la regla de ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la...

7/22/2019 La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fcilmente el cociente y el resto de la divisin de un polin

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La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fcilmente el cociente y el restode la divisin de un polinomio por un binomio de la formax-a. Veamos el algoritmo con

un ejemplo, consideremosP(x)=2x3+ x

2- 3x + 5y Q(x)=x-1. La divisin se realiza como

sigue:1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los

coeficientes de cada trmino . Si no apareciese algn trmino entre el demayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el nmeroque se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente deltrmino de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se hacolocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo delcoeficiente del trmino siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el nmero situado a laizquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El ltimo nmero (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto dela divisin mientras que el resto de nmeros de la fila inferior son loscoeficientes del cociente.

Resto = 5 y C(x)=2x2+ 3xpor tanto 2x3+ x2- 3x + 5 =(x-1) (2x2+ 3x) +5

entre Q(x)=

Suma de polinomios.Para sumar polinomios, sumamos entre s aquellosmonomios que tengan la misma parteliteral.

Por ejemplo, consideremos los polinomiosP(x)= 3x5+ 2x3- 5x2+ 6 y Q(x) = 8x3+ 3x2- x - 4El polinomio resultante de la suma P(x) + Q(x)= 3x5+ 10x3- 2x2- x + 2

Fjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece en un polinomio los hemos copiado y hemos sumadoaquellos monomios que tenan la misma parte literal:2x3+ 8x3 = 10x3-5x2+ 3x2 = -2x36 - 4 = 2

Resta

Resta de polinomios.Para restar polinomios, restamos entre s aquellosmonomios que tengan la misma parteliteral.

Por ejemplo, consideremos los polinomios

P(x)= 3x5+ 2x3- 5x2+ 6 y Q(x) = 8x3+ 3x2- x - 4El polinomio resultante de la resta P(x) - Q(x)= 3x5- 6 x3- 8x2+ x + 10Fjate, aquellos monomios cuya parte literal aparece slo en P(x) se dejan tal cual, a los que aparecenslo en Q(x) se les cambia el signo y restamos aquellos monomios que tenan la misma parte literal:2x3- 8x3 = -6x3-5x2- 3x2 = -8x36 - (-4) = 10

Producto de polinomios.

Para multiplicar dos polinomios multiplicamos cada monomio del primer polinomio por
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cada polinomio del segundo. Luego sumamos aquellos monomios con la misma parte

literal.

Evaluar un polinomio

Evaluar un polinomio consiste en determinar qu valor toma el polinomio cuando laindeterminada (x)se sustituye por un nmero.

Consideramos el polinomioP(x)=2x3-5x+3evaluar el polinomio en 1 consiste en sustituir la

indeterminada por 1 (x=1)quedandoP(1)=213-51+3=2-5+3=0.

Teorema del resto

El valor que se obtiene al evaluar un polinomio enx=acoincide con el resto de dividir ese

polinomio porx-a.

Si dividimos un polinomioP(x)porx-ase obtendr un cociente C(x)y un resto r.En toda divisin el dividendoP(x)es igual al divisorx-apor el cociente C(x)ms el

resto r, es decir,P(x)=(x-a)C(x) + r.Al evaluar el polinomio en el punto se tiene

P(a)=(a-a)C(a) + r , como a-a =0entoncesP(a) = rGracias a este teorema podemos usar la regla de Ruffini para evaluar un polinomio en unpunto.

Evala el polinomioP(x)=2x3-5x+3enx=1usando la regla de Ruffini

P(1) = 0ya que 0 es el resto de la divisin deP(x)entrex-a

Raz de un polinomioDiremos que un nmerox=aes raz de un polinomioP(x)si alevaluarPen ase anula, esdecir,P(a)=0.Un polinomio es divisible por otro si al realizar la divisin el resto es 0.

Por tanto, si aes raz de un polinomioP(x), teniendo en cuenta el teorema del resto,

podemos afirmar queP(x)es divisible porx-a.Si aes una raz de un polinomio entonces adivide al trmino independiente.

DadoP(x) = cnxn+ cn-1x

n-1+...+ c1x + c0y sea auna raz deP

P(a) = cnan+ cn-1a

n-1+...+ c1a + c0, al sea auna raz,P(a) = 0

cnan+ cn-1a

n-1+...+ c1a + c0= 0 pasamos el trmino independiente al segundo miembro y sacamos

factor comn a a, queda a( cnan-1

+ cn-1an-2

+...+ c1) = - c0de aqu se deduce que la raz es divisordel trmino independiente.

