“la importancia de la narrativa en los procesos de...
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“La importancia de la narrativa en los procesos de construcción y validación de estrategias matemáticas”
A manera de análisis para concretar algunos aspectos sobre las construcciones de aprendizajes matemáticos, expondremos un análisis sencillo y breve sobre la importancia de los procesos narrativos elaborados por los alumnos donde manifiestan las estrategias de construcción de conceptos matemáticos.
Sfard, habla sobre la importancia de describir mediante discursos matemáticos en lugar de analizar objetos matemáticos. Comenta que uno de los métodos para prescindir del uso de los objetos es el cambio a otras estrategias como el dibujo y la enumeración de las piezas en la pizarra.
Al compartir de forma grupal las estrategias utilizadas por los estudiantes al resolver el problema planteado, permite que el resto del colectivo fortalezca, valide o rechace los propios,
La teoría de Sfard resuelve muchos dilemas que han molestado a la gente sobre teorías cognitivas participacionista y de grupo, tales como: ¿cómo pueden existir ideas, discursos y agrupaciones sociales más que en las mentes individuales? Proporciona información detallada análisis de cómo la gente participa en los discursos de las comunidades, al menos dentro del dominio de los discursos de matemáticas, tanto a nivel local e histórico. Se da cuenta de algunas formas básicas en las que surge el aprendizaje individual de las actividades de colaboración.
Indica cómo el significado (situado en el uso lingüístico) puede ser encapsulada en símbolos. Explica cómo los niños aprenden y que la creatividad es posible, al tiempo que sugiere maneras de crianza y estudia el aprendizaje.
Sfard nos ha hecho el gran servicio de llevar al "giro lingüístico" la filosofía del siglo XXI (especialmente Wittgenstein) en la ciencia del aprendizaje, elabora su perspectiva sobre el ejemplo de un reto de la educación matemática. Ella muestra la forma de ver los conceptos matemáticos y el aprendizaje del alumno como fenómenos discursivos en vez de objetos mentales.
Esta filosofía pone al descubierto el uso imperante de estrategias de redacción, donde se integre el dominio procedimental y de abstracción, mediante la manifestación lógica y coherente de procesos de resolución, así como el manejo de estrategias matemáticas.
Dentro de las exigencias para la interpretación de las narrativas descritas por los alumnos y colectivos, exige del docente un dominio pleno de los conceptos abordados, esto permite identificar si las estrategias planteadas son las más adecuadas.
Las connotaciones anteriores se observan en la discusión de Sfard sobre la perspectiva que debe permanecer en el investigador, define que es correcto que el análisis requiere la comprensión de los datos desde perspectivas distintas de las de los participantes, por ejemplo, al analizar las estructuras de la dinámica de interacción y las trayectorias individuales, su visión debe ser amplia y completa. Sin embargo, es importante diferenciar esta perspectiva analítica (que todavía entiende y se basa en su comprensión de la creación de significado). El analista debe entender primero el discurso con el fin de "explorar" desde el metadiscurso y ser competente para hacerlo.
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA Mathematical Discourse as Group Cognition, Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses and mathematizing (Sfard, 2008).
Material de apoyo para secundaria
1.- En un edificio se enumeran las puertas de las oficinas, iniciando con el
número 1, y utilizando placas que contienen un dígito. Por ejemplo, al
enumerar la puerta de la oficina que le corresponde el número 14, se
utilizan 2 placas, una que contiene el número 1 y otra que contiene el
número 4. Si en total se utilizaron 35 placas. ¿Cuántas puertas (oficinas)
tiene el edificio?
Propuesta de solución:
Las primeras 9 puertas solo requieren de una placa, las restantes requieren de 2
placas (de dos dígitos).
Dado que se tienen 35 placas, entonces después de numerar las primeras nueve
puertas, quedarían 35 – 9 = 26 placas, las cuales servirán para enumerar a 13
puertas, luego el número total de puertas enumeradas es 9 + 13 = 22
2.- Sobre las manchas (círculos) de la serpiente escribe los
números enteros del 1 al 9, sin repetirse, de manera que
cada línea horizontal o vertical de tres números sume la
misma cantidad.
Estos son algunos ejemplos utilizando los números enteros
del 1 al 5.
Propuestas de soluciones:
3 2 5
1
4
=10
=10
5 2 1
3
4
=8
=8
9 3 2
4
8 5 1
6
7
=14
=14
=14
=14
5 6 2
7
4 8 1
3
9
=13
=13
=13
=13
3.- Los números de la figura representan distancias en centímetros.
Calcule el área de la región sombreada.
Propuesta de solución 1:
Observe que el área total del rectángulo grande
es
El área de cada región no sombreada es 2 * 32 = 64
y son dos regiones iguales, así que suman 128.
Así que el área buscada es 252 – 128 = 124.
Propuesta de solución 2:
El alumno puede trazar líneas, tratando de
formar rectángulos quedando trazada la
figura de la siguiente manera:
6 8 4
6
4
46
4
4
4 8 6
6 8 4
6
4
46
4
4
4 8 6
6 8 4
6
4
46
4
4
4 8 6
36
36
36
8
8
8 4 2
9
3 5 6
7
1
=14
=14
=14
=14
Donde la suma de las áreas de los rectángulos es el área total en la región
sombreada.
4.- Una caja cúbica sin tapa, de arista 4 cm
contiene 64 cubos pequeños que llenan la caja.
¿Cuántos de estos pequeños cubos tocan alguna
cara lateral y el fondo de la caja?
Propuesta de solución:
Los cubitos están distribuidos en cuatro niveles dentro de la caja con 4x4=16
cubitos cada nivel. Los unicos cubitos que no tocan ninguna cara lateral ni el
fondo son cuatro cubitos que estan en el nivel 2, cuatro cubitos que estan en el
nivel 3 y cuatro cubitos que estan en el nivel 4. Por lo tanto, hay 64-12=52
cubos pequeños que cumplen la condición.
5.- La suma de 3 números pares consecutivos es 96. ¿Cuál de los tres
números es el más grande?
Propuesta de solución 1:
La solución puede ser a ensayo y error
Los números pares consecutivos son
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28 30, 32, 34, 36, 38, 40, . . .
Por lo cual 30 + 32 + 34 = 94
De estos tres números el más grande es 34.
Propuesta de solución 2:
Los números consecutivos son:
y la suma es ( ) ( )
Entonces
Así ,
luego ; que es el número más pequeño.
Por lo cual ( ) es el número más grande.
Sustituyendo , nos queda
( )
6.- Cenobio le pide permiso a Don Celestino para cortar naranjas de su
huerto; Don Celestino acepta, con la condición de que en cada una de las 5
puertas que tiene la cerca del huerto deje naranjas de la siguiente forma:
En la primera puerta deje la mitad de las naranjas que cortó más
media naranja.
En la segunda puerta deje la mitad de las naranjas que le quedan
más media naranja.
En la tercera puerta deje la mitad de las naranjas que le quedan más
media naranja.
En la cuarta puerta deje la mitad de las naranjas que le quedan más
media naranja.
Y que al retirarse del huerto le quede solo una naranja.
¿Cuántas naranjas debió cortar Cenobio?
Propuesta de solución:
Partiendo del hecho en el cual al salir del huerto salió con solo una naranja
Antes de dejar naranjas en la quinta puerta, debió tener 3 naranjas, esto es la
mitad de las naranjas que tenía más media naranja, es decir 22
1
2
3 naranjas
que dejo en la quinta puerta.
Antes de dejar naranjas en la cuarta puerta, se debió quedar con 7 naranjas, esto
es la mitad de las naranjas que tenía más media naranja, es decir 42
1
2
7
naranjas que dejo en la cuarta puerta.
Antes de dejar naranjas en la tercera puerta, se debió quedar con 15 naranjas,
esto es la mitad de las naranjas que tenía más media naranja, es decir 82
1
2
15
naranjas que dejo en la tercera puerta.
7.- Cada arista de un cubo es coloreada de rojo o Azul. Si cada cara del
cubo tiene al menos una arista azul, ¿Cuál es el menor número posible de
aristas azules?
Propuesta de solución:
Cada cara de un cubo comparte una arista con otra cara.
Luego, un cubo tiene seis caras.
El mínimo número posible de aristas negras es tres, como se muestra en el
dibujo.
8.- Pablo y Gabriel son dos amigos que viven
en el país de los mentirosos. Pablo miente los
lunes, martes y miércoles y Gabriel miente los
jueves, viernes y sábados. En todas las demás
ocasiones ambos dicen la verdad. Un día
Pablo le dijo a Gabriel: Ayer me tocó mentir,
a lo que Gabriel le contestó: También a mí
me tocó mentir. ¿En qué día de la semana estaban?
Propuesta de solución:
Comencemos por observar que ambos dicen la verdad el domingo, así que
Pablo no puede decir el domingo que mintió el sábado, pues el sábado también
dijo la verdad.
El lunes Gabriel no puede decir que mintió el domingo, pues el lunes dice la
verdad. De la misma manera, vemos que Gabriel no pudo decir que mintió el
día anterior al martes o miércoles.
Similarmente, Pablo no puede decir que mintió un día antes del viernes o
sábado.
Queda solamente el jueves, día en el que Gabriel puede mentir y decir que
mintió el miércoles, y Pablo puede decir la verdad acerca de que mintió el
miércoles.
El día en que Pablo dice la verdad y Gabriel miente es el jueves.
9.- Un semáforo tarda 45 segundos en verde, 4
segundos en amarillo y 30 segundos en rojo,
siguiendo ese orden. Si a las 7:00 a.m. el semáforo
cambia a verde, ¿de qué color estará a las 2:34
p.m.?
Propuesta de solución:
Al momento de que el semáforo cambia a verde, tienen que transcurrir 79
segundos para que esto vuelva a ocurrir.
Si el semáforo cambia a verde a las 7 en punto, entonces han pasado 7 horas 34
minutos cuando den las 2:34 p.m.
