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La técnica de los conceptoscientíficos. Mecánica yconcepto de masa

Manuel Medina

El concepto de masa estática, implícito en el método 111.ecánico de Arquímedes y formulado en la mecánica teórica, constituye la teorización estáticade las técnicas hilométricas tradicionales. Las estructuras de los conceptosmétricos no representan un dominio natural que satisface de forma actualdetenninadas condiciones, sino un dominio operativo generable técnicamente'mediante procedimientos e instrumentos de medición. Los conceptosmétricos tienen un carácter teórico en cuanto son el resultado de la conceptualización y sistematización teórica de procedimientos e instrumentosde técnicas metrológicas.

En el plimer escolio de los Principia, Newton aclara queno define los conceptos de tiempo, espacio, lugar y movimiento por ser bien conocidos para todos. En cambio, laprimera de las ocho definiciones que anteceden las leyes delmovimiento se ocupa del concepto de masa. La definicióndice:

«La cantidad de materia es la 111.edida de la mismasurgida de su densidad y magnitud conjunta711.ente».

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A continuación se COlnenta que a esa cantidad se refierenen el tratado los términos de «cuerpo» y «masa».

Desde un principio, el concepto de Inasa ha planteadoimportantes problemas teóricos dentro de la física. La definición newtoniana ha sido criticada por algunos físicos, entreellos Ernst Mach, que la tacha de desafortunada y' circular,al definirse la densidad como la masa por unidad de volun1en l.

La expresión «quantitas ¡nateriae» en1pleada por Newtonprocede de la Edad Media y testifica la concepción de lamasa como medida de la materia. El concepto moderno demasa parte de Kepler, quien considera la resistencia al movin1iento inmanente en un cuerpo como directamente proporcional a la cantidad de materia del mismo.

El tratamiento newtoniano del concepto de masa sisteInatiza la concepción Kepleriana y, posteriormente, Eulercompletará la conceptualización de la masa inercial, al considerar que la masa de un cuerpo hay que medirla por lafuerza que es necesaria 'para impartirle una detern1inadaaceleración.

Según Newton, la quantitas materiae no sólo se n1al1mestaen la resistencia respectiva de los cuerpos a carnbios dinámicos, sino que también «se da a conocer mediante el pesode cada cuerpo» 2.

Al contrario de Newton, en la física antigua no se consideró el peso COlno medida de la Inateria. No obstante,mucho antes de la aparición de la misn1a filosofía ya sehabían desarrollado los instrumentos y procedunientos destU1ados a Inedir «cantidades de materia» es decir, la hüometria técnica.

1. Hilonletl'Ía mecánica

El intercarnbio de productos supone el acuerdo acercade una cierta equivalencia del valor de las mercancías, elcual depende, entre otras cosas, de la cantidad de las misInas. El contar y la determu1ación del volumen son procedi111ientos para fijar cantidades anteriores a las técnicas depesar. En el cOlnercio de metales preciosos, sin en1bargo, el

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uso de la balanza se remonta, por lo menos, al cuartonlilenio antes de nuestra era.

En pinturas egipcias pertenecientes a la vigésima y vigésimo plilllera dinastías (-1200/-950) se representa ya elempleo de balanzas en el mercado público y en los mercadosde la Grecia clásica fue de uso corliente un tipo de balanzamuy parecido al egipcio.

La fornla original de los instrumentos para pesar es ladenonlinada por los ronlanas bilanx es decir, la balanza debrazos iguales de los que están suspendidos sendos platillos.El material más comúnmente enlpleado en la construcciónde las prÍ111itivas balanzas fue la madera, con la que sefabricaron. artefactos -de notable precisión.

. Así p. ej., se conservan balanzas Í11cas de la época precolombina en las que la longitud de los brazos difiere ennlenos de 1/1o mm. y cuya sensibilidad acusa un peso de0.05 g. También se conocen pequeñas balanzas nletálicasenlpleadas alrededor del -2000 en Mesopotamia para el

. peso del oro, capaces de pesar hasta un centígramo.

Figura 1. El juicio.

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De esta lnisnla época se conservan numerosas representaciones de balanzas en los libros de los muertos halladosen sarcófagos egipcios. Se trata de grandes balanzas debrazos iguales provistas de dispositivos para controlar elequilibrio, bien mediante un fiel o con un sistema de hilosque quedaban tensos por la acción de una plomada. Balanzas muy similares a estas últÍlnas se encuentran en pinturasgriegas sobre cerámica 3.

Acerca del origen de un instrumento tan antiguo comola balanza, sólo caban conjeturas más o menos plausibles.Con todo, parece bastante cierto que su uso hilométrico nofue el origiIlal, sino una aplicación posterior.

El hecho de que la balanza aparezca en numerosos nlitosde muy diversas culturas se ha considerado como indicio'de un origen ritual de la nlisma.

En las ilustraciones de los libros de los muertos, la balanza aparece empleada en el juicio del difunto, que consisteen pesar su corazón contra la pluma de Maat. El resultadodeternlÍlla el destino del muerto en el más allá. Asímismo selnenciona la balanza como instrumento de juicio para determÍllar la rectitud de las almas, en la Biblia, el Corán y entextos religiosos zoroástricos, budistas y védícos. Conlo símbolo de justicia, es aún mucho más antigua que las escenasde los libros de los muertos.

En relatos griegos y latinos de carácter mitológico, seutiliza la balanza en la práctica de la kerostasis, consistenteen colocar en los platillos las Ílnágenes de dos contendientespara decidir el resultado de la contienda. De esta fonnadeternlina Zeus en la ruada la suerte de Héctor en su luchacontra Aquiles.

Este uso nlitológico parece ser el nlás dÍl"ectanlente conectado con la antigua práctica ritual en la que se usa uncolmnpio para decidir el destino de dos contendientes quebasculan a anlbos extremos del mismo. En caso de establecerse el equilibrio, se da por supuesta la equivalencia de loscontrincantes.

El columpio ha sido señalado repetidamente con el a,ntecedente técnico de la balanza. El mencionado uso ritual delnlisnlO podría ser el nexo entre este y la concepción de labalanza como equivalencia.


Figura 2. Balanza hitita.

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Figura 3. Kerostasis.

