. cos w

Altura en un instante t. h = y

y = Vo.senw . t −g.t2

2

h = hmax − y

y =g.( t − tmax)2

2

Velocidad en y en un instante t

Vy = Vo.senw − g. tVy = Vo2.sen2 w − 2.g.y

Vy = − g.( t − t max)Vy = 2g.y

Posición en x, y en un instante t.

x = Vo. cosw .t

y = Vo.senw. t −g.t2

2y = Vo2 − V2

2g

x = Vo. cos w. t

Velocidad en un instante. V = Vx2 + Vy2 Tabla 10.

Para resolver un problema de tiro parabólico es necesario seguir los siguientes pasos

1.- Establecer el sistema de referencia, es decir, el origen y los ejes horizontal X, y vertical Y

2.- Determinar el valor y el signo de la aceleración vertical.

3.- Las componentes de la velocidad inicial (incluido el signo)

4.- La posición inicial.

5.- Escribir las ecuaciones del movimiento.

6.- A partir de los datos, hallar las incógnitas.

91

Ejercicios Resueltos.

Ejemplo 10. Una moto que viaja a 90 Km por hora ( 25 m/s ) sube una rampa inclinada 30°. Suponiendo que la rampa es muy corta y no influye en disminuir su velocidad, Calcular:

a) A qué altura máxima llega.

b) Cuánto tiempo está en el aire.

c) A qué distancia de la rampa cae.

Fig. 61

Se elije un sistema de referencia. Se marcan en el dibujo todas las velocidades, la aceleración de la gravedad, etc.

Fig. 62

Se descompone la velocidad V0 en sus componentes horizontal y vertical. Nos queda:

sm 30 sen .

sm sen .VV

sm 30 .

sm VV

y

x

5,1225

65,21cos25cos.

00

00

=°= =

=°==

α

α

En el eje X la sombra de la moto tiene un MRU. La velocidad de este movimiento es constante y vale v0x = 21,65 m/s.

En el eje Y la sombra de la moto se mueve haciendo un tiro vertical de v0y = 12,5 m/s.

92

Las ecuaciones horarias quedan así:

Para el eje vertical las cosas quedan de esta manera:

Eje y MRUVyejeelen

ctesma

tsm

smV

tsmt

smY

y

fy ""

8,9

8,95,12

8,95,120

2

2

222

1

=−=

⋅

−+=

⋅

−+⋅+=

a) Hallar la altura máxima.

Cuando el objeto llega a la altura máxima, la sombra sobre el eje Y ya no sigue subiendo más. Es decir, que exactamente en ese momento la velocidad en y tiene que ser cero.

Fig.63

Entonces reemplazando la velocidad final en y por cero :

0a MRU).(

horizontal eje smvv x Eje

el para Ecuaciones

tsmx

x

xx

=

←==

⋅+=

65,21

65,210

0

tsm

smv

tsmt

smy

tsmx

fy ⋅−=

⋅−⋅=

⋅=

2

22

8,95,12

9,45,12

65,21

93

máxima. altura la a llegar en moto la tarda que Tiempo segt

smsmt

smt

sm

tsm

sm v

max

y

←=

=⇒=⋅⇒

⋅−=⇒=

275,18,9

5,125,128,9

8,95,1200

22

2

b) ¿ Cuánto tiempo está en el aire ?

Si para subir tardó 1,275 seg, para bajar también va a tardar 1,275 seg. Es decir, el tiempo total que está en el aire va a ser 2 veces el tiempo de subida (ver tabla 10).

Pero atención, esto vale en este caso porque la moto sale del piso y llega al piso.

aire.elenestámoto

la que total Tiempo segt segt tt

tot

tottot

←=⋅=⇒⋅=

55,2275,122 max

Esto se puede comprobar de otra manera. Cuando la moto toca el suelo la posición de la sombra sobre el eje Y es y = 0. Entonces, reemplazando y por cero en :

y = 12,5 m/s . t – 4,9 m/s2.t 2 , queda :

seg smsmt t

sm t .

sm t .

sm t .

sm 55,2

9,45,125,129,409,45,12

22

22

2 ==⇒⋅=⇒=−

c) Calcular a qué distancia de la rampa cae la moto.

El tiempo total que el la moto tarda en caer es 2,55 s. Para calcular en qué lugar cae, se debe conocer qué distancia recorrió la sombra sobre el eje x en ese tiempo.

Veamos. La ecuación de la posición de la sombra en x es X = 21,65 m/s .t

Reemplazamos por t = 2,55 segundos y nos queda:

mx segsmx t

smx caídacaída 2,5555,265,2165,21 =⇒⋅=⇒⋅=

Ejemplo 11. El cañón de la figura 64, lanza balas que salen horizontalmente con velocidad inicial 10 m/s. En el momento en que se dispara la bala, sale el carro que está a 8 m del cañón. ¿A qué velocidad tendría que moverse el carro para que la bala le pegue?

94

Fig. 64

En realidad, éste no es un problema de tiro oblicuo sino de tiro horizontal. Los problemas de tiro horizontal suelen ser un poco más fáciles porque inicialmente no hay velocidad en y.

Fig. 65

Es exactamente igual a cualquier otro problema de tiro oblicuo. Tiene la particularidad de parecer un problema de encuentro. Pero no es un problema de encuentro.

Nos empezamos dando cuenta que la velocidad inicial es horizontal. Sólo tiene componente en equis.

Entonces observando el dibujo:

La sombra de la bala en el eje X se mueve con un MRU. La sombra de la bala en el eje Y se mueve en una caída libre.

Las ecuaciones horarias para cada eje son:

En el eje x

0a

sm

vv

tsm

x

x

xx

=

==

⋅+=

10

100

0 , En el eje y

=−=

−+=

⋅

−+⋅+=

ctesma

tsmv

tsmtmy

y

fy

2

2

22

8,9

).8,9(0

8,901 21

010

0

0

===

y

xx

vsmvv

95

De todas estas ecuaciones que son las 6 de tiro oblicuo, siempre se usan 3, una en equis y 2 en Y. Entonces, usaremos las siguientes:

−=

−=

=

t . sm v

t . smm y

t sm x

fy 2

22

8,9

9,41

.10

Lo primero que se requiere saber es el tiempo que tarda la bala en tocar el suelo. Eso se saca de la ecuación en y. Cuando la bala toca el piso, y es cero, entonces:

seg0,45t 1mt . sm4,9 t

sm4,91m0 ) 0 y ( caída

22

22 =⇒=⇒−=⇒= .

El lugar donde toca el suelo se obtiene de la ecuación en x. Sabemos que llega al piso en 0,45 segundos. Entonces se reemplaza t = 0,45 segundos en la ecuación de equis:

m x seg sm x caída 5,445,010 =⇒⋅=

Un resumen de los cálculos hasta este punto:

Fig. 66

Entonces, en el tiempo que tarda la bala en caer ( 0,45 seg ), el carro tendrá que recorrer 3,5 m hacia la izquierda. Entonces su velocidad va a ser:

smv s

m txV AA 77,7

45,05,3

=⇒=∆∆

=

96

Encuentro en dos dimensiones

Fig. 67

Supongamos una botella que se deja caer desde el reposo en el instante en que una piedra es lanzada desde el origen (ver Fig. 67).

Podemos determinar los valores del ángulo y de la velocidad de disparo para que la piedra rompa la botella. (Tómese g=9.8 m/s2)

Como caso particular, se sugiere pensar el siguiente ejemplo sin resolverlo numéricamente. Si la altura de la botella es cero. Es decir, la piedra y la botella están a la misma altura en el instante inicial. ¿Cuál será el ángulo de tiro?

El movimiento curvilíneo de la piedra se realiza bajo la aceleración constante de la gravedad, es decir, es la composición de dos movimientos

Uniforme a lo largo del eje horizontal

tvxvv

a

x

x

.cos.cos.

0

0

0

ϑϑ

===

Uniformemente acelerado a lo largo del eje vertical.

221

0

0

..

..

gttsenvx

tgsenvvga

x

x

−=

−=−=

ϑ

ϑ

La botella se mueve verticalmente bajo la aceleración constante de la gravedad

221

0

.gtyy

tgvgax

−=

−=−=

97

Cuando se produce el choque, la posición de la piedra y de la botella coinciden.

En este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas despejamos V0 y q .

Para romper la botella debemos de apuntarla directamente y en el instante en el que se deja caer, se debe lanzar la piedra.

Movimiento Circular.

En esta sección vamos a definir las magnitudes características de un movimiento circular, análogas a las ya definidas para el movimiento rectilíneo.

Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Una vez situado el origen O de ángulos describimos el movimiento circular mediante las siguientes magnitudes.

Fig. 68

Posición angular, θ

En el instante t el móvil se encuentra en el punto P. Su posición angular viene dada por el ángulo q, que hace el punto P, el centro de la circunferencia C y el origen de ángulos O.

En el instante t' el móvil se encontrará en la posición P' dada por el ángulo θ'. El móvil se habrá desplazado ∆θ = θ ' - θ en el intervalo de tiempo ∆t = t' - t comprendido entre t y t'.

Velocidad angular, w

Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.

t∆∆

=θω

98

Como ya se explicó en el movimiento rectilíneo, la velocidad angular en un instante se obtiene calculando la velocidad angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

dtd

tt

θθω =∆∆

=→∆ 0

lim

Si en el instante t la velocidad angular del móvil es w y en el instante t' la velocidad angular del móvil es ω'. La velocidad angular del móvil ha cambiado ∆ω =ω' −ω en el intervalo de tiempo ∆t = t' - t comprendido entre t y t'.

Aceleración angular, α

Se denomina velocidad angular media al cociente entre le desplazamiento y el tiempo.

t∆∆

=ωα

La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un intervalo de tiempo que tiende a cero.

dtd

tt

ωωα =∆∆

=→∆ 0

lim

Resumen de ecuaciones del movimiento circular.

V t

Vt

c a

c a

w

c a

a t aMovimiento circular uniforme.

Vista lateral

Vista en perspectiva.

Movimiento circular convelocidad variable.

Vista lateral

w

Vista en perspectiva.

c a = Aceleración centrípeta. w = Velocidad angular.

a t = Aceleración Tangencial

= Aceleración angular.

Fig. 69

99

Variable Con velocidad constante

(M.C.U) Con velocidad variable

Aceleración Aceleración centrípeta

(ac) Aceleración tangencial

(aT) Aceleración angular

( )

ac = V t2

Rac = 4 2.R

T2

ac = w2.R

a = (ac)2 − (aT)2

aT = R.= w

t

Velocidad.

Velocidad Tangencial (Vt)

Velocidad angular (w)

V t = 2. . RT

V t = R.wV t = 2. .R.n

tw = 2.

T w = . t

Período (T) y Frecuencia

( f ). n = número de vueltas.

t = tiempo.

T = 1f = t

nf = n

t = 1T

No tiene frecuencia ni periodo definido.

Tabla 11.

Cálculo del desplazamiento angular a partir de la velocidad angular.

Si conocemos un registro de la velocidad angular del móvil podemos calcular su desplazamiento q -q0 entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.

El producto w dt representa el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t0 y t.

En la figura 70, se muestra una gráfica de la velocidad angular en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento angular total del móvil entre los instantes t0 y t, el arco en color azul marcado en la circunferencia.

Fig 70

100

Hallamos la posición angular θ del móvil en el instante t, sumando la posición inicial θ0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva ω−t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Cálculo del cambio de velocidad angular dada la aceleración angular.

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad ω − ω0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular en función del tiempo.

∫=−t

t

dt0

.0 αωω

Fig. 71

En la figura 71, el cambio de velocidad ω −ω0 es el área bajo la curva a - t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.

Conociendo el cambio de velocidad angular ω −ω0, y el valor inicial ω0 en el instante inicial t0, podemos calcular la velocidad angular w en el instante t.

Movimiento circular uniforme

Fig. 72

Un movimiento circular uniforme es aquél cuya velocidad angular ω es constante, por tanto, la aceleración angular es cero. La posición angular q del móvil en el instante tlo podemos calcular integrando

θ − θ0 = ω. ( t – t0 )

o gráficamente, en la representación de ω en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme.

101

Movimiento circular uniformemente acelerado

Fig. 73

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración a es constante.

Dada la aceleración angular podemos obtener el cambio de velocidad angular ω −ω0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.

).( 00 tta −=− ωω

Fig. 74

Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ − θ0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando

Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.

102


Ejemplo 12. Un automóvil, cuyo velocímetro indica en todo instante 72 km/h, recorre el perímetro de una pista circular en un minuto. Determinar el radio de la misma. Si el automóvil tiene una aceleración en algún instante, determinar su módulo, dirección y sentido.

Visto desde arriba se ve así:

Fig. 75

Si la pista es circular, la velocidad que tiene el vehículo es la velocidad tangencial. Si da una vuelta a la pista en un minuto, significa que su periodo es T es de un minuto.

1104,0

6022 −=== s

sTππω

Por otro lado la velocidad tangencial es 20 m/s (=72 km/h).reemplazando:

1104,0/20. −==⇒=ssmv

RRv TT ω

ω

R = 191 m

- ¿Si el automóvil tiene aceleración? Rta: Sí, tiene aceleración centrípeta de modulo:

acp = w2 R = (0,104 Vs)2. 191 m

acp = 2,09 m/s2

Ejemplo 13. Un automóvil recorre la circunferencia de 50 cm de radio con una frecuencia F de 10hz. Determinar:

a) el periodo. b) la velocidad angular y tangencial. c) su aceleración.

103

a) Una frecuencia de 10 hz es una frecuencia de 10 1/s. El período T es 1/frecuencia:

ssf

T 1,0/110

11===

b) La velocidad angular y tangencial.

ω = 2π.f = 2.π 10 1/s = 62,8 1/s

vt = ω . R ⇒ vt = 62,8 1/s . 0.5 m vt = 31,4 m/s

c) Su aceleración, va a ser la aceleración centrípeta, que siempre esta apuntando hacia el centro de la circunferencia. El módulo de esta aceleración se puede calcular por cualquiera de las siguientes 2 formulas:

acp = ω2 R ó acp= vr2/ r

Usando la 1era: acp= (62,8 1/s )2 x 0,5m ⇒ acp =1973 m/s2

Ejemplo 14. Cuál es la aceleración que experimenta un niño que viaja en el borde de una Tiovivo de 2m de radio y que da vuelta cada 8 segundos.

acp= ω 2. R. , ss

/1785,082

==πω

Entonces:

acp= (0,785 1/s)2.2m ⇒ acp = 1,23 m /s2

Ejemplo 15. Calcular la velocidad angular y la frecuencia con que debe girar una rueda, para que los puntos situados a 50cm de su eje estén sometidos a una aceleración que sea 500 veces la de la gravedad.

Queremos que la aceleración centrípeta sea igual a 500 g. Para que se tenga una idea, 500 g es el valor de una centrifugadora de laboratorio.

104

Fig. 76

acp= 500.g = 500 x 10 m/s2

acp= 5000 m/s2

La velocidad angular para la cual se cumpla esto va a ser:

sm

smwR

awRwa cp

cp /11005,0

/5000.2 ==⇒=⇒=

la frecuencia será: W = 2π . f = W/2π = 100 1/s/2π f = 15,9 1/s

Movimiento curvilíneo en el plano.

Supongamos que el movimiento curvilíneo tiene lugar en el plano XY, situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil.

Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:

Vector posición r en un instante t.

Fig. 77

Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'.

Diremos que el móvil se ha desplazado ∆r = r’ - r en el intervalo de tiempo ∆t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.

105

Vector velocidad

Fig. 78

El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ∆ r entre el tiempo que ha empleado en desplazarse ∆ t.

tr

ttrrv

∆∆

=−−

=''

El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P' de la figura.

Fig. 79

El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

dtdr

trv

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P.

En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

Vector aceleración

Fig. 80

En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.

En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'.

El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia ∆ v = v’ - v.

106

Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo ∆ t= t ' - t, en el que tiene lugar dicho cambio.

tv

ttvva

∆∆

=−−

=''

Y la aceleración a en un instante

dtdv

tva

t=

∆∆

=→∆ 0

lim

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son

La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z.

Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.

Componentes tangencial y normal de la aceleración

Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.

Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un problema de geometría, tal como se ve en la figura.

107

Fig. 81

Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.

Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.

Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.

Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.

Se determina el ángulo q entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosθ y an=a senθ

Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v.

La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la

aceleración tangencial at

La aceleración tangencial se obtiene también derivando el módulo de la velocidad con respecto del tiempo

Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad ambas cosas a la vez.

108

Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.

Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal. Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal.

Cinemática relativa: sistemas en traslación pura y en rotación pura. Dinámica de la partícula.

Traslación y Rotación de sistemas de referencia.

Existen muchos casos de estudio en cinemática, donde la posición de una partícula debe indicarse de acuerdo a u sistema de referencia que está “trasladado” o “rotado” o ambos incluso, del sistema de referencia original.

Rotación: Por rotación del sistema de coordenadas, entendemos una desviación del ángulo de referencia original, que por lo general es la horizontal, tal y como se muestra en la figura.

w

w

y

y'

x

X'

Y' Y

X

x'

Conversión:x = x'.cos w - y'.sin wy = x'.sin w - y'.cos w

Fig. 83

Para convertir y representar los puntos de este sistema en el nuevo sistema luego de la rotación se siguen las ecuaciones señaladas, donde “x” y “y” representan las nuevas coordenadas en el sistema original, w representa el ángulo de rotación y “ x’ “ y’ “ las coordenadas en el sistema de referencia rotado.

Traslación: Por traslación del sistema de coordenadas se entiende una desviación horizontal y/o vertical del eje de coordenadas original, tal y como lo señala la figura

109

0

0' (h,k)

h

k

y y

x` X'

Y'

Y

Xx

P(x, y)P(x', y')

x = x' + hy = y' + k

Conversión:

Fig. 84

Para convertir y representar los puntos de este sistema en el nuevo sistema luego de la rotación se siguen las ecuaciones señaladas, donde “x” y “y” representan las coordenadas en el sistema original, “h” representa la traslación horizontal (en x), k la traslación vertical (en y) y “ x’ “ y’ “ las coordenadas del punto en el sistema trasladado.

.

Rotación y translación simultánea: Cuando el nuevo eje de coordenadas tenga su origen en un punto (h, k), y el eje este rotado un ángulo "w" con respecto al eje original, lo más conveniente es primero aplicar la translación (con respecto a un eje imaginario paralelo al eje original) y luego la rotación con respecto a este último.

