laboratorio y material de apoyo

7/15/2019 Laboratorio y Material de Apoyo

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ResumenLa medicin tcntcaes esencial para el campo de aplicacionesde la fsica. Hemos aprendido que hay siete unidades funda-mentales y que cada una de ellas tiene'una sola unidad aprobadaen el SI. En mecnica, las tres cantidades fundamentales parala mayor parte de las aplicaciones son la longitud, la masa y eltiempo. Algunas de las aplicaciones incluyen vectores y otrass6lo escalares. Debido a que las cantidades vectoriales tienendireccin, se deben sumaf o restar mediante mtodos especia-les- Los siguientes puntos resumen esta unidad de estudio; Flgura. Los prefijos del Sl utilizados para expesff mltiplos ysubmltiplos de las unidades hrsicas se indican a conti-

3.26

nuaclon:, giga (G) = 10emega (M) : 10okilo (k) : 10: Icenti (c) : 10-2

mili (m) - l[::micro (r) : 10-6nano (n) : 10-ePico (P) : 10 12Para convertir una unidad en otra:a. Escriba la cantidad que se desea convertir (nmero yunidad).b. Recuerde las definiciones necesarias.c. Forme dos factores de conversin para cada definicin'd. Multiplique la cantidad que se va a convertir por aque-ilos fctores de conversin que cancelen todas las uni-dades. menos las deseadas.

Mtodo ctet poLigono para sumar veclores:Elvector resul'tanfe se obtiene dibuiando cada vector a escala, colocandoel origen de un vector en la punta de la flecha dsl otrohasta que todos los vectores queden representados' La re-sultante es la lnea recta que se dibuja a partir del origendel primer vector hasta la punta del ltimo (figura 3.26).Mtotlo del paralelogramo para sumar vecfores: La resul-tante de sumar dos vectores es la diagonal de unparalelo-gfamo que se forma tomando los dos vectores como ladosadyacentes. La direccin se indica en el punto ms lejanodel grigen comn de los dos vectores (figura 3'27).

. Las componentes x y y de un vector (R.0):R.:ftcos0 R"-Rsen0. La resultante de dos vectores perpendiculares (R", R,tp I-'-

L\' lR:VR?+Ri run:l*l' I ^r I. El mtodo de Las componentes para sumar vectores:R":Ar+8,+Cr*"'Rr:Au+By+Cr+"'R: VR + RIR. Itan : ljl' lR,l

Conceptos clavecantidad escalar 45cantidad vectorial 45componentes 50desplazamienlo del Pistn 35dimensiones 44factor de conversin 43ferza dinmica 50fuerza esttica 5062

fuerza resultanle 5 Ifuerzas concuffentes 51magnitud 35mtodo de las componentes 62mtodo del paralelogramo 41mtodo del polgono 41meffo 38patron Jf

peso 49rapidez 43segundo 38sistema internacional de unidades(unidades del SI) 36vector unitario 59


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Preguntas de repaso3.1. Exprese las siguientes mediciones en la lorma del Slapropiada. empleando los prefijos adecuados. El sm_bolo de la unidad bsica se presenta entre parntesis:a. 298 000 merros (m)b. 7 600 volts r V.)c. 0.000067 amperes (A)d. 0.0645 newtons (Ir{)e. 43 000 000 gramos (g)l. 0.00000065 farads I F)3.2. Cules son las tres cantidades fundamentales que apa-recen en la definicin de la mayor parte de las leyes dela mecnica? Mencione las tres unidades fundamenta_les que estn asociadas a cada una de las cantidades enlos sistemas de unidades del SI v del SLIEU.3.3. Una unidad de calor especfico es cal/ g . oC. Cun-tas definiciones se necesitan para convlrtir ess uni-dades en sus unidades correspondientes en e1 SUEU,sistema en el cual las unidades son Btu/lb . oF?Muestre por medio de una serie de productos de qumanera llevara usted a cabo esta conversin.3.4. En virtud de,que las unidades para s, v,4 y t son, res_pectivamente metros (m), metros por segundo (m/s),metros por segundo cuadrado (:m/sr) y segundos (s),

cules son las dimensiones de cada cantidad? Acete o rechace las siguientes ecuaciones despus de hber realizado un anlisis dimensional:a. s: vt + |afb.2as: * r3 c. vf : vg -l afd. s: vt * 4af3.5. Seale la diferencia entre cantidades vectorialesescalares, y cite ejemplos de cada una. Expliquediferencia entre sumar vectores y sumar escalareEs posible que la suma de dos u..,or., ngu umagnitud menor que cualquiera de los vectores oginales?3.. Cules son las resultantes mnima y mximados fuerzas de 10 N y 7 N si ambas actan sobremismo objero?3.7. Busque la seccin dedicada a las coordenadas rectagulares y polarcs en un libro de matemticas. eu srnejanzas observa entre las componentes de un vectorlas coordenadas rectangulares y polares de un punto?3.8. Si un vector tiene una direccin de 230. a partir del ex positivo, qu signos tendrin sus componentes.y? Si la razn R"/R es negativa, cules son los inglos posibles de R, medidos a partir del eje x positivoProblemasNota: En ste y otros captulos se supone que todos los n_meros son precisos hasta tres cifras significativas, a menosque se indique otra cosa. Se proporcionan las respuestas a losproblemas con nmeros impares y a algunas de las preguntaspara la refl exin crtica.Seccin 3. Conversiones de unidades

