la integral

Moisés Villena Muñoz Cap. 3Cap. 3Cap. 3Cap. 3 La integral La integral La integral La integral

57

3

3.1 DEFINICIÓN DE ANTIDERIVADA O INTEGRAL INDEFINIDA

3.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 3.2.1 FORMULAS 3.2.2 PROPIEDADES 3.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA 3.2.4 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN 3.2.5 INTEGRACIÓN POR PARTES (OPCIONAL)

3.3 LA INTEGRAL DEFINIDA. 3.4 AREAS DE REGIONES PLANAS

ObjetivoObjetivoObjetivoObjetivos:s:s:s: Se pretende que el estudiante: • Encuentre algebraicamente integrales • Evalué integrales definidas. • Calcule áreas de regiones planas • Determine espacio recorrido dada la velocidad


58

En la antigüedad existían dos problemas a resolver; el de la recta tangente, como ya lo mencionamos en el capítulo anterior, y el otro es del área bajo una curva. El problema del cálculo del área bajo una curva se lo resuelve con las nociones del cálculo integral los cuales expondremos en este capítulo.

Sin embargo empezaremos hallando antiderivadas (proceso contrario al de la derivación) que luego utilizaremos para los propósitos del cálculo integral. 3.1 INTEGRAL INDEFINIDA

Llamamos a F una antiderivada, primitiva o integral indefinida

de f en un intervalo I , si )()( xfxFDx

= es decir )()´( xfxF =

La función f ahora será una derivada

3.1.1 Notación La notación que emplearemos para referirnos al cálculo de una

antiderivada es la siguiente:

∫ += CxFdxxf )()(

3.1.2 Teorema

Si )´()´( xGxF = , ( )bax ,∈∀ entonces existe una

constante C tal que CxGxF += )()( , ( )bax ,∈∀ Con este teorema justificamos haber ubicado la constante C

sumando a la antiderivada en la notación. Para una derivada habrá muchas antiderivadas que difieren en una constante. Lo cual también lo podemos observar como que la solución es una familia de curvas.

Bien, ahora dediquémonos a encontrar antiderivadas o integrales

indefinidas.


59

3.2 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Integración significa calcular antiderivadas o primitivas, el proceso contrario de la derivación.

En primera instancia, es importante pensar que siempre se va a

poder determinar la antiderivada empleando fórmulas, igual como se lo hacia en el calculo de derivadas.

3.2.1 FORMAS (FÓRMULAS) ESTÁNDARES DE INTEGRALES

1. ∫ += Cxdx

2. ∫ ++

=

+

Cn

xdxx

nn

1

1

; 1−≠n

3. ∫ += Cxdxx

ln1

4. ∫ += Cedxe xx

5. ∫ += Ca

adxa

xx

ln

6. ∫ +−= Cxxdx cossen

7. ∫ += Cxxdx sencos

8. ∫ += Cxxdx tgsec2

9. ∫ +−= Cgxxdx cotcsc2

10. ∫ += Cxxdxx sectgsec

11. ∫ +−= Cxgdxx csccotcsc

12. CxCxxdx +=+−=∫ seclncoslntg

13. ∫ += Cxgxdx senlncot

14. ∫ ++= Cxxxdx tgseclnsec

15. ∫ +−= Cgxxxdx cotcsclncsc

Las primeras 11 fórmulas se las puede entender fácilmente de

acuerdo a las formulas que se proporcionaron para derivadas.


60

Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1Ejemplo 1

Calcular ∫ dxx2

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

Cx

Cx

dxx +=++

=

+

∫ 312

3122

La solución es una familia de curvas de la forma 3

3

xy C= + , si quisiéramos una solución

en particular deberíamos conocer un punto de la curva, por ejemplo suponga que 1y =

cuando 1x = , reemplazando se puede calcular el valor de C :

311

3

2

3

C

C

= +

=

Por tanto, la solución particular sería: 3 2

3 3

xy = +


Calcular ∫ dxx

1

SOLUCIÓN: Sería cuestión de emplear la formula 2.