Bibliografía Consultada


Gómez, G.( 2009). Manual de las Ciencias Básicas y del Cálculo analítico. UNEFA.Carabobo Hewitt, P. (1999). Física Conceptual. Pearson Serway. (1992) . Física. Editorial McGraw-Hill Tipler (1994). Física. Editorial Reverté

110

LECTURA Nº 5: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA.


Gómez Gustavo (2009). Álgebra Vectorial. Artículo no publicado. UNEFA.Valencia.

Dinámica de la partícula

La dinámica, es la ciencia que estudia las causas que originan el movimiento. En este concepto, están involucradas algunas variables importantes algunas de las cuales son:

Interacciones: Son las acciones mutuas entre dos cuerpos y pueden ser por contacto o a distancia.

Fuerzas de interacción: Entre dos cuerpos existen constantemente influencias recíprocas en forma de atracción, repulsión, empuje, tracción, etc. Estos efectos se llaman "fuerzas de interacción".

Sistema Físico: Es el conjunto de cuerpos que intervienen en una interacción.

Masa inercial: La masa inercial de un cuerpo es una propiedad en virtud de la cual, un cuerpo ofrece resistencia a ser acelerado. Puede entenderse como la relación constante entre la fuerza que se aplica al cuerpo y la aceleración que se comunica. Esta, se mide aplicando al cuerpo una fuerza y midiendo la aceleración que se comunica, el cociente que resulta de dividir la fuerza entre la aceleración, es el valor de la masa inercial.

Masa gravitatoria: Es la masa pesante, por efecto de la atracción de gravedad. La masa gravitatoria se mide con la ayuda de una balanza.

Nota: Se emplea indistintamente el término masa para hacer referencia a cualquiera de las dos masas porque eligiendo un sistema de medidas, las dos están representadas por el mismo número.

Concepto de fuerza. Leyes de Newton. Diagramas de cuerpo libre. Fuerzas más comunes: fuerza de gravitación universal, peso, fuerza de roce (estática y dinámica) y fuerza elástica. Vínculos; fuerzas asociadas a ellos: normal, tensión, roce estático.

Se entiende por Fuerza no equilibrada, toda acción que se ejerza sobre un cuerpo y que sea capaz de producir una aceleración en dicho cuerpo. Una Fuerza equilibrada, es aquella que existiendo no acelera al cuerpo donde se está aplicando, debido a la acción de otra fuerza de igual magnitud pero sentido contrario que anula la acción de acelerar.

111

Leyes de newton.

Ley de Inercia o Primera ley de Newton. "Un cuerpo cualquiera, tiende a mantener su estado de inercia, mientras no actúe sobre el alguna fuerza".

Se entiende por inercia como la propiedad que tienen los cuerpos para conservar su estado de reposo o M.R.U, siempre que una fuerza no lo obligue a modificar su estado.

Ley de la masa o segunda ley de Newton. La aceleración que experimenta un cuerpo por la acción de una fuerza constante no equilibrada, es proporcional a dicha fuerza y tiene la misma dirección y sentido.

Esta ley establece que cuando la velocidad de un cuerpo no es constante (cambia el módulo o la dirección) significa que sobre el cuerpo está actuando una fuerza no equilibrada que produce una aceleración.

F = m.a

Ley de acción y reacción. Siempre que actúa una fuerza, se desarrolla otra igual y de sentido contrario. A una de las fuerzas se le llama de acción y a la otra de reacción.

Fuerzas más comunes.

Como ya se señaló las fuerzas, que pueden ser equilibradas o no, son acciones capaces de producir una aceleración el cuerpo sobre el cual están aplicadas. Esta “capacidad de”, depende si la fuerza esta o no contrarestada por otra de igual magnitud y dirección, pero sentido opuesto. Existen fuerzas presentes comúnmente en nuestra vida cotidiana y esta presencia tiene que ver con el origen de estas. Las más comunes son:

Peso: Es la fuerza con que la tierra atrae a un cuerpo, y es igual al producto de la masa por la aceleración de la gravedad. Tiene dirección vertical y sentido hacia abajo.

P = m.g donde,

P = Peso (fuerzade atraccion terrestre)m = Masag = aceleracionde lagravedad (9, 8m/seg2)

P P

Fig. 85

112

La fuerza normal

La fuerza normal, es la reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el bloque depende del peso del bloque, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el bloque.

Fig. 86

Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal, las únicas fuerzas que actúan sobre él son el peso mg y la fuerza y la fuerza normal N. De las condiciones de equilibrio se obtiene que la fuerza normal N es igual al peso mg

N = m.g

Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, N = mg·cosθ

Fig. 87

Consideremos de nuevo el bloque sobre la superficie horizontal. Si además atamos una cuerda al bloque que forme un ángulo q con la horizontal, la fuerza normal deja de ser igual al peso. La condición de equilibrio en la dirección perpendicular al plano establece N = mg - F·senθ

Fig. 88

Fuerza de roce.

Es la fuerza que se origina en la superficie de contacto de dos cuerpos y se opone al movimiento de uno de ellos con relación a otro. La dirección de esta fuerza es la misma que la del movimiento y es sentido es contrario. En cuanto al módulo, viene dado por el producto entre la fuerza Normal y el coeficiente de roce de la superficie.

113

Fr = N. 0 ,donde N = Fuerza Normal0 = Coeficiente de Roce.

El rozamiento entre dos superficies en contacto ha sido aprovechado por nuestros antepasados más remotos para hacer fuego frotando maderas. En nuestra época, el rozamiento tiene una gran importancia económica, se estima que si se le prestase mayor atención se podría ahorrar muchísima energía y recursos económicos.

Históricamente, el estudio del rozamiento comienza con Leonardo da Vinci que dedujo las leyes que gobiernan el movimiento de un bloque rectangular que desliza sobre una superficie plana. Sin embargo, este estudio pasó desapercibido.

En el siglo XVII Guillaume Amontons, físico francés, redescubrió las leyes del rozamiento estudiando el deslizamiento seco de dos superficies planas. Las conclusiones de Amontons son esencialmente las que estudiamos en los libros de Física General:

La fuerza de rozamiento se opone al movimiento de un bloque que desliza sobre un plano.

La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que ejerce el plano sobre el bloque.

La fuerza de rozamiento no depende del área aparente de contacto.

El científico francés Coulomb añadió una propiedad más:

Una vez empezado el movimiento, la fuerza de rozamiento es independiente de la velocidad.

Origen del rozamiento por contacto

La mayoría de las superficies, aún las que se consideran pulidas son extremadamente rugosas a escala microscópica. Los picos de las dos superficies que se ponen en contacto determinan el área real de contacto que es una pequeña proporción del área aparente de contacto (el área de la base del bloque). El área real de contacto aumenta cuando aumenta la presión (la fuerza normal) ya que los picos se deforman.

Los metales tienden a soldarse en frío, debido a las fuerzas de atracción que ligan a las moléculas de una superficie con las moléculas de la otra. Estas soldaduras tienen que romperse para que el deslizamiento se presente. Además, existe siempre la incrustación de los picos con los valles. Este es el origen del rozamiento estático.

Cuando el bloque desliza sobre el plano, las soldaduras en frío se rompen y se rehacen constantemente. Pero la cantidad de soldaduras que haya en cualquier momento se reduce por debajo del valor estático, de modo que el coeficiente de rozamiento cinético es menor que el coeficiente de rozamiento estático.

114

Finalmente, la presencia de aceite o de grasa en las superficies en contacto evita las soldaduras al revestirlas de un material inerte.

La explicación de que la fuerza de rozamiento es independiente del área de la superficie aparente de contacto es la siguiente:

En la figura, la superficie más pequeña de un bloque está situada sobre un plano. En el dibujo situado arriba, vemos un esquema de lo que se vería al microscopio: grandes deformaciones de los picos de las dos superficies que están en contacto. Por cada unidad de superficie del bloque, el área de contacto real es relativamente grande (aunque esta es una pequeña fracción de la superficie aparente de contacto, es decir, el área de la base del bloque).

Fig. 89

Fig. 90

En la figura 90, la superficie más grande del bloque está situada sobre el plano. El dibujo muestra ahora que las deformaciones de los picos en contacto son ahora más pequeñas por

115

que la presión es más pequeña. Por tanto, un área relativamente más pequeña está en contacto real por unidad de superficie del bloque. Como el área aparente en contacto del bloque es mayor, se deduce que el área real total de contacto es esencialmente la misma en ambos casos.

Ahora bien, las investigaciones actuales que estudian el rozamiento a escala atómica demuestran que la explicación dada anteriormente es muy general y que la naturaleza de la fuerza de rozamiento es muy compleja

Fuerza de rozamiento cinético

En la figura, se muestra un bloque arrastrado por una fuerza F horizontal. Sobre el bloque actúan el peso mg, la fuerza normal N que es igual al peso, y la fuerza de rozamiento Fk entre el bloque y el plano sobre el cual desliza. Si el bloque desliza con velocidad constante la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de rozamiento Fk.

Fig. 91

Podemos investigar la dependencia de Fk con la fuerza normal N. Veremos que si duplicamos la masa m del bloque que desliza colocando encima de éste otro igual, la fuerza normal N se duplica, la fuerza F con la que tiramos del bloque se duplica y por tanto, Fk se duplica.

La fuerza de rozamiento dinámico Fk es proporcional a la fuerza normal N. Fk = µ k N

La constante de proporcionalidad µ k es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de rozamiento cinético.

El valor de µ k es casi independiente del valor de la velocidad para velocidades relativas pequeñas entre las superficies, y decrece lentamente cuando el valor de la velocidad aumenta.

Fuerza de rozamiento estático

También existe una fuerza de rozamiento entre dos objetos que no están en movimiento relativo.

116

Fig. 92

Como vemos en la figura la fuerza F aplicada sobre el bloque aumenta gradualmente, pero el bloque permanece en reposo. Como la aceleración es cero la fuerza aplicada es igual y opuesta a la fuerza de rozamiento estático Fe

.

F = Fe

La máxima fuerza de rozamiento corresponde al instante en el que el bloque está a punto de deslizar.

Fe máx = µ e .N

La constante de proporcionalidad µ e se denomina coeficiente de rozamiento estático.

Los coeficientes de rozamiento estático y dinámico dependen de las condiciones de preparación y de la naturaleza de las dos superficies y son casi independientes del área de la superficie de contacto.

Comportamiento de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal

Dibujemos una gráfica en la que en el eje horizontal representamos la fuerza F aplicada sobre el bloque y en el eje vertical la fuerza de rozamiento.

117

Fig. 93

Desde el origen hasta el punto A la fuerza F aplicada sobre el bloque no es suficientemente grande como para moverlo. Estamos en una situación de equilibrio estático

F = Fe< µ e N

En el punto A, la fuerza de rozamiento Fe alcanza su máximo valor µ e N

F = Fe máx = µ e N

Si la fuerza F aplicada se incrementa un poquito más, el bloque comienza a moverse. La fuerza de rozamiento disminuye rápidamente a un valor menor e igual a la fuerza de rozamiento cinético,

Fk = µ k N

Si la fuerza F no cambia, punto B, y permanece igual a Fe máx el bloque comienza moviéndose con una aceleración

a = (F - Fk)/m

Si incrementamos la fuerza F, punto C, la fuerza neta sobre el bloque F - Fk se incrementa y también se incrementa la aceleración.

En el punto D, la fuerza F aplicada es igual a Fk por lo que la fuerza neta sobre el bloque será cero. El bloque se mueve con velocidad constante.

118

En el punto E, se anula la fuerza aplicada F, la fuerza que actúa sobre el bloque es - Fk, la aceleración es negativa y la velocidad decrece hasta que el bloque se para.

Tablas de valores de los coeficientes

Coeficientes de rozamiento cinético para diferentes materiales

Superficies en contacto Coeficiente dinámico mk

Acero sobre acero 0.18

Acero sobre hielo (patines) 0.02-0.03

Acero sobre hierro 0.19

Hielo sobre hielo 0.028

Patines de madera sobre hielo y nieve 0.035

Goma (neumático) sobre terreno firme 0.4-0.6

Correa de cuero (seca) sobre metal 0.56

Bronce sobre bronce 0.2

Bronce sobre acero 0.18

Roble sobre roble en la dirección de la fibra 0.48

Tabla 12

Coeficientes de rozamiento estático y dinámico

Superficies en contacto Coeficiente estático me Coeficiente dinámico mk

Cobre sobre acero 0.53 0.36

Acero sobre acero 0.74 0.57

Aluminio sobre acero 0.61 0.47

Caucho sobre concreto 1.0 0.8

Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2

119

Madera encerada sobre nieve húmeda

0.14 0.1

Teflón sobre teflón 0.04 0.04

Articulaciones sinoviales en humanos

0.01 0.003

Tabla 13

Fuerza elástica

El muelle elástico es un sistema físico muy común en el que la fuerza varía con la posición. La medida de la constante elástica de un muelle, se puede hallar por dos procedimientos, el estático y el dinámico.

Procedimiento estático

Fig. 94

Si el muelle se estira o se comprime una pequeña distancia x respecto de su estado de equilibrio (no deformado) la fuerza que hay que ejercer es proporcional a x.

F = k·x

La constante de proporcionalidad k de denomina constante elástica del muelle.

Esta expresión de la fuerza se conoce como ley de Hooke.

Procedimiento dinámico

Un muelle ejerce sobre un cuerpo de masa m una fuerza F que es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste tal como podemos apreciar en las figuras.

120

Fig.95

El desplazamiento x se mide desde la posición O de equilibrio en la que el muelle se encuentra sin deformar. Cuando el muelle está comprimido (x<0) ejerce una fuerza sobre el cuerpo dirigida hacia la derecha. Cuando el muelle está estirado (x>0) el muelle ejerce una fuerza hacia la izquierda.

Si estiramos o comprimimos el muelle de constante k solidario con una partícula de masa m y lo soltamos veremos que el muelle empieza a oscilar. A partir de la medida del periodo de dichas oscilaciones podemos determinar la constante elástica del muelle.

Aplicamos la segunda ley de Newton al sistema formado por la partícula de masa m y el muelle de constante k.

m.a = -k.x

Expresado en forma de ecuación diferencial

02

2

=+ xmk

dtxd

Esta es la ecuación de un MAS de frecuencia angular

ω 2 = k /m y periodo kmT π2=

La posición x de la partícula viene dada en función del tiempo t por al ecuación

x=A·sen(ω ·t+ϕ )

Donde A y ϕ se determinan a partir de las condiciones iniciales: posición inicial y velocidad inicial de la partícula.

La velocidad v de la partícula se obtiene derivando x respecto del tiempo

v=A·ω ·cos(ω ·t+ϕ )

La aceleración a se obtiene derivando la velocidad v respecto del tiempo

a=-A·ω2·sen(ω ·t+ϕ )=-ω 2·x

121

Llegamos de este modo a la ecuación del movimiento de la partícula.

Energía almacenada en un resorte.

Suponiendo que la partícula de masa m se desplaza desde la posición xA a la posición xB, el trabajo realizado por la fuerza F = -kx es

La fuerza F es conservativa ya que el trabajo de F solamente depende de la posición inicial xA y de la posición final xB.

La expresión de la energía potencial es

El nivel cero de energía potencial se ha establecido arbitrariamente en x=0. Cuando el muelle no está deformado decimos que no almacena energía potencial.

Dado que la fuerza es conservativa, la energía mecánica se mantiene constante.

Sustituyendo x y v por sus expresiones en función del tiempo t llegamos a la conclusión de que la energía mecánica es constante e independiente del tiempo.

Análisis de interacciones y diagramas de cuerpo libre.

A lo largo de las explicaciones anteriores, hemos presentado numerosos “diagramas de cuerpo libre”. Este, consiste en representar gráficamente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y ubicarlas de manera adecuada sobre un sistema de referencia conveniente. Por ser la fuerza una magnitud vectorial, la acción de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo debe colocarse en forma de vector, señalando su dirección y sentido de manera gráfica en el sistema de referencia. Referirse a la lectura Nro. 2 para operaciones con vectores y otros detalles sobre el álgebra vectorial.

El diagrama de cuerpo libre, es una importante herramienta para la resolución de problemas de interacciones físicas entre fuerzas. Los pasos generales para la resolución de la mayoría de los problemas relacionados con fuerzas, es el siguiente:

122

Se dibujan las fuerzas que actúan sobre cada masa que interviene en el análisis.

Se ubican los ejes coordenados de manera que alguno de los ejes sea paralelo al movimiento de los cuerpos.

Si alguna fuerza queda fuera de los ejes, esta se descompone en los ejes coordenados por trigonometría.

Se realiza la sumatoria de las fuerzas en cada eje. (ver descomposición de vectores lectura nro 2)

Si es necesario, se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la sumatoria de las fuerza de cada cuerpo para conocer alguna variable desconocida.

Ejemplo 16

Dado el siguiente sistema de masas, hallar la Tensión de la cuerda y la aceleración del sistema.

0 = 0,15

M1M2

M1 = 40 KgM2 = 30 Kg

N

FrP1

P2

TT

TN

P1y

P1x

P1

Fr

x

y y

x

T

P2

Diagrama para M1 Diagrama para M2

30 º

30º

Fig. 96

Fx = m1.a e T −Fr − P1x = m1.aFy = 0 e N − P1y = 0 eN = P1y

P1 = m1.g = 40Kg. 9, 8 m/ seg = 392 NewP1y = P1. cos 30o = 339,48NewP1x = P1.sen30o = 196 NewFr = N. 0 = 339,48 New . 0, 15 = 50,92 New

Luego, T− 50,92 − 196 = 40.a e T− 40.a = 246,92 ( 1 )

Fx = 0 (no hay fuerzas en x)Fy = m2 . a e T− P2 = m.a

P2 = m2.g = 20 Kg. 9, 8 m/ seg = 196 NewLuego, T − 196 = 20.a e T −20.a = 196 ( 2 )

123

Las ecuaciones (1) y (2), forman un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde las incógnitas son "T" y "a". Se resuelve el sistema para encontrar el valor de "a" y "T"

− T − 40. a = 246, 92T − 20. a = 196 e

− T + 40.a = − 246,92T − 20.a = 196 e 20.a = − 50,92 e a =

−50,9220 = -2,546 m/seg2

Entonces, T = 196 + 20.a e T = 196 + 20.(−2,546) = 145,08 New

Ejemplo 17. Calcular la aceleración del cuerpo de la Fig. 97. Masa del cuerpo 10 Kg.