3.1. Cul es la altura en centmetros de una mujer quemide5piesy6pulgadas? Resp. 1B cm

3.7. Un cubo mide 5 in por lado. Cul es e1 volumen dcubo en unirlades del Si y en unidades del SUEU?Resp. 0.00205 m3,0,0723 f3.8. En una caffetera interestatal se ha impuesto un lmiterapidez de 75 mt/h. (a) A curnto equivale estarapideen kilmetros por hora? (b) y en ii"r po, segundo3.9. Un motor Nissan tiene 1600 cmr de cilindrada (volumen) y un dimetro interior de 84 mm. Expresestas medidas en pulgadas cbicas y en pulgadas.

3.10. un elecrricisra uu u in,,urlllf JJiS ,11,3.'*"desde la carrelera hasta una vivienda que se localiza una distancia de 1.20 rni en el bosque. Cuntopies de cab\e la a necesitar?3.11. Un galn estadounidense tiene un volumen equivlente a 231 in3. Cuintos galones se necesitan parellenar un depsito que mide 18 in de largo, 16de ancho y 12 in de alto? Resp. i5.0 g3.12. La densidad del bronce es de 8.89 e/c. ,Culsu densidad en kilogramos por metro cbico?

Seccin 3.8 Suma de vectores por mtodos grfico3.13. Una mujer camina 4 km hacia el Este y despus cmina 8 km hacia el Noe. (a) Aplique el mtodo d

3.2. Una sola loseta de piso mide 8 in de cada lado. Silas losetas se ponen lado a lado, qu distancia enmetros puede cubrir una fila de 20 losetas?3.3. Un campo de tutbol soccer mide \00 rn de largo y60 m de ancho. Cules son la longitud y el anchdel campo en pies? Resp. 328 ft, 197 ft.3.4. El mango de una llave inglesa mide 8 in. ,Cul es lalongitud de dicho mango en centmetros?3.5. Un monitor de computadora de 19 in tiene una sec,cin efectiva de imagen que mide 18 in en diagonal,Exprese esta distancia en metros. Resp. 0.4i7 m3.. La longitud de una librefaes234.5 -m v su anchuraes 158.4 mm. Exprese al rea superficial Oe la libre-ta en metros cuadrados.

Captulo 3 Resumen y repaso


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polgono para hallar su desplazamiento resultante.(b) Compruebe el resultado con el mtodo del para-lelogramo. Resp. B'94 km, 3.4n N del E3.14. En la supercie de Marte, un vehrculo se desplaza unadistancia de 38 m a un ngulo de 18ff. Despus vira) recore una distancia de 66 m a un ngu1o de 2'7lf'Cul fue su desplazamiento desde el punto de partida?3.15. Un topgrafo inicia su tarea en ia esquina sudeste deuna parcela y registra los siguientes desplazamien-tos: A : 600 m, N;A : 400 m, O; C : 200 m, S,y D : 100 m, E. Cul es el desplazgienJo^1ej9desde el punto de partida? Resp. 500 m, 126'9"3.1. Una fuerza descendente de ZO_O lV icfi :1 f:.Tusimultnea con una fuerza de 500 N dirigida haciala izquierda. Aplique el mtodo dei polgono paraencontrar la fuerza resultante.3.17. Las tres fuerzas siguientes actan simultneamentesobre el mismo objeto: A : 300 N, 30" N del E;B : 600 N, 27ff; y C - 100 N hacia el Este. Halle 1afuerza resultante mediante el mtodo del polgono.Resp. 57 N, 51.4" S del E3.18. Llna embarcacin navega una distancia de 200 mhacia ei Oeste, despus avanza hacia el Norte 400 my frnalmente 100 m a 30" S del E. Cul es su des-plazarniento neto?

