las del mismo color. por ejemplo: ¿cuál es la...

10Soluciones a las actividades de cada epígrafe

PÁGINA 208

En este juego hay que conseguir que no queden emparejadas dos bo-las del mismo color. Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de ganar si caen las bolas al azar? Para hallaresta probabilidad, razonemos bola a bola.

1 Supongamos que la primera bola ha sido roja. ¿Cuál es la pro-babilidad de que la bola que se le empareje nos permita ganar?

Si la primera bola es roja, nos quedan una roja, dos azules y dosverdes. Por tanto, para ganar no debe salir roja.

Es decir: P [no roja] =

2 ¿Cuál es la probabilidad de que en esta situación el juego “acabe bien”?

Para que el juego “acabe bien”, no debe salir la roja, porque en-tonces acabarían juntas las dos verdes (y perderíamos).

Por tanto: P [no roja] =

3 Después de la primera bola, en los 4/5 de los casos la 2.a bola es “buena”. Parala 3.a, vale cualquiera. Para la 4.a, hay tres posibilidades, dos de las cuales son“buenas”. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego “acabe bien”?

P [ganar] = 1 · · 1 · · 1 · 1 =

PÁGINA 209

ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 En una urna hay bolas de cinco colores: rojo (R), verde (V), azul (A), negro(N) y blanco (B). La experiencia consiste en extraer una bola y anotar el re-sultado.

a) ¿Es una experiencia aleatoria? ¿Por qué?

b) Describe el espacio muestral.

815

23

45

23

45

GANA PIERDE GANA PIERDE PIERDE

Pág. 1

Unidad 10. Cálculo de probabilidades


c) Di cinco sucesos no elementales.a) Sí que lo es, porque el resultado depende del azar.

b) E = {R, V, A, N, B}

c) Respuesta abierta. Cualquier suceso con más de un elemento es no elemental.

2 En los siguientes sucesos, di cuáles corresponden a experiencias regulares yasígnales probabilidad:

a) Obtener un 3 al lanzar un dado correcto.

b)Obtener un 3 al lanzar un dado chapucero.

c) Extraer una carta de OROS de una baraja española.

d)Extraer una bola roja de un bote cuya composición desconocemos.

e) Que un cierto asegurado de una compañía de seguros tenga un accidenteen el próximo año.

a) Regular. P [3] = b) Irregular.

c) Regular. P [OROS] = = d) Irregular.

e) Irregular.

PÁGINA 210

1 Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste enextraer una bola y anotar su número.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)Consideramos los sucesos:

A = “obtener número primo” B = “obtener múltiplo de 3”

Escribe los sucesos :

A A' A « B A « A'B B' A » B A » A'

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

b) A = {2, 3, 5, 7}

A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10}

B = {3, 6, 9}

B' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 9}

A » B = {3}

A « A' = E

A » A' = Ö

14

1040

16

Pág. 2



2 Lanzamos tres veces una moneda.

a) Escribe todos los sucesos elementales (C, C, C ), (C, C, +), (C, +, C )…

b)Indica cuáles de estos sucesos componen el suceso S = “la primera vez saliócara”.

c) Escribe un suceso que sea incompatible con S.

a) {C, C, C}, {C, C, +}, {C, +, C}, {+, C, C}, {C, +, +}, {+, C, +}, {+, +, C}, {+, +, +}

b) S = {{C, C, C}, {C, C, +}, {C, +, C}, {C, +, +}}

c) S' : ”la primera vez salió cruz”.

PÁGINA 211

3 Halla la probabilidad de los sucesos A = {3, 4, 5, 6} y A', tanto en el caso deldado correcto como en el del dado defectuoso del ejemplo anterior.

Dado correcto

P [A ] = = ; P [A'] = 1 – P [A ] =

Dado defectuoso

P [A ] = P [3] + P [4] + P [5] + P [6] = 0,15 + 0,15 + 0,1 + 0,1 = 0,5

P [A'] = 1 – P [A ] = 0,5

PÁGINA 213

1 Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus caras numeradas del 1 al 8.Evalúa estas probabilidades:

a) P [múltiplo de 3] b)P [menor que 5]

c) P [número primo] d)P [no múltiplo de 3]

a) P [{3, 6}] = =

b) P [<5] = P [{1, 2, 3, 4}] = =

c) P [primo] = P [{2, 3, 5, 7}] = =

d) P [no 3•] = 1 – P [3

•] = = 3

468

12

48

12

48

14

28

13

23

46

Pág. 3



2 Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones.a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos.

b)Halla la probabilidad del suceso “la menor puntuación es menor que 4” =“< 4”.

c) Halla P [no < 4].

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

P [1] = P [2] = P [3] =

P [4] = P [5] = P [6] =

b) P [< 4] = P [1] + P [2] + P [3] = =

c) P [no < 4] = 1 – P [< 4] = 1 – =

PÁGINA 2141 Lanzamos un dado y, después, sacamos una bola de la bol-

sa. Estas dos experiencias, ¿son dependientes o indepen-dientes?

Son independientes, porque el resultado de sacar una bola de la bolsa no dependede qué haya salido en el dado.

2 Lanzamos un dado. Si sale par, extraemos una bolade la bolsa A. Si sale impar, de la B. Las experien-cias, ¿son dependientes o independientes?

Son dependientes, porque al ser los contenidos de las bolsas distintos, el resultadodepende de qué bolsa se saque, que depende del valor obtenido al lanzar el dado.

PAR

IMPAR

A

B

14

34

34

2736

136

336

536

736

936

1136

Pág. 4


1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 2 2 2

3 1 2 3 3 3 3

4 1 2 3 4 4 4

5 1 2 3 4 5 5

6 1 2 3 4 5 6

Dado 1

Dado 2


PÁGINA 215

1 Se extraen 3 cartas con reemplazamiento. Halla:

a) P [AS en 1.a y FIGURA en 2.a y 3.a]

b)P [3 ASES]

c) P [un AS y dos FIGURAS]

d) P [ningún AS]

a) P [AS en 1.a y FIGURA en 2.a y 3.a] = P [AS] · P [FIGURA] · P [FIGURA] =

= · · = · · =

b) P [3 ASES] = P [AS] · P [AS] · P [AS] = · · = 3

=

c) P [un AS y dos FIGURAS] = 3 · P [AS en 1.a y FIGURA en 2.a y 3.a] =

= 3 · =

d) P [ningún AS] = · · = 3

=

2 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de:

a) 5 caras

b) alguna cruz

a) P [CINCO CARAS] = · · · · =

b) P [ALGUNA CRUZ] = P [0 CARAS Y 5 CRUCES] + P [1 CARA Y 4 CRUCES] +

+ P [2 CARAS Y 3 CRUCES] + P [3 CARAS Y 2 CRUCES] +

+ P [4 CARAS Y 1 CRUZ] = 1 – P [5 CARAS] = 1 – = 3132

132

132

12

12

12

12

12

C

C

C

C

C

+ C + C + C + C + C + C + C +

+ C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C 5-ª MONEDA+

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

1/2 1/2

1/2

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2

+1/2

C1/2

+1/2

C1/2

+1/2

C1/2

+1/2

+

+1/2 1/2

C1/2 1/2

+1/2 1/2

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2

4-ª MONEDA

3-ª MONEDA

2-ª MONEDA

1-ª MONEDA

7291 000)9

10(3640

3640

3640

271 000

91 000

11 000)1

10(440

440

440

91 000

310

310

110

1240

1240

440

Pág. 5



3 Lanzamos 3 monedas. Calcula:

a) P [tres caras]

b)P [ninguna cara]

c) P [alguna cara]

a) P [3 caras] = · · =

b) P [ninguna cara] = · · =

c) Hay 3 formas de que salga una sola cara: {C, +, +}, {+, C, +}, {+, +, C}.

De la misma forma, hay 3 de que salgan dos caras.

P [alguna cara] = 3 · P [una cara] + 3 · P [dos caras] + P [tres caras] =

= 3 · + 3 · · =

4 Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara enambas monedas y seis en el dado? ¿Cuál, la de obtener cruz en las monedas ypar en el dado?

Hacemos el diagrama en árbol:

P [C, C, 6] = · · = P [+, +, (2, 4, 6)] = · · =

PÁGINA 217

1 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de quela primera sea un REY y la segunda un AS?

En la baraja española hay 40 cartas de las cuales 4 son reyes y 4 son ases.

P [REY Y AS] = P [REY] · P [AS SUPUESTO QUE LA 1ª FUE REY] =

= · = = 2195

4390

439

440

18

12

12

12

124

16

12

12

1ª MONEDA

2ª MONEDA

DADO

6

No 6

1/2

1/2

1/2

1/2

C

C

+

1/6

5/6

6

No 6

1/6

5/6

6

No 61/2

1/2

+

C

+

1/6

5/6

6

No 6

1/6

5/6

78

18

18

18

18

12

12

12

18

12

12

12

Pág. 6



2 Completa el diagrama en árbol del ejercicio resuelto de esta página y sobre él ha-lla P [NINGÚN AS].

P [NINGÚN AS] = · · =

3 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. ¿Cuál es laprobabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras?

N 8 bola negra; B 8 bola blanca

P [3 BLANCAS] = · · =

P [3 NEGRAS] = · · = 528

36

47

58

156

16

27

38

NN

NB

B

N

B

3/6

4/7

3/7

5/7

2/7

3/6

N

B

B

4/6

2/6

N

B

4/6

3/6

N

B

5/6

1/6

5/8

3/8

1-a EXTRACCIÓN 2-a EXTRACCIÓN 3-a EXTRACCIÓN

357494

3438

3539

3640

4/40

36/40

2/38

3/38

35/38

3/39

36/39

36/38

AS

3.ª EXTRACCIÓN2.ª EXTRACCIÓN

1.ª EXTRACCIÓNAS

NO AS

AS

NO AS

AS

NO AS

AS

NO AS

Quedan 39 cartas.De ellas, 3 ases



NO AS

AS

NO AS

4/38

3/38

34/38

4/39

35/39

35/38

AS




NO AS

Pág. 7



4 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de ob-tener BASTOS las tres veces?

a) Supón que se extraen con reemplazamiento.

b) Supón que se extraen sin reemplazamiento.

a)

P [TRES BASTOS] = P [BASTOS] · P [BASTOS] · P [BASTOS] = · · =

b) P [TRES BASTOS] = P [BASTOS] · P [BASTOS] · P [BASTOS] = · · =

5 Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra B tiene una bola negra.Sacamos una bola de A y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola deB. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca?

