las 10 preguntas puntuan igual, y los resultados han de...

Examen de ALGEBRA LINEAL I

6 de julio de 2018

Las 10 preguntas puntuan igual, y los resultados han de simplificarse en lo posible.

1) Determinar si el numero n = 20182017 + 20172018 es multiplo de 13.

2) Hallar la parte real e imaginaria, el modulo y el argumento, y representar graficamentelas raıces cubicas del numero complejo z = 3i.

3) Enunciar y demostrar el lema fundamental de la teorıa de la dimension.

4) Determinar las ecuaciones parametricas e implıcitas de un suplementario en R4 delsubespacio vectorial V de ecuaciones

x1 + x2 + x3 = 0x2 + x3 + x4 = 0

x1 − x4 = 0

5) Definir la matriz de una aplicacion lineal f : E → E′, y demostrar que su rango es la

dimension de la imagen de f .

6) Dar una aplicacion lineal f : R4 → R3 cuyo nucleo este generado por los vectorese1 = (1, 1, 0, 0) y e2 = (1, 0, 1, 0).

7) Demostrar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales euclıdeos.

8) Probar que la suma de los cuadrados de las dos diagonales de un paralelogramo esigual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.

9) (a) Definir los conceptos de endomorfismo, vector propio, valor propio y polinomiocaracterıstico.

(b) Probar que los valores propios de un endomorfismo de un K-espacio vectorial dedimension finita son las raıces en K del polinomio caracterıstico.

10) Sea T : K3 → K3 el endomorfismo definido por la matriz 1 0 0−1 −1 −12 3 2

Determinar si T es diagonalizable, segun que K sea Q, R o C.


4 de junio de 2018


1) Dadas las permutaciones σ = (137)(2645) y τ = (13)(27)(465), calcular σ−1τ , deter-minar su signo y descomponerla en producto de trasposiciones.

2) Hallar las raıces cuadradas del numero complejo z = 3 + 2i.

3) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E de dimension finita, probarque

(a) dimV ≤ dimE, y solo se da la igualdad cuando V = E.(b) dim (E/V ) = dimE − dimV .

4) (a) Determinar la dimension del subespacio vectorial V de C4 que generan los vectorese1 = (1, i, 0, i), e2 = (i, 0, 1,−1) y e3 = (0, i, i, 0).

(b) Determinar un suplementario de V en C4.

5) Definir el nucleo y la imagen de una aplicacion lineal, demostrando que son subespaciosvectoriales.

6) Determinar la matriz de la aplicacion lineal f : R3 → R2, f(x, y, z) = (y − x, z − x),en la base e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 1, 1) de R3 y la base e′1 = (1, 1), e′2 = (1, 0)de R2.

7) Enunciar y demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular.

8) Determinar la distancia en R4 del punto p = (1, 0, 1, 0) a la recta que pasa por lospuntos a = (1, 0, 0, 0) y b = (0, 1, 1, 1).

9) (a) Definir los conceptos de endomorfismo, vector propio, valor propio y polinomiocaracterıstico.

(b) Probar que los valores propios de un endomorfismo de un K-espacio vectorial dedimension finita son las raıces en K del polinomio caracterıstico.

10) Dar un ejemplo de un endomorfismo no nulo de R2 que no sea diagonalizable y otroque sea diagonalizable (demostrando que lo son).

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15 de enero de 2018

Las 10 preguntas puntuan por igual, y los resultados han de simplificarse en lo posible.

1) Determinar los numeros naturales n tales que 3n + 3 es multiplo de 7.

2) Hallar la parte real e imaginaria, el modulo y el argumento, y representar graficamentelas raıces cuartas del numero −4.

3) (a) Definir el concepto de espacio vectorial.(b) Partiendo de los axiomas de espacio vectorial, demostrar que 0 · e = 0 para todo

vector e, que λ · 0 = 0 para todo escalar λ, y que −0 = 0.

4) Si e1, e2, e3 es una base de un espacio vectorial complejo E, determinar un escalar αtal que los siguientes vectores formen una base de E:

v1 = e1 + ie2

v2 = e1 − ie2v3 = ie1 + αe3

y calcular las coordenadas del vector e = e1 + e2 + e3 en esta base v1, v2, v3.

5) Sean V , W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial de dimension finita E.Probar que dim (V +W ) = dimV + dimW − dim (V ∩W ).

6) Sea V el subespacio vectorial de R4 generado por v1 = (1, 0, 1, 0) y v2 = (1, 2, 3, 4), ysea W el subespacio vectorial de R4 formado por las soluciones del sistema homogeneo

x3 = 0x1 − x2 + x4 = 0

}Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de los subespacios vectoriales V +W y V ∩W .

7) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E, demostrar que suortogonal V ⊥ es un subespacio vectorial de E de dimension dimV ⊥ = dimE − dimV .

8) Dado un trapecio (un cuadrilatero abcd tal que b− a = λ(d− c), con λ ≥ 1), probarque la distancia entre los puntos medios p y q de los lados no paralelos es la semisuma delas longitudes de las bases:

dc

ba

• •p q d(p, q) =d(a, b) + d(c, d)

2

9) Sean α1, . . . , αr ∈ K todos los valores propios de un endomorfismo T de un K-espaciovectorial de dimension finita E, y pongamos Vαi := {e ∈ E : T (e) = αie}.

Demostrar que T es diagonalizable si y solo si E = Vα1+ . . .+ Vαr

.

10) Sea T : K3 → K3 el endomorfismo T (x1, x2, x3) = (x1 + 2x3, x2 + 2x1, x3 + 2x2).Determinar si T es diagonalizable, segun que K sea Q, R o C.

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23 de junio de 2017


1) Determinar la parte real e imaginaria, el modulo y el argumento de las raıces cubicascomplejas del numero z = −i.

2) Descomponer la permutacion σ = (523)(4215)(135) en producto de ciclos disjuntos,hallar el signo de σ y descomponer su inversa en producto de trasposiciones. Calcular σ2017.