3.1 9. Dos cuerdas A y B estn atadas a un gancho de ama-rre, de manera que se ha formado un ngulo de 60'entre las dos cuerdas. La tensin sobre la cuerda Aes de 80 N y la tensin sobre la cuerda B es de 120N. Utilice el mtodo del paralelogramo para hallarlafterzaresultante sobre el gancho. Resp. 1 74 N3.20. Dos fuerzas Ay B acfat sobre el mismo objeto yproducen una fuerza resultante de 50 N a 36.9" Ndel O. La tuerza A : 40 N se dirige hacia el Oeste.Hal1e ia ma-enitud y la direccin de la fuerza B.Seccin 3.11 Trigonometra y vectores

3.21. Halle las componente\,r y l de (a) un desplazamien-to de 200 km a 34'. (b) una velocidad de 40 km/h aI 20" y (c) una fuerza de 50 N a 330".Resp. 1 km, 112km; -20kmlh,34. km/h; 43.3 N, -25 N3.22. rJntrineo es arrastrado con una t'uerza de 540 N y sudireccin forma un ngulo de -l0o con respecto a lahorizontal. ,Cules son las componentes horizontaly vertical de la fuerza descrita?3.23. El martillo


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3.27. Se necesita un empuje vedical de 80 N para levantarla parte mvil de una ventana. Se usa un mstil lar,go para rcalt.zar dicha operacin. ,eu fuerza sernecesaria ejercer a lo largo del mstil si ste formaun ngulo de 34o con la pared? Resp. 9.5 N3.28. La resultante de dos fuerzas A y B es de 40 N a210'. Si la fuerza A es de 200 N a 270", ,cules sonla magnitud y la direccin de la fuerza B?

Seccin 3.12 Elmtodo de las componentespara la suma, de vectores3.29. Halle la resultante de las siguienles luerzas perpen-diculares: (a) a00 N, 0o, (b) 820 N, 270, y (c) 500 N,90". Resp.512 N,321,3"3.30. Cuatro cuerdas, las cuales forman ngulos rectosentre s, tiran de una argolla. Las fuerzas son de 40N, E; 80 N, N; 70 N, O, y 20 N, S. Encuentre lamagnitud y la direccin de 1a fuerza resultante quese ejerce sobre la argolla.3.31 . Dos fuerzas actan sobre el automvil ilustrado enla figura 3.30. La fuerza A es igual a 120 N, hacia elOeste, y la fuerza B es igual a 200 N a 60. N del O.Curiles son la magnitud y la direccin de la fuerzaresultante sobre el automvil?Resp, 280 N, 38,2o N delO

Figura 3.303.32. Suponga que la direccin de la fuerza B del proble-ma 3.31 se invirtiera (+180") y que los dems pa-rmetros permanecieran sin cambio alguno. Culsera la nueva resultante? (Este resultado es la estavectorial A - B.)i.,: j; Calcule la fuerza resultante que acta sobre el pernodelafigura3.3l Resp. 91. N, 154.1"3.34. Calcule la resultante de las siguientes fuerzas apli-cando el mtodo de las componentes para efectuarla suma de vectores: 4 : (200 N, 30"), B : (300 N,330')yg:(400N,250).

3.3s. Tres embarcaciones ejercen fuerzas sobre uncho de amarre como muestra la figura 3.32. Halresultante de esas tres fuerzas.Resp.853 N, 10

Figura 3.32Seccin 3.14 Resta o sustraccin de vectores

3.3. Dos desplazamientos sonA : 9 m, NyB : 12S. Encuentre la magnitud y la direccin de (A +v(A-B).3.37. Dados A : 24 m, E, y B : 50 m, S, halle la matud y la direccin de (a) A + B y (b) B - A.Resp. (a) 55.5 m, 64.4o S de(b) 55.5 m,64.4" S deCaptulo 3 Resumeny repaso


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3.38. La velocidad tiene una magnitud y una direccinque pueden representarse por medio de un vector'oniid"t" una embarcacin que se mueve inicial-mente con una velocidad de 30 m/s directamentehacia el Oeste' En algrn momento ms tarde, 1a em-barcacin alcanzauna velocidad de 72 m/s a 30" Sdel O. Cul es e1 cambio en Ia velocidad?

3.39. Considere cuatro vectores: A : 450 N, O; B : 1N. 44" N del O; C : 800 N, E, Y D : 100 m, 34"t g. n"t"r-ine la magnitud y la direccin de AB + C - D. Dibuie e1 polgono de vectores'" netP' 417 N, 23'" S de

Problemas adicionales3.40. Calcule las componentes horizontal y vertical de Iossiguientes vectores: A : (400 N, 37)' g : (90 m':io1y g : (70 kmlh, 150").3.41 . Un catle est unido al extremo de una viga' Qutirn se requiere, a un ngulo de 40'con respectoa1 horizontal, para producir una fuerza horizontalefectiva de 200 N? ResP' 21 N3.42. Un muelle para pescadores se extiende hacia el Nor-te y el Sur. Cul deber ser la rapidez de una em-baicacin que avanza a un ngulo de 40'.E del,Npara que su componente cle velocidad a lo largo delmuelle sea de 30 km/h?3.43. Haile la resultante R : A * B para los siguientespares de vectores: (a) A : 520 N, Sur, B : 269 N,beste, (b) A : 18 -7t, Xott"' B : 15 m/s, O,este'ResP' 585 N, 242'6"; 23'4 m/s, 129'9"3.44. Efecte la resta vectorial (A - B) para los pares defuerzas del Problema 3.43.

