LA MEDICIÓN

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LAS MEDIDAS EN CIENCIA

Los conceptos utilizados en la ciencia están relacionados con la vida cotidiana y con la observación directa, pero deben refinarse para poder ser utilizados.Conceptos como caliente o frío, rápido o lento, pesado o ligero, como términos contrapuestos, son demasiado imprecisos para analizar y formular problemas científicos.La observación directa también lleva a resultados engañosos.

¿Son iguales?

¿Son iguales de largas las cubiertas de los barcos?

La ciencia ha intentado resolver estos problemasutilizando números que ayudan a comparar con mucha mayor precisión y que permiten aplicar el razonamiento deductivo matemático.

La necesidad de medir es evidente en la mayoría de las actividades técnicas o científicas.Pero además contar con medidas hay que saber si dichas medidas son válidas. Para ello debemos recordar la definición de medición: determinación de la proporción entre la dimensión de un objeto y una determinada unidad de medida.

La dimensión del objeto y la unidad deben ser de la misma magnitud.

Metrología

Ciencia de la medición

Sistema de unidades

Instrumentos de medición

Procedimientos y métodos de

medición(Magnitudes,

patrones y unidades)

(Apropiados y especializados) (Normas y

manuales)

La medición

Es comparar la cantidad desconocida que queremos determinar y una cantidad conocida de la misma magnitud, que elegimos como unidad.Al resultado de medir lo llamamos Medida.

Este resultado se expresará mediante un número seguido de la unidad que hemos utilizado: 4m, 200 Km, 5 Kg.

Para medir debemos diseñar el instrumento de medida y escoger una cantidad de esa magnitud que tomamos como unidad.

Una medida es el número de veces que una magnitud contiene a la unidad.

Magnitud es todo aquello que se puede medir, que se puede representar por un número y que puede ser estudiado en ciencias experimentales (que observan, miden, representan....).

Unidades de medida

Al patrón de medir le llamamos también Unidad de medida.

Debe cumplir estas condiciones:1º. Ser inalterable, esto es, no ha de cambiar con el

tiempo ni en función de quién realice la medida.2º. Ser universal, es decir utilizada por todos los

países.3º. Ha de ser fácilmente reproducible.

La medida y los patrones surgieron como una necesidad para los hombres. Además, por razones comerciales necesitaban cuantificar el oro, el grano, el aceite , o el tiempo que transcurría entre recolección y recolección

Las primeras unidades fueron antropométricas.

"El hombre es la medida de todas las cosas", Protágoras. s. V a.C.

El ritmo día/noche, la longitud de un paso, la temperatura del cuerpo humano, etc.

ManoEra el ancho de la mano, aun se usa en algunos países para medir la alzada de un caballo. Equivale a 4 dedos.

PieEsta medida vale: 30,5cm. y se usa para medir, por ejemplo, las chapas de los techos.

CuartaSe extiende o abre la mano y la medida entre la punta del pulgar y el meñique equivale a un palmo o cuarta.

BrazaEquivale a 1.67 m. y es el resultado de extender ambos brazos.

PulgadaMedida inglesa y vale, luego de un acuerdo internacional: 2,54 cm. Muy usada actualment

PasoEquivale a la medida entre un pie y el próximo, al efectuar un paso.

MillaDeriva de mille passuum y significa unos 1000 pasos.

En muchos casos la elección fue harto caprichosa.El rey Enrique I ( año 1100), estableció la yarda como la distancia de su nariz hasta la punta de sus dedos de la mano. Su valor equivale a 91,44 cm.Luis XIV eligió la longitud de su pie como unidad patrón. Jorge III de Inglaterra eligió en hacia 1770 como unidad de volumen patrón la capacidad de su orinal (Galón Imperial), Envió como patrón secundario a las colonias americanas el orinal de su mujer (Galón USA).

ACTIVIDAD 1

Patrones de medida Material: centímetro de modista a- Para cada integrante del grupo, deteminar la medida de.Una pulgadaUn codoUna palmaUna brazaUna yarda b- Obtener un promedio para cada unidad c- Comparar con los valores de tablas d-Discutir los resultados

Una pulgada – 2,54 cmUn codo -45 a 50 cmUna palma -22,5 cmUna braza - 1,776 m.Una yarda – 91, 44 mUn pie -28 cm

”La batalla mas grande que la ciencia ha librado através del siglo del siglo XVIII, ha sido haber vencido a la naturaleza, tomando el SISTEMA DE PESAS Y MEDIDAS.” Napoleón Bonaparte

Es por esta razón que surge la necesidad de establecer un Sistema de unidades estándar para realizar mediciones. Un sistema de unidades es un conjunto consistente de unidades de medida.

El sistema anárquico de medidas que existía antes de la Revolución Francesa, frenaba el comercio y el progreso científico y propiciaba abusos en los impuestos y pequeños intercambios. La mayor parte de las mediciones se hacían comparando volúmenes y el fraude más corriente era cambiar el volumen de la medida.La implantación del “sistema métrico decimal” es uno de los mayores logros revolucionarios.

Se establecieron leyes de regulación de pesos y medidas, para favorecer las relaciones comerciales . .

Pero la diversidad de medidas en las diferentes naciones llevó a dificultades y conflictos, para llegar a una unificación de la medida.

Pero en 1789 se produjo la revolución francesa, y se decidió crear un sistema único de medidas.

Si había un rey y una ley igual para todos, también debía hacer una sola medida para todos.

Se formó una comisión con lo mejor de la ciencia francesa y en 1790 se creó un sistema de pesas u medidas."

Se decidió que las nuevas medidas, incluyendo las de monedas, serían decimales. lo que simplificaría enormemente los cálculos tanto científicos como comerciales o fiscales.

Esto ahora nos parece obvio, pero en esa época una toesa se dividía en 6 píes de 12 pasos , y una libra se dividía en 2 marcos de 8 onzas de 8 gruesas cada uno.

En 1792 dos astrónomos, Pelambre y Mechain midieron una porción del meridiano comprendida entre, Dunquerque y Barcelona para determinar la longitud de la nueva medida, a la que se llamó metro.

Se eligió como unidad base de longitud la diezmillonésima parte de un cuadrante del meridiano terrestre.

El progreso de unificación fue lento debido a la no concordancia de algunos gobernantes, hasta la implantación del "Sistema métrico Decimal", que fue el definitivo ya que unificó el peso y la medida.

Para conseguir esta unificación fue importante el papel de distintas ciencias como las matemáticas, la física o la química, que aportaron definiciones basadas en realidades y fenómenos físicos

Se intentó crear un sistema de pesos y medidas cuyos patrones no pudieran perderse con el tiempo, y fueran inalterables.

En 1795, en Francia, se estableció por decreto el Sistema Métrico Decimal, tomando al diez como base (de ahí el nombre de decimal). La primera unidad fue el metro.

La propuesta de Francia se adoptó finalmente en la Convención del Metro (1875), por parte de los países y se difundió paulatinamente en todo el mundo.

Inicialmente la Conferencia General se circunscribía a las unidades de peso y longitud. Pero fue difícil la implantación del metro como medida universalmente aceptada , debido a la resistencia que tuvieron todos los países a abandonar sus sistemas de medidas.Inglaterra, al igual que otros países que no asistieron a la convención, siguió utilizando el sistema de medición inglés, también llamado imperial, en el que usan la yarda, el pie, la pulgada y la libra, entre otros

El sistema inglés de unidades

Se basa en el antiguo sistema de medidas romano.

Se extendió por muchos países en el siglo XIX, en la revolución industrial.

Fue desplazado en el siglo XX por el Internacional.

En el Perú aún se utiliza conjuntamente con el SI.

Magnitud UnidadSímbol

o

Longitud pulgada in

Peso libra lb

Tiempo segundo s

Por suerte no es necesario buscar patrones para Por suerte no es necesario buscar patrones para cada magnitud física. cada magnitud física.

Algunas magnitudes elementales pueden ser más Algunas magnitudes elementales pueden ser más fáciles de establecer como patrones, fáciles de establecer como patrones,

y las magnitudes más complejas pueden a menudo y las magnitudes más complejas pueden a menudo expresarse en función de las unidades elementales. expresarse en función de las unidades elementales.

El problema básico es elegir el número más El problema básico es elegir el número más pequeño posible de magnitudes físicas como pequeño posible de magnitudes físicas como fundamentales y fijar patrones para su medición.fundamentales y fijar patrones para su medición.

Estos patrones deben ser tanto accesibles como Estos patrones deben ser tanto accesibles como invariables.invariables.

MAGNITUD NOMBRE DE SÍMBOLO

LA UNIDAD

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de

corriente eléctrica ampere A

Temperatura kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Se definió originalmente como una diezmillonésima parte de la distancia entre el ecuador y el polo norte a lo largo del meridiano de París. Se consideró que la Tierra era una esfera perfecta,

EL METRO

Pero se descubrió que la Tierra no es esférica, y el metro se definió como la distancia entre dos líneas finas en una barra de aleación de platino e iridio, el metro patrón conservado en París Luego se demostró que la barra estaba sujeta a cambios de longitud.

Después, la conferencia de 1960 redefinió el metro como 1.650.763,73 longitudes de onda de la luz anaranjada-rojiza emitida por el isótopo criptón 86.

Para ser más precisos el metro se definió en 1983 como la longitud del espacio recorrido por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1/299.792.458 de segundo.

EL METRO

El kilogramo Internacional se guarda en el vacío de tres campanas de vidrio, para protegerlo de la corrosión y abrasión. " No tocado por manos humanas" se maneja con tenazas.

Inclusive la grasa de la piel podría alterar su masa de modo apreciable. El patrón y sus duplicados estan hechos de metal, para asegurar su durabilidad.

El kilogramo fue definido al principio como la masa de un cubo de agua de 10 centimetros de lado.

10 cm

Unidad de tiempo

Segundo: se define como la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles hiperfinos del estado base del átomo de cesio 133.

Unidad de corriente eléctrica

Ampere: es la intensidad de una corriente constante, que mantenida en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de espesor despreciable, a 1 m de distancia entre sí en el vacío, produciría entre los conductores una fuerza igual a 2.10-7 newton por metro de longitud.

Unidad de temperatura termodinámica

Kelvin: es la fracción de 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

°C °F Descripción

100 212 El agua hierve

40 104 Un baño caliente

37 98.6 Temperatura corporal

10 50 Día fresco

0 32 Punto de congelación del agua

-40 -40Día extremadamente frío (el mismo número en las dos escalas)

Unidad de cantidad de substancia

Mol: es la cantidad de substancia que contiene tantas entidades elementales como existan átomos en 0,012 kg de carbono 12.

Unidad de intensidad luminosa

La candela es la intensidad luminosa en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540×1012 herz y de la cual la intensidad radiada en esa dirección es 1/683 W

MULTIPLOS

10n Prefijo Símbolo Escala larga1024 yotta Y Cuatrillón1021 zetta Z Mil trillones1018 exa E Trillón1015 peta P Mil billones1012 tera T Billón109 giga G Mil millones 106 mega M Millón103 kilo k Mil / Millar102 hecto h Cien / Centena101 deca da Diez / Decena100 ninguno Uno / Unidad

MULTIPLOS

SUBMULTIPLOS

10n Prefijo Símbolo Escala larga100 ninguno Uno / Unidad

10−1 deci d Décimo

10−2 centi c Centésimo

10−3 mili m Milésimo

10−6 micro µ Millonésimo

10−9 nano n Milmillonésimo10−12 pico p Billonésimo10−15 femto f Milbillonésimo10−18 atto a Trillonésimo10−21 zepto z Miltrillonésimo10−24 yocto y Cuatrillonésimo

SUBMULTIPLOS

ACTIVIDAD 2

a) Los virus más pequeños son polígonos de 20 lados que miden entre 18 y 20 nanómetros de ancho.Exprese el tamaño ern mm, cm y metros.

b) La masa de un electrón es 9, 109. 10-31 kg .Exprésela en g y en yoctogramos .

c) La masa de Plutón es 1,25·1022 kg. En qué unidades convendría expresarla

d) La Vía Láctea, tiene un diámetro de unos 350.000 años luz. Un año luz es una unidad de distancia que equivale aproximadamente a 9,46 × 1012 km .Exprese en m el diámetro de la Vía Láctea.

UNIDADES DERIVADASLas unidades fundamentales son aquellas que no pueden ser definidas en términos más elementales. En cambio, las unidades definidas en términos de dos o más unidades fundamentales se llaman unidades derivadas.El área o superficie es una magnitud derivada que se describe en términos de dos longitudes. En el SI, la unidad de área es el metro cuadrado (m2).El volumen es una magnitud que se describe en términos de tres longitudes. La unidad de volumen del metro es el metro cúbico (m3).La densidad se describe en términos de masa y volumen, su unidad en el SI es kg/m3.

CANTIDAD FÍSICA UNIDAD DIMENSIÓN

Área m2 L2

Volumen m3 L3

Densidad kg/m3 ML-3

Velocidad (rapidez) m/s LT-1

Aceleración m/s2 LT-2

Fuerza kg.m/s2 = newton (N) MLT-2

Trabajo y energía kg.m2/s2 = joule (J)ML2 T-2

Potencia kg.m2/s3 = watt (W)ML2 T-3

ALGUNAS CANTIDADES DERIVADAS DEL SI

TIPOS DE MEDICIÓN

Medición Directa

Se asigna para una magnitud valores sin hacer uso de medidas previas, es decir, directamente.Ej. Masa medida por una balanza

Las medidas indirectas calculan el valor de la medida mediante una fórmula , a partir de las magnitudes que intervienen en la fórmula por medidas directas. Un ejemplo sería calcular el volumen de una habitación

Un instrumento de medición es un aparato que se usa para comparar magnitudes físicas mediante un proceso de medición.

INSTRUMENTO DE MEDICIÓN

APRECIACIÓN DE UN INSTRUMENTO

Apreciación es la mínima cantidad que el instrumento puede medir (sin estimaciones) de una determinada magnitud y unidad, o sea es el intervalo entre dos divisiones sucesivas de su escala.

Cuál es la apreciación del centímetro de modista y de la regla?

SENSIBILIDAD

Sensibilidad es la relación que existe entre la variación del instrumento y la del efecto medido. Es decir el cociente que resulta del cambio en la indicación del instrumento dividido por el cambio en la variable medida que causa al primero. Por ejemplo, un termómetro de mercurio en vidrio en el que la escala vaya de 0 ºC a 100 ºC en una longitud de 25 cm, tiene una sensibilidad de 25 cm / 100 ºC, la cual puede expresarse también como 2.5 mm / ºC.. La sensibilidad con que se fabrican los aparatos de medida depende de los fines a los que se destina.

PRECISIÓN

Es la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. La Precisión es un parámetro relevante, especialmente en la investigación de fenómenos físicos.En esta área los resultados se expresan como un número más una indicación del error máximo estimado para la magnitud. Es decir, se indica una zona dentro de la cual está comprendido el verdadero valor de la magnitud.

Exactitud: es la capacidad de un instrumento de medir un valor cercano al valor de la magnitud real. Es lo cerca que el resultado de una medición está del valor verdadero.

Exactitud bajaPrecisión alta

Exactitud altaPrecisión baja

Exactitud altaPrecisión alta

Sesgo Si medimos algo varias veces y los valores están cerca unos de otros, pueden estar todos equivocados si hay "sesgo". Un sesgo es un error sistemático (pasa siempre) que hace que todas las medidas estén desviadas en una cierta cantidad.

Grado de exactitud La exactitud depende del instrumento de medida. Instrumentos de poca precisión son una balanza de cocina o la cinta de modista (muy elastica y que se deforma por el uso). Pero por regla general: El grado de exactitud es la mitad de la unidad de medida.

Ejemplos: Si tu instrumento mide en "unidades" entonces cualquier valor entre 6½ y 7½ se mide como "7"Lo que se expresaría como : 7 ± 1/2

ACTIVIDAD 3Medir el tamaño de los objetos y expresar el

resultado.

ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO

Se define el error absoluto Ea, como la diferencia entre el resultado de la medida M y el verdadero valor m de la magnitud a medir. Ea = M – m

El concepto de error absoluto no da una idea clara de la bondad de la medición. Es muy distinto cometer un error de 10 V al medir 13200 V, que al medir 220 V.

El error típico de una medición destinada a un tablero eléctrico ronda el 1,5 %,el de un laboratorio de ensayos fabriles es del 0,5 % yel de un laboratorio de calibración es menor del 0,1 %.

El error relativo Er es el cociente entre el error absoluto Ea y el verdadero valor. Expresado en % es:

Errores en las medidas directas

El origen de los errores de medición es muy diverso, pero podemos distinguir:

Errores sistemáticos: -se producen siempre -conservar la magnitud y el sentido, -se deben a desajustes del instrumento, desgastes etc. -dan lugar a sesgo en las medidas.

Errores en las medidas directas

Errores aleatorios: se producen de un modo no regular, variando en magnitud y sentido de forma aleatoria, son difíciles de prever, dan lugar a la falta de calidad de la medición.

