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“RELANZAMIENTO DE LA EDUCACIÓN COSTARRICENSE”

LA TRANSVERSALIDAD EN LOS PRO-GRAMAS DE ESTUDIO

Los cambios sociales, económicos, culturales, científicos, ambientales y tecnológicos del mundo contemporáneo, han exigido al currículo educativo no solo aportar conocimientos e información, sino también favorecer el desarrollo de valores, actitu-des, habilidades y destrezas que apunten al mejo-ramiento de la calidad de vida de las personas y de las sociedades (Marco de Acción Regional de “Educación para Todos en las Américas”, Santo Domingo, 2000). Sin embargo, existe en nuestro Sistema Educativo una dificultad real de incorporar nuevas asignaturas o contenidos relacionados con los temas emergentes de relevancia para nuestra sociedad, pues se corre el riesgo de saturar y frag-mentar los programas de estudio.

Una alternativa frente a estas limitaciones es la transversalidad, la cual se entiende como un “En-foque Educativo que aprovecha las oportunidades que ofrece el currículo, incorporando en los proce-sos de diseño, desarrollo, evaluación y administra-ción curricular, determinados aprendizajes para la vida, integradores y significativos, dirigidos al mejo-ramiento de la calidad de vida individual y social. Es de carácter holístico, axiológico, interdisciplina-rio y contextualizado” (Comisión Nacional Ampliada de Transversalidad, 2002).

De acuerdo con los lineamientos emanados del Consejo Superior de Educación (SE 339-2003), el único eje transversal del currículo costarricense

es el de valores. De esta manera, el abordaje sis-temático de los Valores en el currículo nacional, pretende potenciar el desarrollo socio-afectivo y ético de los y las estudiantes, a partir de la posición humanista expresada en la Política Educativa y en la Ley Fundamental de Educación.

A partir del Eje transversal de los valores y de las obligaciones asumidas por el estado desde la le-gislación existente, en Costa Rica se han definido los siguientes Temas transversales: Cultura Am-biental para el Desarrollo Sostenible, Educación In-tegral de la Sexualidad, Educación para la Salud y Vivencia de los Derechos Humanos para la Demo-cracia y la Paz.

Para cada uno de los temas transversales se han definido una serie de competencias por desarro-llar en los y las estudiantes a lo largo de su período de formación educativa. Las Competencias se en-tienden como: “Un conjunto integrado de conoci-mientos, procedimientos, actitudes y valores, que permite un desempeño satisfactorio y autónomo ante situaciones concretas de la vida personal y social” (Comisión Nacional Ampliada de Transver-salidad, 2002). Las mismas deben orientar los pro-cesos educativos y el desarrollo mismo de la trans-versalidad.

Desde la condición pedagógica de las competen-cias se han definido competencias de la trans-versalidad como: “Aquellas que atraviesan e im-pregnan horizontal y verticalmente, todas las asig-naturas del currículo y requieren para su desarrollo del aporte integrado y coordinado de las diferentes

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disciplinas de estudio, así como de una acción pe-dagógica conjunta” (Beatriz Castellanos, 2002). De esta manera, están presentes tanto en las pro-gramaciones anuales como a lo largo de todo el sistema educativo.

A continuación se presenta un resumen del enfo-que de cada tema transversal y las competencias respectivas:

Cultura Ambiental para el Desarrollo Sostenible

La educación ambiental se considera como el ins-trumento idóneo para la construcción de una cultu-ra ambiental de las personas y las sociedades, en función de alcanzar un desarrollo humano sosteni-ble, mediante un proceso que les permita com-prender su interdependencia con el entorno, a par-tir del conocimiento crítico y reflexivo de la realidad inmediata, tanto biofísica como social, económica, política y cultural.

Tiene como objetivo que, a partir de ese conoci-miento y mediante actividades de valoración y res-peto, las y los estudiantes se apropien de la reali-dad, de manera que, la comunidad educativa parti-cipe activamente en la detección y solución de pro-blemas, en el ámbito local, pero con visión planeta-ria.

Competencias por desarrollar

Aplica los conocimientos adquiridos median-te procesos críticos y reflexivos de la reali-

dad, en la resolución de problemas (ambien-tales, económicos, sociales, políticos, éticos) de manera creativa y mediante actitudes, prácticas y valores que contribuyan al logro del desarrollo sostenible y una mejor calidad de vida.

Participa comprometida, activa y responsa-blemente en proyectos tendientes a la con-servación, recuperación y protección del ambiente; identificando sus principales pro-blemas y necesidades, generando y desa-rrollando alternativas de solución, para con-tribuir al mejoramiento de su calidad de vida, la de los demás y al desarrollo sostenible.

Practica relaciones armoniosas consigo mis-mo, con los demás, y los otros seres vivos por medio de actitudes y aptitudes respon-sables, reconociendo la necesidad de inter-dependencia con el ambiente.

Educación Integral de la Sexualidad

A partir de las “Políticas de Educación Integral de la Expresión de la Sexualidad Humana” (2001), una vivencia madura de la sexualidad humana re-quiere de una educación integral, por lo que deben atenderse los aspectos físicos, biológicos, psicoló-gicos, socioculturales, éticos y espirituales. No puede reducirse a los aspectos biológicos repro-ductivos, ni realizarse en un contexto desprovisto de valores y principios éticos y morales sobre la vi-da, el amor, la familia y la convivencia.

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La educación de la sexualidad humana inicia des-de la primera infancia y se prolonga a lo largo de la vida. Es un derecho y un deber, en primera instan-cia, de las madres y los padres de familia. Le co-rresponde al Estado una acción subsidaria y poten-ciar la acción de las familias en el campo de la educación y la información, como lo expresa el Có-digo de la Niñez y la Adolescencia.

El sistema educativo debe garantizar vivencias y estrategias pedagógicas que respondan a las po-tencialidades de la población estudiantil, en con-cordancia con su etapa de desarrollo y con los con-textos socioculturales en los cuales se desenvuel-ven.


Se relaciona con hombres y mujeres de ma-nera equitativa, solidaria y respetuosa de la diversidad.

Toma decisiones referentes a su sexualidad desde un proyecto de vida basado en el co-nocimiento crítico de sí mismo, su realidad sociocultural y en sus valores éticos y mora-les.

Enfrenta situaciones de acoso, abuso y vio-lencia, mediante la identificación de recur-sos internos y externos oportunos.

Expresa su identidad de forma auténtica, responsable e integral, favoreciendo el de-sarrollo personal en un contexto de interrela-ción y manifestación permanente de senti-

mientos, actitudes, pensamientos, opiniones y derechos.

Promueve procesos reflexivos y constructi-vos en su familia, dignificando su condición de ser humano, para identificar y proponer soluciones de acuerdo al contexto sociocul-tural en el cual se desenvuelve.

Educación para la Salud

La educación para la salud es un derecho funda-mental de todos los niños, niñas y adolescentes. El estado de salud, está relacionado con su rendi-miento escolar y con su calidad de vida. De mane-ra que, al trabajar en educación para la salud en los centros educativos, según las necesidades de la población estudiantil, en cada etapa de su desa-rrollo, se están forjando ciudadanos con estilos de vida saludables, y por ende, personas que constru-yen y buscan tener calidad de vida, para sí mismas y para quienes les rodean.

La educación para la salud debe ser un proceso social, organizado, dinámico y sistemático que mo-tive y oriente a las personas a desarrollar, reforzar, modificar o sustituir prácticas por aquellas que son más saludables en lo individual, lo familiar y lo co-lectivo y en su relación con el medio ambiente.

De manera que, la educación para la salud en el escenario escolar no se limita únicamente a trans-mitir información, sino que busca desarrollar cono-cimientos, habilidades y destrezas que contribuyan a la producción social de la salud, mediante proce-sos de enseñanza – aprendizajes dinámicos, don-

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de se privilegia la comunicación de doble vía, así como la actitud crítica y participativa del estudian-tado.


Vivencia un estilo de vida que le permite, en for-ma crítica y reflexiva, mantener y mejorar la salud integral y la calidad de vida propia y la de los demás.

Toma decisiones que favorecen su salud inte-gral y la de quienes lo rodean, a partir del cono-cimiento de sí mismo y de los demás, así como del entorno en que se desenvuelve.

Elige mediante un proceso de valoración crítica, los medios personales más adecuados para en-frentar las situaciones y factores protectores y de riesgo para la salud integral propia y la de los demás.

Hace uso en forma responsable, crítica y parti-cipativa de los servicios disponibles en el sector salud, educación y en su comunidad, adquirien-do compromisos en beneficio de la calidad de los mismos.

Vivencia de los Derechos Humanos para la De-mocracia y la Paz

Costa Rica es una democracia consolidada pero en permanente estado de revisión y retroalimenta-ción, por lo cual la vigencia de los derechos huma-nos es inherente al compromiso de fortalecer una cultura de paz y de democracia.

En los escenarios educativos es oportuno gestio-nar mecanismos que promuevan una verdadera participación ciudadana en los ámbitos familiar, co-munal, institucional y nacional. Para ello, la socie-dad civil debe estar informada y educada en rela-ción con el marco legal brindado por el país, de manera que, desarrolle una participación efectiva y no se reduzca a una participación periódica con ca-rácter electoral.

Se debe propiciar un modelo de sistema democrá-tico que permita hacer del ejercicio de la ciudada-nía una actividad atractiva, interesante y cívica que conlleva responsabilidades y derechos.


Practica en la vivencia cotidiana los dere-chos y responsabilidades que merece como ser humano y ser humana, partiendo de una convivencia democrática, ética, tolerante y pacífica.

Asume su realidad como persona, sujeto de derechos y responsabilidades.

Elige las alternativas personales, familiares y de convivencia social que propician la tole-rancia, la justicia y la equidad entre géneros de acuerdo a los contextos donde se desen-vuelve.

Participa en acciones inclusivas para la vi-vencia de la equidad en todos los contextos socioculturales.

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Ejercita los derechos y responsabilidades para la convivencia democrática vinculada a la cultura de paz.

Es tolerante para aceptar y entender las di-ferencias culturales, religiosas y étnicas que, propician posibilidades y potencialidades de y en la convivencia democrática y cultura de paz.

Valora las diferencias culturales de los dis-tintos modos de vida.

Practica acciones, actitudes y conductas di-rigidas a la no violencia en el ámbito esco-lar, en la convivencia con el grupo de pares, familia y comunidad ejercitando la resolu-ción de conflictos de manera pacífica y la expresión del afecto, la ternura y el amor.

Aplica estrategias para la solución pacífica de conflictos en diferentes contextos

Respeta las diversidades individuales, cultu-rales éticas, social y generacional.

Abordaje Metodológico de la Transversalidad desde los Programas de Estudio y en el Planea-miento Didáctico

La transversalidad es un proceso que debe eviden-ciarse en las labores programáticas del Sistema Educativo Nacional; desde los presentes Progra-mas de estudio hasta el Planeamiento didáctico que el ó la docente realizan en el aula.

Con respecto a los Programas de Estudio, en algu-nos Procedimientos y Valores se podrán visualizar procesos que promueven, explícitamente, la incor-poración de los temas transversales. Sin embargo,

las opciones para realizar convergencias no se li-mitan a las mencionadas en los programas, ya que el ó la docente puede identificar otras posibilidades para el desarrollo de los procesos de transversali-dad.

En este caso, se presenta como tarea para las y los docentes identificar -a partir de una lectura exhaustiva de los conocimientos previos del estu-diantado, del contexto sociocultural, de los aconte-cimientos relevantes y actuales de la sociedad-, cuáles de los objetivos de los programas represen-tan oportunidades para abordar la transversalidad y para el desarrollo de las competencias.

Con respecto al planeamiento didáctico, la trans-versalidad debe visualizarse en las columnas de Actividades de mediación y de Valores y Actitudes, posterior a la identificación realizada desde los Programas de Estudio. El proceso de transversali-dad en el aula debe considerar las características de la población estudiantil y las particularidades del entorno mediato e inmediato para el logro de aprendizajes más significativos.

Además del planeamiento didáctico, la transversali-dad debe visualizarse y concretizarse en el plan Institucional, potenciando la participación activa, crítica y reflexiva de las madres, los padres y en-cargados, líderes comunales, instancias de acción comunal, docentes, personal administrativo y de to-da la comunidad educativa.

En este sentido, el centro educativo debe tomar las decisiones respectivas para que exista una cohe-

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rencia entre la práctica cotidiana institucional y los temas y principios de la transversalidad. Esto plan-tea, en definitiva, un reto importante para cada ins-titución educativa hacia el desarrollo de postulados humanistas, críticos y ecológicos.

COMISIÓN TEMAS TRANSVERSALES

M.Sc. Priscilla Arce León. DANEA.

M.Sc. Viviana Richmond. Departamento de Edu-cación Integral de la Sexualidad Humana

M.Sc. Mario Segura Castillo. Departamento de Evaluación Educativa

M.Sc. Carlos Rojas Montoya. Departamento de Educación Ambiental.

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PROGRAMA DE ESTUDIOMATEMÁTICA III CICLO

COMISIÓN REDACTORA:Licda Marielos Ulate Badilla (Coordinadora)MSC. Flor de María Salas MonteroLic. Marco Vinicio Vargas AragonésLicda Mayela Ríos BarbozaLicda Vilma Segura BonillaLic. Edgar Valerio HernándezLic. Carlos Jiménez JiménezLic. Javier Barquero Rodríguez

Colaboración:MSc Maurilio Loría MenesesLic. Alexis Camacho Navarro.

Co-misión Re-vi-sión y AjustesMSc Ro-xana Martí-nez Ro-dríguez (Coo

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r-di-nadora)Li-c-da Yeaneth Villa-lo-bos Pal-maMSc. Carlos Sa-la-zar Pa-

di-llaLic Gusta-vo Gam-boa Se-vi-lla

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Li-c-da Ya-di-ra Ba-rrantes Bo-gan-tesLi-c-da Vilma Se-gura Bo-ni-llaLic.

Carlos Ji-mé-nez Ji-mé-nezLic Edgar Va-le-rio Hernán-dez

REALIZADO EN EL DEPARTAMENTO DE EDU-CACIÓN ACADÉMICA

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TABLA DE CONTENIDOSMATEMÁTICA III CICLO

I. La Transversalidad en los Programas de Estudio 4

II. Comisión Redactora 9

III. Tabla de Contenidos 10

IV. Índice de unidades de estudio 11

V. Distribución de unidades de estudio por nivel 11

VI. Justificación 12

i. Orientaciones Metodologías 16

ii. Estrategias Metodologías 32

iii. Orientaciones para la enseñanza y el aprendizaje de las actitudes y valores en matemática 53

iv. Orientaciones para la Evaluación de la Ma-temática en III Ciclo 55

v. Características particulares en el III Ciclo de la Educación General Básica 58

vi. Objetivos del III Ciclo 59

VII. Programa de VII Año 61

VIII. Programa de VIII Año 78

IX. Programa de IX Año 95

X. Glosario 114

XI. Bibliografía 117

INDICE DE UNIDADES DE ESTUDIOMATEMÁTICA III CICLO

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Sétimo AñoGeometría 62Números enteros 68Números racionales 75

Octavo AñoGeometría 79Álgebra 85Estadística 92

Noveno AñoNúmeros reales 96Estadística 104Geometría 107Trigonometría 110

Algebra 113

DISTRIBUCIÓN DE UNIDADES DE ESTU-DIO POR NIVEL

MATEMÁTICA III CICLO

7° Nivel 8° NivelUNIDADES UNIDADES

GeometríaNúmeros enterosNúmeros Racionales

GeometríaÁlgebraEstadística

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PROGRAMA DE MATEMÁTICAIII CICLO

VI. JUSTIFICACIÓN

La sociedad moderna ha integrado como uno de los pilares el papel creciente del conocimiento en to-das las dimensiones de su desarrollo. Las ciencias y la tecnolo-gía se han convertido, especialmente, des-pués de la Segunda Guerra Mundial, en dispositivos impres-cindibles en los pla-nes de progreso eco-nómico, político y so-cial de las naciones.

Como señala el docu-mento La Política Educativa hacia el Si-glo XXI, aprobado por el Consejo Superior de Educación, en no-viembre de 1994: existe un cambio de paradigma que “signi-fica una nueva mane-ra de ver el mundo y

ha afectado la forma en que las naciones perciben su desarro-llo”. Una de las impli-caciones de este cambio decisivo es lo siguiente: ya nadie puede negar que aquellas naciones que no logren entender el significado del conoci-miento en este con-texto histórico estarán condenadas al atraso y a menores niveles de calidad de vida pa-ra sus poblaciones.

De manera conscien-te, un país no desa-rrollado deberá inver-tir decisivamente en el fortalecimiento de las ciencias, tanto natura-les como sociales, en la tecnología y en el ensanchamiento cul-tural de sus pueblos, como recursos indis-pensables de cual-quier estrategia de

progreso nacional. La educación, en todas sus dimensiones, aparece en este con-texto no sólo como un medio de avance indi-vidual sino como la llave del progreso co-lectivo y nacional “... debe asumir la res-ponsabilidad histórica de ocupar el plano protagónico que le concierne”, como bien señala el documento aprobado por el Con-sejo Superior de Edu-cación que se cita arriba. Y, muy espe-cialmente, la educa-ción científica y tecno-lógica debe ocupar un espacio de gran priori-dad en estos planes.

Tenemos que volcar gran energía y mu-chos recursos en la educación científica y tecnológica sin des-cuidar la perspectiva integral y humanista, que debe constituir el valor central de parti-da en el decurso na-

cional. Por esta razón, la educación debe es-tructurarse, como lo sugiere Jackes De-lors, en su libro La Educación Encierra un Tesoro, en torno a cuatro aprendizajes fundamentales. Estos aprendizajes, serán para cada persona, en cierto sentido, los pila-res del conocimiento:

Aprender a conocer (ad-quirir los instru-mentos de la comprensión).

Aprender a hacer (para po-der influir sobre el propio en-torno).

Aprender a vi-vir juntos (pa-ra participar y cooperar con los demás, en todas las activi-dades huma-nas).

Aprender a ser (proceso que recoge ele-

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mentos de los tres anteriores).

Las matemáticas han ocupado un lugar pri-vilegiado en el devenir del conocimiento hu-mano, tanto como descripción de dimen-siones especiales de la realidad como len-guaje y fundamento de las otras ciencias. La matematización de las otras ciencias es una característica constante del conoci-miento moderno. El llamado al fortaleci-miento de la forma-ción matemática constituye uno de los principales reclamos de la nueva etapa his-tórica.

Los procesos de En-señanza y de Apren-dizaje se constituyen en una condición para la formación de las mujeres y los hom-bres que requiere la nueva Costa Rica. La Educación Matemáti-

ca no sólo debe lograr la obtención de conte-nidos teóricos o cultu-rales, sino –y esto es esencial– fomentar las destrezas, habili-dades y recursos mentales indispensa-bles que debe tener el ciudadano del nuevo orden histórico en las nuevas condiciones. No de manera exclu-siva, pero deben po-nerse en relieve las calidades de la forma-ción matemática co-mo mecanismo indis-pensable para el de-sarrollo de las capaci-dades analíticas, lógi-cas, de síntesis y criti-cidad cognoscitivas, del razonamiento in-ductivo y la abstrac-ción. La formación matemática debe ver-se como un gran ins-trumento para dotar a nuestros ciudadanos de los medios para permitir la construc-ción y reconstrucción teórica de la realidad física y social; un me-

dio para fortalecer en las nuevas generacio-nes el pensamiento abstracto y riguroso y la independencia de criterio, premisas cen-trales para la realiza-ción plena de los indi-viduos material y espi-ritualmente.

El fortalecimiento de la formación matemá-tica nacional debe verse también como un camino para solidi-ficar la reflexión inde-pendiente y crítica y la escogencia intelectual apropiada entre las di-ferentes opciones que siempre presenta el entorno, y entonces debe verse como un especial sustento pa-ra el robustecimiento de los más importan-tes valores costarri-censes.

Apuntalar el espacio científico y tecnológi-co y el fortalecimiento cultural que la nación plantea, en particular,

dotar a la ciudadanía de una formación en matemáticas sólida, moderna, amplia, y de calidad que responda a las exigencias que demanda el nuevo si-glo y el contexto histó-rico presente.

La formación mate-mática conduce a la comprensión y resolu-ción de situaciones de la vida cotidiana del individuo moderno, permite enriquecer el proceso de mediación entre la cultura siste-matizada y la cotidia-na.

Las Matemáticas son un factor importante para la formación de valores porque: desa-rrolla la imaginación, la creatividad, el razo-namiento, la criticidad, la capacidad de hacer estimaciones y tam-bién contribuye al aprecio por la natura-leza, a través de su aplicación en el arte, y

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propician el desarrollo de modelos matemáti-cos que contribuyen al desarrollo sustenta-ble y sostenible de la naturaleza. Además, el estudio de esta dis-ciplina contribuye con la formación de valo-res morales y éticos, a perfeccionar el uso del idioma, a valorar las contribuciones de los antiguos pensado-res en el desarrollo de la Matemática.

Propicia el desarrollo de la capacidad para realizar juicios críti-cos, valora las relacio-nes que se estable-cen entre los diferen-tes hechos, fenóme-nos y las Matemáti-cas, para construir su conocimiento, con-frontar la información, los resultados y otros, con la realidad.Permite al alumno asumir retos persona-les y sociales que se le presentan en el de-sarrollo de los conte-

nidos programáticos y en su vida, siendo consciente de sus propias capacidades, potencialidades y limi-taciones. También, le permite aplicar los co-nocimientos matemá-ticos a los procesos de producción y distri-bución justa de bienes y servicios.

El currículo de la edu-cación matemática en el Ciclo Diversificado, en particular, debe responder a las exi-gencias del nuevo si-glo. Debe verse a la luz de la perspectiva del futuro, porque de lo contrario, la dinámi-ca vertiginosa del mo-mento nos dejará per-didos. Esto supone que la definición del nuevo perfil educativo debe poder leer las principales líneas del curso cognoscitivo, cultural y educativo mundial y definir con lucidez y perspicacia

los ejes del desarrollo futuro del país.

Como uno de los fines fundamentales de es-te programa, se espe-ra que los estudian-tes:

Aprendan a valo-rar las matemáti-cas.

Se sientan segu-ros de su capaci-dad para hacer matemáticas y confíen en su pro-pio pensamiento matemático.

Lleguen a resolver problemas mate-máticos.

Que aprendan a comunicarse me-diante la matemá-tica.

Aprendan a razo-nar matemática-mente.

Experimenten si-tuaciones abun-dantes y variadas, relacionadas entre sí, que los lleven a valorar las tareas

matemáticas, de-sarrollar hábitos mentales matemá-ticos, entender y apreciar el papel que las Matemáti-cas cumplen en los asuntos huma-nos.

Exploren y puedan predecir e incluso cometer errores y corregirlos de for-ma que ganen confianza en su propia capacidad de resolver proble-mas simples y complejos.

Puedan leer, escri-bir y debatir sobre las matemáticas y formular hipótesis, comprobarlas y elaborar argumen-tos sobre la vali-dez de las hipóte-sis.

Se familiarice con una Matemática integrada en todas sus áreas.

Tengan experien-cias variadas en relación con la

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evolución cultural, histórica y científi-ca de las matemá-ticas, de forma que puedan apre-ciar el papel que cumplen las mate-máticas en el de-sarrollo de nuestra sociedad y el im-pacto que tienen en la cultura y la vida diaria.

Exploren las rela-ciones existentes entre las matemá-ticas y las discipli-nas con las que in-teractúan.

Se puede señalar que las matemáticas no deberían verse ni co-mo abstracciones sur-gidas de la naturaleza sin la intervención creativa del sujeto, ni como creaciones abs-tractas efectuadas por el sujeto al margen de la realidad física y so-cial. Tanto participa el sujeto como el objeto en una dinámica constructivista. (Y,

además, dependiendo de la parte de las ma-temáticas que se es-tudie, interviene más el objeto o más el su-jeto: por ejemplo, en la geometría el en-torno físico interviene más que en el álge-bra).

Esto tiene muchas im-plicaciones, entre ellas: reducir los for-malismos, las estruc-turas algebraicas va-cías al margen de una estrategia epistemoló-gica, disminuir las de-mostraciones innece-sarias y el excesivo vocabulario complica-do y abstracto que ha confundido tanto la enseñanza de las ma-temáticas.

En todo esto debe te-nerse cuidado: no se trata de eliminar la abstracción o el trata-miento lógico y de-ductivo en la ense-ñanza de las matemá-ticas. Se trata de dos

cosas: por un lado darle un sentido dis-tinto a la abstracción haciendo ver que esta es constructiva y ope-rativa, con un papel dinámico del sujeto y por otra parte, colocar la abstracción y la di-mensión lógica y de-ductiva en una perspectiva tal que no los convierta en obs-táculos para la com-prensión. Por otra parte, la abstracción mal planteada, o colo-cada en un momento inadecuado, puede impedir precisamente que esta misma se desarrolle.

i. ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

A. GENERALI-DADES

Una Matemática desprovista de la participación activa del sujeto y desconectada del entorno físico y social,

solo puede afectar negativamente el interés por las matemáticas y su asimilación en el largo plazo.