3.45. Un semforo est colgado a la mitad de una cuerde manera que cada segmento forma un nguloi0" con la orizontal. La tensin sobre cada smento de cuerda es de 200 N. Si 1a fuerza resulta"n "l punto medio es cero, cul es el peso rlel semi;;;"- ilesp, e.5Calcule la resultante de las fuerzas ilustradas efigura 3.33.Calcule la fuerza resultante que acta sobry la ggde la figura 3.34. Resp. 31 1 .5", 25''NUn blo"que de 200 N descansa sobre un plano innado a 30'. Si.l p"to del bloque acta verticalmehacia abajo, cules son las componentes del phacia abajo del plano y en direccin perpendical plano?g.4S. Halle la resultante de los tres desplazamiensiguientes: A : 22A m, 60"; B : I25 m' 210C: nSm,340'. Resp. 190 m, 22

3.46.t:3;:47.3.48.

66 Captulo 3 Resumen y rePasoFigura 3.34


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Preguntas para la reflexin crtica*3.50. Considere estos tres vectores: A : 100 m, 0o: B :400 m, 274', y C : 200 m, 30'. Elija una escalaapropiada y muestre grficamente que el resultadoes el mismo, sin imporlar en qu orden sean suma-dos estos vectorest es decir. A + B + C : C + B* A. La afirmacin anterior tambin es vlida parala resta de vectores? Demuestre grficamente que A- C produce un resultado diferente que C - A.3.51. Dos fuerzasA : 30 N y B : 90 N pueden actuarsobre un objeto en cualquier direccin que se desee.Cul es 1a mxima fuerza resultante? Cul es lamnima fuerza resultante? Es posible que la fueriaresultante sea cero? Resp. 120 N, 0 N, no

*3.53. Qu tercera fuerza F es necesario agregar a las dosferzas siguientes para que la fuerza resultante seaigual a cero? A : 120 N, 110" y B - 60 N, 200o.Resp. 134 N,31.*3.54. Un avin requiere una direccin resultalte con curso hacia el Oeste. Larapidez de1 avi es 600 kmlhcuando el aire est inmvil. Si el viento adquiereuna rapidez de 40 kmlh y sopla en direccin de 30oS del O, en qu direpcin se deber orientar eavin y cul ser su rapidez relativa con respecto asuelo?*3.55. Cules tendrn que ser la magnitud F y la direccin de la fuerza necesaria para que el automvilde la figura 3.31 avance directamente hacia el Estecon una fuerza resultante de 400 lb?Resp. 223 ib,17.9"

3.52. Considere dos fuerzas A : 4O N y B : 80 N. Cultiene que ser el ngulo entre esas dos fuerzas paraque la magnitud de la fuerza resultante sea 60 N?

Captulo 3 Resumen y repaso 7


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3.9 Fuerza y vectores 49

Libras010203040l-___-t____-[-____H01234CentmetrosFigura 3.11 Mtodo del paralelogramo para sumar vectores

tug ffi{-$ r-a : #Eir -=wtf--:!:itrfit{'nzasuh.lnte sobre el buruo de la figura 3.11, si el ngulo entre las dosLs eS d 120"; El un extremo se jala con una fuerza de 60 lb y, en e1 otro, con unaflerzade20Ib'Useelmtodode1para1elogramoparasumarlosvectofeS.

Plan: Construya un paralelogramo formando dos de los lados con vectores dibujados quesean proporcionales a las magnitudes de las fuerzas. Por tanto, lafuerzaresultante puedeencontrarse al medir la diagonal del paralelograrnoSolucin: Utilizando una escala de 1 cm : 10 tb. se tiene

60 rb x I !!1 : 6., 20 rb x -ljg : 2.,n10lb ' 10lbEn la figura 3.11 se construy un paralelogramo, dibujando a escala las dos fuerzas apartir de un origen comn. Utilice un transportador para asegurarse de que el ngulo entreellas sea de. 120". Al completar el paralelogramo se puede dibujar la resultante como:unadiagonal desde el origen, Al medir R y I con una regla y un ansportador se obtienen 52.9lb para la magnitud y 19.1" para la direccin. Por consiguiente,R : (52.9lb. 19.1.)

Un segundo vistazo al paralelogramo le mostrar que se otrtendra la mismalrespuestaaplicando el mtodo del polgono y agregando el vector de 20 lb en la punta del vector de60Ib.