Hacemos un diagrama en árbol:

P [BLANCA] = · + · 0 = 38

14

12

34

B

B

N

1/2

3/4

1/4

1/2

0

1

B

N

N

3247

838

939

1040

164

1040

1040

1040

BASTOS

1-a EXTRACCIÓN 2-a EXTRACCIÓN 3-a EXTRACCIÓN

BASTOS

NO BASTOS

10/40

10/40

30/40

30/40

10/40

30/40

BASTOS

NO BASTOS

10/40

30/40

10/40

30/40

10/40

30/40

10/40

30/40

BASTOS

NO BASTOS

BASTOS

NO BASTOS

NO BASTOS

BASTOS

NO BASTOS

BASTOS

NO BASTOS

Pág. 8



PÁGINA 219

1 Explica el significado de los números 120, 168, 12, 45 y 40 de la tabla del ejer-cicio resuelto anterior.

120 8 Número de alumnos de 1.°.

168 8 Número de alumnos con NINGUNA actividad extraescolar.

12 8 Número de alumnos de 1.° con actividad extraescolar CULTURAL.

45 8 Número de alumnos de 2.° con NINGUNA actividad extraescolar.

40 8 Número de alumnos de 4.° con actividad extraescolar DEPORTIVA.

2 Explica lo que significa, para la tabla del ejercicio resuelto anterior, cada unade las expresiones siguientes y da su valor:

P [1.°] P [CULTURAL] P [4.°/CULTURAL] P [CULTURAL/4.°]

P [1.°] 8 Probabilidad de que, elegido al azar, un alumno sea de 1.°.

P [1.°] = = 0,3

P [CULTURAL] 8 Probablidad de elegir a un alumno con actividad extraescolarCULTURAL.

P [CULTURAL] = = 0,18

P [4.°/CULTURAL] 8 Probabilidad de que habiendo elegido un alumno con activi-dad CULTURAL, este resulte ser de 4.°.

P [4.°/CULTURAL] = = 0,375

P [CULTURAL/4.°] 8 Probabilidad de elegir a un alumno con actividad CULTURAL

entre todos los de 4.°.

P [CULTURAL/4.°] = = 0,3

3 Queremos analizar, partiendo de los datos de la tabla del ejercicio resuelto an-terior, la evolución del absentismo (falta de participación) en actividades ex-traescolares cualesquiera, al aumentar la edad. Calcula las proporciones queconvenga y compáralas.

Debemos observar la probabilidad de los que no hacen ninguna actividad en cadauno de los cursos, es decir:

P [NINGUNA/1.°] = = 0,6 P [NINGUNA/2.°] = = 0,45

P [NINGUNA/3.°] = = 0,35 P [NINGUNA/4.°] = = 0,2

Por tanto, según pasan los cursos, cada vez hay menos alumnos que no hacen nin-guna actividad extraescolar.

1680

35100

45100

72120

2480

2472

72400

120400

Pág. 9



4 En una bolsa hay 40 bolas huecas, y dentro de cadauna hay un papel en el que pone SÍ o NO.

La distribución de bolas según colores y SÍ y NO estáen la tabla.

a) Describe los sucesos SÍ, NO, , /SÍ, SÍ/ y calcula sus probabilidades.

b) Hemos sacado una bola roja. ¿Qué probabilidad hay de que haya SÍ en su in-terior? ¿Y si la bola es azul?

c) Se ha sacado una bola y dentro pone SÍ. ¿Cuál es la probabilidad de que sea, o ?

a) SÍ 8 sacar una bola al azar y que sea SÍ.

NO 8 sacar una bola al azar y que sea NO.

8 sacar una bola al azar y sea roja.

/SÍ 8 de entre dos bolas que dicen SÍ, sacar una roja.

SÍ/ 8 de entre las bolas rojas, sacar una que dice SÍ.