Con este ejemplo podemos observar la convención de signos.

Fig. 98

El cuerpo acelera para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que la suma de las otras dos ( 15 N ). Por la 2da ley:

). así (va cuerpo

del nAceleració sma

agKs

mKg aKgNamNNN amF

→

←=⇒

⋅=⋅

⇒⋅=⇒⋅=−−⇒⋅=∑

2

2

5,0

10510510520

Una vez más, observemos que al elegir sentido positivo en sentido de la aceleración, las fuerzas que van al revés son negativas.

Es muy importante hacer un diagrama de cuerpo libre para resolver un problema. La base para resolver los problemas de dinámica es el diagrama de cuerpo libre.

Ejemplo 18:

Construir los diagramas de cuerpo libre en los siguientes casos:

1) Cuerpo apoyado sobre el piso:

Fig. 99

124

El ladrillo está en equilibrio. No se cae para abajo ni se levanta para arriba. La fuerza peso que tira el ladrillo para abajo, tiene que estar compensada ( equili-brada ) por la fuerza hacia arriba que ejerce el piso. Es decir:

Fig. 100

2) Cuerpo que cuelga de una soga.

Fig. 101

En este caso el análisis es parecido al anterior. El cuerpo está en equilibrio porque no se cae para abajo ni sube para arriba. Esto quiere decir que la fuerza que hace la cuerda al tirar para arriba tiene que ser igual al peso del cuerpo tirando para abajo. Es decir:

Fig. 102

3) Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleración a.

Fig. 103

( ) 0a0PT

==⇒←=−

PT Newton de Ec.

Fuerza que el piso ejerce sobre el cuerpo.

Fuerza que ejerce La Tierra sobre el cuerpo.

125

En esta situación el cuerpo no está en equilibrio. La grúa lo está acelerando hacia arriba. Lo levanta con aceleración a.

El diagrama de cuerpo libre y la ecuación correspondiente quedan así:

Fig. 104

amPTc ⋅=−

Nótese que se escribió “Tensión de la cuerda - Peso = m ⋅ a “ y no: “P − Tc = m ⋅ a “.

¿Por qué?

Según la convención que se tomó, en la ecuación de Newton, a las fuerzas que van en sentido de la aceleración se le restan las fuerzas que van en sentido contrario. (Y no al revés).

La tensión de la cuerda tiene que ser mayor que el peso. Esto es porque el cuerpo va hacia arriba. Si fuera al revés (P > Tc) el cuerpo bajaría en vez de subir.

4) Dos cuerpos unidos por una soga que son arrastrados por una fuerza F.

Fig. 105

En este ejemplo hay 2 cuerpos, de manera que habrá 2 diagramas de cuerpo libre y 2 ecuaciones de Newton. Cada cuerpo tendrá su ecuación.

Hago los diagramas y planteo las ecuaciones.

1 2 Fig. 106

amTc ⋅= 1 amTF c .=−

126

En la dirección vertical no hay movimiento de manera que los pesos se equilibran con las normales, es decir:

2211 NPy NP ==

En el diagrama del cuerpo , la fuerza F debe ser mayor que la tensión de la cuerda para que el bloque se mueva a la derecha ( ). De lo contrario, ( F < Tc ) el cuerpo 2 iría para el otro lado.

La fuerza F no se transmite al cuerpo . F está aplicada sobre el cuerpo . Lo que tira del cuerpo es la tensión de la cuerda. (únicamente).

La tensión de la cuerda es la misma para los dos cuerpos. No hay T1 y T2.

Hay sólo una tensión de la cuerda y se la designó como Tc .

Los dos cuerpos se mueven con la misma aceleración porque están unidos por la cuerda.

En amTF c .=− y NO: amFTc .=− . Esto es porque la fuerza que va en sentido de la aceleración es F.

5) Dos cuerpos que pasan por una polea. A este aparato se lo suele llamar Máquina de Atwood.

P2 > P1 Fig. 107

En este caso todo el sistema acelera como está marcado porque 2 es más pesado que 1. Los diagramas de cuerpo libre son:

amTP ⋅=− 22 amPT ⋅=− 11

Fig. 108

127

6) Un cuerpo que está cayendo por acción de su propio peso.

Fig. 109

Este ladrillo que cae no está en equilibrio. Se está moviendo hacia abajo con la aceleración de la gravedad. La fuerza peso es la que lo está haciendo caer.

gmP ⋅=

7) Sistema de dos cuerpos que caen. Uno está en un plano horizontal y el otro cuelga de la soga.

Fig. 110

Todo el sistema se mueve con una aceleración a. Esta aceleración es siempre menor que la de la gravedad.

El peso 2 quiere caer y arrastra al cuerpo 1 hacia la derecha. El sistema no está en equilibrio.

Para cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema hago el famoso diagrama de cuerpo libre. Es este caso serían 2, uno para cada cuerpo.

Fig. 111

a mT P a mT . 221. =−=

128

La tensión de la cuerda (T) es la misma para el cuerpo 1 y para el cuerpo 2. Esto siempre es así en este tipo de problemas con sogas. No hay 2 tensiones. Hay una sola.

El sistema, así como está, siempre va a ir hacia la derecha. Sería imposible que fuera para la izquierda. ( El peso 2 siempre va para abajo ).

La fuerza P2 es mayor que la tensión de la cuerda. Por ese motivo el cuerpo 2 baja. Si fuera al revés, el cuerpo 2 subiría.

La fuerza N1 es igual a P1. La normal es igual al peso si el plano es horizontal.

Ejemplo 19.

Un cuerpo de masa 5 kg se mueve con velocidad 10 m/s por una zona sin rozamiento como indica la figura 112. Luego entra en una zona con rozamiento. Calcular:

a) La aceleración que tiene mientras se va frenando en la zona con rozamiento.

b) La fuerza de rozamiento estático una vez que se detuvo.

c) La fuerza mínima que hay que ejercer para volver a ponerlo en movimiento.

Fig. 112

- Cuando entra en la región con rozamiento, el diagrama de cuerpo libre va a ser éste:

Fig. 113

La fuerza de rozamiento dinámico vale µd .N.

NsmKgmgF

N

dd ROZ 7,148,953,0 2 =⋅⋅=⋅= µ

Como F = m.a, la aceleración de frenado va a ser a = F / m.

22

94,25

7,14 sm a Kg

smKgm

Fa d ROZ =⇒==

129

b) Ahora calculemos la fuerza de rozamiento estático cuando el cuerpo está en reposo. Una vez que frenó, el diagrama de cuerpo libre es éste:

Fig. 114

El cuerpo esta en reposo. No se mueve. Eso significa que... ¡ no hay fuerza de rozamiento!.

Nadie trata de empujar al cuerpo para que se mueva, de manera que el rozamiento no va a aparecer. Entonces la respuesta a la pregunta b) es:

FROZ 0=

c) Ahora, ¿qué fuerza hay que hacer para ponerlo en movimiento?.

Bueno, si el objeto está en reposo y alguien lo empuja para tratar de moverlo se tiene este diagrama de cuerpo libre:

Fig. 115

Para hacer que arranque se tiene que ejercer una fuerza mayor a la fuerza de rozamiento estática máxima.

NF smKgNF MAX e ROZ

N

2eMAX e ROZ 5,248,955,0 =⇒⋅⋅=⋅=

44 344 21µ

Es decir, la fuerza F a ejercer tendrá que ser mayor a 24,5 N.

Entonces la fuerza mínima para ponerlo en movimiento en el caso límite va a ser:

NFMIN 5,24=

Nota: En este problema la velocidad inicial no se usa y es un dato de más.

130

Ejemplo 20.

Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.

Fig. 116.

Se hace un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos:

Fig. 117

Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora se resuelve el sistema de 2 x 2 que quedó. Se Tiene lo siguiente:

amTP ; amFT BBAROZ d ⋅=−⋅=−

Ahora se suman estas 2 ecuaciones para que se cancele la tensión. Esta es una técnica que siempre conviene usar en los problemas de dinámica.

T – Froz d + PB – T = mA. a + mB. a⇒ – Froz d + PB = (mA + mB). a

( ) aKgKgsmKg

smKg ⋅+=⋅⋅−⋅ 5108,9102,08,95 22

⇒ 49 N – 19,6 N = 15 kg . a

15 kg . a = 29,4 kg.m/s2 ⇒ a = 1,96 m/s2

Se sustituye el valor de a en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores

( )

N T sm

smKgT

agmT amgmT amPT amTP BBBBBBB

2,3996,18,95 22 =⇒

−⋅=⇒

−⋅=⇒⋅−⋅=⇒⋅−=⇒⋅=−

131

Poleas ideales fijas y móviles. La segunda ley de Newton como ecuación de movimiento: ecuaciones de movimiento algebraicas y diferenciales.

Poleas designación y tipos

Los elementos constitutivos de una polea son la rueda o polea propiamente dicha, en cuya circunferencia (llanta) suele haber una acanaladura denominada "garganta" o "cajera" cuya forma se ajusta a la de la cuerda a fin de guiarla; las "armas", armadura en forma de U invertida o rectangular que la rodea completamente y en cuyo extremo superior monta un gancho por el que se suspende el conjunto, y el "eje", que puede ser fijo si está unido a las armas estando la polea atravesada por él ("poleas de ojo"), o móvil si es solidario a la polea ("poleas de eje"). Cuando, formando parte de un sistema de transmisión, la polea gira libremente sobre su eje, se denomina "loca".

Según su desplazamiento las poleas se clasifican en "fijas", aquellas cuyas armas se suspenden de un punto fijo (la estructura del edificio, por ejemplo) y, por tanto, no sufren movimiento de traslación alguno cuando se emplean, y "movibles", que son aquellas en las que un extremo de la cuerda se suspende de un punto fijo y que durante su funcionamiento se desplazan, en general, verticalmente.

Cuando la polea obra independientemente se denomina "simple", mientras que cuando se encuentra reunida con otras formando un sistema recibe la denominación de "combinada" o "compuesta".

Poleas simples

Polea simple fija

La manera más sencilla de utilizar una polea es anclarla en un soporte, colgar un peso en un extremo de la cuerda, y tirar del otro extremo para levantar el peso. A esta configuración se le llama polea simple fija.

Este sistema no aumenta la fuerza aplicada.

P = Q,, siendo Q la fuerza peso del cuerpo, y P la aplicada.

Una polea simple fija no produce una ventaja mecánica: la fuerza que debe aplicarse es la misma que se habría requerido para levantar el objeto sin la polea. La polea, sin embargo, permite aplicar la fuerza en una dirección más conveniente.

Fig. 117

132

Polea simple móvil

Una forma alternativa de utilizar la polea es fijarla a la carga, fijar un extremo de la cuerda al soporte, y tirar del otro extremo para levantar a la polea y la carga. A esta configuración se le llama "polea simple móvil".

La polea simple móvil produce una ventaja mecánica: la fuerza necesaria para levantar la carga es justamente la mitad de la fuerza que habría sido requerida para levantar la carga sin la polea. Por el contrario, la longitud de la cuerda de la que debe tirarse es el doble de la distancia que se desea hacer subir a la carga.

Uno de los extremos de la cuerda se encuentra fijo, el peso Q esta ubicado sobre el eje de la roldana y la fuerza aplicada P en el otro extremo. Se llama móvil por el desplazamiento de la polea que ocurre al ejercer la fuerza P.

Este sistema si amplifica la fuerza aplicada P. donde, P = Q/2

siendo Q, la fuerza peso del cuerpo, y P la aplicada.

Fig. 118

Como resultado de la combinación de dos o más poleas se forman aparejos, cuya finalidad es reducir varias veces la fuerza peso. Según la disposición de éstas tendremos aparejos potenciales o factoriales.

Poleas compuestas.

Aparejo potencial.

Si por el extremo libre de la cuerda que pasa por la garganta de la polea fija que compone este sistema efectuamos un desplazamiento virtual, este se transmitirá totalmente a la polea móvil, produciendo en el centro de ella un desplazamiento menor al anterior.

P = Q/2n

En donde P es la fuerza aplicada y Q la fuerza peso como vimos anteriormente, y n es el número de poleas móviles.

Fig. 119

133

Aparejo factorial

En la figura 120, se observa que el desplazamiento virtual de la fuerza P produce en el punto Q un desplazamiento n (número de poleas) veces menor.

Para el equilibrio del dispositivo se tendrá

P = Q/n

Si hacemos n = 2N, siendo N el número de poleas móviles (fijas entre sí) tendremos la forma más común de la condición de equilibrio del aparejo factorial.

P = Q/2N

Sabemos que T = F. d, y que el trabajo producido por la fuerza aplicada es igual al realizado por el peso del cuerpo. Para que se mantenga esta igualdad, al disminuir la fuerza aplicada por el agregado de poleas necesitaremos mayor recorrido de la cuerda. Es decir, si colocamos n poleas y disminuimos la fuerza n veces, la distancia que recorreremos al tirar de la cuerda será n veces mayor que la que sube el cuerpo.

Fig. 120

Dinámica del movimiento circular; aplicaciones: péndulo cónico, peralte, movimiento de satélites naturales y artificiales. Dinámica relativa; sistemas de referencia no inerciales.

Dinámica del movimiento circular.

Ecuación de la dinámica del movimiento circular

Fig.121

En el estudio del movimiento circular uniforme hemos visto la velocidad del móvil no cambia de módulo pero cambia constantemente de dirección. El móvil tiene una aceleración que está dirigida hacia el centro de la trayectoria, denominada aceleración normal y cuyo módulo es

Rvan

2

=

134

La segunda ley de Newton afirma que la resultante de las fuerzas F que actúan sobre un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es igual al producto de la masa m por la aceleración normal an.

F = m an

Fig. 122

En la figura, se muestra un dinamómetro colocado para la tensión de la cuerda que sujeta a un móvil que describe una trayectoria circular.

Un dinamómetro está situado en el eje de una plataforma móvil y su extremo está enganchado a un móvil que gira sobre la plataforma.

La fórmula de la fuerza es

F = m.ω.2R

Objetos en órbita alrededor de la tierra.

Los cuerpos en órbita, describen una trayectoria que puede considerarse, para simplificar cálculos, como circular. Además de esto, el movimiento puede simplificarse aun mas si consideramos que el objeto en órbita se mueve con velocidad constante, por lo tanto estamos ante un M.C.U.

Como se menciona en el apartado anterior, un objeto ubicado en las proximidades de la tierra, experimenta una fuerza de atracción, y como está en movimiento circular, la aceleración centrípeta del movimiento, será la aceleración de la fuerza con que la tierra atrae al objeto.

Rt

ha c

F c

Fig. 123

135

Luego, las ecuaciones de un objeto que esté en órbita circular alrededor de la tierra son las siguientes:

m.V2

R = G. m. MTR2 = m.g = Fc, donde,

m = masa del objeto en orbitaMT = Masa de la tierra.R = RT + hFc = Fuerza centripeta.g = ac

V = Velocidad tangencial

Masa girando sobre una superficie horizontal.

Un ejemplo de este tipo de interacción, lo observamos en una masa sostenida por una cuerda y girando sobre una mesa, donde el radio del movimiento es la cuerda y la fuerza centrípeta viene dada por la tensión de la misma.

N

P = m.g

T

V

R

Fig. 124

Masa colgada de una cuerda, ajustada a un punto exterior a la trayectoria.

T

P = m.g

Fc

Ty

P

Tx

Tw

Fig. 125

Las ecuaciones que rigen el sistema son:

T=m.g

1− RL

2, V= R.g.tanw , Fc=4 2.R.f =Tx=T.senw, senw = R

L

136

Curvas con y sin peralte.

Curva sin peralte

Un automóvil describe una trayectoria circular de radio R con velocidad constante v. Una de las principales dificultades que se presenta a la hora de resolver este problema es la de separar el movimiento tangencial (uniforme con velocidad constante) del movimiento radial del vehículo que es el que se trata de estudiar.

Suponemos que el vehículo circula con velocidad constante, y que actúa sobre el mismo una fuerza de rozamiento en la dirección perpendicular a su vector velocidad.

Fig. 126

Las fuerzas que actúan sobre el móvil son tres, el peso, la reacción del plano y la fuerza de rozamiento. Esta última es la que hace que el vehículo describa una trayectoria circular.

Como hay equilibrio en sentido vertical la reacción del plano es igual al peso N = m.g

Aplicando la segunda ley de Newton al movimiento en la dirección radial

Fr = m an ⇒RvmFr

2

=

Siendo v la velocidad del móvil y R el radio de la circunferencia que describe

A medida que se incrementa la velocidad v, se incrementa la fuerza de rozamiento Fr hasta que alcanza un valor máximo dado por el producto del coeficiente de rozamiento estático por la reacción del plano, µ N.

La velocidad máxima v que puede alcanzar el vehículo para que describa una curva circular de radio R es, por tanto

137

A medida que se aumenta la velocidad del móvil la fuerza de rozamiento crece hasta alcanzar el valor máximo µ N, la trayectoria del vehículo es una circunferencia.

Si la velocidad del móvil es superior a la máxima, la fuerza de rozamiento, que es perpendicular al vector velocidad, tiene un valor constante e igual a su valor máximo, la trayectoria del móvil deja de ser circular y ha de calcularse aplicando procedimientos numéricos. Para simplificar el problema hemos supuesto que el coeficiente de rozamiento estático y dinámico tienen el mismo valor.

Curva con peralte

Consideremos ahora el caso de que la curva tiene un peralte de ángulo θ.

Desde el punto de vista del observador inercial, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las mismas que en el caso de la curva sin peralte, pero con distinta orientación salvo el peso.

El peso mg

La fuerza de rozamiento Fr

La reacción del plano N

A B

Fig. 127

En la figura 127 A, se muestran las fuerzas y en la figura 127 B, se ha sustituido la fuerza de rozamiento Fr y la reacción del plano N por la acción simultánea de sus componentes rectangulares.

Una de las dificultades que tienen los estudiantes es la de situar correctamente la aceleración normal, an que suelen ponerla paralela al plano inclinado, en vez de horizontal. Entonces se les muestra que la circunferencia que describe el vehículo es una sección cónica cortada por un plano perpendicular al eje del cono y por tanto, el centro de dicha circunferencia está situada en dicho plano y no en el vértice del cono.