En parte se trata que las actividad escogidas y la integración de la matemática a la cultura cotidiana y sistemática sean el mecanismo propio que utilizando y ampliando las habilidades, reconstruyan el conocimiento matemático.

El aprendizaje de lo abstracto debe concebirse a través de las situaciones escogidas y la actividad constructiva del adolescente.

En buena medida, la resolución de problemas constituye el mecanismo privilegiado, para

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llevar a cabo la educación matemática así planteada. La orientación constructivista y empírica y el mecanismo general de la resolución de problemas que están presentes en la Educación General Básica, deben concebirse como la actitud cognoscitiva para la enseñanza de las matemáticas en todos los niveles.

Tampoco puede excluirse un contexto lúdico adecuado a sus condiciones en la Educación del III Ciclo de Educación General Básica. El placer por el conocimiento debe estar presente en toda estrategia educativa. De la misma manera, debe eliminarse el exceso de lenguaje innecesario y vacío, los formalismos y la

actitud de enunciar y declarar profusamente.

Debe enfatizase en su lugar, el hacer, el usar, el operar, aunque siempre con la lucidez y dirección proporcionadas por las profesoras y los profesores. En parte, al igual que la enseñanza de los idiomas, su uso, su práctica, permite su conocimiento. Muchas veces, el énfasis en el riguroso lenguaje matemático entorpece el desarrollo del pensamiento lógico matemático y la aplicación creativa del conocimiento a nuevas situaciones.

Las sugerencias me-todológicas para la enseñanza de la Ma-temática, en el Tercer Ciclo de la Educación General Básica, se

fundamentan en as-pectos como:

Los enfo-ques cons-tructivista, humanista y racionalista, ya que los objetivos, los conteni-dos, los pro-cedimientos, las actitudes y valores, y las estrate-gias de eva-luación, tienden a la formación de un ciuda-dano capaz de enfrentar con éxito los retos que le plantee el siglo XXI.

Las especifi-cidades de edad del educando con mayor capacidad hacia el co-

nocimiento abstracto.

Da continui-dad a los programas de I y II ci-clos am-pliando los conocimien-tos adquiri-dos por el educando, fortalecien-do las des-trezas desa-rrolladas y propiciando niveles de pensamien-to superior.

El ciudadano del siglo XXI debe tener más y mejor información y formación, que le ayude a comprender, no solo su entorno, sino el mundo actual cambiante. Además, las exigencias actua-les de calidad y com-petitividad, requieren de más conocimien-tos, para que la incor-

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poración de los jóve-nes al trabajo contri-buya al desarrollo del país. La educación debe inculcar valores y actitudes que con-duzcan a una socie-dad mejor.

El aprendizaje, por ser un proceso conti-nuo, debe ser cohe-rente en todos sus aspectos, y con la etapa o nivel en que se encuentra el edu-cando.

Se debe estimular en él, procedimientos de observación, compa-ración, análisis, de-ducción, etc., para lo-grar no solamente la adquisición de conte-nidos, sino el desa-rrollo de estructuras de pensamiento.

Parte de la calidad y el éxito del aprendiza-je, depende de la la-bor del docente, el cual ha de escoger las metodologías más

adecuadas, para que se desarrollen en el educando estas es-tructuras de pensa-miento. Debe ser me-diador en el proceso de transmisión y ad-quisición del conoci-miento, conduciendo al estudiante a crear y recrear su conoci-miento.

En la enseñanza, tan-to el método como el contenido son impor-tantes y están íntima-mente relacionados. El estudiante debe saber hacer y debe aprender a aprender. En lo posible, se de-be partir de las viven-cias del educando. Se deben escoger si-tuaciones alusivas a un tema determinado que sean atractivas y que generen discu-sión, pues ésta contri-buye al desarrollo de la capacidad de análi-sis y síntesis, y pre-para para enfrentar situaciones nuevas.

No se trata de expo-ner la información al educando. Se debe procurar que él inte-ractúe con lo que se desea que aprenda; los conceptos deben adquirirse por un pro-ceso activo y creati-vo, de construcción, reconstrucción y reor-ganización de sus ex-periencias. Es conve-niente que se parta de lo concreto, en los temas que es posible, estimular al estudian-te, para que empiece a crear sus propias estrategias y a resol-ver problemas en for-ma autónoma, sin te-ner que recurrir a re-cetas preestableci-das.

En la era presente, en la que hay exceso de información, es importante ofrecer elementos al estu-diante sobre cuál ha sido el proceso de creación y desarrollo

del conocimiento, la ciencia y la tecnolo-gía. Al ubicarnos en la realidad histórica y su proceso evolutivo, se ve la importancia y contribución de las matemáticas al desa-rrollo de la humani-dad, y esto resulta al-tamente motivante y extraordinariamente formador.

A la par del conteni-do, se deben estimu-lar los procesos men-tales de resolución de problemas. La prácti-ca y el análisis de di-ferentes estrategias heurísticas, para la resolución de proble-mas, debe estar pre-sente en las diferen-tes actividades del quehacer educativo.

Vale la pena rescatar “el aprendizaje a tra-vés de los errores”. En ese sentido, se sugiere al docente in-dicar dónde se en-cuentran errores en el

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procedimiento que el educando sigue para resolver un ejercicio, y que sea el mismo estudiante o sus com-pañeros quienes des-cubran la naturaleza y justificación de ese error y lo corrijan.

Cuando un estudiante logra detectar erro-res, está aprendien-do. Los exámenes o pruebas no solamen-te deben servir para medir conocimientos, sino para evaluar, co-rregir y aprender.

Por otro lado, debe ser labor de rutina del profesor, reconocer los aciertos, y avan-ces y éxitos del edu-cando, así como pre-sentar retos que, con cierto esfuerzo, se puedan vencer. Esto, no solamente estimu-la al educando para estudios, sino tam-bién para fortalecer su autoestima, factor importante de éxito.

En la resolución de problemas relaciona-dos con lo cotidiano o con otras ciencias, el énfasis se debe dar en el proceso de ra-zonamiento para re-solver el problema. Es necesario, por lo tanto, agilizar los cál-culos, de ahí que el uso de la tecnología y, específicamente, de la calculadora, re-sulta muy valioso. Permite, no solamen-te realizar las opera-ciones más rápida-mente, sino también clarificar, acentuar y profundizar el con-cepto, es decir, obte-ner información de mayor valor cognosci-tivo. El uso de tecno-logía debe estar acompañado de ins-trucción sobre la mis-ma, y precedida de mucho cálculo mental y de aproximación.

En este ciclo, donde la capacidad de con-

centración y abstrac-ción se van fortale-ciendo cada vez más. Por esta razón, los objetivos que se pro-ponen en este progra-ma, están dirigidos hacia las comproba-ciones empíricas e in-tuitivas, sin mucho formalismo pero que posteriormente le per-mitirán la realización de inferencias y gene-ralizaciones, así como a la interpretación de información concreta sobre la realidad y la experiencia inmedia-ta.

Esto se convierte en el preámbulo a la for-mulación de conjetu-ras e hipótesis, como una forma de pensa-miento y de razona-miento matemático, que culminará con la interpretación, resolu-ción y planteamiento de problemas extraí-dos tanto de la cultura cotidiana como de la sistematizada.

Se debe Incentivar la toma de conciencia en cuanto al compro-miso que tiene con su futuro próximo como adulto; por lo tanto el enfoque de la Mate-mática en relación con otras áreas del conocimiento huma-no, favorece su visión del mundo, lo cual es básico para la elabo-ración de su proyecto de vida.

La búsqueda de solu-ciones a situaciones problemáticas, deberá enfocarse de tal ma-nera que contribuyan a incrementar el razo-namiento lógico, el di-vergente, el analógi-co, el pensamiento in-ductivo y deductivo y los procesos de análi-sis y síntesis.

Los estudiantes que cursan el III ciclo de la Educación General Básica, poseen la fa-cultad para utilizar co-

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nocimientos, procedi-mientos y modelos matemáticos que le permitan simplificar los procesos que con-llevan a la interpreta-ción y resolución de situaciones problemá-ticas. Para ello, utili-zan nuevas estrate-gias producto de su autonomía, actitud crí-tica y creatividad

Para el logro de una enseñanza efectiva de la Matemática, es fundamental que de-sarrollen su habilidad para dar y recibir res-puestas adecuadas; el arte de darle rele-vancia a las pregun-tas, opiniones y suge-rencias del estudian-te, contribuye definiti-vamente a ofrecerle a este o esta la oportu-nidad de abandonar su actitud contempla-tiva e involucrarse en la actividad de aula, estimulando su curio-sidad y su creatividad.

Los docentes deben saber que la educa-ción matemática ten-drá en su mira a cada estudiante con sus di-ferencias bio-psicoso-ciales. Su objetivo es educar a los y las es-tudiantes para que sean más inteligentes en la utilización de los recursos disponibles, aprovechen más las oportunidades de es-tudio superior o de trabajo que se les pre-senten para mejorar su bienestar y prospe-ridad.

Lo que se necesita es un mecanismo adecuado para llevar la educación matemá-tica a cada uno de los estudiantes de este ciclo, el cual, imple-mentado por los do-centes, tendrá flexibili-dad para cambios o mejoras en cualquier momento. Las mejo-ras seguidas por otras mejoras o los cambios seguidos por otros

cambios, en pro de una actitud positiva y un aprendizaje eficaz de la Matemática, se-rán las características de la educación mate-mática en particular; definitivamente, esto es una consecuencia del rápido desarrollo de la matemática, la ciencia y la tecnolo-gía.

B. HABILIDADES IN-TELECTUALES

Los docentes deben comprender que su misión como formado-res de personas, no se debe limitar a transmitir conocimien-tos y a la consolida-ción de cualidades de tipo afectivo como lo son la autoestima, las relaciones interperso-nales y de inserción social, sino que, tam-bién debe tomar en cuenta como propósi-to relevante, el desa-rrollo de las habilida-des mentales.

En la Educación Di-versificada, los estu-diantes desarrollarán y aplicarán habilida-des mentales que le permitirán plantear ra-zonamientos lógicos matemáticos sólidos, que sustentan la for-mulación de hipótesis y la comprobación de teorías.

A continuación se pre-senta un resumen de estas habilidades mentales, con base en el libro “Guía prác-tica para la evaluación cualitativa” de Her-nando Gómez Rojas y otros ( 1998), donde expone el tema cómo evaluar operaciones mentales.

Entre las que se men-cionan están:

1. IDENTIFICA-CIÓN

La persona que ha lo-grado llegar al nivel

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Al poner en práctica esta operación, puede obtener información de las observaciones que realiza a través

estimular la observa-ción y la interpreta-ción de lo observado y fijar la atención en las características que poseen los objetos o realidades que obser-va.

La persona presenta una disfunción de es-ta operación, cuando es incapaz de recono-

Orientar mediante ejemplos simples y comunes para que Centrar la atención del estudiante en la observación de características de los objetos, para que comprendan la diferencia entre observación direc-ta e indirecta y en-tre lo que obser-van y lo que re-cuerdan o supo-nen frente a un ob-jeto o una situa-ción.

Reflexionar frente a un proceso de

observación y del procedimiento pa-ra llevarlo a la práctica.

Fijar la atención en las características de los objetos o de las situaciones que observa.

Orientar al estudiante hacia la comprensión de lo que significa el concepto de caracte-rística y de observa-ción directa e indirec-ta. Llevar a los estu-

diantes a distinguir entre observación directa, suposicio-nes y productos de la experiencia.

Llevarlo a enten-der que el resulta-do de una obser-vación depende del objetivo que se persigue.

Un ejemplo mediante el cual se puede eva-luar esta operación es:Observe la tabla si-guiente.

Observe cada curva y marque una equis en el renglón correspon-diente según su utili-dad

2. DIFERENCIACIÓN

Si se reconoce un concepto o una situa-ción por las caracte-rísticas que este pre-senta, pero se dife-rencian aquellas que son esenciales de las irrelevantes, se puede decir que esa persona está aplicando la ope-ración mental de la di-ferenciación.

Los logros de esta operación se distin-guen porque la perso-na puede comprender el concepto de varia-ble y lo utiliza para identificar y descubrir diferencias; reconocer características espe-cíficas, en que difie-ren dos o más objetos o situaciones; obser-

Elipse

Parábola Circunferen-cia

Sinusoide

Modelos atómicosPénduloOndas, vi-braciones

Reflectores, linternas

Oscilacio-nesPoleasResortes

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Utilidad

var y describir de acuerdo con sus ca-racterísticas, objetos o situaciones.

Una persona presenta una disfunción de es-ta operación, cuando no tiene la capacidad de percibir dos o más atributos de los ele-mentos que confor-man un todo.

Para fomentar esta operación mental, los docentes deben:

Llevar al estudian-te a que compare pares de caracte-rísticas correspon-dientes a la misma variable.

Orientarlo a la de-finición de concep-tos mediante la or-ganización de ideas y separando el pensamiento por aspectos, utili-zando variables.

Visualizarle las re-laciones y los pro-cesos como figu-

ras y diagramas de flujo. tratando de pasar de la identificación con-creta a la repre-sentación mental.

Conducirlo a que identifique caracte-rísticas diferentes de objetos o situa-ciones.

Un ejercicio que ilus-tra cómo se puede evaluar esta opera-ción es el siguiente:

Establezca al menos tres semejanzas y tres diferencias entre los dos grupos de fi-guras:

3. REPRESENTA-CIÓN MENTAL

Cuando se puede in-teriorizar las caracte-rísticas de un objeto o de una situación ya sea concreta o abs-tracta, se puede decir que se cuenta con la representación men-tal. Se debe tener en cuenta que la interiori-zación no significa lle-varse una fotografía a la mente, sino que se representan los ras-gos esenciales que permiten definir el concepto o la situa-ción como tal.

¿Cuándo se está practicando una re-presentación mental?

Cuando se reconoce el todo de sus partes, de acuerdo con metas específicas, o si se maneja la conceptua-lización para lograr la abstracción; cuando se desarrolla la habili-dad para definir con-

ceptos que eleven al nivel de abstracción; cuando se realiza la representación de ob-jetos mediante imáge-nes.

La disfunción de esta operación lleva a la no esquematización espacial abstracta de la descomposición y reestructuración de los elementos que componen la figura.

En la mediación los docentes deben:

Favorecer los cambios en las ap-titudes y en las motivaciones, en su aproximación a la realidad.

Definir un concep-to y orientar al es-tudiante para que este, a través de la mente, sustituya a los objetos por sus imágenes.

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GRUPO 1

GRUPO 2


Un ejemplo de ejerci-cio para evaluar esta operación es el si-guiente:

Observe las siguien-tes figuras geométri-cas que se relacionan con la superficie de algunos cuerpos geo-métricos. Escriba de-bajo de cada figura, el nombre del cuerpo geométrico corres-pondiente

4. TRANSFORMA-CIÓN MENTAL

Cuando se puede mo-dificar o combinar ca-racterísticas de uno o varios objetos para producir representa-ciones de un grado mayor de abstracción o complejidad, se está aplicando la transfor-mación mental.

Estas transformacio-nes pueden ocurrir de manera natural o es-pontánea, o provocar-se mediante un agen-te o un operador.

La aplicación de esta operación se produce cuando el sujeto com-prende el proceso y la trascendencia del concepto de transfor-mación y lo visualiza como una consecuen-cia de cambios es-pontáneos o provoca-dos.

La incapacidad para interiorizar, represen-tar, manipular y trans-formar las relaciones de mayor compleji-dad, es el indicativo de que esta operación no está funcionando en la persona.Para promover esta operación, los educa-dores deben:

Facilitar al alumno la comprensión e

interpretación a las modificaciones que ocurren a su alrededor como consecuencias de los cambios y transformaciones.

Desarrollar en ellos sus faculta-des para generar las transformacio-nes que contribu-yan a satisfacer sus necesidades en función de su interacción con el medio.

Estabilizar en sus estudiantes el equilibrio intelec-tual y emocional mediante procesos que le faciliten su adaptación al me-dio o su acción pa-ra modificarlo de acuerdo con sus intereses y necesi-dades.

Un ejemplo de ejerci-cio puede ser:

Escriba un término o una condición que re-

úna todas las situacio-nes o elementos plan-teados a continua-ción:

Carro con ruedasMolino movido por aguaLa catapulta

5. COMPARACIÓN

El proceso básico que constituye el paso previo para establecer relaciones entre pare-jas de características de objetos o situacio-nes, de tal forma que se establezcan seme-janzas y diferencias, se conoce como la operación mental de la comparación.

La operación de la comparación se logra cuando se establece una apropiada per-cepción de los objetos comparados; cuando se estudian las carac-terísticas de semejan-zas y diferencias en-tre objetos o entre he-

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chos o cuando se es-tablecen las diferen-cias entre los proce-sos de comparación y relación.

Cuando no se pueden establecer equivalen-cias entre las cosas que se perciben como diferentes o cuando existe dificultad para reunir objetos o acon-tecimientos en grupos o clases, se tiene una disfunción de esta operación.

Para fomentar la com-paración los educado-res deben:

Realizar activida-des que lleven a sus estudiantes a identificar y espe-cificar variable por variable las carac-terísticas que hace que los dos obje-tos o situaciones que se comparan sean semejantes o diferentes entre sí.

Facilitar espacios para que el estu-diante establezca relaciones ente dos características de dos o más ob-jetos o situacio-nes, con base en las variables co-rrespondientes.

Un ejemplo de un ejercicio que evalúe esta operación puede ser:

Observe bien las dos figuras:

Escriba al menos tres semejanzas y tres di-ferencias entre ellas.

6. CLASIFICACIÓN

Cuando se agrupan elementos de acuerdo con atributos definito-rios, a partir de cate-gorías, se está clasifi-cando. Se puede agrupar con base en categorías denomina-das clases o con base en el establecimiento de categorías concep-tuales.

Esta operación se po-ne en práctica cuando se predicen las carac-terísticas de eventos, objetos o situaciones a partir de la agrupa-ción para clasificar en categorías; distingue ejemplos y contrae-jemplos de un con-cepto.

Si el sujeto no puede establecer clases su-praordenadas como un todo, es decir, si no le es posible inte-grar las partes de un todo en categorías, es porque no ha logrado la operación mental de la clasificación.

Para impulsar esta operación, es necesa-rio que los educado-res reconozcan la uti-lidad que tiene el pro-ceso de la clasifica-ción y por ello deben:

Permitir que el es-tudiante demues-tre que ha adquiri-do la habilidad de utilizar información en los dos niveles de abstracción que exigen los proce-sos de compara-ción y relación.

Brindarle la opor-tunidad para que agrupe conjuntos de objetos en ca-tegorías denomi-nadas clases

Realizar activida-des para que el estudiante tenga la oportunidad de es-tablecer catego-rías conceptuales o denominaciones abstractas de ob-jetos o eventos, te-niendo en cuenta

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3

5

8

6


las características y no lo objetos di-rectamente.

Orientar al estu-diante para que forme clases mu-tuamente exclu-yentes, pero iden-tificando caracte-rísticas esenciales.

Darle la oportuni-dad de que organi-ce el mundo que nos rodea en cate-gorías.

Un ejemplo de ejerci-cio es:

Organice las siguien-tes fracciones en dos grupos y escriba cuál fue el criterio que utili-zó para agruparlas.

7. CODIFICACIÓN

El proceso mediante el cual la persona es-tablece símbolos o in-terpreta símbolos que

permiten la amplia-ción a los términos, evitando la ambigüe-dad aunque se au-mente la abstracción, se denomina codifica-ción.

Esta operación se ha logrado cuando el su-jeto es capaz de re-presentar palabras a través de signos o diagramas, cuando se logran los conceptos a través de las defini-ciones o cuando a tra-vés de significados, se logran los signifi-cantes.

La incapacidad para transformar un con-cepto en un signo o el no-aprendizaje de un código, demuestra que hay una disfun-ción de esta opera-ción.Para alimentar en los estudiantes la aplica-ción de esta opera-ción, los docentes de-ben:

Guiar a sus alum-nos para que utili-cen letras, núme-ros y figuras como códigos a cambio de las ideas sim-ples o complejas.

Usar códigos co-mo formas breves de significación

Fomentar el uso de códigos y de signos en repre-sentación de con-ceptos.

Traducir de pala-bras a fórmulas.

Los crucigramas son ejercicios que se cata-logan dentro de esta operación mental. Además, ejercicios, como el que se pre-senta a continuación, representan ejemplos para evaluar esta operación:

¿Cuál de las siguien-tes expresiones co-rresponde a una su-cesión de tres núme-

ros enteros consecuti-vos?

:

8. DECODIFICACIÓN

Se puede definir la decodificación como la capacidad para de-cidir cómo traducir las instrucciones verbales a actos motores, y descifrar algún men-saje o símbolo. Se in-terpretan símbolos para dar amplitud a los términos y símbo-los a medida que au-menta la abstracción.

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a) n, 3n, 5n, ...

b) n, (n+1), (n+2),..

c) n, (-1), , (n+1), ...

d) 1,n,2n,...


Se está descodifican-do cuando se inter-pretan signos o dia-gramas por medio de palabras, cuando se elaboran definiciones, cuando se logran los significados a través de los significantes y se tiene habilidad pa-ra identificar concep-tos o términos a tra-vés de códigos valién-dose de la definición o de la memoria.

Si la persona no pue-de decidir cómo tradu-cir las instrucciones verbales o actos mo-tores y descifrar algún mensaje o símbolo, es porque presenta una disfunción de es-ta operación.

Para impulsar esta operación los educa-dores deben: Inducir a los estu-

diantes para que utilicen ideas sim-ples o complejas a cambio de códi-gos.

Traducir las fórmu-las a palabras.

Promover la utili-zación de concep-tos, nociones o prenociones alre-dedor de una te-mática para evo-car aprendizajes y poderlos identificar

Las “sopas de letras” son ejercicios que se catalogan dentro de esta operación men-tal. Además, ejerci-cios, como el que se presenta a continua-ción, son ejemplos que ilustran cómo se puede evaluar esta operación:

Escriba el significado que tiene la fórmula

A = en la figura

siguiente

9. PROYECCIÓN DE RELACIONES VIR-TUALES

Esta operación mental consiste en percibir estímulos externos en forma de unidades or-ganizadas que luego se proyectan ante es-tímulos semejantes. Se proyectan imáge-nes haciéndolas ocu-par un lugar en el es-pacio.

Cuando se está en capacidad de ver y establecer relaciones que existen potencial-mente, pero no en la realidad, se puede de-cir que se posee esta operación mental. Además, se puede decir que se posee esta operación cuan-do se realiza una reestructuración y una configuración de

relaciones ante situa-ciones nuevas, o cuando hay capaci-dad para proyectar imágenes que previa-mente se habías per-cibido como estímulos o cuando se pueden transportar figuras, modelos, imágenes, a diferentes situaciones, generalmente en for-ma visual.

La disfunción de esta operación se presenta cuando el sujeto es incapaz de establecer relaciones y generali-zaciones en figuras. Cuando hay falta de precisión.

Para fomentar la ope-ración, los docentes deben:

Impulsar a los es-tudiantes a buscar principios implíci-tos en las tareas para su posterior ampliación y gene-ralización

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hb


Estimular la bús-queda de estrate-gias para resolver actividades más complejas.

Realizar configura-ciones distintas en función del modelo que se le pida.

Estimular el esta-blecimiento y pro-yección de relacio-nes de tipo dife-rente.

Implementar ejer-cicios para que el estudiante comple-te la figura o el modelo al transfor-marlas visualmen-te.

Un ejercicio que ejem-plifica cómo evaluar esta operación en for-ma escrita, es:

Observe la siguiente secuencia geométri-ca:

¿ Cuál de las siguien-tes figuras correspon-de a la secuencia an-terior?

10. ANÁLISIS

Se percibe la realidad acerca de un mismo conjunto de procesos. El proceso implica la separación de un todo en sus partes, conser-vando sus cualidades, funciones, usos, rela-ciones, estructuras y operaciones.

Se puede decir que el que posee esta ope-ración mental, está en capacidad de separar situaciones complejas

en patrones reconoci-bles, de descomponer un todo en sus partes, tomando en cuenta un criterio previamente establecido, además, puede identificar los tipos de relaciones posibles. Se analizan funciones, usos, cuali-dades, operaciones, estructuras.

Si una persona no puede descomponer mentalmente el todo en sus partes o si no analiza toda la infor-mación de la que se dispone para llegar a sintetizar las partes en el todo, es porque presenta una disfun-ción de esta opera-ción.

Para estimular a sus estudiantes a que se ejerciten en el uso de esta operación men-tal, el profesor o la profesora deben:

Planear activida-des en las que se

permita dividir de manera sistemáti-ca y organizada, las situaciones complejas.

Orientar a sus es-tudiantes a que di-vidan las situacio-nes complejas en otras más senci-llas.

Guiar a los alum-nos a que realicen diferentes tipos de separaciones de un todo en sus elementos reales, cualidades, funcio-nes y operaciones, además, a que describan la se-cuencia de etapas que conforman un proceso que ocu-rre en el tiempo.

