laboratorio de física .autor: miguel ángel hidalgo

www.pearsoneducacion.com9

ISBN 978-84-8322-395-6

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Incluye DVDEl texto viene acompañado por un DVD que

ilustra a través de fotos y videoclips algu-nos de los experimentos realizados en cada uno de los capítulos.

Otros libros de interésFislets.Enseñanza de la Física con material interactivoWolfgang W., Mario Belloni, Ernesto Martín Rodríguez,Francisco Esquembre MartínezPEaRson PREnticE HallisBn 9788420537818

Física. Problemas y ejercicios resueltosOlga Alcaraz i SedraJosé López LópezVicente López SolanasPEaRson PREnticE HallisBn 9788420544472

Miguel Ángel HidalgoJosé Medina

Laboratorio de Física

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Este libro es un tratado de prácticas de laboratorio donde se describen detalladamente algunos de los fenómenos físicos que se producen en cada una de las áreas de la Física.

con absoluto rigor científico, los experimentos físicos se pre-sentan de manera clara y sencilla sirviéndose de figuras y fotos.

se ha prestado especial atención a la puesta al día de la ins-trumentación necesaria para realizar cada práctica así como nuevas ideas para diseño de laboratorios que, sin duda, serán muy útiles para los profesores.

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Miguel Ángel HidalgoJosé Medina

Departamento de FísicaUniversidad de Alcalá

DVD realizado por Morwen Productions SLPablo Medina

DirectorVíctor BerglundEfectos visuales

Helena CareagaLocución

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Datos de catalogación bibliográfica

LABORATORIO DE FÍSICAMiguel Ángel Hidalgo y José Medina

PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2008

ISBN: 978-84-8322-395-6

Materia: Física, 53

Formato 195 # 270 mm 248 Páginas:

Todos los derechos reservados.Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución,comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titularesde propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutivade delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal).

DERECHOS RESERVADOS5 2008 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A.Ribera del Loira, 2828042 Madrid (España)

LABORATORIO DE FÍSICAMiguel Ángel Hidalgo y José Medina

ISBN: 978-84-8322-395-6Depósito legal:

Equipo editorial:Editor: Miguel Martín-RomoTécnico editorial: Marta Caicoya

Equipo de producción:Director: José Antonio ClaresTécnico: José Antonio Hernán

Diseño de cubierta: Equipo de diseño de PEARSON EDUCACIÓN, S.A.

Composición: COPIBOOK, S.L.

Impreso por:

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Contenido

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi

Capítulo I. Introducción al cálculo de errorres y tratamiento de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.2. La medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.3. Los errores y su clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2I.4. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.5. Propagación de errores sistemáticos en determinaciones indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.5.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.5.2. Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.5.3. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.5.4. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.5.5. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.5.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.6. Errores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.7. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.8. Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.9. Coma de decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Capítulo II. Unidades y su uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2. Unidades básicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.2.1. Metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2.2. Kilogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.2.3. Segundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2.4. Amperio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2.5. Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2.6. Mol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11II.2.7. Candela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.3. Unidades derivadas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12II.4. Prefijos del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.5. Unidades aceptadas ajenas al SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.6. Uso del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II.7. Algunas constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15II.8. Alfabeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Capítulo 1. Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.1. Piezas a medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2. Calibre o pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3. Micrómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4. Balanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1. Longitud de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2. Superficie de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.3. Volumen de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.4. Superficie de la arandela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.5. Volumen de la arandela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.6. Volumen del tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.7. Medida de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.1. Longitudes, superficies y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.2. Balanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Capítulo 2. Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2. Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.3. Movimiento de una partícula bajo una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1. Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.2. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.3. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1. Deslizamiento sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.2. Deslizamiento con rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.1. Deslizamiento sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4.2. Deslizamiento con rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Capítulo 3. Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1.2. Energía de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.3. Equilibrio de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.4. Péndulo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.5. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.6. Péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.1. Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.2. Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.3. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.4. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1. Obtención del periodo del péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.2. Obtención de la aceleración de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto . . . . . . . 49

3.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.1. Obtención del periodo del péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2. Obtención de la aceleración de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto . . . . . . . 50

3.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

vi Contenido

Capítulo 4. Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.1. Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.1.2. Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.4. Sistema centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.5. Colisiones elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.6. Colisiones inelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.1. Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.2. Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.3. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.2.4. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1. Choque frontal elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.2. Choque frontal inelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.1. Choque frontal elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.2. Choque frontal inelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.3. Coeficiente de restitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Capítulo 5. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.1. Oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.1.2. Oscilador armónico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.3. Oscilador armónico forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.1.4. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1.5. Dos osciladores armónicos simples acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.1.6. Frecuencia de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.1. Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.2. Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.3. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.4. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.1. Obtención de la constante del muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.3.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad . . . . . . . . . . . . 885.3.4. Medida de la frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.6. Medida de la frecuencia de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.1. Obtención de la constante del muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.4.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad . . . . . . . . . . . . 925.4.4. Medida de la frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.6. Medida de la frecuencia de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.4.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.1.1. Compresión y tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Contenido vii

6.1.2. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.1.3. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.1. Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.2. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.3. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3.1. Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3.2. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.3.3. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Capítulo 7. Fluidos en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Capítulo 8. Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121


Capítulo 9. Ecuación de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127


Capítulo 10. Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13410.1.1. Reflexión y refracción en superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.1.2. Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14010.1.3. Reflexión y refracción en superficies esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14210.1.4. Lentes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14710.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

10.3.1. Reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14810.3.2. Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.3.3. Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.3.4. Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

10.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Capítulo 11. Intensidad de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15611.1.1. Conceptos generales del fenómeno ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15611.1.2. Ondas acústicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159


Capítulo 12. Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización . . . . . 163

12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16412.1.1. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.1.2. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16612.1.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167


12.3.1. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16912.3.2. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

viii Contenido

12.3.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Capítulo 13. Equivalente mecánico del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17813.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Capítulo 14. Dilatación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181


Capítulo 15. Conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187


Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

16.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19416.1.1. Capacidad de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19416.1.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

16.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.2.1. Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.2.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

16.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.3.1. Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.3.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Capítulo 17. Corriente continua: leyes de Ohm y Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

17.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20417.1.1. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20517.1.2. Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20517.1.3. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206


17.3.1. Medida de una resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20917.3.2. Resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21017.3.3. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21117.3.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21217.3.5. Redes serie-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

17.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21217.4.1. Medida de una resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21217.4.2. Resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21317.4.3. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21317.4.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21317.4.5. Redes serie-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

17.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Capítulo 18. Corriente alterna: osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

18.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21618.1.1. Circuito RLC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21618.1.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21818.1.3. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

18.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21918.2.1. Osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21918.2.2. Generador de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Contenido ix

18.2.3. Resistencia, condensador y autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22218.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

18.3.1. Manejo del osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22218.3.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22318.3.3. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22418.3.4. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22518.3.5. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

18.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22718.4.1. Manejo del osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22718.4.2. Circuitos y resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

18.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

x Contenido

Prólogo

En todas las disciplinas científicas, (tales como la Química, Biología, Geología, y sobre to-do la Física), así como en las ingenierías, las prácticas de laboratorio han ido perdiendocada vez mayor presencia como consecuencia del empuje de las simulaciones por ordena-dor, los llamados applets. Desde nuestro punto de vista, la formación que proporcionan es-tos no puede ser sustitutiva en ningún caso de la experimentación en un laboratorio, a losumo, en el mejor de los casos, pueden ser un complemento de la misma. Y es que hay unainmensa diferencia entre lo que es la búsqueda, estudio y aplicación de una ley física de lanaturaleza basándose en la experimentación, respecto a la construcción de un algoritmo ba-sado en dicha ley; y la diferencia está en que, mientras la primera implica aprehender elmétodo científico, clave este de la formación de un futuro científico y de un buen técnico,la segunda supone únicamente la manipulación de un algoritmo preestablecido basado enuna ley física, con poco o ningún margen para la aplicación del método científico. Un ex-perimento real podrá sugerir modificaciones sobre el montaje experimental inicial, lo quepermitirá indagar en otros aspectos que no estuvieran previstos en la idea de partida, algoque difícilmente puede hacerse con unos applets que limitan completamente la creatividade iniciativa científica de los estudiantes, ya que todo el camino y todas sus posibilidades,están trazadas de antemano, sin apenas capacidad para la sorpresa y la innovación. Esta,aunque pueda considerarse como un aspecto de orden filosófico, es la clave del métodocientífico y del desarrollo de un espíritu crítico científico. En este sentido, un mal montajelleva a unos datos erróneos que permiten afinar el espíritu crítico del estudiante, plantearsecuestiones asociadas al mismo, a la adquisición de datos y al análisis de los mismos, aspec-tos fundamentales en la formación de un científico de difícil implementación con applets.Estos sólo pueden limitarse a proporcionar los datos asociados a una ley física, pero no loserrores que conlleva un mal funcionamiento de un generador, un polímetro, una fuente decontinua, un osciloscopio, una mala conexión, un mal contacto térmico, la existencia de unrozamiento por un mal diseño de un instrumento, y todo esto, insistimos, es la base de laformación experimental de un científico, de ahí la importancia de llevar a cabo el montajede cada una de las prácticas. Como afirmaba K. R. Popper: «La ciencia sólo comienza conproblemas... a través de un problema adquirimos conciencia de que estamos sosteniendouna teoría. Es el problema el que nos acicatea a aprender, a hacer avanzar nuestro conoci-miento, a experimentar y a observar.» (Conjeturas y refutaciones, 1962).

De todos modos el presente libro de prácticas tiene una única pretensión: servir de ins-piración y apoyo para el diseño e implementación de un laboratorio de Física, eso sí, enfunción de las condiciones y materiales de que se disponga. Así, pretende servir de pla-taforma para idear y sugerir otros experimentos, guiones de laboratorio y experiencias de

cátedra, para lo que incluimos un DVD en el que se presentan películas de algunas de lasprácticas propuestas que incorpora el libro, Pudiendo ayudar, además, a hacerse una ideade los correspondientes montajes. (En el mismo DVD se han incorporado las figuras dellibro a color, por si pueden resultar útiles al lector, ya que el libro las incluye en blanco ynegro).

Finalmente no queremos terminar sin agradecer los apoyos que hemos tenido en la ela-boración del presente libro. Desde luego, los más importantes han sido los de nuestroscompañeros del Departamento de Física de la Universidad de Alcalá, especialmente Enri-que Bronchalo, quien ideó el experimento incluido en el Capítulo 9, Miguel Ramos, el delos Capítulos 11 y 13 y Yolanda Cerrato, el de autoinducción del Capítulo 16. Por último,agradecer a la Universidad de Alcalá, a través del proyecto UAH/EV93 de su convocatoriade Proyectos para la integración de las tecnologías de la información y la comunicaciónen el proceso de enseñanza-aprendizaje, que ha permitido financiar la elaboración de laspelículas incluidas en el DVD.

MAH y JMMarzo 2008

xii Contenido

Introducciónal cálculo de errores

y tratamiento de datos

I.1. Introducción

I.2. La medida

I.3. Los errores y su clasificación

I.4. Error absoluto y error relativo

I.5. Propagación de errores sistemáticos en determinaciones indirectasI.5.1. SumaI.5.2. DiferenciaI.5.3. ProductoI.5.4. CocienteI.5.5. GeneralI.5.6. Resumen

I.6. Errores aleatorios

I.7. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados

I.8. Cifras significativas

I.9. Coma de decimales

I.1. Introducción

La Física, como otras ciencias experimentales, está basada en la medida de magnitudes.Estas medidas tienen un cierto grado de incertidumbre, de tal forma que una magnitud estábien definida sólo si se dan los criterios necesarios para su medida.

I.2. La medidaSe entiende por medida de una cierta magnitud, la operación que resulta de compararla conotro valor de la misma magnitud que hemos tomado como patrón. El resultado de esta ope-ración es un número y la unidad elegida. Por ejemplo la longitud de una barra, que se hacomprobado que contiene cincuenta veces la unidad 1 cm, será 50 cm. Se pueden presentaropciones:

1.o Medida directa. Resultado de la comparación con una magnitud de la misma espe-cie (caso anterior).

2.o Medida indirecta. Después de realizar medidas con magnitudes distintas relaciona-das con la que se quiere obtener, su valor se halla operando a través de una expre-sión matemática. Por ejemplo, obtener el volumen (v) de un cilindro después de me-dir directamente su diámetro (d) y su altura (h), usando la expresión V % nh(d/2)2.

I.3. Los errores y su clasificaciónEn la práctica es a menudo imposible encontrar el valor cierto o exacto (a) de una magni-tud determinada, pero es posible establecer límites (am, aM) dentro de los que está ese valorcierto. Cuanto más próximos sean esos límites más precisa será la medida. El objetivo delcálculo de errores es encontrar esos límites y procurar que sean lo suficientemente peque-ños para no afectar a las conclusiones que se puedan inferir de las medidas. Sea el valorexacto a tal que a à (am, aM), la mejor estimación de esa magnitud es el punto medio A delintervalo, de tal forma que el valor de la magnitud quede definido por a à (A . BA,A ! BA). Donde BA son pequeños intervalos alrededor de A.

La medida de una magnitud (A) nos la proporciona:

1.o El valor A.2.o El tamaño del intervalo de imprecisión o error uBA, denominado error absoluto

de la medida.

De manera que la medida de la magnitud se expresa por A u BA. Este resultado debeexpresarse de forma que sea intercambiable con otros experimentadores.

Los errores en las medidas pueden provenir de múltiples causas, que los podemos agru-par en dos categorías:

Errores sistemáticos. Debidos a 3 causas.

1.o Instrumentales. Debido a las características y precisión de los aparatos.2.o De método. Debido al uso de un método en el que se hace alguna simplificación o

a la interferencia de los instrumentos usados con la magnitud que se quiere medir.3.o Personales. Debidos a la pericia del observador.

2 Laboratorio de Física

Errores aleatorios. Que pueden ser debidos a las 3 causas anteriores y a los errores:

4.o Accidentales. Ocasionados por las variaciones de las condiciones en que se realizala medida y que escapan al observador. Tales como fluctuaciones de temperatura,de presión, de humedad, de iluminación, de campos eléctricos o magnéticos, etc.

I.4. Error absoluto y error relativoEl resultado de una medida debe expresarse dando el valor obtenido (A), la semianchuradel intervalo de precisión (BA) y la unidad utilizada, es decir:

A u BA (unidad)

El error relativo (e) es el cociente:

e %BA

�A �

que frecuentemente se expresa en porcentaje. Cuando sólo se puede realizar una única me-dida, el error absoluto será la sensibilidad del aparato, que es la división más pequeña de laescala del aparato de medida o, alternativamente, la mitad de esa división más pequeña.

I.5. Propagación de errores sistemáticos endeterminaciones indirectas

Supongamos que la medida de una magnitud Z se realiza indirectamente a través de la me-dida directa de dos magnitudes, A y B, relacionadas con Z mediante una función Z % f (A, B)y queremos saber cuál sería el error de la magnitud Z conociendo los errores de A y B.Evidentemente depende del tipo de relación entre A y B.

I.5.1. SumaZ % A ! B

El resultado de cada una de las medidas es A u BA y B u BB. El error de Z será:

Z u BZ % (A u BA) ! (B u BB) % (A u B) u (BA ! BB)

por tanto el error absoluto será:

BZ % BA ! BB

es decir la suma de los errores absolutos, y el error relativo será:

e %BZ

Z%

BA ! BB

A ! B

I.5.2. DiferenciaZ % A . B

El error de Z será:

Z u BZ % (A u BA) . (B u BB) % (A . B) u (BA ! BB)

Introducción al cálculo de errores y tratamientos de datos 3

por tanto el error absoluto será:

BZ % BA ! BB

es decir la suma de los errores absolutos, y el error relativo será:

e %BZ

Z%

BA ! BB

A . B

I.5.3. ProductoZ % A B

El error de Z será:

Z u BZ% (A u BA) (B u BB) % (A B) u (A BB) u (B BA) u (BA BB)

por tanto el error absoluto será, despreciando (BA BB):

BZ % (A BB) ! (B BA)

y el error relativo:

e %BZ

Z%

BA

A!

BB

B

la suma de los errores relativos.

I.5.4. CocienteZ%A/B

El error relativo se toma como el del producto, por ser el caso más desfavorable:

e %BZ

Z%

BA

A!

BB

B

esto es, la suma de los errores relativos. El error absoluto será:

BZ % ZABA

A!

BB

B BI.5.5. GeneralPara una función cualquiera:

Z % f (A, B, C...)

el error absoluto se puede calcular de la forma:

BZ %JAL f

LABAB

2

! ALf

LBBBB

2

!AL f

LCBCB

2! ñ

siendo BA, BB, BC, etc. los errores absolutos de las medidas realizadas.


I.5.6. Resumen

Tabla I.1. Tabla resumen de propagación de errores

Operación Error

Z % A ! BBZ% BA ! BB

Z % A . B

Z % A Be %

BZ

Z%

BA

A!

BB

BZ % A/B

Z % f (A, B, C, ...) BZ%JALf

LABAB

2

!AL f

LBBBB

2

! AL f

LCBCB

2

! ñ

I.6. Errores aleatorios

Si se realiza una serie de medidas de una misma magnitud encontramos valores diferentes(x1, x2, x3, ..., xN), lo que demuestra la existencia de errores aleatorios. Estos valores sonimpredecibles pero generalmente tienen una distribución conocida, esto es, podemos sabercon qué frecuencia obtendremos unos u otros (Figura I.1). La mejor estimación del valorde la magnitud es la media aritmética x6 de los N valores obtenidos:

x6 %

N

;i%1

xi

N

FIGURA I.1. Distribución normal.

y su error Bx6 viene dado por:

Bx6 %p

∂N


donde p es la desviación típica de las medidas que se obtiene de la forma:

p %JN

;i%1

(xi . x6)2

N . 1

Se puede demostrar que las medidas forman una distribución dispersa alrededor del puntomedio de forma que:

68% están comprendidos en el intervalo x6 u p

95% están comprendidos en el intervalo x6 u 2p

I.7. Ajuste de una recta por mínimos cuadradosSupongamos que tenemos N pares de medidas xi, yi (i % 1...N), siendo y la variable depen-diente y x la variable independiente.

Suponemos que el error en las medidas de x es despreciable (Bx % 0) y que todas lasmedidas de y tienen el mismo error By.

Pretendemos obtener la recta y % A ! Bx. Aceptando que los mejores valores de A y Bson los que maximizan una cierta función de probabilidad o minimizan una cierta funcióntest que no vamos a entrar a explicar, la solución viene dada por:

B %; xi yi . Nx6y6

; x2i . Nx62

A % y6 . Bx6

y sus errores vienen dados por:

BA %J; x2

i

N(; x2i ) . (; xi)

2 By

BB %JN

N(; x2i ) . (; xi)

2 By

siendo By el error de las medidas de y que viene dado por:

By %J; (yi . A . Bxi)

2

N . 2

I.8. Cifras significativasAl realizar una operación matemática con una serie de datos no todas las cifras que se ob-tienen son significativas (sobre todo cuando esta operación se realiza con una calculadora).El resultado debe tener como cifras significativas las del dato que menos cifras significati-vas tenga.


Tabla I.2. Ejemplos

Incorrecto Correcto

2,45 ! 7,5679 % 10,0179 2,45 ! 7,5679 % 10,02

3,657 0,58 % 2,12106 3,657 0,58 % 2,1

4370/852,6 % 5,125498 4370/852,6 % 5,125

6,3 u 0,0834 6,3 u 0,1

8 u 0,712 8 u 1

I.9. Coma de decimalesLa coma de decimales siempre debe estar escrita en la parte inferior.

Ejemplo: 3,5 escritura correcta.3’5 falta de ortografía.


Unidadesy su uso

II.1. Introducción

II.2. Unidades básicas del SIII.2.1. MetroII.2.2. KilogramoII.2.3. SegundoII.2.4. AmperioII.2.5. KelvinII.2.6. MolII.2.7. Candela

II.3. Unidades derivadas del SI

II.4. Prefijos del SI

II.5. Unidades aceptadas ajenas al SI

II.6. Uso del SI

II.7. Algunas constantes físicas

II.8. Alfabeto

II.1. IntroducciónEl Sistema Internacional de unidades (SI) ha sido establecido por la Conferencia Generalde Pesas y Medidas en sucesivas reuniones entre los años 1954 y 1995, su objeto es sumi-nistrar una serie de unidades básicas y derivadas que sean comunes a la ciencia, la tecnolo-gía y el uso común, así como normas para el uso correcto de estas unidades. El valor deuna magnitud física cualquiera se expresa como un número seguido de una unidad, de talforma que ese número es sólo un valor particular de la magnitud. Por ejemplo, si decimosque la velocidad de un vehículo es v % 54 km/h % 15 m/s estamos expresando el mismovalor de la magnitud velocidad usando 2 unidades distintas. El SI de unidades está forma-do por 7 unidades básicas y una serie de unidades derivadas.

II.2. Unidades básicas del SILas magnitudes básicas que utiliza el SI son por definición independientes entre sí. En laTabla II-1 se dan éstas con las unidades y símbolos correspondientes.

Tabla II.1. Unidades básicas del SI

Magnitudes Unidades del SI

Nombre Símbolo Nombre Símbolo

longitud l, x, r, ... metro m

masa m kilogramo kg

tiempo t segundo s

corriente eléctrica I, i amperio A

temperatura termodinámica T kelvin K

cantidad de sustancia n mol mol

intensidad luminosa Iv candela cd

Los patrones de estas unidades se han de establecer de manera muy precisa, pues enellas se van a basar todos los trabajos científicos y tecnológicos.

II.2.1. MetroEl metro es la unidad de longitud y se define de la forma siguiente: El metro es la longituddel camino recorrido por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 segundo.De esto se deduce que la velocidad de la luz en el vacío es exactamente c %299 792 458 m/s.

II.2.2. KilogramoEl kilogramo es la unidad de masa y corresponde a un objeto fabricado de platino iridiadoque se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París.


II.2.3. Segundo

El segundo es la unidad de tiempo y se define como: El segundo es la duración de9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dosniveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133, cuando éste está enreposo a una temperatura de 0 K.

II.2.4. Amperio

El amperio es la unidad de intensidad de corriente eléctrica y se define de la forma: Elamperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conducto-res paralelos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a ladistancia de un metro uno del otro en el vacío, produce entre los dos conductores unafuerza igual a 2 10.7 newton por metro de longitud. Esta definición implica que la per-meabilidad en el vacío es exactamente k0 % 4n10.7 H/m.

II.2.5. Kelvin

El kelvin es la unidad de temperatura termodinámica y su definición se ha establecidocomo: El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del puntotriple del agua. El agua de esta definición está formada por: 0,000 155 76 moles de 2Hpor mol de 1H; 0,000 376 9 moles de 17O por mol de 16O y 0,002 005 2 moles de 18O pormol de 16O. Un grado centígrado (oC) es, por definición, igual a un kelvin.

II.2.6. Mol

Es la unidad de la cantidad de materia y se define como: El mol es la cantidad de mate-ria de un sistema que contiene tantas entidades elementales como los átomos que hayen 0,012 kilogramos de carbono 12. Se refiere a átomos de carbono 12 no ligados, enreposo y en su estado fundamental. Cuando se emplea el mol, las entidades elementa-les deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otraspartículas o agrupamientos específicos de partículas.

II.2.7. Candela

La unidad de intensidad luminosa es la candela que viene definida por: La candela es laintensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite un radiaciónmonocromática de frecuencia 540 # 1012 hercios y la intensidad de radiación en estadirección es 1/683 vatios por estereoradian.

Unidades y su uso 11

II.3. Unidades derivadas del SISon las que están formadas por productos de las unidades básicas (Tabla II.2).

Tabla II.2. Algunas unidades derivadas de SI

Magnitud derivada Unidad derivada del SI

Nombre Símbolo Nombre SímboloUnidades

equivalentesUnidadesbásicas

ángulo plano radian rad m/m

ángulo sólido estereoradian sr m2/m2

superficie A, S metro cuadrado m2

volumen V metro cúbico m3

velocidad v metro por segundo m s.1

aceleración a metro por segundo cuadrado m s.2

densidad o kilogramo por metro cúbico kgm.3

volumen específico v metro cúbico por kilogramo m3 kg.1

fuerza F newton N m kg s.2

presión pascal Pa Nm.2 m.1 kg s.2

energía, trabajo, cantidad de calor E julio J Nm m2 kg s.2

momento de una fuerza newton metro Nm m2 kg s.2

tensión superficial newton por metro N/m kg s.2

potencia watios W J s.1 m2 kg s.3

velocidad angular radian por segundo rad s.1 s.1

frecuencia l hercios Hz s-1

número de onda p metro menos uno m.1

carga eléctrica q culombio C As

diferencia de potencial V voltio V JC.1 m2 kg s.3 A.1

capacidad eléctrica faradio F C V.1 m.2 kg.1 s4 A2

resistencia eléctrica R ohmio L VA.1 m2 kg s.3 A.2

conductancia eléctrica siemens S L.1 m.2 kg.1 s3 A2

inductancia henry H L s m2 kg s.2 A.2

flujo magnético weber Wb V s m2 kg s.2 A.1

inducción magnética B tesla T Wb m.2 kg s.2 A.1

campo eléctrico voltio por metro Vm.1 m kg s.3 A.1

temperatura centígrada grados centígrados oC K


II.4. Prefijos del SILos prefijos indican potencias de 10 y son los que se indican el la Tabla II-3.

Tabla II.3. Prefijos del SI

Factor Prefijo Símbolo

1024 yotta Y

1021 zetta Z

1018 exa E

1015 peta P

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

102 hecto h

101 deca da

10.1 deci d

10.2 centi c

10.3 mili m

10.6 micro ]

10.9 nano n

10.12 pico p

10.15 femto f

10.18 atto a

10.21 zepto z

10.24 yocto y

Normas para el uso de los prefijos:

1. Está prohibido usar prefijos compuestos. Correcto es GV e incorrecto MkV.2. No se puede usar un prefijo aislado sin la unidad correspondiente. Correcto kg y

no k. Correcto 106/m3 y no M/m3.3. Los exponentes de las unidades afectan al prefijo, es decir, 1 cm2

% 1 cm 1 cm %

% 10.4 m2 y no 10.2 m2, o sea un centímetro cuadrado y no la centésima parte deun metro cuadrado.

4. Los prefijos no se deben de usar como potencias de 2. Por ejemplo, 1 kbit%1000 bitno 1024 bit.


5. La unidad básica de masa es el kilogramo que tradicionalmente se simboliza comokg, siendo la única que tiene un prefijo, sus múltiplos y divisores deben serlo delgramo, es correcto Mg y mg y no es correcto kkg o ]kg.

II.5. Unidades aceptadas ajenas al SI

Existen una serie de unidades que, aunque no pertenecen al SI, se consideran aceptablespara ciertos ámbitos y aplicaciones (Tabla II-4).

Tabla II.4. Unidades ajenas al SI, pero aceptadas para su uso

Magnitud Nombre Símbolo Valor en unidades SI

Tiempo minuto min 60 s

hora h 60 min % 3 600 s

día d 24 h % 86 400 s

Ángulo plano grado o (n/180) rad

minuto ñ (1/60)o(n/10 800) rad

segundo ññ (1/60)ñ % (n/648 000) rad

Superficie hectárea ha 1 hm2% 104 m2

barn b 100 fm2% 10.28 m2

Volumen litro L, l 1 dm3% 103 cm3

% 103 m3

Masa tonelada t 103 kg

Presión bar bar 100 kPa % 105 Pa

milímetros de mercurio mmHg 133,322 Pa

Viscosidad poise P 0,1 Pa s

Longitud angstrom A 0,1 nm % 100 pm % 10.10 m

unidad astronómica ua 1,495 978 706 91 1011 m

Energía electronvoltio eV 1,602 176 53 1019 J

Masa unidad de masa atómica unificada u 1,660 538 86 1027 kg

II.6. Uso del SIExiste una serie de reglas para el correcto uso de las unidades y los símbolos del SI.

1. Los símbolos de las unidades deben escribirse rectos, no en cursiva.2. Los símbolos de las unidades hay que escribirlos respetando siempre las mayús-

culas y minúsculas, aunque estén al principio de un párrafo. Por ejemplo, kilóme-tro será km y no Km.

3. Los símbolos de las unidades se escriben igual en singular que en plural. Porejemplo, 3 m y no 3 ms, esto sería 3 milisegundo.


4. Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas, no son abreviaturas, portanto no deben ir seguidas de un punto, salvo cuando la ortografía lo haga necesa-rio. No es correcto escribir ese coche va a más de 50 km/h. de velocidad.

5. En una expresión con varios símbolos, estos deben ir separados por un espacio oun punto alto (.), nunca por un aspa (#) o estrella (*). Por ejemplo, ms es milise-gundo, m s o m.s es metro segundo y m/s es metro por segundo.

6. No se debe utilizar más de una barra oblicua (/) en una expresión con varios sím-bolos. Es correcto m.s.2, m/s2, pero no es correcto m/s/s.

7. No se pueden utilizar abreviaturas para los símbolos. Es un grave error usar seg osec por s (segundo).

8. Debe haber un espacio entre el valor numérico y el símbolo. Correcto es 4 km yno 4km o 4k m. Es correcto 24,5 oC, y no lo es 24,5oC o 24,5o C.

9. En una expresión se debe utilizar una sola unidad de la misma magnitud. Escorrecto 5,234 m y no lo es 5 m 23,4 cm.

10. En los valores afectados de un error la unidad debe ser única. Por ejemplo, escorrecto 4!1 m y no 4 m ! 1 m.

11. La separación de decimales debe ser un punto o una coma según sea costumbre,en España se utiliza tradicionalmente una coma. Para un número compuesto deuna gran cantidad de cifras, estas se pueden separar en grupos de 3 para facilitarla lectura, nunca utilizar puntos o comas. Es correcto 12345,4567 o 12 345,456 7y no lo es 12.345,4567.

II.7. Algunas constantes físicas

Tabla II.5. Algunas constantes físicas

Nombre Símbolo Valor

velocidad de la luz en el vacío(valor exacto por definición) c 2,997 924 58 108 m s.1

permeabilidad del vacío(valor exacto por definición) k0 4n 10.7 H m.1

permitividad del vacío e0 1/(k0 c2) % 8,854 187 817 10.12 F m.1

constante de la gravitación G 6,672 59 10.11 m3 kg.1 s.2

carga elemental e 1,602 177 33 10.19 C

masa del electrón me 9,109 389 7 10.31 kg % 0,510 999 06 MeV

masa del protón mp 1,672 623 1 10.27 kg % 938,272 31 MeV

masa del neutrón mn 1,674 928 6 10.27 kg % 939,565 63 MeV

número de Avogadro NA 6,022 136 7 1023 mol.1

constante de Boltzmann k 1,380 658 10.23 J K.1%8,617 385 10.5 eV K.1

número pi n 3,141 592

número exponencial e 2,718 281


II.8. AlfabetoTabla II.6. Alfabeto

A a alfa

B b beta

A c gamma

B d delta

E e � épsilon

Z f dseda

H g eta

C h � zeta

I � iota

K � kappa

D j lambda

M k mi

N l ni

E m xi

O � ómicron

F n pi

P o ρ ro

G p ς sigma

T q tau

Y υ ípsilon

J h � fi

X s ji

K t psi

L u omega


Medidas de longitudes,superficies, volúmenes

y masas

1.1. Introducción

1.2. Instrumentación1.2.1. Piezas a medir1.2.2. Calibre o pie de rey1.2.3. Micrómetro1.2.4. Balanza

1.3. Método experimental1.3.1. Longitud de la lámina1.3.2. Superficie de la lámina1.3.3. Volumen de la lámina1.3.4. Superficie de la arandela1.3.5. Volumen de la arandela1.3.6. Volumen del tubo1.3.7. Medida de masas

1.4. Resutados1.4.1. Longitudes, superficies y volúmenes1.4.2. Balanza

1.5. Cuestiones

En este experimento se pretenden realizar medidas directas de longitudes pequeñas con apa-ratos de precisión y medidas indirectas de superficies y volúmenes, usando posteriormente labalanza para determinar sus masas. Se hará un tratamiento de errores.

1.1. IntroducciónLa medida de una magnitud consiste en su comparación con una patrón de igual caracterís-tica. Por ejemplo, si queremos medir la altura (magnitud) de una mesa, usamos una cintamétrica (patrón). Se van a realizar solamente las medidas directas de una magnitud, la lon-gitud, y, a partir de ellas se obtendrá la superficie y el volumen de un objeto, para despuésdeterminar su masa con una balanza.

1.2. Instrumentación

1.2.1. Piezas a medirSe deben tener piezas de distinta forma, como una lámina metálica delgada, un trozo detubo grueso —mejor de goma que rígido— y una arandela metálica.

1.2.2. Calibre o pie de reyEl pie de rey es un instrumento que sirve para medir pequeñas longitudes, tanto exteriores—usando las cuchillas inferiores— como interiores —con las cuchillas superiores— y pro-fundidad —con el vástago de la derecha— (Figura 1.1). La precisión calibre viene determi-nada por el nonio —inventado por el matemático portugués Pedro Nunes (1492-1577)—,que es una escala que desliza sobre la principal (Figura 1.2), con una longitud igual a unnúmero de divisiones de la escala principal menos una y dividida en un número exactode divisiones [Figura 1.2(a)]. Con esto se consigue aumentar la precisión de la escala prin-cipal, por ejemplo milímetros, siendo el valor de cada una de las divisiones del nonio(n . 1)/n% 9/10 mm, siendo la precisión resultante de 0,1 mm. Supongamos una medidacualquiera, como la de la Figura 1.2(b), en la que la posición de la escala principal antesdel 0 del nonio es:

N1 % 9 mm

la posición de la escala principal en la que coincide un trazo de esta con una del nonio es:

N2 % 13 mm

el mismo trazo en el nonio es n1, que en milímetros será:

n1 % 4A9

10B mm

FIGURA 1.1. Pie de rey.


FIGURA 1.2. Nonio.

la distancia, Bl, que hay desde los 9 mm de la escala principal y el 0 del nonio se obtiene:

N2 . N1 % Bl ! n1

Bl % N2 . N1 . n1 % 13 . 9 . 49

10% 4

1

10% 0,4 mm

por tanto, la posición 0 del nonio corresponde a 9,4 mm, que será la longitud obtenida. Lamedida se realiza de la siguiente manera: 1) actuando sobre el embrague del deslizador secoloca la pieza a medir entre las cuchillas, sin presionar la pieza para no deformarla; 2) semide su longitud, leyendo la distancia en mm en la escala principal que coincide con el 0del nonio, y sus decimales en el nonio, según la división que coincida de este con una divi-sión de la escala principal.

1.2.3. MicrómetroEl micrómetro es un instrumento que sirve para medir dimensiones muy pequeñas. El de laFigura 1.3 es capaz de apreciar 0,01 mm. Fue inventado por el mecánico francés Jean Lau-rent Palmer en 1848. Esta precisión se consigue gracias a un tornillo micrométrico de pre-cisión, que tiene un número de divisiones (n), de forma que cada vuelta completa recorreun milímetro de la escala principal. Con esto se consigue dividir la precisión de la escala

FIGURA 1.3. Micrómetro o tornillo micrométrico.

Capítulo 1. Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas 19

principal (mm) en n partes, una precisión de 1/n mm. La medida se realiza de la siguientemanera: actuando sobre el tambor se abre el émbolo una distancia suficiente para colocarla pieza a medir entre las puntas de medida, seguidamente, actuando sobre el embrague secierra el embolo hasta que resbale. Es importante hacer este segundo paso enroscando conel embrague, y no con el tambor, para evitar el deterioro del instrumento.

1.2.4. BalanzaLa balanza es un instrumento muy antiguo, que ya aparece en los bajorrelieves del antiguoEgipto (Figura 1.4), y sirve para medir masas. Básicamente está compuesto por un brazoque pivota sobre un soporte fino (Figura 1.5), en uno de cuyos extremos se coloca la masaproblema y en el otro una serie de pesas hasta que se consigue el equilibrio, el valor deestas pesas nos da la masa problema. Basado en este principio han existido y existen grannúmero de variedades de balanzas, en un primer contacto con este instrumento las másusadas son los granatarios (Figura 1.6) y las balanzas mecánicas de precisión (Figura 1.7).

FIGURA 1.4. Gráfico egipcio de una balanza.

FIGURA 1.5. Balanza elemental.

FIGURA 1.6. Granatario.


FIGURA 1.7. Balanzas mecánicas de precisión: (a) de doble platillo y (b) monoplatillo.

1.3. Método experimentalLo que sigue se centrará en la medida de una lamina delgada rígida (de madera o metáli-ca), una arandela metálica y un trozo (de 5 cm aproximadamente) de tubo de goma de pa-redes gruesas (0,5 cm aproximadamente).

1.3.1. Longitud de la láminaUsando el pie de rey, medir uno de los lados de la lámina una serie de veces (N) en luga-res distintos de la pieza, por ejemplo 10, dependiendo del ancho de la lámina, realizandouna tabla con estas N medidas. El valor medio de estas medidas será:

SlaT %

N

;i%1

li

N(1.1)

y su error será:

Bla %JN

;i%1

(li . SlaT)2

N(N . 1)(1.2)

de tal manera que expresaremos el resultado de la medida como:

la % SlaT u Bla cm (1.3)

1.3.2. Superficie de la láminaUtilizando el método anterior medir el otro lado de la lámina, lb, obteniendo la superficiecomo:

sl % SlaTSlbT (1.4)


su error será:

Bsl % sl ABlaSlaT

!BlbSlbTB (1.5)

y el resultado se expresa como:

Sl % sl u Bst cm2 (1.6)

1.3.3. Volumen de la láminaSe mide ahora el espesor de la lámina con el micrómetro, también un número de veces (N),obteniendo su valor medio:

SlcT %

N

;i%1

li

N(1.7)

su error:

Blc %JN

;i%1

(li . SlcT)2

N(N . 1)(1.8)

y el resultado:

lc % SlcT u Blc cm (1.9)

El volumen será:

vl % SlaTSlbTSlcT (1.10)

y su error:

Bvl % vlABlaSlaT

!BlbSlbT

!BlcSlcTB (1.11)

siendo el resultado:

Vl % vl u Bvl cm3 (1.12)

1.3.4. Superficie de la arandelaCon las cuchillas inferiores del pie de rey se mide N veces el diámetro exterior de la aran-dela, procurando medir cada vez en posiciones distintas de la misma, obteniendo:

SdeT %

N

;j%1

dj

N(1.13)

y su error

Bde %JN

;j%1

(dj . SdeT)2

N(N . 1)(1.14)


Con las cuchillas superiores se mide el diámetro interior, también en posiciones distintasobteniendose SdiT y Bdi. La superficie se calcula restando la interior de la exterior:

sa % nASdeT

2 B2

. nASdiT

2 B2

(1.15)

su error:

Bsa %JALsa

LSdeTBd3B

2

!ALsa

LSdiTBdiB

2

(1.16)

y el resultado:

Sa % sa u Bsa cm2 (1.17)

1.3.5. Volumen de la arandelaEl volumen se obtiene multiplicando el espesor por la superficie, para lo cual se mide Nveces este último con el micrómetro, dando como resultado SeaT y Bea. De tal forma queel volumen vendrá dado por:

va % saSeaT (1.18)

su error:

Bva % vaABsa

sa

!Bea

SeaTB (1.19)

y el resultado:

Va % va u Bva cm3 (1.20)

1.3.6. Volumen del tuboAl medir un objeto flexible hay que tener mucho cuidado con no comprimirlo o doblarlo,pues esto falsearía las medidas. El procedimiento para hallar el volumen del trozo de tubopuede ser análogo al empleado con la arandela, salvo para medir la altura en la que se usael pie de rey o el micrómetro según sea necesario. No obstante, vamos a realizarlo de otraforma, primero se obtendrá el volumen del cilindro como si fuera macizo y luego el volu-men del hueco, restando el segundo del primero se obtendrá el volumen del tubo. Medire-mos los diámetros interior y exterior como en la arandela, luego la altura, como se hizocon el espesor en los casos anteriores, pero ahora con el pie de rey. Así tendremos tresmedidas:

di % SdiT u Bdi cm

de % SdeT u Bde cm (1.21)

h % ShT u Bh cm

El volumen interior será:

vi % nASdiT

2 B2

ShT (1.22)

su error:

Bvi %JALvi

LSdiTBdiB

2

!ALvi

LShTBhB

2

(1.23)


y el resultado:

Vi % vi u Bvi cm3 (1.24)

El volumen exterior será:

ve % nASdeT

2 B2

ShT (1.25)

su error:

Bve %JALve

LSdeTBdeB

2

!ALv

LShTBhB

2

(1.26)

y el resultado:

Ve % ve u Bve cm3 (1.27)

El volumen del tubo será:

vt % ve . vi (1.28)

su error:

Bvt % Bve ! Bvi (1.29)

y el resultado:

Vt % vt u Bvt cm3 (1.30)

1.3.7. Medida de masasSe pretende determinar la masa del objeto anterior, del que se ha determinado su volumen.De tal manera que si conocemos su densidad podemos obtener su masa con m%Vo. Ladensidad la podemos encontrar con el auxilio de unas tablas de densidades si se conoce elmaterial del que está fabricado. Para el desarrollo del trabajo que se describe a continuaciónse usa una balanza de doble platillo, como la que se muestra en la Figuras 1.7(a) y 1.8.Una balanza de este tipo es un instrumento muy delicado que se ha de manejar con sumo

FIGURA 1.8. Esquema de una balanza mecánica de doble platillo.


cuidado. Debido a que consta de un brazo que debe estar perfectamente horizontal —equi-librado—, lo primero es ajustar el cero de la balanza, que viene indicado por la escala dedesviación, esto se consigue deslizando con cuidado los tornillos de ajuste del cero con elreiter (que se define más adelante) en el centro del brazo. Una vez conseguido, se puedeempezar a trabajar.

1.3.7.1. Determinación de la sensibilidad

Una balanza es tanto más sensible cuanto una pequeña masa, colocada en uno de los plati-llos, desplace más el fiel en la escala de desviación, esta sensibilidad depende de la balan-za y de la caja de pesas que se use. Las balanzas más sensibles tienen el brazo graduado deacuerdo con el peso que supone colocar un pequeño objeto, llamado reiter, en esa posición,normalmente cada división corresponde a 1 mg. Esto equivale a colocar una pesa de esamasa en el platillo correspondiente. El reiter nos servirá para determinar la sensibilidad dela balanza. Se coloca el reiter en la posición 1, que equivale a 1 mg, y se dispara la balan-za con los platillos vacíos, anotando la desviación (si) del cero de la escala de desviación,la sensibilidad será si. Se repite esta medida, colocando en ambos platillos las mismas ma-sas, para varios valores, por ejemplo, 10, 20, 50, 100 y 200 g. Obteniendo así una tabla desensibilidades y masas, que representada gráficamente, nos dará la curva de sensibilidad.

1.3.7.2. Método directo de pesada

Se coloca el objeto problema en uno de los dos platillos (normalmente el de la izquierda) yse equilibra su peso con las pesas y el reiter en el otro platillo, obteniendo así su masa:

mO % mpesas!reiter u BmO % mpesas!reiter u 0,001 g (1.31)

siendo el error la precisión que se consigue con el reiter. Este método es muy impreciso,debido a que no tiene en cuenta los posibles defectos de fabricación.

1.3.7.3. Método de la doble pesada

Se realiza una pesada (m1) como la del apartado anterior (1.3.7.2) y otra de la misma for-ma, pero intercambiando los platillos (m2). La masa será:

mO % ∂m1m2 u BmO g (1.32)

siendo el error:

BmO % 0,001 Jm1

m2!

m2

m1(1.33)

Este método fue ideado por el físico alemán Carl Gauss (1777-1855) y corrige los posibleserrores de fabricación en la simetría de la balanza.

1.3.7.4. Método de la tara

Es el que corrige mejor los posibles defectos del instrumento. Se utiliza un objeto que tieneuna masa desconocida, pero ligeramente superior al objeto problema, que se denomina tara(mT) y se coloca en uno de los platillos, mientras que en el otro se coloca el objeto proble-


ma con las pesas suficientes para equilibrar la balanza —siempre con la ayuda del reiter—.De tal forma que tendremos:

mT % mO ! mpesas!reiter (1.34)

a continuación se retira el objeto problema y se vuelve a equilibrar la balanza añadiendopesas. Teniendo ahora:

mT % mñpesas!reiter (1.35)

Por tanto la masa problema será:

mO % (mñpesas!reiter . mpesas!reiter) u BmO g (1.36)

siendo ahora el error de 0,002 mg.

1.4. ResultadosLos datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

1.4.1. Longitudes, superficies y volúmenesSe deben de presentar las tablas de las N medidas realizadas para todos los casos y los re-sultados obtenidos para longitudes, superficies y volúmenes.

1.4.2. BalanzaSe construye la tabla con los datos obtenidos y se dibuja la curva de sensibilidad. Se obtie-ne la masa por los tres métodos descritos [Ecuaciones (1.31) a (1.36)] y se discuten las di-ferencias, comparándolas, a su vez, con el dato obtenido a partir de la densidad del mate-rial, si es posible.

1.5. Cuestiones1. Deducir cuánto aumenta el error si solamente se usa el pie de rey en los Aparta-

dos 1.3.4 y 1.3.5.

2. Hallar la densidad del material usado en los Apartados 1.3.6 y 1.3.7.


Velocidady aceleración

2.1. Introducción2.1.1. Leyes de Newton2.1.2. Ecuación del movimiento2.1.3. Movimiento de una partícula bajo una fuerza constante

2.2. Instrumentación2.2.1. Mínima2.2.2. Medida automática2.2.3. Medida fotográfica

2.3. Método experimental2.3.1. Deslizamiento sin rozamiento2.3.2. Deslizamiento con rozamiento

2.4. Resultados2.4.1. Deslizamiento sin rozamiento2.4.2. Deslizamiento con rozamiento

2.5. Cuestiones

En este experimento se pretende obtener la velocidad y la aceleración de un cuerpo que semueve en un campo de fuerzas constante, como el campo gravitatorio terrestre. Para lo cualse medirán espacios y tiempos a intervalos regulares.

