lc orientador u2

Laboratorio de clculo / Mdulo I / Unidad 2 /

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Carrera: Analista Programador

LABORATORIO DE CLCULO

Mdulo I

Manejo de la operatoria bsica

Unidad 2

Ecuaciones

Autor de contenidos: Lic. Daniel Anselmo Veiga

Mdulo I

Unidad 1

Nmeros e intervalos

Unidad 2

Ecuaciones

Unidad 3

Inecuaciones


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Presentacin

En la resolucin de problemas continuamente se presenta la tarea de hallar la/s solucin/es de una ecuacin (si es que existe/n). Es decir, la tarea de encontrar el conjunto formado por todas las soluciones de una ecuacin, denominado conjunto solucin, que suele simbolizarse con S.

Es fcil entender por qu aparece esa tarea en la resolucin de problemas. Reflexionemos acerca de qu significa resolver un problema. Se comienza por estudiarlo con atencin, identificando variables, dificultades, metas, analogas Se trata de encontrar un modelo de comprensin del problema. Como fruto de esto es comn traducir el problema real a un problema matemtico; es usual que este problema tenga condiciones de igualdad (en cuyo caso produce una ecuacin) o de desigualdad (en cuyo caso produce una inecuacin, tema que trataremos en la unidad 3).

Resolver la ecuacin o la inecuacin es una condicin para la resolucin del problema. Una vez resuelta, se pasa a interpretar los resultados y a discriminar cules tienen sentido y cules no, cul es ese sentido y qu limitaciones tiene el modelo planteado y la o las soluciones obtenidas.

Sobre la base del manejo de la operatoria con los nmeros reales que vimos en la unidad anterior y de los conceptos que acabamos de presentar, en esta unidad centraremos nuestra atencin en la resolucin de ecuaciones. El tema es muy vasto; nosotros slo nos ocuparemos de una parte de l: la que nos permita un desempeo bsico en esta temtica.

A travs del estudio de la presente unidad esperamos que usted, como alumno de esta asignatura, sea capaz de:

Comprender el concepto de ecuacin, distinguindolo de expresiones parecidas a ella.

Trabajar el manejo de las ecuaciones de una incgnita de primer y segundo grado, con algunas derivaciones sencillas.

Comprender cmo se resuelven la ecuacin cbica incompleta y la ecuacin bicuadrada.

A continuacin, le presentamos un detalle de los contenidos y actividades que integran esta unidad. Usted deber ir avanzando en el estudio y profundizacin de los diferentes temas, realizando las lecturas


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requeridas y elaborando las actividades propuestas, algunas de desarrollo individual y otras para resolver en colaboracin con otros estudiantes.

Contenidos y Actividades

1. Ecuaciones. Concepto

Lectura sugerida

Ecuaciones. En Veiga, D.; Manual de Apoyo para Ingresantes. Asignatura: Matemtica. UAI, Buenos Aires, 2005.

Ecuaciones Lineales. En Veiga, D.; Manual de Apoyo para Ingresantes. Asignatura: Matemtica. UAI, Buenos Aires, 2005.

Trabajo Prctico Sugerido

Trabajo Prctico N 6: Ecuaciones lineales

2. Ecuaciones de segundo grado

Lectura Sugerida

Ecuaciones de segundo grado. En Veiga, D.; Manual de Apoyo para Ingresantes, Asignatura: Matemtica. UAI, Buenos Aires, 2005.


Trabajo Prctico N7: Ecuaciones de segundo grado

3. Ecuacin cbica incompleta

Lectura Requerida

Ecuacin cbica incompleta. En Veiga, D.; Laboratorio de Clculo. UAI, Buenos Aires, 2001.


Trabajo Prctico N 8: Ecuacin cbica incompleta


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4. Ecuacin bicuadrada

Lectura Requerida

Ecuacin Bicuadrada. En Veiga, D.; Laboratorio de Clculo. UAI, Buenos Aires, 2001.


Trabajo Prctico N 9: Ecuacin bicuadrada

Trabajo colaborativo/Foro

Propiedades

Cierre de la unidad


Trabajo Prctico N 10

Anexo

Trabajos Prcticos Sugeridos y Grillas de Autocorreccin Para el estudio de estos contenidos usted deber consultar la bibliografa que especificamos a continuacin:

BIBLIOGRAFA OBLIGATORIA

Veiga, D.; Manual de Apoyo para Ingresantes. UAI, Buenos Aires, 2005.

