I Semestre 2015

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE PANAM

FACULTAD DE INGENIERA MECNICA

DINMICA APLICADA

GUA DE LABORATORIO No.6

OSCILACIN DE UN PNDULO SIMPLE - BARRAS

5.1 Objetivos Generales

Determinar el momento masa de inercia de una barra horizontal, utilizada

como sistema de pndulo simple, bajo vibracin libre no amortiguadaen cada

uno de los siguientes planos: x-y, y-z y x-z. Desarrollar y analizar el modelo

matemtico que corresponde a cada caso estudiado. Comparar resultados

tericos y experimentales.

5.2 Objetivos Especficos 5.2.1 Medir el periodo de un pndulo simple(barra horizontal) en un

plano particular de oscilacin.

5.2.2 Obtener la ecuacin diferencial no lineal del movimiento de la barra horizontal como pndulo simple.Determinar las dimensiones

de la masa oscilante.

5.2.3 Obtener la ecuacin diferencial linealizada con respecto a la posicin de equilibrio esttico.

5.2.4 Encontrar la solucin de la ecuacin diferencial de movimiento desarrollada en el punto 2.3 para 0 = 0y 0 = 0.Obtenga

expresiones para la posicin , la velocidad () y la aceleracin . Grafique los resultados para dos ciclos de movimiento. Utilice el programa de su preferencia.

5.2.5 Calcule la frecuencia natural, el periodo del movimiento y la frecuencia natural angular de oscilacin.

5.2.6 Comparar los resultados tericos con los experimentales. Explicar la diferencia.

5.2.7 Analice la posicin, velocidad y aceleracin de la masa m. Qu puede concluir respecto a la amplitud y ngulo de fase de cada

movimiento?

5.2.8 Repita los puntos 5.2.1 a 5.2.7 para cada uno de los planos de oscilacin requeridos.

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6 Desarrollar y analizar el modelo matemtico utilizando MATHLAB Y SIMULINK.

6.1 Equipos y materiales a utilizar 6.1.1 Hilo de monofilamento de pesca 6.1.2 Dos (2) Barras de acero 6.1.3 Marco para soporte 6.1.4 Balanza 6.1.5 Cinta mtrica 6.1.6 Cronmetro 6.1.7 Micrmetro

6.2 Metodologa 6.2.1 Utilice el Sistema Mtrico de unidades. 6.2.2 Escoja una barra de acero, mida el dimetro y longitud de la

misma, determine su masa y su momento masa de inercia respecto

a su centro de gravedad, con respecto a los ejes de coordenadas x,

y y z.

6.2.3 Fije los extremos dedos hilos monofilamento al marco, fije los otrosdos extremos a la barra de acero. Mida una longitud de 40

cm entre el extremo fijo de cada hilo y la barra de acero.

6.2.4 Desplace la barra de acero de la posicin de equilibrio esttico en el plano x-y y libere,Fig. 5.1 (a). Mida el periodo de oscilacin de

tres ciclos de movimiento. Obtenga el periodo promedio.

6.2.5 Determine la frecuencia circular natural y la frecuencia natural de oscilacin a partir del periodo natural medido.

6.2.6 Obtener el modelo matemtico del sistema pndulo simple para la oscilacin de la barra en el plano x-y.

6.2.7 Resolver la ecuacin diferencial de movimiento para la condicin inicial del punto 5.4.3.

6.2.8 Obtener analticamente la frecuencia angular natural, la frecuencia natural y el periodo natural de movimiento.

6.2.9 Graficar la posicin, la velocidad y la aceleracin. Utilice el programa de su preferencia. EXCELL, MatLab, Simulink, etc.

6.2.10 Repita del punto 5.4.1 al 5.4.9 para la oscilacin de la barra en el plano y-z. Fig. 5.5.1 (a).

6.2.11 Repita del punto 5.4.1 al 5.4.9 para la oscilacin de la barra en el plano x-z.

6.2.12 Repita los puntos 5.4.1 a 5.4.11 para la barra de la Fig. 5.2.

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6.3 Procedimiento 6.3.1 Seleccionelos parmetros (longitud y masa) de un pndulo simple.