Convirtiendo en segundos tenemos 7(3600) + 34(60) = 27240 segundos
trascurridos.
Dividiendo entre 79 vemos que han pasado 344 ciclos de 79 segundos y aún
sobran 64 segundos, si a éstos les quitamos los 45 segundos que tarda el verde
y los 4 que tarda el amarillo nos quedan 15 segundos, por lo tanto el semáforo
está en rojo.
10.- El cuerpo que se ilustra a continuación está formado
por cubos iguales. Si cada cubito pesa 2.5 gr., ¿cuánto
pesa el cuerpo?
Propuesta de solución:
La figura representa un paralelepípedo formado por
cubos al que le hemos quitado algunos cubos. Una
manera de resolverlo es observando que el paralelepípedo consta de 6 cubos en
la base, 6 cubos de altura y 3 de profundidad, por tanto este objeto tiene
6x6x3=108 cubos. Pero nuestra figura no contiene dos filas (en la parte de
arriba) de 1x3 cubos, así como tampoco contiene dos filas de base y dos de alto
por 3 de profundidad en el centro, es decir, 2x2x3 cubos.
Entonces nuestra figura consta de 108-2(1x3)-2x2x3=90 cubos. Como cada
uno de ellos pesa 2.5 gr. entonces el cuerpo pesa 90x2.5 gr.= 225 gr.
Otra manera de contar los cubos de la figura es observando que si quitamos la
parte superior de cubos podemos rellenar el hueco para obtener un
paralelepípedo de
6x5x3 =90 cubitos.
11.- Doña Pancha tuesta el pan en un comal. Después de tostar un lado del
pan lo voltea y tuesta el otro. Tostar cada lado le toma 30 segundos. En el
comal únicamente puede poner dos rebanadas a la vez. ¿Puede tostar tres
rebanadas de pan por ambos lados en
minutos en lugar de dos
minutos?
Propuesta de solución: ¡Si, los puede tostar!,
Pone dos rebanadas de pan en el comal. Después de 30 segundos voltea una de
las rebanadas y quita la segunda rebanada del comal para poner la tercera
rebanada. Después de 30 segundos la primera rebanada ya está lista y las otras
dos tienen un lado tostado. En los últimos 30 segundos tuesta la otra cara de la
segunda y tercera rebanada.
Por lo tanto le tomó únicamente
minutos tostar las tres rebanadas de pan.
12.- En las siguientes figuras se encuentran tres arreglos de cubos, que
llamamos figura 1, 2, y 3 respectivamente.
¿Cuántos cubos habrá en la figura 100?
Propuesta de solución:
Observemos que si bajamos el cubo de la segunda figura tendríamos 4 cubos
en total.
En la tercera figura, si bajamos los cubos encimados se tendría un
paralelepípedo de 3 X 3, que tiene en total los cubos.
Es decir, el número de cubos varía según lo haga , donde n representa el
número de figuras.
Así, la figura número 100 tendrá cubos.
13.- El triángulo equilátero grande tiene 48 cm de perímetro. El perímetro
del segundo triangulo es la mitad del primero y el perímetro del tercero es
la mitad del segundo. Si colocamos los triángulos tal como lo muestra la
figura ¿Cuál es el perímetro de esta la figura?
Figura 2
Figura 1
Figura 3
Propuesta de solución 1: Trabajar por separado los triángulos, como el
primer triángulo tiene un perímetro de 48 cm y es equilátero, la longitud de
cada lado del triángulo es de 16 cm. El segundo tiene la mitad de perímetro que
el anterior, por lo tanto tiene un perímetro de 24 cm y es equilátero, la longitud
de cada lado del triángulo es de 8 cm. El tercer triángulo tiene la mitad del
perímetro anterior, por lo tanto tiene un perímetro de 12 cm y es equilátero, la
longitud de cada lado del triángulo es de 4 cm.
Si se colocan los triángulos de la siguiente manera, las longitudes se
distribuyen así.
El resultado sería la suma de sus lados 60 cm.
Propuesta de solución 2: Llamemos X al lado del triángulo grande.
Figura
X
Entonces , de donde El perímetro de la figura es
entonces:
Sustituyendo tenemos:
14.- Silverio enciende una vela cada 3 segundos. Si cada vela se consume
en un minuto, ¿Cuál es el número máximo de velas que estarán encendidas
al mismo tiempo.
Propuesta de solución: Se construye la siguiente tabla:
Tiempo
(Seg)
Número
de velas
0 1
3 2
6 3
9 4
.
.
.
.
.
.
54 19
57 20
60 20
63 20
A partir del segundo 57, el número de velas no cambia, ya que se enciende y se
apaga una vela cada tres segundos. Por tanto encenderá 20 velas.
15.- Si la línea inclinada divide al área del rectángulo en razón de 1:4, cual
es la razón entre a y b?
a
b
4cm2
1cm2
Propuesta de solución:
Tracemos una recta paralela a los lados horizontales del triángulo, como se
muestra en la figura:
Observemos que el triángulo que se forma tiene área igual a , entonces si
llamamos h a la longitud de los lados horizontales tenemos que:
y
Por lo tanto:
16.- El perímetro de la cruz que se muestra en la figura, es de 60 cm ¿Cuál
es el área del cuadrado, que contiene la cruz?
Propuesta de solución:
a
b
h
1cm2
4cm2
Realizar una separación, con líneas como lo muestra la figura.
El perímetro de La cruz está formado de doce segmentos iguales los cuales
podremos definir cuanto es la longitud de cada uno de estos segmentos
dividiendo 60 cm entre 12.
Esto nos señala que cada segmento de la cruz tiene un valor de 5 cm.
Por lo cual es fácil obtener el área de una de las cinco partes que conforman la
cruz; es de 25 ,
Observe que está área se forma de cuatro triángulos los cuales tienen la misma
área que el exterior de la cruz (triángulos más claros).
El área de toda la cruz es de 125 , porque está formada de cinco partes.
El área del exterior de la cruz (triángulos más claros) es de 75
Por lo tanto el área total del cuadrado que contiene la cruz es el área de la cruz
más el área de los triángulos exteriores de la cruz (triángulos más claros). Área = 200
17.- La aguja de un tanque de gasolina marca
de la capacidad total.
Después de ponerle 25 litros al tanque, la aguja marca
. ¿Cuál es la
capacidad del tanque en litros?
Propuesta de Solución:
Inicialmente el tanque tiene una octava parte de su
capacidad, después de ponerle 25 litros
Después de que se pusieron 25 litros
De aquí se deduce que al tanque tiene una capacidad de almacenaje de 50
litros.
18.- ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
Propuesta de solución:
Consideremos a partir del número 99 y los consideramos en binas, es decir 99
y le restamos 98 esto nos da un resultado de 1.
-97+96 = -1
Si se continúa se observará que está sumando y restando; en cada posición de
los cien números que señalo como resultado será solamente uno.
Por lo cual será el resultado de la operación 100.
19.- El rectángulo inicial está dividido en ocho
rectángulos chicos y un cuadrado de 4 cm de
perímetro, como se muestra en la figura. En la parte
interior de algunos de los rectángulos chicos, está
escrito su perímetro. ¿Cuál es el área del rectángulo
inicial (el grande)? 8cm
6cm
4cm12cm 6cm
Propuesta de solución:
Consideremos el cuadrado de 4 mc de perímetro, por lo tanto tendrá una
longitud de un centímetro lineal por cada lado, y su área será de 1 , como
lo muestra la figura.
4cm12cm
6cm
8cm
6cm 1cm1cm
1cm
1cm
Ahora consideremos en rectángulo de 8 cm de perímetro, como sus lados más
chicos son de 1cm, el lado más grande es de 3 cm, cada lado como lo muestra
la figura
4cm12cm
6cm
8cm
6cm 1cm1cm
1cm
1cm
3cm3cm
Ahora, consideremos cualquiera de los rectángulos de 6 cm de perímetro.
Como sus lados más chicos son de 1 cm, el lado más grande es de 2 cm, así
como lo muestra la figura.
4cm12cm
6cm
8cm
6cm 1cm1cm
1cm
1cm
3cm3cm
2cm
2cm
2cm
Por último consideramos el rectángulo de 12 cm de perímetro, como la
longitud del lado más chico es 1 cm, el lado más grande es de 5 cm de longitud
como lo muestra la figura.
4cm12cm
6cm
8cm
6cm 1cm1cm
1cm
1cm
3cm3cm
2cm
2cm
2cm5cm
5cm
Por lo tanto el área total del rectángulo inicial (grande) es de 48
20.- Tatiana forma cuadrados con palitos de cerillo. Los organiza como se
muestra en la siguiente figura:
¿Cuántos palitos necesita para formar 100 cuadrados?
Propuesta de solución:
Observemos que para cada cuadro que aumenta Tatiana utiliza tres palitos más.
Para 3 cuadros utiliza 3(3)+1 = 10 palitos
Para cuatro cuadros utiliza 3(4)+1 = 13 palitos
Por lo tanto, para 100 cuadrados necesita 3(100)+1 = 301 Palito.
21,- Hay 4 botes en una de las orillas del río; los nombres de los botes son
ocho, cuatro, dos y uno, porque esa es la cantidad de minutos que tarda
cada uno en cruzar el río. Se puede atar solamente un bote a otro y el
tiempo que tarda en cruzar es igual al del más lento de los dos botes. Un
solo conductor debe llevar todos los botes a la otra orilla. ¿Cuál es la
menor cantidad de tiempo que necesita para completar el traslado a la
orilla opuesta de los cuatro botes?
Propuesta de solución:
Si el marinero siempre amarra el bote 1 a cualquier bote que traslade, y lo
utiliza para regresar al otro lado del río, Completará el traslado en el menor
tiempo posible.