2.1. Introducción

La mecánica pretende la descripción del movimiento de un cuerpo a través del tiempo ydel espacio, estableciendo un método a partir de leyes y teoremas. La mecánica clásica estábasada en los trabajos que establecieron, principalmente, Galileo Galilei (1564-1642) eIsaac Newton (1643-1727) durante los siglos XVI y XVII y es la que se va a utilizar en estecapítulo. Su campo de aplicación está limitado a cuerpos que se mueven a velocidades in-feriores a la décima parte de la velocidad de la luz y en un espacio comprendido entre10.10 —tamaño del átomo— y 1020 metros —tamaño de una galaxia—. A velocidades su-periores la mecánica pasa a ser relativista, a distancias inferiores se convierte en mecánicacuántica y a mayores tamaños entra en juego la física del cosmos, donde se tiene que usarla teoría general de la relatividad. Esto quiere decir que los principios de los que vamos apartir en mecánica clásica, tienen que ser cambiados para explicar los movimientos que tie-nen lugar fuera de esos ámbitos. La mecánica se basa en la medida del espacio y del tiem-po, por tanto se tiene que comenzar definiendo en qué espacio nos movemos y con quétiempo medimos. Partimos de un espacio y un tiempo continuos, concepto aplicable en to-das las ciencias, esto quiere decir que los hechos suceden en un lugar y en un instante de-terminados, existiendo magnitudes universales que los miden, por lo que dos observadorespueden hacer medidas comparables para determinar ese lugar y ese instante. En mecánicaclásica se restringe el espacio a uno euclídeo y homogéneo de tres dimensiones, esto signi-fica que la relación causa efecto es independiente de la dirección en que suceda (esto no escierto en física del cosmos). En mecánica clásica el tiempo es universal, por tanto, dos ob-servadores que han sincronizado sus relojes coincidirán siempre sobre el instante en que unacontecimiento ocurre (lo que no es cierto en mecánica relativista). En mecánica clásica lamedida —tanto del tiempo como el espacio— sólo está limitada por la precisión de losaparatos, pues, como decía Newton «los errores no pertenecen a las artes, sino a los artífi-ces», por tanto, la medida puede ser tan exacta como estos lo permitan (lo que no sucedeen mecánica cuántica). Si un observador quiere determinar la posición de un punto en elespacio en un instante, basta con medir la distancia desde el observador al punto y suorientación en el espacio, o, lo que es lo mismo, establecer el vector de posición (r) delpunto (Figura 2.1) y anotar el tiempo con la ayuda de un reloj. Normalmente se utiliza unsistema de ejes coordenados ortogonales, cuyo centro coincide con el observador. El con-junto formado por los ejes y el reloj se denomina sistema de referencia. Así, el vector deposición será:

r % x i ! y j ! zk %

3

;i%1

xi ei (2.1)

donde x1 % x, x2 % y, x3 % z, e i , j y k (e1 % i , e2 % j y e3 % k ) son los vectores unita-rios en las direcciones ortogonales del espacio. La velocidad (v ) se define como la varia-ción del vector de posición con el tiempo:

v %dr

dt% vx i ! vy j ! vz k %

dx

dti !

dy

dtj !

dz

dtk (2.2)

otras formas de expresar la velocidad serían:

v % r5 % x5 i ! y5 j ! z5 k(2.3)

v %

3

;i%1

vi e i %

3

;i%1

dxi

dtei %

3

;i%1

x5 i e i


FIGURA 2.1. Vector de posición de una partícula en n sistema de ejes coordenados cartesianos.

donde los puntos sobre las variables expresan sus derivadas respecto del tiempo y, en lasegunda forma, v1 % vx, v2 % vy, v3 % vz. La aceleración es la derivada de la velocidad res-pecto del tiempo, de la forma:

a%dv

dt%

d2r

dt2%ax i!ay j!az k%

dvx

dti !

dvy

dtj !

dvz

dtk %

d2x

dt2i !

d2y

dt2j !

d2z

dt2k (2.4)

que de las otras formas queda:

a % v5 % r5 5 % v5x i ! v5y j ! v5z k % x5 5 i ! y5 5 j ! z5 5k(2.5)

a %

3

;i%1

ai e i %

3

;i%1

dvi

dtei %

3

;i%1

d2xi

dt2ei %

3

;i%1

v5 i e i %

3

;i%1

x5 5i ei

donde los dos puntos significan la derivada segunda del respecto del tiempo y el resto tieneun significado análogo al de las expresiones de la velocidad (2.3).

Tanto la posición, como la velocidad y la aceleración, tienen solamente un significadorelativo pues están referidas a un sistema de referencia. Por tanto, si tenemos dos cuerposque se mueven con velocidad relativa uniforme (v % constante, mismo módulo, direccióny sentido, por tanto, aceleración nula) es imposible saber cuál se mueve y cuál está en re-poso, este aserto constituye el principio de relatividad en mecánica clásica, que no hay queconfundir con la relatividad de Einstein. Se puede deducir de este principio, que dos obser-vadores, que estudian un movimiento, llegarán a los mismos resultados si sus sistemas dereferencia se mueven con movimiento relativo uniforme. Por tanto, las leyes de la físicaexpresadas en cualquiera de estos sistemas de referencia con velocidad uniforme serán lasmismas, esta hipótesis se denomina invarianza galileana y a estos sistemas de referencia seles llama inerciales. El problema surge al intentar establecer un sistema de referencia pa-trón que esté fijo (v % 0), en general esto es imposible, pero sí los es para cada problemaconcreto, lo que se verá a lo largo de este libro.

2.1.1. Leyes de NewtonLos principios en los que se basa la mecánica clásica fueron enunciados por Isaac Newtonde la forma siguiente:

1.a Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneoa menos que sea obligado a cambiarlo por fuerzas que actúen sobre él.

Capítulo 2. Velocidad y aceleración 29

2.a El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza y ocurre según la línea rectaa lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

3.a Con toda acción concurre siempre una reacción igual y contraria: o sea las accio-nes mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos.

Aparecen en su libro Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáti-cos de la filosofía natural) publicado en 1687 y se conocen como las leyes de Newton. Es-tos principios sólo tienen una demostración experimental. Son aplicables a cuerpos puntua-les, es decir a partículas (puntos sin dimensiones pero con masa), o a todos aquelloscuerpos que, dado el problema a estudiar, pueden ser considerados como partículas.

La 1.a ley es conocida como ley de inercia y establece el concepto de fuerza cero. Uncuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza se denomina cuerpo o partícula libre.

La 2.a ley da una definición de fuerza que, matemáticamente, se puede expresar como:

F % ma % mdv

dt% m

d2r

dt2% mv5 % mr5 5 (2.6)

Newton introdujo un nuevo concepto, que llamó cantidad de movimiento y que hoy se de-nomina momento lineal, como:

p z mv % mdr

dt% mr5 (2.7)

con el cual la fuerza se puede expresar de la forma:

F %dp

dt% p5 (2.8)

siendo, el factor de proporcionalidad entre la fuerza y el cambio de movimiento, la masade la partícula (m), que es constante en mecánica clásica. Sabemos cómo medir la veloci-dad y la aceleración pero para llegar a un conocimiento de la 2.a ley de Newton se necesitaobtener una definición precisa de la masa. Para esto hay que apelar a la 3.a ley, que pode-mos escribir de la forma:

F1 %.F2(2.9)

m1a1 %.m2a2

para dos partículas aisladas de masas m1 y m2 y aceleraciones a1 y a2 producidas por lainteracción mutua de sus fuerzas: F1 de la partícula m1 sobre m2 y F2 de la partícula m2

sobre m1. Esta expresión se puede escribir:

m1

m2%.

a1

a2(2.10)

donde el signo menos da cuenta de los sentidos inversos de las aceleraciones. De tal for-ma que, si una de las masas es una masa patrón, podemos conocer la otra haciéndolasinteraccionar, pues en el instante del choque, las posibles fuerzas que pueden existir se-rán despreciables frente a las fuerzas de interacción. Esta es la forma habitual en que setrabaja en los aceleradores de partículas. Otra forma de medir masas es la que se describeen el Capítulo 1, usando una balanza, esta sería la masa gravitatoria, mientras que la obte-nida anteriormente es la masa inercial. La masa gravitatoria es el resultado de someter auna masa a un campo de fuerzas gravitatorio y la masa inercial es la que se determina mi-diendo la aceleración de un cuerpo bajo la acción de una fuerza dada. Las dos masas soniguales dentro de una parte por 100 mil millones.


2.1.2. Ecuación del movimientoLa 2.a ley de Newton (2.6) escrita de la forma:

F % Fx i ! Fy j ! Fz k % md2r

dt2% mA

d2x

dt2i !

d2y

dt2j !

d2z

dt2kB (2.11)

se puede descomponer en tres ecuaciones escalares de la forma:

Fx % md2x

dt2

Fy % md2y

dt2(2.12)

Fz % md2z

dt2

que son tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, que se pueden resolver para en-contrar la expresión del vector de posición en función del tiempo:

r(t) % x(t) i ! y(t) j ! z(t)k (2.13)

esta solución da lugar a dos constantes de integración, pues la Ecuación (2.11) es de segun-do orden. Estas constantes se obtienen con las condiciones iniciales, que corresponden alos valores de la posición (r(0)) y la velocidad (v(0)), cuando se pone en marcha el cronó-metro (t % 0) para comenzar a resolver el problema. Las Ecuaciones (2.11) o (2.12) se de-nominan ecuaciones del movimiento de una partícula.

2.1.3. Movimiento de una partícula bajo una fuerzaconstante

Si la fuerza es constante producirá una aceleración también constante sobre la masa de lapartícula. Si medimos la velocidad (v0) en el instante inicial (t % 0) y en otro instante cual-quiera (t % t y v ), la aceleración constante (a) será:

a %v . v0

t(2.14)

de tal forma que nos queda la ecuación:

v %dr

dt% v0 ! at (2.15)

Donde podemos integrar para obtener la expresión del desplazamiento en función deltiempo:

dr % v0 dt ! at dt(2.16)

Ir

r0

dr % v0 It

0

dt ! a It

0t dt

r % r0 ! v0t !1

2at2 (2.17)



2.2.1. MínimaUn plano inclinado para la realización de este experimento se puede conseguir con un per-fil en forma de ángulo, que se puede inclinar con la ayuda de un soporte de laboratorio. Sedebe pegar al perfil una cinta métrica para medir desplazamientos. Sobre el perfil puededeslizar una bola o un objeto cualquiera, con la sola condición de que el rozamiento seabajo. No obstante, es mejor usar un carril de bajo rozamiento con una regla graduada in-corporada para medir desplazamientos, sobre el que se puede deslizar un carrito que sirvede masa. El carril debería incorporar un sistema de inclinación graduable, aunque esta sepuede conseguir con unos bloques de cualquier material. Un cronómetro, una cinta métricao una regla graduada larga.

2.2.2. Medida automáticaLa sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema auto-mático en línea con un ordenador, produce una notable mejora en las medidas, no obstante,suele ser de coste elevado. Existen casas comerciales que suministran sistemas automáticosde medida que se pueden acoplar a carriles.

2.2.3. Medida fotográficaSe puede utilizar una cámara fotográfica digital, situada fija en un trípode, que sea capazde tomar imágenes automáticamente a intervalos regulares de tiempo (modo ráfaga).

2.3. Método experimental

2.3.1. Deslizamiento sin rozamientoSe monta el dispositivo de la Figura 2.2 con un ángulo (h) pequeño, de 10o aproximada-mente. En esta Figura 2.2 la masa se mueve bajo la acción de su peso (mg), concretamentede la componente paralela al carril (mg sen h) de la fuerza de la gravedad, pues la compo-nente normal al carril (mg cos h) queda anulada por la reacción de éste (N). Partiendo delreposo, se deja deslizar la masa (m) desde el extremo más alejado del suelo, se mide eltiempo (tl) que tarda en llegar al otro extremo y se calcula la velocidad media (vl%l/tl).La Ecuación (2.17) se puede escribir en este caso de la forma:

l %1

2alt

2l

(2.18)

al %2l

t2l

Repetir el procedimiento para diversas distancias recorridas por la masa, por ejemplo,las que se muestran en la Figura 2.3: los 3/4, la mitad y 1/4, de la longitud (l) del carril(Tabla 2.1).


FIGURA 2.2. Fuerzas que actúan sobre una masa en un plano inclinado sin rozamiento.

FIGURA 2.3. Ejemplo de las distancias en que se pueden realizar las medidas del movimientode una masa en un plano inclinado. El seno ángulo de inclinación se puede obtenerdividiendo la altura h por la longitud total del carril l.

Tabla 2.1. Conjunto de medidas y resultados que hay que obteneren cada procedimiento

Distanciarecorrida

Tiempotranscurrido

Velocidad Aceleración

l tl vl % l/tl al % 2l/t2l

3l/4 t3l/4 v3l/4 % 3l/4t3l/4 a3l/4% 3l/2t23l/4

l/2 tl/2 vl/2 % l/2tl/2 al/2% l/t2l/2

l/4 tl/4 vl/4 % l/4tl/4 al/4% l/2t2l/4

Se repite el experimento N veces (al menos 5) y se construye una tabla con los datos ylos resultados obtenidos. De tal manera, que los valores de cualquiera de las cuatro veloci-dades serán:

v % SvT u Bv %

N

;i%1

vi

Nu Bv (2.19)


siendo el error

Bv %JN

;i%1

(vi . SvT)2

N(N . 1)(2.20)

Cambiando los datos de la velocidad por los de la aceleración en las Expresiones (2.19)y (2.20) se hallan las cuatro aceleraciones. Con estos resultados se debe obtener una gráfi-ca como la de la Figura 2.4, es decir, las cuatro aceleraciones de la Tabla 2.1 deben ser,aproximadamente, iguales. Con los cuatro valores de la velocidad representar una gráficade velocidades frente a tiempos (Figura 2.5) y hallar su pendiente con la expresión delajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I):

a %

4

;j%1

vj tj .4

;j%1

vj

4

;j%1

tj

44

;j%1

t2j .A4

;j%1

tjB2 (2.21)

pues la pendiente será la aceleración (a), dada por la Ecuación 2.14, teniendo en cuentaque la velocidad inicial del experimento es cero. Su error, según el ajuste por mínimoscuadrados, será:

Ba %J4

44

;j%1

t2j . A4

;j%1

tjB2 Bv (2.22)

FIGURA 2.4. Aceleración en función del tiempo de una partícula que se mueve bajo la acciónde una fuerza constante.

Escribiendo la segunda ley de Newton (2.6) se obtiene:

mg sen h % mañ

(2.23)añ % g sen h

donde g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se realiza el experimento.El seno del ángulo de inclinación se obtiene midiendo h (Figura 2.3), como sen h % h/l.La aceleración añ será el valor teórico, que se debe comparar con los resultados obtenidosexperimentalmente y discutir las diferencias.


FIGURA 2.5. Velocidad en función del tiempo de una partícula que se mueve bajo la acciónde una fuerza constante.

El experimento se puede repetir para varias masas, lastrando el carrito, y se comproba-rá que la aceleración no depende de la masa (2.21). También se puede repetir para variasinclinaciones y se constatará que ahora la aceleración si varía (2.23).

2.3.2. Deslizamiento con rozamiento

Consideramos una fuerza de rozamiento (FR % bmg cos h) proporcional a la fuerza normal(N) que es la reacción al peso por parte del carril (Figura 2.6). La ecuación del movimientode la masa será:

mg sen h . FR % ma(2.24)

mg sen h . bmg cos h % ma

FIGURA 2.6. Fuerzas que actúan sobre una masa en un plano inclinado con rozamiento.

donde b es el coeficiente de rozamiento, que despejado de la ecuación anterior, nosqueda:

b % tan h .

a

g cos h(2.25)

Utilizar para la aceleración (a) el valor obtenido con la pendiente, en el apartado ante-rior y hallar el coeficiente de rozamiento (b) con la Ecuación (2.25). Si se han realizadomedidas a distintas inclinaciones, comprobar la dependencia del coeficiente de rozamientocon el ángulo.


2.4. Resultados

Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

2.4.1. Deslizamiento sin rozamientoSe construirá una tabla con los N datos y resultados de las medidas realizadas (l, t, v, a)para los, al menos cuatro, puntos en que se ha medido (l, 3l/4, l/2, l/4). Se representarán lasdos gráficas de aceleración y velocidad frente al tiempo (Figura 2.4 y 2.5), calculando laaceleración y su error (2.21 y 2.22). Si se ha medido a distintas inclinaciones y con distin-tas masas, se construirán las tablas correspondientes y se representará gráficamente la de-pendencia de la aceleración con el ángulo y la masa.

2.4.2. Deslizamiento con rozamientoSe obtendrá el coeficiente de rozamiento (b). Se estudiarán las posibles fuentes de error.

2.5. Cuestiones

1. Encontrar y discutir las causas de las discrepancias entre el valor teórico (añ) y el expe-rimental (a) de la aceleración.

2. Obtener la aceleración de la gravedad utilizando la Expresión (2.23) escrita de la for-ma:

g %a

sen h

y compararla con el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar, discutiendo lasposibles diferencias.


Péndulo

3.1. Introducción3.1.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polares3.1.2. Energía de una partícula3.1.3. Equilibrio de una partícula3.1.4. Péndulo plano3.1.5. Péndulo simple3.1.6. Péndulo compuesto

3.2. Instrumentación3.2.1. Estándar3.2.2. Mejorado3.2.3. Medida automática3.2.4. Medida fotográfica

3.3. Método experimental3.3.1. Obtención del periodo del péndulo simple3.3.2. Obtención de la aceleración de la gravedad3.3.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto

3.4. Resultados3.4.1. Obtención del periodo del péndulo3.4.2. Obtención de la aceleración de la gravedad3.4.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto

3.5. Cuestiones

Las primeras noticias que se tienen del uso del péndulo datan del siglo X, cuando el árabeegipcio Ibn Yunus lo utilizó como reloj en sus observaciones astronómicas. Hacia 1602 GalileoGalilei estudió el péndulo simple y estableció que su periodo es independiente de la masa yde la amplitud de oscilación. Christian Huygens construyó en 1656 un reloj de péndulo, queperfeccionó en los años sucesivos hasta que obtuvo una precisión de un segundo. Utilizandoun péndulo, en 1671 se comprobó que la aceleración de la gravedad varía con la latitud. Eneste experimento se estudiará el movimiento del péndulo y se deducirá la aceleración de lagravedad en el lugar donde el experimentador se encuentra.

3.1. Introducción

3.1.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polaresCuando una partícula se mueve en un plano (Figura 3.1) su posición está determinada porel vector de posición (r):

r % x i ! y j (3.1)

FIGURA 3.1. Trayectoria de una partícula. Se indican: el vector de posición (r) y la velocidad (v)en un punto; las coordenadas cartesianas (x, y) y esféricas (r, h); y los vectoresunitarios { i , j} y {er, eh}.

su velocidad por:

v %dx

dti !

dy

dtj (3.2)

y su aceleración por:

a %d2x

dt2i !

d2y

dt2j (3.3)

donde x e y son las coordenadas cartesianas del punto de la trayectoria e i y j son losvectores unitarios en el eje X e Y respectivamente. También se puede definir otro sistemade coordenadas, llamadas esféricas, en las que el vector de posición sería simplemente:

r % rer (3.4)

siendo er un vector unitario en la dirección del vector de posición y existiendo otro vectorunitario perpendicular a este (eh), de tal forma que las coordenadas de un punto cualquieradel plano serían la distancia r y el ángulo h. A diferencia del sistema cartesiano, en coorde-nadas polares los vectores unitarios no permanecen fijos durante el movimiento (Figu-ra 3.2), de tal manera que la velocidad se expresa de la forma:

v %d(rer)

dt%

dr

dter !

der

dt(3.5)

En la Figura 3.2 se representa un pequeño desplazamiento (ds) de una partícula a lolargo de una trayectoria, que corresponde a una pequeña variación de la coordenada r (dr)y de la coordenada h (dh), lo que implica una variación en la dirección de los vectores uni-


tarios (deh y der). Teniendo en cuenta que para ángulos pequeños el arco es igual al ángu-lo por el radio y observando la Figura 3.2 podemos deducir que:

der % eh dh(3.6)

deh % .er dh

FIGURA 3.2. Desplazamiento entre y de una partícula y los distintos parámetrosen coordenadas esféricas.

dividiendo ambos términos por dt no queda:

der

dt% eh

dhdt

(3.7)deh

dt%.er

dhdt

que son las derivadas respecto del tiempo de los vectores unitarios, que sustituimos en laexpresión de la velocidad (3.5) de la forma:

v %dr

dter ! r

dhdt

eh (3.8)

La aceleración será:

a%dv

dt%

d

dt Adr

dter!r

dhdt

ehB%d2r

dt2er!

dr

dt

der

dt!

dr

dt

dhdt

eh!rd2hdt2

eh!rdhdt

deh

dt(3.9)

sustituyendo (3.7) en (3.9) nos queda:

a %Cd2r

dt2. r A

dhdtB

2

D er ! Ard2hdt2

! 2dr

dt

dhdtB eh (3.10)

Obsérvese que cada una de las componentes de la velocidad y la aceleración tiene lasdimensiones correctas.

3.1.2. Energía de una partículaEl trabajo que realiza una fuerza (F) para desplazar una partícula una distancia dr se defi-ne por un escalar, que es la integral entre el estado inicial y el final del producto escalar dela fuerza por el desplazamiento, de la forma:

W zI2

1F dr (3.11)

Capítulo 3. Péndulo 39

el producto escalar se puede obtener de la forma:

F dr % ma dr % mdv

dtdr (3.12)

multiplicando y dividiendo por dt nos queda:

Fdr % mdv

dt

dr

dtdt % m

dv

dtv dt %

1

2m

dv2

dtdt % dA

1

2mv2B (3.13)

Se define la energía cinética como la que tiene una partícula que se mueve con unacierta velocidad, de la forma:

T %1

2mv2 (3.14)

por tanto la Expresión (3.10) queda:

W %1

2mv2 G

2

1%

1

2m(v2

2 . v21) % T2 . T1 (3.15)

Si T1 b T2 el trabajo es negativo, es decir la partícula ha realizado un trabajo comoconsecuencia de la disminución de su energía cinética, que ha cedido al medio en el que semueve. Si T1 a T2 el trabajo es positivo, es decir la fuerza ha realizado un trabajo paraaumentar la energía cinética de la partícula, que ha obtenido del medio en el que se mueve.

Si la partícula no varía su velocidad, es decir sale del punto 1 con una velocidad y al-canza el punto 2 a la misma velocidad, solamente ha cambiado de posición, pero el trabajono tiene por que ser nulo pues se ha utilizado para variar su energía potencial. Esta es lapropiedad que tienen algunos campos de fuerza para variar su energía en función de la po-sición. Como el campo gravitatorio terrestre, que es función de la altura, en este caso seríael trabajo necesario para subir un objeto de un punto a otro, estando este último más altoque el primero. El trabajo ahora se utiliza para variar la energía potencial desde V1 a V2, dela forma:

I2

1F dr % V1 . V2 (3.16)

esta ecuación se puede escribir de la forma:

F % .MV %.ALV

dxi !

LV

dyj !

LV

dzkB (3.17)

lo que implica que la fuerza deriva de un potencial. Sumando una constante al potencial(F %.M (V ! constante)) se obtiene la misma fuerza, por lo que sólo tiene sentido hablarde diferencias de potenciales, con otras palabras, la posición del origen de potenciales esarbitrario.

La energía (E) de una partícula que se mueve por el espacio variando posición y velo-cidad será la suma de las dos energías, cinética y potencial:

E % T ! V %1

2mv2

! V(x, y, z) (3.18)


si la energía potencial sólo depende de la posición, como se indica en (3.17), no dependeexplícitamente ni del tiempo ni de derivadas superiores del vector de posición (veloci-dad, aceleración), la energía se conserva, es decir, el campo de fuerzas en el que se mue-ve la partícula es un campo conservativo. Dado que la energía cinética es siempre positi-va, la partícula está restringida a moverse en una trayectoria en la que la energía seasiempre menor o igual que la energía potencial (E m V). Para aclarar este concepto vea-mos un ejemplo, supongamos que una partícula está restringida a moverse en el eje X —sutrayectoria es una recta que coincide con el eje X— bajo la acción de una fuerza que deri-va de un potencia (V(x)) que sólo es función de la coordenada x, de tal manera que suenergía es:

E %1

2mA

dx

dtB2

! V(x) (3.19)

Si se conoce la curva de energía potencial (V(x)), como se representa en la Figura 3.3,y podemos calcular su energía total (E), midiendo en un punto su posición y velocidad, quese representa por la línea E en la Figura 3.3, se puede deducir que la partícula está restrin-gida a moverse entre x1 y x2 o entre x3 e infinito, dependiendo de la posición inicial. Ade-más los puntos x1, x2 y x3 son puntos de retorno en los que la energía total es igual a lapotencia (E % V) y por tanto la velocidad es cero, en ellos la partícula cambia de sentido.Se puede deducir: si la posición inicial de la partícula está entre x1 y x2, realizará un movi-miento de oscilación entre ambos; si la posición inicial está entre x3 e infinito y se acerca ax%0, decelerará hasta rebotar en x3, volviendo después hacia el infinito.

FIGURA 3.3. Energía potencial V en función del desplazamiento para un movimientomonodimensional. Se indican los puntos entre los que se mueve la partículaen función del valor de la energía total E.

3.1.3. Equilibrio de una partícula

Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúansobre ella es nula (F % 0). En el ejemplo anterior de la Figura 3.3 la fuerza deriva de unpotencial conservativo, es decir F %.dV/dx, por tanto los valores que hacen cero esa deri-vada serán los máximos y mínimos de la función V(x). Los puntos máximos serán posicio-nes de equilibrio inestable, pues la partícula tiende a alejarse de ellos cuando los abandona,mientras que los mínimos serán de equilibrio estable pues la tendencia es inversa. En laFigura 3.3, la partícula que se mueve entre los puntos x1 y x2 pasa por una posición deequilibrio estable en cada semioscilación. En la Figura 3.4 se representan los valores deequilibrio para esa curva de energía potencial. La condición de equilibrio no implica que lapartícula esté quieta, pues F % ma y, al hacerse nula la fuerza, se hace nula la aceleración,por tanto, la velocidad debe ser constante, pero no necesariamente cero.


FIGURA 3.4. Energía potencial V en función del desplazamiento para un movimientomonodimensional. Se indican los puntos de equilibrio estable e inestable.

3.1.4. Péndulo planoUn péndulo plano está compuesto por una partícula de masa m unida al extremo de unavarilla rígida, inextensible, de masa despreciable y de longitud �, que puede girar alrededorde un punto O en el que está sujeta por el extremo opuesto a la masa (Figura 3.5). De talforma que la masa está obligada a moverse en un arco de circunferencia de centro en O yradio �. Existe un campo gravitatorio uniforme de aceleración g que actúa en el plano delmovimiento y en la dirección perpendicular al eje X, este campo produce la única fuerzaque mueve la masa, es decir no existe rozamiento, por lo que el movimiento será ideal. Lamasa tiene dos posiciones de equilibrio: una estable en (0, 0) y otra inestable en (0, 2�). Sila partícula se lleva a una posición cualquiera dada por la coordenadas (x, y) y luego sesuelta, el péndulo oscilará entre dos posiciones extremas. Al no haber rozamientos, el pén-dulo alcanza una misma posición máxima en cada oscilación, por tanto la energía se con-serva. En cada instante, esa energía será la suma de la energía cinética y la energía poten-cial y se puede escribir de la forma siguiente:

E % T ! V %1

2mv2

! mgy (3.20)

FIGURA 3.5. Representación esquemática del movimiento de un péndulo plano.

siendo v la velocidad en ese punto. De tal forma, que el péndulo se mueve intercambiandoenergía entre cinética y potencial, como se muestra en la Figura 3.6 para una energía totaligual a E3.


FIGURA 3.6. Energía potencial en función del ángulo de desplazamiento de un péndulo planoy un péndulo simple. Se indican varios niveles de energía.

Usando la Expresión (3.8) para la velocidad en coordenadas esféricas, en el caso delpéndulo, el hilo inextensible hace que la coordenada r permanezca constante a lo largo delmovimiento, por tanto, sólo existe componente tangencial de la velocidad y la velocidaddel péndulo será:

v % �dhdt

(3.21)

La altura y se puede expresar de la forma:

y % � . � cos h % � (1 . cos h) (3.22)

Sustituyendo en la Expresión (3.20), la energía total en cada instante queda:

E % T ! V %1

2m�2A

dhdtB

2

! mg�(1 . cos h) (3.23)

debido a la conservación de la energía total, su derivada respecto del tiempo debe ser iguala cero, por tanto:

dE

dt% m�2 d2h

dt2! mg� sen h % 0 (3.24)

simplificando:

d2hdt2

!g

�sen h % 0 (3.25)

que es la ecuación del movimiento del péndulo plano, siendo claramente no lineal. Su ve-locidad lineal será:

v %J2[E . mg�(1 . cos h)]

m(3.26)


y su velocidad angular:

u %dhdt

%J2[E . mg�(1 . cos h)]

m�2 (3.27)

teniendo ambas sus valores máximos en el punto de equilibrio estable.En la Figura 3.6 se representa la energía potencial (V % mg�(1 . cos h)) en función del

ángulo de desplazamiento (h), donde se tiene 4 casos diferentes:

1. Energía E1 mayor que la energía potencia máxima (VM % 2mg�) que corresponde alos valores extremos de h (.n y n). En este caso no existe oscilación, la partículagira alrededor del pivote O con una velocidad lineal máxima:

vM %J2E1

m(3.28)

y mínima:

vm %J2(E1 . Vm)

m%J

2(E1 . 2mg�)

m(3.29)

y una velocidad angular máxima:

uM %J2E1

m�2 (3.30)

y mínima:

um %J2(E1 . Vm)

m�2 %J2(E1 . 2mg�)

m�2 (3.31)

2. Energía E2 igual a la energía potencia máxima (VM). En este caso la partícula pue-de oscilar o girar pasando por velocidades nulas en la posición de equilibrio inesta-ble. Sus velocidades, lineal y angular, máximas serán:

vM %J2E2

m(3.32)

uM %J2E2

m�2 (3.33)

3. Energía E3 menor que la energía potencia máxima (VM). En este caso, la partículaoscila entre los dos puntos, que corresponden a los cortes de la curva de energíapotencial con la línea de energía E3. En estos puntos la energía cinética es cero y,por tanto, la velocidad se hace nula; son los puntos de retorno (hr).

4. Energía E4 menor que la energía potencia máxima (VM) y amplitud menor de 10o;el péndulo se convierte en un péndulo simple.


3.1.5. Péndulo simple

Si el péndulo realiza oscilaciones pequeñas, entendiendo por tales las que tienen un despla-zamiento máximo —amplitud— inferior a 10o, el seno del ángulo se puede aproximar alvalor del ángulo y la ecuación del movimiento (3.25) queda:

d2hdt2

!g

�h% 0 (3.34)

que es la de un oscilador armónico simple (ver Capítulo 5 para una explicación detallada).La solución de la ecuación del movimiento puede tomar una de las tres formas siguientes:

h(t) % h0 sen (u0t ! r)

h(t) % h0 cos (u0t ! d) (3.35)

h(t) % h1 sen u0t ! h2 cos u0t

siendo la frecuencia angular:

u0 %Jg

�(3.36)

el periodo:

T %2nu0

% 2nJ�

g(3.37)

y la frecuencia lineal:

v %1

T%

u0

2n%

1

2n Jg

�(3.38)

Nótese que r ! d % n/2, pues tanto r como d se toman entre 0 y n. Las constantes deintegración, h0 y r , h0 y d o h1 y h2 (según la solución que se utilice) son parejas de cons-tantes que se obtienen con las condiciones iniciales. La constante h0 (h2

0 % h21 ! h2

2) se lla-ma amplitud de las oscilaciones y como se ve fácilmente nos da el valor máximo del des-plazamiento angular (h), por tanto, la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrioestable alcanzando los valores !h0 y .h0 como extremos de su trayectoria, que son lospuntos de retorno. El argumento del seno y del coseno, en las dos primeras soluciones, esla fase de las oscilaciones, siendo r y d el valor inicial de la fase, que depende de la elec-ción del origen de tiempos. Tanto la frecuencia angular como la lineal y el periodo no de-penden de las condiciones iniciales del movimiento, esta es la característica fundamentalde esta oscilación, estando completamente definidas por las propiedades mecánicas del sis-tema —longitud del hilo y aceleración de la gravedad—. Además, son independientes de lamasa de la partícula.

La energía conservativa del péndulo simple (Figura 3.7) viene dada por:

E % T ! V %1

2m�2 A

dhdtB

2

!1

2mg�h2 (3.39)


FIGURA 3.7. Energía potencial en función del ángulo de desplazamiento de un péndulo simple.Se indica un nivel de energía y los valores de energía cinética y potencialpara un ángulo determinado.

Si se toma como origen del sistema de referencia la posición de equilibrio estable(h % 0) y las condiciones iniciales, velocidad nula y desplazamiento h0, se obtiene una so-lución de la forma:

h(t) % h0 cos u0t (3.40)

obteniéndose la forma cosenoidal de la Figura 3.8. Obsérvese que el movimiento se pro-longa hasta un tiempo infinito, alcanzando la amplitud en cada oscilación, esto es lógicoporque no hay rozamiento, luego el movimiento es ideal.

FIGURA 3.8. Desplazamiento angular en función del tiempo de un péndulo simple.

3.1.6. Péndulo compuesto

Un péndulo compuesto es cualquier objeto rígido que, debido a la gravedad, puede balan-cearse alrededor de un eje horizontal fijo que lo atraviesa. Supongamos una lámina de ma-sa m como la de la Figura 3.9, que puede oscilar alrededor de un punto O, de tal maneraque en un instante cualquiera su centro de gravedad se encuentra en la posición (x, .y),estando éste a una distancia d del punto O. Su energía se puede expresar de forma análogaa la Expresión (3.22), de la forma:

E % T ! V %1

2IA

dhdtB

2

. mgd cos h (3.41)


FIGURA 3.9. Representación esquemática del movimiento de un péndulo compuesto.

donde I es el momento de inercia de la lámina respecto de O. Esta energía se conserva, portanto, como se hizo en (3.24), su derivada será nula:

dE

dt% I

d2hdt2

! mgd sen h % 0 (3.42)

para oscilaciones pequeñas, de desplazamiento inferior a 10o, podemos poner como en(3.34):

d2hdt2

!mgd

Ih % 0 (3.43)

comparando con lo que se hizo en el Apartado 3.1.5, la frecuencia angular y el periodo delpéndulo compuesto serán:

u0 %Jmgd

I(3.44)

T %2nu0

% 2nJI

mgd(3.45)

que comparadas con las Expresiones (3.36) y (3.37) tenemos que:

� %I

md(3.46)

siendo ahora � la longitud del péndulo equivalente, es decir, la longitud del péndulo simpleque tiene el mismo periodo que el péndulo compuesto.


3.2.1. EstándarLa fabricación de un péndulo simple sólo necesita de un hilo ligero que puede ser deplástico, como un sedal de pescador, o de acero. A este hilo se le engancha una bola de


cualquier material, siempre que sea más pesada que el hilo, de forma que la masa del hilosea despreciable frente a la de la bola y se suspende por el otro extremo de cualquier so-porte. Como el periodo es independiente de la masa de la bola, no hay que conocer esta.En la parte superior se puede colocar un círculo graduado para estar seguro de que las os-cilaciones son pequeñas (Figura 3.10). Un péndulo compuesto puede ser simplemente unaregla larga con un orificio en un extremo o una lámina metálica con orificios de las que seusan para bricolage. Para medir el periodo de oscilación del movimiento del péndulo seemplea un cronómetro. Es recomendable utilizar uno digital con una precisión de la centé-sima de segundo. Es necesario aprender a usarlo antes de comenzar las medidas. Para me-dir la longitud del péndulo se emplea una regla.

FIGURA 3.10. Péndulo.

3.2.2. Mejorado

Se puede mejorar la instrumentación usando un pie de rey (Capítulo 1) para medir el diá-metro de la bola, obteniendo así su radio que se le sumará a la longitud del hilo.

3.2.3. Medida automática

La sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistemaautomático en línea con un ordenador, produce una mejora en las medidas al eliminar elerror del observador, no obstante, suele ser de coste elevado y despersonaliza el experi-mento.

3.2.4. Medida fotográfica

Se puede utilizar una cámara fotográfica digital, situada fija en un trípode, que sea capazde tomar imágenes automáticamente a intervalos regulares de tiempo (modo ráfaga).



3.3.1. Obtención del periodo del péndulo simpleSe comienza midiendo con la regla la longitud del péndulo, que es la distancia desde elpivote al centro de la bola (l). Si se utiliza un pie de rey, con este se mide el diámetro de labola y se obtiene el radio (r). Con la regla se mide la distancia desde el pivote a la bola (l).La longitud � será:

sólo con regla con regla y pie de rey� % l ! Bl � % (l ! r) u (Bl ! Br) (3.47)

siendo Bl y Br las precisiones de los aparatos de medida, que en la regla suelen ser de unmilímetro y en el pie de rey depende del aparato usado y suele venir indicado en el mismo.

Para medir el periodo del péndulo se desplaza un ángulo inferior a 10o y se suelta, mi-diendo con el cronómetro el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones. Téngase en cuen-ta que una oscilación es el movimiento entre dos amplitudes positivas, es decir es el movi-miento de ida y vuelta de la bola. Además, la bola no debe girar sobre su eje ni hacermovimiento extraños, es decir, su diámetro debe moverse como continuación de la oscila-ción del hilo. Se repite esta medida N veces, al menos 10, teniendo en cuenta que el des-plazamiento inicial no tiene que ser necesariamente el mismo, pues el periodo es indepen-diente de las condiciones iniciales. El periodo de cada medida (Ti) será la décima parte deltiempo medido (ti) y el periodo del péndulo será el valor medio de esas 10 medidas:

T % STT u BT %

N

;i%1

Ti

Nu BT (3.48)

siendo, el error BT:

BT %JN

;i%1

(Ti . STT)2

N(N . 1)(3.49)

3.3.2. Obtención de la aceleración de la gravedadDe la Expresión (3.37) se obtiene g de la forma:

g % 4n2 �

STT2 u Bg (3.50)

usando para �, bien l o (l ! r) según las medidas realizadas. Siendo, el error Bg:

Bg %JALg

LlBlB

2

!ALg

LTBTB

2

(3.51)

3.3.3. Obtención del periodo y la longitud equivalentedel péndulo compuesto

Se desplaza un ángulo inferior a 10o y se suelta, midiendo con el cronómetro el tiempo quetarda en realizar 10 oscilaciones. Se tiene que procurar que la lámina no se mueva alrede-


dor del eje vertical. Se repite esta medida N veces, al menos 10, teniendo en cuenta que eldesplazamiento inicial no tiene que ser necesariamente el mismo, pues el periodo es inde-pendiente de las condiciones iniciales. El periodo de cada medida (Ti) será la décima partedel tiempo medido (ti) y el periodo del péndulo será el valor medio de esas 10 medidas,Expresiones (3.48) y (3.49), dando el resultado T % STT u BT. Con la Ecuación (3.37) yse obtiene la longitud del péndulo equivalente:

� %gSTT

2

4n2 u B� (3.52)

usando para g y su error los obtenidos en (3.2), siendo su error:

B� %JAL�

LgBgB

2

!AL�

LSTTBSTTB

2

(3.53)

Con la Expresión (3.46) se puede obtener el momento de inercia como:

I % md� (3.54)

la masa de la lámina se puede medir o bien darla como dato y la distancia d es aproxima-damente la mitad de la longitud de la lámina. Aunque este resultado es simplemente esti-mativo, puede ser un buen ejercicio para que el alumno haga una estimación del momentode inercia.

3.4. Resultados


3.4.1. Obtención del periodo del pénduloSe obtiene una tabla de ti y Ti con las N medidas realizadas y el resultado obtenido para elperiodo T [Ecuaciones (3.48) y (3.49)]. Se puede repetir el experimento para diversas lon-gitudes del péndulo y discutir la dependencia con esa longitud.

3.4.2. Obtención de la aceleración de la gravedadObtener la aceleración de la gravedad [con las Expresiones (3.50) y (3.51)] y compararlacon los valores que da la bibliografía en el lugar donde se realizó el experimento. Si se harepetido para varias longitudes, discutir la dependencia con estas.

3.4.3. Obtención del periodo y la longitud equivalentedel péndulo compuesto

Se obtiene una tabla de ti y Ti con las N medidas realizadas y el resultado obtenido para elperiodo T [Ecuaciones (3.48) y (3.49)]. Se obtiene la longitud del péndulo simple equiva-lente con las Expresiones (3.52) y (3.53) y el momento de inercia con (3.54).


3.5. Cuestiones

1. Deducir analíticamente la dependencia del periodo con la longitud del péndulo.

2. Deducir analíticamente la dependencia de la aceleración de la gravedad con la longituddel péndulo.

3. Explicar la dependencia del periodo con la amplitud.

4. Explicar la diferencia entre un péndulo simple ideal y el que se ha utilizado en el ex-perimento.

5. Representar analíticamente un diagrama de velocidades en función del ángulo de des-plazamiento.


Colisiones

4.1. Introducción4.1.1. Problema de dos cuerpos4.1.2. Momento lineal4.1.3. Energía cinética4.1.4. Sistema centro de masas4.1.5. Colisiones elásticas4.1.6. Colisiones inelásticas

4.2. Instrumentación4.2.1. Mínima4.2.2. Mejorado4.2.3. Medida automática4.2.4. Medida fotográfica

4.3. Método experimental4.3.1. Choque frontal elástico4.3.2. Choque frontal inelástico

4.4. Resultados4.4.1. Choque frontal elástico4.4.2. Choque frontal inelástico4.4.3. Coeficiente de restitución

4.5. Cuestiones

En este experimento se estudia el problema de dos cuerpos que interactúan con fuerzas mu-tuas dentro de un campo exterior de fuerzas. Se aplicará al caso concreto de dos objetos querealizan choque frontales elásticos e inelásticos.

4.1. Introducción

4.1.1. Problema de dos cuerposSea un sistema formado por dos partículas, de masas m1 y m2, que interaccionan entre sícon fuerzas interiores (F12 y F21), que cumplen la 3.a ley de Newton:

F12 % .F21 (4.1)

y además se mueve en un campo de fuerzas exteriores, que crea sobre cada una de ellasuna fuerza (F1 y F2). Las ecuaciones del movimiento, obtenidas a partir de la 2.a ley deNewton (Capítulo 2), serán:

m1

d2r1

dt2% F12 ! F1

(4.2)

m2

d2r2

dt2% F21 ! F2

siendo r1 y r2 los vectores de posición respecto de un sistema de referencia inercial (Capí-tulo 2), respecto del cual el vector de posición del centro de masas (R) del sistema será(Figura 4.1):

R %m1r1 ! m2r2

m1 ! m2(4.3)

FIGURA 4.1. Coordenadas cartesianas y relativa del sistema de dos cuerpos.

Definimos un vector r que nos da la posición relativa de las dos partículas como:

r % r1 . r2 (4.4)

es decir, r será el vector de posición de la partícula m1 respecto de la partícula m2. Lastransformaciones inversas serán:

r1 % R !m2

m1 ! m2r

(4.5)

r2 % R .

m1

m1 ! m2r

Sumando las ecuaciones del movimiento (4.2) tenemos:

m1

d2r1

dt2! m2

d2r2

dt2% F12 ! F21 ! F1 ! F2 (4.6)


Según la definición del centro de masas (4.3):

(m1 ! m2)d2R

dt2% m1

d2r1

dt2! m2

d2r2

dt2(4.7)

y con la 3.a ley de Newton (4.1), la Ecuación (4.6) queda:

(m1 ! m2)d2R

dt2% F1 ! F2 % F (4.8)

que es la ecuación del movimiento del centro de masas, que es independiente de las fuer-zas interiores.

Operando con las ecuaciones del movimiento (4.2) podemos obtener:

d2r1

dt2%

F12

m1!

F1

m1(4.9)

d2r2

dt2%

F21

m2!

F2

m2

restando queda:

d2r1

dt2.

d2r2

dt2%

d2r

dt2%

F12

m1.

F21

m2!

F1

m1.

F2

m2(4.10)

teniendo en cuenta la 3.a ley de Newton (4.1) queda:

d2r

dt2% F12 A

1

m1!

1

m2B!F1

m1.

F2

m2(4.11)

que es la ecuación del movimiento relativo, es decir, el movimiento de la partícula m1 refe-rido a m2.

Hagamos una restricción al problema suponiendo que las fuerzas exteriores cumplen lacondición:

F1

m1%

F2

m2(4.12)

que poseen muchos campos de fuerza, por ejemplo, el gravitatorio uniforme.Definimos ahora la masa reducida (k) del sistema de dos partículas como:

1

kz

1

m1!

1

m2(4.13)

k%m1m2

m1 ! m2%

m1m2

M

siendo M % m1 ! m2 la masa total del sistema.Volviendo a escribir las Ecuaciones (4.8) y (4.11), tendremos una nueva versión de las

ecuaciones del movimiento (4.2) de la forma:

Md2R

dt2% F

(4.14)

kd2r

dt2% F12

Capítulo 4. Colisiones 55

la primera es la ecuación del movimiento del centro de masas y la segunda es la ecuacióndel movimiento relativo, es decir, describe el movimiento de una partícula de masa k quese mueve como m1 respecto de m2. Nótese que el sistema de referencia situado en la partí-cula m2 no es, en general, inercial.

En resumen, el movimiento de un sistema de dos partículas se puede desdoblar en elmovimiento del centro de masas y en el movimiento relativo de una partícula respecto dela otra. El primero depende de las fuerzas exteriores y el segundo de las interiores.

4.1.2. Momento linealEl momento lineal del sistema de dos partículas será la suma de los momentos lineales decada una de las dos partículas:

P % p1 ! p2 % m1v1 ! m2v2 (4.15)

Derivando respecto del tiempo la definición del centro de masas (4.3) podemos deducir:

(m1 ! m2)dR

dt% M

dR

dt% MV % m1v1 ! m2v2 (4.16)

por lo que (4.15) se puede escribir como:

P % p1 ! p2 % m1v1 ! m2v2 % MV (4.17)

Es decir, el momento lineal total es el momento lineal del centro de masas.

4.1.3. Energía cinéticaLa energía cinética total del sistema de dos partículas es la suma de la energía cinética decada una de ellas:

T % T1 ! T2 %1

2m1v

21 !

1

2m2v

22 (4.18)

Derivando respecto del tiempo las Ecuaciones (4.5) obtenemos las velocidades de laspartículas en función de las velocidades del centro de masas y relativa, de la forma:

v1 % V !m2

m1 ! m2v

(4.19)

v2 % V .

m1

m1 ! m2v

que sustituidas en (4.18) nos da:

T % T1 ! T2 %1

2MV2

!1

2kv2 (4.20)

la energía cinética total del sistema de dos partículas se expresa aquí como la suma de lasenergías cinéticas del centro de masas y del movimiento relativo.


4.1.4. Sistema centro de masasEn cierto tipo de problemas es conveniente estudiar el movimiento respecto de un sistemade referencia situado en el centro de masas. En general este sistema de referencia no seráinercial salvo que las dos partículas se hallen aisladas, es decir, F %0, o lo que es lo mismo:

Md2R

dt2% 0 (4.21)

Las distintas magnitudes respecto del sistema de referencia del centro de masas las no-taremos con una estrella (*).

Observando la Figura 4.2 podemos obtener:

r1 % r*1 ! R(4.22)

r2 % r*2 ! R

FIGURA 4.2. Coordenadas cartesianas y respecto del centro de masas del sistema de dos cuerpos.

