la_integral definida (2)
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La integral
Determinar la antiderivada más general.Interpretar la integral y su relación con la
derivada.Definir la integral definida.Calcular áreas de regiones limitadas en el
plano.
Objetivos
2
Definición: Una función F se llama antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I.
Antiderivadas
Observación:
De la definición se ve que F no es única.
Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.
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Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+c, donde c es una constante arbitraria.
Teorema:
Si dos funciones P y Q son antiderivadas de una función f en un intervalo I , entonces P(x) = Q(x) + C, ( C constante) para todo x en I.
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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INTERPRETACION GEOMETRICA
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Ejemplo 1
Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.
n
x
xxfc
b
exfa
)( )
x1
f(x) )
)( )
9
A2
A4
A3
A1
¿Área?
La integral definida y calculo de areas
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1e)x(f x
Definición : El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la funcióncontinua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación:
xxfxxfxxfAA nn
n
ii
n
**2
*1
1
...limlim
x
11
n
1iii
*
n
b
a
x)x(flimdx)x(f
b
a
dx)x(f
Integrando
Limite
superior
No tiene significado, indica respecto a que variable se integra.
El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.
Limite Inferior
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2° Teorema Fundamental del Cálculo
Si f es una función continua en [a, b]y F una antiderivada de f en [a, b], entonces:
Esta regla convierte al cálculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de antiderivadas y evaluación.
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
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PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDAPROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
1. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en [a, b] y y son constantes, se tiene:
b
a
b
a
b
adx)x(gdx)x(fdx))x(g)x(f(
Propiedad de linealidad
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2. Si existen las integrales de la izquierda, también existe la integral de la derecha:
c
a
b
a
b
cdx)x(fdx)x(fdx)x(f
Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración
bac ,
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La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua.
31 1 -
10 x )(
2
xx
xxf
3
0
1
0
3
1
2 dx)1x(dxxdx)x(f
3
0
dxxf
Ejemplo:Si
y se quiere hallar:
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)( abhdxhb
a
Y representa el área de un rectángulo de alturah y longitud de base (b – a).
3.
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DEFINICIONES:Sea f una función integrable en[a, b], entonces:
a
a0dx)x(f.1
b
a
a
bdx)x(fdx)x(f.2
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Definición:Sea f una función contínua tal que:• f(x) 0 en [a, b] y• S={(x, y)/ axb, 0yf(x)}
Se denota por A(S) y se llama área de la región definida por S al número dado por:
ò=b
adx)x(f)S(A
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y = f(x)
dx
dA = f(x)dx
b
a
f(x)dxA
f(x)
dx
y
x0 a bx
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Ejemplo 1:Calcular el área de la región:S={(x, y)/ 0 x 2, 0 y x2 + 1}
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dx
y
x0 dx
y = f(x)
y = g(x)
f(x)
- g(x)
b
a
dxg(x)-f(x)A
dA =[f(x) - g(x)]dxba
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3. Encontrar el área entre las curvas y = x - x3 ;
2x1xy
-1 1
-1
1
x
y
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4. Encontrar el área entre las curvas y - x = 3;
x1y2
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Bibliografia
• Biblioteca virtual de la Universidad Peruana de ciencias aplicadas UPC
• El calculo de Stewart
Propiedades de las diferenciales
.3
1 .4
,2
1 .3
),(1
.2
)(1
.1
32
2
dxdxx
dxxdx
baxda
dx
axda
dx
EjemploCalcular xdx5cos .
Solucion. En la tabla de integrales tenemos:
Cxxdx sincos .
Transformamos la integral para obtener una integral de tabla. Sabemos que: adxaxd .
Entonces:
xdx5cos
5
55cos
xdx = xxd 55cos
5
1=
= Cx 5sin5
1.