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LA MATEMÁTICA MAYA EN LA EDUCACION ESCOLARIZADA EN EL NIVEL PRIMARIO, GUATEMALA

Por: Cayetano Rosales1

I. Justificación La matemática es la expresión de cantidades y magnitudes desde la expresión científica y filosófica de los pueblos, en este caso el Pueblo Maya. En estas páginas, se aborda la matemática maya que se ha desarrollado en el Currículo Nacional Base CNB para el ciclo escolar del nivel primario en la educación de Guatemala. La matemática maya, desarrolla el pensamiento lógico, la abstracción, las habilidades y destrezas cognitivas de los niños y niñas. Su aprendizaje parte desde el entorno natural, social y comunitario a través de los procesos metodológicos: La observación, comparación, abstracción y generalización. II. Antecedentes de uso en el aula en el siglo XXI. Los primero usos sistemático de la matemática maya en la aulas de Guatemala fue en con el Programa Nacional de Educación Bilingüe Bicultural –PRONEBI- en la década de los 80. Como se aprecia en los libros publicados para los estudiantes y maestros del mencionado programa. Con la creación de la Dirección General de Educación Bilingüe Intercultural DIGEBI en 1996, se continuó con su uso en el aula, esto se evidencia con el currículo y las publicaciones en los libros de textos para los educandos. Este contenido matemático se fortaleció con la Reforma Educativa, gestado como producto del Acuerdo de Paz, firmado en 1999, hecho político que dio origen el Currículo Nacional Base III. Fundamento matemático Los símbolos de la numeración maya: punto, barra y caracol. El sistema de numeración Winaq, se utilizan tres símbolos para expresar cualquier cantidad al infinito:

1 Rosales, Maya K’iche’, Lic. en Economía, Universidad de San Carlos de Guatemala. Ha desempeñado diferentes

puestos en organizaciones indígenas. En los últimos nueve años, ha ocupado puestos técnicos en la DIGEBI entre

ellos la Coordinación de Materiales Educativos EBI y miembro del Equipo Núcleo de Guatemática del MINEDUC. Profesor del curso de Matemática desde la cosmovisión de los Pueblo y Matemática y Pensamiento

Lógico, Universidad de San Carlos de Guatemala en la Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media

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El punto, el número uno ( ) Nak’ La raya, el número cinco ( ) Juch’ El caracol, el cero ( ) Wa’ix, ija’ Cada signo posee un significado matemático y cosmogónico en la cultura Maya. El uno que se representa con el punto ( ), la cual se obtiene con el yema del un dedo humano. El numeral cinco se representa con una barra ( ), que se equivale a un brazo que contiene cinco dedos o bien a un pie que sostiene a cinco dedos. Mientras que el cero ( ) es el puño de una mano o el ojo humano. Que al representar la totalidad de los dedos de las extremidades inferiores y superiores de un humano se llega al conteo Jun Winaq, es decir una persona, e aquí la base del sistema vigesimal.

Valor absoluto y relativo de los numerales mayas El valor absoluto. Se refiere a que le punto siempre es uno; la barra siempre será cinco El valor relativo. Se refiere a que el valor que exprese un símbolo (1) depende de la posición que ocupe: el punto en la primera posición toma el valore de uno (1); en la segunda posición toma el valor de 20 en la tercera posición toma el valor de 400 en la cuarta posición toma el valore de 8,000 etc. La barra en la primera posición toma el valor de 5; en la segunda posición toma el valor de 100; en la tercera posición toma el valor de 2000; en la cuarta posición toma el valor de 40,00 y así sucesivamente. El valor relativo se va obteniendo multiplicando el valor de cada poción por la base 20 Conteo oral en el sistema vigesimal en K’iche’ En el conteo oral en general (números cardinales), para especificar el orden de las cosas (números ordinales), para la realización de operaciones básicas de aritmética (suma, resta, multiplicación y división), para la lectura y escritura de la numeración en las diferentes posiciones en idioma maya y otros. Además, el sistema Winaq es clave para entender la filosofía maya, especialmente de la interrelación e interdependencia que existe entre la humanidad, la madre naturaleza y el cosmos, codificado en el mismo sistema de numeración maya.