Para cada una de las dos barras.

6.3.2 Analice primero las oscilaciones de la barra en el plano x-y. Posteriormente, realice el anlisis de oscilacin en el plano y-z y

finalmente estudie la oscilacin en el plano x-z.

6.3.3 Especifique las condiciones iniciales indicadas en el punto2.4 de los objetivos especficos.

6.3.4 Mida el periodo natural de oscilacin para tres ciclos de movimiento. Calcule el periodo promedio de la oscilacin. Calcule

la frecuencia natural y la frecuencia natural circular.

6.3.5 Obtenga la ecuacin diferencial de movimiento en funcin de . Obtener la posicin, velocidad y aceleracin para: 0 = 0 y 0 = 0. Graficar utilizando el programa de su preferencia.

6.3.6 Determine analticamente el periodo, la frecuencia circular natural y la frecuencia natural del movimiento.

(a) (b) Figura 5.1Barra que oscila con respecto a puntos fijos

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Fig. 5.2 Barra con apoyo asimtrico oscilando con respecto a puntos fijos

6.4 Preguntas 6.4.1 Qu concluye respecto a las frecuencias angulares naturales,

frecuencias naturales y periodos naturales de oscilacin, para los

sistemas de pndulo simpleestudiados?

6.4.2 Cmo se comparan los resultados tericos con los experimentales del modelo de las dos barras?

6.4.3 Qu concluye respecto al momento masa de inercia de las barras y el plano de oscilacin?

6.4.4 Cmo obtendra el momento masa de inercia de una barra a partir de los valores medidos?

6.5 Fundamentos

Un sistema de pndulo simple vibrar libremente al desplazarse de su

posicin de equilibrio esttico y liberarse. El sistema es conservativo, no est

sujeto a fuerzas no-conservativas ni a excitaciones externas. La ecuacin

gobernante del movimiento oscilatorio es una ecuacin diferencial de

segundo grado, homognea con coeficientes constantes. La solucin de dicha

ecuacin corresponde a la solucin complementaria en donde las constantes

dependen de las condiciones iniciales del sistema.

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Utilizando la Segunda Ley de Newton:

0 = 0 (5.1)

= 0 (5.2)

0 + = 0 (5.3)

Para oscilaciones pequeas (5.4)

0 + = 0 (5.5)

0 = + 2 (5.6)

Asumimos la siguiente solucin

= (5.7)

= 2 (5.8)

02 +

= 0 (5.9)

02 + = 0 (2.10)

12 = /0 (5.20)

= /0 (5.11)

= 1 + 2 (5.12)

Las constantes 1 y 2 se determinan a partir de la condiciones iniciales 0 y 0 .

Remplazando

1 = y2 = (5.13)

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Resulta

= + (5.14)

= ( + ) (5.15)

Donde la amplitud y el ngulo de fase se determinan a partir de las siguientes ecuaciones:

= 12 + 2

2 (5.16)

= 1 2

1 (5.17)

5.8 Referencias 5.8.1 Vibraciones Mecnicas. Singiresu S. Rao. Quinta edicin.

PEARSON EDUCATION, Mxico, 2012.

5.8.2 Vibraciones. BalakumarBalachandran, Edward B. Magrab. CENGAGE Learning, Primeraedicin, 2008.

5.8.3 Modeling, Analysis and Control of Dynamic Systems. William J. Palm III. John Wiley & Sons, 1983.

5.8.4 Mecatrnica, Sistemas de Control Electrnico en la Ingeniera Mecnica y Elctrica. Quinta edicin. Alfaomega Grupo Editor,

S.A. 2013.

5.8.5 Modeling and Analysis of Dynamic Systems. Charles M. Close, Dean K. Frederick, Jonathan C. Newell. Third edition, Wiley,

2001.

5.8.6 Vibraciones Mecnicas. William W. Seto. Serie Schaum, 1968. 5.8.7 http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia