LA GEOMETRÍA LIBRE DE TODO DEFECTOErnesto Araujo Chavarro

Código: 1410070104Ronald Pérez Perea

Código: 1410069927Estudiantes de la Licenciatura en Matemáticas y Física

Semestre II

Así como el misterio de la biología es la vida, el de la geometría es el espacio. El estudio de la diversidad de vida en la Tierra ha llevado a entender nuestra evolución a través del tiempo, sin embargo, el cómo se creó la vida sigue siendo motivo de discusión. Del mismo modo, el estudio de las formas del espacio ha permitido comprender el lugar que ocupamos; no obstante, definir qué es el espacio es motivo de discusión.

No es nuestro objetivo tratar de responder preguntas trascendentales, menos aún, es un intento de comenzar a comprender el vasto conocimiento geométrico. En este sentido, como producto de las reflexiones del espacio académico al que se ha llamado Geometrías, hemos querido ensayar a partir de preguntarnos por qué hablar de geometría y no de geometrías. Declaramos, sin ningún temor, que nuestros conocimientos son mínimos al respecto, pero nos hemos propuesto este reto como pretexto para profundizar en el tema.

La base de nuestra hipótesis son las nociones comunes y postulados de Euclides, en especial, la discusión histórica que se generó a partir del quinto postulado. Nuestra intención es analizar la génesis de la geometría euclidiana y las no euclidianas. Sin duda, este camino nos llevará a discutir sobre el concepto de verdad absoluta y relativa, para, finalmente, reafirmar nuestra hipótesis: es posible definir una geometría. Como podrá notar el lector, nuestra defensa es el carácter singular de la geometría, similar a lo que hizo Gerolamo Saccheri en su libro Euclides libre de todo defecto y en donde se vislumbra el nacimiento de las geometrías no euclidianas.

De la geometría a las geometrías

Es sabido que antes de Euclides existía un variado conocimiento sobre geometría, pero fue éste quien realizó un sistema geométrico consistente que ha perdurado por más de dos milenios. En su libro Los Elementos logró fundamentar lo que hoy se conoce como geometría plana. Fue el primer libro que habló de axiomas, proposiciones que se caracterizan por no necesitar

demostración, son evidentes; puntualmente, cuenta con definiciones, nociones comunes y postulados. Pero el quinto postulado no parecía ser tan evidente. El malestar que generó este postulado en diferentes épocas y matemáticos desencadenó en el surgimiento de otras dos geometrías: la que publicaron Bolyai, Lobatchevski y la de Riemann. (Senior Martínez, 2001)

Dos geometrías más que son consistentes. ¿Cómo se da su surgimiento? Las dos niegan el quinto postulado y, una de ellas, también el segundo. Es a partir de lo anterior que hoy se habla de la geometría plana, hiperbólica y esférica. Veamos en detalle este surgimiento:

Euclides planteó los cinco postulados siguientes (además de las definiciones y nociones comunes):

I. Dados dos puntos distintos se puede trazar una recta por ellos.II. Una (fragmento de) línea recta se puede extender indefinidamente.III. Dados dos puntos, se puede trazar una circunferencia con centro en

uno y que contenga al otro.IV. Todos los ángulos rectos son iguales.V. Si una recta corta a otras dos formando ángulos correspondientes

internos que sumen menos de dos ángulos rectos, estas dos rectas (extendidas indefinidamente) se cortan en un punto que está del mismo lado donde los ángulos correspondientes suman menos de dos rectos. (Aguilera, 2010, pág. 2)

El hecho de que el quinto postulado no fuera tan evidente hizo que ciertos matemáticos intentaran eliminarlo, redefinirlo o demostrarlo a partir de los cuatro postulados restantes. La idea fue reducir al absurdo cualquier alternativa que altera el postulado. No fue posible. De hecho, actualmente conocemos el quinto postulado como: por un punto exterior a una recta solo puede trazarse una paralela. ¿Qué pasó con las otras dos rectas y los ángulos interiores que suman menos de dos rectos? Esperamos tener una respuesta elegante para cuando nuestros estudiantes nos hagan la pregunta.

Volvamos a la idea de reducir al absurdo el quinto postulado. Hay dos alternativas, primero que por un puntos exterior a una recta no pasa una paralela; segundo, por un punto exterior a una recta pasan infinidad de paralelas. El resultado con la primera alternativa fue la geometría esférica publicada por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) y el resultado con la segunda alternativa fue la geometría hiperbólica que publicaron Nicolai Lobatchevski (1792-1856) y János Bolyai (1802-1860).

El problema: ¿los axiomas son producto de la razón o de la experiencia?

La idea de que los axiomas son verdades evidentes y no necesitan demostración creo la representación social de verdad absoluta de los postulados. Immanuel Kant defendió esta postura en su libro Crítica de la razón pura y actualmente es considerada como una falla de su teoría (Guerrero Pino, 2005; Alvarez, 2004). El hecho de considerar que son verdades absolutas quiere decir que no cambian, serán las mismas en el pasado, presente y futuro. Ahora supongamos que los cinco postulados son las columnas que sostienen un edificio y el quinto es la columna más importante. Luego alguien dice que esa quinta columna se puede quitar. A nuestro juicio, consideramos que este fue el mal entendido al interpretar el quinto postulado. El quinto postulado nunca se quitó, por el contrario, se fortaleció al negarlo y esto permitió comprender mejor el edifico, ¿cuál edificio? En donde está la Tierra, el sistema solar, las galaxias; nos referimos al cosmos.

¿Cuál de las geometrías es la verdadera? Las tres son consistentes y verdaderas. Lo son como producto de la razón y la experiencia. Saber cuál es primera o si una es superior a la otra no es tan importante, lo realmente interesante es lo que producen: conocimiento. Por ejemplo, vemos lo que sucede cuando se aplican los conceptos geométricos en un análisis topográfico.

La geometría aplicada a la topografía

La palabra topografía se divide en dos términos que son topo (tierra) y (grafía), etimológicamente viene a significar algo así como el gráfico de la tierra. Pero, puntualmente, se encargada de identificar y delimitar las superficies terrestres. Es decir, establecer un orden territorial satisfaciendo las necesidades que se presenten en determinada situación. La topografía se divide en plana, geodésica, fotogramétrica. En esta ocasión nos enfocaremos en los levantamientos de análisis topográficos planos.

La relación que existe entre la geometría y el análisis de determinada área terrestre es explícita. Por ejemplo en las delimitaciones y linderos de los diferentes esquemas superficiales que se necesitan analizar. Un punto clave que se debe tener claro es que la topografía está determinada por la cartografía, ésta es la medular de la topografía ya que en ella está inmersa la geometría. Es decir ahí es donde se muestra y queda plasmado la forma y el diseño del análisis topográfico. Esto quiere decir que el trabajo realizado en

campo abierto y en alguna área determinada, es plasmado por medio de la cartografía.

Existen diferencias para analizar los levantamientos topográficos según la necesidad que puedan presentar. Entre las diferencias está la manera como se toma la superficie terrestre. Para aplicar conceptos geométricos euclídeos hay que tomar la superficie terrestre de manera plana; es decir, que sea en extensiones terrestres muy pequeñas. En pocas palabras, todo levantamiento que se efectué con los parámetros de la topografía plana se tomara la superficie terrestre plana. Por el contrario, la topografía geodésica es la encargada de tomar y determinar extensiones de tierra bastante grande y sus referencias de posicionamiento es de altitud y latitud, es decir, esta topografía maneja y determina los levantamientos topográficos de manera esférica.

Una de las maneras en la cual se encuentra inmersa la geometría plana en la topografía es a la hora de analizar planos en determinadas superficies. Estos levantamientos necesitan de los deferentes objetos geométricos como son: rectas, puntos, ángulos; con estos elementos lo que se hace es determinar poligonales según la delimitación del terreno que se esté midiendo, se determina un punto de referencia para poder dividir el terreno en las líneas poligonales necesarias. Esto ayuda a facilitar la medición del área o perímetro de los diferentes levantamientos que se realicen.

La topografía plana mide de manera horizontal, es decir, todos aquellos levantamientos que de alguna manera se realizan en determinadas áreas, siempre su referencia va ser de manera plana, unos de los más particulares es al realizar edificaciones, hacer linderos de las fincas, etc. Se puede apreciar que la topografía plana está de manera muy clara y demostrativa, que sin necesidad de tener muchos conceptos geométricos podemos notarlo rápidamente.

Por ejemplo, un particular caso es a la hora de delimitar una parcela, la cual por reconocimiento del terreno sacamos como conclusión que es paralelogramo. Entonces en este particular caso lo que necesitamos es saber el área de ese respectivo terreno, para saber su cantidad de tierra y linderos en particular. Lo que se hace principalmente es la triangulación, se hace a partir de diagonales trazadas de sus vértices respectivos, formando polígonos triangulares. Esto se puede calcular aritméticamente con la ley de seno y coseno, teorema de Pitágoras, que el momento no los vamos a calcular, el objetivo es que se pueda apreciar la triangulación que se

presenta en determinada área o campo terrestre. Es de esta manera se puede aplicar la geometría en determinada área según la topografía plana.

De manera que poligometrizar es una de los elementos claves a la hora de efectuar los levantamientos y análisis topográficos planos. La topografía no se puede aplicar a los diferentes análisis si no se utilizara la geometría. De alguna manera tiene que verse involucrada, pero si esta no se hace así es posible encontrarnos con dificulta a la hora de realizar un análisis topográfico. Por consiguiente, la geometría euclidiana juega un papel muy importante, por ejemplo, en procesos de urbanización.

“La poligonometria es el método de densificación más empleado en la topografía”. (Batista –Legra & Belete – Fuentes, 2013, pág. 58). De esta manera se puede apreciar que la poligometría es el medio por el cual la topografía puede basarse y tener un manejo de sus actividades de análisis topográfico, además ayuda a la manera de poder mirar de una forma muy sencilla y así poder apreciar y garantizar que los trabajos a base de los polígonos se realicen. En este caso lo que le ayuda es a la pluralidad y la variedad de levantamiento y análisis en diferentes situaciones en donde se emplean y se establecen las diferentes estrategias y utilización de los polígonos, mediante la métrica de medición y estableciendo que los levantamientos sean de campo abierto. Una de las características que tiene la topografía ante cualquier levantamiento realizado a partir de poligonales es en donde se establecen una serie de elementos geométricos, es decir, como puntos de referencias en donde se pueden establecer unas series de poligonales. Por consiguiente, estos objetos matemáticos nos sirven no solo para determinar áreas, sino que además sintetizar de una manera muy clara respecto al levantamiento realizado a la respectiva medición poligonal. Hay que tener en cuenta que estos levantamientos son de manera general, dicho de otra manera, solo son de tipos de levantamientos de topografía plana.

“La particularidad de la topografía es que asociada los pensamientos geométricos y trigonométricos a una técnica que le sirve de objeto para garantizar la realidad inmediata mediante diferentes prácticas, como son

levantamientos topográficos, nivelaciones, observaciones astronómicas etc”. (Camacho Rios, Sanchez Lujan, Blanco Vega, & Cuevas Acostado, 2011, pág. 124). Los términos que se manejan en la topografía, pueden ser muy importante a la hora de la aplicación de los modelos geométricos que se pueden manejar. Esto quiere decir que para cada levantamiento se debe modelar según los análisis respectivos, para determinar con precisión los que se quiere demostrar. En este caso se diría que la topografía juega a dos papeles muy importantes. En primer lugar la identificación según los conceptos adquiridos de la topografía, y segundo la trascripción de lo que se hace en el análisis, y plasmarlo de manera geométrica en un papel.

De manera que la identificación de extensiones terrestres representadas mediante de análisis geométricos se puede hacer de una manera muy natural, ya que, dentro del ámbito cotidiano, se considera que la topografía está inmersa en nuestras vidas y que, de alguna manera, hemos sido precursores de nuestro autoconocimiento. Estaríamos hablando de empirismo en donde a base de nuestras propias necesidades y experimentaciones nos establecemos nuestro propio conocimiento. Pero en el caso de la topografía nos lleva a que la geometrización es una herramienta muy específica en la aplicación delos conceptos que se manejan en ella. Esto tomando en cuenta que la topografía plana es una de las que se utiliza de formas común en nuestra cotidianidad. La topografía plana tiene una serie de conceptos que están involucrados directamente con las matemáticas y en específico con la geometría ¨rama de matemáticas¨. Es decir, la topografía se complementa de una forma y de otra, en este caso está involucrada con la geometría plana y la trigonometría. En donde se encontraría que la geometría plana estaría implementada por la geometría euclidiana y la trigonometría estaríamos hablando de conceptos como la ley de seno y coseno y en términos de Pitágoras como el teorema de Pitágoras.

“La geometría euclidiana, la trigonometría y el cálculo son las herramientas que generalmente se usan para modelar los fenómenos naturales. Los modelos son descritos en términos de puntos, líneas rectas, círculos, parábolas y otras curvas simples. Así, los puntos de dimensión cero, las líneas y curvas unidimensionales, las figuras planas bidimensionales como el cuadrado y el círculo, y los cuerpos tridimensionales como los cubos y las esferas nos hacen ver al mundo como hasta ahora lo entendemos”. (Ricardo David Valdez Cepeda, 1998, pág. 277). Uno de los apuntes importantes y de gran importancia es la geometría y la trigonometría, esta es una herramienta muy clara y específica a la hora de hacer análisis topográficos. De tal forma que la geometría que se aplica en la topografía plana, es la

euclidiana. Esta le da un peso enorme a esta topografía, ya que como anteriormente la topografía plana relaciona las extensiones terrestres de manera plana. Esta es la manera de poder entender e identificar los diferentes levantamientos que se realizan a partir de la geometría plana bidimensional. Adicionalmente, se estaría hablando de la trigonometría que es un complemento importante en la topografía, originando así la especificación y como la forma de poder demostrar de que la geometría plana se puede implementar en los diferentes análisis que respectivamente se hagan.

“Una línea recta tiene dimensión uno, mientras que una curva fractal tendrá una dimensión cuyo valor es de entre uno (1) y dos (2), dependiendo del espacio que ésta ocupe en el plano y de su comportamiento en sí” (Ricardo David Valdez Cepeda, 1998, pág. 278). Una de las plasmaciones en donde se establecen un levantamiento está establecida mediante la geometría fractal (podemos decir que la geometría fractal con la teoría de caos constituye los pilares de la posmodernidad científica). De esta manera la geometría usada puede ser muy útil a la topografía ya que es medio de escalar diferentes objetos relacionados con el medio pero de manera que sea menor del espacio real. Es decir se reduce mas no se amplia, esto lo que hace es que haya una mejor comprensión de cualquier objeto que vallamos analizando.

Podemos denotar como muestra la diferencia que hay entre la geometría euclidiana, la geometría fractal pero que a la vez pueden ser un complemento implícito, ya que la geometría euclidiana está entrelazada de conceptos como en la trigonometría. Por otra parte entonces la geometría fractal establece un factor de conversión, respecto el objeto a fractal. Viéndolo de la manera de aplicabilidad en la topografía sería en la cartografía, que es uno de los términos de la topografía en donde se puede establecer la geometría fractal ya que los planos necesitan mirar de una manera detallada una serie de aspectos en donde se puede encontrar inmersa la identificación de rectas, puntos en donde cada una puede ser un objeto de representación y modelación de los diferentes objetos a analizar.