138

Fig. 128

En el eje vertical no hay aceleración, tenemos una situación de equilibrio

Ncosθ = Frsenθ + mg

En el eje horizontal, aplicamos la segunda ley de Newton para el movimiento circular uniforme

Nsenθ + Fr cosθ = mv2/R

El vehículo comienza a deslizar en la dirección radial, cuando lleva una velocidad tal que Fr = µN. En el sistema de dos ecuaciones

N(cosθ - µsenθ) = mg N(senθ+ µcosθ) = mv2/R

Despejamos la velocidad máxima v que puede llevar el vehículo para que describa la curva con seguridad

Desde el punto de vista del observador no inercial que viaja en el vehículo las fuerzas que interviene son:

El peso mg

La fuera de rozamiento Fr

La reacción del plano N

La fuerza centrífuga Fc=mv2/R

139

Fig. 129

El vehículo está en equilibrio, de modo que

N.cosθ=Fr senθ + mg Nsenθ + Fr cosθ=mv2/R

Conocida la velocidad del vehículo v podemos calcular la fuerza de rozamiento Fr y la reacción del plano N.

La velocidad máxima que puede llevar un vehículo para que describa la curva con seguridad es aquella para la cual, la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo Fr = µ.N

Despejamos la velocidad v y obtenemos la misma expresión

Ejemplo 21

Un coche circula por la curva de una carretera de 500 m de radio. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre las ruedas del automóvil y el asfalto seco es de 0.75, calcular la máxima velocidad con el que el automóvil puede describir la curva con seguridad en los casos siguientes:

a) la curva no tiene peralte

b) La curva tiene un peralte de 15º

a) Rgv ..µ= ⇒ smv /6.6075,0.8,9.500 ==

b) θµθθµθ

sensengRv

.coscos..

−+

= smsen

senv /0,7915.75,015cos15cos.75,015.8,9.500 =

−+

=⇒

140

Dinámica del péndulo simple

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición θ0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

Fig. 130

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula demasa m son dos, una fuerza vertical, el peso mg y la acción del hilo, una fuerza T en la dirección radial.

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senθ en la dirección tangencial y mg·cosθ en la dirección radial.

Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe m.an = T - mg·cosθ

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular θ podemos determinar la tensión T del hilo.

Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at = dv/dt.

Recuérdese que la componente tangencial de la aceleración describe únicamente los cambios en el módulo de la velocidad de la partícula, mientras que la aceleración normal da cuenta de los cambios en la dirección de la velocidad con el tiempo.

La segunda ley de Newton se escribe m.at = -mg·senθ

141

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular α es at = α ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

02

2

=+ θθ senlg

dtd

Oscilaciones de pequeña amplitud

Cuando el ángulo θ es pequeño entonces, senθ ≈ θ , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es:

θ =θ0· sen (ω t+ϕ )

de frecuencia angular ω2 = g/l,

y de periodo glT π2=

Ejemplo 22

Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración

a) Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.

2

21 .tgh =

b) Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.

De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

glT

=2

2

4π

142

Oscilaciones de cualquier amplitud

Vamos a comprobar que el péndulo simple se comporta aproximadamente como un oscilador armónico solamente cuando la amplitud es pequeña, cuando es válida la aproximación senθ ≈ θ .

Análisis por el principio de conservación de la energía

Fig. 131

La partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa, el peso mg, por lo que la energía total permanece constante. Si la amplitud de las oscilación es θ0, la velocidad v de la partícula cuando su posición angular es θ , es

Expresando la velocidad v como producto de la velocidad angular ω por el radio l del arco de la circunferencia que describe.

Integrando obtenemos el periodo T de la oscilación

∫ −=

0

0 0coscos4

θ

θθθd

glT

El factor 4 se debe a que el tiempo que tarda el péndulo en desplazarse desde la posición inicial θ0 a la de equilibrio 0 es el mismo que de 0 a -θ0, ó que de θ0 a 0 ó finalmente, de 0 a θ0, completándose así una oscilación.

Esta integral elíptica se puede aproximar por el siguiente desarrollo en serie

143

Los tres primeros términos ajustan bien con los resultados experimentales para ángulos menores θ0<50º. Para otros ángulos, se puede realizar una integración numérica por los métodos como el trapecio o mejor por el método de Simpson.

Para simular el movimiento del péndulo para cualquier amplitud, se ha resuelto la ecuación diferencial de su movimiento (1), aplicando el procedimiento numérico de Runge-Kutta.

Cinemática relativa. Sistema inercial y no inercial.

Decimos que un sistema de referencia (coordenado) es inercial cuando no tiene efectos sobre los comportamientos cinemáticos que ocurren en el. Es decir las variables posición, velocidad y aceleración no son afectadas y están inscritas en un marco de referencia estático. Por el contrario, un sistema es no inercial cuando las variables cinemáticas están en constante cambio debido al cambio rotacional del marco de referencia.

Para entender el efecto de los sistemas inerciales y no inerciales sobre las variables cinemáticas analicemos lo siguiente:

Una partícula P se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante v, sabiendo que en el instante inicial t=0, se encuentra en la posición x0, determinar la trayectoria en el sistema no inercial que gira con velocidad angular constante ω en el sentido de las agujas del reloj.

En un sistema inercial, la posición de la partícula P en función del tiempo es

x = x0+ v.t y = 0.

El vector posición es r = xi, y la trayectoria de la partícula es rectilínea

En un sistema no inercial la posición de la partícula es

x’=x·cos(ω.t) Fig. 132 y’=x·sen(ω t)

y el vector posición es r= x·cos(ω t)i’+ x·sen(ω t)j’

En un sistema inercial, el vector velocidad de la partícula P es constante

v=vi

144

Derivando respecto del tiempo obtenemos la velocidad de la partícula medida en el sistema no inercial

Vamos a comparar este resultado con el que nos proporciona la fórmula

rvv .' ω−= con v = vi, como ω =-ω k y r=xi se obtiene v’=vi+ω xj

Fig. 133

Ahora, relacionamos los vectores unitarios i, j, del sistema de referencia OXY inercial con los vectores unitarios i’, j’ del sistema OX’Y’ no inercial

Obtenemos de nuevo, el vector velocidad v’

Para el movimiento estudiado y en sistema inercial, La velocidad v de la partícula P es constante en módulo y dirección. Por tanto la aceleración es cero.

a = 0

Derivando las componentes de la velocidad con respecto del tiempo obtenemos la aceleración a’ medida en el sistema no inercial.

Veamos ahora mediante la fórmula )..('.2' rvaa ωωω −−=

145

Los datos que tenemos son

a=0, el movimiento es uniforme en el sistema de referencia inercial ω = - ω k

r= x·cos(ω t)i’+ x·sen(ω t)j’ v’=(v·cos(ω t)- x·ω ·sen(ω t))i’+(v·sen(ω t)+ x·ω ·cos(ω t))j’

Calculamos cada aceleración separadamente la aceleración de coriolis y centrifuga.

Nota: Las definiciones de la aceleración de Coriolis y centrifuga se detallan en el apartado “Sistemas en traslación pura: fuerza de arrastre. Sistemas en rotación pura uniforme: Fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis” a continuación.

a) La aceleración de Coriolis

-2ω . v’=-2(-ω k)(vxi’+vyj’)=-2ω vyi’+2ω vxj’

=-2ω (v·sen(ω t)+ x·ω ·cos(ω t))i’+2ω (v·cos(ω t)- x·ω ·sen(ω t))j’

Fig. 134

En la figura 134, se muestra que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad v'. A la izquierda, se muestra el producto vectorial en el espacio, y a la derecha la misma representación en el plano.

b) La aceleración centrífuga.

-ω × (ω × r) con r= x·cos(ω t)i’+ x·sen(ω t)j’

-ω . (ω . r)=-(-ω k) . (ω ·x·sen(ω t)i’-ω ·x·cos(ω t)j’) = ω2·x·cos(ω t)i’+ω2·x·sen(ω t)j’

Fig. 135

146

En la figura 135, se muestra el resultado del triple producto vectorial. La aceleración centrífuga tiene dirección radial.

Sumando las dos contribuciones volvemos a obtener la aceleración a’ medida en el sistema no inercial

a’=(-2ω ·v·sen(ω t)- ω 2·x·cos(ω t))i’+(2ω ·v·cos(ω t)- ω 2·x·sen(ω t))j’

Sistemas en traslación pura: fuerza de arrastre. Sistemas en rotación pura uniforme: Fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis.

Cuando un cuerpo se mueve sobre la superficie de la Tierra está sometido a dos fuerzas la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis

La fuerza de Coriolis es la responsable de la rotación del plano del péndulo de Foucault, la circulación del aire alrededor de los centros de baja o alta presión, la desviación de la trayectoria de proyectiles de largo alcance, la rotación del agua cuando sale por el desagüe de la bañera, etc.

La fuerza centrífuga es responsable del cambio en el módulo y en la dirección de la aceleración de la gravedad a distintas latitudes.

Las fuerzas reales como la fuerza que ejerce un muelle, la fuerza de atracción gravitatoria, las fuerzas eléctricas o magnéticas son las que describen las interacciones entre los cuerpos. Las fuerzas de inercia solamente se observan en sistemas de referencia acelerados, para distinguirlas de las fuerzas reales se denominan también fuerzas ficticias o pseudofuerzas.

Aceleración de Coriolis

La fórmula de la aceleración de Coriolis es

aco=-2ω . v

donde ω es la velocidad angular de rotación del planeta, y v es la velocidad del cuerpo medida por el observador no inercial. El ángulo es la latitud del lugar considerado.

147

Fig. 136

Como podemos apreciar en la figura de más abajo, el vector velocidad angular forma un ángulo igual a la latitud λ con la dirección Norte-Sur en el plano local.

La aceleración de Coriolis en el hemisferio Norte está dirigida hacia el Este y su módulo es

ay=2ω v·sen(90+λ )=2ω v·cosλ

A lo largo del eje Z la aceleración es la de la gravedad az = g0

En el plano local tenemos la composición de dos movimientos

- Uniformemente acelerado a lo largo del eje Z

- Acelerado (aceleración variable) a lo largo del eje Y

Se ha supuesto que el cuerpo parte del reposo desde la posición z = h, y = 0.

148

Ejemplo 23

Si estamos situados en el plano del ecuador λ =0, y el cuerpo se deja caer desde una altura de 100 m, tenemos una desviación y=2.2 cm, que no se puede apreciar a simple vista.

a) Aceleración centrífuga

Si estamos en el hemisferio Norte, en un lugar de latitud λ . Una partícula situada en este punto describe una circunferencia de radio r = R·cosλ . La aceleración centrífuga es radial y dirigida hacia afuera, tal como se indica en la figura, su modulo es:

ac=ω 2r= ω 2 R·cosλ .

Fig. 137

La aceleración centrífuga se descompone en dos,

Componente en la dirección radial, que disminuye la aceleración g0 de la gravedad

Componente en la dirección Norte-Sur (eje X), que desvía los cuerpos hacia el Sur. El valor de esta componente es:

ax=ac·senλ=ω2R·cosλ ·senλ.

Esta aceleración es nula cuando estamos en el plano ecuatorial λ =0.

Un móvil que cae, describe un movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X.

La introducción de este tipo de fuerzas junto con las reales facilita la resolución de los problemas de Mecánica en los sistemas de referencia en movimiento relativo de rotación uniforme como la Tierra.

149

BIBLIOGRAFÍA Blatt, F. (1991). Fundamentos de Física. Editorial Prentice Hall Hispanoamericana

Gómez, G.( 2009). Manual de las Ciencias Básicas y del Cálculo analítico. UNEFA.Carabobo Hewitt, P. (1999). Física Conceptual. Pearson Serway. (1992) . Física. Editorial McGraw-Hill Tipler (1994). Física. Editorial Reverté PAGINAS WEB CONSULTADAS. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm http://es.wikipedia.org http://intranet.frsfco.utn.edu.ar http://www.lomasdeterciopelo.co.cr/apache2-default/joomla_esp/index.php/apoyo-educativo/mecanica-clasica http://science.widener.edu/svb/tutorial/sigfigures.html http://lectureonline.cl.msu.edu http://antoine.frostburg.edu/ http://lrc-srvr.mps.ohio-state.edu/

150

UNIDAD 3. TRABAJO, ENERGÍA Y MOVIMIENTO. LECTURA Nº 6: TRABAJO MECÁNICO, ENERGÍA Y CHOQUES. Material elaborado y recopilado con fines instruccionales por:

Gómez Gustavo (2009). Trabajo Mecánico, Energía y Choques. Artículo no publicado. (Valencia).

Trabajo y energía Trabajo mecánico. Potencia media e instantánea. Energía cinética. Teorema del trabajo y la energía cinética. El trabajo mecánico es una magnitud escalar que depende del módulo de una fuerza aplicada sobre un punto material y el desplazamiento que esta le produce, y se obtiene por el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento.

rFrFT ∆=∆= .cos.. αrr

Mientras se realiza trabajo sobre el cuerpo, se produce una transferencia de energía al mismo, por lo que puede decirse que el trabajo es energía en movimiento. Las unidades de trabajo son las mismas que las de energía.

La unidad de trabajo en el Sistema Internacional de Unidades es el Joulle, que se define como el trabajo realizado por una fuerza de 1 newton a lo largo de un metro. El trabajo realizado por unidad de tiempo se conoce como potencia. La potencia correspondiente a un Joulle por segundo es un vatio (watt) " N. m = J "

w

T = F. d. cos w

F

h P

T = P.h = m.g.h

h P

T = - P.h = - m.g.h

a) Trabajo producto de una fuerza horizontal.

b) Trabajo producto de unamasa callendo

c) Trabajo que realizauna masa subiendo

Fig. 1

Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo y lo acelera, realiza un trabajo mecánico. El trabajo mecánico se mide, a través de la magnitud escalar obtenida por el producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento.

T = F.d.cosα , donde α es el ángulo que forma la fuerza con la superficie de desplazamiento.

Una fuerza perpendicular al movimiento, (formando un ángulo de 90º) no produce trabajo mecánico, debido a que ésta no produce desplazamiento y el cos 90º = 0.

151

Las equivalencias entre estas unidades son:

1 Joulle = 107 Ergios = 9,8 Kgf.m

1 Ergios = 10-7 Joulles = 1,02 x 10-8 Kgf.m

Potencia mecánica.

La potencia mecánica es el trabajo realizado por unidad de tiempo, cuando la fuerza es constante. Las expresiones matemáticas para la potencia son:

tTP = ,

tdFP .

= , VmFP .= , donde Vm es la velocidad media 2

ofm

vvv

+=

Las unidades más frecuentes de la potencia son las siguientes.

1 Kw (kilovatios) = 103 vatios (w) (M.K.S)

1 C.V (caballo de vapor) = 75 Kp.m/seg (S.I) = 736 vatios

1HP (horse power ó caballos de fuerza) = 76 Kp.m/seg = 746 vatios

1 Kwh (kilovatios - hora) = 36 x 105 Joules.

Nota: Los problemas de trabajo y potencia, pueden combinarse con variables de la cinemática para el tiempo, la velocidad, la aceleración etc.

¿Que sucede cuando el cuerpo se acelera debido a la fuerza aplicada?. Sencillamente sumamos los trabajos parciales, lo que en la realidad no es muy sencillo si ambos varían con frecuencia. Para comprender mejor el procedimiento grafiquemos la variación de "F. cos a " respecto a "dr ".

Fig. 2

Podemos calcular el trabajo mecánico en estas condiciones tomando pequeñas porciones de área rectangular donde la base está representada por ∆r (desplazamiento) y la altura corresponde a "f . cos α " (la proyección de la fuerza)

152

Como se ve la figura 2, en cada rectángulo coloreado posee un área mayor, representado por , y un área menor . El valor del trabajo correspondería aproximadamente a un valor intermedio entre ambas superficies.

La sumatoria de estas áreas elementales nos dará el valor del trabajo mecánico.

El sumar áreas elementales lleva implícito un proceso matemático denominado "integración". Si tomamos dr cada vez menor, tendiendo a cero (dr → 0) aplicando límite tendremos:

rfA

r∆=

→∆.cos.lim

0α

De allí que al ser el trabajo (T) la sumatoria de las áreas elementales (A) tenemos que:

∫ ∫==1 1

0

..cos.r

ro

r

r

rdfdrfT rrα

Energía Cinética.

Al aplicar una fuerza exterior sobre un cuerpo, este se acelera. F = m.a (1)

La aceleración produce variación de velocidad: tVoVfa

∆−

= (2)

Al variar la velocidad la "cantidad" de espacio recorrido (∆ x) en función del tiempo aumenta (si el movimiento es acelerado) o disminuye (si es desacelerado) :

tVoVfx ∆+

=∆ .2

(3)

Si analizamos el trabajo mecánico (máximo) que realiza una fuerza sobre un cuerpo tendremos:

rFrFrFT ∆=∆=∆= ..0cos..1

rr

suplantamos por (1) T = m a. ∆ x

suplantamos por (2) y por (3) tVoVftVoVfmT ∆

+∆−

= .2

..

simplificamos ∆ t y multiplicamos (mediante distributivas) las velocidades

2222

..21..

21

2. of

of vmvmTvv

mT −=⇒−

= ,

153

Esta expresión la denominaremos energía cinética

De esta manera se puede afirmar que si en el trabajo mecánico hay variación de velocidad también habrá variación de energía cinética: Teorema de la variación de energía: T = ∆ EC

En este teorema se expresa la relación entre trabajo y energía, la energía se mide en la misma unidad.

Energía Potencial.

En nuestra experiencia cotidiana, al lanzar un objeto verticalmente hacia arriba, por ejemplo una piedra, observamos que a medida que va subiendo su velocidad disminuye hasta llegar a ser nula (cero) en el punto más alto de su trayectoria.

Como el sistema tierra – piedra es un sistema conservativo, la energía mecánica se mantiene constante durante el ascenso.

Tomemos dos posiciones cualesquiera a diferente altitud, y1 más bajo que y2. Si llamamos v1 a la velocidad del objeto en la posición y1 y v2 a la velocidad en y2 ; tenemos que v1 > v2 . Como la energía cinética es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad podemos indicar que EC1 > EC 2.