Luego, en cinco viajes termina y habrá invertido
8+1+4+1+2 = 16 minutos
22.- Carolina, Lucía, Miriam y Paola cocinaban galletas. Juntas cocinaron 168 galletas. Carolina hizo el mismo número de galletas que Lucía así como Miriam hizo el mismo número de galletas que Paola. ¿Cuántas galletas cocinaron entre Paola y Lucía? Respuesta: Tomando en consideración que entre las cuatro cocinaron 168 galletas. Tenemos que;
Carolina y Lucía hicieron la misma cantidad y tambien Miriam y Paola; por lo tanto,
Galletas de Lucía + Galletas de Lucía + Galletas de Paola + Galletas de Paola =
168 galletas
Por lo cual:
2 Galletas de Lucía + 2 Galletas de Paola = 168 Galletas
De aquí que:
2( Galletas de Lucía + Galletas de Paola) = 168 Galletas
Galletas de Lucía + Galletas de Paola =
Galletas
Galletas de Lucía + Galletas de Paola = 84 Galletas
23.- Halle la medida del ángulo β
Consideramos un ángulo llano,
El ángulo obtuso de lo podremos expresar de la siguiente manera:
( ) ( )
El ángulo obtuso de lo podremos expresar de la siguiente manera:
( ) ( )
Por lo cual voy a poder poner:
( ) ( ) ( )
Simplificando:
De aquí que:
1200 1400
ß
Lectura realizada por Héctory Lucia
24.- La maestra de primaria entregó un solo libro
que tiene 225 páginas, a un equipo integrado por
tres niños; tenían que leerlo y realizar un resumen,
ellos deciden repartirse el trabajo y lo hacen de la
siguiente manera; Héctor uno de los integrante ha
leído 0.4 del total, Lucia que es otro integrante del
equipo continua a partir de donde se quedó Héctor y lee
partes del
resto y Alberto que es el tercer integrante lee 80 páginas, a partir de donde
se quedó Lucia. ¿Quién ha leído más? ¿Cuantas páginas faltan por leer?
Solución: Se toma como la parte entera el libro de 225 páginas, tenemos que
cambiar los decimales a números fraccionarios, la cantidad de páginas leidas
por Héctor.
Sacando una equivalencia:
Entonces Héctor ha leído
,
De aquí tenemos que de 225 páginas entre cinco, cada quinta parte del libro
corresponde a 45 páginas, por lo tanto Héctor ha leído 90 páginas.
Del entero relativo Lucia lee solamente
partes.
Realizamos un gráfico para ilustrarnos:
Por lo tanto Lucia leyó solo una quinta parte del
total, es decir leyó solo 45 páginas. Aquí se
contesta la primer pregunta, ¿Quién ha leído más?
Lectura realizada por Héctor
Héctor ha leído 90 páginas
Lucia ha leído 45 páginas
Alberto ha leído 80 páginas
¿Cuantas páginas faltan por leer? Si son 225 páginas y se leyó 90+45+80 =
215 páginas
Faltan 10 páginas por leer
25.- Determine el valor que falta en la cuadrícula
siguiente:
Solución:
El número buscado es 76, porque para cada fila, el número en la tercera
columna es igual al número en la primera columna más el número en la
segunda columna menos dos.
De aquí que:
26.- El Cuadrado tiene una longitud de 9cm. El
círculo el cuál es tangente a dos lados del
cuadrado tiene como radio 2 cm.
4 9 11
6 8 12
13 16 27
19 26 43
23 7 28
31 47 ?
¿Cuál es el área de la región sombreada?
Solución:
Construimos un cuadrado con los lados de longitud 4 cm. En la esquina
superior del cuadrado más grande, como se muestra en la figura.
El área de la región entre el pequeño cuadrado y el círculo es ,
así el área de la región no sombreada, en la esquina superior derecha es,
( )
Luego el área de la región no sombreada en la figura es:
( )
Entonces el área de la región sombreada es:
2
4
9
27.- En la sucesión siguiente, obtenga los siguientes dos términos, de la
sucesión.
Solución:
Los próximos dos términos son:
y
Es la sucesión de Fibonacci; por ejemplo:
( )
28.- Un semáforo tarda 45 segundos en verde, 4
segundos en amarillo y 30 segundos en rojo,
siguiendo ese orden. Si a las 7:00 a.m. el semáforo
cambia a verde, ¿de qué color estará a las 2:34
p.m.?
Solución:
Al momento de que el semáforo cambia a verde, tienen que transcurrir 79
segundos para que esto vuelva a ocurrir.
Si el semáforo cambia a verde a las 7 en punto, entonces han pasado 7 horas 34
minutos cuando den las 2:34 p.m.
Convirtiendo en segundos tenemos 7(3600) + 34(60) = 27240 segundos
trascurridos.
Dividiendo entre 79 vemos que han pasado 344 ciclos de 79 segundos y aún
sobran 64 segundos, si a éstos les quitamos los 45 segundos que tarda el verde
y los 4 que tarda el amarillo nos quedan 15 segundos, por lo tanto el semáforo
está en rojo.
29.- Encuentra la medida del ángulo
ABC formado por los segmentos
punteados del cubo que está en la
figura siguiente.
Solución: Si se traza la diagonal AC, se forma un triángulo equilátero, entonces
el ángulo ABC mide 60 grados.
30.- ¿Qué número debe quitarse de la lista 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,
11. Para que el promedio sea 6.1?
Solución: Quitar el número 5 de la lista y ¡listo!
Porque, quitando un número de la lista tenemos 10 números. Si el promedio de
la lista es 6.1 la suma de los números es 61.
A
C
B
31.- Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14,
¿Cuál es su área?
Solución:
Llamemos a y b a los catetos del triángulo y c a su hipotenusa. Sabemos que c
= 6 y que a+b+c=14. Por lo tanto a+b=8. Elevando al cuadrado tenemos que
(a+b)2=8
2, lo cual implica que a
2+2ab+b
2=64. El área que buscamos es ab/2.
Por el Teorema de Pitágoras c2+2ab=64, sustituyendo c obtenemos que ab/2=7,
que es el área que buscábamos.
32.- En el antiguo Egipto tenían una aproximación al área del círculo,
calculado en términos de diámetro.
Área del círculo de Egipto = (
)
¿Cuál es el error de aproximación?
Solución:
Como y
Entonces
El error de aproximación es:
(
)
(
)
Entonces el porcentaje de error es 0.6 %
33.- ¿Cuál es la longitud del segmento ?
= 61
= 240
= 100
Solución:
De la figura tenemos
Por el Teorema de Tales
Por lo tanto sustituyendo:
( )
Entonces
Por el Teorema de Pitágoras:
A
B
E C
D
C
C
61
100
YX
2
1=?
=?240
Nuevamente aplicamos el Teorema de Pitágoras:
Por lo tanto el segmento, , esto de la figura.
,
34.- Nacho, compró una caja de cereal para desayunar. El primer día
comió la quinta parte. De lo que quedó, el segundo día comió una tercera
parte. Finalmente, el tercer día comió la mitad del resto. ¿Qué fracción
del contenido de cereal quedo en la caja?
Solución:
Sea C el contenido de cereal en la caja. El primer día comió
;
el segundo día se comió
(
);
Por lo tanto:
(
)
. Al final del segundo día, la cantidad de cereal es:
(
) (
)
(
)
El tercer día se comió
(
)
. Por lo tanto, la fracción del contenido de la
caja que sobra es:
35.- Consideremos los números impares menores que 100, entonces hay al
menos un par de ellos cuya suma es 122, ¿Cuántas parejas de estos
números encontrados podremos organizar, que cumplan esta condición?
Solución:
Los números impares menores que 100 son los siguientes:
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45,
47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87,
89, 91, 93, 95, 97, 99
La condición es; que en día y el mes de aplicación del examen, indican el día
12 y mes 2, al colocarlos en esta posición señalan el número 122.
Los pares que se formaran serán los siguientes, de acuerdo con la relación de
números impares menores que 100.
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 45,
47, 49, 51, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 65, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 87,
89, 91, 93, 95, 97, 99
Así sucesivamente, es decir;
(23,99), (25,97), (27,95), (29,93), (31,91), (33,89), (35,87), (35,85), (37,83),
(39,81), (41,79), (43,77), (45,75), (47,73), (51,71), (53,69), (55,67), (57,65),
(59,63)
Se pueden encontrar 19 pares.
36.- Si la línea inclinada divide al área del rectángulo en razón de 1:4, cual
es la razón entre a y b?
a
b
4cm2
1cm2
Respuesta:
Tracemos una recta paralela a los lados horizontales del triángulo, como se
muestra en la figura:
Observemos que el triángulo que se forma tiene área igual a , entonces si
llamamos h a la longitud de los lados horizontales tenemos que:
y
Por lo tanto:
a
b
h
1cm2
4cm2
37.- Silvia enciende una vela cada 3 segundos. Si cada vela se consume en
un minuto, ¿Cuál es el número máximo de velas que estarán encendidas al
mismo tiempo.
Solución:
Se construye la siguiente tabla:
Tiempo
(Seg)
Número
de velas
0 1
3 2
6 3
9 4
.
.
.
.
.
.
54 19
57 20
60 20
63 20
A partir del segundo 57, el número de velas no cambia, ya que se enciende y se
apaga una vela cada tres segundos. Por tanto encenderá 20 velas.
38.- En un edificio se enumeran las puertas de las oficinas, iniciando con el
número 1, y utilizando placas que contienen un dígito. Por ejemplo, al
enumerar la puerta de la oficina que le corresponde el número 14, se
utilizan 2 placas, una que contiene el número 1 y otra que contiene el
número 4. Si en total se utilizaron 35 placas. ¿Cuántas puertas (oficinas)
tiene el edificio?
Solución:
Las primeras 9 puertas solo requieren de una placa, las restantes requieren de 2
placas (de dos dígitos).
