El cientıfico no estudia lanaturaleza por la utilidad que lepueda reportar; la estudia por elgozo que le proporciona, y estegozo se debe a la belleza que hayen ella. . . La belleza intelectual sebasta a sı misma, y es por ella,mas que quiza por el bien futurode la humanidad, por lo que elcientıfico consagra su vida a untrabajo largo y difıcil. . .

An illustrious life in scienceHenri Poncare

1

La famosa ecuacion de Einstein

Daniel Alberto Cifuentes Castro*

29 de enero de 2013

Es bien sabido que Einstein en su teoria de la relatividad especial, postulo quela energıa total de una particula u objeto es dada por la ecuacion:

E = m · c2 (1)

Esta ecuacion es producto de un juicioso y cuidadoso analisis. Para llegar a ella,es necesario partir del concepto de la mecanica clasica de la energıa cinetica K ,la cual se define como:

K =

∫F · ds

Donde F es la fuerza externa al aumentar la velocidad de un cuerpo y ds es eldiferencial correspondiente a la trayectoria que tome dicha partıcula u objeto,en este caso, analizaremos un movimiento unidimensional llevado acabo sobrealgun eje de referencia, que por comodidad, sera sobre el eje x, partiendo de unavelocidad inicial v0 a una velocidad final v.

K =

∫ v

v0

Fdx (2)

Es aquı donde realmente empezamos, la fuerza F no es una fuerza ordinaria,pues la velocidad resultante debido a la aceleracion provocada por dicha fuerzaes bastante grande, inclusive, llegando a valores muy cercanos a la velocidadde la luz, lo cual, el uso de la mecanica clasica no es suficiente, por esto mis-mo, entramos al campo de la mecanica moderna. Entonces, la llamaremos unaFueza relativista, y ası mismo se encuentra dada por el cambio del momentumrelativista, ρ = γm0v con respecto al tiempo, es decir, la primera derivada delmomentum relativista respecto al tiempo.

K =

∫ v

v0

d

dtγm0vdx (3)

Ahora comenzaremos a simplificar un poco la ecuacion. Sabemos que γ es unaconstante y es conocida como el factor de Lorentz, el cual matematicamente es

*Estudiante de Tecnologıa en Mecanica, Universidad Distrital F.J.C. - Facultad Tec-nologica. Bogota. dacifuentesc@correo.udistrital.edu.co

2

γ = 1√1− v2

c2

y m0 es una constante que corresponde a la masa de la partıcula en

reposo, entonces, procedemos a derivar el momentum:

d(γm0v) = m0γdv +m0vdγ

d(γm0v) = m0(1√

1− v2

c2

dv + (v

c2)(

1

(√(1− v2

c2 )3))dv)

Aplicando algo de algebra para simplificar los terminos:

d(γm0v) = m0[dv

(√

1− v2

c2 )3]

Y ademas de que v = dxdt , reescribimos la integral para para resolverla:

K = m0

∫ v

v0

vdv

(√1− v2

c2 )3

(4)

Luego de resolver la integral definida, nos queda que K = m0c2[ 1

1−√

v2

c2

− 1],

pero sabemos que γ = 1√1− v2

c2

, por lo cual, la expresion de la energıa cinetica

es igual a: K = γm0c2 −m0c

2,el termino γm0 se le conoce tambien como Masarelativista y se denota con la letra m, siendo ası, nuestra expresion de energıacinetica es:

K = mc2 −m0c2 (5)

De la ecuacion anterior, hay un termino que nos resulta familiar y es mc2, puesası es, es la famosa ecuacion de Albert Einstein, la cual llamamos como energıatotal de una partıcula la energıa y es la energuıa que adquiere una partıcula aldesarrollar velocidades cercanas a la de la luz.

3

Referencias

[1] Acosta, Virgilo y Cowman, Clyde L., Curso de Fısica Moderna, pri-mera edicion, Oxford University Press, Mexico, DF, 1999.

4