“El área de un paralelogramo permite encontrar ciertas relaciones de áreas relacionadas de área relativamente fácil. Pueden encontrarse otras relaciones interesantes utilizando los vectores en la geometría euclidiana”. (Gonzales Pineda & Milena Garcia, 2012, pág. 203). De acuerdo con lo establecido, el paralelogramo es uno de los objetos geométricos que más se pueden encontrar al momento de hacer un análisis topográfico. Esto lo que hace es establecer una serie de utilidades muy específicas, es tanto que se

pueden establecer la relaciones con otras geometrías, como es la vectorial y la analítica. Si nos ponemos a analizar detalladamente, su hace referencia a la topografía plana o geodésica. En este caso, se podría decir que en algunos análisis topográficos más que plasmarlo en determinado formato. Tiene una serie de complementos como son las direcciones, en sentido de a aquella área específica, o nivelación de cualquier terreno en donde se pude ver involucrada la geometría vectorial. Esta puede determinar todos esos parámetros anteriores, de tal manera que el análisis puede tomar una mejor expresión visual al momento de analizarlo.

“La geografía euclidiana y su manera de expresión privilegiada, el mapa topográfica, en el mejor de los casos ayudan a una comprensión del inicio y la finalización de los procesos, pero poco aporta para comprender los distintos momentos intermedios y de las situaciones que de los mismos emergen en el contexto de una realidad donde todo está relacionado con todo a distintos niveles de intensidad, magnitud y frecuencia” (Alisio, 2000, pág. 59). Los procesos de representación de los análisis de topográficos son muy amplios a la hora de plasmarlos. Ya que la topografía plana es la más utilizada, siendo esta trabajada por la geometría plana; es este casos los procesos realizados con esta geometría son muy claros, pero existen lineamientos en donde surge procesos intermedios. A raíz de esto comienza a seguir, trayendo perspectivas de los levantamientos tridimensionales. Esto dio pie a que la geometría que se aplicaba a la topografía fue de manera descendente y cada vez se presentaran más difícil poder hacer entendibles los planos, porque se pasaba de líneas, puntos y diferentes objetos geométricos, a reducirse a puntos, es decir todas estas aplicaciones hechas en diferentes situaciones. Esto lo que hizo fue comenzar a dar cabida a la topografía geodésica, la cual esta tiene como objeto medir extensiones de tierras muchos más amplias que las que media la topografía plana. Por consiguiente estuvo un progreso de actitudes de cibernismo, modernismo, en el cual este trajo y comenzaron a manejarse de la manera tridimensional en cualquier espacio real.

La geometría

Después de realizar este recorrido de la aplicación de conceptos geométricos a la topografía, volvemos a nuestra hipótesis: es posible hablar de una geometría. Tenemos como fundamento los cinco postulados de Euclides en donde la negación de ciertos postulados enriquece su campo de acción. Es decir, la geometría es esférica, plana e hiperbólica. Por tanto, la negación de los postulados no implica que la geometría pierda consistencia, por el

contrario, permite que sea más robusta. Por tanto, nos adherimos al concepto de verdad por correspondencia o, en otros términos, verdad relativa al que alude Isaac Asimov en su libro El electrón es zurdo y otros ensayos científicos (El quinto de Euclides, La verdad plana, 1977).

Estamos de acuerdo con los pensadores que dicen que la geometría es una convención humana en donde juega un papel importante la razón y la experiencia como artífices del conocimiento. Poincaré afirma (1902):

Los axiomas geométricos no son juicios sintéticos a priori ni hechos experimentales. Son convenciones: nuestra elección entre todas las convenciones posibles está guiada por los hechos experimentales, pero permanece libre, y sólo está guiada por la necesidad de evitar toda contradicción (…). En otros términos, los axiomas de la geometría no son sino definiciones disfrazadas. (Citado por Senior Martínez, 2001, pág. 60)

Presentamos a continuación nuestro esquema representativo de la geometría:

A modo de conclusión

Al inicio del texto mencionados que nuestro punto de partida fueron los axiomas de Euclides, en especial, los postulados. Hemos reafirmado nuestra hipótesis de hablar de geometría y no de geometrías. Esta afirmación sustentada a partir de las lecturas hechas hasta el momento y según lo que hemos comprendido de ellas.

