Ramon Llull és un dels escriptors més polifacètics de la tradició europea: va ser filòsof, teòleg, lògic, novel·lista, poeta, místic, polemista, missioner..., i va donar cohe­sió a aquesta extraordinària diversitat, desplegada en unes 265 obres, amb un sistema combinatori i semime­cànic de demostració que ell va anomenar «Art».

Aquest mètode, al qual Llull remetia constantment el lector a fi que conegués els fonaments del seu pen­sament, fou desenvolupat per alliberar el debat inter­religiós de les bases textuals tradicionals, sempre es­tèrils, i difongué la fama de l’autor per tot Europa fins al temps de Leibniz. L’extensa literatura moderna so­bre l’Art s’ha dedicat sobretot a estudiar­ne els com­ponents principals, però hi ha pocs intents d’explicar com els utilitzava i combinava Llull per produir de­mostracions o «raons necessàries».

L’Art i la lògica de Ramon Llull tracta de mostrar quins tipus de sistemes demostratius va desenvolupar Llull durant les dues etapes principals de l’Art, com van evolucionar vers una adaptació d’elements clau de la lògica aristotèlica i per què l’Art va ser central en tots els seus projectes intel·lectuals.

Anthony Bonner (Nova York, 1928), músic de forma­ció, s’ha dedicat professionalment a la traducció. Des de 1977, és magister de la Maioricensis Schola Lullistica i, com a tal, s’ha encarregat de l’edició de la revista Stu­dia Lulliana. De 1988 a 2008, ha estat el director de la «Nova edició de les obres de Ramon Llull», continuació de l’edició crítica de les obres catalanes de Llull. Els dos volums dels seus Selected Works of Ramon Llull, publicats a Princeton el 1985, ofereixen una tria curosament ano­tada d’obres lul·lianes; la versió catalana d’aquesta obra, Obres selectes de Ramon Llull, va ser guardonada amb el Premi Nacional de Literatura Catalana l’any 1990. És autor de diversos llibres i de gairebé un centenar d’articles sobre Ramon Llull i el lul·lisme. En aquesta mateixa col·lecció ha publicat, juntament amb Maria Isabel Ripoll, el Diccionari de definicions lul·lianes (2002).

l’art i la lògica de RAMON LLULL

manual d’ús

anthony bonner

COL·LECCIÓ BLAQUERNA, 9

La Col·lecció Blaquerna és dedicada a la publicació d’es­tudis sobre Ramon Llull i el lul·lisme i sobre els contex­tos culturals en què es produeixen ambdós fenòmens. És una acció del Programa Blaquerna d’Estudis Lul·lians que impulsen la Universitat de les Illes Balears i la Uni­versitat de Barcelona. És dirigida per Pere Rosselló (UIB) i Al bert Soler (UB).

1. J. N. Hillgarth, Diplomatari lul·lià: documents re­latius a Ramon Llull i a la seva família. 2001.

2. A. Bonner i M. I. Ripoll, Diccionari de definicions lul·lianes. 2003.

3. L. Cifuentes, La ciència en català a l’Edat Mitjana i el Renaixement. 2002 (2a edició, 2006).

4. L. Pérez, Els fons manuscrits lul·lians de Mallorca. 2004.

5. Actes de les Jornades Internacionals Lul·lianes. «Ra­mon Llull al segle xxi». 2005.

6. S. Trias Mercant, Diccionari d’escriptors lul·listes. 2009.

7. M. Cabré, Cerverí de Girona: un trobador al servei de Pere el Gran. 2011.

8. R. Friedlein, El diàleg en Ramon Llull: l’expressió literària com a estratègia apologètica. 2011.

9. A. Bonner, L’Art i la lògica de Ramon Llull. Ma­nual d’ús. 2012.

De propera aparició:

Actes de les Jornades en homenatge a J. N. Hillgarth & A. Bonner, a cura de M. I. Ripoll i M. Tortella. Recull de la major part de les inter vencions que es presentaren en les jornades or ganitzades des de la Càtedra Ramon Llull­UIB a Palma el fe­brer de 2010.

A. Bonner, Estudis lul·lians. Recull antològic d’es­tudis publicats per l’autor, revisats i actualizats.

H. Riedlinger, Ramon Llull a París (1309­1311). Traducció d’un estudi ja clàssic sobre la quarta i última estada de Ramon Llull a París, publicat com a introducció al volum cinquè (1967) de les Raimundi Lulli Opera Latina.

l’a

rt

i l

a l

òg

ica

de

ra

mo

n l

lull

an

th

on

y b

on

ne

r

www.tmcat.net

www.publicacions.ub.edu

9 788447 535507

13423_coberta Art i la logica de Ramon Llull.indd 1 19/04/12 12:58

L’Art i la lògica de Ramon Llull

Manual d’ús

anthony Bonner

Traducció d’Helena Lamuela

13423_170412.indd 5 20/04/12 11:50

Universitat de Barcelona. Dades catalogràfiques

Bonner, Anthony, 1928- L’Art i la lògica de Ramon Llull : manual d’ús . -- (Blaquerna ; 9)

Notes. Bibliografia. Índexs ISBN 978-84-475-3550-7

I. Lamuela, Helena, trad. II. Títol III. Col∙lecció: Blaquerna (Universitat de Barcelona) ; 9 1. Llull, Ramon, 1232 o 3-1315 o 6 2. Lògica medieval

© Anthony Bonner, 2012© Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona

Adolf Florensa, s/n08028 BarcelonaTel.: 934 035 530Fax: 934 035 531www.publicacions.ub.educomercial.edicions@ub.edu

isBn 978-84-475-3550-7diPòsit legal B-9.186-2012imPressió i relligat Gráficas Rey

És rigorosament prohibida la reproducció total o parcial d’a questa obra. Cap part d’aquesta publicació, inclòs el dis-seny de la coberta, no pot ser reproduïda, emmagatzemada, transmesa o utilitzada per cap tipus de mitjà o sistema, sen-se l’autorització prèvia per escrit de l’editor.