Cx

dxxdxx

+==+−

+−−

∫∫ 1

1

21

2

1

2

1

1

Para suma, resta de funciones y multiplicación por escalares

hacemos uso de las siguientes propiedades. 3.2.2 PROPIEDADES La Integral Indefinida cumple con propiedades de linealidad, es

decir:

1. [ ] ∫∫ ∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

2. ∫∫ ∈= Rkdxxfkdxxkf ;)()(


61

3.2.3 INTEGRACIÓN DIRECTA Sólo con recursos algebraicos, propiedades y formulas, en ocasiones,

se pueden encontrar antiderivadas de manera inmediata.


Calcular ∫ dxx35

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades

CxCx

Cx

dxxdxx +=+=+==+

+

∫∫ 34

1

1

31

3

4

155555

3

4

3

4

3

1

3

1


Calcular ∫

−+ dxex

x

x4sin32

SOLUCIÓN: Aplicando propiedades y fórmulas:

Cexx

dxexdxdxx

dxedxdxx

dxexx

x

x

xx

+−−=

−+=

−+=

−+

∫ ∫∫∫ ∫∫∫

4cos3ln2

4sin31

2

4sin32

4sin32


Calcular ∫

−+dx

x

xxe x

2

46 3

SOLUCIÓN:

Cxxe

dxxdxx

dxe

dxxx

edxx

xxe

x

x

xx

+−+=

−+=

−+=

−+

∫∫∫

∫∫

3

2

23

6

1ln23

2

1123

2

123

2

46


Calcular ( )

∫−

dxxx

x

3

31

SOLUCIÓN: Elevando al cubo el binomio y luego simplificando para aplicar propiedades, resulta:


62

( )

Cxxxx

Cxxxx

dxxdxxdxxdxx

dxxxxx

dx

x

x

x

x

x

x

x

dx

x

xxxdx

xx

x

+−+−−=

+−+−−

=

−+−=

−+−=

−+−=

−+−=

−

−

−

−−

−−

∫∫∫∫∫∫∫∫

38

35

32

31

38

35

32

31

35

32

31

34

35

32

31

34

34

3

34

2

34

34

34

32

3

3

8

3

5

9

2

93

38

35

3

32

3

31

33

33

331

3311

EjEjEjEjercicios Propuestos ercicios Propuestos ercicios Propuestos ercicios Propuestos 3333.1.1.1.1 Hallar:

1. ( )2

2 x dx−∫

2. ( )∫ − dxx323

3. ( )2

1x x dx−∫

4. ∫

− dxxxx2

11

5. ( )1 23sec 2 tanxe x x dx++ −∫

6. 2

2

2 3x senx xdx

x

− +

∫

7. 2 secxxe x x

dxx

+ −

∫

8. ( )

dxx

x

∫−

33

9. ( )( )

dx

x

xx∫ −+

3 2

22 21

10. 2 110 20

5

x x

xdx

+ +−

∫

3.2.4. INTERGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE

VARIABLE Cuando se presentan funciones con reglas de correspondencias un

tanto más complejas, en las que ya no es posible una integración directa, puede ser que con un artificio matemático llamado cambio de variable se transformen en integrales inmediatas.


63

En este caso las fórmulas de integrales se las puede observar no sólo para " x " sino para otra variable.


Calcular ( )∫ − dxx30

1

SOLUCIÓN: No sería práctico obtener el desarrollo del binomio, porque el exponente es 30. Entonces, sería más

conveniente si empleamos el cambio de variable xt −= 1 .

Del cambio de variable, tenemos:

dtdx

dxdx

dt

−=

−= 1.

Ahora sustituyendo resulta: ( ) Ct

dttdtt +−=−=− ∫∫ 31

313030

Una vez integrado, reemplazando t se obtiene: ( )( )

Cx

dxx +−

−=−∫ 31

11

3130


Calcular∫ dxx

xsen

SOLUCIÓN:

Aquí empleamos el cambio de variable: xt = .

