La Matemtica y las Ciencias Naturales

La Matemtica y las Ciencias Naturales

Las matemticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el universoGalileo Galilei

"Con frecuencia digo que cuando se puede medir y expresar con nmeros aquello sobre lo cual se est hablando, se sabe algo del tema; pero cuando no se puede medir, es decir, cuando no es posible expresarlo con nmeros, el conocimiento es insuficiente".William Thomson Kelvin

Fsico encuentra frmula matemtica que conecta a todos los seres vivos del planetaGeoffrey West, fsico terico, encuentra frmula para calcular la esperanza de cualquier ser vivo en el planeta, una constante que comparten desde un clula y un alga hasta una ballena e incluso realidades ms complejas y colectivas como los ecosistemas y las sociedades.

Puedes ponerlo en matemticas, dice West refirindose a la extraordinaria regularidad de los patrones de vida y muerte que siguen plantas, animales y dems seres vivos de nuestro planeta.Cmo se emplea la matemtica en el estudio de la Biologa?Modelacin matemtica de los procesos biolgicosManejo y manipulacin de frmulas

Biomatemtica o Biologa MatemticaBiologa Matemtica o Biomatemtica es una rea interdisciplinaria de estudios que se enfoca en modelamiento de los procesos biolgicos utilizando tcnicas matemticas. Tiene grandes aplicaciones tericas y prcticas en la investigacin biolgica.Patrones de formacin biolgica

Patrones matemticos

Serie de Fibonacci

DANIEL BERNOUILLI ( 1700-1782) Y LA VIRUELA

12 PRELIMINARES DEL MODELO

Cual es el riesgo anual de verse sorprendido por la viruela a cualquier edad para quienes no la hayan sufrido, y cual es el riesgo de morir para quienes se ven atacados por ella ?..

Vemos que la viruela no ataca prcticamente ms que a los nios y a los jvenes , y por ello con frecuencia se cree que solo la juventud est expuesta a la enfermedad Sin embargo, un poco de reflexin sobre este tema nos hace descubrir el error de dicha opinin. Si es raro que la viruela se presente en los adultos, es porque es raro que los adultos no la hayan sufrido, y la viruela casi nunca ataca dos veces a la misma persona . Es por tanto probable que los ancianos que no hayan padecido la enfermedad corran el mismo riesgo de sufrirla que los jvenes ..13HIPTESIS DE BERNOUILLI ( 1760 )...En vista de lo anterior , no he dudado en postular mi primer principio :

Mientras que no se ha padecido la viruela , se corre siempre el mismo riesgo de sufrirla.

Hasta la fecha , no conocemos ninguna observacin que nos obligue a renunciar a esta suposicin, y las leyes de la Naturaleza ms simples resultan ser siempre las ms probables.

En cuanto al riesgo anual de ser atacado por la viruela, creo satisfacer las nociones generales que poseemos sobre esta enfermedad , si suponemos que es de 1/8, proporcin que se mantiene constante .

Por otra parte, la viruela mata a 1/8 de las personas a las que ataca.

El riesgo de morir por otra causa es el mismo cuando se tiene la viruela o no.14EL MODELO DE BERNOUILLIDesignemos por t la edad de los individuos (en aos) N(t) es el nmero de supervivientes de esta poblacin en el instante tX(t) es el nmero de personas susceptibles de padecer la enfermedad en el momento t,m(t) representa la tasa anual de mortalidad por otras causas.

Nuestro autor estudi las tablas de mortalidad correspondientes a una poblacin de 1300 personas, desde el nacimiento hasta la edad de 24 aos.15

Si dividimos el ao en fracciones de tiempo t:Dividiendo por el incremento de tiempo y haciendo tender este a cero,se obtiene:16

Si definimos f(t) = x(t)/ N(t) = proporcin de supervivientes en el instante t, un clculo directo muestra que:Con dato inicial f(0) = 1 . Esta ecuacin (llamada de Bernouilli en los libros de texto) se resuelve explcitamente

Hemos obtenido as el sistema de ecuaciones diferenciales:17Con ayuda de la tabla de mortalidad antes mencionada, Bernouilli concluy que, si se eliminara la viruela, y admitiendo que 1 de cada 200 inoculados muriera durante el primer mes (la proporcin conocida en su tiempo era de 1 por cada 600), la inoculacin hara que :

la esperanza de vida pase de 30 a 34 aos.

Sin embargo, el riesgo que conllevaba la inoculacin haca dudar a muchos, incluido D Alembert, que escriba:

..Admito como el Sr. Bernouilli que el riesgo de morir por inoculacin sea de 1/200. Dicho esto, me parece que, para apreciar las ventajas de ese procedimiento hay que comparar, no la vida media de 34 aos frente a la de 30, sino el riesgo que se expone durante un mes quien se inocula a los 30 aos, en plena fuerza de la salud y la juventud, comparado con la ventaja lejana de vivir cuatro aos ms a los 60, cuando se tienen muchas menos posibilidades de gozar la vida. Ah reside sin duda la causa de que tantas personas, y sobre todo, tantas madres, sean poco favorables a la inoculacin.

La solucin exacta de esta ecuacin es:18Modelacin Matemtica de la Biologa del CancerDr. Juan Carlos Chimal EguaCentro de Investigacin en Computacin IPNchimal@ipn.mx

La prueba ms comn para cncer de prstata (conocida como PSA screening) falla fuertemente cuando se trata de tumores de prstata que estn creciendo, visto tpicamente en pacientes jvenes. Hecho aceptado por la comunidad mdica despus de un estudio de 9000 pacientes en 2004. Sin embargo, Kristin Swanson predijo que la prueba era inadecuada en 2001, usando una sola ecuacin diferencial, que cualquier estudiante de ingeniera pudiera haber resuelto. K. R. Swanson, J. D. Murray, D. Lin, L. True, K. Buhler, R. Vessella: A MathematicalModel for the Dynamics of Prostate Specific Antigen as a Marker for Cancerous Growth: An Explanation for a Medical Anomaly, American Journal of Pathology, 158(6):2195-2199, 2001

El modelo de K. Swanson era muy simple:Tasa de cambio de PSA=Fuente de PSA de clulas benignas +Fuente de PSA de clulas cancerosas Perdida de PSA en la sangre

Este es el tipo de poderoso enfoque que las matemticas pueden ofrecer en la biologa del cncer. Sin embargo, las matemticas han permanecido mucho tiempo ocultas y despreciadas por los bilogos quienes son escpticos: Como el Cncer, el cual es muy complejo e impredecible, puede ser reducido a un conjunto de ecuaciones?

Nunca como ahora ha surgido una gran necesidad para el campo de la biologa de cncer de incorporar las matemticas y la computacin.

Muchas revistas especializadas en biologa como Cell and Cancer Research ahora contienen secciones tericas

En 2003, la NIH estableci el programa integral de Biologa del Cncer que financia a 9 centros interdisciplinarios que aplican el enfoque de modelado tericos y biologa de sistemas al cncer

La modelacin matemtica promete mucho. El modelado y la posterior simulacin permiten experimentos en laboratorios virtuales que dan mucha informacin en como los tumores se desarrollan, crecen y se diseminan incluso se han producido ptimos regimenes de tratamiento Modelacin

El modelado matemtico se suele pensar por parte de los bilogos como una especie de arte mgico o magia negra.Sin embargo los matemticos solo traducen ciertas hiptesis en un conjunto de ecuaciones demostrables experimentalmente.Son ellos (los bilogos!) quienes dicen que la biologa es muy compleja. Y son ellos quienes usan un razonamiento verbal lineal.A continuacin se dan algunos ejemplos de cmo la modelacin esta incorporando ciertas pistas o intuicin a la biologa del cncer.Qu es el Cncer? El cncer es un grupo de enfermedades caracterizado por un crecimiento de clulas no controlado ( o no regulado), la invasin, y esparcimiento de stas clulas a otras partes del cuerpo.

El tejido de origen da al cncer las caractersticas que lo distinguenHan sido identificados ms de 100 tipos de canceres85% de los canceres suceden en las clulas epiteliales y se denominan carcinomasLos canceres derivados en clulas mesodermas (hueso y msculo) se llaman sarcomasLos canceres del tejido glandular se denominan adenocarcinomas.El cncer surge por medio de una serie de cambios genticos.

Ciertas mutaciones en protoncogenes permiten a las clulas crecer y dividirse sin necesidad de las seales normales de crecimiento.

Por supuesto que al ser la mutacin el proceso de dao del DNA, se necesita un modelo estocstico que nos ayude a demostrar las hiptesis de cmo se acumulan las mutaciones genticas. BiomatemticasLabiomatemtica(o matemtica biolgica) es una rama de la ciencia encargada demodelar los procesos biolgicosmediante tcnicas propias de las matemticas. Se podra decir que la biomatemtica es elsoporte terico en el cual se apoya la bioinformticapara realizar sus tareas, ya sea el secuenciamiento del genoma o ms directamente las simulaciones de sistemas biolgicos (para la cual la matemtica ha contribuido en gran medida).La biomatemtica, es tambin una ciencia multidisciplinaria que involucra a bilogos, matemticos, fsicos, qumicos, y fisilogos, entre otros cientficos. Pero la colaboracin entre matemticos y cientficos de las ciencias naturales no es tan simple como parece. Existen obstculos filosficos y lingsticos entre los modelos en lenguaje ordinario y los modelos matemticos.Modelos matemticosUnmodelo matemticoes unadescripcin matemtica de un fenmeno del mundo real, como puede ser el crecimiento de las poblaciones de animales, la concentracin de un producto en una reaccin qumica, el funcionamiento de las neuronas y la dinmica intracelular, por citar soloalgunos ejemplos de su aplicacin en biologa. La finalidad de estos modelos radica enentender en profundidad el fenmenoy tal vezrealizar alguna prediccinsobre su comportamiento futuro.Cmo se construye un modelo matemtico?

Lafigura muestra el proceso de modelado matemtico. Dado el problema que deseamos modelar, nuestra primera tarea consistir en identificar la variables que intervienen y realizar suposiciones que simplifiquen el problema para poder abordarlo. El nivel de resolucin del problema estar dado por el grado de simplificacin que realicemos, as una resolucin baja significa que el problema ha sido muy simplificado y no es una representacin ajustada a la realidad (por ejemplo: los modelos fsicos de tiro oblicuo que no tienen en cuenta el rozamiento ni la curvatura de la Tierra).La segunda etapa de este proceso consiste en resolver matemticamente el modelo que planteamos en la primera etapa para obtener conclusiones matemticas. Estas conclusiones son analizadas en la tercera etapa e interpretadas como informacin sobre el fenmeno del mundo real.En la etapa final se comprueban las predicciones realizadas comparndolas con nueva informacin tomada del mundo real. Si las predicciones difieren en gran medida de la realidad deberemos aumentar la resolucin o formular un nuevo modelo y comenzar el ciclo de nuevo.ImportanteUn modelo matemtico nunca es una representacin exacta de la realidad, es SLOuna idealizacin que nos permite tratarla como un problema matemtico.

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