Esto nos permite buscar las races entre los divisores del trmino independiente

Factorizar un polinomioFactorizar consiste en descomponer un polinomio como producto de otros ms simples.Cuando un polinomio no se puede poner como producto de otros ms simples se dice quees irreducible.

Para factorizar un polinomio hallamos su races, si aes una raz deP(x), entoncesP(x)=(x-

a)P1(x), as hemos descompuestoPcomo producto de dos polinomios, reiteramos el
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proceso, ahora conP1y seguimos hasta que nos encontremos con un polinomioirreducible.

Factoriza el polinomioP(x)=2x5-3x

3+4x

2-9x + 6

Usamos la regla de Ruffini, los candidatos a raz sern los divisores de 6, esdecir, 1, -1, 2, -1, 3, -2, 6, -6.Vamos probando hasta que encontremos un valor cuyo resto es 0, repetimosel proceso con los coeficientes del polinomio cociente hasta que no podamoscontinuar, porque lleguemos a un polinomio irreducible.En el ejemplo hemos llegado a un momento en el que no hemos encontrado

races enteras 2x2+3, con este polinomio podemos continuar planteando

una ecuacin de segundo grado, an as no tiene races reales por tanto esirreducible. En la figura de la derecha se observa el proceso.La factorizacin queda:

2x5-3x

3+4x

2-9x + 6 =(x-1)

2(x+2)(2x

2+3)

Ejercicio 1 resuelto

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso

afirmativo, seala cul es su grado y trmino independiente.

1 x4 3x5+ 2x2+ 5

Grado: 5, trmino independiente: 5.

2 + 7X2+ 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio est

dentro de una raz.

3 1 x4


4

No es un polinomio, porque el exponente del primer monomio no es

un nmero natural.

5 x3+ x5+ x2



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6 x 2 x3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2 monomio no es un

nmero natural.

7

Grado: 3, trmino independiente: 7/2.

1 Un polinomio ordenado sin trmino independiente.

3x4 2x

2 Un polinomio no ordenado y completo.

3x x2+ 5 2x3

3 Un polinomio completo sin trmino independiente.

Imposible

4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 x3 x2+ 3x + 5

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 1

Q(x) = x3 3x2+ 6x 2

R(x) = 6x2+ x + 1

S(x) = 1/2x2+ 4


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T(x) = 3/2x2+ 5

U(x) = x2+ 2

Calcular:

1 P(x) + Q (x) =

= (4x2 1) + (x3 3x2+ 6x 2) =

= x3 3x2+ 4x2+ 6x 2 1 =

=x3+ x2+ 6x 3

2 P(x) U (x) =

= (4x2 1) (x2+ 2) =

= 4x2 1 x2 2 =

= 3x2 3

3 P(x) + R (x) =

= (4x2 1) + (6x2+ x + 1) =

= 4x2+ 6x2+ x 1 + 1 =

= 10x2+ x

4 2P(x) R (x) =

= 2 (4 x2 1) (6x2+ x + 1) =

= 8x2 2 6x2 x 1 =

= 2x2 x 3

5 S(x) + T(x) + U(x) =


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= (1/2 x2+ 4 ) + (3/2 x2+ 5 ) + (x2+ 2) =

= 1/2 x2+ 3/2 x2 + x2+ 4 + 5 + 2 =

= 3x2+ 11

6 S(x) T(x) + U(x) =

= (1/2 x2+ 4) (3/2 x 2+ 5) + (x2+ 2) =

= 1/2 x2+ 4 3/2 x2 5 + x2+ 2 =

= 1

P(x) = x4 2x2 6x 1

Q(x) = x3 6x2+ 4

R(x) = 2x4 2 x 2

Calcular:

1 P(x) + Q(x) R(x) =

= (x4 2x2 6x 1) + (x3 6x2+ 4) ( 2x4 2 x 2) =

= x4 2x2 6x 1 + x3 6x2+ 4 2x4+ 2x + 2 =

= x4 2x4+ x3 2x2 6x2 6x + 2x 1 + 4 + 2 =

= x 4+ x3 8x 2 4x + 5

2 P(x) + 2 Q(x) R(x) =

= (x4 2x2 6x 1) + 2 (x3 6x2+ 4) (2x4 2x 2) =

= x4 2x2 6x 1 + 2x3 12x2+ 8 2x4+ 2x + 2 =


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= x4 2x4+ 2x3 2x2 12x2 6x + 2x 1 + 8 + 2 =

= x 4+ 2x3 14x2 4x + 9

3 Q(x) + R(x) P(x)=

= (x3 6x2+ 4) + (2x4 2x 2) (x 4 2x2 6x 1) =

= x3 6x2+ 4 + 2x42x 2 x4+ 2x2+ 6x + 1=

= 2x4 x4+ x3 6x2+ 2x22x + 6x + 4 2 + 1=

= x4 + x3 4x2+ 4x + 3

x4 2x2+ 2) (x2 2x + 3) =

= x 6 2x5+ 3x4 2x4+ 4x3 6x2+ 2x2 4x + 6=

= x 6 2x5 2x4+ 3x4+ 4x3+ 2x2 6x2 4x + 6 =

=x 6 2x5+ x4+ 4x3 4x2 4x + 6

2 (3x2 5x) (2x3+ 4x2 x + 2) =

= 6x5+ 12x4 3x3+ 6x2 10x4 20x3+ 5x2 10x =

= 6x5+ 12x4 10x4 3x3 20x3+ 6x2+ 5x2 10x =

= 6x5+ 2x4 23x3+ 11x2 10x

3 (2x2 5x + 6) (3x4 5 x3 6 x2 + 4x 3) =

= 6x6 10x5 12x4+ 8x3 6x2

15x5+ 25x4+ 30x3 20x2+ 15x +

+18x4 30x3 36x2+ 24x 18 =


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= 6x6 10x5 15x5 12x4+ 25x4+ 18x4+

+8x3 30x3+ 30x3 6x2 20x2 36x2+ 15x + 24x 18 =

=6x6 25x5+ 31x4+ 8x3 62x2+ 39x 18

1 (x5 2x2 3) : (x 1)

R(1) = 15 2 1 2 3 =4

2 (2x4 2x3+ 3x2+ 5x +10) : (x + 2)

R(2) = 2 (2)4 2 (2)3+ 3 (2)2+ 5 (2) +10 =

= 32 + 16 + 12 10 + 10 = 60

3 (x4 3x2+2) : ( x 3)

P(3) = 34 3 32+ 2 = 81 27 + 2 =56

(x3 5x 1) : (x 3)

P(3) = 33 5 3 1 = 27 15 1 0

No es exacta .

2 (x6 1) : (x + 1)

P(1)= (1)6 1 = 0

Exacta.

3 (x4 2x3+ x2+ x 1) : (x 1)

P(1) = 14 2 13+ 1 2+ 1 1 = 1 2 +1 +1 1 = 0

Exacta.


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4 (x10 1024) : (x + 2)

P(2) = (2)10 1024 = 1024 1024 = 0

Exacta.

1 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso

afirmativo, seala cul es su grado y trmino independiente.

1 x4 3x5+ 2x2+ 5

2 + 7X2+ 2

3 1 x4

4

5 x3+ x5+ x2

6 x 2x3+ 8

7

2 Escribe:

1 Un polinomio ordenado sin trmino independiente.

2 Un polinomio no ordenado y completo.

3 Un polinomio completo sin trmino independiente.

4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

3 Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 1

Q(x) = x3 3x2+ 6x 2

R(x) = 6x2+ x + 1

S(x) = 1/2x2+ 4

T(x) = 3/2x2+ 5

U(x) = x2+ 2


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Calcular:

1 P(x) + Q (x) =

2 P(x) U (x) =

3 P(x) + R (x) =

4 2P(x) R (x) =

5 S(x) + T(x) + U(x) =

6 S(x) T(x) + U(x) =

4 Dados los polinomios:

P(x) = x4 2x2 6x 1

Q(x) = x3 6x2+ 4

R(x) = 2x4 2x 2

Calcular:

1 P(x) + Q(x) R(x)

2 P(x) + 2 Q(x) R(x)

3 Q(x) + R(x) P(x)

5 Multiplicar:

1 (x4 2x2+ 2) (x2 2x + 3)

2 (3x2 5x) (2x3+ 4x 2 x + 2)

3 (2x2 5x + 6) (3x4 5x3 6x2 + 4x 3)

6 Dividir:

1 (x4 2x3 11x2 + 30x 20) : (x2+ 3x 2)

2 (x6 + 5x4+ 3x2 2x) : (x2 x + 3)

