AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN

UNIVERSIDAD NACIONAL

PEDRO RUIZ GALLO

FACULTAD DE CIENCIAS HISTRICOS SOCIALES Y EDUCACIN

TEMA: Etapa numrica en grados intermedios.

DOCENTE: Agustn Rodas Malca.

ALUMNA: Bermeo Cubas Sandy.

ESPECIALIDAD: Educacin primaria.

CICLO: V.

AO:

2015

ETAPA NUMRICA EN GRADOS INTERMEDIOS

I. RESUMEN:

En esta etapa numrica, se ha introducido al nmero como la propiedad comn de los

conjuntos equipolentes, ya que la aplicacin de esta relacin nos permite conjuntos

dispuestos en una serie en forma creciente, lo cual nos permite posteriormente a la accin

de contar.

En este andar, comenzara por los conceptos conjuntistas tales como: (El conjunto de

nmeros naturales, nmeros racionales, el nmero como medida de la cantidad continua)

que instrumentaran para transitar al tratamiento de la geometra.

II. SISTEMA DE CONCEPTOS:

III. SISTEMA DE PROCEDIMIENTOS:

EL CONJUNTO DE NMEROS NATURALES

Incorporemos los conceptos como asimilamos las reglas de un juego.

Imaginemos que tenemos delante una cajita. Abrimos la caja nos encontramos

con piezas y con un papel impreso que contiene instrucciones. Le diremos que

un sistema de numeracin es un conjunto de signos y un conjunto de reglas

que norman la funcin de esos signos y permiten la representacin de los

nmeros.

Aplicando esta regla del sistema dcimo, que determina tambin que sea

posicional, encontramos que la situacin de tener un atado formado con diez

fsforos la representamos por: 10.

0: Porque no quedaron unidades simples.

1: a la izquierda de 0, porque tenemos una unidad de decena.

Si los atados equivalen a unidades de primer orden o decenas y los fsforos

sueltos, a unidades simples, ubiquemos en los lugares correspondientes.

Es necesario que los nios logren diferenciar que no es lo mismo, como idea,

tener una decena que 10 unidades. No nos referimos a que son equivalentes,

queremos analizar ms profundamente. El nio tendr la idea de que 10 son 10

fsforos sueltos y de que una decena en 1 atado y que si es uno es una

unidad; pero le haremos diferenciar que no es lo mismo 1 fsforo que un atado.

Entendemos por algoritmo la combinacin de operaciones fundamentales

realizadas con cifras cualesquiera que dan origen a un nuevo nmero. As, en

el algoritmo de la numeracin, vemos que la combinacin de adiciones y

multiplicaciones da origen a nuevos nmeros y que al tratarse de la numeracin

decimal esta notacin depende de la divisin repetida por 10.

Ejemplo: 843 = 8.10 (2) + 4.10 (1) + 3.10 (0)

La numeracin romana:

En la numeracin romana desde el punto de vista didctico, se desprende la

necesidad de ensear el sistema de numeracin romano como ejemplo de

sistema que difiere conceptualmente de los sistemas cuya base es 10 o un

nmero mayor que 1. Para escribir numerales de varios dgitos, se los separa

en grupos de tres, llamados perodos. Un perodo es la reunin de tres rdenes

comenzando por las unidades simples.

Operaciones con nmeros naturales.

Adicin de nmeros naturales

Cuando un nio lleva a la escuela 5 figuritas, luego gana 3, y quiere saber

cuntas figuritas tiene, rene las figuritas de los dos conjuntos y obtiene un

nuevo conjunto de 8 figuritas. Las figuritas que el nio trajo de su casa y las

figuritas que gan en la escuela no tiene elementos en comn, son conjuntos

disjuntos.

La prctica de la adicin tiene que estar acompaada por el baco que ahora

tendr clavos suficientes como para que cada uno de ellos represente los

distintos rdenes. El uso de la tabla de suma de los primeros nueve nmeros y

un correcto modo de usarla determinarn que el nio tenga facilidad para

resolver la adicin.

En la adicin tambin se incorpora una mayor cantidad de resolucin de

problemas que se presentarn al nio como situaciones problemticas que

emergen da dramatizaciones, de representaciones grficas secuenciadas

donde pueda deducirse el enunciado del problema, la operacin que interviene

y la respuesta correcta que la soluciona. Las tiras grficas incompletas son

suficiente motivacin para un nio se sienta atrado para resolver un problema.

Para atender las diferencias individuales de los alumnos, es necesario que el

docente cuente con un nmero de tarjetas donde se plantean problemas y un

cuaderno donde estn las soluciones, de modo tal que sea el mismo nio quien

busque la respuesta, la coteje con la suya y considere si tiene o no que

resolver nuevamente. En el caso de que su respuesta sea correcta, tomar otra

tarjeta y resolver tantos problemas como su tiempo lo permita.

