las estadÍsticas de orden como una aplicaciÓn de transformaciÓn de funciones variables

6

LAS ESTADÍSTICAS DE ORDEN COMO UNA APLICACIÓN

DE TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES VARIABLES

OLGA ARDILA SANCHEZ

[email protected]

Trabajo de Grado para Optar el Titulo de Matemático

Director

Benigno Lozano Rojas

FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ

FACULTAD DE MATEMATICAS

BOGOTA D.C.

2007

7

RESUMEN

Este trabajo es un complemento, de las variables aleatorias, la aplicación de las técnicas de transformaciones para encontrar la función de distribución de una variable a partir de otra ya conocida y en especial las estadísticas de orden donde estas estadísticas juegan un papel importante en la inferencia estadística particularmente porque algunas de sus propiedades no dependen de la distribución de la cual fue obtenida la muestra aleatoria.

ABSTRACT

This work is a complement, of the random variables, the application of the technique of transformations to find the distribution function of a variable from other one already known, and special the statistics of order where statistical these play an important paper (role) in the statistical inference particularly because some of properties do not depend on the distribution on which was obtained the random sample.

8

AGRADECIMIENTOS

Agradezco al profesor Benigno Lozano Rojas, quien me acompaño y apoyo con los valiosos aportes en la ejecución de este trabajo, agradezco también al doctor Antonio Velasco Muños decano de la facultad de matemáticas y a cada uno de los docentes y compañeros que tuvieron un aporte importante para mí formación a lo largo de la carrera.

Y agradecer a mis padres y hermanos por el apoyo y consejos durante todo este tiempo de formación.

9

INTRODUCCION

El presente trabajo se encuentra dividido en dos partes, la primera parte

consta de tres capítulos de conceptos básicos que se utilizan en las

estadísticas de orden y la segunda parte es el desarrollo del tema.

Se hará una introducción: sobre las variables aleatorias discretas y

continuas; donde las variables aleatorias se conocen porque todos los

resultados posibles de un espacio muestral, se pueden transformar en

cantidades numéricas. También se tratara sobre las distribuciones

discretas que surgen al contar y las distribuciones continuas que

aparecen cuando se mide, y por ultimo se abordara sobre las técnicas de

transformaciones que es usada tanto en distribuciones de probabilidad

variables aleatorias discretas como en distribuciones de probabilidad de

variables aleatorias continuas. Esta técnica se utiliza para encontrar la

función de distribución de una variable aleatoria a partir de una variable

aleatoria ya conocida.

La segunda parte comprende de las estadísticas de orden. Estas

estadísticas juegan un papel importante en la inferencia estadística

particularmente porque algunas de sus propiedades no depende de la

distribución de la cual fue obtenida la muestra aleatoria. Estas

estadísticas se ordenan ascendentemente a partir de las muestras

obtenidas anteriormente, esto quiere decir que a menudo necesitamos

ordenar las variables aleatorias observadas de acuerdo a su magnitud

para identificar modelos probabilisticos tales como el máximo, el mínimo,

el rango, la mediana y entre otros. Ya que en estos modelos se aplican

métodos matemáticos específicos.

10

CAPITULO UNO

1. VARIABLE ALEATORIA

Definición 1.1: “ Sea S un espacio muestral sobre el cual se encuentra

definida una función de probabilidad. Sea X una función de valor real

definida sobre S, de manera que transforme los resultados de S en puntos

sobre la recta de los reales, se dice entonces que X es una variable

aleatoria.” 1

El conjunto de valores que una variable aleatoria puede tomar se

denomina el rango de la variable aleatoria.

Se dice que X es una variable aleatoria si todos los resultados posibles de

un espacio muestral, se pueden transformar en cantidades numéricas.

Ejemplo 1.1:

Sea: X= número de caras que se obtiene en lanzamientos independientes

de una moneda de diez y una de cinco centavos.

En este caso S consta de los cuatro puntos (resultados)

(H, H) (H, T) (T, H) (T, T)

Entonces S= HH, HT, TH, TT

1 CANAVOS George. Probabilidad y estadística aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill.Pág.52

11

(H= cara, T= cruz; la primera letra se refiere al diez y la segunda al

cinco).

Los valores correspondientes de X son:

2 1 1 0, respectivamente.

S X

HH 2

HT 1

TH 1

TT 0

Tabla 1

Definición 1.2: “ Se dice que una variable aleatoria X es discreta si su rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores.” 2

Ejemplo 1.2:

En el ejemplo 1.1 los valores posibles de X son 0, 1 y 2. Luego X es una

variable aleatoria discreta.

Definición 1.3: Se dice que una variable aleatoria X es continua si su rango es un conjunto infinito no numerable de valores. Este conjunto

puede definirse en un intervalo o en un conjunto finito de intervalos.

Ejemplo 1.3:

Sea una variable aleatoria X cuyos valores sean los pesos en kilogramos

de todas las persona mayores de 30 años, lógicamente hay infinitos

valores asociados a estos pesos. Si estos pesos se asignaran a la recta

2 CANAVOS George. Probabilidad y estadística aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill.Pág. 53

12

real, puede definirse un número finito de intervalos para describir todos

los posibles valores de peso.

1.1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Definición 1.4: Una distribución de probabilidad es un listado de las probabilidades de todos los posibles resultados que podrían obtenerse si

el experimento se lleva a cabo.

Las distribuciones de probabilidad se clasifican como discretas y

continuas.

1.1.2 Distribuciones de probabilidad de variables discretas

Una variable aleatoria asume cada uno de sus resultados con cierta

probabilidad.

Definición 1.5: “ Sea X una variable aleatoria discreta. Se llamará

) ( ) ( x X P x f = = función de probabilidad de la variable aleatoria X , si

satisface las siguientes propiedades.” 3

1. ) (x P ≥ 0;

2. ∑ x x P ) ( = 1;

Ejemplo 1.4

Se arrojan dos dados legales hallar:


13

a. La función de probabilidad ) (x f donde X es la suma de los dos

números que se obtienen al arrojar dos dados legales.

b. La probabilidad de que la suma de los dos dados sea 6.

Solución:

a. La función de probabilidades ) (x f , correspondiente, tiene los

siguientes valores:

Resultado N° de

ocurrencias

Probabilidad

2 1 1/36

3 2 2/36

4 3 3/36

5 4 4/36

6 5 5/36

7 6 6/36

8 5 5/36

9 4 4/36

10 3 3/36

11 2 2/36

12 1 1/36

Tabla 2

Note que los valores posibles de X conforman los posibles conteos sobre

el espacio muestral y en consecuencia las probabilidades suman 1.

A continuación se muestran las graficas de f (x)

14

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

0 5 10 15

Serie1

Gráfica 1

b. La función probabilidad donde x= 6 será:

( f 6 ) = = X P( 6 ) = 6/36

Definición 1.6: “ La distribución acumulativa de la variable aleatoria X es

la probabilidad de que X sea menor o igual a un punto específico de X y esta dada por” 4 :

) (X F = ) ( x X P ≤ = ∑ i x i x P ) (

Con ciertas propiedades:

1. 0 ≤ ≤ ) (x F 1.

2. ) ( ) ( j i x F x F ≤ si j i x x ≤ .

3. ) ( x X P > = 1 ) (x F .

4. ) ( x X P = = − − x F x F ( ) ( 1 ) .

5. ) ( j i x X x P ≤ ≤ = ) ( j x X P ≤ ) ( j x X P < = ) ( ) ( 1 − − i j x F x F .

Cabe anotar que ) ( x X P ≤ ≠ ) ( x X P < si X es una variable discreta.

4 CANAVOS George. Probabilidad y estadística aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill.. Pág. 53

Función de densidad

15

) ( x X P ≤ =…+ = X P( 0 ) + = X P( 1 ) +…+ = X P( x 1 ) + = X P( x )

) ( x X P < =…+ = X P( 0 ) + = X P( 1 ) +…+ = X P( x 1 )

Ejemplo 1.5:

• Encuentre la distribución acumulada de la variable aleatoria X del ejemplo 1.3

Solución:

( F 2 ) = ≤ X P( 2 ) = = X P( 2 ) = 1/36;

( F 3 ) = ≤ X P( 3 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 )

= 1/36 + 2/36

= 3/36;

( F 4 ) = ≤ X P( 4 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 )

= 1/36 + 2/36 + 3/36

= 6/36;

( F 5 ) = ≤ X P( 5 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 )

= 1/36 + 2/36 + 3/36+ 4/36

= 10/16;

( F 6 ) = ≤ X P( 6 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5)+ = X P( 6)

= 1/36 + 2/36 + 3/36+ 4/36+ 5/36

= 15/36;

( F 7 ) = ≤ X P( 7 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 ) + = X P( 6 ) + = X P( 7) = 1/36 + 2/36 + 3 /36+ 4/36 + 5/36 + 6/36

= 21/36;

( F 8 ) = ≤ X P( 8 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 ) + = X P( 6 ) + = X P( 7) + = X P( 8)

16

= 1/36 + 2/36 + 3/36+ 4/36+ 5/36 + 6/36 + 5/36

= 26/36;

( F 9 ) = ≤ X P( 9 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 ) + = X P( 6 ) + = X P( 7) + = X P( 8) + = X P( 9)

= 1/36 + 2/36 + 3/36+ 4/36+ 5/36 + 6/36 + 5/36 + 4/36

=30/36;

( F 10 ) = ≤ X P( 10 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 ) + = X P( 6 )