Dado que se tienen 35 placas, entonces después de numerar las primeras nueve
puertas, quedarían 35 – 9 = 26 placas,
las cuales servirán para enumerar a 13 puertas, luego el número total de
puertas enumeradas es 9 + 13 = 22
39.- 6.- En un rectángulo ABCD de perímetro igual a 42cm, además
AB=2BC, sobre cada lado del rectángulo se dibuja
un cuarto de círculo, como se muestra en la figura.
Calcula el perímetro de la figura completa y su
área.
Considera el valor de π = 3.14
Solución:
Como el perímetro del rectángulo es de 42 cm y tengo
el dato que, el lado de la base del rectángulo es el doble
de la altura. Lo puedo expresar de la siguiente manera:
De aquí que la base del rectángulo es 14 cm y la altura es de 7 cm.
Como se trazan cuartos de círculos, con radios iguales a y
El perímetro de una circunferencia es 2 πr
La línea curva tiene un perímetro de
donde R=14
La línea curva tiene un perímetro de
donde r = 7
Como resultado para encontrar el perímetro de toda la figura:
CD
A BX
X_2
CD
A B
X
X_2
R
r
Figura
CD
A B
Para calcular el área:
Sería el área de cinco figuras,
(
)
( )
Sustituyendo
Área total de la figura = 482.65
40.- Si ab = 3 y
. ¿Cuál es el valor de a
2 + b
2?
Solución:
Si ab = 3 y
. ¿Cuál es el valor de a
2 + b
2?
Solución
Tenemos que:
De aquí que: a + b = 2(ab) = 2(3) = 6
(a+b)2 = 6
2 = 36
a2 + 2ab + b
2 = 36
a2 + b
2 = 36 – 2ab = 36 – 2(3) = 36 – 6
a2 + b
2 = 30
41.- Inés eligió cuatro dígitos distintos del conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Formó con ellos todos los posibles números de cuatro dígitos distintos y los
sumó. Si el resultado es 193314, ¿cuáles son los cuatro dígitos que eligió
Inés?
Solución:
Sean a,b,c,d los cuatro números que eligió Inés.
Con ellos formó 24 números:
6 que inician con a
6 que inician con b
6 que inician con c
6 que inician con d
Observemos que cada número abcd lo podemos escribir como
1000a+100b+10c+d, luego al sumar los 24 números tendremos que:
6000a + 600a + 60a + 6a + 6000b + … + 6000d + 600d + 60d + 6d = 193314
6666(a + b + c + d) = 193314
a + b + c + d = 29
Luego, tenemos que buscar 4 dígitos entre 1 y 9 que sumados nos den 29.
Estos números son 9, 8, 7 y 5.
42.- El terreno familiar es de forma circular de radio 200m. La parte
central de radio 50m se destinó para recreación y una tercera parte del
resto se va a cercar para sembrar. Si el costo de sembrar es de $20.00 por
metro cuadrado y de cercar es de $50.00 el metro. ¿Cuánto se va a gastar?
Solución:
Área =
=
( )
=
≈ 39269.9
Costo de sembrar = 20(Área) ≈ 785398.1
Perímetro =
( ) ≈ 823.6
Costo de cercar = 50(Perímetro) ≈ 41180
Costo Total ≈ 826578.1
43.- Hay sesenta pájaros en las ramas de tres árboles. En cierto momento,
del primer árbol se van 6 pájaros, del segundo 8 y del tercero 4. Y quedan
la misma cantidad de pájaros en cada árbol. ¿Cuántos pájaros había en el
segundo árbol al comienzo?
Solución:
Sean
x = Número de pájaros en el primer árbol
y = Número de pájaros en el segundo árbol
z = Número de pájaros en el tercer árbol
Se sabe que:
x + y + z = 60
x - 6 = y – 8 = z – 4
Procedimiento
x - 6 + y – 8 + z – 4 = x + y + z – 18 = 60 – 18 = 42
x - 6 = y – 8 = z – 4 = 42/3 = 14
y – 8 = 14
y = 14 + 8
y = 22
44.- Tres personas suben en la planta baja al ascensor de un edificio que
tiene 5 pisos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ir saliendo del
ascensor si en ningún piso baja más de una persona?
Solución:
Identificar el problema como un problema de combinatoria.
Elegir los tres pisos, donde se bajaran las 3 personas, de 5 pisos: ( ) =
Tomar en cuenta que si interesa el orden:
45.- Dada la siguiente figura, encontrar el valor de x.
Solución:
Modelado (Identificar ángulos mediante letras)
Utilizar propiedades:
Suma de ángulos internos de un triángulo = 180
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos alternos internos y/o externos
46.- Juan va corriendo de su casa a la escuela y Ana, su hermana, va
caminando de la escuela a la casa. Los dos salen al mismo tiempo y van
por el mismo camino. Si a las 9:00 am se cruzan en el camino, a las 9:05
am Juan llega a la escuela y a las 9:45 am Ana llega a la casa, ¿a qué hora
salieron?
Solución:
Denotemos por j y a a las velocidades de Juan y Ana, respectivamente. Si
llamamos x al número de minutos que Ana lleva caminando antes de
encontrarse a su hermano, obtenemos las siguientes ecuaciones:
j • x = a • 45
j • 5 = a • x
Si despejamos con respecto a x e igualamos las ecuaciones, obtenemos que 3a
= j, es decir, Juan corre tres veces más rápido de lo que Ana camina.
Sustituyendo en la primera ecuación tenemos que x = 15, es decir, salieron a las
8:45 am.
47.- ¿Cuántos números de 6 dígitos contienen al número 2011 como parte
de su representación decimal?
Solución:
Si consideramos al número 2011 como un solo símbolo. Esto es, en lugar de
pensar en 6 dígitos pensemos en 3 dígitos, donde uno de ellos es el símbolo
2011.
Existen 3 formas de colocar el símbolo 2011 en los 3 espacios (dígitos).
En cada espacio libre se pueden colocar los 10 dígitos (0,1,2,…,9).
Esto es, 3x10 formas distintas.
Como el primer dígito no debe ser cero, quitamos los 10 números de cada una
de las dos posibilidades de que esto pase.
Total de Números = 3 x 100 – 20 = 280
48.- Tomando como centros los extremos (A,C) y el punto medio (B) de un
segmento de longitud 4, se construyen tres circunferencias de radio a < 1.
¿Cuál es el radio de la circunferencia tangente a las tres?
Nota: D es el centro de la circunferencia tangente
Solución:
La clave está en recordar que el punto de tangencia de las dos circunferencias
es colineal con el centro de éstas.
En la siguiente figura se tiene que AC es el segmento con punto medio B y D
es el centro de la circunferencia tangente a las tres que supondremos de radio r.
Entonces el triángulo ABD es rectángulo, con AB = 2, BD = r – a y AD = r +
a.
Entonces, por el teorema de Pitágoras,
(r + a)2 = (r - a)
2 + 4.
Simplificando la ecuación, tenemos que 4ra = 4
de donde r =
.
49.- Pedro compró 38 prendas entre camisas y camisetas, gastó $2800.00.
Tomando en cuenta que las camisas cuestan $100.00 y las camisetas
cuestan $50.00. ¿Cuántas camisas compró pedro?
Solución:
Sean
X1 = Cantidad de Camisas
X2 = Cantidad de Camisetas
Entonces
X1 + X2 = 38
100X1 + 50X2 = 2800
Resolviendo el sistema tenemos que:
X1 = 18, es decir, Pedro compró 18 Camisas
50.- ¿Cuántos enteros positivos de cinco dígitos existen tales que el
producto de sus dígitos es igual a 2000?
Solución:
Denotemos a los enteros de 5 dígitos por abcde, donde 0 ≤ a,b,c,d,e ≤ 9, y a ≠
0.
Como el producto de los dígitos es igual a 2000, entonces axbxcxdxe = 245
3.
Luego, tres de los dígitos deben ser 5 y los otros dos dígitos tienen que tener un
producto igual a 16. De donde, estos dos dígitos tienen que ser 4 y 4, o bien 2 y
8.
Ahora, hay ( )
maneras de escoger las 3 posiciones para los
dígitos 5.
Para cada una de ellas, podemos completar el número de tres maneras, es decir,
colocando en orden, 2 y 8, 4 y 4, o bien 8 y 2 en los otros dos lugares.
51.- Consideremos el triángulo ABC y una recta tangente al círculo
circunscrito al triángulo que pasa por A. Sea DE una recta paralela a la
recta tangente por A. Si AD = 6, AE = 5 y EC = 7, ¿cuánto mide BD?
Solución:
Los triángulos ABC y AED son semejantes.
ya que <MAE = <AED = <ABC, la primera igualdad se debe a que los
segmentos LM y DE son paralelos, y la segunda a que los ángulos ABC y
MAE abren el mismo arco. Análogamente, <LAB = <ADE = <ACB. Luego,
tenemos dos triángulos con tres ángulos iguales.
Por lo tanto,
entonces
( ) ( )
52.- Dado el siguiente conjunto de valores: 11, 12, 17, 18, 23, 29, y, 30.
Debemos quitar un valor, solo un valor, para que la media disminuya 1.5.
Encuentre este valor.
Solución:
La suma del conjunto original es 140
En tanto que la media es 140/7=20
La media del conjunto reducido es 20-1.5=18.5.
Entonces la suma la suma de los seis números restantes es el producto de,
6(18.5) = 111.
Dado que 140-111= 29.
El número que debemos quitar es: 29.
53.- El año I96I se lee de la misma forma si se gira grados. Encuentra
el año, en el Siglo XIX, que tiene la misma propiedad.
Solución:
Nos ubicamos en el número 1800,
Por la información del problema se dejan fijas las dos primeras cifras.
Las que vemos a mover son las dos últimas cifras, son 99 permutaciones
posibles.
Después de ensayo-error tenemos el resultado: 1881.
54.- ¿Cuál es la fórmula para la suma de los números siguientes?