20 1b

Cul es la fuerza resultante que acta sobre el burro?

lilE Fuerza y vectoresComo vimos en la seccin anterior, los vectores/zerzapueden sumarse grficamente de lamisma manera que sumamos antes en el caso de desplazamientos. En virtud de la importanciade las fuerzas en el estudio de la mecnica, conviene adquirir destreza en las operaciones convectores, estudiando aplicaciones de fuerza adems de las aplicaciones de desplazamiento.Un resorte estirado ejerce fuerzas sobre los dos objetos que estn unidos a sus extremos; elaire comprimido ejerce una fuerza sobre las paredes del recipiente que lo contiene, y un trac-tor ejerce una fuerza sobre el remolque que lleva arrastrando. Probablemente la fuerza msconocida es la atraccin gravitacional que ejerce la Tierra sobre un cuerpo. A esta fuerza selellamapeso del cuerpo. Existe una fuerza bien definida aun cuando no estn en contacto la


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3.10 La fuerza resultante 51\reffimfiql* . ffi#,J8,ffi=effirllriliplabol* cEped se empuja hacia abajo por el asa con una fuerzade 160 N, en unde 30o'con iespecto a la horizontal. cul es ra magnitud de la component; hori-zontal de esta fuerza?

Plan: A partir de la figura 3.14a, se observa que la fuerza ejercida sobre el asa acta en elcuerpo de la cortadora. Usaremos una regla y un kansportador para dibujar las fuerzas yngulos a escala, como se muestra en la figura 3.15b. Por ltimo, mediremos las compo-nentes y las convertiremos a newtons para obtener las dos componentes.Solucin: Una escala conveniente puede ser 1 cm : 40 N, 1o cual significa que el vectorF tendra una longitud de 4 cm con un ngulo de 30" con respecto a la horizontal. La com-ponente de la fuerza se dibuja y se le llama F . La medicin de esta recta revela que

F, corresponde a 3.46 cmPuesto que I cm : 40 N, se obtiene

menor que la fuena aplicada. Como ejercicio adi-la componente descendente de la fuerza de 160 N

(b)a)

=''.]*: ',:::G-GF1.:.::j :

F,: 3.46".119r): r38 N\ I Cm,/Observe que la fverz:a real es bastantecional, demuestre que la magnitud dees F, : 80.0 N.

Figura 3.1 4 Obtencin de las componentes de una fuerza por el mtodo grfico. (! oto de paul E. Tippens.')

La fuerza resultanteCuando dos o ms fuerzas actian sobre un mismo punto de un objeto, se dice qte sonfuerzasconcurrentes. El efecto combinado de tales fuerzas se llamafuerza resultunte.La fuerza resultante es la fuerza individual que produce el mismo efecto tantoen la magnitud como en la direccin que dos o ms fuerzas concurrentes.

Las fuerzas resultantes pueden calcularse grficamente al representar cadafuerzaconcurren-te como un vector. Con el mtodo del polgono o del paralelogramo para sumar vectores seobtiene 7a fuerza resultante.


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52 Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectoresIIr 15N'............'.......-.+--------i+ 20N

R=35N.Et5N

(a) Fuerzas en Ia misma direccin.

20N!R=sN.EIII 15N-.-- --r...........#-----------E| :oNI

15N

Una elgalra,mee{niqay na:mbntaq tus,1iueven a las perlonas :qu ie suben en : ..llas. En una escaleramecnica. las personassienten su peso normalPorque se mueven a unavelocidd constante.Un'a.montaa rsaiJ:eia,y.' desaclera,,pqr lor:qe las perscnasse $leh!e$, m.$ pegadasy ms{iger:s.q,medidaqu cambi,1' ve!,oiidad,

(b) Fuerzas que actan en direcciones opuestas

R = 30.4 N, 34.7

15N(c) Fuerzas que actan a un ngulo de 60' entre s.

Figura 3.1 5 Efecto de la direccin sobre la resultante de dos fuerzas.Con frecuencia las fuerzas acfuansobre una misma recta, yasea juntas o en opSi dos fuerzas actan sobre un mismo objeto en una misma direccin, lafuerza resuligual a la suma de las magnitudes de dichas fuerzas. La direccin de la resultante es laque la de cualquiera de las fuerzas. Por ejemplo, considere una fuerza de 15 N y unade 20 N que actan en la misma direccin hacia el Este. Su resultante es de 35 N hacia

como se observa en la figura 3.15a.Si las mismas dos fuerzas acltan en direcciones opuestas, la magnitud de la fuerztante es igual a \a diftrencia de las magnitudes de las dos fuerzas y act:a en la direclafuerzams grande. Suponga que la fuerza de 15 N del ejemplo se cambiara, de mtirara hacia el Oeste. La resultante sera de 5 N, E, como se indica en la figura 3.15b.Si las fuerzas que actan forman un ngulo de entre 0" y 180" entre s, su resulel vector suma. Para encontrar la fuerua resultante puede utilizarse el mtodo del polgmtodo del paralelogramo. En la figura 3.15c, las dos fuerzas mencionadas, de 15acfiian forrnando un ingulo de 60' entre s. Lafierza resultante, calculada por el mparalelogramo, es de 30.4 N a34.1".