13423_170412.indd 6 20/04/12 11:50

SUMARI

Pròleg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

Nota a la traducció catalana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix

Agraïments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxi

Abreviatures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii

Il·lustracions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv

1 . introducció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 La vida de Ramon Llull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 La centralitat de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 La naturalesa de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 L’Art és una mena de lògica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Les dues etapes de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Visió general dels mecanismes de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 . l’etaPa quaternària . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Observacions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Nocions de la teoria de grafs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Els termes i les figures de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Les figures restants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 El pròleg de l’AD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Condicions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Intencions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Les qüestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 . canvis en l’art durant l’etaPa quaternària i la transició a l’etaPa ternària . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Observacions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 El cicle de l’ACIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 El cicle de l’AD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Els darrers estadis de la transició . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

4 . l’etaPa ternària . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Observacions generals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13423_170412.indd 9 20/04/12 11:50

Els fonaments: les dues primeres figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Principis «absoluts» i «relatius» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 Les definicions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Les Qüestions i Regles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 La combinatòria: les dues darreres figures i la Taula . . . . . . . . . . . . . 159 La mescla de Principis i Regles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Els Nou Subjectes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Les Cent Formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Les Qüestions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 L’aplicació de l’Art ternària en altres obres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 L’Art posada a prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 L’Art ternària és una Art demostrativa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5 . l’etaPa Postartística: la lògica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Prolegòmens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 La transició de l’Art a la lògica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Les característiques generals de la lògica lul∙liana . . . . . . . . . . . . . . 219 La predicació lògica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 El sil∙logisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Les tres menes de demostració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Les premisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Noves aportacions lògiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 La recerca del mitjà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Els sil∙logismes contradictoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Les hipòtesis i les suposicions contradictòries . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 La fal∙làcia de la contradicció aparent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Una predicació trinitària? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Les demostracions pel grau superlatiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Les darreres obres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

6 . consideracions finals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 Un esperit inquiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 La significació, la metàfora i la demostració . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Les tècniques demostratives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 La relació de l’Art amb altres àmbits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Alguns aspectes clau de l’Art lul∙liana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 La novetat de l’Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

13423_170412.indd 10 20/04/12 11:50

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

Índex d’obres lul·lianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355Índex de noms i temes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

13423_170412.indd 11 20/04/12 11:50

CaPítol 2

L’ETAPA QUATERNÀRIA

oBSErVacioNS GENEralS

L’art no solament passà per dues etapes força diferents, com s’ha dit abans, sinó que en cada període va patir nombrosos canvis i evolucions. L’etapa quaternària es pot dividir en dos cicles, cadas-

cun dels quals consta d’una obra fonamental seguida d’altres que n’ofereixen comentaris i aplicacions. El primer cicle es basa en l’obra inaugural de l’Art, l’Ars compendiosa inveniendi veritatem (c. 1274), i el segon, en l’Art demostra-tiva (c. 1283); després d’aquests tenim un tercer estadi d’obres de transició amb innovacions que preludien moltes de les característiques de l’etapa se-güent. El període ternari s’inicia amb l’Ars inventiva veritatis (1290), s’hi introdueixen alguns canvis i addicions importants en la Taula general (1293-1294) i rep la seva formulació definitiva en l’Ars generalis ultima (1305-1308), acompanyada del seu epítom, l’Ars brevis (1308). Presentar tots aquests canvis hauria menat el lector per un laberint envitricollat, amb el risc que els arbres no li deixessin veure el bosc, és a dir, que acabés per-dent de vista el tema essencial d’aquest llibre: el funcionament de l’Art. Així, doncs, m’ha semblat preferible explicar les obres més característiques de cada període i incloure, quan ha calgut, altres formulacions com a varia-cions sobre temes amb els quals el lector ja estarà familiaritzat.

A l’hora de tractar el període quaternari, això volia dir concentrar-se en l’Art demostrativa (AD) que, si ens hem de guiar pel nombre de comen-taris que Llull en va escriure, fou clarament l’obra que creia que constituïa la forma més presentable d’aquest estadi del sistema. A més, l’AD està or-ganitzada d’una manera molt més clara i lineal que l’Ars compendiosa inve-niendi veritatem (ACIV), cosa que la fa molt més manejable. Això no obs-tant, l’ACIV no quedarà del tot desatesa: en el capítol següent n’estudiarem les diferències principals respecte de l’AD, juntament amb les obres de transició que hem esmentat. D’altra banda, en l’AD (a diferència del que s’esdevé en l’ACIV) trobem una divisió sistemàtica entre les «primeres fi-

13423_170412.indd 29 20/04/12 11:50

30  L’Art i la lògica de Ramon Llull

gures», que normalment són circulars, i les «segones figures», les triangulars.1 La mena de sistematització que això comporta entra netament en el terreny de la moderna teoria de grafs. Per tal de treure l’entrellat d’aquesta darrera afirmació, més que una explicació formal de la teoria esmentada, n’oferirem una presentació breu i intuïtiva, suficient per entendre com la fa servir Llull.

NocioNS dE la tEoria dE GrafS2

Els grafs es van crear com un mètode per representar les connexions entre els punts d’una xarxa, com ara els d’una companyia de serveis que distribu-eixi gas, aigua i electricitat a les cases d’una ciutat o com els d’una empre-sa de transports que connecti moltes ciutats diferents. Per veure’n el fun-cionament a una escala molt més petita, imaginem-nos quatre ciutats, que anomenarem B, C, D i E, connectades per una xarxa de carreteres repre-sentada per la fig. 1a, més una carretera de circumval∙lació per a C, potser a causa d’indrets d’interès paisatgístic per a turistes.