De hecho, existen ritos de ofrenda en los que rntervienela balanza y donde el equilibrio representa claramente unaequivalencia. Se trata de la práctica litual de contrapesaruna persona en oro u otro material precioso que luego sedistIibuye o se ofrece como sacrificio. El sentido básico delos rituales de sacrificio es la identificación del sacrificantecon la ofrenda, la cual se sacrifica sU11bólicamente en sulugar. En este caso, la equivalencia se determina medianteel equilibrio del colmupio-balanza.

La utilización profana de la balanza tiene sus uucios enel comercio de lnetales preciosos y es ren1arcable que estaestuvo, en un principio, 'más relacionada con la cOlnprobación de la calidad que con la detennu1ación de la cantidadde los mislnos 4.

En el conjunto de las téclucas lnetrológicas básicas -elcontar, la geon1etIia o medición de longitud, área y volun1en,la hilometIia o 111edición de la masa y la crono111etría-, lahilometría lnecánica representa un desarrollo derivado delas dos pruneras, que son, luetodológicamente, las Jnás fundamentales y tan1bién las más antiguas 5.


La técnica hilométrica prunigenia se basa en la medicióngeOlnétrica, al detenninar la masa de materias homogéneasen relación al volumen. La medida del oro fue originariamente por volumen y en algunas culturas antiguas quedesconocieron la balanza, como la azteca, ese fue el únicoprocedimiento empleado. Los procedimilentos de determinación volumétrica de la masa se usaron, de forma general,para los líquidos, granos, harinas etc., aW1 cuando se disponíade balanza de notable capacidad y precisión.

La hilometría geon1étrica juega un papel fundamental enel desarrollo de la hilometlia n1ecánica, entre otras cosas,por la estrecha relación origu1aria entre los sistemas depesas empleados con la balanza y las medidas geométricas.

Así, aunque ocasionalmente se emplearon como unidadesde peso semillas vegetales muy uniformes (las de la algarroba han dado origen al quilate), una de las más u11portantesunidades de peso, Oliginal de la antigua Babilonia, corresponde a la masa de una pulgada de oro puro, equivalente aunos 315. g. Este estándar de peso aparece, con ligerasmodificaciones, en Egipto, Grecia y Roma, donde recibe elnombre de libra, con el que nos es aún conocido.

2. Hilometría nlecánica y nlecánica teórica

Aparte de su gran ilnportancia para el comercio, la hilometría mecánica es fundamental para el desarrollo de laantigua n1ecánica teórica. El tratamiento teórico de las balanzas parece ya en la obra de mecánica teórica o teoría deartefactos mecánicos más antigua que se conoce, los repo~AEllu'ra IlEKUV1KU o Mecánica aristotélica. Aunque la autoríade Aristóteles es discutida, el escrito pertenece con seguridada la escuela peripatética.

A diferencia del tratado peripatético, en el que se planteala teorización de la balanza a partir de la dinámica aristotélica, el Libro sobre la balanza, atlibuido a Euclides, tiene uncarácter puramente estático y una presentación rigurosan1ente axiomática. En esta línea se sitúan los tratados deArqlúmedes, que, junto con la mecánica aristotélica, seránlas obras más influyentes en los desarrollos posteriores.

Entre los tratados medievales sobre la balanza destacan

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los de Jordanus Nemorarius, titulados Liber de ponderibus,Elementa de ponderibus y De ratione ponderis.

A finales del siglo XVI Stevin escribe su conocido tratadode estática con el título Los elenzentos del arte de pesar.Posterionnente Galileo trata las balanzas en su obra Lemecaniche y La bilancetta, y Huygens escribe su Demostratiode equilibrio bilancis.

Las teorizaciones de la balanza presentan un interés especial dentro de la mecánica teórica, pues, al tratarse deinstrumentos de medición, pertenecen a la hilonletría teórica.En este contexto, los tratados de Arquúnedes son fundamentales por lo que respecta al concepto de masa.

Con anterioridad a su conocida obra Sobre el equilibriode los planos, ArquÚlledes había escrito un tratado tituladoElementos de la mecánica, en el que figuraba un libro conel título TI:l::pi ~uyéúv o Sobre balanzas. Dicho tratado se perdióen su totalidad, pero se conoce su contenido a través dereferencias en las Mecánicas de Herón de Alejandría.

A pesar de que su título apenas deja adivinar el contenido, Sobre el equilibrio de los planos contiene la teoría deuna balanza que se elnplea para pesadas ideales de figurasgeométricas, a fin de determinar la superficie, volumen ocentro de gravedad de las n1Ísmas. El empleo de la balanzaqueda claramente de lnanifiesto, entre otras, en la proposición sexta de la Cuadratura de la parábola, donde Arquímedes explica a Dositeo, a quien va dirigido el tratado, que el«teorelna lo descubrí primeramente por métodos de la mecánica y lo presenté luego por métodos de la geometría».

ConlO se aclara en el preánlbulo de la Ílnportante obrade Arquímedes recuperada a principios del presente siglopor el danés J. L. Heiberg y conocida como ~Método de losteoremas 7necánicos, la sistenlatización axionlática constituyela presentación teórica de los resultados del «método mecánico». Este consiste en contrabalancear figuras geOlnétricascuya superficie o volumen se desconocen, con otras de lasque dichas magnitudes son conocidas, para deternlinar asíel valor de las primeras.

Aunque en el procedÍlniento no se nlaI1Ípula una balanzamaterial, sino que se trata de una fornla prinligenia de«experimentación menta!», Oliginalnlente el método nlecál1Ícode investigación en geometría se basó, con toda seguridad,


en la aplicación de procedinlientos técnicos de hilonletríamecánica y geOlnétrica.

Así se supone que Demócrito pudo llegar a detenninarsin demostración alguna -conlO refiere Arquímedes en elMétodo-la relación de 1/3 de los volúmenes del cono y dela pirámide respecto a los del cilindro y del prisma de igualbase y altura. Para ello debió utilizar una balanza, con laque comparó las correspondientes figuras construidas enun lnatelial homogéneo como madera o barro.

Posiblemente, ArqUÍIlledes, inspirado en los experÍlllentosmetrológícos de Delnóclito, utilizó procedín1ientos mecánicosparecidos para determÍllar el área de segmentos parabólicos,sÍl'viéndose de figuras cortadas de láminas de 'metal planas.

