NOMBRE : _________________________________________________

NOMBRE : __________________________________ r.u.t: ______________PROBLEMA 1. ( 30 ptos).

SOLUCIN

PROBLEMA 1. (Evaluacin algoritmo: XX ptos)

Al disear un nuevo computador, se sospecha que las llamadas a procedimientos son operaciones muy caras. Se ha inventado un nuevo mtodo que reduce las cargas y almacenamiento normalmente asociados con llamadas y retornos de procedimientos. Para evaluar el nuevo mtodo se corren experimentos con y sin optimizacin usando el mismo compilador. Los experimentos entregan la siguiente informacin:

El reloj de la versin sin optimizar es 5% ms rpido El 30% de las instrucciones de la versin sin optimizar son cargas y almacenamientos La versin optimizada ejecuta 1/3 menos de cargas y almacenamientos que la versin no optimizada. Para las dems instrucciones la cuenta dinmica de ejecucin no se altera Todas las instrucciones (incluido carga y almacenamiento) toma un ciclo de reloj SE PIDE: Cul es la mejor decisin? Justifique cuantitativamente.Respesta: Tenemos el tiempo que demora en ejecutar las instrucciones en el computador no optimizado, llamado T.

Este tiempo T equivale al total de las instrucciones que se ejecutan, y como cada instruccin toma 1 ciclo de reloj en ejecutarse, sern T instrucciones en ejecutarse.

De ellas 0.3T son instrucciones de carga y almacenamiento.

En la computadora Optimizada se ejecutan solamente 2/3 de las instrucciones de carga y almacenamiento en la versin no optimizada. (0.3T * 2/3)

El reloj de la versin sin optimizar es 5% ms rpido que el computador optimizado, por lo tanto un ciclo de reloj del computador optimizado equivale a 1.05T de la computadora no optimizada.

Tomando en cuenta lo anterior, el tiempo en la computadora optimizada ser:

Por lo tanto la mejor decisin es utilizar el computador optimizado, dado que es un 0.65% ms rpidoPROBLEMA 2. (Aceleracin; XX ptos))

Considere una aplicacin de procesamiento de imgenes que consiste de:

Doce procesos: un proceso de entrada, un proceso de salida y diez procesos de cmputo. La tarea de entrada tiene que completarse antes que inicien las tareas de procesamiento. Las tareas de procesamiento tienen que completarse antes de que inicie la tarea de salida. Cada una de las 12 tareas toma una unidad de tiempo.

Existe un solo dispositivo de entrada y un solo de salida.

a) Cul es la mxima aceleracin que se puede lograr con este problema cuando se utilizan dos procesadores?

b) Cul es una cota superior a la aceleracin que se logra con esta aplicacin cuando se utiliza una computadora paralela?

c) Cul es el menor nmero de procesadores para lograr la aceleracin dada en b)?

d) Cul es la mxima aceleracin que se puede lograr resolviendo 5 instancias de este problema en dos procesadores?

Respuesta:

a) Entrada: tiempo = 1 segundo

Cmputo:2 procesadores, 10 procesos ( tiempo = 10/2 = 5 segundos

Salida: tiempo = 1 segundo

TParalelo = 1 + 5 +1 = 7 segundos.

TSecuencial = 1 + 10 +1 = 12 segundos

Por lo tanto: Speed-Up = 12/7 = 1.71

b) Para lograr una cota superior el proceso de cmputo debe ser el mnimo, esto se logra con 10 procesadores.

TParalelo = 1 + 1 +1 = 3 segundos.

TSecuencial = 1 + 10 +1 = 12 segundos

Por lo tanto: Speed-Up ( 12/3 = 4

c) El nmero mnimo es 10 procesadores.

d) 5 procesos en 2 procesadores ( tiempo = 3 segundos

Para lograr la mxima aceleracin los 5 procesos restantes se deben realizar en el menor tiempo posible, es decir, en 1 segundo (con 5 procesadores).

Entrada: tiempo = 1 segundo.

Cmputo: 2 procesadores, 5 procesos ( tiempo = 3 segundos

5 procesadores, 5 procesos ( tiempo = 1 segundos

Salida: tiempo = 1 segundo

TParalelo = 5 segundos.