Del cambio de variable se obtiene:

dtxdx

xdx

dt

2

2

1

=

=.

Sustituyendo resulta: ( )∫ ∫∫ +−=== Cttdtdtxx

tdx

x

xcos2sen22

sensen

Una vez integrado, reemplazando " t " tenemos: Cxdxx

x+−=∫ cos2

sen


Calcular∫ − dxxx 1

SOLUCIÓN:

Aquí empleamos el cambio de variable: 1−= xt

Del cambio de variable se obtiene:

dtdx

dx

dt

=

= 1

Sustituyendo resulta: ∫∫ =− dttxdxxx 1

Como no se simplifica la x , debemos reemplazarla.


64

En este caso, despejando x del cambio de variable, resulta: 1+= tx

Entonces:

( ) ( )

Ctt

dttdttdttttdtttdttx

++=

+=+=+= ∫ ∫ ∫∫∫2

3

322

5

52

21

23

1

Una vez integrado, reemplazando t resulta:

( ) ( ) Cxxdxxx +−+−=−∫ 23

322

5

52 111


Calcular dxx

x

∫

+1

42

SOLUCIÓN:

Esta integral se la resuelve por el cambio de variable 12+= xt ,

de donde xdx

dt2= , entonces

x

dtdx

2= .

Sustituyendo, resulta: CxCtdttx

dt

t

xdx

x

x++=+===

+ ∫∫∫ 1ln2ln21

22

4

1

4 2

2

Ejercicios Propuestos 3.2Ejercicios Propuestos 3.2Ejercicios Propuestos 3.2Ejercicios Propuestos 3.2

Calcular:

1. ( )∫ − 2

525x

dx

2. dxe

e

x

x

∫ +1

3. ( )

∫ dxx

x2

ln

4. dxx

x

∫ +1

5. dxxx∫ +1

6. dxxx∫ + 32

7. dxx

x∫ −

+

1

12

12. ( )∫ −

dx

xx3

2

1

13. dxx

x

x∫

−

+

− 1

1ln

1

1

2

14. ∫ +

++

dxx

xx

2

2

1

1ln

15. ∫

π+4

2sen2 x

dx

16. ( )

dxxx

xxx

∫ −−

−−−

13

13sen16

2

2

17. ∫+

dxx

ex x

sec

sec sen3


65

8. ∫ dxxx ln

1

9. ∫ + xx

dxx

ln1

ln

10. dxx

xx

∫ +

+

2

2

1

1ln4

11. ( )∫ xxx

dx

lnlnln

18. ∫ dxx

x )4sen(ln 2

19. ∫+

dxx

x

2sen

2cos12

20. dxee

eexx

xx

∫ −

−

+

−

22

22

3.2.5 INTEGRACION POR PARTES.(Opcional)

Para el producto de funciones, tenemos: ( ) vduudvuvd +=

Despejando e integrando término a término, resulta:

( )

( ) ∫∫∫ −=

−=

vduuvdudv

vduuvdudv

En definitiva, la fórmula que se emplea en integración por partes es:

∫∫ −= vduuvudv


Calcular ∫ dxex x

SOLUCIÓN:

Haciendo xu = y dxedv x= .

Entonces dxdu = y xxedxev == ∫

Integrando, resulta:

} } } }}

Ceex

dxeexdxex

xx

duv

x

v

x

udv

x

u

+−=

−= ∫∫876


66


Calcular ( )∫ −+ dxxxx sen532 2

SOLUCIÓN:

Haciendo 532 2−+= xxu y dxxdv sen= .

Entonces ( )dxxdu 34 += y xxdxv cossen −== ∫

Por lo tanto, integrando tenemos:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )∫∫∫

++−+−=

+−−−−+=−+

xdxxxxx

dxxxxxxdxxxx

duvvudvu

cos34cos532

34coscos532sen532

2

2248476484764847644 844 764847644 844 76

Ahora, la integral ( )∫ + xdxx cos34 , también se la realiza por partes.