Un ejercicio que ejem-plifica cómo puede evaluarse esta opera-ción, es:

Establezca algunas conclusiones que se pueden obtener al in-terpretar la informa-

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ción que presenta el siguiente gráfico:

PORCENTAJE DE ÁREAS DE ALGU-NAS ZONAS EN EL MUNDO

11. SÍNTESISSe puede definir co-mo la forma de perci-bir la realidad a través de un proceso, inte-grar para formar un todo significativo.Mediante la síntesis se integran elemen-tos, relaciones, pro-piedades o partes pa-ra formar entidades o totalidades nuevas y significativas.

La síntesis tiene ca-racterísticas particula-res en donde intervie-ne el punto de vista de la persona que la aplica.

Una persona está aplicando la opera-ción mental de la sín-tesis cuando es capaz de extraer información relevante a través de un proceso que per-mita la formulación de conclusiones; cuando puede identificar y re-sumir información re-levante de una comu-nicación.

Si una persona no puede componer el todo con base en las partes que lo integran, presenta una deficien-cia en esta operación.

Para fomentar la sín-tesis, los educadores deben:

Formular prácticas en las que se pro-duzcan ideas que

sinteticen una o un conjunto de ideas.

Orientar a los es-tudiantes para que reconozcan las ideas centrales re-ferentes a una si-tuación de pensa-miento.

Guiarlo a que identifique la idea central de un tema o situación y que reconozca cuándo el pensamiento cambia de un te-ma a otro.

Propiciar situacio-nes de prácticas dirigidas a lograr que el estudiante mejore sus habili-dades para inte-grar las secuen-cias de pasos.

Escriba un concepto geométrico que resu-ma todas las caracte-rísticas siguientes:

LadosÁngulos internosÁngulos externosVértices

DiagonalesÁreaPerímetro

12. INFERENCIA LÓ-GICA.

Cuando se realizan deducciones y se crean nuevas informa-ciones a partir de los datos percibidos, se dice que se está apli-cando la operación mental denominada inferencia lógica.

Los logros de esta operación se mani-fiestan en la capaci-dad para resolver ta-reas cuando no se da toda la información di-rectamente, teniendo el sujeto que estable-cer una relación ade-cuada. También cuan-do se muestra la ca-pacidad para llegar a conclusiones por la in-

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13%

13%

18%

7%

20%

10%

15%

4%

América del Sur

Rusia

Africa

América del Norte

Oceanía

Asia

Otros

Europa


terpretación de las re-laciones que se esta-blecen entre los miembros de las pre-misas.

La disfunción de esta operación se mani-fiesta cuando la per-sona no es capaz de darle solución a un problema cuando no se cuenta con toda la información, blo-queándose al tratar de establecer una re-lación adecuada.

En la mediación para fomentar esta opera-ción, los docentes de-ben:

Llevar al estudian-te a crear informa-ciones a partir de algunos datos.

Orientarlo en la búsqueda de leyes que gobiernen las relaciones.

Capacitarlos a sus estudiantes para establecer conclu-siones a través de

la proyección e in-terpretación entre los miembros de las premisas.

Un ejercicio que ejem-plifica la forma en que se puede evaluar esta operación es:

Observe la siguiente figura:

¿Cuál de las siguien-tes afirmaciones es incorrecta y por qué?

Con la información que proporciona el di-bujo, se puede deter-minar:

a) Cuánto mide la escalera.

b) Cuál es la dis-tancia que hay entre la parte

inferior de la pared y el ex-tremo superior de la escalera.

c) Cuánto mide el ángulo supe-rior.

d) Cuál es la altu-ra de la pared.

13. RAZONAMIENTO ANALÓGICO

Es la operación por la cual, dados tres térmi-nos de una propor-ción, se determina el cuarto término, por deducción de las se-mejanzas. Este proce-so permite establecer o analizar relaciones de orden superior en-tre diferentes elemen-tos, conceptos, he-chos o situaciones pertenecientes a uno o más conjuntos. Es un instrumento de pensamiento que inte-gra los procesos bási-cos y que permite consolidar las habili-dades como la creati-vidad y desarrollo de

las estructuras cog-noscitivas que susten-tan el razonamiento abstracto y el pensa-miento formal.

El razonamiento ana-lógico se está aplican-do cuando se tiene la habilidad para desa-rrollar reglas, ideas o conceptos generales a partir de los ejem-plos específicos o cuando se descubre y justifica relaciones analógicas entre pala-bras y entre diseños visuales abstractos.

Si no se puede pro-yectar una relación dada a una situación nueva o no se puede justificar relaciones, es porque esta opera-ción aún no está fun-cionando correcta-mente.Para que los estu-diantes se ejerciten en el logro de esta operación, los educa-dores deben:

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65°

3 metros


Planificar activida-des mediante las cuales los estu-diantes puedan extraer semejan-zas, diferencias o transformaciones de los elementos a partir de los ele-mentos que con-forman la analo-gía.

Analizar la lógica de las analogías y aplicarlas a la so-lución de proble-mas analógicos que plantean solu-ciones verbales y figurativas, en dife-rentes grados de abstracción.

Guiarlos a la com-prensión de las re-laciones que se establecen entre una analogía y una metáfora.

Orientarlos hacia la valoración de la utilidad de las ana-logías como un instrumento del lenguaje y la crea-tividad.

Establecer relacio-nes entre figuras o estímulos visuales para comprender las analogías figu-rativas.

Establecer relacio-nes entre significa-dos de palabras para comprender las analogías ver-bales.

La analogías repre-sentan un ejemplo de ejercicio mediante el cual puede evaluarse esta operación.

En la siguiente analo-gía:

Función es a variable como superficie del cuadrado es a su:

a) Perímetrob) Ladoc) Ángulod) Vértice

¿Cuál de las siguien-tes relaciones el la que une o enlaza la

analogía planteada anteriormente?

1) La de los ele-mentos que com-ponen los concep-tos.

2) La de las propieda-des de los conceptos.

3) La de la de-pendencia de algunos elementos.

4) La de la de-finición de los concep-tos.

14. RAZONAMIENTO HIPOTÉTICO.

Se define el razona-miento hipotético co-mo la capacidad men-tal para realizar infe-rencias y predicciones de hechos a partir de los ya conocidos y de las leyes que los rela-cionan.

La operación del razo-namiento hipotético se ha logrado si la persona puede ensa-yar mentalmente posi-bles soluciones con el fin de resolver el pro-blema con éxito. Ade-más, si puede com-prender el concepto de hipótesis y aplica procedimientos para plantear y verificar hi-pótesis. Si puede re-conocer la importan-cia de los ejemplos y contraejemplos para verificar hipótesis y si puede plantear y re-plantear hipótesis, di-señar experimentos para verificar y final-mente identificar las características esen-ciales del objeto o la situación.

Si no tiene la capaci-dad para resolver un problema mediante ensayos y sondeos y comprobaciones su-cesivas. la persona presenta una disfun-

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ción de esta opera-ción.En la función media-dora, los docentes de-ben:

Impulsar a sus es-tudiantes para que desarrollen habili-dades para razo-nar de manera sis-temática y discipli-nada.

Orientarlo hacia prácticas que per-mitan establecer abstracciones de relaciones a partir de las característi-cas de los objetos, a través de com-paraciones.

Llevarlos a esta-blecer inferencias con base en un re-gistro mental de todas las deduc-ciones para que pueda lograr el planteamiento y verificación de hi-pótesis.

Un ejercicio que acla-ra cómo se puede

evaluar esta opera-ción mental es el si-guiente:

Imagínese un día en que no se pueda apli-car la matemática en el mundo. Escriba al-gunas de las conse-cuencias que traería esta medida.

15. RAZONAMIENTO TRANSITIVO.

Cuando se está en capacidad de ordenar, comparar y transcribir una relación hasta lle-gar a establecer una conclusión, se puede decir que se ha adqui-rido la operación men-tal del razonamiento transitivo. Esta opera-ción es una propiedad del pensamiento lógi-co formal.

Este razonamiento siempre es deductivo, porque permite la in-ferencia de nuevas re-laciones a partir de la ya existentes.

Los logros de esta operación se pueden resumir diciendo que, la persona que posee esta operación men-tal, utiliza informacio-nes para realizar com-paraciones que deben ir más allá de las rela-ciones comunes; am-plía el campo mental para seleccionar la in-formación relevante y apropiada para resol-ver problemas. Pue-de, además, estable-cer deducciones y ob-tener conclusiones sobre las deduccio-nes. El sujeto que po-see un razonamiento transitivo, está en la capacidad de estable-cer relaciones de dos eventos iniciales con respecto a un tercer evento.

Si la persona presen-ta incapacidad para llegar a una conclu-sión como resultado de proyectar e inter-pretar relaciones en-

tre los elementos de una premisa, es por-que esta operación no está funcionando co-rrectamente.

Para impulsar el de-sarrollo de esta ope-ración mental, los pro-fesores y profesoras deben:

Plantear a sus es-tudiantes activida-des que permitan realizar compara-ciones que vayan más allá de las re-laciones comunes.

Guiarlos hacia la selección de infor-mación relevante y apropiada para re-solver problemas que amplíen el campo mental.

Conducirlos paula-tinamente hacia el establecimiento de deducciones y conclusiones fren-te a las mismas deducciones.

Establecer relacio-nes de eventos

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respecto de even-tos anteriores.

Un ejercicio que orienta la aplicación de esta operación es:

Si mi reloj está ade-lantado en 5 minutos respecto del reloj de la escuela, pero a la vez el reloj de la es-cuela va atrasando 7 minutos respecto del de la Iglesia, se pue-de concluir que mi re-loj respecto del de la Iglesia anda:

a) Adelantado 2 minutos.

b) Atrasado 2 mi-nutos.

c) Atrasado 5 mi-nutos.

d) Adelantado 5 minutos.

16. RAZONAMIENTO SILOGÍSTICO.

Es la operación men-tal que permite llegar a conclusiones a tra-vés de la proyección e interpretación de rela-ciones entre dos pre-misas.Se puede decir que es una forma de infe-rir al comparar juicios.

Si esta operación mental se ha adquiri-do, el sujeto está en capacidad para esta-blecer semejanzas entre características comunes de un objeto o situación, además, está en capacidad pa-ra concluir como pro-ducto de relación en-tre premisas, juicios, proposiciones, situa-ciones y fenómenos.La disfunción de esta operación se presenta en la incapacidad por establecer conclusio-nes lógicas acerca de la relación de los tér-minos.

Para fomentar esta operación en los estu-

diantes, los educado-res deben:

Presentar a sus alumnos prácticas en la que se pue-dan establecer se-mejanzas entre las características co-munes de un obje-to o situación.

Facilitar el estable-cimiento de rela-ciones entre pre-misas, juicios, pro-posiciones, situa-ciones y fenóme-nos que se conso-lidan como pro-ducto.

Un ejercicio mediante el cual puede evaluar-se esta operación es el siguiente:

Observe las siguien-tes figuras y complete la secuencia

17. PENSAMIENTO DIVERGENTE- CON-VERGENTE

Actividad del pensa-miento que permite establecer nuevos pa-rámetros a través de los cuales se pueden detectar diferencias entre similares.

Los logros de esta operación se mani-fiestan cuando el su-jeto puede anticipar un problema que pue-da venir, o cuando propone soluciones relevantes y creativas a diferentes proble-mas, También cuando hace propuestas defi-nitorias que permiten el desarrollo de la

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creatividad y el talento alrededor de determi-nados tópicos. Esta operación permite el desarrollo de un es-píritu investigativo.

La disfunción de esta operación se presenta cuando el sujeto muestra incapacidad para establecer diver-sos parámetros y para encontrar diferencias entre conceptos simi-lares.

Los educadores de-ben:

Proponer a sus es-tudiantes fenóme-nos para que ellos puedan anticipar problemas

Permitir al sujeto darle soluciones relevantes y creati-vas a diferentes problemas.

Un ejercicio puede ser:

Lea con atención el siguiente párrafo y complételo con sus ideas

a) Con las palancas aplico una cantidad menor de fuerza física pero obtengo un ma-yor rendimiento en el trabajo. Dentro de mis actividades como es-tudiante, considero que una calculadora me sería también de gran utilidad.

b) Con base en el ejercicio a), establez-ca si las siguientes afirmaciones son fal-sas o verdaderas, jus-tificando su elección.

― La calculadora es inteligente.

― La calculadora es una herramienta muy útil.

18. CONCEPTUALI-ZACIÓN

Con esta operación, a manera de ente abs-tracto, se agrupa ob-jetos, eventos o situa-ciones con caracterís-ticas comunes o es-enciales, denomina-das propiedades defi-nitorias. Dichas carac-terísticas hacen que un objeto, evento o si-tuación pertenezca a la categoría o clase que lo define. Es posi-ble definir un concep-to a partir de la clasifi-cación.

Cuando se reconocen elementos ubicados en categorías inco-rrectas y se hacen predicciones, o cuan-do se comprende la utilidad del proceso de clasificación como instrumento de pensa-miento que contribuya a mejorar la organiza-ción de las ideas y la precisión en el len-guaje, se puede tener la seguridad de que se ha adquirido con

esta operación men-tal.

Si existe incapacidad para aplicar leyes, principios y reglas a situaciones nuevas o dificultad para ni infe-rir ni deducir leyes, es porque se tiene dis-función de esta opera-ción mental.

En la educación, los educadores deben:

Presentarle a sus estudiantes espa-cios en los cuales puedan identificar las características esenciales del conjunto de la cla-se que lo define y la palabra que lo identifica.

Brindar prácticas en las que los alumnos y alum-nas realicen pro-cesos inversos, ubicando un ele-mento por sus ca-racterísticas, den-tro de la clase de

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determinado con-cepto.

Animarlos a que definan los con-ceptos mediante la identificación de las características esenciales de la clase que lo repre-senta y de la pala-bra que lo identifi-ca.

Impulsarlos a que apliquen diversos procedimientos en la solución de pro-blemas cotidianos y académicos.

Consolidar las ha-bilidades para ob-servar, comparar, relacionar y clasifi-car.

Llevarlos a la com-prensión de la conveniencia de utilizar ejemplos y contraejemplos para verificar hipó-tesis y definir con-ceptos.

Un ejercicio que sirve como ejemplo para

evaluar esta opera-ción es el siguiente:

a) Analice la situación planteada y busque que una desventaja se convierta en venta-ja.

- La desventaja de que el uno no sea un número primo, se convierte en ventaja

- La desventaja de que la función cua-drática no sea bi-yectiva, se con-vierte en ventaja

b) El hecho de que la función exponencial se defina con base mayor que cero pero diferente de uno, es una ventaja.

c) Enumere algunos conceptos matemáti-cos que se originaron a partir del estudio de las razones.

VIII. ESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

A. GENERALIDA-DES

Como usted puede observar en estos programas no se han sugerido, dentro de él, las estrategias méto-do que lleven a la ad-quisición del conoci-miento matemático, pues se ha considera-do que estas son muy propias de cada do-cente y que al existir una infinitud de cami-nos que llevan al mis-mo resultado, no tiene sentido exigir sola-mente uno de ellos.

En el programa, en la parte que correspon-de a los procedimien-tos, se indica, gene-ralmente, que el do-cente utilizará diferen-tes estrategias para lograr su objetivo, dándole la libertad de que este escoja los que crea más facti-

bles para sus estu-diantes.

Esta autonomía con lleva un trabajo de planificación más quisquilloso.

Por la razón anterior, en este apartado se presentarán algunas recomendaciones y sugerencias que us-ted podrá tomar en cuenta para ayudarse en su labor docente.

En este momento his-tórico, en el que la tecnología ha puesto al servicio de la hu-manidad un sin núme-ro de inventos nove-dosos, se lucha por incrementar el interés y el agrado hacia el estudio de la Matemá-tica, mediante sus aplicaciones.

La enseñanza y el aprendizaje de esta disciplina, debe partir de una metodología actualizada que se

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base en la construc-ción e investigación del conocimiento, ba-sado en las experien-cias concretas, viven-cias cotidianas, he-chos científicos y tec-nológicos, de tal ma-nera qu e el aprendi-zaje sea significativo para el estudiante.

¿Por qué de un aprendizaje significati-vo?

Porque los estudian-tes solamente son ca-paces de adquirir nue-vos conocimientos cuando pueden esta-blecer vínculos dura-deros entre los nue-vos aprendizajes y los que ya saben; cuando consiguen modificar y enriquecer sus esque-mas cognoscitivos an-teriores y cuando lo-gran afrontar nuevas situaciones de apren-dizaje.

Se sugiere entonces que los docentes apli-

quen una metodología que se inicie primera-mente con la manipu-lación de materiales, de representaciones gráficas y simbólicas; con las demostracio-nes intuitivas y opera-tivas de casos particu-lares y con los proce-dimientos de ensayo y error.

El excesivo formalis-mo y una introducción temprana al simbolis-mo matemático, se constituyen en barre-ras para el aprendiza-je; por esto se sugiere que el desarrollo del simbolismo y el razo-namiento simbólico surja en forma intuiti-va, a partir del esta-blecimiento de las pri-meras relaciones, en-tre atributos de los ob-jetos.

Esto no quiere decir que los estudiantes se quedarán solamente con los conceptos a un nivel intuitivo, sino

que, a partir de estas demostraciones, poco a poco los conceptos se irán interiorizando de manera que se convertirán en verda-deras experiencias matemáticas que se podrán expresar me-diante el lenguaje grá-fico y simbólico hasta alcanzar un grado mayor de abstracción.

B. PAPEL DEL EDUCADOR O EDUCADORA.

Es importante enten-der que la actividad en el aula es la más importante en estos procesos y por ende, esta debe ser agrada-ble y satisfactoria pa-ra todos los actores en estos procesos de enseñanza y de aprendizaje.

Se necesita de una metodología activa, en la que el o la do-cente deben de dejar de lucir como los ac-

tores principales de estos procesos y ase-gurar la participación constante y ágil de los estudiantes, que los lleven a aprender por sí mismos.

Los profesores deben procurar mantener un clima de satisfacción, en el que se ejercite tanto el aprendizaje individual como en equipo de manera que se geste un clima de cooperación y de relaciones personales favorables.

En los salones de cla-se se debe evitar todo radicalismo, aplicando día con día, diferentes métodos y técnicas metodológicas que eviten la rutina y la monotonía de las lec-ciones.

Su labor principal es la de facilitar el apren-dizaje de los alumnos mediante estrategias que le permitan desa-

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rrollar en ellos la ca-pacidad para obser-var, para formular preguntas e hipótesis, para relacionar y contrastar lo aprendi-do con conocimientos anteriores, para inte-grar en esquemas lo que ya posee y para enfrentarse a las vici-situdes que el mundo le tiene dispuesto a través de su existen-cia.

Algunas sugerencias que pueden ayudar en este proceso se describen a continua-ción:

No proporcione más informa-ción de la que el estudiante necesita para avanzar.

Incite a los es-tudiantes a que ellos formulen interrogantes y concédales el tiempo necesa-

rio para que las contesten.

Esté atento pa-ra intervenir rá-pidamente en aquellos mo-mentos en que los estudiantes se sientan blo-queados res-pecto del razo-namiento que se les está exi-giendo. Esta in-tervención oportuna, ge-nera en ellos autonomía y confianza en sí mismos.

Recuerde que cada estudian-te es diferente, por ello cada uno necesita ayudas diferen-tes y en distin-tos momentos.

Propicie am-bientes de tra-bajo gratos y estimulantes, respetando las particularida-des de cada

estudiante y su ritmo de apren-dizaje.

Promueva una atmósfera de éxito, en la que usted plante preguntas de alto nivel y su-giera alternati-vas cuando sea pertinente.

Valore positiva-mente los avances de sus estudiantes y oriéntelos a que aprendan de los errores cometidos.

Recuerde que el estudiante es el construc-tor del conoci-miento y que la explicación que usted les pro-porcione es conveniente para centrar el propósito de las actividades que se realiza-rán.

No se olvide de elaborar junto con los alum-nos, un resu-men de los ob-jetivos y conte-nidos que se estudia en ca-da lección.

Usted repre-senta un papel de posible mo-delo de actua-ción, con base en dos cam-pos: Formación de valores y actitudes y en la resolución de problemas.

Recuerde que su pensamien-to y sus actitu-des constituyen factores bási-cos que permi-tirán facilitar o bloquear el aprendizaje de sus estudian-tes.

La acción de los docentes debe estar en-caminada más

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que a la resolu-ción de proble-mas, hacia la orientación y guía de la búsqueda de estrategias que le permitan a los estudian-tes enfrentarse a la resolución de problemas tanto cotidia-nos como de la disciplina mis-ma. Por lo an-terior es nece-sario que usted aplique diferen-tes técnicas que lleven a la adquisición del conocimiento y a la resolución de problemas, utilizando dife-rentes estrate-gias y diferen-tes algoritmos que le brinden al estudiante una gama de posibilidades para llegar a

los resultados esperados.

C. RESOLUCIÓN DE PROBLE-MAS

Interesan, en la Edu-cación Diversificada, los procesos de En-señanza y de Apren-dizaje de la Matemá-tica como herra-mientas, con la con-dición de que se ha-gan suficientemente accesibles para el estudiante, y por ello se exige dar prioridad a la resolu-ción de problemas y no al aprendizaje de los aspectos forma-les de la disciplina. Al restablecer la ense-ñanza de la Matemáti-ca como herramienta, se logra interesar a los estudiantes y ofre-cerles mayores posi-bilidades de éxito.

En la resolución de problemas relaciona-dos con lo cotidiano o

con otras ciencias, el énfasis se debe dar al proceso de razona-miento para resolver el problema.

1. GENERALIDA-DES.

Una metodología constructivista de la enseñanza de la ma-temática, basada fun-damentalmente en la solución de proble-mas, debe tomar en cuenta dos aspectos importantes:

a) La natura-leza de los problemas, esto es, qué tipo de pro-blemas pro-poner a los alumnos de los diferen-tes niveles escolares

b) La manera en que se debe orga-nizar una clase o lec-

ción de so-lución de problemas.

Con respecto al pri-mer aspecto, los pro-blemas deben reunir algunas característi-cas, tales como:

Implicar para los estudiantes un cierto reto, un cierto con-flicto, en otras palabras, de-ben constituir una verdadera situación pro-blemática.

Conllevar una determinada fi-nalidad, esto es, que la solu-ción signifique una manera di-ferente de co-nocer mejor su medio ambien-te, o de expli-car las cosas que suceden a su alrededor. Por ejemplo, es mediante la so-

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lución de pro-blemas y la dis-cusión de sus resultados, que el docente con-cienciará a sus alumnos y alumnas en la valoración de la importancia de la utilidad y conservación del agua, del respeto por la conservación de la Naturale-za y el aprecio por la calidad de la vida.

Referirse a si-tuaciones pro-pias de la vida cotidiana, to-mando en cuenta las ca-racterísticas concretas del pensamiento de los alumnos de la Educa-ción Diversifi-cada.

Referirse a una amplia gama de contextos,

de este modo el o la adoles-cente se verán enfrentados a situaciones que retan su capa-cidad reflexiva y creativa.

Responder a diferentes es-quemas de ra-zonamiento, aunque el con-cepto que se aplique en su solución, sea el mismo. Por ejemplo, en el colegio, no limi-tarse a repetir procedimientos que enseña el profesor, ya que esta prácti-ca tiene el in-conveniente de provocar en los alumnos res-puestas mecá-nicas, más o menos estereo-tipadas, para las que no hay que razonar mucho. Con

esto se pierde el objetivo tan importante del significado, que todo ejercicio mental debe plantear a los jóvenes estu-diantes.

En cuanto al segundo aspecto, es muy im-portante que el edu-cador, al presentar un problema, tome en cuenta los siguientes aspectos:

Promover acti-vidades, en las cuales estu-diante realice sus propios planteamien-tos, descubra las hipótesis en que se basará su procedi-miento o mane-ra de resolver el problema. Con esta acti-tud, el educa-dor respeta la psicogénesis y

la espontanei-dad, que deben caracterizar to-da situación educativa.

En un primer momento los alumnos deben resolver un problema a su manera y con sus propios co-nocimientos. No es necesa-rio que usen los símbolos y los teoremas y principios que utilizan quienes ya saben más matemáticas. Es muy impor-tante que los jóvenes deci-dan o descu-bran cómo re-solver el pro-blema y estén en contacto con el material en el cual pue-dan apoyar sus razonamientos.

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Las funciones del profesor, en esta parte del proceso, con-sisten en dejar que los estu-diantes resuel-van por sí mis-mos la situa-ción, ayudarles a organizarse, explicarles as-pectos de la actividad que no estén claros y reflexionar con ellos sobre lo que están haciendo. Es importante que, antes de reali-zar la actividad, el docente ha-ga pensar a los jóvenes en el resultado que creen que pue-den obtener. Esto favorece que comiencen a hacer cálcu-los mentales, los que poste-riormente les facilitarán los

cálculos por escrito. Cuan-do los estu-diantes han in-tentado resol-ver un proble-ma por sí so-los, las explica-ciones del pro-fesor o profe-sora sobre el contenido del tema tiene ma-yor sentido pa-ra ellos. Esto les permite dar-se cuenta si acertaron, que pueden existir soluciones di-versas a un mismo proble-ma o por qué se equivoca-ron.

La manera en la que cada alumno resuel-ve los proble-mas depende de su edad, de sus conoci-mientos y ex-periencias.