TSecuencial = 1 + 10 +1 = 12 segundos.

Speed-Up = 12/5 = 2.4

5.- El problema del Flujo de Potencia Elctrica o Flujo de Carga ha sido exhaustivamente estudiado en el mbito de la ingeniera elctrica por su gran importancia para la planificacin y el mantenimiento de los grandes sistemas de distribucin de energa elctrica. Por esto, se han realizado diversos estudios acerca de cmo se pueden mejorar distintos sistemas elctricos (correspondientes a distintos estndares) mediante la paralelizacin de los cdigos que manejan dichos sistemas. Para ello se dispuso del modelo paralelo de la Figura 1 para as evaluar sus prestaciones en comparacin con un cmputo secuencial de dichos cdigos.

Figura 1. Plataforma computacional.

La Figura 1 muestra la plataforma computacional utilizada para poner a prueba la resolucin paralela de los cdigos de los sistemas. Se trata de una red de 5 PCs con Procesadores Pentium II de 400MHz, 32 MB de memoria RAM, interconectados por una red Ethernet de 10 Mbps, corriendo el sistema Operativo Linux Red Hat versin 6.0, sobre la que se instal el MPI (Message Passing Interface) para Lenguaje C, implementacin MPICH [20]. Todas las mquinas utilizadas son de idnticas caractersticas, una de ellas haciendo el papel de Maestro y de Servidor de NFS y NIS. Las dems hacen el papel de esclavos.La siguiente tabla muestra los tiempos de ejecucin secuencial y paralelo de los cdigos de cada sistema:

SISTEMATIEMPO SECUENCIAL (segundos)TIEMPO PARALELO (segundos)

IEEE-140,680,405

Monticelli - 300,820,514

Combinado - 8816,1811,982

Adems, cabe considerar que los resultados obtenidos para el tiempo paralelo, se realizaron con 3 procesadores, 1 maestro y 2 esclavos (el procesador maestro tambin particip del clculo). Se pide:

a) Calcular cual es la aceleracin (Speed-up) alcanzada para cada sistema.

b) Grficar la aceleracin adquirida en funcin del nmero de procesadores utilizados.

c) Determinar cual es la eficiencia de cada sistema y explicar cual es el ms eficiente y porqu.

Respuesta:

a) El Speed-up para cada sistema se calcula mediante la siguiente frmula:

Por lo tanto:

b) El siguiente grfico, ilustra cual es la aceleracin de cada sistema en funcin del nmero de procesadores utilizados.

c) La eficiencia del sistema E(n), para un sistema con n procesadores se define como:

Por lo tanto, la eficiencia de cada sistema es la siguiente:

IEEE-14

Monticelli-30

Combinado-88

En vista a los resultados anteriores, se puede concluir que el sistema ms eficiente corresponde al IEEE-14 debido a que se acerca mucho ms a la medida de eficiencia mxima (E(n)=1) que se obtiene cuando todos los procesadores estn siendo completamente utilizados durante todo el periodo de ejecucin.

Para la malla 2-D de k2 procesadores que se muestran en la figura 1, establezca el tiempo mnimo para hacer un broadcast de un mensaje compuesto por n paquetes que inicialmente estn en el nodo Po de la red tal como se muestra en la figura. Considere que el tiempo de transferencia de un paquete entre un par de nodos es una unidad de tiempo.

SOLUCION:

El dimetro 0 est dado por ( = 2(k 1). La forma ms eficiente es usar un pipelining de ( etapas tal como se muestra en la figura siguiente:

Como hay que distribuir n mensajes, tmnimo = n 1 + 2(k 1).

Problema N1. Multiplicacin de matricesAlgunos algoritmos paralelos para el producto matriz-matriz se basan en particiones de las matrices A y B. As, si suponemos que las matrices A y B estn particionadas de la forma:

hay toda una variedad de algoritmos. Por ejemplo, si p=s*t, el nmero de bloques en C, entonces estos st bloques pueden ser calculados en paralelo teniendo en cuenta una buena asignacin de los bloques de A y B a los procesadores.

Casos especiales de ste son cuando s=1; es decir, cuando A est particionada en grupos de columnas y cuando t=1; es decir, cuando B est particionada en grupos de filas.