El vector r es independiente del sistema de referencia, por tanto usando las Expresio-nes (4.5) se puede escribir de la forma:

r*1 % r1 . R %m2

m1 ! m2r %

km1

r

(4.23)

r*2 % r2 . R %.

m1

m1 ! m2r %.

km2

r

que nos da los vectores de posición respecto del centro de masas en función del vector re-lativo r . Siendo aquellas múltiplos de este.

En el sistema de referencia centro de masas, los momentos lineales de las dos partícu-las son iguales y de sentido contrario, ya que de (4.3) se puede obtener:

R* %m1r*1 ! m2r*2

m1 ! m2% 0 (4.24)

derivando respecto del tiempo se obtiene:

m1

dr*1dt

! m2

dr*2dt

% m1v*1 ! m2v*2 % 0 (4.25)


es decir, el momento lineal total respecto del centro de masas es igual a cero, por tanto:

m1v*1 %. m2v*2 % kdr

dt% kv % p* (4.26)

La energía cinética respecto del centro de masas es:

T* % T*1 ! T*2 %1

2m1v*

21 !

1

2m2v*

22 %

1

2kv2

%p*2

2k(4.27)

y la relación entre las dos energías cinéticas en el sistema inercial y centro de masas (4.20)y (4.27) será:

T %1

2MV2

! T* (4.28)

4.1.5. Colisiones elásticasCuando dos partículas interaccionan, su movimiento relativo viene determinado por lasfuerzas interiores. Por tanto, la interacción o colisión puede resultar de un contacto o tenerlugar a través de los campos de fuerza generados por cada partícula. Como se ha visto an-tes, si la forma de las fuerzas interiores se conoce se puede resolver el problema con lasecuaciones del movimiento, pero si no se conoce es más útil utilizar la conservación delmomento lineal y de la energía cinética, que, desde el punto de vista práctico, es siempremás útil. El problema se puede plantear definiendo un estado inicial —antes de la coli-sión— y estado final —después de la colisión— (Figura 4.3), de tal forma, que si realiza-mos medidas para determinar el estado de las partículas en el estado inicial podamos dedu-cir algunos parámetros de las mismas en el estado final. Una colisión se llama elásticacuando no hay pérdida de energía, es decir, la energía cinética total de las dos partículas esla misma antes y después del choque. Consideremos un problema en el cual no existenfuerzas exteriores —o estas se hallan compensadas de alguna manera—, es decir, el siste-ma de dos partículas se encuentra aislado, por tanto estas se mueven con movimiento uni-

FIGURA 4.3. Esquema de una colisión elástica.


forme —rectilíneo y a velocidad constante— tanto en el estado inicial como en el final.Por tanto podemos usar un sistema de referencia inercial, llamado sistema laboratorio (SL)en el que una de las dos partículas esté en reposo antes de la colisión. La situación se re-presenta esquemáticamente en la Figura 4.3, siendo las magnitudes utilizadas las que se de-tallan en la Tabla 4.1, tanto para el sistema laboratorio (SL) como para el sistema de refe-rencia situado en el centro de masas (SCM).

Tabla 4.1. Magnitudes que aparecen en un choque elástico

m1 masa de la partícula móvil m2 masa de la partícula fija

u1 velocidad inicial de m1 en el SL u2% 0 velocidad inicial de m2 en el SL

v1 velocidad final de m1 en el SL v2 velocidad final de m2 en el SL

u*1 velocidad inicial de m1 en el SCM u*2 velocidad inicial de m2 en el SCM

v*1 velocidad final de m1 en el SCM v*2 velocidad final de m2 en el SCM

q 1 momento lineal inicial de m1 en el SL q 2 % 0 momento lineal inicial de m2 en el SL

p 1 momento lineal final de m1 en el SL p 2 momento lineal final de m2 en el SL

q* momento lineal inicial de m1 en el SCM . q* momento lineal inicial de m2 en el SCM

p* momento lineal final de m1 en el SCM . p* momento lineal final de m2 en el SCM

T1 energía cinética de m1 final en el SL T2 energía cinética de m2 final en el SL

T*1 energía cinética de m1 final en el SCM T*2 energía cinética de m2 final en el SCM

T0 energía cinética total en estado inicial en el SL

T*0 energía cinética total en estado inicial en el SCM

V velocidad del centro de masas en el SL que es uniforme pues el sistema está aislado

h ángulo de difusión de m1 en el SL, que es el formado por v1 con la dirección inicial

a ángulo de difusión de m2 en el SL, que es el formado por v2i con la dirección inicial

h* ángulo de difusión en el SCM

4.1.5.1. Conservación del momento lineal

En una colisión elástica se conserva el momento lineal:

m1u1 % m1v1 ! m2v2 (4.29)

en el sistema laboratorio su componente X —en la dirección del movimiento— será:

m1u1 % m1v1 cos h ! m2v2 cos a (4.30)

en el sistema laboratorio la componente Y —normal a la dirección del movimiento— será:

0 % m1v1 sen h . m2v2 sen a (4.31)


4.1.5.2. Conservación de la energía cinéticaLa energía cinética se conserva en una colisión elástica:

T0 % T1 ! T2(4.32)

1

2m1u

21 %

1

2m1v

21 !

1

2m2v

22

4.1.5.3. Choques frontalesSi las dos partículas chocan frontalmente o, lo que es lo mismo, están restringidas a mover-se en una sola dimensión, las Ecuaciones (4.29) y (4.32) serán:

m1u1 % m1v1 ! m2v2(4.33)

m1u21 % m1v

21 ! m2v

22

suponiendo que conocemos las masas, se pueden obtener las velocidades después del cho-que en función de la velocidad inicial resolviendo el sistema de Ecuaciones (4.33) de laforma:

v1 %m1 . m2

m1 ! m2u1

(4.34)

v2 %2m1

m1 ! mn2u1

Si m1 % m2 queda

v1 % 0(4.35)

v2 % u1

es decir, en un choque elástico frontal entre dos partículas de masas iguales, la partículamóvil antes del choque queda en reposo después del choque, mientras que la otra se muevecon la velocidad de la primera, por tanto hay una transferencia total de energía de una par-tícula a la otra.

4.1.6. Colisiones inelásticasCuando dos partículas interaccionan modificando su naturaleza se producen los choquesinelásticos, en los que se conserva el momento lineal y la energía cinética, si tenemos encuenta la parte de esta que se cede o se absorbe del medio que las rodea. Consideremos uncaso en que chocan dos partículas de masas m1 y m2 (m2 en reposo en el sistema laborato-rio) y en el estado final salen dos partículas de masas m3 y m4, que forman ángulos h3 y h4

con la dirección inicial (Figura 4.4). Denominaremos Q a la energía absorbida en la inter-acción, de tal forma que:

Q b 0 choque endoenergético —la energía se absorbe del medio—Q a 0 choque exoenergético —la energía se cede al medio—Q % 0 choque elástico

De forma análoga a las Expresiones (4.29), (4.30) y (4.31), la conservación del mo-mento lineal se puede expresar como:

m1u1 % m3v3 ! m4v4 (4.36)


FIGURA 4.4. Esquema de una colisión inelástica.

m1u1 % m3v3 cos h3 ! m4v4 cos h4 (4.37)

0 % m3v3 sen h3 . m4v4 sen h4 (4.38)

y la conservación de la energía:

T1 % T3 ! T4 ! Q(4.39)

1

2m1u

21 %

1

2m3v

23 !

1

2m4v

24 ! Q

Si conocemos las masas con las Ecuaciones (4.36) a (4.39) podemos resolver el proble-ma, es decir, midiendo tres magnitudes podemos deducir las otras tres de las seis, 3 veloci-dades, 2 ángulos y Q.

Los choques de cuerpos macroscópicos inertes son siempre inelásticos y endoenergéti-cos, en los que la energía perdida se transforma en calor, en deformaciones o en ambas.Estos choques pueden ser casi elásticos, como el choque de dos bolas duras, y completa-mente inelásticos, en los que los dos cuerpos permanecen unidos tras la colisión.

4.1.6.1. Choque frontal inelástico

Consideremos uno de estos casos, en el que chocan dos cuerpos: en el estado inicial unamasa m1 y velocidad v1 se aproxima a otro de masa m2 en reposo y en el estado final losdos cuerpos salen unidos con velocidad v2, manteniendo la misma dirección antes y des-pués del choque, es decir todos los movimientos están restringidos a una sola dimensión.La conservación del momento angular será:

m1v1 % (m1 ! m2)v2 (4.40)

del que deducimos la velocidad final en función de las masas y la velocidad inicial:

v2 %m1

m1 ! m2v1 (4.41)

La conservación de la energía nos da la pérdida de energía, que será:

Q %1

2m1v

21 .

1

2(m1 ! m2)v

22 %

1

2

m1m2

m1 ! m2v21 %

1

2kv2

1 (4.42)


Isaac Newton (1642-1727) comprobó experimentalmente que en un choque frontal elcociente entre las velocidades relativas después y antes del choque es, aproximadamente,constante para dos cuerpos cualesquiera dados. Este valor se denomina coeficiente de resti-tución e:

e %v2 . v1

u1 . u2(4.43)

Tiene un valor entre 0 y 1, si e % 1, el choque es perfectamente elástico y si e % 0, escompletamente inelástico.


4.2.1. MínimaCarril de bajo rozamiento con una regla graduada incorporada para medir desplazamientos,sobre el que se pueden deslizar dos carritos que sirven de masas. El carril debe incorporarun sistema de lanzamiento de carritos. Un cronómetro.

4.2.2. MejoradoLa sustitución del carril de bajo rozamiento por uno de aire, produce una mejora sustancialen la realización del experimento. Un carril de aire es un perfil en ángulo con numerososorificios por los que una bomba crea un colchón de aire por el que deslizan las masas, tam-bién debe poseer incorporada una regla graduada para medir desplazamientos y un disposi-tivo de lanzamiento de masas.

4.2.3. Medida automáticaLa sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema auto-mático en línea con un ordenador, produce una notable mejora en las medidas, no obstante,suele ser de coste elevado. Existen casas comerciales que suministran sistemas automáticosde medida que se pueden acoplar a carriles.



4.3.1. Choque frontal elásticoSe disponen dos masas (carritos en el carril de bajo rozamiento). Se coloca una masa en elextremo con el dispositivo de lanzamiento —masa proyectil— y la otra en el centro delcarril —masa blanco—.


4.3.1.1. Masas iguales

Se colocan dos masas iguales (Figura 4.5). Se lanza la primera masa sobre la segunda y semide el tiempo que tarda desde la salida hasta la colisión (tp) donde se para. Obteniendo ladistancia recorrida (dp) en la regla del carril, se calcula la velocidad vp % dp/tp. Se repite elexperimento, midiendo ahora el tiempo que la segunda masa tarda desde la colisión al ex-tremo del carril (tb) y obteniendo su velocidad (vb % db/tb). Repetir los dos procedimientosN veces (al menos cinco) y determinar las velocidades como el valor medio, de la forma:

SvpT %

N

;i%1

vpi

N(4.44)

SvbT %

N

;i%1

vbi

N(4.45)

FIGURA 4.5. Esquema de una colisión elástica frontal de dos masas iguales en un carrilde bajo rozamiento.

sus errores serán:

Bvp %JN

;i%1

(vpi . SvpT)2

N(N . 1)(4.46)

Bvb %JN

;i%1

(vbi . SvbT)2

N(N . 1)(4.47)

y los resultados:

vp % SvpT u Bvp (4.48)

vb % SvbT u Bvb (4.49)

4.3.1.2. Masas distintas

Colóquese una sobrecarga en la masa blanco (Figura 4.6). Se mide el tiempo que tarda lamasa proyectil en alcanzar el blanco (tp) y el espacio recorrido, hallando su velocidad(vp % dp/tp). Se repite el experimento midiendo el tiempo y el espacio de la masa proyectildespués de la colisión, obteniendo su velocidad (vpr % dpr/tpr), dado que la masa proyectilrebotará al chocar con el blanco. Se repite de nuevo el experimento y se mide el tiempo y


el espacio de la masa blanco, hallando su velocidad (vb % db/tb). Repetir los tres procedi-mientos N veces (al menos cinco) y determinar las velocidades como el valor medio, deforma análoga al apartado anterior, dando como resultado:


vpr % SvprT u Bvpr (4.51)


FIGURA 4.6. Esquema de una colisión elástica frontal de dos masas distintas (m a mñ)en un carril de bajo rozamiento.

Colóquese ahora una sobrecarga en la masa proyectil (Figura 4.7). Se mide el tiempoque tarda la masa proyectil en alcanzar el blanco (tp) y el espacio recorrido, hallando suvelocidad (vp % dp/tp). Se repite el experimento midiendo el tiempo y el espacio de la masaproyectil después de la colisión, obteniendo su velocidad (vpd % dpd/tpd), en este caso, lamasa proyectil continuará en la misma dirección después de chocar con el blanco. Se repitede nuevo el experimento y se mide el tiempo y el espacio de la masa blanco, hallando suvelocidad (vb % db/tb). Repetir los tres procedimientos N veces, al menos cinco, y determi-nar las velocidades como el valor medio, de forma análoga al Apartado 4.3.1.1, dando co-mo resultado:

vp % SvpT u avp (4.53)

vpd % SvpdT u Bvpd (4.54)


FIGURA 4.7. Esquema de una colisión elástica frontal de dos masas distintas (mñ b m)en un carril de bajo rozamiento.

4.3.2. Choque frontal inelásticoSe coloca la posición de partida de la Figura 4.8 con las dos masas iguales, se provee a lasmasas de un sistema de sujeción para que queden unidas después del choque. El sistema desujeción suele suministrarse con el equipo del carril, pero si no es así, basta con pegarle unvelcro a cada masa. Se mide el tiempo y el espacio de la masa proyectil, hallando su velo-


cidad (vp % dp/tp). Se repite el experimento midiendo el tiempo y el espacio de las masasproyectil y blanco unidas después de la colisión, obteniendo su velocidad (vpb % dpb/tpb).Repetir los dos procedimientos N veces, al menos cinco, y determinar las velocidades co-mo el valor medio, de forma análoga al Apartado 4.3.1.1, dando como resultado:


vpb % SvpbT u Bvpb (4.57)

FIGURA 4.8. Esquema de una colisión inelástica frontal de dos masas iguales en un carrilde bajo rozamiento.

Si se quiere prolongar el experimento se puede repetir esta parte para masas distintas.

4.4. Resultados


4.4.1. Choque frontal elástico

Se construirán las tablas con los N datos del tiempo, la distancia y la velocidad para lostres casos estudiados (Apartados 3.1.1 y 3.1.2). Con las velocidades obtenidas con las Ex-presiones (4.48) a (4.55), se comprobará si cumplen la conservación el momento lineal yde la energía [Ecuaciones (4.33) a (4.35)], explicando las posibles diferencias. Las masas(m y mñ) se pueden medir con un granatario (Capítulo 1), o bien se pueden dar como datosdel experimento, aunque con la última opción, el experimento se puede prolongar demasia-do.

4.4.2. Choque frontal inelásticoSe construirán las tablas con los N datos del tiempo, la distancia y la velocidad, obteniendolos valores de estas con la Expresión (4.56) y (4.57). Usando la Expresión (4.41) compro-bar la relación entre las velocidades y explicar las posibles diferencias. Con la Ecuación(4.42), hallar la energía perdida Q.

4.4.3. Coeficiente de restitución

Obtener el coeficiente de restitución (4.43) en todos los casos estudiados y discutir los re-sultados.


4.5. Cuestiones

1. ¿Por qué la velocidad del centro de masas en el choque elástico permanece constanteantes y después del choque? Explica el caso para una bola lanzada contra un muro.

2. ¿Cuál es la velocidad del centro de masas de los choques estudiados en el Aparta-do 4.3.1?

3. ¿En qué se transforma la energía perdida en la colisión inelástica estudiada?


Oscilaciones

5.1. Introducción5.1.1. Oscilador armónico simple5.1.2. Oscilador armónico amortiguado5.1.3. Oscilador armónico forzado5.1.4. Resonancia5.1.5. Dos osciladores armónicos simples acoplados5.1.6. Frecuencia de modulación

5.2. Instrumentación5.2.1. Mínima5.2.2. Mejorado5.2.3. Medida automática5.2.4. Medida fotográfica

5.3. Método experimental5.3.1. Obtención de la constante del muelle5.3.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento b5.3.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad5.3.4. Medida de la frecuencia de resonancia5.3.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación5.3.6. Medida de la frecuencia de modulación5.3.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento

5.4. Resultados5.4.1. Obtención de la constante del muelle5.4.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento b5.4.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad5.4.4. Medida de la frecuencia de resonancia5.4.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación5.4.6. Medida de la frecuencia de modulación5.4.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento

5.5. Cuestiones

En este experimento se pretende estudiar el comportamiento de un oscilador armónico cuan-do se le deja mover libremente y cuando se le somete a una fuerza exterior con una frecuen-cia determinada. Además se estudiará el movimiento que resulta al acoplar dos osciladoresarmónicos que pueden moverse a lo largo de una recta. Se utilizará un sistema formado pordos masas y tres muelles deslizándose por un carril de bajo rozamiento.

5.1. Introducción

5.1.1. Oscilador armónico simpleConsideremos una partícula que se puede mover en una dimensión (x), alrededor de unaposición de equilibrio estable (Capítulo 3) (Figura 5.1), bajo la acción de un campo defuerzas conservativo, que deriva de una energía potencial V(x), de tal forma, que si se se-para la partícula de esa posición de equilibrio aparece una fuerza, y solamente una fuerza,que es función del desplazamiento (F % F(x) %.dV/dx) que tiende a llevar a la partículahacia su posición de equilibrio, por lo que se denomina fuerza de restauración o recupera-ción. Si se establece el origen del sistema de referencia en la posición de equilibrio establey los desplazamientos son suficientemente pequeños, se puede considerar que la fuerza esuna función lineal del desplazamiento, tal que F(x) %.kx, siendo la constante de propor-cionalidad (.k) negativa, pues la fuerza de restauración va dirigida siempre hacia la posi-ción de equilibrio estable, por tanto k es siempre positiva. Los sistemas físicos sometidos aesta fuerza se dice que obedecen a la ley de Hooke de la elasticidad. Todas las deformacio-nes elásticas (sin sobrepasar el límite de elasticidad) siguen la ley de Hooke, como mue-lles, gomas elásticas, etc. (Capítulo 6). Un cuerpo sometido sólo a esta fuerza, se denominaoscilador armónico simple (OAS) y de la segunda ley de Newton (Capítulo 2):

F % ma % md2x

dt2i (5.1)

FIGURA 5.1. Masa sujeta a un muelle que se mueve en una sola dimensión sin rozamiento.Cuando se separa de la posición de equilibrio estable, aparece una fuerza quetiende a devolver la masa a esa posición.

se deduce su ecuación del movimiento:

md2x

dt2%.kx (5.2)

donde se ha utilizado la expresión escalar, dado que la masa se mueve en una sola dimen-sión. Haciendo

u0 %Jk

m(5.3)


La magnitud u0 es la frecuencia angular de oscilación, aunque se le suele llamar simple-mente frecuencia. No depende de las condiciones iniciales del movimiento, esta es lacaracterística fundamental de esta oscilación, Además u0 está completamente definida porlas propiedades mecánicas del sistema —constante elástica del muelle y masa de la par-tícula—.

Por tanto, nos queda la ecuación del movimiento de la forma:

d2x

dt2! u2

0x % 0 (5.4)

que es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes,cuya solución es una combinación lineal de la solución exponencial:

x(t) % Aept (5.5)

que sustituida en la ecuación diferencial (5.4) nos da la ecuación característica:

p2! u2

0 % 0 (5.6)

p2%.u2

0 (5.7)

cuyas soluciones son:

p %u∂u20 %uiu0 (5.8)

siendo, según (5.5), la solución general de la ecuación diferencial, la siguiente:

x(t) % A1ep1t ! A2e

p2t % A1eiu0t ! A2e

.iu0t (5.9)

Haciendo un cambio de constantes:

A1 %1

2Aeid

(5.10)

A2 %1

2Ae.id

sustituyendo en (5.9) tenemos:

x(t) %1

2A[ei(u0t!d)

! e.i(u0t!d)] (5.11)

teniendo en cuenta las formas de las exponenciales imaginarias tenemos:

ei(u0t!d)% cos (u0t ! d) ! i sen (u0t ! d)

(5.12)e.i(u0t!d)

% cos (u0t ! d) . i sen (u0t ! d)

cuya suma es:

2 cos (u0t ! d) (5.13)

que nos da, sustituyendo en (5.12), la forma de la solución de la ecuación del movimiento:

x(t) % A cos (u0t ! d) (5.14)

Capítulo 5. Oscilaciones 69

Haciendo otro cambio de constantes:

A1 %1

2Aeir

(5.15)

A2 %.

1

2Ae.ir

sustituyendo igualmente en (5.9) tenemos:

x(t) %1

2A[ei(u0t!r)

. e.i(u0t!r)] (5.16)

teniendo en cuenta las formas de las exponenciales imaginarias tenemos:

ei(u0t!r)% cos (u0t ! r) ! i sen (u0t ! r)

(5.17)e.i(u0t!r)

% cos (u0t ! r) . i sen (u0t ! r)

cuya resta es:

2i sen (u0t ! r)

que nos da, sustituyendo en (5.16) y eliminando el número imaginario i, la forma de la so-lución de la ecuación del movimiento:

x(t) % A sen (u0t ! r) (5.18)

Expresando los términos exponenciales de la Ecuación (5.10) de la forma:

eiu0t % cos u0t ! i sen u0t(5.19)

e.iu0t % cos u0t . i sen u0t

y sustituyendo en (5.9) nos da:

x(t) % (A1 ! A2) cos u0t ! (A1 . A2)i sen u0t (5.20)

eliminando el número i y haciendo B1 % A1 . A2 y B2 % A1 ! A2 nos queda:

x(t) % B1 sen u0t ! B2 cos u0t (5.21)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación del movimiento de un oscilador armóni-co simple puede tomar una de las tres formas siguientes:

x(t) % A sen (u0t ! r) (5.22)

x(t) % A cos (u0t ! d) (5.23)

x(t) % B1 sen u0t ! B2 cos u0t (5.24)

Nótese que r ! d % n/2, pues tanto r como d se toman entre 0 y n. Las constantes deintegración, A y r, A y d o B1 y B2 (según la solución que se utilice) son parejas de cons-tantes que se obtienen con las condiciones iniciales. La constante A (A2

% B21 ! B2

2) se lla-ma amplitud de las oscilaciones y, como se ve fácilmente, nos da el valor máximo del des-plazamiento (x), por tanto, la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio establealcanzando los valores !A y .A como extremos de su trayectoria. El argumento del senoy del coseno, en las dos primeras soluciones, es la fase de las oscilaciones, siendo r y d elvalor inicial de la fase, que depende de la elección del origen de tiempos.


Las velocidades y aceleraciones para cada una de las formas de la solución serán:

v(t) %dx

dt% u0 A cos (u0t ! r) (5.25)

a(t) %dv

dt%

d2x

dt2 %.u20 A sen (u0t ! r) %.u2

0x (5.26)

v(t) %dx

dt%.u0 A sen (u0t ! d) (5.27)

a(t) %dv

dt%

d2x

dt2 %.u20 A cos (u0t ! d) %.u2

0x (5.28)

v(t) %dx

dt% u0(B1 cos u0t . B2 sen u0t) (5.29)

a(t) %dv

dt%

d2x

dt2%.u2

0(B1 sen u0t ! B2 cos u0t) %.u20x (5.30)

La representación de estas magnitudes en la solución cosenoidal nos dan las curvas dela Figura 5.2, en la que podemos notar que el desplazamiento y la aceleración están enoposición de fase, mientras que la velocidad está desplazada media fase respecto de las an-teriores. Esto quiere decir que, en valor absoluto, la aceleración es máxima cuando lo es eldesplazamiento y la velocidad cuando el desplazamiento y la aceleración son nulos. En esamisma Figura 5.2 se ha representado un origen de tiempos en un instante cualquiera(t % 0), siendo las condiciones iniciales x0 y v0, para las cuales las constantes de integra-ción serán:

A %Jx20 ! A

v0

u0B2

(5.31)

d % tan.1A.

v0

u0x0B (5.32)

r % tan.1A.

u0x0

v0 B (5.33)

B1 %v0

u0(5.34)

B2 % x0 (5.35)

Si consideramos el caso en el que la masa parte del reposo a la distancia máxima desdela posición de equilibrio, o sea las condiciones iniciales en las que la velocidad sea 0 yel desplazamiento, la amplitud A, se obtiene una solución de la forma siguiente a partirde (5.22):

x(t) % A cos u0t (5.36)

que se representa en la Figura 5.3. Obsérvese que el movimiento se prolonga hasta untiempo infinito, alcanzando la amplitud en cada oscilación, esto es lógico porque no hayrozamientos, luego el movimiento es ideal. El periodo (T ) se define como el tiempo entre


FIGURA 5.2. Variación, en función de la fase, del desplazamiento, velocidad y aceleraciónen un oscilador armónico simple.

FIGURA 5.3. Desplazamiento en función del tiempo de un oscilador armónico simple.

sucesivas repeticiones de las mismas condiciones, es decir, las mismas posición y veloci-dad, o sea el periodo es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa.

T %2nu0

% 2n Jm

k(5.37)

que también es independiente de las condiciones iniciales, luego es independiente de laamplitud A de las oscilaciones. Un sistema oscilante con esta propiedad se llama isócrono.La frecuencia lineal (l) es el inverso del periodo y se define como el número de oscilacio-nes en la unidad de tiempo

l %1

T%

u0

2n%

1

2n Jk

m(5.38)

y también es independiente de las condiciones iniciales.La energía del oscilador armónico simple se conserva a lo largo del movimiento y es la

suma de la energía cinética y la potencial que vienen dadas por las expresiones:

T %1

2mv2

%1

2mu2

0A2 cos2 (u0t ! r) %

1

2kA2 cos2 (u0t ! r) (5.39)

V %.I0

x

F dx %.k I0

x

x dx %1

2kx2

%1

2kA2 sen2 (u0t ! r) (5.40)


y la energía total

E % T ! V %1

2kA2 (5.41)

que es constante y depende de la amplitud y, por tanto, de las condiciones iniciales, igualque las dos energías, cinética y potencial. La Figura 5.4 representa la energía potencialfrente al desplazamiento, en ella podemos observar cómo el oscilador cambia su energíaentre cinética y potencial a lo largo de su movimiento.

FIGURA 5.4. Energía potencial en función del desplazamiento de un oscilador armónico simple.

5.1.2. Oscilador armónico amortiguadoEl movimiento del OAS es una idealización del caso real, en el cual existen fuerzas de ro-zamiento que amortiguan el movimiento de manera que no se alcanza nunca el desplaza-miento máximo. Este movimiento se denomina oscilador armónico amortiguado (OAA). Sila partícula se mueve en una dimensión, bajo la acción de una fuerza restauradora lineal(.kx) y una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (.bv), de forma que laecuación del movimiento viene dada por:

.kx . bv % ma

.kx . bdx

dt% m

d2x

dt2(5.42)

operando quedad2x

dt2!

b

m

dx

dt!

k

mx % 0 (5.43)

resultando

d2x

dt2! 2b

dx

dt! u2

0x % 0 (5.44)

donde b % b/2m es el parámetro de amortiguamiento. La ecuación del movimiento es unaecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, cuya solu-ción es una combinación lineal de la solución exponencial:

x(t) % Aept (5.45)


que sustituida en la ecuación diferencial nos da la ecuación característica:

p2! 2bp ! u2

0 % 0 (5.46)

que tiene las dos soluciones siguientes:

p %.b u ∂b2. u2

0 (5.47)

por tanto, la solución general de la ecuación del movimiento de un OAA será:

x(t) % ebt(A1e∂b2

.u20 t

! A2e.∂b2

.u20t) (5.48)

Según sea la relación entre el parámetro de amortiguamiento (b) y la frecuencia del OASequivalente (u0) se pueden presentar tres casos:

1. u20 a b2 la Ecuación (5.47) tiene dos valores positivos distintos y el OAA se deno-

mina sobreamortiguado. Si se hace u2 % ∂b2. u2

0 la solución (5.48) toma la for-ma:

x(t) % e.bt(A1eu2t ! A2e

.u2t) (5.49)

que se representa en la Figura 5.5. El movimiento resulta ser una aproximaciónlenta y monótona a la posición de equilibrio estable, donde la masa se para.

FIGURA 5.5. Desplazamiento en función del tiempo de un oscilador armónicosobreamortiguado.

2. u20 % b2 la Ecuación (5.47) tiene dos valores positivos iguales (solución doble) y el

OAA se denomina oscilador con amortiguamiento crítico. Y la solución toma laforma:

x(t) % e.bt(A1 ! A2t) (5.50)

Su representación gráfica es similar a la de la Figura 5.5, pero ahora el osciladortarda menos tiempo en pararse, siempre que las condiciones mecánicas (masa yconstante del muelle) sean idénticas. Este resultado es muy importante cuando seconstruye un aparato que puede oscilar, pero no queremos que lo haga, el ejemplo


más conocido es el de los marcadores de velocidad y revoluciones de un automó-vil, en los que la aguja debe pararse instantáneamente.

3. u20 b b2 la Ecuación (5.47) tiene dos valores imaginarios distintos y el OAA se de-

nomina débilmente amortiguado. Si se hace u1 % ∂u20 . b2 la solución (5.48) to-

ma la forma:x(t) % e.bt(A1e

u1t ! A2e.u1t) (5.51)

Siguiendo el mismo procedimiento expuesto en el apartado anterior para elOAS la solución general toma una de las formas siguientes:

x(t) % Ae.bt sen (u1t ! r) (5.52)

x(t) % Ae.bt cos (u1t ! d) (5.53)

x(t) % e.bt(B1 sen u1t ! B2 cos u1t) (5.54)

La magnitud u1 se llama frecuencia del oscilador armónico amortiguado. Real-mente es una seudo-frecuencia, pues no es posible definir una frecuencia en unmovimiento amortiguado, ya que no es periódico, es decir, el oscilador no pasanunca por la misma posición a la misma velocidad. No obstante, para simplificar,se le llama a u1 la frecuencia del OAA, es interesante hacer notar que es menorque la frecuencia natural u0. En la Figura 5.6 se representa el desplazamiento enfunción del tiempo para diversas relaciones entre el amortiguamiento y la frecuen-cia natural.

FIGURA 5.6. Desplazamiento en función del tiempo para: oscilador armónico simple(línea continua); oscilador armónico amortiguado con una relación entreamortiguamiento y frecuencia natural de 0,1 (línea de trazos largos) y 0,5(línea de trazos cortos); amortiguamiento crítico (línea de puntos).

De tal manera, que el OAA se puede considerar como un OAS en el cual la amplituddecrece exponencialmente, dado que el factor e.bt (donde b b 0) envuelve la curva querepresenta el desplazamiento en función del tiempo y viene dada por:

xen %uAe.bt (5.55)

Su representación gráfica para las condiciones iniciales x0 % A y v0 % 0 tiene la forma dela Figura 5.7. El periodo, o propiamente dicho, el seudoperiodo del OAA será:

T1 %2nu1

%2n

∂u20 . b2

%4mn

∂4mk . b2(5.56)

La energía del OAA será la suma de la cinética y la potencia:

E % T ! V %1

2mv2

!1

2kx2 (5.57)


Vamos a estudiar ahora de qué manera pierde el OAA esa energía. Con la Expresión (5.52)podemos obtener la velocidad en función del tiempo de la forma:

v(t) %dx

dt% Ae.bt[b sen (u1t ! r) ! u1 cos (u1t ! r)] (5.58)

FIGURA 5.7. Desplazamiento en función del tiempo: oscilador armónico simple (línea de trazoscortos); oscilador armónico amortiguado (línea continua) y sus envolventes (líneasde trazos largos).

Los valores medios de los cuadrados del desplazamiento (5.54) (Sx2T) y la velocidad

(5.58) (Sv2T) serán:

Sx2T%A2e.2bt

Ssen2 (u1t!r)T(5.59)

Sv2T%A2e.2bt[b2

Ssen2(u1t!r)T!u21Scos2(u1t!r)T!2bu1Ssen(u1t!r) cos (u1t!r)T]

si suponemos que las oscilaciones son tan débilmente amortiguadas que la variación delfactor exponencial es despreciable. Los valores medios de un seno y de un coseno al cua-drado son 1/2 y el de su producto es igual a 0, por lo que nos queda:

Sx2T %

1

2A2e.2bt

(5.60)

Sv2T %

1

2A2e.2bt(b2

! u21) %

1

2u0A

2e.2bt

Por tanto, la energía media en un periodo será:

SET %1

4mu0A

2e.2bt!

1

4kA2e.2bt (5.61)

pero u20 % k/m que sustituida en la ecuación anterior queda:

SET %1

2kA2e.2bt (5.62)

Por otro lado podemos considerar que la energía máxima (E0) que alcanza un OAA esigual a la energía potencial máxima, que será:

E0 %1

2kA2 (5.63)

tal que el OAA pierde su energía de la forma:

SET % E0e.2bt (5.64)


si definimos un tiempo T ñ z 1/2b, que denominaremos tiempo de relajación. La expresiónanterior nos queda:

SET % E0e.t/Tñ (5.65)

de tal manera que al cabo de un tiempo t % T ñ la energía del OAA habrá disminuido en unfactor 1/e:

SET %E0

e(5.66)

Hay que tener en cuenta que el tiempo de relajación no depende de las condiciones inicia-les, por lo que se puede conocer a priori por las características mecánicas del problema. Obien de forma experimental, se puede medir T ñ y con él hallar el factor de amortiguamien-to. Si hiciéramos un estudio similar para la disminución del desplazamiento, obtendríamosun tiempo de relajación que sería la mitad de T ñ, lo que nos indicaría que la energía sepierde a un ritmo doble que la amplitud.

Se define el factor de calidad Q de un sistema oscilante como 2n veces la relación en-tre la energía máxima almacenada (E) y la energía perdida media por periodo (SBET),es decir:

Q% 2nSET

SBET(5.67)

que es un factor sin dimensiones. La energía perdida por la unidad de tiempo, es decir, elritmo con que se pierde la energía será:

dSET

dt%.2bE0 e.2bt

%.2bSET (5.68)

y en un periodo será:

SBET %.2bSETT1 (5.69)

tomando su valor absoluto y sustituyendo en (5.67) nos queda:

Q % 2nSET

2bSBETT1%

u1

2b(5.70)

Para el caso del amortiguamiento muy débil, queda:

Q %u1

2b]

u0

2b(5.71)

El factor de calidad representa una medida de la falta de amortiguamiento de un oscilador.Para valores elevados de Q el amortiguamiento es débil, lo que hace que la disminución dela amplitud sea muy lenta. En caso contrario, un factor de calidad bajo, la oscilación serárápidamente amortiguada, que es útil en ciertos sistemas mecánicos, por ejemplo la cortezaterrestre para las ondas sísmicas.

5.1.3. Oscilador armónico forzadoVamos a considerar ahora la influencia de una fuerza exterior variable (F(t)), lo que darálugar a las oscilaciones forzadas u oscilador armónico forzado (OAF). La ecuación del mo-vimiento quedará de la forma:

.kx . bv ! F(t) % ma (5.72)


o bien:d2x

dt2! 2b

dx

dt! u2

0x %F(t)

m(5.73)

donde se ha tenido en cuenta el rozamiento b y la frecuencia natural de oscilación u0 estu-diados anteriormente.

Consideremos aquí sólo el caso particular simple de que la fuerza exterior sea una fun-ción armónica de frecuencia u, tal que:

F(t) % F0 cos ut (5.74)

la ecuación del movimiento del OAF será entonces:

d2x

dt2! 2b

dx

dt! u2

0x % a cos ut (5.75)

donde a % F0/m. Esta ecuación del movimiento es una ecuación diferencial de coeficientesconstantes con término independiente de la variable (x). Su solución es la suma de la ho-mogénea (sin término independiente) y una solución particular:

x(t) % xh(t) ! xp(t) (5.76)

como solución de la homogénea se tomará la del oscilador débilmente amortiguado (5.52)escrita de la forma:

x(t) % B e.bt cos (u1t ! r) (5.77)

en la que B y h se obtendrán con las condiciones iniciales. La solución particular la toma-remos de la forma:

xp(t) % A1 sen ut ! A2 cos ut (5.78)

los valores de A1 y A2 dependerán de las condiciones mecánicas del problema, para obte-nerlos, sustituimos esta solución en la ecuación del movimiento, obteniendo:

.A1u2 sen ut . A2u

2 cos ut ! 2b(.A2u sen ut ! A1u cos ut) !

(5.79)! u2

0(A1 sen ut ! A2 cos ut) % a cos ut

haciendo operaciones y agrupando términos nos queda:

[A1(u20 . u2) . 2buA2] sen ut ! [2buA1 ! A2(u

20 . u2) . a] cos ut % 0 (5.80)

teniendo en cuenta que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, paraque su suma sea igual a cero tiene que serlo cada uno de sus coeficientes, nos quedan dosecuaciones con dos incógnitas, de las que se obtienen los valores de A1 y A2, que serán:

A1 %2bua

(u20 . u2)2 ! 4b2u2 (5.81)

A2 %a(u2

0 . u2)

(u20 . u2)2 ! 4b2u2 (5.82)

Teniendo en cuenta la similitud con la Solución (5.24) del OAS, la amplitud será:

A % ∂A1 ! A2 %a

∂(u20 . u2)2 ! 4b2u2

(5.83)


Luego la solución particular será:

xp(t) %A2

a[2bu sen ut ! (u2

0 . u2) cos ut] (5.84)

y la solución general de la ecuación del OAF:

x(t) % B e.bt cos (u1t ! r) !A2

a[2bu sen ut ! (u2

0 . u2) cos ut] (5.85)

como se dijo anteriormente B y r dependen de las condiciones iniciales. El primer términodecrece exponencialmente con el tiempo, de tal manera que al cabo de un intervalo detiempo suficientemente largo desaparece. A este intervalo se le denomina régimen transito-rio (que depende de las condiciones iniciales). Cuando finaliza este tiempo el sistema entraen el régimen estacionario y sólo queda el segundo término de la solución.

xAt A1

bB% A1 sen ut ! A2 cos ut (5.86)

obsérvese que 1/b es el tiempo de relajación en amplitud del OAA.La forma de esta solución nos dice que, en el estado estacionario, el movimiento es os-

cilatorio armónico —igual que para el OAS— de amplitud A, independiente de las condi-ciones iniciales (Figura 5.8). Es interesante insistir en que el sistema alcanza siempre elmismo estado estacionario, sean cuales sean las condiciones iniciales. La frecuencia u enel estado estacionario será la de la fuerza exterior y no la natural u0. En este estado esta-cionario, al mismo tiempo que el sistema absorbe energía (a expensas de la fuerza exte-rior), la disipa en los rozamientos, luego el balance energético se mantiene constante.

FIGURA 5.8. Dos casos de oscilador armónico forzado. En las figuras superiores las líneas de trazosrepresentan la solución homogénea y las continuas la solución particular. Las figurasinferiores son la suma de ambas, es decir, la solución general.

5.1.4. ResonanciaLa frecuencia de resonancia en amplitud (uR) es el valor de u que hace máxima la ampli-tud en el estado estacionario. Para esto suponemos un sistema mecánico dado, es decir, fi-


jamos (suponemos constantes) la frecuencia natural u0 y el parámetro de amortiguamientob, con lo cual, la amplitud A vendrá determinada por la frecuencia u de la fuerza exterior,para hallar su valor máximo derivamos la Expresión (5.84) y la igualamos a cero, de laforma:

dA

du Gu%uR

% 0 (5.87)

para que sea cero la Ecuación (5.84) basta con que sea el argumento de la raíz cuadrada,luego:

d

du[(u2

0 . u2)2 . 4b2u2] %.4u(u20 . u2) ! 8b2u % 0 (5.88)

la frecuencia de resonancia resulta ser:

uR % ∂u20 . 2b2 (5.89)

De acuerdo con este resultado, la frecuencia de resonancia uR disminuye a medida que elparámetro de amortiguamiento b aumenta.

Resumamos ahora las tres frecuencias que hemos considerado:

OAS u20 % k/m

OAA u21 % u2

0 . b2 (5.90)

OAF u2R % u2

0 . 2b2% u2

1 . b2

y nótese que u0 b u1 b uR.El factor de calidad Q, que nos da el grado de amortiguamiento del sistema, lo pode-

mos redefinir como:

Q z

uR

2b]

AR

A0(5.91)

siendo AR la amplitud que alcanza el oscilador en la resonancia (Figura 5.9). Es decir,mientras mayor sea el factor de calidad, mayor será la amplitud que alcanza el oscilador enla resonancia (Figura 5.10). El fenómeno de la resonancia ocurre en todos los sistemas os-cilantes y es de gran importancia desde el punto de vista práctico, pues pequeñas fuerzaspueden dar lugar a grandes oscilaciones, si la frecuencia es próxima a la de resonancia.

FIGURA 5.9. Amplitud en función de frecuencia de la fuerza exterior de un oscilador armónico forzado.


FIGURA 5.10. Varias curvas de respuesta de un oscilador a la acción de una fuerza exterior. Se indi-can los valores del factor de calidad para cada una de ellas.

5.1.5. Dos osciladores armónicos simples acopladosConsideremos ahora sistemas oscilantes que tienen varios grados de libertad, es decir, va-rias dimensiones, su movimiento puede llegar a ser complicado y, en general, no periódico,pero siempre es posible (aunque no simple) dar unas determinadas condiciones inicialespara que las partes móviles del sistema oscilen a la misma frecuencia. Bajo estas condicio-nes se dice que el sistema se mueve en un modo normal de oscilación. Un modo se carac-teriza por dos propiedades importantes:

1. Todas las partes móviles se mueven con una misma frecuencia (la frecuencia ca-racterística del modo).

2. Todas las partes móviles pasan por la posición de equilibrio estable en el mismoinstante.

El número de modos de un sistema es igual al número de grados de libertad del siste-ma. El movimiento general (condiciones iniciales arbitrarias) es una complicada superposi-ción de los modos de oscilación.

Como ejemplo típico de un sistema de este tipo, se considera el formado por dos masasiguales y tres muelles de masas despreciables. Concretamente el problema consiste en aco-plar mediante un muelle de constante kñ dos osciladores armónicos simples idénticos, for-mados por una masas m y un muelle k. Se supone que el sistema está obligado a moverseen la línea que une las masas (eje X), por ejemplo, mediante un carril sin rozamiento (Fi-gura 5.11). Estas oscilaciones se llaman longitudinales.

Si no existiese muelle central kñ, las dos masas vibrarían independientemente con movi-mientos armónicos simples de frecuencias

uñ %Jk

m(5.92)

Se trata, por tanto, de estudiar el efecto de acoplar estos dos osciladores mediante el mue-lle kñ. En este movimiento existen dos grados de libertad —dado que suponemos las masasde los muelles despreciables— cada uno correspondiente a las posiciones de cada una delas masas, que las tomaremos x1 y x2, distancias medidas desde la posición de equilibrioestable del sistema, es decir, cuando x1 % x2 % 0, en esa posición las fuerzas ejercidas por


los muelles se compensan exactamente. Por supuesto no hay gravedad, ni rozamiento, portanto el sistema es ideal. Planteando la 2.a ley de Newton (Capítulo 2) se obtienen lasecuaciones del movimiento siguientes:

md2x1

dt2%.kx1 . kñ(x1 . x2)

(5.93)

md2x2

dt2%.kx2 . kñ(x2 . x1)

donde las partes derechas son las fuerzas ejercidas por los muelles sobre cada masa. Ope-rando nos queda:

md2x1

dt2! (k ! kñ)x1 . kñx2 % 0

(5.94)

md2x2

dt2! (k ! kñ)x2 . kñx1 % 0

que corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden concoeficientes constantes. Sin los terceros términos, las ecuaciones serían independientes en-tre sí (serían las de dos OAS) y tendríamos vibraciones armónicas independientes de x1 yx2 con frecuencias

u0 %Jk ! kñ

m(5.95)

iguales para los dos OAS. Esta frecuencia sería la correspondiente a la vibración de cadamasa si la otra se mantuviese fija. Por tanto, el primer efecto del muelle de acoplamientoes simplemente el de variar la frecuencia de las vibraciones independientes de cada masa,debido al hecho de que cada masa está sometida a dos muelles en vez de a uno sólo. Losterceros términos originan un acoplamiento entre los movimientos de ambas masas, que yano pueden moverse independientemente. Por un procedimiento matemático similar al em-pleado para el OAS se obtienen las soluciones del sistema de ecuaciones de la forma:

x1(t) % A1 cos (u1t ! r1) ! A2 cos (u2t ! r2)(5.96)

x2(t) % A1 cos (u1t ! r1) . A2 cos (u2t ! r2)

donde:

u1 %Jk

mu2 %J

k ! 2kñ

m(5.97)

y que tiene cuatro constantes de integración A1, A2, r1 y r2 que se obtienen con las condi-ciones iniciales x1(0), x2(0), v1(0) y v2(0), dado que tenemos dos ecuaciones diferencialesde segundo orden. Se ve que el movimiento de cada coordenada —grado de libertad—es una superposición de dos vibraciones armónicas simples de frecuencias u1 y u2 —fre-cuencias de los modos—. La relación entre las amplitudes se denomina configuración delsistema.

A un sistema de este tipo se le puede hacer oscilar en un modo dándole unas condicio-nes iniciales adecuadas (Figura 5.11). Para el modo 1, se aplican las condiciones inicialesx1(0) % x2(0) y v1(0) % v2(0). Este modo se llama simétrico y su representación se ve en laFigura 5.11, donde el muelle de acoplamiento kñ no sufre modificación, de ahí que la fre-


cuencia sea la misma que la de los OAS acoplados (uñ). Las dos masas oscilan en fase a lafrecuencia u1. Para el modo 2, se aplican las condiciones iniciales x1(0) %.x2(0) yv1(0) %.v2(0). Este modo se llama antisimétrico, el centro del muelle de acoplamiento(que es el centro de masas) permanece inmóvil. Las masas oscilan en oposición de fase ala frecuencia u2. La frecuencia del modo 2 es más alta que la del modo 1, debido a queentra en juego el muelle de acoplamiento.

FIGURA 5.11. Esquema del movimiento de un sistema formado por dos masas y tres muellesen oscilaciones longitudinales. Se indican las fuerzas que actúan sobre las masasdebidas a la tensión de los muelles.