P [SÍ] = = P [NO] = 1 – P [SÍ] =

P [ ] = = P [ /SÍ] = =

P [SÍ/ ] = =

b) P [SÍ/ ] = =

P [SÍ/ ] =

c) P [ /SÍ] = =

P [ /SÍ] = =

P [ /SÍ] = 120

15

420

34

1520

112

34

1520

34

1520

34

1520

12

2040

12

12

2040

Pág. 10


T O TA L

S Í 15 4 1 20N O 5 4 11 20

T O TA L 20 8 12 40

10Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 220

R A C T I C A

R e l a c i o n e s e n t r e s u c e s o s

1 En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”.

a) ¿Cuál es el espacio muestral?

b)Escribe los sucesos: A = MENOR QUE 5; B = PAR.

c) Halla los sucesos A « B, A » B, A', B', A' » B'.

a) El espacio muestral es: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

b) A = “MENOR QUE 5” = {0, 1, 2, 3, 4}

B = “PAR” = {0, 2, 4, 6, 8}

c) A « B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8}

A » B = {0, 2, 4}

A' = {5, 6, 7, 8, 9}

B' = {1, 3, 5, 7, 9}

A' » B' = {5, 7, 9}

2 Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y lasponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.

a) Escribe los sucesos elementales de este experimento. ¿Tienen todos la mismaprobabilidad?

b)Escribe el suceso “obtener vocal” y calcula su probabilidad.

c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?

a) Los sucesos elementales son: {P}, {R}, {E}, {M}, {I }, {O}.

Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez.

b) V = “obtener vocal” 8 V = {E, I, O}

P [V] = =

c) Los sucesos elementales son: {S}, {U}, {E}, {R}, {T}

P [V] = =

En este caso el suceso elemental {E} tiene más probabilidad que el resto, por apa-recer dos veces.

3 Lanzamos un dado rojo y otro verde. Anotamos el resultado. Por ejem-plo, (3, 4) significa 3 en el rojo y 4 en el verde.

a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral?

b)Describe los siguientes sucesos:

12

36

12

36

P

Pág. 1



A: la suma de puntos es 6; A = {(5, 1), (4, 2), …}

B: En uno de los dados ha salido 4; B = {(4, 1), …}

C: En los dados salió el mismo resultado.

c) Describe los sucesos A « B, A » B, A » C.

d)Calcula la probabilidad de los sucesos de los apartados b) y c).

e) Calcula la probabilidad de A', B' y C'.

a) Como tenemos dos dados, cada uno con 6 caras, tenemos 6 resultados en unopara cada uno de los 6 resultados del otro. Es decir, en total, 36 elementos en elespacio muestral.

b) A = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)}

B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)}

C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

c) A « B 8 En uno de los dados ha salido un 4 o la suma de los dos es 6.

A » B 8 Habiendo salido un 4, la suma de los dos es 6, es decir, {(4, 2), (2, 4)}.

A » C 8 Habiendo salido dos números iguales, la suma es 6, es decir, {(3, 3)}.

d) P [A ] = P [B ] = P [C ] = =

P [A « B ] = = P [A » B ] = = P [A » C ] =

e) P [A'] = 1 – P [A ] =

P [B' ] = 1 – P [B ] =

P [C' ] = 1 – P [C ] =

4 El juego del dominó consta de 28 fichas. Sacamos una al azar y anotamosla suma (x) de las puntuaciones.

a) ¿Cuál es el espacio muestral? Di la probabilidad de cada uno de los 13 casosque pueden darse.

b)Describe los sucesos:

A: x es un número primo. B: x es mayor que 4. A « B, A » B, A'c) Calcula las probabilidades de los sucesos descritos en el apartado b).

a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12}

P [0] = ; P [1] = ; P [2] =

P [3] = ; P [4] = ; P [5] = 328

328

228

228

128

128

56

2536

3136

136

118

236

718

1436

16

636

1136

536

Pág. 2



P [6] = ; P [7] = ; P [8] =

P [9] = ; P [10] = ; P [11] = ; P [12] =

b) A = {2, 3, 5, 7, 11} B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}

A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A » B = {5, 7, 11}

A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

c) P [A] = P [2] + P [3] + P [5] + P [7] + P [11] =

P [B ] = P [A « B ] =

P [A » B ] = = P [A' ] = 1 – P [A] =

P r o b a b i l i d a d e s s e n c i l l a s

5 En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula laprobabilidad de que la primera bola extraída :

a) Sea un número de una sola cifra.

b)Sea un número múltiplo de 7.

c) Sea un número mayor que 25.

a) P [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] =

b) P [7, 14, 21, 28, 35, 42, 49] = =

c) P [26, 27, 28, …, 49] =

6 Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad deque sea:

a) REY o AS. b) FIGURA y OROS. c) NO SEA ESPADAS.

a) P [REY O AS] = =

b) P [FIGURA Y OROS] = P [FIGURA DE OROS] = =

c) P [NO SEA ESPADAS] = = 34

3040

110

340

15

840

2449

17

749

949

1728

14

728

2328

1928

1128

128

128

228

228

328

328

428

Pág. 3



7 En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colo-res tienen. En 1 000 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obteni-do bola blanca en 411 ocasiones, bola negra en 190, bola verde en 179 y bolaazul en 220.

Al hacer una nueva extracción, di qué probabilidad asignarías a:

a) Sacar bola blanca.

b)No sacar bola blanca.

c) Sacar bola verde o azul.

d)No sacar bola negra ni azul.