La fig. 1b mostra una altra manera de representar aquesta situació. El fet que es pugui anar de B a C o de C a B vol dir que en les caselles B-C i

1. L’única primera figura que no és circular és la Figura Elemental. Vegeu la p. 106, per a la manca d’una distinció sistemàtica d’aquesta mena en l’ACIV.

2. Per a una presentació formal el lector pot consultar Deo 1974 i Foulds 1992 o, en català, Basart 1994. També és recomanable la més popular en Trudeau 1993. Agraeixo a Mi-quel Bertran, professor de matemàtiques de la Universitat Ramon Llull de Barcelona, els seus valuosos suggeriments i correccions arran de la lectura del present apartat.

13423_170412.indd 30 20/04/12 11:50

Capítol 2. L’etapa quaternària  31

C-B hi ha de figurar un 1, i com que no es pot anar directament de C a E o de E a C, en les caselles respectives hi ha un 0. La carretera que co-mença i s’acaba en C fa que puguem posar un 1 en la casella C-C, mentre que en la resta de caselles B-B, etc., que no permeten fer aquesta ruta, hi tenim un 0.

Fem ara un breu cop d’ull a la terminologia: la fig. 1a és el que els matemàtics anomenen un «graf», B, C, D i E són «vèrtexs», les línies que els connecten són «arestes», i la que surt de C i hi torna és un «llaç». La fig. 1b és una «matriu» i, com que representa de manera exacta les rela-cions de la fig. 1a, s’anomena «matriu d’adjacència». El fet que en els nos-tres exemples totes les carreteres es puguin recórrer en ambdós sentits, comporta que qualsevol casella, com ara B-C, per exemple, tingui el mateix número que el seu invers, C-B. En conseqüència, si tracem una línia ima-ginària que vagi de l’angle superior esquerre a l’inferior dret de la fig. 1b (és a dir, a través de les caselles B-B, C-C, D-D i E-E), veurem que la matriu és simètrica respecte d’aquesta diagonal.3

Si connectem cada vèrtex de la fig. 1a (i, de moment, prescindim del llaç) obtenim un graf complet, com en la fig. 2a. Els matemàtics, per desig-nar un graf complet de quatre vèrtexs com aquest, fan servir el símbol K4.

3. Si les carreteres del nostre exemple fossin de sentit únic, cosa que voldria dir que, per exemple, hom podia anar de B a C, però no de C a B (almenys directament), això donaria lloc a una matriu amb un 1 en la casella de B-C i un 0 en la de C-B. El resultat seria el que els matemàtics anomenen un «graf dirigit» (sovint abreujat com a «digraf»), un graf la matriu d’adjacència del qual no és simètrica. Llull, però, tal com veurem, només fa servir grafs no dirigits amb matrius simètriques.

13423_170412.indd 31 20/04/12 11:50

32  L’Art i la lògica de Ramon Llull

A conseqüència d’aquesta completesa, la matriu de la fig. 2b té un 1 a tot arreu llevat de la diagonal. Si, a més, el graf tingués llaços en cada vèrtex, en totes les caselles de la fig. 2b hi hauria un 1.

Tal com veurem tot seguit, la Figura A de Llull consisteix simplement en una versió ampliada de la fig. 2a, amb 16 vèrtexs en lloc de 4, cosa que la converteix en un K16 exacte.4 També empra la fig. 2b, tot i que alterant-ne la forma, per bé que de quatre maneres completament legítimes, que, de fet, consisteixen en meres diferències en la notació. En primer lloc, Llull només fa servir una de les meitats triangulars (simètriques) de la matriu, estalviant-se així de repetir-ne l’altre meitat. O, per dir-ho en termes lul-lians, no troba rellevant distingir entre la casella de bonesa-grandesa i la de grandesa-bonesa. En segon lloc, atès que la manca de connexions tampoc no li interessa, omet la diagonal si conté zeros. En tercer lloc, pel fet d’ha-ver prescindit dels zeros, pot representar les arestes amb parelles de lletres en lloc de xifres. Finalment, distribueix les caselles en un ordre diferent. Per tant, doncs, Llull representaria (la part superior dreta de) una figura com la fig. 2b amb la mitja matriu de la fig. 3.

Quan Llull fa servir repeticions (els llaços del graf), cosa que, com veurem, només fa en el cicle de l’Art demostrativa de l’etapa quaternària, obtenim la fig. 4.5

4. De fet, Trudeau 1993, 28, com a il∙lustració d’un graf complet, fa servir un dibuix d’un K16 que és una rèplica exacta de la Figura A lul∙liana, en el qual només hi manca la lletra del mig i els noms de les dignitats al voltant de la circumferència.

5. A causa d’aquesta reordenació, les lletres repetides apareixen en la línia horitzontal superior de la mitja matriu lul∙liana, en lloc d’alinear-se al llarg de la diagonal.

13423_170412.indd 32 20/04/12 11:50

Capítol 2. L’etapa quaternària  33

Per veure com tot això encaixa amb el camp prou proper de la com-binatòria, assenyalarem que la fig. 3 representa totes les combinacions pos-sibles de quatre lletres agrupades de dues en dues sense repeticions, i la fig. 4 representa el mateix amb repeticions.6

Un altre aspecte de la teoria de grafs que caldria tenir en compte és el fet que si es pot anar de tot vèrtex a qualsevol altre recorrent una sèrie d’arestes, el graf s’anomena graf «connex»; si no es pot, s’anomena graf «no connex». Per tant, els de les figures 1a i 2a són clarament grafs connexos. Un graf no connex sovint pren la forma de dos grafs independents, com els dos triangles de la fig. 5a,

que també es poden representar sobreposats com en la fig. 5b. Per tal d’en-tendre que les dues representacions són idèntiques des del punt de vista matemàtic, convé que el lector s’adoni que, en el cas que ens ocupa, les in-terseccions d’arestes de 5b no són rellevants o, dit d’una altra manera, no són vèrtexs; matemàticament les dues figures representen el mateix graf no con-nex, que podríem denotar amb D2/3, per tal d’assenyalar que és un graf no connex amb dos subgrafs, cadascun dels quals té tres vèrtexs. Com veurem, Llull empra totes dues menes de graf, connexos (K) i no connexos (D).