Veiga, D.; Laboratorio de Clculo. Buenos Aires, UAI, 2001.

Bibliografa Ampliatoria

Haessler, F.; Matemticas para administracin y economa. Prentice Hall Hispanoamrica, 2003.


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Organizador Grfico

El siguiente esquema le permitir visualizar la interrelacin entre los conceptos que a continuacin abordaremos.

Lo/a invitamos ahora a comenzar con el estudio de los contenidos que conforman esta segunda unidad.

1. Ecuaciones. Concepto

Le proponemos dar comienzo a este tema a travs de la siguiente lectura:


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Lectura sugerida

Ecuaciones. En Veiga, D. Manual de Apoyo para Ingresantes, Asignatura: Matemtica. UAI, Buenos Aires, 2005.

Gua para la lectura

Cuando lea este material bibliogrfico rescate el concepto de ecuacin y distinga las ecuaciones de otras expresiones parecidas a ella identidades y absurdos o contradicciones.

Entre las ecuaciones ms sencillas figuran las lineales donde la incgnita se encuentra elevada a la primera potencia. Su estructura bsica es, esencialmente, del tipo ax+b=c

Es comn que la ecuacin lineal aparezca presentada con una apariencia distinta de la mencionada, con varias apariciones de la incgnita.

En la bibliografa que mencionamos a continuacin usted encontrar un apoyo para la comprensin del tema.

Lectura sugerida

Ecuaciones Lineales. En Veiga, D.; Manual de Apoyo para Ingresantes, Asignatura: Matemtica. UAI, Buenos Aires, 2005.

Gua para la lectura

Con el fin de orientar su lectura, le recomendamos que al abordar el texto se concentre en las caractersticas principales de las ecuaciones lineales, en el proceso denominado despejar la incgnita y en las ejemplificaciones que ofrece el autor.


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Es momento de realizar el prximo trabajo prctico:

Trabajo prctico sugerido

Trabajo prctico N 6: Ecuaciones lineales

Poner en prctica lo estudiado revela su comprensin y dominio de los conceptos aprendidos. Por esta razn, lo invitamos a realizar este Trabajo Prctico. Las consignas podr encontrarlas en el Anexo que aparece al final de este Orientador del Aprendizaje.

2. Ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado aparecen tempranamente en el desarrollo matemtico de las grandes civilizaciones. En estas ecuaciones la incgnita est elevada al segundo grado y tiene bsicamente la estructura que sigue:

)0(02 acxbxa

Para comprender la naturaleza y el trabajo involucrado en la resolucin de estas ecuaciones le proponemos leer el texto:

Lectura sugerida

Ecuaciones de segundo grado. En Veiga, D.; Manual de Apoyo para Ingresantes, Asignatura: Matemtica. UAI, Buenos Aires, 2005.

Gua para la lectura

Durante la lectura preste atencin a la explicacin para la resolucin de las ecuaciones del tipo (ax + b) (cx + d) = 0. Observe que es posible aplicar la propiedad distributiva y


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transformar el miembro izquierdo en un clsico trinomio cuadrtico, lo cual permitira aplicar la frmula correspondiente para resolverla. Sin embargo, es mucho ms fcil y seguro resolver esta ecuacin de otra forma. Y ella consiste en tener en cuenta que un producto vale 0, si y slo si alguno de los dos factores (o los dos) vale 0.

En nuestro caso:

(ax + b) (cx + d) = 0

equivale:

(ax + b = 0) (cx + d = 0)

Para evitar confusiones comunes en el trabajo con las ecuaciones que venimos presentando, le sugerimos el anlisis minucioso de los conceptos desarrollados al final del texto y anticipados con el subttulo Una aclaracin para evitar errores.

La realizacin del siguiente trabajo le permitir comprender aspectos tericos y prcticos de los contenidos explicados en el material de lectura.


Trabajo prctico N 7: Ecuaciones de segundo grado

Usted podr encontrar las consignas de trabajo y la grilla de correccin en el Anexo de este Orientador del Aprendizaje.