En un segundo momento, el docente ense-ña algunos as-pectos del con-tenido del te-ma. Empieza por hacer pre-guntas sobre lo que los estu-diantes han realizado y los resultados que obtuvieron, có-mo han llegado a la solución o las razones por las que no han tenido éxito. Termina mos-trándoles otros procedimientos o diciéndoles cómo se escri-be con símbo-los lo que han hecho.

2. CARACTERÍSTI-CAS DE LOS PRO-BLEMAS.

En cuanto a las carac-terísticas que deben presentar los proble-

mas, los docentes de-ben considerar dos momentos distintos:

a. En las activida-des que se rea-lizan dentro de los salones de clase a través del proceso.

b. En su medición en las pruebas orales, escritas o de ejecución.

En cuanto a los pro-blemas que se deben plantear en los salo-nes de clase, en don-de los estudiantes pueden discutir, co-mentar, compartir ideas y estrategias, corregir resultados etc, se recomienda:

Plantear pro-blemas en los cuales los con-textos sean bien variados: problemas de la vida cotidia-na, ficticios, matemáticos, juegos, etc.

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Variar la forma de presenta-ción: a través de un texto, oralmente, con material gráfi-co, con mate-rial concreto, etc.

Plantear pro-blemas sin pre-guntas, donde se busca que los alumnos las formulen.

Plantear pro-blemas con ex-ceso de datos o en los cuales hacen falta da-tos.

Plantear pro-blemas que ad-miten una o va-rias respuestas y en los que las respuestas pueden ser o no numéricas.

Aprovechar las vivencias y si-tuaciones sur-gidas en el mismo desarro-llos de las lec-

ciones para plantear y re-solver nuevos problemas.

Plantear, ade-más de los pro-blemas que se resuelven con los contenidos que se están estudiando, otros en los cuales se apli-quen procedi-mientos de ra-zonamiento ló-gico, en los cuales no se necesita más que el ordena-miento lógico de ideas y la aplicación de conocimientos básicos.

En el proceso de eva-luación, al medir al estudiante en la reso-lución de problemas, a través de las prue-bas orales, escritas, o de ejecución, se reco-mienda que los pro-blemas posean las si-

guientes característi-cas:

Ser accesibles ( sin ser trivia-les) a los estu-diantes, con base en los co-nocimientos re-levantes del te-ma en estudio.

Presentar un enunciado cla-ro, preciso y con los datos suficientes y necesarios pa-ra su solución.

No deben re-querir el uso de ideas sofistica-das o gran cantidad de procedimientos mecánicos.

Poderse resol-ver por diferen-tes estrategias o caminos de solución. Se le debe dar liber-tad al estudian-te para que lo resuelva como

considere más conveniente. ( nunca restrin-ja a una forma de solución)

No deben invo-lucrar trucos o soluciones sin explicación.

3. ESTRATEGIAS DE SOLUCIÓN

Los jóvenes aprenden a partir de lo que sa-ben, por lo que es ne-cesario que, cuando haya un nuevo con-cepto por aprender, la situación les permite relacionarlo con sus ideas y experiencias previas. Es importante que los estudiantes participen activamen-te en el conocimiento que están aprendien-do, a través de diver-sas actividades que sean interesantes pa-ra ellos, y que les ha-gan pensar y descu-brir por sí mismos sus errores.

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Como una alternativa de conducción de una lección de solución de problemas también se puede considerar las recomendaciones que nos aportan los inves-tigadores mexicanos Block, Martínez y Dá-vila (1990), con res-pecto a la forma de una lección de solu-ción de problemas y al tipo de problemas que se les puede pro-poner a los alumnos.

Estos autores reco-miendan establecer ciertos supuestos a la hora de manejar una lección de solución de problemas y, además, recomiendan ciertas medidas para apoyar a los adolescentes en la resolución de pro-blemas.

Los supuestos que ellos manejan son los siguientes:

Para resolver un problema no es necesario recibir previa-mente informa-ción acerca de cómo se re-suelve. Es de-cir, según es-tos autores, siempre los alumnos tienen recursos adqui-ridos en su ex-periencia pre-via para abor-dar un proble-ma significativo para ellos.

El proceso de resolver un problema inclu-ye ensayar un procedimiento, rectificar erro-res, adaptar creativamente recursos cono-cidos. Si el ma-estro indica previamente cómo se re-suelve el pro-blema, impide la realización

de este proce-so.

Un problema puede ser re-suelto con dis-tintos procedi-mientos y no con uno solo.

Un problema puede implicar la puesta en juego de varios conocimientos matemáticos y no de uno solo. en cualquier ni-vel escolar, se deben conside-rar estrategias como las que se proponen a continuación:

a. TRABAJO EN GRUPOS

Wheatley recomienda poner a trabajar a los alumnos en grupos de cuatro o cinco, donde cada grupo discute un mismo problema. Así, las preguntas surgen naturalmente de los

miembros de cada grupo y no es el pro-fesor o profesora la que artificialmente las inventa.

Una vez que los gru-pos finalizan la solu-ción del problema pro-puesto, los grupos presentan a todos los alumnos de la clase los resultados obteni-dos. Afirma este autor que cuando los edu-candos llevan a cabo esta labor, están an-siosos de retar y ex-tender las afirmacio-nes hechas por los demás estudiantes. Su interés primordial es mostrar qué meta han alcanzado y no quedar bien con el do-cente. Los estudian-tes deben tener res-peto por las estrate-gias utilizadas por sus compañeros. Es con-veniente que fomente en aquellos estudian-tes ágiles en la reso-lución de problemas, la misión de ser facili-

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tadores y guías, que orientan a sus compa-ñeros hacia la solu-ción, pero que no se las proporcionan.

b. REVISIÓN DE RE-SULTADOS

El clima que debe prevalecer en una lec-ción donde se discute un determinado con-cepto o tema, debe ser tal que los alum-nos perciban las pre-guntas que el docente les hace, como una acción para facilitar el aprendizaje y no para evaluar cuánto saben ellos en ese momen-to.

Este método, es dife-rente al llamado “en-señando - descubrien-do”, donde usualmen-te el profesor se colo-ca al frente de la cla-se, ordenada en hile-ras de alumnos, y pro-pone un problema y. luego, comienza a ha-cer preguntas que

conduzcan a los alumnos a encontrar la solución.

La desventaja de este método “enseñando - descubriendo”, es que con su actitud el pro-fesor está actuando como un filtro: selec-ciona respuestas, re-chaza otras y elabora la solución del proble-ma propuesto sólo so-bre la respuesta de ciertos alumnos. Los estudiantes, enton-ces, rápidamente diri-gen su atención a pre-guntarse qué es lo que el profesor desea que contesten y no pensar cuáles relacio-nes matemáticas pue-den ellos establecer. Ellos saben que el instructor tiene una fórmula o relación en mente y también el método de solución. Entonces, la labor de los estudiantes se li-mita a adivinar que es lo que el docente está pensando.

En contraste al “ense-ñando - descubrien-do”, el tipo de discur-so que Wheatley (1990) propone, con-siste fundamental-mente en que los es-tudiantes compartan sus métodos de solu-ción, sus conjeturas y sus puntos de vista. Para ello el docente debe ayudar y orien-tar la discusión en los grupos, usando en ca-da discusión las ideas que a los alumnos de cada grupo se les ha ocurrido. De esta discusión gru-pal surgen las correc-ciones espontáneas, si los alumnos han se-guido un razonamien-to equivocado.

c. DISCUSIÓN DE RESULTADOS.

La clase debe trans-formarse en un forum donde los alumnos construyen las expli-caciones para su pro-

pio razonamiento. Ex-plicando a sus com-pañeros cómo ellos piensan acerca de un problema, los estu-diantes elaboran y re-finan sus propios pen-samientos y profundi-zan su entendimiento. Así, la discusión en clase facilita el apren-dizaje y promociona la auto evaluación.

Cuando una persona joven o adulta se ve en la situación de po-ner sus pensamientos en palabras, está esti-mulada para su análi-sis y organización. Por ello la importancia de la discusión colec-tiva.

Cummings (1971), otro investigador en enseñanza, afirma que la discusión es valiosa porque nos pone a escuchar y co-municar nuestras ideas. Escuchando, tratando de ver las co-sas desde otros pun-

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tos de vista, es que las personas alcanzan su comprensión o en-tendimiento.

En las pedagogías constructivistas el educador es esencial-mente un facilitador del aprendizaje. Esto no disminuye su im-portancia; por el con-trario, se requiere una actitud más reflexiva de su parte para es-tructurar un medio ambiente rico en oportunidades de aprendizaje, negociar metas y normas so-ciales, así como dise-ñar las tareas apro-piadas.

d. MEDIDAS DE APOYO

Las medidas que re-comiendan para apo-yar a los niños en la resolución de proble-mas son las siguien-tes:

No dar indi-caciones previas y plantear problemas con fre-cuencia.

Según los autores, esta medida incluye el no enseñar previa-mente a resolver el problema, a que el maestro no resuelva antes un problema modelo. También in-cluye el no guiar en la resolución, no dar orientaciones sobre la operación que se pue-de utilizar, y procurar no usar siempre pala-bras “clave” en la re-dacción de los proble-mas.

En cuanto a la medida de plantear problemas con frecuencia, está basada en el supues-to de que intentando resolver problemas, es que se aprende a resolver problemas.

Comentar el enunciado del proble-ma antes de la reso-lución de éste.

Este comentario es necesario para asegu-rarse de que los alum-nos comprendan lo que plantea el proble-ma, los términos utili-zados, las relaciones que se establecen en-tre los datos, que es lo que se busca.

Pedir a los alumnos un resultado aproxima-do, esto es, una estima-ción, antes de que ini-cien la bús-queda del resultado exacto.

Se desea conseguir con esta estimación,

que los alumnos refle-xionen sobre la rela-ción entre los datos, antes de que centren su atención en los cál-culos que deben ha-cer para obtener el re-sultado. Además, afir-man Block y compa-ñeros, “la estimación favorece la ejercita-ción de un tipo espe-cial de cálculo mental, con frecuencia reque-rido en la vida cotidia-na”.

Organizar la disputa co-lectiva.

Después de que la mayoría de los alum-nos ha resuelto el pro-blema, es necesario un enfrentamiento co-lectivo con los si-guientes fines:

Al conocer las diferen-tes maneras de resol-ver un problema, los mismos alumnos pue-

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den decidir si hay una solución más simple, mejor que todas las demás. De esta ma-nera los alumnos van aprendiendo a sociali-zar sus conocimien-tos.

Además, la participa-ción de los alumnos en la decisión de cuá-les procedimientos son correctos y cuáles no, involucra a los alumnos en un análi-sis de los errores y los conduce indirecta-mente a la demostra-ción de los procedi-mientos correctos.

Esta discusión favore-ce el que los alumnos aprendan a expresar sus ideas y a realizar demostraciones que apoyen sus puntos de vista.

La discusión de resul-tados de problemas que integran situacio-nes del medio am-biente, conservación

del agua, situaciones sociales, culturales y políticas etc, promue-ven una conciencia-ción en el estudiante que le permitirá valo-rar lo que tiene para conservarlo y mejorar lo que está mal en be-neficio del mejora-miento de su calidad de vida y de las per-sonas que lo rodean.

4. TIPOS DE PRO-BLEMAS.

Para efectos de es-tos programas, se considerarán dos ti-pos de problemas:

Aquellos en los que, para su solución, se requiera de operaciones, teoremas, principios, teorías o con-ceptos rele-vantes del te-ma que se es-tá estudiando.

En los que, para su solu-

ción, se re-quiera de un ordenamiento de ideas lógi-cas y la apli-cación de conceptos bá-sicos, llama-dos por algu-nos autores como proble-mas de inge-nio y acertijos, tales como los siguientes:

a. Colocación de dí-gitos con ciertas condiciones.

Cuadros mágicos

La dificultad de estos cuadros mágicos pue-den variar de acuerdo con el nivel en que se está trabajando. Pue-den proponerse de

4x4 y en distintos con-juntos numéricos.

Colocar en forma co-rrecta los dígitos del 1 al 8 en la si-guiente fi-gura, si el 1 no puede estar junto al 2, el 5 no puede estar junto al 4, el 3 y el 6 de-ben estar separados al igual que el 7 y el 8.

Distribuir los dígitos del 1 al 5, de tal forma que la igualdad sea verda-dera.

46

x =

8 1 63 75

4 9 2

Una solución esUna solución es

3 52718

6 4


Ordene los números naturales del 1 al 6 en los círculos, de tal ma-nera que la suma de los dígitos colo-cados en cada lado del triángu-lo, sea 10.

b. Unir o dividir con líneas

Una los nueve pun-tos con úni-camente 4

líneas rec-tas, sin le-vantar el lá-piz del pa-pel y sin re-correr las lí-neas más de una vez?

En la figura siguiente, trace 6 lí-neas de tal manera que, cada punto que-de separa-do del otro.

c. Mover y quitar partes de una figura para formar otra.

Se tiene un triángulo equilátero formado por 10 mone-das, con el vértice ha-cia arriba, como lo in-dica la figu-ra. Conviér-talo en un triángulo con el vérti-ce hacia abajo, mo-viendo úni-camente tres mone-das.

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3 x 4 =1 5 2

¿Puedes encontrar al menos 4 más?

Algunas solucionesson:

Una solución es

6

3 2 5

4

1

6

1 4 5

2

3

Una solución es

Una solución es


Tome 12 fósforos y colóquelos formando cuatro cua-drados, co-mo lo muestra la figura:

d. Utilización de la información que se explicita, para dedu-cir otras informacio-

nes que aparecen en forma implícita.

¿Qué profe-sión tiene cada uno?

Cada uno de es-tos tres hom-bres, Mariano, Oscar y Fernando, tienen dos profesiones. Di-chas profesiones son: detective privado, pi-loto, cantante, carni-cero, camarero, y de-pendiente de tienda. trate de averiguar cuáles son las dos profesiones que tiene cada uno de ellos, con base en la si-guiente información:

El camarero llevó a una fiesta a la novia del piloto.Tanto al piloto como al cantante les gusta jugar cartas con Os-car.El carnicero toma a menudo un trago con el camarero.

Fernando de debe mil colones al cantante.Mariano le gana a las cartas a Fernando y al carnicero.

La señora Alvarado se marchó de via-je el día si-guiente de anteayer y vol-verá la víspera de pasado ma-ñana. ¿Cuánto tiempo estará ausente?

NOTA: Los problemas expuestos anterior-mente solamente re-presentan una mínima muestra del tipo de

retos que se quiere ejemplifi-car. Existe una vasta bibliografía al respecto que

los educadores pue-den consultar para proponer variedad a los estudiantes.

5. CONCLUSIONES.

Algunas conclusiones importantes de las maneras recomenda-das para organizar las lecciones de solución de problemas, serán entonces:

a. El rol del edu-cador varía, con-virtiéndose en un mediador del aprendizaje, pro-veyendo un medio ambiente muy rico intelectualmente, en el cual los es-tudiantes puedan

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a) b)

c)

Quite dos fósforos y forme dos cuadrados.Retire cuatro fósforos y forme dos cuadrados congruentes.Mueva tres fósforos y forme tres cuadrados congruentes.

Solución: estará ausente 3 días y 2 noches.

Solución:Mariano: camarero y cantante.Oscar: carnicero y dependiente de tienda.Fernando: detective privado y piloto.


construir sus pro-pias ideas. Esto incluye:

Entender el razona-miento del estudiante en proble-mas centra-dos en el medio am-biente.

Analizar el contenido de las prin-cipales ideas y rela-ciones que los alumnos deben esta-blecer.

Escoger problemas que estimu-len al estu-diante a ha-cer impor-tantes cons-trucciones.

b. Las sugeren-cias que se pre-

sentan, parten del supuesto de que los adoles-centes pueden aprender de me-jor manera al tratar de resolver una situación que les presenta un reto. Para que resuelvan esta situación es indispensable permitirles que piensen de ma-nera autónoma, se equivoquen, pregunten y compartan con sus compañeros sus dudas y co-nocimientos. El papel del docen-te en este proce-so es fundamen-tal. Al proponer-les a sus alum-nos actividades y juegos intere-santes, compar-tir sus descubri-mientos y partici-par en sus con-versaciones, apoya el apren-

dizaje y lo con-vierte en algo atractivo. El o la profesora ani-man, guían, orientan, organi-zan y ponen al alcance de los estudiantes los elementos nece-sarios para re-solver las situa-ciones que se les presentan, permitiendo que sean ellos quie-nes decidan có-mo hacerlo.

c. Será labor del educador dise-ñar y coleccio-nar problemas que reúnan las características requeridas para proponerlos en los diferentes ni-veles escolares, y que incluyan los diferentes conceptos mate-máticos del pro-grama.

d. Todos los do-centes pueden contribuir, dada su valiosa expe-riencia, en el di-seño de proble-mas y en la im-plementación de esta nueva me-todología ya que ésta traerá gran-des beneficios en el mejora-miento del aprendizaje de la matemática, por parte de nuestros alum-nos y por ende en el progreso y desarrollo de nuestro país.

D. USO DE LA CAL-CULADORA

En la era presente, ante el exceso de in-formación, es impor-tante ofrecer al estu-diante elementos so-bre cuál ha sido el proceso de creación y desarrollo del conoci-

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miento, la ciencia y la tecnología.

Es necesario, por lo tanto, agilizar los cál-culos, de ahí que el uso de la tecnología y específicamente, la calculadora, resultan muy valiosos. Permi-te, no solamente reali-zar las operaciones más rápidamente, sino, también, clarifi-car, acentuar y pro-fundizar el concepto, es decir, obtener in-formación de mayor valor cognoscitivo.

Afirma Lynn Arthur Steen, en su docu-mento titulado Ense-ñando Matemáticas para el Mundo de Ma-ñana, que “ nada sim-boliza mejor la natura-leza del retroceso del currículo matemático, que la resistencia de los profesores y dise-ñadores de exámenes a hacer un uso com-pleto y apropiado de las calculadoras”

Recuerde que la cal-culadora agiliza los procedimientos algo-rítmicos, los mecanis-mos que se llevan a cabo sin ningún razo-namiento, por ello, no se debe tener temor en su uso pues de ninguna manera la calculadora atrofia el razonamiento de los estudiantes.

“LA CALCULADORA NO RESUELVE PRO-BLEMAS, NO PIENSA NI RAZONA”, sola-mente agiliza los cál-culos.

El uso de tecnología debe estar acompa-ñado, no-solo de ins-trucción sobre la mis-ma, sino también del desarrollo y fortaleci-miento de habilidades mentales, como cál-culo mental y estima-ción de medidas y va-lores.

Inmerso en el desa-rrollo tecnológico ac-tual se encuentra la utilización de los dife-rentes programas de computación, que au-nados con la creativi-dad y las innovacio-nes del docente cons-tituyen una valiosa herramienta para el desarrollo de muchos de los contenidos.

Debe estimularse al estudiante para que empiece a crear sus propias estrategias y a resolver problemas en forma autónoma, sin tener que recurrir a recetas preestable-cidas.

Mediante el uso de la calculadora, se puede realizar numerosos ejemplos de cómo és-tas coadyuvan en la resolución de situacio-nes problema, como contexto para explorar ideas matemáticas.

El uso frecuente de calculadoras, del cál-culo mental y de esti-maciones ayuda a que el estudiante de-sarrolle un punto de vista más realista so-bre las operaciones, y hace que pueda ser más flexible en la se-lección de métodos de cálculo.

Pueden usarse calcu-ladoras para resolver problemas que exijan tediosos cálculos. La estimación y la valora-ción de resultados, re-quieren una atención especial cuando los estudiantes usan cal-culadoras.

E. ARITMÉTICA:El profesor debe indu-cir al educando a comprender la necesi-dad que ha tenido el ser humano de crear conjuntos numéricos y la operatoria en ellos, para resolver proble-mas de su propia rea-

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lidad y de la organiza-ción social, tales co-mo el cobro de tribu-tos, almacenamiento y distribución de ali-mentos, etc.

Es recomendable in-troducir los temas por el camino empírico in-tuitivo, para llegar al conocimiento abstrac-to, como una síntesis de las posibles inter-pretaciones concre-tas.

Los objetivos relevan-tes de la aritmética en el III Ciclo de la Edu-cación Diversificada van orientados hacia las diferentes formas en que se pueden ex-presar los elementos de los conjuntos estu-diados.

Es importante que los estudiantes puedan identificar y expresar los números natura-les, enteros, raciona-les e irracionales, sin importar la notación

en que este se en-cuentre escrito.

Un estudiante que ha-ya cursado noveno año, debe estar en capacidad de expre-sar, por ejemplo el 4 en al menos ocho for-mas diferentes, a sa-ber:

Desde el punto de vis-ta didáctico, los temas deben seguir un or-den de complejidad creciente, un conjunto numérico como am-pliación de otro, aun-que no fue así su de-sarrollo histórico.

La presentación de los conceptos de “denso”, “continuo”, “infinito”, “completo” de los conjuntos nu-méricos, solamente se introducirán en for-ma intuitiva. Se debe basar en el concepto intuitivo más que en la

definición. Por ello, su evaluación se realiza-rá en el proceso y con base en ejemplos.

Es fundamental el co-nocimiento, manejo y aplicación de las seis operaciones con nú-meros enteros, racio-nales e irracionales. Los docentes deben dar mucho énfasis en la realización de ope-raciones con números reales expresados en cualesquiera de las notaciones estudia-das: notación decimal, fraccionaria, exponen-cial, radical.

La aritmética en el III ciclo debe ser más ágil, debe estar dirigi-da hacia la obtención de resultados finales más que a la aplica-ción de algoritmos mecánicos.

No importan las estra-tegia que el profesor o la profesora seleccio-nen para introducir las

operaciones con nú-meros enteros, lo que interesa es que el es-tudiante interiorice “las reglas” que rigen esas operaciones y tenga la capacidad para detectar posibles errores ya sea en sus procedimientos o los que le facilita una cal-culadora.

Así, por ejemplo si tie-ne que realizar el cál-culo -125 – 75 y utiliza la calculadora y por error, esta le muestra en la pantalla como resultado 50, el estu-diante pueda captar que él cometió alguna equivocación al pre-sionar las teclas, pues su conocimiento le di-ce que si los dos nú-meros que se suman son negativos, el re-sultado debe corres-ponder a la suma de ambos ( en valor ab-soluto) y con signo negativo

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Para introducir las operaciones con nú-meros enteros existen muchas estrategias, una de ellas puede ser mediante el uso de la calculadora.

Por ejemplo: Para in-troducir la suma de números enteros.

El o la profesora pue-den solicitarle a los estudiantes que deter-minen, con la calcula-dora, el resultado de un número considera-ble de operaciones, agrupadas según los casos que se presen-tan al operar dos nú-meros enteros:

10 + 8 = -6 + -7 =15 + 30 = -45 + -50 =7 + 9 = -26 + -40 =100 + 43 = -35 + -35 =49 + 123 = -76 + -100

=76 + 10 = -50 + -55 =36 + 11 = -20 + -30 =10 + 10 = -125+ -

200=15 + 50 = -3 + -4 =

20 + 100 = -70 + -25 =

Se les solicita des-pués a los alumnos, que analicen cada grupo de operaciones y lo caractericen. Lue-go se les invita a for-mular conjeturas y po-sibilidades sobre el procedimiento que es-tá siguiendo la calcu-ladora para llegar a ese resultado.

Cada estudiante enunciará sus conclu-siones y realizará una redacción de lo enten-dido.

La evaluación se rea-lizará durante el pro-ceso, dándole énfasis al signo, positivo o ne-gativo, que tendrá el resultado y a la opera-ción aritmética que se deberá ejecutar.

De igual forma se puede introducir la resta, multiplicación y división.

Se sugiere que se tra-baje con la combina-ción de operaciones y el uso de paréntesis, conforme se van estu-diando, es decir, pri-mero se combinan su-ma y restas, luego su-mas restas y multipli-caciones y así sucesi-vamente hasta combi-nar todas las opera-ciones y los parénte-sis estudiados.

Es pertinente trabajar la división con resulta-dos enteros y no ente-ros, pero, en la combi-nación de operacio-nes, se recomienda li-mitar los casos en que el cociente sea entero. Respecto del conjunto de los números racio-nales, el énfasis debe estar en la conceptua-lización de los núme-ros racionales negati-vos expresados en notación fraccionaria, puesto que los núme-

ros racionales positi-vos expresados en esta misma notación, se han estudiado en I y II Ciclos, incluidos en el tema de las frac-ciones.

Los docentes deben tener en cuenta que este tema de las frac-ciones ha sido estu-diado en la escuela, por ello, después de un buen examen de diagnóstico, podrá contar con mucho co-nocimiento previo que servirá como base pa-ra el estudio del con-junto de los números racionales negativos.

También se recalca aquí, igual que en los números enteros, en hacer énfasis en la agilidad de los cálcu-los de operaciones con números raciona-les escritos en nota-ción fraccionaria, más que en los algoritmos.

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La combinación de operaciones, el uso de paréntesis la solu-ción de problemas en los que se requiera de estos números, repre-sentan objetivos rele-vantes en este tema.