En todo caso, es evidente que el autor del Método de losteore11'las 7necánicos estilizó el procedÍlniento de ensayo nlecánico, transformándolo en un refinado método matemáticoconstructivo. Con él determinó, prÍlneramente, volúmenes ysuperficies de la esfera y de segmentos esféricos y, luego, lohizo extensivo a otras figuras geométlicas.

En Sobre el equilibrio de los planos se formulan losfundanlentos teólicos del método arquimédico, es decir, lateOlia de la balanza con la que se efectúa el paso de latéCl1ica hilométlica lnecánica a la hilometría teórica.

El tratado parte de siete postulados y consta de doslibros donde se prueban un total de veinticinco proposiciones. Los postulados son los siguientes:

1. Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio}y pesos iguales a distancias desiguales no están en equilibrio}y hay inclinación hacia el lado del peso que está a mayordistancia.

2. Si dos pesos a distancias cualesquiera están en equilibrio y a uno de ellos se le aFiade algo, entonces dejan deestar en equilibrio y hay inclinación hacia el lado del peso alque se le ha afzadido.

3. De 7nanera similar} si se quita algo a alguno de lospesos} entonces dejan de estar en equilibrio y hay inclinaciónhacia el peso no disnúnuido. '

4. Los centros de gravedad de figuras planas iguales quesuperpuestas coinciden} también coinciden..

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l .•,.

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5. Los centros de gravedad de figuras desiguales, perosemejantes, están situados semejantemente.

6. Si dos magnitudes están en equilibrio a cierta distancia, entonces otras magnitudes iguales a aquéllas tanzbiénestarán en equilibrio a la núsma distancia.

7. El centro de gravedad de una figura cuyo perúnetroes cóncavo en la 711,isnza dirección, está en el interior de lafigura.

En los postulados específicamente hilométricos 1, 2) 3 Y6 se introducen como prilnitivas varias nociones ajenas a lageometría euclidiana, tales con10 «equiliblio», «desequiliblio»)«igual peso» y la operación de combinación de pesos, quetienen un claro Oligen técnico.

Se entiende que, en dichos postulados) ArqLún1edes serefiere a cuerpos suspendidos de los· brazos de una balanza.En los tres plimeros postulados el término utilizado es ~apEa

(pesos)) lnientras que en el sexto aparece JlE'YÉ8Ea (magnitudes), término que incluye tanto figuras planas comosólidos. En cualquier caso, se da por supuesto que n1agnitudes iguales tienen igual peso.

De las proposiciones que se prueban a partir de dichospostulados las siguientes pertenecen a la mecánica de labalanza:

1. Pesos que se equilibran a distancias iguales son iguales.

2. Pesos desiguales a distancias iguales no se equilibran,sino que hay inclinación hacia el peso mayor.

3. Si pesos desiguales se equilibran a distancias desiguales, el peso mayor estará a 7'nayor distancia.

4. Dos magnitudes comnensurables se equilibran a distancias inversanzente proporcionales a ellas.

5. Asímismo, cuando se trata de lnagnitudes incomnensurables, éstas se equilibran a distancias inversamente proporcionales a ellas.

En la demostración de las proposiciones es frecuente elempleo de la prueba por reductio ad absurdwn. La pruebade la proposición prünera) p. ej., dice:


Pues, si son desiguales, quítese del mayor la diferencia entre los dos. Los restantes no se equilibrarán[Post. 3); lo cual es absurdo. Por tan to los pesos nopueden ser desiguales.

y la proposición segunda se prueba como sigue:

Pues, si se quita del mayor la diferencia entre losdos, los pesos iguales que quedan se equilibrarán[Post. 1]. Por tanto, si se ai'1ade de nuevo lo que sehabía quitado, los pesos no se equilibrarán, sino quehabrá inclinación hacia el lado mayor [Post. 2].

El tratado de Arqtúmedes teoriza la antigua hilOlnetríamecánica, es decir, la técnica metrológica de la detenninación de lnasa mediante la balanza. Dicha técnica consiste enprocedimientos basados en las nonnas de construcción yuso de las balanzas.

Las nonnas de construcción tienen por objeto realizartécnicamente determinadas exigencias o condiciones de funcionamiento que ha de satisfacer el instrumento.

En el caso de la balanza de brazos iguales, las condicionesoperativas fundmnentales son tres:

1a. La condición del estado de equilibrio para nlasasequivalentes.

2a. La condición de sensibilidad' para cualquier aunlento

o disminución de las lnasas, la balanza ha de reaccionarabandonando el estado de equilibrio e indicando el carácterde la variación que ha tenido lugar.

3a. La condición de estabilidad: el estado de equiliblio

permanece inalterado por substituciones de nlasas equivalentes, p. ej., al cambiar de platillo lnasas en equilibrio.

En los postulados que Arquímedes fonnula en Sobre elequilibrio de los planos, las normas correspondientes a laseXigencias a realizar técnicamente por el constructor deuna balanza que realiza dichas condiciones operativas deuna fonna ideal.

Así, la condición de equilibrio se cumple en el postulado1. Los postulados 2 y 3 corresponden a la condición desensibilidad. Por último, el postulado 6 equivale a la condición de estabilidad.

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Al igual que los postulados representan la conceptualización teórica de las condiciones operativas que caracterizan la construcción de la balanza, las proposiciones mecánicas corresponden al uso de la misnla.

En las dos primeras proposiciones se resume el procedimiento básico de la hilometlia mecánica. A saber: laforma de deternlinar la igualdad de lnasa en relación alestado de equilibrio de la balanza en la proposición 1, nlientras que la proposición 2 corresponde a la forma de determinar la desigualdad de lnasa en relación al estado de desequilibrio.

En el proceso de teorización de la hilometlia nlecánica,las especificaciones exigidas al constructor y las instrucciones a seguir por el utilizador de la balanza se traducen enpropiedades de un instrumento que no es un artefacto realizado o realizable técnicmnente. Ya que, en la prueba dedeterminados teorenlas, se exige implícitamente de la balanza teórica una serie de condiciones adicionales prácticamente irrealizables.

Las condiciones en cuestión son tanto de carácter fOrlnal(como p. ej., brazos absolutamente rectilíneos, fulcro estríctanlente puntuaL.), como de carácter material (densidadperfectamente homogénea, rigidez ililnitada...) y funcional(cOlno la estabilidad absoluta, la capacidad ilimitada y unasensibilidad potencialmente infinita capaz de reaccionar asegnlentos infinitesimales de figuras geométricas).