També fa servir una tercera mena de graf, amb vèrtexs, però sense línies que els connectin, que s’anomena «graf nul», cosa que veurem quan arribem a les petites figures Y i Z.

6. Sense repeticions la fórmula és n!/[(n − r)!r!], en què n és el número (de lletres, en aquest cas), r és el número d’elements que prenem cada vegada, i ! significa el factorial. Per tant, en aquest cas, n! = 4! = 4∙3∙2∙1 = 24, (n − r)! = (4 − 2)! = 2! = 2 i, d’una manera sem-blant, r! = 2, amb la qual cosa obtenim 24/2∙2 = 6 per la fórmula, que és el nombre de combi-nacions binàries de la fig. 3. Amb repeticions, la fórmula és (n + r − 1)!/[(n − 1)!r!], que en aquest cas dóna (4 + 2 − 1)!/3!∙2! = 5∙4∙3∙2/3∙2∙2 = 120/12 = 10, que és el nombre de caselles de la fig. 4.

13423_170412.indd 33 20/04/12 11:50

34  L’Art i la lògica de Ramon Llull

Hi ha dues últimes consideracions a fer sobre l’ús que fa Llull dels instruments gràfics. La primera és que les seves figures, si més no les «grà-fiques», per oposició a les matrius, estan sempre inscrites en cercles. Aques-ta és simplement la manera que té Llull d’assenyalar que tots els conceptes del graf en qüestió formen un sol conjunt o que, per exemple, els triangles de la Figura T són els subgrafs no connexos d’un sol graf; per tant, caldria que això no induís el lector a confondre aquests cercles amb els de l’única figura giratòria que apareix en la majoria de versions de l’Art.

En segon lloc, tot i que Llull no fa servir arbres en cap de les obres centrals de l’Art, una breu explicació potser ajudarà a evitar de caure en algunes de les confusions que han aparegut en la bibliografia sobre aquest recurs lul∙lià. En sentit matemàtic un arbre és un graf en què no hi ha cap via a seguir que comenci i acabi en el mateix vèrtex (sense fer marxa enre-re). Això dóna lloc a la típica estructura ramificada que associem a un ar-bre. Ara bé, en Llull, els arbres de l’Arbre de ciència són arbres de debò, així com també ho són els de la versió modificada de l’arbre de Porfiri en la Lògica nova. En canvi, els del Llibre del gentil e dels tres savis no són pas ar-bres en sentit matemàtic, no tenen vies per les quals es pugui anar de l’ar-rel, a través del tronc, cap a les branques i d’aquestes a les flors. Només les flors són operatives i hi fan merament la funció de representar, d’una ma-nera que resulta més decorativa i menys alarmant, les mitges matrius de l’Art amb la seva successió de caselles binàries.7

ElS tErMES i lES fiGurES dE l’art

En la Lectura compendiosa super Artem inveniendi veritatem, Llull divideix les figures principals en dos grups: el de S i T, que són figures «agents», i el de les altres, A, V, X, Y i Z, que són figures «pacients» (MOG I, vii, 41: 473). Les cinc darreres constitueixen el material bàsic amb què opera l’Art, men-

7. L’arbre de l’Arbre de filosofia d’amor (ORL XVIII, acarat a la p. 72) és de la mateixa mena que el de l’Arbre de ciència, tot i que als manuscrits no es dibuixa igual. El de l’Arbre de fi-losofia desiderat (ORL XVII, 405) s’assembla més al de la Lògica nova. Els que hi ha en el comen-çament de cinc obres en ROL XX són com els del Llibre del gentil, però amb flors de relacions ternàries. El dels Començaments de medicina (OS II, acarat a la p. 411; NEORL V, p. 41), és més aviat una explicació en forma de diagrama de les diverses parts de la medicina. Valdria la pena examinar amb més atenció tots els arbres de Llull des del punt de vista de la teoria de grafs.

13423_170412.indd 34 20/04/12 11:50

Capítol 2. L’etapa quaternària  35

tre que les dues primeres proporcionen les eines amb què l’«artista», que és com Llull anomena l’usuari el seu sistema, les pot estudiar i manipular. Així, doncs, sembla que resultarà més fàcil estudiar primerament les figures pacients, que són més senzilles, abans de posar-nos a analitzar els elements psicològics i relacionals més complicats de les dues figures agents S i T.

La Figura A

Com el lector pot comprovar en l’apartat d’il∙lustracions en color repro-duïdes al plec central, aquesta figura és un cercle al voltant del qual hi ha escrits els setze conceptes següents:

bonesa saviesa glòria simplicitat

grandesa voluntat o amor perfecció noblesa

eternitat virtut justícia misericòrdia

poder veritat llarguesa senyoria

Com que en aquesta figura tots els vèrtexs estan connectats entre ells, és el que ja sabem que s’anomena un graf complet, que podem denotar amb K16.

8 Com era previsible, la descripció que en fa Llull és menys matemàtica: «La primera figura és circular, on està A en lo mig [...] e és la figura composta de setze cambres havents línies de la una cambra a altra, a significar que totes les cambres han conveniència, e que en re no es contrariegen. En aquelles cambres són escrites setze dignitats, les quals entenem ésser en Déu», dignitats que a continuació enumera (OS I, 292).