Solución:
Para n= 1 2 3 4 5 6
Suma
acumulativa
1,
Se observa que el numerador es múltiplo de dos, es decir, 2n.
Luego, con el factor n, se genera el denominador agregándole una unidad,
Es decir, el resultado es:
55.- ¿Cuántos palillos de
dientes se requieren para
construir un cuadrado de
longitud n?
Por ejemplo:
Queremos saber el número de
palillos para formar un
cuadrado de n x n de
longitud.
Solución:
En general tenemos la tabla siguiente:
1 2 3 4 5 6 7 8
4 12 24 40 60 84 112 144
1X2
Palillos
vertical
es
2x3
Palillos
vertical
es
3x4=
12
palillos
vertical
es.
4x5 =
20
palillos
vertical
es
Luego, es n(n+1) para palillos verticales más n(n+1) palillos horizontales.
Entonces el número de palillos es 2(nx(n+1)).
En la primer figura, tenemos 4 palillos
En la segunda figura, tenemos:
12 alillos
56.- Si el área de los 5 cuadrados iguales que se observan
en la figura es de 180 cm2, ¿Cuál es el perímetro de la
figura?
Solución:
Como
,
Es decir, cada cuadrado pequeño tiene un área de 36 cm2,
Así que cada lado del cuadrado tiene una longitud de 6 cm,
Contando los lados, tenemos 16 lados,
Son 16 lados por 6 igual a 96cm de longitud que tiene la figura.
57.- En la figura, el triángulo ABC, y, el triángulo CDE, son dos triángulos
equiláteros iguales. Si el ángulo ACD mide 80°, ¿Cuánto mide el ángulo
CDB?
I II III
IV V
Solución:
Los ángulos de los triángulos: ABC
Y CDE miden 60° por ser triángulos
equiláteros,
También de los datos, se sabe que
los lados BC y CD son iguales
entonces se forma el triángulo
isósceles BCD,
Pero un ángulo de él sabemos que
mide 60° + 80° = 140°,
Nos quedan 40° que repartidos entre dos ángulos del triángulos isósceles BCD
deben ser iguales.
Entonces el ángulo buscado mide 20°
58.- Un grupo de seguidores del equipo de futbol Dorados contrató un
autobús para seguir a su equipo. Si el autobús se hubiera llenado, cada
uno habría pagado $140.00; pero quedaron 16 lugares vacíos y el viaje
costó $180.00 para cada uno. ¿Cuántos lugares tenía el autobús?
Solución:
Modelo
Sea T el total de plazas del autobús
180(T-16) = 140T
Despeje
180T – 2880 = 140T
180T – 140T = 2880
40T = 2880
T = 72
59.- Se tienen dos tipos de cafés: café tipo A y café tipo B. El café tipo A
tiene un precio de $116.00 por kg, el café tipo B tiene un precio
desconocido. Si mezclamos 11 kg del café tipo A con 9 kg del café tipo B, se
obtiene una mezcla cuyo precio por Kg es $117.80 ¿Cuál será el precio de
un kg del café tipo B?
Solución:
Modelo
Sea P el precio por kilogramo del café tipo B
Tenemos que:
11(116) + 9(P) = 117.8(11+9)
1276 + 9P = 2356
9P = 1080
P = 120
60.- Sea ABC un triángulo equilátero de lado 2 y
P un punto cualquiera dentro del triángulo.
Ahora, trazamos perpendiculares de P a cada
uno de los lados del triángulo (h1, h2, h3),
¿cuánto mide la suma de las longitudes de estas
perpendiculares?
Solución:
Llamemos h1, h2, y h3 a las perpendiculares desde P a cada uno de los lados
del triángulo. Si trazamos las rectas que van de cada uno de los vértices del
triángulo al punto P se forman tres triángulos cuyas áreas son 2h1/2=h1,
2h2/2=h2 y 2h3/2=h3.
Pero la suma de cada una de las áreas es igual al área del triángulo ABC = √
= √ .
Luego
h1 + h2 + h3 = √
61.- En la figura, las circunferencias son tangentes en P y la recta es
tangente a las circunferencias en Q y R, si A y B son los centros de las
circunferencias respectivamente. Encuentra el valor del ángulo QPR.
Solución:
Si A y B son los centros de las circunferencias, tenemos que A, P y B son
colineales, y los radios AR y BQ son perpendiculares a la recta tangente.
Además los triángulos APR y BQP son isósceles.
Sean α = <APR = <ARP y β = <BQP = <BPQ.
Como α + <PRQ = 90o = β + <PQR.
Se tiene que, α + β + <QPR = 180o y <PRQ + <PQR + <QPR = 180
o. 1 punto
<PRQ + <PQR + <QPR = 180o = (α + <PRQ) + (β + <PQR) = α + β + <PRQ +
<PQR
<QPR = α + β
Por otro lado
180o = α +<QPR + β
180o = α + (α + β) + β
180o = 2α + 2β = 2(α + β)
α + β = 90o
Por último tenemos que: <QPR = 90o
62.- ¿Cuáles son los últimos cuatro dígitos de 32005
?
32005
= 3(32004
) = 3(32)
1002 = 3(10-1)
1002
= 3(101002
–
10
1001 +
10
1000 - … -
10
3 +
10
2
–
10 + 1)
Para conocer los últimos cuatro dígitos necesitamos únicamente los 3 últimos
términos ya que el coeficiente de 103 es múltiplo de 10. Tales términos se
pueden simplificar como:
3(501*1001*102 – 1002*10 + 1) = 3(501501*10
2 – 10020 + 1)
= 3(50150100 – 10020 + 1)
= … 0243.
63.- Un árbol injertado produce peras y manzanas. En un momento dado
tiene 15 peras y 30 manzanas. Solamente se pueden cortar los frutos por
parejas, pero cuando se cortan dos frutas del mismo tipo nace una
manzana y cuando se cortan dos frutas distintas, nace una pera. ¿Qué
fruta es la que nace después de cortar la última pareja de frutas?
Solución:
Observemos que el número de peras no cambia de paridad cuando se cortan
dos frutas. Es decir, si se cortan dos frutos del mismo tipo nace una manzana,
pero la paridad del número de peras es la misma, y si se cortan dos frutos de
tipo distinto, crece una pera, por lo que el número de peras es el mismo que
antes de cortar el fruto.
También notemos que en cada paso se cosechan dos frutas y brota una, lo que
reduce en uno el número de frutas.
Al inicio hay 45 frutas, después de 44 pasos nos queda 1 fruta que tiene que ser
pera.
64.- Un autobús sale de la ciudad A hacia la ciudad B a una velocidad de
52 km/h. Simultáneamente, otro autobús sale de B hacia A con una
velocidad de 104 km/h. La distancia entre A y B es de 222 km. Calcula la
distancia que recorre cada uno de los autobuses hasta que se cruzan.
Solución:
Modelo
Sea T el tiempo en el que se cruzan.
Sea d1 la distancia que recorre el autobús hasta que se cruzan.
Sea d2 la distancia que recorre el coche hasta que se cruzan.
Se tiene que:
d1 + d2 = 222
Además:
d1 = 52T
d2 = 104T
entonces:
52T + 104T = 222
156T = 222
T = 222/156
d1 = 52(222/156)
d2 = 104(222/156)
d1 = 74 km
d2 = 148km
65.- Un grupo de 20 cerdos se come, en 20 días 4000 Kg de alimento.
¿Cuántos días durarán 4500 Kg de alimento a un grupo de 90 cerdos?
Solución 1:
Modelo
X cantidad de alimento (en Kg) se come un cerdo en un día.
D días que tardan 90 cerdos en comerse 4500 kg de alimento
Entonces: 20X es la cantidad de alimento que se comen 20 cerdos en un día.
20(20X) es la cantidad de alimento que se comen 20 cerdos en 20 días.
20(20X) = 4000
X = 10
D(90(10)) = 4500
D = 5
Solución 2:
Modelo proporcional
20(20)/4000 = X(90)/4500
400/4000 = 90X/4500
X = 4500(400)/90(4000)
X = 1800000/360000
X = 5
66.- Si sobre los lados AB y CA de un
triángulo ABC se construyen triángulos
equiláteros ABC’ y CAB’, como es mostrado
en la figura, muestre que la longitud de BB’
es igual a la longitud de CC’.
Solución:
Notemos que en los triángulos BAB’ y C’AC se tiene que BA = C’A, AB’ =
AC y <BAB’ = <BAC + 60o = <C’AC, luego por el criterio LAL, los
triángulos son congruentes.
por lo que BB’ = CC’.
67.- En el dibujo BD, DF y DE son
alturas de ABC, BCD y BDA,
respectivamente. El triángulo ABC es
rectángulo y el ángulo BAC mide 60o. Si
AC = 8, ¿cuánto mide EF?
Solución:
Como EBFD es un rectángulo, tenemos que sus diagonales son iguales, es
decir, EF = BD.
Sabemos también que
1/2 = cos 60o = AB/AC = AB/8
entonces: AB = 4
Ahora bien, como el triángulo ABC es semejante al triángulo ADB, tenemos
que <ABD = 30o, luego
1/2 = sen 30o = AD/AB = AD/4 , es decir, AD = 2.
Por lo que tenemos
EF = BD = √ √ √
EF √
68.- Encuentra el área de la región
sombreada, si el triángulo ABC es equilátero,
de lado 4, y AD es diámetro del círculo.
Solución:
Por el Teorema de Pitágoras AD2 = AC
2 – DC
2 = 4
2 – 2
2 = 12, entonces AD =
2√ .
Sea O el centro del círculo, y E y F la intersección de los lados AB y AC con el
círculo, respectivamente. Entonces, <AED = <DFA = 90o.
Como AD = 2√ , entonces OA = OD = OE = OF = √ .
1 punto
Además <AOE = <EOF = <FOA = 120o, ya que <EOF = 2<EAF.