Se trata, pues, de un artefacto mecánico cuya existenciase da por supuesta en un discurso ficticio acerca de instrumentos que realizan de forma ideal (es decir, absoluta einsuperable) las condiciones objeto de realización en la construcción técnica.

Los procedünientos hilométricos mecánicos se derivan,conlO proposiciones acerca de los ültrunlentos ideales, apartü" de la supuesta realización ideal de las exigencias deconstrucción fornlulada en los postulados.

En la sistematización teórica, la función óptima se derivade la realización ideal, de forma que ambas vertientes técnicas, la de la construcción y la del uso, quedan lógicmnenterelacionadas.


3. El concepto de masa estática

En la mecánica teórica de la balanza queda definido unconcepto lnétlico de masa 6 que es fundamental para laaplicación del método de Arquímedes. Dicho concepto demasa se refiere a las figuras geométlicas, de las que sesupone que tienen una masa proporcional a su superficie ovolumen, es decir, una misma densidad homogénea.

Consecuentemente, una vez establecida la razón de lasn1asas de dos figuras geométricas, queda también determinada la razón de las áreas o volúmenes correspondientes. Alconocerse además, según el método arquimédico, el valorde la superficie o volUlnen de una de las figuras, el correspondiente a la otra, que es el que se trata de averiguar, esasünismo computable 7.

El lnétodo de Arquímedes no requiere, pues, valores absolutos de lnasa ni, por tanto, la elección de un patrón demasa para fijar una escala detenninada. Se trata de unconcepto n1étrico «relativo», en el que los valores detern1inados corresponden a razones de masa.

La detenninación de dichos valores hilométricos conforlne al concepto de masa implícito en el método mecánicode Arquín1edes, se realiza mediante el empleo de la balanza.La razón de las masas es igual a la razón inversa de lalongitud de los brazos de la balanza en estado de equilibrio.

La lnislna metrización mecánica del concepto de lnasano es, pues, completamente independiente de magnitudesgeon1étlicas, por suponer la determinación previa de valoresproporcionales para n1ediciones lineales.

La correspondencia entre los valores hilométricos y lasn1agnitudes geométricas es fundamental para la integracióndel concepto arquilnédico de masa en la teoría de las razones y proporciones, que puede considerarse con10 la teoríageneral de la lnedición de la época clásica 8.

El tratan1iento geométIico de las magnitudes hilométlicaspennite a Arquímedes la teorización ,de relaciones entremagnitudes inconmensurables, a pesar de que los valoresde 'lnasa se detern1inan sólo para razones conmensurables.Así se prueba en la proposición séptima de Sobre el equilibrio de los planos la «ley» de la palanca-balanza para dosmagnitudes incomnensurables.

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La deter1l1inación según el 111étodo de Arquímedes de lasrazones de masa distintas de la unidad se basa en las proposiciones sexta y séptima de Sobre el equilibrio de losplanos, donde se enuncia, de forma general, la proporcionalidad inversa entre las masas y las longitudes de los brazosde la balanza en estado de equilibrio.

Pero precisamente la prueba de dichas proposiciones hasido muy discutida, desde que Mach la sometió a una críticadecisiva, poniendo de manifiesto que Arquímedes presuponeexactamente lo que intenta delnostrar.

A raíz de la crítica de Mach, se han publicado nmnerosostrabajos dirigidos a salvar el honor del gran n1atelnáticogriego. Pero lo que se ha podido aclarar es que habría queañadir a los postulados originales no pocos supuestos tácitos(algunos específicamente geométricos, COlno los relativos alos centros de gravedad de las figm"as planas etc.), parapoder deducir, de alguna forma, las proposiciones en cuestión 9.

Sin embargo, como se expone a continuación, es posibleuna n1etrización equivalente del concepto de masa sin haceruso de las proposiciones sexta y séptnna del tratado deArquímedes.

El concepto 111étrico de masa resultante está libre, porotra parte, de la limitación del concepto· arquimédico a unaInis1l1a clase de objetos de densidad homogénea, es decir,cuya masa es proporcional al voluni.en, COlno en el caso delas figm"as geon1étlicas. Pues, el concepto en cuestión esextensivo a elementos de clases diferentes, tanto de densidadhomogénea como no homogénea.

Con la ayuda de la balanza de brazos iguales pode1l10sdefinli", en plimer lugar, la noción de densidad homogéneacon precisión:

Un cuerpo es homogéneamente denso si dos partes cualesquiera de él de igual volumen tienen lanúsnza masa, o sea, contrapesados en una balanza debrazos iguales se equilibran.

Es decir, si la razón de los volúmenes de dos partes deun cuerpo hon10géneamente denso es igual a uno, entoncessus lnasas están, por definición, en la n1isma razón 10.

En general, se puede definir la razón de las lnasas en


dos· partes -no necesariamente iguales- de un cuerpohomogéneamente denso como igual a la de los volúlnenescorrespondientes.

Tales definiciones corresponden a la práctica tradicionalen la metrología técnica de determinar nlasas medianteprocedunientos volumétricos, p. ej., para la fabricación dejuegos de pesas metálicas.

De hecho, con la ayuda de la balanza de brazos iguales yprocedilnientos volumétricos se pueden establecer exigenciasde homogeneidad para la realización y reproducción decuerpos homogéneamente densos con determinadas relaciones de masa. Mediante la utilización de los mismos comoelementos de comparación, es posible defum" la razón de lasmasas para cuerpos cualesquiera, incluidos los de distultosmateriales.

En concreto, la razón de las masas de dos cuerpos cua1esquiera se detennula como la razón de los volÚlnenes dedos partes de un cuerpo homogéneamente denso iguales enmasa, respectivamente, a dichos cuerpos. Este procedilnientoopera la detenninación de razones de masa con la solaayuda de la balanza de brazos iguales, sin necesidad de fijarun patrón de masa.

4. Técnica y conceptos científicos

El concepto de lnasa introducido en el apartado anteriora partir del concepto arquinlédico, representa un conceptode lnasa estática, dado que su nletrización no presuponeningún procedulliento o concepto métrico de tiempo ni,menos aún, de fuerza, sino tan sólo la medición de longitudes y volúmenes.