Haciendo 34 += xu y dxxdv cos= . Entonces dxdu 4= y xxdxv sencos == ∫

Por tanto: ( ) ( ) ( )

( ) xxx

dxxxxxdxx

cos4sen34

4sensen34cos34

++=

−+=+ ∫∫

Finalmente:

( ) ( ) ( ) Cxxxxxxdxxxx ++++−+−=−+∫ cos4sen34cos532sen532 22


Calcular xdxex cos∫

SOLUCIÓN:

Haciendo xeu = y dxxdv cos= .

Entonces dxedu x= y xxdxv sencos == ∫

Por tanto: ∫∫ −= dxexxexdxe xxx sensencos

La integral ∫ dxxe xsen se la calcula por parte. Hacemos xeu = y dxxdv sen= . Entonces

dxedu x= y xxdxv cossen −== ∫ .

Por lo tanto ∫ ∫+−= xdxexexdxe xxx coscossen


67

Finalmente:

∫∫∫∫

−+=

+−−=

xdxexexexdxe

xdxexexexdxe

xxxx

xxxx

coscossencos

coscossencos

Note que la última integral es semejante a la primera; entonces, despejando

Cxexe

xdxe

xexexdxe

xxx

xxx

++

=

+=

∫∫

2

cossencos

cossencos2


Calcular ∫ xdxx ln

SOLUCIÓN: Aquí debemos tomar xu ln= y dxxdv = .(¿por qué?)

Entonces dxx

du1

= y 2

2x

xdxv == ∫

Por tanto:

( )

Cx

xx

xdxxx

dxx

xxxxdxx

+

−=

−=

−

=

∫∫∫

2ln

ln

1

22lnln

2

212

21

212

21

22


Calcular ∫ xdxln

SOLUCIÓN:

Entonces, aquí sería también xu ln= y dxdv = . Entonces dxx

du1

= y xdxv == ∫

Por tanto:

Cxxx

dxx

xxxxdx

+−=

−= ∫∫

ln

1lnln


68

Ejercicios Ejercicios Ejercicios Ejercicios Propuestos 3Propuestos 3Propuestos 3Propuestos 3....3333 (Opcional) Calcular:

1. ∫ dxex x3

2. ∫ − dxex x22

3. ( )∫ + dxxex2

4. ∫+dx

e

xx

1

5. ( )∫ +− dxexx x22 23

6. ∫ dxxx ln

7. ∫ dxxx 2ln

8. ∫ dxe x

9. ∫

++ dxxx 21ln

10. ( )∫ dxxlncos

11. dxx∫ sen

12. ( )∫ dxxlnsen

13. ( )∫ dxxx tglnsen

14. ∫ x

dxxx

2sen

cos

15. ∫ dxexx25

3.3 LA INTEGRAL DEFINIDA.

Suponga ahora que se desea determinar el área bajo una curva

( )y f x= en un intervalo [ ],a b


69

Dividiendo la región en "n " rectángulos:

Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha

denotado como x . El área del primer rectángulo sería 111)( xxfA ∆= , el

área del segundo rectángulo sería 222)( xxfA ∆= ; y así, el área del n-

ésimo rectángulo sería nnnxxfA ∆= )( .

La suma de las áreas de los n rectángulos sería:

( ) ( ) ( ) ( )nn xxfxxfxxfxxf ∆++∆+∆+∆ K

332211

Que de manera abreviada tenemos:

( )∑=

∆

n

i

ii xxf1

Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería

considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región estaría dada por:


70

( )

∆= ∑

=∞→

n

i

iin

xxflímA1

De aquí surge la definición de Integral Definida.