Denotemos por (AEO) el área del triángulo AEO. Si prolongamos EO, corta a
AC en H y forma un ángulo recto, es decir, AH es una altura del triángulo
AEO. Entonces,
(AOF) = (AEO) = √
√ √
√
El área del sector angular EOF es 1/3 del área del círculo, es decir, 1/3 [
(√ )2] = .
Por lo tanto el área de la región sombreada es igual a:
(√ )2 - - 2(
√
) = 2 -
√
69.- En el arreglo triangular, un renglón se denota con el número a la
izquierda y una columna por el número que está más arriba. Por ejemplo,
el 12 está en el renglón 10, columna 2. ¿En qué renglón y en qué columna
está el número 2015?
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
:
Solución:
Si contamos los renglones con números sucesivos, es decir, 1,2,3,…,
observamos que el último número del segundo renglón es 22, el último número
del tercer renglón es 32, etc.
Como el segundo renglón tiene 3 números, el tercero 5 y el cuarto 7 números,
entonces el renglón n+1 tiene 2(n+1)-1 = 2n+1 números y termina con el
número (n+1)2 = n
2 + 2n +1.
Como 442=1936 y 45
2 = 2025, tenemos que 2015 está en el renglón que
empieza con 442+1 = 1937.
Veamos ahora en qué columna se encuentra. Tenemos que
,
es decir, el número que está en el centro del arreglo triangular en el renglón que
inicia con 1937 es el 1981, que se encuentra exactamente en la columna 1
como se muestra en el siguiente arreglo:
12
2 3 22
: :
: : n2
: : :
1981 1982 … 2015 … 2025
Como 2015 – 1980 = 35, tenemos que 2015 está en la columna 352 = 1225.
70.- La siguiente figura está formada por triángulos equiláteros de 1 cm. de lado.
Si completas una fila con 80 triángulos siguiendo el mismo esquema de la figura,
¿cuál sería el perímetro de la figura resultante?
Solución:
Al colocar los 80 triángulos tenemos 40 triángulos cuya base está abajo y 40
triángulos cuya base está arriba.
Por lo tanto, la longitud de los lados horizontales de la figura es 40.
Entonces el perímetro es 80 cm.
Los dos lados de los extremos, es decir,
el perímetro es 82.
71.- Una enredadera crece a razón de 1% diariamente. Inicialmente tiene una
altura de 10 cm. ¿Cuál será su altura al cabo de 3 días?
Solución:
Al término del primer día medirá 10+0.01(10)=10(1+0.01)
=10.1 cm,
al cabo del segundo día 10.1+0.01(10.1)=10.1(1.01)
=10.201 cm
y finalmente al transcurrir del tercer día deberá medir
10.201+0.01(10.201)=10.201(1.01)
=10.30301 cm.
72.- Si el lado de cada cuadrito tiene la
longitud de 1 Cm. Encuentra el área
del triángulo.
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5
73.- Si el virus de la influenza se propaga de la forma siguiente:
En la hora 0 se tiene un infectado
A partir de ahí, cada hora un infectado infecta a 2 personas no
infectadas
¿Cuántos individuos habrá infectados cuando han transcurrido 6 horas?
(Tratamiento de la información, Sentido numérico y pensamiento
algebraico)
Nota: Suponga que no ocurren decesos durante el periodo que se
está analizando
Solución:
Hora 0 1 =
Hora 1 1+1x2 =
Hora 2 3+3x2 =
Hora 3 9+9x2 =
Hora 4 27+27x2 =
Hora 5 81+81x2 =
Hora 6 243+243x2 =
74.- En un supermercado puedes comprar paquetes de salmón: con 400
grs, que cuesta $100 cada uno; con 500 grs, que cuesta $130 cada uno y
con 800 grs, que cuesta $160 cada uno. Necesitas comprar dos kilos esta
semana santa.
¿Cuál es la diferencia en costos, entre la combinación más cara y la más
barata?
Solución:
Si 400 grs cuestan $100, entonces 100 grs $25.
Si 500 grs cuestan $130, entonces 100 grs cuestan $ 26.
Si 800 grs cuestan $160, entonces 100 grs cuestan $ 20.
Luego, para comprar 2 kilos, la manera de obtener la combinación más cara es
comprar 4 paquetes de 500 grs, que cuestan $520.
La combinación más económica es comprar 2 paquetes de 800 grs y 1 paquete
de 400 grs, con un costo total de $420.
Así la diferencia en pesos es de $ 100.
75.- Rosina hizo un postre y dejo un frasco con
kg de azúcar destapada
en la cocina, el cual se llenó de hormigas. Si una hormiga tarda media hora
en salir del hormiguero, cargar con 2 gramos de azúcar y regresar
nuevamente al hormiguero. ¿Cuál es la cantidad mínima de hormigas que
se necesitan para transportar en 15 minutos el
kg de azúcar, hasta el
hormiguero?
Solución:
Como una hormiga puede mover 2 gramos, en media hora.
250 hormigas pueden transportar 500 gr. (
kg.) en media hora.
Como se disponen de una hora tendría que disminuir el número de hormigas a
la mitad.
Es decir 125 hormigas.
76.- Encuentra todos los números entre 50 y 150 tales que si les restas 3
unidades y luego los divides entre 5 unidades, tienen residuo cero y el
cociente es múltiplo de 7.
Solución: 73,108,143
Procedimiento:
Los números en cuestión son: 53,58,63,68,…,148
Restándole 3 y dividiendo entre 5 nos quedan los siguientes números:
10,11,…,29
Múltiplos de 7 : 14,21,28
77.- Una maestra tiene 5 dulces de distintos sabores y 6 paletas de distintos
sabores (11 golosinas). De cuántas maneras puede la maestra darle un
dulce a cada uno de sus 2 alumnos aplicados y una paleta a cada una de
sus 3 alumnas aplicadas?
Solución: 2400
Procedimiento:
Para darle dulce al primer alumno tiene 5 opciones y para el segundo le
quedarán 4 opciones. Luego, para la primera alumna tiene 6 opciones, para la
segunda 5 y para la tercera 4. Entonces, el total de formas distintas de realizar
la repartición es: (5 × 4) × (6 × 5 × 4) = 2400
78.- Los muchachos miran las figuras
caprichosas que se forman en el piso
con los mosaicos que lo recubren.
Daniela llama a sus amigos para
decirles que le gustaría saber el
perímetro y el área de la figura que
se forma con las líneas de dos
mosaicos: un segmento de recta y dos
arcos. Todos ponen atención a la
figura que Daniela señala y deciden
apoyarla. Cada uno de los mosaicos que están observando mide 20 cm. De
lado y tiene marcado un arco. El dibujo muestra la figura que señala
Daniela, los arcos se trazan apoyándose en el vértice C y en el vértice A.
¿Cómo calcularías el área y el perímetro de la figura sombreada?
Solución: 400 cm2
Procedimiento:
Revisar que sea correcta la argumentación del alumno
79.- Marcela colecciona fotos de deportistas famosos. Cada año el número
de sus fotos es la suma de las cantidades de fotos de los dos años
anteriores. En 2014 tenía 60 fotos y en 2015, 96. ¿Cuántas fotos tenía en
2012?
C
A
20 cm 20 cm
20 cm
Solución. 24
Procedimiento:
X: cantidad de fotos en el 2012
Y: cantidad de fotos en el 2013
Z: cantidad de fotos en el 2014
W: cantidad de fotos en el 2015
Se sabe que:
Z = X + Y
W = Z + Y
Z = 60
W = 96
Entonces
W – Z = 96 – 60 = 36 y W – Z = ( Z + Y ) – ( X + Y ) = Z – X
Z – X = 36
60 – X = 36
X = 60 -36
X = 24
80.- Piensa un número y súmale 3. Multiplica el resultado por 2; a éste
réstale 2; divide entre 2 la cantidad obtenida; a este resultado súmale 1
por último resta el número que pensaste. ¿El resultado es 3? Encuentra la
justificación algebraica.
Solución: Si es 3 la solución
Procedimiento:
La expresión algebraica es: ( )
81.- En el triángulo ABC, con ángulo recto
en B, los puntos E y F están en AC de tal
manera que AE=AB y CF=CB. ¿Cuánto
mide el ángulo EBF?
Solución: 45o
Procedimiento:
Sabemos que el triángulo ABE es isósceles E = x+y
Sabemos que el triángulo CBF es isósceles F = y+z
Sabemos que el triángulo ABC es rectángulo 90 = x+y+z
Entonces tenemos que:
y + E + F = 180 y + (x + y) + (y + z) = 180
x + 3y + z = 180
Además x + y + z = 90
2y = 90
y = 45
82.- De cuántas maneras se puede pintar un cubo si cada cara debe
pintarse de negro o de blanco? (Se considera que dos cubos están pintados
de la misma forma cuando girando uno de ellos se puede lograr que se vea
idéntico al otro).
Solución: 10
Procedimiento:
Primero, dividamos nuestro problema en casos dependiendo de cuántas caras
del cubo se colorean de blanco:
i) Ninguna cara se pinta de blanco: sólo hay una forma de hacer esto.
ii) Se pinta una cara de blanco: nuevamente, sólo hay una forma de hacerlo
ya que sin importar cual cara pintemos basta girar el cubo para obtener
cualquier otra coloración.
iii) Se pintan dos caras de blanco: en este caso hay dos formas distintas de
pintar, que las caras blancas compartan una arista o que no compartan.
iv) Se pintan tres caras de blanco: partamos de las dos formas distintas
obtenidas en el caso anterior. En la primera forma (las dos caras blancas
comparten una arista) tenemos dos formas distintas de pintar una nueva cara:
que la nueva comparta arista con ambas caras ya pintadas o que comparta con
sólo una de ellas. Mientras que en la segunda forma (las dos caras blancas no
comparten arista) sólo tenemos una forma de pintar una nueva cara: que la
nueva comparta una arista con cada una de las ya pintadas. Sin embargo, esta
coloración resulta equivalente a la segunda forma en el caso anterior. Por lo
tanto, sólo hay dos formas distintas de pintar tres caras de blanco.
v) Se pintan cuatro caras de blanco: si se pintan cuatro de blanco debemos
pintar dos de negro por lo que este caso debe ser análogo al caso iii) con el
negro jugando el papel del blanco y viceversa. Por lo tanto, debe haber dos
formas distintas.
vi) Se pintan cinco caras de blanco: nuevamente, este caso es análogo al ii),
entonces, hay sólo una forma.
vii) Se pintan seis caras de blanco: sólo hay una forma de hacer esto.
