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Page 2: lcm.csa.iisc.ernet.inlcm.csa.iisc.ernet.in/hari/reports/raju-nonlinear.pdf · "!1024356-/(879 :-

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ô/êÄîÉê�ìhåUð�ç¨èsîdUÙê�å²ûÍëf7RïfíÄî�ë,�¨ïfë�îhæ6ï²ø¨è«îÉê�ðlï�_�åUí ï²ésí�èsésæ/îÉê�ë�åIg6è«èKô¨æ/êÄåUè«õ êÄîPï¬ë�êJïfëðjï²í�÷Uésæ¨ï²è�íÄîhó²îÉæ&ô¨îhê ��6��¨îø/ô¨êÄé«æ¨îÉê�ê�ð�å4õ¨îÉècåfû

oí�ésìÉîhèsé«æ¨î�� ìÉåUð ésêAï¬ëÄë�íÄï²ìhëÄé«ó²î�ûüåUí�ï²ésí�èsé«æ¨îÉêTêÄésæ/ìÉî�é«ëRìPï²æ%÷UîÉæ/îÉí�ï¬ë�î�ï²õ¨õ¨é ë�é«åUæ6ï²èSíÄî¥óUîÉæ&ô¨îhê

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Page 6: lcm.csa.iisc.ernet.inlcm.csa.iisc.ernet.in/hari/reports/raju-nonlinear.pdf · "!1024356-/(879 :-

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Rï²í­ófï²èB�¨å,ïfæ¨õoô/ë�îhíÄðlï²æ¨[]��«�^�ìÉå²æ¨êÄé«õ¨îÉí�ë9�¨îÏç¨íÄå²ø¨èsîhðWå²ûTï_íÄî¥ë�ï²é«èsîhí87<�¨åN�6ï²ê�ëÄå,êÄîhë�ë9�¨îÏç¨í�ésìÉîÏåfûCï