El estudio del conjun-to de los números irracionales regresa a 9º año, pues se consi-deró que en el nivel inferior, los estudian-tes aún no tienen la madurez suficiente para abstraer este co-nocimiento.

Se recomienda que se utilice el tiempo su-ficiente para introducir el concepto de núme-ro irracional. Es nece-sario que el estudian-te sepa diferenciar un número racional de un irracional, sin importar la notación en que se encuentren escritos.

La parte operatoria es recomendable traba-jarla con énfasis en el

uso de la raíz cuadra-da y cúbica, así como en la combinación de operaciones y el uso de los paréntesis.

Además, se debe pro-curar que las opera-ciones que se esta-blezcan, se deriven de la solución de pro-blemas sencillos.

F. ÁLGEBRA.

La introducción de es-te tema se hace en forma paulatina. Se trabaja con expresio-nes algebraicas sim-ples, ya que lo funda-mental es ir familiari-zando al estudiante con el uso de las le-tras, la simbología al-gebraica y la aplica-ción de reglas genera-les.

Es de suma importan-cia que los y las estu-diantes logren distin-guir claramente, que no toda letra que se utilice en matemática,

representa una varia-ble o una incógnita.

Por ejemplo, los sím-bolos del sistema in-ternacional de medi-das ( m, km, kg, dam, hl, etc.) contienen le-tras pero estas NO re-presentan expresio-nes algebraicas, puesto que, en este caso, las letras no re-presentan números.

También es importan-te, que el estudiante establezca la diferen-cia entre incógnita y variable, es decir, que discriminen entre si-tuaciones donde la le-tra representa a un número desconocido en particular y situa-ciones en las cuales esa letra puede asu-mir distintos valores en un rango determi-nado.

Al hacer el estudio de lo concreto a lo abs-tracto se parte de lo numérico como base

para la construcción de los conceptos abs-tractos que genera el Álgebra. Por lo tanto, el alumno debe fami-liarizarse poco a poco con el álgebra, como una forma representa-tiva general del conte-nido aritmético. No presentar el álgebra como un formulismo vacío.

Este tema contiene una considerable la-bor de adiestramiento en el manejo de fór-mulas. Esto tiene gran valor formativo, pues ayuda a desarrollar capacidades de abs-tracción y generalidad y, además, prepara al educando para el ma-nejo de fórmulas que se le presentarán en otras áreas del cono-cimiento matemático y del conocimiento en general.

El álgebra mal ense-ñada se convierte en una memorización de

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mecanismos y de téc-nicas operatorias sin valor ni funcionalidad.

El Álgebra bien ense-ñada conduce a la or-ganización de ideas y formulación de algorit-mos.

El fin principal del aprendizaje de este tema, es formar en el educando esquemas mentales que le per-mitan plantear y resol-ver problemas, esta-bleciendo relaciones entre los elementos a que se refiere el pro-blema y reconociendo en el problema los da-tos y las incógnitas.

Las situaciones plan-teadas a los jóvenes deben ser, en lo posi-ble, relacionadas con sus vivencias y con otras disciplinas a las que el Álgebra sirve de herramienta.

Si bien es cierto, el ál-gebra es uno de los

temas que requiere de mucha abstrac-ción, se recomienda utilizar la geometría para “visualizar” el ál-gebra.

Por ejemplo, para in-troducir las operacio-nes con monomios y polinomios, se pue-den utilizar problemas de áreas y perímetros de triángulos y cuadri-láteros, puesto que estas son las figuras conocidas en la es-cuela.

Puede empezar pre-guntando por el perí-metro de la figura an-terior y posteriormen-te que establezcan conjeturas acerca de la expresión resultan-te si en lugar de 10 y 25, se tiene “m “ y “t” ,

o “x” y “x + 15”, y así sucesivamente.

También puede esta-blecer ejercicios como pedirle a los estudian-tes que investiguen cuál es el polinomio que expresa el área de la siguiente figura

También ejemplos donde tengan que aplicar la factorización de polinomios. Por ejemplo:

El polinomio 2ab – 4a + b – 2 representa el área de un rectángu-lo. Exprese en función de “a” y de “ b” dos polinomios que pue-dan representar la medida de los lados del rectángulo.

Para lograr los objeti-vos establecidos en el álgebra del III ciclo de la Educación General Básica, no es necesa-

rio atiborrar a los alumnos de ejercicios larguísimos y tediosos que complican el pro-cedimiento, y que re-quieren un esfuerzo enorme por parte del estudiante, pero que al final, ni siquiera lo-gra detectar el error cometido para rectifi-carlo.

Con ejercicios senci-llos y claros se puede trabajar el álgebra sin causar presión ni an-gustia en los estu-diantes.

G. GEOMETRÍA:

En los temas de Geo-metría se debe combi-nar la intuición, la ex-perimentación y la ló-gica. Se usarán las construcciones para que, a partir de ellas, se caractericen las fi-guras y se formulen deducciones lógicas, sin que eso signifique que se hará una pre-

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10 10

25

25

2x +1

5x - 3


sentación axiomática- deductiva - rigurosa.

Los aspectos experi-mentales o intuitivos de la geometría, re-quieren del uso de material concreto, con características de operatoriedad y flexi-bilidad para que, a través del análisis y la síntesis de situacio-nes, el joven logre construir conocimien-to abstracto.

El uso de escuadra, regla y compás, se complementa con ma-terial flexible, como papel, cuyo doblado y corte permite construir y reconstruir situacio-nes abstractas y de-sarrollar las leyes bá-sicas, que darán paso a la formulación de conceptos por deduc-ción.

Por ejemplo, para las áreas, el uso del geo-plano y ligas, pueden conducir a la conclu-

sión de que figuras de igual área no tienen igual perímetro.

Las construcciones geométricas no deben verse como un fin en sí mismas, sino que su papel primordial consiste en facilitarle al estudiante la carac-terización de las figu-ras y la identificación de sus propiedades.Se sugiere que en las construcciones se ha-ya experimentado pri-mero con material concreto, ya que per-miten integrar los di-versos conceptos geométricos, y com-prender mejor las pro-piedades de los cuer-pos, logrando facilitar inferencias al respec-to.

La geometría en sép-timo año debe tomar un rumbo diferente a la simple repetición de definiciones sobre los conceptos básicos o a la simple identifica-

ción de figuras geo-métricas.

Los y las adolescen-tes en este nivel ya tienen las operacio-nes mentales suficien-tes para simbolizar e interpretar los concep-tos geométricos.

Por ejemplo:

En sétimo año, no es suficiente que el estu-diante repita la defini-ción de rectas perpen-diculares y que se li-mite a dibujar dos rec-tas perpendiculares así

pues ese objetivo ya fue cumplido en la es-cuela.

En el nivel de sétimo año, el énfasis estará en que el estudiante pueda:

Interpretar la ex-presión simbólica

m1 m2, median-te los dibujos de rectas perpendicu-lares en todas las posiciones posi-bles.

Identificar simbóli-camente rectas perpendiculares a partir de la infor-mación que se presenta en gráfi-cos y dibujos.

Por ejemplo, del gráfico anterior, el

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m1

m2

m1

m2

m1

m2

m2

m1

m3

A

BC

mABC= 90°

m4


estudiante debe ser capaz de escri-bir simbólicamente m1 m3 y m2 m4.

Representar gráfi-camente., en dife-rentes posiciones, expresiones sim-bólicas como

Formular conjetu-ras y establecer in-ferencias respecto de la información ya sea simbólica o

gráfica que se le proporcione.

Por ejemplo, de la in-formación puede infe-rirse que m AMD = 90°, o que M es el punto de intersección de ambas rectas

Trasladar el con-cepto de rectas perpendiculares al de segmentos per-pendiculares y utili-zar sus propieda-des en la formula-ción de conjeturas y la solución de ejercicios.

Por ejemplo: En la fi-gura siguiente, AD CB

De acuerdo con la in-formación anterior, ¿con cuál figura se puede asegurar con

certeza que se está trabajando?

Razone su conjetura.

Es importante enten-der que la geometría de séptimo año debe trabajarse primera-mente con material concreto, donde los estudiantes puedan “visualizar” las propie-dades y las caracte-rísticas de los ele-mentos básicos de la geometría.

Posteriormente, se irán interiorizando po-co a poco estas pro-piedades, para llegar a aplicarlas en la solu-ción de ejercicios.

Los docentes deben tener cuidado que no basta que los estu-diantes “reciten” las propiedades y las ca-racterísticas, porque lo importante es que las apliquen en la so-lución de problemas.

Por ejemplo, en lugar de resolver un ítem en que el estudiante ten-ga que marcar la op-ción “Las diagonales de un cuadrado se bi-secan”, o “Las diago-nales de un cuadrado son perpendiculares”, o “Las diagonales de un cuadrado son con-gruentes”, es mejor que apliquen estas propiedades en la so-lución de ejercicios como el siguiente:

Observe bien el cua-drado ABCD

De acuerdo con la in-formación anterior y con base en las pro-piedades y caracterís-ticas que posee el cuadrado y sus diago-nales, conteste:

a) ¿ Cuánto mide el segmento AE?

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A B

C D

A

BC

DD

CB

A

C D

AB

A B

C D

A B

C D

Si d (A,B) 14,2 cm

y

d (A,D) = 20 cm

E

AM MD

AB BD Y CD AC


b) ¿ Cuál es el perímetro del triángulo CED?

c) ¿ Cuánto mide BED?

d) ¿Cuánto mide EDC?

e) ¿Cuál es el área del trián-gulo CDA?

f) ¿Cuál es el área del polí-gono EABDC?

H. ESTADÍSTICA:

Se pretende lograr desarrollar en el edu-cando una actitud crí-tica ante la informa-ción que le presentan los medios de comu-nicación, por lo que los ejercicios que se le planteen deben ser obtenidos de su reali-dad inmediata, desta-cando la interpreta-ción estadística.

En este tema, como en otros, el lograr en el estudiante razona-mientos y conclusio-nes, tiene mayor va-

lor, que hacerlo desa-rrollar un sinnúmero de cálculos vacíos. Por ello, el uso de tec-nología se hace nece-sario, con el propósito de centrar el aprendi-zaje en el que el edu-cando genere deduc-ciones.

Una de las razones que justifican la pre-sencia y el peso de la estadística en esta etapa es la de propor-cionar instrumentos básicos para interpre-tar las informaciones que utilizan este tipo de técnicas. Es con-veniente tener en cuenta esto a la hora de seleccionar conte-nidos y actividades que no deben limitar-se al cálculo de pará-metros de distribucio-nes dadas en forma de tabla o de gráfico.

La parte relevante en este tema debe estar orientada hacia la re-colección de datos

hecha por los mismos estudiantes. Las en-cuestas, las entrevis-tas y recolección de información en libros y revistas, no deben faltar.

La interpretación de la información que pro-porcionan los gráficos estadísticos, también constituye una acción relevante dentro de este tema; pero no debe limitarse a la simple interpretación, sino que el estudiante debe formular conje-turas e inferencias que lo lleven a esta-blecer conclusiones y a tomar decisiones sobre su calidad de vida.

I. TRIGONOMETRÍA:

Su principal objetivo es la resolución de problemas ligados al entorno del educando,

pero que no requieren de cálculos engorro-sos.

Este tema resulta ser una base importante en el estudio de otras disciplinas, por lo que el estudiante debe ser conocedor de esta re-lación, preferiblemen-te a través de proble-mas adecuados.

La trigonometría se debe ver como una ampliación de la Geo-metría, tal como fue su surgimiento históri-co.

IX. ORIENTACIO-NES PARA LA EN-SEÑANZA Y EL APRENDIZAJE DE LAS ACTITUDES Y VALORES EN MATEMÁTICA

Si la educación de los adolescentes se ca-racteriza por ser inte-gral, entonces la for-mación de su perso-nalidad, de su carác-

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ter, de su conciencia humanista y de su convivencia social en una cultura para la paz y la democracia, y su valoración subjeti-va respecto de lo que se le enseña, del mo-do en que se le ense-ña y de quien se lo enseña ( actitudes), deben ir en forma pa-ralela al desarrollo del pensamiento y su for-mación matemática.

Como opina César Coll, las actitudes guían los procesos perceptivos y cogniti-vos que conducen al aprendizaje de cual-quier tipo de conteni-do educativo, ya sea conceptual, procedi-mental o actitudinal.

Las actitudes intervie-nen decisivamente en la adquisición del co-nocimiento, puesto que el interés, la per-severancia, la curiosi-dad, la búsqueda de la verdad,... constitu-

yen agentes que favo-recen el aprendizaje, así como los factores afectivos y emociona-les que intervienen en forma positiva o nega-tiva de acuerdo con el éxito o el fracaso del mismo.

Estos aspectos son los que no deben olvi-dar los docentes en el momento en que ela-boran su planeamien-to didáctico, puesto que se convierten tan importantes como los contenidos concep-tuales. Esta es una de las razones por las cuales los valores y actitudes se explicitan en este programa.

Cada día frente a sus alumnos, el profesor y la profesora se en-frentan con acciones que los obligan a emi-tir juicios y a estable-cer afirmaciones que los estudiantes asimi-lan con mucha facili-dad. Esta situación es

la que debe aprove-char el educador, pa-ra fomentar esos valo-res y actitudes, recal-cando en la intensi-dad de sus ideales y preferencias en una sociedad democráti-ca, en relación con la calidad de vida, de la cultura y del medio social en que vive, así como en el aprecio por la verdad y la práctica del bien.

En las clases de ma-temática, los docentes deben aprovechar la solución de proble-mas para fomentar la perseverancia en la búsqueda de estrate-gias, la curiosidad y el interés en la estima-ción de resultados. Para enriquecer la ori-ginalidad y la creativi-dad en el plantea-miento de nuevas si-tuaciones problemáti-cas y la criticidad en la discusión de los re-sultados obtenidos.

Debe fomentar la re-flexión ante los resul-tados de situaciones que resalten ambien-tes problemáticos re-lativos a la calidad de vida, a la conserva-ción del recurso del agua, al respeto por la vida humana y sus derechos, al respeto por la equidad de gé-nero, etnias, clases sociales y personas con necesidades edu-cativas especiales y otros.

Esa gran oportunidad que se presenta al realizar comentarios de los resultados de problemas reales, no se puede pasar des-apercibida.

Por ejemplo, si se re-suelve un problema en el que se ha obte-nido la cantidad de li-tros de agua potable que se gastan, cuan-do una persona se baña y cómo esta au-menta de acuerdo con

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el tiempo que dure la llave abierta, lo más prudente es que el y la docente comenten y discutan con sus es-tudiantes sobre el tiempo máximo que se debe durar en el baño, así como solici-tarles que establez-can medidas de pre-vención, para no mal-gastar ese recurso natural agotable tan importante en nues-tras vidas.

De esta forma, se fo-menta poco a poco la toma de conciencia para que se valore la necesidad de conser-var ese recurso.

Acciones similares se realizarán cuando se resuelvan problemas sobre diversas proble-máticas como por ejemplo la deforesta-ción y cómo esta ha afectando la Naturale-za y la economía del país, las diferencias tan grandes que re-

sultan al comparar los porcentajes de los sueldos entre hom-bres y mujeres, las di-ferencias que se esta-blecen entre pueblos por diferencias étnica y otros.

Se muestra con esto que, en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas se fo-menta la formación de actitudes y de valores porque en ellos se de-sarrolla la imagina-ción, la creatividad, el razonamiento, la criti-cidad. También contri-buyen al aprecio por la naturaleza, a través de su aplicación en el arte, y propician el de-sarrollo de modelos matemáticos que con-tribuyen al desarrollo sustentable y sosteni-ble de la naturaleza.

El estudio de esta dis-ciplina contribuye a la formación de valores morales y éticos, a

perfeccionar el uso del idioma, así como a valorar las contribu-ciones de los antiguos pensadores en el de-sarrollo de la matemá-tica. Propician el de-sarrollo de la capaci-dad para realizar jui-cios críticos y valorar las relaciones que se establecen entre los diferentes hechos y fenómenos; las mate-máticas, para cons-truir su conocimiento, confrontan la informa-ción, los resultados y otros con la realidad. Su estudio permite al alumno asumir retos personales y sociales que se le presentan en el desarrollo de los contenidos programá-ticos y en su vida, siendo consciente de sus propias capacida-des, potencialidades y limitaciones. También lo habilita para aplicar los conocimientos ma-temáticos a los proce-sos de producción y

distribución justa de bienes y servicios.

Se concluye esta sec-ción con un pensa-miento para meditar de don Constantino Láscaris:

“La Educación es lo que l

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e hace al hombre ser el hombre que

es”

X. ORIENTACIO-NES PARA LA EVALUACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN III CICLO

La evaluación es un proceso continuo, una etapa del proceso educacional que tiene como fin comprobar, de modo sistemático, en qué medida se han logrado los resultados previstos en los objeti-vos propuestos con antelación. Lo anterior ya está expresando, de modo implícito, que el concepto de evaluación es más amplio que el de me-dición.

Tanto las mediciones cuantitativas como las descripciones cualita-tivas sometidas a una interpretación y con-cluidas en un juicio de valor, constituyen as-

pectos de la evalua-ción de la Matemáti-ca.Para una profesora o profesor de Matemáti-ca que se proponga extraer múltiples utili-dades de los resulta-dos de un programa de evaluación aplica-do a sus estudiantes; la evaluación se cons-tituye en una actividad que le permite:

1-Conocer cuáles objetivos fueron cumplidos durante el periodo didáctico proyectado.

La posibilidad de lo-gro de los objetivos que la profesora o el profesor selecciona como tarea previa a la enseñanza y al apren-dizaje, no constituye más que una hipóte-sis que solo será vali-dada con la confronta-ción de los resultados obtenidos.

2-Realizar un análi-sis de las causas que pudieron haber motivado deficien-cias en el logro de las metas propues-tas.

Por lo tanto, los resul-tados obtenidos en un proceso de evalua-ción representarán un recurso para que la profesora o el profe-sor de Matemática busque una explica-ción a las deficiencias observadas. Proce-diendo a detectar las principales causas y a efectuar un análisis con agudo sentido crí-tico, hará preguntas con respecto de los objetivos específicos del tema:

¿Fueron previstos en función de las posibilidades de aprendizaje del curso? ¿Los estudiantes fueron motivados suficientemente

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como para mante-ner un ritmo de in-terés uniforme a lo largo de la eta-pa de estudio? ¿No se habrá abusado de la ex-posición verbal? ¿Se habrá distri-buido racional-mente el tiempo?¿No se habrá pa-sado con dema-siada rapidez la etapa del repaso y reajuste de lo aprendido?

Las experiencias or-ganizadas, ¿Fueron las más convenientes para el tema? ¿Se puede suponer que durante los primeros días que duró el desa-rrollo del tema, los es-tudiantes y el profesor ó profesora han perdi-do irremisiblemente el tiempo? La prueba, ¿no será que la prue-ba está mal construi-da y no mide lo que

realmente debería medir?

La responsabilidad de quien debe dar cuenta de su eficiencia contri-buirá a que se detec-ten con total objetivi-dad, la o las causas que provocaron defi-ciencias en los rendi-mientos generales del semestre y en los es-pecíficos de los temas matemáticos. Esta etapa, dentro del pro-ceso de la evaluación matemática, es abso-lutamente necesaria e imprescindible para cualquier acción ulte-rior.

3-Tomar una deci-sión en relación con la causal que inclu-yo en el logro par-cial de los objetivos propuestos.

Se tiene que remediar la situación, sabiendo de antemano cual fue la causa del deficiente rendimiento. Algunas

sugerencias remedia-les pueden ser:

– Si los objetivos no corresponden al nivel de aprendizaje hay que modificarlos y adecuarlos a las necesidades de los estudian-tes y del grupo.

– Si los contenidos son demasiado difíciles, debe procederse en el mismo sentido.

– Si las deficien-cias son subsa-nables dentro de la misma situa-ción, no hay otra salida que volver a enseñar utili-zando situacio-nes concretas y significativas lo que no fue aprendido. No se podrá adoptar la posición có-moda de conti-nuar con otros temas cuando la mayoría de los

alumnos y alum-nas desconoce el tema dado an-teriormente.

Para corregir deficien-cias y errores en Ma-temática es muy im-portante la supervi-sión del trabajo del estudiante en el aula y también la ejercita-ción y práctica en el hogar. Muchas veces las deficiencias de un tópico elemental son causa de fracaso en las metas propuestas.Es importante que el profesor detecte las necesidades de sus alumnos y las atienda en forma adecuada y valore permanente-mente los logros al-canzados individual y grupalmente.

El profesor tiene, para tal efecto, varios me-dios a su alcance: ob-servación, interroga-ción, ejercitación en el aula, tareas para el hogar, pruebas cor-

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tas, pruebas acumula-tivas. Puede observar la reacción de todos y cada uno de sus estu-diantes para desper-tar el interés, evacuar dudas, etc. Hacer pre-guntas para detectar el nivel de compren-sión de los educandos y responder las pre-guntas que ellos ha-gan. Además las pre-guntas que el estu-diantado hace las pueden contestar en primera instancia los mismos estudiantes, no necesariamente el profesor.

4- Aprender de la experiencia y no incurrir, en el fu-turo, en los mis-mos errores. Cuando se descu-bre que los méto-dos adoptados no han favorecido só-lidos aprendizajes, sería muy poco in-teligente persistir en la aplicación de los mismos. Si las

pruebas revelan que el grupo care-ce de la experien-cia básica (pre-conceptos) y de la disposición nece-saria para enfren-tar nuevos conte-nidos mate-máti-cos sería poco acertado insistir en la misma direc-ción. Se debe te-ner presente que la comprobación de los resultados de los aprendiza-jes lleva implícita una evaluación de todos los factores que contribuyeron a su realización.

Desde este punto de vista, la evaluación de la enseñanza y el aprendizaje de la Ma-temática en el Ciclo Diversificado, contri-buye a la constante reelaboración de la estrategia del profesor ó de la profesora e impide la fijación de pautas rígidas e ina-

movibles en la con-ducción del proceso de enseñanza y aprendizaje de la Ma-temática.También debe tener-se en cuenta lo si-guiente:

– Los exámenes acumulativos de-ben referirse a la información in-cluida en los programas y vis-ta en clase.

– Las preguntas de desarrollo son un medio excelente para la evaluación en matemáticas, por medio de ellas se pueden detectar las des-trezas y habilida-des en forma clara.

Es importante con-templar lo si-guiente:

– Su solución no puede estar su-

jeta a un “chis-pazo”: no debe depender de si al educando se le ocurre o no determinada idea.

– La distribución del puntaje debe ser justa: un punto por cada paso.

– Los errores no se deben casti-gar más de una vez: si se tiene la respuesta final incorrecta, se le castiga el punto que corresponde al error y se de-ben otorgar los puntos siguien-tes aunque arrastren el error.

En todo caso, los me-dios de evaluación co-mo pruebas y tareas son un medio para aprender y no para castigar. En ese senti-do, no solamente se debe exponer la solu-

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ción de estos sino, además, y fundamen-talmente, asegurarse de que cada estudian-te logre superar las deficiencias manifes-tadas en ellos.

El profesor debe dar la adecuada evalua-ción tanto a la autoe-valuación, como a la mutuaevaluación, tal como se plantea en la calificación de las pruebas cortas.

Se debe recordar sin embargo, que en con-cepto se incluye inte-rés, esfuerzo de supe-ración, interrogación, responsabilidad y otros. En tareas se valora el contenido y forma de los escritos, así como las medidas para corregir los erro-res posibles. En los exámenes acumulati-vos se debe incluir la corrección de errores por parte de los estu-diantes. En participa-ción cotidiana se pue-

de incluir las pruebas cortas y trabajos en el aula.Lo fundamental es considerar las diferen-tes formas de evalua-ción como medios de aprendizaje y un me-dio de evaluación de la labor educativa.

Recuerde que al me-dir a los estudiantes, se debe tener en cuenta que:

Las prue-bas pueden ser escritas, orales o de ejecución, y deben res-ponder a un cuadro de balanceo.

En las prue-bas escri-tas, orales o de ejecu-ción, se de-ben medir los aspec-tos relevan-tes y no to-do objetivo

que se pro-ponga en el proceso, puede me-dirse en una prueba escrita

Previamen-te se les de-be indicar a los estu-diantes, con una distri-bución por-centual, esos aspec-tos relevan-tes en que van a ser medidos

En la prue-ba se esté midiendo verdadera-mente de acuerdo con la distri-bución por-centual, y en aquellos aspectos que fueron señalados con antela-ción.

Los distrac-tores de los ítemes de selección, deben co-rresponder a verdade-ros errores de procedi-miento que puedan co-meter los estudiantes.

Las prue-bas NO son una compe-tencia de velocidad, en las que el estudian-te no con-testa por falta de tiempo, aunque el concepto lo tenga muy claro.

Las prue-bas se apli-can para conocer el estado en que se en-cuentran los

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estudiantes de acuerdo con los te-mas estu-diados en clase.

Los errores que se co-meten en las pruebas deben recti-ficarse, de lo contrario, la aplicación de los exá-menes no tendría sen-tido.