Las respuestas son el resultado que el nio lograr descubrir.

847 + 653= 1500 T

1890+90+3000=4980 U

2000+483+1000=3483 P

5435+2000=7435 E

8600+1084=9684 R

9600+84=9684 R

5453+5453=10906 O

Sustraccin de nmeros naturales

El tratamiento de la sustraccin se llevar a cabo teniendo en cuenta:

Primero: Sustracciones en que cada cifra del minuendo sea mayor que su

correspondiente del sustraendo.

Segundo: Sustracciones en que alguna cifra del minuendo sea menor que su

correspondiente del sustraendo.

Tercero: Sustracciones en que el minuendo termina en ceros

El Abaco o su graficacin tienen fundamental importancia para superar

gradualmente las sustracciones que presente dificultades

Multiplicacin de nmeros naturales

Al trabajar el producto cartesiano destacamos que: permite definir el producto

en el conjunto de nmero naturales a partir de la unin de conjuntos disjuntos.

Realizada una multiplicacin es posible comprobar si ha sido bien lograda

invirtiendo los factores. El producto de esta segunda multiplicacin debe ser

igual al de la primera

Tenemos 12 flores que repartimos entre nios (a,b y c) de modo que resulte

cada uno con la misma cantidad de flores. Del ramo de 12 flores, sacamos una.

Que damos a otra que damos a b y otra ms, que damos a c. Resulta que cada

nio tiene una flor. Quedaron 12 3=9; 9 flores porque quitando 1 vez 3 a 12.

Divisin de nmeros naturales:

Empleamos la divisin cuando:

- El producto de los dos factores y uno de ellos se busca el otro factor.

- Se quiere obtener un nmero 2, 3,4, etc. Veces menor que otro.

- Dado el valor de varias unidades y su nmero, se busca el valor de una.

- Variar unidades de rdenes inferiores se quieren reducir a unidades de

orden superior.

En grados superiores cuando los nmeros que se trabajan son muy grandes, el

procedimiento mostrado para buscar el divisor comn mayor resulta muy

laborioso y largo. Existe otro procedimiento que consiste en descomponer cada

uno de los nmeros dados en sus factores primos; luego se eligen los factores

comunes considerados con su menos exponente, el producto de estos ltimos

constituye el mximo comn divisor de los nmeros dados.

EL CONJUNTO DE NMEROS RACIONALES

Vamos a convertir que trabajaremos con ejemplos donde el minuendo es

mayor o igual que el sustraendo. Resolvemos 3/4 2/3 con el material de

fracciones que tenemos. Comparamos lo tres cuartos con los dos tercios y

observemos que cada una parte sin cubrir Qu parte? Buscamos

superponiendo en las partes de nuestro material hasta que encontremos con

cual coincide.

Para comprender de a poco el significado de la escritura decimal como otro

modo de expresar las fracciones, lleg el momento de ir a buscar nuestro

baco. Entre dos clavos le pintamos un signo: la como decimal. Su importante

funcin es la de Separar la parte entera de la fraccin decimal propia de un

nmero.

A este nio imaginario, que est con nosotros escuchndonos, pedimos que

construya su material del siguiente modo:

- Marcamos y cortamos una de las hojas por la mitad.

- Dividimos otra de las hojas en tres partes.

- Marcamos y cortamos otra en cuatro partes congruentes.

Le haremos participar de actividades para comprender las operaciones con

expresiones decimales, del modo que est planteado. Este nio establece las

relaciones entre 1 decmetro y un metro; entre 1 centmetro y el metro; expresa

qu significa un cuarto kilo, que parte son 3 bolitas en un conjunto de 12 bolitas

, comprende el significado de la expresin tres cuartos de hora; resuelve la

descomposicin de un nmero en sus distintos rdenes. Comprende la funcin

de la coma y la representacin de cada cifra, etc. Lo orientamos para que,

luego de efectuar las experiencias, el nio exprese las definiciones y las reglas

que indicamos para ordenar.

EL NMERO COMO MEDIDA DE LA CANTIDAD CONTINUA. UNIDADES

CONVENCIONALES PARA MEDIR

Al comenzar a trabajar la etapa numrica, en el primer ciclo, que para trabajar

el concepto de nmero es necesario que el nio logre seriar y clasificar, ahora

queremos destacar que la nocin de medida se asienta en las mismas bases.

Antes de medir, el nio lograra la conservacin de las cantidades especies y

reconocer la transitividad que permite generalizar.