Dijimos que el sistema es conservativo, entonces, ¿dónde está la energía faltante?.

Existe un principio llamado "principio de conservación de la energía" que nos indica que la energía no se crea ni se destruye. Es evidente, entonces, que a medida que la energía cinética va diminuyendo otra clase de energía tiene que aparecer para que la energía del sistema se mantenga constante, a esa energía se la denomina energía de configuración, más conocida con el nombre de energía potencial; designaremos a la energía potencial con la letra U.

De esta manera podemos afirmar que la energía mecánica en la posición es y1 es EC1 + U y en la posición y2 tenemos que EC2 + U

Como el sistema es conservativo asumimos que:

EC1 + U = EC2 + U

12

121

22

221 .. UvmUvm +=+

2

1212

221

12 .. vmvmUU −=−

2

1212

221 .. vmvmU −=∆

154

Como v1 > v2 tenemos que ∆ EC < 0. Teniendo en cuenta que

2

1212

221 .. vmvmEc −=∆

Además ∆ EC = T. ∆⇒ U = - T.

Recordemos que: rFT rr∆= .cos. α

El desplazamiento, lógicamente, será la diferencia entre las dos posiciones:

12 yyr −=∆r

La fuerza empleada depende de la masa del cuerpo y de la aceleración de la gravedad, así que podemos utilizar: m . g = P. Tenemos que la fuerza actuante sobre el cuerpo es su propio peso.

T p = P. Cos 180º (y2 – y1) ⇒ L P = - P. (y2 – y1)

Como tenemos que ∆ U = - T p y T p = - P. (y2 – y1)

⇒ ∆ U = - [- P.(y2 – y1)]

⇒ ∆ U = P. (y2 – y1)

⇒ ∆ U = P y2 – P y1.

Suele designarse a la energía potencial también de la siguiente forma: E p.

Energía mecánica.

Es la capacidad de un cuerpo de producir un trabajo en función de su posición y velocidad, con respecto a un determinado plano de referencia.

Em = Ec + Ep

155

Energía potencial elástica.

Es la capacidad que tiene un sistema de resorte - masa, para realizar un trabajo en virtud de la posición de la masa.

w = K.x2

2 , Donde :K = Constante de elasticidad del resortex = Es la elongacion del resorte.w = Energia potencial elastica.

Principio de conservación de la energía mecánica total.

La energía mecánica total, se mantiene constante en todos los puntos de una trayectoria.

ha hc

A

B

C Eca + Epa = Ecb + Epb = Ecc + EpcEma = Emb = Emc

Cálculo del trabajo mecánico efectuado por las fuerzas peso, elástica y de roce. Fuerzas conservativas y no conservativas. Energía potencial y energía mecánica; balance de energía.

Fuerzas Conservativas y no Conservativas.

Imaginemos que tenemos un resorte de masa despreciable sujeto por uno de sus extremos a una pared y un bloque de masa m; ambos en el piso de manera que si impulsamos al bloque, este se dirigirá hacia el resorte con una velocidad constante v (ya que para facilitar nuestro análisis consideremos que la fuerza de rozamiento entre el bloque y el piso es nula). Así que la única fuerza exterior que actúa sobre el movimiento de este cuerpo proviene del resorte.

Fig. 3

156

A medida que el bloque va comprimiendo al resorte su velocidad (y energía cinética) disminuye hasta detenerse. Aplicando la Ley de Hooke (F = - k. ∆x) podemos calcular la compresión que se produce. Después de esto el bloque invierte el sentido de su movimiento y, con igual dirección, va ganando velocidad a medida que el resorte vuelve a su longitud original; en ese momento el bloque tiene la misma velocidad (signo opuesto) que tenía antes de comprimir al resorte.

Fig. 4

El bloque pierde energía cinética durante una parte de su movimiento pero la recupera totalmente cuando regresa al punto de partida. Hay que recordar que la variación de la energía cinética indica que existe trabajo mecánico; es claro que, al término de un viaje de ida y vuelta, la capacidad del bloque para hacer trabajo permanece igual; ha sido conservada.

La fuerza elástica ejercida por el resorte ideal y otras fuerzas que se comportan de la misma manera, se las denomina fuerzas conservativas.

La fuerza de gravedad es la típica representante de las fuerzas conservativas ya que si lanzamos un objeto hacia arriba (para el cual la resistencia del aire sea despreciable), regresa a nuestras manos con la misma energía cinética con la que partió.

Sin embargo, si una partícula sobre la que actúan una o más fuerzas regresa a su posición inicial con más energía cinética o con menos de la que tenía inicialmente, resulta que en ese viaje de ida y vuelta su capacidad de producir trabajo mecánico varía. Podemos suponer que al menos una de las fuerzas actuantes es no conservativa. La fuerza de rozamiento es el típico ejemplo de una fuerza no conservativa.

Resumiendo: Una fuerza es conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es cero. Una fuerza es no conservativa si el trabajo efectuado por ella (en el viaje de ida y vuelta) es distinto de cero.

157

Fuerzas conservativas

Una fuerza es conservativa si la energía mecánica del sistema no cambia mientras ella actúa. Es decir, una fuerza conservativa hace que la energía mecánica se conserve.

Si se tiene un sistema con una determinada energía mecánica inicial, por ejemplo 100 Joules y se hace actuar la fuerza, si cuando la fuerza deje de actuar, la Em del sistema es finalmente 100 Joules, se dice que esta fuerza es una fuerza conservativa.

¿Cómo una fuerza puede actuar sin que la energía mecánica del sistema aumente o disminuya? Veamos.

1ª fuerza conservativa: El Peso

Supongamos que se tiene un cuerpo que está a 2 m de altura.

Lo que ocurre es que, inicialmente su energía potencial vale m⋅g⋅h y a medida que va cayendo la va perdiendo. Pero al ir perdiendo energía potencial va ganando energía cinética

Supongamos que la masa del cuerpo es 1 Kg. Su energía potencial inicial vale:

JmsmkghgmE po 6,192./8,9.1.. 2 ===

La velocidad final con la que toca el suelo un cuerpo que se deja caer desde una altura h es:

smVmsmVhgVghVV fffof /26,62./8,9.2..22 222 =⇒=⇒=⇒=−

Entonces cuando el cuerpo toque el suelo su energía cinética será:

JsmKgVmE fcf 6,19)/26,6.(121.

21 22 ===

Es decir, toda la Ep se transformó en cinética al final. La fuerza peso no hizo que se ganara ni se perdiera energía mecánica.

La fuerza peso, lo único que hizo fue transformar toda la Ep del principio en energía cinética. Pero la mecánica no cambió. Era 19,6 al principio y es 19,6 al final.

La energía mecánica no se modificó. Se mantuvo igual. Se conservó. Se dice entonces que la fuerza peso es una fuerza conservativa.

158

2ª fuerza conservativa: La Fuerza del Resorte

Supongamos que se tiene un resorte comprimido una distancia ∆x :

El resorte en esa situación tiene almacenada una energía elástica que vale ½ k⋅ ∆x 2

Cuando el resorte se descomprime empujará el cuerpo.

Haciendo un razonamiento semejante al que se hizo con la fuerza peso se puede llegar a la conclusión que el cuerpo no pierde ni gana energía mientras actúa la fuerza del resorte.

Esto se debe a que al principio el resorte tenía una energía elástica que valía ½ k⋅ ∆x 2

Una vez que se descomprime, toda esa energía se transforma en energía cinética.

La fuerza con la que el resorte empujó al cuerpo no hizo que aumentara o disminuyera la energía mecánica del sistema. Solamente hizo que la energía elástica se transformara en Energía cinética. Mientras la fuerza del resorte actúa, la Em del sistema se conserva.

Fuerzas no conservativas.

Una fuerza es no conservativa cuando luego de su acción, la energía del sistema no se conserva. Es decir, si se tiene un sistema con una determinada energía mecánica inicial, supongamos 100 Joule y se hace actuar una fuerza, si cuando la fuerza deje de actuar, la Em del sistema es de más de 100 Joule o es de menos de 100 J, entonces esa fuerza es no conservativa.

Las fuerzas no conservativas lo que hacen es que el sistema gane o pierda energía mecánica.

Que un sistema pierda energía se puede suponer con cierta facilidad (perdida de energía por calor por ejemplo), pero ¿que un sistema gane energía?

1ª fuerza no conservativa: El Rozamiento

Supongamos que se lanza al suelo un objeto con una velocidad de 10 m/s. Si hay rozamiento, después de recorrer unos metros se va a parar.

Inicialmente la velocidad era V = 10 m/s y su energía cinética ½ m.( 10 m/s )2. Al final, se detiene y su energía cinética final es cero.

¿Dónde fue toda la energía que se tenía al principio?

El rozamiento hizo que el sistema perdiera energía. La Em no se conservó. Por lo tanto: El rozamiento es una fuerza NO conservativa.

159

2ª fuerza no conservativa: Una Fuerza Exterior.

Consideremos una fuerza exterior de este tipo:

Fig. 5

Supongamos que el carrito está quieto y la fuerza exterior F empieza a actuar, el objeto se empiezará a mover. (Empieza a acelerar ).

Fig. 6

Inicialmente la Ec del carrito vale cero y al final NO.

La fuerza F recorrió una distancia d, hizo un trabajo que vale F⋅d y entregó ese trabajo al carrito. Ahora, lo tiene almacenado en forma de energía cinética.

F entregó energía al sistema. La Em aumentó y no se conservó. Por lo tanto, una fuerza exterior es una fuerza NO conservativa.

Fig. 6

Peso

Conservativas

Fuerza del resorte

Rozamiento No Conservativas

Fuerza Exterior

F empuja y el objeto se mueve.

160

Fuerzas conservativas y no conservativas – resumen

CASO UNO

Actúan sólo fuerzas conservativas y se conserva la E mecánica del sistema.

CASO DOS

Actúan fuerzas no conservativas. La energía mecánica no se conserva. Habrá una disminución o un aumento de la Emec del sistema.

¿Quién provocó ese cambio en la energía del sistema? La fuerza no conservativa (sea el rozamiento o una fuerza exterior F) realizó un trabajo que que produjo un aumento (o disminución) de la Emec del sistema.

La variación de la Emec es igual al trabajo que realizó la fuerza no conservativa.

Es decir, si se tiene un sistema que con una energía mecánica de 100 Joule y después de que actuó una fuerza exterior la energía mecánica es de 120 J, se dice entonces que el trabajo que hizo la fuerza exterior vale 20 Joule.

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa es igual a la variación de la energía mecánica del sistema.

LF No-Cons = Em f − Em0

Enunciado del teorema delTrabajo y la EnergíaMecánica.

Teorema del T y la E. Mecánica.

varía. mec. energía La decir Es cumple Se

↑

≠ →≠ → 0mf mmec EE0E∆ Si sobre el sistema

dado actúan fuerzas noconservativas ( Es decir el roz o unaFuerza F exterior).

Si sobre el sistemadado sólo actúan fuerzasconservativas ( Es decir,no actúa ni el rozamientoni una Fuerza exterior).

varía. no mec. energía La decir Es cumple Se

↑

= →= → 0mf mmec EE0E∆

161

En un sistema donde actuó una fuerza no conservativa, la energía que falta ( o sobra ) con respecto a la Emec que había al principio es el trabajo que hizo la fuerza no-conservativa.

Diagramas de energía; equilibrio estable e inestable. Sistemas de partículas Definición de momento lineal (cantidad de movimiento) de una partícula. Momento lineal de dos ó más partículas.

Curvas de energía potencial.

Vamos a interpretar gráficamente las relaciones energéticas mediante la representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle elástico de constante k,

Ep = kx2/2.

Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que tiene un mínimo en x = 0 cuyo valor es Ep = 0.

Las región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. O bien, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

Podemos observar como cambian los valores de la energía cinética (en color rojo) y potencial (en color azul) a medida que se mueve la partícula a lo largo del eje X.

Fig. 7

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda.

En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

162

El potencial de Morse.

Hemos descrito el movimiento de una partícula a partir de la representación gráfica de la energía potencial de dicha partícula. En general, la función energía potencial no es tan simple como la que corresponde a una partícula unida a un muelle. Para fijar, el concepto de la conservación de la energía mecánica de una partícula, vamos a examinar un ejemplo más, el movimiento de una partícula en el potencial de Morse, dado por la función

xx

P eeE −− −= 22

Esta función no es simétrica y tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es Ep = -1.

Podemos observar, que la partícula no describe un movimiento armónico simple de amplitud A, sino que se mueve en una región comprendida entre -A1 y A2

.

Ahora bien, cuando la energía total de la partícula está cerca del mínimo E>-1, el movimiento de la partícula es aproximadamente armónico simple. La razón estriba en que toda función se puede aproximar a una parábola en las proximidades del mínimo x0, en el cual la derivada primera de la función Ep es cero.

).(21)( 02

2

0

xxdx

EdxEE

x

popp −

+≈

En este ejemplo, queda más patente la asociación entre fuerza y pendiente de la curva. Observar que a la izquierda del origen la pendiente es pronunciada, por lo que la fuerza sobre la partícula es grande. En el origen, la pendiente es nula, la fuerza sobre la partícula es cero (situación de equilibrio) y a la derecha la pendiente se va haciendo cada vez más pequeña (la función potencial tiene una asíntota horizontal), por lo que la fuerza disminuye a medida que se aleja del origen hacia la derecha.

Conservación del momento lineal en los sistemas aislados. El impulso de una fuerza; relación entre el impulso y el cambio de momento. Fuerzas impulsivas.

Momento lineal e impulso

El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

p = m.v

Se define el vector fuerza como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

dtdpF =

163

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

amdtdvm

dtvmdF .).(

===

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando

∫=−=tf

tiif dtFppdtFdp ..

Fig. 8

A la izquierda tenemos la variación de momento lineal, y a la derecha la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf. La integral es el área sombreada bajo la curva fuerza tiempo.

En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newtons.

Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

Como ya se mencionó, se dice que hay un Impulso ( I ), cuando una fuerza constante, actúa en un intervalo de tiempo y se demuestra que esto ocurre cuando hay un cambio en la cantidad de movimiento ( P).

De esta manera tendremos,

I = F. t

I = F. t = m.a. t = m. Vt . t = m. V = m.(Vf − V0) = m.Vf − m.Vo = Pf − P0 = P

Luego, I = P

164

Dinámica de un sistema de partículas

Sea un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol (y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento lineal con el tiempo es igual la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada, es decir, el movimiento de cada partícula viene determinado por las fuerzas interiores y exteriores que actúan sobre la partícula.

Fig. 9

Sumando miembro a miembro y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

2121 )( FF

dtppd

+=+

⇒ extFdtdP

=

Donde P es el momento lineal total del sistema y Fext es la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema de partículas. El movimiento del sistema de partículas viene determinado solamente por las fuerzas exteriores.

2212

1211

FFdt

dp

FFdtdp

+=

+=

165

Conservación del momento lineal de un sistema de partículas

Considérese dos partículas que pueden interactuar entre sí pero que están aisladas de los alrededores. Las partículas se mueven bajo su interacción mutua pero no hay fuerzas exteriores al sistema presentes.

La partícula 1 se mueve bajo la acción de la fuerza F12 que ejerce la partícula 2. La partícula 2 se mueve bajo la acción de la fuerza F21 que ejerce la partícula 1. La tercera ley de Newton o Principio de Acción y Reacción establece que ambas fuerzas tendrán que ser iguales y de signo contrario.

F12 +F21 =0

Fig. 10

Aplicando la segunda ley de Newton a cada una de las partículas

0)( 2121 =+

=+dt

ppddt

dpdt

dp

El principio de conservación del momento lineal afirma que el momento lineal total del sistema de partículas permanece constante, si el sistema es aislado, es decir, si no actúan fuerzas exteriores sobre las partículas del sistema. El principio de conservación del momento lineal es independiente de la naturaleza de las fuerzas de interacción entre las partículas del sistema aislado

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

Donde u1 y u2 son las velocidades de las partículas 1 y 2 antes del choque y v1 y v2 las velocidades de dichas partículas después del choque.

Colisiones; tipos de colisiones: elásticas, inelásticas, plásticas y explosivas. Colisiones en una y dos dimensiones.

Colisiones

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

166

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.

Qumumvmvm ++=+ 2

22212

11212

22212

1121 ....

La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

Coeficiente de restitución

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión

).( 2121 uuevv −−=−

donde e es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la velocidad relativa de alejamiento, dividido entre la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

Choques elásticos

Podemos obtener de forma alternativa las velocidades v1 y v2 después del choque el coeficiente de restitución e.

Principio de conservación del momento lineal

m1u1 + m2u2 = m1v1 + m2v2

167

En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0.

2

22212

11212

22212

1121 .... umumvmvm +=+

Dados u1 y u2, las velocidades de las partículas m1 y m2 antes del choque, podemos calcular las velocidades de las partículas v1 y v2 después del choque.

21

212112

21

121221

).(2

).(2

mmummumv

mmummumv

+−+

=

+−+

=

Fig. 11

Son las mismas ecuaciones que hemos obtenido previamente con u2=0, y el coeficiente de restitución e=1.

Choques bidimensionales.

Supongamos que chocan dos discos o esferas de masas m1 y m2 y radios r1 y r2.

Fig. 12

Se denomina parámetro de impacto b a la distancia entre la dirección de la velocidad del primer disco u1 y el centro del segundo disco que suponemos inicialmente en reposo.

θsin)( 21 rrb +=

168

La conservación del momento lineal respecto de los ejes X e Y orientados según se especifica en la figura se escribe

)sin(sin)cos(cos

1111

112211

ϕθθϕθθ

+=++=

vmumvmvmum

El coeficiente de restitución cambiado de signo, entre la velocidad relativa se separación a lo largo del eje X y la velocidad relativa de aproximación a lo largo del mismo eje.

θϕθ

cos)cos(.

1

12

uvve +−

=

Dado el parámetro de impacto b obtenemos el ángulo θ . De la segunda y tercera ecuación podemos despejar el ángulo entre las direcciones de las velocidades de las partículas después del choque

θϕθ tan.)tan(21

21

emmmm

−+

=+

21

112

11

cos)1()sin(

sinmmeumvuv

+−

=+

=θ

ϕθθ

La velocidad del centro de masas en el sistema de referencia X-Y de la figura es

jmm

umimm

umvcm21

11

21

11 sincos+

++

=θθ

Las velocidades de las partículas respecto del centro de masa

21

112

21

121

21

112

21

121

mmuemv

mmuemv

mmumu

mmumu

cmcm

cmcm

+−

=+

−=

+=

+=

Como podemos fácilmente comprobar se cumple el principio de conservación del momento lineal.