Otros instrumentos que se utilizan en la evaluación de los aprendizajes, pueden ser:

Listas de cotejo

Escalas de calificación

Regis-tros anecdóticos

Regis-tros de desempeño

Debido a que el currí-culo, las actividades y el conocimiento mate-mático que propugnan estos programas tie-nen una base concep-tual, la evaluación no es una tarea simple ni reducida.

El desarrollo de es-tructuras conceptua-les constituye un pro-ceso a largo plazo; las estructuras concep-tuales se desarrollan, elaboran, profundizan y se van haciendo más completas con el paso del tiempo. En consecuencia, la eva-luación debe ser un proceso continuo. No puede asumirse que una experiencia suel-ta de aprendizaje o de evaluación vaya a ofrecer un cuadro completo del desarro-llo intelectual de los estudiantes. La eva-luación debe intentar dar a todos los estu-diantes la oportunidad de reconocer sus ca-

pacidades, potenciali-dades y limitaciones y de como superar es-tas últimas.

XI.

CARACTERÍSTICAS PARTICULARES EN EL III CICLO DE LA ENSEÑANZA GENERAL BÁSICA: MATEMÁTICA

La enseñanza de la matemática debe favorecer el desarrollo integral del alumno y la alumna, y dotarlos de las herramientas necesarias para la resolución de problemas. Este desarrollo debe impulsarse tomando en cuenta las características intelectuales de ellos.

Para el planteamiento de objetivos, contenidos, etc., de este ciclo, se debe

considerar el proyecto de vida de los educandos. Dotarlos de información necesaria para que al concluir el ciclo, tengan una formación adecuada para comprender el entorno actual y su evolución, además de una formación matemática necesaria para que, en forma natural, puedan proseguir con estudios superiores.

En la etapa de transición entre la niñez y la edad adulta, el educando se encuentra con inquietudes, problemas motores y, en algunos casos, facilidad de distracción; situaciones que el docente debe comprender y canalizar adecuadamente, aprovechando positivamente sus

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ansias de crecer, su curiosidad y criticidad, su capacidad para la abstracción y fomentar el desarrollo del raciocinio lógico.

Debe justificar la enseñanza, por medios concretos y, basándose en situaciones del entorno, llevar al alumno y la alumna a desarrollar conceptos.

Son propósitos del tercer ciclo, entre otras cosas, que el educando:

Desarrolle la capacidad de abstracción en una interacción continua con prácticas en un contexto físico y social.

Desarrolle la capacidad para aplicar conocimientos de álgebra, geometría,

trigonometría y aritmética a situaciones del entorno, de forma integradora, para fortalecer el pensamiento lógico.

Se fortalezca en el análisis crítico de la información que esté presente en el medio, para lograr formar su propia opinión.

Fortalezca las destrezas psicomotoras.

Se prepare para la convivencia humana en sociedad, bajo los más altos principios y valores.

XII. OBJETIVOS DEL III CICLO

Este programa pretende lograr los siguientes objetivos:

1. Contribuir al desarrollo de la capacidad de abstracción para realizar generalizaciones a través de: - La

experimentación con el manejo de material concreto, material flexible por continuidad.

- El análisis y la síntesis de hechos particulares del entorno y situaciones de reto, personales y sociales.

2. Propiciar el estudio de procedimientos y principios matemáticos, mediante experiencias prácticas relacionadas con el entorno, proporcionando un conocimiento más

avanzado de la misma disciplina.

3.Proporcionar un cúmulo básico de conocimientos matemáticos necesarios, que le permitan al ser humano relacionarse inteligentemente con el medio e integrarse productivamente al desarrollo del país.

4 Propiciar una formación matemática integral, relacionando la aritmética, el álgebra, el análisis, la geometría, la estadística y la trigonometría, en el favorecimiento del análisis y la resolución de problemas relativos al aspecto productivo en la familia, la institución y la comunidad, conciliando sus propios intereses con los del bien común.

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5. Capacitar para la aplicación de los conocimientos de aritmética, álgebra, geometría, trigonometría y estadística, en el estudio de la ciencia y la tecnología.

6. Promover la participación en proyectos que permitan conocer los aportes del álgebra, la geometría, la trigonometría, la aritmética y la estadística, al desarrollo científico y tecnológico.

7. Desarrollar la capacidad para aplicar los conocimientos matemáticos, en la resolución creativa de problemas relacionados con la vida cotidiana, a través de la experimentación y el análisis matemático, permitiendo formar un

ser capaz de integrarse productivamente al desarrollo del país.

8. Propiciar la formación del pensamiento crítico, a través de la resolución de problemas, que le permita hacer conciencia de su responsabilidad de relacionarse sostenible y sustentablemente con la naturaleza, en el medio que lo rodea.

9. Valorar la importancia del uso correcto del lenguaje matemático, en su expresión gráfica oral y escrita, para una comunicación clara y precisa de ideas generales y abstractas relativas a las áreas de la matemática.

10. Incentivar la aplicación del

pensamiento lógico, para resolver situaciones de reto.

11. Promover la investigación sobre los aportes de la matemática al desarrollo de la cultura.

12. Relacionar la Matemática con la realidad inmediata, como disciplina ampliamente vinculada al quehacer cotidiano, para lograr una persona competente en el campo en que se desenvuelve.

13. Propiciar el conocimiento del proceso de obtención

y análisis crítico de la información estadística, suministrada por los medios de comunicación, para interpretar la realidad costarricense, y su relación con la de otros países.

14. Promover la inves-tigación sobre los aportes de

la aritmética, álgebra, geometría, trigonome-tría y estadística, en los avances científicos y tecnológicos que se han logrado a través de la historia, que a la vez han contribuido al progreso y bienestar del individuo y de la sociedad.

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XIII. MATEMÁTICAS VII AÑO

GEOMETRÍACONTENIDOS PROCEDIMIENTOS VALORES Y

ACTITUDESConceptos geo-métricos básicos y su notación: - Punto, recta, plano. - Puntos colinea-les y no colinea-les,- Puntos coplana-res y puntos no coplanares,- Segmentos de recta, semirrec-tas, rayos, y semi-planos.- Rectas parale-las, perpendicula-res, concurrentes.

Identificación gráfica (en cualquier posición) o simbólica de los conceptos en estudio.

Descripción de enunciados representados en forma gráfica o simbólica, que establecen rela-ciones entre los conceptos en estudio.

Interpretación de enunciados que establecen relaciones entre los conceptos geométricos en estudio y representados gráfica o simbólica-mente.

Representación gráfica o simbólica de enun-ciados que establecen relaciones entre los conceptos geométricos en estudio.

Respeto por las ideas de los demás y por las propias.

Capacidad de autoanálisis en situaciones donde debe exponer o escuchar argumentaciones.

Seguridad en sí mismo para argumentar sus ideas.

Clasificación de ángulos por su medida.

Clasificación de

Identificación de ángulos conocidos, según su medida, usando los instrumentos geométricos y empleando grados sexagesimales.

Reconocimiento de los diferentes tipos de án-

Valoración de un proceso comunicativo donde se dé un intercambio de ideas y

CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS VALORES Y ACTITUDES

APRENDIZAJES POR EVALUAR

ángulos por su

Relaciones de medida entre los

gulos según su medida.

Clasificación de ángulos según su medida.

Reconocimiento de ángulos según su posición en consecutivos, adyacentes, opuestos por el vértice.

Descripción de los ángulos congruentes, su-plementarios, complementarios.

Establecimiento de relaciones entre los dife-rentes tipos de ángulo según su medida, indi-cando si son congruentes, suplementarios, complementarios.

Utilización de las relaciones de medida entre los diferentes tipo de ángulos para resolver ejercicios y problemas.

una formulación de conceptos.

Orden en su tra-bajo, en aras de un mayor apro-vechamiento de los recursos.

entre los diferentes tipos de ángulos.

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Ángulos determi-nados por dos rectas y una transversal: alter-nos externos, al-ternos internos, correspondientes, conjugados.

Identificación de los diferentes tipos de ángu-los determinados por dos rectas y una trans-versal.

Formulación de conjeturas sobre las relacio-nes métricas entre los ángulos determinados.

Comprobación de las relaciones métricas en-tre los ángulos determinados por dos paralelas y una transversal.

Utilización de las relaciones entre los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una transversal, para resolver ejercicios y proble-mas geométricos.

Confianza en su capacidad para observar y buscar soluciones.

Cooperación y respeto por las opiniones de los demás en el comentario y resolución de situaciones problemáticas.

Desigualdad trian-gular.

Reconocimiento, en ejemplos concretos, de la desigualdad triangular.

Formulación de la desigualdad triangular.

Utilización de la desigualdad triangular en la estimación de posibles medidas de un lado de un triángulo, conociendo la medida de los otros dos.

Utilización de la desigualdad triangular en la identificación de tripletas que corresponden a las medidas de los lados de un triángulo.

Autoconocimiento en sus capacidades, sus potencialidades y limitaciones, al desarrollar actividades propias del quehacer escolar.

Teorema de la su-ma de las medi-

Adquisición de información de los teoremas detallados en el contenido.

Perseverancia en la utilización



das de los ángu-los internos de un

Teorema de la medida del ángulo

Teorema de la su-ma de los ángulos externos de un

Comprobación experimental de los teoremas detallados en el contenido.

Interpretación de los teoremas de las medidas de los ángulos de un triángulo.

Utilización de uno o varios de los teoremas de-tallados en el contenido, para la solución de ejercicios y problemas.

de procesos y en la búsqueda efectiva de solu-ciones.

mas en los que se aplica, uno o varios de los teoremas:- De la suma de la medida de los ángulos internos de un triángulo.- De la medida del ángulo externo de un triángulo.- De la suma de los ángulos externos de un triángulo.

Características y propiedades de triángulos isósce-les, equiláteros, escalenos, rectán-gulos, acutángu-los, obtusángulos.

Evocación de los diferentes tipos de triángu-los, nombrándolos según la medida de los án-gulos, o la medida de los lados.

Reconocimiento de las características y de las propiedades de los diferentes tipos de triángu-los.

Utilización de las características y propiedades de los diferentes tipos de triángulos en la solu-ción de ejercicios.

Tolerancia en la libre expresión del pensamiento.

Seguridad al ex-presar ideas que han sido analiza-das y discutidas entre compañe-ros.

Resolución de ejercicios y problemas en los que se aplican las características y propiedades de los diferentes tipos de triángulos.

Rectas notables de un triángulo, altura, mediana,

Descripción de las rectas notables de un trián-gulo, independientemente del tipo de triángulo.

Compañerismo al ejecutar los trabajos de cla-

Resolución de ejercicios y problemas utilizando las

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bisectriz y media-triz.

Construcción de las rectas notables de un triángulo.

Ubicación del punto de intersección de cada uno de los tipos de rectas notables.

Descripción de relaciones entre rectas nota-bles en los diferentes tipos de triángulos.

Utilización de las características de las rectas notables en la solución de ejercicios y proble-mas.

se.

Interés por desarrollar habilidades motoras finas, al utilizar instrumentos geométricos para el trazo de figuras y sus elementos.

Teorema de la su-ma de las medi-das de los ángu-los internos de un cuadrilátero.

Identificación de los cuadriláteros por su nom-bre, independientemente de la posición o de la figura de la que formen parte.

Reconocimiento de los ángulos internos de los cuadriláteros.

Formulación de conjeturas sobre la suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero.

Determinación de un proceso para calcular la suma de las medidas de los ángulos internos de un cuadrilátero.

Utilización del teorema de la suma de las me-didas de los ángulos internos de un cuadriláte-ro, en la solución de ejercicios y problemas.

Perseverancia al relacionar conceptos y aplicarlos en la solución de problemas.



Problemas y ejer-cicios en los que se aplican las ca-

propiedades de los diferentes ti-pos de cuadriláte-

Reconocimiento de las características de los diferentes tipos de cuadriláteros.

Descripción de las características y propieda-des de los diferentes tipos de cuadriláteros.

Construcción geométrica de cuadriláteros, a partir de las características y propiedades de estos.

Utilización de las características de los cuadri-láteros en la solución de ejercicios y proble-mas donde, entre otras cosas, se reconozcan, en diseños, algún tipo de cuadrilátero.

Interés por la ob-servación de la diversidad y la búsqueda de pa-trones y relacio-nes en el en-torno.

Inquietud por la verificación de hechos antes de emitir juicios.

Resolución de ejercicios y problemas geométricos en los que se aplican las características y propiedades de los diferentes tipos de cuadriláteros.

NÚMEROS ENTEROS

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

1. Describir al conjunto de

Conjunto de los Números Enteros

Selección de información numérica que utiliza números enteros negativos, que expresan da

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los números enteros nega-tivos.

Negativos:

Notación simbóli-ca de los números enteros negativos.

Representación de números ente-ros negativos en la recta numérica.

Símbolo y nota-ción por extensión del conjunto de los números ente-ros negativos .

tos relacionados con el entorno.

Identificación de los números enteros negativos con su respectiva notación simbólica.

Asociación de números enteros negativos con enteros negativos, su símbolo y la representación por extensión.

Identificación de los números enteros negativos con símbolo, y la representación por extensión.

Descripción de características del conjunto de los números enteros negativos. Puntos en una recta numérica.

2.Analizar aportes de los números ente-ros en el de-sarrollo de la humanidad.

Aportes de los nú-meros enteros en el desarrollo de la humanidad.

Selección de información acerca de la necesidad de utilizar, a través de la historia de la humanidad, números diferentes a los números ya estudiados.

Descripción de usos que se le han dado a los números enteros a lo largo de la historia. Formulación de conjeturas o hipótesis acerca de los usos que actualmente se le dan a los números enteros.


Análisis de situaciones en las cuales se evidencia la necesidad de utilizar los números enteros.

3.Caracterizar al conjunto de los números enteros.

3.Caracterizar al conjunto de

Conjunto de los números enteros: simbología y nota-ción por exten-sión.ZZ = = ZZ - {0, 1, 2, 3, ...} yZZ = {...,-3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ...}ZZ = = ZZ ¯ {0} ZZ +

Representación en la recta numé-rica de números enteros negativos y positivos, inclu-yendo al cero.

Subconjuntos de ZZ: : IN, ZZ -, ZZ + , {0}.

Valor absoluto de un número ente-ro.

Identificación del conjunto de los números enteros con su símbolo y la representación por extensión.

Asociación de números enteros con puntos en una recta numérica.

Reconocimiento de subconjuntos de IN, ZZ -, ZZ + , {0}.

Elaboración del concepto de valor absoluto de un número entero.Determinación del valor absoluto de un número entero.

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los números enteros.

(Continua-ción)

Opuesto de un número entero.

Antecesor y suce-sor de un número entero.

Infinitud del con-junto ZZ .

Elaboración del concepto de opuesto de un número entero.

Identificación del opuesto de un número entero.

Identificación del antecesor y del sucesor de un número entero.

Elaboración del concepto de infinitud del conjunto ZZ .

Comparación de las características del conjunto de los números enteros, con las características del conjunto de los números naturales.

Descripción de información numérica de hechos y fenómenos que utilizan números enteros.

4. Estable-cer relacio-nes de or-den entre los números enteros.

Relaciones de or-den en ZZ

Relaciones:“menor que”,“mayor que”, “estar entre” “igual que”

Utilización de diferentes estrategias para comparar números enteros.

Establecimiento de las relaciones de orden en el conjunto ZZ .

5.Resolver operaciones

Operaciones bási-cas con números

Elaboración de diferentes estrategias para resolver operaciones básicas con números ente


básicas con números en-teros.

enteros: adición sustracción, multi-plicación y divi-sión con cociente entero y residuo cero de números enteros.

ros.

Resolución de operaciones básicas con números enteros.

6. Resolver problemas que involu-cran opera-ciones con números en-teros.

Problemas rela-cionados con el entorno, en donde se apliquen ope-raciones con nú-meros enteros.

Interpretación de información numérica de situaciones cotidianas, científicas o tecnológicas, donde se aplican las operaciones con números enteros.

Resolución de problemas mediante la utilización de diferentes estrategias en donde se aplican las operaciones con números enteros (puede hacer uso de la calculadora)

7.Aplicar las operaciones

Operaciones in-versas: adición y

Interpretación de la adición y la sustracción como operaciones inversas.

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inversas en el cálculo de un término desconocido de una ex-presión da-da.

sustracción, multi-plicación y divi-sión.Noción de incóg-nita en ejercicios como

(Esto implica la noción de ecua-ción y de incóg-nita, NO el con-cepto).

Interpretación de la multiplicación de enteros y la división exacta, como operaciones inversas.

Aplicación de las operaciones inversas en el cálculo de un término desconocido en una expresión dada, (sumando, minuendo o sustraendo, factor, dividendo o divisor), previo conocimiento de los otros dos.

8.Aplicar el concepto de

Potencias con ba-se entera y expo-

Interpretación del concepto de potencia.


potencia y la notación ex-ponencial en el cálculo de expresiones numéricas.

nente natural, considerando ex-ponentes pares e impares en caso de bases negati-vas.

Identificación de los términos de una potencia en notación exponencial: base, exponente, potencia.

Representación de multiplicaciones de factores iguales en notación exponencial.

Determinación de la potencia, a partir de la base y el exponente, mediante multiplicaciones sucesivas.

Inferencia de procedimientos para calcular una potencia, a partir del análisis de casos particulares (incluyendo base positiva, base negativa, exponentes pares e impares).

Aplicación del concepto de potencia y la notación exponencial en el cálculo de expresiones numéricas.

9.Aplicar las propiedades de las poten-cias en la simplificación de expresio-nes aritméti-cas.

Propiedades de las potencias: multiplicación de potencias de igual base, división de potencias de igual base, potencia de un producto, po-tencia de una po-tencia, potencia con exponente cero, potencia con exponente

Utilización de diferentes estrategias para inferir procedimientos que permitan:

Multiplicar potencias de igual base, dividir potencias de igual base, elevar a potencia una potencia, elevar a potencia un producto.

Utilización de diferentes estrategias para inferir la relación entre a1 con a; a ZZ. y a a ≠ 0, a ZZ..

Aplicación de las propiedades de las potencias para simplificar expresiones aritméticas.

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a = c a = ca = c b = c



uno.

10.Simplificar expresiones aritméticas utilizando la prioridad de las operacio-nes y los sig-nos de agru-pación.

Combinación de operaciones en ZZ

Prioridad en el or-den de ejecución de las operacio-nes.

Uso de signos de agrupación (UNO O DOS) ( ), [ ]

Inferencia de la prioridad en la ejecución de la combinación de operaciones en expresiones aritméticas, definidas en el conjunto de los números enteros.

Interpretación de los paréntesis, para indicar el orden en que se debe realizar la combinación de operaciones.

Simplificación de expresiones aritméticas que incluyen hasta cuatro operaciones (adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación), considerando casos con valor absoluto.

NÚMEROS RACIONALESOBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS

1. Caracteri-zar al con-junto de los números ra-cionales.

El conjunto de los números raciona-les:Simbología y nota-ción por compren-sión.

Notación decimal y

Utilización de información proveniente de diversas fuentes sobre la simbología empleada en la denotación del conjunto de los números racionales, así como los elementos que lo forman.

Análisis de las características que presenta la


1.Caracte-ri-zar al con-junto de los números ra-cionales.

(Continua-ción)

notación fracciona-ria de un número racional.

Representación de números racionales en la recta numéri-ca.

Opuesto de un nú-mero racional.

Valor absoluto de un número racio-nal.

Subconjuntos de QI ::IN , ZZ -, ZZ + , {0}, QI ++, , QI --.

Infinito y densidad de QI,

Relaciones de or-den.

expansión decimal de un número y su relación con la notación fraccionaria.

Inferencia del concepto de número racional.

Asociación y representación de números racionales con puntos en una recta numérica.

Utilización de diferentes estrategias para identificar el número opuesto de un número racional.

Utilización de diferentes estrategias para determinar el valor absoluto de número racional.

Reconocimiento de subconjuntos de

Interpretación de relaciones de inclusión entre IN , ZZ y QI, haciendo uso del lenguaje simbólico y gráfico.Utilización de diferentes estrategias para interpretar la infinitud y la densidad del conjunto

Utilización de diferentes estrategias para aplicar las relaciones de orden con números racionales, tanto en notación decimal como en notación fraccionaria.

Descripción de información numérica que utiliza números racionales y sus características, y que expresan datos relacionados con el entorno.

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Comparación de las características del conjunto QI, con las características del conjunto

Determinación de diferencias y semejanzas entre los conjuntos QI,

2.Analizar aportes de los números racionales en el desa-rrollo de la humanidad.

Aportes de los nú-meros enteros en el desarrollo de la humanidad.

Selección de datos relativos al desarrollo histórico de los números racionales.

Descripción de usos que se le han dado a los números racionales a lo largo de la historia.

Análisis de situaciones en las cuales se evidencia la necesidad de utilizar números racionales.

3. Resolver operaciones con núme-ros raciona-les.

Operaciones con números raciona-les: adición, sus-tracción, multiplica-ción, división y po-tenciación (con ex-ponente entero).

Elaboración de diferentes estrategias y procedimientos para resolver operaciones con números racionales (puede usar calculadora

Resolución de operaciones con números racionales.


4. Resolver problemas que involu-cran opera-ciones con números ra-cionales.

Problemas relacio-nados con el en-torno, en donde se apliquen operacio-nes con números racionales.

Identificación de problemas de la vida cotidiana, en los que intervienen operaciones, distinguiendo la posible pertinencia y aplicabilidad de cada una de ellas.

Interpretación de información numérica de situaciones cotidianas, científicas o tecnológicas donde se aplican las operaciones con números racionales.

Resolución de problemas en donde se aplican las operaciones con números racionales de usar la calculadora).

5. Aplicar propiedades de las po-tencias, en la simplifica-ción de ex-presiones aritméticas

Potencias con base racional y exponen-te entero, conside-rando exponentes pares e impares en caso de bases ne-gativas.Propiedades de las

Interpretación de los términos en una expresión exponencial: base, exponente, potencia, a partir de ejemplos concretos.

Determinación de la potencia de una expresión dada en ejemplos concretos, a partir de la base y el exponente o mediante multiplicaciones sucesivas.

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que incluyen números ra-cionales.

potencias: multipli-cación de poten-cias de igual base, división de poten-cias de igual base, potencia de un pro-ducto, potencia de un cociente, poten-cia de una poten-cia, potencia con exponente cero, potencia con expo-nente uno, potencia con exponente ne-gativo.

Generalización de procedimientos, a partir del análisis de casos particulares de expresiones numéricas escritas en notación exponencial, que incluyan base positiva, base negativa, exponentes negativos y positivos, pares e impares.

Aplicación de las propiedades de las potencias en la simplificación de expresiones numéricas.

6. Simplificar expresiones aritméticas utilizando números ra-cionales; la prioridad de las operacio-nes y los sig-nos de agru-pación.

Combinación de operaciones en QI

Prioridad en el or-den de ejecución de las operaciones.

Uso de signos de agrupación (UNO O DOS). ( ), [ ]

Análisis de datos en cuanto a priorizar en la ejecución de combinaciones de operaciones, que no incluyen paréntesis.

Análisis de casos de expresiones con números racionales que incluyen uno o dos paréntesis.

Simplificación de expresiones aritméticas que incluyen hasta tres operaciones (diferentes o no) con números racionales: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación considerando, casos con valor absoluto.

XIV. MATEMÁTICAS VIII AÑO

GEOMETRÍA

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS1. Compren-der el concep-to de simetría axial.

Simetría axial.Concepto.

Ubicación de figuras que presentan simetría axial, bilateral y de reflexión.

Deducción del concepto de simetría axial, bilateral y de reflexión.

Explicación de por qué algunas figuras presentan simetría y otras no.

Ejemplificación de figuras que presentan simetría axial y de otras que no la presentan.

2. Determinar el eje de si-metría en una figura dada.

Eje de simetría. Descripción del eje de simetría de una figura.

Reconocimiento del eje de simetría en las figuras simétricas.

3. Determinar la imagen y la preimagen en figuras que presentan si-metría axial.

Imagen y prei-magen de una fi-gura.

Adquisición de información sobre la imagen y la preimagen de una figura que presenta simetría.

Identificación de la imagen y la preimagen en una figura que presenta simetría axial o de reflexión.

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4. Reconocer en una figura geométrica: vértices, lados y ángulos ho-mólogos.

Vértices, lados y ángulos homólo-gos de una figu-ra geométrica, que presenta si-metría axial.

Reconocimiento de los vértices, de los lados y de los ángulos de una figura geométrica.

Determinación de los lados, vértices y ángulos homólogos de una figura geométrica, a partir del análisis de información dada alrededor del concepto de homólogo.

Distinción de los lados homólogos, vértices homólogos y ángulos homólogos de una figura que presenta simetría axial.

5. Determinar relaciones de congruencia entre los án-gulos homólo-gos y entre los lados ho-mólogos de una figura geométrica que presenta simetría axial.

Relaciones de congruencia en-tre los ángulos homólogos, y entre los lados homólogos de una figura geo-métrica que pre-senta simetría axial.

Formulación de conjeturas sobre las relaciones de medida entre los ángulos logos y entre los lados homólogos de una figura geométrica que presenta simetría axial.

Comprobación de las relaciones de medida que se dan entre los gos y entre los lados homólogos de una figura geométrica que presenta simetría axial.

