la integral definida y la primitiva de una función · el límite común de sn cuando n , si este...

La Integral Definida y la Primitiva de una Función

Bloque de Contenidos N° 3

Realizado por:Ing. Mixaida Peña Zerpa

In. Mixzaida Peña 1

El límite común de Sn cuando n, si este existe, se llama Integral Definida


Integral Definida/ Integral de Reimman

XX

y y

X

yf(x)=2x f(x)=2xf(x)=2x

1/4 2/4 3/4 4/41/4 2/4 3/4 4/4

3/4= S4 A S4 =5/4

limn Sn =limn f(xi) x =Area

DefiniciónSi f es no negativa y continua en [a,b], entonces la integral definida proporciona el área debajo de la gráfica de f en [a,b]



lim f x x f x dxn ii

i n

a

b

( ) ( )1

b

R

a

Los límites de Integración

lim f x fxdxii

in

ia

b

01

() ()

Integrando Variable de IntegraciónLos límites

de Integración

Teoremas Si f es continua en [a,b], entonces f es integrable en [a,b]; es decir

existe la integral definida

Sea f y g funciones continuas tales que f(x)g(x) en [a,b], entonces el área está dada por:



A f x g x dxa

b

[ ( ) ( )]

x

y

a b

f x dxa

b

( )

Linealidad de la Integral Definida:Suponga que f y g son integrables en [a,b] y que k es una constante. entonces kf y f+ g son integrales y:

Derivación de la integral Definida


Teoremas

i kf x dx k f x dx

ii f x g x dx f x dx g x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

) ( ) ( )

) [ ( ) ( )] ( ) ( )

) [ ( ) ( )] ( ) ( )


Teoremas

• Propiedad de Comparación:Si f y g son integrables en [a,b] y si f(x)

g(x) para toda x en [a,b], entonces:

• Propiedad de Acotamiento:Si f es integrable en [a,b] y m f(x) M

para toda x en [a,b], entonces:

f x dx g x dxa

b

a

b

( ) ( )

m b a f x dx M b aa

b

( ) ( ) ( )

InterpretaciónSi la función y=f(x) es continua en el intervalo [a,b], entonces existe un valor tal que:

Problema:La utilidad P (en dólares) de un negocio está dado por:

P=)(x)=396x -2,1x2 -400donde x es el número de unidades del producto vendido . Encuentre la utilidad promedio sobre el intervalo de x=0 a x=100. (Richard y Ernest, 1997)


Valor Medio (Promedio)

f b a f x dxa

b

( )( ) ( )

f ( )

x

y

a b

y f ( )


Lista básica de Integrales Indefinidas

1

21

1

3

4

5

6

71

0

1

. ;

. ;

.

. ( ) ( ) ;

. [ ( ) ( )] ( ) ( )

. ln

.ln

;

kdx kx C k constante

x dxx

nC n

n n racional

e dx e C

kf x k f x dx K constante

f x g x f x dx g x dx

dx

xx C

a dxaa C a

nn

x x

x x

8

9

10

11

12

13

141

151

161

171

181

2

2

2

1

2

1

21

21

2

1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Cosxdx Senx C

Senxdx Cosx C

Sec xdx Tgx C

Csc xdx Cotx C

SecxTgxdx Secx C

CscxCotxdx Cscx C

dx

xSen x C

dx

xCos x C

dx

xTg x C

dx

xCot x C

dx

x xSec x C


Lista básica de Integrales Indefinidas

19

20

21

22

. tg ln

. ln

. ln

. sec ln sec

xdx Secx C

Cotxdx Senx C

Secxdx Secx Tgx C

Co xdx Co x Cotx C

DefiniciónUna antiderivada de una función f en un intervalo I es una función F tal que F’(x)= f(x).