3. Ecuacin cbica incompleta

Resolver una ecuacin de tercer grado ( )0(023 adcxxbxa ) es una tarea cuya dificultad no se trata en la escuela media.


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Existe un caso en que el trmino independiente es nulo ( ))0(023 acxxbxa , lo que permite factorizar de modo muy simple el trinomio cbico restante que figura a la izquierda del signo igual

)( 223 cxbxaxcxxbxa . Esto permite aplicar la propiedad, que vimos anteriormente, segn la cual A.B= 0 equivale a A= 0 B= 0.

Enriquezca esta explicacin y profundice su comprensin con la lectura del siguiente texto:

Lectura requerida

Ecuacin cbica incompleta. En Veiga, D.; Laboratorio de Clculo. UAI, Buenos Aires, 2001.

Gua para la lectura

Cuando trabaje con este material, detngase en la etapa de resolucin de la ecuacin cbica incompleta presentada por el autor.

Le recomendamos aplicar estos conceptos matemticos a travs del siguiente trabajo.


Trabajo prctico N 8: Ecuacin cbica incompleta

Busque las consignas de este trabajo al final del Orientador, en el apartado del Anexo. Una vez resuelto, consulte sus respuestas con la grilla de autocorreccin que hallar en el mismo sitio, a continuacin del trabajo prctico.


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4. Ecuacin bicuadrada

Una ecuacin del tipo )0(024 acxbxa se llama bicuadrada y, si bien es una ecuacin de cuarto grado, se puede pensar como una de segundo grado siempre que se tome como incgnita a 2x .

En efecto, pensada de esta manera podramos reescribirla as:

)0(0)()( 222 acxbxa y, a continuacin, aplicar la frmula para resolverla del modo habitual.

Profundice la descripcin de ecuacin bicuadrada mediante la lectura del texto que especificamos a continuacin.

Lectura requerida

Ecuacin Bicuadrada. En Veiga, D.; Laboratorio de Clculo. UAI, Buenos Aires, 2001.

Gua para la lectura

Al abordar el texto, focalice su atencin en el mtodo que se emplea para resolver ecuaciones bicuadradas.

Le recomendamos, ahora, efectuar el prximo trabajo pues le permitir aplicar lo estudiado.


Trabajo prctico N 9: Ecuacin bicuadrada

Usted encontrar las consignas de trabajo en el Anexo de este Orientador del Aprendizaje.


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Trabajo Colaborativo

FORO: Propiedades

Le sugerimos que confeccione una lista de las propiedades involucradas en las resoluciones de las ecuaciones que estamos estudiando.

Compare su lista con las de otros dos compaeros a travs del correo electrnico. Luego, elaboren entre los tres la lista definitiva de ese grupo y publquenla en el Foro para compartirlas con sus dems compaeros.

Si observa grandes discrepancias entre ellas, comunqueselo a su tutor.

Cierre de la unidad

A travs del siguiente Trabajo Prctico lo invitamos a realizar ejercicios integradores de los contenidos desarrollados en esta unidad.


Trabajo prctico N 10

Este trabajo prctico le permitir integrar los contenidos abordados en esta unidad.

Las consignas de trabajo podr encontrarlas en el Anexo que aparece al final de este Orientador del Aprendizaje.


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Controle y regule sus procesos de aprendizaje. No espere comprensiones mgicas. Trabaje para su logro. Si tiene dudas o dificultades en la realizacin de algn ejercicio o en la comprensin de alguno de los conceptos abordados, no deje de consultar a su tutor.

Recuerde que en Matemtica la comprensin de los conceptos es un paso previo y fundamental para la automatizacin de los procedimientos y la posibilidad de resolver los nuevos desafos que va presentando su aprendizaje.


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Anexo

Trabajos Prcticos Sugeridos y Grillas para la autocorreccin

Le sugerimos que realice los siguientes trabajos prcticos, dado que resultan una instancia de puesta en prctica y verificacin de sus aprendizajes.

Al finalizar, compare lo realizado por usted con lo propuesto por nosotros en las Grillas de Autocorreccin que aparecern al final de cada trabajo.