Resultarà útil comentar alguns aspectes d’aquesta afirmació. En Llull la paraula cambra (camera en llatí) fa referència a tota casella en què hi ha lletres o conceptes escrits.9 En la circumferència de la figura que ens ocupa hi ha un concepte en cada casella. Tanmateix, com veurem, en el discurs de l’Art aquestes cambres normalment no són unitàries sinó binà-ries i, a vegades, fins i tot contenen més de dos conceptes o lletres.

8. Vegeu la n. 4.9. En obres de caire més divulgatiu, que sovint són aquelles en què es parla d’arbres,

les cambres es converteixen en «flors» i hom s’hi refereix com a tals, sens dubte, a fi que tot plegat tingui una aparença menys tècnica i inquietant.

13423_170412.indd 35 20/04/12 11:50

36  L’Art i la lògica de Ramon Llull

Ja que hem esmentat les lletres, convé aclarir que les que hi ha just a la part de dins de la vora exterior d’aquesta i de totes les altres figures –amb l’excepció notable de la Figura S– només hi són per fer possible una mani-pulació combinatòria addicional en relació amb la Figura Demostrativa. No s’utilitzen mai en el discurs mateix de l’Art, en el qual Llull només esmen-ta els conceptes de la Figura A amb els seus noms complets.10

Les expressions «han conveniència» i «es contrariegen» que Llull uti-litza en la descripció citada, fan referència als termes «concordança» i «con-trarietat» que són, com veurem, components de la Figura T. És important que s’entengui que aquesta concordança entre conceptes queda representa-da per les línies de la figura (les arestes del nostre graf), perquè això és el que distingirà aquest graf complet dels grafs no connexos d’altres figures, així com de les figures de l’Art ternària.

Pel que fa als conceptes inclosos dins de la figura, Llull, en les seves primeres obres, com ara el Llibre de contemplació, l’ACIV o el Llibre del gentil, a l’hora de designar els atributs divins, optà pel terme «virtuts», tot i que aquesta preferència d’ús l’havia obligat a donar alguna explicació comple-mentària, com ara quan en l’ACIV especifica: «Escrivim A per Déu, al qual atribuïm setze virtuts, no accidentals sinó essencials (aquí no pretenem parlar de les virtuts teològiques o cardinals)».11 Arribada l’època de l’AD, «digni-tats» esdevé la paraula lul∙liana habitual per referir-se als atributs divins.12 Al significat comú d’aquesta paraula, s’hi sumava el fet de ser la traducció esco-làstica més corrent del grec axioma, una connotació que Llull devia haver trobat suggestiva, malgrat que aquest darrer mot s’atribuïa a proposicions i no pas a termes. Finalment, cal subratllar que en cap de les obres d’aquest perí-ode Llull no ofereix explicacions o definicions dels conceptes per separat.

Per a la comoditat del lector que vulgui consultar versions llatines d’aquesta etapa de l’Art, donem els equivalents llatins dels termes catalans. També hem afegit, al costat de les quatre últimes dignitats, les versions de l’ACIV que divergeixen de l’AD (abans i després de la barra inclinada, res-pectivament).

10. Per a l’absència d’aquestes lletres en el cicle de l’Ars compendiosa inveniendi verita-tem, vegeu el cap. 3, el paràgraf que precedeix la n. 15.

11. Vegeu la p. 105. 12. Per a les diverses designacions de les dignitats divines, vegeu Bonner 1996a. Altres

sinònims que de vegades utilitza són: «qualitats», «nobleses», «perfeccions», «raons», «atri-buts», i «infinitats».