00

2211

2211

=+=+

cmcm

cmcm

umumvmvm

169

La energía perdida en la colisión Q es la diferencia de las energías cinéticas después del choque y antes del choque

θ221

21

212 cos).1(21 u

mmmmeQ

+−=

Definición de centro de masa; posición, velocidad y aceleración del centro de masa. Movimiento del centro de masa de un sistema de partículas.

El centro de masa.

El sistema de referencia del centro de masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparadas con el sistema de laboratorio (sistema-L).

En la figura, tenemos dos partículas de masas m1 y m2, como m1 es mayor que m2, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

21

2211

mmxmxmxcm +

+=

Fig. 13

En general, la posición rcm del centro de masa de un sistema de N partículas es

∑

∑= N

i

N

ii

cm

m

rmr

1

1.

La velocidad del centro de masas vcm se obtiene derivando con respecto del tiempo

MP

m

vmv N

i

N

ii

cm ==

∑

∑

1

1.

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

En un sistema asilado, el momento lineal total permanece constante, su centro de masas se mueve con velocidad constante.

170

Para un sistema de dos partículas

21

2211

mmvmvmvcm +

+=

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

21

21211

)(mm

vvmvvv cmcm +−

=−=

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

21

21122

)(mm

vvmvvv cmcm +−

=−=

En el sistema-C, las dos partículas parecen moverse con direcciones opuestas.

Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

p1cm = m1v1cm

p2cm = m2v2cm

p1cm = -p2cm

La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fácil de obtener

221 )(

21

cmkcmk vmmEE ++=

El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas . El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema.

En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

• el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa

• el movimiento interno relativo al centro de masas.

171


Ejemplo 1. Para los distintos valores del angulo alfa, calcular el trabajo de la fuerza f al recorrer la distancia “d”. En todos los casos F = 10 N Y d = 10 m.

a) α= 60°, b) α = 60° hacia abajo, c) α = 90°, d) α = 180°.

Fig.14

a) α = 60°

αcos..dFT =

JmNT 5060cos.10.105,0

== 321

b) α = 60° con la fuerza apuntando para abajo :

El ángulo α es siempre el que forma la fuerza F con la distancia d. (En este caso es 60°). Entonces:

JmNT 5060cos.10.105,0

== 321

c) Fuerza formando 90°

0º90cos..0

=⇒= TdFT 321

d) α = 180°

JmNT 100180cos.10.10

1

−==−321

Ejemplo 2. Un objeto de m = 2 Kg se mueve con v = 1 m/s. Calcular su Ec.

172

Fig. 15

JsmKgEc 1)/1.(2. 221 ==

Ejemplo 3. Se lanza un ladrillo al suelo con velocidad v = 10 m/s. sabiendo que se frena después de recorrer 2 m, calcular el valor de la fuerza de rozamiento. m ladrillo = 1 kg.

Fig. 16

El ladrillo recorre 2 m hasta que se frena. Veamos qué fuerzas actúan mientras se está frenando. Diagrama de cuerpo libre:

Fig. 17

La fuerza de rozamiento es la que hace que el ladrillo se vaya frenando. El peso y la normal no hacen trabajo. Entonces se usa el teorema del trabajo y la energía cinética. Se plantea que el trabajo de la fuerza de rozamiento tiene que ser igual a la variación de la energía cinética. Veamos:

cF ELROZ

∆=

2

0212

0

21 vmvmdF froz ⋅−⋅=⋅

dvm

FROZ ⋅⋅

=⇒2

20

( )m

smKgFROZ 22101 2

⋅⋅

=⇒ NFroz 25=⇒

173

El trabajo de la fuerza de rozamiento es “negativo“. Esto ocurre porque la velocidad va para la derecha →, y la fuerza de rozamiento va para el otro lado. Ver el siguiente esquema:

( )48476 1

180cos−

°⋅⋅= dFLroz

Otra forma de resolver este problema utilizando el enfoque de cinemática con dinámica:

d

va

⋅−

=⇒2

20

Usando que F = m ⋅ a : dvm

FROZ ⋅⋅

−=⇒2

20

Ejemplo 4. Una persona que camina con v = 3,6 Km/h arrastra un bloque de P = 50 Kgf una distancia de 10 m. Calcular la potencia entregada por la persona. µd = 0,2.

Fig. 18

El diagrama de cuerpo libre para el bloque es éste:

Fig. 19

Como la aceleración es igual a cero ( la velocidad es constante ), se tiene como conclusión que la fuerza que se hace tendrá que ser igual a la de rozamiento.

NF dROZ ⋅= µ

Se plantea:

KgfFROZ 10=⇒ KgfFROZ 502,0 ⋅=⇒ KgfFper 10=⇒

dF Lroz ⋅−=⇒davv f ⋅⋅=− 220

2

FROZ 180° v

174

La potencia que la persona entrega, la calculo como fuerza por velocidad: P = F.V

h Km 3,6Kgf10P ⋅=⇒ smNP 18,910 ⋅⋅=⇒

hombre. del Watt P

Potencia ←=⇒ 98

La potencia que entrega la persona no se almacena en ninguna parte. Todo lo que la persona entregó se consumió con el rozamiento y se transformó en calor.

Ejemplo 5. Un resorte tiene una constante k = 10 kgf / m. y se lo estira 10 cm. calcular:

a) Qué trabajo hubo que hacer para estirarlo.

b) Qué energía potencial elástica quedó almacenada en el resorte.

a) La energía potencial elástica del resorte estirado 10 cm vale:

Fig. 20

( ) ( )2212

21 1,010 m

mKgfxE E Pot ⋅=∆⋅= κ Joule mKgfE E Pot 49,005,0 =⋅=⇒

b) El trabajo que se tiene que hacer para estirarlo, vale lo mismo que la energía elástica que el resorte tiene almacenada. O sea:

T estirarlo = 0,49 Joule.

Para estirar el resorte se hace un trabajo de 0,49 Joule. La energía elástica acumulada vale 0,49 J.

Ahora si se suelta el resorte, ¿qué energía será capaz de entregarme? R: 0,49 Joule “La energía no se pierde. Sólo se transforma”.

175

Ejemplo 6. Calcular la energía mecánica del carrito en el punto a.

Fig. 21

La energía mecánica del carrito en el punto A va a ser la suma de las energías cinética, potencial y elástica.

( ) msmKgsmKgEmA 18,9212 2

221 ⋅⋅+⋅=⇒

JouleEmA 6,20 =⇒

Ejemplo 7. Se suelta el resorte y este empuja al carrito que cae por la pendiente. calcular la emec del carrito en los puntos a, b y c. datos. m = 1 kg, x = 20 cm, k = 10 n/m.

Fig. 22

EN EL PUNTO A:

Aparentemente el carrito está quieto con el resorte comprimido 20 cm, y listo para empujarlo. La energía mecánica en el punto A será:

( )221

0 xhgmE AAm ∆⋅+⋅⋅+=⇒ κ

( )221

2 2,01018,91 m mNm

smKgE A m +⋅⋅=⇒ Joule E A m 10=⇒

AEApAcAm EEEE

0

) 0 A v(

++==

0 ( ← No hay resortes)

EmA = EcA + EpA + EEA

176

EN EL PUNTO B

BBB m hgmvmE ⋅⋅+⋅=⇒ 221

( ) msmKgsmKgE B m 5,08,9111 2

221 ⋅⋅+⋅=⇒ Joule E B m 4,5=⇒

En A, el carrito tiene una energía mecánica de 10 Joule y en B de 5,4 Joule. ¿Dónde están los 4,6 Joule que faltan? Se consumió en el rozamiento que hay entre A y B.

EN EL PUNTO C

C) en resorteshay no ,, hv ( E CCC m 00.000 ==++=⇒

C) en resorteshay no ,, hv ( E CCC m 00.000 ==++=⇒

0=⇒ C mE

Es decir, en el punto C el carrito no tiene energía mecánica. Su velocidad es cero (⇒ ½ m ⋅ v2 = 0), su altura es cero (⇒ P⋅h = 0) y no hay resortes.

Al igual que antes, toda la energía mecánica que el carrito tenía en B (5,4 J) la consumió el rozamiento. ¿Pero cómo? ¿No es que la energía siempre se conservaba? ¿No es que no se perdía sino que sólo se transformaba de una forma en otra?

Toda la energía mecánica que el carrito tenía se transformó en calor. El calor también es energía (energía calórica).

RESUMEN DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE TRABAJO Y ENERGÍA

Se tienen 2 casos posibles:

1 - Problemas en donde se conserva la energía mecánica. Problemas caso

2 - Problemas en donde NO se conserva la energía mecánica. Problemas caso .

BEBpBcBm EEEE

) resorteshay no ( 0

++=

177

Tipo de Problema Conclusión Se plantea que:

Caso

Sólo actúan fuerzas conservativas, es decir, no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza exterior.

La energía mecánica del sistema se conserva.

La energía mecánica final será igual a la inicial.

Emec f = Emec 0

Caso

Actúa por lo menos una fuerza NO conservativa, es decir, el rozamiento o una fuerza exterior F.

La energía mecánica del sistema NO se conserva.

⇒ La energía mecánica final NO será igual a la inicial.

TF no cons= Emf –Emo

Tabla 1.

Supongamos que se tiene un caso 1, la manera de razonar será la siguiente:

No actúa el rozamiento ni ninguna fuerza “F” exterior. Todas las fuerzas parecen ser conservativas. Por lo tanto al no haber fuerzas NO conservativas, la energía mecánica se tendrá que conservar. Lo que se tiene que plantear entonces es que:

finalmecinicalmec EE =

Ahora elijo el nivel cero de energía potencial y escribo:

EfpfcfEpc EEEEEE ++=++ 000

Tacho las energías que son cero y reemplazo las otras por lo que corresponda (Ec = ½m ⋅ v2, Ep = m⋅g⋅h y EE = ½ K ⋅ x 2).

Supongamos se tiene un caso , La manera de razonar será la siguiente:

En este problema actúa una fuerza NO conservativa que es el rozamiento (o una fuerza F exterior). La conclusión es que en este problema la energía mecánica no se va a conservar. Se plantea entonces que:

0 mf mcons no F EEL −=

Ahora elijo el nivel de referencia para la energía potencial y se escribe que:

178

)(0

000

44 844 7644 844 76E mf

mE

EpcfEpfcfconsnoF EEEEEET ++−++=

Se anulan las energías que son cero, se replantea todo lo demás por los datos del problema y de ahí se despeja lo que le pedido.

* NOTA: Para el caso y para el caso :

Algunos problemas tienen varios tramos. Eso pasa mucho en los problemas de montaña rusa de este tipo:

Fig. 23

En ese caso, puede ser que haya que plantear el teorema del trabajo y la energía mecánica varias veces ( Por ejemplo 1ro entre A y B, después entre B y C, etc ).

En ese caso habrá varios estados iniciales y varios estados finales, de manera que en vez hablar de Em0 convendrá hablar de EmA ( por ejemplo ) y en vez de poner Emf va a ser mejor poner EmB .( Esto sería cuando planteo el teorema entre A y B). Cuando lo planteo entre B y C pondré EmB en vez de Em0, y EmC en vez de Emf.

CASO

Ejemplo 8. Calcular con qué velocidad pasa el cuerpo por el punto B.

resortehay No 0h

E E E E E E

A

EBpBcBEApAcA

=↑↑

++=++000

Fig. 24

179

En este caso no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza exterior F, por lo tanto al no haber fuerzas no conservativas, la energía mecánica del sistema se tendrá que conservar. Planteo que:

mBmA EE =

Es decir, estoy usando el teorema del trabajo y la energía entre los puntos A y B. Nos queda:

( ) B

2B2

1221 hgmvm x K ∆ ⋅⋅+⋅=⋅

Reemplazando:

( ) m1sm9,82KgvKg20,8m

mN100 2

2B2

1221 ⋅⋅+⋅=⇒ 2

22 6,191 32

smKgvKgNm B +⋅=⇒

2

2

2

2

2

16,1932 BvKgsmKg

smKg ⋅=−⇒

Fig. 25

Ejemplo 9. Calcular con qué velocidad pasa el cuerpo por el punto B.

Fig. 26

Kgm mxmNK 2;8,0;100 ==∆=

quietoresortehay No 0h Cuerpo

E E E E E E

A

EBpBcBEApAcA

=↑↑

++=++000

22

2

1 4,12 BvKgsmKg ⋅=⇒

180

En este problema actúa una fuerza no conservativa que es el rozamiento, es decir que acá, la Energía mecánica no se va a conservar.

Voy a plantear entonces que:

meccons No E T ∆=

Aplicando el teorema entre los puntos A y B me queda:

mAmBcons No F EET −= mAmBroz F EET −=⇒

( )2

212

21 xhgmvmdmg BBd

N

∆⋅−⋅⋅+⋅=⋅⋅− κµ

( )221

22

21

2 8,010018,92218,921,0 mmNm

smKgvKgm

smKg B −⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅−⇒

2144,10 BvKgJ ⋅=⇒ J J vKgJ B 326,19196,1 2 −+⋅=−⇒

2

22

144,10

sm Kg

KgvB =⇒

smv B 23,3=⇒

Ejemplo 10. Calcular la distancia d que el cuerpo recorrió a lo largo del plano inclinado.

F = 10 N ; m = 1 Kg .

Fig. 27

En este problema actúa una fuerza no conservativa que es la fuerza exterior F. Conclusión: en este problema la energía no se va a conservar.

Planteo entonces que: meccons No ∆E T =

( )EApAcAEBpBcBroz EEEEEEdF

++−++=⋅−000

No hay

resorte vA = 0 hA = 0

181

Escribiendo el teorema entre los puntos A y B: mAmBcons. no F E E T −=

Fig. 28

Escribo el teorema entre los puntos A y B. Me queda :

BB hgmvmdF ⋅⋅+⋅=⋅⇒ 221

( ) Bhsm KgsmKgdN ⋅⋅+⋅=⋅⇒ 2

221 8,912110

Bhs

m KgsmKgd

sm Kg

⋅+=⋅⇒ 22

2

2 8,9210

Esta ecuación tiene 2 incógnitas que son hB y d. Pero hB y d están relacionadas por trigonometría.

Bhαsend. = Fig. 29

Reemplazando:

( ( ) )48476

43421

Bh

sends

m KgsmKgd

sm Kg

5,022

2

2 308,9210 °⋅+=⋅⇒ ds

m KgsmKgd

sm Kg

⋅+=⋅⇒ 22

2

2 9,4210

2

2

2 21,5smKgd

sm Kg

=⋅⇒

cuerpo. el recorre ) cm 39,2 ( 0,392mdque Distancia

←=⇒

( )EApAcAEBpBcBF de EEEEEEL

++−++=0000

No hay resorte vA = 0 hA = 0

No hay resorte

Nivel de referencia para la

energía potencial.

182

La cantidad de movimiento puede ser positiva o negativa

Ejercicios resueltos choques

Ejemplo 11. Calcular la cantidad de movimiento para los cuerpos de la figura. Adoptar sistema de referencia + hacia la derecha.

Fig. 30

Para cada cuerpo hago la cuenta m.v teniendo en cuenta el signo. Me queda:

PA = mA.VA = 2 kg.m/s

PB = mB.VB = - 9 kg.m/s

Fijémonos bien en el signo de la cantidad de movimiento para el cuerpo B. El cuerpo B se mueve al revés del eje x, por lo tanto su cantidad de movimiento es negativa. (Es decir, lo que es negativo es su velocidad. Por eso m.v es negativo).

Ejemplo 12. Sobre un cuerpo de m = 2 kg actúa una fuerza de 10 N. calcular la velocidad que tendrá al cabo de 10 s. suponer velocidad inicial v0 = 0; no hay rozamiento.

Fig. 31

00f vmvm∆tF ⋅−⋅=⋅

mtFv f

∆⋅=⇒

Kgssm Kgv f 2

10102 ⋅

⋅=⇒

smv f 50=⇒

183

Ejemplo 13. Se lanza sobre el piso un ladrillo con Vo = 50 m/s. El piso tiene rozamiento dinámico de coeficiente µd = 0,5. Calcular cuánto tiempo tarda en detenerse.

Fig. 32

Sobre el ladrillo actúa una fuerza exterior que es la fuerza de rozamiento.

Fig.33

N

droz mgF ⋅=⇒ µ

Lo que tengo entonces es esto:

Fig. 34

0PPI f −= 0

0

vmvmtF froz ⋅−⋅=∆⋅−⇒

0vmtmgd ⋅−=∆⋅⋅−⇒ µdg

vtµ⋅

=∆⇒ 0

segt 10=∆⇒5,010

502 ⋅

=∆⇒sm

smt

184

Ejemplo 14. Los cuerpos del dibujo chocan y quedan pegados. Calcular:

a) Con qué velocidad se mueven después del choque.

b) La cantidad de energía que se perdió.

Fig. 35

a) Si los cuerpos quedan pegados, se tiene un choque plástico.

La cantidad de movimiento ANTES del choque vale: BBAA vmvmP ⋅+⋅=0

La cantidad de movimiento DESPUÉS del choque vale: ( ) fBAf vmmP ⋅+=

Como en los choques la cantidad de movimiento se conserva, tiene que ser Pf igual a P0. Entonces:

( )44 844 7644 844 76 0P

BBAA

P

fBA vmvmvmmf

⋅+⋅=⋅+

( )smKg

smKgvKgKg f 4110515 ⋅+⋅=⋅+⇒

smKg vKg f 546 =⋅⇒

sm9v f =⇒

Los dos cuerpos se venían moviendo para la derecha, de manera que esta velocidad final será también para la derecha.

Fig. 36

b) Energía perdida en el choque.