Si en la bolsa hay 22 bolas, ¿cuántas estimas que habrá de cada uno de los co-lores?

Como se han hecho 1 000 extracciones:

P [BOLA BLANCA] = = 0,411 P [BOLA VERDE] = = 0,179

P [BOLA NEGRA] = = 0,19 P [BOLA AZUL] = = 0,22

a) P [BOLA BLANCA] = 0,411

b) P [NO BOLA BLANCA] = 1 – 0,411 = 0,589

c) P [BOLA VERDE O AZUL] = 0,179 + 0,22 = 0,399

d) P [NO BOLA NEGRA NI AZUL] = 1 – (0,19 + 0,22) = 0,59

Si hay 22 bolas:

• El 41% son blancas 8 22 · 0,41 = 9 bolas blancas.

• El 19% son negras 8 22 · 0,19 = 4 bolas negras.

• El 18% son verdes 8 22 · 0,18 = 4 bolas verdes.

• El 22% son azules 8 22 · 0,22 = 5 bolas azules.

8 Ana tira un dado y su hermana Eva lo tira después. ¿Cuál es la probabili-dad de que la puntuación de Eva sea superior a la de Ana?

P [PUNTUACIÓN DE EVA SUPERIOR A LA DE ANA] = = 512

1536

ANAEVA 1 2 3 4 5 6

1–1 1–2 1–3 1–4 1–5 1–6

2–1 2–2 2–3 2–4 2–5 2–6

3–1 3–2 3–3 3–4 3–5 3–6

4–1 4–2 4–3 4–4 4–5 4–6

5–1 5–2 5–3 5–4 5–5 5–6

6–1

1

2

3

4

5

6 6–2 6–3 6–4 6–5 6–6

2201 000

1901 000

1791 000

4111 000

Pág. 4



9 Lanzamos dos dados y anotamos la puntua-ción del mayor (si coinciden, la de uno de ellos).

a) Completa la tabla y di las probabilidades de losseis sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

b)Halla la probabilidad de los sucesos:

A: n.° par, B: n.° menor que 4, A » B.

a)

P [1] = ; P [2] = = ; P [3] =

P [4] = ; P [5] = = ; P [6] =

b) P [A ] = + + = =

P [B ] = + + = =

P [A » B ] = P [2] =

PÁGINA 221

E x p e r i e n c i a s c o m p u e s t a s

10 a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una.¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean 7? ¿Cuál es la probabilidad de queambas sean figuras (sota, caballo o rey)?

b)Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos cartas. ¿Cuál es la probabilidadde que ambas sean un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura?

a) P [7 y 7] = · =

P [FIGURA y FIGURA] = · = 9100

1240

1240

1100

440

440

112

14

936

536

336

136

712

2136

1136

736

336

1136

14

936

736

536

112

336

136

64

5 62 2 3 4

5 63 3 3

54 4 4

65 55 5 5

66 66 6 6

4

2 3 4 5 61

6

64

52

21

Pág. 5



b) P [7 y 7] = · = =

P [FIGURA y FIGURA] = · = =

11 Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuacio-nes sean menores que 5?

P [las tres menores que 5] = P [menor que 5] · P [menor que 5] · P [menor que 5] =

= · · =

12 Sacamos una bola de cada urna. Calcula:

a) La probabilidad de que ambas sean rojas.

b)La probabilidad de que ambas sean negras.

c) La probabilidad de que alguna sea verde.

a) P [ROJA y ROJA] = · =

b) P [NEGRA y NEGRA] = · =

c) P [alguna VERDE] = P [VERDE] + P [VERDE] = 0 + =

13 Sacamos dos bolas. Calcula:

a) P [2 rojas]

b)P [2 verdes]

a) P [2 ROJAS] = · = b) P [2 VERDES] = · =

14 Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una deB. Calcula:

A B

110

14

25

310

24

35

15

15

425

25

25

625

25

35

827

46

46

46

11130

1321 560

1139

1240

1130

121 560

339

440

Pág. 6



a) P [1.a roja y 2.a roja] b)P [1.a roja y 2.a verde]

c) P [2.a roja / 1.a verde] d)P [2.a roja / 1.a roja]

e) P [2.a roja] f ) P [2.a verde]

☞ e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama.

a) P [1.a roja y 2.a roja] = · =

b) P [1.a roja y 2.a verde] = · =

c) P [2.a roja / 1.a verde] =

d) P [2.a roja / 1.a roja] =

e) P [2.a roja] = · + · =

f ) P [2.a verde] = · + · =

Ta b l a s d e c o n t i n g e n c i a

15 En un centro escolar hay 1 000 alumnos yalumnas repartidos así:

Llamamos: A 5 chicas, O 5 chicos, G 5 tienegafas, no G 5 no tiene gafas. Calcula:

a) P [A], P [O], P [G], P [no G]

b)Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y noG, A/G, G/A, G/O.

a) P [A] = = = 0,485

P [O] = 1 – P [A] = 1 – 0,485 = 0,515

4851 000

135 + 3501 000

715

23

25

13

35

815

13

25

23

35

23

13

15

13

35

25

23

35

A

B

B

3 2— · — 5 3

2 1— · — 5 3

2—3

1—32—

5

3—5

Pág. 7


C H I C O S C H I C A S

U S A N G A FA S 147 135

N O U S A N G A FA S 368 350


P [G] = = = 0,282

P [no G] = 1 – P [G] = 1 – 0,282 = 0,718

b) A y G 8 Chica con gafas.