13423_170412.indd 36 20/04/12 11:50

Capítol 2. L’etapa quaternària  37

La S

egon

a Fi

gura

de

A

bone

sabo

nesa

gran

desa

gran

desa

eter

nita

tet

erni

tat

pode

rpo

der

savi

esa

savi

esa

volu

ntat

volu

ntat

virt

utvi

rtut

verit

atve

ritat

glòr

iagl

òria

perfe

cció

perfe

cció

just

ícia

just

ícia

llarg

uesa

llarg

uesa

simpl

i-sim

pli-

nobl

esa

nobl

esa

mise

ricòr

-m

iseric

òr-

seny

oria

seny

oria

bone

sagr

ande

sagr

ande

saet

erni

tat

eter

nita

tpo

der

pode

rsa

vies

asa

vies

avo

lunt

atvo

lunt

atvi

rtut

virt

utve

ritat

verit

atgl

òria

glòr

iape

rfecc

iópe

rfecc

ióju

stíc

iaju

stíc

ialla

rgue

salla

rgue

sa

simpl

i-sim

pli-

nobl

esa

nobl

esa

mise

ricòr

-m

iseric

òr-

seny

oria

bone

saet

erni

tat

gran

desa

pode

ret

erni

tat

savi

esa

pode

rvo

lunt

atsa

vies

avi

rtut

volu

ntat

verit

atvi

rtut

glòr

iave

ritat

perfe

cció

glòr

iaju

stíc

iape

rfecc

iólla

rgue

saju

stíc

ia

simpl

i-lla

rgue

sano

bles

asim

pli-

mise

ricòr

-no

bles

ase

nyor

iabo

nesa

pode

rgr

ande

sasa

vies

aet

erni

tat

volu

ntat

pode

rvi

rtut

savi

esa

verit

atvo

lunt

atgl

òria

virt

utpe

rfecc

ióve

ritat

just

ícia

glòr

ialla

rgue

sape

rfecc

ió

simpl

i-ju

stíc

iano

bles

alla

rgue

sam

iseric

òr-

simpl

i-se

nyor

iabo

nesa

savi

esa

gran

desa

volu

ntat

eter

nita

tvi

rtut

pode

rve

ritat

savi

esa

glòr

iavo

lunt

atpe

rfecc

ióvi

rtut

just

ícia

verit

atlla

rgue

sagl

òria

simpl

i-pe

rfecc

ióno

bles

aju

stíc

iam

iseric

òr-

llarg

uesa

seny

oria

bone

savo

lunt

atgr

ande

sa

virt

utet

erni

tat

verit

atpo

der

glòr

iasa

vies

ape

rfecc

ióvo

lunt

atju

stíc

iavi

rtut

llarg

uesa

ve

ritat

simpl

i-gl

òria

nobl

esa

perfe

cció

mise

ricòr

-ju

stíc

iase

nyor

iabo

nesa

virt

utgr

ande

save

ritat

eter

nita

tgl

òria

pode

rpe

rfecc

iósa

vies

aju

stíc

iavo

lunt

atlla

rgue

savi

rtut

simpl

i-ve

ritat

nobl

esa

glòr

iam

iseric

òr-

perfe

cció

seny

oria

bone

save

ritat

gran

desa

glòr

iaet

erni

tat

perfe

cció

pode

rju

stíc

iasa

vies

alla

rgue

savo

lunt

atsim

pli-

virt

utno

bles

ave

ritat

mise

ricòr

-gl

òria

seny

oria

bone

sagl

òria

gran

desa

perfe

cció

eter

nita

tju

stíc

iapo

der

llarg

uesa

savi

esa

simpl

i-vo

lunt

atno

bles

avi

rtut

mise

ricòr

-ve

ritat

seny

oria

bone

sape

rfecc

iógr

ande

saju

stíc

iaet

erni

tat

llarg

uesa

pode

rsim

pli-

savi

esa

nobl

esa

volu

ntat

mise

ricòr

-vi

rtut

seny

oria

bone

saju

stíc

iagr

ande

salla

rgue

saet

erni

tat

simpl

i-po

der

nobl

esa

savi

esa

mise

ricòr

-vo

lunt

atse

nyor

iabo

nesa

llarg

uesa

gran

desa

simpl

i-et

erni

tat

nobl

esa

pode

rm

iseric

òr-

savi

esa

seny

oria

bone

sasim

pli-

gran

desa

nobl

esa

eter

nita

tm

iseric

òr-

pode

rse

nyor

iabo

nesa

nobl

esa

gran

desa

mise

ricòr

-et

erni

tat

seny

oria

bone

sam

iseric

òr-

gran

desa

seny

oria

bone

sase

nyor

ia

13423_170412.indd 37 20/04/12 11:50

38  L’Art i la lògica de Ramon Llull

bonitas sapientia gloria misericordia/simplicitas

magnitudo voluntas o amor13 perfectio humilitas/nobilitas

aeternitas virtus justitia dominium/misericordia

potestas veritas largitas patientia/dominium

La (mitja) matriu triangular que li correspon i que reproduïm en la pàgina anterior és el que Llull anomena «la segona figura de A».14

Com que hi ha una correspondència exacta entre aquesta i la primera figura (perquè les dignitats concorden totes les unes amb les altres), aquí tenim una matriu d’adjacència. I pel fet que, com hem dit abans, en la ma-jor part del cicle de l’Art demostrativa (i només llavors) Llull permet repeti-cions (la primera línia de la mitja matriu), tenim combinacions amb repe-ticions, cosa que ens dóna 136 cambres.15

Com veurem més endavant, el discurs de l’etapa quaternària està construït gairebé enterament a partir d’aquestes cambres binàries de les se-gones figures, per tant, doncs, en els apartats següents les anirem presentant una per una, bo i seguint els passos de Llull.16

La Figura V

Les set virtuts i els set vicis d’aquesta figura són els següents:

fe (fides) gola esperança (spes) luxúria caritat avarícia justícia orgull (superbia)

13. En la llista de les dignitats lul∙lianes, «voluntat» i «amor» són termes sovint inter-canviables.

14. Cal que el lector vagi amb compte de no aplicar els termes «primera figura» i «segona figura» en l’ACIV, en la qual volen dir una cosa completament diferent; vegeu la p. 106 i seg.

15. Si emprem la fórmula de la n. 6, (n + r − 1)!/(n − 1)!r!, obtenim (16 + 2 − 1)!/(16 − 1)!∙2! = 17∙16/2∙1 = 136.

16. Només ometrem les de les figures de teologia, de filosofia i de dret (per a les quals vegeu les pp. 60-61), perquè tenen a veure amb camps externs a l’Art.

13423_170412.indd 38 20/04/12 11:50

Capítol 2. L’etapa quaternària  39

prudència accídia fortitud17 enveja temprança ira

Com el lector pot comprovar en l’apartat d’il∙lustracions en color, les virtuts estan escrites en tinta blava i els vicis, en tinta vermella, colors que també s’empren en el text, en el qual «la V blava» significa simplement les virtuts i «la V vermella», els vicis.18 Fixeu-vos també en l’entramat de línies blaves que connecten totes les virtuts i en el de línies vermelles que connecten els vicis, cosa que ens dóna un graf que és fàcil d’interpretar com una versió ampliada de la figura 5b. Això fa que V sigui un graf no connex amb dos subgrafs de set vèrtexs cadascun, que denotarem amb D2/7.