5.1.6. Frecuencia de modulaciónImpongamos ahora las condiciones iniciales siguientes (Figura 5.12):

x1(0) % 0 v1(0) % 0(5.98)

x2(0) % A v2(0) % 0

FIGURA 5.12. Esquema del movimiento de un sistema formado por dos masas y tres muellesen oscilaciones longitudinales con las condiciones iniciales x1%0, x2%A, v1%v2%0.

es decir, inicialmente desplazar la masa de la derecha una distancia A y dejar a las dos mo-verse partiendo del reposo. Con estas condiciones iniciales, las constantes A1, A2, r1 y r2

quedan:

r1 % r2 A1 % A2 % A/2 (5.99)


y las soluciones quedan:

x1(t) %A

2(cos u1t . cos u2t)

(5.100)

x2(t) %A

2(cos u1t ! cos u2t)

que también pueden escribirse de la forma:

x1(t) % A senAu2 . u1

2tB senA

u1 ! u2

2tB

(5.101)

x2(t) % A cosAu2 . u1

2tB cosA

u1 ! u2

2tB

se suprime el signo menos que aparecería en la segunda, pues sólo influiría en el sentido.Si definimos dos frecuencias angulares nuevas, una la frecuencia angular promedio

(up) y otra la frecuencia angular de modulación (um) de la forma:

up %u1 ! u2

2um %

u2 . u1

2(5.102)

obtenemos:

x1(t) % Am1 sen upt ; Am1 % A sen umt(5.103)

x2(t) % Am2 cos upt ; Am2 % A cos umt

Se tendrá una oscilación (Am1, Am2) de frecuencia baja (um) superpuesta con una de fre-cuencia alta (up) como se muestra en la Figura 5.13.

FIGURA 5.13. Desplazamiento en función del tiempo para el sistema de dos masas y tres muellescon las condiciones iniciales de la Figura 5.12.

Por tanto, x1 y x2 realizan oscilaciones rápidas de frecuencia up, en las que las amplitu-des Am1 y Am2 están moduladas a una frecuencia lenta um. Aunque sólo x1 es inicialmente


distinta de cero, cuando el tiempo aumenta, x1 decrece lentamente. Mientras que x2 partien-do de cero crece también lentamente. Por tanto, la energía se transfiere desde el osciladorde la derecha al de la izquierda. Cuando t % n/2um (un cuarto de periodo), Am1 % 0, todala energía ha sido transferida. Cuando el tiempo sigue aumentando, la energía vuelve aloscilador de la derecha. Es decir, los osciladores intercambian periódicamente la energía,debido al acoplamiento mutuo.


5.2.1. MínimaCarril de bajo rozamiento con una regla graduada incorporada para medir desplazamientos,sobre el que se puede deslizar un carrito que sirve de masa. Tres muelles iguales y ligeros(masa despreciable). Un cronómetro. Un motor de forzamiento de frecuencia variable, paraque produzca un movimiento de vaivén en uno de los extremos del sistema, es decir en-ganchado a uno de los muelles de los extremos, se puede utilizar para hacer que el sistemaoscile a una frecuencia determinada.

5.2.2. MejoradoLa sustitución del carril de bajo rozamiento por uno de aire produce una mejora sustancialen el número de oscilaciones que se puede medir y por tanto en los resultados. Un carril deaire es un perfil en ángulo con numerosos orificios por los que una bomba crea un colchónde aire por el que se deslizan las masas, también debe poseer incorporada una regla gra-duada para medir desplazamientos.

5.2.3. Medida automáticaLa sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema auto-mático en línea con un ordenador, produce una mejora en las medidas al eliminar el errordel observador, no obstante, suele ser de coste elevado y despersonaliza el experimento.Existen casas comerciales que suministran sistemas automáticos de medida que se puedenacoplar a carriles.



5.3.1. Obtención de la constante del muelleSe comenzará obteniendo la constante k de uno de los muelles que se supondrá igual alresto. Montar el sistema de la Figura 5.14, desplazar la masa aproximadamente 10 cmdesde la posición de equilibrio y dejarla mover partiendo del reposo, cronometrar el tiempo(t) que tarda en dar un número (n) determinado de oscilaciones, este número dependerá delrozamiento del carril, para obtener un buen resultado debe de dar al menos 5 oscilaciones.


Obtener el periodo T (T % t/n). Repetir el experimento N veces (al menos 5) y obtener laconstante k usando el valor medio STT de las N medidas como el valor del periodo en laexpresión:

STT % 2nJm

2k(5.104)

la masa se debe de dar como dato, o bien se puede medir con una balanza (Capítulo 1),aunque esto puede prolongar demasiado el experimento.

Obtener el error del periodo con la expresión:

BT%JN

;i%1

(Ti . STT)2

N(N . 1)(5.105)

y su valor como:

T % STT u BT s (5.106)

La constante del muelle se puede obtener de la Ecuación (5.104) como

SkT %2n2m

STT2 (5.107)

y su error:

Bk %JALSkT

LSTTBTB

2

(5.108a)

Si la masa se ha dado con un error, la expresión para el error de la constante del muelleserá:

Bk %JGLSkT

LSTTBTB

2

! ALSkT

LmBmB

2

(5.108b)

Siendo el resultado:

k % SkT u Bk N m.1 (5.109)

5.3.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento bMontar otra vez el sistema de la Figura 5.14 y desplazar la masa aproximadamente 10 cmdesde la posición de equilibrio, anotar esta posición usando la regla del carril, soltar la ma-sa y anotar la disminución de amplitud (A ñ) (Figura 5.15) que alcanza después de la prime-ra oscilación. Repetir el experimento N veces, al menos cinco, para diferentes valores ini-ciales de la amplitud.

Teniendo en cuenta la expresión de la envolvente (5.55), A ñ será la diferencia de losvalores de xen para los tiempos t % 0 y t % T1

A ñ % A . Ae.bt (5.110)

usar como valor del periodo T1 el valor aTb obtenido anteriormente en el Apartado 5.3.1.


FIGURA 5.14. Posición inicial para el estudio del movimiento de oscilaciones longitudinales de unamasa enganchada a dos muelles, los cuales están sujetos a dos soportes rígidos.Oscilador armónico amortiguado.

FIGURA 5.15. Desplazamiento en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado(línea continua) y sus envolventes (líneas de trazos largos).

Despejando b se obtiene:

b %.

1

T1ln A1 .

A ñ

AB (5.111)

teniendo en cuenta que b % b/2m, queda que el coeficiente de amortiguamiento de la fuer-za de rozamiento será

b %.

2m

T1lnA1 .

A ñ

AB (5.112)

Construir una tabla con los N datos obtenidos para A ñ, A y b, hallar el valor medio abb ysu error:

Bb %JN

;i%1

(bi . SbT)2

N(N . 1)(5.113)

El coeficiente de amortiguamiento será:

b % SbT u Bb N s m.1 (5.114)


5.3.3. Medida del coeficiente de amortiguamientoy del factor de calidad

Con el mismo montaje de la Figura 5.14, desplazar la masa, aproximadamente 20 cm desdela posición de equilibrio, anotar esta posición mediante el valor que da la regla del carril,soltar la masa y, desde ese instante, medir el tiempo que tarda en que se reduzca a la mitadla amplitud inicial (T1/2), que recibe el nombre de semivida. Repetir el experimento N ve-ces (al menos cinco) para diferentes amplitudes y, usando una ecuación análoga a 5.105,obtener el valor de la semivida como:

T1/2 % ST1/2T u BT1/2 s (5.115)

Teniendo en cuenta la expresión de la envolvente (5.55) queda:

A

2% Ae.bT1/2 (5.116)

Despejando b se obtiene:

b %ln 2

T1/2

(5.117)

teniendo en cuenta que b % b/2m queda que el coeficiente de amortiguamiento de la fuerzade rozamiento será:

SbT %1,39m

ST1/2T(5.118)

y su error:

Bb %JALSbT

LST1/2TBT1/2B

2

!ALSbT

LmBmB

2

(5.119)

siendo el resultado:

b % SbT u Bb N s m.1 (5.120)

Teniendo en cuenta la Expresión (5.71) del factor de calidad, podemos obtener:

Q %u1

2b%

u1

2

T1/2

ln 2%

1

2

2nT

T1/2

ln 2%

nln 2

T1/2

T(5.121)

SQT % 4,53ST1/2T

T(5.122)

el factor de calidad a partir de los valores de la semivida ST1/2T y del periodo (T % STT

obtenido en el Apartado 5.3.1). Y su error:

BQ %JALSQT

LST1/2TBT1/2B

2

! ALSQT

LTBTB

2

(5.123)

Dando como resultado:

Q % SQT u BQ (5.124)

5.3.4. Medida de la frecuencia de resonanciaMontar el sistema de la Figura 5.16. Se realizará una serie de medidas a distintas frecuen-cias del motor, en cada una de las cuales se medirá el periodo y la amplitud en el estado


estacionario. Las condiciones iniciales para cada medida deben ser con la masa en reposoy el motor a un cierto voltaje, que produce una frecuencia determinada. La amplitud (A)se mide en la regla del carril. La frecuencia se obtiene, midiendo el periodo a partir deltiempo que tarda en dar N oscilaciones, hallando su valor medio y usando la expresiónu % 2n/T. Representando los valores de A y u, se obtiene una curva como la de la Figu-ra 5.17, que da el valor de la frecuencia de resonancia uR como el correspondiente al má-ximo de la amplitud.

FIGURA 5.16. Posición inicial para el estudio del movimiento del oscilador armónico forzado.

FIGURA 5.17. Resultados experimentales (x) de la amplitud en función de la frecuencia exteriorde un oscilador armónico forzado.

El factor de calidad se obtiene con la expresión:

Q %uR

2b%

muR

SbT(5.125)

La frecuencia de resonancia también se puede obtener de la forma:

uR % ∂u20 . 2b2

%J4n2

STT2 .

SbT2

2m2 (5.126)

utilizando en ambas expresiones, para abb el valor obtenido en el Apartado 5.3.3, para elperiodo aTb el obtenido en el Apartado 5.3.1 y para m la masa del carrito. De esta for-ma se tienen dos resultados de la frecuencia de resonancia, uno gráfico y otro calculado.

Una alternativa para la realización de esta parte es la calibración previa del motor deforzamiento, es decir, hallar la equivalencia entre los voltios suministrados al motor y lasfrecuencias del mismo. Basta sólo con construir una tabla de voltios frente a frecuen-cias, midiendo el tiempo (t) que tarda en realizar un numero determinado de vueltas (por


ejemplo 10) y hallar su periodo (T % t/10) y la frecuencia (u % 2n/T). Con esta tabla sólohabrá que obtener la amplitud de las oscilaciones.

5.3.5. Medida de la frecuencia de los modosde oscilación

Se montará el dispositivo de la Figura 5.11. Para el modo 1 se medirá el tiempo t1 para noscilaciones, partiendo del reposo en la posición del modo 1 de la Figura 5.11, con unaamplitud de 10 cm aproximadamente. Es necesario hacer los desplazamientos iniciales cui-dadosamente para que el muelle central permanezca inalterable. Este procedimiento serepetirá N veces. Para el modo 2 se medirá el tiempo t2 para n oscilaciones, partiendodel reposo en la posición modo 2 dada en la Figura 5.11, con una amplitud aproximada de10 cm. Ahora es necesario hacer los desplazamientos iniciales, de tal manera que el centrodel muelle central permanezca fijo. Se repetirá también N veces.

Obtener los periodos T1 y T2 como valor medio de las N medidas realizadas. Obtenerlas frecuencias angulares con las formulas:

Su1T %2n

ST1TSu2T %

2nST2T

(5.127)

Calcular los valores de estas frecuencias angulares con la expresiones (usando los valoresde k y m obtenidos en el Apartado 5.3.1):

uñ1 %Jk

muñ2 %J

3k

m(5.128)

Obtener los errores de los periodos aT1b y aT2b con las expresiones:

BST1T %JN

;i%1

(T1i . ST1T)2

N(N . 1); BST2T %J

N

;i%1

(T2i . ST2T)2

N(N . 1)(5.129)

y de las frecuencias angulares:

Bu1 %Su1T

ST1TBST1T ; Bu2 %

Su2T

ST2TBST2T (5.130)

Buñ1 %JALuñ1

LkBkB

2

!ALuñ1

LmBmB

2

(5.131)

Buñ2 %JALuñ2

LkBkB

2

!ALuñ2

LmBmB

2

siendo los resultados:

u1 % u1 u Bu1 rad/s u2 % u2 u Bu2 rad/s(5.132)

uñ1 % uñ1 u Buñ1 rad/s uñ2 % uñ2 u Buñ2 rad/s

comparar estos resultados haciendo una estimación de los motivos de las posibles diferen-cias.


5.3.6. Medida de la frecuencia de modulaciónSe montará el dispositivo de la Figura 5.12. Con las condiciones iniciales de la figura, semedirá directamente el periodo de modulación Tm que es el tiempo que tarda entre el ins-tante inicial y el siguiente paso por la máxima amplitud de la masa que inicialmente sedesplaza (Am2), este paso corresponderá al instante en que la otra masa (Am1) vuelva porsegunda vez a estar en reposo. Para esto se desplazará una masa una distancia aproximadade 10 cm dejando la otra fija en la posición de equilibrio, se soltarán las dos masas y semedirá el tiempo entre la 1.a y la 3.a vez (Figura 5.13) que se pare la masa que inicial-mente se desplaza (masa de la derecha Am2). Esta medida también se puede realizar entrela 2.a y 4.a vez que se pare o, en general, entre 2 paradas alternativas. Se realizarán N me-didas y su valor medio nos dará el valor del periodo de modulación, con este valor se ob-tendrá la frecuencia de modulación um:

SumT %2n

STmT(5.133)

Usando los resultados experimentales de Apartado 5.3.5 calcular el valor de la frecuenciade modulación con la expresión:

uñm %1

2(u2 . u1) (5.134)

Obtener el error del periodo de modulación con la expresión:

BTm %JN

;i%1

(Tmi . STmT)2

N(N . 1)(5.135)

y los errores de um con las expresiones:

Bum %SumT

STmTBSTmT (5.136)

Buñm %1

2(Bu1 ! Bu2) (5.137)

siendo los resultados:

Tm % STmT u BTm s um % SumT u Bum rad/s(5.138)

uñm % uñm u Buñm rad/s

comparar estos resultados haciendo una estimación de los motivos de las posibles dife-rencias.

5.3.7. Medida de las frecuencias con el motorde forzamiento

Se montará el dispositivo de la Figura 5.18. Dado que el sistema oscilará a la frecuenciadel motor, se puede hacer que el sistema oscile a las frecuencias de los modos y a la depulsación, que se podrán identificar fácilmente con la mera observación del movimiento.


Para esto, se variará lentamente la frecuencia del motor hasta alcanzar la frecuencia delprimer modo de oscilación, de la promedio y del segundo modo. En cada uno de los trescasos se medirá el tiempo (t) en el que se realizan N oscilaciones, obteniendo el periodo T(T % t/N), de los que se pueden deducir las frecuencias angulares.

u1 %2nT1

u2 %2nT2

up %2nTp

um % (up . u1) (5.139)

Si se desea prolongar el experimento se puede repetir utilizando un muelle central dis-tinto (kñ) a los muelles de los extremos. Teniendo en cuenta que las Expresiones (5.118)deben ser:

uñ1 %Jk

muñ2 %J

k ! 2kñ

m(5.140)

FIGURA 5.18. Posición inicial para el estudio del movimiento de un sistema formado por dos masasy tres muelles en oscilaciones longitudinales, con ayuda de un motor que le suministrauna fuerza exterior.

5.4. Resultados


5.4.1. Obtención de la constante del muelleUna tabla con los N datos t y T de las N medidas realizadas. El valor medio del periodocon su error y la constante del muelle con su error [Expresiones (5.104) a (5.109)].

5.4.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento bUna tabla con los N datos A, A ñ y b de las N medidas realizadas. El valor del coeficiente deamortiguamiento [Expresiones (5.110) a (5.114)].

5.4.3. Medida del coeficiente de amortiguamientoy del factor de calidad

Una tabla con los N valores medidos de la semivida y el valor obtenido [Expresión(5.115)]. Los valores del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad [Expresio-nes (5.116) a (5.124)]. Se explicarán las posibles diferencias entre los resultados obtenidospara b en 3.2 y 3.3.


5.4.4. Medida de la frecuencia de resonanciaUna tabla con los valores obtenidos para amplitudes y frecuencias. Se representará la curvaA(u), para lo cual se puede utilizar un papel milimetrado y dibujar una curva aproximada amano alzada, o bien, utilizar un ordenador con un programa de representación gráfica. Dela gráfica se obtiene el valor de la frecuencia de resonancia, que también se debe de hallarcon la Expresión (5.126) utilizando resultados de los apartados anteriores, comparandolos resultados obtenidos. Se obtendrá también el factor de calidad del OAF con la Ecua-ción (5.125).

5.4.5. Medida de la frecuencia de los modosde oscilación

Una tabla con los datos t1, T1, t2 y T2 de las N medidas realizadas. Los valores medios delos periodos y las frecuencias angulares, tanto experimentales como calculadas, con suserrores correspondientes [Expresiones (5.127) a (5.132)]. Se explicarán las posibles di-ferencias entre los valores experimentales y calculados de las frecuencias angulares, quedeben ser pequeñas si las medidas se han hecho con cuidado.

5.4.6. Medida de la frecuencia de modulaciónUna tabla con los N valores medidos del periodo de modulación. El valor medio de estas Nmedidas con su error. Lo valores del periodo y la frecuencia angular de modulación usandolas Expresiones (5.133) a (5.138). Se explicarán las posibles diferencias entre los resulta-dos obtenidos.

5.4.7. Medida de las frecuencias con el motorde forzamiento

Se darán los tres valores de los periodos y las frecuencias obtenidos y se compararán conlos obtenidos en los apartados anteriores.

Si se ha optado por repetir el experimento de las oscilaciones acopladas con un muellecentral distinto hay que repetir los datos y resultados. Hay que constatar que los periodos ylas frecuencias angulares del primer modo de oscilación son iguales pues en este modo elmuelle central no modifica su longitud.

5.5. Cuestiones

1. Definir con palabras la frecuencia angular de un oscilador armónico simple.

2. Estudiar el problema de un oscilador armónico simple formado por una masa engan-chada a dos muelles distintos, los cuales a su vez están enganchados a dos soportesrígidos.

3. Estudiar la Figura 5.10 y el movimiento para los distintos valores del factor de calidad.

4. Estudiar el problema de un sistema formado por dos masas y tres muelles distintos querealiza pequeñas oscilaciones longitudinales.


Deformaciones elásticas:tracción, flexión y torsión

6.1. Introducción6.1.1. Compresión y tracción6.1.2. Flexión6.1.3. Torsión

6.2. Instrumentación6.2.1. Tracción6.2.2. Flexión6.2.3. Torsión

6.3. Método experimental6.3.1. Tracción6.3.2. Flexión6.3.3. Torsión

Nuestra experiencia más próxima nos lleva a observar que muchos de los sólidos que nos ro-dean se deforman cuando se aplica una fuerza sobre ellos; y o bien recuperan su forma unavez dejamos de aplicar dicha fuerza (deformación elástica) o quedan deformados de modopermanente (deformación plástica). En esta práctica estaremos interesados en el primer régi-men, el elástico, que presenta cualquier material en su fase inicial de deformación.

6.1. Introducción

El sólido rígido se define como aquel en el que la distancia entre dos cualesquiera deelementos básicos permanece invariable durante la aplicación de una fuerza; de modo queun sólido rígido conserva su forma durante todo el proceso dinámico. Esto nos lleva a defi-nir conceptos tan útiles como el de centro de masas que nos permite, por ejemplo, a tratarlas traslaciones de todo el volumen del cuerpo como si fuera el de una partícula puntualcuya masa fuera la correspondiente a todo el sólido y cuya posición en función del tiempoviene determinada por la posición del centro de masas. Sin embargo, nuestra experienciamás próxima nos dicta que este tipo de materiales no existen como tales en la naturaleza.Desde un punto de vista más fundamental nos basta con recordar cómo es la forma generalde la energía potencial de interacción entre las partículas de cualquier sólido: en uno rígidoestas están sometidas a una energía potencial infinita en sus posiciones de equilibrio, loque las hace infinitamente estables, esto es, no se ven afectadas por perturbación alguna.Por tanto, de cara a considerar el problema del efecto de un conjunto de fuerzas actuandosobre un cuerpo de esta naturaleza, si las distancias entre las diferentes partes del mismono se ven afectadas unas respecto a otras bajo la aplicación de las fuerzas externas duranteel tiempo en que llevamos a cabo un determinado experimento, esto implica que podemosconsiderarlo como rígido, siendo esta una buena aproximación. Sin embargo, si las fuerzasinternas del material son del mismo orden de magnitud que las externas, además de poderproducirse traslaciones y rotaciones del sólido como un todo, se producirán desplazamien-tos de las partículas componentes de sus posiciones de equilibrio, es decir, deformaciones,que, es más, no tienen que ser homogéneas en el volumen del sólido.

De esta manera encontramos que, por ejemplo, en condiciones de equilibrio, las fuerzasque actúan sobre todo cuerpo deformable satisfacen las mismas que en el caso de un cuer-po rígido, pero en aquel estas, pese a ser necesarias, no son suficientes.

Para centrar aún más las ideas veamos el siguiente ejemplo simple: consideremos unabarra AB, como la que se muestra en la Figura 6.1, y apliquemos sobre sus extremos fuer-zas del mismo módulo, es decir, �FA� % �FB�, lo que implica que la barra estará en equili-brio desde el punto de vista de la mecánica.

Si desde los puntos de aplicación en sus extremos, Figura 6.1(a), trasladamos ambasfuerzas de modo que el punto de aplicación de la fuerza FA sea el punto B y el de lafuerza FB el punto A, Figura 6.1(b), o, ambas fuerzas a cualquier otro punto C sobre sulínea de acción en el interior de la barra, Figura 6.1(c), caso de estar tratando con un só-lido rígido, no se perturba el equilibrio. Sin embargo, si estudiamos el mismo problemadesde el punto de vista de un sólido real, esto es, deformable, en cada uno de los casosanteriores el comportamiento del sólido será distinto. En el primer ejemplo la barra seestira bajo la acción de la fuerzas aplicadas, en el segundo la barra se comprime, y en elúltimo caso no experimenta ninguna deformación. De modo que en un cuerpo deforma-ble, el trasladar el punto de aplicación de las fuerzas a lo largo de la línea de acción,lleva a comportamientos completamente diferentes respecto al común que encontrábamosen el sólido rígido.

La hipótesis básica de la teoría clásica de la elasticidad es la de trabajar con medioscontinuos, es decir, no se tiene en consideración la distribución particular de los átomos,iones o moléculas en el interior del sólido y se emplea en su lugar conceptos como el dedensidad, que por ejemplo permite desarrollar un tratamiento simple para las ondas elásti-cas que pueden propagarse en un material elástico.


FIGURA 6.1. Posibles disposiciones de dos fuerzas actuando sobre un material.

Hemos visto que para producir una deformación en un material necesitamos aplicarfuerzas sobre el medio, y que en un caso general llevan aparejada la aparición de momen-tos de fuerza sobre el mismo material. De modo que en principio el material posee unadinámica traslacional y rotacional. Sin embargo, nosotros en este capítulo no estamosinteresados en dichas dinámicas por lo que asumiremos que estamos en condiciones deequilibrio, es decir, se verifica el conjunto de ecuaciones

;n

Fn % 0 y ;n

Mn % 0 (6.1)

Siendo Fn el conjunto de fuerzas que actúa sobre el material y Mn sus correspondientesmomentos. Como sabemos, la primera ecuación establece el equilibrio traslacional y la se-gunda el rotacional. Pero como ya hemos mencionado estas ecuaciones representan condi-ciones necesarias pero no suficientes. Como veíamos en relación a la Figura 6.1, la barraestá en equilibrio si �FA� % �FB�, sin embargo, si el material es real aparecerá una respuestadel mismo, una deformación.

Cuando un sólido no está deformado sus diferentes partes se hallan en equilibrio, exis-tiendo una relación espacial determinada entre ellas. Sin embargo, al deformarle bajo laaplicación de una fuerza externa se alcanza una nueva situación de equilibrio en la que sellega a una disposición espacial diferente entre las partes del material. En todos los mate-riales existe un intervalo para el módulo de la fuerza aplicada para el que una vez que estase deja de aplicar el material recupera su forma original, esta región es la que se conocecomo región elástica (dependiendo del material esta puede ser mayor o menor, esto es,comportarse de dicho modo en un mayor o menor rango de fuerza aplicada). Es más, enesta región se observa que la relación entre la fuerza aplicada y la deformación producidatiene un comportamiento lineal. Una vez que aplicamos una fuerza mayor que la de esteintervalo la deformación del material pasa a lo que se conoce como régimen plástico, ca-racterizado por el hecho de que, una vez que se deja de aplicar la fuerza externa, el mate-rial no recupera su forma inicial y queda deformado de manera permanente. Esta últimaregión finaliza en un punto conocido como límite de ruptura del material y en el que este sequiebra.

6.1.1. Compresión y tracción

La ley que rige las deformaciones elásticas se conoce como ley de Hooke, y no es más quela generalización a un sólido del oscilador armónico simple que hemos estudiado en capí-tulos anteriores. Consideremos el problema en el que sobre una barra de un determinado

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión 97

material aplicamos en sus extremos fuerzas de la misma magnitud pero de sentido opuesto,como se muestra en la Figura 6.2 (que como veremos más abajo representa un experimentode tracción). La experiencia nos determina que la deformación en la dirección de aplica-ción de dicha fuerza es proporcional a la misma, siempre y cuando no entremos en el régi-men plástico del material.

FIGURA 6.2. Disposición de las fuerzas en un experimento de tracción.

Con idea de formalizar el problema de la deformación elástica, al estar interesados enel material desde un punto de vista macroscópico, y tomando como referencia la forma co-mo se aborda el problema de los fluidos, en lugar de manejar la fuerza aplicada sobre to-dos los puntos de la sección de la barra emplearemos el concepto de tensión, es decir, lafuerza aplicada por unidad de superficie, similar al concepto de presión de los fluidos. Elusar este concepto nos permitirá establecer relaciones entre la deformación y la tensión in-dependientemente de la geometría y dimensiones del material concreto que estemos anali-zando.

Una vez que establecemos un sistema de referencia para expresar direccionalmente to-das las posibles tensiones que pueden aplicarse sobre cada una de las superficies de un de-terminado material, es inmediato deducir que las tres tensiones básicas son las que semuestran en la Figura 6.3.

FIGURA 6.3. Tensiones elementales sobre la superficie de un material.

Como se observa en esta Figura 6.3 la notación que emplearemos para describir estastensiones básicas será pnm (n o m % x, y o z) cuyos subíndices tienen el siguiente significa-do: el primer subíndice proporciona la dirección en la que se aplica la tensión y el segundola dirección normal a la superficie sobre la que se aplica. Es inmediato ver que cualquiertensión más compleja que actúe sobre el elemento de superficie puede deducirse de estastres componentes como combinación de las mismas.

Por simplicidad nos centraremos en el estudio de un bloque de determinado materialpreparado en forma de cubo, aunque las conclusiones que extraigamos serán de validezgeneral. Analicemos el conjunto de tensiones «fundamentales» diferentes que se puedenaplicar sobre el mismo. A partir de lo que acabamos de mencionar vemos que las únicasposibles son las indicadas en la Figura 6.4.


FIGURA 6.4. Conjunto de todas las posibles tensiones básicas actuando sobre un material.

Este bloque está constituido por un conjunto de tres pares de planos paralelos. Asípues, si por cada par de planos tenemos tres posibles tensiones fundamentales, entonces,para el volumen descrito en la figura anterior habrá nueve tensiones diferentes. (La formade tratar matemáticamente este conjunto de tensiones es con una matriz de 3 # 3.) Sin em-bargo, hay que tener presente que exigir que el material no rote como un todo implicapij % pji, (i j) como se ve gráficamente en la Figura 6.5.

FIGURA 6.5. Ejemplo de tensiones de cizalla. Si pi j Ç pj i el material rotaría como un todo.

Esta condición conlleva que sólo haya seis tensiones diferentes: pxx; pyy; pzz; pxy; pyz;pzx. Las tres primeras se denominan tensiones hidrostáticas (y son equivalentes al conceptode presión en líquidos); y las tres últimas de cizalla (estas no tienen símil en el estado lí-quido, siendo una de las características diferenciadoras del estado sólido).

En función del signo de las tensiones hidrostáticas comprimimos el material (pnn a 0),o lo estiramos (pnn b 0). Con estas seis componentes podemos describir cualquier tensiónsobre un material de geometría arbitraria.

Hasta aquí hemos analizado las posibles acciones sobre un sólido. Ahora debemos ca-racterizar el efecto sobre los materiales de estas acciones, esto es, su deformación. Enten-deremos ésta como la variación de las distancias relativas de los diferentes elementos delmaterial.

Si en un determinado sistema de coordenadas la posición de un punto del material an-tes de la deformación viene dada por su vector posición r % (x, y, z) % (x1, x2, x3), (usare-mos ambas notaciones indistintamente), al deformarse el sólido su nueva posición será


r ñ % (xñ, yñ, zñ) % (xñ1, xñ2, xñ3). En consecuencia, el desplazamiento de este punto debido a ladeformación vendrá dado por el vector u % r ñ . r (en general dependerá de cada punto dematerial, es decir, u % u(r)). Sin embargo lo verdaderamente significativo en el fenómenode deformación es la variación de las distancias relativas de los puntos del material; de estemodo, si la distancia entre dos puntos infinitesimalmente próximos del material es antes dela deformación, tras ella su distancia será dr, de forma que du % dr ñ . dr . Expresandosus componentes en diferenciales tenemos

dun % ;n

Lun

Lxm

dxm (6.2)

Donde n o m % x, y o z. Así pues la distancia entre los puntos una vez deformado elmaterial vendrá dada por

�dr ñ�%∂[(dx1!du1)2!(dx2!du2)

2!(dx3!du3)

2] % C�dr �2 ! 2 ;n

;m

unm dxn dxmD12 (6.3)

Siendo

unm %Lun

Lxm

!Lum

Lxn

(6.4)

En la que hemos despreciado por pequeños los términos de segundo orden del tipodun dum, lo que implica asumir que las deformaciones son pequeñas. (Esta aproximación noes válida en general en el problema de flexión puesto que en este caso el vector desplaza-miento puede ser grande para pequeñas deformaciones.) Como es inmediato deducir de laforma de las componentes unm, se verifica que unm % umn.

Con idea de aclarar el significado de estas expresiones veremos dos ejemplos funda-mentales para los problemas que nos vamos a encontrar en las prácticas propuestas. Consi-deremos en primer lugar un problema de compresión en la dirección x, pxx. Impondremosla condición de que el material no se deforme en las otras dos direcciones espaciales (estoimplica que uyy, uzz % 0). Consideremos entonces dos puntos del medio material cuya sepa-ración antes de la deformación es dr % dx1 i ( i es el vector unitario en la dirección x). Aldeformar el material obtendremos

dxñ1 % ∂[(dx1 ! du1)2] % ∂[dx2

1 ! 2u11 dx21] % ∂[1 ! 2u11] dx1 (6.5)

Como las distancias son infinitesimales el término de la raíz cuadrada es pequeño y po-demos hacer su desarrollo en serie de Taylor quedándonos con los dos primeros términosdel mismo. Es decir,

dxñ1 ] (1 ! u11) dx1 (6.6)

De donde llegamos a

u11(% uxx) ]

dxñ1 . dx1

dx1(6.7)

De modo que encontramos que los elementos unn, tal que n % x, y, z, representan losincrementos (o decrementos) relativos de la longitud del material en cada una de las tresdirecciones espaciales. Estas se denominan deformaciones hidrostáticas, y como demostra-remos a continuación llevan aparejadas variaciones de volumen del material.

Por el momento no consideraremos los términos no diagonales de la deformaciones, esdecir, asumiremos que unm % 0, n Ç m (las condiciones de esta aproximación se entende-


rán más adelante cuando veamos el significado de estos términos). Entonces, como paracada dirección espacial tenemos

dxñ2n % (1 ! 2unn) dx2

n (6.8)

n % x, y o z, las variaciones del volumen del material vendrán dadas como el producto deestas tres componentes, esto es,

dVñ2] dx2

1 dx22 dx2

3 %A1 ! 2 ;n

unnB dV2 (6.9)

Donde como antes hemos despreciado los términos de segundo orden. Si llevamos acabo ahora la aproximación de la raíz cuadrada llegamos a la expresión

dVñ . dV

dV] ;

n

unn (6.10)

Así pues, la variación relativa de un elemento de volumen del cuerpo está determinadapor la suma de las componentes diagonales de la matriz de deformación. Si asumimos quela deformaciones son homogéneas en todo el volumen del material, entonces podemos es-cribir la ecuación anterior como

BV

V0] ;

n

unn (6.11)

Y donde V0 corresponde al volumen del material antes de la deformación.El segundo problema que nos plantearemos es aquel en el que aplicamos tensiones en

una dirección paralela a alguna de las superficies del material (siguiendo el criterio que es-tablecíamos más arriba, pnm, n Ç m), estos es, tensiones de cizalla. Tomemos de referenciados puntos del material cuya distancia relativa viene dada por la relación dr % da j . Y asu-mamos que tras la deformación su distancia viene dada por dr ñ % da sen a i ! da cos a j , loque supone asumir que no hay variación del volumen del material, variando sólo su forma(Figura 6.6).

FIGURA 6.6. Deformación producida en un material por la aplicación de una tensión de cizalla.

En consecuencia, a la vista del análisis que acabamos de llevar a cabo más arriba, lasúnicas deformaciones diferentes de cero serán en este caso unm, n Ç m. Como en el casoque estamos considerando tenemos dxi % dxj % da, entonces

�(dr ñ . dr)� % 2Asena2B da ] a da % ∂[1 ! 2uij] da ] uij da (6.12)


Donde para establecer la relación entre la segunda y tercera igualdad hemos supuestoque la deformación de cizalla considerada es pequeña. Así pues,

uij % a (6.13)

Luego las componentes unm, con n Ç m, representan los ángulos asociados a las variacio-nes de forma del material.

Acabamos de describir la forma de tratar las tensiones y las deformaciones, esto es, lacausa y el efecto. El siguiente paso que hemos de dar es relacionar ambas magnitudes. Estepunto es equivalente al tratar de obtener la constante de restauración de un muelle, una ca-racterística intrínseca del mismo y que representa el factor de proporcionalidad entre lafuerza aplicada sobre él y la deformación con la que responde. Sin embargo, en el caso delos sólidos, el problema es un poco más complicado como queda de manifiesto en los ex-perimentos que vamos a analizar a continuación.

Comenzaremos por la aplicación de una tensión hidrostática, pnn; observamos que elefecto que se produce en el material no es únicamente una deformación en la dirección deaplicación de la tensión, unn [Figura 6.7(a)], sino que, adicionalmente, el material se defor-ma en las direcciones perpendiculares a la de aplicación de la tensión, esto es, umm, conm n [Figura 6.7(b)].

FIGURA 6.7. (a) Hipotética deformación bajo la aplicación de una tensión hidrostática(b) Deformación real cuando se somete el material a dicha tensión(El recuadro a trazos representa la forma del material sin deformación).

Esto implica que en un caso general para un medio isótropo las relaciones entre las de-formaciones hidrostáticas y todas las posibles tensiones vendrán dadas por las relacionessiguientes

uxx %1

E[pxx . l(pyy ! pzz)]

uyy %1

E[pyy . l(pxx ! pzz)] (6.14)

uzz %1

E[pzz . l(pxx ! pyy)]

Las constantes que aparecen son el módulo de Young, E, y el coeficiente de Poisson, l.Para aclarar el significado de este conjunto de ecuaciones planteemos un problema típicode laboratorio. Supongamos un material que se somete a una tracción uniforme de valor pen la dirección x, es decir, pxx % p. Entonces, imponiendo estas condiciones en el sistemade ecuaciones anterior nos quedaría

uxx %1

Ep, uyy %.

lE

p, uzz %.

lE

p (6.15)


De aquí podemos deducir de forma inmediata el significado del módulo de Young y elcoeficiente de Poisson. El primero determina cómo se deforma el material en la direcciónde aplicación de la tensión (es equivalente a la constante de restauración de un muelle, k).En cuanto al coeficiente de Poisson, operando sobre las dos primeras ecuaciones anterioresllegamos a

uyy %. luxx (6.16)

Es decir que el coeficiente de Poisson determina la deformación hidrostática en una di-rección espacial ortogonal a la de aplicación de la tensión. Este sólo puede variar entre .1y 1

2, aunque en la práctica sólo lo hace entre 0 y 12, ya que no se conocen sustancias para las

cuales l a 0, es decir, sustancias que se dilatan transversalmente cuando se le estira longi-tudinalmente. La razón para que sólo pueda tomar valores en este intervalo son muy funda-mentales: si consideramos la energía potencial elástica de un sólido isótropo deformado,valores del coeficiente fuera del intervalo mencionado implicarían valores de la energíamenores que los correspondientes al sólido sometido a las tensiones externas; esto querríadecir que una vez que el sólido comenzara a deformarse, por muy pequeña que fuera ladeformación inicial, seguiría deformándose indefinidamente por sí sólo, al tender a un esta-do de mayor estabilidad. Pero este fenómeno no es físico ya que va en contra de uno de losprincipios básicos del comportamiento de la naturaleza, la imposibilidad del móvil perpe-tuo de primera especie, que afirma que no se puede obtener energía de un sistema físicocualesquiera sin aportar una cantidad mayor de la misma mediante la realización de trabajosobre él.

Finalmente, expresaremos sin demostración las ecuaciones que relacionan las tensionesy deformaciones de cizalla, que también para un medio isótropo son:

uxy % 2A1 ! l

E Bpxy

uxz % 2A1 ! l

E Bpxz (6.17)

uyz % 2A1 ! l

E Bpyz

Donde G %1

2 AE

1 ! lB se denomina módulo de cizalla.

6.1.2. FlexiónCuando apoyamos una viga en sus extremos y la cargamos en algún punto, o en varios a lolargo de la misma, nuestra experiencia es que esta se deforma; volviendo a su forma origi-nal si estamos en condiciones elásticas una vez retiramos la carga.

Para tratar el problema analíticamente comenzaremos determinando lo que se conocecomo elástica de la viga flexionada, la ecuación que nos determina su flexión. Como seobserva en la Figura 6.8, la flexión implica una distribución de tensiones no uniforme a lolargo de la sección de la viga, caracterizada por una frontera límite llamada superficie neu-tra (que en el corte que se muestra en la figura anterior aparece como una línea).

Siguiendo el tratamiento del apartado anterior, la relación entre la tensión y su corres-pondiente deformación en la región elástica viene expresada a través de la relaciónpxx % Euxx, dependiendo ambas en este caso de la distancia a la línea neutra (aunque su-


FIGURA 6.8. Deformación por flexión de una viga. En los detalles se muestra la distribuciónde tensiones a lo largo de la sección de la misma. (a) Esquema en perspectiva.(b) Corte de la viga.

pondremos que, sin embargo, son uniformes a lo largo de la viga para cada sección infini-tesimal). Ahora bien, la deformación ha de estar relacionada con el radio de curvatura de laviga flexionada. Efectivamente, como se muestra en la Figura 6.9, asumiendo primer ordende aproximación, Bl ! l0 % Rh, y como por otro lado Bl % yh, entonces,

Bl % yh % y(Bl ! l0)

R] y

l0R

ú uxx %Bx

x0]

Bl

l0]

y

R(6.18)

Así pues, llegamos a la relación

pxx % Ey

R(6.19)

El siguiente paso que daremos será la determinación del radio de curvatura de la viga.Implícitamente supondremos en lo que sigue que su flexión es pequeña, de forma que po-demos considerar que el radio de curvatura es muy grande. Si observamos el detalle de ladeformación que aparece en la Figura 6.10, el arco que determina la flexión lo podemosexpresar como

ds % ∂dx2! dz2

% dx∂1 ! (dz/dx)2 (6.20)

Por otro lado, sabemos que ds % R dh y como

h % arctag (x/z) ú dh %1

1 ! (x/z)2d

dx Ax

zB dx (6.21)


FIGURA 6.9. Corte de la deformación por flexión de una viga.

FIGURA 6.10. Detalle de una deformación por flexión.

De la Figura 6.10 puede deducirse la relación x/z] dz/dx. Entonces, relacionando lasecuaciones anteriores obtenemos

dxJ1 ! Adz

dxB2

%R

1 ! (dz/dx)2d

dx Adz

dxB dx (6.22)

de donde llegamos a la expresión para el radio de curvatura

1

R%

d2z

dx2

[1 ! (dz/dx)2]3/2]

d2z

dx2 (6.23)


La segunda igualdad se obtiene despreciando (dz/dx)2 frente a 1, asumiendo que estetérmino es de segundo orden. Entonces, nos queda

pxx % Eyd2z

dx2 (6.24)

Como se ve en la Figura 6.8 las tensiones por encima y por debajo de la superficie neu-tra tienen signos opuestos, lo que implica que sobre la sección transversal de la viga ha dehaber un momento neto respecto a la superficie neutra, y al que denominaremos momentoflector. Este vendrá dado por la contribución de todas las tensiones a lo largo de la secciónde la viga, es decir,

M % IS, secciónde la viga

ypxx dS % Ed2z

dx2 IS, secciónde la viga

y2 dS % EId2z

dx2 (6.25)

Donde I se conoce como momento de inercia de la sección transversal de la viga, fac-tor determinante en el diseño de las vigas para construcción. Para el caso concreto en elque esta tenga una sección rectangular I % ab3/12, siendo a y b sus correspondientes di-mensiones.

Por otro lado, este momento flector ha de estar relacionado con las fuerzas externasque actúan sobre la propia viga. Estas lógicamente dependen del problema particular queestudiemos. Aquí analizaremos en detalle los dos casos concretos en los que estaremosinteresados para el desarrollo de las dos prácticas de laboratorio propuestas: una viga car-gada en su centro [Figura 6.11(a)] y en otra cargada en un extremo y apoyada en una arti-culación y un apoyo simple [Figura 6.11(b)].

FIGURA 6.11. (a) Viga apoyada en sus extremos y cargada en su centro.(b) Viga empotrada con apoyo y cargada en uno de sus extremos.

Para el primer problema, de cara a relacionar los momentos flectores con las fuerzasexternas, tomaremos como origen el centro de la viga, en el punto en el que aplicamos lacarga. De este modo, para la viga cargada con un peso P en su centro, el momento flectorvendrá dado por

M % .

P

2 Al

2! xB!

P

2 Al

2. xB% .Px (6.26)

Siendo máximo en el centro y cero en lo apoyo. Entonces, la elástica nos queda paraeste problema

EId2z

dx2 % . Px (6.27)

Cuya solución es

z(x) % .

P

6EI CAl

2B3

u x3D (6.28)


El signo ! (.) corresponde a la parte positiva (negativa) del eje de las x. Esta ecua-ción nos describe el perfil de la viga deformada en función de la dimensión que representasu longitud.

Por otro lado, para el caso de una viga empotrada por uno de sus extremos con unapoyo en el centro de la misma, y la carga en el otro extremo, la ecuación de la elástica,referida a un sistema de referencia en el que el origen está en el apoyo,

z(x) % E.

P

EI A.

x3

6! l

x2

4! l2

x

12B , x a 0

.

P

EI Ax3

6! l

x2

4! l2

x

12B , x a 0 F (6.29)

6.1.3. TorsiónEl tercer problema que analizaremos dentro de los fenómenos elásticos es el de torsión. Unesquema del mismo está representado en la Figura 6.12 para una barra cilíndrica.

FIGURA 6.12. Fenómeno de torsión sobre una barra cilíndrica bajo la aplicaciónde momentos de torsión en sus extremos.

Así si aplicamos un momento a una barra cilíndrica de un determinado material delmodo que se muestra en la figura anterior, se produce una deformación, un retorcimiento,que representaremos con el ángulo de deformación de la sección de la barra, h. Este puedeexpresarse en función del radio de la sección que estemos considerando de la barra, r, sulongitud, L, y el ángulo que representa el retorcimiento de toda la barra, h (Figura 6.13)

rh ] Lh ú h %r

Lh (6.30)

Por otro lado, las tensiones implicadas en este fenómeno son, como se deduce de la fi-gura anterior, de cizalla. Entonces, recordando la forma de la relación entre las tensiones ydeformaciones de cizalla, podemos hacer h % p/G, de donde llegamos a la relación

p % Gr

Lh (6.31)

Siendo G el módulo de cizalla. De modo que el momento de torsión debido a esta ten-sión de cizalla a un radio r sobre un elemento de volumen determinado por el intervalo(r, r ! dr), Figura 6.14, vendrá dado por

dM % rp2nr dr % 2nGr

Lhr2 dr (6.32)


FIGURA 6.13. Ángulo de retorcimiento de toda la barra.

FIGURA 6.14. Elemento de volumen a un determinado radio de un barra cilíndrica.

Y entonces el momento sobre toda la sección de la barra cilíndrica será

M %IR

0dM % 2n

G

Lh I

R

0r3 dr % nG

R4

2Lh (6.33)

Siendo R el radio exterior de la barra.


La medida de deformaciones puede llevarse a cabo con muy poca inversión económica.Basta con las piezas o bloques, vigas y barras que queramos estudiar, algún sistema deapoyos o fijaciones para apoyar durante las experiencias el material que estemos estudian-do y un micrómetro comercial como el que se muestra en la Figura 6.15, que permite me-dir variaciones espaciales con precisión de la micra.

Sin embargo, la alternativa a los micrómetros, si se dispone en el laboratorio que sedesee montar de suficiente presupuesto, son los extensiómetros (o galgas), que se puedenadquirir en diferentes casas comerciales. Los más extendidos en la actualidad son los basa-dos en la resistencia eléctrica; estos están constituidos por un hilo metálico muy fino dis-puesto en forma de rejilla continua (Figura 6.16), adherida a una base muy delgada no con-ductora, de manera que la mayor parte de su longitud está distribuida paralelamente a unadirección fija.


FIGURA 6.15. Micrómetro comercial.

FIGURA 6.16. Rejilla de material metálico base para la construcción de una galga extensiométrica.

El fundamento de funcionamiento de este dispositivo experimental se basa en el hechode que la resistencia eléctrica de un alambre aumenta cuando se alarga, disminuyendo encaso contrario. La ecuación que nos relaciona la resistencia eléctrica de un alambre metáli-co de resistividad o, longitud l y sección A, es

R % ol

A(6.34)

Admitiremos que el hilo experimenta las mismas deformaciones que la superficie sobrela cual se adhiere. Entonces, una vez que el material se deforme la variación de la resisten-cia eléctrica puede expresarse como

dR

R%

doo

!dl

l.

dA

A(6.35)

Si el hilo antes de la deformación tiene un diámetro d0, tras la deformación vendrá da-do por

d % d0 A1 . ldl

l B (6.36)


Donde l es el coeficiente de Poisson del material del hilo. La variación de su sección,dA, es debida a la contracción lateral y puede expresarse de forma aproximada como

dA

A] .2l

dl

l(6.37)

Por otro lado, la variación relativa de la resistividad es proporcional a la variación rela-tiva de volumen del conductor (ley de Bridgman), es decir,

doo

% CdV

V% (1 . 2l)

dl

l(6.38)

Siendo C la constante de Bridgman, característica del material conductor empleado. Demodo que reagrupando términos llegamos a la expresión

dR

R% K

dl

l% Kunn (6.39)

Donde K % (C ! 1)(1 . 2l) y unn es la variación relativa de longitud de la galga, comoya hemos visto más arriba. De este modo la medición de la variación de la resistencia eléc-trica nos permite obtener una lectura directa de la deformación longitudinal producida enla zona de la superficie en la que se ha adherido la galga. La constante K es un parámetroque se denomina factor de sensibilidad de la galga, valor que siempre ha de aportar el fa-bricante, estando habitualmente entre 2 y 4.

La galga se adhiere a la superficie del material obteniendo la deformación relativa lon-gitudinal, unn, para una determinada dirección arbitraria definida por el vector unitario so-bre la superficie. Esta estará dada por

unn % a2uxx ! b2uyy ! abuxy (6.40)

Donde a y b son los cosenos directores de la dirección n respecto al sistema de refe-rencia escogido sobre la superficie. Esto implica que hemos de llevar a cabo tres medidas,con tres galgas extensiométricos, con idea de determinar uxx, uyy y uxy.

En cualquier caso la descripción de las prácticas propuestas se hará con el material máseconómico.

6.2.1. TracciónCalibre. Dinamómetros. Pinzas de sujeción. Materiales suficientemente elásticos.

6.2.2. FlexiónVigas de acero de la misma longitud pero distintas secciones. Micrómetro. Soporte parapesas. Pesas. Bases de fijación. Cinta métrica.

6.2.3. TorsiónVarillas cilíndricas de materiales metálicos (cobre, latón, aluminio, acero), de diferenteslongitudes y radios. Círculo graduado. Dinamómetros. Bases de fijación.



El objetivo general del conjunto de prácticas que se proponen es obtener las constanteselásticas que determinan la deformación elástica de diferentes materiales.

6.3.1. TracciónDeformar los materiales seleccionados con 7 o 9 tensiones diferentes, cuyos valores deter-minamos a partir de las lecturas del dinamómetro y de la medida de las secciones del ma-terial para cada deformación. (Por simplicidad conviene que los materiales sin deformartengan geometría cúbica.)

Asumiendo que los materiales empleados son isótropos, representar pxx vs uxx, uyy y uzz.Ajustar por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), el modelo teórico, expresado en las Ecua-ciones 6.15, uxx % p/E, uyy % .lp/E, uzz % .lp/E, a los datos experimentales representa-dos en una gráfica, determinar las dos constantes elásticas, módulo de Young, E, y coefi-ciente de Poisson, l, de los materiales analizados.

6.3.2. Flexión1. Viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos, apoyada en sus extremos

y cargada en su centro con un peso P. En la Figura 6.17 se presenta la disposición delos diferentes elementos en el experimento propuesto.

FIGURA 6.17. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experienciade flexión de un viga apoyada en sus extremos y con carga en el centro.

a) De la Ecuación 6.28 podemos determinar la predicción teórica para la deformaciónen el centro de la viga (x % 0)

z(0) %Pl3

48EI(6.41)

Cargando la viga con diferentes pesos, P, (entre 6 y 8), y midiendo con un mi-crómetro los correspondientes desplazamientos, z, representar los datos en un gráfi-co P vs z. Ajustar por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), el modelo teórico, Ecua-ción 6.41, a los datos experimentales y de la pendiente de ajuste extraer el módulode Young E del material de la viga.


b) Manteniendo ahora una carga constante, P, con 6 o 7 vigas del mismo material dela misma longitud l pero distintos momentos de inercia, comparar los resultadosexperimentales con el comportamiento predicho por la teoría, Ecuación 6.41, y enel que z(0) ] 1/I.

c) Finalmente, para una determinada viga de longitud l y momento de inercia I, am-bos conocidos, manteniendo una carga constante, P, en el centro medir, desplazan-do el micrómetro, la flexión en diferentes puntos de la viga. Puesto que hay sime-tría respecto al centro basta medir en una de las dos partes, bien positiva onegativa, del eje de las x. Realizar unas 8 o 10 medidas a lo largo de la viga y re-presentar en un gráfico x vs z el conjunto de medidas, superponiendo al mismo lacurva predicha por la teoría, Ecuación 6.41.

2. Viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos, empotrada, con un apoyosimple y cargada en un extremo. En la Figura 6.18 se presenta la disposición de losdiferentes elementos en el experimento propuesto.

FIGURA 6.18. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experienciade la flexión de una viga empotrada con apoyo en el centro y cargadaen un extremo.

a) De la Ecuación (6.29) podemos obtener la siguiente expresión para la deformaciónen el extremo de la viga

zAx %l

2B% .

l3

8EIP (6.42)

Cargando la viga con diferentes pesos, P, (entre 6 y 8), y midiendo con un mi-crómetro los correspondientes desplazamientos, z, representar los datos en un gráfi-co P vs z. Ajustar por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), el modelo teórico, Ecua-ción (6.42), a los datos experimentales y de la pendiente de ajuste extraer elmódulo de Young E del material de la viga.

b) Para una determinada viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos,manteniendo una carga constante, P, medir, desplazando el micrómetro, la flexiónen diferentes puntos de la viga. Tomar los datos en 8 o 10 puntos repartidos a am-bos lados del apoyo. Realizar unas 8 o 10 medidas a lo largo de la viga y represen-tar en un gráfico x vs z el conjunto de medidas, superponiendo al mismo la curvapredicha por la teoría, Ecuación 6.42. La deformación máxima teórica se produceen el punto x%.0,21l. Comprobar si este resultado concuerda con los datos expe-rimentales.


6.3.3. TorsiónEn la Figura 6.19 se presenta la disposición de los diferentes elementos del experimentopropuesto. El desarrollo de la práctica se basa en aplicar diferentes momentos de torsión,M, a una serie de varillas midiendo los correspondientes ángulos de giro, h, en cada caso.

FIGURA 6.19. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia de torsión.

Para determinar el momento de torsión basta emplear un dinamómetro con el que seaplica una fuerza a un brazo unido a la base de la varilla, procurando mantener un ángulode 90o entre la fuerza y el brazo, (Figura 6.19), de modo que el momento es simplementeel producto de la fuerza por el brazo. (Es importante no sobrepasar la zona elástica de lasvarillas, para lo que no deben superarse ángulos de 60o, aproximadamente, para varillas deacero, de 50o para cobre y latón, ni de 30o para el aluminio.)

a) Representar en un gráfico el momento de torsión frente al ángulo, h, para cuatro vari-llas de distinto material pero igual radio R y longitud L, ambos conocidos. El comporta-miento que predice la teoría es el de una recta, Ecuación (6.33). A partir del ajuste pormínimos cuadrados, (Capítulo 12), de los datos a esta ecuación determinar el módulo decizalla, G, de cada uno de los materiales analizados.

b) Seleccionar 5 o 6 varillas de uno de los materiales escogidos, del que ya se conoce elmódulo de cizalla G, y que posean el mismo radio R pero distinta longitud L, aunquetodos conocidos. Aplicar a cada una de las varillas el momento de torsión necesario pa-ra que se provoque la misma torsión en cada una. Representar los datos obtenidos en ungráfico L vs M y comparar estos resultados experimentales con el comportamiento pre-dicho por la teoría, Ecuación (6.33), y en el que M ] 1/L.

c) Seleccionar 5 o 6 varillas de uno de los materiales escogidos, del que ya se conoce elmódulo de cizalla G, y que posean la misma longitud L pero diferente radio R, todosconocidos. Aplicar a cada una de las varillas el momento de torsión necesario para quese provoque la misma torsión en cada una de ellas. Representar los datos obtenidos enun gráfico R vs M y comparar estos resultados experimentales con el comportamientopredicho por la teoría, Ecuación 6.33, y en el que M ] R4.


Fluidos en equilibrio

7.1. Introducción



7.1. Introducción

Empezaremos introduciendo un concepto básico en el análisis del comportamiento de losfluidos, el concepto de presión, magnitud equivalente a la tensión en sólidos (Capítulo 6).La conveniencia de dicha definición se comprende a posteriori, es decir, cuando queda demanifiesto su utilidad a la hora de expresar las ecuaciones básicas de la estática y dinámicade fluidos, Capítulo 9.

Consideremos un elemento de volumen infinitesimal de un fluido en reposo, como semuestra en la Figura 7.1. Definiremos la presión como la fuerza que se ejerce por unidadde superficie, es decir,

p %dF

dS(7.1)

donde dF es el módulo de la fuerza sobre el elemento de volumen considerado y dS sucorrespondiente superficie.

FIGURA 7.1. Fuerzas actuando sobre un elemento de volumen de geometría cúbica en el senode un fluido.

De modo que el conjunto de fuerzas que actúan en la dirección z sobre un elementoinfinitesimal en equilibrio (Figura 7.1), expresadas en función de esta nueva magnitud, vie-ne dado por

dFz % pdSk (7.2)

dFñz % .pñdSk % .(p ! dp) dSk (7.3)

dPf % of gdVf k (7.4)

donde of es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad y dVf % dSdz el volu-men del elemento de volumen considerado. Si este está en equilibrio la suma de las Ecua-ciones 7.2, 7.3 y 7.4 ha de ser igual a cero, esto es,

.(p ! dp)dS ! pdS ! of gdSdz % 0 (7.5)

y, por tanto,dp % of gdz (7.6)


que corresponde a la ecuación básica de la estática de fluidos en presencia del campo gra-vitatorio. Para llevar a cabo la integración de esta ecuación necesitamos conocer cómo esla dependencia de la densidad con la altura, of % of (z). Si suponemos que el fluido es in-compresible la densidad es constante en cualquier punto del fluido, of % cte, e integrandopodemos determinar la presión a una determinada profundidad z del líquido, dada por laecuación

p(z) % o0 ! of gz (7.7)

Donde hemos tomado como origen del eje z la superficie del líquido, y siendo p0 la presiónen dicha superficie (y que en la mayoría de las experiencias corresponde a la presión atmos-férica).

Así pues, en un campo gravitatorio todos los puntos de un líquido a una misma profun-didad están sometidos a la misma presión, lo que se conoce por cuestiones históricas comoprincipio de Pascal, aunque no es tal, sino una consecuencia de la segunda ley de Newtonaplicada a los fluidos en condiciones estáticas.

Una aplicación de (7.1) de gran interés técnico es el de la prensa hidráulica. El esque-ma básico aparece en la Figura 7.2. En una situación de equilibrio la presión en uno de losextremos de la prensa, p1 % F/S (siendo F la fuerza aplicada, que se supone uniforme en lacorrespondiente superficie, S), ha de ser la misma que en el otro, p2 % f/s, de modo quepodemos establecer la relación

F %S

sf (7.8)

FIGURA 7.2. Fundamento de la prensa hidráulica.

Otro fenómeno fundamental relacionado con un fluido en equilibrio es el comporta-miento de los cuerpos sólidos en el seno del mismo. Este está relacionado con uno de losprimeros hitos científicos de la Historia, el principio de Arquímedes: «Todo cuerpo sumer-gido en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del líquido quedesaloja». Para entenderlo basta analizar cuidadosamente el comportamiento de un cuerposumergido.

Seleccionemos un elemento arbitrario de volumen de un fluido, Vc, (y masa mf), comose muestra en la Figura 7.3(a). Como veíamos en relación con la Figura 7.1, puesto queeste elemento está en equilibrio, esto implica que la segunda ley de Newton es

mf

dvf

dt% 0 % Ef . Pf % Ef . mf gk (7.9)

Capítulo 7. Fluidos en equilibrio 117

Es decir, la fuerza que el resto de fluido ejerce sobre el elemento considerado, Ef , hade ser igual a su propio peso

Ef % mf gk % of Vcgk (7.10)

Siendo of la densidad del fluido. Si ahora sustituimos ese elemento por un cuerpo sóli-do de densidad oc con exactamente la misma geometría y el mismo volumen Vc, Figura7.3(b), la fuerza que el fluido ejerce sobre este tiene que ser idéntica a 7.10. Sin embargola atracción gravitatoria sobre el cuerpo será ahora

P % .mcgk % .ocVcgk (7.11)

FIGURA 7.3. Deducción del empuje sobre un cuerpo sólido sumergido en un líquido.(a) Elemento del fluido seleccionado. (b) Sustitución del elemento del fluidopor un cuerpo sólido de la misma geometría y volumen.

De modo que la segunda ley de Newton para el cuerpo considerado puede escribirsecomo

mc

dvc

dt% ocVc

dvc

dt% Ef . Pc % (mf . mc)gk % (of . oc)Vcgk (7.12)

Por tanto, tenemos las siguientes posibilidades:

Si oc b of entonces Pc b Ef y el cuerpo cae al fondo.

Si oc % of entonces Pc % Ef y queda en equilibrio.

Si oc a of entonces Pc a Ef y el cuerpo ascenderá hasta llegar a la superficie, siendola situación final de equilibrio aquella en la que la parte del mismo que quede sumergido,Vs, permite alcanzar la condición de equilibrio de ambas fuerzas, la gravitatoria sobre elcuerpo y Es, el empuje sobre la parte del cuerpo sumergida. Entonces, tenemos

0 % Es . Pc % (ms . mc)gk % (of Vs . ocVc)gk (7.13)

Ecuación que nos permite establecer la relación

Vs %oc

of

Vc (7.14)

Se dice entonces que el cuerpo flota.Un caso particular de la segunda posibilidad, es decir, cuando oc b of , lo analizaremos

en detalle en el Capítulo 8.


En un cuerpo sumergido, si tiene una distribución homogénea de masa, el centro degravedad y el centro de empuje (entendiendo este por el centro de gravedad del fluido de-salojado), coinciden. Sin embargo, si el cuerpo sumergido no es homogéneo ambos centrosno coinciden, siendo la posición de equilibrio aquella en la que ambos centros estén en lamisma vertical. En estas circunstancias, si se saca el cuerpo de su posición de equilibrio,aparecerá un par de fuerzas; este será tal que si el centro de empuje está por encima delcentro de gravedad habrá un equilibrio estable y tratará el cuerpo de retornar a su posi-ción de equilibrio, mientras que en caso contrario el equilibrio será inestable y el cuerpovolcará.


Volúmenes de diferentes materiales que floten en mayor o menor medida en agua y consecciones y distribución de masa uniforme. Recipiente transparente suficientemente grande.Pie de rey. Dinamómetro. Balanza.


En el experimento propuesto emplearemos agua como fluido. Determinaremos las densida-des medias de diferentes materiales que floten en el agua. De 7.14 podemos obtener

oc % of

Vs

Vc

(7.15)

De modo que determinando el volumen del cuerpo, Vc, y el correspondiente a la pro-porción del mismo sumergido, Vs, obtenemos el valor de la densidad (el valor de la densi-dad del agua a la temperatura de trabajo se ha de tomar de las tablas).

El error que se comete en dicha determinación es

Boc %JALoc

LVc

BVcB2

!ALoc

LVs

BVsB2

(7.16)

Capítulo 7. Fluidos en equilibrio 119

Viscosidad

8.1. Introducción



8.1. Introducción

A velocidades relativamente bajas un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido sufreuna fuerza de rozamiento aproximadamente proporcional a su velocidad y dada por laecuación

Frozamiento % .kgv (8.1)

Donde el coeficiente k depende del tamaño y forma del cuerpo, y g es una propiedaddel fluido que se denomina viscosidad. Si el cuerpo tiene una geometría esférica caracteri-zada por un radio r el valor del coeficiente k es

k % 6nr (8.2)

En la experiencia en la que estamos interesados, la de caída de un cuerpo de masa m enel campo gravitatorio en el seno de un fluido, además de esta fuerza de rozamiento (8.1)también estará sometido a la acción de la fuerza gravitatoria y el empuje, Figura 8.1, demodo que la ecuación diferencial que rige el movimiento, que por otro lado podemos con-siderar unidimensional, es

mdv

dt% . (m . ofluidoVesfera)g . kgv (8.3)

donde

E % ofluidoVesfera g (8.4)

representa la fuerza de empuje sobre la esfera, Capítulo 9, ofluido es la densidad del fluido yVesfera el volumen de la esfera. La solución de esta ecuación asumiendo como condicióninicial v(t % 0) % 0, tiene la forma

v(t) % .

(m . ofluidoVesfera)g

kg A1 . expC.

kg(m . ofluidoVesfera)

tDB (8.5)

FIGURA 8.1. Conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se mueve en el senode un líquido (E corresponde al empuje).


Si desarrollamos la exponencial de (8.5) en serie de Taylor, considerando los primerostérminos nos queda

v(t) ] . gt !1

2


gt2 (8.6)

De modo que para tiempos pequeños, es decir t @ ((m . ofluidoVesfera)/kg), tendremos

v(t) ] .gt (8.7)

Y se puede despreciar el efecto de rozamiento debido al fluido. Por otro lado, de (8.5)deducimos que para tiempos grandes, t bb, la velocidad del cuerpo en el seno del fluidotiende a un valor constante, conocida como velocidad límite. Efectivamente, bajo estascondiciones el término exponencial de (8.5) se hace despreciable, de modo que nos queda,

vlímite % .

(m . ofluidoVesfera)

kg(8.8)

Es decir, el cuerpo cae en el campo gravitatorio con una velocidad constante gracias al ro-zamiento con el fluido que compensa, junto con el empuje, la acción del campo gravitato-rio.

Integrando ahora la Ecuación (8.5), asumiendo como condición inicial z(t % 0) % 0,tendríamos

z(t)%(m.ofluidoVesfera)

2

(kg)2gA1.

kg(m.ofluidoVesfera)

t.expC.kg

(m.ofluidoVesfera)tDB (8.9)

Desarrollando nuevamente la función exponencial en serie de potencias quedándonosen el segundo término obtenemos la expresión

z(t) ] .

1

2gt2 !

1

6


gt3 (8.10)

Que para tiempos pequeños podemos simplificar como

z(t) ] .

1

2gt2 (8.11)

Y para tiempos largos nuevamente el término exponencial de (8.9) puede despreciarse,quedándonos

z(t) ]

(m . ofluidoVesfera)2

(kg)2g A1 .


tB (8.12)

Resultado fácilmente interpretable considerando que en esta región temporal el cuerpo semueve con una velocidad límite constante.

Para cuerpos pequeños con velocidades límites elevadas una aproximación mejor esasumir que la fuerza de fricción viene dada por una expresión cuadrática en la velocidad,es decir

Frozamiento % bv2 (8.13)

siendo b un coeficiente relacionado con la viscosidad del fluido. Así, teniendo en conside-ración esta fuerza junto con la de empuje y atracción gravitatoria, e imponiendo las condi-

Capítulo 8. Viscosidad 123

ciones iniciales z(t % 0) % 0 y v(t % 0) % 0, entonces, de la segunda ley de Newton la so-lución vendrá dada por

v(t) % .J(m . ofluidoVesfera)g

btan hAJ

bg

(m . ofluidoVesfera)tB (8.14)

Que para tiempos muy cortos se reduce de forma aproximada a

v(t) ] .gt (8.15)

Y para tiempos largos se puede simplificar como

vlímite ] .J(m . ofluidoVesfera)g

b(8.16)

Que es también constante en el tiempo, como ocurría con (8.8).


Tubo transparente de metro y medio de longitud, con divisiones cada 10 cm, y 10 cm dediámetro de sección. Esferas metálicas de distintos diámetros. Calibre con precisión de0,01 mm. Balanza. Regla graduada. Cronómetro.


El objetivo de esta experiencia es la determinación a partir de la medida de la velocidadlímite de una esfera, de la viscosidad de diferentes líquidos tales como la glicerina o elaceite. Se basa en asumir que la fuerza de rozamiento expresada en (8.1) es una buenaaproximación para nuestro problema, de modo que de la Ecuación (8.8) llegamos de formainmediata a la ecuación que nos permite obtener la viscosidad del líquido

g %(m . ofluidoVesfera)g

kvlímite

(8.17)

Hay que tener presente que la Expresión (8.17) es en realidad válida para un cuerpoque cae en el seno de un líquido de extensión infinita. En nuestro caso la dimensión finitade la sección del tubo que contiene el fluido nos lleva a tener que considerar la siguientecorrección a esa ecuación

g %(m . ofluidoVesfera)g

6nrvlímiteA1 ! 2, 4r

RB(8.18)

Siendo como antes r el radio de la esfera y R el de la sección del tubo. La demostra-ción, que es compleja, no la presentaremos en este libro pudiéndose encontrar en cualquiermanual sobre fluidos. De cara a comparar los valores que obtengamos con los de la biblio-grafía, y puesto que la viscosidad se ve muy afectada por la temperatura, conviene registrarla temperatura a la que se encuentra el líquido.


En la Figura 8.2 se describe el montaje experimental.

FIGURA 8.2. Disposición de los diferentes elementos en la experiencia.

La experiencia propuesta consiste en dejar caer en el tubo que contiene el líquido lasesferas. En primer lugar trataremos de determinar cuándo se alcanza la velocidad límite,para lo que tomaremos a lo largo del tubo intervalos espaciales de la misma dimensión,calculando entonces la velocidad media a partir de los tiempos de recorrido de la esferapor cada uno de ellos. Después de representar gráficamente las velocidades obtenidas po-dremos fijar a partir de qué división sobre la escala del tubo puede considerarse que la es-fera cae con velocidad constante. Así podemos establecer el intervalo espacial de medida,que ha de ser lo más grande posible con idea de disminuir la incidencia de errores como elde paralaje.

El siguiente paso es obtener la velocidad límite midiendo el tiempo que tarda cada unade las esferas en recorrer el intervalo que acabamos de fijar. Se realizarán N medidas conN esferas del mismo radio, (por ejemplo 10 esferas es un número aceptable), y así poderreducir sobre todo el error asociado a la medida del tiempo con el cronómetro. De este mo-do la velocidad límite vendrá dada por

vlímite % SvlímiteT u Bvlímite (8.19)

Donde

SvlímiteT %1

N

N

;i%1

vilímite (8.20)

Siendo vilímite la velocidad límite obtenida para cada una de las N esferas de la experien-

cia, y

Bvlímite %JN

;i%1

(vilímite . SvlímiteT)2

N(N . 1)(8.21)

Capítulo 8. Viscosidad 125

Una vez que tengamos esta velocidad determinaremos directamente la viscosidad dellíquido a partir de (8.18). El error que comentemos en su determinación es

Bg %JALg

Lvlímite

BvlímiteB2

! ALgLm

BmB2

! ALgLr

BrB2

!ALgLR

BRB2

(8.22)

Donde Bm es el error instrumental asociado a la medida de la masa de las esferas

Bm %JN

;i%1

(mi. SmT)2

N(N . 1)(8.23)

Siendo mi la masa de cada una de las N esferas utilizadas en la experiencia y

SmT %1

N

N

;i%1

mi

el valor medio del conjunto de medidas. Por otro lado, Br es el error asociado con las me-didas del radio de las esferas

Br %JN

;i%1

(ri. SrT)2

N(N . 1)

Donde

SrT %1

N

N

;i%1

ri

Finalmente, BR es el error instrumental cometido en la determinación del radio de la sec-ción del tubo empleado.

A continuación se ha de repetir la experiencia determinando la viscosidad con un con-junto de esferas de otro radio.


Ecuación de Bernouilli

9.1. Introducción



A continuación describiremos el movimiento de un fluido en condiciones estacionarias, lo queimplica que no hay dependencia explícita con el tiempo de las magnitudes físicas básicas quelo describen. Tomaremos además como referencia el caso de un fluido perfecto, esto es,aquél cuyo rozamiento interno puede despreciarse y, por tanto, asumirse que no hay disipa-ción de energía en forma de calor.

9.1. Introducción

Como nos ocurría en la descripción de los materiales sólidos (Capítulo 6), los fluidos hande considerarse como un continuo de materia y, por tanto, la magnitud básica para tratarlas posibles acciones sobre el fluido es la equivalente a la tensión en sólidos, aunque eneste caso se denomina presión (Capítulo 7).

Consideremos un elemento de volumen de un líquido en movimiento fluyendo en elinterior de un tubo vertical, sometido por tanto al campo gravitatorio, como se muestra enla Figura 9.1. La ecuación de movimiento de dicho elemento será entonces

o dz dSdv

dt% . (p ! dp) dS ! p dS . og dS dz (9.1)

FIGURA 9.1. Elemento de volumen de un líquido en movimiento fluyendo en el interior de un tubovertical sometido por tanto al campo gravitatorio.

siendo o la densidad del líquido, g la aceleración de la gravedad y v la velocidad del líqui-do. Haciendo uso de la regla de la cadena tenemos

dv

dt%

dv

dz

dz

dt% v

dv

dz(9.2)

De modo que de (9.1) llegamos a

v dv !dp

o! g dz % 0 (9.3)

Integrando entonces esta ecuación obtenemos

v2

2! I

dp

o! gz % cte (9.4)


En caso de que el fluido sea incompresible, esto es, o % cte, podemos llegar a la ecua-ción de Bernouilli

p !1

2ov2

! ogz % cte (9.5)

Esta ecuación no representa otra cosa que el teorema de conservación de la densidad deenergía del fluido en movimiento.

La otra ecuación básica para el estudio del movimiento de un fluido es la que se cono-ce como ecuación de continuidad. Consideremos el flujo de un fluido en un tubo con dossecciones diferentes, S1 y S2, respectivamente, Figura 9.2. Comparemos la cantidad demasa que pasa por estas dos secciones en un determinado intervalo de tiempo dt. Por S1

fluirá el líquido contenido en el volumen dV1 % S1 dl1 % S1v1 dt, es decir, una masadm1 % o1 dV1 % S1v1 dt, siendo v1 la velocidad de paso del fluido por esta sección. Porotro lado, por S2 pasará el fluido contenido en dV2 % S2 dl2 % S2v2 dt, esto es, una masadm2 % o2 dV2 % o2S2v2 dt, siendo v2 la velocidad de paso del fluido por esta segunda sec-ción. Ahora bien, si en el intervalo entre ambas secciones no hay ni fuentes ni sumideros,estas han de ser las mismas y, por tanto, se ha de verificar la ecuación

o1S1v1 % o2S2v2 (9.6)

FIGURA 9.2. Flujo de un fluido en un tubo horizontal con dos secciones diferentes.

Un caso importante es el de los fluidos incompresibles, es decir, aquellos para los quese puede asumir que la densidad es la misma en todo el fluido. En este caso, entonces (9.6)se simplificaría de la forma

S1v1 % S2v2 (9.7)

A la magnitud Q % Sv se le denomina caudal. De modo que la igualdad (9.7) puedeexpresarse de forma alternativa diciendo que en condiciones estacionarias el caudal perma-nece constante.

Como ilustración de la aplicación de las Ecuaciones (9.5) y (9.7) veremos algunosejemplos.

En primer lugar nos plantearemos obtener la relación que existe entre las presiones endos puntos de un líquido en movimiento en el seno de un tubo horizontal con dos seccio-nes diferentes, Figura 9.2. Usando la Ecuación (9.5) para relacionar esos dos puntos y su-poniendo que la diferencia de altura es despreciable, obtenemos

p1 !1

2ov2

1 % p2 !1

2ov2

2 (9.8)

Donde v1 y v2 son las velocidades del líquido en cada una de las regiones. De (9.7) y(9.8) es inmediato deducir que los puntos en los que la sección es menor, es decir, en los

Capítulo 9. Ecuación de Bernouilli 129

que el fluido lleva mayor velocidad, están sometidos a una presión menor, y viceversa.(Efecto Venturi).

Otra aplicación interesante de la Ecuación (9.5) para la experiencia que propondremosen este capítulo es el teorema de Torricelli. Supongamos que tenemos un tubo de secciónS1 rellenado con un determinado líquido que dispone en su parte inferior de un orificio desalida de sección S2, Figura 9.3. Queremos entonces determinar la velocidad de salida dedescenso del líquido en el tubo. Si suponemos que la presión atmosférica es aproximada-mente la misma en la superficie libre del líquido y en la posición del orificio de salida,entonces, de (9.5) obtenemos

1

2ov2

1 ! ogh %1

2ov2

2 (9.9)

FIGURA 9.3. Tubo de sección S1 rellenado con un determinado líquido que disponeen su parte inferior de un orificio de salida de sección S2.

Por otra parte, como de (9.7) tenemos

v1 %S2

S1v2 (9.10)

Entonces, llegamos a la ecuación

v2 %J2gh AS1

S1 . S2B (9.11)

En el caso de que podamos hacer la aproximación S1 A S2, entonces, v1 ] 0 y, además,

v2 % ∂2gh (9.12)


Tubos de vidrio de unos 5 cm de diámetro y un metro aproximadamente de longitud, condivisiones cada cinco centímetros. Espitas de salida adaptables a los tubos con diferentesdiámetros. Agua, glicerina, aceite o cualquier otro líquido. Regla graduada. Cronómetro.



En la Figura 9.4 mostramos un esquema del montaje de la experiencia propuesta. En ellaestudiamos los límites de aplicabilidad de la ecuación de Bernouilli para fluidos de dife-rente viscosidad.

FIGURA 9.4. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia. La imageninsertada corresponde a un detalle de una de las espitas de salida empleadas.

Rellenaremos los tubos con diferentes espitas con los líquidos hasta una altura determi-nada (no tiene que ser la misma para todos los líquidos, aunque cuanto mayor sea de máspuntos experimentales dispondremos).

La velocidad de descenso de la superficie del líquido en el extremo superior se relacio-na con la altura h del modo siguiente

vsuperficie % .

dh

dt(9.13)

Donde el signo menos corresponde al sentido del movimiento. Aunque el flujo no esestacionario la velocidad de caída en el tubo es muy lenta y vamos a asumir que (9.11) esaplicable. Entonces,

.

dh

dt% c ∂h (9.14)

Siendo

c %J2gr2

2

r21 . r2

2

(9.15)

Donde r1 y r2 corresponden a los radios de cada una de las secciones, de entrada y sali-da, del tubo. La solución de (9.14) viene dada por la expresión

∂h % ∂h0 .

1

2ct (9.16)

Capítulo 9. Ecuación de Bernouilli 131

Donde h0 es la altura inicial del líquido. Por las hipótesis hechas para llegar a esta ecua-ción, esta es sólo válida para fluidos ideales.

En la experiencia que se propone comprobaremos la validez de (9.15) para diferentesalturas (unos 12 o 14 valores) y para todos y cada uno de los líquidos propuestos. Tomare-mos los tiempos de paso por cada una de esas alturas a medida que el fluido desciende en

cada tubo. Entonces, representaremos gráficamente los puntos ∂h en función del tiempo,gráfica que ha de presentar una dependencia lineal. Una vez representados los puntos expe-rimentales se trazará la curva teórica (9.16) teniendo en cuenta el correspondiente valor dec. La comparación de esta curva con la distribución de puntos experimentales permite de-terminar para cada líquido, según se aleje o aproxime más al comportamiento teórico, lavalidez de la ecuación de Bernouilli, esto es, establecer en qué medida es despreciable elefecto de la viscosidad para cada uno de los líquidos de que dispongamos.


Óptica geométrica:reflexión, refracción y lentes

10.1. Introducción10.1.1. Reflexión y refracción en superficies planas10.1.2. Prisma10.1.3. Reflexión y refracción en superficies esféricas10.1.4. Lentes delgadas


10.3. Método experimental10.3.1. Reflexión10.3.2. Refracción10.3.3. Prisma10.3.4. Lentes

10.4. Resultados

En este capítulo se estudia la óptica geométrica u óptica de rayos, que se aplica cuando unaonda atraviesa discontinuidades del medio en que viaja cuyas dimensiones sean muy grandesrespecto a su longitud de onda. Lo que se va a describir puede aplicarse a cualquier tipo deonda, aunque los experimentos se realizarán en el rango óptico.

10.1. Introducción

En el Capítulo 5 (Apartado 5.1.5) se estudió el movimiento de dos osciladores armónicossimples acoplados que realizaba oscilaciones pequeñas alrededor de una posición de equili-brio; supongamos que tenemos el mismo problema pero ahora formado por una serie infi-nita de masas idénticas conectadas por muelles —de masa despreciables— (Figura 10.1),que está recorrido por una perturbación longitudinal (sinusoidal), de tal forma que cuandopasa por cada una de las masas, esta realiza un movimiento armónico. Si en lugar de unpulso tenemos una serie de ellos, cada masa comenzará a realizar una oscilación armónicasimple. De tal forma que las masas oscilan alrededor de su posición de equilibrio, pero laperturbación sí se desplaza a lo largo del sistema de masas y muelles, a este fenómeno sele llama onda monodimensional. Si unimos las masas unas a otras, estaremos pasando deun sistema discreto (masas y muelles) a un sistema continuo (cuerda) (Figura 10.2) y laperturbación se propagará como se muestra en la Figura 10.3, en la que cada punto de lacuerda (x) realiza una oscilación en el tiempo transversal armónica y la perturbación (q) setraslada en el espacio a través de la misma. Es el caso de una cuerda agitada en uno de susextremos, en el que se produce lo que se denomina un tren de ondas. El movimiento sedescribe por una expresión análoga a la del Capítulo 5, pero ahora cada una de las masasen lugar de identificarse por un subíndice (1 y 2 en el Apartado 5.1.5 del Capítulo 5) seidentifican por la coordenada x, de tal forma que la perturbación q, en lugar se ser qi(t)será q(x, t) función del espacio (x) y del tiempo (t), que se expresa de la forma:

q(x, t) % A cos (kx . ut) (10.1)

FIGURA 10.1. Propagación de una perturbación a lo largo de un sistema discreto.

FIGURA 10.2. Comparación entre un sistema discreto y uno continuo.

FIGURA 10.3. Propagación de una onda sinusoidal o armónica..


donde A es la amplitud, el término temporal (ut) es el de la oscilación, siendo u la fre-cuencia angular y el término espacial (kx) es el producto del número de onda angular (k) yla coordenada x. El numero de onda angular es respecto del espacio lo que la frecuenciaangular es respecto del tiempo, análogamente existen: la longitud de onda (j) que tiene elmismo significado que el periodo y es la distancia en que se produce una onda completa(Figura 10.3); y un número de onda (p). En resumen tenemos las magnitudes de la Ta-bla 10.1.

Tabla 10.1.

Espaciales Temporales Relación

longitud de onda j periodo T T % j/v

número de onda angular k % 2n/j frecuencia angular u % 2n/T u % vk

número de onda p % 1/j frecuencia l % 1/T l % v p

siendo v la velocidad de propagación de la onda, que es una característica del medio enque la onda se mueve.

La Ecuación (10.1) es la función de onda monodimensional y describe una onda armó-nica que se propaga en el eje X de izquierda a derecha. Se puede generalizar para una ondamonodimensional armónica que se propaga en una dirección cualquiera del espacio, defini-da por el vector unitario (u):

q % A cos (ku r . ut) (10.2)

donde r es el vector de posición de un punto del espacio afectado por la perturbación.Podemos definir un vector (k % ku), cuyo módulo es el número de onda angular, tal

que (10.2) se expresa como:

q % A cos (k r . ut) (10.3)

que describe una onda plana (Figura 10.4) que se mueve en la dirección del vector , siem-pre que lo haga en un medio homogéneo. El lugar geométrico de los puntos que presentanla misma perturbación en el mismo instante se llaman frentes de onda. La línea perpendi-cular a estos frentes de onda se denomina rayo y para las ondas planas que se mueven en

FIGURA 10.4. Esquema de los frentes de onda de una onda plana que se propaga en un mediohomogéneo. El rayo es perpendicular a los frentes de onda planos.

Capítulo 10. Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes 135

un medio homogéneo son líneas rectas. Las ondas planas se generan en una fuente muyalejada del lugar de observación. Una fuente puntual dará lugar a ondas esféricas, cuyosrayos serán líneas rectas que pasan por la fuente; si el medio en que se propagan es bidi-mensional darán lugar a ondas circulares, como las que se pueden ver en un estanque deagua quieta al caer un objeto pequeño.

Como se ha dicho, las partículas que forman el medio vibran al recibir la perturbaciónque se propaga, pero ellas no se desplazan con la onda, lo que se traslada es la energía queestá dando lugar al tren de ondas.

10.1.1. Reflexión y refracción en superficies planasSi una onda plana que se propaga por un medio homogéneo encuentra una superficie planaque separa ese medio de otro distinto, también homogéneo, se producen los fenómenos dereflexión y refracción, en los cuales la onda reparte la energía que propaga en dos nuevasondas una que se refleja y vuelve al medio incidente y otra que se transmite al otro medio.Así las tres ondas se pueden expresar, usando (10.3), como:

incidente qi % Ai cos (k ir . ut) (10.4)

reflejada qr % Ar cos (k rr . ut) (10.5)

transmitida o refractada qt % At cos (k tr . ut) (10.6)

Datos experimentales demuestran que la frecuencia angular de una onda es indepen-diente del medio en que viaje. Sea cual sea la naturaleza de la perturbación en la superficiede separación debe ser la misma la midamos desde cualquiera de los dos medios, por tanto:

plano de separación qi ! qr % qt (10.7)

que se ha de cumplir en todos los puntos del plano de separación en cualquier instante;para que esto sea cierto han de ser iguales las fases de la tres Ecuaciones de onda (10.4),(10.5) y (10.6), de la forma:

k ir . ut % k rr . ut % k tr . utplano de separación (10.8)

k ir % k rr % k tr

para cualquier punto de vector de posición r de la superficie de separación.Colocando los ejes coordenados como en la Figura 10.5, y haciendo coincidir el rayo

incidente con el plano XY, podemos escribir:

r % x i ! zk (10.9)

k % kix i ! kiy j (10.10)

k r % krx i ! kry j ! krz k (10.11)

k t % ktx i ! kty j ! ktz k (10.12)

que sustituidas en (10.8) resulta:

xkix % xkrz ! zkrz % xktx ! zktz (10.13)


FIGURA 10.5. Reflexión y refracción de una onda plana en una superficie plana que separados medios homogéneos distintos.

Para que esta ecuación se cumpla independientemente de los valores de x y z —debede cumplirse para cualquier punto del plano de separación— tienen que verificarse las rela-ciones:

krz % ktz % 0 (10.14)

kix % krx % ktx (10.15)

De (10.14) resulta que las componentes en el eje Z de la onda reflejada y transmitidatienen que ser cero, es decir, la onda incidente, reflejada y refractada se encuentran en elmismo plano (el plano XY en la Figura 10.4). Por otro lado los vectores k se pueden expre-sar como:

kix % ki sen hi

krx % kr sen hr (10.16)

ktx % kt sen ht

teniendo en cuenta la relación u%vk, de la Tabla 10.1 se puede deducir que:

ki % kr %uv1

(10.17)

kt %uv2

siendo v1 y v2 las velocidades de propagación en cada uno de los medios. Sustituyendo(10.17) en (10.16) y estas en (10.15), queda:

1

v1sen hi %

1

v1sen hr %

1

v2sen ht (10.18)

de las que se deduce que:

hi % hr (10.19)

sen hi

sen ht

%v1

v2% n21 (10.20)


Al cociente entre las velocidades de propagación (n21) se le denomina índice de refraccióndel medio 2 respecto del medio 1, que depende de la naturaleza de la onda y de las propie-dades de los medios.

En resumen se ha deducido las tres leyes de la reflexión y la refracción (Figura 10.6),que se enuncian de la forma:

1.a Los rayos incidente, reflejado y refractado se encuentran en el mismo plano.2.a El ángulo de los rayos incidente y reflejado son iguales (10.19).3.a El cociente entre los senos de los ángulos de los rayos incidentes y refractados es

constante (10.20).

FIGURA 10.6. Plano de incidencia de una onda plana que se refleja y transmite al incidiren el plano de separación de dos medios homogéneos distintos.

La importante tercera ley fue descubierta en el año 984 por el matemático y óptico ára-be Ibn Sahl (940-1000); redescubierta, por primera vez, en 1602 por el astrónomo y mate-mático inglés Thomas Harriot (1560-1621); redescubierta, por segunda vez, en 1621 por elastrónomo y matemático holandés Willebrord Snel van Royen (1580-1626); y por fin re-descubierta, por tercera y última vez, en 1637 por el filósofo y matemático francés RenéDescartes (1596-1650). Ninguno de los redescubridores conocía el trabajo de sus predece-sores, por esto, en los países de influencia anglosajona se le conoce como ley de Snell y enlos de influencia francesa como ley de Snell-Descartes, estando el primer descubridor in-justamente olvidado.

Si se define un medio patrón, se puede obtener un índice de refracción para cada medioal compararlo con el patrón, de la forma:

n1 %vp

v1; n2 %

vp

v2(10.21)

n2

n1%

v1

v2% n21

donde vp es la velocidad del propagación en el medio patrón, de tal manera que la Expre-sión (10.20) se puede escribir de la forma:

sen hi

sen ht

%n2

n1% n21

(10.22)n1 sen hi % n2 sen ht


Se pueden presentar dos escenarios distintos según sea la relación entre las velocida-des de propagación en los medios, que se ilustran en la Figura 10.7. Cuando (Figu-ra 10.7b) se puede dar la circunstancia en la que el ángulo de refracción sea igual a 90o yel rayo refractado sea paralelo a la superficie de separación de los medios (Figura 10.8),en ese caso al ángulo de incidencia se denomina ángulo crítico (j), de tal manera quepara ángulos de incidencia mayores no existe rayo refractado, a este fenómeno se le deno-mina reflexión total.

FIGURA 10.7. Refracción de una onda plana: (a) cuando el índice de refracción es menoren el medio 1 que en el 2; (b) cuando el índice de refracción es mayoren el medio 1 que en el 2.

FIGURA 10.8. Ángulo crítico (j) cuando el ángulo de refracción es de 90o.

10.1.1.1. Espejos planos

En un espejo la energía transmitida por la onda es despreciable, por lo que sólo existe ondareflejada. Si el espejo es plano la imagen de un objeto (Figura 10.9) es de igual tamañoque el objeto, virtual (producida por la prolongación de los rayos reflejados) y derecha.


Para obtener la imagen se colocan los ejes coordenados de tal forma que Y coincida con lasuperficie del espejo paralelo al objeto y el X perpendicular al espejo y pasando por la basedel objeto; se traza un rayo paralelo al eje X, que «rebotara» en el espejo (debido a la se-gunda ley de la reflexión (10.19), pues inciden perpendicularmente al espejo) y otro rayoque pase por el origen de coordenadas formando un ángulo h con el eje X, la imagen seobtiene prolongando el rayo paralelo y el rayo reflejado, como se muestra en la Figu-ra 10.9.

FIGURA 10.9. Formación de la imagen en un espejo plano.

10.1.2. PrismaUn prisma es un medio compuesto por dos superficies planas que forman un ángulo A deíndice de refracción n, y que está rodeado por otro medio, que supondremos de índice derefracción igual a la unidad (Figura 10.10). La trayectoria de un rayo cualquiera que incidesobre una de sus caras se refracta dentro del prisma y se vuelve a refractar al salir del mis-mo [Figura 10.11(a)]. La ley de la refracción (10.22) se puede escribir, para la primera ysegunda refracción de la forma:

sen hi % n sen ht

(10.23)sen hñt % n sen hñi

y la relación entre los ángulos como:

A % hñi ! ht(10.24)

d % hi ! hñt . A

la última expresión nos da la desviación entre el rayo incidente y el emergente en elprisma. La desviación llega a un valor mínimo (dm) cuando el ángulo de incidencia (hi)es igual al ángulo de refracción (hñt) del rayo de salida del prisma, en el que se produceuna situación de simetría [Figura 10.11(b)]. La desviación aumenta con el ángulo delprisma (A), produciéndose la reflexión total cuando hñi es mayor que el ángulo límite j(Figura 10.12).


FIGURA 10.10. Prisma.

FIGURA 10.11. (a) Trayectoria de un rayo cualquiera en un prisma. (b) Situación de simetríade un rayo que atraviesa un prisma produciendo el ángulo de mínima desviación.

FIGURA 10.12. Reflexión total en un prisma.


10.1.3. Reflexión y refracción en superficies esféricasLas leyes de la reflexión y refracción se cumplen en cualquier superficie independiente-mente de su geometría, pues el punto que alcanza el rayo incidente siempre se puede apro-ximar como una superficie plana infinitesimal.

10.1.3.1. Reflexión

Por esto un rayo que incide en una superficie esférica se puede representar como el de laFigura 10.13, en la que: F es el foco (que veremos más adelante); C es el centro de curva-tura de la superficie esférica; y los puntos P y Pñ son el corte con el eje X (eje óptico) deun rayo incidente cualquiera y su reflejado —obsérvese que los ángulos h de estos rayosson iguales. De la Figura 10.13 se puede obtener:

b % h ! a1(10.25)

a2 % b ! h

por tanto

2b % a1 ! a2 (10.26)

FIGURA 10.13. Trayectoria de un rayo cualquiera en un espejo cóncavo.

Si se supone que estos ángulos son muy pequeños se puede escribir:

a1 ] tan a1 ]

h

p

a2 ] tan a2 ]

h

pñ(10.27)

b ] tan b ]

h

r

que sustituyendo en (10.26) da:

2

r%

1

p!

1

pñ(10.28)


que es la ecuación de Descartes para la reflexión en una superficie esférica, debido a queno contiene el ángulo a implica que todos los rayos incidentes que pasan por P se reflejanpasando por Pñ, luego Pñ es la imagen de P, por lo que a la Ecuación (10.28) también se ledenomina relación objeto-imagen. La aproximación que se ha hecho (10.27) se llama para-xial y los rayos que la cumplen se llaman paraxiales.

Si los rayos son paralelos al eje principal (X), la distancia del objeto al centro del espe-jo (0) es infinito y la Expresión (10.28) queda:

pñ %r

2(10.29)

es decir todos los rayos paralelos se reflejan pasando por un punto a la mitad del radio delespejo, a ese punto se le denomina foco (F) y su distancia al espejo se le llama distanciafocal ( f ). De manera que la Ecuación (10.28) se puede escribir:

1

f%

1

p!

1

pñ(10.30)

La Figura 10.14 nos muestra el comportamiento de los rayos en un espejo cóncavo [Fi-gura 10.14(a)] y convexo [Figura 10.14(b)], obsérvese que los rayos que pasan por el cen-tro de curvatura se reflejan siguiendo la misma trayectoria que los rayos incidentes, debidoa la segunda ley de la reflexión (10.19), pues inciden perpendicularmente al espejo.

FIGURA 10.14. Trayectoria de rayos paralelos y perpendiculares en un: (a) espejo cóncavo;(b) espejo convexo.

La formación de la imagen de un objeto en un espejo cóncavo y convexo se lleva acabo de la misma forma que en un espejo plano (Apartado 10.1.1.1). Trazando un rayo pa-ralelo al eje principal y otro que pase por el centro de curvatura (Figura 10.15): la intersec-ción de los rayos reflejados nos dará la imagen real invertida y más pequeña que el objetoen los espejos cóncavos [Figura 10.15(a)]; mientras que en los espejos convexos la imagenserá imaginaria, derecha y más pequeña que el objeto, obteniéndose en la intersección delas prolongaciones de los rayos reflejados [Figura 10.15(b)]. La imagen en los espejos cón-cavos está entre el foco y el centro de curvatura del espejo y en los convexos entre el focoy el centro del espejo.


FIGURA 10.15. Formación de la imagen en un: (a) espejo cónvaco; (b) espejo convexo.

10.1.3.2. Refracción

Por un procedimiento análogo al realizado en la reflexión (Apartado 10.1.3.1), podemosobtener el rayo refractado producido por un rayo incidente cualquiera que corta al eje X enel punto P, como se muestra en la Figura 10.16 (en la que no se ha dibujado el rayo refle-jado), la prolongación de este corta al eje X en el punto Pñ que será la imagen de P y lanormal a la superficie de separación en el punto donde incide el rayo incidente es la rectaque parte del centro C y atraviesa prolongándose en el medio 2. Si suponemos que losrayos son paraxiales, los ángulos deben de ser muy pequeños, por lo que los senos de losángulos se pueden aproximar por los ángulos, de tal forma que la ley de la refracción(10.22) se puede escribir de la forma:

n1hi % n2ht(10.31)

n1(b . a1) % n2(b . a2)

FIGURA 10.16. Refracción de un rayo cualquiera en una superficie cóncava.

sustituyendo las Expresiones (10.27), que también se cumple aquí, nos queda:

n1 . n2

r%

n1

p.

n2

pñ(10.32)


que es la fórmula de Descartes para la refracción en una superficie esférica o relación ima-gen-objeto. En la Figura 10.17 se muestra la misma situación para un rayo incidiendo enuna superficie de separación convexa. Ahora la distancia pñ y el radio (r) son negativos,por tanto la Expresión (10.32) será:

n2 . n1

r%

n1

p!

n2

pñ(10.33)

que es la relación imagen-objeto para una superficie de separación convexa.

FIGURA 10.17. Refracción de un rayo cualquiera en una superficie convexa.

10.1.4. Lentes delgadasLa lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas o una plana y otracurva, normalmente esféricas. Sólo se estudiarán lentes en las que sus dos caras están tanpróximas que su espesor es mucho más pequeño que los radios de las caras que la forman,lo que se denomina lentes delgadas. Un rayo al atravesar la lente sufre dos refracciones,como en el prisma (Apartado 10.1.2), igual que allí consideraremos que la lente está rodea-da del mismo medio. En el camino de un rayo a través de la lente se aplica lo estudiado enel apartado anterior (10.1.3) para la refracción en superficies esféricas [(Ecuaciones (10.32)y (10.33)]. Existen lentes convergentes y divergentes (Figura 10.18). En las convergentes,

FIGURA 10.18. Lentes convergentes (plano-convexa y biconvexa)y divergentes (plano-cóncava y bicóncava).


los rayos emergentes se acercan al eje perpendicular a las caras de la lente y en las diver-gentes se separan. La formación de la imagen de un objeto se realiza trazando un rayo pa-ralelo cuyo emergente pasa por el segundo punto focal (F2) y otro rayo que pase por elcentro geométrico (0) de la lente y no se desvía. La imagen en la lente convergente —bi-convexa— (Figura 10.19) se formará en la intersección de los rayos emergentes. Si el obje-to se encuentra más allá del punto focal F1, la imagen es real e invertida y su tamaño de-pende de la distancia a que se encuentre el objeto del primer punto focal. A medida queesta distancia sea mayor la imagen será más pequeña y más alejada [Figura 10.19(a)]. Si elobjeto está en F1 la imagen se formará en el infinito [Figura 10.19(b)]. Si el objeto está entreel foco y la lente será virtual y en el mismo lado de la lente que se encuentra el objeto [Figu-ra 10.19(c)]. La imagen en la lente divergente —bicóncava— (Figura 10.20) se formará en laintersección del rayo que pasa por 0 y la prolongación del rayo emergente del rayo paralelo,es imaginaria y derecha y su tamaño será mayor a medida que el objeto se acerque a la lente.

FIGURA 10.19. Formación de la imagen en una lente convergente (biconvexa):(a) el objeto más allá del foco primario; (b) el objeto en el foco primario;(c) el objeto entre el foco primario y la lente.

Si denominamos distancia focal ( f ) a la distancia entre el centro de la lente (0) y elfoco F1 —que es igual a la distancia entre 0 y F2—, y a las separaciones entre ese centro(0) y el objeto p y la imagen pñ, tal como hacíamos en los espejos, son válidas la relacionesde Descartes (10.32) y (10.33) para los rayos incidentes y emergentes de la lente. Haciendoigual a la unidad el índice de refracción del medio e igual a n el de la lente, se obtiene unarelación de la forma:

1

p!

1

pñ% (n . 1)A

1

r2.

1

r1B%1

f% P (10.34)


FIGURA 10.20. Formación de la imagen en una lente divergente (bicóncava).

donde r1 y r2 son los radios de cada una de las dos caras de la lente y P es la potencia dela lente. Esta ecuación se denomina fórmula de Descartes para una lente delgada y sólo esválida si los rayos son paraxiales.


Se utilizará un banco de óptica con todos sus accesorios, lo suministran las casas comercia-les y existen de un amplio rango de precios, dependiendo de la precisión con que se hanfabricado los elementos que lo componen y el número de estos. El banco óptico (Figura10.21) en sí es una barra graduada para determinar las posiciones de los instrumentos quese van a colocar sobre él. Los accesorios básicos son: una lámpara con una lente condensa-dora; un soporte para colocar diferentes rendijas (a veces está acoplada a la lámpara) quese utiliza como objeto; una serie de lentes que se colocan en el banco con ayuda de unossoportes; vidrios con formas diferentes (disco, semidisco, prisma y espejos planos, cónca-vos y convexos); círculo graduado; y una pantalla. Se ha de disponer de un cuarto oscuroo, al menos, de muy escasa luminosidad.

FIGURA 10.21. Esquema de un banco óptico.


Los componentes de un banco óptico son un material muy frágil y deben manejarse conmucho cuidado para evitar su deterioro. Seguidamente se detallan algunas de las prácticasque se pueden realizar con un banco de óptica, todas realizables con los bancos más comu-


nes. Algunos bancos más avanzados implementan una fuente láser que permiten mejorar yaumentar el número y la variedad de prácticas a realizar. En todas las prácticas hay queprocurar que el eje óptico este perfectamente alineado con los elementos colocados en elbanco.

10.3.1. Reflexión

10.3.1.1. Espejo plano

Móntese el dispositivo de la Figura 10.22, colocando un diafragma que nos proporcione elhaz de luz más estrecho posible. Realizar N medidas (al menos 10) a ángulos distintos, va-riando la inclinación del espejo respecto del eje óptico y construir una tabla con los ángu-los de incidencia (hi) y reflexión (hr). Comprobar que son iguales dentro del error del cír-culo graduado.

FIGURA 10.22. Disposición inicial del banco óptico para el estudio de la reflexiónen un espejo plano.

10.3.1.2. Espejo cóncavo

Montar el dispositivo de la Figura 10.23, colocando el espejo con la cara cóncava mirandohacia la lámpara. Con los elementos fijos en el banco, mover sobre la mesa la pantalla, lomás próxima posible al banco, hasta obtener una imagen nítida del objeto —tal vez hayaque girar ligeramente el espejo sobre su eje vertical—. Aplicando la Expresión (10.30) ob-tener la distancia focal del espejo ( f ), siendo p la distancia del objeto al espejo y pñ la dis-tancia del espejo a la imagen. Repetir el experimento N veces (al menos 5) para distintasposiciones del espejo y construir una tabla con los N valores de f, p y pñ. Obtener el valormedio de la distancia focal y su error con la expresiones (introducción 1):

S f T %

N

;i%1

fi

N(10.35)

BS f T %JN

;i%1

( fi . S f T)2

N(N . 1)


FIGURA 10.23. Disposición inicial del banco óptico para el estudio de la reflexiónen un espejo cóncavo.

10.3.1.3. Espejo convexo

Debido a la dispersión de los rayos reflejados [Figura 10.15(b)] para obtener la distanciafocal de un espejo convexo es necesario utilizar una lente convergente. Primero hay quemontar el dispositivo de la Figura 10.24(a) y desplazar la lente hasta obtener una imagennítida. Sin tocar las posiciones del objeto y lente montar el dispositivo de la Figura10.24(c), es decir sustituir en el banco la pantalla por el espejo convexo, desplazar este,por el banco, hasta que aparezca en la pantalla, situada en la mesa junto al objeto, una ima-gen nítida. Con esto lo que se ha conseguido es que el centro del espejo coincida con laimagen obtenida previamente con la lente [Figura 10.24(b) y (d)], de tal forma que la dis-tancia del espejo a la pantalla será el radio del espejo (r), siendo la distancia focal la mitad( f % r/2). Repetir el experimento N veces (al menos 5) para distintas posiciones de la lente

FIGURA 10.24. Estudio de la reflexión en un espejo convexo: (a) dispositivo inicial del banco ópticopara (b) la obtención de la imagen de la lente convergente; (c) dispositivo del bancoóptico para d) la obtención de la imagen del espejo.


convergente y construir una tabla con los N valores de f. Obtener el valor medio de la dis-tancia focal y su error con expresiones análogas a las Ecuaciones (10.35).

10.3.2. Refracción

Montar el dispositivo de la Figura 10.25 con el diafragma de una rendija horizontal, de for-ma que el eje óptico coincida con el centro del semidisco. La luz que incide verticalmenteen la cara plana por el centro del semidisco se refracta en el interior, pero no se refracta alsalir pues incide verticalmente en la cara curva, por tanto se pueden medir los ángulos derefracción como se indica en la Figura 10.25. Realizar N medidas (al menos 5) a diferentesángulos de incidencia y construya una tabla con los datos hi, ht, sen hi, sen ht e índice derefracción (n) usando la Expresión (10.22). Obtener el valor medio de n y su error con ex-presiones análogas a las (10.35).

FIGURA 10.25. Disposición del banco óptico para el estudio de la refracción en superficies planas.

Colocar el semidisco con la cara curva mirando a la luz y observar el rayo refractado(ahora el índice de refracción del medio incidente es mayor que del medio emergente), gi-rando lentamente el semidisco llegará un momento en el que el rayo refractado desaparez-ca, el ángulo en ese instante será el ángulo crítico (j); medirlo.

10.3.3. Prisma

Realizar el montaje de la Figura 10.26, el prisma recto con su ángulo de 45o enfrentado ala luz, teniendo cuidado en conseguir que parte del rayo incidente no entre en el prisma,mientras que otra parte se refracta dentro de este. Hacer N medidas (al menos 10) de losángulos incidente (hi) —comenzando por cero— y emergente (d). Con las Expresiones(10.23) y (10.24) calcular los valores de ht, hñi y hñt, suponiendo que el valor del índice derefracción es el obtenido en el Apartado 3.2 para el semidisco. Construir una tabla con to-dos estos valores. Representar gráficamente ht frente a hñi y comprobar la relación (10.24):

ht % A . hñi (10.36)


obteniendo

A % ShiT ! ShñiT (10.37)

BA %JN

;j%1

hñ2ij

N AN

;j%1

hñ2ijB. A

N

;j%1

hñijB2 Bhi (10.38)

Bhi %JN

;j%1

(hi j . A ! hñij)2

N . 2(10.39)

en la que la ordenada en el origen debe ser el valor del ángulo del prisma 45o. Se puederepetir todo el experimento para otros prismas si se dispone de ellos.

FIGURA 10.26. Disposición del banco óptico para el estudio de la refracción en un prisma.

10.3.4. LentesAhora se trata de determinar experimentalmente la distancia focal de una lente utilizandodiferentes métodos, para cada uno de ellos se puede utilizar una lente diferente.

10.3.4.1. Convergentes

a) Utilización del filamento de la bombilla como objeto. El filamento de la bombilla dela lámpara actuará como un objeto muy lejano que emite rayos paralelos. Montar eldispositivo de la Figura 10.27, dejando fija la pantalla, desplazar la lente hasta obtenerla imagen del filamento en la pantalla. Medir la distancia entre pantalla y lente y esaserá la distancia focal, su inverso es la potencia de la lente. Repetir el procedimiento Nveces (al menos 5) para diferentes posiciones de la pantalla. Construir una tabla conlos resultados de la distancia focal ( f ) y la potencia (P) y hallar sus valores medioscon sus errores utilizando expresiones análogas a las (10.35).


FIGURA 10.27. Disposición del banco óptico para la determinación de la distancia focalde una lente convergente usando como objeto el filamento de la bombillade la lámpara.

b) Relación de lentes delgadas (10.34). Móntese el dispositivo de la Figura 10.28 y reali-zar N medidas (al menos 10) de la distancia objeto-lente (p) y lente-imagen (pñ), paradistintas posiciones de la pantalla, obtener la distancia focal y la potencia en cada me-dida, usando la Expresión (10.34). Construir la tabla correspondiente. Hallar el valormedio y el error de f y P, utilizando expresiones análogas a las (10.35). Representargráficamente 1/pñ frente 1/p, ajustando a una recta (Capítulo I), cuya ordenada en elorigen será la potencia P % 1/ f, que se obtiene con expresiones análogas a las (10.36)a (10.39).

FIGURA 10.28. Disposición del banco óptico para la determinación de la distancia focal de unalente convergente usando como objeto una rendija o una transparencia.

c) Procedimiento de Bessel (Friedrich Bessel (1784-1846)). Bessel comprobó que paralentes delgadas y rayos paraxiales se cumple la reversibilidad del rayo óptico cuandola distancia objeto-imagen es superior a cuatro veces la distancia focal de la lente, esdecir que un objeto y su imagen puntuales son intercambiables (Figura 10.29). Deter-minó que la distancia focal ( f ) se puede obtener con la expresión:

f %D2

. d2

4D(10.40)

FIGURA 10.29. Esquema del camino óptico de los rayos según el procedimiento de Bessel.

siendo d la distancia entre las dos posiciones de la lente y D la distancia objeto-ima-gen. Por tanto si colocamos el objeto y la pantalla fijos en los extremos del banco óp-


tico (Figura 10.28) se formará una imagen nítida en dos posiciones de la lente. Medirestas distancias (d y D). Repetir la medida N veces (al menos 5, dependiendo de lalongitud del banco) para distintas posiciones de la pantalla y construir la tabla corres-pondiente. Obtener la distancia focal y su error con Expresiones análogas a las (10.35).

10.3.4.2. Divergentes

Las lentes divergentes no forman imágenes reales (Figura 10.20) por lo que se necesitacombinarlas con una lente convergente (Figura 10.30). Se coloca en el banco óptico el ob-jeto y la pantalla centrada en el banco, se interpone entre el objeto y la pantalla la lenteconvergente y se desliza hasta obtener una imagen nítida, midiendo la distancia entre lalente convergente y su imagen (pc). Seguidamente se coloca la lente divergente entre lalente convergente y la pantalla y se desplaza esta hasta obtener una imagen nítida, midien-do la distancia entre la lente divergente y la imagen del sistema (pñ) y la distancia entre lasdos lentes (L). Se ha conseguido con esto obtener las posiciones del objeto y la imagen dela lente divergente, pues, como se indica en la Figura 10.30 el objeto de la lente divergentecoincide con la imagen de la convergente y la imagen de la lente divergente coincide conla imagen del sistema de dos lentes. Por tanto la distancia focal de la lente divergente seobtiene con la Expresión (10.34), siendo p % pc . L. Repetir el experimento N veces (almenos 5) para distintas posiciones de la pantalla y obtener el valor medio de la distanciafocal, usando Expresiones análogas a las (10.35).

FIGURA 10.30. Esquema del camino óptico de los rayos y disposición del banco óptico parala determinación de la distancia focal de una lente divergente.

10.4. Resultados

Construir la tabla de datos y resultados y representar las gráficas que se indican. Tenermuy en cuenta los signos de los valores obtenidos en función de los ejes coordenados,cuyo origen se encuentra siempre en el centro del sistema óptico (espejos y lentes) em-pleado.


Intensidad de una onda

11.1. Introducción11.1.1. Conceptos generales del fenómeno ondulatorio11.1.2. Ondas acústicas



11.1. Introducción

11.1.1. Conceptos generales del fenómeno ondulatorioLa forma genérica de la ecuación diferencial que representa cualquier fenómeno ondulato-rio (sin amortiguamiento, Capítulo 5) y asociada a una magnitud física que se propaga enel espacio (t) viene dada por

M2t(r, t) .

1

v2

L2t(r, t)

Lt2% 0 (11.1)

Donde el operador M % (L/Lx, L/Ly, L/Lz). Esta t(r, t) puede corresponder a una magni-tud escalar, como la presión en el caso de una onda acústica, o a una magnitud vectorial,como el campo eléctrico y magnético en el caso de una onda electromagnética (Capítu-lo 12). El término v, como veremos más adelante, es la velocidad de propagación de la on-da, determinada exclusivamente por las propiedades del medio en el que se propaga.

De 11.1 deducimos que una onda representa un fenómeno asociado con un comporta-miento temporal y espacial simultáneo, esto es, hay una variación de los valores de la mag-nitud física t de un punto espacial a otro y, adicionalmente, en cada uno de ellos hay unadependencia con el tiempo. (En este sentido conviene recordar que el fenómeno oscilato-rio, Capítulo 5, está relacionado únicamente con una dependencia temporal.)

Con idea de llevar a cabo desarrollos más simples, y puesto que la extensión de los re-sultados y conclusiones que obtengamos en un caso más general será en muchos aspectosinmediata, consideraremos ondas en una dimensión, es decir, que (11.1) se reducirá a

L2t(z, t)

Lz2 .

1

v2

L2t(z, t)

Lt2% 0 (11.2)

Esta representa una ecuación de ondas en la que la magnitud física t no depende de lacoordenada x e y, es decir, es constante a lo largo de los planos representados por la ecua-ción general z % constante. Este tipo de ondas se conoce con el nombre de ondas planas(Capítulo 10).

Puede demostrarse, aunque no lo haremos aquí, que la solución más general posible decualquier ecuación de ondas, en particular para (11.2), tiene la forma

t(z, t) % f (z. vt) ! g(z ! vt) (11.3)

donde f y g son funciones arbitrarias cualesquiera y v es la velocidad de propagación de laonda ya que, analizando el argumento de las soluciones anteriores (z u vt), podemos obser-var en la Figura 11.1(a) que f es una perturbación que se propaga en el sentido positivode la dirección z con velocidad v, y g en el sentido negativo con la misma velocidad (Figu-ra 11.1(b)).

Por otro lado, el hecho de que exista una dirección de propagación implica una relaciónentre ésta y la variación de la magnitud física que se propaga. Efectivamente, podemos es-tablecer una clasificación de las ondas en dos tipos genéricos, el que se conoce como on-das longitudinales y las ondas transversales. Las primeras se definen como aquellas en lasque la variación espacio-temporal de t se produce en la misma dirección que la de propa-gación, (uno de los ejemplos más representativos es el de las ondas acústicas, Figura 11.2).Por otra parte, en las ondas transversales la variación de t tiene lugar en una direcciónperpendicular respecto a la de propagación (a este tipo corresponden las ondas electromag-néticas, Figura 11.3).


FIGURA 11.1. Perturbaciones f y g en distintos instantes de tiempo. v es la velocidadde propagación.

FIGURA 11.2. Onda longitudinal típica. Como se observa en la figura, la perturbación de la presiónasociada a la onda acústica que se representa se produce en la misma direcciónque la de propagación.

FIGURA 11.3. Onda trasversal típica. Como se observa en la figura, la perturbación del campoeléctrico y magnético que se representa se produce en direcciones perpendicularesa la de propagación.

La solución dada por (11.3) es demasiado general y para lo que nos proponemos eneste capítulo es suficiente estudiar el comportamiento de una sola onda plana prototipo, laque se conoce como onda armónica plana (Figura 11.4(a)) dada por la ecuación

t(z, t) % t0 sen (kz . ut ! h) (11.4)

Capítulo 11. Intensidad de una onda 157

FIGURA 11.4. (a) Frente de onda correspondiente a una onda plana.(b) Frente de onda correspondiente a una onda esférica.

Siendo t0 una constante que representa la amplitud máxima de la perturbación de lamagnitud t, y h otra que se denomina fase, y cuyo significado está estrechamente relacio-nado con el que veíamos en el Capítulo 5 para las oscilaciones.

El que nos baste estudiar el comportamiento de este tipo de onda reside en el hecho deque cualquier otra onda, por mi compleja que ésta sea, siempre puede expresarse comocombinación lineal, suma, de este tipo de ondas.

Sustituyendo la Solución (11.4) en (11.2) podemos establecer lo que se conoce comorelación de dispersión (Capítulo 10),

k %uv

(11.5)

donde k se conoce como número de onda, y

u %2nT

(11.6)

siendo T el periodo de la onda (Capítulo 5). Echando un vistazo a (11.4) es fácil deducir elsignificado físico del número de onda; así, viendo el papel que juega dentro de esta ecua-ción podemos establecer un símil con la frecuencia angular y expresarla como

k %2nj

(11.7)

en la que j se denomina longitud de onda y proporciona información sobre el comporta-miento espacial de t, en los mismo términos que el periodo de su comportamiento tempo-ral, esto es, la longitud a partir de la cual el comportamiento de t se repite.

De (11.5) deducimos que k y u no pueden escogerse de modo independiente, es máspuesto que u está determinada generalmente por la fuente que produce la onda, k quedacompletamente fijada por dicha relación.

El signo del número de onda k nos va a determinar la dirección de propagación de laonda, de modo que si k b 0 esta viajará en la dirección positiva del eje z a velocidadv % u/k, mientras que si k a 0 tendríamos una onda plana que viajaría con la misma velo-cidad en la dirección negativa de dicho eje.

Otro tipo muy importante de onda es el de las ondas esféricas (Figura 11.4(b)). Su rele-vancia estriba en ser la geometría de las que genera una fuente puntual. Un hecho experi-mental distintivo de este tipo de ondas respecto a las planas, Ecuación (11.4), es el de que


su amplitud disminuye con la inversa de la distancia a la fuente. Así pues, su expresiónmatemática más elemental tiene la forma

t(r, t) %t0

rsen (kr . ut ! h) (11.8)

Siendo ahora r la posición radial desde el origen, en nuestro caso la fuente puntual de laonda.

Un punto crucial en relación con las ondas es la cuestión de qué se propaga con lasmismas. De un análisis detallado podemos concluir que en realidad lo que se propaga esenergía, lo que nos obliga a definir una magnitud que permita evaluar esta propagación, deahí el concepto de intensidad de una onda, que se establece como el promedio de energíapor unidad de área y de tiempo

I % vE (11.9)

Siendo E la energía por unidad de volumen.

11.1.2. Ondas acústicasA continuación, y de cara a la experiencia que proponemos en este capítulo, nos centrare-mos en las ondas de presión, en particular en las acústicas. Estas se producen en un gas yla magnitud que se propaga corresponde a las variaciones de la presión p(r, t), que se pro-ducen en un foco emisor. En el caso de una onda de presión plana, la Ecuación (11.2) será

L2p(z, t)

Lz2 .

1

v

L2p(z, t)

Lt2% 0 (11.10)

Siendo la velocidad

v %Jgo0

(11.11)

Donde o0 es la densidad del gas sin perturbar y g el módulo de elasticidad de volumen,dado por la ecuación

g % o0ALp

LoB0

(11.12)

Donde la derivada está evaluada en condiciones de equilibrio en el gas (de ahí el subín-dice 0). La solución de (11.10) es

p(z, t) % p0 sen (kz . ut ! h) (11.13)

Y la intensidad de la onda plana estará dada por

I %p2

0

2o0v(11.14)

La propagación de una onda de presión en un gas habitualmente puede considerarse unproceso adiabático (Capítulo 13), puesto que se considera que no hay intercambio de ener-gía entre los elementos de volumen del gas. En este caso la velocidad (11.10) es, usando laEcuación (13.25),

v %Jcp0

o0(11.15)


Siendo p0 la presión del gas en condiciones de equilibrio y c el coeficiente adiabático,(Capítulo 13).

Para el caso de ondas sonoras planas, para las que la intensidad es constante con la dis-tancia, (11.14) (o esféricas a gran distancia de la fuente), es posible un concepto más prác-tico para establecer la intensidad de un sonido, este es el de presión sonora eficaz, pef (tam-bién llamada presión cuadrática media, prms), definido por la relación

p2rms %

1

T IT

0p2(z, t) dt (11.16)

Es decir, que se realiza un promedio temporal de la onda en un periodo. De este modola intensidad acústica vendrá dada por

Ief %p2

rms

o0v(11.17)

Y el interés de esta definición reside en el hecho de que los instrumentos conocidos comosonómetros miden presiones sonoras eficaces.

Finalmente, haremos una breve mención a la percepción del sonido por el oído huma-no. Este, como sabemos, tiene una sensibilidad para cada frecuencia pero, además, hay unaintensidad mínima por debajo de la que el sonido no es audible y una máxima por encimade la que produce molestia o dolor. Como este rango de amplitudes es muy amplio se esta-blece un modo alternativo de expresar la intensidad: el decibelio, b (dB), que se define delmodo siguiente

b % 10 logI

I0% 20 log

prms

p0(11.18)

Siendo I0 % 10.12 Wm.2 una intensidad de referencia y p0 % 2 # 10.5 Pa. (El logaritmoque se toma es en base 10.)


Sonómetro. Osciloscopio digital. Generador de señales acústicas.


A lo largo de esta experiencia se analizarán señales sonoras procedentes de un generador yproducidas en el ambiente.

1. En primer lugar, con un generador que nos proporciona señales acústicas de dife-rentes niveles de intensidad sonora, fijaremos una señal con idea de determinar el coefi-ciente de amplificación lineal del sonómetro, lo que nos permite establecer la relación en-tre la amplitud de la onda sonora y la correspondiente señal eléctrica

prms % mV (11.19)


Siendo V el voltaje correspondiente a la señal. Para ello conectaremos la salida del so-nómetro al osciloscopio digital y el generador acústico al micrófono del sonómetro. Deter-minar entonces la amplitud y frecuencia de la señal obtenida, Capítulo 18. Para obtener elcoeficiente de amplificación nos basta con el análisis siguiente: a partir del nivel de inten-sidad sonora podemos hacer, (11.18),

b % 20 logprms

p0% 20 log

mV

p0(11.20)

De donde

m % 10b

20p0

V(11.21)

El error cometido en la determinación será

Bm %JALmLV

BVB2

(11.22)

Donde hemos supuesto que los errores en b y p0 son despreciables y BV corresponde alerror en la determinación del voltaje, que viene dado por la ganancia del osciloscopio (Ca-pítulo 18).

2. En la segunda parte del experimento analizaremos una señal proveniente del am-biente, como por ejemplo la generación de una vocal o la nota producida por algún instru-mento. Para ello se llevará a cabo un montaje similar al del apartado anterior. Una vezemitido el sonido y fijada la imagen en el osciloscopio digital trataremos de determinar lapresión cuadrática media, prms, aunque, eso sí, la integración reflejada en (11.17) la aproxi-maremos por la ecuación

p2rms %A

m2

TBN

;n%1

V2nBt (11.23)

Lo que supone dividir en N partes, correspondiente cada una a un intervalo de tiempoBt, la imagen obtenida en la pantalla (y que ha de copiarse en papel cebolla). El número Nde intervalos que ha de tomarse para que (11.23) sea una buena aproximación de (11.16)depende de lo compleja que sea la señal que se quiere analizar. (En general tomar unosocho intervalos suele ser suficiente.) Determinar entonces la tensión promedio de la señalen cada uno de ellos, Vn. Así, teniendo en consideración el intervalo de tiempo total anali-zado, T, y el coeficiente de amplificación lineal, m, podemos calcular la presión cuadráticamedia.

Finalmente, determinar la intensidad de energía asociada a la propagación de la ondaacústica asumiendo que la densidad media del aire es de 1290 kg m.3 y la velocidad depropagación 343 m/s.


Fenómenos característicosde una onda: interferencia,

difracción y polarización

12.1. Introducción12.1.1. Interferencia12.1.2. Difracción12.1.3. Polarización

12.2. Intrumentación

12.3. Método experimental12.3.1. Interferencia12.3.2. Difracción12.3.3. Polarización

En el Capítulo 11 hemos hecho una descripción somera de parte de los conceptos básicosasociados al fenómeno ondulatorio. En este nos plantearemos profundizar aún más en estefenómeno analizando características específicas de las ondas como son la interferencia, la di-fracción y la polarización. Los dos primeros fenómenos son generales de todo tipo de ondas,bien sean longitudinales o transversales, aunque el tercero, la polarización, lo es de las trans-versales.

12.1. Introducción

En todo lo que viene a continuación tomaremos como referencia las ondas electromagnéti-cas, cuya existencia se deduce directamente de las ecuaciones de Maxwell, las ecuacionesbásicas de cualquier fenómeno relacionado con el campo eléctrico (E ) y magnético (B ).Combinando estas podemos obtener la siguiente ecuación para el campo eléctrico

M2E . kp

LE

Lt. ke

L2E

Lt2% 0 (12.1)

Y una completamente similar para el campo magnético

M2B . kp

LB

Lt. ke

L2B

Lt2% 0 (12.2)

Donde p, e y k corresponden a la conductividad, permitividad eléctrica y permeabilidadmagnética del medio en el que se esté propagando la onda. Estas son características quedeterminan su comportamiento en presencia de un campo eléctrico y magnético. Ambasecuaciones tienen la misma forma ya que se pueden escribir ambas como

M2t(r, t) . kp

Lt(r, t)

Lt. ke

L2t(r, t)

Lt2% 0 (12.3)

Esta representa una ecuación de ondas amortiguada tridimensional donde el factor queprovoca el fenómeno de disipación de energía corresponde al término central, proporcionala la conductividad eléctrica. En este capítulo vamos a asumir que podemos despreciar estetérmino y limitarnos a estudiar la ecuación (Capítulo 11),

M2t(r, t) . ke

L2t(r, t)

Lt2% 0 (12.4)

Otra simplificación que haremos será considerar ondas planas en una dimensión, lo quenos lleva a reducir aún más la ecuación anterior a

L2t(z, t)

Lz2 . keL2t(z, t)

Lt2% 0 (12.5)

y que representa la ecuación de ondas en las que la magnitud física que se propaga no de-pende de la coordenada x e y, es decir, es constante para los planos z % constante. El tipode soluciones de esta ecuación ya lo hemos analizado en el Capítulo 11, de modo que po-demos afirmar que la velocidad de propagación de una onda viene determinada por la per-mitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del medio en el que se esté propagando,es decir,

v %1

∂ke(12.6)

Ya discutíamos en el Capítulo 11 que las soluciones de (12.5) toman la forma de ondasplanas que se propagan en la dirección z, (11.4).


Es habitual expresar (12.6) de la forma

v %c

n(12.7)

Donde

n % ∂krer (12.8)

se denomina índice de refracción del medio, magnitud sin dimensiones en la que er y kr

son la permitividad y permeabilidad relativa del medio, respectivamente, y c es la veloci-

dad de una onda electromagnética en el vacío, igual a c % 1/∂k0e0.Así pues, el número de onda será en este caso

k2%

u2

v2 % u2ke (12.9)

Como ya discutíamos en el Capítulo 11, las soluciones de (12.5) pueden expresarse eneste caso

E % E0 sen (kz . ut)(12.10)

B % B0 sen (kz . ut)

donde E0 y B0 son las amplitudes del campo eléctrico y magnético. Sin embargo, si quere-mos generalizar la expresión de estas ondas armónicas planas de modo que estén expresa-das en cualquier dirección espacial, entonces encontramos que lo que llamábamos númerode onda, k, es en realidad el módulo de un vector, k, cuya dirección corresponde a la depropagación de la onda, de modo que, en general, en lugar de (12.10) debemos escribir

E % E0 sen (k r . ut)(12.11)

B % B0 sen (k r . ut)

Una conclusión muy importante que se obtiene de sustituir estas soluciones en lasecuaciones de Maxwell es el hecho, no sólo de que los campos eléctrico y magnético seansiempre perpendiculares a la dirección de propagación, sino que ambos son mutuamenteperpendiculares.

A continuación, pasamos a describir los tres fenómenos asociados con las ondas: lasinterferencias, la difracción y la polarización.

12.1.1. InterferenciaConsideremos dos fuentes puntuales separadas una distancia d que emiten ondas esféricas,(11.8), de la misma frecuencia (u) (Figura 12.1),

t1(r1, t) %t1

0

r1sen (kr1 . ut) (12.12)

t2(r2, t) %t2

0

r2sen (kr2 . ut ! h) (12.13)

Capítulo 12. Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización 165

FIGURA 12.1. Proyección en el plano de los frentes de onda correspondiente a dos fuentes puntualesemitiendo ondas esféricas. (Las circunferencias corresponden a los frentes de ondaprovenientes de cada fuente.)

Siendo ti0 la correspondiente amplitud de la fuente. En todo lo que viene a continua-

ción asumiremos que la fase inicial es cero, esto es, h % 0. Sin embargo, a la vista de estasdos ecuaciones vemos que existe entre ambas un desfase permanente asociado a las distan-cias relativas de cada una de las fuentes al punto relativo considerado, dado por la expre-sión

d % kr1 . kr2 %2nj

(r1 . r2) (12.14)

En cada punto del espacio se observará entonces la superposición de ambas ondas,(12.12) y (12.13), cuya amplitud resultante estará dada por

t0 %JAt1

0

r1B2

!At2

0

r2B2

! 2 At1

0

r1B At2

0

r2B cos d (12.15)

Así pues, en función del desfase espacial (12.14) t0 estará comprendido entre los valo-res t1

0/r1 ! t20/r2 y t1

0/r1 . t20/r2, dependiendo de que

d % 2nn o d % (2n ! 1)n (12.16)

Siendo n un número entero. En el primer caso, tenemos una amplitud máxima, lo quese conoce como interferencia constructiva, y en el segundo una amplitud mínima, eventual-mente cero, y se conoce como interferencia destructiva. Estas dos condiciones pueden ex-presarse de manera equivalente usando (12.14) como

r1 . r2 %Enj(2n ! 1)j

(12.17)

Siendo el primero el caso de una interferencia constructiva y el segundo destructiva.Una forma de poner de manifiesto este fenómeno es observando el patrón que se pro-

duce en una pantalla como consecuencia de las interferencias de ondas provenientes de dosfuentes puntuales (Figura 12.2).

12.1.2. DifracciónComo hemos mencionado este es otro de los fenómenos característicos generales de las on-das. Este en particular se observa cuando en la región en la que se esté propagando una


FIGURA 12.2. Patrón de interferencias debido a dos fuentes coherentes..

onda se coloca un obstáculo cuyas dimensiones son comparables con la longitud de onda.Así, podemos interceptar la onda o bien con una pantalla que tenga una rendija pequeñaque sólo permite el paso de una parte pequeña del frente de onda incidente (Figura 12.3(a)),o bien un objeto cualesquiera, tal como un alambre, un disco, etc., que impide el paso deuna parte pequeña del frente de onda (Figura 12.3(b)). Como vemos en estas figuras lospatrones de difracción se caracterizan también por una alternancia entre zonas iluminadas yoscuras, como ocurría con las interferencias.

FIGURA 12.3. (a) Fenómeno de difracción debido al paso de la onda por una rendija rectangularmuy estrecha y alargada. (b) Difracción producida por la intercepción de una ondamediante un objeto. En ambos casos es claramente visible la alternancia de máximay mínima intensidad de la onda.

Sin embargo, el tratamiento matemático de este fenómeno es mucho más complicadoque el de las interferencias, escapando al nivel de este libro. Dejamos así para las mono-grafías específicas el análisis detallado, describiendo en este capítulo únicamente los resul-tados fundamentales para llevar a cabo las experiencias propuestas.

12.1.3. PolarizaciónEste es el tercer fenómeno característico del fenómeno ondulatorio como tal aunque en es-te caso es específico de las ondas transversales, como las ondas electromagnéticas (en par-ticular la luz), o las ondas que se propagan en una cuerda.

En lo que viene a continuación supondremos que la dirección de propagación de la on-da que estemos considerando es la dirección z, lo que para el caso de las ondas electromag-néticas supone que el campo eléctrico y el magnético siempre oscilan en el plano xy, sien-do ambos mutuamente perpendiculares; así, por ejemplo, si el campo eléctrico oscilara en


la dirección x el campo magnético lo hace en la y. En este caso diríamos que la onda estápolarizada linealmente, es decir, la variación espacio-temporal del campo eléctrico se reali-zaría en el plano zx y la del campo magnético en el zy, Figura 12.4(a). Sin embargo, hayotros posibles estados de polarización. En efecto, la solución general del campo eléctrico omagnético en una onda electromagnética tiene la forma

t % (t01 sen h1 i ! t0

2 sen h2 j ) sen (kz . ut) (12.18)

Siendo i e j los vectores unitarios que determinan las direcciones espaciales x e y, respec-tivamente, y t0

1 y t02 las amplitudes de cada una de las componentes espaciales para cada

uno de los campos.Así pues, el campo eléctrico a medida que se propaga en la dirección z tendrá en gene-

ral diferentes orientaciones sobre el plano xy, dependiendo de la diferencia de fase,h1 . h2, que exista entre cada de sus componentes. De modo que si h1 . h2 % 0 o n elcampo se dice que está polarizado linealmente, Figura 12.4(a). Si h1 . h2 % n/2 o 3n/2 sedice que lo está circularmente, Figura 12.4(b). Aún hay un detalle importante adicional yes el sentido de giro de cada uno de los campos a medida que propague en la dirección z,denominado helicidad y relacionado con el hecho de si la diferencia de fase es positiva onegativa.

FIGURA 12.4. Variación del campo eléctrico en el fenómeno de propagación de una ondaelectromagnética (a) linealmente polarizada, (b) circularmente polarizada.


Banco óptico. Láser. Metro. Diafragmas con una y dos rendijas (de separación d conocida).Cristales polarizadores. Pie de rey. Pantalla. Papel milimetrado.


En la Figura 12.5 se muestra el montaje experimental.


FIGURA 12.5. Montaje experimental general.

12.3.1. Interferencia

Para evitar los problemas de incoherencia que llevan a que no se forme el diagrama deinterferencia, realizaremos el experimento de la doble rendija de Young. Así pues, conside-remos un haz de luz proveniente de una fuente, F (en nuestro caso del láser), Figura 12.6,que se hace incidir sobre una pantalla con dos rendijas, SF1 y SF2, separadas una distanciad, y en la que cada una de ellas actuará, a su vez, como una fuente de onda independiente.Colocamos entonces una pantalla en la que observar el patrón de interferencias a una dis-tancia D. Si D A d podemos despreciar la diferencia entre r1 y r2 de modo que expresare-mos (12.15) como

t0 ]

t10

r1∂2(1 ! cos d) % 2

t10

r1cosA

d2B (12.19)

FIGURA 12.6. Experimento de la doble rendija de Young propuesto para nuestro estudiode las interferencias.


Es más, si tenemos en consideración que r1 . r2 % d sen h ] xd/D, Figura 12.7, tene-mos

d %2nj

(r1 . r2) ]

2nxd

Dj(12.20)

FIGURA 12.7. Esquema de los parámetros involucrados en los fenómenos de interferencias.

Finalmente, puesto que la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado, Capítu-lo 11, entonces, podemos escribir

I % I0 cos2And sen h

j B] I0 cos2Anxd

DjB (12.21)

Siendo I0 la intensidad para h % 0. Los puntos de máxima intensidad corresponden alos puntos sobre la pantalla dados por la expresión

x %njd

D (12.22)

Siendo n un número entero. De modo que la separación entre dos franjas brillantes con-secutivas está dada por

Bx % AD

dB j (12.23)

En la Figura 12.2 mostramos un patrón de interferencias ideal.Una vez detallado el fundamento teórico específico, a partir del fenómeno de interfe-

rencias determinaremos la longitud de onda de la luz emitida por el láser que vamos a em-plear a lo largo de este capítulo, (12.22). Para ello hemos de montar en el banco óptico eldiafragma con dos rendijas y tomaremos como referencia un máximo próximo al central.Sobre un papel milimetrado fijado en la pantalla marcar el punto central. Variar entoncesla distancia entre el diafragma y la pantalla unas diez veces, determinando en cada caso laubicación del máximo que hayamos tomado como referencia. Representar gráficamente xfrente a D. Realizar un ajuste por mínimos cuadrados, (Capítulo I), y de la pendiente obte-nida calcular la longitud de onda, (12.22).


12.3.2. DifracciónEn todo lo que viene a continuación nos centraremos en lo que se conoce como difracciónde Fraunhoffer. Esta asume que los rayos del haz incidente son paralelos y el patrón dedifracción se produce a una distancia muy grande.

Vamos a considerar una rendija rectangular muy larga y estrecha de ancho a. En estascondiciones podemos encontrar que las zonas sin iluminación están determinadas por la re-lación, Figura 12.8,

a sen h % nj (12.24)

donde n es un número entero diferente de cero.

FIGURA 12.8. Esquema de los parámetros involucrados en el fenómeno de difracción.

Realizando un cálculo detallado obtendremos que la intensidad viene determinada porla relación

I % I0

sen2 Ana sen h

j BA

na sen hj B

2 (12.25)

Finalmente, es importante mencionar el hecho de que siempre ambos fenómenos, inter-ferencia y difracción, se superponen en un experimento real, como queda de manifiesto enel de la doble rendija, que se muestra en la Figura 12.9. En este caso la intensidad es

I % I0

sen2Ana sen h

j BA

na sen hj B

2 cos2And sen h

j B (12.26)

En el experimento que se propone orientaremos el láser hacia la pared del laboratoriocon idea de que se forme la imagen de difracción a una distancia muy grande. Sobre elpapel milimetrado fijado en la pared marcar el punto de incidencia del haz láser. Intercep-tar este con el diafragma con una rendija de modo que la ilumine de modo uniforme. Dibu-jar sobre el papel la imagen que se forma indicando los límites de las franjas iluminadas y


FIGURA 12.9. Superposición de los fenómenos de interferencia y difracción en un experimentode doble rendija real.

en oscuridad. La posición del primer mínimo (primera zona oscura) viene dada aproxima-damente por

x ] jD

a(12.27)

Como se deduce de (12.24). Tomar unos diez valores de la posición de este primer mí-nimo en función de la distancia entre la pared y la rendija. Representar gráficamente x vsD y realizar un ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I). De la pendiente obtenida, usan-do el valor de la longitud de onda determinada en el apartado anterior, calcular el ancho ade la rendija empleada en el experimento. ¿Coincide con el valor real?

12.3.3. PolarizaciónEn esta parte se pretende poner de manifiesto de forma cualitativa el fenómeno de polari-zación. Para ello se usarán polarizadores, materiales que absorben las componentes delcampo eléctrico en determinadas direcciones gracias a las características físicas del propiopolarizador.

Intercalando y girando los polarizadores entre la fuente y la pantalla, analizar en quédirecciones de los mismos se produce extinción del haz, esto es, absorción en el materialpolarizador y, en consecuencia, no hay transmisión.


Equivalente mecánicodel calor

13.1. Introducción



13.1. Introducción

Cualquier sistema físico en equilibrio puede caracterizarse por poseer una energía total(que también se suele llamar energía interna), U0, constante, es decir,

U0 % T ! V (13.1)

Esta condición física define lo que se denomina estado termodinámico. En (13.1) el tér-mino

T %1

2

N

;k%1

mkv2k (13.2)

representa la energía cinética de las N partículas componentes del sistema (Capítulo 4),siendo mk la masa de cada una de ellas y vk su velocidad correspondiente; y V la energíapotencial total, en donde se incluye la acción de las fuerzas de interacción entre todas laspartículas y de las fuerzas externas.

Cualquier sistema físico inevitablemente experimenta en mayor o menor grado unainteracción con su entorno, una de cuyas principales consecuencias es el intercambio deenergía entre ambos, lo que conlleva una variación del estado termodinámico del sistema,fenómeno que se conoce como proceso termodinámico.

Las interacciones con el entorno pueden siempre descomponerse en dos partes: aquellacorrespondiente a las interacciones que dan lugar a efectos macroscópicos, medibles, quedenominaremos trabajo, W; y aquella otra relacionada con efectos a escala microscópica,no directamente medibles, y que englobaremos en una magnitud que llamaremos calor, Q.Es decir, que la variación de la energía interna de un sistema físico proviene del intercam-bio de calor con el entorno o de la realización de trabajo.

Así podemos establecer el primer principio de la Termodinámica, el principio de con-servación de la energía, del modo

U . U0 % BU % Q ! W (13.3)

Siendo U la energía interna correspondiente al nuevo estado termodinámico. Si el pro-ceso termodinámico que sufre el sistema lleva a un cambio de energía pequeño, tanto quepuede considerarse infinitesimal, entonces (13.3) se puede expresar como

dU % dQ ! dW (13.4)

Y que representa el primer principio de la Termodinámica en forma diferencial.El que en la Ecuación (13.3) aparezca una diferencia de las energías internas corres-

pondientes al estado inicial y final, lleva a una arbitrariedad en la elección del origen deenergías estando obligados a dar un criterio de signos tanto para el trabajo como para elcalor. Habitualmente se asume como positivo el trabajo que se realiza sobre el sistema yaque de ese modo su energía interna aumenta y, por tanto, negativo si lo realiza el sistemasobre el exterior (su energía interna entonces disminuye).

A continuación, como ilustración, determinaremos la expresión del trabajo para uno delos sistemas simples más extendidos. Supongamos un gas encerrado en un émbolo, una decuyas paredes es un pistón movible. El gas intercambia energía y momento con las vecin-dades a través de las colisiones de sus moléculas con las de las paredes. El intercambio demomento entre las moléculas se traduce en la aparición de una fuerza media neta F que


actúa sobre la totalidad del área de la pared. Si denotamos por S a dicha superficie y p a lapresión del gas (Capítulo 7), entonces,

F % pS (13.5)

Debido a que el émbolo dispone de una pared movible esta fuerza puede dar lugar aldesplazamiento del mismo. Consideremos que este desplazamiento es dx, entonces, el tra-bajo realizado por el sistema viene dado por la ecuación

dW % .Fdx % .pSdx % .pdV (13.6)

donde dV % Sdx es el cambio que se produce en el volumen del gas. Si este cambia de V aV0, el trabajo externo realizado por el sistema vendrá dado por

W % .IV

V0

pdV (13.7)

que implica que ha de existir una relación entre la presión p y el volumen V, lo que seconoce como ecuación de estado (cada sistema físico en equilibrio tiene una). Cada una deestas magnitudes (como la presión, el volumen y la temperatura en el caso del gas), se de-nomina variable termodinámica. En realidad, estas representan valores promedio de carac-terísticas del sistema físico, (la presión lo es de las interacciones individuales de todos ycada uno de los átomos o moléculas componentes del gas sobre la pared del recipiente quelos contiene, y la temperatura la energía cinética de cada uno de ellos).

Como hemos mencionado el concepto de ecuación de estado de un sistema implica quepodemos establecer una relación entre el conjunto de variables termodinámicas que deter-minan su equilibrio. Por ejemplo, para un gas podríamos expresar de forma genérica suecuación de estado de la forma

f (p, V, T) % 0 (13.8)

La existencia de esta ecuación de estado permite deducir cómo es un cambio infinitesi-mal de volumen en el gas, determinado por

dV % ALV

LpBT cte

dp !ALV

LTBp cte

dT (13.9)

Donde los subíndices T constante y p constante implican que las derivadas se tomanbajo esas condiciones. Al factor

i % .