÷²å<å4õjë�åÏå²ç/ë�é«ðlé¥eÉî�ë,�¨î�ëÄå²ë�ï²èSîXU<çSîÉì¥ë�îÉõuíÄî¥óUîÉæ&ô¨îJå�óUîhí�ï�ç'îhíÄéså4õ_å²û�ëÄésð�î��a�x�Ú�¨îhæ,ë9�¨î�õ¨îhðjï²æ/õ_ûüô¨æ¨ìhëÄésåUæé«êRñ&æ¨å�7�æcò¨ë,�/î�êÄé ë�ô6ïfëÄésåUæjíÄîÉõ/ô¨ìÉîhê�ëÄå�ï�êÄé«ðlç¨è«îê­ë�å4ì?�6ï²ê�ëÄésì�ðlï%U<ésð�éBeÉïfë�é«åUæ�ç¨íÄåUø/èsîÉðV�KÔ�å�7Tîhó²îÉíhò�7<�/îÉæÓë,�¨îõ/îÉðlï²æ¨õFûüô/æ¨ìhëÄésåUæFésê�æ¨å²ë\ñ4æ/å�7�æ>ò�ë,�¨îlíÄî¥ë�ï²é«èsîÉí��6ïfê\ë�åuíÄîhè«öÛåUæFô¨æ¨ìÉîhí�ë�ï²ésæ ç/íÄéså²í�é«æ/ûüåUí�ðjïfëÄésåUæÙëÄåÚ÷Uô/ésõ¨î�/ésêQç¨íÄé«ìÉésæ/÷�õ¨îhìÉésê�ésåUæ/ê �K��æjë9�¨ésêQç6ï²çSîÉíhò¨ï�ç6ïfí�ï²ð�îhëÄíÄésì�ð�å<õ/îÉè.ésêTìÉåUæ¨ê�ésõ¨îhíÄîhõÓésæz7<�/ésì?�jë9�¨î�ç6ï²íÄï²ð�îhë�îhíÄêCï²íÄîô/æ¨ñ&æ¨å�7�æc��Ó6åUí�îXU/ï²ð�ç¨è«î²ò6ïfûÍëÄîÉí�ÒAõ6ïPö4ê�å²û�êÄï²èsîfò.ï�ê�îÉè«èsîÉíAñ&æ¨å�7�ê�ë,�¨î�ç¨íÄé«ìÉîhê=�/îa�¨ï²ê ê�îhë åUæ,ë,�¨îJç¨í�îÉìÉîhõ¨ésæ/÷Ò��ï�,õ6ïPö4ê�ï²æ¨õ�ìPïfæ åUø/êÄîÉí­óUî,ë,�¨îÓõ/îÉðlï²æ¨õ¨ê�åUæ�ë,�/î%ç/íÄîÉìhîÉõ¨é«æ¨÷PÒ����,õ6ïPö<ê@��6��¨î,ðlå4õ¨îÉèTésê�ï êÄé«ðlç/èsîè«åU÷fù�èsésæ/îPï²íAí�îÉ÷Uí�îÉêÄê�ésåUæÛð�å<õ/îÉè:ò�7<�¨îhíÄî�ë,�/î�èsåU÷Uï²íÄé ë,�¨ð å²û5ë9�¨î�õ¨îhðjï²æ/õ ésê�ï_è«ésæ¨îÉï²í�ûüô¨æ¨ìhëÄésåUæ åfû�ë,�¨îÏç¨í�ésìhî��6��/î�êÄîhèsèsîhíTìÉï²æ_è«îPï²í�æ_ï²øSåUô/ëQë,�¨îç6ï²í�ïfðlî¥ë�îÉí�êCå²û>ë,�¨î õ¨îÉðlï²æ¨õjûüô/æ¨ìhëÄésåUæÓïfæ¨õ_ô¨ê�îé«ëQë�å�êÄîhëCç¨íÄé«ìÉîhêRêÄåÏïfêTë�åðlï%U<ésð�éBehîRë,�¨î íÄî¥óUîÉæ&ô¨îhêAå�óUîÉíCï\÷Ué óUîhæjë�é«ðlî<�¨åUí�éBehåUæc�K4îhóUîhí�ï²è'ç¨íÄé«ìÉé«æ¨÷\í�ô¨èsîhêCïfíÄîê­ë�ô¨õ/ésîÉõjï²æ¨õ_ìhåUð�ç6ï²íÄîhõc���ëTésê5êq�¨å�7�æjë,�6ï¬ëRïJåUæ¨î�ù�ê�ëÄîÉç_è«å<å²ñ�ù�ï��¨îÉï²õ�íÄô¨è«î çSîÉí­ûüåUíÄð�ê�û´ï²ésí�è«ö�í�åUø¨ô¨ê­ë�è öÏûüåUíQï�ê�ésæ¨÷Uè«î�êÄîÉè«èsîhíQîhæ�ó<é«íÄåUæ/ðlîhæ&ëê­ë�ô¨õ/ésîÉõ��Î ô¨ç/ë�ï/ò�¡�ïPó4ésñ&ô¨ðlï²íÉò<ï²æ¨õpË�ô¨ðlï²í§[]�`É�^>ìhåUæ¨ê�ésõ¨îhíRïh7TîÉø<ù�ø6ï²ê�îÉõÓð�ô¨è ë�é�ù�ô¨æ¨é ë:��ô/ë�ì?�,ïfô¨ìhëÄésåUæS7<�¨îÉí�îë,�¨î

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¦ 6��¨î�íÄîhë�ï²ésè�ðjï²í�ñ²î¥ë\ìhåUæ¨ê�ésõ¨îhíÄîÉõ{�6ï²ê�ë,�/î�ûüå²èsèså�7�é«æ¨÷jûüîPï¬ë�ô¨í�îÉêÉÿ� ���¤aCô/ê�ë�å²ðlîhíÄê�ï²íÄî�ç¨í�ésìhî�ê�îÉæ¨ê�é«ëÄé«óUîï²æ¨õ è«îPï²õ8ë�é«ðlî�êÄîhæ¨êÄé ë�é óUî�m= C��¤W6��¨îÓï²í�íÄé«ófï²è«ê�å²ûAìhô¨ê�ëÄåUðlîhíÄê�ï²íÄî�ê�ëÄå<ì?�6ïfê�ë�é«ì�m=  u-¤�6��/îÉíÄîjésê\ïVg6æ¨é ë�îésæ�óUîhæ&ëÄåUí�öjïfëQë,�¨î íÄî¥ë�ï²é«èSê­ë�åUí�î²ò)7<�¨ésì?�_é«êTí�îÉç¨è«îÉæ¨é«ê9�¨îhõcò<ûüå²èsèså�7�é«æ¨÷�ï�ê�ë�ï²æ¨õ6ï²í�õw ¢Õ�����¤5çSåUè«ésìhökm4ï²æ¨õP ¢u-¤��û�æ¨åÏésæ�óUîhæ�ë�åUí­ö_ésêCïPó²ïfésè¯ïfø¨èsî�ïfëTë,�¨î�ê­ë�åUí�î²ò/ë9�¨î�ìhô¨ê�ëÄåUðlîhíÄêAïfíÄî�ç¨í�å�ó<é«õ¨îÉõ,ï\èsîPïfõjë�é«ðlî�ú&ô¨å²ë�î�ø¨ï²êÄîhõåUæ�7<�¨é«ì?�_ë,�¨î¥öz7�é«èsè.ì?�¨å4åUêÄî§7<�/îhë,�/îÉíAåUíTæ¨å²ëCëÄå�íÄîhðjïfésæjé«ælë9�¨î�ê�ö4ê­ë�îÉðV�K6��¨é«êRésêQë,�¨î=g6íÄê­ëRë�é«ðlî�ë,�¨îõ/ö4æ6ï²ð�ésì�ç¨í�ésìÉé«æ¨÷Ïç¨í�åUø¨èsîhðLé«êAø'îhésæ¨÷�ê�ëÄô¨õ¨é«îÉõ%ésæ,êÄô¨ì?�ÚïÏ÷UîÉæ¨îhí�ï²è�ê�îhë�ë�ésæ/÷'�

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SellerInventory

123

p1p2p3

Customers

Poisson process

Replenishment

Order

queue 1

queue 2

queue 3

f1

f2

f3(lambda)

Lead time = exp(mu)

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6Kï²ø¨è«î;�\õ¨îhêÄìhíÄésøSîÉêAë9�¨îJæ¨å²ë�ï¬ë�éså²æ,ûüå²íRë,�¨îJíÄîhê�ë�å²ûIë,�¨îJç6ïfç'îhí �� ��� �<½=�)����¾ ¼A½8�~�+¾ �0À|�6��/îlú&ô¨îhô¨î²òIú&ô¨îÉô¨îs3�ésæZÓ�é«÷Uô¨í�îp�UòIïfëJë,�¨î�íÄî¥ë�ï²é«è�ê�ëÄåUíÄî�é«ê\ï_ó4ésí­ë�ô6ïfè�ú&ô¨îÉô¨î�ûüåUí�ë�ö4ç'î�ùV3�ìhô¨ê�ëÄåUðlîhíÄê@��£�îhë��  Òq¤CÿR6  H�d*@ ÙÒq¤C����,� ÙÒq¤C����<%  Òq¤���@5  Òq¤q¤IøSîRë,�¨îRê­ë�ïfëÄîAå²û.ë,�¨îCê�ö4ê�ëÄîÉð ïfë�ë,�¨îAí�îhë�ïfésèsîhí�7�é ë,����Md Vu©¤�í�îÉç¨í�îÉêÄîhæ�ë�ésæ/÷ë9�¨î�æ&ô¨ð�øSîÉíCå²û�ø6ï²ì�ñUù�è«åU÷U÷Uîhõ_íÄîhú&ô¨îÉê­ë�ê�ésæ_ú&ô¨îhô¨î73�ï²æ¨õd@5 Zu ¤¥ò4ë,�¨î�é«æ�óUîÉæ�ëÄåUí�öjèsîhó²îÉè>ïfëRë,�/î�íÄî¥ë�ï²é«èsîÉíTïfëTë�ésð�îÒd�46��¨î�í�îhë�ïfésèsîhí�ç'åUê­ë�ê�ô¨æ¨é ë ç/íÄésìhî\ú&ô¨åfë�îp ÍÐ"*q¤�ï²æ¨õ%ë,�¨îJóUåUè«ô¨ð�î\õ¨é«êÄìhåUô¨æ�ë�ïfèsîÉí­ë�åUæt�¨é«ê�7Cîhø<ù�ç6ïf÷Uîp üç¨íÄé«ìÉîÉêÐO,Cï²æ/õ�ÐO<X¤�ï²æ¨õ�7�ésèsè<íÄîhêÄîhëQë,�/î�ç/íÄésìhîÉê5åUæ¨è öÏïfë�ëÄí�ï²æ/êÄé«ëÄésåUæÏîhç'å4ì?�¨êhò&ë9�6ïfëQésêx7<�/îÉæ¨î¥óUîÉíCï�ç¨ô¨íÄì?�¨ï²êÄî8�6ï²ç¨çSîÉæ¨ê ´ï²æ¨õs�/îÉæ¨ìhî�ë,�¨îÏé«æ&ó²îÉæ�ë�å²í�öuõ¨íÄåUç/ê?¤ åUí87<�¨îÉæ8ïjí�îÉú&ô¨îÉê­ëJésê ø6ï²ì�ñ&èsåU÷²÷UîÉõ é«æÙîÉé ë,�¨îhíå²û�ë9�¨î�ú&ô¨îÉô/îÉê �h¡�îÉìPïfèsèë9�6ïfëIë,�¨îQìÉô/ê�ë�å²ðlîhíKå²û/ë�ö<çSî¥ù43x7�ésèsè�ç/ô¨íÄì?�6ïfêÄîRåUí�ðlï²ñ²îTï ø¨ï²ì�ñJèsåU÷�íÄîhú4ô/îÉê�ë�åUæ¨è öW7<�¨îÉæ e Mcé«æI 0��¤�ésê�ç'å²êÄé«ëÄé«ó²î����ë5é«ê5îPï²ê­ö�ë�åJêÄîhî�ë9�6ïfëQç¨í�ésìÉîAõ<ö<æ¨ï²ðlé«ìÉê�ìÉï²æløSî�ðlå4õ¨îhèsîÉõ�ï²ê5ïJìÉå²æ&ëÄésæ&ô¨åUô/ê5ëÄésð�î�äÚï²í�ñ²å�ó�õ¨îhìÉésê�ésåUæ�ç¨í�å<ìhîÉê�êð�å4õ¨îÉèC�K�CîÉè«å�7ð7Tî\÷²é«óUî�ë9�¨îJê�ë�ïfë�îJõ/ö4æ6ï²ð�ésìhê �þ ëAëÄésð�î~�/ò4ë,�¨î�ç¨í�å<ìhîÉê�ê��b  Òq¤Té«êRåUø¨ê�îÉí­óUîÉõuï²æ¨õ,ìhè¯ï²ê�êÄé¥g¨îÉõÓésæ�ëÄåÏåUæ¨î�å²û�ë9�¨î�ê�ë�ïfë�îhêAésæ_ë,�/î�ç'å²êÄêÄé«ø¨èsîêÄîhë