Deducción de las relaciones de congruencia entre los ángulos los lados homólogos de una figura geomé

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOStrica que presenta simetría axial.

6. Aplicar los criterios de congruencia de triángulos en la solución de ejercicios y de problemas.

Concepto de triángulos con-gruentes.Representación simbólica.Concepto de cri-terio de con-gruencia.Criterios de con-gruencia:

L.L.L L.A.L A.L.A

Recolección de información sobre el concepto de triángulos congruentes y su representación simbólica.

Formulación de hipótesis sobre las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean congruentes.

Diferenciación de las condiciones necesarias y suficientes para que dos triángulos sean congruentes.

Establecimiento de los criterios de congruencia para triángulos.

Utilización de los criterios de congruencia en la solución de ejercicios y problemas.

7. Aplicar los criterios de semejanza de triángulos en la solución de ejercicios y

Criterios de se-mejanza: A.A.A L.L.L L.A.LRepresentación

Descripción del concepto de figuras o formas semejantes.Formulación de hipótesis sobre las condiciones necesarias y suficientes para que dos o más triángulos sean semejantes.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSproblemas. simbólica.

Problemas y ejercicios en los que, para su so-lución, se requie-ra de los criterios de semejanza estipulados ante-riormente.

Construcción de los criterios de semejanza de triángulos.

Recolección de información sobre la simbología de triángulos semejantes.

Utilización de los criterios de semejanza de triángulos, y su representación simbólica en la resolución de ejercicios y problemas.

8. Aplicar el Teorema de Thales en la solución de ejercicios y de problemas ex-traídos de la cultura coti-diana y siste-matizada.

Teorema de Thales

Evocación del concepto de proporción aritmética, expresándolo por medio de ejemplos.

Observación en diferentes diseños de las segmentos que se forman entre dos o más rectas paralelas, intersecadas por dos rectas transversales.

Calculo de las proporciones entre las longitudes de los segmentos que se forman entre dos o más rectas paralelas, intersecadas por dos rectas transversales.

Explicación del teorema de Thales y de su representación simbólica.

Utilización del teorema de Thales en la solución de ejercicios y problemas.


9. Realizar la división de un segmento en segmentos congruentes. aplicando el Teorema de Thales.

División de un segmento en partes de igual medida.

Descripción de un segmento cuando está dividido en segmentos congruentes.

Reconocimiento del caso particular del teorema de Thales cuando los segmentos entre paralelas son congruentes.

Utilización del teorema de Thales para dividir un segmento en partes de igual medida.

10. Aplicar el Teorema Fundamental de la Propor-cionalidad y su recíproco, en la solución de ejercicios y de problemas extraídos de la cultura coti-diana y siste-matizada.

Teorema Funda-mental de la Pro-porcionalidad (también llama-do Teorema Fundamental de Semejanza o Segundo Teore-ma de Thales)“Si una recta pa-ralela a un lado de un triángulo interseca en puntos distintos a los otros dos lados, entonces determina sobre ellos segmentos

Adquisición de información sobre el teorema fundamental de la proporcionalidad.

Fundamentación del teorema fundamental de la proporcionalidad.

Interpretación del teorema fundamental de la proporcionalidad.

Utilización del teorema fundamental de la proporcionalidad en la solución de ejercicios y problemas.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSque son propor-cionales a di-chos lados.”

11. Aplicar el Teorema de la paralela media de un triángulo y su recíproco, en la solución de ejercicios y de problemas ex-traídos de la cultura coti-diana y siste-matizada.

Teorema de la paralela media de un triángulo y su recíproco.

Adquisición de información sobre el Teorema de la paralela media de un triángulo y su recíproco.

Fundamentación del Teorema de la paralela media de un triángulo y de su recíproco.

Interpretación del Teorema de la paralela media de un triángulo y de su recíproco.

Utilización del Teorema de la paralela media de un triángulo y de su recíproco, en la solución de ejercicios y problemas.

ALGEBRA

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS1. Reconocer expresiones matemáticas que correspon-den a expresio-nes algebrai-cas.

Concepto de ex-presión algebrai-ca.

Concepto de va-riable.

Reconocimiento de la necesidad de utilizar letras en representaciones matemáticas.

Identificación de variables en expresiones matemáticas.

Construcción del concepto de expresión algebraica.

Interpretación de expresiones algebraicas que impliquen generalizaciones numéricas que relacionan, a lo sumo, tres operaciones.


2.Determinar el valor numérico de una expre-sión algebraica.

Valor numérico de una expre-sión algebraica.

Problemas que involucran, en su solución, el valor numérico de una expresión alge-braica (por ejem-plo áreas y perí-metros de figu-ras geométricas utilizando las fór-mulas).

Comprensión del concepto de valor numérico.

Obtención del valor numérico de expresiones algebraicas referidas a situaciones de índole científico, tecnológico y otros.

3.Identificar ex-presiones alge-braicas que son monomios y sus partes.

Monomios.

Factor numérico y factor literal.

Determinación de criterios para diferenciar los monomios, y las partes de los mismos (factor numérico y factor literal).

Clasificación de expresiones algebraicas en monomios y en no monomios.

Distinción en un monomio del factor numérico y del factor literal, utilizando diferentes estrategias.

4.Reconocer Monomios se- Establecimiento de criterios para califi

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSmonomios se-mejantes.

mejantes car a dos a más monomios como semejantes.

Justificación de la semejanza o no de monomios.

5. Determinar la expresión alge-braica que re-sulta de sumar o restar mono-mios.

Suma y resta de monomios (con tres variables a lo sumo).

Evocación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Descripción del procedimiento para sumar o restar monomios, haciendo evidente la utilización de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

Realización de sumas y restas de monomios que expresan hechos específicos.

6.Clasificar ex-presiones alge-braicas en bino-mios, trinomios o polinomios.

Concepto de po-linomio, binomio y trinomio.

Identificación de las características de los binomios, los trinomios y los polinomios.

Elaboración de una definición de binomio, trinomio y polinomio.

Ejemplificación de binomios, trinomios y polinomios.

Reconocimiento de binomios, trinomios y polinomios, en un grupo de expresiones algebraicas.


7.Efectuar su-mas y restas de polinomios ex-presando el re-sultado en for-ma reducida.

Suma y resta de polinomios (bino-mios y trinomios a lo sumo en dos variables).

Identificación de la operación (suma o resta) por realizar en los polinomios que observe.

Determinación de una estrategia que permita sumar o restar polinomios.

Realización de sumas y restas de polinomios que expresan hechos específicos, expresando los resultados de forma reducida.

8.Efectuar mul-tiplicaciones y divisiones de monomios.

Multiplicación y división de mo-nomios.

Transferencia de las leyes de potencias, a la multiplicación o división de monomios.

Explicación de los procedimientos para multiplicar o dividir monomios, y las condiciones requeridas para ello.

Realización de multiplicaciones y de divisiones de monomios.

9.Efectuar mul-tiplicaciones de polinomios con coeficientes en-teros.

Multiplicaciones de polinomios con coeficientes enteros:

Evocación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta.

Formulación de un proceso para la mul

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS- Monomio por polinomio (bi-nomio o trinomio)- Binomio por bi-nomio- Binomio por tri-nomio (con una o dos variables).

tiplicación de un monomio por un polinomio, basado en la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o resta.

Determinación del proceso para multiplicar polinomios, al aplicar varias veces la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma o la resta.

Realización de multiplicaciones de polinomios según las restricciones del contenido.

10.Aplicar los productos nota-bles en la solu-ción de ejerci-cios.

Productos nota-bles (con una o dos variables y con coeficientes enteros):-

-

-

Reconocimiento de los elementos que conforman las multiplicaciones que corresponden a productos notables.

Explicación de la forma del resultado de los productos notables.

Utilización de los productos notables, para simplificar expresiones donde se deba multiplicar polinomios.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS11.Resolver ecuaciones de primer grado con una incóg-nita.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita:Concepto de so-lución y de con-junto solución (en Q).Solución ( en Q ) de una ecuación de primer grado con una incógni-ta de la forma: ax = c ax + b = c ax + b = cx + d ax ( cx b) =

d a(bxc) =

d(exf)con a, b, c, d,e, f Q ax(bxc)=

dx(exf)

con a, b, c, d, e, f Zc0, d0, f0,( cx d) 0

Descripción del concepto de ecuación de primer grado con una incógnita.

Reconocimiento de las ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Representación de situaciones de índole científico, tecnológico, u otros, mediante expresiones algebraicas que corresponden a ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Interpretación del concepto de solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Reconocimiento del conjunto solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Formulación y comprobación de conjeturas que establezcan estrategias, para determinar la solución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Comprensión de los conceptos necesarios para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita.

Elaboración de un proceso para encontrar la solución a una ecuación de primer grado con una incógnita.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS12.Resolver problemas de situaciones, he-chos y fenóme-nos de la cultu-ra cotidiana, con ecuaciones de primer grado con una incóg-nita.

Problemas que involucran, en su solución, una ecuación de pri-mer grado con una incógnita.

NOTA: Este con-tenido puede es-tudiarse en for-ma paralela a la solución de ecuaciones de primer grado en una incógnita.

Reconocimiento del lenguaje matemática utilizado para expresar situaciones, hechos y fenómenos de la cultura cotidiana y sistematizada.

Interpretación de expresiones matemáticas que representan situaciones, hechos y fenómenos de la cultura cotidiana y sistematizada.

Utilización del lenguaje matemático para expresar situaciones que se modelan, mediante ecuaciones de primer grado con una incógnita.

Utilización de las ecuaciones de primer grado con una incógnita, en la solución de problemas.

ESTADÍSTICA

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS1. Comprender el concepto de esta-dística y su papel en el desarrollo de la humanidad.

Concepto de Estadística (descriptiva o inferencial).

Reconocimiento del papel de la es-tadística en la toma de decisiones.

Formulación del concepto de esta-dística.

Clasificación de la estadística en descriptiva o inferencial.

Determinación del papel de la esta-dística en el desarrollo de la huma-nidad.

2. Diferenciar en-tre población, muestra, variable y datos estadísti-cos.

Concepto de: población, muestra, varia-ble y datos es-tadísticos.

Interpretación de los conceptos de población, muestra, variable y dato estadístico.

Ejemplificación de los conceptos de población, muestra, variable y dato estadístico.

Discriminación entre varias varia-bles, las cualitativas o las cuantita-tivas; las discretas o las continuas.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS3.Construir distri-buciones de fre-cuencias absolu-tas y frecuencias relativas, con va-riables discretas, para una mejor comprensión de los aspectos so-ciales que nos ro-dean.

Distribuciones de frecuencia absoluta y fre-cuencia relativa(en variables discretas).

Recolección de información mediante entrevistas, registros de datos, encuestas, libros, medios electrónicos y otros.

Determinación de la frecuencia con que se presenta un grupo de datos.

Elaboración de agrupaciones y ordenamientos en tablas, de los datos.

Elaboración de intervalos de clase.

Representación de información recopilada mediante una distribución de frecuencia.

Elaboración de distribuciones de frecuencia absoluta y frecuencia relativa con variables discretas, usando la información recopilada.

4.Representar Gráfico de bas- Identificar los gráficos de bastones,

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSgráficamente la in-formación tabula-da en una tabla de frecuencias.

tones, gráfico de barras y grá-fico circular pa-ra variables dis-cretas.

gráficos de barras y los gráficos circulares.

Determinación del gráfico más adecuado para representar la infor-mación.

Construcción de un gráfico donde se representa adecuadamente la información recopilada.

Descripción de los diferentes tipos de gráfico y la forma de construir-los.

5. Interpretar la in-formación que proporcionan las distribuciones de frecuencia y los gráficos estadísti-cos correspon-dientes a variables discretas.

Interpretación de la informa-ción brindada por tablas de frecuencia y gráficos esta-dísticos.

Reconocimiento de la información que proporcionan las distribuciones de frecuencia y los gráficos esta-dísticos.

Formulación de hipótesis sobre la información que proporcionan las distribuciones de frecuencia y los gráficos estadísticos.

Reconocimiento de las partes de la tabla de frecuencia y de los gráfi-cos estadísticos.

Utilización de las distribuciones de frecuencia y de los gráficos esta-dísticos en la interpretación de la información.

82


OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSComprensión del concepto de medida de tendencia central.

6. Analizar los da-tos que le suminis-tra la media arit-mética, de la mo-da y de la media-na, para variables discretas.

Medidas de ten-dencia central: La media aritmética

La mediana y La moda

Descripción de los procesos para calcular las medidas de tendencia central correspondientes a variables discretas.

Realización de los cálculos donde se obtiene la media aritmética, la mediana y la moda de datos agrupados en casos de variables discretas.

Formulación de conjeturas respecto de la información que proporcionan las medidas de tendencia central.

Utilización de las medidas de tendencia central en la solución de ejercicios.

XV. MATEMÁTICAS IX AÑO

NÚMEROS REALES

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS VALORES Y ACTI

1.Analizar si-tuaciones que hacen evidente la existencia de números irra-cionales.

Existencia de números irra-cionales.

Indagación en diversas fuentes de información acerca de la existencia de los números irra-cionales.

Análisis de diversas situacio-nes que evidencian la existen-cia de números irracionales.

Respeto por las distintas formas de pensamiento de sus compañeros.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS2.Reconocer números irracio-nales en nota-ción decimal, en notación radical y otras notacio-nes particula-res.

Números irra-cionales.

Números y e.

Identificación de las partes de un radical: índice, subradical, coeficiente numérico.

Interpretación de expresiones de la forma: = b

Utilización de diferentes estrategias en el cálculo de la expansión decimal de expresiones radicales.

Discriminación de los números racionales, cuya expansión decimal no es infinita periódica. Reconocimiento de números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras notaciones particulares,e), utilizando diferentes estrategias.

3.Caracterizar el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los números irracionales.

Elementos del conjunto IIII..

Identificación del conjunto de los números irracionales con el símbolo IIII..

Discriminación entre expansiones decimales correspondientes a números racionales e irracionales.

Identificación de los números con expansión decimal infinita


Representación de números irracionales y sus opuestos en la recta nu-mérica.

Interpretación de la expresión QI II II =

no periódica, como números irracionales.

Utilización de diferentes estra-tegias para asociar números irracionales y sus opuestos con puntos de la recta numérica.

Comparación de las caracterís-ticas del conjunto de los núme-ros racionales con las caracte-rísticas del conjunto de los nú-meros irracionales.

4.Caracterizar al conjunto de los números reales.

4.Caracterizar al conjunto de los números reales.

(Continuación)

Conjunto de los números reales

Interpretación de la expresión IRIR. = QI IIII

Relaciones de inclusión en IRIR.

Valor absoluto de un número real.

Identificación del conjunto de los números reales, como la unión de los conjuntos QI e IIII

Denotación del conjunto de los números reales mediante el símbolo convencional IR.

Establecimiento de la relación de inclusión: I ZZ QI IR, considerando las característi-cas de los elementos de cada conjunto.

Generalización del concepto de valor absoluto al conjunto de

Interés por indagar nuevos cono-cimientos matemáticos.

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Representación de los números reales en la rec-ta numérica.

Completitud de IRIR .

Relaciones de orden en IRIR .

Infinitud y conti-nuidad de IRIR .

los números reales.

Obtención del valor absoluto de algunos números reales.

Asociación de los números reales con puntos de la recta numérica, utilizando diferentes estrategias.

Utilización de diversas estrategias para establecer una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales.

Utilización de conocimientos previos en la interpretación de las relaciones de orden con los elementos de IRIR .

Interpretación del conjunto como un conjunto infinito y continuo, a partir de la representación de sus elementos en la recta numérica.

Análisis de las características de los conjuntos IRIR, ZZ, I.

Establecimiento de diferencias


y semejanzas entre los conjun-tos IRIR, QI IIII, , ZZ, , I.

5.Representar intervalos de IRIR en sus distintas denotaciones.

Intervalos de IRIR: cerrados abiertos, semia-biertos, al infini-to.

Notación con corchetes, por comprensión y representación en la recta nu-mérica.

Utilización de diferentes estra-tegias para establecer el con-cepto intuitivo de intervalo en IRIR.

Aplicación del concepto de densidad, para reconocer los intervalos, como subconjuntos de IRIR con infinito número de elementos.

Representación de intervalos en distintas notaciones utilizan-do diferentes estrategias.

Interés por las dis-tintas formas de re-presentar situaciones de su entorno.

6.Resolver ine-cuaciones linea-les con una in-cógnita.

(Continuación)6.Resolver inecuaciones.

Inecuaciones li-neales, con una incógnita, con solución en IRIR.Inecuaciones de la forma:

Deducción del concepto de inecuación de primer grado con una incógnita.

Deducción del concepto de solución y de conjunto solución de una inecuación de primer grado, con una incógnita en IRIR..

Utilización de estrategias que permitan resolver una inecua-ción de primer grado con una incógnita en IRIR..

Interés por conocer propiedades y procedimientos aplicados en situaciones de su entorno.

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con a, b, c, d, e, f ZZ

Representación, mediante el lenguaje algebraico, de situaciones, hechos y fenómenos de la cultura cotidiana y sistematizada, que se modelan mediante inecuaciones de primer grado con una incógnita.

Utilización de diferentes estrategias para resolver problemas, tanto de la cultura cotidiana como de la sistematizada, en las que, para su solución, se requiera de una inecuación de primer grado con una incógnita.

7.Simplificar expresiones aritméticas y al-gebraicas apli-cando las pro-piedades de las potencias y de los radicales.

Potencia con exponente ra-cional expresa-do en notación fraccionaria.

Transformación de expresiones de notación ra-dical a la nota-ción exponen-cial y viceversa.

Utilización de diferentes estrategias y procedimientos para transformar expresiones aritméticas y algebraicas de notación radical a notación exponencial (potencia) y viceversa.

Transformación de radicales en potencias con exponentes racionales, expresados en notación fraccionaria y viceversa.

Identificación y análisis de:


Propiedades de los radicales:

-Raíz de una multiplicación. -Raíz de una división. -Potencia de un radical. -Raíz de una raíz. -Introducción de factores al subradical. -Extracción de factores del sub-radical.

raíz de un producto, raíz de un cociente, potencia de un radi-cal, raíz de una raíz, introduc-ción de factores al subradical, extracción de factores del su-bradical.

Simplificación de expresiones aritméticas y algebraicas utili-zando las propiedades de las potencias y de los radicales.

8.Obtener radi-cales semejan-tes y radicales homogéneos.

Radicales se-mejantes.

Radicales ho-mogéneos.

Elaboración del concepto de radicales semejantes y de radi-cales homogéneos.

Utilización de diferentes estra-tegias para identificar radica-les semejantes y radicales ho-mogéneos.

Obtención de radicales seme-jantes (cuando sea posible) y de radicales homogéneos, con subradical numérico o algebrai-co, utilizando diferentes estra-

Interés por la aplicación de diferentes procedimientos en situaciones de su en-torno.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOStegias.

9.Resolver su-mas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones con radicales.

Operaciones con expresio-nes que contie-nen radicales.

Inferencia de las condiciones que deben cumplir dos o más radicales para sumarlos o restarlos.

Inferencia de las condiciones que deben cumplir dos o más radicales para multiplicarlos o dividirlos.

Utilización de diferentes estrategias para efectuar la suma, la resta, la multiplicación y la división de expresiones con radicales.

10.Simplificar expresiones con radicales en las que se utilice la combinación de operaciones.

Combinación de operaciones que incluyen expresiones con radicales.

Extensión, a los números reales, de las reglas y procedimientos que permiten priorizar la ejecución de operaciones, en expresiones con paréntesis o sin ellos.

Utilización de diferentes estrategias para simplificar expresiones con radicales.


11.Racionalizar el denominador de expresiones algebraicas fraccionarias con un radical.

Racionalización de denomina-dores mono-mios con un so-lo radical de ín-dice 2 y 3, y de binomios radi-cales de índice 2, de expresio-nes algebraicas fraccionarias.

Interpretación del significado de la racionalización de deno-minadores.

Elaboración de estrategias pa-ra racionalizar denominadores monomios que contienen raíz cuadrada o cúbica, y de deno-minadores binomios radicales de índice 2.

Racionalización de denomina-dores monomios que contie-nen raíz cuadrada o cúbica y de denominadores binomios radicales de índice 2.

Interés por las situaciones de la vida cotidiana y de la cultura sistematizada, en las que se aplican operaciones con radicales.

ESTADÍSTICA


1. Construir ta-blas de fre-cuencias abso-lutas y frecuen-

Tablas de fre-cuencia absolu-ta y frecuencia relativa con va-

Determinación del número de cla-ses, el intervalo de clases y los lí-mites de clase, según las caracte-rísticas de los datos.

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cias relativas, con variables continuas para una mejor com-prensión de los aspectos socia-les que nos ro-dean.

riables conti-nuas. Determinación de la frecuencia

con que se presenta un grupo de datos correspondientes a variables continuas.

Elaboración de una distribución de frecuencia absoluta y una relativa, con datos para variables continuas.

Elaboración, de una agrupación y una ordenación en tablas, de los datos que corresponden a variables continuas, relativas a alguna información referente al entorno escolar, comunal y regional.

Determinación de frecuencias con que se presenta un grupo de datos correspondientes a variables continuas, y los ordena mediante una distribución de frecuencia.

2. Representar gráficamente la información ta-bulada en una tabla de fre-cuencias con variables conti-nuas, en forma de histograma

Histogramas y polígono de fre-cuencias abso-lutas y frecuen-cias relativas para variables continuas.

Identificación de los histogramas y de los polígonos de frecuencia.

Determinación del gráfico más adecuado para representar la información.

Construcción del gráfico que representa adecuadamente la infor

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSy de polígono de frecuencias.

mación recopilada.

Descripción de los diferentes tipos de gráficos y las formas de cons-truirlos.

3. Determinar de la informa-ción que pro-porcionan las tablas de fre-cuencia y los gráficos esta-dísticos corres-pondientes a variables conti-nuas.

Interpretación de la informa-ción brindada por tablas de frecuencia y gráficos estadís-ticos.

Interpretación de las distribucio-nes de frecuencia y de los gráfi-cos estadísticos para variables continuas.

Identificación en tablas de fre-cuencia y en gráficos estadísticos para variables continuas, el signifi-cado de cada frecuencia y el sig-nificado de cada parte del gráfico.

Expresión de criterios que relacio-nan la información brindada en gráficos o tablas con las acciones que se deben hacer o se están haciendo para mejorar la situación actual.

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GEOMETRÍA


1. Aplicar el teorema de Pitágoras, y su recíproco, en la resolu-ción de ejerci-cios y proble-mas.

Teorema de Pi-tágoras y su re-cíproco.

Comprobación experimental del teorema de Pitágoras.

Reconocimiento gráfico y simbólico del teorema de Pitágoras.

Utilización del teorema de Pitágoras en la solución de ejercicios y problemas donde, entre otras cosas, se le solicite clasificar triángulos.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS2. Aplicar las relaciones métricas en triángulos rectángulos, para resolver ejercicios y problemas.

(Continua-ción).

2. Aplicar las relaciones métricas en triángulos rec-tángulos, en la solución de ejercicios y problemas.

Relaciones mé-tricas en triángu-los rectángulos (conocidos como derivados de Pi-tágoras).- La altura so-

bre la hipote-nusa define dos triángulos rectángulos se-mejantes entre sí y semejan-tes al triángulo original.

- La altura es media propor-cional entre las medidas de los segmentos que esta determina sobre la hipote-nusa.

- La igualdad entre el pro-ducto de los catetos y el producto de la hipotenusa por la altura traza-da sobre ella.

Deducción de las relaciones mé-tricas que se establecen en el contenido.

Establecimiento de la expresión algebraica que expresa las rela-ciones métricas detalladas en el contenido.

Comprobación experimental de las relaciones métricas que se es-tablecen en el contenido.

Utilización de las relaciones métri-cas detalladas en el contenido, para la solución de ejercicios y problemas.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS- La medida de

un cateto es media propor-cional, entre la medida de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto.

3.Aplicar las relaciones de medida entre los lados de triángulos rec-tángulos isós-celes y en triángulos rec-tángulos con ángulos agu-dos de 30° y 60°, en la re-solución de problemas.

Triángulos rec-tángulos espe-ciales (triángulos cuyos ángulos agudos miden 30° y 60° ó 45° cada uno).

Construir casos de triángulos específicos: rectángulo con las medidas de los lados de 30° y 60° o rectángulo con las medidas de los ángulos de 45° cada uno).

Formular las expresiones algebraicas que establecen las relaciones de medida entre los lados de los triángulos anteriores.

Resolver ejercicios y problemas usando las relaciones métricas establecidas.

4. Aplicar la fórmula de

Fórmula de He-rón.

Reconocimiento de los elementos de la fórmula de Herón.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSHerón, en el cálculo de áreas de figu-ras geométri-cas y solución de problemas.

Aplicación en la solución de pro-blemas.

Ilustración con casos particulares de la utilización de la fórmula de Herón.

Utilización de la fórmula de Herón para resolver problemas y ejerci-cios.

TRIGONOMETRÍA


1 Analizar la aplicación de las razones tri-gonométricas en el desarrollo científico y tec-nológico.

Concepto de trigonometría.