Errores Personales o humanosEn observadores experimentados, se constata siempre que, cada uno tiene una manera particular de apreciar determinado fenómeno. Por ejemplo, la demora en poner enmarcha un cronómetro al comienzo de un experimento o la tendencia permanente a leer desde la izquierda (o la derecha) sobre una escala con paralaje. Es notable que cada observador repite este error con regularidad casi mecánica. Es decir, son los causados por los hábitos individuales del observador.

El "medidor" (observador) puede originar errores sistemáticos por una mala forma de medir, y este error va siempre en el mismo sentido. Si hay errores por una imperfección de los sentidos, estos errores van a veces en un sentido y a veces en otro y se pueden compensar haciendo el promedio. Los Errores groseros consisten en equivocaciones en las lecturas y registros de los datos. En general se originan en la fatiga del observador, en el error al transcribir los valores medidos, etc.Estos errores son de gran magnitud, y pueden detectarse comparando varias mediciones. Por ello se aconseja al menos 3 (tres) mediciones.

Factores ambientalesLa temperatura, la presión, la humedad, etc, pueden alterar las medidas. Es necesario fijar las condiciones externas o conocer cuales son. SLas condiciones varían aleatoriamente durante la medida, unos datos pueden compensar a los otros y el error accidental que introducen puede ser eliminado hallando la media de todos ellos. En algunos casos es posible realizar correcciones, por ejemplo las de la pesada, por la presión y la temperatura.

Los instrumentos de medidaLos instrumentos pueden introducir error sistemático por un defecto de construcción o de calibración. Sólo se elimina el error cambiando de aparato o calibrándolo bien. Debemos conocer el rango de medida del aparato, entre que valores, máximo y mínimo, puede medir.

INCERTIDUMBRECada medida lleva asociada una incertidumbre. Esto determina un rango o cota en la cual no se puede asegurar donde está el valor real. Medimos con una cinta métrica ¿qué valor será válido?.A la incertidumbre se le asignará la mitad de la apreciación. El valor se expresa: 3.25 cm ± 0.05 cmEl resultado de una medida lo indicaremos en la forma: x ± Δx (.Δx = sensibilidad del instrumento) con las unidades que correspondan.

Cifras significativasLos datos experimentales deben expresarse según las condiciones de medida en los que fueron obtenidos. Por ello se debe tener cuidado en el número de cifras con que expresar el resultado de una medida.Una cifra es significativa cuando se conoce con una precisión aceptable. Así, cuando se mide con un termómetro que aprecia hasta las décimas de grado no tiene ningún sentido que se escriban resultados del tipo 36,25 ºC o 22,175 ºC.

ACTIVIDAD 4

Medidas de longitud MaterialUna moneda -Centímetro de modista -ReglaRuleta o flexo metro• Tomar un mínimo de 3 medidas del diámetro de la moneda con cada instrumento. •Registrar los valores. Obtener un valor promedio •Repetir la medida para cada persona del grupo•Comparar los resultados.•Calcular el volumen de la moneda.•Discutir los resultados•Analizar los conceptos de medida directa e indirecta.

ACTIVIDAD 5LABORATORIO

Material volumétrico Material:Balanza -Vasos de precipitación o de plásticoPipeta –Bureta -Matraz aforado-Probeta -AguaUtilizando el material volumétrico, medir 20 mL de agua y colocar cada porción en vasos de precipitación previamente tarados.Pesar cada vaso 4 veces. Registrar los valores. Obtener un valor promedio para cada vaso.Calcular la densidad del agua a partir de la fórmula ρ= m / v. Anotar los resultadosEstimar la apreciación de cada recipienteComparar y discutir los resultados

CALCULO de ERRORESSi el error es aleatorio, es decir unas veces por exceso y otras por defecto, el valor más aproximado al verdadero es el valor medio. Al promediar los resultados, los errores por exceso se compensan con los errores por defecto y ello será más cierto cuanto mayorl número de veces se repita la medida.