+ = X P( 7) + = X P( 8) + = X P( 9) + = X P( 10)

=1/36 + 2/36 + 3/36+4/36+5/36+6/36+5/36 + 4/36+3/36

=33/36;

( F 11 ) = ≤ X P( 11 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 ) + = X P( 6 )

+ = X P( 7) + = X P( 8) + = X P( 9) + = X P( 10) + = X P( 11)

= 1/36 + 2/36 + 3/36+ 4/36+ 5/36 + 6/36 + 5/36

+ 4/36+3/36+2/36

= 35/36;

( F 12 ) = ≤ X P( 12 ) = = X P( 2 ) + = X P( 3 ) + = X P( 4 ) + = X P( 5 ) + = X P( 6 )

+ = X P( 7)+ = X P( 8)+ = X P( 9)+ = X P( 10)+ = X P( 11)+ = X P( 12)

=1/36+2/36 + 3/36+ 4/36+ 5/36 + 6/36 + 5/36 + 4/36+ 3/36+ 2/36 +1/36 = 1

Luego la distribución acumulada es:

17

= ) (X F

≥ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < ≤

<

12 12 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2

2

1 36 / 35 36 / 33 36 / 30 36 / 26 36 / 21 36 / 15 36 / 10 36 / 6 36 / 3 36 / 1 0

x x x x x x x x x x x

x

1.1.3 Distribuciones de probabilidad de variables continúas

En el caso de las distribuciones continúas ) ( x X P = = 0.

Ejemplo 1.6:

La variable aleatoria continua W se define como la altura de todas las

personas mayores de 20 años en un intervalo de 170 hasta 180

centímetros. Suponga que se quiere encontrar = X p( 175 ) ,

aparentemente parece que se pudiera calcular fácilmente, pero si

entendiéramos que en el intervalo (170, 180) hay infinidades de números,

evidentemente hay infinidad de estaturas por lo cual = X p( 175 ) tiende a

ser nulo, para este caso es mejor utilizar intervalos. En nuestro caso seria

( p 174.9 ≤ ≤ X 175.1 ) .

La distribución de probabilidad de una variable continua X esta caracterizada por una función ) (x f , la cual recibe el nombre de función

18

de densidad de probabilidad y proporciona un medio para calcular

( p a ≤ ≤ X b ) con b > a.

De manera formal se define de la siguiente manera:

Definición 1.7: “ Si existe una función ) (x f tal que” 5 :

• ) (x f ≥ 0 ∞< 0 < ∞

• ∫ ∞

∞ − dx x f ) ( = 1

• ( P a ≤ ≤ X b ) = ∫ b

a dx x f ) ( a,b ∈ ℜ

Entonces se dice que ) (x f es la función de densidad de probabilidad de

la variable aleatoria continua X .

De esta definición se derivan algunas otras propiedades.

Sea X una variable aleatoria continúa con función de densidad ) (x f

probar:

1. ( P = X a ) = 0

2. ( P a ≤ ≤ X b ) = ( P a < < X b )

Solución:

1. ( P a X = ) = ( P a ≤ ≤ X a ) = ∫ a

a dx x f ) ( = 0

2. ( P a ≤ ≤ X b ) = ( P = X a ) + ( P a < < X b ) + ( P = X b ) = ( P a < < X b )

Ejemplo 1.7:

Sea X una variable aleatoria continua con la siguiente distribución:


19

∞ ≤ <

=

−

caso otro en

x i s e x f

x

0

0 2 1

) (

2 1

a. Encontrar ) 2 1 ( ≤ ≤ X P

Solución:

Primero se verifica si el modelo es legítimo:

dx e x 2 / 1

0 2 1 − ∞

∫

Integrando por sustitución tenemos que

1 ] 1 [ 0 0

2 / 1 = − − = − ∞ − x e Por lo tanto el modelo es legítimo.

Ahora se encontrará la ) 2 1 ( ≤ ≤ X P

) 2 1 ( ≤ ≤ X P = dx e x 2 / 1 2

1 2 1 − ∫

Integrando por sustitución tenemos que:

2 / 1 1 2

1 2 / 1 − − − + − = − e e e x

Entones se tiene que:

) 2 1 ( ≤ ≤ X P = 2 / 1 1 − − + − e e

20

1.2 Valor esperado

Los grandes jugadores de pòker dicen que los jugadores no

experimentados pueden ganar dinero a corto plazo pero que perderán

dinero a largo plazo. Lo contrario vale para profesionales y muy buenos

jugadores, lo cuales ganarán generalmente a largo plazo.

“¿Por qué esto es así? Esto se debe a un concepto conocido como “valor

esperado”. Valor esperado es el beneficio que se espera. Por ejemplo,

supongamos que he realizado una apuesta para tirar una moneda. Si sale

cara, perderé $1, si sale cruz, ganare $100. ¿Debo aceptar teóricamente

esta apuesta (asumiendo que la moneda es verdadera y existe un

cincuentacincuenta de posibilidad de que salga cara o cruz)?

Se debería aceptar la apuesta. Existe una probabilidad de 1/2 de que

caiga en cara y gane $100. Por lo tanto, la ganancia esperada es

0.5*$100=50. Si saliera cruz, pierdo $1. Por lo que, la perdida esperada

0.5*$1=0.50 Y el beneficio esperado es la ganancia esperada menos la

pérdida esperada. Es decir, que mi beneficio esperado es de $49,5.

Entonces, no ganaré $49,50. Ganaré $100 o perderé $1. Sin embargo,

deberíamos ver la apuesta como "ganar" $49,50. Los resultados en los

juegos de azar están influenciados por la suerte a corto plazo. Sin

embargo, a los resultados se verán cercanos a semejarse al valor

esperado. Si lanzamos la moneda un millón de veces, mi beneficio final

será muy cercano a 49,50 millones.” 6

Entonces resumiendo:

Sea X una variable discreta donde solo podrá tomar dos valores,

$100(ganancia), $1 (la perdida ósea = X 1, 100 ahora la probabilidad

6 www.pokertips.com.es/strategy/expectedvalue.php

21

de ganancia es 0.5 y la ganancia de perdida es 0.5. por tanto su valor

esperado es:

= µ (1) (0.5)+ (100) (0.5)=49.5

Luego se observa que el valor esperado esta dado por:

= ) (X E ∑ =

1

0

) ( . i

i i x P x = (1) (0.5)+ (100) (0.5)=49.5

Así se llega a la definición de valor esperado o esperanza matemática de

una variable aleatoria

Definición 1.8:

La media de una variable aleatoria se considera como una cantidad

numérica alrededor de la cual los valores de la variable aleatoria tienden a

agruparse por lo tanto la media es una medida de tendencia central y se

define por:

= µ = ) (X E ∑ x

x xp ) ( Si X es una variable discreta

= µ = ) (X E ∫ ∞

∞ −

dx x xf ) ( Si X es una variable continua

En general define el valor esperado de una función de X , ) (x h , por la

igualdad

[ ] = ) (X h E ∑ x

x p x h ) ( ) ( Si X es una variable discreta.

[ ] = ) (X h E ∫ ∞

∞ −

dx x f x h ) ( ) ( Si X es una variable continua.

22

Análogamente para mas de dos variables k x x x x ,..., , , 3 2 1 el valor esperado

de cualquier función h de las variantes, se define por

[ ]= ) ,..., , , ( 3 2 1 k x x x x h E ∑∑∑ ∑ 1 2 3

) ,..., , , ( ) ,..., , , ( ... 3 2 1 3 2 1 x

k x x x

k x x x x p x x x x h k

Si k x x x x ,..., , , 3 2 1 variables discretas.

[ ]= ) ,..., , , ( 3 2 1 k x x x x h E ∫ ∞

∞ − k k k dx dx dx dx x x x x f x x x x h ... ) ,..., , , ( ) ,..., , , ( 3 2 1 3 2 1 3 2 1

Si k x x x x ,..., , , 3 2 1 variables continuas.

El valor esperado o media posee algunas propiedades:

1. k k E = ) ( para k una constante

2. k x cE k cx E + = + ) ( ) ( para k , c constantes

3. )] ( [( )] ( [( )] ( ) ( [ x h E x g E x h x g E + = + donde g y h funciones de

distribución

NOTA: El valor esperado, puede no existir dependiendo si la

correspondiente suma o integral diverge a un valor infinito.

Ejemplo:

Halle la media de cada una de las siguientes distribuciones:

a.

x 5 4 1 2

) (x f 1/4 1/8 1/2 1/8

b.

x 1 3 5 7

) (x f 1/6 1/9 1/2 1/3

23

Solución:

a. 1 8 1 2

2 1 1

8 1 4

4 1 5 ) ( ) ( − =

+

+

−

− = = = ∑ x xf X E µ

b. 9 50

3 1 7

2 1 5

9 1 2

3 1 3 ) ( ) ( =

+

+

+

= = = ∑ x xf X E µ

24

CAPITULO DOS

2. DISTRIBUCIONES ESPECIALES

2.1. DISTRIBUCIONES ESPECIALES DISCRETAS

2.1.1 DISTRIBUCION UNIFORME

“La distribución uniforme es la que corresponde a una variable que toma

todos sus valores, x1, 7 x2,...,xn, con igual probabilidad; el espacio muestral

debe ser finito. Donde n es el parámetro de la distribución”.

Si la variable tiene n posibles valores, su función de probabilidad sería:

f(x)= n 1 para n= 1, 2,3,….