PROBLEMA 4.1

1. Particionar la matriz A en 6 bloques de tamao 3x3 y la matriz B en 4 bloques de orden 3x3. Simular un producto AB en paralelo sobre 6 procesadores tal y como se ha aplicado anteriormente, indicando el almacenamiento de cada matriz en cada uno de los procesadores y dnde queda almacenado el resultado.

2. (caso s=1) Particionar la matriz A en dos bloques de grupos de columnas de tamaos 9x3 y la matriz B igual que en el apartado anterior. Simular un producto AB en paralelo sobre 2 procesadores tal y como se ha explicado anteriormente, indicando el almacenamiento de cada matriz en cada uno de los procesadores y dnde queda almacenado el resultado.

3. (caso t=1) Particionar la matriz B en dos bloques de grupos de filas de tamaos 3x6 y la matriz A igual que en el apartado (i). Simular un producto AB en paralelo sobre 3 procesadores tal y como se ha explicado anteriormente, indicando el almacenamiento de cada matriz en cada uno de los procesadores y dnde queda almacenado el resultado.

Otro caso sera cuando r=1; es decir, cuando A est particionada en bloques formados por grupos de filas y B est particionada en t bloques formados por grupos de columnas.

Si usamos p=s*t procesadores con los bloques de A y B almacenados tal y como indica la propia estructura de los bloques de la matriz resultado C, tenemos que cada uno de estos bloques resultado pueden ser calculados en paralelo en un procesador.

RESPUESTA:

PROBLEMA 4.2

Considerar las matrices del ejercicio 5.1. Particionar la matriz en tres (3) bloques de orden 3x6 y la matriz B en dos (2) bloques de orden 6x3. Simular un producto A*B en paralelo sobre 6 procesadores tal y como se ha explicado anteriormente, indicando el almacenamiento de cada matriz en cada uno de los procesadores y dnde queda almacenado el resultado.

PROBLEMA 4.3

El producto C = A*B, donde A es de orden m*n y B es de orden n*q, puede ser descrito, entre otros, por los dos siguientes algoritmos:

Estudiar cul de ellos corresponde al algoritmo basado en combinaciones lineales y cul al algoritmo basado en productos internos. Incluir un ejemplo que muestre la conclusin a la que se llega.

Respuesta:

4.1

A continuacin hacemos el planteamiento matemtico del enunciado, donde podemos ver las matrices iniciales y como se agrupan. Cada SubMatriz Aij y Bij de dimensin de 3x3. Luego podemos ver como son los resultados que deben obtenerse. En cada Cij en la matriz C

Haciendo una simulacin, fijaremos algunos factores, con se requiere en el enunciado se utilizaran 6 procesadores, y separaremos el proceso en tres etapas, una primera etapa de distribucin, en la que se asignara la carga a cada procesador, el procesador uno ser el maestro en esta etapa, y asignara un proceso y los datos para el proceso a cada procesador.

Luego de la asignacin de carga, cada procesador realizar el clculo correspondiente, teniendo acceso a los datos necesarios.

Proc.Matrices Almacenadas

4.2

En primer lugar obtendremos de las matrices A y B las submatrices: A1, A2, B1, B2, B3 y B4 que poseen la siguiente estructura:

La multiplicacin de las matrices A y B, da como resultado una matriz C de dimensiones 6x6. Esta matriz resultado ser dividida de igual forma que la matriz B:

Por lo tanto, la distribucin de las matrices en los procesadores ser:

Proc.Matrices Almacenadas

C1 y C2

C3 y C4

La simulacin del clculo de la multiplicacin de las matrices A y B se explicar en el siguiente diagrama:

4.3

En primer lugar obtendremos de las matrices A y B las submatrices: A1, A2, A3, A4, A5, A6, B1 y B2 que poseen la siguiente estructura:

Problema N2. Mtricas HipercuboConsidere un hipercubo de 10 dimensiones (1.024 procesadores), Asuma que cada par vecino en el toro, hay una conexin de 120 Mb/s en cada direccin (los enlaces en el hipercubo son ms grandes, de modo que son normalmente menor su velocidad). Adems, asuma que cuando un mensaje es enviado a travs de la red, y si no hay congestin, el mensaje toma 7*10-8 segundos para ir a travs de cada switch.

a. Cul es ancho de biseccin de esta mquina?.

