DefiniciónDefinición

Una cónica es el lugar geométrico de los puntos delplano que verifican la igualdad :

2 2 0a x a y a xy a x a y a+ + + + + =2 2

11 22 12 01 02 000a x a y a xy a x a y a+ + + + + =

Siendo no todos nulos. 11 22 12, ,

ija y a a a∈ ℝ

La expresión:

2 2

11 22 12 01 02 000a x a y a xy a x a y a+ + + + + =

Admite dos expresiones matriciales:

a

( ) ( )12

11

01 02 00

12

22

2 0

2

aa x x

x y a a aa y y

a

+ + =

Parte cuadrática Parte lineal

Que podemos escribirla de la forma:

Donde:

Es un punto del plano perteneciente a la cónica

000t t

c lX AX A X a+ + =

X Es un punto del plano perteneciente a la cónica

Matriz asociada a la parte lineal

X

Matriz asociada a la parte cuadráticacA

lA

00a ∈ ℝ

Y esta otra:

( )

01 02

00

01 12

11

02 12

22

2 2 1

1 02 2

a aa

a ax y a x

ya aa

= 222 2a

Que la escribimos:

( )1

1 0x y A x

y

= A Matriz asociada a la cónica

Representación gráficaRepresentación gráfica

Recuerda que:

El plano euclídeo2E está formado por los puntos

de la forma 1 2

P O x e y e= + +�� ��

siendo:

( )0,0O = origen de referencia( )0,0O =

{ }1 2,e e�� ��

OP����

base canónica de2ℝ

origen de referencia

vector de posición

( ),x y coordenadas cartesianas de que coincidencon las coordenadas del vector de posición.

P

Cambio de bases ortonormales Cambio de bases ortonormales

{ }1 2B e e=

�� ��

{ }1 2*B v v=

�� ��

Figura 1Figura 2

Figura 3

Matriz de paso deMatriz de paso de

( )1 2 1 2

xOP xe ye e e

y

= + =

���� �� �� �� ��

*B a B

( )1 2 1 2

'' '

'

xOP x v y v v v

y

= + =

���� �� �� �� ��

( ) ( )1 1 2

1 2 1 2

2 1 2

cos sin cos sin

sin cossin cos

v e ev v e e

v e e

α α α α

α αα α

= + − ⇒ = =− +

�� �� ���� �� �� ��

�� �� ��

2 1 2sin cosv e eα α=− +

cos sin cos sin '

sin cos sin cos '

x xP

y y

α α α α

α α α α

− − = ⇒ =

La matriz de paso de es:*B a B

La expresión general de una cónica es:

2 2

11 22 12 01 02 000a x a y a xy a x a y a+ + + + + =

000t t

c lX AX A X a+ + =

La parte cuadrática es una matriz real y simétrica y podemosdiagonalizarla por semejanza ortogonal con una base{ },v v

�� ��diagonalizarla por semejanza ortogonal con una baseortonormal de vectores propios y los autovalores.

{ }1 2,v v

1 2,λ λ

( ) ( ) ( ) 00' ' ' ' 0

tt

c lX PX PX A PX A PX a= ⇒ + + =

Haciendo un cambio de bases ortonormales obtenemos:

Luego:

( ) ( ) ( ) ( )00 00' ' ' 0 ' ' ' 0t t

t t t

c l lX PAP X APX a X DX AP X a+ + = ⇒ + + =

siendo:

2 2' ' ' ' ' ' 0x y a x a y aλ λ+ + + + =

Quedando la cónica reducida a la expresión:

1

2

cos sin 0

sin cos 0P D

α α λ

α α λ

− = =

2 2

1 2 01 02 00' ' ' ' ' ' 0x y a x a y aλ λ+ + + + =

' 'x ySin término

El orden de los autovalores es importante y tiene que ver con realizar el giro de forma adecuada, ya que los vectores propios asociados se corresponden con el eje principal y secundario de la cónica.