La media y la varianza de la distribución uniforme se calculan por las

expresiones:

Media: = µ 2 1 + n

Varianza: = 2 σ 12

1 2 − n

La función generadora de momentos esta dada por:

7 www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Distribución%20uniforme

25

∑ =

= n

i

it x e

n t

1

1 ) ( µ

2.1.2. DISTRIBUCION BERNOULLI

“Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si

cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1p la probabilidad de que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente puede tomar dos modalidades, Podríamos por tanto definir este

experimento mediante una variable aleatoria discreta X que toma los valores X = 0 si el suceso no ocurre, y X = 1 en caso de que el suceso ocurra” 8 .

La función de probabilidad de la variable bernoulli es:

( ) x x q p x f − = 1 para 1 , 0 . 1 0

= ≤ ≤

x p

La media y la varianza de la distribución bernoulli se calculan:

Media: = µ p

Varianza: = 2 σ p q


( ) = t x µ t pe q +

8 www.bioestadistica.uma.es/libro/node69.htm

26

2.1.3. DISTRIBUCION BINOMIAL

La distribución binomial posee las siguientes características:

1. “El modelo está compuesto de n ensayos independientes iguales,

siendo n un número natural fijo.

2. Cada ensayo resulta en un suceso que cumple las propiedades de

la variable binómico o de Bernouilli, es decir, sólo existen dos

posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan

generalmente como éxito y fracaso.

3. La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todos los

ensayos. P (éxito) = p; P (fracaso) = 1 p = q

4. Los ensayos son estadísticamente independientes.

La función de probabilidad de la variable binomial se representa como

b(x,n,p) donde n y p son los parámetros de la distribución e indica la

probabilidad de que ocurran exactamente x éxitos en una muestra de n

observaciones de Bernoulli independientes” 9 .

n el número de pruebas

p la probabilidad de éxito.

( ) x n x q p x n

x f −

= para

... 3 , 2 , 1 1 0 ,..., 2 , 1 , 0

= ≤ ≤

=

n p

n x

La media y la varianza de la distribución binomial se calculan:

9 www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Distribución%20binomial

27

Media: = µ np

Varianza: = 2 σ npq


( ) = t x µ ( ) n t pe q +

2.1.4. DISTRIBUCION HIPERGEOMÉTRICA

Una variable tiene distribución hipergeométrica si posee un modelo que

cumple las siguientes condiciones:

1. “Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazo, de un conjunto

finito de M objetos.

2. K de los M objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y M K como

fracasos.

3. X cuenta el número de éxitos obtenidos en la muestra.

En este caso, la probabilidad de éxito en pruebas sucesivas no es

constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por

tanto, las pruebas no son independientes entre sí” 10 .

La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:

( )

− −

=

n M

x n K M

x K

x f para

M n M K

M n x

,..., 3 , 2 , 1 ,..., 2 , 1 , 0 ,... 3 , 2 , 1 ,..., 3 , 2 , 1

=

= =

=

10 www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Distribución%20hipergeomé trica

28

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica se calculan:

Media: = µ M K n

Varianza: = 2 σ

− −

−

1 M n M

M K M

M K n

2.1.5. DISTRIBUCION POISSON

Una variable de tipo poisson cuenta ‚éxitos que ocurren en una región del

espacio o del tiempo.

El modelo que la genera debe cumplir las siguientes condiciones:

1. “El número de éxitos que ocurren en cada región del tiempo o del

espacio es independiente de lo que ocurra en cualquier otro tiempo

o espacio disyunto del anterior.

2. La probabilidad de un ‚éxito en un tiempo o espacio pequeño es

proporcional al tamaño de este y no depende de lo que ocurra

fuera de él.

3. La probabilidad de encontrar uno o más ‚éxitos en una región del

tiempo o del espacio tiende a cero a medida que se reducen las

dimensiones de la región en estudio” 11 .

La función de probabilidad de una variable Poisson es:

11

www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Distribución%20de%20poisso n

29

( ) ! x

e x f x λ λ −

= si ∞ = ,.., 3 , 2 , 1 , 0 x y λ >0

La media y la varianza de la distribución poisson se calculan:

Media: = µ λ

Varianza: = 2 σ λ


( ) = t x µ ( ) [ ] 1 exp − t e λ

2.1.6. DISTRIBUCION GEOMETRICA

“La distribución geométrica comparte algunas características del modelo

Binomial pero la diferencia entre los dos modelo es que en la distribución

geométrica la variable x es el número de ensayos que son necesarios realizar para que ocurra por primera vez un éxito” 12 .

La función de probabilidad de una variable geométrica es:

x pq x f = ) ( ∞ = ,.., 3 , 2 , 1 , 0 x

0<p<1 y (q=1p)

La media y la varianza de la distribución geométrica se calculan:

12 WACKERLY Dennis, MENDENHALL William, SCHEAFFER Richard.2002. Estadística matemática con

aplicaciones. Thomson.Pág.110

30

Media: = µ p q

Varianza: = 2 σ 2 p q


( ) = t x µ t qe

p − 1

2.1.7. DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA

“La distribución binomial negativa surge de un contexto semejante al que

conduce a la distribución geométrica, donde cada ensayo idéntico e

independiente da origen a uno de los dos resultados de éxito o fracaso” 13 .

Este modelo nos permite encontrar la probabilidad del número de ensayos

que son necesarios realizar en el que ocurre el nésimo éxito.

La función de probabilidad de una variable binomial negativa es:

x r q p x x r

x f

− + =

1 ) ( para 0< 1 ≤ p y r > 0

∞ = ,.., 3 , 2 , 1 , 0 x

La media y la varianza de la distribución binomial negativa se calculan:

Media: = µ p rq

13 13 WACKERLY Dennis, MENDENHALL William, SCHEAFFER Richard.2002. Estadística matemática con

aplicaciones. Thomson.Pág.116

31

Varianza: = 2 σ 2 p rq


( ) = t x µ r

t qe p

− 1

2.2. DISTRIBUCIONES ESPECIALES CONTINUAS

2.2.1. DISTRIBUCION UNIFORME

La función de distribución uniforme es constante en el intervalo (a, b).

Por esto, tal distribución también se conoce como distribución rectangular

La función de densidad de la distribución uniforme es:

f(x)= a b −

1 para ∞ < < < ∞ −

< < b a b x a

La media y la varianza de la distribución uniforme se calculan por las

expresiones:

Media: = µ 2 b a +

Varianza: = 2 σ 12

) ( 2 a b −


( ) = t x µ t a b

e e at bt

) ( − −

32

2.2.2. DISTRIBUCION NORMAL

“Una variable es normal cuando se ajusta a la ley de los grandes

números, es decir, cuando sus valores son el resultado de medir

reiteradamente una magnitud sobre la que influyen infinitas causas de

efecto infinitesimal.

Las variables normales tienen una función de densidad con forma de

campana a la que se llama campana de Gauss” 14 .

La función de densidad de una variable normal es:

( )

− − = 2

2

2 exp

2 1 ) (

σ µ

πσ x x f para

0 > ∞ < < ∞

σ µ

La media y la varianza de la distribución normal se calculan:

Media: ) (X E = µ

Varianza: = 2 σ 2 ) ( µ − X E


( ) = t x µ

+ 2 2

2 1 exp t t σ µ

2.2.3. DISTRIBUCION BETA

“La distribución beta permite generar una gran variedad de perfiles, se ha

utilizado para representar variables físicas cuyos valores se encuentran

restringidos a un intervalo de longitud finita” 15 .

14 www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htm#Distribución%20normal%20 o%20de%20Gauss

33

La función de densidad de una variable beta es:

1 1 ) 1 ( ) , (

1 ) ( − − − = b a x x b a B

x f para 0 0

1 0

> >

< <

b a

x

La media y la varianza de la distribución beta se calculan:

Media: b a

a +

= µ

Varianza: = 2 σ 2 ) )( 1 ( b a b a ab

+ + +

2.2.4. DISTRIBUCION WEIBULL

“En los últimos 25 años esta distribución se empleó como modelo para

situaciones del tiempofalla y con el objetivo de lograr una amplia variedad

de componentes mecánicos y eléctricos. La distribución de Weibull

depende de dos parámetros θ α , ” 16 .

La función de densidad de una variable Weibull es:

] ) / ( exp[ ) ( 1 α α α θ

θ α x x x f − = −

0 0

> >

∞ < <

θ α

x o

La media y la varianza de la distribución Weibull se calculan:

Media:

+ Γ =

α θ µ 1 1


16 CANAVOS George. Probabilidad y estadística aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill.159

34

Varianza: = 2 σ

+ Γ −

+ Γ

α α θ 1 1 2 1 2 2


( ) = t x µ

+ Γ

−

b t a b

t 1

2.2.5. DISTRIBUCIÓN CHICUADRADO

Sea v un entero positivo. Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución Chicuadrado con v grados de liberta si y sólo si X es una

variable aleatoria con una distribución gamma y parámetros 2 v = α y

2 = β .

La función de densidad de una variable Chicuadrado es:

( ) ( )x v

v

e x v x f 2 1

1 2 2

2 1

2

1 ) ( − −

Γ =

La media y la varianza de la distribución Chicuadrado se calculan:

Media: v = µ

Varianza: = 2 σ v 2


( ) = t x µ 2

2 1 1

v

t

−

35

2.2.6. DISTRIBUCION T STUDENT

“Supongamos dos variables aleatorias independientes, una normal

tipificada, Z, y otra con distribución χ2 con ν grados de libertad, la variable

definida según la ecuación” 17 :

ν

2 x Z T =

tiene distribución t con ν grados de libertad.