nometra y vectoresEl tratamiento grfico de los vectores es conveniente para visualizar las fuerzas, pfrecuencia no es muy preciso. Un mtodo mucho ms til consiste en aprovechar lametra del tringulo rectngulo simple, procedimiento que en gran medida se ha simpgracias a las calculadoras actuales. El conocimiento del teoremo de Pitgoras y cierriencia en el manejo de las funciones seno, coseno y tangente es todo 1o que se requiel estudio de esta unidad.Los mtodos trigonomtricos pueden mejorar la precisin y larapidez al detervector resultante o para encontrar las componentes de un vector. En la mayoa de loes til utilizar ejes x y y imaginarios cuando se trabaja con vectores en forma analtic


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3.11 Trigonometra y vectoresquier vector puede dibujarse haciendo coincidir su origen con el cruce de esas rectas imagirias. Las componentes del vector pueden verse como efectos a lo largo de los ejes x y y:

'*n:rrFi:.ffi ;to,,Fi={*Rf -!rlas componentes -r y y de una fuerzade 200 N. con un ngulo de 60'?Plan, Dibuje el diagrama de veslores usando la trigonoule tp pwa enc*lt.*ro*po,Solucin: Se dibuja un diagrama ubicando el origen del vector de 200 N en el centro delos ejes J y l somo se muestra en la figura 3.16, ..En primer lugar se calcula la componente x, o sea ,F, tomando en cuenl"a que se tra1a.del lado ady.acente. El vector de 200,Nes. hipotearis- Si se usa Ia fu.ncio*e"u*oo,,sgobtiene

...200 NI :. ' . :' 'por lo cual F = (20Q N) cos 60" = 100 ' ,Pam estos cleutos notamos,que. el l4{p opes-to,a 60o es igual en longitud a F;. por con_

orbien

Figura 3.1 uso de la trigonometra para enconuar las componentes.r y y de u_n vector.::

Compnentes:,,{=,Ecos F: -sen

En general, podemos escribir las componentes.r y y de un vector en trminos de su magnituF y su direccin 0:s de unvector (3.1

donde 0 es el ngulo entre el vector y el lado positivo del eje x, medido en contrasentido a lamanecillas del reloj.El signo de una componente dada se determina a pair de un diagrama de vectores. Lacuatro posibilidades se presentan en la flgura 3.17. Adems de7 ngulo polar 0, se muesfel ngulo de referencia S para cada cuadrante. Cuando el ingulo pot* r mayor de 90",ms fcil ver las direcciones de las componentes si se trabaja con l ngulo dereferencia {Las aplicaciones de la trigonometra que ttilizan el ngulo polar g tambin darn los signocorrectos, pero siempre es til verificar visualmente la direccin de las componentes.


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54 Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectores

(b) Cuadrante II

(c) Cuadrante III (d) Cuadrante IVFigura 3.17 (a) En el primer cuadrante, el ngulo 0 est entre 0'y 90"1 tanto F como { son positEn el segundo cuadrante el ngulo g est entre 90" y 180"; F es negativa y F, es positiva. (c) Encuadrante, el ngulo est entre 1 80" y 270"; tanto F como F son negativas. (d) En el cuarto cuadngulo d est entre 27tr y 360"; d es positiva y F es negativa.

270" 210"

La trigonometra tambin es til pam calcular Ia fuerza resultante. En el caso een que dos fuerzas 4 V \ son perpendiculares entre s, como se observa en la figuraresultante (R. 0) se puede hallar a partir de


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3.12 El mtodo de las componentes paraII

la suma o adicin de vectores 55

Resultante (R, 9)R=!el4F.,tan H=:F"

Figura 3.1 I La resultante de dos vectores perpendiculares.O-? Fres ne-gativa, generalmente es ms fcil determinar el ngulo agudo @ como seindica en la figura 3.17. El signo (o direccin) de las fuerzas F y F det"rriinu cul de loscuatro cuadrantes se va a usar. Entonces, la ecuacin(3.2) se covierie en

tE. ttan : l:11l4lSlo se necesitan los valores absolutos de F,y F. Si se desea, se puede determinar el ngulo0 del eje x positivo. En cualquiera de los caos r debe identificaiclaramente la direccin.

;]n:i + i- itGffi .r,@E*tlf-.ilde una fuerza {e 5 N dirigida horizontalmente a la derecha y unaiieicatni'treia abei?dibqjamos'lrn diagrarna de,Aplique, l eeuacin (3.2)

SolUcinl Tratelos,dos,vectotesfuerzacmo compolelres F* .:651'yf'; - -,l2Ndelafierzaresultanf R. Por tanlo,lamagnitud'de R s vuelve'' i*,,'.p,*, {l!-R:

flan Como las ferzas.soa hacia,1a dei:echa y hacia abaio.vectores de cuatro cuadrantes como aguel Oe ia figura 3. Zd.para hallar la rgsultante:

Para encontrar la direccin de R. On*".o,: ::,T"" el inguto de referencia @:I rlt ItanE: I .* l:2.40 J If IEt ngulo polard medido en conlrasentido a Ias manecillas del reloj a partirdel ejexpo-sirivo es d : 360" - 61.4" :292.6,L!fuerzaresultante es 13.0 N a 292.6". Los ngulos deben expresarse redondeados a la d-cima de grado ms cercana incluso si requieren cuatro cifras significativas para moslrar laprecisin requerida. Otras respuestas pueden reportarse con slo tres cifras significalivas.

