La funcin delta de Dirac o funcin , es (informalmente) una funcin generalizada en funcin de un parmetro real de tal forma que es igual a cero para todos los valores de los parmetros, excepto cuando el parmetro es cero, y su integral sobre el parmetro de - a es igual a uno. [1] [2] Fue introducido por el fsico terico Paul Dirac . En el contexto de procesamiento de seales que se refiere a menudo como la funcin impulso unitario. Es un anlogo de la constante de la delta de Kronecker funcin que se define generalmente en un dominio finito, y toma los valores 0 y 1. Desde un punto de vista puramente matemtico, el delta de Dirac no es estrictamente una funcin , ya que cualquier funcin real extendida que es igual a cero en todas partes, pero un solo punto debe tener total integrante cero. [3] Si bien para muchos propsitos de la delta de Dirac puede ser manipulada como una funcin, formalmente se puede definir como una distribucin que es tambin una medida . En muchas aplicaciones, el delta de Dirac se considera como una especie de lmite (un lmite dbil ) de una secuencia de funciones que tiene un pico alto en el origen. Las funciones de aproximacin de la secuencia son as "aproximada" o "incipiente" funciones delta.

Representacin esquemtica de la funcin delta de Dirac por una lnea coronada por una flecha. La altura de la flecha se utiliza generalmente para especificar el valor de cualquier multiplicativo constante, lo que dar el rea bajo la funcin. El otro convenio es escribir la zona prxima a la punta de flecha.

DefinicionesEl delta de Dirac puede ser libremente considerarse como una funcin en la recta real que es cero en todas partes excepto en el origen, en el que es infinito,

y que tambin se ve limitado para satisfacer la identidad

[7]

Esto no es ms que una heurstica definicin. El delta de Dirac no es una verdadera funcin , ya que no tiene funcin de las propiedades anteriores. [6] Por otra parte existen descripciones de la funcin delta que difieren de la conceptualizacin anterior. Por ejemplo, sinc (x / a) / a se convierte en la funcin delta en el lmite cuando a 0, [8] sin embargo, esta funcin no se aproxima a cero para valores de x fuera del origen, sino que oscila entre 1 / x, y - 1 / x ms y ms rpidamente a medida que uno se aproxima a cero. La funcin delta de Dirac puede ser rigurosamente definido, ya sea como distribucin o como una medida . Como una medida Una forma de definir rigurosamente la funcin delta es una medida , que acepta como argumento un subconjunto A de la recta real R, y devuelve (A) = 1 si 0 A, y (A) = 0 en caso contrario. [ 9] Si la funcin delta se conceptualiza como el modelado de una masa puntual idealizado a 0, entonces (A) representa la masa contenida en el conjunto A. Uno puede entonces definir la integral contra la como la integral de una funcin en contra de esta distribucin de la masa. Formalmente, la integral de Lebesgue proporciona el dispositivo analtico necesario. La integral con respecto a la medida de Lebesgue satisface

para todas las funciones de apoyo continuo compacta. El medida no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue - de hecho, se trata de una medida singular . En consecuencia, la medida del delta no tiene derivada de Radon-Nikodym - sin verdadera funcin para la cual la propiedad

sostiene. [10] Como resultado, la ltima anotacin es un cmodo abuso de notacin , y no una norma ( de Riemann o de Lebesgue ) integral.

Como medida de probabilidad en R, la medida de Delta se caracteriza por su funcin de distribucin acumulada , que es la funcin de Heaviside (o la funcin en escaln unidad ) [11]

Esto significa que H (x) es la integral de la acumulada funcin del indicador 1 con respecto a la medida de , a saber,

(- , x]

As, en particular, la integral de la funcin delta contra una funcin continua puede ser adecuadamente entendida como una integral de Stieltjes : [12]

Todos los mayores momentos de son iguales a cero. En particular, la funcin caracterstica y funcin generatriz de momentos son iguales a uno.Generalizaciones

La funcin delta se puede definir en n-dimensional del espacio euclidiano R como medida de tal manera que

n

para cada funcin f continua de soporte compacto. Como medida, la dimensin funcin delta-n es la medida producto de las dimensiones del delta funciones-1 en cada variable por separado. Por lo tanto, formalmente, con x = (x 1, x 2 ,..., x n), se tiene [15] (2) La funcin delta tambin se puede definir en el sentido de las distribuciones exactamente como antes en el caso de una dimensin. [16] Sin embargo, a pesar del uso generalizado en el contexto de la ingeniera, ( 2 ) deben ser manipulados con cuidado, ya que el producto de la distribucin slo puede se definen en circunstancias muy estrechas. [17]

La nocin de una medida de Dirac tiene sentido en cualquier conjunto que sea. [9] As, si X es un conjunto, x 0 X es un punto marcado, y es cualquier sigma lgebra de subconjuntos de X, entonces la medida definida en los conjuntos A por

es la medida delta o unidad de masa concentrada en x 0. Otra generalizacin comn de la funcin delta es una variedad diferenciable donde la mayora de sus propiedades como la distribucin tambin puede ser explotado debido a la estructura diferenciable . La funcin delta en una variedad M centrada en el punto x 0 M se define como la siguiente distribucin: (3) para todo soporte compacto suave reales funciones con valores de en M. [18] Un caso especial comn de esta construccin es cuando M es un conjunto abierto en el espacio euclidiano R n. En un espacio de Hausdorff localmente compacto X, la medida delta de Dirac concentrada en un punto x es la medida de Radon asociadas a la integral de Daniell ( 3 ) sobre el apoyo continuo de las funciones compacta. En este nivel de generalidad, clculo, como tal, ya no es posible, sin embargo, una variedad de tcnicas de anlisis abstracto estn disponibles. Por ejemplo, la asignacin es una inmersin continua de X en el espacio finito de medidas de radn en X, equipado con su topologa de vagos . Por otra parte, la envolvente convexa de la imagen de X bajo esta incorporacin es denso en el espacio de medidas de probabilidad de X.