La función de densidad de una variable t student es:

( ) [ ] [ ] 2 / ) 1 ( / 2 ) ( 1 ) 2 / ( 2 / 1 ) ( + −

+ Γ + Γ

= v v

v v v x f

π para 1 0

> >

∞ < < ∞ −

v v

x

La media y la varianza de la distribución t student se definen:

Media: 0 = µ

Varianza: = 2 σ 2 − v

v para v>2

2.2.7. DISTRIBUCION F

“La distribución F aparece frecuentemente como la estadística de prueba

de la hipótesis nula (distribución nula) de una prueba estadística,

17 www.ucm.es/info/genetica/Estadistica/estadistica_basica%201.htmDistribuciónT%20de%20Stud ent

36

especialmente en el análisis de varianza, para mas de dos poblaciones” 18 .

La función de densidad de una variable distribución F es:

( ) [ ] ( ) ( )

( )

( ) [ ] ( ) 2 /

2 / 2 2

1 2 / 2 / 2 / ) ( n m

m m

x n m x

n m

n m n m x f

+

−

+

Γ Γ + Γ

=

para ,... 2 , 1 , =

∞ < < n m x o

La media y la varianza de la distribución F se calculan:

Media: 2 −

= n n µ para n>2

Varianza: = 2 σ ) 4 ( ) 2 ( ) 2 ( 2

2

2

− − − + n n m n m n para n>4

2.2.8. DISTRIBUCION GAMMA

“La distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con

dos parámetros β α y .

El parámetro α recibe el nombre de parámetro de forma, ya que la forma de la densidad gamma difiere por los distintos valores de α .

El parámetro β recibe el nombre de parámetro de escala debido a la

multiplicación de una variable aleatoria con distribución gamma por una

constante positiva” 19 .

18 es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_F 19 WACKERLY Dennis, MENDENHALL William, SCHEAFFER Richard.2002. Estadística matemática con aplicaciones. Thomson.Pág.177

37

La función de densidad de una variable gamma es:

x e x x f β α α

α β − −

Γ = 1

) ( ) ( para

0 0

> >

∞ < <

α β

x o

La media y la varianza de la distribución gamma se calculan:

Media: β

µ r =

Varianza: = 2 σ 2 β r


( ) = t x µ t − β

β

Como casos especiales de la distribución gamma encontramos:

2.2.9. DISTRIBUCION EXPONENCIAL

“La función gamma en la que α = 1 se llama función de densidad

exponencial. La función de densidad exponencial se utiliza con frecuencia

para describir la duración de los componentes electrónicos” 20 .

La función de densidad de una variable exponencial es:

x e x f β β − = ) ( para 0

0

>

∞ ≤ ≤ β

x

La media y la varianza de la distribución exponencial se calculan:

20 WACKERLY Dennis, MENDENHALL William, SCHEAFFER Richard.2002. Estadística matemática con aplicaciones. Thomson.Pág.178

38

Media: β

µ 1 =

Varianza: = 2 σ 2

1 β


( ) = t x µ t − β

β

39

CAPITULO TRES

3. TECNICA DE TRANSFORMACIONES

Esta técnica es usada tanto en distribuciones de probabilidad variables

aleatorias discretas como en distribuciones de probabilidad de variables

aleatorias continuas

3.1 TECNICA DE TRANSFORMACIONES PARA VARIABLES

ALEATORIAS DISCRETAS

Teorema 3.1: “ Supóngase que X es una variable aleatoria discreta con distribución de probabilidad P(x). Si la función Y=g(X) define una

transformación uno a uno entre los valores X y Y , de tal forma que la

ecuación ) (x g y = tenga su inversa ) ( 1 y g x − = , entonces la distribución de

Y es” 21 :

( ) ) ( ) ( 1 y g f y f X Y − =

Demostración:

( ) ) ( )) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( 1 1 y g f y g x P y x g P y Y P y F X Y − − = = = = = = =

21 probabilidad y estadística. Warpole. Meyer. Pag184

40

Ejemplo 3.1:

Sea X es una variable aleatoria discreta donde su distribución se encuentra dada por

) (x f X = ) ( x X P = =

0 3 2x

caso otro en

x 4 , 3 , 2 , 1 =

Encontrar la distribución de 1 2 − = X Y

Solución:

Si x varia entre 1 y 4 remplazando en y tenemos que = y 1, 3, 5,7

1 2 ) ( − = = x x g y ⇒ 2 1 ) ( 1 +

= = − y y g x

Ahora

+

=

+

= = = − = = = 2 1

2 1 ) 1 2 ( ) ( ) ( y f y X P y X P y Y P y f X Y

+

= 3

) 1 ( ) ( y y f Y

Luego la distribución de yse encuentra dada por:

) (y f Y = ) ( y Y P = =

+

0 3 1 y

caso otro en

y 7 , 5 , 3 , 1 =

Suponga ahora el problema en el que , ,..., , 2 1 n X X X son variables

aleatorias discretas con función conjunta ), ,..., , ( 2 1 ,..., , 2 1 n X X X x x x f n

y se desea

encontrar la probabilidad conjunta ) ,..., , ( 2 1 ,..., , 2 1 n Y Y Y y y y f n

de las nuevas

variables aleatorias

41

), ,..., , ( ..., ), ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n x x x g y x x x g y x x x g y = = =

las cuales definen una transformación uno a uno entre los conjuntos de

puntos ) ,..., , ( 2 1 n x x x y ) ,..., , ( 2 1 n y y y .Si se resuelven las ecuaciones

simultáneamente se encontrara la solución inversa única

), ,..., , ( ..., ), ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 1

2 1 1

2 2 2 1 1

1 1 n n n n n y y y g x y y y g x y y y g x − − − = = =

Teorema 3.2: Sean que , ,..., , 2 1 n X X X son variables aleatorias discretas

con distribución de probabilidad conjunta ) ,..., , ( 2 1 ,..., , 2 1 n X X X x x x f n

. Si las

funciones ), ,..., , ( ..., ), ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n x x x g y x x x g y x x x g y = = =

definen una transformación uno a uno entre los valores ) ,..., , ( 2 1 n x x x y

) ,..., , ( 2 1 n y y y de tal forma que las ecuaciones:

), ,..., , ( ),..., ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n x x x g y x x x g y x x x g y = = =

tengan inversa

), ,..., , ( ),..., ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 1

2 1 1

2 2 2 1 1

1 1 n n n n n y y y g x y y y g x y y y g x − − − = = = ,

respectivamente entonces la distribución conjunta de , ,..., , 2 1 n Y Y Y es:

) ,..., , ( 2 1 , ,..., , 2 1 n Y Y Y y y y f n

)] ,..., , ( ),... ,..., , ( ), ,..., , ( [ 2 1 1

2 1 1

2 2 1 1

1 ,..., , 2 1 n n n n X X X x x x g x x x g x x x g f n

− − − =

Demostración:

) ,..., , ( 2 1 , ,..., , 2 1 n Y Y Y y y y f n

) , ... , , ( 2 2 1 1 n n y Y y Y y Y P = = = =

) ) ,... , ( , ... , ) ,... , ( , ) ,... , ( ( 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n y x x x g y x x x g y x x x g P = = = =

)) ,... , ( ..., ), ,... , ( ), ,... , ( ( 2 1 1

2 1 1

2 2 1 1

1 2 1 n n n n n y y y g X y y y g X y y y g X P − − − = = = =

)] ,..., , ( ),... ,..., , ( ), ,..., , ( [ 2 1 1

2 1 1

2 2 1 1


− − − =

42

Ejemplo 3.2:

Sean 2 1 , X X variables discretas con distribución de probabilidad conjunta

( )

=

=

= caso otro en

X

X X X

x x f 0

3 , 2 , 1

2 , 1 18

, 2

1 2 1

2 1

Encontrar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria

2 1 1 X X Y =

Solución:

Sea ) , ( 2 1 1 1 x x g y = ) , ( 2 1 2 2 x x g y =

) , ( ) , ( 2 2 1 1 2 1 , 2 1 y Y y Y P y y f Y Y = = =

= ( ) 2 2 1 2 1 2 1 1 ) , ( , ) , ( y x x g y x x g P = =

= ) , ( , ) , ( ( 2 1 1

2 2 2 1 1

1 1 x x g x y y g x P − − = =

= ) , ( , ) , ( ( 2 1 1

2 2 1 1

1 x x g y y g f X − −

2 1 1 X X Y = ⇒ ? ) ( 1 1 = y f Y

Se usa una variable auxiliar 2 2 X Y =

Ahora procedemos a encontrar las inversas:

2

1 1 2 1 1 2 1 1 Y

y x y X y X X y = ⇒ = ⇒ = = ) ( 2 , 1 1

1 y y g −

) ( 2 , 1 1

2 2 2 y y g y x − = =

Los Intervalos de 1 y y 2 y son:

1 x 2 x 1 2 3

1 1 2 3 2 2 4 6

43

Por lo tanto

1 y = 1, 2, 3, 4, 6 2 y = 1, 2, 3

Tenemos:

= 2

2

1 2 1 , , ) , (

2 1 y

y y f y y f x Y Y

= 18 1 y

1 Y 1 2 3 4 5 ) ( 1 1

y f Y 18 1

9 2

6 1

9 2

3 1

3.2. TECNICA DE TRANSFORMACIONES PARA VARIABLES CONTINUAS

En este caso se enuncia el siguiente teorema:

Teorema 3.3: Sean X es una variable aleatoria continua con distribución

de probabilidad ) (x f X . Si la función Y= g(X) define una correspondencia

uno a uno entre los valores X y Y , de tal forma que la ecuación ) (x g y =

tenga su inversa ) ( 1 y g x − = , entonces la distribución de Y es:

( ) ) ( ) ( 1 y g f y f X Y − = J

donde ) ( 1 y g dy d J − = y recibe el nombre de jacobiano de la

transformación.