Para establecer un valor fiable de la cantidad M y de su incertidumbre correspondiente el procedimiento es el siguiente:

1. Repetir n veces la operación de medida de M y anotar los resultados M1, M2 ... Mn

2. Calcular la media aritmética M de todos ellosM = (M1 + M2 + ... + Mn)/n

Ejemplo R.R. se pesa varios días seguidos en iguales condiciones

Día L M X J V

Masa (kg) 73 72 74 72 73

kgM 8,725

)7372747273(

3. Calcular la desviación media ΔM, la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones de los resultados respecto de su media M.ΔM =[ (73-72,8) + …………..]/ 5 = 0,644. Considerar ΔM como límite del error, de modo que el verdadero valor M de la magnitud medida estará comprendido entre los valores extremos M - ΔM y M + ΔMM - ΔM < M < M + ΔMM – 0,64 kg < M < M + 0,64 kg5. Expresar el resultado en la forma:M ± ΔM (72,8 ± 0,6 kg)

Si una de las medidas está claramente apartada de las demás, se desprecia (es evidente que viene de un error de medida y no merece estra representada en la media).

La imprecisión que acompaña al resultado es la que tiene mayor valor entre:* la imprecisión absoluta (Ea) * la sensibilidad del aparato (menor división).

Incorrectos Correctos

453 ± 0,51 453, 0 ± 0, 5

0, 0237 ± 0,01 0, 02 ± 0, 01

Norma Ejemplo

Son significativos todos los dígitos distintos de cero.

8723 tiene cuatro cifras significativas

Los ceros entre dos cifras significativas son significativos.

105 tiene tres cifras significativas

Los ceros a la izquierda no son significativos.

0,005 tiene una cifra significativa

Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.

8,00 tiene tres cifras significativas

Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas.

7 · 102 tiene una cifra significativa

7,0 · 102 tiene dos cifras significativas

- Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.

En operaciones como multiplicación o división hay que considerar las cifras significativas . Ejemplo: Calcular la superficie de una tira de papel. Se mide su longitud y ancho con una regla aprecia hasta los milímetros y se obtiene 18.2 y 4,1 cm respectivamente. Multiplicando resulta:18.2 cm .4,1 cm =74,62 cm2

El número de cifras significativas de un producto (o de un cociente) no puede ser superior al de cualquiera de los factores. En el presente caso 4,1 tiene dos cifras significativas, luego el resultado en rigor se escribiría como: 75 cm2

ACTIVIDAD 6

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

84

gEEM AS 282022 .gES 05.0

ggEA 27805

2240782 .

..

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

gM 400.14

gM 282040014 ..

85

Ejemplo (casi) completo III Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera

de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

3

3

4rV rrr

r

VV

22

4

33,12,4 cmV

r

r

V

VE VR

33.0,

86

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

?0335,14377,33cm

g

V

M

22

V

V

M

M

87

INTERPOLACIÓN

Interpolación y Extrapolación.Una función puede venir dada de varias formas:

•Como enunciado tipo problema de álgebra.•Como una ecuación que nos relaciona dos variables.•Como una tabla de valores.•Como una gráfica.

•Si nos la dan en forma de ecuación, podemos calcular cualquier dato que nos interese saber.•Si nos la dan en forma de Tabla puede que el valor que queremos saber no se encuentre en dicha tabla. Tendremos entonces que INTERPOLAR o EXTRAPOLAR.

88

Ejemplo:Sea la población de Palencia en los últimos 16 años, dado en forma de tabla y en miles de habitantes.Año 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004Habitantes 71 72 73 74 75 76 77 78

GRAFICAR¿Qué población tenía Palencia en 1995 ?Podemos suponer que en 1995 había (75+76) / 2 = 75,5 millones de habitantes.Eso es lo que se llama INTERPOLAR.Como el crecimiento de la población es lineal, el error cometido al calcular así es nulo.Pero el crecimiento podría haber sido exponencial o cuadrático.

89

EXTRAPOLACIÓN

¿Qué población tenía Palencia en 1980 ?¿Qué población tendrá Palencia en 2010 ?

Podemos suponer que en 1980 había ( 69 - 1 - 1 ) = 67 millones de habitantes.Podemos suponer que habrá en 2010 ( 78 + 10 ) = 88 millones de habitantes.

Barras

Columnas

De torta o por sectores

De puntos

Histograma: muestra el comportamiento de los valores agrupados en clases

De dispersión

96

gEEM AS 282022 .gES 05.0

ggEA 27805

2240782 .

..

n0 1 2 3 4 5

M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

gM 400.14

gM 282040014 ..

97

Ejemplo (casi) completo III Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera

de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

3

3

4rV rrr

r

VV

22

4

33,12,4 cmV

r

r

V

VE VR

33.0,

98

Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su densidad.

?0335,14377,33cm

g

V

M

22

V

V

M

M