Aportes en el desarrollo cien-tífico y tecnoló-gico.

Interpretación de la información detectada en diversas fuentes de información acerca del concepto de trigonometría y sus aportes en el desarrollo científico y tecnológi-co.

Explicación de síntesis de infor-

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mación que da a conocer los aportes de la trigonometría en el desarrollo científico y tecnológico.

2. Determinar el valor de las razones trigo-nométricas, seno, coseno y tangente, de los ángulos agudos de un triángulo rec-tángulo, a partir de las medidas de los lados del triángulo.

Razones trigo-nométricas: seno, coseno y tangente, de un ángulo agudo.

Identificación, en triángulos rectángulos, de la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente a un ángulo agudo.

Establecimiento de la igualdad de las razones trigonométricas de un ángulo correspondiente triángulos rectángulos semejantes.

Explicación de diferentes procedimientos que pueden ser utilizados para el cálculo de las razones trigonométricas, de ángulos agudos de un triángulo rectángulo, a partir de las medidas de los lados.

Resolución de ejercicios en que se determina el valor de razones trigonométricas de ángulos agudos de un triángulo rectángulo, a partir de las medidas de los lados.

3.Determinar las medidas de lados y ángu-los de un trián-gulo rec-tán-gulo, utilizando

Razones trigo-nométricas: su aplicación al determinar las medidas de la-dos y ángulos

Formulación de hipótesis sobre diferentes estrategias para el cálculo de las medidas de los lados y ángulos de un triángulo rectángulo.

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSrazones trigo-nométricas.

de un triángulo rectángulo, así como la altura de un triángulo y diagonales de paralelo-gramos.

Explicación de procedimientos que pueden ser utilizados para determinar las medidas de lados y ángulos de un triángulo rectán-gulo.

Determinación de medidas de la-dos y ángulos de un triángulo, al-tura de un triángulo y diagonales de paralelogramos, utilizando di-ferentes estrategias y la aplica-ción de razones trigonométricas.

4 Determinar las medidas de lados y ángu-los de un trián-gulo rectángu-lo, utilizando razones trigo-nométricas de ángulos com-plementarios.

Relaciones tri-gonométricas de los ángulos complementa-rios de un triángulo rec-tángulo.

Razones trigo-nométricas de los ángulos de medidas 30º, 45º y 60°.

Formulación de hipótesis sobre las relaciones que se cumplen entre el sen y el cos, si y son ángulos complementarios.

Utilización de las razones trigo-nométricas de los ángulos com-plementarios, al determinar medi-das de lados y ángulos en trián-gulos rectángulos.

Cálculo de las razones trigono-métricas de los ángulos de medi-das 30º, 45º y 60º.

Determinación de medidas de la-dos y de ángulos de triángulos rectángulos, utilizando razones trigonométricas de los ángulos de medidas 30º, 45º y 60º.

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5. Resolver problemas provenientes de la cultura cotidiana y sis-tematizada, que involucren los conceptos de ángulo de elevación y án-gulo de depre-sión.

Ángulo de ele-vación y ángu-lo de depre-sión.

Problemas de aplicación de razones trigo-nométricas.

Reconocimiento de ángulos de elevación y ángulos de depresión.

Descripción de problemas que se refieren a situaciones de aplicación práctica de los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión.

Explicación de procedimientos que pueden ser utilizados para la resolución de problemas relacionados con el contenido.

Resolución de problemas que involucran los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión.

6. Resolver problemas en que es nece-saria la aplica-ción de la ley de senos.

Ley de senos. Identificación de diferentes situaciones en que se aplican proporciones.

Reconocimiento de diferentes situaciones problemáticas en que se aplica la ley de senos para su resolución.

Resolución de problemas que requieren la aplicación de la ley de

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSsenos.

ÁLGEBRA


1.Efectuar divisiones de polinomios en una o dos variables.

División de:- Binomio por

monomio.- Trinomio

por mono-mio (en una o dos varia-bles).

- Binomio por binomio, tri-nomio por binomio (en una varia-ble).

Nota: (en todos los casos coefi-cientes ente-ros)

Descripción del uso de las leyes de potencias para la división de mono-mios.

Formulación de un proceso para di-vidir un binomio por un monomio.

Formulación de un proceso para di-vidir un trinomio por un monomio (en una o dos variables).

Formulación de un proceso para di-vidir un binomio por un binomio.

Formulación de un proceso para di-vidir un trinomio por un binomio.

Efectuar divisiones de polinomios.

2.Resolver combinación de operacio-nes con poli-nomios.

Combinación de operaciones con polinomios (dos o tres ope-raciones y un máximo de dos

Justificación del proceso utilizado para simplificar expresiones alge-braicas, que presentan varias opera-ciones entre monomios con parénte-sis o sin ellos.

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OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOSparéntesis):suma, resta, multiplicación y división, de acuerdo con las dificultades estudiadas.

Determinación de un proceso para simplificar expresiones algebraicas que involucren dos o tres operaciones con polinomios y un máximo de dos paréntesis.

Realización de ejercicios de simplificación de expresiones algebraicas utilizando las operaciones entre polinomios.


3. Efectuar la factoriza-ción de poli-nomios en forma com-pleta.

Factorización completa de polinomios me-diante: Factor común (con una o dos va-riables). Diferen-cia de cuadra-dos(en una variable). Trinomio cuadrado per-fecto (en una variable). Combi-nación de fac-tor común y productos no-tables.

Discriminación entre factorización y factorización completa de un polino-mio.

Reconocimiento del factor común en polinomios.

Descripción del proceso para factori-zar un polinomio por factor común.

Reconocimiento del uso de las fór-mulas notables para factorizar la di-ferencia de cuadrados, o el trinomio cuadrado perfecto.

Identificación del método adecuado para factorizar un polinomio.

Factorización completa de polino-mios utilizando el factor común o los productos notables.

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XVI. GLOSARIO

ALEATORIO: Se dice de un hecho, fenó-meno o evento que tiene cierta posibilidad de suceder en forma fortuita.ALGORITMO: Proce-dimiento que se utiliza para calcular diferen-tes sucesivam.ÁREA: Medida de una superficie, es de-cir, es el número de veces que cabe una unidad de medida en la superficie.CÁLCULO EXPERI-MENTAL: Consiste en determinar una cantidad, sin utilizar fórmulas, ni reglas ni teoremasCÁLCULO MENTAL: Son los cálculos nu-méricos sucesivam un procedimiento mental. CAPACIDAD: Canti-dad de líquido que se puede almacenar en un recipiente.

CARACTERÍSTICAS: Son las cualidades de un concepto, de un objeto o de una figu-ras geométrica, que permiten determinar diferencias y seme-janzas.CARACTERIZAR : Determinar las carac-terísticas de un con-cepto, objeto o figura. Determinar los atribu-tos sucesivam de una persona o cosa, de modo que claramente se distinga de las de-más.CONJETURAS: Ideas probables, sucesiva-ment, sospechas.sucesivamen DE su-cesivamen: Se refie-re a ejercicios o pro-blemas en los que, para su resolución, se requiera del cálculo de dos o más sucesi-vamen diferentes.sucesivamente DE sucesivamen CON O SIN sucesivame: Se refiere a ejercicios

que requieren el cál-culo de dos o más su-cesivamen con o sin sucesivame. Cuando NO se utiliza el suce-sivame las sucesiva-men se realizan de acuerdo con el orden de sucesivam que su-cesivamente949494e está establecido y si estas tienen la misma sucesivam, se resuel-ven en el orden en que aparecen de iz-quierda a derecha.COMPARAR: Fijar la sucesiva en dos o más objetos para des-cubrir sus relaciones o valorar sus diferen-cias o semejanzas. Establecer cuál núme-ro es mayor o menor.COMPRENSIÓN IN-TUITIVA: Se refiere a comprender un con-cepto sin necesidad de aplicar sucesiva-mente94 formales.CONCEPTO INTUITI-VO: Es aquel concep-to que se adquiere a través de la sucesiva-mente9494 o de la

sucesivamente que no utiliza sucesiva-mente94 formales.CONSTRUCCIÓN EXPERIMENTAL: Se refiere a la sucesiva-mente de un concepto a través de la explora-ción y la sucesiva-mente9494 de hechos y fenómenos del en-torno.

CONSTRUCCIÓN IN-TUITIVA: Se refiere a la reconstrucción de un concepto, o de al-guna sucesivam o teorema, sin necesi-dad de aplicar sucesi-vamente94 formalesCONSTRUIR sucesi-vamente94: Se refie-re a la reconstrucción de un concepto, o a la prueba de alguna su-cesivam o teorema, aplicando las sucesi-vamen aritméticas.CONTAR: Es enume-rar los elementos de un conjunto, es decir, ponerlos en corres-pondencia uno a uno con los números su-

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cesivamCONTEXTO LÚDICO: Se refiere a un con-texto en donde se aplique el juego como técnica metodológica.sucesivament EXPE-RIMENTAL: Se refie-re a las sucesivamen-te95 no formales, que se realizan por medio de la sucesivamen-te9595 con el uso de material concreto.DÍGITO: Número en el sistema sucesiv de numeración represen-tado por un numeral con sólo un símbolo por ejemplo, el 2 es un dígito; el número 23 es un número con dos dígitos. Recibe este nombre porque. En este sistema, son diez los numerales: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 que se usan para re-presentar todos los números.

DIMENSIÓN: Concep-to intuitivo que se re-laciona con los de su-cesiva, superficie y

sucesiv. Por ejemplo, una figura como un segmento tiene solo sucesiva, se dice que tiene una dimensión. Una figura como un cuadrado o un trián-gulo, tiene una super-ficie plana, entonces, tiene dos dimensiones y si es una figura co-mo un prisma, que tie-ne sucesiv, se dice que tiene tres dimen-siones.DISCRIMINAR: Sepa-rar, diferenciar, distin-guir un concepto del otroEJE DE SIMETRÍA: Una línea recta se di-ce que es un eje de simetría de una figura plana si al doblar la fi-gura en dos, suces esa línea, las dos par-tes coinciden en todos sus puntos.EQUIVALENTE: Se dice de dos figuras planas que tienen igual sucesivam suce-sivamen. Se dice de dos tracciones que tienen igual valor, es

decir, representan al mismo número.EN FORMA CON-CRETA: Se refiere a la sucesivamen de material concreto.ESTIMACIÓN: Cálcu-lo mental estimado o aproximado de una sucesivam o de una medida. ESTIMAR: Dar un cálculo aproximado (no sucesivamente95 exacto) de un resulta-do.ESTRATEGIAS: su-cesivamen, tácticas, destrezas, pericias, maniobras, prácticas, aptitudes.ESTRATEGIAS PER-SONALES: Son las estrategias que suce-sivame se utilizan pa-ra calcular un resulta-do o para resolver una sucesivam. sucesivam sucesiv: Está constituida por el conjunto de dígitos que se expresan a la derecha de la coma sucesiv, al represen-tar un número racio-

nal en notación suce-siv. La sucesivam su-cesiv de los números racionales siempre es infinita periódica. En algunos casos, cuan-do el período es igual a cero, se puede decir que es finita ejemplo: 0,375.sucesivamen VER-BALES: Aquellas su-cesivamen que se es-criben o se enuncian oralmenteEVENTO. Es un suce-so de sucesivamen in-cierta, que puede su-ceder o no.FIGURAS SIMÉTRI-CAS: En forma intuiti-va se dice que una fi-gura es simétrica, si al doblar la figura plana en el eje de simetría, las dos partes coinci-den en todos sus pun-tos.GIROS: girar una figu-ra en el plano sobre un puntoGRADUAL Y PRO-GRESIVA : Se refiere al proceso que avan-za de acuerdo con las

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capacidades de la persona.IDEA O NOCIÓN IN-TUITIVA: Es una su-cesivament a un con-cepto por sucesivam, es decir sin necesidad de aplicar sucesiva-mente96 formales. IDENTIFICAR: Reco-nocer, señalar, nume-rar, seleccionar, el o los conceptos, carac-terísticas o sucesiva-men de este, INFERENCIA: Llegar al concepto sucesiva-me y concluyendo consecuencias. sucesivamente96: Poder explicar o tra-ducir la sucesivamen que tiene un gráfico estadístico, una tabla o un concepto aplica-do en una sucesivam. NUMERAL: Símbolo para representar un número.NÚMERO COM-PUESTO: Un número es compuesto si tiene dos o más factores di-ferentes del 1.NÚMERO PRIMO: Es

primo un número que tiene sólo dos diviso-res. NÚMEROS sucesi-vam: { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, 12,13,...}NÚMEROS CON su-cesivam sucesiv: Son los números que contienen dígitos a la derecha de la como sucesiv, es decir su-cesivam (sucesiva-me).PLANTEAR PRO-BLEMAS: Consiste en enunciar, en crear un problema a partir de ciertos datos.PREDECIR: Hacer una declaración razo-nable sobre lo que pu-diera suceder.PROBABLE:Se dice de un hecho, fenó-meno o evento que tiene cierta posibilidad de suceder.PROCEDIMIENTO: Son las acciones o pasos que se siguen en orden para calcular el resultado de una sucesivam o la solu-

ción de un ejercicio o de un problema.REGISTROS ESTA-DÍSTICOS: Lugar donde se anotan da-tos o resultados en forma ordenada. REDONDEAR: Es ex-presar un número me-diante una sucesiva-ment. Por ejemplo, re-dondear un número a la decena más próxi-ma, es expresar ese número aproximándo-lo a la decena más pr-óxima, así, 67 se re-dondea a 70; y 74, también, se redondea a 70.REGISTRO: Lugar donde se anotan da-tos o resultados en forma ordenada. SISTEMA NUMÉRI-CO: Un sistema nu-mérico, tal como el sistema de los núme-ros sucesivam, es un conjunto de números que posee sucesiva-men características independientes de los signos usados para su sucesivamente96.

SISTEMA DE NUME-RACIÓN: Un sistema de numeración es un conjunto de signos y reglas que nos permi-ten representar a los números (estas últi-mas determinan cómo cambiar los signos pa-ra construir los nume-rales que son la suce-sivamente96 de los números).UNIDAD ARBITRA-RIA: Se dice que una unidad de medida es arbitraria si es utiliza-da aunque no exista un convenio generali-zado sobre su valor. Por ejemplo, un suces para medir el largo de una mesa.UNIDAD sucesiva-ment: Se dice que una unidad de medida es sucesivament, si existe un convenio generalizado (por lo menos, a nivel del país) sobre su valor.VALOR DE POSI-CIÓN: Los dígitos del numeral con el que se representa a un nú-

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mero, tienen diferente valor dependiendo de su posición en el nu-meral, por ejemplo, el último dígito represen-ta sucesiva, el penúlti-mo representa dece-nas, el antepenúltimo representa centenas y así sucesivamente.

XVII. BIBLIOGRAFÍA

BIBLIOGRAFÍA PARA EL ESTUDIANTE

- Barnett, Raymond, Precálculo. Algebra, geometrìa analìtica y trigonometría. Editorial Limusa. México. 2001.

- Corrales, Mario. Matemática Estadística. Editorial UNED.

- Cárdenas, Humberto y otros. Matemática Primer Curso y Matemática Segundo Curso. 3era Edición. Compañía Editorial Continental S.A. México, 1973.

- Colera, José. Matemática 1º Rama Ad-ministrativa y Comercial. Anaya, 1977.

- Etayo, Javier y otro. Matemática 1º. Edi-ciones Anaya S.A. Madrid, España, 1977.

- Jiménez, Leandro. Matemática 8. Edicio-nes Anaya. Madrid, 1980.

- Van Cleave, Janice. Matemática para ni-ños y jóvenes. Editorial Limusa. 2002.

BIBLIOGRAFÍA PARA EL PROFESOR

- Abellanas L. / Martínez A. Matemáticas 1. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1996.

- Allen, W. Análisis numérico. Pretince Hall Hispanoamericana, México, 1988, (capí-tulo I, III, IV).

- Alfaro, S. Números heronianos, Librería Noboa, San José, Costa Rica, 1943.

- Amigo, C. Matemáticas 3. Opción B y Opción A. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1994.

- Amigo, C. Matemáticas 4. Opción B y Opción A. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1995.

- Araya, Jagdish C. Y Lardner, Robin W. Matemáticas aplicadas a la administra-ción y a la economía. Cuarta Edición. Pearson Educación, México, 2002.

- Arguedas Ramírez, Mario y otros. Anto-logía de Mateáticas noveno año. Minis-terio de Educación Pública, San José, Costa Rica, 2000.

- Arguedas Ramírez, Mario. Educar es... mucho más que una simple fórmula. Editorial Tecnológica de Costa Rica, Car-tago. 1996

- Ayres Jr., Frank. Trigonometría. 2da Edi-ción. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1991.

- Babini, J. Historia suscinta de la Mate-mática. Colección Austral, Espasa Calpe, Madrid, 1969.

97


- Babini, J. La matemática y la astrono-mía renacentista. Centro Editor de Amé-rica Latina, Argentina, 1969.

- Baldor. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Ediciones Códice. Madrid, España, 1987.

- Barnett, Raymond A. Algebra y Trigono-metría. 2da Edición. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1987.

- Beristáin E. Álgebra y Geometría. Edito-rial Mc Graw-Hill. México, 1994.

- Bloon, S. Hasting, Madaus, G. Evalua-ción del Aprendizaje. Editorial Troquel. (Vol. III K).

- Boll, M. Historia de las matemáticas. Alianza Editorial, Madrid, 1972.

- Bourbaki, N. Elementos de historia de las matemáticas. Alianza Editorial, Ma-drid, 1972.

- Carreño, Lucila. Matemática 9º, 10º, 11º. Editorial Mc Graw-Hill, México, 1994.

- Castelnuovo, Emma. Didáctica de la ma-temática moderna. Editorial Trillas. Méxi-co, 1975.

- Chatelet, A; Condevaux, G. 2500 proble-mas para aprender a razonar. Editorial Kapelusz. Argentina. 1971

- Chaves, Fernando. Matemática activa y recreativa. Editorial Trillas. México. 1974

- Clemens, Santanley y otros. Geometría con aplicaciones y soluciones de pro-blemas. Adison-Wesley Iberoamericana, S.A., Wilmington, E.U.A, 1989.

- Coll, César. ( 1983). Psicología Genéti-ca y Aprendizajes Escolares. Siglo

Veintiuno de España Editores, S.A. Espa-ña.

- Collete, P. Historia de las matemáticas. Tomo I, siglo XXI, Editores, México, 1986. (Capítulos I al IX).

- Cordero-Thais, Murillo-Mario, Peralta-Te-resita. Memoria de la octava reunión centroamericana y del Caribe sobre formación de profesores e investiga-ción en Matemática educativa. Editorial UNED, 1994.

- Cossey, Ruth y otros. Háganlo juntos. Laurence may of Science, Berkeley, E.U.A., ¡977.

- Damerow y otros. Matemáticas para to-dos. Educación Científica y Tecnológi-ca. UNESCO, 1990.

- Delgado, Miguel. Matemáticas, Serie Schaum. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1989.

- Derry, T. Williams. Historia de la tecno-logía, tomos I y II, Siglo XXI. Editores, México, 1978.

- Edward, C. Penney, D. Cálculo y geome-tría análitica, Pretince Hall-Hispanoamé-ricana, México, 1988. (Capítulo I).

- Edrevlav- siul. Pasatiempos, magia y matemáticas. Impresos Quirós. Costa Ri-ca. 1987.

- Escandón, Rafael. Curiosidades mate-máticas. Editorial Universo. México. 1990.

- Foster, Cummins, Yumber. Geometría al día. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1995.

98


- Fuenlabrada De La Vega Trucios, S. Ma-temática I, Aritmética y Algebra. Edito-rial Mc Graw-Hill. México, 1994.

- Fuenlabrada De La Vega Trucios, S. Ma-temática II, Geometría y Trigonometría. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1994.

- Garder, M. Nuevos pasatiempos mate-máticos. Alianza Editorial. Madrid, 1972.

- Granville, William. Trigonometría plana y esférica. Editorial Limusa. México. 1996.

- Gómez, H; Cruz, R; Acosta, A; Martínez, A. Guía práctica para la evaluación cualitativa. Universidad Sergio Arboleda. Colombia. 1998.

- Goñi, G. Juan. Geometría plana y del espacio. Editorial Ingeniería EIRL, Perú, 1988.

- Hemmeching, Edwing. Geometría ele-mental. Editorial Limusa-Wiley, S.A. Mé-xico, 1971.

- Hirsch, Christean. Trigonometría. Con-ceptos y Aplicaciones. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1987.

- Hogden, L. Las matemáticas al alcance de todos. Joaquín Gil Editor. Buenos Ai-res, 1948.

- Holt, Michael. Matemáticas recreativas 2. Ediciones Martínez Roca, S.A. España. 1988

- Holt, Michael. Matemáticas recreativas 3. Ediciones Martínez Roca, S.A. España. 1988

- Jiménez Pastor, Vicente. Cómo lograr una enseñanza activa de la Matemáti-ca. CEAC, Barcelona, 1990.

- Kasner, E. Newman, J. Matemática e imaginación. Compañía Editorial Conti-nental, S.A. México. 1959.

- Kramer, Arthur D. Fundamentos de Ma-temáticas. Un enfoque para técnicos. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1988.

- Larson, R. Hostetler, R. Cálculo y geometría analítica. Mc Graw-Hill, México, 1988 (Capítulo I).

- Larson, Hostetler, Neptune. Algebra interme-dia. Segunda edición. Mc Graw-Hill, Méxi-co, marzo 2000.

- Larson, Hostetler, Hirsh, Shoen. Matemáticas 10°. Mc Graw-Hill, Colombia 1998.

- Larson, Hostetler. Matemática 11°. Mc Graw-Hill, Colombia 1997.

- Leal, Francisco. Destrezas Básicas de Matemáticas. 5ta edición. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1991.

- Martínez-Mediano, José Ma. Matemáti-cas para Ciencias Sociales. Serie Schaum. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1994.

- Martínez, Juan Félix y otros. Lo que un estu-diante debe saber de Matemática al en-trar a la Universidad. Editorial VAEM. Costa Rica, 1977.

- Mason, S. Historia de las ciencias. To-mos I al V. Alianza Editorial Mexicana, 1988.

- Mata R. Ulises y otros. Tesis de matemá-tica moderna para Bachillerato. San Jo-sé, Costa Rica.

99


- Mendehall, William. Introducción a la probabilidad y la estadística. Iberoa-mérica, México, 1987.

- Moire, Edwin y otros. Geometría Moder-na. Editorial Wesly Publishing Company, USA. 1966.

- Montezuma De Rodríguez A. Matemáti-ca. Asumiendo el reto. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1995.

- Morfín Heras, María. Matemática 3, Geo-metría cuaderno de trabajo. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1994.

- Morris, Roberto. Estudios en Educación Matemática, Educación Matemática Ex-tra-escolar. UNESCO. Uruguay, 1990.

- Murillo, Manuel. Matemática básica con apli-caciones. EUNED, San José, Costa Rica, 2000.

- National Counal of Teachers of Mathematics. Gráficas, Relaciones y Funciones. Edi-torial Trillas, México, 1970.

- Nuñez Reinaldo y Soler Francisco. Fundamen-tos de Matemática. Segunda edición. Grupo editorial Iberoamericano.

- Ortiz Campos. Matemáticas 3. Funcio-nes. Editorial Publicaciones Culturales. México, 1991.

- Parra, Luis H. Y Parra, Guillermo. Álgebra preuniversitaria. Editorial Limusa. Méxi-co. 1999.

- Paulín, Jaime. Algebra, la matemática como una forma de pensar. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1993.

- Pérez, Rafael A. Y otros. Los procesos de en-señanza y aprendizaje en una sociedad

democrática. Ministerio de Educación Pública, San José, Costa Rica, 1993.

- Perelmann, Y. El divertido juego de las mate-máticas. Ediciones Martínez Roca, S.A. Colombia. 1968

- Rich, Barnett. Geometría. 2da edición. Serie Schaum. Editorial Mc Graw-Hill. México, 1991.

- Steen, Lynn Arthur. Enseñando matemáticas para el mundo de mañana. Traduc.Pra-do, V. Costa Rica: Asesoría de Matemáti-ca. San José. 1999

- Swokowski, Earlw. Algebra y Trigono-metría con Geometría Analítica. Edito-rial Iberoamericana. 1988.

- Thompson, Virginia y Mayfield Ingram Ka-ren. Family Math the middle school years. Lawrence Hall of Science, Berke-ley, E.U.A., 1988.

- Ulate Badilla, Marielos y otros. Antología de Matemáticas tomo II. Ministerio de Educación Pública, San José, Costa Ri-cas, 1999.

- Valiente, Santiago y Rubio, Santiago. Tri-gonometría. Editorial Limusa. México. 1995

- Víquez Carazo, Manuel. Sistema Internacional de pesos y medidas. Editorial Tecnológi-ca de Costa Rica. 1993.

- Zill, Dennis y Deward, Jackeline. Algera y Trigonometría. Segunda edición. Mc Graw- Hill. Clombia, 1999.

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la transversalidad en los pro-gramas de … · web viewlos cambios sociales, económicos,...

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