P [A y G] = = 0,135

O y no G 8 Chico sin gafas

P [O y no G] = = 0,368

A/G 8 De los que llevan gafas, cuántas son chicas.

P [A/G] = = 0,479

G/A 8 De todas las chicas, cuántas llevan gafas.

P [G/A] = = 0,278

G/O 8 De todos los chicos, cuántos llevan gafas.

P [G/O] = = 0,285

16 En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fu-madores son 40 hombres y 35 mujeres.

a) Haz con los datos una tabla de contingencia.

b)Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombrey no fume: P [H y no F].

c) Calcula también: P [M y F], P [M / F], P [F / M]

a)

b) P [H y no F] = = 0,3

c) P [M y F] = = 0,175

P [M/F] = = 0,467

P [F/M] = = 0,3535100

3575

35200

60200

147515

135485

135282

3681 000

1351 000

2821 000

147 + 1351 000

Pág. 8


H O M B R E M U J E R

F U M A D O R 40 35

N O F U M A D O R 60 65


17 Los 1000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que seindica en la tabla.

Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea un hombre.

b)Sea una mujer.

c) Juegue al baloncesto.

d)Sea una mujer que practique baloncesto.

e) Sea un hombre que no practique baloncesto.

f ) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre.

g) Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto.

a) P [H] = = = 0,515

b) P [M] = 1 – P [H] = 0,485

c) P [B] = = = 0,282

d) P [M y B] = = 0,135

e) P [H y no B] = = 0,368

f ) P [B/H] = = 0,285

g) P [M/no B] = = 0,487

PÁGINA 222

I E N S A Y R E S U E LV E

18 Una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00, 01, 02 … 99

Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del núme-ro que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad deque:

a) x = 3 b) y = 3 c) x ? 7 d) x > 5

e) x + y = 9 f ) x < 3 g) y > 7 h) y < 7

P

350718

147515

3681 000

1351 000

2821 000

147 + 1351 000

5151 000

147 + 3681 000

Pág. 9


H O M B R E S M U J E R E S

J U E G A N A L B A L O N C E S T O 147 135

N O J U E G A N A L B A L O N C E S T O 368 350


a) x = 3 8 P [x = 3] = =

b) y = 3 8 P [y = 3] = =

c) x ≠ 7 8 P [x ≠ 7] = =

d) x > 5 8 P [x > 5] = =

e) x + y = 9 8 P [x + y = 9] = =

f )x < 3 8 P [x < 3] = =

g) y > 7 8 P [y > 7] = =

h) y < 7 8 P [y < 7] = =

19 Sacamos dos fichas de un dominó. ¿Cuál es la probabilidad de que en am-bas la suma de sus puntuaciones sea un número primo (2, 3, 5, 7 u 11)?

4 + 3 = 7 es primo

Tenemos:

A = {(1, 1), (2, 0), (1, 2), (3, 0), (1, 4), (2, 3), (5, 0), (6, 1), (5, 2), (3, 4), (5, 6)}

P [A ] =

Por tanto:

P [en ambas la suma es un primo] = · = = 0,146110756

1027

1128

1128

710

7100

15

20100

310

30100

110

10100

25

40100

910

90100

110

10100

110

10100

Pág. 10


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

3 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

5 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59

6 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69

7 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79

8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89

9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

UNIDADES

DECENAS


20 Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que laprobabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38.

Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan dedistinta forma?

P [DISTINTA FORMA] = 0,38 · 0,62 + 0,62 · 0,38 = 0,47

21 En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos deesa clase.

Calcula la probabilidad de que:

a) Los dos sean chicos.

b)Sean dos chicas.

c) Sean un chico y una chica.

a) P [DOS CHICOS] = · =

b) P [DOS CHICAS] = · =

c) P [UN CHICO Y UNA CHICA] = · + · =

22 Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas.

a) Calcula la probabilidad de obtener una S y una I, “SI”.

b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener “NO”?

c) ¿Son sucesos contrarios “SI” y “NO”?

S

S

N O

IO

1835

1734

1835

1834

1735

935

1734

1835

835

1634

1735

CHICO

CHICACHICO

1-ª ELECCIÓN 2-ª ELECCIÓN

CHICACHICO

CHICA

16/34

18/3417/35

18/3517/34

17/34

HACIA ARRIBA

HACIA OTRO SITIOHACIA ARRIBA

1-ª CHINCHETA 2-ª CHINCHETA

0,38

0,62

HACIA ARRIBA

HACIA OTRO SITIOHACIA OTRO SITIO

0,38

0,62

0,38

0,62

Pág. 11



Resuélvelo rellenando esta tabla.

a) P [SÍ] = b) P [NO] =

c) No, no son sucesos contrarios, porque P [SÍ] ? 1 – P [NO].