3) Definir el concepto de subespacio vectorial. Si V y W son dos subespacios vectorialesde un espacio vectorial E, definir V + W y probar que es el menor subespacio vectorial deE que contiene a V y a W .

4) Hallar un suplementario en C4 del subespacio vectorial de ecuaciones implıcitas

x1 + ix2 + x3 = 0x2 + ix3 + x4 = 0

}5) Definir el nucleo y la imagen de una aplicacion lineal, y demostrar que son subespacios

vectoriales.

6) Determinar la matriz de la aplicacion lineal f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x + y, y + z),cuando en R3 fijamos la base e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, 1), e3 = (0, 1, 1), y en R2 fijamos labase e′1 = (1, 1), e′2 = (1,−1).

7) Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Definir el subespacioortogonal V ⊥ y probar que su dimension es dimE − dimV .

8) En R4, con el producto escalar usual, hallar ecuaciones parametricas e implıcitas delortogonal del subespacio vectorial

x1 + x2 + x3 + x4 = 0x1 + 2x2 = 0

}9) Definir el concepto de endomorfismo diagonalizable. Si α1, . . . , αr ∈ K son todos

los valores propios de un endomorfismo T de un K-espacio vectorial E de dimension finita,probar que T es diagonalizable si y solo si Vα1

+ . . .+ Vαr= E.

10) Determinar si es diagonalizable el endomorfismo de K3 definido por la matriz0 1 00 0 11 0 0

segun que K sea Q, R o C.

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2 de junio de 2017


1) Probar que la ecuacion x3 − 7y3 = 5 carece de soluciones enteras.

2) Hallar el signo de la permutacion σ = (1723)(32456)(714), descomponer su inversa enproducto de trasposiciones y calcular σ2017.

3) Sea E 6= 0 un espacio vectorial de dimension finita. Probar que todo sistema degeneradores de E contiene una base de E, y que toda familia de vectores de E linealmenteindependiente se puede ampliar hasta obtener una base de E.

4) Consideremos en C4 los subespacios vectoriales V = 〈e1, e2〉 y W = 〈e3, e4〉, donde

e1 = (1, i, 0, 0)

e2 = (0, 1, i, 0)

e3 = (0, 0, 1, i)

e4 = (i, 0, 0, 1)

Determinar una base de V +W y una base de V ∩W .

5) Definir el concepto de aplicacion K-lineal, demostrando que cumplen que f(0) = 0 yque f(−e) = −f(e).

Probar ademas que la composicion de aplicaciones K-lineales tambien es K-lineal.

6) Dar un ejemplo de aplicacion lineal f : R3 → R2 cuyo nucleo sea el subespacio vectorialde R3 generado por el vector e = (1, 1, 1).

7) Definir el concepto de espacio vectorial euclıdeo, y probar que todo espacio vectorialeuclıdeo E 6= 0 admite bases ortonormales.

8) En R4, con el producto escalar usual, hallar ecuaciones parametricas e implıcitas delortogonal del subespacio vectorial V dado por las ecuaciones

x1 + 2x2 + 3x3 = 02x2 + 3x3 + 4x4 = 0

}9) Definir los conceptos de endomorfismo, valor propio, vector propio y polinomio car-

acterıstico, demostrando que este ultimo no depende de la base elegida.

10) Determinar si es diagonalizable el endomorfismo de K3 definido por la matriz2 −2 −21 1 −11 −1 1

segun que K sea Q, R o C.

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20 de enero de 2017

Las 10 preguntas puntuan igual y, de tener apartados, estos puntuan por igual.Los resultados han de simplificarse en lo posible.

1) Probar que la suma de tres cuadrados perfectos nunca es congruente con 7 modulo 8.

2) Hallar la parte real e imaginaria, el modulo y el argumento de las raıces cubicascomplejas de −8.

3) Sea V un subespacio vectorial de un K-espacio vectorial E.

1. Definir la relacion de congruencia modulo V , probando que es relacion de equivalencia.

2. Definir la suma y el producto por escalares en E/V , probando que no dependen de losvectores elegidos en las clases.

3. Probar que, con estas operaciones, E/V es un K-espacio vectorial.

4) Hallar un suplementario en C3 del subespacio vectorial V definido por el sistema deecuaciones {

x+ iy = 0

y − iz = 0

5) Definir el nucleo y la imagen de una aplicacion lineal f : E → F , probando que sonsubespacios vectoriales.

6) Calcular ecuaciones parametricas e implıcitas de la imagen y el nucleo de la aplicacionlineal f : R4 → R4, f(x1, x2, x3, x4) = (x4 − 2x2, x2 − 2x1, x4 + x2 − 2x3, x3 − x2 − x1).


8) Probar que un paralelogramo abcd tiene los cuatro lados iguales si y solo si sus dosdiagonales ac y bd son perpendiculares.

a c

b

d

9) Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizacion de endomorfismos.

10) Sea K = Q,R o C. Determinar si es diagonalizable el endomorfismo de K3 definidopor la matriz

A =

0 4 −12 2 32 −2 2

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5 de julio de 2016


1) Demostrar que la siguiente ecuacion carece de soluciones enteras:

x2 − 3y3 = 2

2) Calcular el signo de la permutacion

σ = (123)(145)(2647)

y descomponer σ−1 en producto de trasposiciones.

3) (a) Enunciar el lema fundamental de la Teorıa de la Dimension.

(b) Usarlo para probar que todas las bases de un espacio vectorial tienen igual numerode vectores.

4) Sea e1, e2, e3, e4 una base de un espacio vectorial complejo E. Probar que los vectores

v1 = e2 + ie3,

v2 = e3 + ie4,

son linealmente independientes, y dar otros dos vectores v3, v4 ∈ E tales que v1, v2, v3, v4formen una base de E.

5) Definir el nucleo y la imagen de una aplicacion lineal, y demostrar que son subespaciosvectoriales.

6) Sea f : E → F una aplicacion lineal inyectiva. Si unos vectores e1, . . . , en ∈ Eson linealmente independientes, probar que los vectores f(e1), . . . , f(en) ∈ F tambien sonlinealmente independientes.

7) Demostrar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales euclıdeos.