Dimensin K=10

Ancho de Biseccin = 2(k-1) = 2(10-1) = 29 = 512

b. Cul es el dimetro de la red (distancia mxima entre dos cualesquiera de los nodos)?.

Dimetro de la red = Dimensin = K = 10

c. Cul es la latencia mxima de la red en ciclos de reloj, asumiendo que no hay congestin?Tiempo de transferencia = latencia + tamao/tasa de transferenciaLatencia = Tiempo Transf. tamao/tasa de transferencia

Latencia =7*10 -8 - p/ 120d. Un profesor de Arquitectura Computacional Paralela debe decidir que red utilizar para su mquina de 1.024 procesadores, el toroide o hipercubo. Si el costo de la red es proporcional al nmero total de conexiones en la mquina (asuma que cada conexin en la red toroidal e hipercubo tienen costos similares), cul red sugerira usted?. Asuma que el profesor le interesa minimizar la relacin precio-desempeo.

Por supuesto, en la realidad la decisin es mucho ms compleja, pero esto les dar una idea de los tipos de decisiones que deben efectuarse cuando se disea una red para una mquina paralela.Problema N3. Programa paralelo y memoria distribuidaConsidere un programa paralelo para memoria distribuida cuyo modelo de rendimiento est expresado como

si se incrementa el nmero de procesadores, derive una expresin para determinar el mejor nmero de procesadores para resolver un problema de tamao n fijo.

,

El nmero de procesadores quedara expresado en funcin de n, y se tomara la raz positiva ya que es imposible un nmero negativo de procesadores:

Problema N1. Optimal cost

Para un problema dado, el tiempo de procesamiento serial (Ts) es n3tc. El tiempo de procesamiento paralelo (Tp) de un algoritmo paralelo para este problema es Tp=tcn3/p + ts log p+tw n1.5/p

(a) Computar las expresiones para el speedup, la eficacia y el coste (producto pTp) para el algoritmo A.

(b) Es ptimo el costo del algoritmo para p=n2

(c) Es ptimo el costo del algoritmo para p=n2.5

(d) Es ptimo el costo del algoritmo para p=n3

(e) Cul es el nmero mximo de los procesadores para los cuales el algoritmo sigue siendo de costo ptimo?

RESPUESTA: como , es el tiempo de procesamiento secuencial de un algoritmo A

A) , donde

P: numero de procesadores

Ts: tiempo de procesamiento secuencial

Luego

SpeeUP=

Eficiencia==

CostoP = .

B) Luego realizaremos el anlisis para

Si P= N2 tendremos que el costo:

..

Si P= N2.5 tendremos que el costo:

.

Si P= N3 tendremos que el costo:

.

.

Luego bastar con analizar cada uno de los denominadores para obtener algn resultado referente al costo optimo, el que posea mayor denominador, es el que presenta un menor costo

Luego como para P= N2 el costo es menor ya que el valor del denominador crece, ver grafico anexo

i. A problem comprises two components, A and B, A can be solved in 1000 seconds on computer C1 and in 5000 seconds on computer C2; B requires 4000 and 2000 seconds on C1 and C2 , respectively. The two computers are connected by a 1000-km optical fiber link that can transfer data at 100 MB/sec with a latency of 10 msec. The two components can execute concurrently but must transfer 10 MB of data 10,000 times during execution. Is it cheapest (in terms of computational resources consumed) to solve then problem on computer C1, on computer C2, or on both computers together?Respecto a la resolucin del problema, en dos procesadores distintos se muestra el siguiente cuadro resumen.

PROCESAMIENTO SEPARADO

Procesador

C1C2

algoritmo

A1.0005.000

B4.0002.000

Tiempo TOTAL5.0007.000

Donde se puede observar claramente que la ejecucin del programa en el procesador C1, presenta menores costos en trminos de consumos de recursos computacionales.