La energía cinética que tienen los dos cuerpos antes de chocar es:

2

BB212

AA21

c0 vmvmE ⋅+⋅= ( ) ( )2212

21

c0 sm41Kgsm105KgE ⋅+⋅=⇒ .2580 Joule Ec =⇒

La energía cinética después del choque vale: ( ) 221

fBAf c vmmE ⋅+=

( ) ( )221 915 smKgKgE f c ⋅+=⇒ .243 Joule E f c =⇒

185

Entonces, la energía cinética perdida en el choque va a ser:

JJE Perdida c 243258 −= Joule E Perdida c 15=⇒

El porcentaje de la energía inicial representan estos 15 Joule. Al principio había 258 joule y de esos 258, se perdieron 15. Entonces:

%8,5100

25815%

JJE de Pérdida =×=

Es decir que en el choque plástico se perdió alrededor del 6% de la energía en calor durante el trabajo de deformación.

Ejemplo 15. Los cuerpos del dibujo chocan y quedan unidos. Calcular:

a) Con qué velocidad y hacia qué lado se mueven los cuerpos después del choque.

b) La energía perdida en el choque y qué porcentaje de la energía inicial se perdió.

c) Repetir los cálculos suponiendo que va = 2,5 m/s.

Fig. 37

a) El choque es plástico porque los cuerpos quedan pegados. La cantidad de movimiento se conserva. ( La energía NO ).

Elijo sentido positivo para las velocidades hacia la derecha →. Entonces queda:

Fig. 38

fPP =0 ( ) fBABBAA vmmvmvm ⋅+=⋅+⋅⇒

( ) ( ) smvvKgKgsmKgsmKg ff /151055110 −=⇒⋅+=−⋅+⋅⇒

Eje de

referencia.

186

El signo menos significa que la velocidad es negativa, es decir que apunta ← así. El estado final es éste:

Fig. 39

b) Energía perdida durante el choque.

La energía inicial vale: 2

212

21

0 BBAAc vmvmE ⋅+⋅=

( ) ( )2212

21

0 55110 smKgsmKgEc −⋅+⋅=⇒ .5,670 J Ec =⇒

La energía cinética al final, cuando los cuerpos quedan pegados, vale:

( ) 221

fBAf c vmmE ⋅+= ( ) ( )221 1510 smKgKgE f c ⋅+=⇒ .5,7 J E f c =⇒

La energía perdida en el choque es la diferencia entre estas dos energías:

JJE Perdida c 5,75,67 −= Joule E Perdida c 60=⇒

El porcentaje de la energía inicial que se perdió es:

100% ×=0 c

Per cPerdida E

EE de

%8,881005,67

60% J

J E de Perdida =×=

Es decir, cerca del 90% de la energía se pierde en el choque.

c) Repetir los cálculos para VA = 2,5 m/s.

Veamos que es lo que pasa acá:

Fig. 40

187

La cantidad de movimiento se conserva, de manera que la inicial tendrá que ser igual a la final.

Esto significa que:

( ) fBABBAA vmmvmvm ⋅+=⋅+⋅

( ) fvKgsmKgsmKg ⋅=−⋅+⋅ 15555,210 fvKg ⋅=⇒ 150 0=⇒ fv

Esto quiere decir que los cuerpos después del choque se quedan quietos. Chocaron y ahí quedaron.

Esto pasa porque los 2 venían inicialmente con la misma cantidad de movimiento y con sentidos contrarios, de manera que al chocar las dos se anulan.

Calculo de la energía perdida. La energía cinética al principio era:

2

212

21

0 BBAAc vmvmE ⋅+⋅= ( ) ( )2212

21

0 555,210 smKgsmKgEc −⋅+⋅=⇒

Al final los cuerpos quedan pegados y quietos, de manera que la energía cinética final es cero.

.75,930 J Ec =⇒

Toda la energía que tenían al principio se perdió. De los 93,75 Joule que había antes del choque no quedó nada. El 100% desapareció. Es decir se transformó en calor.

Ejemplo 16. Un cuerpo a de masa 10 kg viene con velocidad 20 m/s y choca al cuerpo b de masa 5 kg que inicialmente se encuentra en reposo. Los cuerpos chocan y rebotan. Calcular las velocidades de cada cuerpo después de la colisión. Suponer que no se pierde energía en el choque.

Es un choque elástico por que el problema aclara que se conserva la energía durante el choque.

Fig. 41

188

Se plantea la conservación de la cantidad de movimiento y la conservación de la energía. Veamos. Después del choque lo que se tiene es:

Fig. 42

Se toma un sistema de referencia positivo hacia la derecha y se plantea la conservación de las 2 magnitudes fundamentales.

Conservación de la cantidad de movimiento. P0 = Pf ⇒ mA.VAo + mB.VBo = mA.VAf + mB.VBf

En este caso la velocidad inicial de B es cero. Así que reemplazando por los datos nos queda:

10 kg . 20 m/s + 0 = 10 kg . VAf + 5 kg . VBf

Conservación de la energía. Em0 = Emf ⇒ ½ mA.VAo2 + ½ mB.VBo

2 = ½ mA.VAf2 + ½ mB.VBf

2

½ 10 kg.( 20 m/s )2 + 0 = ½ mA.VAf2 + ½ mB.VBf

2

Se tiene un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Estas ecuaciones son :

200 kg.m/s = 10 kg . VAf + 5 kg . VBf

2000 kg. m2/s2 = ½ 10 kg.VAf2 + ½ 5kg .VBf

2

Para resolverlo, es conveniente despejar VAf de la 1ra ecuación y reemplazarlo en la 2da.

10 kg . VAf = 200 kg.m/s - 5 kg . VBf ⇒ VAf = 20 m/s – 0,5 VBf

Se reemplaza en la otra ecuación y nos queda :

2000 kg. m2/s2 = ½ 10 kg. ( 20 m/s – 0,5 VBf ) 2 + ½ 5 kg.VBf

2

189

El kg sale factor común y se puede simplificar.

2000 m2/s2 = 5. ( 400 m2/s2 – 2. 20 m/s . 0,5 m/s. VBf + 0,25 VBf2 ) + 2,5 VBf

2

2000 m2/s2 = 2000 m2/s2 – 100 m2/s2 VBf + 1,25 VBf2 + 2,5 VBf

2

⇒ 3,75 VBf2 = 100 m2/s2 . VBf ⇒ VBf = 26,66 m/s

Esta es la velocidad que tiene el objeto B después del choque. El signo positivo me indica que esta velocidad va en el mismo sentido que el sistema de referencia, es decir, hacia la derecha. Reemplazando esta velocidad en cualquiera de las 2 ecuaciones que tenía al principio, se saca la velocidad del cuerpo A.

Se obtiene:

VAf = 20 m/s – 0,5 . ( 26,66 m/s ) ⇒ VAf = 6,66 m/s

El la velocidad final del cuerpo A después del choque es POSITIVA. Eso significa que A también se mueve para la derecha después del choque. Aunque en el dibujo inicial se dibujó hacia la izquierda, los cálculos nos confirmaron lo contrario.

Ejemplo 17. El carrito de la figura de masa ma = 3 kg se mueve con velocidad inicial v0 = 4 m/s y golpea contra el péndulo b de masa mb = 5 kg y longitud 1 m. como resultado de la interacción, el péndulo se aparta un ángulo α de su posición de equilibrio. Calcular el valor del ángulo alfa suponiendo que el choque fue totalmente elástico.

Fig. 43

Lo que se tiene que calcular en este problema es la velocidad con la que sale la bola B después del choque. Para eso tendría que plantear un choque elástico. Eso es exactamente la situación del ejemplo anterior a este. Obtenemos:

VBf = 3 m/s

Después del choque la bola del péndulo se empieza a mover con una velocidad de 3 m/s hacia la derecha. Veamos hasta que altura llega un objeto que viene con esa velocidad. Se hace un planteo por energía

190

Después del choque la energía mecánica se conserva. Quiere decir que la Energía mecánica al principio tendrá que ser igual a la energía mecánica al final.

Entonces : B EMB = EMA A

Fig. 44

EpB = EcA ⇒ mB g hB = ½ mB.VB2 ⇒ hB = VB

2 / 2g ⇒ hB = ( 3 m/s )2 / 2 . 10m/s2 ⇒ hB = 0,45 m

Ahora teniendo esta altura, se puede calcular el ángulo alfa.

h = l – l cos α

Fig. 45

Entonces:

0,45 m = 1 m – 1 m cos α

1 m cos α = 1 m - 0,45 m ⇒ cos α = 0,55

α = 56,63 °

Ejemplo 8. Un carro y un camión que vienen moviéndose en direcciones perpendiculares, chocan al llegar a la esquina. Calcular la velocidad final luego del choque y su dirección.

Nota: los vehículos quedan pegados después del choque.

hB

191

Se plantea la conservación de la cantidad de movimiento en cada eje. Después del choque los 2 cuerpos quedan pegados y salen juntos con la misma velocidad.

Fig. 47

Entonces, en el eje x: P0x = Pfx

mA.V0A = ( mA + mC ). Vfx ⇒ 1000 kg.20 m/s = ( 1000 kg + 5000 kg ). Vfx

En el eje Y: P0y = Pfy

mC.V0C = ( mA + mC ). Vfy ⇒ 5000 kg.10m/s = ( 1000 kg + 5000 kg ). Vfy

Nos quedó un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Las incógnitas son las velocidades finales en X y en Y . Nos queda:

20000 kg.m/s = 6000 kg . Vfx

50000 kg.m/s = 6000 kg . Vfy

Despejando Vfx y Vfy :

Vfx = 3,33 m/s

Vfy = 8,33 m/s

Componiendo estas 2 velocidades por Pitagoras se obtiene la velocidad total.

VT = 8,97 m/s

Para sacar el ángulo que forma la velocidad final con el eje Equis, se plantea:

Fig. 48

3,33 m

8,33 m

Situación después del choque Angulo α

192

Entonces, del triángulo:

º685,2tan33.333,8tan =⇒=⇒= ααα

Conclusión: Después del choque el auto y el camión siguen moviendose juntos con una velocidad de 8,97 m/s formando un ángulo de 68 ° con el eje equis.

En este ejemplo los cuerpos venían inicialmente en forma perpendicular. En caso de tener un choque donde inicialmente los cuerpos vinieran pero formando un ángulo que no fuera 90°, el problema se resolvería de la misma manera, solo que inicialmente las velocidades formarían un determinado ángulo con el eje “x” y de entrada habría que descomponerlas en los ejes coordenados. .

Cuando se tiene una situación de este tipo, lo que conviene hacer el adoptar el eje en la misma dirección de uno de los cuerpos que vienen.

Fig. 49

Ejemplos de choques entre cuerpos que no vienen incialmente formando un ángulo de 90 ° y sistema de referencia que conviene adoptar para resolver el problema.

193


Gómez, G.( 2009). Manual de las Ciencias Básicas y del Cálculo analítico. UNEFA.Carabobo Hewitt, P. (1999). Física Conceptual. Pearson Serway. (1992) . Física. Editorial McGraw-Hill Tipler (1994). Física. Editorial Reverté PAGINAS WEB CONSULTADAS. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm http://es.wikipedia.org http://intranet.frsfco.utn.edu.ar http://www.lomasdeterciopelo.co.cr/apache2-default/joomla_esp/index.php/apoyo-educativo/mecanica-clasica http://science.widener.edu/svb/tutorial/sigfigures.html http://lectureonline.cl.msu.edu http://antoine.frostburg.edu/

194

UNIDAD 4. LA PARTÍCULA Y EL CUERPO RÍGIDO. LECTURA Nº 7: SÓLIDO RÍGIDO.

Material elaborado y recopilado con fines instruccionales por: Gómez Gustavo (2009). Sólido Rígido. Artículo no publicado. (Valencia).

Cuerpo rígido Definición de cuerpo rígido. Centro de masa y centro de gravedad en un rígido. Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Se define el sólido rígido como un cuerpo indeformable, de modo que las posiciones relativas de las partículas que lo constituyen se mantienen invariables.

Se describe el movimiento del sólido rígido como la composición de dos tipos de movimiento, traslación del centro de masas y rotación en torno a un eje que pasa por dicho punto. Como el sólido rígido es un caso particular de sistema de partículas, podemos aplicar para su estudio los teoremas vistos en la lectura Nº 6.

Centro de masa y centro de gravedad.

El centro de masas, es el punto en el cual hay que aplicar una fuerza exterior para que solo se produzca un movimiento de translación. En la sección 4.5 de la lectura Nº 4, se hace una explicación detallada del centro de masa.

El centro de gravedad de un cuerpo es el lugar donde está aplicada la fuerza peso.

Fig. 1

Si el cuerpo es simétrico, el C.G. va a coincidir con el centro geométrico del cuerpo. Por ejemplo para un cuadrado o para un círculo, el C.G. va a estar justo en el centro de la figura.

Para hallar el centro de gravedad de un cuerpo y si la figura está compuesta por varias figuras simétricas, se calcula el peso de cada una de las figuras y se lo coloca en el centro geométrico de esa figura.

Fig. 2

195

El peso de cada figura es proporcional a la superficie de esa figura. Luego, se obtiene la resultante de todos esos pesos parciales. El centro de gravedad es el lugar por donde pasa la resultante de todos esos parciales (Ver sección 4.1.4).

Rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo.

Concepto de momento de una fuerza.

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M=r´F

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

El módulo es el producto de la fuerza por su brazo (la distancia desde el punto O a la recta de dirección de la fuerza). M=Fd

Fig. 3

La dirección es perpendicular al plano que contiene la fuerza y el punto, la que marca el eje del tornillo.

El sentido viene determinado por el avance del tornillo cuando hacemos girar a la llave.

Podemos también definir momento de una fuerza con respecto a un eje de giro, a la magnitud medida por el producto de la fuerza perpendicular a la línea que une el eje de rotación con el punto de aplicación de la fuerza, por la distancia "b", que existe entre dicho eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza.

Eje de giro

Sentido del giro

F b

M = F. b (New.m)

Fig. 4

196

Momentos positivos: Un momento es positivo, cuando la fuerza aplicada produce un movimiento en sentido contrario a las agujas del reloj.

Momentos negativos: Un momento es negativo cuando la fuerza aplicada produce un movimiento en el mismo sentido que las agujas del reloj.

Momentos nulos: Un momento es nulo, cuando la fuerza no produce giro (movimiento de rotación).

Ejemplos

Ejemplo 1 Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas:

¿En qué situaciones se introduce el tornillo?

¿En que situaciones se saca el tornillo?

¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.

Fig. 5

En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·d.

En la segunda figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia dentro (sentido contrario al anterior). El módulo del momento es F·2d.Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que disponiendo de una llave más corta.

En la tercera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·sen30·2d=F·d. Esta situación es equivalente a la primera.

Tal y como se señalara anteriormente, un momento se considera positivo si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario a las agujas del reloj.

Un momento se considera negativo si el tornillo entra, la llave gira en el sentido de las agujas del reloj.

197

Fig. 6

Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O.

Si colocamos un peso P a una distancia x delorigen. El momento de esta fuerza respecto del origen O es P·x.

Para que la barra está en equilibrio la fuerza Fdeberá ser tal que el momento total sea nulo. -F·d+P·x=0, de modo que F=P·x/d.

Ejemplo 2. Tenemos una barra de 50 cm de longitud, que dispone de ganchos situados en las divisiones 0, 5, 10, 50 cm. Un extremo de la barra (el origen) está sujeto y del otro extremo cuelga de un dinamómetro. El dinamómetro se ha ajustado de modo que cuando no cuelga ninguna pesa en la barra éste marque cero.

El dinamómetro nos muestra la fuerza F que ejerce en el extremo izquierdo de la barra, para mantenerla horizontal y en equilibrio. La fuerza viene expresada en gramos que podemos convertir a newtons.

1gramo-fuerza=0.001·9.8=0.0098 N» 0.01 N

Supongamos que hemos colgado las seis pesas disponibles en las posiciones que se indican en la figura

Fig. 7

Pesa (g) Brazos (cm) Momento

10 35 10 450

25 50 20 1750

50 25 20 2250

Total 4450

Tabla 1

198

El momento total es igual al momento de la fuerza que ejerce el dinamómetro, para que el sistema esté en equilibrio.

4450 - F·50 = 0, por lo que F = 89 gramos-fuerza=0.87 N.

Energía cinética de rotación; trabajo, energía y potencia en el movimiento de rotación.

Energía cinética de rotación

Las partículas del sólido describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=w ·ri . La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia (ver 4.3.1) y la velocidad angular de rotación

Trabajo, energía y potencia en el movimiento de rotación.

En otro la Lectura Nro 4, relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula con la variación de energía cinética de dicha partícula.

Fig. 8

Considérese un cuerpo rígido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdθ en el tiempo dt es

Fsenφ, es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

199

El momento de la fuerza es el producto de la componente tangencial de la fuerza por el radio. La expresión del trabajo la podemos escribir de forma alternativa

θdMdW .=

El trabajo total cuando el sólido gira un ángulo θ es

===== ∫∫∫∫ ωθθωθαθϑϑϑϑ

ddtdId

dtdIdIdMW

0000

...

∫ −=θ

ωωωα0

20

2

21

21 IIdI

En la deducción se ha tenido en cuenta la ecuación de la dinámica de rotación M=Iα , y la definición de velocidad angular y aceleración angular.

Se obtiene una ecuación análoga al teorema trabajo-energía para una partícula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo modifica su energía cinética de rotación.

Momento de inercia; teorema de Steiner. Momento de torsión de una fuerza: relación entre el momento de torsión y la aceleración angular. Poleas reales. Traslación pura de cuerpos rígidos.

Momento de Inercia.

El momento de inercia “I”, se define como la sumatoria del producto de las masas de un sistema de masas y el cuadrado de la distancia que las separa del eje de rotación. Es decir:

∑=i

ii rmI1

2.

Teorema de Steiner

El teorema de Steiner es una fórmula que nos permite calcular el momento de inercia de un sólido rígido respecto de un eje de rotación que pasa por un punto O, cuando conocemos el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior y que pasa por el centro de masas.

Considérese la figura

200

Fig. 9

El momento de inercia del sólido respecto de un eje que pasa por O es

∑= 20 . ii rmI

El momento de inercia respecto de un eje que pasa por C es

∑= 2. iic RmI

Para relacionar IO e IC hay que relacionar ri y Ri.

En la figura, tenemos que

22221

222 2)( ddxRydxyxr iciicciii ++=++=+= MdIImdxmdRmI ciiciii

20

220 2 +=⇒++= ∑ ∑ ∑

El término intermedio en el segundo miembro es cero ya que obtenemos la posición xC del centro de masa desde el centro de masa. M es la masa total del sólido.