(5 N)2 (- 12 N)2

El mtodo de las componentes parala suma o adicin de vectoresCon frecuencia es necesario sumar una serie de desplazamientos o encontrar la resultante devarias fuerzas usando mtodos matemticos. En tales casos, uno debe comenzar con un bos-quejo grfico usando el mtodo del polgono paralasuma de vectores. Sin embargo, como la


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C=40m5 Captulo 3 Mediciones tcncas y vectores

D=10m Dy = 10*l NOTA: Ar=0Br= 0cr=oD,= 0B=50m Bv=50m

l=20m II

Rx A"=20m(b) (c)

Figura 3.1 9 La componente r del vector resultante es igual a la suma de las componentes r de cadaLa componente ) de la resultante es igual a la suma de las componentes y.trigonometra se usar para asegurar que los resultados finales sean precisos, slo se nestimar las longitudes de cada vector. Por ejemplo, un desplazamiento de 60 m o unade 60 N deben dibujarse como un vector con una longitud aproximadamente tres vecesque el vector para un desplazamiento de 20 m o una fuerza de 20 N. Los ingulos dadobin deben estimarse. Los vectores de 30o, 160",240" o324" deben dibujarse en los cutes adecuados y con una direccin lo ms cercanaposible a la direccin real. Estos diaaproximados le dan una idea de la direccin de la resultante antes de hacer los clcuque es conveniente que aprenda a dibujarlos rpido.Resulta til reconocer que la componente -r de la resultante o la suma de una serietores est dada por la suma de las componentes x de cada vector. Asimismo, la compode la resultante es la suma de las componentes y. Suponga que quiere sumar los vectB, Cr... para encontrar su resultante R. Se podra escribirR*:A,+B,+Cr*"'

Rn:An+By+Crt"'La magnitud de la resultante R y su direccin 0 pueden obtenerse a partir de la ecuaciEl ejemplo siguiente ilustra el mtodo de las componentes de la suma de vectores.ga que un topgrafo camina 20 m,E;50 m, N; 40 m, O, y 10 m, S. Nuestro objetivo eel desplazamiento resultante.Primero, se dibuja cada vector a una escala aproximada utilizando el mtodo delno. De esa manera, a partir de la figura 3.19 se observa que la resultante R debe estsegundo cuadrante.En este problema la obtencin de las componentes de cada vector es simple, ya que cator yace completamene sobre un eje dado as que dicha componente es cero en cada casque las componentes son positivas o negativas, mientras que las magnitudes de los vectorepre son positivas. A veces es recomendable elaborar una tabla de componentes, como la tadonde se incluya para cada vector su magnitud, el ngulo de referencia y las componenteTabla de componentes

R) IIIIIC- = r-40 m

R

(a)

Vector ngulo 0 Componentex ComponenB:C:D:

20m50m40ml0m0"90"

I 80'270"A*: -120mBr: 0c': -4omD*: 0

Ar:0Br: *50mq:0D:': -1omR.: > F,: -20m R,: )4,:


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3.12 El mtodo de las componentes para la suma o adicin de vectores 57Observe detenidamente en la figura 3.19 la representacin de cada una de estas componentes.Es fcil ver el significado de la componente f neta y de la componente )' neta.La resultante ahora puede obtenerse a partir de las componentes R, y R, del vector resul-tante. R:{JR,:@fi : \r?oo -'r 1600 "t' : ,/2ooo ttf; R : 44.7 mPor tanto, la direccin puede obtenerse a partir de la funcin tangente.lR, I I +omran@: l.1: l_ro,'' : 63.4'N del O (o : 2.0016.6")El procedimiento que se sigui en el ejemplo anterior tambin puede utilizarse para resolverproblemas ms generales que involucran vectores que no estn sobre ejes perpendiculares.Recuerde que las componentes se obtienen usando las funciones seno y coseno, y que a estascomponentes se deben asignar signos algebraicos adecuados antes de hacer la suma. Recuerdetambin que en este texto suponemos que cada magnitud dqda tiene una precsin de tres ci-fras significativas y qwe cada ngulo tiene una precisn de la dcimct de grado ms cercana.

de las comPonentessumar vectorespasos se ilustran en el ejemplo 3.9')

1 . Trace un polgono aproximado con los vectores, dibujan-do cada vector con longitudes y ngulos proporcionales'Indique 1a resultante como una recta dibujada dede,,el,origen del primer vector a la punta del itimo vector.2. Encuentre las componentes r y y de cada vector usan,

do la trigonometra si es necesario' Verlfique que lossignos algebraicos sean correctos antes de proseguir,

3. Elabore una tabla de componentes x y y, y sume alge-baicamente para hallar la magnitud y el signo de las-' , cornponentes resultantes:R.,:Arl Br+C,+"'Rr:A.,-tBrfC,-t"'4ir Encuentre la magnitud y la direccin de la resultante ar partif de sus componentes perpendiculares R, Y Rr.

n -rVnl + nl; tR. Imn: ljllR- IA*:Acos0; A.,,:Asend

de las componentes.