Adems como Tmsg= Ts+ TwL donde

L: tamao del dato

Ts: tiempo en iniciar comunicacin

Tw: tiempo en transferir palabras

En este caso hemos de considerar lo siguiente:

L: 10 MB datos

Ts: 10-3 segundos

Tw:

Luego si consideramos la resolucin de manera conjunta eligiendo los tiempos optimo de procesamiento entre los dos procesadores tendremos que:

PROCESAMIENTO CONJUNTO

A1.000

B2.000

tiempo TOTAL3.000

tiempo transmisin 1 MSG0,10100000seg

DATOS TRANSMISION

latencia 0,001000000seg

distancia1.000kms

tasa de transferencia100Mbit/seg

Tamao Dato10Mbit

N DATOS10.000datos

tiempo de transmisin 0,10seg

TIEMPO TOTAL DE TRANSMISION DE 10.000 DATOS1.010segundos

Finalmente el tiempo estimado en transmitir 10.000 veces este mensaje es de 1.010 segundos.

Por lo tanto la ejecucin del problema en ambos procesadores presenta un costo en recursos igual a 4010 segundos, lo cual es aun menor al costo en procesar solo en el procesador C1.

Por lo tanto nos inclinamos por aquella opcin que presenta menor costo en trminos de consumo de recursos, es decir por el procesamiento conjunto del problema.

PROBLEMA 1. (Algoritmos y computacin paralela, 20%)

Considere el problema de sumar n nmeros usando n elementos de procesamiento. Si n es potencia de dos, se puede realizar esta operacin en log n pasos propagando sumas parciales a lo largo de un rbol lgico de procesadores.

En la figura se muestran los pasos necesarios. ij denota la suma de los nmeros etiquetados desde i hasta j. Si una adicin toma un tiempo constante de tc y comunicar una palabra cuesta ts + tw, se tiene entonces que el tiempo paralelo

Se sabe que:

El tiempo secuencial es Ts = ( (n) y la aceleracin es S = ( ( n / log n)

El esquema operacional general puede representarse por las siguientes fases operacionales:

(a) Distribucin de datos iniciales y 1er. fase comunicacional. (b) 2 fase comunicacional.

(c) 3er. fase comunicacional.

(d) 4o. fase comunicacional.

(e) Acumulacin de la sumatoria en el el elemento de procesamiento 0 antes de la comunicacin final.

Considerando el esquema algortmico anterior

Dado lo anterior y la necesidad de implementar el algoritmo en una malla de N x N x Z, considerando que la malla se descompone en la dimensin horizontal como se muestra en la siguiente figura y en la que cada tarea trabaja sobre una submalla con N x N/P x Z puntos.

y, adems:

cada tarea lleva a cabo el mismo cmputo sobre cada punto asignado en cada paso de iteracin del algoritmo.

Se pide:

a) el tiempo de cmputo (Tcomp) para cada paso

b) el tiempo de comunicacin (Tcomm)

c) el tiempo total de la aplicacin paralela (Tp)

d) la aceleracin o Speedup

e) la eficiencia

SOLUCIN

a) el tiempo de cmputo (Tcomp) para cada paso

Sea tc es el tiempo medio de cmputo por punto, entonces:

b) el tiempo de comunicacin (Tcomm)

Cada tarea intercambia 2NZ puntos con dos vecinos, por lo tanto cada tarea enva dos mensajes con 2NZ puntos por mensaje. El tiempo de comunicacin puede expresarse como:

c) el tiempo total de la aplicacin paralela (Tp)

d) la aceleracin o Speedup

e) la eficiencia

PROBLEMA 1. (40 ptos.).

PROBLEMAS CORTOS

1. Cuntos cubos conectados con ciclos se pueden construir con 48 nodos?; cules son los tamaos de los ciclos?

2. Un grupo de alumnos de Computacin Paralela, desea construir un cluster, para solventar los gastos deciden formar una empresa dedicada a la mantencin de jardines en Macul. Ellos desean aplicar la llamada jardinera de alto desempeo trabajando en paralelo cuando sea posible.Las tareas que se deben realizar son: cortar el pasto, orillar el pasto, verificar que los rociadores funcionen y desmalezar las tazas de las plantas.

Qu tipo de paralelismo estn presente en estas tareas, si se asignan 4 alumnas a cortar el pasto, 2 a orillar, 3 a desmalezar y una a revisar los rociadores?3. La Figura siguiente, muestra dos redes de interconexin llamadas dinmicas por la capacidad de cambiar electrnicamente su configuracin. La figura a) corresponde a una topologa de bus, mientras que la b) a una topologa denominada crossbar.