23 En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. Laprobabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la depasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto paselas tres pruebas?

Las tres pruebas son independientes una de otra.

P [PASAR EL PRIMER CONTROL] = 0,89

P [PASAR EL SEGUNDO CONTROL] = 0,93

P [PASAR EL TERCER CONTROL] = 0,85

P [PASAR LOS TRES CONTROLES] = 0,89 · 0,93 · 0,85 = 0,703

24 Se extraen dos bolas de esta bolsa.

Calcula la probabilidad de que ambas sean del mis-mo color.

P [AZUL Y AZUL] = · =

P [ROJA Y ROJA] = · =

P [AMBAS DEL MISMO COLOR] = + = 37

17

27

17

13

37

27

12

47

AZULAZUL

ROJA

ROJAAZUL

ROJA

1/2

1/24/7

3/72/3

1/3

29

29

Pág. 12


S S N

I SI

O

O SO

S S N

I SI SI NI

O SO SO NO

O SO SO NO


25 En una bolsa tenemos las letras S, S, N, I, I, O. Sacamos dos letras. ¿Cuáles la probabilidad de que con ellas se pueda escribir SI?

P [“SI”] = · =

26 Javier tiene en su monedero 4 monedas de cinco céntimos, 3 de veinte y 2de un euro. Saca dos monedas al azar.

¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a) Que las dos sean de cinco céntimos.

b)Que ninguna sea de un euro.

c) Que saque 1,20 €.

En el diagrama de árbol, las monedas aparecen en céntimos. 1 € = 100 cent.

a) P [DOS DE 5 CENT.] = · =

b) P [NINGUNA DE 1 €] = + + + = · =

c) P [SACAR 1,20 €] = P [100, 20] = · + · = 16

28

39

38

29

712

68

79)2

848(3

9)38

38(4

9

16

38

49

5

5

20

100

20

100

1-ª MONEDA 2-ª MONEDA

3/8

2/8

3/8

4/9

3/9

2/9

5

20

100

4/8

2/8

2/8

5

20

100

4/8

1/8

3/8

215

25

26

S N I O S I I

SI

1—6

2—6

1—5

1—52—

5

2—5

1—52—

51—5

2—5

1—51—

5

2—5

2—51—

51—5

1—6

2—6

2-ª EXTRACCIÓNS N I O S N I

S N 1-ª EXTRACCIÓNI O

Pág. 13



27 En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otrasdos con un 2. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden.

Calcula la probabilidad de que el número formado sea el 121, suponiendo que:

a) La bola se reintegra a la bolsa.

b)La bola no se devuelve a la bolsa.

a) P [121] = · · =

b) P [121] = · · =

28 Un jugador de baloncesto suele acertar el 75% de sus tiros desde el puntode lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo.

Calcula la probabilidad de que:

a) Haga dos puntos.

b) Haga un punto.

c) No haga ningún punto.

P [ACERTAR] = 0,75

a) P [DOS PUNTOS] = 0,75 · 0,75 = 0,56

b) P [UN PUNTO] = 0,75 · 0,25 = 0,19

c) P [NO HAGA NINGÚN PUNTO] = 0,25

1–er TIRO 2-º TIRO

ACIERTA

NO ACIERTA

NO ACIERTA

ACIERTA0,75

0,250,75

0,25

16

12

23

12

18

12

12

12

1-ª EXTRAC. 2-ª EXTRAC. 3-ª EXTRAC.

11

1

2

21/2

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

12

1/2

1/2

11

2

2

21/2

1/2

1/2

1/2

12

1/2

1/2

1-ª EXTRAC. 2-ª EXTRAC. 3-ª EXTRAC.

11

1

2

20

1/3

1/2

1/2

2/3

1

12

1/2

1/2

11

2

2

21/2

2/3

1/3

1/2

12

1

0

a) b)

Pág. 14



29 Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dosveces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tresveces cara o tres veces cruz, gana Elena.

Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar.

P [GANE MATÍAS] = P [C, C, +] + P [C, +, C] + P [+, C, C] + P [+, +, C] +

+ P [+, C, +] + P [C, +, +]= · · · 6 = =

P [GANE ELENA] = P [C, C, C] + P [+, +, +] = =

PÁGINA 223

R O F U N D I Z A

30 En cierto lugar se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que maña-na también lo haga es 4/5. Pero si hoy está nublado, la probabilidad de que ma-ñana lo siga estando es 2/3.

Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que el domingo tambiénhaga sol?