8) Probar que si un triangulo tiene dos medianas iguales, entonces tiene dos lados iguales.(Las medianas unen un vertice con el punto medio del lado opuesto).


10) Dar un ejemplo de un endomorfismo T : E → E de un espacio vectorial complejo Eque no sea diagonalizable.

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20 de mayo de 2016


1) Determinar si el numero n = 20152016 + 20162015 es multiplo de 7 o de 11.

2) Hallar la parte real e imaginaria de las raıces complejas del polinomio ix2 + x− 1.

3) (a) Definir los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial.(b) Dar un subconjunto V de R3 que sea subespacio vectorial de dimension 2, y un

subconjunto X de R3 que contenga a V y no sea un subespacio vectorial.

4) Hallar un suplementario en C3 del subespacio vectorial generado por e = (1, i, 1).

5) Enunciar y demostrar el Teorema de Isomorfıa para aplicaciones lineales.

6) Considerese la aplicacion lineal f : R3 → R2, f(x, y, z) = (x+ y, y − z).Hallar una base del nucleo de f y una base de la imagen de f .

7) Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Definir el subespacioortogonal V ⊥ y probar que su dimension es dimE − dimV .

8) Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del ortogonal en R3 del subespacio vecto-rial generado por el vector e = (1,−2, 1).


10) Determinar si es diagonalizable el endomorfismo de R3 definido por la matriz1 0 00 1 10 0 1

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20 de enero de 2016


1) Probar que la ecuacion 3x2 − 7y2 = 2 carece de soluciones enteras.

2) Hallar todas las raıces complejas del polinomio x4 + 4 .

3) (a) Definir los conceptos de sistema de generadores y de independencia lineal devectores.

(b) Demostrar que todo sistema de generadores e1, . . . , en de un espacio vectorial E 6= 0contiene una base de E.

4) Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, sea W un suplementariode V en E, y sean w1, . . . , wn vectores de W . Probar que w1, . . . , wn son linealmenteindependientes si y solo si sus clases w1, . . . , wn ∈ E/V son linealmente independientes.

5) Enunciar y demostrar el Teorema de Isomorfıa para aplicaciones lineales.

6) Considerese la aplicacion lineal f : C2 → C3, f(x, y) = (ix, x+ iy, y).Determinar bases de C2 y de C3 en que la matriz de f sea1 0

0 10 0


8) Considerese en R4 el producto escalar usual, y el subespacio vectorial V de ecuaciones

x1 + 2x2 + 3x3 = 02x2 + 3x3 + 4x4 = 0

}Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del ortogonal V ⊥.

9) Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial E de dimension finita.

(a) Definir el polinomio caracterıstico de T , y demostrar que no depende de la base deE elegida.

(b) Probar que los valores propios de T son las raıces en K de su polinomio caracterıstico.

10) Estudiar la diagonalizacion de los endomorfismos de Q3, R3 y C3 definidos por lasiguiente matriz:

A =

1 0 −32 0 −23 0 −1

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25 de junio de 2015


1) Determinar los numeros naturales n tales que 4n + 2 es multiplo de 11.

2) Hallar la parte real e imaginaria, y el modulo y el argumento del numero complejo

z =1 +√

3 i

1 + i

3) (a) Definir los conceptos de sistema de generadores, independencia lineal, base ycoordenadas en una base.

(b) Demostrar que todo sistema de generadores de un espacio vectorial E 6= 0 contieneuna base de E.

4) Hallar un suplementario en C4 del subespacio vectorial generado por los vectorese1 = (i, 0, 1, 0) y e2 = (0, 1, 0, i).

5) (a) Definir los conceptos de aplicacion inyectiva, aplicacion lineal, y de imagen ynucleo de una aplicacion lineal.

(b) Demostrar que una aplicacion lineal f es inyectiva si y solo si Ker f = 0.

6) Sea f : E → E una aplicacion lineal y pongamos f2 = f ◦ f .Demostrar que (Ker f) + (Im f) = E si y solo si Im f = Im f2.

7) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E, demostrar que

dimV ⊥ = dimE − dimV .

8) Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del ortogonal en R4 del subespacio vecto-rial V de ecuaciones implıcitas {

x1 + x3 + x4 = 0

x1 + x2 − x3 = 0

9) Definir el polinomio caracterıstico de un endomorfismo T , y demostrar que sus raıcesson los valores propios de T .

10) Determinar para que valores de a ∈ R es diagonalizable el endomorfismo de R2

definido por la matriz

A =

(0 20 a

)

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22 de mayo de 2015


1) Determinar el multiplo de 11 mas cercano al numero

n = 20152014 − 5102.

2) Hallar la parte real e imaginaria, y el modulo y el argumento de las raıces cuadradascomplejas de

z = 1 +√

3 i.

3)(a) Definir los conceptos de espacio vectorial y subespacio vectorial.(b) Dar un ejemplo de un subconjunto de C3 que no sea subespacio vectorial.(c) Dar un subconjunto de C3 que sea un subespacio vectorial de dimension 2.

4) Hallar un suplementario en R4 del subespacio vectorial generado por los vectorese1 = (1, 0, 1, 0) y e2 = (1, 2, 3, 4).

5) Si V y W son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial de dimension finita,demostrar que

dim (V +W ) = dimV + dimW − dim (V ∩W ).

6) Sea f : E → E una aplicacion lineal y pongamos f2 = f ◦ f .Demostrar que (Ker f) ∩ (Im f) = 0 si y solo si Ker f = Ker f2.

7) Definir el concepto de espacio vectorial euclıdeo, y probar que todo espacio vectorialeuclıdeo E 6= 0 admite bases ortonormales.

8) Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del ortogonal en R4 del subespacio vecto-rial generado por los vectores e1 = (1, 0, 1, 0) y e2 = (1, 2, 3, 4).


10) Determinar para que valores de a ∈ R es diagonalizable el endomorfismo de R2

definido por la matriz (a 10 1

)

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30 de enero de 2015


1. Determinar si el numero n = 20152014 + 20142015 es multiplo de 7.

2. Determinar el modulo, el argumento, y la parte real e imaginaria de las raıces cubicascomplejas del numero complejo z = −1 + i.