La detenninación de los valores correspondientes a lasrazones de masa es uldependiente de la física teórica, al norequeru' este proceduniento ninguna teOlia física previa.Tmnpoco requiere la capacidad de determular, teórica uoperativamente, fuerzas, gravitatOlias o de otro tipo, eventualmente intervinientes. En la práctica, los procedimientoshilOlnétricos nlecánicos funcionaron con precisión muy anteriormente a las teorizaciones dinámicas ele la física moderna 11.

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Conlo se ha puesto de manifiesto, el concepto de masaestática, implícito en el método mecánico de ArquÍlnedes yformulado en la mecánica teórica de la balanza, constituyela teorización estática de las técnicas hilométricas tradicionales.

En el tratado arquimédico Sobre el equilibrio de losplanos, las nonllas que corresponden a exigencias a realizartécnicamente por el constructor del instrumento, se conceptualizan en los postulados como estados y propiedades deuna balanza que realiza dichas exigencias de una formaideal. De los postulados se derivan, conlO proposiciones acerca de la balanza ideal, los procedimientos hilométricos correspondientes al uso de la misma.

El sistenla formado por los postulados y teoreInas constituye la base de la hilometría teórica que ArqUÍllledes aplicaen el método mecánico.

COlno se deInuestra en el anexo, esos mismos postuladosy proposiciones arquimédicas definen una estructura hilométrica que satisface las condiciones fornlales deternunantesde una escala proporcional, es decir, un concepto nlétricode masa.

Sin embargo, la reconstrucción fornlal del concepto hade deslindarse claramente de las interpretaciones estructuralistas de la Inisma, en las que se encubre el contenidotéCIUCO de los conceptos científicos al interpretar la nlayorparte de las condiciones formales conlO leyes de la naturaleza.

Así, en un conocido Inanual de la filosofía estructuralistade la ciencia, donde se introduce el concepto de Inasa conla ayuda de la balanza, se dice, refiriéndose a la condiciónde simetría 12, que esta representa una hipótesis generalempírica, que es válida para nuestro Inundo, pero «podríaexistir un Inundo en el que esto no valiera» 13.

Para contrastar la validez de tales lupótesis se presupone,a su vez, la hipótesis de que la balanza «funciona correctamente». La comprobación de esta últiIna hipótesis escapa alas posibilidades del autor, a quien sólo se le ocurre, a modode control negativo, que la balanza no esté «oxidada o torcida» 14. Por lo demás, él se pone en nlanos del «fabricmite demi balanza» 15, quien le «garantiza el funcionamiento correcto» 16.


La característica c0111bil1ación de prejuicios teoricistas e«ingenuidad» técnica, se enriquece, todavía más,· con unabuena dosis de desconocimiento histórico.

Stegmüller nos asegura que estaríamos obligados «a renunciar a la operación de pesar con una balanza comon1edio para la introducción del concepto comparativo depeso» 17 en caso de que se comprobara (por supuesto, conla ayuda de una balanza que funcionara correctamente) elincumplimiento de la hipótesis.

Dejelnos de lado el hecho de que las balanzas se construyeron y usaron con toda precisión miles de años antesde que a los filósofos se les ocurriera hablar de conceptos,hipótesis y teorías.

Ahora bien, si la simetría de la relación de «tener igualpeso» se interpreta como una «peculiaridad de nuestromundo» 18 propia de los cuerpos, constatable, en todo caso,mediante una balanza que funcione correctan1ente, tenelnosque el incumplin1iento de dicha condición es inconstatable.

Pues, la condición de simetría representa, precisaInente,el criterio disponible para comprobar previamente el funcionamiento, supuestan1ente correcto, de la propia balanza.

Se trata de la regla clásica para cOlnprobar la correcciónde una balanza. El procedimiento consiste en cambiar deplatillo dos cuerpos en equilibrio y comprobar si éste per111al1eCe inalterado. Dicha regla representa una norma queha de satisfacer el funcionamiento de la balanza y, en definitiva, un objetivo a realizar por el constructor, a saber, queel instrun1ento satisfaga la condición exigida.

Al contrario de algunos filósofos de la ciencia, Arquímedes no desconocía esta regla, pues estaba familiarizado conel uso de balanzas. La formulación teórica de la miSlna seencuentra en el postulado 6 de Sobre el equilibrio de losplanos.

De hecho, si eventualmente se constatara una asimetría,no pensaríamos que se ha alterado alguna regulaIidad natural, sino, 111ás bien, que la balanza en cuestión no está enorden.

Las estructuras mediante las que se caracterizan forn1allnente los conceptos 111étricos no representan un dOlninionatural e111píricamente dado que satisface de forma actualdetern1inadas condiciones, sino un dominio operativo gene-

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rabIe técnicamente mediante procedllllientos e instrumentosde medición.

Al igual que la hilometría nlecánica, las técnicas metrológicas, en general, están constituidas fundamentalnlente pordos clases de normas:

1) Las normas o exigencias de funcionamiento que hande satisfacer loslllstrumentos de medición (las cuales representan objetivos a realizar técnicamente conforme a detennllladas reglas de construcción).

2) Las normas o instrucciones de uso de dichos instrumentos para la determinación de valores métricos.

En el nlarco de la conceptualización teórica y, de formaderivada, en la reconstrucción estructural de los conceptosmétricos, las normas y exigencias técnicas se fonnulan comeenlillciados. asertorios o como condiciones formales, respectivanlente, referentes a propiedades y relaciones de objetos.

La fornlulación teórica, sin embargo, presupone tácitamente la existencia -ficticia- de lllstnirnentos metrológicosideales, es decir, que satisfacen las exigencias operativas deuna fonna absoluta e lllsuperable.

Las condiciones formales de las estructuras lnétricas corresponden, pues, a nonnas de correcto funcionamiento yuso de los instrumentos de nledición y, en definitiva, aexigencias que han de realizarse técnicamente en la construcción de los nlisnlOS y en los procesos de medición.

Las realizaciones técnicas podrán ser más o nlenos aproximadas, determinando así la perfección relativa de los procedinlientos metrológicos concretos. En el donlinio teórico,se da por supuesta la realización ideal de las exigencias deconstrucción y uso.