Para resolverlo completa el diagrama y razona sobre él:

…

…

Viernes S·b ado Domingo

2—3

1—31—

5

4—5

1 2 2— · — = — 5 3 15

1 1 1— · — = — 5 3 15

P

14

28

34

68

12

12

12

1–er LANZAMIENTO 2-º LANZAMIENTO 3–er LANZAMIENTO

CC

C+

+

1/2

1/21/2

1/2

1/2

1/2

C

+

1/2

1/2

CC

++

+

1/2

1/21/2

1/2 C

+

1/2

1/2

Pág. 15




P [DOMINGO SOL] = P [VIERNES S, SÁBADO N, DOMINGO S] +

+ P [VIERNES S, SÁBADO S, DOMINGO S] =

= · + · = + = = 0,7

31 Esto es un plano de parte de la red de cercanías de una ciudad. En cada nudo esigual de probable que el tren continúe por cualquiera de los caminos que salen de él.

Un viajero sube a un tren en A sin saber adónde se dirige.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a la estación 5?

b) Calcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones.

a) P [5] = · · =

b) P [1] = P [2] = · · =

P [3] = · =

P [4] = P [5] = P [6] =

P [7] = P [8] = · = 14

12

12

118

16

13

12

112

12

13

12

118

13

13

12

8

76 4

2

1A

3

5

B C

E

D1/2 1/2 1/2

1/2

1/21/3

1/31/3

1/3 1/31/3

1/2

8

76 4

2

1A

3

5

B C

E

D

5375

1625

115

45

45

13

15

SÁBADOVIERNES DOMINGO

N

S

2/3

1/5

4/5

1/3

N

SS

N

S1/5

4/5

Pág. 16



32 Se hace girar la flecha en cada una de estas ruletas, y gana la que consigala puntuación más alta.

Calcula la probabilidad de que gane A y la de que gane B.

P [GANE A] =

P [GANE B] =

33 En una urna marcada con la letra A hay una bola roja y una negra. Enotra urna, que lleva la letra B, hay una bola azul, una verde y una blanca.

Se lanza un dado; si sale par, se saca una bola de la urna A, y si sale impar, dela urna B.

a) Escribe todos los resultados posibles de esta experiencia aleatoria.

b) ¿Tiene la misma probabilidad el suceso PAR y ROJA que el IMPAR y VERDE?

c) Calcula la probabilidad de todos los sucesos elementales y halla su suma.¿Qué obtienes?

a) El espacio muestral es:

E = {(PAR, ROJA), (PAR, NEGRA), (IMPAR, AZUL), (IMPAR, VERDE), (IMPAR, BLANCA)}

b) P [PAR, ROJA] = · =

8 Son distintasP [IMPAR, VERDE] = · =

c) P [PAR, ROJA] =

P [PAR, NEGRA] = · =

P [IMPAR, AZUL] = · = 8 + + + + = + = 1

P [IMPAR, VERDE] = Se obtiene P [E ] = 1

P [IMPAR, BLANCA] = · = 16

13

12

16

12

12

14

14

16

16

16

16

13

12

14

12

12

14

16

13

12

14

12

12

59

49

A B

Pág. 17


A1 7 8

B2 1-2 7-2 8-2

3 1-3 7-3 8-3

9 1-9 7-9 8-9

°§§¢§§£

°§§§§§§§§¢§§§§§§§§£


34 ¿Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca al elegir al azar una de es-tas bolsas y extraer de ella una bola?

A B C

P [BLANCA] = · + · + · = + + = =

35 Lanzamos tres dados y anotamos la mayor puntuación. Calcula la proba-bilidad de que sea 5.

Para que la mayor puntuación sea un 5, no tiene que salir ningún 6. Y en uno deellos debe salir un 5. Es decir:

P [5] = P [un 5] · P [? 6] · P [? 6] = · · =

36 Lanzamos tres dados y anotamos la puntuación mediana. Calcula la pro-babilidad de que sea 5.

Para que la mediana sea un 5, deben salir un 6, un 5 y otro valor menor que 5. Esdecir:

P [5] = P [un 6] + P [un 5] + P [< 5] = · · = = 154

4216

46

16

16

25216

56

56

16

23

1218

518

29

16

56

13

46

13

36

13

BOLSA 11/3

1/3

1/3

3/6

BOLSA 24/6

BOLSA 3

BLANCA

BLANCA

BLANCA5/6

A

3—6

1—3

1—3

1—3

No blanca

1 3 1Blanca — · — = — 3 6 6

B

No blanca

Blanca …

C

No blanca

Blanca …

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37 Tenemos tres cartulinas. La primera tiene una cara roja (R), y la otra, azul(A); la segunda A y verde (V), y la tercera, V y R.

Las dejamos caer sobre una mesa. ¿Qué es más probable, que dos de ellas seandel mismo color o que sean de colores diferentes?


P [2 iguales] = =

P [Todas distintas] = =

Es más probable que salgan dos colores iguales.

14

28

34

68

V R A U

R A RA

RR

V

1/2

1/21/2

1/2

1/2

1/2

V

R

R V V

R V R

1/2

1/2

VA

AR

A A V

A A R

V

1/2

1/21/2

1/2 V

R

A V V

A V R

1/2

1/2

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las del mismo color. por ejemplo: ¿cuál es la...

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