2 2

1 2 01 02 00' ' ' ' ' ' 0x y a x a y aλ λ+ + + + =

En la expresión:

Si podemos completar cuadrados:

22

2 01 01

1 01 1

' '' ' ' '

a ax a x xλ λ

+ = + −

1 20 0yλ λ≠ ≠

1 01 1 2

1 1

' ' ' '2 4

x a x xλ λλ λ+ = + −

22

2 02 02

2 02 2 2

2 2

' '' ' ' '

2 4

a ay a y yλ λ

λ λ

+ = + −

2 2

1 2 00'' '' '' 0x y aλ λ+ + =

Y haciendo la traslación:

01

1

'' ''

2

ax x

λ= − 02

2

'' ''

2

ay y

λ= −

Obtenemos:

Llamada ecuación reducida de la cónica.Llamada ecuación reducida de la cónica.

Casos:Casos:

( ) ( ) ( )1 2 00''signo signo signo aλ λ= ≠ ELIPSE REAL

( ) ( ) ( )1 2 00''signo signo signo aλ λ= = ELIPSE IMAGINARIA

( ) ( )1 2 00'' 0signo signo y aλ λ= = PAR de RECTAS SECANTES

IMAGINARIAS

( ) ( ) ( ) ( )1 2 00 2''signo signo y signo a signoλ λ λ≠ =

HIPÉRBOLA DE EJE REAL OX

( ) ( ) ( ) ( )1 2 00 1''signo signo y signo a signoλ λ λ≠ =

HIPÉRBOLA DE EJE REAL OY

( ) ( )1 2 00'' 0signo signo y aλ λ≠ =

PAR de RECTAS SECANTES REALES

HIPÉRBOLA DE EJE REAL OY

Si solo podemos completar la y´1 2 010, 0, 0aλ λ= ≠ ≠

22

2 02 02

2 02 2 2

2 2

' '' ' ' '

2 4

a ay a y yλ λ

λ λ

+ = + −

2

2 01 02 00' ' ' ' ' 0y a x a y aλ + + + =

2

2 01'' '' '' 0y a xλ + =

Y haciendo la traslación:

obtenemos:

2

00 02

2

01 2 01

'' ''

' 4 '

a ax x

a aλ= − +

02

2

'' ''

2

ay y

λ= −

PARÁBOLA

Si solo aparece la y´1 2 010, 0, 0aλ λ= ≠ =

22

2 02 02

2 02 2 2

2 2

' '' ' ' '

2 4

a ay a y yλ λ

λ λ

+ = + −

2

2 02 00' ' ' 0y a y aλ + + =

2

2 00'' '' 0y aλ + =

Y haciendo la traslación:

obtenemos:

02

2

'' ''

2

ay y

λ= −

PAR DE RECTAS PARALELAS IMAGINARIASSi ( ) ( )00 2''signo a signo λ=

PAR DE RECTAS PARALELAS REALESSi ( ) ( )00 2''signo a signo λ≠

INVARIANTES de una CÓNICAINVARIANTES de una CÓNICA

01 02

00 2 2

a aa

Son invariantes:

Son aquellas expresiones formadas con los coeficientesde la ecuación que no varían al reducir la cónica.

12a

a00

01 12

11

02 12

22

2 2

2 2

2 2

a

a aa

a aa

∆ =

11

12

22

2

2

a

aa

δ =

( ) 11 22cs Tr A a a= = +

INVARIANTES de una CÓNICAINVARIANTES de una CÓNICA

∆

Utilizando los valores propios, junto con los invariantes, podemos obtener la forma reducida de manera más cómoda.

En el caso de elipses, hipérbolas y rectas secantes, la matriz de la cónica reducida es:

00 1 2 0000

1 1 2

2 1 2

'' '''' 0 0

0 0

0 0

a aa

s

λ λδ

λ δ λ λ

λ λ λ

∆ ∆ = ⇒ = ⇒ = = +

2 2'' '' 0x yλ λ∆

+ + =Ecuación reducida

Casos:Casos:

( ) ( ) ( )1 2 00''signo signo signo aλ λ= ≠

ELIPSE REALELIPSE REAL

0∆ ≠ 0δ > 0s∆⋅ <

1 2'' '' 0x yλ λ

δ+ + =Ecuación reducida

2 25 8 4 10 4 31 0x y xy x y+ − + − − =

Casos:Casos:

( ) ( ) ( )1 2 00''signo signo signo aλ λ= =

ELIPSE IMAGINARIAELIPSE IMAGINARIA

0∆ ≠ 0δ > 0s∆⋅ >

2 2

1 2'' '' 0x yλ λ

δ

∆+ + =Ecuación reducida

1 2δ

( ) ( )1 2 00 '' 0signo signo aλ λ= =

PAR DE RECTAS SECANTES IMAGINARIAS PAR DE RECTAS SECANTES IMAGINARIAS

0∆ = 0δ >

2 2

1 2'' '' 0x yλ λ+ =Ecuación reducida

2 2'' '' 0x yλ λ∆

+ + =Ecuación reducida

Casos:Casos:

( ) ( )1 2 000signo signo aλ λ≠ ≠

HIPÉRBOLAHIPÉRBOLA

0∆ ≠ 0δ <

1 2'' '' 0x yλ λ

δ+ + =Ecuación reducida

2 2 10 6 6 2 0x y xy x y+ + − − + =

2 2

1 2'' '' 0x yλ λ+ =Ecuación reducida

Casos:Casos:

( ) ( )1 2 000signo signo aλ λ≠ =

PAR DE RECTAS SECANTES REALESPAR DE RECTAS SECANTES REALES

0∆ = 0δ <

1 2'' '' 0x yλ λ+ =Ecuación reducida

2 22 3 2 0x y xy y− − + − =

Casos:Casos:

En el caso de las parábolas.

20101

2 01

01

2

''''0 0

'' 224''

0 0 020 0

aa

asa

s

λ

δ

λλ

∆ ∆ = ⇒ = ± − ⇒ = =

2

2' ' 2 '' 0y x

sλ

∆± − =Ecuación reducida

PARÁBOLAPARÁBOLA0∆ ≠ 0δ =

22

0 0 s λλ =

2 2 2 4 4 12 0x y xy x y+ − − − − =

Casos:Casos:

En el caso de las rectas paralelas o coincidentes

00

2 2

'' 0 0 0

0 0 0 0

0 0

a

s

δ

λ λ

∆ = ⇒ = =

Con los invariantes que tenemos no podemos calcular la ecuación reducida, para ello la escribimos como una ecuación de segundo grado en y o en x, resolviéndola.

RECTAS PARALELAS o RECTAS PARALELAS o COINCIDENTESCOINCIDENTES

0∆ = 0δ =

ClasificaciónClasificación

0 Elipse imaginaria0

0 Elipse real00

0 Hiperbola

0 Parabola

s

sδ

δ

δ

δ

∆ ⋅ > > ∆ ⋅ <≠ ∆ ≠ < =

Cónica no degeneradaCónica no degenerada

0 Parabolaδ =

0 Par de rectas secantes imaginarias0

0 Par de rectas secantes reales0

0 Par de rectas paralelas o coincidentes

δδ

δ

δ

> ≠ <∆ = =

Cónica degeneradaCónica degenerada

Cálculo de los elementos de una cónicaCálculo de los elementos de una cónica

CentroCentro

( ) 2 2

11 22 12 01 02 00f x a x a y a xy a x a y a= + + + + +

Tomando

( ),α βLas cónicas que tienen centro son aquellas donde 0δ ≠

( )

( )

, 0

, 0

f

xf

y

α β

α β

∂ =∂∂ =∂

Se obtiene resolviendo el siguiente sistema:

Las cónicas que tienen centro son aquellas donde 0δ ≠

Cálculo de los elementos de una cónicaCálculo de los elementos de una cónica

EjesEjes

En una elipse, el autovalor que determina el autovector de

Son las rectas que pasan por el centro y tienen la dirección de los vectores propios.

En una elipse, el autovalor que determina el autovector de dirección el eje real debe ser el menor en valor absoluto.

00''a

δ

∆=

En una hipérbola, el autovalor que determina el autovector de dirección el eje real, debe ser el de distinto signo que

Cálculo de los elementos de una cónicaCálculo de los elementos de una cónica

Vértice de la parábola Vértice de la parábola

Para calcular el vértice de una parábola, resolveremos el sistema que se obtiene al imponer a las coordenadas del mismo que cumplan la ecuación de la parábola y que la pendiente de la tangente en ese punto, sea perpendicular pendiente de la tangente en ese punto, sea perpendicular a la dirección del autovector asociado al autovalor no nulo.

Eje de la parábola Eje de la parábola

Recta que pasa por el vértice y tiene la dirección del autovector asociado al autovalor nulo.