Los conceptos métricos tienen, pues, un carácter teóricOen cuanto son el resultado de la conceptualización y sistematización teórica de procedilnientos e lllstrumentos de lnedida, o sea, de técnicas metrológicas. A su vez, dan lugar atécnicas científicas, es decir, tecnolOgías (como p.ej., losprocedimientos matemáticos del método de Arquínledes) y,en general, a fructíferos tratanlientos matenláticos de losresultados de la medición.

Los conceptos y las teorías científicas constituyen unode los objetos de investigación de la filosofía de la ciencia~


Sin embargo, para con1prender el proceso que conduce dela metrología técnica a los conceptos científicos y sus resultados tecnológicos, es preciso, además de reconstruir la estructura teórica de los conceptos, poner de manifiesto yreconstruir detenidamente el entramado técnico subyacente.

Frente a esta tarea, que requiere ocuparse de la génesisde los conceptos y de las teorías científicas, la filosofía de laciencia es inseparable de la filosofía y de la historia de latécnica.

Anexo

Los postulados y proposiciones de la teoría arquimédicade la balanza definen una estructura extensiva. Es decir, lahilometria teórica de la balanza ideal genera una estructuran1etrizable mediante una escala proporcional.

Para que de un sistema <A, ~, <, !1 > puedan probarselos teoremas de representación y unicidad correspondientesa una escala proporcional, este ha de satifacer las siguientescondiciones:

Para cada x, y, v, z de A

1. x~x

2. Si x~y, entonces y-x3. Si x~y e y-z, entonces x~z

4. Si x<y e y<z, entonces x<z5. Si x~y, entonces no x<y6. x<yo y<x o x-y7. x!1ysA8. x!1y ~ y!1x9. (x!1y)!1z ~ x!1(y!1z)

10. Si x~y y v~z, entonces x!1v ~ y!1z.11. Si x<y y v~z, entonces xL\, v < y!1z.12. Si x<y y v<z, entonces x!1v < y!1z.13. Si x~y, entonces x<y!1z.14. Para cada x, y hay un zsA: si x<y, entonces y~x!1z.

15.. Para cada x, y hay nsN: si x<y o' x~y, entoncesy<n.x o y~n.x; donde n.x se define recursivamente: 1.x=x,(n+1).x=n.x!1x

Las relaciones 'de coincidencia ~ y de precedencia < del

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50Manuel Medina

sistema hilOlnétrico de Arqtúmedes se definen, respectivamente en las proposiciones 1 y 2. Se trata de definicionesoperacionales, basadas en la constatación de los resultadosde comparar dos magnitudes en la balanza. Más explícitaaún si cabe, es la definición que encabeza el Libro sobre labalanza) el tratado atribuido a Euclides que inaugura eltratamiento teórico seguido por Arquímedes:

[Definición] El peso es la medida de la pesadez yde la ligereza de una cosa confrontada con otra pormedio de una balanza.

La operación de cmnbinación Ll+ consistente en «añadiralgo» a una «n1agnitud» situada en una balanza, está perfectamente caracterizada en el postulado 2, así COlno la operación inversa de «quitar algo» en el postulado siguiente.

Para dichas relaciones ~ y > junto con la operación Ll, elsistenla hilométrico de Arquímedes satisface todas y cadauna .de las condiciones formales anteriores, tal COlno selnuestra a continuación:

5. Si x~y) entonces no x<y

Cmnplimiento implícito en las definiciones operativas correspondientes a ~ y < dado que los estados de equilibrio ydesequilibrio de la balanza se excluyen nlutuamente.

Una fornlulación explícita de dicha condición se encuentra en el fragnlento de la hidrostática de Arquímedes conservado en árabe con el título Sobre la pesadez y la ligereza.'

Decimos que un cuerpo es más pesado que otrocuerpo (.. .) cuando) (...) después de haberlos pesado)uno de ellos se revela más pesado que el otro. Pero sisu peso es igual, entonces no se puede decir que

.uno de ellos es más pesado que el otro.

6. x<y o y<x o x~y

Las relaciones ~ y < están definidas para objetos lnanejables en la balanza y los estados hilOlnétricamente relevantes de la miSlna (equilibrio y desequilibrio hacia uno y otrolado) se excluyen mutuamente.


7. x.6.YEA

En el Método de Arquímedes se da por supuesta la c'apacidad ilimitada de la balanza y las combinaciones de magnitudes son, a su vez, objeto de comparación hilométrica.

13. Si x~y, entonces x<yD.Z

Postulado 2:Si dos pesos a distancias cualesquiera están en equilibrio

y a uno de ellos se le añade algo, entonces dejan de estar enequilibrio y hay inclinación hacia el lado del peso al que sele ha añadido.

14. Para cada x, y hay un zEA: si x<y, entonces y~XD.Z

En las de1110straciones correspondientes a las dos pd.l11eras proposiciones (pág. 9), Arquímedes supone claran1enteque dadas dos lnagnitudes desiguales, existe la diferenciaentre ambas capaz de equilibrarlas.

15. Para cada x, y hay nEN' si x<y o x~y, entonces y<n.x oy~n.x; donde n.x se define recursivmnente: l.x=x, (n+l).'x == n.x.6.x

Arquímedes en Sobre la esfera y el cilindro:

La müyor de dos magnitudes dadas, sean líneas,supeljicies o cuerpos, excede a la lnenor en unadiferencia que aiiadida a sí misnw repetidmnentellega a superar cada una de mnbas 71wgnitudes.

El resto de las condiciones tiene que ver, de Lma u otraforma con tres principios fundamentales de la hilon1etliateórica de Arquímedes:

1. Principio de equivalencia. PE

Magnitudes iguales S071 hilométricamente equivalentes, es decir,tienen la misma masa. Las combinaciones de magnitudes igualesrepresentan, a su vez, magnitudes iguales.

Este principio es fundamental en el 111étodo mecánico,basado en que la 111asa de las figuras geométricas es proporcional a la superficie o volumen respectiva de las miSlnas.

Como n1agnítudes iguales no sólo se consideran figuras

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52Manuel Medina

geométricas iguales, sino también, como era común en lageometría griega, figuras geométricas con idéntica superficieo volumen, respectivamente. Las combinaciones de nlagnitudes iguales representan, a su vez, magnitudes iguales.

n. Principio de substitución de equivalentes. PSE

El estado de equilibrio de la balanza es invariante respecto a lasubstitución, total o parcial, de magnitudes por otras hilométricamente equivalentes.