Por lo tanto, el total de formas de pintar el cubo es: 1+1+2+2+2+1+1 = 10.
83.- Si la longitud del segmento ab es de 6
cm y los cinco cuadritos de la cruz son
iguales, ¿cuánto vale el área de la cruz?
Solución: 236cm .
Procedimiento: Llamemos l al lado de cada cuadrito y C al vértice que indica la
siguiente figura:
Entonces por el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC tenemos que
2
222 ABll
Por tanto, 22 64 ll
Entonces
365 2 l
a
cb
Por otro lado el área de cada cuadrito es: 2l
Y como la cruz está formada por 5 cuadritos, su área total es de: 25l
En consecuencia su área es de 236cm .
84.- Hay 100 focos. Cada hora Susy cambia de situación da algunos de los
focos, es decir, apaga algunos de los que están prendidos y prende algunos
de los que están apagados. Lo hace de acuerdo a la siguiente regla: La
primera hora cambia de situación el foco 1; la segunda hora cambia de
situación los focos 1 y 2, la tercera hora cambia de situación los focos 1, 2 y
3 y así sucesivamente. Si al principio todos los focos están apagados,
¿cuántos focos habrá prendidos después de 51 horas?
Solución: 26
Procedimiento:
La pregunta es cuántos números impares menores e iguales a 51 hay, que son
los que están encendidos.
85.- Tres cuadrados con lados de
longitudes: 10 cm, 8 cm y 6 cm,
respectivamente, se colocan uno al lado
del otro como se muestra en la
siguiente figura.
¿Cuál es el área de la parte
sombreada?
Solución: 80
Procedimiento:
Área Buscada = Área total – Área del triángulo rectángulo de base 10+8+6=24
y altura 10
X = (102 + 8
2 + 6
2) – (24*10/2) = 100 + 64 + 36 – 120 = 200 – 120 = 80
10 c
m
8 c
m
6 c
m
86.- Al comenzar el año escolar un alumno compra 6 libros y 7 cuadernos
por $199.00 Para completar su equipo de trabajo le faltan 2 libros y 3
cuadernos que compra posteriormente por $71.00 ¿Cuánto le cuesta cada
libro y cada cuaderno suponiendo que todos los libros tienen el mismo
precio y todos los cuadernos también?
Solución: 80
Procedimiento:
Área Buscada = Área total – Área del triángulo rectángulo de base 10+8+6=24
y altura 10
X = (102 + 8
2 + 6
2) – (24*10/2) = 100 + 64 + 36 – 120 = 200 – 120 = 80
87.- Hallar tres números enteros positivos consecutivos, tales que la suma
de los cuadrados de los dos menores sea igual al cuadrado del mayor, más
doce unidades.
Solución: 5,6,7
Procedimiento:
Se debe cumplir que: x2 + (x+1)
2 = (x+2)
2 + 12
x2 + (x
2 + 2x + 1) = (x
2 + 4x + 4) + 12
x2 - 2x - 15 = 0
X = 5 o X = -3 por cualquier método (factorización o fórmula general)
X = 5
88.- Jorge invito a sus amigos de la secu a su fiesta de cumpleaños y les
dijo que se verían en su casa desde las cinco de la tarde, les dijo que su
casa está en la calle Pitágoras No. X, y que deben saber que: X es múltiplo
de tres, X también es múltiplo de cuatro, pero X no es múltiplo de cinco y
el número de su casa está entre 50 y el 79.
¿Cuál es el número de la casa de Jorge?
Solución:
X múltiplo de 3 51 54 57 60 63 66 69 72 75 78
X múltiplo de 4 52 56 60 64 68 72 76
X no múltiplo de 5 51 52 53 54 56 57 58 59
61 62 63 64 66 67 68 69 71 72 73 74 76 77 78 79
El número de la casa de Jorge es 72.
89.- Don Pedro Racional construyó una máquina trituradora de fracciones
que hace lo siguiente: Si una fracción F entra en la máquina, la procesa y
sale una nueva fracción siguiendo el proceso ( )
( ), así por ejemplo si entra
½ sale convertido en ⅓. Pues bien si entran ⅔ y la fracción que sale se mete
otra vez y esta se sigue procesando hasta completar 500 procesos en total,
¿Cuál será la fracción que saldrá finalmente?
Solución:
Primer proceso (
)
(
)
Segundo proceso (
)
(
)
90.- El lado de una finca cuadrada es de 200 m. Su dueño decide dividirla
en cinco parcelas. Cuatro de ellas en forma rectangular y de iguales
Cuando el proceso es par el
resultado es 2/3. Cuando el
proceso es impar el
resultado es 1/5. Por lo
tanto a 500 procesos el
resultado es 2/3.
dimensiones y la quinta ha de ser un cuadrado cuya superficie, sea la
cuarta parte de la finca original. Dibuja un plano con dimensiones que
sirva para hacer la partición de la finca.
Solución:
Cálculo del área original 40,000 m2,
y del área del terreno cuadrado
10,000 m2.
Cálculo de las dimensiones de la
zona cuadrada:
√ lado del
terreno cuandrado
91.- Demuestra que en la figura de la derecha el
área A es igual al área B.
50 m
150 m
200 m
A
B
Solución:
Vamos a calcular el área blanca:
Luego entonces:
Área B = [ (
)] (
)
Para el cálculo del área A se necesita calcular primero el área del contorno de
la imagen original y restarle las áreas 1, 2 y 3:
Área imagen = ( )
r
r
B
Área 1 = ( )
Área 2 =
Área 3 = ( )
Área A = Área imagen – Área 1 – Área 2 – Área 3
Área A =
(
)
(
)
Son iguales queda demostrado
92.- El tío de Eduardo le pide que le ayude a medir lo largo de un terreno,
Eduardo midió el largo del terreno con pasos de 54 cm. Después lo midió
su tío con pasos de 72 cm. Quedaron marcadas en total 60 pisadas (sin
tomar en cuenta las huellas de donde estaban parados al inicio), pero a
veces la misma marca correspondía a dos pisadas, una de Eduardo y la
otra de su tío. ¿Cuál es el largo del terreno?
Solución:
El m.c.m. de 54 y 72 es 216.
En 216 hay 7 pisadas, pero coinciden las dos últimas, por lo tanto 6 marcas.
Para llegar a 60 marcas multiplica por 10. 2160 cm
2
A
Si el alumno utiliza un método gráfico (recta numérica):
Resultado 6 pasos 216 cm, 60 pasos = 2160 cm
93.- En la Kermes de tu escuela el profe de matemáticas organiza un juego
con tres dados, el juego consiste en sumar los puntos de los tres dados. El
ganador del primer premio es aquel que le atine más veces al número
mayor que resulta del cuadrado
de la suma, después de tirar los
dados 20 veces. ¿A qué número
le apostarías?
Pasos de
Eduardo 54 cm
c/u .
Pasos del Tío 72
cm c/u.
216 cm cada 6
pasos 216 cm 216 cm
Solución:
Se encuentra que la suma de los puntos de los dados no puede ser menor a 3 ni
mayor a 18
2 < x < 19
Subconjuntos de resultados:
Sumatoria X 1 2 3 4 5 6 P(x) X2
3 1,1,1, 1/56 9
4 2,1,1, 1/56 16
5 2,1,2 1,1,3 2/56 25
6 1,1,4 2,2,2 2.1.3 3/56 36
7 2,2,3 2,1,4 1,1,5 3,3,1 4/56 49
8 2,2,4 2,3,3, 1,1,6 5,2,1 4,3,1 5/56 64
9 3,3,3 2,1,6 5,3,1 4,4,1 3,4,2 5,2,2 6/56 81
10 3,4,3 3,2,5 1,6,3 6,2,2 5,4,1 4,2,4 6/56 100
11 6,4,1 6,3,2 5,1,5 5,2,4 5,3,3 4,4,3 6/56 121
12 6,4,2 6,3,3 6,1,5 5,5,2 5,4,3 4,4,4 6/56 144 apostar
13 6,6,1 6,5,2 6,4,3 5,5,3 5,4,4 5/56 169
14 6,6,2 6,5,3 6,4,4 5,5,4 4/56 196
15 6,6,3 6,5,4 5,5,5 3/56 225
16 6,6,4 5,5,6 2/56 256
17 6,6,5 1/56 289
18 6,6,6 1/56 324
Elaboración de subconjuntos de las sumas
Selección de 9, 19, 11 y 12 como los números con mismas probabilidades
Selección del 12 como el número a apostar (porque su cuadrado es el mayor)
94.- ¿Cuál es el último dígito de siguiente suma?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Solución:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Observemos que se presenta un patrón, al momento de sumar los dígitos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2+6=8
8+12=20
20+20=40
40+30=70
70+42=132
132+56=188
188+72=260
260+90=350
350+110=460
460+132=592
592+156=748
Observemos que cada 5 sumandos, los dígitos de las unidades se repiten; y el
último dígito es cero. 2,8,0,0,0,2,8,0,0,0,2,8,…
Como 2015 es múltiplo de 5, tenemos que el dígito de las unidades de la suma
hasta ( ) es 0.
Luego, si aumentamos el último sumando ( ) tendremos que él
dígito de las unidades de la suma es 2.
