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Curso de análise, de Elon Lages Lima, es un libro lleno de atractivos. Vale la pena leerlo. Acá damos una pequeña muestra.
Más matrices de Toeplitz
Problema 1. Sea T un arreglo de números no negativos
11
21 22
31 32 33
1 2 3
.............................
............................n n n n
tt tt t t
t t t t m
) a
n
2
Haga dos hipótesis sobre el arreglo T. Primera: cada línea tiene suma igual a 1. Segunda: cada columna tiene límite cero: para todo lim 0nin
t→∞
= i N∈
Dada una sucesión convergente , con li , usar el arreglo T para transformarla en una sucesión , con
( nx( )ny
m nx =
1 1 2 2 ...n n n nny t x t x t x= + + + . Probar que . lim ny a=Sugerencia: Considere inicialmente el caso . Dado ε > , existe tal que
. Existe también tal que | | para todo n. A
continuación, obtenga tal que donde
0a =0
1| t> ⇒
0x A<
...,| |t
p N∈| | /nn p x ε> ⇒ < A >
n q
n
,n <q N∈ | npδ δ<2 pAε
δ = .
Tome . Observe que , donde la suma de los p primeros
sumandos no excede ε , y la suma de los restantes sumandos no supera
{0 max ,n =
0 1| | |n nn n y t> ⇒ <
( )
}p q
1 | ...x +/ 2
|npt x+ | |nx...p + |nnt+n − p
, 1 ...2n p nnt t ε
+ + + . Luego, | | . El caso general se reduce inmediatamente a este. ny ε<
Los siguientes problemas, salvo numeración, son tomados tal cual se encuentran en el libro mencionado al final.
Problema 2. Si li poniendo m ,nx a= 1 ... nn
x xyn
+ += , se tiene li m ny a=
[Sugerencia: use el problema 1.]
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Problema 3. Si li y los son todos positivos, entonces m ,nx a= nx 1 2im . ....n
nx x x a=l [Sugerencia: tome logaritmos y aplique el problema anterior.]
Concluya que si y 0na > 1lim n
n
a aa+ = , entonces lim n
na a= .
Problema 4. Sea para todo , con . Si 0ny > n N∈ ny = +∞∑ lim n
n
x ay
= , entonces
1 2
1 2
x xy y+ ++ +
...m
...n
n
xy
++
li . a=
Problema 5. Si ( es creciente y , entonces )ny lim ny = +∞
1
1
lim n n n
n n n
x x xa ay y y
+
+
−=
−= ⇒ .
[Sugerencia: use el problema anterior.]
Problema 6. 1
1 2 ... 1m1
p p p
pn
n p+
+ + +=
+li [Sugerencia: use el problema anterior.]
Problema 7. 1 4im ( 1)( 2)....(2 )n n n nn e
+ + =l [Sugerencia: use el final del problema
3.]
Elon Lages Lima, Curso de análise. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada. 1976
Preparado por Mario Augusto Bunge, para http://www.rinconmatematico.com Por cualquier inquietud te invitamos a los foros en http://www.rinconmatematico.com/foros