Postulado 6:Si dos magnitudes están en equilibrio a cierta distancia,

entonces otras magnitudes iguales a aquéllas también estaránen equilibrio a la misma distancia.

La aplicación que Arquímedes hace de este postulado,deja bien claro que el mismo no se refiere solanlente a lasubstitución total de magnitudes en equilibrio en una balanza' sino también a substituciones parciales de elementos decombinaciones.

ID. Principio de substitución de desiguales. PSD

Partiendo del estado de equilibrio, la substitución, total o parcial,de una m-agnitud por otra mayor inclina la balanza hacia el lado enque. ésta tiene lugar. Inversamente, la substitución por una magnitudmenos desequilibra la balanza hacia el lado opuesto.

Postulado 2:Si dos pesos a distancias cualesquiera están en equilibrio

ya uno de ellos se le aPíade algo, entonces dejan de .estar enequilibrio y hay inclinac;ión hacia el lado del peso al que sele ha afzadido.

Postulado 3:De manera similar, si se quita algo a algunos de los

pesos, entonces dejan de estar en equilibrio y hay inclinaciónhacia el peso no disminuido.

Dado que siempre existe la djferencia entre dos magnitudes desiguales (condición (14)), la substitución de unamagnitud por otra mayor puede definirse COlTIO añadir ladiferencia entre ambas e, inversamente, la substitución poruna menor equivale a quitar la diferencia.

Con la ayuda de estos tres principios generales, se puededemostrar el cUl11plimiento de las restantes condiciones:

por (14), ~ es la diferencia entre y, zpor (14), u es la diferencia entre x, ypor PSD, pues x<x.1u e y<y.1~ por (13)por PSE, pues y.1~ ~ zq. e. d.

por PE y postulado 1por PSEq. e. d.

por PE y postulado 1por PSEpor PSDq. e. d.


1. X~X

Por PE y postulado 1.

2. Si x~y, entonces rXSea x~y

y~x por PSE

3. Si x~y e y...-z, entonces X~ZSea x~y e y~z

x~z por PSE

4. Si x<y e y<z, entonces x<zSuponemos el antecedente.x<y e y<zsea y.6.~ ~ zsea x.6.u ~ y

x< y.6.~

x<z

8. x.1y ~y.1x

por PE y postulado 1, puesto que se trata de combinaciones de magnitudes iguales.

9. (x.1y).1z ~x.1(y.1z)

x.1y.1z ~ x.1 Y .1z por PE y postulado 1(x.1y).1z ~ x.1y.1z . por PE y PSE, pues x.1y y (x.1y) son

equivalentesx.1y.1z ~ x.1(y.1z) por PE y PSE, pues y.1z e (y.1z) son

equivalentes(x.6.y)Liz ~ x.1(y.1z) por (3)

q. e. d.

10. Si x~y y v~z, entonces x.1v ~ y.1zSea x~y y v~z

xLiv ~ xLivx.1v ~ yLiz

11. Si x<y y v---z, entonces x.1v < y.1zSea x<y y v~z

xLiv ~ xLivx.1v ~ xi\zxLiv < yLiz

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por PE Ypostulado 1por PSDq. e. d.

54Jl.1.anuel Medina

12. Si x<y y v<z} entonces xilv < yilzSea x<y y v<z

xilv ~ xilvxilv < y ilz

Notas

Sin embargo, no está claro que esa sea precisamente la noción dedensidad a la que se refiere Newton. De la definición de masa se desprendeque para Newton el concepto de densidad era una noción primaria metodológicamente anterior a la de masa, si bien en el curso de la obra no sehace referencia explícita a ningún procedimiento para determinar métdca-mente la densidad. .

2 A diferencia de Aristóteles y la .escolástica medieval, Newton noconcibe el peso como un factor inmanente de los cuerpos, sino como unainfluencia extelior de fuerzas gravitatorias. Dado que los cuerpos gravitanen proporción a la cantidad de matelia que respectivamente contienen, elpeso es proporcional a la masa en un lugar determinado. Sin embargo,peso y masa no son conceptos idénticos, puesto que el peso varía, p. ej., endistintos puntos de la tierra, mientras que la masa se considera constante.

3 AW1que en la época moderna se han ido introduciendo otros tiposde instrumentos para pesar, el modelo clásico de balanza continúa actualmente en uso. Con la incorporación de diversos dispositivos y perfeccionamientos, se han conseguido balanzas analíticas de SW11a precisión.

No obstante, se dan dos tipos de error sistemático inherentes a labalanza de doble platillo. El plimero consiste en la imposibilidad de producir, incluso en la actualidad, brazos de absolutamente idéntica longitud. Elseglmdo es un error de sensibilidad, ya que la respuesta de la balanza a lmmismo peso adicional vmia según la carga que sopOlian los platillos.

Estos inconvenientes quedan eliminados en una variante moderna de labalanza tradicional, denominada balanza de substitución. Dicha balanzadispone de un solo platillo y en el otro brazo lleva un contrapeso fijo. Elprocedimiento de pesada consiste en contrapesar el peso fijo con pesas deprecisión situadas en el brazo del platillo. Una vez logrado el equilibrio, secoloca en el platillo el cuerpo en cuestión y se van retirando las pesasnecesmias hasta restablecer el estado de equilibrio. El peso del cuerpoviene dado por las pesas que han sido retiradas.

4 La aleación de oro y plata o electrwn fue conocida desde muyantiguo y pronto se planteó el problema de distinguirlo del oro pW'O. Lacomprobación de la pureza de los metales preciosos se realízaba medianteel procedimiento de contrapesar la muestra en cuestión con un volumenigual del mismo metal puro. En caso de darse el equilibdo de la balanza, seconsideraba que el metal de la muestra era auténtico.

s La técnica de cómputo de objetos era conocida hace más de treintamil años. De esta época se conserva la primera representación numérica


conocida, consistente en varios huesos de lobo en los que se hallan practicadas series de muescas, que representan piezas de caza. Las marcas estándivididas en grupos de veinticinco por una incisión mayor.

La metrología geométrica se deriva de técnicas sacerdotales para laconstrucción de altares y disposiciones rituales con formas exactamentereproducibles (como círculos, cuadrados etc.), en cuyo diseño se empleabanestacas y cuerdas.