Sea f una función que está definida en el intervalo [ ]ba, . Al

( )

∆∑=

∞→

n

iii

nxxf

1

lím se le denomina la integral definida (o integral de

Riemann) de f de "a " a "b" y se denota de la siguiente manera:

∫b

a

dxxf )( .

Nos queda la inquietud de que si calculamos el área por el límite

infinito de la suma sería algo engorroso. Pero entonces ¿qué?. El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de

una manera muy rápida y sencilla.

3.3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Sea f continua en [ ]ba, y sea F cualquier antiderivada de

f en [ ]ba, entonces:

)()()( aFbFdxxfb

a

−=∫

Con el teorema fundamental del cálculo es muy sencillo evaluar

integrales definidas. Note que aquí encaja el hecho de encontrar antiderivadas que ya lo tratamos de entrada.

EjemploEjemploEjemploEjemplo

Calcular dxx∫3

1

2

SOLUCIÓN: Aplicando el teorema fundamental del cálculo:


71

3

26

3

1

3

27

3

1

3

3

3

333

1

3

3

1

2=−=

−−+=

+=∫ CCC

xdxx

La constante C siempre se va a suprimir.

EjeEjeEjeEjercicios propuestos 3.4rcicios propuestos 3.4rcicios propuestos 3.4rcicios propuestos 3.4 Calcular las siguientes integrales definidas:

1. ( )

1

2

0

2 1x dx+∫

2.

4

0

tan x dx

π

∫

3. ( )

1

0

3xe x dx+∫

4.

6

2

0

csc x dx

π

∫

5. ( )∫ ++

+

1

0

22 14

2dx

xx

x

6. ( )∫ π

21

0

2sen dxx

7. ( )[ ]∫ −+

1

0

33cos3 dxxx

8. ∫2

41

lndx

x

x

9. ∫+

−

1

2

1

e

dxx

x

10. ∫ −

−+

5

4

2

32

24dx

x

xx

Observe que 0)( =∫a

a

dxxf y ∫∫ −=

a

b

b

a

dxxfdxxf )()( ¿PORQUÉ?

3.3.3 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

3.3.3.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD

Suponga que f y g son integrables en el intervalo [ ]ba,

y sea Rk∈ , entonces:

1. [ ] [ ] [ ]∫∫∫ ±=±b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(


72

2. ∫∫ =b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

3.3.3.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD

Si f es integrable en un intervalo que contiene a los puntos

a, b y c (no importar su orden), entonces:

∫∫∫ +=

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

Esta propiedad es útil cuando se trata con funciones que son

continuas en intervalos, es decir, funciones que presenta el siguiente comportamiento.

Demostración:Demostración:Demostración:Demostración:

Por el teorema fundamental del cálculo:

∫∫∫ =−=−+−=+

b

a

b

c

c

a

dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(

PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?

∫∫∫ +=

3

5

2

5

1

2

3

1

2 dxxdxxdxx


73

Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo

Calcular ∫5

1

)( dxxf donde

<+−

≥−=

3;13

3;12)(

2 xxx

xxxf

SOLUCIÓN: Como f tiene dos reglas de correspondencia, es decir:

Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:

( ) ( )

( ) ( )[ ]

3

38

3952512

3

3

13

2

279

2

2

2

3

3

1213)(

5

3

23

1

23

5

3

3

1

2

5

1

=

−−−+

+−−

+−=

−+

+−=

−++−= ∫∫∫x

xx

xx

dxxdxxxdxxf

Ejercicios Propuestos 3.5Ejercicios Propuestos 3.5Ejercicios Propuestos 3.5Ejercicios Propuestos 3.5 1. Calcular

1. ( ) ,

3

2

∫−

dxxf si ( )

≤<−

≤≤−=

31,21

12,2 2

xx

xxxf

2. ( ) ,

3

3

∫−

dxxf si ( )

>−

≤=

1,21

1,2

xx

xxxf

3. ( ) ,

3

5

∫−

dxxf si ( )

>

≤−=

2,

2,32 2

xx

xxxf

4. ∫ −

4

0

1 dxx

5. ∫−

−

5

2

3 dxx

6. ∫−

−

4

2

13 dxx

7. ∫−

−

2

1

12 dxx


74

3.4 AREAS DE REGIONES PLANAS

3.4.1 ÁREA BAJO UNA CURVA

Ya se mencionó que para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una integral definida.

Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la región plana

El área del elemento diferencial será: dxxfhdxdA )(==

Por tanto, el área de la región plana es: ∫=

b

a

dxxfA )(


Calcular el área de la región limitada por

=

+−=

=

0

6

y

xy

xy

SOLUCIÓN:

Se dibuja en un mismo plano xy = y 6+−= xy

Se calcula las intersecciones y se identifica la región.


75

Hay dos regiones bien definidas, por tanto el área está dada por:

( )

( )

( ) ( ) ( )

3

22

24836183

16

462

466

2

604

62

6

22

23

32

6

4

24

0

23

32

6

4

4

0

=

−++−=

+−−

+−+

−=

+−+=

+−+= ∫∫

A

xx

x

dxxdxxA

3.4.2 ÁREA ENTRE CURVAS

Si la región plana tuviera la siguiente forma:

El área del elemento diferencial será: [ ]( ) ( )dA hdx f x g x dx= = −

( ) ( )

( )( )49

049

03613

3612

6

6

2

2

22

=∨=

=−−

=+−

+−=

+−=

+−=

xx

xx

xx

xxx

xx

xx


76

Entonces el área de la región plana esta dada por:

[ ]( ) ( )

b

a

A f x g x dx= −∫

CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:CONCLUSIÓN:

Para hallar el área de una región plana, siga los siguientes pasos:

1. Dibuje las curvas dadas.

2. Identifique la región plana. Aquí se definen los límites de integración.

3. Defina el rectángulo diferencial, el elemento representativo.

4. Defina la integral o las integrales para él área.

5. Evalúe la integral definida.


Calcular el valor del área de la región limitada por

−=

+=

2

4

2xy

xy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Graficamos en un mismo plano 4+= xy y 22−= xy

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de las curvas. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:

( )23

0)2(3

06

24

2

2

−=∨=

=+−

=−−

−=+

xx

xx

xx

xx


77

( ) ( )[ ]∫−

−−+=

3

2

2 24 dxxxA

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

( ) ( )[ ] [ ]

( ) ( )( )

6

5

1223

818

2

99

262

2

3

2)3(6

2

3

3

3

623

624

2323

3

2

23

3

2

2

3

2

2

=

−+−++−=

−+

−+

−−−

++−=

++−=

++−=−−+=

−

−−

∫∫

A

xxx

dxxxdxxxA


Calcular el valor del área de la región limitada por

=

−−=

0

623

y

xxxy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Dibujamos xxxy 623−−=

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallando las intercepciones de la curva con el eje x. PASO 3: Definimos el elemento diferencial. PASO 4: La integral definida para el área sería:

( )[ ] [ ]dxxxxdxxxxA ∫∫ −−−+−−−=

−

3

0

23

0

2

23 6()0()0(6

( )( )

230

0)2(3

06

06

2

23

−=∨=∨=

=+−

=−−

=−−

xxx

xxx

xxx

xxx


78

PASO 5: Evaluando la integral definida, tenemos:

( )[ ] [ ]

[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

12

253

2794

8112

3

84

)0(2

36

3

3

4

3

2

26

3

2

4

20

26

3426

34

66

6()0()0(6

234234

3

0

2340

2

234

3

0

23

0

2

23

3

0

23

0

2

23

=

++−+−−=

−

++−+

−−

−−

−−=

++−+

−−=

++−+−−=

−−−+−−−=

−

−

−

∫∫

∫∫

A

xxxxxx

dxxxxdxxxx

dxxxxdxxxxA

Ejercicios propuestos 3.6Ejercicios propuestos 3.6Ejercicios propuestos 3.6Ejercicios propuestos 3.6 Hallar el área de la región limitada por las curvas:

1. ,,2 2 xyxy =−=

2. ,0,4 2=−= yxxy entre 1=x y 3=x .