3 P(x) = x5+ 2x3 x 8 Q(x) = x2 2x + 1

7 Divide por Ruffini:

1 (x3+ 2x + 70) : (x + 4)

2 (x5

32) : (x 2) 3 (x4 3x2+ 2 ) : (x 3)

8 Halla el resto de las siguientes divisiones:

1 (x5 2x2 3) : (x 1)

2 (2x4 2x3+ 3x2+ 5x + 10) : (x + 2)

3 (x4 3x2+ 2) : (x 3)


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9 Indica cules de estas divisiones son exactas:

1 (x3 5x 1) : (x 3)

2 (x6 1) : (x + 1)

3 (x4 2x3+ x2+ x 1) : (x 1)

4 (x10 1024) : (x + 2)

10 Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se

indican:

1 (x3 5x 1) tiene por factor (x 3)

2 (x6 1) tiene por factor (x + 1)

3 (x4 2x3+ x2+ x 1) tiene por factor (x 1)

4 (x10 1024) tiene por factor (x + 2)

11 Hallar a y b para que el polinomio x5

ax + b sea divisible por x2

4.

12 Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x 3+ ax 2+ bx + 5 sea

divisible por x2+ x + 1.

13 Encontrar el valor de k para que al dividir 2x 2 kx + 2 por (x 2) d de resto

4.

14 Determinar el valor de m para que 3x 2+ mx + 4 admita x = 1 como una de sus

races.

15 Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x 2 4 y se anule para

x = 3 y x= 5.

16 Calcular el valor de a para que el polinomio x 3 ax+ 8 tenga la raz x = 2, y

calcular las otras races.

S

(a + b)2

= a2

+ 2 a b + b2

(a b)2= a

2 2 a b + b

2

Ejemplos

1. (x + 3)2= x 2+ 2 x 3 + 32= x 2+ 6 x + 9

2. (2x 3)2= (2x)2 2 2x 3 + 32= 4x2 12 x + 9


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Suma por diferencia(a + b) (a b) = a

2 b

2

Ejemplo

1. (2x + 5) (2x - 5) = (2x)2 52= 4x2 25

2. (2x + y) (2x y) = (2x)2 (y)2= 4x4 y6

Binomio al cubo(a + b)

3= a

3+ 3 a

2 b + 3 a b

2+ b

3

(a b)3= a

3 3 a

2 b + 3 a b

2 b

3

Ejemplos

1. (x + 3)3=

= x3+ 3 x2 3 + 3 x 32 + 33=

= x3+ 9x2+ 27x + 27

2. (2x 3)3=

= (2x)3

3 (2x)2

3 + 3 2x 32

33

=

= 8x3 36x2+ 54x 27

El resto de la divisin de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma

(x a) es el valor numrico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Ejemplos

Calcular, por el teorema del resto, el resto de la divisin:

(x 4 3x 2+ 2) : (x 3)

P(3) = 34 3 32+ 2 = 81 27 + 2 = 56


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Comprobamos la solucin efectuando la divisin por Ruffini.

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x a) si y slo si P(x

= a) = 0.

Al valorx = ase le llama razo cerode P(x).

Races de un polinomioSon los valores que anulan el polinomio.

Ejemplo

Calcular las races del polinomio:

P(x) = x2 5x + 6

P(2) = 22 5 2 + 6 = 4 10 + 6 = 0

P(3) = 32 5 3 + 6 = 9 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son races o ceros del polinomio: P(x) = x2 5x + 6, porqueP(2) = 0 y

P(3) = 0.

Propiedades de las races y factores de un polinomio1 Los ceros o races enteras de un polinomio son divisores del trmino independiente

del polinomio.

2 A cada raz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x a).

3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los

binomios del tipo (xa), que se correspondan a las races, x = a, que se obtengan.

Ejemplo


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x2 5x + 6 = (x 2) (x 3)

4 La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5 Todo polinomio que no tenga trmino independiente admite como raz x = 0, o lo que

es lo mismo, admite como factor x.

Ejemplo

x2+ x = x (x + 1)

Races: x = 0 y x = 1

6 Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en

factores.

Ejemplo

P(x) = x2+ x + 1

Clculo de las races y factores de un polinomioPartimos de los divisores del trmino independiente, con estos valores aplicamos el

teorema del resto y sabremos para que valores la divisin es exacta.

Ejemplo

Q(x) = x2 x 6

Los divisores del trmino independiente son: 1, 2, 3.