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K’ICHE’ MAYA ARÁBIGO CARDINAL ORDINAL

1 Jun Nab’e

2 Ka’ib’/keb’ Ukab’

3 Oxib’ Rox

4 Kajib’ Ukaj

5 Job’ Ro’

6 Waqib’ Uwaq

7 Wuqub’ Uwuq

8 Wajxaqib’ Uwajxaq

9 B’elejeb’ Ub’elej

10 Lajuj Ulajuj

11 Julajuj Ujulajuj

12 Kab’lajuj Ukab’lajuj

13 Oxlajuj Uroxlajuj

14 Kajlajuj Ukajlajuj

15 O’lajuj Uwo’lajuj

16 Waqlajuj Uwaqlajuj

17 Wuqlajuj Uwuqlajuj

18 Wajxaqlajuj Uwajxaqlajuj

19 B’elejlajuj Ub’elejlajuj

20 Juk’al Ujuk’al

Microsistemas de la matemática maya Microsistema familiar: Lo integra el Winaq se refiere a una persona, integra, completa y kyeb’winaq, una pareja; mujer y hombre formando una unión matrimonial. Esto en la cosmovisión maya, la familia conforma un microsistema en la numeración. Microsistema k’al: Es el manojito de 20 hilos, un manojo de leña. Es el microsistema más conocido en el sistema de numeración maya, su base es el Winaq (o vigesimal). Microsistema much’: Su base es 80 y salta de 80 en 80. Se utiliza para contar objetos u otros de cantidades considerables, se agrupan en cantidades de ochenta para facilitar el conteo: 2 de ochenta, kab’much’; 4 de ochenta, kajmuch’, etc. Microsistema q’o: significa mano, compuesto por cinco dedos que representan ochenta cada uno. Junq’o’ es 5 veces ochenta, es decir, cuatrocientos. Se utiliza para contar grandes cantidades agrupadas en cuatrocentenas. Kab’q’o’ es igual a 800, oxq’o’ es igual a 1,200.

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Microsistema chuy: significa un montón. Es una de las formas para contar enormes cantidades agrupadas en 8,000 mil. Por ejemplo: kab’chuy representa 16,000; kajchuy es igual a 32,000. Conteo de los números de 20 en 20 a 400 (chi Winaq k’a Q’o)

20n POSICIÓN NUMERACIÓN

MAYA

ESCRITURA INDOARÁBIGO K’ICHE’

200 1º 1 1 Jun 201 2º 1P 20 Juk’al 202 3º 1PP 400 Juq’o 203 4º 1PPP 8,000 Juchuy 204 5º 1PPPP 160,000 Juk’ala’ 205 6º 1PPPPP 31200,000 Juwaqajil 206 7º 1PPPPPP 641000,000 Juwuqajil 207 8º 1PPPPPPP 1,2801000,000 Juwajxaqajil 208 9º 1PPPPPPPP 25,6001000,000 Jub’elejajil 209 10º 1PPPPPPPPP 512,0001000,000 Julajajil 2010 11º 1PPPPPPPPPP 102240,0001000,000 Jujulajajil 2011 12º 1PPPPPPPPPPP 2042800,0001000,000 Jukablajajil 2012 13º 1PPPPPPPPPPPP 4,0962000.0001000.000 Junoxlajajil 2013 14º 1PPPPPPPPPPPPP 81,9202000,0001000,000 Jukajlajajil 2014 15º 1PPPPPPPPPPPPPP 13938,4002000,0001000,000 Junolajajil 2015 16º 1PPPPPPPPPPPPPPP 323768,0002000,0001000,000 Junwaqlajajil 2016 17º 1PPPPPPPPPPPPPPPP 6553360,0002000,0001000,000 Junwuqlajajil 2017 18º 1PPPPPPPPPPPPPPPPP 13,1073200,0002000,0001000,000 Junwajxajil 2018 19º 1PPPPPPPPPPPPPPPPPP 252,1443000,0002000,0001000,000 Junb’elejajil

Las raíces numerales para las primeras cinco posiciones vienen de fuentes históricas. A partir de la sexta posición son neologismos, formados por las raíces numerales en correspondencia con su posición y AJIL= Número. La raíz JU(N) se sustituye por KA-, Ox-, etc. para construir los múltiplos de los números correspondientes. Ejemplo KAWAQAJIL. Propuesta de: Pak’al Ba’alam, Raxche’, mayo de 1996. (LEMNA’ – COPEN Comité pro educación Maya) Números distributivos: En los idiomas mayas, existen palabras que denotan grupos o cantidades equitativas, de dos en dos, de tres en tres, etc. Castellano K’iche’ de uno en uno de dos en dos de tres en tres de cuatro en cuatro de cinco en cinco de seis en seis de siete en siete de ocho en ocho

chi junjun chi kakab’ chi oxox chi kajkaj chi jo’ taq chi waq taq chi wuq taq chi wajxaq taq

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de nueve en nueve de diez en diez de once en once de doce en doce de trece en trece de catorce en catorce de quince en quince de dieciséis en dieciséis de diecisiete en diecisiete de dieciocho en dieciocho de diecinueve en diecinueve de veinte en veinte

chi b’elaj taq chi laj taq chi junlaj taq chi kab’laj taq chi oxlaj taq chi kyajlajch taq chi jwe’laj taq chi qaqlaj taq chi wuqlaj taq chi wajxaqlaj taq chi b’elajlaj taq chi k’al taq /winaq taq

Números partitivos: Las fracciones. Ejemplos de medidas menores que la unidad en idioma K’iche’: Para usos generales, se utiliza la partícula “jil”, una unidad “partido en” dos, tres, cuatro, etc. Jun nik’ajil, la mitad, Jun oxjil, un tercio, 1/3 Jun kajil, un cuarto, Jun jo’jil, un quinto, 1/5 Jun waqjil, un sexto, 1/6 Jun wuqjil, un séptimo, 1/7 Jun wajxaqjil, un octavo, 1/8 Jun b’elajil, un noveno 1/9 Jun lajil, un décimo, 1/10 También se utilizan las partículas peraj, para “pedacito”, ejemplo jun kajperaj, es decir, una cuarta parte. Tal como lo demuestran los trazos de los templos mayas, como el Convento de Uxmal, en la matemática maya existe la noción del “talk’al”, es decir, los vigesimales. Para nominar pequeñísimas fracciones en el sistema vigesimal, se sigue la lógica del uso del sufijo jil, se presenta a continuación:

K’che’ (Uno) Valor Chuy (8,000) Q’o (400) K’al (20) jun (1) k’aljil (1/20) q’ojil (1/400) chuyjil (1/8000)

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IV. Operaciones básicas Los Mayas hicieron uso de un tablero de cálculo para hacer sus cuentas con enormes cantidades, “Que su contar es de 5 en 5 hasta 20, y de 20 en 20 hasta 100 de 100 hasta 400, y de 400 hasta 8 mil: y de esta cuenta servían mucho para la contratación del cacao. Tienen otras cuentas muy largas y que los extienden ad infinitum contando de ocho mil 20 veces, que son 160 mil. Y tornando a veinte, duplican estas 160 mil, y después de irlo así duplicando hasta que hacen un incontable número, cuentan en el suelo. Indudablemente sus cuentas en el suelo las hacían utilizando granos de maíz sobre un tablero previamente dibujado fijando las posiciones correspondientes”2. Simbología de las operaciones básicas en la matemática maya La simbología es un elemento fundamental para desarrollar operaciones básicas con la numeración maya, “para aclarar sobre los indicadores que utilizaron los abuelos en las operaciones, diremos que en los códices utilizaron caracoles y otros símbolos que hasta ahora no lo hemos comprendido muy bien” 3 Ante esta situación los investigadores en la matemática maya han propuesto algunos símbolos para facilitar los procesos de las operaciones básicas y que tienen relación filosófica con la cosmovisión maya. Aunque en el sistema oficial se efectúan las operaciones haciendo uso de los símbolos convencionales. +,-, x y ÷ respectivamente. A continuación se presenta la propuesta de José Mecía Batz y Juan Patal Mactzul para efectuar las operaciones básicas.