3. Definir los siguientes conceptos:

(a) Espacio vectorial.

(b) Subespacio vectorial.

(c) Familia de vectores linealmente independiente.

(d) Sistema de generadores.

(e) Coordenadas de un vector en una base.

4. Sea e1, e2, e3 una base de un espacio vectorial complejo E.

(a) Hallar un suplementario en E del subespacio vectorial V = 〈e1 + ie2, e2 − ie3〉.(b) Hallar un suplementario en E del subespacio vectorial W definido por el sistema

de ecuaciones lineales {0 = x1 + ix2

0 = x2 − ix3

5. Enunciar y demostrar el Teorema de isomorfıa.

6. Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del nucleo y la imagen de la aplicacionlineal f : R3 → R3, f(x, y, z) = (y + z, x− z, x+ y).

7. Enunciar y demostrar las desigualdades de Cauchy-Schwarz y triangular.

8. Probar que la suma de los cuadrados de las dos diagonales de un paralelogramo coincidecon la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

9. Si α1, . . . , αm son valores propios de un endomorfismo T de un espacio vectorial E,distintos entre sı, demostrar que la suma de los subespacios vectoriales Vα1

, . . . , Vαm

siempre es directa; donde ponemos Vα = {e ∈ E : T (e) = αe}.

10. Sea E = {at2 + bt+ c : a, b, c ∈ R} el espacio vectorial real de los polinomios de gradomenor o igual que 2 con coeficientes reales.

Determinar si es diagonalizable el endomorfismo T : E → E, T (at2 + bt+ c) = 2at+ b,que define la derivada.

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2 de julio de 2014

Los resultados se han de simplificar en lo posible.Las 10 preguntas puntuan igual y, de tener apartados, estos puntuan por igual.

1. (a) Definir los conceptos de relacion de equivalencia y clase de equivalencia.

(b) Dada una relacion de equivalencia ≡ en un conjunto X, y dos elementos x, y ∈ X,demostrar que [x] = [y] si y solo si x ≡ y.

2. Hallar las raıces complejas del polinomio x4 + 1.

3. Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E de dimension finita, probarque

dimV ≤ dimE

dimE/V = dimE − dimV

4. Sean V y W dos subespacios vectoriales suplementarios de un espacio vectorial E.Probar que si unos vectores w1, . . . , wn ∈W son linealmente independientes, entoncessus clases w1, . . . , wn en E/V tambien son linealmente independientes.

5. (a) Definir los conceptos de aplicacion lineal, y de nucleo e imagen de una aplicacionlineal.

(b) Demostrar que una aplicacion lineal f : E → F es inyectiva si y solo si Ker f = 0.

6. Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del nucleo y la imagen de la siguienteaplicacion lineal T :

T : R2 → R2, T (x, y) = (x− 2y, 2y − x).

7. Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Demostrar lassiguientes igualdades:

E = V ⊥ ⊕ VV = (V ⊥)⊥

8. Probar que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectangulo equidista delos tres vertices.

9. Definir el polinomio caracterıstico de un endomorfismo T de un espacio vectorial dedimension finita E, y demostrar que no depende de la base de E elegida.

10. (a) Dar un ejemplo de un endomorfismo T : R2 → R2 que no tenga ningun valor propio.

(b) ¿Existe algun endomorfismo del espacio vectorial complejo C2 que no tenga ningunvalor propio?

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22 de mayo de 2014

Las 10 preguntas puntuan igual y, de tener apartados, estos puntuan por igual.

1. Determinar si el numero n = 20142001 − 20131002 es multiplo de 13.

2. Hallar el modulo y el argumento del numero complejo

z =1 + i

1 +√

3i

3. (a) Definir los conceptos de espacio vectorial y de subespacio vectorial.

(b) Partiendo de la definicion, probar que en todo espacio vectorial se cumple que0 · e = 0 y λ · (−e) = −(λ · e) para todo escalar λ y todo vector e.

4. Sea e1, e2 una base de un espacio vectorial E.

(a) Probar que los vectores v1 = 2e1 + e2 y v2 = e1 + 3e2 forman una base de E.

(b) Hallar las coordenadas del vector e = e1 + e2 en esta base v1, v2.

5. Enunciar y demostrar el teorema de Isomorfıa.

6. Si f : E → F es una aplicacion lineal inyectiva y V,W son dos subespacios vectorialesde E, demostrar que f(V ∩W ) = f(V ) ∩ f(W ).

7. (a) Definir los concepto de espacio vectorial euclıdeo y de base ortonormal.

(b) Demostrar la existencia de bases ortonormales.

8. En R4, con el producto escalar usual, hallar ecuaciones parametricas e implıcitas delortogonal V ⊥ del subespacio vectorial V dado por las ecuaciones{

0 = x1 + 2x2 + 3x3

0 = x4

9. Demostrar que los valores propios de un endomorfismo son las raıces de su polinomiocaracterıstico.

10. Determinar los numeros complejos α tales que el endomorfismo

T : C2 → C2, T (x, y) = (x+ αy, y)

es diagonalizable.


10 de enero de 2014


1. (a) Definir los conceptos de relacion de equivalencia y clase de equivalencia.

(b) Demostrar que [x] = [y] si y solo si x e y son equivalentes.

2. Calcular, y simplificar en lo posible, la parte real e imaginaria, el modulo y el argumentode las cuatro raıces cuartas complejas del numero −4.

3. Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimension finita E, probarque dimV ≤ dimE, y que solo se da la igualdad cuando V = E.

4. Sean V y W dos subespacios vectoriales suplementarios de un espacio vectorial E.Probar que unos vectores v1, . . . , vn ∈ V forman un sistema de generadores de V si ysolo si sus clases v1, . . . , vn ∈ E/W forman un sistema de generadores de E/W .

5. Definir los conceptos de nucleo e imagen de una aplicacion lineal, y demostrar que sonsubespacios vectoriales.

6. Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas del nucleo y la imagen de la aplicacionlineal f : K3 → K2, f(x, y, z) = (2x− 2z, 3z − 3x).