44

Demostración:

La demostración puede abrirse en dos casos, en el caso en el que

) (x g y = es creciente y en el caso en el que ) (x g y = es decreciente.

• Supóngase que ) (x g y = es creciente.

0

4

0 1,5

b

g1(a)

a

Gráfica 2

Se escoge dos puntos arbitrarios de y , por ejemplo a y b entonces:

) ( b Y a P ≤ ≤ = ) ( ) ( a Y P b Y P ≤ − ≤

= ) ) ( ( ) ) ( ( a X g P b X g P ≤ − ≤

= )) ( ( )) ( ( 1 1 a g X P b g X P − − ≤ − ≤

= )] ( ) ( [ 1 1 b g X a g P − − ≤ ≤

= ∫ −

−

) (

) (

1

1

) ( b g

a g X dx x f

45

Ahora se cambia las variable de integración de x a y por la relación ) ( 1 y g x − = se tendría que:

dy y g dx ' 1 )] ( [ − =

luego

) ( b Y a P ≤ ≤ = ∫ − − b

a X dy y g y g f ' 1 1 )] ( ))[ ( (

como a y b recorren todos los valores permisibles de y siempre que b a < se tiene que

) ( y f Y = ' 1 1 )] ( ))[ ( ( y g y g f X − −

= ( ) J y g f X . ) ( 1 −

Se conoce a ' 1 )] ( [ y g J − = como el reciproco de la pendiente de la línea tangente a la curva de la función creciente ) (x g y = es evidente que

J J = .

Luego ( ) ) ( ) ( 1 y g f y f X Y

− = J

• Suponga que ) (x g y = es decreciente.

0 0 5

b

g1(a)

a

Gráfica 3

46

Se escoge otra vez puntos arbitrarios de y , a y b entonces:

) ( b Y a P ≤ ≤ = ) ( ) ( a Y P b Y P ≤ − ≤

= ) ) ( ( ) ) ( ( a X g P b X g P ≤ − ≤

= )) ( ( )) ( ( 1 1 a g X P b g X P − − ≤ − ≤

= )] ( ) ( [ 1 1 a g X b g P − − ≤ ≤

= ∫ −

−

) (

) (

1

1

) ( a g

b g X dx x f

otra vez cambiando la variable de integración de x a y se tiene que:

) ( b Y a P ≤ ≤ = ∫ − − a

b X dy y g y g f ' 1 1 )] ( ))[ ( (

= ∫ − − − b

a X dy y g y g f ' 1 1 )] ( ))[ ( (

Como a y b recorren todos los valores permisibles de ysiempre que b a < se tiene que

) ( b Y a P ≤ ≤ = ( ) J y g f X . ) ( 1 − −

en este caso la pendiente de la curva es negativa, por tanto J J − = .

( ) ) ( ) ( 1 y g f y f X Y − = J

con lo cual se concluye el teorema.

Ejemplo 3.3:

Sea X una variable aleatoria continua donde su distribución se encuentra dada por:

≤ ≤ = = =

caso otro en

x x x X P x f X

0

1 0 2 ) ( ) (

47

Encontrar a Y= 3Y1

Solución:

Se encuentra el intervalo de y

2 1 2 1 3 1 ≤ ≤ − < − = < − y x y

Ahora

] 1 3 [ ) ( ) ( y x P y Y P y F Y ≤ − = = =

= ] 1 3 [ + ≤ y x P

=

+

≤ 3 1 y x P

3 1 +

= y F X

+

+

= dy

y

d y F y f X Y 3 1

3 1 ) (

= 3 1 .

3 1

+ y f X

) (y f Y = 9 1 2 + y

Teorema 3.4: Sean n X X X ,..., , 2 1 son variables aleatorias continuas con

distribución de probabilidad conjunta ) ,..., , ( 2 1 , ,..., , 2 1 n X X X x x x f n

. Si

), ,..., , ( 2 1 1 1 n x x x g y = ), ,..., , ( ..., ), ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 n n n n x x x g y x x x g y = = definen

una transformación uno a uno entre los valores ) ,..., , ( 2 1 n x x x y

48

) ,..., , ( 2 1 n y y y de tal forma que las ecuaciones:

), ,..., , ( ),..., ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 n n n n n x x x g y x x x g y x x x g y = = =

Tengan inversa

), ,..., , ( ),..., ,..., , ( ), ,..., , ( 2 1 1

2 1 1

2 2 2 1 1

1 1 n n n n n y y y g x y y y g x y y y g x − − − = = = ,

respectivamente entonces la distribución conjunta de , ,..., , 2 1 n Y Y Y es:

) ,..., , ( 2 1 , ,..., , 2 1 n Y Y Y y y y f n

)] ,..., , ( ),... ,..., , ( ), ,..., , ( [ 2 1 1

2 1 1

2 2 1 1


− − − = J

donde el jacobiano es el determinante de n x n.

n

n n n

n

n

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

...

...

...

2 1

2 2

2

1

2

1

2

1

1

1

M M M

Ejemplo 3.4:

Sean 1 X y 2 X variables aleatorias independientes exponenciales de

parámetros 1 = θ , halle la distribución de la suma

Solución:

1 ) ( 1 1 x e x f X − = = ≈ ∞ ≤ ≤ 1 0 x

2 ) ( 2 2 x e x f X − = = ≈ ∞ ≤ ≤ 2 0 x

= ) , ( 2 1 , 2 1 x x f X X

) ( 2 1 x x e + − ∞ ≤ ≤ 1 0 x

∞ ≤ ≤ 2 0 x

49

1. ) , ( 2 1 1 2 1 1 x x g x x y = + =

2. ) , ( 2 1 2 2 1

1 2 x x g

x x x y = +

=

Sea encuentran las inversas de: ) , ( 2 1 1

1 y y g − y ) , ( 2 1 1

2 y y g −

de 2. tenemos ) , ( ) ( 2 1 1

1 2 1 1 2 2 1 y y g y y x y x x − = = = +

de 1. tenemos 1 1 2 x y x − =

2 1 1 2 y y y x − =

) 1 ( 2 1 2 y y x − = ) , ( 2 1 1

2 y y g − =

Los intervalos son:

∞ ≤ ≤ ≤ ≤ ∞ ≤ − ≤

∞ ≤ ≤

1 2

2 1

2

0 1 0 ) 1 ( 0

0

y y y y

x

Aplicando el teorema encontramos la distribución conjunta de 1 Y y 2 Y es:

( )J y y g y y g y y f ) , ( ), , ( ) , ( 2 1 1

2 2 1 1

1 2 1 − − =

) 1 ( ) 1 (

2 1 1 2

1 2

1 2

y y y y y y

y y − − − =

− −

( ) ) 1 ( , )

2 2 2 1 ) , (

1 2 1 1 1 2

2 1 y y y y f

y y y y y y

y y −

= + − − =

( )

( )

1

2 1 2 1

2 1 2 1

1

) 1 ( 1

1 ) 1 (

y

y y y y

y y y y

e y e y

y e

−

− + −

− + −

=

=

=

50

Y para encontrar la distribución de ) ( 1 1 y f Y se integra la distribución

conjunta con respecto a 2 y , entonces:

1

1

1

1

2 1

1

0 1 ) ( y

y y

e y

dy e y y f −

−

=

= = ∫

Con lo que se tiene una variable Gamma (2,1)

51

CAPITULO CUATRO

4. ESTADISTICAS DE ORDEN

DEFINICION

Sean n X X X ,..., , 2 1 una muestra aleatoria de tamaño n de una distribución

de tipo continuo que tiene función de densidad f(x) positiva para a < x <b.

Entonces , ,... 2 1 n Y Y Y ≤ ≤ ≤ donde las i Y son las i X arregladas en orden

creciente de magnitudes son definidas como las estadísticas de orden

correspondientes a la muestra aleatoria n X X X ,..., , 2 1 .

Estas estadísticas juegan un papel importante en la inferencia estadística

particularmente porque algunas de sus propiedades no dependen de la

distribución de la cual fue obtenida la muestra aleatoria.

Se puede analizar la función de densidad conjunta de la muestra

(Distribución muestral) en una muestra A ordenada así:

Sea n X X X ,..., , 2 1 una muestra aleatoria de una distribución de tipo

continuo que tiene densidad ) (x f X que es positiva, siempre que a<x<b.

52

Sea 1 Y la más pequeña de estas i X , 2 Y la siguiente i X en orden de

magnitudes, y n Y la mas grande de las i X esto es n Y Y Y < < < ... 2 1

representan a n X X X ,..., , 2 1 donde estas ultimas se ordenan

ascendentemente en orden de las i de la muestra aleatoria de magnitud.

TEOREMA 4.1: Sean n Y Y Y ,..., , 2 1 una muestra ordenada de las variables

aleatorias n X X X ,..., , 2 1 , entonces la función de densidad conjunta de

n Y Y Y ,..., , 2 1 está dada por

g( n y y y ,..., , 2 1 ) =

< < < <

caso otro en

y y y a y f y f y f n n

0

... ) ( )... ( ) ( ! 2 1 2 1

Demostración: Se probará para el caso n = 3.