2 Fray Diego de Landa escribió en su relación de las cosas de Yucatán

3 Mucía, José (2001:129). Matemática Vigesimal Maya. Guatemala.

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NOMINACIÓN JOSÉ MUCÍA BATZ JUAN PATAL MACTZUL

OPERACIÓN BÁSICA

SIMBOLOGIA REPRESENTA SIMBOLOGÍA REPRESENTA

adición remolino norte

sustracción volcán

decapitado sur

multiplicación

nube Oriente

división Petate occidente

Adición con el sistema vigesimal La suma es una operación matemática que desarrolla el pensamiento lógico desde la visión maya y se obtiene mediante la manipulación y la relación con los elementos de la naturaleza: frijoles, palillos, conchas, hojas, piedras y semillas. Las niñas y los niños aprenden a sumar por medio de juegos en aula, al comprender que sumar es juntar los elementos que se tienen; se aplica directamente en la vida diaria a través de frutas, semillas y otros materiales. Se debe dejar claro que la adición tiene los sentidos de juntar y agregar4. La capacidad para juntar dos, tres, cuatro o más elementos de manera clara y significativa, es una de las principales capacidades, habilidades y destrezas que las niñas y los niños mayas deben adquirir para iniciarse en la adición. Ejemplos:

4 2 2 En una fiesta se encontraron dos niños. Otilia compró dos duraznos y Sinakan compró cuatro duraznos, ¿Cuántos duraznos compraron en total los dos niños en la fiesta? 4 Guía para el Docente Matemática y Pensamiento Lógico, -ADEP/D- MINEDUC/USAC. 2009 Pag. 49.

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Total Signo

igual Sumando Signo

más Sumando

6 = 4

2

Respuesta: entre Otilia y Sinakan tienen duraznos. En un costal hay trece aguacates, al regresar Carlos del campo echó nueve aguacates más. ¿Cuántos aguacates hay en total? Planteamiento

=

Respuesta: En el costal hay aguacates

Sustracción con el sistema vigesimal La resta es una operación aritmética muy practicada en las comunidades mayas en diferentes actividades de la vida diaria. Para facilitar su aprendizaje en el aula, el docente tiene que orientar a sus alumnos para que conceptualicen y ejercitan que restar es quitarle una cantidad a otra. Las niñas y los niños en grupos de trabajo deben de ejercitar la sustracción con materiales concretos tomando en cuenta los elementos o insumos del entorno, pueden desarrollar actividades formando grupos o conjuntos, restando elementos, se darán cuenta que jugando se aprende la resta antes de escribir los números en el pizarrón, luego en el cuaderno. El concepto de sustracción se relaciona con las acciones de quitar, separar y diferenciar5

5 Guía para el Docente Matemática y Pensamiento Lógico, -ADEP/D- MINEDUC/USAC. 2009 Pag. 53

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Ejemplo: En un plato hay cinco tortillas. Kanek se como dos tortillas. ¿Cuántas tortillas quedan? Procedimientos para realizar la sustracción El procedimiento para operar o practicar la resta sin conversión, es quitar el valor de la cantidad del lado izquierdo a la cantidad del lado derecho y colocar la que sobre en la casilla que le corresponde. La operación debe realizar por posiciones vigesimales, de abajo hacia arriba, excepto los casos complejos. Ejercicios de la sustracción. Planteamiento

=

Respuesta: Quedan entre en el plato. En el aula hay diecinueve niños. Once son mujeres. ¿Cuántos varones hay en el aula? Planteamiento

=

Respuesta: En el aula hay varones. El pastor lleva veinticinco ovejas y cuatro vacas. ¿Cuántas ovejas más hay?

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Planteamiento

=

Respuesta: Hay ovejas Nota: Aquí para efectuar la resta hay que desagrupar el numeral cinco que se encuentra en la primera casilla, a fin de facilitar la operación Multiplicación con el sistema vigesimal El procedimiento para operar o practicar la multiplicación, es juntar las veces el multiplicando según lo indica el multiplicador y el resultado o producto se coloca al lado izquierdo sobre la casilla que le corresponde. La operación debe realizarse por posiciones vigesimales, de abajo hacia arriba, excepto los casos complejos. Ejercicios de la multiplicación: En este ejercicio se puede ver lo siguiente: Dos veces cuatro o cuatro y cuatro da un total de ocho.

Ana tiene Bolsas con frijoles, cada bolsa tiene frijoles. ¿Cuánto frijoles tiene en total? Para operar se puede auxiliare con estos símbolos.