El proceso de determinar todas las antiderivadas o de una función se denomina antiderivación o integración indefinida

En forma general, la Integral Indefinida de cualquier función f con respecto a x se escribe y denota la antiderivada más general de f. Como todas las antiderivadas de f difieren sólo en una constante, entonces:

si y solo si F’(x)=f(x)


La integral Indefinida

f x dx( )

f x dx F x C

C constante

( ) ( )


La integral Indefinida

f x dx F x C( ) ( ) Signo de IntegralProceso de antiderivación

Integrando

Constante de Integración

Variable de Integración=x

Interpretación:

Las antiderivadas F(x) +C son un conjunto de funciones dependientes de una constante

arbitraria que representan a una familia curvas y cuyas derivadas son f(x).

Si f y g son dos funciones tales que f ’(x)=g’(x) para todos los valores de x en el intervalo I, entonces existe una constante k tal que f(x)=g(x)+k


La integral IndefinidaTeoremas

Definición:


La integral DefinidaFunción Logaritmo Natural

ln ;

ln ;

ln

xtdt x

Dtdt D x

xx

D uuD u

x

x

x

x

x x

10

1 10

1

1

1 t

y

1 x

y=1/t

Fórmula de Integración por Partes.

Integración de Fracciones ParcialesPrimer Paso: El polinomio del denominador debe ser de menor grado que el numerador


Métodos

y uv

u f x

v g x

( )

( )

N x

D xP x

R x

D x

( )

( )( )

( )

( )

Segundo Paso: Factorizar el

denominador en factores lineales

y cuadráticas irreducibles.

Tercer Paso:

Si el denominador contiene

factores lineales distintos y no

repetidos, entonces a cada factor

le corresponde una fracción

parcial A/(x-a), tal que el

integrando sea la suma de las

fracciones parcial.

udv uv vdu

Si hay factores lineales repetidos, entonces a cada factor (x-a)k, le corresponderá la suma de k fracciones parciales:A/ (x-a) + B/ (x-a)2+...+ K/ (x-a)k

Si el denominador contiene factores cuadráticos irreducibles distinto y no repetido, entonces a cada factor le corresponde una fracción parcial de la forma (Ax+B)/(x2 + bx +c)


MétodosSi el denominador contiene factores

(x2 + bx +c)k, entonces a cada uno de

tales factores le corresponde una

suma de k fracciones parciales de la

forma:

(A+Bx)/ (x2 + bx +c)+ (C+Dx)/ (x2 +

bx +c)2 +... (M+Nx)/ (x2 + bx +c)k

Cuarto Paso:

Se determinan los valores de las

constantes

Quinto Paso:

Se resuelven las integrales por los

métodos ya conocidos.


Métodos de Cambio de Variable o Integración por Sustitución

F g x g x dx F g x C

f g x g x dx F g x C

' ( ( )) ' ( ) ( ( ))

( ( )) ' ( ) ( ( ))

Paso #1 Sea u=g(x), donde g(x) es parte del integrando, que

por lo general es la función interior de f(g(x))

Paso # 2 Se calcula d u=g’(x) d x

Paso # 3Se usa la sustitución u=g(x) y d u=g’(x) para

convertir toda la integral en una que solo utilice u

Paso # 4 Se evalúa la integral resultante

Paso # 5 Se reemplaza u con g(x)

(Tan, 1998, p.678)

Problemas:1. Si la función de Ingreso Marginal para el Producto de un fabricante es:

dI/dx=2000-20x-3x2 . Encontrar la función demanda.

2. En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de $4000. Los costos fijos son costos como la renta y el seguro, que permanecen constante durante todos los niveles de producción en un periodo dado. Si la función de costo marginal dC/dx es 0.000001(0,002x2

-25x)+0,2. Donde c es el costo total ($)de producir x libras de producto por semana encontrar el costo de producir 10000 libras en una semana.

3. Un cierto fabricante determinó que si x unidades de un cierto artículo de mercancía se produce por día , el costo marginal es C’(x)=0.3x - 11. Si el precio de venta del artículo es de $19 por unidad y el costo general es de 100 dólares por día. Calcular la máxima utilidad total diaria.