1

V ALV

LpBT cte

(13.10)

se le denomina compresibilidad isotérmica (Capítulo 6), y a

a %1

V ALV

LTBp cte

(13.11)

coeficiente de dilatación cúbica (Capítulo 14). El hecho de que los coeficientes del tipo i ya puedan obtenerse a partir de medidas experimentales (Capítulos 6 y 14) fundamenta engran medida la Termodinámica.

Volviendo nuevamente al problema que estamos tomando como referencia, el gasen un pistón, además del movimiento macroscópico del émbolo, si queremos realizar una

Capítulo 13. Equivalente mecánico del calor 175

descripción completa del principio de conservación de la energía hemos de tener en consi-deración también el intercambio de energía que se produce a través de las paredes fijas delémbolo. En este caso no podemos definir un concepto de trabajo. Estos, aunque se produ-cen a nivel microscópico, no pueden computarse.

Esto nos lleva a la necesidad de introducir el concepto de calor, Q, con el que tendre-mos en consideración la energía intercambiada a nivel microscópico entre las moléculasdel sistema y del medio que lo rodea. De modo que representa igualmente una transferen-cia de energía. Cuando dicha transferencia no existe, aun no siendo un sistema aislado, sedice que hay equilibrio térmico, el cual implica que la energía cinética promedio de ambaspartes ha de ser la misma, de modo que no hay intercambio neto de energía a través de lascolisiones moleculares y, por tanto, sistema y entorno están a la misma temperatura.

Por la misma razón que ocurría con el concepto de trabajo nos vemos obligados a esta-blecer un criterio de signos para el calor, habitualmente se considera positivo cuando esabsorbido por el sistema y negativo cuando lo pierde.

Si las variables de estado determinan el estado de equilibrio del sistema, es razonablepensar que su energía interna ha de depender de dichas variables, aunque puesto que laecuación de estado establece una ligadura entre ellas, sólo dependerá de las mismas. Si-guiendo con el ejemplo que nos está sirviendo de referencia a lo largo de este capítulo,esto implica que podemos provocar una variación infinitesimal de energía interna medianteuna variación de presión o de temperatura (o de ambos simultáneamente), es decir,

dU % ALU

LpBT cte

dp !ALU

LTBp cte

dT (13.12)

o de forma equivalente

dU %ALU

LVBT cte

dV ! ALU

LTBV cte

dT (13.13)

Sustituyendo (13.13) en (13.4), usando (13.6), obtenemos

ALU

LVBT cte

dV ! ALU

LTBV cte

dT % dQ . pdV

de donde, operando y dividiendo por dT, llegamos a

dQ

dT%Cp !A

LU

LpBT cteDdV

dT!A

LU

LTBV cte

(13.14)

Si como caso particular consideramos un proceso isócoro (así se denominan los proce-sos termodinámicos a volumen constante), podemos introducir el concepto de capacidadcalorífica a volumen constante como

cV %dQ

dT%A

LU

LTBV cte

(13.15)

que, como ocurría con la compresibilidad isotérmica y el coeficiente de dilatación cúbica,es una magnitud que puede medirse experimentalmente. Si hubiéramos partido de (13.12)hubiésemos llegado de modo equivalente al concepto de capacidad calorífica a presiónconstante

cp %dQ

dT%A

LU

LTBp cte

(13.16)


Volviendo al caso del gas ideal, puesto que por definición sus partículas componentesno interactúan entre sí y, por tanto, su energía interna sólo depende de la energía cinéticade las mismas, es decir, de la temperatura,

U % U(T) (13.17)

Esto implica que

ALU

LpBT cte % 0 (13.18)

o bien

ALU

LVBT cte

% 0 (13.19)

Así pues, tomando como punto de partida (13.4), y usando (13.6) y (13.15), llegamos ala relación

dQ % dU ! pdV % cVdT ! pdV (13.20)

o de forma equivalente

dQ% cpdT . Vdp (13.21)

Un proceso de gran interés es el proceso adiabático (Capítulo 11), que representa unproceso en el que no hay intercambio de calor entre el sistema y el exterior, cumpliéndoseque dQ % 0. Si seguimos asumiendo un gas ideal, empleando (13.20) y (13.21) llegamos a

Vdp % cpdT(13.22)

pdV % .cVdT

Dividiendo la primera ecuación por la segunda, obtenemos

dp

p% .

cp

cV

dV

V% .c

dV

V(13.23)

que no podemos integrar mientras no conozcamos c, que se conoce como coeficiente adia-bático. En aquéllos casos que podemos asumirlo constante, entonces,

pVc% cte (13.24)

De modo que

ALp

LVBS cte

% .cp

V(13.25)

donde con el subíndice S queremos significar que es un proceso adiabático.Con idea de comparar, si recordamos la ecuación de estado para los gases ideales

pV % NkT (13.26)

Siendo N el número total de partículas componentes en el gas y k la constante deBoltzman, derivando en esta la presión respecto al volumen, manteniendo constante la tem-peratura, llegamos a la expresión

ALp

LVBT cte

% .

p

V(13.27)


Terminaremos esta introducción estableciendo el concepto de equivalente mecánico decalor. La cantidad de trabajo o calor que debería disiparse en el agua —ya fuera, por ejem-plo, manteniendo una corriente eléctrica en una resistencia sumergida en ella o medianteun proceso mecánico como la agitación- por unidad de masa para pasar de 14,5 a 15,5 oC sedenomina equivalente mecánico del calor, que para el agua resulta ser de 4,186 J/cal. El fun-damento de la experiencia que se propone es precisamente la determinación de este factor.


Termómetros. Vaso Dewar. Fuente de energía eléctrica. Resistencia eléctrica (para el ca-lentamiento del agua). Voltímetro. Amperímetro. Balanza. Cronómetro.


En la Figura 13.1 se presenta una imagen del montaje experimental.

FIGURA 13.1. Montaje experimental.

La finalidad de la experiencia que se propone en este capítulo es la determinación delequivalente mecánico del calor, que utilizaremos para analizar el principio de conservaciónde la energía, (13.3), e ilustrar las diferentes manifestaciones de la energía en la naturaleza.Para ello estableceremos el balance de energía entre energía mecánica, eléctrica y térmicaen el agua.

Gracias a la energía mecánica que se obtiene en las centrales eléctricas disponemos deenergía eléctrica. Esta, a su vez, la invertiremos en energía térmica mediante una resisten-cia gracias al efecto Joule (Capítulo 17).


Como cualquier sistema físico el vaso Dewar no consigue un aislamiento perfecto delagua con el entorno. Por tanto, en primer lugar hemos de determinar estas pérdidas, lo quese conoce como equivalente en masa del calorímetro. Para ello tomaremos dos masas deagua similares, una m1 a la temperatura T1 ambiente y otra m2 unos 10 oC por encima delanterior, T2. Mezclar entonces ambas masas de agua en el vaso Dewar, agitando para quese uniformice las temperaturas, midiendo la temperatura de la mezcla conseguida, Tmezcla.A partir de estos datos establecemos el equivalente en masa del calorímetro, Mc, que vienedado por la expresión

Mc % m2AT2 . Tmezcla

Tmezcla . T1B. m1

Cuyo error viene dado por la expresión

BMc %JALMc

Lm1Bm1B

2

!ALMc

Lm2Bm2B

2

!ALMc

LT1BT1B

2

!ALMc

LT2BT2B

2

!ALMc

LTmezcla

BTmezclaB2

A continuación montaremos el circuito de la Figura 13.2. Con el voltímetro y el ampe-rímetro podremos determinar la potencia disipada en la resistencia calefactora, Pr % IV, yde ella deducir la energía disipada durante un intervalo de tiempo Bt

BEr % Qr % IV Bt

FIGURA 13.2. Circuito necesario para llevar a cabo el experimento.

Esta energía la invertiremos en variar la energía interna del agua, lo que se reflejará enun aumento de su temperatura, puesto que en este caso no existe trabajo. Como hemos des-crito en la introducción, esta variación puede expresarse como, (13.21),

BUagua % mcp BT

Siendo cp el calor específico del agua a temperatura ambiente, expresado en calorías porgramo, y que el estudiante ha de buscar en las tablas.

Llenaremos ahora el vaso Dewar con agua a temperatura ambiente, T1, en una propor-ción m ] m1 ! m2. Introducir la resistencia calefactora y encended la fuente cronometran-do el tiempo y, simultáneamente, agitando suavemente el agua para que la temperatura seuniformice. Transcurridos unos Bt % 10 minutos, desconectamos la fuente y medimos latemperatura final, T2. Entonces, a partir de los valores experimentales obtenidos determina-


remos la expresión

J %IV Bt

cp(Mc ! m)(T2 . T1)

Cuyo error estará dado por

BJ%JALJ

LVBVB

2

!ALJ

LIBIB

2

!ALJ

LtBtB

2

!ALJ

L(Mc!m)B(Mc!m)B

2

!ALJ

L(T2.T1)B(T2.T1)B

2

donde

B(Mc ! m) % BMc ! Bm % BMc ! B(m1 ! m2)

y

B(T2 . T1) % BT2 . BT1

¿Cuál es el valor esperado de J en una experiencia perfecta? Si se encuentran discrepanciasentre el valor teórico y el obtenido experimentalmente analizar a qué puede deberse.

Es conveniente repetir la experiencia dos veces.


Dilatación térmica

14.1. Introducción



14.1. Introducción

En el Capítulo 6 analizábamos las deformaciones que se pueden producir en un sólidocuando este se somete a una determinada tensión. Sin embargo, también se puede provocaruna deformación variando su temperatura. Efectivamente, en nuestra experiencia cotidianaalguna vez hemos observado cómo los materiales se dilatan al aumentar su temperatura.Para entender este fenómeno basta tener en consideración la forma específica que tienen lafuerza de interacción existente entre los átomos de un sólido, o de forma equivalente sucorrespondiente energía potencial, Figura 14.1.

FIGURA 14.1. Energía potencial de interacción (V ) entre dos átomos de un sólido.

A una temperatura de 0 K (temperatura que es inalcanzable, como establece el tercerprincipio de la Termodinámica), todos los átomos del sólido estarían en equilibrio en susposiciones de equilibrio, determinadas estas por la estructura de la red cristalina del mate-rial, Figura 14.2. Aunque a una temperatura diferente del cero absoluto los átomos dispo-nen de una energía cinética que les lleva a oscilar en torno a esas posiciones de equilibrio,con amplitudes que mientras no sean demasiado grandes podremos tratar como armónicas,Figura 5.1 (Capítulo 5). Sin embargo, ¿qué ocurre cuando estas amplitudes son tales que laaproximación armónica no es válida? (Figura 14.1) —que implica que la fuerza de interac-ción entre los átomos ya no puede asumirse que sea equivalente a la correspondiente a unoscilador armónico—.

Antes de analizar esta cuestión recordaremos por su importancia en el fundamento deesta práctica el concepto de temperatura. Este está asociado a la energía cinética media delos átomos del sistema físico que estemos considerando. De este modo se tiene

T %SEcinéticaT

k%

1

2

m

kSv2

T (14.1)

Donde los corchetes S T indican, como siempre, el valor medio de la magnitud que se estépromediando, y k es la constante de Boltzmann cuyo valor es 1,38 # 10.23 J K.1.

En general la energía total de un átomo en un sólido a una temperatura diferente decero estará dada por la expresión

Etotal % Ecinética ! V (14.2)


FIGURA 14.2. Estructura y disposición tridimensional de los átomos en una red cristalina cúbica.Las barras dispuestas entre los átomos son sólo guías para los ojos.

Siendo V la energía potencial de interacción de cada átomo en el sólido. De modo que enel cero absoluto de temperatura esta energía total se reduciría a

Etotal % V (14.3)

que es la que determina en último término las posiciones de cada átomo en la red cristalo-gráfica.

Si ahora suponemos que la temperatura es diferente de cero, gracias al movimientoasociado con la misma, (14.1), cada átomo «explora» la energía potencial a la que está so-metido. Sin embargo, si la temperatura no es muy alta, podemos asumir en primera aproxi-mación la energía potencial de cada átomo corresponde a la de un oscilador armónico, Fi-gura 14.1, esto es,

V ] Varmónico %1

2kr2 (14.4)

Siendo r la posición relativa de cada átomo en la estructura cristalina y k la constante derestitución (Capítulo 5), característica de la interacción electromagnética entre los átomos.Si bajo estas condiciones determinamos ahora el valor medio de la distancia entre los áto-mos, SrT, esta coincidiría con la interatómica de equilibrio, a T % 0 K, r0, que se conocecon el nombre de parámetro de red. Esto implica que en el rango de temperaturas en el quepodemos asumir esta aproximación armónica el sólido no se dilata.

Pero supongamos que las temperaturas son tales que la energía cinética de cada átomopermite explorar una región de la energía potencial en la que ya no es válida la aproxima-ción armónica y tenemos que tomar un orden mayor en el desarrollo de Taylor de la mis-ma, es decir,

V ] Vinarmónico %1

2kr2

. Br3 (14.5)

donde B es el coeficiente inarmónico. Analicemos bajo estas condiciones lo que suponevariar la temperatura del material, Figura 14.3: A T0 los átomos oscilan de manera que ladistancia entre ellos varía entre los valores A0 y B0, cuyo valor medio es r0 (en consecuen-cia estaríamos dentro de la aproximación armónica). A temperatura más alta, T1, la distan-cia interatómica varía en el intervalo definido por los valores A1 y B1, lo que corresponde auna distancia media entre los átomos r1, y tal que r0 a r1, y así sucesivamente. Comor0 a r1 a r2 a... para T0 a T1 a T2 a..., podemos concluir que al aumentar la temperatura

Capítulo 14. Dilatación térmica 183

la amplitud de la oscilación de los átomos aumenta, lo que lleva aparejado que las distan-cias medias entre ellos también aumentan, es decir, se produce una dilatación del material.De hecho puede deducirse (aunque no lo hagamos aquí porque excede el nivel del presentelibro) que a una temperatura T la distancia media entre los átomos está dada por la expre-sión

SrT % 3kTB

k2 (14.6)

FIGURA 14.3. Energía potencial de interacción entre dos átomos de un sólido. Se destacanlas distancias medias entre ellos a cada una de las temperaturas analizadas,teniendo en consideración que T0 a T1 a T2 a ...

Toda la descripción que acabamos de hacer corresponde a la imagen microscópica delfenómeno de dilatación, pero ahora debemos de encontrar el modo de tratarlo a nivel ma-croscópico. Asumiremos que en ningún momento existen fuerzas externas actuando sobreel sólido y que sólo variaremos su temperatura. Las deformaciones que se producen corres-ponden a un proceso reversible ya que una vez elevada la temperatura del material, si lollevamos nuevamente a la temperatura inicial T0, el sólido recupera su forma inicial. Estecarácter reversible nos permite incorporar este fenómeno en el marco general de la teoríade la elasticidad que desarrollamos en el Capítulo 6. Asumiremos entonces que la deforma-ción asociada con la temperatura es una función lineal de la misma.

Si nos limitamos al caso de materiales isótropos, para los cuales la dilatación térmicaes la misma en todas las direcciones espaciales, tenemos que

unn %a3

(T . T0) (14.7)

donde unn, con n % x, y, z, representa los incrementos relativos de la longitud del materialen cada una de las tres direcciones espaciales (Capítulo 6), y a se conoce como coeficientede dilatación térmica.

En el caso de materiales con una determinada estructura cristalográfica, las deforma-ciones que se producen debido a la temperatura son más complejas y han de representarsede la forma

uik %aik

3(T . T0) (14.8)

Donde aik corresponde a cada una de las componentes de una matriz simétrica.


No lo haremos aquí pero puede demostrarse que en el caso de materiales isótropos elcoeficiente de dilatación lineal, a, relacionado con la distancia media relativa de los áto-mos en el sólido a través de la relación

a %1

r0

dSrT

dT% 12

k

r0

B

k2 (14.9)


Tubos de distintos materiales (aluminio, cobre, acero, latón...) adaptables sobre un bancode medida de unos 60 cm de longitud. Micrómetro con precisión de 0,01 mm. Tubos degoma.

Alternativa 1: Termómetro. Sistema calefactor y de bombeo de agua caliente.Alternativa 2: Termistor. Generador de vapor de agua. Polímetro para usarlo como

óhmetro. Vaso.


El objetivo de la práctica es medir el coeficiente lineal de dilatación para diferentes mate-riales.

En la Figura 14.4(a) se muestra un esquema de la disposición experimental en el casode la alternativa 1 y en la (b) en el de la alternativa 2.

FIGURA 14.4. (a) Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experienciacorrespondiente a la alternativa 1. (b) Para la alternativa 2.

Una vez colocamos el tubo del material en el soporte ponemos el micrómetro a cero, yentonces mediante los tubos de goma se conecta al sistema de bombeo del agua en el casode la alternativa 1, o al generador del vapor de agua en el de la alternativa 2.

Capítulo 14. Dilatación térmica 185

Asumiremos que la temperatura del tubo es uniforme a lo largo del mismo, y se midecon el termómetro directamente sumergido en el baño de agua que se bombea en la prime-ra alternativa, o haciendo una lectura de la respuesta eléctrica del termistor con el políme-tro, funcionando como óhmetro en la segunda, buscando la equivalencia de la resistenciaen las tablas que proporcionan los fabricantes.

Por otro lado, podemos expresar (14.7) de modo equivalente como

dl

l0%

a3

(T . T0) (14.10)

Siendo l0 la longitud del tubo a la temperatura ambiente, T0.

1. Determinar el incremento de longitud que experimentan los tubos de cada uno delos materiales midiendo su correspondiente incremento de longitud respecto a latemperatura ambiente con ayuda del micrómetro, y a partir de la relación (14.10)obtener el coeficiente de dilatación lineal

a %3dl

l0(T . T0)(14.11)

Hemos de tener presente que la lectura que nos proporciona el micrómetro esdirectamente la correspondiente a dl.

Para que podamos comparar nuestros resultados con los de la bibliografía, acontinuación damos los coeficientes de dilatación para algunos materiales que pue-den encontrarse fácilmente en forma de tubo:

— Cobre: a % 16,6 10.6 K.1

— Oro: a % 14 10.6 K.1

— Hierro: a % 12 10.6 K.1

— Plata: a % 19 10.6 K.1

Si tenemos en cuenta el error en la medida realizada con el micrómetro, B(dl);y el correspondiente a la medida de la temperatura, BT, podemos calcular el erroren la determinación del coeficiente de dilatación lineal mediante la ecuación

Ba %JALa

L(dl)B(dl)B

2

!ALaLT

BTB2

2. Usando técnicas de difracción de rayos X, electrones o neutrones se pueden cono-cer los parámetros de las redes cristalinas de los diferentes materiales, en particularde sustancias tan comunes como el cobre, hierro, oro, plata... Y estos valores apa-recen en la mayoría de las tablas que se pueden encontrar en las bibliotecas. A par-tir de ellos a la temperatura ambiente calcular el valor medio de la distancia inter-atómica a 80 oC para el aluminio y el cobre.


Conductividad térmica

15.1. Introducción



15.1. IntroducciónCuando los dos extremos de un cuerpo como el que se muestra en la Figura 15.1 se man-tienen a temperaturas diferentes podemos observar que en la región intermedia entre ambosextremos hay una distribución continua de temperaturas a lo largo de la misma.

El someter los extremos del material a dos temperaturas diferentes conlleva la apari-ción de un transporte de energía, el cuál tiene lugar del extremo de mayor temperatura alde menor. Este fenómeno es lo que se denomina de forma genérica conducción del calor.Si por simplicidad suponemos que la dirección del flujo de energía se produce únicamenteen la dirección x, la ley fundamental de la conducción de calor está dada por la expresiónconocida como ley de Fourier,

jenergía %.KLT

Lx(15.1)

Donde jenergía representa el flujo de energía por unidad de volumen, T la temperatura y K laconductividad térmica del material (sus unidades son W/m K); esta última es una magnituddependiente de la temperatura y las características del material (como sus impurezas, posi-bles cambios que se pudieran producir en su estructura interna por el calentamiento conti-nuo o por estar sometido a una gran presión, etc.). El signo menos indica que el flujo deenergía se produce en sentido contrario al gradiente de temperatura, que es como se conoceal factor LT/Lx, o sea, de la región con mayor temperatura a la de menor.

Ahora trataremos de expresar (15.1) en función de la temperatura. Para ello aplicare-mos el principio de conservación de la energía. Tomando como referencia el experimentopropuesto en la Figura 15.1, fijándonos en un elemento de volumen infinitesimal del mis-mo, Figura 15.2, la variación de su energía total (o energía interna como también se cono-ce) en la unidad de tiempo viene dado por la relación

BEtotal

Bt% S[( jenergía)entrante. ( jenergía)saliente] %.Sdjenergía %.

Ljenergía

LxSdx (15.2)

Donde djenergía es la diferencia de densidades de flujo de energía entre los extremos del ele-mento de volumen considerado, y S el área de la sección del mismo que en el caso quetomamos como referencia es perpendicular al flujo de energía. (En los libros de Termodi-námica al término BEtotal se le denomina calor y se representa con la letra Q.) Si hay unavariación efectiva entre ambos flujos la experiencia nos indica que ha de producirse unaumento de la energía total, Etotal, del elemento de volumen considerado y, en consecuen-cia, un aumento de la temperatura del mismo.

Por otro lado, esta variación de energía puede expresarse en función del calor específi-co del material considerado, c, (que se define como la energía por unidad de masa necesa-ria para conseguir elevar la temperatura de un determinado material en un grado), mediantela relación

BEtotal

Bt% c

LT

Ltm % c

LT

Ltodv % c

LT

LtoSdx (15.3)

Siendo o la densidad en el elemento de volumen dv considerado. Igualando (15.2) y (15.3)llegamos a

ocLT

Lt%.

Ljenergía

Lx(15.4)


FIGURA 15.1. Esquema de una experiencia típica en la que se pone de manifiesto el fenómenode la conductividad térmica en el caso de un flujo estacionario.TA b TB y, por tanto, TA b T1 b ñ T7 b TB.

FIGURA 15.2. Detalle de un elemento de volumen de la barra mostrada en la Figura 15.1.Se ha destacado la relación entre los flujos de energía.

Que usando (15.1) nos permite establecer la ecuación de conducción térmica para un deter-minado material

LT

Lt%

K

oc

L2T

Lx2 (15.5)

Un caso particular importante es el de un flujo estacionario, esto es, un flujo en el queno se produce aumento de temperatura con el tiempo de ninguna parte del cuerpo. Mate-máticamente esto se expresa imponiendo LT/Lt% 0, que sustituyendo en (15.5) nos queda

L2T

Lx2 % 0 (15.6)

Capítulo 15. Conductividad térmica 189

La solución de esta ecuación nos proporciona la distribución de temperaturas en el mate-rial. Efectivamente, si como condiciones de contorno suponemos que las temperaturas delos extremos son TA y TB, y tal que TB a TA (Figura 15.1),

T (x) % TB ! (TA . TB)x

l(15.7)

Siendo l la longitud del material que estamos utilizando, y x la variable que determina cadapunto del mismo a lo largo de la dirección en la que existe el flujo de energía, en nuestrocaso la dirección x. En un experimento real estas condiciones de estacionaridad se consi-guen poniendo en contacto cada extremo del material a un foco de temperatura (entendien-do por foco un sistema cuya temperatura no varía por mucha energía que ceda al entorno).Una conclusión fundamental que sacamos a partir de la forma de esta solución es que losflujos estacionarios no dependen de la conductividad térmica del material que estemos uti-lizando. De modo que si queremos determinar dicha conductividad deberemos llevar a ca-bo una experiencia no estacionaria, partiendo nuevamente de (15.5).

15.2. InstrumentaciónAlternativa 1: Generador de vapor. Recipiente en forma de cilindro de sección S para for-mar hielo. Vaso para recuperar el agua del deshielo. Vaso para el agua de condensación.Cronómetro. Caja con ventana que sirve de soporte para la experimentación. Piezas de dis-tintos materiales con forma de plancha. Balanza. Calibre.

Alternativa 2: Termopares y dispositivo para la lectura de la temperatura. Barras de distin-tos materiales. Foco caliente (recipiente con agua hirviendo). Foco frío (recipiente con hie-lo). Aislante térmico adaptable a las barras.

15.3. Método experimentalLos objetivos de las experiencias propuestas son, por un lado, la medida de la distribuciónde temperaturas que se produce en el caso de un flujo estacionario, y por otro, la determi-nación de la conductividad térmica, K, de distintos materiales.

1. La primera experiencia propuesta consiste en, empleando los elementos descritosen la alternativa experimental 2, Figura 15.3(b), determinar la distribución de tem-peraturas en el caso de tener una situación de flujo estacionario, (15.7).

Colocando el extremo de cada barra, una en contacto con el recipiente conagua hirviendo y el otro al recipiente con hielo, forrando la barra con algún aislan-te térmico para evitar la fuga de energía por las paredes de la misma, se medirá,haciendo uso de los termopares, la temperatura en diferentes puntos, fijados previa-mente, a lo largo de la barra. Los resultados lo representaremos en una gráfica enla que trazaremos también la curva teórica dada por (15.7).

2. Para llevar a cabo la determinación de la conductividad térmica de los diferentesmateriales emplearemos la alternativa experimental 1, Figura 15.3(a).

Se conectará el generador de vapor cuyo flujo, a aproximadamente unos 80 oC,se hará pasar por el interior de la caja, (este corresponderá al foco caliente), y don-de hay una ventana sobre la que se colocará la plancha de material del que quere-mos obtener su conductividad térmica. El foco frío lo mantendremos a 0 oC pormedio del contacto con el bloque cilíndrico de hielo.


FIGURA 15.3. (a) Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experienciacorrespondiente a la alternativa 1. (b) Para la alternativa 2.

A partir de la Ecuación (15.3) determinaremos de modo aproximado la conduc-tividad térmica mediante la relación

K %h

S(TA . TB)

BEtotal

Bt(15.8)

Donde h corresponde al grosor de la plancha de material que se esté analizando y Sla sección del foco frío.

El término BEtotal /Bt lo determinaremos a partir de la masa de agua fundidaque se recoge en un vaso durante un tiempo determinado Bt (sobre 10 minutos),teniendo en consideración que el calor latente del agua en su transición de fase só-lido-líquido es L % 3,33 105 J/kg. Entonces, BEtotal % mafL, siendo maf el aguafundida recogida.

El error que se comete en la determinación de la conductividad térmica por elprocedimiento descrito será

BK %JALK

LTA

BTAB2

! ALK

LTB

BTBB2

!ALK

Lmaf

BmafB2

!ALK

LhBhB

2

! ALK

LSBSB

2

Donde Bmaf es el error instrumental asociado a la medida con la balanza de la ma-sa de agua fundida, Bh el error instrumental en la medida del grosor de la planchadel material con el calibre, y BS el correspondiente a la medida de la sección delbloque cilíndrico de hielo.

Como existen muchos manuales en los que se pueden encontrar los valores dela conductividad térmica para los materiales típicos y en un amplio rango de tem-peraturas, con ellos podremos comprobar los resultados obtenidos en la experienciapropuesta.

Capítulo 15. Conductividad térmica 191

Capacidad de un condensador.Coeficiente de inducción mutua

16.1. Introducción16.1.1. Capacidad de un condensador16.1.2. Autoinducción

16.2. Instrumentación16.2.1. Condensador16.2.2. Autoinducción

16.3. Método experimental16.3.1. Condensador16.3.2. Autoinducción

16.1. Introducción

16.1.1. Capacidad de un condensadorEn condiciones electrostáticas sabemos que la carga depositada en un conductor se localizacompletamente en la superficie del mismo. Más aún, se establece que cualquier materialmetálico es un volumen equipotencial en dichas condiciones.

Una de las aplicaciones tecnológicas más importantes de los materiales metálicos es lade almacenamiento de energía eléctrica. Para ello hay que considerar asociaciones de dosconductores. Supongamos dos de ellos inicialmente de geometría arbitraria, como los quese muestran en la Figura 16.1, y en cuyas superficies quedan distribuidas cargas Q1 y Q2.El potencial entonces de cada uno de ellos, Vi, constante, ha de depender de su propia car-ga y de la del otro conductor, por un lado, y de la geometría y posición relativa de ambos,por otro. Entonces, podemos escribir para cada uno de ellos

V1 % g11Q1 ! g12Q2(16.1)

V2 % g21Q1 ! g22Q2

siendo gii factores asociados a la geometría del conductor i correspondiente, y gij depen-dientes de la relación geométrica entre ambos conductores.

FIGURA 16.1. Dos conductores de geometría arbitraria cargados uno con carga Q1

y otro con carga Q2.

En correspondencia con la aplicación de almacenamiento de energía eléctrica que he-mos mencionado es razonable tratar de definir una magnitud que nos dé idea de la capaci-dad de almacenaje de una asociación tal de dos conductores. En realidad sólo estaremosinteresados en el caso en el que ambos conductores posean cargas iguales en magnitud pe-ro de signo opuesto, es decir, Q1 % Q y Q2 % .Q, puesto que desde un punto de vistapráctico conectaremos cada uno de los conductores a un borne de una fuente de tensión.En estas condiciones el sistema de dos conductores así formado se denomina condensador.De modo que (16.1) nos quedaría

V1 % (g11 . g12)Q(16.2)

V2 % (g21 . g22)Q

y la diferencia de potencial entre ambos metales será

BV % V1 . V2 % (g11 ! g22 . g12 . g21) Q %Q

C(16.3)


donde C es un factor puramente geométrico que se denomina capacidad del condensador.Entonces podemos hacer

C %Q

BV(16.4)

Su unidad es el faradio.Si nos fijamos en (16.4), es inmediato ver que la capacidad nos determina la cantidad

de carga que podemos almacenar en el condensador para una diferencia de potencial deter-minada. De ahí la utilidad de este dispositivo como almacén de carga o, lo que es lo mis-mo, de energía electrostática. Esta última está dada por la relación

Uelectrostática %1

2QBV %

Q2

2C%

1

2C(BV)2 (16.5)

En el caso de que el condensador se constituya con dos placas metálicas planas y para-lelas, de superficie A cada una y separación entre ambas d, Figura 16.2(a), puede demos-trarse que la capacidad es

C0 %Ae0

d(16.6)

siendo e0 % 8,85 # 1012 C2/N m2 una constante conocida como permitividad del vacío. Yen el caso de que fuera un condensador cilíndrico, Figura 16.2(b),

C0 %2nLe0

ln Ab

aB(16.7)

FIGURA 16.2. (a) Condensador de placas plano paralelas. (b) Condensador cilíndrico.

Pero en realidad en las aplicaciones no se utilizan los condensadores en vacío, tal comolo acabamos de describir, es decir, sin nada en el espaciado entre las placas, sino que serellena con un material aislante (que habitualmente se denomina dieléctrico) con idea deconseguir una mayor capacidad para unas condiciones geométricas fijadas. La razón de queesto se consiga estriba en el comportamiento del dieléctrico en el seno de un campo eléc-trico. Consecuencia de este es la aparición de una polarización de los átomos componentes,esto es, una distorsión que implica el desplazamiento del centro de cargas positivas de cadaátomo con respecto al centro de cargas negativas (Figura 16.3(a)). Esto conlleva a su vezla aparición de un campo adicional, el campo dipolar, debido a los propios dipolos, y quese superpone al exterior (Figura 16.3(b)).

Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua 195

FIGURA 16.3. Comportamiento de un material dieléctrico en el interior de un condensador.(a) Polarización electrónica de todos y cada uno de sus átomos componentesdebido, por un lado, al campo eléctrico debido a las cargas depositadas en cadauna de las placas del condensador y, por otro, al campo dipolar generado por lospropios dipolos. (b) Superposición de los dos campos en el interior del condensador.

Esta polarización está caracterizada por una propiedad de cada material que se conocecomo permitividad del medio, e, siendo para todos los materiales siempre estrictamentemayor que la del vacío.

En un condensador, el efecto de la polarización es reducir la repulsión entre las cargasdepositadas en cada una de las placas del mismo (Figura 16.3(b)). O, lo que es lo mismo,la reducción de la diferencia de potencial efectiva entre ambas placas, lo que permiteaumentar la capacidad del condensador. Efectivamente, puede demostrarse que en caso derellenar un condensador plano paralelo con un dieléctrico de permitividad e la capacidadserá ahora

C %Aed

(16.8)

Por tanto, la relación entre un condensador plano paralelo con dieléctrico y en vacíovendrá dada por

C %ee0

C0 (16.9)

Y para un condensador cilíndrico que posee un dieléctrico de permitividad e rellenandoel espaciado entre sus placas

C %2nLe

ln Ab

aB(16.10)

16.1.2. AutoinducciónDebido a la resistencia eléctrica que posee cualquier material conductor, para mantener laintensidad de corriente en un circuito es necesario aplicar una diferencia de potencial deforma permanente, una fuerza electromotriz, f.e.m., e (no confundir su símbolo con la per-mitividad del medio), lo que supone administrar energía de forma constante a través de unafuente externa. Puesto que, como sabemos, una intensidad de corriente genera un campomagnético es razonable pensar que ha de existir una conexión entre ambos campos: eleléctrico y el magnético. Así, Faraday observó que aparecía en un circuito una fuerza elec-tromotriz cuando o se variaba en el tiempo un campo magnético externo, o la geometría


del circuito o la orientación relativa de ambos (o, por supuesto, variando todo esto simultá-neamente). A partir de este análisis estableció formalmente su ley de inducción dada por laexpresión

einducida % .

dJ

dt(16.11)

donde

J %IS

B dS (16.12)

es el flujo de campo magnético a través de la superficie definida por el propio circuito, S.(El signo menos de (16.11) implica que el sentido de la fuerza electromotriz inducida es talque tiende a oponerse al cambio que la provoca.)

En el apartado anterior, y en relación con el campo eléctrico, describíamos la importan-cia tecnológica de una asociación de conductores, lo que denominábamos condensador, co-mo dispositivo para almacenar carga (o energía electrostática), y veíamos en ese caso lautilidad de cara a su descripción física de definir una magnitud relacionada únicamente conla geometría de ambos conductores en aquél caso, el concepto de capacidad (C) (16.4). Pa-rece entonces razonable, en relación con el campo magnético, tratar de encontrar un trata-miento similar para el caso de un conjunto de circuitos en interacción (nos centraremosúnicamente en dos). Esto nos llevará a definir el concepto de inductancia, factor geométri-co que tiene en consideración no sólo las dimensiones de los circuitos sino también susorientaciones relativas.

Consideremos dos circuitos, C1 y C2, de una cierta geometría, separados uno de otro ycon una determinada orientación relativa, por los que circulan intensidades de corriente I1 eI2, Figura 16.4. I1 dará lugar a un campo magnético B1, y debido a este en C2 habrá unflujo magnético, J1r2. A partir de (16.12) puede deducirse que este puede expresarse como

J1r2 % M12 I1 (16.13)

FIGURA 16.4. Esquema de dos circuitos interaccionando.

donde el término entre paréntesis, M12, es un factor puramente geométrico denominadocoeficiente de inducción mutua de los circuitos 1 y 2 —depende únicamente de las dimen-siones y orientaciones relativas de ambos circuitos— (su unidad en el sistema internacionales el henrio (H % m2 kg C.2)). Del mismo modo podemos calcular el flujo de campo mag-nético sobre C1 debido a C2, pudiéndose establecer que M12 % M21.

Si la intensidad de corriente en C1 varía en el tiempo, como consecuencia la fuerzaelectromotriz inducida en C2 será

e1r2 % .

dJ1r2

dt% . M12

dI1dt

(16.14)

donde estamos suponiendo implícitamente que los circuitos se encuentran en reposo y quesu geometría no varía; lo que implica que M12 no tiene dependencia temporal.


Pero además hemos de considerar el hecho de que un circuito por el que circula unaintensidad de corriente lleva aparejado un flujo magnético sobre sí mismo, Jiri % LiiIi,donde el coeficiente geométrico de proporcionalidad Lii % Li se denomina autoinduccióndel circuito, y depende exclusivamente de su propia geometría. Entonces, si hay una varia-ción temporal de su intensidad de corriente se producirá una fuerza electromotriz (denomi-nada fuerza electromotriz autoinducida o contra fem como le llaman en algunos libros detexto), y estará dada por

eiri % .Li

dIidt

(16.15)

Si reagrupamos los factores que acabamos de discutir podemos llegar al conjunto deecuaciones que determina las fuerzas electromotrices inducidas en el conjunto de dos cir-cuitos

einducida sobre 1 % .

dJ1

dt% e1r1 ! e2r1 % .L1

dI1dt

. M21

dI2dt

(16.16)

einducida sobre 2 % .

dJ2

dt% e1r2 ! e2r2 % .M12

dI1dt

. L2

dI2dt


16.2.1. CondensadorFuente de alimentación (con rango entre 0 V y unos 500 V). Condensador de placas para-lelas de unos 20 cm de diámetro y separación variable. Amplificador de corriente. Mediosdieléctricos adaptables al condensador. Dos voltímetros. Conmutador. Calibre.

16.2.2. AutoinducciónGenerador de frecuencias. Juego de dos bobinas de distinto diámetro que permitan introdu-cir una en otra (han de conocerse el número de espiras de cada una de ellas, su longitud,sección y radio, tratando, eso sí, de que haya gran diferencia entre el número de espiras ysus secciones). Dos polímetros.


16.3.1. CondensadorEn la experiencia que se propone, mediremos la carga adquirida por el condensador condiferentes tensiones proporcionadas por la fuente.

En la Figura 16.5 se representa un esquema del circuito que se requiere montar.

1. Inicialmente conectaremos cada una de las salidas de la fuente de alimentación acada una de las placas. La separación entre placas se determina con un calibre.Una vez fijada esta elegimos una tensión de trabajo BVfuente con el conmutador detal manera que la fuente quede conectada al condensador. Tras unos cinco segun-dos se gira el conmutador para que el que quede conectado al condensador sea el


FIGURA 16.5. Montaje del circuito para la experiencia de la capacidad.

amplificador y de ese modo pase la carga del condensador a este último. Haciendola lectura del voltímetro conectado al amplificador determinamos de forma indirec-ta la carga a través de la relación

Q % f eA BVamplificador(A s) (16.17)

Donde BVamplificador es la lectura del voltímetro y f eA representa el factor de escalaseleccionado del amplificador.

El proceso descrito ha de repetirse para diferentes separaciones, d, entre lasplacas del condensador. Determínese para cada una de las medidas el valor de lacapacidad a través de la relación

C0 %Q

BVfuente

(16.18)

Hacer una gráfica de 1/d vs C y verificar si el conjunto de puntos experimenta-les sigue una recta. Realizando un ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I), co-nociendo la superficie A de cada placa, podemos determinar, a partir de la pendien-te de la gráfica anterior, la permitividad del aire.

2. A continuación elegiremos una distancia fija d entre las armaduras (procurandoque coincida con el grueso de los materiales dieléctricos que emplearemos en laexperiencia 3. Ahora repetiremos el proceso operativo descrito en la experienciaanterior pero ahora para diferentes tensiones de la fuente de alimentación. Si repre-sentamos los resultados BVfuente vs Q, y ajustamos los puntos experimentales pormínimos cuadrados (Capítulo I) de la pendiente obtendremos directamente la capa-cidad del condensador, C0.

3. La última experiencia propuesta es la determinación de la permitividad de diferen-tes materiales dieléctricos. Fijando el material correspondiente entre las placas delcondensador realizaremos diferentes medidas como las que se llevaron a cabo en laexperiencia 2 y, determinando del mismo modo la nueva capacidad del condensa-dor, C. De ese modo, a partir de la Ecuación (16.9) podemos calcular la permitivi-dad del medio

e %C

C0e0 (16.19)

Donde C0 es la capacidad del condensador en vacío para la misma distancia d entrelas placas que la establecida cuando se introduce el dieléctrico.


16.3.2. Autoinducción

En la Figura 16.6 se presenta un esquema del montaje experimental.

FIGURA 16.6. Montaje del circuito para la experiencia de autoinducción.

El campo magnético de una bobina es uniforme y paralelo al eje de la propia bobina

B % k0Inu (16.20)

Donde u es el vector unitario que determina la dirección paralela al eje de la espira, I laintensidad de corriente que circula por ella, n la densidad lineal de espiras n % N/l, siendoN el número total de espiras y l la longitud de la bobina, y k0 % 4n # 10.7 m kg/C2 lapermeabilidad del vacío.

Si a la bobina se le aplica una tensión alterna V(t) % V0 sen (ut) mediante el generadorde frecuencias, donde u es la frecuencia angular de la señal y V0 su amplitud (Capítulo18), la intensidad de corriente que aparece en la bobina es

I(t) % I0 sen (ut ! h) (16.21)

Donde I0 es su amplitud y h la fase (Capítulo 18). El campo magnético que genera enton-ces la bobina vendrá dado sustituyendo (16.21) en (16.20). El valor de I0 podemos medirlo

con un polímetro, que nos proporcionará su valor eficaz, es decir, Ieficaz % I0/∂2.Insertaremos ahora la bobina de menor radio (que llamaremos bobina interior) en la de

mayor (bobina externa). Esta última se conectará al generador de funciones, Figura 16.6.Así pues, teniendo en cuenta la Ecuación (16.16), sabiendo que Jbin % NbinSbinBbex

(donde Nbin es el número total de espiras de la bobina interior, Sbin su sección y Bbex elcampo generado por la bobina externa), llegamos a la expresión

einducida en bobina interior % .LdIbin

dt. M

dIbex

dt(16.22)


Donde

L % k0

N2bin

lbin

nr2bin (16.23)

y

M % k0

NbinNext

lext

nr2bin (16.24)

Siendo Next el número total de espiras de la bobina exterior, lbin y lext las longitudes de ca-da una de las bobinas y rbin y rext los radios de sus secciones.

La experiencia que se propone en esta segunda parte de este capítulo es la determina-ción de la fuerza electromotriz inducida en la bobina interna cuando se aplica una señalalterna en la bobina externa.

1. Escoger un valor de la frecuencia en el generador de señales. Variar la amplitud dela intensidad de corriente en la bobina externa mediante el cursor del generador(Capítulo 18), tomando simultáneamente entre diez y quince medidas de los volta-jes eficaces producidos en la bobina interna. Para ello usar los polímetros de losque se dispone en la experiencia.

Teniendo en consideración las características de las bobinas escogidas podemosasumir que L @ M, por lo que (16.22) queda

einducida en bobina interior ] .MdIbex

dt(16.25)

2. Determinar la pendiente de la gráfica de Veficaz frente a Ieficaz realizando el ajustepor mínimos cuadrados (Capítulo I), a partir de los datos obtenidos en el apartadoanterior. De ella determinar el coeficiente de inducción mutua. ¿Es acorde con elvalor teórico predicho por la Expresión (16.24) y los datos del fabricante de las bo-binas?

3. Fijando ahora una amplitud de la intensidad eficaz que circula por la bobina exte-rior, variar la frecuencia en un amplio rango, determinado por el generador de se-ñales, tomando simultáneamente medidas de los voltajes eficaces obtenidos en labobina interior. Representar gráficamente Veficaz frente a u. A partir del ajuste pormínimos cuadrados (Capítulo I), determinar la pendiente y de ella obtener nueva-mente el coeficiente de inducción mutua. ¿Coincide con el valor obtenido en elapartado 2?


Corriente continua:leyes de Ohm y de Kirchhoff

17.1. Introducción17.1.1. Ley de Ohm17.1.2. Circuitos17.1.3. Leyes de Kirchhoff


17.3. Método experimental17.3.1. Medida de una resistencia17.3.2. Resistencias en serie17.3.3. Resistencias en paralelo17.3.4. Leyes de Kirchhoff17.3.5. Redes serie-paralelo

17.4. Resultados17.4.1. Medida de una resistencia17.4.2. Resistencias en serie17.4.3. Resistencias en paralelo17.4.4. Leyes de Kirchhoff17.4.5. Redes serie-paralelo

17.5. Cuestiones

La corriente continua fue descubierta por el físico italiano Alessandro Volta (1745-1827) en1786, impulsando su uso los trabajos de Thomas Edison (1847-1931) a finales del siglo XIX.Hoy es profusamente usada para suministrar la energía a los aparatos portátiles a través depilas y baterías, desde los pequeños teléfonos móviles hasta los automóviles y los sumergi-bles no nucleares. Este experimento pretende estudiar el comportamiento de circuitos simplespor los que pasa una corriente continua.

17.1. Introducción

Cuando una carga se mueve con movimiento uniforme a través de un conductor se produceuna corriente eléctrica continua. Los portadores de carga pueden ser cualquiera, bien partí-culas individuales, como electrones o protones, bien cuerpos de más tamaño, como iones.Un conductor eléctrico es un material en el que estos portadores de carga se mueven libre-mente bajo la acción de un campo eléctrico. Aquí se incluye cualquier tipo de conductor:los convencionales hilos metálicos, los semiconductores, gases ionizados, etcétera. La in-tensidad de corriente eléctrica (I) se define como la cantidad de carga (q) que atraviesa unasuperficie dada en la unidad de tiempo, y se expresa de la forma:

I %dq

dt(17.1)

Supongamos que tenemos un conductor con el mismo tipo de portadores, todos elloscon la misma carga (q), con una densidad n, moviéndose todos a la misma velocidad v enuna dirección del espacio. El espacio recorrido por una carga en un tiempo dt será vdt. Lacantidad de carga (dq) que atraviesa un área (BA) en un intervalo de tiempo (dt) será:

dq % nqv dtBA (17.2)

sustituyendo (17.2) en (17.1), se obtiene la corriente eléctrica, que será:

I % nqvBA (17.3)

A la corriente eléctrica por unidad de área se le denomina densidad de corriente (J) yse expresa de la forma:

J %I

BA% nqv (17.4)

Si existen N tipos de portadores de carga, cada uno contribuirá a la corriente eléctricade la forma indicada en la Expresión (17.3), por tanto tenemos:

I %

N

;i%1

niqiviBA (17.5)

Siendo la densidad de corriente:

J %

N

;i%1

niqivi (17.6)

o, en forma vectorial:

J %

N

;i%1

niqi v i (17.7)

Pudiendo escribirse la expresión de la intensidad de corriente eléctrica de la forma

I % JBA(17.8)

I % J enBA

siendo J en el producto escalar de la densidad de corriente por el vector unitario perpen-dicular a la superficie BA.


17.1.1. Ley de OhmEl movimiento de los portadores de carga en los materiales se puede producir de muchasformas, tanto naturales como artificiales, de esta última manera la que nos interesa aquí esla que produce un campo eléctrico (E). Experimentalmente se comprobó que para unmetal, la relación entre corriente y campo está determinada por la ley de Ohm (Georg Si-mon Ohm (1787-1854)) escrita de la forma:

J % pE (17.9)

siendo la constante de proporcionalidad (p) la conductividad del material, que depende dela naturaleza de este. Para conductores será alta y para aislantes baja. La magnitud inversade la conductividad es la resistividad (o), relacionando densidad de corriente y campo eléc-trico de la forma:

E % oJ (17.10)

siendo el campo eléctrico directamente proporcional a la densidad de corriente, esto sólo escorrecto para cierto tipo de materiales —muy abundantes en la naturaleza—, que se deno-minan medios lineales u ohmicos, a los cuales aplicaremos todo lo que sigue.