Q’o K’al jun

400 20 1

Q’o 400 * *

K’al 20

jun 1

*

mu

ltip

lica

nd

o

multiplicador

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Se coloca en las casilla de veintena (k’al) y en la casilla de unidades en la columna del multiplicando. Seguidamente se coloca en la casilla de unidades del multiplicador. Planteamiento Operación

Producto cálculo multiplicando producto cálculo multiplicando

multiplicador

Respuesta: Ana tiene frijoles Otro caso

Kikab’ tiene bolsas con chocolates, cada bolsa tiene chocolates. ¿Cuántos chocolates tiene en total tiene Kikab’? Planteamiento Operación

Respuesta: Kikab’ tiene chocolates Conclusión:

No necesita memorizar las tablas de multiplicación Desarrolla las habilidades el pensamiento lógico desde la cosmovisión maya.

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Construye cantidades de gran valor únicamente con tres símbolos, haciendo uso de las reglas de agrupación, cinco puntos en una barra y cuatro barras en un punto en la casilla del inmediato superior.

Inicio al algebra matricial División con el sistema vigesimal El procedimiento para operar o practicar la división, es verificar cuantas veces aparece el divisor en el dividendo el resultado o producto se coloca al lado izquierdo sobre la casilla que le corresponde. La operación debe realizarse por posiciones vigesimales, de abajo hacia arriba, excepto los casos complejos. Ejercicios de la división

Don Santos tiene Cuerdas de terreno. Quiere repartir entre sus hijos ¿Cuántas cuerdas de terreno le dará a cada uno? La división es una operación contraria a la multiplicación Planteamiento:

divisor minuendo residuo

w

Co

cie

nte

Operación

w

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Respuesta: Don Santos entrega Cuerdas de terreno a cada hijo División sin residuo y desagrupar

Don Víctor cosechó Redes de verduras. Él los va transportar en picops. ¿Cuántas redes le tocan llevar cada picop? Planteamiento

y

Operación

y

Respuesta.

Cada picop le corresponde llevar redes de verduras. División con residuo y desagrupar

Doña Micaela cosechó quintales de maíz en el año 2010, ella tiene silos para almacenar. ¿Cuántos quintales debe guardar en cada silo?

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Planteamiento

p

Operación

p

Respuesta.

Doña Micaela debe guardar en cada silo Quintales de maíz.

lo deja al fuera de los silos.

V: Conclusiones El sistema vigesimal se fundamenta en la persona humana, solamente utiliza tres símbolos para contar, calcular y relacionar cantidades y dimensiones, los cuales es representado a través del óvalo, el punto y la barra: , y . A través del cual se desarrolla el pensamiento lógico y las operaciones básicas. La importancia del estudio y práctica de la matemática maya en el sistema educativa de Guatemala, desarrolla varias competencias socioculturales y matemáticas, entre las que se destacan: • Desarrolla el pensamiento lógico – matemático de las niñas y los niños en edad

escolar desde la visión del pueblo maya. • Resuelve problemas matemáticos cotidianos en la vida individual, familiar y

comunitaria, especialmente en los espacios del mercado y el intercambio de bienes materiales.

• Fortalece la concepción filosófica que el Pueblo Maya que desarrolló en torno al tiempo, el espacio y las distintas operaciones matemáticas.

• Demuestra la presencia viva del pueblo Maya ante el mundo entero, por ello, es marcador de identidad cultural y social.

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Bibliografía:

1. Academia de Lenguas Mayas de Guatemala ALMG, (2005) “Numeración Maya K’iche’. Mayab’ Ajilab’al pa K’iche’ Tzij”. Guatemala.

2. Calderón, Hector M. (1996) “La Ciencia Matemática de los Mayas”, Editorial Orión, México.

3. Gorón, Pedro (2003) PRODESSA/MINEDUC. “Ciencia y Tecnología Maya”, Guatemala.

4. Guía para el Docente Matemática y Pensamiento Lógico, -ADEP/D- MINEDUC/USAC. (2009). Guatemala.

5. Landa, Diego de, (1938) “Relaciones de las Cosas de Yucatán”, 7ª. Edición. Editorial Pedro Robledo, Mexico.

6. Morales, Leonel. (1994) “Matemática Maya. Editorial”. La Gran Aventura. Guatemala.

7. Mucía, José. (2001) “AJLAB. Matemática Vigesimal Maya”. Tres tomos. Guatemala.

8. Patal, Juan. (1998) “Ajliäy Ixim, El contador de los granos de Maíz”, PROMEM –UNESCO. Guatemala.