La conservacin de la cantidad continua por parte del nio es la condicin que

junto con la clasificacin y con la seriacin de este mismo tipo de cantidades,

permite abordar el concepto de medida. No podra ser de otra manera,

enfatizamos en la etapa numrica del primer ciclo qu estas son condiciones

para el surgimiento de la idea del nmero, y la medida nos es ms que el

nmero de la cantidad contina.

El nio trabajo la longitud y la capacidad en el primer ciclo ordenando,

clasificando y encontrando la medida con cantidades arbitrarias. En estos

grados medios, el nio trabajar con las mismas magnitudes y adems con

tiempo y peso, y har las expresiones previas al concepto de superficie.

IV. CONOCIMIENTO MATEMTICO:

EL CONJUNTO DE NMEROS NATURALES:

EL NUMERO NATURAL:

El nmero es considerado como la propiedad comn de los conjuntos equipolentes.

Apliquemos en este conjunto de conjunto la relacin tiene el mismo cardinal que, o lo

que es lo mismo, la relacin tiene tantos elementos como.

Los nmeros 0, 1, 2,3,4,5,6,7,8,9,10 pertenecen al conjunto de nmero naturales que

identificaremos con el nombre ene (N).

Por ejemplo:

SEMIRRECTA NMERICA:

El elemento geomtrico que nos permite representar al conjunto de nmeros es la

semirrecta y por esta causa se le llama semirrecta numrica.

En la semirrecta, a cada nmero natural le corresponde un punto.

CONTAR:

Contar los elementos de un conjunto es hacer corresponder ordenadamente cada uno de

los elementos de ese conjunto con cada uno de los nmeros de la sucesin fundamental

de nmeros naturales a partir del 1 y hasta llegar al ltimo elemento del conjunto dado.

Por ejemplo:

CARDINAL

1 2 3 4

ORDINAL

4

SISTEMA DE NUMERACIN

Es un conjunto de signos y reglas que permiten escribir cualquier nmero natural.

Por ejemplo:

Los sistemas de numeracin pueden ser posicionales y no posicionales.

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACION:

La base est formada por un nmero (mayor que uno) de signos o cifras que se

corresponden ordenadamente con los primeros elementos del conjunto de nmeros

naturales.

Por ejemplo:

SISTEMA NO POSICIONAL DE NUMERACION:

Es un sistema de numeracin romana basado en el principio de aditivo-multiplicativo.

Por ejemplo:

NUMERACION ROMANA:

Se trata de un conjunto de reglas que nos muestra claramente que no es posicional y

que no agrupa las unidades segn una basa determinada:

OPERACIN CON NMEROS NATURALES:

ADICIN DE NMEROS NATURALES:

Cuando se unen estos conjuntos disjuntos, se establece simultneamente una operacin

numrica que llamamos adicin y cuyo resultado es la suma.

Por ejemplo:

AUB

+ = 5

SUSTRACCIN DE NMEROS NATURALES:

Es la operacin por media de la cual, dados dos nmeros naturales, se quita el menor del

mayor. El nmero mayor se llama minuendo y el nmero menor se llama sustraendo.

Por ejemplo:

Representando en smbolos:

m-s=d si y solo si d+s=m

U

3 2

MULTIPLICACIN DE NMEROS NATURALES:

Desde el punto de vista conjuntista, se trata de la unin de conjuntos equipolentes

disjuntos.

Propiedades de la multiplicacin:

CONMUTATIVIDAD: 3x2=2x3.

ASOCIATIVIDAD: 2x (3x4)= (2x3) x4

DIVISIN DE NUMEROS NATURALES:

Exacta: si el resto es igual a cero.

Inexacta o entera: si el resto no es cero (aunque siempre tiene que ser menor que el

divisor)

Para comprobar si una divisin est bien resuelta se aplica la Propiedad fundamental

de la divisin:

Dividendo = Divisor x Cociente + Resto

Por ejemplo:

30: 7 = 4 (resto 2)

Aplicamos la propiedad fundamental de la divisin:

Divisor x Cociente + Resto = 7 x 4 + 2 = 28 + 2 = 30 = Dividendo

Por lo tanto la divisin est bien resuelta.

Vemos a continuacin como en una divisin mal resuelta no se cumple esta propiedad:

30: 7 = 3 (resto 4)

Divisor x Cociente + Resto = 7 x 3 + 4 = 21 + 4 = 25 (no = Dividendo)

DIVISIBILIDAD:

Cuando multiplicamos un nmero natural por otro nmero natural, el resultado que se

obtiene es nmero natural que tiene la propiedad de ser Mltiplo de los nmeros dados.

Esta propiedad consiste en que el nmero llamado mltiplo contiene exactamente a otra

una o varias veces.