Posteriormente, las técnicas de configuración geométrica mediante formas homogéneas se secularizan, dando paso a la agrimensura. Esta tieneuna gran importancia en el antiguo Egipto, donde los funcionarios realesdebian reconstruir los lindes de los campos después de cada inundacióndel Nilo.

La medición se efectuaba mediante una cuerda contrastada que eramanejada por dos ayudantes, mientras que tres escribas anotaban losresultados en el libro del catastro.

En Mesopotamia se utilizaban los procedimientos de agrimensura mediante cuerda de medición y estacas para la parcelación de tierras realesdestinadas al arrendamiento.

La antigua geometlia operativa se ocupaba, asimismo, de la medición yel cálculo en la construcción de edificios y objetos materiales como formashomogéneas, como pirámides, columnas, ladrillos... La medición lineal erala base del cálculo de superficies y volúmenes, que se realizaba conformea sistemas de reglas y procedimientos expuestos en la solución de problemasconcretos.

6 Cf. anexo.7 Arquímedes combina en su método la hilometlia geométrica y la

mecánica de una forma muy parecida al antiquísimo procedimiento paradeterminar la pureza de una muestra de metal contrapesándola con unvolunlen igual del metal auténtico. Cf. nota 4.

8 La primera formulación de lila teoria de la medición se debe a lospitagóricos. Según su doctrina, relaciones no nunléricas eran representablescomo relaciones entre números enteros, es decir, razones numéricas. AsÍ,en la teolia pitagórica de la música se representan las relaciones armónicascomo relaciones de longitudes y los tonos musicales con sus respectivosintervalos como números racionales.

Sin embargo, el descubrimiento posteIior de la inconmensurabilidadpuso de manifiesto que, si bien podían representarse relaciones entre números enteros como relaciones entre segmentos rectilíneos, la representación inversa no era factible de lila forma general. Pues, dada una unidadde medida por más pequeña que esta sea, siempre existen magnitudesincomensurables respecto de la misma.

La constatación de la inconmensurabilidad trajo la crisis a las doctrinaspitagóIicas y condujo a nuevos planteamientos que no requeIian lilamedición absoluta.

Teeteto y Eudoxo de Cnido elaboran lila teOlia puramente geométIica,la teOlia de las razones y proporciones, que representa una teOlia de lamedición basada en valores métricos relativos que no requieren fijar lilaunidad de medida.

De acuerdo con la nueva teOlia (sistematizada posteriormente por Eucli-

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56Manuel Medina

des en los libros V y X de los Elementos), las relaciones entre magnitudesno geométricas, tanto conmensurables como inconmensurables, se puedenrepresentar como relaciones proporcionales geométricas reducibles, en último término, a medidas lineales.

El primado geométrico establecido por la teona de las proporciones enla metrología teórica, corresponde a la prioridad metodológica de los procedimientos geométricos en la técnica metrológica. La geometria no essólo históricamente anterior, p. ej., a la hilometria, sino que las primerasformas de determinación de la masa son volumétricas y los mismos procedimientos mecánicos dependen de mediciones geométlicas, tanto para laconstrucción de balanzas como para la producción de sistemas de pesas.

9 La intención de la prueba desarrollada por Arquímedes era reducirla balanza de tipo «romana» a la forma más simple con brazos iguales, demanera que quedara teólicamente legitimado su uso para la determinaciónde razones de masa, que requería el método mecánico.

Sin embargo, al no ser impecable la demostración, la determinaciónmecánica de los valores hilométlicos no puede considerarse teóricamentecoherente, ya que ArqLúmedes presupone un instrwnento de medida querebasa su propia teOlia.

Los postulados formulados en Sobre el equilibrio de los planos noincluyen Wla conceptualización teórica de la romana sinillar a la formuladapara la balanza de brazos iguales. El presupuesto fundamental de unaconceptualización tal, a la manera de Arquímedes, podna formularse comosigue:

Pesos iguales están en equilibrio a distancias desiguales inversamente proporcionales a los mismos.

A partir del postulado anterior, se puede reconstruir fácilmente la relación de coincidencia que corresponde a un concepto métrico de masadefinible mediante la romana. Este instrumento opera la determinación devalores hilométlicos que Arquímedes utiliza sin ningLU1 presupuesto explícitoprevio, con excepción de los relativos a la balanza de brazos iguales.

10 Tales conceptos se encuentran implícitos en el procedimiento conque Arquímedes, según el relato de Vitrubio, descubrió el fraude de lacorona de Hierón:

Arquímedes supone que dadas dos partes de un cuerpo de densidadhomogénea (en el caso en cuestión se trata del oro), si la razón de lasmasas, establecida mediante la balanza, es igual a W10, entonces la razónde los volLunenes es, asimismo, igual a la unidad, o sea, también tienen elmismo volumen. Arquímedes toma una pieza de oro de la que ha comprobado, mediante la balanza, que tiene igual masa que la corona. A continuación constata la desigualdad de los volúmenes correspondientes, por lo queafirma que no se trata del mismo material, es decir, oro puro.

El descubrimiento de ArqLúmedes no es otra cosa que una variante delantiguo procedimiento para comprobar la autenticidad de metales preciosos,consistente, como ya se ha descrito, en establecer la igualdad de volúmenesy comprobar la igualdad de masas. (cf. nota 4) Arquímedes establece laigualdad de las masas y comprueba si el volumen es el mismo.

11 En contra de lo que quieren los filósofos estructuralistas los concep-


tos teólicos no presuponen la validez de teorías sino el funcionamiento detécnicas metrológicas.

12 Para toclo x, y, si el objeto x contrapesa el objeto y, entonces elobjeto y contrapesa el objeto x.

13 STEGMüLLER, W.: Probleme und Resultate del' Wissenschaftstheorieuncl analytischen Philosophie. Bcl. II: Theorie uncl Erfahrung. Heidelberg/New York, 1970. Tracl. Teoría y Experiencia. Barcelona, 1979. p. 50.

14 STEGMüLLER: op. cit. p. 51.15 STEGMüLLER: op. cit. p. 79 s.16 STEGMüLLER: op. cit. p. 79.17 STEGMüLLER: op. cit. p. 51.18 STEGMüLLER: op. cit. p. 50.

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