7. (a) Definir los conceptos de producto escalar y modulo de un vector.

(b) Demostrar la desigualdad de Cauchy-Schwarz, |e · v| ≤ ‖e‖ · ‖v‖.(c) Demostrar la desigualdad triangular, ‖e+ v‖ ≤ ‖e‖+ ‖v‖.

8. Probar que la suma de los cuadrados de los tres lados de un triangulo es cuatro terciosde la suma de los cuadrados de sus tres medianas (segmentos que unen un vertice conel punto medio del lado opuesto).

9. Si unos escalares α1, . . . , αm ∈ K son valores propios distintos de un endomorfismo T ,demostrar que la suma de los correspondientes subespacios vectoriales Vα1

, . . . , Vαm

siempre es directa, donde Vα = Ker (αId− T ).

10. Sea T : K3 → K3 el endomorfismo T (x, y, z) = (2x − 2y − 2z, x + y − z, x − y + z).Determinar si T es diagonalizable, segun que K sea Q, R o C.

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2 de julio de 2013


1) (a) Definir los conceptos de relacion de equivalencia y clase de equivalencia.(b) Probar que cada elemento esta en una unica clase de equivalencia.

2) Hallar el modulo y el argumento de una raız cubica compleja de z = −4√

2 + 4√

2 i.

3) Si E es un espacio vectorial de dimension finita, probar que(a) Todo sistema de generadores de E contiene una base de E.(b) Toda familia de vectores linealmente independiente puede ampliarse hasta obtener

una base de E.

4) Sea e1, e2, e3 una base de un espacio vectorial complejo E, y consideremos en E losvectores v1 = e1 + ie2, v2 = e2 + ie3, v3 = e1 + e3.

(a) Hallar una base del subespacio vectorial V = 〈v1, v2, v3〉 que generan.(b) Determinar un suplementario de V en E.

5) (a) Definir el nucleo de una aplicacion lineal y probar que es un subespacio vectorial.(b) Definir la imagen de una aplicacion lineal y probar que es un subespacio vectorial.

6) Considerese la aplicacion lineal f : R2 → R3, f(x, y) = (y − x, x+ 2y, y).Fijar bases en R3 y R2 de modo que la matriz de f en tales bases sea2 0

0 −10 0

.

7) Probar que dimV ⊥ = dimE − dimV .

8) Dado un un paralelogramo ABCD, demostrar que la condicion necesaria y suficientepara que sea un rectangulo es que sus dos diagonales AC y BD sean de igual longitud.

A B

CD

9) Definir el polinomio caracterıstico cT (x) de un endomorfismo T : E → E, probandoque no depende de la base de E elegida.

10) ¿Es diagonalizable el endomorfismo T : C3 → C3, T (x, y, z) = (y, z, x) ?

16


3 de junio de 2013

1) Definir el concepto de signo de una permutacion, y demostrar que el signo de unproducto de permutaciones es el producto de los signos.

2) Determinar el modulo y el argumento de las raıces cuadradas de 3− 3i.

3) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial de dimension finita E, probarque dimV ≤ dimE, y que dim (E/V ) = dimE − dimV .

4) Definir el concepto de espacio vectorial y, partiendo de los axiomas, demostrar lassiguientes reglas del calculo con vectores:

1. Si e+ v = e+ w, entonces v = w.

2. Si e+ v = v, entonces e = 0.

3. 0 · e = 0 , λ · 0 = 0.

5) Definir el nucleo y la imagen de una aplicacion lineal, y demostrar que son subespaciosvectoriales.

6) Considerese la aplicacion lineal f : R3 → R2, f(x, y, z) = (2y − z, 2x+ y).Fijar unas bases en R3 y R2 de modo que la matriz de f en tales bases sea(

1 0 00 −1 0

).

7) Probar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales euclıdeos.

8) Dado un un paralelogramo ABCD, la condicion necesaria y suficiente para que suscuatro lados sean iguales es que sus dos diagonales AC, BD, sean perpendiculares.

A B

CD

9) Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizacion.

10) Demostrar que si un endomorfismo T cumple que T 3 = 0, entonces su unico valorpropio es α = 0.

17


6 de febrero de 2013

1) Probar que la ecuacion 7x3 + y3 = 5 no tiene soluciones enteras (en Z).

2) Hallar las raıces complejas de x3 + 8, determinando su parte real e imaginaria.

3) Definir los conceptos de sistema de generadores e independencia lineal.Usando el Lema Fundamental, probar que todas las bases de un espacio vectorial tienen

igual numero de vectores.

4) Sean V y W subespacios vectoriales de un espacio vectorial E, tales que V ∩W = 0.Si unos vectores v1, . . . , vn ∈ V son linealmente independientes, probar que tambien losvectores v1, . . . , vn son linealmente independientes en E/W .

5) Si V y W son subespacios vectoriales de un espacio vectorial de dimension finita E,probar la igualdad

dim (V +W ) = dimV + dimW − dim (V ∩W ) .

6) Demostrar que si una aplicacion lineal f : Kn → Kn es inyectiva, entonces f tambienes epiyectiva.

7) Sea e1, e2, e3, e4 una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E. Hallarecuaciones parametricas e implıcitas del ortogonal del plano de ecuaciones

x1 − 2x2 = 03x3 − 4x4 = 0

}8) Probar que las diagonales de un trapecio abcd; es decir, b− a = λ(d− c) con 1 ≤ λ ,

se dividen mutuamente en partes proporcionales a las bases:

dc

ba

p

‖a− p‖ = λ ‖p− d‖

‖b− p‖ = λ ‖p− c‖

9) Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimension finita E.Definir el polinomio caracterıstico de T , probando que no depende de la base de E

elegida, y que sus raıces en K son los valores propios de T .

10) ¿Es diagonalizable el endomorfismo T : R2 → R2, T (x, y) = (3x− y, x+ y) ?

18


17 de septiembre de 2012

1) Determinar si el numero n = 20122011 + 20112012 es multiplo de 7.