Para ambas topologas, considerando n procesadores, determine, fundamentando su respuesta, los siguientes parmetros:

a. Dimetro

b. Ancho de biseccin

4. Escriba un algoritmo para obtener la matriz transpuesta de una matriz nxn en un multiprocesador UMA con p procesadores.

a. Especificar:

b. El cdigo,

c. la granularidad,

d. el costo, y

e. discuta el balance de carga.PROBLEMAS CORTOS

5. Cuntos cubos conectados con ciclos se pueden construir con 48 nodos?; cules son los tamaos de los ciclos?

RESPUESTA:

6. Un grupo de alumnos de Computacin Paralela, desea construir un cluster, para solventar los gastos deciden formar una empresa dedicada a la mantencin de jardines en Macul. Ellos desean aplicar la llamada jardinera de alto desempeo trabajando en paralelo cuando sea posible.Las tareas que se deben realizar son: cortar el pasto, orillar el pasto, verificar que los rociadores funcionen y desmalezar las tazas de las plantas.

Qu tipo de paralelismo estn presente en estas tareas, si se asignan 4 alumnas a cortar el pasto, 2 a orillar, 3 a desmalezar y una a revisar los rociadores.?RESPUESTA:

Desmalezar y cortar el pasto se pueden hacer simultneamente: Paralelismo de Control.

A su vez cada una de estas tareas son paralelizables: Paralelismo de Datos.

Tambin hay una relacin de precedencia: antes de revisar los rociadores, las dems tareas deben estar listas.7. La Figura siguiente, muestra dos redes de interconexin llamadas dinmicas por la capacidad de cambiar electrnicamente su configuracin. La figura a) corresponde a una topologa de bus, mientras que la b) a una topologa denominada crossbar.

Para ambas topologas, considerando n procesadores, determine, fundamentando su respuesta, los siguientes parmetros:

a. Dimetro

b. Ancho de biseccin

8. Escriba un algoritmo para obtener la matriz transpuesta de una matriz nxn en un multiprocesador UMA con p procesadores.

Especificar:

a. El cdigo,

b. la granularidad,

c. el costo, y

d. discuta el balance de carga.

Un mtodo para aproximar Pi es lanzar dardos sobre un tablero cuadrado con un cuarto de circunferencia inscrita de radio 1 (ver figura). Para estimar consideramos la siguiente frmula:

= 4 * Numero de dardos dentro del circulo Numero de dardos dentro del cuadrado

La idea es lanzar los dardos al tablero en forma aleatoria (x,y) y contar los que caen dentro del circulo con respecto al total. A mayor nmero de lanzamientos tenemos una mejor aproximacin.

Escriba un algoritmo paralelo (utilizando las primitivas de la plataforma que utiliz en el laboratorio) para m procesadores, donde cada proceso se encargara de generar n lanzamientos y contar la cantidad de aciertos km dentro del cuarto de circunferencia. El programa principal se encargar de lanzar los m procesos para posterior recibir el resultado de los km de cada proceso paralelo y calcular la aproximacin de Pi mediante la frmula:

Pi = 4 * ( Suma de los km) / (m * n)

Donde:

m: Nmero de procesadores.

n: Nmero de lanzamientos (Para todos los procesos es el mismo)

km: Total de aciertos del proceso m.

(0,1)

(0,0) (1,0)

_1214857993.unknown

_1214904539.unknown

_1214915566.vsdP3

_1214915671.vsdP6

_1214921544.unknown

_1214924612.unknown

_1214930090.vsdA1

A2

B1

B2

C3

C4

C1

C2

P1

C5

P3

P2

A3

A4

A5

A6

C6

_1214925007.unknown

_1214924426.vsdA1

A2

B1

B2

B3

B4

C1

C2

C3

C4

P1

P2

_1214920951.unknown

_1214920973.unknown

_1214916579.vsdP2

P4

P3

P5

P6

P1

_1214915639.vsdP1

P2

P4

P3

P5

P6

P1

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_1214915579.vsdP4

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_1214915540.vsdP2

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