Si n = 3, entonces, la función de densidad conjunta de 1 X , 2 X , 3 X es

) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f x f x f .

Considere la probabilidad de un evento tal como:

P (a< 1 X = 2 X <b, a< 3 X <b) = 3 2 1 3 2 1 2

2

) ( ) ( ) ( dx dx dx x f x f x f b

a

b

a

x

x ∫ ∫ ∫

Porque ∫ 1 1 ) ( dx x f = 0

Como se anotó, se puede definir la función de densidad conjunta

) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f x f x f sin alterar la distribución de 1 X , 2 X , 3 X como cero en

todos los puntos ( 1 X , 2 X , 3 X ) que tienen al menos dos de sus

coordenadas iguales. Entonces el espacio, donde ) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f x f x f es la

unión de los 6 conjuntos disyuntos siguientes:

53

A1= ( 1 x , 2 x , 3 x ); a < 1 x < 2 x < 3 x < b

A2= ( 1 x , 2 x , 3 x ); a < 2 x < 1 x < 3 x < b

A3= ( 1 x , 2 x , 3 x ); a < 1 x < 3 x < 2 x < b

A4= ( 1 x , 2 x , 3 x ); a < 2 x < 3 x < 1 x < b

A5= ( 1 x , 2 x , 3 x ); a < 3 x < 1 x < 2 x < b

A6= ( 1 x , 2 x , 3 x ); a < 3 x < 2 x < 1 x < b

Hay 6 de estos conjuntos porque podemos ordenar 1 x , 2 x , 3 x

precisamente de 6 formas.

Considere las funciones:

y1 = mín 1 x , 2 x , 3 x

y2 = el valor de magnitud mediana de 1 x , 2 x , 3 x , y

y3 = máx 1 x , 2 x , 3 x .

Estas funciones definen una transformación uno a uno que mapea cada

uno de los conjuntos A1, A2, A3, A4, A5, A6 anteriores sobre uno de los

conjuntos

Β = (y1, y2, y3); a < 3 2 1 y y y < < < b. Las funciones inversas son para los

puntos en A i , i=1, 2, 3, 4, 5, 6, así:

3 3 2 2 1 1 1 y x y x y x A = = = =

3 3 1 2 2 1 2 y x y x y x A = = = =

2 3 3 2 1 1 3 y x y x y x A = = = =

2 3 1 2 3 1 4 y x y x y x A = = = =

1 3 3 2 2 1 5 y x y x y x A = = = =

1 3 2 2 3 1 6 y x y x y x A = = = =

Entonces el jacobiano de cada Ai, es:

54

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

=

3

3

2

3

1

3

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

y x

J

=

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 J

=

1 0 0 0 0 1 0 1 0

2 J

=

0 1 0 1 0 0 0 0 1

3 J

=

0 0 1 1 0 0 0 1 0

4 J

=

0 1 0 0 0 1 1 0 0

5 J

=

0 0 1 0 1 0 1 0 0

6 J

El valor absoluto de cada un de los 6 jacobianos es +1. De este modo la

función de densidad conjunta de las estadísticas de orden:

y1 = mín 1 x , 2 x , 3 x

y2 = el valor de magnitud mediana de 1 x , 2 x , 3 x , y

y3 = máx 1 x , 2 x , 3 x .

g ( 3 2 1 , , y y y ) = 1 J ) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f x f x f + 2 J ) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f x f x f + . . . +

6 J ) ( ) ( ) ( 3 2 1 x f x f x f a< y1< y2< y3< b

0 en otro caso

es decir.

g ( 3 2 1 , , y y y ) = b y y y a caso otro en

y f y f y f n

< < < <

3 2 1

2 1

0

) ( )... ( ) ( ! 3

55

Ejemplo 4.1: Sea X una variable aleatoria de tipo continuo con función de densidad ) (x f que es positiva y continua, para a<x<b, y cero en otra

parte. La función de distribución ) (x F de X se puede escribir:

) (x F X = b x si dw w f a x si

x

a

≥

≤

∫ 1

) ( 0

si a < x < b

De esta manera hay una única mediana m de la distribución con ) (m F X =

2 1 . Considere la muestra aleatoria 1 X , 2 X , 3 X de esta distribución y sea

3 2 1 y y y < < las estadísticas de orden de la muestra.

Calcular la probabilidad de que m y ≤ 2

Solución:

g ( 3 2 1 , , y y y ) = caso otro en

b y y y a y f y f y f n

0

) ( )... ( ) ( 6 3 2 1 2 1 < < < <

La función de densidad de 2 Y es entonces:

( ) = 2 y h 3 1 3 1 2 2

2 ) ( ) ( ) ( 6 dy dy y f y f y f b

y

y

a ∫ ∫

= [ ] ∫ b

y

y

a dy y f y F y f 2

2

3 3 1 2 ) ( ) ( ) ( 6

= ∫ b

y dy y f y F y f

2 3 3 2 2 ) ( ) ( ) ( 6

= [ ] b

y y F y F y f 2

) ( ) ( ) ( 6 3 2 2

( ) = 2 y h caso otro en b y a y F y F y f

0 )] ( 1 )[ ( ) ( 6 2 2 2 2 < < −

56

Por consiguiente

P ( m y ≤ 2 ) = [ ] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6 2 2 2

2 2 2 y d y f y F y f y F m

a ∫

P ( m y ≤ 2 ) = ( ) ( )

2 1

3 ) F(y

2 ) F(y

6 3

2 2

2 =

− m

a

El resultado anterior puede usarse para obtener expresiones de las

demás estadísticas de orden.

Sea X una variable aleatoria de tipo continuo que tiene función de

densidad ) (x f que es positiva y continua, en a<x<b, y cero en otro caso.

Entonces la función distribución ) (x F se puede escribir

) (x F = 0 si a x ≤

= ∫ < < x

a b x a si dw w f ) (

= 1 si b x ≥

Por consiguiente

) (x F ′ = ) (x f b x a < <

Además si b x a < <

1 ) (x F = ) ( ) ( x F b F −

= ∫ ∫ − b

a

x

a dw w f dw w f ) ( ) (

= ∫ b

x dw w f ) (

Sea n X X X ,..., , 2 1 una muestra aleatoria de tamaño n de estas

distribuciones, y sea n Y Y Y ,..., , 2 1 las estadísticas de orden de la muestra

aleatoria. Entonces la función de densidad conjunta de n Y Y Y ,..., , 2 1 es:

57

γ ( caso otro en y f y f y f n

y y y n n 0

) ( )... ( ) ( ! ,..., , 2 1

2 1 = a < b y y y n < < < < ... 2 1

4.1. DISTRIBUCIÓN DEL MAXIMO ( n Y )

La función de densidad del máximo (densidad marginal de n y ) puede

expresarse en términos de la función de distribución ) (X F y de la función

de densidad ) (x f de la variable aleatoria X. Si a < n y < b, la función de

densidad marginal de n Y esta dada por:

) ( n n y g = 1 3 2 1 3 2 1 ... ) ( )... ( ) ( ) ( ! ... 4 3 2

− ∫ ∫ ∫ ∫ n n

y

a

y

a

y

a

y

a dy dy dy dy y f y f y f y f n n

1 3 2 3 2 1 1 ... ) ( )... ( ) ( ) ( ! ... 4 3 2

− ∫ ∫ ∫ ∫

n n

y

a

y

a

y

a

y

a dy dy dy y f y f y f dy y f n n

1 3 2 3 2 2 ... ) ( )... ( ) ( ) ( ! ... 4 3

− ∫ ∫ ∫ n n

y

a

y

a

y

a dy dy dy y f y f y f y F n n

1 3 3 2 2 2 ... ) ( )... ( ) ( ) ( ! ... 4 3

− ∫ ∫ ∫

n n

y

a

y

a

y

a dy dy y f y f dy y f y F n n

1 3 3

2 2 ... ) ( )... ( 2 ) (

! ... 4 3

− ∫ ∫

n n

y

a

y

a

y

a

dy dy y f y f y F n n

[ ] 1 4 3 4 3

2 3 ... ) ( )... ( ) ( 2 ) (

! ... 4

− ∫ ∫ n n

y

a

y

a dy dy dy y f y f y f y F n n

[ ] 1 5 4 4 3 3

2 3 ... ) ( )... ( ) ( 2 ) (

! ... 4 5

− ∫ ∫ ∫

n n

y

a

y

a

y

a dy dy dy y f y f dy y f y F n n

58

[ ] 1 4 4

3 4 ... ) ( )... ( 3 . 2 ) (

! ... 5

− ∫ ∫ n n

y

a

y

a dy dy y f y f y F n n

[ ] 1 5 5 4 4

3 4 ... ) ( )... ( ) ( 3 . 2 ) (

! ... 5 6

− ∫ ∫ ∫

n n

y

a

y

a

y

a dy dy y f y f dy y f y F n n

[ ] 1 5 5

4 5 ... ) ( )... ( 4 . 3 . 2 ) (

! ... 5

− ∫ ∫ n n

y

a

y

a dy dy y f y f y F n n

⋅

⋅ ⋅

[ ] ) ( ) 1 ...( 4 . 3 . 2

) ( !