2) Hallar la parte real e imaginaria, el modulo y el argumento de z = (1 + i)−2.

3) Probar el Lema Fundamental de la Dimension: Si v1, . . . , vr ∈ Ke1 + . . . + Ken yr > n, entonces los vectores v1, . . . , vr son linealmente dependientes.

4) Dada una base e1, e2, e3 de un espacio vectorial complejo, hallar una base de unsuplementario del subespacio vectorial V de ecuaciones x1 + ix2 = 0, ix1 + x2 + x3 = 0.

5) Definir los conceptos de nucleo e imagen de una aplicacion lineal, y probar que sonsubespacios vectoriales.

6) e1 = (0, 1, 1), e2 = (1, 0, 1). Determinar un vector e3 ∈ R3 tal que e1, e2, e3 formenuna base de R3, y calcular la matriz en esta base del endomorfismo

f : R3 −→ R3 , f(x, y, z) = (x+ y, y + z, x+ z) .

7) Probar la existencia de bases ortonormales.

8) Probar que si un triangulo tiene dos medianas (segmentos que unen un vertice con elpunto medio del lado opuesto) iguales, entonces tiene dos lados iguales.

a b

c

q

p

‖q − b‖ = ‖p− c‖

9) Definir el concepto de suma directa. Demostrar que si α1, . . . , αm son valores propiosde un endomorfismo, distintos entre sı, entonces la suma de los subespacios vectorialesVα1

, . . . , Vαmsiempre es directa.

10) Estudiar la diagonalizacion de los endomorfismos de Q3, R3 y C3 definidos por lamatriz: 4 0 20

2 0 101 1 2

19


7 de junio de 2012

1) Determinar todos los numeros naturales n tales que 2n − 5 sea multiplo de 11.

2) Definir los conceptos de modulo y argumento de un numero complejo z 6= 0.Halar el modulo y el argumento de un numero complejo z que no sea real y z3 = −1.

3) Definir el concepto de espacio vectorial y, partiendo de la definicion, probar que

1. Si e+ v = e+ v′, entonces v = v′.

2. λ · 0 = 0 , 0 · e = 0 .

3. Si λe = 0 , entonces λ = 0 , o e = 0 .

4) Definir el concepto de subespacio suplementario, y probar que, si W es un suple-mentario de V en E, entonces la proyeccion canonica π : W → E/V , π(w) = [w], es unaaplicacion inyectiva y epiyectiva.

5) Hallar ecuaciones parametrica e implıcitas del nucleo de la aplicacion lineal

f : R3 → R2 , f(x, y, z) = (x+ y − z, x− y − 2z) .

6) Determinar la matriz de la aplicacion lineal

f : C3 −→ C2 , f(x, y, z) = (x+ y − z, x− y − 2z)

en las bases {(0, 1, i), (1,−1, 0), (1, 1, i)} de C3 y {(i, 1), (0, i)} de C2.

7) Probar la existencia de bases ortonormales en los espacios vectoriales euclıdeos.

8) Si e1, e2, e3, e4 es una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E, hallarlas coordenadas de un vector de E que forme un angulo de π/4 radianes con el vectore = e1 − e2 + e3 − e4.

9) Enunciar y demostrar el Criterio de Diagonalizacion de Endomorfismos.

10) Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real E. Determinar si T esdiagonalizable, sabiendo que su matriz en una base de E es 0 −1 1

1 0 −1−1 1 0

.

¿Y si E es un espacio vectorial complejo?

20


31 de enero de 2012

1) Sea n un numero natural. Probar que si 9n2 es suma de dos cuadrados perfectos,9n2 = a2 + b2, entonces a y b son multiplos de 3.

2) Probar que el signo de un producto de permutaciones es el producto de los signos.Hallar el signo de σ = (134)(24)(541), descomponer la permutacion inversa σ−1 en

producto de trasposiciones y calcular σ−2012.

3) Definir el concepto de suma directa y demostrar que si v1, . . . , vr es una base de V yw1, . . . , ws es una base de W y la suma de V y W es directa, entonces v1, . . . , vr, w1, . . . , wses una base de V ⊕W .

4) Sean e1, e2, e3, e4 una base de un espacio vectorial complejo E.Hallar ecuaciones parametricas e implıcitas de un suplementario en E del subespacio

vectorialV =< e1 + ie2 + e3 , −e2 + ie3 − e4 , ie1 + e4 >

5) Definir la imagen de una aplicacion lineal f : E → E′ y probar que es un subespaciovectorial de E′. Definir la matriz de una aplicacion lineal.

6) Sea f : E → E′ un isomorfismo y sea V un subconjunto de E. Probar que V es unsubespacio vectorial de E si y solo si f(V ) = {f(v) : v ∈ V } es un subespacio vectorial deE′.

7) Si V es un subespacio vectorial de un espacio euclıdeo E, probar que

dimV ⊥ = dimE − dimV .

8) Demostrar el Teorema del Coseno: En un triangulo de lados a, b, c ∈ R+ el cuadradode cada lado es la suma de los cuadrados de los otros dos menos el doble de su producto porel coseno del angulo que forman

α

c

b

a a2 = b2 + c2 − 2bc cosα

9) Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimension finita E.Definir el polinomio caracterıstico de T , probando que no depende de la base de E

elegida, y que sus raıces en K son los valores propios de T .

10) Hallar una matriz invertible B con coeficientes complejos tal que la matriz B−1ABsea diagonal, donde

A =

0 0 11 0 00 1 0

.

21



1) Determinar si el numero n = 20112011 + 2010 · 2012 es multiplo de 13.

2) Hallar el modulo y el argumento de los siguientes numeros complejos:

−1 + i ,√

2e3πi , e−1+i , (1 + i)10 .

3) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, definir la relacion decongruencia modulo V y probar que es una relacion de equivalencia.

Definir la suma de vectores y el producto por escalares en el conjunto cociente E/V yprobar que no dependen de los representantes elegidos.

4) Sean e, e1, . . . , en vectores de un K-espacio vectorial E. Probar que

e ∈ Ke1 + . . .+Ken ⇔ Ke1 + . . .+Ken = Ke1 + . . .+Ken +Ke .