Aplicaciones

(Richard y Ernest, 1997)

(Leithold, 1987, p.515)

Definición: si f es continua en el intervalo [a,b] y F es cualquier antiderivada de f en el intervalo, entonces:


Segundo Teorema Fundamental del Cálculo

f x dx F x F b F aa

b

a

b

( ) ( ) ( ) ( )

A a

A b f x dx

A x h A x hy

y

lim f x

A x f x

A x F x C

F a C

C F a

A x F x F a

x b

A b F b F a

f x dx F b F a

a

b

A x h A xh

hA x h A x

h

a

b

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

' ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0

0

0

x

y

a b

f(x)

x x+ h

_y

Si f es continua en [a,b], entonces

es diferenciable en cada punto x de [a,b], y

Corolario: Si y=f(x) es continua en [a,b], entonces existe una función F(x) cuya derivada en [a,b] es f


Primer Teorema Fundamental del Cálculo

F x f t dta

x

( ) ( )

dF

dx

d

dxf t dt f x

a

x

( ) ( )


Propiedades de la Integral DefinidaTeoremasSia b entonces

f x dx f x dx

f x dx

f x dx

kf x dx k f x dx k constante

b

a

a

b

a

a

a

b

a

b

a

b

, :

. ( ) ( )

. ( )

. ( )

. ( ) ( ) ;

1

2 0

3

4

f es continua y f(x) 0 en [a,b]

5

6

7

8 0

0

9

. [ ( ) ( )] ( ) ( )

. ( ) ( )

. ( ) ( ) ( )

. ( ) ;

( ) [ , ]

. ( ) ( ) ;

( ) ( ) [ , ]

f x g x dx f x dx g x dx

f x dx f t dt

f x dx f x dx f x dx

a b c

f x si

f x a b

f x dx g x dx si

f x g x a b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

c

a

b

b

c

a

b

en

a

b

a

b

en

x

y

a

f(x)

Determinación del Excedente del productor:

Determinación del Excedente del productor:


Aplicaciones

x

p

x o

po

Excedente

Escasez

Punto de equilibrio

CS=Excedente de consumidores

PS=Excedente de consumidores

CS f x p dxx

[ ( ) ]00

0

PS p g x dxx

[ ( )]00

0Problema: La función de demanda para un producto es p=100 -0,05xLa función de oferta es p= 10 + 0,1 xDeterminar los excedentes de consumidores y productores bajo equilibrio de mercado. (Richard y Ernest,1997)

Regla del Trapecio: f es continua y f(x) 0 sobre [a,b]


Métodos de Integración Aproximada

I f x dxb a

f a f b E

I f x dxh

f a f a h f a n h f b E

hb a

n

E f x dxb a

f a f b

E b a h f x h f

E b a h M

M

a

b

a

b

a

b

( ) [ ( ) ( )]

( ) { ( ) ( ) .... [ ( ) ] ( )}

( ) [ ( ) ( )]

( ) ' ' ( ) ' ' ( )

( )

2

22 2 1

2

1

12

1

121

12

2 3

2

Cota paraerior max f xsup ''( )

x0=a xn =b

y

x

x1=a+h

a b

y=f(x)

Ventajas: sencillez y óptima para integrales impropias Desventajas: necesita un gran número de subinetrvalos para una

buena precisión.

Problema:

1.Usar la regla del trapecio con n=4, para estimar , y comparar esta aproximación con el valor exacto de la integral. (Thomas, 1987, p. 311).2.Ajústese por la regla del trapecio y la regla de Simpson con n=2


Métodos de Integración Aproximada

x dx2

1

2

4 3

0

1

x dx

I f x dxh

f a f x f b Eh

f a f a h f b E

hb a

xa b

I f x dxh

f a f a h f a h f a n h f b E

hb a

nn N par

E b ah

max f x

a

b

a

b

iv

( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]

( )

( ) { ( ) ( ) ( ) ... [ ( ) ] ( )

( ) (

34

34

2

2

34 2 2 4 1

180

4

) ( )

( ) [ , ]

( )

( )sup

1

90

180

5 4

4

h f

max f x en a b

E b ah

M

M Cota max f x

iv

tomados

erioriv


Regla de Simpson

x0=a x2 =b

y

x

x1=a+h

y=f(x)

la integral definida y la primitiva de una función · el límite común de sn cuando n , si este...

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