Q(1) = 12 1 6 0

Q(1) = (1)2 (1) 6 0

Q(2) = 22 2 6 0

Q(2) = (2)2 (2) 6 = 4 + 26 = 0

Q(3) = 32 3 6 = 9 3 6 = 0


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Las races son: x = 2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) (x 3)

Una fraccin algebraica es el cociente de dos polinomiosy se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentesDos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) S(x) = Q(x) R(x).

Ejemplo

son equivalentesporque:

(x+2) (x 2) = x2 4


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Dada una fraccin algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de

dicha fraccinpor un mismo polinomio distinto de cero, la fraccin algebraica

resultante es equivalente a la dada.

Simplificacin de fracciones algebraicasPara simplificar una fraccin algebraica se divide el numerador y el denominador de

la fraccin por un polinomio que sea factor comn de ambos.

Ejemplo

Amplificacin de fracciones algebraicasPara amplificar una fraccin algebraica se multiplica elnumerador y el denominador

de la fraccin por un polinomio.

Ejemplo

DefinicinDadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a comn denominador es encontrar dos

fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

Pasos para reducir a comn denominadorNos valdremos de las fracciones siguientes:

1.Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mnimo comn

mltiplo, que ser el comn denominador.


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x2 1 = (x + 1) (x 1)

x2+ 3x + 2 = (x +1 ) (x + 2)

m.c.m. (x2 1, x

2+ 3x + 2) = (x + 1) (x 1) (x + 2)

2.Dividimos el comn denominador entre los denominadores de las fracciones dadas

y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Suma de fracciones algebraicas con el mismo denominadorLa suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fraccin

algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los

numeradores.

Ejemplo

Sumar las fracciones algebraicas:


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El producto de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica donde el

numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de

los denominadores.

Ejemplo

Multiplicar las fracciones algebraicas:

Simplificando nos queda:

El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica con

numerador el producto del numerador de la primera por el denominador

de la segunda, y con denominador el producto del denominador de la

primera por el numerador de la segunda.

Ejemplo

Dividir las fracciones algebraicas:


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Simplificando nos queda:

Expresiones algebraicasTrabajar en lgebra consiste en manejar relaciones numricas en las que una o ms

cantidades son desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incgnitaso

indeterminadas y se representan por letras.

Una expresin algebraica es una combinacin de letras y nmeros ligada por los

signos de las operaciones: adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin y

potenciacin.

Valor numrico

El valor numrico de una expresin algebraica es el nmeroque se obtiene al sustituir

las letrasde la mismapor nmerosdeterminados yefectuar las operacionesindicadas

en la expresin.

Monomios

Un monomioes una expresin algebraicaen la que las nicas operacionesque

aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

El coeficientedel monomio es el nmero que aparece multiplicando a las variables.

La parte literalest constituida por las letras y sus exponentes.


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El gradode un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

Operaciones con monomios

Suma de Monomios

Slo podemos sumar monomios semejantes.

La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo

coeficiente es la suma de los coeficientes.

Producto de un nmero por un monomio

El producto de un nmero por un monomio es otro monomio

semejantecuyo coeficientees el producto del coeficientede monomio por el

nmero.

Producto de monomios

El producto de monomios es otro monomioque tiene por coeficiente el producto de

los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que tenga

la misma base.

Cociente de monomios

El cociente de monomios es otro monomioque tiene por coeficiente el cociente de los

coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la

misma base.

Polinomios

Un polinomio es una expresin algebraica de la forma:

P(x) = an xn

+ an - 1 xn - 1

+ an - 2 xn - 2

+ ... + a1 x1+ a0

Siendo an, an - 1... a1, aonmeros, llamadoscoeficientes.

n un nmero natural.


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x la variable o indeterminada.

aoes el trmino independiente.

Grado de un polinomio

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada

la variablex.

Polinomio completo

Es aquel que tiene todos los trminos desde el trmino independiente hasta el trmino de

mayor grado

Polinomio ordenado

Un polinomio est ordenado si los monomios que lo forman estn escritos de mayor a

menor grado.

Polinomios iguales

Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientesde los trminos del mismo grado son iguales.

Valor numrico de un polinomio

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un nmero cualquiera.

Operaciones con polinomios

Suma de polinomiosPara sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los trminos del mismo

grado.

La diferenciaconsiste en sumar el opuesto del sustraendo.