\r[-F.tffis!\1J w&F,ffxs$r'.il:es sogas estn atadas a una estaca, y sobre ella actan tres fuerzas: A: 20 N, E; B : 30; jO" "t O; y C: 40 N, 52" S del O. Determine la fuerza resultante usando el mtodo

:

t"e*td'g:,

Plan: Dibujaremos un bosquejo aproximado del problema como se muestra en la flgura3.20. Las furzas se representan como vectores proporcionales y sus direcciones se indicanpor medio de ngulos con respecto al eje r. Por tanto, obtendremos lafuetza resultante pormedio de la estrtegia para resolver problemas.Solucin: Los detalles del procedimiento se resumen en los pasos siguientes:

1. Dibuje un polgono proporcional con los vectores, sumando las fuerzas como en langur :.ZOU. Se estima que la resultante debe estar en el tercer cuadrante.2. Elabore una tabla de las componentes r y ) para cada vector. Note en la figura 3.21 quelos ngulos de relerencia @ se determinan a panir de los ejes,r para efectos de trigo-no..t,u. Se debe tener cuidado al incluir el signo correcto de cada componente' Porejemplo, 8,, C"y C" todas son negativas. Los resultados se muestran en la tabla 3.6.


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58 Captulo 3 Mediciones tcnicas y vectores

| .. (alBosqujo.aproxinailo. I':: :Figura.3,20IlvI':: !, ' A . x.

1. . -- - -- J..#J-. :-=I e,=zoNI ,,=o

(b) P-olgono de vctores

(a)

B =-30coi301

Cl =.40 c

B' =.-30 sen 309

'*,-(b)

Figura 3.21 Clculc de las componentes de los vectores,ic),

I Vector ngulo g* Cornponente.r ComponenteyA,= ZONB -'30 NC:40N

0030'52"

A,: .*20N8;,: -(!0N)(cqs'30")' =',-26;0 1S , ,C; - -{40 N){cos 52q)! 246N,lAr:o ';B, = (30 Nxsen 301:15.0Ne, = -(4QN)(sen52:. +'31,5 N

-l------*-:--_--

'Q.a'A_coq 2o

&=x4*-30.6N ftr,* I {:* :-1'6;5r


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3.13 Notacin de vectores unitarios (opcional)3; Surne las cmpo!rytsrx,paryoltgflg{ &r:',Rr-.'Ar *,8, * C;&:20'0N - 26.0N - 24.6N; &: -30.6N4. Sume las componentes y para obtener Rr' R, : Ay + By + C"Rr:0N + 15.0N - 31.5N; Rr: -16.5 N

:, : ' Una fi ,*a indopen-rliente (vase la figura3,??),a rnenudo es til e e! clctrl.o de lalmag-nitud y la direccin de la fuerza resultante.

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:,,ffiTft+ ft ,= 'J{.S, lr{ :a - nuacllrtrla {tr.1c|on s:,ryenTlty apatir de la direecin tange+f1lR"l l-re.sNltans: ldl :l-ffil :os:o * 28.3'S detr O o 180' - 28.3" :208.3"Fo Consguiente, t4 fuereqresultante es 34:8 N a 2Q8,3",

Fi$tr*e22

f -30.6 N)? + 1;16.5 N)2;

ry Notacin de veqtores untarios (opcional)Una herramienta til para muchas aplicaciones de vectores es la especificacin de la direccinpor medio de unvector unitario. Este mtodo separa claramente la magnitud de un vector desu direccin.Vector unitario: Un vector sin dimensiones cuya magnitud es exactamente 1y cuya direccin est dada por definicin.

Los smbolos i, j, k se usan para describir vectores unitarios en las direcciones x, y y zpo-sitivas, como se indica en la figura 3.23.Por ejemplo, un desplazamiento de 40 m, E podraexpresarse simplemente como *40 i, y un desplazamiento de 40 m, O podra darse como-40 i. Por conveniencia, las unidades generalmente se omiten cuando se usa la notacini, j. Estudie cada ejemplo de la figura 3.23 hasta que comprenda el significado y uso de losvectores unitarios.Considere el vector A de la fi,gwa3.24 que se ubica sobre el plano xy y tiene componen-tes A" y An. Podemos representar las componentes r y y del vector A usando los productos desus magnitudes y el vector unitario adecuado. Por tanto, el vector A se puede expresar en 1oque llamamos notacin de vectores unitarios:A:A"ifA,j

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