3. 8,0,4 ==−= xyxy .

4. 01,342=−−+−= yxxxy .

5. 2 , 2 4, 0y x y x x= = − = .

6. xxyxy 4, 22+−==

7. ,,6 3xyxy =+= 4

2xy −= .

8. 2, 2y x y x= = −

9. 3 23 , 4y x x y x= + =

10. xxyxxxy 4,86 223−=+−=


79

3.4.3 ÁREA DE REGIONES SIMPLE- y (OPCIONAL)

Si la región plana tuviese la siguiente forma:

Es más conveniente tomar el elemento diferencial representativo en disposición horizontal

El área del elemento diferencial será: dyyfxdyhdydA )(===

Entonces el área de la región plana es: ∫=

d

c

dyyfA )(

Y para el caso de regiones simple-y más generales, tenemos:

El área del elemento diferencial será: [ ]dyygyfhdydA )()( −==

Entonces el área de la región plana esta dada por:

[ ]∫ −=

d

c

dyygyfA )()(


80



=

+−=

=

0

6

y

xy

xy

SOLUCIÓN:

PASO 1: Se dibuja en un mismo plano xy = y 6+−= xy

PASO 2: Identificamos la región plana, sombreándola y hallamos las intercepciones de las curvas. PASO 3, 4 y 5: En este caso observamos que el elemento diferencial puede ser de las dos formas. Escogiendo el elemento diferencial horizontal: El área está dada por:

( )[ ]

( ) ( )

3

22

3

8212

03

2

2

226

326

6

32

2

0

32

2

0

2

=

−−=

−

−−=

−−=

−−=∫

A

yyy

dyyyA



−=

−=

23

1

yx

xy

SOLUCIÓN: PASO 1, PASO 2 y PASO 3: El elemento diferencial sería mejor horizontal en este caso


81

Paso 4 y 5: El área de la región sería:

( ) ( )[ ]

[ ]

( )( ) ( )

( )

2

9

423

82

2

1

3

1

222

2

3

212

2

1

3

1

223

2

13

2323

1

2

23

1

2

2

1

2

2

=

++−+−−=

−+

−−

−−−

+−−=

+−−=

+−−=

+−−=

−

−

−

∫

∫

A

yyy

dyyy

dyyyA

Ejercicios propuestos 3Ejercicios propuestos 3Ejercicios propuestos 3Ejercicios propuestos 3. 7. 7. 7. 7(Opcional) Hallar el área de la región limitada por las curvas:

1. 0124,02 22=−+=− xyxy .

2. 422−=+= xy,xy

( )( )12

012

02

31

2

2

=∨−=

=−+

=−+

−=+

yy

yy

yy

yy


82

3.4.4 APLICACIONES.

EjemploEjemploEjemploEjemplo 1111

Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por

( ) 2110

1v t t t= + + mseg

a) Determine el espacio recorrido durante los primeros 5 seg. b) Interprete gráficamente el espacio como el área bajo la curva de la velocidad.

SOLUCIÓN: a) La velocidad es la derivada del espacio con respecto al tiempo, entonces para encontrar el espacio habrá que integrar la derivada.

( ) ( )55 5 3 2

2110

0 0 0

1 125 251 5 41.67 .