L’explicació que Llull ofereix d’aquesta figura diu que és circular i «ha línies blaves e vermelles, e la V, que és mig vermella e mig blava, e situada en lo mig de les línies, significa per açò d’ésser blau e vermell que comprèn aqueixes mateixes virtuts e vicis. Les línies blaves transversals, emperò, que s’estenen d’una cambra de virtut a altra, signifiquen i manifesten que totes les virtuts se concorden19 en dues maneres: la una manera és com se con-corden entre elles mateixes, l’altra és com se concorden contra els vicis; e açò mateix se segueix dels vicis, los quals han línies vermelles, que s’este-nen d’una cambra de vicis a altra, els quals vicis concordant-se en si matei-xos e contrariants a les virtuts». (OS I, 300)

Els conceptes d’aquesta figura, juntament amb els de la Figura A, formen l’esquelet de moltes de les obres de Llull de caràcter més divulgatiu, com ara el Llibre del gentil o alguna de les seves col∙leccions de sermons, en les quals limita l’exposició explícita de l’Art a aquests conceptes més acces-sibles i omet (o dissimula) l’ús de les altres figures.

Reproduïm la mitja matriu corresponent en la pàgina següent.

17. Fins i tot en els textos catalans, Llull sempre utilitza la forma llatina fortitudo.18. Llull només omet els colors quan aparella V amb conceptes positius o negatius,

una circumstància en què se sobreentén que representa virtuts o vicis, respectivament. D’aquesta manera, el lector de l’AD, tal com aprendrà quan estudiem les figures S, Y i Z, so-vint toparà amb les cambres E A V Y i I V Z amb el primer significat, «amb l’ànima racional que ama Déu, les virtuts i la veritat», i amb el segon significat, «amb l’ànima racional que desama el pecat i la falsedat».

19. Fixeu-vos novament en l’equivalència entre la «concordança» i les arestes del nostre graf; aquest és el motiu pel qual no hi ha cap línia que enllaci una virtut amb un vici. Cal advertir que part del passatge citat manca al text català i ha estat traduït del llatí.

13423_170412.indd 39 20/04/12 11:50

40  L’Art i la lògica de Ramon Llull

La S

egon

a Fi

gura

de

V

fe

fees

pera

nça

espe

ranç

aca

ritat

carit

atju

stíc

iaju

stíc

iapr

udèn

cia

prud

ènci

afo

rtitu

dfo

rtitu

dte

mpr

ança

tem

pran

çago

lago

lalu

xúria

luxú

riaav

aríc

iaav

aríc

iaor

gull

orgu

llac

cídi

aac

cídi

aen

veja

enve

jaira

ira

fe

espe

ranç

aes

pera

nça

carit

atca

ritat

just

ícia

just

ícia

prud

ènci

apr

udèn

cia

fort

itud

fort

itud

tem

pran

çate

mpr

ança

gola

gola

luxú

rialu

xúria

avar

ícia

avar

ícia

orgu

llor

gull

accí

dia

accí

dia

enve

jaen

veja

irafe

ca

ritat

espe

ranç

aju

stíc

iaca

ritat

prud

ènci

aju

stíc

iafo

rtitu

dpr

udèn

cia

tem

pran

çafo

rtitu

dgo

late

mpr

ança

luxú

riago

laav

aríc

ialu

xúria

orgu

llav

aríc

iaac

cídi

aor

gull

enve

jaac

cídi

aira

fe

just

ícia

espe

ranç

apr

udèn

cia

carit

atfo

rtitu

dju

stíc

iate

mpr

ança

prud

ènci

a go

lafo

rtitu

dlu

xúria

tem

pran

çaav

aríc

iago

laor

gull

luxú

riaac

cídi

aav

aríc

iaen

veja

orgu

llira

fe

prud

ènci

aes

pera

nça

fort

itud

carit

atte

mpr

ança

just

ícia

gola

prud

ènci

alu

xúria

fort

itud

avar

ícia

tem

pran

çaor

gull

gola

accí

dia

luxú

riaen

veja

avar

ícia

irafe

fo

rtitu

des

pera

nça

tem

pran

çaca

ritat

gola

just

ícia

luxú

riapr

udèn

cia

avar

ícia

fort

itud

orgu

llte

mpr

ança

accí

dia

gola

en

veja

luxú

ria

irafe

te

mpr

ança

espe

ranç

ago

laca

ritat

luxú

riaju

stíc

iaav

aríc

iapr

udèn

cia

orgu

llfo

rtitu

dac

cídi

ate

mpr

ança

enve

jago

la

irafe

go

laes

pera

nça

luxú

riaca

ritat

avar

ícia

just

ícia

orgu

llpr

udèn

cia

accí

dia

fort

itud

enve

jate

mpr

ança

irafe

lu

xúria

espe

ranç

aav

aríc

iaca

ritat

orgu

llju

stíc

iaac

cídi

apr

udèn

cia

enve

jafo

rtitu

dira

fe avar

ícia

espe

ranç

aor

gull

carit

atac

cídi

aju

stíc

iaen

veja

prud

ènci

a ira

fe orgu

lles

pera

nça

accí

dia

carit

at

enve

jaju

stíc

iaira

fe

accí

dia

espe

ranç

aen

veja

carit

at

irafe

en

veja

espe

ranç

a ira

fe

ira

13423_170412.indd 40 20/04/12 11:50

Capítol 2. L’etapa quaternària  41

Atès que les segones figures de l’AD són el punt de partença per juxtaposar i estudiar totes les possibles combinacions binàries dels conceptes que s’hi enumeren, i no solament les concordants connectades per línies, aquí ja no tenim una correspondència funcional exacta entre les dues figures i, per tant, la segona ja no és una matriu d’adjacència. En aquesta figura, com que el nombre de components és inferior, tenim 105 cambres de combinacions binàries.20

La Figura X

La Figura X té setze conceptes, que enumerarem en dues sèries de vuit pa-relles de conceptes, imitant la manera com Llull els empra sovint:

predestinació franc arbitriésser privacióperfecció defectemèrit culpasuposició demostracióimmediatament mediatamentrealitat raons21

potència objecte

Com es pot veure en l’apartat d’il∙lustracions en color, la Figura X s’assem-bla a la Figura A pel fet de tenir tots els vèrtexs units; tornem a tenir, doncs, un graf connex K16, i això malgrat que està composta per parelles de conceptes oposats. O, tal com Llull ho expressa, «En esta figura són línies qui toquen cascuna de les cambres, a significar que les cambres a vegades se concorden, a vegades són contràries, e açò mediate e immediate; e per açò és aquesta figura molt necessària a esta Art» (OS I, 301). Fixeu-vos que, a més de concordança i contrarietat, també s’hi parla de «mediate» i «immediate», dos conceptes de la mateixa Figura X.