95.- En el rectángulo ABCD tiene 128 de
área, de tal manera que = 2 , se marca el
punto E en el medio de y F en de modo
que = 3 .
¿Cuál es el área del triángulo FBE?
Solución 1:
Trazamos la altura del triángulo FBE
De aquí encontramos que el área de cada cuadrado es de
Por lo cual
Como = 3 , entonces
El área de un triángulo es
Por lo que tenemos: área del triángulo FEB =( )( )
Área del triángulo FEB = ( )( )
Área del triángulo FEB =
A B
CD E
F
A B
CD E
F
Solución 2:
Llamemos = área del rectángulo
Trazamos las siguientes líneas, observamos que se
divide en ocho partes iguales,
Se encuentra sombreada
parte del área del
rectángulo.
Área sombreada
=
Área sombreada será
96.- En el estado de Sinaloa las placas tienen
tres letras y cuatro números, consideremos el
alfabeto compuesto por 26 letras, cuantas
maneras diferentes hay de combinar estas
letras y números. De forma que las placas
inicien con la letra V y terminen con el dígito
9. Puedes repetir números y letras. Este es un caso particular.
Solución:
Consideremos que la primera letra de la placa quedaría fija
La segunda letra de la placa la pueda acomodar de 26 maneras diferentes.
La tercera letra la puedo acomodar de 26 maneras diferentes, debido a que se
pueden repetir las letras en la placa.
Consideremos los dígitos del 0, 1, 2, …, 9
La posición del primer dígito, los podre colocar de 10 maneras diferentes en la
placa.
A B
CD E
F
La posición del segundo dígito también los podre colocar de 10 maneras
diferentes.
La posición del tercer dígito la podre colocar de 10 maneras diferentes.
La Cuarta solo de una manera diferente.
De aquí que el número de combinaciones es el producto de ellas:
= 679* 1000
= 679000
97.- ¿Cuál es el resultado de la siguiente Suma?
Solución:
Observemos que son puros números pares y son 1008 sumandos.
Agrupemos la expresión de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( )
Se observa que en cada binomio la diferencia es 2 y se repite 504 veces
Entonces
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
El valor de la suma es 1008
98.- En el triángulo ABC, con ángulo recto en B, los puntos E y F están en
de tal manera que y . ¿Cuánto mide el ángulo
EBF?
Solución: 45o
Procedimiento:
Sabemos que el triángulo ABE es isósceles E = x+y
Sabemos que el triángulo CBF es isósceles F = y+z
Sabemos que el triángulo ABC es rectángulo = x+y+z
Entonces tenemos que en el triángulo BEF la suma de los ángulos internos es
:
y + E + F = y + (x + y) + (y + z) =
x + 3y + z =
Además x + y + z =
2y =
y =
99.- Reflexiona en la siguiente disposición de cubos. Enuncia la expresión
algebraica que establece el número de cubos que
forman la figura que ocupa la enésima posición
de la sucesión.
Solución:
Procedimiento:
Se puede deducir de diferentes puntos de vista
1ro
Simple conteo
1 – 1
2 – 4
3 – 9
Se tiene la idea de que la relación es el cuadrado y se verifica con los siguientes
4 – 16
:
2do
Se puede ver como dos paredes iguales con un muro central
La tercera disposición de cubos:
Cubos en el muro central = 3
Cubos en cada pared = 2 + 1
Total = 3 + 2(2+1) = 9
Se deduce que en la siguiente disposición (4) se tiene que:
Cubos en el muro central = 4
Cubos en cada pared = 3 + 2 + 1
Total = 4 + 2(3+2+1) = 16
Se deduce que en la disposición (n) se tiene que:
Cubos en el muro central = n
Cubos en cada pared = (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1
Total (( )
)
3ro
Se puede ver como dos paredes, una que contiene el muro central y la otra no.
La tercera disposición de cubos:
Cubos en la pared con el muro central = 3 + 2 +1
Cubos en la otra pared = 2 + 1
Total = (3+2+1) + (2+1) = 9
Se deduce que en la siguiente disposición (4) se tiene que:
Cubos en la pared con (el muro central) = 4 + 3 + 2 + 1
Cubos en cada pared = 3 + 2 + 1
Total = (4+3+2+1) + (3+2+1) = 16
Se deduce que en la disposición (n) se tiene que:
Cubos en el muro central = n + (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1
Cubos en cada pared = (n-1) + (n-2) + … + 2 + 1
Total ( ( )
) (
( )
) (
( ) ( )
) (
( ) ( )
)
100.- El cuadrado de la figura mide 4 cm de
lado. ¿Cuánto mide el área de la corona (área
sombreada)? (considera )
Solución
Se puede deducir que el diámetro del círculo más pequeño (d) es igual al lado
del cuadrado.
d = 4
Radio del Círculo Pequeño (r) = 2
Se puede deducir que el diámetro del círculo más grande (D) es igual a la
diagonal del cuadrado.
Por teorema de Pitágoras se tiene que:
√ √( ) (√ )( ) √
Radio del Círculo Grande (R) = (√ )( )
El área de la corona es: ( )
101.- La figura muestra un cuadrado y dos triángulos
equiláteros en su interior. Si el lado del cuadrado mide
1, ¿cuál es la longitud del segmento resaltado?
Solución: 0.732
Altura del triángulo equilátero: √
Distancia que le falta para llegar al lado opuesto a la base es 1 - √
Longitud del segmento = 1 – 2(1 - √
) = 1 – 2 + √ = √ – 1 0.732
102.- Un hombre compró doce piezas de fruta (manzanas y naranjas) por
99 pesos. Si una manzana cuesta 3 pesos más que una naranja (el precio
por manzana es exacto en pesos, es decir, sin centavos), y compró más
manzanas que naranjas, ¿cuántas de cada una compró?
Solución:
Formalización algebraica
Sea x = número de manzanas; y = número de naranjas;
w = precio por manzana; z = precio por naranja.
Se tiene que:
x + y = 12
(w)(x) + (z)(y) = 99
w = z+3
x > y
Tratamiento
(z+3)(x) + (z)(y) = 99
(z)(x+y) + 3x = 99
12z + 3x = 99
4z + x = 33
x = 33 – 4z
Como y = 12 – x y = 12 – (33 - 4z) y = 4z – 21
Como x > y 33 – 4z > 4z – 21 54 > 8z z < 7
z ≤ 6
Como el número de manzanas y de naranjas es positivo 4z-21 > 0
z > 21/4
z ≥ 6
Juntando las dos desigualdades concluimos que z = 6
w = 9
x = 33 – 4(6) = 33 – 24 = 9
y = 4(6) – 21 = 24 - 21 = 3
Interpretación:
Compró: 9 manzanas y 3 naranjas (precios: $9 por manzana; $6 por naranja)
103.- Cuatro músicos tocan en una banda. En todas sus canciones hay un
trompetista, un bajista, un baterista y un guitarrista. Deciden hacer una
tocada que consistirá de 8 canciones. Para no aburrirse, deciden que se
irán cambiando los instrumentos de manera que ninguno toque el mismo
instrumento en dos canciones consecutivas.
¿De cuántas maneras puede realizarse la tocada?
Solución = 24 × 97
Procedimiento:
Primero debemos ver de cuantas maneras pueden los músicos hacer la
transición de una canción a la siguiente cumpliendo la condición deseada. Al
terminar una canción el primer músico (no importa quién sea) tiene tres
opciones para su siguiente instrumento (cualquiera menos el que acaba de
tocar). Después de que este elige instrumento, el siguiente músico (el que acaba
de tocar el instrumento que eligió el anterior) tiene también tres opciones y,
cuando este realiza su elección el resto de la transición ya queda determinada:
si decide intercambiar instrumentos con el primero entonces los otros dos
también deben intercambiar entre ellos y, si decide tomar el instrumento de uno
de los otros dos, éste no puede elegir entonces el instrumento del primero pues
en ese caso el cuarto músico se quedaría sin cambiar instrumento. Por lo tanto,
tenemos 3 × 3 = 9 formas de realizar la transición.
Ahora, para hacer la tocada veamos de cuántas formas pueden acomodarse los
músicos para la primera canción: el primer músico puede escoger cualquiera de
los cuatro instrumentos, al segundo le quedarían tres opciones, y así
sucesivamente, por lo que vamos a tener 4×3×2×1 = 24 formas de tocar la
primera canción.
Una vez decidido cómo acomodarse en la primera canción los músicos
realizarán 7 transiciones que, sabemos, se pueden hacer de 9 formas cada una.
Por lo tanto, el total de formas para realizar la tocada sería 24 × 97 .
104.- Considere la lista 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, . . . Tomando en cuenta
que en la posición 1 se encuentra el número 1, en la posición 2 se encuentra
el número 2, en la posición 3 se encuentre el número 2, en la posición 4 se
encuentra el número 3, etc. ¿Cuál es el número escrito en la posición 2016?
Solución: 63
Procedimiento:
Sabemos que el último tres se escribe en la posición 1+2+3
o
Sabemos que el primer tres se escribe en la posición (1+2) + 1
Sabemos que el último cuatro se escribe en la posición 1+2+3+4
o
Sabemos que el primer cuatro se escribe en la posición (1+2+3) + 1
Sabemos que el último 20 se escribe en la posición 1+2+3+…+20
o
Sabemos que el primer 20 se escribe en la posición (1+2+3+…+19) + 1
Sabemos que la suma de los primeros n números es : ( )
Entonces buscamos el número entero más pequeño que cumple que : ( )
Lo que nos lleva a la Ecuación : n2 + n – 4032 = 0
n = 63
o
Entonces buscamos el número entero más pequeño que cumple que: ( )
Lo que nos lleva a la Ecuación : n2 - n – 4030 = 0
n = 63
Material elaborado por: Silverio Camarena Garay
Taller de Matemáticas del Centro de Ciencias de Sinaloa