Consideremos un hilo conductor de longitud l y sección A, en cuyos extremos aplica-mos una diferencia de potencial V. La densidad de corriente y el campo eléctrico son cons-tantes a lo largo de todo el hilo, por tanto la diferencia de potencial debe ser V % lE y laintensidad de corriente, según (17.8) I % JA. La Ecuación (17.10) se puede expresar de laforma:

V

l% o

I

A(17.11)

V %ol

AI

es decir, la diferencia de potencial es proporcional a la intensidad de corriente. La relación(17.11) se puede escribir de la forma:

V % RI (17.12)

donde R es la resistencia del hilo, R % ol/A. A la Expresión (17.12) se le conoce como laley de Ohm, aunque la Ecuación (17.9) sea la estrictamente correcta.

17.1.2. CircuitosUn circuito se forma cuando se conectan los dos terminales de un hilo conductor a unafuente de alimentación de corriente continua, así la carga circula de un extremo al otro,siempre en la misma dirección. A lo largo del circuito se intercalan una serie de compo-nentes cada uno de los cuales tiene una cierta resistencia, con lo cual tenemos una red deresistencias (Figura 17.1). Por el circuito circula la misma corriente (I) y entre sus extre-mos (a y e) hay una diferencia de potencial (V). Si las resistencias están en serie como R1

y R2 (Figura 17.1) existe una resistencia equivalente (Res) que se obtiene aplicando la leyde Ohm (17.12) a cada elemento del circuito, de la forma:

Vab % R1I

Vbc % R2I(17.13)

Vac % Vab ! Vbc % R1I ! R2I % (R1 ! R2)I % ResI

Res % R1 ! R2

Capítulo 17. Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff 205

FIGURA 17.1. Red de resistencias.

luego la resistencia equivalente de un número (N) de resistencias colocadas en serie es:

Res %

N

;i%1

Ri (17.14)

Si las resistencias están colocadas en paralelo, como las R5 y R6 de la Figura 17.1, laresistencia equivalente (Rep) se obtiene, también aplicando la ley de Ohm, de la forma:

Vde % R5I5Vde % R6I6

(17.15)Vde

Rep

% I5 ! I6 %Vde

R5!

Vde

R6% Vde A

1

R5!

1

R6B1

Rep

%1

R5!

1

R6

luego la resistencia equivalente de un número (N) de resistencias colocadas en paralelo es:

1

Rep

%

N

;i%1

1

Ri

(17.16)

La resistencia equivalente del circuito de la Figura 17.1 se obtiene como se muestra enla Figura 17.2.

17.1.3. Leyes de KirchhoffNo todos los circuitos de resistencias se pueden reducir como se ha explicado en el aparta-do anterior, por ejemplo el simple circuito puente de la Figura 17.3. Para resolver estosproblemas hay que recurrir a las reglas o leyes de Kirchhoff (Gustav Robert Kirchhoff(1824-1887)), que se enuncian de la forma siguiente:

1.a La suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nodo(puntos a, b, c y d de la Figura 17.3) es cero.

2.a La suma algebraica de las diferencias de potencial en una malla (triángulos A y Bde la Figura 17.3) es cero.

que se expresan de la forma:

1.a ley (nodo)N

;i%1

Ii % 0 (17.17)

2.a ley (malla)N

;i%1

Vi % 0 (17.18)


FIGURA 17.2. Obtención de la resistencia equivalente de una red de resistencias.

FIGURA 17.3. Circuito puente.


Si a la Figura 17.3 le conectamos una fuente de alimentación (V) nos quedará la Figu-ra 17.4, que tendrá 4 nudos y 3 mallas, siendo las ecuaciones que se pueden utilizar para susolución:

nodo a I1 ! I4 . I6 % 0

nodo b I2 ! I5 . I1 % 0(17.19)

nodo c I6 . I2 . I3 % 0

nodo d I3 . I4 . I5 % 0

malla A R4I4 . R1I1 . R5I5 % 0

malla B R3I3 ! R5I5 . R2I2 % 0 (17.20)

malla C .V . R3I3 . R4I4 . R6I6 % 0

en las que se ha tenido en cuenta que las intensidades son positivas si su sentido va haciael nodo y en las mallas sigue el sentido de las flechas indicadas en las circunferencias. Las7 Ecuaciones (17.19) y (17.20) nos dan las relaciones entre las 13 incógnitas del circuito,por tanto hay que conocer, al menos 6 datos, que normalmente son el voltaje suministradopor la pila y las resistencias que se montan en el circuito.

FIGURA 17.4. Circuito puente alimentado.


Se necesita un adaptador para suministrar corriente continua. Un número de multímetros(aparatos que pueden medir tanto voltios como amperios e incluso ohmios) dependiendo delos circuitos que se quieran montar, tres como mínimo. Un reostato o resistencia variable.Una serie de resistencias que se pueden montar fácilmente en una tablilla con unos bornespara su conexión y el número de cables con bananas necesario (Figura 17.5).


FIGURA 17.5. Foto de los aparatos para realizar la práctica.


17.3.1. Medida de una resistenciaSe monta el circuito de la Figura 17.6, donde V y A son un voltímetro y un amperímetrorespectivamente y el reostado sirve para variar la intensidad de corriente que pasa por laresistencia R. Se realizan N medidas (al menos 10) de la diferencia de potencial (V) y de laintensidad (I) para diferentes posiciones del reostato, procurando que cubran el mayor ran-go de medidas. Se construye una tabla con estos resultados, que se representarán en unagráfica (Figura 17.7) cuya pendiente será el valor de la resistencia R (ley de Ohm (17.12)),que se obtiene por ajuste de mínimos cuadrados (Capítulo I) de la forma:

R %

N

;i%1

ViIi .N

;i%1

Vi

N

;i%1

Ii

NAN

;i%1

I2iB.AN

;i%1

IiB2 (17.21)

y su error

BR %JN

N AN

;i%1

I2iB.AN

;i%1

IiB2 BV (17.22)

siendo el error en el voltaje:

BV %JN

;i%1

(Vi . RIi)2

N . 2(17.23)

Se puede comprobar la bondad del resultado comparando el valor obtenido de la resis-tencia con el valor nominal de esta que viene indicado por el fabricante, bien directamenteo utilizando un código de colores.


FIGURA 17.6. Circuito para medir el valor de una resistencia.

FIGURA 17.7. Representación de los datos obtenidos en la medida de una resistencia,la pendiente de la recta de ajuste nos da el valor de la misma.

17.3.2. Resistencias en serie

Se monta el circuito de la Figura 17.8 y se repite el procedimiento anterior (Apartado17.3.1) para cada una de las resistencias (R1, R2 y R3), obteniendo el valor de éstas. Segui-damente con un valor dado de la intensidad (medida en el amperímetro), obtener las dife-rencias de potencial entre los bornes ab y ac. Repetir el experimento para N valores (almenos 5) distintos de la intensidad del circuito (I), variando la resistencia del reostato.Construir una tabla con los valores obtenidos, a la que se le debe añadir los valores calcu-lados con la Expresión (17.14), con la que las diferencias de potencial serán:

Vab % (R1 ! R2)I(17.24)

Vac % (R1 ! R2 ! R3)I

comprobar que los valores experimentales y teóricos coinciden, dentro del margen de errorde los voltajes, que, para cualquiera de las dos Expresiones (17.24), es:

BV %J;ALV

LRi

BRiB2

! ALV

LIBIB

2

% ∂I2 ; (BRi)2! (; Ri)

2(BI)2 (17.25)

siendo el error en la intensidad (BI) la precisión del amperímetro (Capítulo I).


Se pueden montar sólo dos resistencias con lo que se simplifica el experimento y sereduce el coste.

FIGURA 17.8. Circuito de resistencias en serie.

17.3.3. Resistencias en paralelo

Utilizando las mismas resistencias, ya conocidas, del apartado anterior (3.2) montar el cir-cuito de la Figura 17.9. Medir las intensidades de corriente (I1, I2 e I3) y el voltaje (V) paraN valores (al menos 5) de la intensidad del circuito (I). Construir una tabla añadiendo losvalores calculados con la Expresión (17.15), de la forma:

I1 %V

R1; I2 %

V

R2; I3 %

V

R3; I % VA

1

R1!

1

R2!

1

R3B (17.26)

comprobar que los valores experimentales y teóricos coinciden, dentro del margen de errorde las intensidades, que, para cualquiera de las Expresiones (17.26), es:

BI %J;ALI

LRi

BRiB2

!ALI

LVBVB

2

%JV2 ; ABRi

R2i B

2

!A;1

RiB2

(BV)2 (17.27)

siendo el error en el voltage (BV) la precisión del voltímetro (Capítulo I).

FIGURA 17.9. Circuito de resistencias en paralelo.

Se pueden montar sólo dos resistencias con lo que se simplifica el experimento y sereduce el coste.


17.3.4. Leyes de KirchhoffUtilizando las mismas resistencias, ya conocidas, del Apartado anterior 17.3.2, montar elcircuito de la Figura 17.10. Aplicando las leyes de Kirchhoff [Ecuaciones (17.19) y(17.20)] se obtiene:

I1 % I2 ! I3

.V % I1R1 ! I2R2 (17.28)

I2R2 ! I3R3 % 0

Que nos permite calcular las intensidades conociendo el voltaje y las resistencias. Compro-bar que estos valores se corresponden con los medidos con los tres amperímetros.

FIGURA 17.10. Circuito con dos mallas de resistencias y alimentación.

17.3.5. Redes serie-paraleloSe puede realizar un experimento análogo combinado resistencias en serie y en paralelocomo el que muestra en la Figura 17.11.

FIGURA 17.11. Red de resistencias serie-paralelo.

17.4. Resultados


17.4.1. Medida de una resistenciaSe construye una tabla con las N medidas de la diferencia de potencial (V) e intensidad (I)realizadas, que se representan en una gráfica como la de la Figura 17.7. Se obtiene con lasExpresiones (17.21), (17.22) y (17.23) el valor de la resistencia y su error, comprobando laexactitud de este valor con el dado por el fabricante.


17.4.2. Resistencias en serieSe construye una tabla con las N medidas de las diferencias de potencial (Vab y Vac) e in-tensidad (I) realizadas y las calculadas con las Expresiones (17.24) afectadas de su error,dado en la Ecuación (17.25). Comprobar que las diferencias entre los valores medidos ylos calculados están dentro de los márgenes de error.

17.4.3. Resistencias en paraleloSe construye una tabla con las N medidas de las intensidades del circuito (I), las intensida-des de corriente (I1, I2 e I3) y el voltaje (V) realizadas y las calculadas con las Expresiones(17.26) afectadas de su error dado en la Ecuación (17.27). Comprobar que las diferenciasentre los valores medidos y los calculados están dentro de los márgenes de error.

17.4.4. Leyes de KirchhoffResolver el circuito de la Figura 17.10 con las Ecuaciones (17.28) para varias combinacio-nes de datos y comprobar que los resultados coinciden con los valores medidos.

17.4.5. Redes serie-paraleloEstablecer las ecuaciones para resolver el circuito con las leyes de Kirchhoff, o bien apli-cando la reducción esquematizada en la Figura 17.2, resolviendo primero el circuito en pa-ralelo y luego el circuito en serie.

17.5. Cuestiones

1. En el resultado 17.4.1. ¿cuál será el valor más fiable el obtenido o el dado por el fabri-cante?

2. Comprobar que las Expresiones (17.28) se corresponden con las deducidas de la ley deOhm (17.12) reduciendo el circuito serie-paralelo de la Figura 17.10 como se hizo enla Figura 17.2.


Corriente alterna:osciloscopio

18.1. Introducción18.1.1. Circuito RLC en serie18.1.2. Circuito RL18.1.3. Circuito RC

18.2. Instrumentación18.2.1. Osciloscopio18.2.2. Generador de frecuencias18.2.3. Resistencia, condensador y autoinducción

18.3. Método experimental18.3.1. Manejo del osciloscopio18.3.2. Circuito RL18.3.3. Circuito RC18.3.4. Circuito RLC18.3.5. Resonancia

18.4. Resultados18.4.1. Manejo del osciloscopio18.4.2. Circuitos y resonancia

18.5. Cuestiones

El físico e ingeniero serbio Nicola Tesla (1856-1943) en 1982 fabricó el primer motor de co-rriente alterna. George Westinghouse (1846-1914) ideó la primera red eléctrica a gran escalaque se mostró mucho mas eficaz que la de Thomas Edison (1847-1931) para la corriente con-tinua, pues con la corriente alterna se pueden obtener voltajes más elevados, lo que permitesu transporte a grandes distancias. En esta práctica se estudiará la forma de medir la corrien-te alterna con un osciloscopio y se aplicará a circuitos serie compuestos por resistencia,autoinducción y condensador.

18.1. Introducción

Al contrario que en la corriente continua (Capítulo 17), en la corriente alterna el voltaje yla intensidad varían con el tiempo de forma sinusoidal. De tal manera que el voltaje y laintensidad instantáneas (V(t), I(t)) se pueden expresar de la forma:

V(t) % V0 cos ut(18.1)

I(t) % I0 cos (ut . h)

donde V0 e I0 son el voltaje y la intensidad máximas (amplitudes), u la frecuencia angulary h el desfase entre el voltaje y la intensidad (Figura 18.1). Es decir, la corriente alterna secomporta como un oscilador armónico forzado en estado estacionario (Capítulo 5), dondeel rozamiento está determinado por la resistencia y la fuerza exterior es el generador decorriente, que equivale a la pila de los circuitos de corriente continua (Capítulo 18).

FIGURA 18.1. Tensión e intensidad de una corriente alterna.

18.1.1. Circuito RLC en serie

En un circuito de corriente alterna (Figura 18.2) pueden utilizarse tres tipos de componen-tes: resistencia (R), autoinducción (L) y condensador (C). La resistencia ya se definió en elCapítulo 18 y la autoinducción y el condensador en el Capítulo 16. Análogamente a lo es-tudiado para las oscilaciones armónicas forzadas en el Apartado 5.1.3 del Capítulo 5, laecuación del movimiento de las cargas (q) en el circuito de la Figura 18.2 será:

Ld2q

dt2! R

dq

dt!

1

Cq % V0 cos ut (18.2)

FIGURA 18.2. Circuito RLC de corriente alterna.


que es una ecuación diferencial de segundo orden, en la que introduciendo la notación ex-ponencial se puede escribir de la forma:

Ld2q

dt2! R

dq

dt!

1

Cq % V0 eiut (18.3)

donde cos ut es la parte real de eiut. Pero lo que se mide en los circuitos eléctricos no es lacarga sino la intensidad (I), que, como sabemos [Expresión (17.1) del Capítulo 17], se ex-presa en función de la carga por:

I(t) %dq

dt(18.4)

Derivando respecto del tiempo la Expresión (18.3) y sustituyendo la (18.4), nos queda:

Ld2I

dt2! R

dI

dt!

1

CI % iuV0 eiut (18.5)

Como se hizo en el Capítulo 5 utilizaremos una solución para el régimen estacionarioanáloga al término independiente de la Ecuación (18.5) de la forma:

I(t) % I0 eiut (18.6)

siendo I0 la amplitud de la intensidad, que puede ser compleja. Sustituyendo en la Expre-sión (18.5) nos da:

A.Lu2! iRu !

1

CB I0 eiut% iuV0 eiut (18.7)

haciendo operaciones queda:

CR ! iAuL .

1

uCBD I0 % V0 (18.8)

Esta ecuación tiene la forma de la ley de Ohm V % RI [Expresión (17.12) del Capítu-lo 17], sustituyendo la resistencia (R) por una nueva magnitud que se denomina impedan-cia (Z), de la forma:

V0 % ZI0 (18.9)

viniendo dada la impedancia (Z) por:

Z % R ! i AuL .

1

uCB% R ! i (XL ! XC) % �Z� eih (18.10)

que está formada por una parte real, que es la resistencia (R), y una parte imaginaria que sedenomina reactancia (X), a su vez compuesta por dos términos, la reactancia inductiva(XL % uL) y la reactancia capacitiva (XC %.1/uC). El hecho de que la impedancia seacompleja quiere decir que la fuerza electromotriz (V(t)) y la intensidad (I(t)) no siempreestarán en fase. El módulo de la impedancia será:

�Z� %JR2! AuL .

1

uCB2

(18.11)

Capítulo 18. Corriente alterna: osciloscopio 217

que depende de la frecuencia angular de la tensión suministrada por el generador. Su argu-mento será:

h % arctg AuL .

1

uC

R B (18.12)

lo que indica que la intensidad se puede expresar de la forma dada en (18.1), siendo, según(18.9):

I0 %V0

�Z�(18.13)

de tal forma que la intensidad será máxima cuando el módulo de la impedancia sea míni-mo, es decir, cuando:

uL .

1

uC% 0 ú u %

1

∂LC(18.14)

y el desfase h % 0, produciéndose una resonancia en intensidad (Capítulo 5).De las Expresiones (18.11) y (18.13), se puede deducir:

V0 %JI20R2!AI0uL .

I0uCB

2

(18.15)V0 % ∂V2

0R ! (V0L . V0C)2

es decir, el módulo del voltaje aplicado (V0) por el generador se relaciona con los voltajesen los bornes de los componentes (V0R, V0L y V0C) por la Expresión anterior (18.15). En elcaso de la resonancia, V0 es igual a V0R, pues V0L . V0C es igual a cero.

18.1.2. Circuito RLSi eliminamos el condensador en el circuito de la Figura 18.2 nos queda lo que se denomi-na circuito RL, que por un procedimiento análogo al del Apartado anterior 18.1.1 se obtie-nen las expresiones fundamentales siguientes:

�Z� % ∂R2! (uL)2 (18.16)

h % arctg AuL

R B (18.17)

V0 % ∂V20R ! V2

0L (18.18)

18.1.3. Circuito RCEliminando ahora la autoinducción en el circutio RLC se obtiene el circuito RC:

�Z� %JR2!A

1

uCB2

(18.19)

h % arctg A1

RuCB (18.20)

V0 % ∂V20R ! V2

0C (18.21)



18.2.1. OsciloscopioEl osciloscopio de rayos catódicos es uno de los instrumentos más útiles en un laboratorioya que permite no sólo medir las diferencias de potencial (tensiones) de las señales que sequieran analizar sino, también, visualizar sus dependencias temporales, siempre que estastengan periodos comprendidos en el intervalo de tiempo entre 1 y hasta incluso 10.9 s enalgunos casos. De modo que cualquier señal del tipo que sea (temperatura, intensidad lumi-nosa, presión de una onda sonora, etc), siempre que sea susceptible de convertirse en ten-siones eléctricas, puede analizarse en el osciloscopio.

El osciloscopio está constituido por un tubo de rayos catódicos formado por un cañónde electrones, que emite, acelera y focaliza al haz de electrones, un sistema de desviaciónde dicho haz y una pantalla fosforescente. El sistema de desviación está formado por dospares de placas, denominadas vertical y horizontal (Figura 18.3), cada uno de los cualespuede conectarse de modo independiente a diferentes tensiones o diferencias de potencial.Estas generan sendos campos eléctricos, mutuamente perpendiculares, que desvían el hazproporcionalmente a su magnitud. Habitualmente las placas horizontales se conectan a loque se conoce como barrido interno del osciloscopio, esto es, una señal variable en el tiem-po que provoca la desviación horizontal controlada del haz de electrones. Es en las placasverticales por las que se introduce la señal a analizar. Variando entonces el barrido conse-guimos visualizar la señal conectada a la placas verticales.

FIGURA 18.3. Esquema elemental de un osciloscopio.

18.2.1.1. Descripción

La mayoría de los osciloscopios actuales son duales, es decir, pueden analizar dos señalessimultáneamente. La Figura 18.4 muestra un osciloscopio estándar de los que se suelenusar en un laboratorio de prácticas, cuyos controles principales se pueden describir de laforma siguiente:

1. La pantalla (4) representa las curvas V(t) de las señales que se han introducido enel osciloscopio por los conectores (5), por tanto el eje vertical son voltios y el hori-zontal tiempos.

2. Zona de encendido (recuadro superior en la Figura 18.4), en la que se encuentran:el interruptor (1); el botón de luminosidad (2) y el de enfoque (3) de la pantalla (4).

3. Controles verticales (recuadros inferiores izquierdos en la Figura 18.4), que sirvenpara variar la escala de voltaje de la pantalla, el de la izquierda para el canal 1 y el


de la derecha para el del 2; son totalmente independientes e idénticos. La pantallapuede mostrar indistintamente uno u otro o los dos a la vez. La señal se introduceen el osciloscopio por el conector (5). El botón rojo (6) debe estar en la posiciónCAL (calibrado) para que las indicaciones de voltios/división de la escala sean co-rrectas, estos se varían con el botón (7), indicando el factor de escala, que es elvalor en voltios de cada una de las divisiones grandes de la escala vertical de lapantalla. Con el botón (8) se puede desplazar verticalmente la curva V(t) que apa-rece en la pantalla.

4. Controles horizontales (recuadro inferior derecho en la Figura 18.4), que sirven paramodificar la escala de tiempos simultáneamente en los dos canales. El botón (12)cumple la misma misión que en el control vertical, mientras que el botón (11) se-lecciona el valor en segundos de una división grande de la escala horizontal de lapantalla, denominado factor de escala. El botón (14) desplaza horizontalmente lascurvas V(t) de los dos canales simultáneamente.

5. Otra zona importante es la de disparo que se controla con los botones (9) y (10). Eldisparo es el punto en el que el haz de electrones comienza a rastrear la pantalla encada ciclo, si no hay un buen disparo, la curvas de la pantalla o no se ven o apare-cen inestables. Para conseguir un disparo correcto, con el botón (9) se selecciona elcanal que queremos que realice el disparo —si sólo se usa uno debe ser ese— ygiramos el botón (10) hasta que se encienda el «led» situado a su izquierda.

FIGURA 18.4. Panel frontal de un osciloscopio analógico. Los botones son los siguientes:1) encendido; 2) luminosidad; 3) enfoque; 4) pantalla; 5) conector del canal 1;6) calibrado de voltios/división del canal 1; 7) selección del factor de escala(voltios/división) del canal 2; 8) movimiento vertical; 9) selección de disparo;10) ajuste fino de disparo; 11) selección del factor de escala (tiempo/división);12) calibrado de tiempo/división; 13) conector de disparo externo;14) movimiento horizontal.

Todos estos controles sólo sirven para facilitar la medida, nunca modifican la señal deentrada, de tal forma que en cualquier posición de estos, el resultado debe ser el mismopara la misma señal de entrada, pues el osciloscopio es solamente un aparato de medida.

18.2.1.2. Método de medidaLas dos medidas básicas que se realizan con el osciloscopio son la amplitud y el periodode la oscilación (Figura 18.5). Una vez que se ha obtenido una curva en la pantalla, hayque actuar con los controles de voltios/división (7, Figura 18.4) y segundos/división (11,Figura 18.4) para que se vean las crestas de la sinusoide y, al menos, un periodo (curva


clara en la Figura 18.6). A continuación se desplaza usando los botones de movimiento (8y 14, Figura 18.4) hasta que una cresta coincida con el eje vertical central de la pantalla ysu adyacente con una de las rayas horizontales, midiendo la distancia de esta a la primeracresta (curva blanca en la Figura 18.6), que, multiplicados por el factor de escala, serán losvoltios pico a pico (Vpp), siendo, la mitad la amplitud de la oscilación (V0). Para medir elperiodo se actúa de forma análoga, pero utilizando los controles del recuadro inferior dere-cho de la Figura 18.4 para colocar la curva en la posición que aparece en la Figura 18.7(curva blanca). Se miden la distancia sobre el eje central horizontal y se multiplica por elfactor de escala, en cualquiera de las dos opciones que se muestran en la Figura 18.7.

FIGURA 18.5. Medidas directas con un osciloscopio.

FIGURA 18.6. Forma de medir los voltios pico a pico.

FIGURA 18.7. Forma de medir el periodo.


18.2.2. Generador de frecuenciasTambién llamado frecuencímetro (Figura 18.8), suministra una señal sinusoidal de frecuen-cia y amplitud variable mediante unos botones de control que permiten variar esos valores.

FIGURA 18.8. Generadores de frecuencias.

18.2.3. Resistencia, condensador y autoinducciónPara montar los circuitos se necesita una resistencia, un condensador y una autoinducción,además de cables con bananas (Figura 18.9).

FIGURA 18.9. Componentes para montar los circuitos.


18.3.1. Manejo del osciloscopioPara aprender a manejar el osciloscopio se pueden realizar dos o tres medidas de las seña-les producidas por el generador de frecuencias. Se conecta la salida del generador al canal


1 del osciloscopio, teniendo en cuenta la correspondencia entre señal y masa indicadas enlos dos aparatos y se mide el voltaje pico a pico (Vpp) y el periodo (T) como se ha descritoen el Apartado 18.2.1.2. La primera medida se puede hacer con el generador dando unaseñal de frecuencia igual a 100 Hz y la amplitud a un tercio del botón de control de ampli-tudes. La segunda a 1000 Hz y el botón de amplitudes a dos tercios. Si se desea una terce-ra, se puede realizar a 10 000 Hz y el botón de amplitudes al máximo. En todos los casosse construye una tabla con los resultados de voltaje: factor de escala (voltios/división); nú-mero de divisiones pico a pico, Vpp (producto de los dos datos anteriores) y amplitud V0

(Vpp/2); y resultados de periodo: factor de escala (tiempo/división); número de divisionesdel periodo, T (producto de los dos datos anteriores) y frecuencia angular u (2n/T).

18.3.2. Circuito RLSe pretende estudiar la respuesta del circuito bajo una tensión de V0 % 2 V a distintas fre-cuencias. Se realizarán los pasos siguientes:

1. Medir en el osciloscopio la salida del generador Vpp y T. Comprobar que Vpp esigual a 4 V, si no es así variar la amplitud del generador con el botón de control deamplitud.

2. Montar el circuito de la Figura 18.10(a), cuidando de que la toma de tierra (masa)esté conectada a la resistencia.

3. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [a b de la Figura18.10(a)],cuidando de que la masa coincida con la del circuito y medir la amplitud Vpp.

4. Cambiar los bornes de salida del generador, como se muestra en la Figura18.10(b).

5. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [c d de la Figura 18.10(a)],cuidando de que la masa coincida con la masa del circuito y medir la amplitud Vpp.

FIGURA 18.10. Circuitos RL.

El cambio de los bornes de salida del generador nos permite que la medida realizada enel punto 3 nos dé la tensión V0R y la del punto 5 la de V0L.

Repetir los puntos 1 a 5 para N (al menos 15) valores distintos de la frecuencia, quedeben abarcar todo el rango que pueda suministrar el generador (normalmente de 100 a100 000 Hz). Con los datos obtenidos elaborar una tabla que contenga:

a) La frecuencia suministrada por el generador, con el periodo obtenido en el punto 1(l % 1/T) y la frecuencia angular u % 2n/T.

b) El voltaje suministrado por el generador medido en el punto 1 (V0 % Vpp/2), que de-be ser siempre igual a 2 V.


c) El voltaje en los bornes de la resistencia obtenido en el punto 3 (V0R % Vpp/2).d) El voltaje en los bornes de la autoinducción obtenido en el punto 5 (V0L % Vpp/2).

e) Con la expresión V0 % ∂V20R ! V2

0L (18.18) obtener el voltaje suministrado por elgenerador y compararlo con el obtenido en el punto b.

f) El módulo de la impedancia, usando la expresión �Z� % ∂R2! (uL)2 (18.16).

g) La intensidad con la expresión I0 % V0/�Z� (18.13).h) La reactancia inductiva con la expresión XL % uL y experimentalmente con

XLe % V0L/I0.i) Representar una gráfica de la reactancia XLe frente a u y ajustarle una recta por mí-

nimos cuadrados (Capítulo I), cuya pendiente será el valor experimental de laautoinducción, que se obtiene de la forma siguiente:

L %

N

;i%1

uiXLei .

N

;i%1

ui

N

;i%1

XLei

NAN

;i%1

u2iB.A

N

;i%1

uiB2 (18.22)

siendo su error:

BL%JN

N AN

;i%1

u2iB.A

N

;i%1

uiB2 BXLe (18.23)

y siendo el error de la reactancia inductiva:

BXLe %JN

;i%1

(XLei. Lui)

2

N . 2(18.24)

18.3.3. Circuito RC

Se pretende estudiar la respuesta del circuito bajo una tensión de V0 % 2 V a distintas fre-cuencias. Se realizarán los pasos siguientes:



3. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [a b de la Figura 18.11(a)],cuidando de que la masa coincida con la masa del circuito y medir la amplitud Vpp.

4. Cambiar los bornes de salida del generador, como se muestra en la Figura18.11(b).

5. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [c d de la Figura 18.11(a)],cuidando de que la masa coincida con la del circuito y medir la amplitud Vpp.


FIGURA 18.11. Circuitos RC.



b) El voltaje suministrado por el generador medido en el punto 1 (V0 % Vpp/2), que de-be ser siempre igual a 2 V.

c) El voltaje en los bornes de la resistencia obtenido en el punto 3 (V0R % Vpp/2).d) El voltaje en los bornes del condensador obtenido en el punto 5 (V0C % Vpp/2).

e) Con la expresión V0 % ∂V20R ! V2

0C (18.21) obtener el voltaje suministrado por elgenerador y compararlo con el obtenido en el punto b.

f) El módulo de la impedancia, usando la expresión �Z� % ∂R2! (1/uC)2 (18.19).

g) La intensidad con la expresión I0 % V0/�Z� (18.13).h) La reactancia capacitiva con la expresión �XC� % 1/uC y experimentalmente con

�XCe� % V0C/I0.i) Hallar el valor de la capacidad con la expresión C % 1/u�XCe� para cada valor de la

frecuencia y obtener su valor medio, que será la capacidad experimental del conden-sador, de la forma siguiente:

SCT %

N

;i%1

Ci

N(18.25)

y su error:

BSCT %JN

;i%1

(Ci . SCT)2

N(N . 1)(18.26)

18.3.4. Circuito RLCSe pretende estudiar la respuesta del circuito bajo una tensión de V0 % 2 V a distintas fre-cuencias. Se realizarán los pasos siguientes:




3. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia, cuidando de que la masacoincida con la del circuito y medir la amplitud Vpp.

4. Montar el circuito de la Figura 18.12(b).5. Conectar el osciloscopio a los bornes de la autoinducción, medir la amplitud Vpp.6. Montar el circuito de la Figura 18.12(c).7. Conectar el osciloscopio a los bornes de la autoinducción, medir la amplitud Vpp.

FIGURA 18.12. Circuitos RLC.



b) El voltaje suministrado por el generador medido en el punto 1 (V0 % Vpp/2), quedebe ser siempre igual a 2 V.

c) El voltaje en los bornes de la resistencia obtenido en el punto 3 (V0R % Vpp/2).d) El voltaje en los bornes de la autoinducción obtenido en el punto 5 (V0L % Vpp/2).e) El voltaje en los bornes del condensador obtenido en el punto 7 (V0C % Vpp/2).

f) Con la expresión V0 % ∂V20R ! (V0L . V0C)

2 (18.15) obtener el voltaje suministra-do por el generador y compararlo con el obtenido en el punto b.

g) El módulo de la impedancia, usando la expresión �Z� % ∂R2! (uL. 1/uC)2

(18.11).h) La intensidad con las expresiones I0 % V0/�Z� (18.13) y I0 % V0R/R, comparando los

resultados.i) Con el último valor de I0 (obtenido con V0R y R), recalcular la impedancia con la

Expresión (18.13) (�Z� % V0/I0) y compararla con el valor obtenido en el punto g.j) La reactancia inductiva con la expresión XL % uL y experimentalmente con

XLe % V0L/I0.k) La reactancia capacitiva con la expresión �XC� % 1/uC y experimentalmente con

�XCe� % V0C/I0.

l) Calcular la impedancia con la expresión �Z� % ∂R2! (XLe . �XCe�)2 y compararla

con los valores obtenidos en los puntos g e i. Representar una gráfica de �Z� en fun-ción de la frecuencia obtenida en el punto a y comprobar que corresponde a la

ecuación �Z� % ∂R2! (uL . 1/uC)2 (18.11).

m) Representar gráficamente V0R frente a I0 y obtener, con un ajuste por mínimos cua-drados, el valor experimental de la resistencia R, usando unas expresiones análogasa las (18.22), (18.23) y (18.24).


18.3.5. ResonanciaCon la Expresión (18.14) y teniendo en cuenta que l % u/2p se obtiene la expresión de lafrecuencia lineal en la resonancia de la forma:

l %1

2n∂LC(18.27)

Con los valores de L y C calcular el valor de la frecuencia de resonancia y fijarla en elgenerador con 2 V de amplitud. Montar el circuito de la Figura 18.13. Anular la base detiempos en el osciloscopio, para lo cual hay que: bien girar el mando de tiempo/división(11 en la Figura 18.4) totalmente a la derecha, o bien conectar un interruptor que normal-mente está indicado con el símbolo XY. Con esto se consigue que el osciloscopio nomuestre una señal de voltaje en función del tiempo, sino que uno de los canales controla eleje vertical, mientras que el otro controla el horizontal, ahora muestra una gráfica voltaje-voltaje (voltaje tanto en abscisas como en ordenadas), en nuestro caso aparece una elipseen la pantalla. Mover el control de frecuencias del generador hasta que aparezca una línearecta en la pantalla del osciloscopio, esa será la resonancia, dado que V0 % V0R. Anotar elvalor de la frecuencia del generador, seguidamente volver a conectar la base de tiemposdel osciloscopio y medir esa frecuencia en el canal 2 del osciloscopio. Comparar estos va-lores con el obtenido con la Expresión (18.27).

FIGURA 18.13. Circuito RLC para medir resonancia.

18.4. ResultadosEn el Apartado 18.3 se han relacionado una gran cantidad resultados que se pueden obte-ner a partir de los datos obtenidos, dependiendo del tiempo de realización de la práctica,estos se pueden acortar, bien reduciendo los resultados o bien eliminando los circuitos RLy RC. También se puede agilizar el trabajo suministrando al alumno una tabla de frecuen-cias adecuada a la combinación de valores de las resistencia, autoinducción y capacidad,que abarque el rango necesario para la buena realización de la práctica.

18.4.1. Manejo del osciloscopioConstruir las dos o tres tablas con los resultados obtenidos, comparar los valores de la fre-cuencia con los del oscilador y escribir la Expresión (18.1) de voltios en función del tiem-


po, para cada caso. Usando lo explicado en el cálculo de errores (Capítulo I) estimar loserrores cometidos en la medida de voltajes y periodos.

18.4.2. Circuitos y resonanciaConstruir la tabla de datos y resultados y representar las gráficas que se indican. Compararlos distintos valores obtenidos para la misma magnitud y explicar las razones de las posi-bles diferencias.

18.5. Cuestiones

1. Si el factor de escala del voltaje es 2 V/división y la medida realizada es de 4,2 divi-siones, ¿cuál será el error estimado de la medida de V0?

2. Explicar cuál es la unidad de medida de la impedancia.


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Woan, G. (2000): The Cambridge Handbook of physics formulas. Ed. Cambridge Universi-ty Press, Cambridge.

Índice analítico

A

Aceleración, 12, 27, 29-31, 33-39, 41-42, 45, 49-51,71-72, 116, 128

Aleatorio/a, 1, 3, 5Alfabeto, 9, 16Amortiguamiento, 67, 73-75, 77, 80, 86-88, 92, 156Amplitud, 37, 44-46, 49, 51, 70-73, 75, 77-80, 82, 84,

86, 88-91, 93, 135, 158-161, 165-166, 168, 170,182, 184, 200-201, 216-217, 220-227

Ángulocrítico, 139, 150de incidencia, 139, 140de refracción, 139, 140

Autoinducción, 193, 196, 198, 200, 215-216, 218, 222,224, 226-227

B

Balanza, 17-18, 20-21, 24-26, 30, 86, 124, 178,190-191

Banco de óptica, 147Bernouilli, 127, 129, 131-132Bobina, 198, 200-201

C

Calibre, 17-18, 110, 124, 190-191, 198Campo, 3, 12, 27-28, 30, 40-42, 53-55, 58, 68, 117,

122-123, 128, 156-157, 164-165, 167-168, 172,195-197, 200, 204-205, 219

eléctrico, 3, 12, 156-157, 164-165, 167-168, 172,195-197, 204-205, 219

magnético, 164, 168, 196-197, 200Centro de masas, 53-59, 66, 83, 96Choque, 30, 53, 58-62, 64-66

elástico, 59-60, 66frontal, 53, 61-62, 64-65

Circuito, 179, 196-200, 203, 205-213, 215-218,222-228

RC, 215, 218, 224-225

RL, 215, 218, 223, 227RLC, 215-216, 225-227

Cizalla, 99, 101-103, 107, 113Coeficiente

de dilatación térmica, 184de Poisson, 102-103, 110-111

Colisión, 53, 58-61, 63-66, 174, 176elástica, 53, 58-60, 63-64inelástica, 53, 60-61, 65-66

Compresión, 95, 97, 100Condensador, 193-199, 215-216, 218, 222, 225-226Condiciones iniciales, 31, 45-46, 49-50, 69-73, 75,

77-79, 81-84, 89, 91Conductividad

eléctrica, 164térmica, 187-191

Coordenadas, 37-39, 42-43, 54, 57, 99, 140cartesianas, 38, 54, 57esféricas, 39, 43polares, 37-38

Corrientealterna, 215, 216continua, 203, 205, 208, 215-216

DDeformación, 61, 68, 95-105, 107-112, 182, 184

elástica, 68, 95, 97-98, 111Diferencia de potencial, 12, 40, 194-196, 205-206,

209-210, 212-213, 219Difracción, 163, 165-167, 171-172, 186Dilatación térmica, 181, 184Distancia focal, 143, 146, 148-153

EEcuación

de Descartes, 143de onda, 156, 164del movimiento, 27, 31, 35, 43, 45, 55-56, 68-70,

73-74, 77-78, 216

Efecto Joule, 178Elástica, 53, 58-60, 63-64, 68-69, 95-98, 103, 106-107,

111, 113Elasticidad, 68, 96, 159, 184Energía, 12, 14, 37, 39-47, 53, 56, 58-61, 65-66, 68,

72-73, 75-77, 79, 85, 96, 103, 127, 129, 136,139, 159, 161, 164, 174-179, 182-184, 188-190,194-197, 203

cinética, 40-42, 44, 46, 53, 56, 58-60, 72, 174-177,182-183

electrostática, 195, 197potencial, 40-44, 46, 68, 73, 76, 96, 103, 174,

182-184Equilibrio, 20, 37, 41-42, 44-46, 68, 70-71, 74, 81,

85-86, 88, 91, 96-97, 115-119, 134, 159-160,174-176, 182-183

estable, 41-42, 44-46, 68, 70, 74, 81, 119inestable, 41, 44

Error, 1-6, 15, 17, 21-26, 28, 34, 36, 48-50, 63, 85-88,90-93, 119, 125-126, 148, 150-153, 161,179-180, 186, 191, 209-213, 224-225, 228-229

Espacio, 15, 27-28, 40, 63-65, 134-135, 156, 166, 168,204

Espejo, 139-140, 142-144, 146-149, 153cóncavo, 142-143, 148-149convexo, 143-144, 149plano, 139-140, 143, 147-148

Estadoestacionario, 79, 216final, 58, 60-61inicial, 39, 58-59, 61, 174

FFactor de escala, 199, 220-221, 223, 228Flexión, 95, 100, 103-105, 110-112Foco, 142-143, 146, 159, 190-191Frecuencia, 5, 11-12, 45, 47, 67, 69, 72, 74-75, 78-85,

88-93, 135-136, 158, 160-161, 165, 198,200-201, 215-216, 218, 222-227

de modulación, 67, 83, 91, 93Frecuencímetro, 222Fuerza, 11-12, 27, 29-35, 39-42, 53-56, 58, 67-68, 73,

77-83, 87-88, 92, 95-98, 102, 106, 113,116-119, 122-124, 174-175, 182, 184, 196-198,201, 216-217

de rozamiento, 35, 73, 87-88, 122, 124exterior, 54-56, 58, 67, 77-81, 92, 216interior, 54-55, 58

Función de onda, 135

GGalga, 108-110Galileo, 28, 37Generador de frecuencias, 198, 200, 215, 222

HHidrostática, 99-100, 102-103

IÍndice de refracción, 138-140, 146, 150, 165Interacción, 30, 58, 60, 96, 174-175, 182-184, 197Interferencia, 2, 163, 165-167, 169-172

LLente, 133, 145-147, 149, 151-153

convergente, 145-146, 149, 152-153delgada, 133, 145, 147, 152divergente, 146-147, 153

Leyde Hooke, 68, 97de Kirchhoff, 203, 206, 212-213de Newton, 27, 29-31, 34, 54-55, 68, 82, 117-118,

124de Ohm, 203, 205-206, 209, 213, 217

Línea neutra, 103Longitud, 2, 10-11, 14, 17-19, 21, 26, 32-33, 37, 42,

45, 47-51, 93, 100, 107-113, 124, 130, 133,135, 153, 158, 167, 170, 172, 184-186, 190,198, 200-201, 205

de onda, 133, 135, 158, 167, 170, 172

MMagnitud, 2-3, 5, 10, 12, 14-15, 18, 28, 57, 59, 61, 69,

71, 75, 96, 98, 102, 116, 127-129, 135, 156,158-159, 164-165, 174-176, 182, 188, 194, 197,205, 217, 219, 228

Masa, 10, 14-15, 17-18, 20, 24-26, 30-33, 35-37, 42,45-46, 48, 50, 53-69, 71, 74, 81-89, 91-93, 96,117, 119, 122, 126, 129, 134, 174, 178-179,188, 191, 223-226

Mecánica, 20-21, 24, 28-30, 45, 69, 74, 77-78, 96, 178,229

Medida, 1-6, 10, 17-21, 23-28, 32-33, 35-37, 48-50, 53,58, 62, 67, 77, 80-81, 85-86, 88-93, 108,110-112, 119, 124-126, 132, 146, 148

Micrómetro, 17, 19, 22-23, 108-112, 185-186Modo de oscilación, 67, 81, 90, 92-93Modulación, 67, 83-84, 91, 93Módulo de Young, 102-103, 111-112Momento, 12, 30, 47, 50, 53, 56-61, 65, 97, 100,

106-108, 111-113, 150, 174, 184de inercia, 47, 50, 106, 111-112lineal, 30, 53, 56-60, 65

Movimiento relativo, 29, 55-56, 58

NNewton, 11-12, 27-31, 34, 54-55, 62, 68, 82, 117-118,

124

232 Índice analítico

Nonio, 18-19Número de onda, 12, 135, 158, 165

OOnda, 12, 77, 96, 133-139, 155-161, 163-170, 172, 219

acústica, 155-157, 159, 161circular, 136esférica, 136, 158, 165-166plana, 135-139, 156-159, 164

Óptica, 133, 147geométrica, 133

Oscilación, 37, 41-42, 44-49, 67, 69-72, 76-78, 80-81,83-87, 89-90, 92-93, 134-135, 158, 184, 216,220-221

Osciladorarmónico amortiguado, 67, 73, 75-76, 87armónico forzado, 67, 77, 79-80, 89, 216armónico simple, 45, 67-68, 70, 72-73, 75-76, 93, 97

Osciloscopio, 160-161, 215, 219-227

PParaxial, 143-144, 147, 152Partícula, 11, 27, 29-31, 34-35, 37-42, 44-45, 54-60,

68-70, 73, 96, 136, 174, 177, 204, 229Péndulo, 37, 42-51

compuesto, 37, 46-50equivalente, 47, 50simple, 37, 43-47, 49-51

Periodo, 11, 37, 45, 47-51, 71-72, 75-77, 85-86, 88-93,135, 158, 160, 219-221, 223, 225-226, 228

Permeabilidad magnética, 164Permitividad eléctrica, 164Pie de rey, 17-18, 21-23, 26, 48-49, 119, 168Polarización, 163, 165, 167-168, 172, 195-196Presión, 3, 12, 14, 98-99, 116-117, 128-130, 156-157,

159-161, 175-177, 188, 219Principio

de Arquímedes, 117de la termodinámica, 174, 182de Pascal, 117

Prisma, 133, 140-141, 145, 147, 150-151Problema de dos cuerpos, 53-54Propagación, 1, 3, 5, 134-135, 137-139, 156-159, 161,

164-165, 167-168

RRayo, 133, 135-136, 138-147, 149-153, 171, 186, 219

incidente, 136, 138, 140, 142-144, 146, 150reflejado, 139-140, 143-144, 149refractado, 139, 144, 150

Reflexión, 133, 136-144, 148-149Refracción, 133, 136-140, 142, 144-146, 150-151, 165Relatividad, 28-29

Reloj, 28, 37Rendija, 147, 150, 152, 167-172Resistencia, 12, 108-110, 178-179, 186, 196, 203,

205-213, 215-217, 222-227Resonancia, 67, 79-80, 88-89, 93, 215, 218, 227-228Rozamiento, 27, 32-33, 35-36, 42, 46, 62-65, 67-68,

71, 73, 78-79, 81-82, 85, 87-88, 122-124, 127,216

S

Sistemacentro de masas, 53, 57de referencia, 28-29, 46, 54, 56-57, 59, 68, 98, 107,

110inercial, 58

Superficie, 12, 14, 17-18, 21-23, 26, 98, 101, 103, 106,109-110, 116-118, 130-131, 133, 136-137,139-140, 142-145, 150, 175, 194-195, 197, 199,204

neutra, 103, 106

T

Temperatura, 3, 10-12, 119, 124, 175-177, 179,182-184, 186, 188-191, 219

Tensión, 102-104, 106-107, 111, 116, 128, 161, 182,194, 198-200, 216, 218-219, 223-225

Teorema de Torricelli, 130Tiempo, 10-11, 14, 27-29, 31-36, 39, 41, 43, 45-46,

48-50, 56-57, 62-65, 70-72, 74-77, 79, 84-92,96, 123-125, 127, 129, 132, 134-135, 156-157,159, 161, 179, 188-189, 191, 196-197, 204,216-217, 219-220, 223, 227

Torsión, 95, 107, 110, 113Tracción, 95, 97-99, 102, 110-111

U

Unidad, 2-3, 9-15, 72, 77, 98, 116, 140, 146, 159, 178,188, 195, 197, 204, 228

V

Vaso Dewar, 178-179Vector de posición, 28-29, 31, 38, 41, 54, 57, 135-136Velocidad, 10, 12, 15, 27-44, 46, 51, 56, 59-66, 71-73,

75-76, 122-126, 128-131, 135, 137-139,156-159, 161, 164-165, 174, 204

límite, 123-125Viscosidad, 14, 121-124, 126, 131-132Voltios pico a pico, 221Volumen, 2, 12, 14, 17-18, 22-24, 26, 96, 99-101,

107-108, 110, 116-119, 122, 128-129, 159,175-177, 188-189, 194

Índice analítico 233

laboratorio de física .autor: miguel ángel hidalgo

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