Por ejemplo:

A= {mltiplos de 3}= {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21,24,} = 3

NUMEROS PRIMOS:

Aquellos nmeros que son divisibles por s mismos y por la unidad.

Por ejemplo:

El nmero 2 es primo, pero no son primos los mltiplos de 2, entonces cancelamos

los nmeros pares porque no son primos.

El nmero 3 es primo.

El nmero 5 es primo.

FACTORIZACIN:

Todo nmero compuesto puede expresarse como producto de factores primos. A este

proceso lo llamamos Factorizacin.

Por ejemplo:

Sea el nmero 100. Se observa que 100 es divisible por 2

Entonces, 100=2x50

A su vez 50=2x25 entonces 100 = 2x2x25

EL CONJUNTO DE NMEROS RACIONALES:

FRACCIN:

Toda fraccin es un par ordenado de nmeros enteros cuya segunda componente es

distinta de cero.

Por ejemplo:

(3,4) su nombre es tres cuartos o tres de cuarto y lo expresamos as:

FRACCIONES PROPIAS:

A las fracciones que tienen el numerador menor que el denominador las llamamos

fracciones propias y su valor es menor que la unidad.

Por ejemplo:

FRACCIONES IMPROPIAS:

A la fracciones que tienen el numerador mayor que el denominador, las llamamos

fracciones impropias y el valor de cada fraccin es mayor que la unidad.

Por ejemplo:

FRACCIONES APARENTES:

A las fracciones que tienen como numerador a un mltiplo del denominador las llamamos

fracciones aparentes y su valor es el de un nmero entero.

Por ejemplo:

FRACCIONES EQUIVALENTES:

Cuando dividimos numerador y denominador por un mismo nmero, obtenemos

fracciones simplificadas que pertenecen a la misma clase los cuales son fracciones

equivalentes.

Por ejemplo:

OPERACIONES CON EXPRESIONES FRACCIONARIAS:

ADICIN DE FRACCIONES:

La suma de fracciones de igual denominador es otra fraccin cuyo denominador de las

fracciones dadas y el numerador es la suma de los numeradores dados.

Por ejemplo:

SUSTRACCIN DE FRACCIONES:

Dado dos fracciones de igual denominador de modo que la primera sea mayor que la

segunda se llama resta a la fraccin cuyo denominador de las fracciones dadas y el

numerador es la resta de los numeradores dados.

Por ejemplo:

FRACCIONES DECIMALES:

Las fracciones que tienen como denominador la unidad seguida de uno o ms ceros se

llaman fracciones decimales.

Por ejemplo:

El primer denominador es el 10 o sea el 1 (que es la unidad) y un cero.

El segundo denominador es 100 o sea 1 y dos ceros.

El tercer es el 1000 o sea el 1 y tres ceros.

ESCRITURA DECIMAL:

Los dcimos, los centsimos, los milsimos, los diezmilsimos, los cienmilsimos, son

nombres de las distintas unidades no enteras de la escritura decimal de un nmero.

Por ejemplo:

0,3: cero enteros tres decimos.

4,055: cuatro enteros cincuenta y cinco milsimos.

EL NMERO COMO MEDIDA DE LA CANTIDAD CONTINA. UNIDADES

CONVENCIONALES PARA MEDIR:

CUANTIFICACIN:

En cantidades discontinuas para cuantificar basta contar una por una las unidades que la

integran.

Por ejemplo:

Los lpices en una cartuchera.

Cuantas paginas tiene un libro.

En cantidades continuas para cuantificar es necesario elegir una unidad de la misma

especie y determinar cuntas veces que una unidad cabe el objeto que queremos

cuantificar.

Por ejemplo:

Cunta agua hay en la pileta.

Cuanto tiempo transcurre en el recreo.

CONSERVACIN DE LA CANTIDAD CONTINA:

Es la condicin que permite al nio junto con la clasificacin y con la seriacin de este

mismo tipo de cantidades, permite abordar el concepto de medida.

Por ejemplo:

Cantidades en longitud.

Cantidades en capacidad.

V. CONCLUSIONES:

En esta etapa, son las caractersticas del nio la que determinan que darle o que

ensearle en su proceso de aprendizaje en las matemticas.

El docente es el gua que orienta el encuentro hacia la palabra que expresa un

contenido matemtico, es el que colabora en el descubrimiento.

En esta etapa numrica, se introduce al nmero como la propiedad comn de los

conjuntos equipolentes.

VI. REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:

Pardo de de Sande, I. (1995).Didctica de la matemtica para la escuela primaria. (4ta edicin),

Buenos Aires: Editorial el Ateneo; pag (107-131).