Poleas reales. Traslación pura de cuerpos rígidos.

Una polea, es una máquina simple que sirve para transmitir fuerza. Desde el punto de vista de la mecánica clásica se puede dividir en poleas ideales y poleas reales.

Las poleas ideales no tienen masa por lo cual no modifican la tensión a ambos de lados de ella. Es decir que la tensión a lo largo de todo una ideal que pasa por las poleas ideales mantienen su valor, es decir T1 = T2.

Fig. 10

201

Las poleas reales poseen un momento de inercia que modifica la tensión a ambos lados de la cuerda, en otras palabras T1 ≠T2. Esto se debe a que el torque neto sobre la polea es:

M = R.( T2 - T1)

Rodadura: solución dinámica y energética; papel de la fuerza de roce en la rodadura. Momento angular de una partícula, de un sistema de partículas y del cuerpo rígido.

A continuación se presentan algunos ejemplos de traslación de cuerpos rígidos sujetos a poleas, donde se aplicarán las ecuaciones de la dinámica de rotación y el principio de conservación de la energía.

Consideraremos tres casos que consisten en cuerdas enrolladas a través de una polea, de las que penden pesas tal como se muestra en la figura 12.

Fig. 12

A partir del tiempo que tarda una pesa en recorrer una determinada altura, partiendo del reposo y considerando las masas de las pesas, y de los radios interior y exterior de la polea, se calcula el momento de inercia por dos procedimientos

- Aplicando las ecuaciones de la dinámica

- Aplicando el principio de conservación de la energía

Describiremos a continuación, cada una de los tres situaciones desde el más sencilla a la más complicada

202

Primer Caso

Método 1: conservación de la energía

La comparación de la situación inicial y la situación final nos permite formular rápidamente el principio de conservación de la energía.

Fig. 13

La pesa de masa m desciende una altura h.

La pesa de masa m incrementa su velocidad en v

La polea gira con velocidad angular ω

La energía potencial disminuye en mgh, su energía cinética se incrementa en mv2/2, y lo mismo ocurre para sólido en rotación, su energía cinética se incrementa en Iω 2/2.

La ecuación del balance energético es

22

21

21 ωImvmgh +=

La velocidad v se calcula a partir de h y del tiempo t que tarda la pesa en descender esta altura, partiendo del reposo.

atv

ath

=

= 2

21

La velocidad angular ω está relacionada con la velocidad v de la pesa que a su vez, es la misma que la velocidad de un punto del borde de la polea de radio r (siendo r el radio interior de la polea).

rv .ω=

Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido. (hacer como ejercicio)

203

Altura h

Tiempo t

Velocidad v

Radio r

Velocidad angular ω

Masa de la pesa m

Momento de inercia I

Tabla 2

Método 2: dinámica

En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento.

La ecuación de la dinámica de rotación de la rueda es

Tr=Iα

La ecuación de la dinámica de traslación del bloque es

mg-T=ma

La relación entre la aceleración angular α del disco y la aceleración a de la pesa es la misma que la existente entre sus respectivas velocidades

a=α r

Fig. 14

Conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

2

21 ath =

A partir de la medida del radio r de la rueda (interior o exterior, según el caso), se calcula la aceleración angular α del disco, la tensión T de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

204

Altura h

Tiempo t

Aceleración a

Radio r

Aceleración angular α

Masa de la pesa m

Tensión de la cuerda T


Tabla 3

Segundo Caso


Comparando la situación inicial y la final apreciamos de un vistazo las variaciones de energía que han experimentado los cuerpos que intervienen.

Fig. 15

La pesa m2 desciende una altura h.

La pesa m1 asciende la misma altura h.

La pesa m1 aumenta en v su velocidad.

Lo mismo le ocurre a la pesa m2

La rueda gira con velocidad angular ω .

Se formula el principio de conservación de la energía

222

2112 2

121

21 ωIvmvmghmghm +++=

Calculando la velocidad v a partir de h y del tiempo t que la pesa tarda en descender esta altura, partiendo del reposo, y relacionando v con velocidad angular de la rueda, se obtiene el momento de inercia I.

205

Completar la siguiente tabla y despejar el momento de inercia desconocido

Altura h

Tiempo t

Velocidad v

Radio R


Masa de la pesa m1

Masa de la pesa m2


Tabla 4

Método 2: Dinámica

En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

Fig. 16

m2g-T2=m2a

T1-m1g=m1a

T2R-T1R=Iα

a=α R

Como en el ejemplo anterior, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa y la altura h desde la que cae, se determina la aceleración a

A partir de la medida del radio exterior R de la rueda, se calcula la aceleración angular α del disco, las tensiones T1 y T2 de la cuerda y se despeja el momento de inercia I desconocido.

206

Altura h

Tiempo t

Aceleración a

Radio R


Masa de la pesa m1

Masa de la pesa m2

Tensión de la cuerda T1



Tabla 5

Tercer Caso


Comparando el estado inicial y final observamos que

Fig. 17

La pesa m1 desciende una altura h1

La pesa h2 asciende una altura h2

La pesa m1 incrementa su velocidad en v1

La pesa m2 incrementa su velocidad en v2

La rueda está girando con velocidad ω

Formulamos el principio de conservación de la energía

22

222

112211 21

21

21 ωIvmvmghmghm +++=

Existe una relación entre h1 y h2, la misma que existe entre v1 y v2. Recordaremos que las magnitudes angulares son las mismas para todos los puntos del sólido en rotación mientras que las magnitudes lineales son proporcionales al radio.

v1=ω r1 v2=ω r2 h1=θ r1 h2=θ r2

207

ω es la velocidad angular de la rueda y θ es el ángulo girado en el tiempo t.

Dados los datos de h1, la altura que cae la masa m1 y el tiempo t que tarda en caer, y a partir de las medidas de los radios interior r2 y exterior r1 de la rueda podemos calcular, el momento de inercia I desconocido de la rueda, siguiendo los mismos pasos que en los ejercicios previos.


Altura h1

Radio r1

Radio r2

Altura h2

Tiempo t

Velocidad v1


Velocidad v2

Masa de la pesa m1

Masa de la pesa m2


Tabla 6

Método 2: dinámica

En la figura se han dibujado el esquema de las fuerzas sobre los cuerpos que intervienen en el movimiento. A partir de este esquema formulamos las ecuaciones de la dinámica de cada uno de los cuerpos.

Fig. 18

M1g-T1=m1a1

T2-m2g=m2a2

T1r1-T2r2=Iα

a1=α r1

a2=α r2

208

Como en los ejemplos anteriores, conocido el tiempo t que tarda en caer la pesa m1 y la altura h1 desde la que cae, se determina la aceleración a1. Con los datos de los radios r1 y r2, se determina α y a2. A continuación T1, T2 y finalmente I.


Altura h1

Altura h2

Tiempo t

Aceleración a1

Radio r1

Radio r2


Aceleración a2

Masa de la pesa m1

Masa de la pesa m2




Tabla 7

La ecuación de rotación en función del momento angular. Conservación del momento angular en los sistemas aislados.

Momento angular de una partícula

Fig. 19

Se define momento angular de una partícula al producto vectorial del vector posición r por el vector momento linealmv

L=r×mv

209

Momento angular de un sólido rígido

Las partículas de un sólido rígido en rotación alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotación con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen vi=ω ·ri

Fig. 20

En la figura se muestra el vector momento angular Li de una partícula de masa mi cuya posición está dada por el vector ri y que describe una circunferencia de radio Ri con velocidad vi.

El módulo del vector momento angular vale Li=rimivi

Su proyección sobre el eje de rotación Z vale

Liz=ricos(90-θ i)mivi, es decir,

El momento angular de todas las partículas del sólido vale

∑ iLL

La proyección Lz del vector momento angular a lo largo del eje de rotación es

∑ ∑== ω)( 2iiizz RmLL

El término entre paréntesis se denomina momento de inercia

∑= 2ii RmI

210

Fig. 21

En general, el vector momento angular L no tiene la dirección del eje de rotación, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyección Lz a lo largo del eje de rotación. Cuando coinciden se dice que el eje de rotación es un eje principal de inercia.

Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma dirección, la del eje de rotación

L=Iω

El momento de inercia no es una cantidad característica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posición del eje de rotación. El momento de inercia es mínimo cuando el eje de rotación pasa por el centro de masa.

Ecuación de la dinámica de rotación

Consideremos un sistema de partículas. Sobre cada partícula actúan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interacción mutua entre las partículas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partículas. Sobre la partícula 1 actúa la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partícula 2, F12. Sobre la partícula 2 actúa la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partícula 1, F21.

Por ejemplo, si el sistema de partículas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores serían las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores serían la atracción mutua entre estos dos cuerpos celestes.

Fig. 22

Para cada unas de las partículas se cumple que la variación del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula considerada.

).(

).(

21222

12111

FFrdt

dL

FFrdt

dL

+=

+=

211

Sumando miembro a miembro y aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que

1221221121 ).(.)( FrrFrFr

dtLLd

−++=+

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda

extMdtdL

=

La derivada del momento angular total del sistema de partículas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actúan sobre las partículas del sistema.

Consideremos ahora que el sistema de partículas es un sólido rígido que está girando alrededor de un eje principal de inercia, entonces el momento angular L=Iω, la ecuación anterior la escribimos

MdtId

=)( ω o bien MI =α.

Principio de conservación del momento angular

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

cteLMsidtdLM extext =⇒== ,0,

Equilibrio estático de cuerpos rígidos sometidos a sistemas de fuerzas planos; distintos tipos de apoyo: rodillo eje suave, y filo de navaja.

Fuerza resultante sobre cuerpos rígidos.

Cuando dos fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido (por ejemplo una barra de metal), nos encontramos ante el problema de la ubicación de la fuerza resultante a lo largo de la barra. El procedimiento para hallar el punto de aplicación de la fuerza resultante, "para que la barra experimente solo un movimiento de translación", se halla según los siguientes pasos.

212

Encima de la fuerza de mayor magnitud (mas grande) colocamos la menor siguiendo el mismo sentido.

Opuesta a la fuerza de menor magnitud (mas pequeña) colocamos la mayor (punto P).

Se unen con una recta los extremos obtenidos en los pasos anteriores (punto Q).

El punto de corte entre la recta trazada y la barra (C) será el pto. de aplicación de la fuerza resultante.

Fuerzas paralelas y del mismo sentido.

F 1 F 2 F 1

F 2

F 2

F 1

F 1 F 2

F 2

F 1

Fr

F 2 F 1 Fr= + M1- M2 = 0, entonces M1 = M2

conserva elel sentido de lasfuerzas.

Q

P

C xx

x1 x2

x1 = distancia entre C y F1x2 = distancia entre C y F2x = Distancia entre F1 y F2 x = x1 + x2

Fig. 23

Fuerzas paralelas y de sentidos opuestos.

F 1

F 2 F 2

F 2 F 1

F 1

F 2

F 2 F 1

F 1

Fr

F 2 F 1 Fr = -M1 - M2 = 0, entones M1 = M2

Tiene el sentidode la mayor.

P

Q

C x

x1x2

x1 = distancia entre C y F1x2 = distancia entre C y F2x = Distancia entre F1 y F2

x

x = x1 - x2

Fig. 24

Obsérvese, que los momentos que producen las fuerzas, con respecto a el punto C, son opuestos y de la misma magnitud, para que solo se produzca un movimiento de translación debido a la acción de la fuerza resultante la cual, cuando ambas son del mismo sentido, será la suma de los módulos de las fuerzas aplicadas, mientras que cuando son de sentidos opuestos, será la diferencias de las mismas.

213

Condiciones de equilibrio en cuerpos rígidos.

Un cuerpo rígido está en equilibrio cuando la sumatoria de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo es cero (fuerza resultante nula) y la sumatoria de los momentos producidos por las fuerzas con respecto a algún eje de rotación es también es cero. Es decir, el cuerpo no presenta ni movimiento de rotación y/o translación.

Condiciones de equilibrio: F = 0 1era condicion de equilibrio.M = 0 2da condicion de equilibrio.

Ejemplo 3.

F1 P

N

F2

x 5 m

Hallar la posición del fulcro y la fuerza que este ejerce sobre la barra, de tal manera que esté en equilibrio,siendo la masa la barra 3 kg, F1 = 10 New y F2 = 50 New

fulcro.

Fig. 25

La figura 25, nos indica la posición de las fuerzas a lo largo de la barra. El fulcro (punto de apoyo de la barra), ejerce sobre la barra una fuerza normal de magnitud desconocida (N). El peso de la barra (P), está ubicado en el centro de masa de la barra (pto. medio de la barra). Según la condiciones de equilibrio podemos escribir:

F = 0 e F1 + P + N − F2 = 0, donde :

F1 = 10 NewF2 = 50 NewN = incognitaP = m.g = 3 Kg. 9,8m/seg2 = 29,4New

Luego: 10 New + 29,4 New + N − 50 New = 0 e N = − 10 New − 29, 4 New + 50 New = 10, 6 New

La posición de la barra, la hallamos valiéndonos de la segunda condición de equilibrio. Nótese que F1 y F2 producen un momentos negativos (giro en sentido horario), el peso de la barra (P) produce un peso positivo y la normal (N), no produce momento ya que está aplicada sobre el punto de rotación.

M = 0 e MP − M1 + MN − M2 = 0 e P. x2 − F1.x + N.0 − F2.(5m − x )

(29,6 New) .x2 + (10 New).x − (50 New).(5m −x) = 0 e x = 3,35m

214

Movimiento oscilatorio armónico: Estudio cinemático de un oscilador armónico. Estudio cinemático, dinámico y energético del resorte ideal, del péndulo ideal y del péndulo físico

Movimiento Armónico simple (M.A.S).

Si suponemos un cuerpo que se mueve sobre una circunferencia (llamado móvil de referencia), con velocidad constante, y proyectamos dicho movimiento sobre uno de su diámetros, observamos como la cuerda que une la proyección y el lugar donde se encuentra el móvil va aumentando hasta hacerse máxima (del tamaño del radio), y disminuyendo hasta hacerse mínima (cero). Estos aumentos y descensos en el tamaño de dicha cuerda nos darán por resultado (al graficarla), una onda sinosoidal. Es conveniente que, antes de continuar, aclararemos algunos términos de uso común en este tipo de movimiento.

Movimiento periódico: Se dice que un movimiento es periódico, cuando en intervalos de tiempo iguales recupera su posición y su velocidad iniciales.

Movimiento oscilatorio o vibratorio: Es el movimiento periódico según el cual, un móvil recorre siempre el mismo camino, una vez en un sentido, y otra en sentido contrario.

Oscilación o vibración: Es el desplazamiento que experimenta el móvil con movimiento oscilatorio desde un extremo de su trayectoria, hasta volver al mismo extremo (equivale a una vuelta en el movimiento circular uniforme).

Elongación (x): En un movimiento oscilatorio, se llama elongación a la distancia variable del móvil hasta la posición de equilibrio.

Amplitud (A): En un movimiento oscilatorio, se llama amplitud a la elongación máxima.

Características del M.A.S.

1.- Es un movimiento rectilíneo de vaivén periódico.

2.- No es ni un movimiento uniforme, ni uniformemente variado.

3.- La amplitud de la vibración es constante.

4.- El vector aceleración, tiene sentido contrario al vector desplazamiento y siempre apuntando hacia el centro.

5.- La posición o centro de equilibrio, es el punto medio de la trayectoria del vaivén, por que en ese punto, la fuerza que produce el movimiento es nula.

6.- La velocidad del móvil es tanto mayor cuanto más lejos se encuentra el móvil de los extremos de la trayectoria, siendo nula en dichos extremos y máxima en el centro.

7.- En el M.A.S., el movimiento es acelerado cuando el móvil se acerca al centro y retardado cuando se aleja del centro de la trayectoria.

215

8.- En todo M.A.S., la aceleración es siempre proporcional a la elongación y tiene dirección opuesta al desplazamiento

Dentro del movimiento armónico simple, encontramos dos importantes casos que son:

Masa suspendida sobre resortes fijos.

Péndulo simple.

Cambio del tamaño de la cuerda con respecto al tiempo.

x

M

M

Masa suspendida sobreresortes fijos.

A A

Péndulo simple.

Fig. 26

Una partícula describe un Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) cuando se mueve a lo largo del eje X, estando su posición x dada en función del tiempo t por la ecuación

)(. ϕω += tsenAx

Fig. 27

Donde A es la amplitud,ω la frecuencia angular ω t+ϕ la fase y ϕ la fase inicial.

Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A.

La función seno es periódica y se repite cada 2π, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se incrementa en 2π, es decir, cuando transcurre un tiempo P tal que

ω(t+P)+ϕ=ω t+ϕ+2π .

ωπ2

=P

216

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación

)(. ϕω += tsenAx

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

)cos(.. ϕωω += tAv

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil

xtsenAa 22 )(. ωϕωω −=+=

En forma de ecuación diferencial se escribe

022

2

=+ xdt

xd ω

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse que la solución de esta ecuación diferencial es

x = A sen(ω t+ϕ )

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

xmamF 2. ω−==

217

Dicha fuerza es conservativa y la energía potencial Ep correspondiente se halla integrando

22

21 xmE

dxdE

F pp ω=−=

Se ha tomado como nivel cero de la energía potencial Ep=0 cuando el móvil está en el origen, x=0.

La energía total E, es la suma de la energía cinética Ek y de la energía potencial Ep. Se puede verificar que la energía total es constante e igual a

22222

21

21

21 AmxmmvEEE pk ωω =+=+=


Gómez, G.( 2009). Manual de las Ciencias Básicas y del Cálculo analítico. UNEFA.Carabobo Hewitt, P. (1999). Física Conceptual. Pearson Serway. (1992) . Física. Editorial McGraw-Hill Tipler (1994). Física. Editorial Reverté PAGINAS WEB CONSULTADAS. http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm http://es.wikipedia.org http://intranet.frsfco.utn.edu.ar http://www.lomasdeterciopelo.co.cr/apache2-default/joomla_esp/index.php/apoyo-educativo/mecanica-clasica http://science.widener.edu/svb/tutorial/sigfigures.html http://lectureonline.cl.msu.edu http://antoine.frostburg.edu/ http://lrc-srvr.mps.ohio-state.edu/

lecturas de fisica i

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