20. (n + r − 1)!/(n − 1)!r! aquí dóna lloc a (14 + 2 − 1)!/(14 − 1)!∙2! = 15∙14/2∙1 = 105.21. En els primers manuscrits apareix en plural (i en la forma llatinitzant rationes) i no

en singular com en els manuscrits més tardans, en MOG i en OS. Altres formes llatinitzants que Llull empra en la redacció catalana d’aquesta llista són defectus, immediate i mediate (els dos darrers mots, amb la desinència adverbial llatina).

13423_170412.indd 41 20/04/12 11:50

42  L’Art i la lògica de Ramon Llull

La S

egon

a Fi

gura

de

X

pred

estin

-pr

edes

tin-

ésse

rés

ser

perfe

cció

perfe

cció

mèr

itm

èrit

supo

sició

supo

sició

im

med

iata-

imm

ediat

a-re

alita

tre

alita

tpo

tènc

iapo

tènc

iafra

nc ar

bitri

franc

arbi

tripr

ivac

iópr

ivac

ióde

fecte

defec

tecu

lpa

culp

ade

mos

tració

dem

ostra

cióm

ediat

a-m

ediat

a-ra

ons

raon

sob

jecte

objec

tepr

edes

tin-

ésse

rés

ser

perfe

cció

perfe

cció

mèr

itm

èrit

supo

sició

supo

sició

imm

ediat

a-im

med

iata-

reali

tat

reali

tat

potè

ncia

potè

ncia

franc

arbi

trifra

nc ar

bitri

priv

ació

priv

ació

defec

tede

fecte

culp

acu

lpa

dem

ostra

cióde

mos

tració

med

iata-

med

iata-

raon

sra

ons

objec

tepr

edes

tin-

perfe

cció

ésse

rm

èrit

perfe

cció

supo

sició

mèr

itim

med

iata-

supo

sició

reali

tat

imm

ediat

a-po

tènc

iare

alita

tfra

nc ar

bitri

potè

ncia

priv

ació

franc

arbi

tride

fecte

priv

ació

culp

ade

fecte

dem

ostra

ciócu

lpa

med

iata-

dem

ostra

cióra

ons

med

iata-

objec

tepr

edes

tin-

mèr

ités

ser

supo

sició

perfe

cció

imm

ediat

a-m

èrit

reali

tat

supo

sició

potè

ncia

imm

ediat

a-fra

nc ar

bitri

reali

tat

priv

ació

potè

ncia

defec

tefra

nc ar

bitri

culp

apr

ivac

ióde

mos

tració

defec

tem

ediat

a-cu

lpa

raon

sde

mos

tració

objec

tepr

edes

tin-

supo

sició

ésse

rim

med

iata-

perfe

cció

reali

tat

mèr

itpo

tènc

iasu

posic

iófra

nc ar

bitri

imm

ediat

a-pr

ivac

ióre

alita

tde

fecte

potè

ncia

culp

afra

nc ar

bitri

dem

ostra

ciópr

ivac

ióm

ediat

a-de

fecte

raon

scu

lpa

objec

tepr

edes

tin-

imm

ediat

a-és

ser

reali

tat

perfe

cció

potè

ncia

mèr

itfra

nc ar

bitri

supo

sició

priv

ació

imm

ediat

a-de

fecte

reali

tat

culp

apo

tènc

iade

mos

tració

franc

arbi

trim

ediat

a-pr

ivac

ióra

ons

defec

teob

jecte

pred

estin

-re

alita

tés

ser

potè

ncia

perfe

cció

franc

arbi

trim

èrit

priv

ació

supo

sició

defec

teim

med

iata-

culp

are

alita

tde

mos

tració

potè

ncia

med

iata-

franc

arbi

trira

ons

priv

ació

objec

tepr

edes

tin-

potè

ncia

ésse

rfra

nc ar

bitri

perfe

cció

priv

ació

mèr

itde

fecte

supo

sició

culp

aim

med

iata-

dem

ostra

cióre

alita

tm

ediat

a-po

tènc

iara

ons

franc

arbi

triob

jecte

pred

estin

-fra

nc ar

bitri

ésse

rpr

ivac

iópe

rfecc

ióde

fecte

mèr

itcu

lpa

supo

sició

dem

ostra

cióim

med

iata-

med

iata-

reali

tat

raon

spo

tènc

iaob

jecte

pred

estin

-pr

ivac

ióés

ser

defec

tepe

rfecc

iócu

lpa

mèr

itde

mos

tració

supo

sició

med

iata-

imm

ediat

a-ra

ons

reali

tat

objec

tepr

edes

tin-

defec

teés

ser

culp

ape

rfecc

ióde

mos

tració

mèr

itm

ediat

a-su

posic

ióra

ons

imm

ediat

a-ob

jecte

pred

estin

-cu

lpa

ésse

rde

mos

tració

perfe

cció

med

iata-

mèr

itra

ons

supo

sició

objec

tepr

edes

tin-

dem

ostra

cióés

ser

med

iata-

perfe

cció

raon

sm

èrit

objec

tepr

edes

tin-

med

iata-

ésse

rra

ons

perfe

cció

objec

tepr

edes

tin-

raó

ésse

rob

jecte

pred

estin

- ob

jecte

13423_170412.indd 42 20/04/12 11:50