1

n

n n y f n

y F n −

−

b y a n < <

Entonces

) ( n n y g = [ ]

) ( ) 1 ( ) ( ! 1

n

n n y f

n y F n

−

−

b y a n < <

) ( n n y g [ ]

−

caso otro en

y f y F n n n

n

0

) ( ) ( 1

b y a n < <

De esta manera, la función de distribución de n Y ) (y F n y es:

) ( y F n y = [ ] [ ] y X y X y X P y Y P n n ≤ ≤ ≤ = ≤ ; ... ; ; 2 1

Porque el más grande de los i X es menor o igual a y si solamente todas

las i X son menores o iguales a y . Ahora si los i X se asumen

independientemente, entonces:

[ ] y X y X y X P n ≤ ≤ ≤ ; ... ; ; 2 1 = ∏ ∏ = =

= ≤ n

i

n

i X i y F y X P

1 1

) ( ) ( 1

59

Así, la distribución de ( ) n n X X Y ,..., max 1 = se puede expresar en términos

de las distribuciones marginales de n X X ,..., 1 . Si en total se asume que

todas las n X X ,..., 1 tienen la misma distribución acumulativa, X F (.),

entonces:

∏=

n

i X y F

1

) ( 1

= [ ] n X y F ) (

Lo anterior produce el siguiente teorema.

TEOREMA 4.2: Si n X X ,..., 1 son variables aleatorias independientes y si

( ) n n X X Y ,..., max 1 = , entonces:

∏=

= n

i X Y y F y F

n 1

) ( ) ( 1

Si n X X ,..., 1 son variables aleatorias independientes e idénticamente

distribuidas, con función de distribución X F (.), entonces:

) (y F n Y = [ ] n X y F ) (

COLORARIO: Si n X X ,..., 1 son variables aleatorias independientes, e

idénticamente distribuidas, y continuas con función de densidad

probabilística X f (.) y función de distribución acumulativa F (.), entonces:

) ( y f n Y = [ ] ) ( ) ( 1 y f y F n X

n X

−

Demostración:

) ( y f n Y = [ ] ) ( ) ( ) ( 1 y f y F n y F

dy d

X n

X Y n

− =

4.2. DISTRIBUCIÓN DEL MINIMO ( 1 Y )

[ ] [ ] y Y P y Y P y F Y > − = ≤ = 1 1 1 ) ( 1

= [ ] y X y X y X P n > > > − ; ... ; ; 1 2 1

60

Porque 1 Y es mayor que y si cada y X i > . Por otra parte, si

n X X X ,..., , 2 1 son independientes, entonces:

= ) ( 1 y F Y [ ] y X y X y X P n > > > − ; ... ; ; 1 2 1

= ∏ =

> − n

i i y X P

1

) ( 1

= ( ) ∏ =

− − n

i X y F i

1

) ( 1 1

Si además se asume que n X X X ,..., , 2 1 son idénticamente distribuidas con

función de distribución acumulativa X F (.) común, entonces:

= ) ( 1 y F Y ( ) ∏

=

− − n

i x y F i

1

) ( 1 1

= [ ] n x y F ) ( 1 1 − −

Lo anterior produce el siguiente teorema:

TEOREMA 4.3: Si n X X X ,..., , 2 1 son variables aleatorias independientes y

n X X Y ,..., min 1 1 = , entonces

= ) ( 1 y F Y ( ) ∏

=

− − n

i X y F i

1

) ( 1 1

Y si n X X X ,..., , 2 1 son independientes e idénticamente distribuidas con

función de distribución acumulativa X F (.) entonces:

= ) ( 1 y F Y [ ] n X y F ) ( 1 1 − −

COLORARIO: Si n X X X ,..., , 2 1 son variables aleatorias continuas

independientemente idénticamente distribuidas con función de densidad

probabilística común X F (.), entonces,

= ) ( 1 y f Y [ ] ) ( ) ( 1 1 1 y f y F X

n X

− − −

61

Demostración:

) ( 1 y f Y = [ ] n

X Y y F dy d y F

dy d ) ( 1 1 ) (

1 − − =

= [ ] )) ( ( ) ( 1 1 y f y F n X n

X − − − −

= [ ] ) ( ) ( 1 1 y f y F n X n

X − − si b y a < < 1

4.3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE CUALQUIER ESTADISTICA DE

ORDEN

La función de distribución de cualquier estadística α Y de orden, se da a

continuación:

TEOREMA 4.4: Sea n Y Y Y ≤ ≤ ≤ ... 2 1 que representan las estadísticas de

orden de una muestra aleatoria de tamaño n cada una con función de

densidad f(x) y función de distribución acumulativa X F (.). La función de

distribución acumulativa de α Y , = α 1, 2,…, n, está dada por:

[ ] [ ] j n n

j

j Y y F y F

j n

y F −

=

−

= ∑ ) ( 1 ) ( ) (

α α

Demostración:

Para un y fijo sea

( ) ); ( , i y i X Z ∞ − Ι =

= ∑ =

n

i i Z

1 y X i ≤

Note que ∑ =

n

i i Z

1

tiene una distribución binomial con parámetros n y ). (y F

62

Ahora

[ ] [ ] [ ] [ ] j n j n

j i Y y F y F

j n

Z P y Y P y F −

=

−

= ≥ = ≤ = ∑ ∑ ∞

) ( 1 ) ( ) ( α

α α

El paso clave en esta prueba es la equivalencia de los dos eventos

y Y ≤ α y ∑ ≥ α i Z . Si la α ésima estadística de orden es menor o

igual a y , entonces, seguramente el numero de las i X menores o iguales

a y es mayor o igual a α , e inversamente.

COLORARIO: [ ] [ ] [ ] n j n j n

n j Y y f y F y F

j n

y F ) ( ) ( 1 ) ( ) ( = −

= −

= ∑ α

y

[ ] [ ] j n j n

j Y y F y F

j n

y F −

=

−

= ∑ ) ( 1 ) ( ) (

1 1

[ ] [ ] j n j

j y F y F

j n −

=

−

− = ∑ ) ( 1 ) ( 1

0

0

[ ] [ ] n y F y F n

) ( 1 ) ( 0

1 0 −

− =

[ ] n y F ) ( 1 1 − − =

Asume que la muestra aleatoria n X X X ,..., , 2 1 viene de una función de

densidad probabilística f (.); esto es, que las variables aleatorias i X son

continuas buscamos la densidad de α Y , la cual, desde luego, se puede

obtener derivando a ) ( y F Y α . Note que:

63

[ ] y

y y Y y P

y y F y y F

dy dF

y f Y Y y Y

∆ ∆ + ≤ <

=

∆

− ∆ + =

→ ∆

→ ∆

α

α α α

α

0

0

lim

) ( ) ( lim ) (

( ) [ ] y

y y X los de n y y y en X un y X los de P i i i

∆ ∆ + > − ∆ + ≤ −

= → ∆

) ( ); ; ( ; 1 lim

0

α α

= [ ] [ ] [ ]

∆ ∆ + − − ∆ +

− −

− −

→ ∆ y y y F y F y y F y F

n n n α α

α α ) ( 1 ) ( ) ( ) (

)! ( )! 1 ( ! lim

1 1

0

= ) ( y f Y α [ ] [ ] ) ( ) ( 1 ) (

)! ( )! 1 ( ! 1 y f y F y F n

n x

n X

α α

α α − − −

− −

Utilizando el mínimo criterio de la distribución multinomial, se puede hallar

la función de densidad conjunta entre α Y y β Y para n ≤ < ≤ β α 1

[ ] y y Y y x x Y x P y x y x f Y Y ∆ + ≤ < ∆ + ≤ < ≈ ∆ ∆ β α β α ; ) , ( ,

( )

∆ + > − ∆ + ∆ +

− − ∆ + ≤ − ≈

y y X los de n y y y en X un y x x en X los de x x x en X un x X los de

P i i i

i i

) ( ) ; ( ); ; ( ) 1 ( ); ; ( ; 1

β α β α

[ ] [ ] [ ] y y xf x f y y F n

x x F y F x F n n

∆ ∆ ∆ + − − − − −

∆ − − ≈

− − − −

) ( ) ( ) ( 1 )! ( ! 1 )! 1 ( ! 1 )! 1 (

) ( ) ( ) ( ! 1 1 β

β α β α

α β α

Por lo tanto:

64

) , ( , y x f Y Y β α =

[ ] [ ] [ ]

≥

− − − − − −

− − − −

y x si

y x f y F x F y F x F n

n n

0

) )( ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )! ( )! 1 ( )! 1 (

! 1 1 β α β α

β α β α

En general se da el siguiente teorema:

TEOREMA 4.5: Sean n X X X ,..., , 2 1 una muestra aleatoria de la población cuya

función de densidad probabilística es f (.) y con función de distribución

acumulativa F (.). Sean n Y Y Y ≤ ≤ ≤ ... 2 1 las correspondientes estadísticas de

orden entonces:

[ ] [ ] ) ( ) ( 1 ) ( ) ( )! 1 (

! ) ( 1 y f y F y F n

n y f X n

X X Y α α

β α α

− − − − −

=

) , ( , y x f Y Y β α =

[ ] [ ] [ ]

∞ < < < ∞ −

− − − − − −

− − − −

y x

y f x f y F x F y F x F n

n X X

n X X X X ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) (

)! ( )! 1 ( )! 1 ( ! 1 1 α α β α

β α β α

< < < =

caso otro en

y y y si y f y f y f n y y y f

n n

n Y Y Y n

0

... ) ( )... ( ) ( ! ) ,..., , ( ,...,

2 1 2 1

2 1 2 ,1

4.4 DISTRIBUCIÓN DE FUNCIONES DE ESTADISTICAS DE ORDEN

En la sección anterior se hallaron distribuciones marginales y distribuciones

conjuntas de las estadísticas de orden. En esta sección se hallará la

distribución de probabilidades de ciertas funciones de estadísticas de orden.