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@ PYSZU äÚï%U<é«ð�ô¨ð�é«æ&ó²îÉæ�ë�å²í�ö,ìPïfç6ï²ìÉé ë�öÓïfë�ë9�¨îJíÄîhë�ï²ésè'ê�ëÄåUíÄîÕ

oïfí�ï²ð�îhëÄîÉíAë,�6ï¬ë�õ¨îÉìhésõ¨îhê�ë9�¨îJú4ô¨ï²æ�ë�é«ë�ö_å²û�í�îÉç¨è«îÉæ¨é«ê9�¨ð�îÉæ�ë�åUí�õ¨îÉí�îÉõ� ¡�îÉåUí�õ¨îÉí�çSåUésæ�ëAûüåUíRë9�¨îJésæ�óUîhæ&ëÄåUí�ö,í�îÉç¨è«îÉæ¨é«ê9�¨ð�îÉæ�ë�çSåUèsé«ìhöK äÚï%U<é«ð�ô¨ð�æ&ô¨ð�øSîÉí�å²ûKìÉô/ê�ë�å²ðlîhí�å²íÄõ¨îhíÄê�ï²èsè«å�7Cîhõ%é«æ,ú4ô/îÉô¨îc £�îPï²õ,ë�é«ðlîú4ô/å²ë�î�å�y'îÉíÄîhõ%ëÄåÏë,�¨îJìÉô/ê�ë�å²ðlîhíÄê mNcJ6 *�e MX ]ÐNM���cW¤ ��ëÄésè«é«ë�ölå²û�ïfæÚï²í�íÄé ó<é«æ¨÷�ìhô¨ê�ëÄåUðlîhíAûüåUí�ï�ç/íÄésìhî�ú&ô¨å²ë�î�ÐNMï²æ¨õuïÏèsîÉï²õÓë�ésð�î�ú&ô¨å²ëÄî9c

v Ó�é«æ¨é«ëÄî�êÄî¥ëå²ûKç¨í�ésìÉî�å²ç/ë�é«åUæ¨ê�ïPófï²ésèsï²ø¨èsî�ûüåUíxÐ"*wyx oîhí ô/æ¨é«ë�çSîÉí�ô¨æ¨é ëRë�é«ðlî�é«æ�óUîÉæ�ëÄåUí�öN�¨å²èsõ¨é«æ¨÷�ìÉå²ê�ëwyz oîhí ô/æ¨é«ë�çSîÉí�ô¨æ¨é ëRë�é«ðlî�ø¨ï²ì�ñ_åUí�õ¨îÉí�ìÉå²ê�ë` oô¨íÄì?�¨ï²êÄé«æ¨÷jìhåUê�ë�çSîÉíAô¨æ¨é ë�å²ûKç¨íÄå4õ¨ô¨ì¥ë� ÿ��I� v þ ê�ë�ïfë�é«åUæ6ï²í­ö_õ¨î¥ë�îÉí�ðlé«æ¨ésê­ë�é«ì�ç¨íÄé«ìÉé«æ¨÷Ïç'å²èsésì¥ö�E� ÿ�� �¡v ��ç/ë�é«ðjïfè>ç¨í�ésìÉé«æ¨÷ÏçSåUèsé«ìhö¢ ��ésê�ìÉåUô/æ&ë�û´ï²ì¥ë�åUíRûüå²íRë,�¨îJõ¨é«êÄìÉå²ô¨æ�ë�îÉõ%åUç/ëÄésðlï²èsé ë�ö�ìPï²ê�î£N¤' 5�ý¤ £�åUæ¨÷fù:ë�îhíÄð�îdU/çSîÉì¥ë�îhõÚõ¨é«êÄìÉå²ô¨æ�ë�îÉõuç¨íÄå�g¨ëAûüåUíAçSåUèsé«ìhö �¥0¤' 5�f¤ �.U<ç'îhìhë�îhõÙèså²æ¨÷ÏíÄô¨æuïPóUîhí�ï²÷Uî�íÄîX7RïfíÄõ,ûüåUíAç'å²èsésì¥ö ��t¦- 5�l�\§N�4�)¤ ¡�î@7Cï²íÄõV7<�¨îÉæuï²ìhëÄésåUæL§jé«êAì?�¨åUê�îÉæÚé«æ,ê�ë�ï¬ë�î7�Äò.ï²æ/õ%æ/îXU4ëê­ë�ïfëÄî��wY 5�ý¤ ��æ�óUîhæ&ëÄåUí�öV�¨å²èsõ¨é«æ¨÷ÏìÉåUê­ë�ésæ,ê�ë�ïfë�î7�`� H���4�)¤ �Rï²ì�ñfåUíÄõ/îÉí�ìÉåUê­ë=7�é ë,�%ìÉô¨í�íÄîhæ&ë�ê­ë�ïfëÄî9�Qï²æ/õuæ¨îdU4ë ê­ë�ïfëÄî��¨  H���ºÐ�¤ ¨ ù�ófï²èsô/îJï²êÄê�å<ìhé¯ïfëÄîÉõN7�é«ë,�%ï²ì¥ë�é«åUæ�ÐÚé«æ,ê�ë�ï¬ë�î7��ë,�6ïfë�ð�îPïfêÄô¨í�îÉêð�îÉíÄé ë�å²û�ï²ìhëÄésåUæ�Ð

6Kï²ø¨è«î;�Uÿ+� åfë�ïfëÄésåUæ_ûüåUíRë9�¨îJðlå4õ¨îhècå²ûIë,�¨îJíÄî¥ë�ï²é«ècê�ëÄåUíÄî

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þ ûÍë�îhílë,�/îuë�íÄï²æ¨ê�é«ë�é«åUæ9å4ìÉìhô¨íÄêhò�ç¨íÄé«ìÉésæ/÷ ï²ì¥ë�é«åUæ�ésê�ì?�¨åUê�îÉæ ï²÷�ïfésæÕø&öÕë,�/îÙíÄî¥ë�ï²é«èsîÉí�ï²æ/õ� ´é ¤�ï²æ/õ� ´é«éÙ¤�ï²íÄîí�îÉçSîPïfëÄîÉõc��Ó6ô¨í­ë,�¨îhíÉò'ésæÙê­ë�ïfëÄî��ÄòSûüåUí ë9�¨îÏï²ì¥ë�éså²æÙì?�¨åUê�îÉæpÐ"*�ò>ë9�¨î�í�îÉêÄô/è«ë�é«æ¨÷jí�î@7Cï²íÄõ>òE�t¦) Zu ¤¥òSë,�¨î�é«æ�óUîÉæ�ëÄåUí�öìhåUê�ëÉò�wY H�f¤Ïï²æ¨õÕë,�¨î%ø6ï²ì�ñfåUíÄõ¨îhí_ìÉå²ê�ës`� H���4�)¤�ìÉåUê­ë�êjï²íÄîuï²ê�ûüåUèsè«å�7�êhÿV£�î¥ës��6 [vÖ�*C�qÖ�,©�9Ö�<����V*f^ ï²æ¨õI�ª6[ ÖN« * �9ÖN«, �qÖN«< ���a« * ^C� �t¦) H���\§N�4�)¤¬6 ÐNMX ÙÖN­M ��Ö�M�¤Ûé«ûwÖN­M=® Ö�MÙûüåUíI3�6��0�d�8�?j8u6 ÐNM é û  5�Z*T�?�a­ * ¤16¯3%mKÖ�M�6A�6 �Ðåfë,�¨îhíq7�ésê�î

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