Identifique las diferencias y si las hubiera, encuntreles sentido (es decir, una explicacin lgica y personal). Tenga en cuenta que en el acto mismo de otorgamiento de sentido se juega en gran parte la comprensin de lo estudiado. Si tiene dificultades, consulte a su tutor/a o intercambie opiniones con sus compaeros/as!

Trabajo Prctico Sugerido N 6

Ecuaciones lineales

Despeje la x paso a paso, escribiendo claramente el conjunto solucin.

1) 1082

93 X

2) 63.4235

X

3) 10

4163.24 X

4) 366.28.52 X


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5) 10

4321.5

X

Halle el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones:

6) xx 239843

7) xxx 842364725

8) xxxx 3325462

9) xxx 81110532

10) 425243 xxx

Grilla de Autocorreccin N 6: Ecuaciones lineales

Orientaciones para la correccin

1) 3

13x

2) 2

15x 3) x = -2


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4) 51x

5) 21x

6) 1017x

7) 213x

8) 57x

9) s R 10) s


Ecuaciones de segundo grado

Resuelva las siguientes ecuaciones, indicando claramente el conjunto solucin:

11) 5x2 11x + 2= 0

12) x2 9x +8 = 0

13) 3x2 8x 3 = 0

14) 4 x2 + 5x = 0 (aqu: c=0)

15) 2 3x + 8x2 =0 (ordene!!)


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16) 7x + 8x2 +1=0 (ordene!!)

17) 2x2 12=0

18) 3x2+20 = 0

19) (2x + 8) * (3x - 9) = 0

20) (4x 5) * (2x + 7) * (1 x) = 0

21) 3x2 9x = 0

22) 6x2 8x = 0

23) (6x2 7x + 1) * (2x2 5x + 2) = 0

24) (x2 x - 2) * (x2 + x 2) = 0

25) 3x3 + 10x2 + 3x = 0

26) 2x4 + 7x3 + 3x2 = 0 (piense!!)

27) 6x3 + 7x2 + x = 0

28) 2 (x + 1) + 3 (x + 3) = 5 (x + 2)2

29) 3 ( x + 5)2 = 5 ( x 1)2

Grilla de Autocorreccin N 7: Ecuaciones de segundo grado


11) S= }51

;2{

12) S={1 ; 8 }


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13) S= }31

;3{

14) S= }45

;0{ 15) S={}

16) S= }16

172;

16172

{

17) }6;6{S 18) S 19) }3;4{S

20) }1;27

;45

{S 21) S= { 0 ; 3 }

22) }34

;0{S

23) }21

;2;61

;1{S 24) S={ -1 ; 1 ; -2 ; 2 }

25) }0;31

;3{S 26) }

21

;3;0{S 27) }1;0;

61

{S

28) }10

5315;

105315

{S


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29) }13510;13510{}2

135220;

2135220

{S

Trabajo Prctico Sugerido N8

Ecuacin cbica incompleta

Resuelva los siguientes ejercicios: 30) 0372 2 xx 31) 03103 2 xx 32) 072 xx 33) 0123 2 x 34) 045 23 xxx 35) 092 23 xx 36) 03 xx

Grilla de Autocorreccin N 8: Ecuacin cbica incompleta


30) S = {3;1/2}

31) S = {3;1/3}

32) S = {0;7}

33) S = {-2:2}


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34) S = {-1/5;0;1}

35) S = {0;-9/2}

36) S = {0}


Ecuacin bicuadrada

Resuelva los siguientes ejercicios: 37) 045

24 xx 38) 09172

24 xx 39) 03

24 xx 40) 096

24 xx 41) 03103

24 xx

Grilla de Autocorreccin N 9: Ecuacin bicuadrada


37) S = {2;2;1;1}

38) S = {3;3}

39) S = 40) S = }3;3{


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41) S =


Resuelva los siguientes ejercicios:

1) 72454 x

2) (x + 8)+5(x2)=3(x6)+4(x+3)

3) (3x 5) (4 2x) = 0

4) (6 3x) (2 + 7x) (x + 1) = 0

5) 0

32

xx

6) 0372 2 xx 7) 09x4x3 2

8) 054 23 xxx


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Grilla de Autocorreccin N 10:


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