65

DEFINICION 4.1: Sea n Y Y Y ≤ ≤ ≤ ... 2 1 que denota las estadísticas de

orden de una muestra aleatoria n X X X ,..., , 2 1 de una población con

función densidad f (.). La mediana muestral es definida como la

estadística de orden mitad si n es impar, y el promedio de las dos estadísticas mitad si n es par.

El rango muestral Se define como 1 Y Y n − , y el semisuma muestral

como 2

n i Y Y + .

Si la muestra es de tamaño impar, entonces la distribución de la mediana

se puede expresar coma la distribución de la estadística de orden α Y . Por

ejemplo si n = 2k+1 (n impar), entonces la estadística de orden 1 + K Y es la

mediana muestral cuya distribución esta dada por ) (y f Y α expresada antes.

Si la muestra es par, es decir, n=2k, entonces la media de orden K Y y

1 + K Y , y la distribución desde la cual puede obtenerse la distribución de la

mediana es ) , ( , y x f Y Y β α haciendo α = k y β = k+1, iniciando la

transformación con la densidad conjunta ) , ( 1 , y x f

k k Y Y + .

EJEMPLO 4.2:

Hallar la función de densidad conjunta del rango y del semisuma, y a

partir de allí, halle las distribuciones marginales respectivas, k f donde R =

1 Y Y n − y T f en donde T= 2 1 n Y Y + .

Solución:

66

En primer lugar se halla ) , ( ,1 y x f

n Y Y es decir

) , ( ,1 y x f

n Y Y =

[ ] [ ] [ ]

∞ < < < ∞ −

− − − − − −

− − − −

caso otro en Y Y

y f x f y F x F y F y F n n n

n

n

X X n n

X n

X X X

0

) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )! ( )! 1 1 ( )! 1 1 (

!

1

1 1 1 1

) , ( , 1 y x f

n Y Y

[ ]

∞ < < < ∞ − − − −

caso otro en

Y Y y f x f x F y F n n n X X n

X X

0

) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( =

1 2

Se hace la transformación R = 1 Y Y n − y T= 2

1 n Y Y + .

Entonces

r = ) , ( 1 1 n y y g = 1 y y n − t = ) , ( 1 2 n y y g = ) (2 1

1 n y y +

r = 1 y y n − t = 2

1 n Y Y + .

1 y y n − = r

1 y y n + = 2t

2 n y = r + 2t

n y = 2 t r 2 +

1 y y n − = r

1 y y n − − = 2t

2 1 y = r 2t

1 y = 2 t r 2 +

67

∞ < < ∞ − > + < −

<

t r r t r t

y y n

0 2 2

1

) , ( 1 1 t r g − = 1 y = 2

t r 2 + ) , ( 1 2 t r g − = n y = 2

t r 2 +

1 2 1

2 1

1 2 1

1 2 1

1 2

1 2

1 1

1 1

− = − − =

−

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= − −

− −

t g

r g

t g

r g

J

J t r g t r g f t r g n Y Y T R )) , ( ), , ( ( ) , ( 1

2 1

1 , , 1

− − =

=

+

+ −

+ −

−

+

− −

2 2

2 2

2 2

2 2 ) 1 (

2 t r f t r f t r F t r F n n X X

n

X X

=

+

−

− −

+ −

−

2 2 2 2 ) 1 (

2 r t f r t f r t F r t F n n X X

n

X X ∞ < < ∞ − > t r 0

Entonces las distribuciones marginales ) ( r f R y ) (t f T están dada por:

∫ ∫ ∞

∞ −

∞ = = dr t r g t g dt t r g r g T R T T R R ) , ( ) ( ) , ( ) ( , 0 ,

68

Ejemplo 4.3:

Sea 5 4 3 2 1 Y Y Y Y Y < < < < las estadísticas de orden de una muestra

aleatoria de tamaño S de una población con densidad

0 ) ( > = − x e x f x X .

a. Halle la función de densidad de la mediana.

b. Halle la función de densidad del rango

c. Halle la función de densidad del semirango.

Solución:

a. En este caso n =5 puede escribirse n = 2k+1 donde k = 2.

Entonces, la mediana es 1 3 + = k Y Y ; entonces la densidad de la

mediana es un caso particular de α Y . Por otra parte,

0 1 ) ( > − = − x e x F x X entonces:

[ ] [ ] 0 ) ( ) ( 1 ) ( )! 3 5 ( )! 1 3 (

! 5 ) ( 3 3 2

3 2

3 3 3 > −

− − = y y f y F y F y f X X X Y

[ ] [ ] 0 1 30 3 2 2

3 3 3 > − = − − − y e e e y y y

( ) 3 3 3 3 2 2 1 30 y y y e e e − − − + − =

) ( 3 3 y f Y ( ) 3 3 3 5 4 3 2 30 y y y e e e − − − + − = 0 3 > y

b. La función del rango 1 5 Y Y R − = . Primero se halla la distribución

conjunta de , , 5 1 Y Y así:

[ ] [ ] [ ]

∞ < < <

− − −

=

5 1

5 1 0

5 3

1 5 0

1 5 1 ,

0

) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )! 2 5 (

! 5 ) , ( 5 1

y y

y f y f y F y F y F y F y y f X X X X X X Y Y

69

[ ]

∞ < < < + − − − − − −

caso otro en

Y Y e e e e f

y y y y

Y Y

0

0 1 1 20 = ) y , (y

5 1 3

5 1 ,

5 1 1 5

5 1

( ) ∞ < < < − − − − − 5 1

3 5 1 , 0 20 = ) y , (y 5 1 5 1

5 1 y y e e e e f y y y y

Y Y

La transformación 1 5 Y Y R − = 5 Y T = entonces:

1 5 y y r − = 5 y t =

r t y − = 1 t y = 5 t r t

< < ∞ < <

0 0

1 1 0

1 1

5 5

1 1

− = −

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

=

t y

r y

t y

r y

J

J t r t f t r g Y Y T R ) , ( ) , ( 5 1 , , − =

( ) 0 20 ) ( 3 > − = ∫

∞ − + − − + − r dt e e e e r g r

t r t t r t R

[ ] 0 ) 1 ( 20 2 3 > − = ∫

∞ − − r dt e e e e r

r t r t

dt e e e r

t r r ∫ ∞ − − = 5 3 ) 1 ( 20

− − =

∞ −

r

t r r e e e

5 ) 1 ( 20

5 3

5 ) 1 ( 20

5 3

r r r e e e

−

− =

5 ) 1 ( 20

4 3

r r e e

−

− =

r r r r e e e e 4 2 3 ) 1 3 3 ( 4 − − + − =

70

0 ) 3 3 ( 4 4 3 2 > − + − = − − − r e e e e r r r r

c. Halle la función de densidad del semirango.

La función de densidad de , , 5 1 Y Y es

( ) [ ] ∞ < < < − − = − 5 1 5 1

2 5 1 5 3 , 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) (

5 1 y y y f y f y F y F n n y f X X X X Y Y

Se hace la transformación:

( ) ∞ < < < − − − − − 5 1

3 5 1 , 0 20 = ) y , (y 5 1 5 1

5 1 y y e e e e f y y y y

Y Y

2 ) ( 1 5 Y Y R

+ = 5 Y T =

Entonces:

2 ) (

) , ( 5 1 5 1 1

y y y y g r + = = 5 5 1 2 ) , ( y y y g t = =

t r y y g y − = = − 2 ) , ( 5 1 1

1 1 t y y g y = = − ) , ( 5 1 1

2 5

nueva región:

5 1 0 y y < <

t t r < − < 2 0

t r t 2 2 < <

a) r t 2 <

r t t r b

> < 2 2 )

2 1 0

1 2

1 2

1 2

1 1

1 1

= −

=

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂

= − −

− −

t g

r g

t g

r g

J

71

entonces

J t r g t r g f t r g Y Y T R )) ( ))( ( ( ) , ( 1 2

1 1 , , 5 1

− − = − −

( )2 , 2 5 1 , t t r f Y Y − =

( )

r t r t

t r t t r t e e e e t t r t t r

> <

< <

< < − − − − − − − −

2 2

2 2 20 = ) 2 ( 3 ) 2 (

( ) 0 40 ) ( 2 3 2 > − = ∫ ∞ − − − − + − r dt e e e e r g r

t t r t t r R

72

CONCLUSIONES

Las estadísticas de orden se calculan a través de la técnica de

transformaciones de variables.

Las estadísticas de orden sirven para identificar modelos de

probabilidades, de observaciones ubicadas de las muestras en cualquier

posición especifica.

Una vez conocido el modelo de probabilidad de una estadística de orden

es posible hacer un análisis completo a dicho orden (valor esperado,

grafico..., etc.).

El tema abre un camino por lo menos entorno a la facultad para estudiar

aplicaciones en áreas del conocimiento que incluyan este tipo de

variables de estadísticas ordenadas.

73

BIBLIOGRAFIA

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WALPOLE Ronald, MEYERS Raymond.2005. Probabilidad y estadística. Mc Graw Hill.

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www.bioestadistica.uma.es/libro/node69.htm.

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