5) Enunciar y demostrar el Teorema de Isomorfıa para una aplicacion lineal.


f : C2 −→ C3 , f(x, y) = (x+ iy, x− iy, ix)

en las bases {(0, i), (i, 0)} de C2 y {(1, i, 0), (0, 1, i), (i, 0, 1)} de C3.

7) Definir los conceptos de producto escalar y base ortonormal. Demostrar la existenciade bases ortonormales en los espacios vectoriales euclıdeos.

8) Sea e1, e2, e3, e4 una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E. Hallar ecua-ciones parametricas e implıcitas del ortogonal V ⊥ del subespacio vectorial V de ecuaciones

x1 + x2 + x3 = 0x2 − x3 − x4 = 0

}9) Definir los conceptos de valor propio, vector propio y endomorfismo diagonalizable.

Dar un ejemplo de un endomorfismo T de un espacio vectorial complejo de dimension 2 queno sea diagonalizable.

10) Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial complejo E. Determinar siel endomorfismo T es diagonalizable, sabiendo que la matriz de T en una base {e1, e2, e3}de E es 2 4 5

3 5 50 0 1

.

22


9 de junio de 2011

1) Definir los siguientes conceptos: aplicacion inyectiva, signo de una permutacion, vec-tores linealmente independientes, matriz de una aplicacion lineal, suma directa, productoescalar, subespacio ortogonal, endomorfismo, polinomio caracterıstico. Enunciar el Teoremade isomorfıa.

2) Hallar el signo de la permutacion σ = (136)(2361).Descomponer la permutacion inversa σ−1 en producto de ciclos disjuntos.Hallar una trasposicion τ tal que στ 6= τσ.

3) Demostrar el Lema Fundamental: Si v1, . . . , vr ∈ Ke1 + . . .+Ken y r > n, entonceslos vectores v1, . . . , vr son linealmente dependientes.

4) Sea e1, e2, e3 una base de un espacio vectorial complejo E. Probar que los vectoresv1 = e1 + ie2, v2 = ie2 + e3, v3 = e1 − e3, v4 = e1 − ie2 generan E, y hallar alguna base deE contenida en tal sistema de generadores.

Hallar una combinacion lineal nula, λ1v1 +λ2v2 +λ3v3 +λ4v4 = 0, con algun coeficienteλi no nulo.

5) Si A es la matriz de una aplicacion lineal f : E → E′ en ciertas bases de E y E′,probar que la dimension de la imagen de f coincide con el rango de A:

dim (Im f) = rgA .

Usando el Teorema de isomorfıa, concluir que dim (Ker f) = dimE − rgA .

6) Sea f : E → E una aplicacion lineal. Demostrar que si f = f ◦ f , entonces E =(Ker f)⊕ (Im f).

7) Si E es un espacio vectorial euclıdeo, probar que para todo par de vectores e, v ∈ Ese tiene la desigualdad |e · v| ≤ ‖e‖ · ‖v‖ , y que por tanto tambien se tiene la desigualdadtriangular:

‖e+ v‖ ≤ ‖e‖+ ‖v‖

8) Sea e1, e2, e3, e4 una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E. Hallar ecua-ciones parametricas e implıcitas del ortogonal V ⊥ del subespacio vectorial V de ecuaciones

x1 − x2 + x3 = 0x2 − x3 + x4 = 0

}9) Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimension finita E. Demostrar

que los valores propios de T coinciden con las raıces en K de su polinomio caracterısticocT (x).

10) Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita E. Demostrarque si Tn = 0 para algun exponente n ≥ 1, entonces el endomorfismo T − Id : E → E esinyectivo y epiyectivo.

23

ALGEBRA LINEAL I

27 de enero de 2011

1) Determinar los numeros naturales n tales que 4n + 3 sea multiplo de 13.

2) Definir los conceptos de conjugado, modulo y argumento de un numero complejo z.Hallar una raız cubica compleja de –1 que no sea un numero real.

3) Definir los conceptos de sistema de generadores, dependencia e independencia linealde vectores, base y coordenadas de un vector en una base.

Probar que, en cualquier espacio vectorial E de dimension finita, toda familia de vectorese1, . . . , er linealmente independiente puede ampliarse hasta obtener una base de E.

4) Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E y sea W un suplementariode V en E. Probar que si unos vectores v1, . . . , vn ∈ V son linealmente independientes,entonces sus clases v1, . . . , vn ∈ E/W tambien son linealmente independientes.

5) Definir los conceptos de aplicacion lineal, nucleo e imagen.Si f es una aplicacion lineal, demostrar que f(0) = 0, que f(−e) = −f(e) y que f(e−v) =

f(e)− f(v).Si f es una aplicacion lineal biyectiva, probar que la aplicacion inversa f−1 tambien es

lineal.

6) Dada la aplicacion lineal f : C2 → C3 , f(x, y) = (x+ iy, x− iy, ix), hallar ecuacionesparametricas e implıcitas del nucleo de f y de la imagen de f .

7) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E, definir su ortogonalV ⊥ y probar que dimV ⊥ = dimE − dimV .

8) Demostrar el Teorema de Tales: Si en un triangulo ABC se traza una recta paralelaa un lado BC, corta a los otros lados en segmentos proporcionales.

C

C ′

BB′A

|C ′ −A||C −A|

=|B′ −A||B −A|

9) Definir el concepto de suma directa. Demostrar que si α1, . . . , αm ∈ K son valorespropios de un endomorfismo T de un K-espacio vectorial E, distintos entre sı, entonces lasuma de los subespacios vectoriales Vα1 , . . . , Vαm es directa.

10) Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real E. Determinar si elendomorfismo T es diagonalizable, sabiendo que la matriz de T en una base {e1, e2, e3} deE es 0 −1 1

−2 −1 −12 1 1

.

24

ALGEBRA LINEAL I


1) Determinar si el numero 20102011 + 2010 es multiplo de 13.

2) Definir los conceptos de modulo y argumento de un numero complejo z.Demostrar las desigualdades z + z ≤ 2|z| y |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| .

3) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, definir la relacion decongruencia modulo V y probar que es una relacion de equivalencia.

Definir la suma de vectores y el producto por escalares en el conjunto cociente E/V yprobar que no dependen de los representantes elegidos.

4) Probar que si unos vectores e1, . . . , en de un espacio vectorial son linealmente inde-pendientes, entonces para todo ındice i = 1, . . . , n tenemos que ei 6= 0 y que < e1, . . . , ei >∩ < ei+1, . . . , en > = 0 .

5) Definir los conceptos de aplicacion lineal, nucleo e imagen.Probar que el nucleo y la imagen de cualquier aplicacion lineal f : E → E′ son subespacios

vectoriales.


f : C2 → C3 , f(x, y) = (x+ iy, x− iy, ix)

en las bases {(0, i), (i, 0)} de C2 y {(1, i, 0), (0, 1, i), (i, 0, 1)} de C3.

7) Definir los conceptos de espacio vectorial euclıdeo y de base ortonormal.Probar que todo espacio vectorial euclıdeo E 6= 0 tiene bases ortonormales.

8) Sea {e1, e2, e3, e4} una base ortonormal de un espacio vectorial euclıdeo E de di-mension 4 y sea V el plano de ecuaciones x1 + x2 = 0, x1 − x3 − x4 = 0. Determinarecuaciones parametricas e implıcitas del subespacio ortogonal V ⊥.

9) Demostrar que si las dos diagonales de un paralelogramo son iguales, entonces este esun rectangulo.

10) Sea T : E → E un endomorfismo de un espacio vectorial real E. Si la matriz de Ten una base {e1, e2, e3} de E es 0 0 1

1 0 00 1 0

,

determinar si el endomorfismo T es diagonalizable.

25

ALGEBRA LINEAL I

10 de junio de 2010

1) Definir los conceptos de aplicacion inyectiva y epiyectiva. Sean f : X → Y y g : Y → Zdos aplicaciones. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones?:

Si g ◦ f es biyectiva, entonces f es inyectiva.

Si g ◦ f es biyectiva, entonces g es inyectiva.

2) Determinar un numero complejo z tal que z4 = −2.

3) Si V es un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, definir la relacion decongruencia modulo V , demostrando que es una relacion de equivalencia en E. Definir lasuma de vectores y el producto por escalares en el conjunto cociente E/V , probando que nodependen de los representantes elegidos. Si e ∈ E, probar que [e] = 0 si y solo si e ∈ V .

4) Sea {e1, e2, e3} una base de un espacio vectorial complejo E. Hallar una base de Een la que las coordenadas del vector e = e1 + ie2 + e3 sean (0,1,0).

5) Definir los conceptos de aplicacion lineal, nucleo e imagen. Probar que el nucleo y laimagen de cualquier aplicacion lineal f : E → E′ son subespacios vectoriales.

6) Fijar una base en R4 y otra en R3, calculando la matriz en dichas bases de la aplicacionlineal f : R4 → R3, f(x, y, z, t) = (x + z − t, x + y, y − z + t). Determinar ecuacionesparametricas e implıcitas del nucleo y la imagen de f .

7) Definir el concepto de producto escalar. Probar que |e · v| ≤ |e| · |v| , y demostrar ladesigualdad triangular |e+ v| ≤ |e|+ |v| .

8) La distancia entre los puntos medios p, q de las diagonales de un trapecio abcd (esdecir, b− a = λ(d− c) con 1 ≤ λ) es la mitad de la diferencia de las longitudes de las bases:

dc

ba

• •p q

‖q − p‖ =‖b− a‖ − ‖d− c‖

2

9) Definir los conceptos de valor propio, vector propio y endomorfismo diagonalizable.Dar un ejemplo de un endomorfismo T de un espacio vectorial real de dimension 3 que nosea diagonalizable aunque su polinomio caracterıstico cT (x) tenga todas sus raıces reales.

10) Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimension finita. Probar quesi λ ∈ K no es un valor propio de T , entonces Ker (T − λ)n = 0 para todo numero naturaln ≥ 1.

26


29 de enero de 2010

1) Probar que el numero a = 11...111 no es suma de dos cuadrados perfectos.

2) Definir los conceptos de conjugado z, modulo ρ y argumento θ de un numero complejono nulo z, y demostrar que z/z = e2iθ.

3) Sean V y W dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial E. Definir V + Wy probar que es un subespacio vectorial de E, y que es el menor subespacio vectorial de Eque contiene a V y a W .

4) Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, sea W un suplementario deV en E, y sean v1, . . . , vn vectores de V . Probar que v1, . . . , vn generan V si y solo si susclases v1, . . . , vn generan E/W .

5) Enunciar y demostrar el Teorema de isomorfıa para aplicaciones lineales.

6) Sean f : E → E′ y h : E′ → E′′ dos aplicaciones lineales. Demostrar que

Imh = Im (h ◦ f) si y solo si Im f + Kerh = E′ .

7) Sea V un subespacio vectorial de un espacio vectorial euclıdeo E. Usando quedimV ⊥ = dimE−dimV , demostrar que E = V ⊥⊕V y que (V ⊥)⊥ = V . Si W es otro sube-spacio vectorial de E, demostrar que (V +W )⊥ = V ⊥ ∩W⊥ y que (V ∩W )⊥ = V ⊥ +W⊥.

8) Probar que la suma de los cuadrados de los lados de un triangulo es 4/3 de la sumade los cuadrados de las medianas (segmentos que unen un vertice con el punto medio dellado opuesto).

9) Sea T un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimension finita E, y sea A lamatriz de T en una base de E. Demostrar que el polinomio caracterıstico cT (x) = |xI −A|no depende de la base elegida, y que sus raıces en K son los valores propios de T .

10) Sea T un endomorfismo de un espacio vectorial complejo E. Si la matriz de T enuna base {e1, e2, e3} de E es 0 −1 1

0 1 01 1 0

,

determinar si el endomorfismo T es diagonalizable.

27

las 10 preguntas puntuan igual, y los resultados han de...

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