Multiplicacin de polinomios


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Producto de un nmero por un polinomio

Es otro polinomioque tiene de gradoel mismodel polinomio y

como coeficientesel producto de los coeficientes del polinomio por el nmero.

Producto de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomiopor todos y cadauno de los monomios que forman el

polinomio.

Producto de polinomios

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos

segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado.

Divisin de polinomiosP(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es

completodejamos huecosen los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

Multiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el resultado anterior y lo

restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del

divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

Repetimos el proceso anterior hasta que el grado del resto sea menor que el grado

del divisor, y por tanto no se puede continuar dividiendo.

Para comprobar si la operacin es correcta, utilizaramos la prueba de la divisin:

D = d c + r


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Regla de RuffiniSi el divisor es un binomio de la forma x a, entonces utilizamos un mtodo ms

brevepara hacer la divisin, llamado regla de Ruffini.

(x43x

2+2 ) : (x 3 )

1Si el polinomio no es completo, lo completamos aadiendo los trminos que

faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una lnea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del trmino independiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente

trmino.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos los pasos 5y 6las veces que fuera necesarias.

8El ltimo nmero obtenidoes el resto.

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y

cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.


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Identidades notables

Binomio al cuadrado

(a b)

2

= a

2

2 a b + b

2

Suma por diferencia

(a + b) (a b) = a2 b

2

Binomio al cubo

(a b)3= a

3 3 a

2 b + 3 a b

2 b

3

Factorizacin de un polinomioTeorema del resto

El resto de la divisin de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma x - a

es el valor numrico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Teorema del factorEl polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y slo si P(x =

a) = 0.

Al valorx = ase le llama raz o cero de P(x).

Observaciones

1Los ceros o races son divisores del trmino independiente del polinomio.

2A cada raz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x a).

3Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de

todos los binomios del tipo x a, que se correspondan a las races x = a que se

obtengan.


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4La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del

polinomio.

5Todo polinomio que no tenga trmino independiente admite como raz x = 0,

lo que es lo mismo, admite como factor x.

6Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en

factores.

Mtodos para factorizar un polinomioSacar factor comn

Consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a b + a c + a d = a (b + c + d)

Igualdades notablesDiferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a2 b

2= (a + b) (a b)

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a2 2 a b + b

2= (a b)

2

Trinomio de segundo grado

a x2+ bx +c = a (x -x1 ) (x -x2 )

Polinomio de grado superior a dos

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

1Tomamos los divisores del trmino independiente:1, 2, 3.


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2Aplicando elteorema del restosabremos para que valores la divisin es exacta.

3Dividimos por Ruffini.

4Por ser la divisin exacta, D = d c

5Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor, y los nuevos que

obtengamos, hasta que sea de grado uno o no se pueda descomponer en factores reales.

Fracciones algebraicasUna fraccin algebraica es el cociente de dos polinomiosy se representa por:

P(x) es el numerador y Q(x) el denominador.

Fracciones algebraicas equivalentes

Dos fracciones algebraicas

son equivalentes, y lo representamos por:

si se verifica que P(x) S(x) = Q(x) R(x).

Dada una fraccin algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominadordedicha fraccin por un mismo polinomio distinto de cero, la fraccin algebraica

resultante es equivalente a la dada.


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Simplificacin de fracciones algebraicas

Para simplificar una fraccin algebraica se divide el numerador y el denominador

de la fraccin por un polinomio que sea factor comn de ambos.

Reduccin de fracciones algebraicas a comn denominador

Dadas dos fracciones algebraicas, reducirlas a comn denominador es encontrardos

fracciones algebraicas equivalentes con el mismo denominador.

1Descomponemos los denominadores en factores para hallarles el mnimo comn

mltiplo, que ser el comn denominador.

2Dividimos el comn denominador entre los denominadores de las fracciones

dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y diferencia de fracciones algebraicasFracciones algebraicas con igual denominador

La suma de fracciones algebraicas con el mismo denominador es otra fraccin

algebraica con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de los

numeradores.

Fracciones algebraicas con distinto denominador

En primer lugar se ponen las fracciones algebraica a comn denominador,

posteriormente se suman los numeradores.

Producto de fracciones algebraicas

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica donde elnumerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto

de los denominadores.

Cociente de fracciones algebraicas


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El cociente de dos fracciones algebraicas es otra fraccin algebraica con

numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la

segunda, y con denominador el producto del denominador de la primera por el

numerador de la segunda.

la regla de ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la...

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