Pues bien, las dudas no cesan. Hasta el momento hemos tratado la geometría euclidiana y las no euclidianas. Nos asalta la duda cuando encontramos otros adjetivos como la geometría dinámica, la geometría proyectiva, entre otras. De hecho no causa curiosidad esta última, ¿cómo será esa geometría? Más aún, ¿qué fue lo que David Hilbert con su sistema axiomático? Sospechamos que vamos ese camino que a ratos parece recto, curvo y circular.

También nos cabe resaltar otras dudas que surgieron de la única asesoría con el profesor Javier Martínez, ¿pensadores como Euclides nacieron con una capacidad superiores a la de los demás mortales?, ¿Por qué Euclides no fundamentó el aspecto esférico e hiperbólico de la geometría si bastaba negar el quinto postulado? Nuestro interés es seguir ensayando.

TRABAJOS CITADOS

Aguilera, N. (2010). Geometría Euclídea Plana. Axiomas de la geometría plana . Recuperado el 15 de 10 de 2014, de Centro Científico Tecnológico Santa Fe (CENICET): http://www.santafe-conicet.gov.ar/~aguilera/apuntes/geometria2010/axiomas.pdf

Alisio, A. D. (2000). consideraciones para una geografia post- eclidiana en la sociedad del ¨bit¨. Redalyc, XVI(25), 57-79.

Alvarez, C. (2004). Kant, la geometría y el espacio. Revista Digital Universitaria. En linea en: http://www.revista.unam.mx/vol.5/num11/art83/dic_art83.pdf, 5(11), 1-14.

Asimov, I. (1977). El quinto de Euclides. En I. Asimov, El electrón es zurdo y otros ensayos científicos (F. Morán Samaniego, Trad., págs. 212-224). Madrid: Alianza Editorial.

Asimov, I. (1977). La verdad plana. En I. Asimov, El electrón es zurdo y otros ensayos científicos (F. Morán Samaniego, Trad., págs. 225-237). Madrid: Alianza Editorial.

Batista –Legra, Y. E., & Belete – Fuentes, O. (julio - septiembre de 2013). consideraciones sobre la exactitud de las redes de levantamiento

topográfico. Redalic, 29(3), 56-64.

Camacho Rios, A., Sanchez Lujan, B. I., Blanco Vega, R., & Cuevas Acostado, J. H. (Diciembre de 2011). Geometrización de una porcion del espacio. Redalic, 32(3), 123-145.

Gonzales Pineda, C. E., & Milena Garcia, S. (Diciembre de 2012). Área del paralelogramo y areas relacionadas. Redalic, XVII(52), 198-203.

Guerrero Pino, G. (2005). Teoría kantiana del espacio, geometría y esperiencia. Praxis Filosófica. Tomado de: http://praxis.univalle.edu.co/numeros/n20/german_guerrero_pino.pdf(20), 32-68.

RicardoDavid Valdez Cepeda, E. O. (julio - septiembre de 1998). geometria fractal en la ciencia del suelo. Redalic, 16(3), 277-288.

Senior Martínez, J. E. (2001). El surgimiento de las teorías no euclidianas y su influencia en la filosofía de la ciencia del siglo XX. Revista Colombiana de Filosofía de la Ciencia. Artículo disponoble en: http://www.uelbosque.edu.co/sites/default/files/publicaciones/revistas/revista_colombiana_filosofia_ciencia/volumen2_numero4-5-2001/surgimiento_teorias_no_euclidianas45-63.pdf, 45-63.