10 3 2 30 2

t ts v t dt t t dt t m= = + + = + + = + + =∫ ∫

b) El espacio recorrido es el área bajo la curva de la velocidad

EjemploEjemploEjemploEjemplo 2222

Suponga que una máquina genera ingresos a razón de 2(́ ) 100 2R t t= − dólares al año

y que los costos se acumulan a razón de 2(́ ) 25C t t= + dólares al año.

c) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? d) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente

SOLUCIÓN: Graficando ambas curvas para interpretar las ganancias netas, tenemos:

( ) 2110

1v t t t= + +

( )v t

t0 5


83

a) Igualando las ecuaciones, tenemos:

2 2

2

100 2 25

3 75

5

t t

t

t

− = +

=

=

Por tanto los ingresos son superiores a los costos, período de rentabilidad, durante los primeros 5 años. b) Las ganancias Netas están dada por :

[ ]

( ) ( )

( )

5

0

5

2 2

0

5

2

0

53

0

(́ ) (́ )

100 2 25

3 75

75

$250

Ganancias Netas R t C t dt

t t dt

t dt

t t

= −

= − − +

= − +

= − +

=

∫

∫

∫

Ejercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios PropuestosEjercicios Propuestos 3.83.83.83.8

1. Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por

( ) 2 25v t t= + mseg


2. Suponga que una partícula se desplaza con una velocidad dada por

( ) 3 5v t t= + mseg



84

3. Suponga que una máquina genera ingresos a razón de 2(́ ) 75R t t= − dólares al año y que los

costos se acumulan a razón de

2

´( ) 1064

tC t = + dólares al año.

a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.

4. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de (́ ) 105R t = dólares al año y

que los costos se acumulan a razón de 2(́ ) 5C t t= + dólares al año.

a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente

5. Suponga que una máquina genera ingresos constantes a razón de (́ ) 1050R t = dólares al año

y que los costos se acumulan a razón de ´( ) 50 10tC t = + dólares al año.

a) ¿Cuántos años transcurren antes de que la máquina deje de ser rentable? b) Calcule las ganancias Netas. Interprete gráficamente.

MisceláneosMisceláneosMisceláneosMisceláneos 1. Encuentre las antiderivadas de:

1. ( )

dxx

xex

∫ +21

2. ∫ −

−dx

x

x

4

5

3. ( )∫ + dxxx ln8

4. ( )∫ −−+ dxeeCos

xx 102

5. ∫ ++

+dx

xx

xx

4 24

3

82

6. ∫ + dxxx 102 23

7. ∫ dxxx2csc

8. ( )∫ + dxxx 2

2

9. ( )∫ − dxxx ln1

10. ∫ +dxx

x

cos51

sen

11. ( )

∫ +

+dx

x

x

1

1ln

12. ∫

+

+dx

x

x

5

3ln

13. ∫

−+ dxx

x

x)12cos(

cos

sen

14. ( )24 13 ln5 xx x xe dx+

−∫

15. ∫ +

++dx

x

xx

5

13 2

16. ∫ +

+dx

ex

ex

x

x

25

5

2

17. ∫ +dxx

x 13 2

2

18. ( )

∫ dxx

xlncos

19. ∫ ++

+dxxx

xx

x)2ln(

2

1 2

2

20. ∫+dx

e

x

x

1


85

2. Encuentre el área entre las curvas:

1. x

y1

= , 2xy = ,2

1=x , 2=x

2. 84 2+−= xxy , xxy 22

−= 3. 3−= xy , 42

+= xy , 1−=x , 2=x

4. 92−= xy ,

2

93

2

2

+−= xx

y , 2−=x , 4=x

5. xxxy 44 23+−= , xy =

6. 22 =+ yx , 1=− xy , 72 =+ yx 7. 23 6xxy −= , 2xy −=

8. x

y8

= , xy = , 0=y , 8=x

9. 4,2,10,44 22==−=+−= xxxyxxy

10. 63 +−= xy , 24 xxy −= 3. Suponga que cuando tiene x años una máquina industrial genera ingresos a razón de

2(́ ) 200 4R x x= −

dólares por año y origina costos que se acumulan a razón de 2(́ ) 92 8C x x= + dólares por año.

a) Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria. b) ¿Cuánta ganancia neta generará durante ese período? c) Interprete geométricamente las Ganancias Netas.

la integral

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