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Instituto 9-028 Prof. “Susana Estela Quiroga”. “Profesorado de Educación Primaria” Profesoras: Lara, Lorena- Salgado, Silvana

“La educación es el pasaporte para el futuro, el mañana pertenece a aquellos que se preparan para él hoy”. Malcolm X.

PROFESORAS: SALGADO, Silvana – LARA, Lorena

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CÓMO TRABAJAR EN MATEMÁTICAS

SOBRE TODO TRATA DE ENTENDER

¿Cómo se hace para tratar de entender? Aquí tienes un refrán que te recuerda

la fórmula: “Oigo, y olvido. Veo y recuerdo. Hago y entiendo”.

SABER MATEMÁTICAS ES SABER HACER COSAS CON LO QUE APRENDES

Por eso cuando estudias matemáticas debes tener constantemente tu lapicera

en acción. Repite ejemplos, haz los ejercicios, invéntate otros.

DIBUJA A TU MODO

Representa a tu modo las gráficas, imágenes y esquemas que el texto te va

proporcionando. Hazte tú mismo las que te puedan ayudar a dominar lo que

lees.

LA PREGUNTA ES EL ANZUELO PARA PESCAR EN EL MAR DE LAS IDEAS.

Pregunta. Quien pregunta aprende. Pregunta cuanto antes puedas, aquello que

no entiendas bien. Al profesor, a tus compañeros. Lo que te parezca entender,

coméntalo para asegurarte de que lo entiendes bien.

PARA QUÉ LA MEMORIA EN MATEMÁTICAS

No trates de memorizar nada antes de haber entendido bien a fondo. No trates

de memorizar nada antes de haber experimentado un buen rato con los

objetos que tienes delante. Observa con atención los diferentes pasos por los

que procedes. Esto es lo más interesante que has de tratar que quede en tu

memoria.

APLICA FRECUENTEMENTE LO QUE HAS APRENDIDO

No dejes que las cosas se te oxiden por no usarlas. Cada semana trata de

activar, hacer ejercicios, problemas que tiene que ver con las cosas que esa

semana has aprendido.

MEMORIZA LO QUE ES DE USO CONSTANTE


Te vendrá bien aprender de memoria alguna que otra fórmula sencilla y de uso

constante, pero nunca trates de retener fórmulas complicadas en la cabeza. Te

equivocarás con frecuencia.

CONJUNTOS NUMÉRICOS

CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

El conjunto de números naturales N está constituido por los números 1, 2, 3, 4, 5,…,

100,…, n,…, con los cuales contamos, ordenamos y realizamos las operaciones de

adición y multiplicación, siendo el resultado de estas operaciones también un número

natural, no ocurre lo mismo con la sustracción y con la división. Es un conjunto

ordenado, es posible representar a los números naturales en una recta, eligiendo

como origen el cero, que puede ser incluido también en el conjunto, usando en ese

caso el símbolo N0 para denotarlo.

El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características:

Es un conjunto infinito.

Tiene primer elemento, no tiene último elemento.

Todo número natural tiene un sucesor, es decir, cada número natural, tiene un

consecutivo.

Todo número natural, salvo el uno, tiene antecesor.

Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por

eso se dice que el conjunto es DISCRETO.

PROPIEDADES:

PROPIEDAD ADICIÓN (+) MULTIPLICACIÓN (.)

De cierre (interna) a + b es un número natural

Ejemplo: 2 N; 3 N y

2 + 3 N

a . b es un número natural

Ejemplo: 2 N; 3 N y

2 . 3 N

Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo: 2; 3 y 5 y se verifica que

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) 5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

(a . b) . c = a . (b . c)

Ejemplo: 2; 3 y 5 y se verifica que

(2 . 3) . 5 = 2 . (3 . 5) 6 . 5 = 2 . 15

30 = 30

Conmutativa a + b = b + a

Ejemplo: 2 y 3 N y se verifica que

2 + 3 = 5 y 3 + 2 = 5

a . b = b . a

Ejemplo: 2 y 3 N y se verifica que

2 . 3 = 6 y 3 . 2 = 6

Elemento Neutro Existe el 0 (cero) que verifica a + 0 = 0 + a = a

Existe el 1 (uno) que verifica a . 1 = 1 . a = a


Ejemplo: 2 N y se verifica que 2 + 0 = 0 + 2 = 2

Ejemplo: 2 N y se verifica que

2 . 1 = 1 . 2 = 2

Distributiva del producto respecto de la suma

a . (b + c) = a . b + a . c

Ejemplo: 2, 3 y 5 N y se verifica que 5 . (2 + 3) = 5 . 2 + 5 . 3

5 . 5 = 10 + 15 25 = 25

❖ POTENCIACIÓN:

Es una multiplicación reiterada. Por ejemplo: 4.4.4.4.4.4= 46

De forma general podemos decir que:

an = a . a . a . a . … . a

n-veces

las propiedades de la potenciación de números naturales son:

Producto de potencias de igual base:

an . am = an+m

Cociente de potencias de igual base:

an : am = an-m

Distributiva:

an . bn = (a . b)n

Potencia de otra potencia:

(an)m = an.m

a0 = 1 y a1 = a

SUSTRACCIÓN:

Estamos acostumbrados a pensar en la sustracción como la operación inversa de la

adición. Sin embargo, cuando estamos trabajando con los números naturales, la resta

no siempre tiene solución dentro de este conjunto. O sea, que la ley de cierre no

siempre se cumple cuando restamos.


Por ejemplo: 2; 3 N pero 2 – 3 N. por este motivo, no puede ser considerada una

operación en N.

Sin embargo podemos definir esta “casi” operación de la siguiente manera:

Dados los números naturales a, b y c decimos que:

a – b = c b + c = a

Se verifica que:

m = n (m – n) = 0

m n (m – n) N*

m n (m – n) N

DIVISIÓN:

Dividir es repartir en partes iguales. La división 30 2 = 15 se interpreta como un

reparto de 30 elementos (dividendo) entre 2 partes (divisor) de manera que a cada una

le corresponde 15 elementos (cociente).

Cuando trabajamos con números naturales pueden ocurrir dos cosas:

1. que una vez efectuado el reparto no sobren elementos. En este caso a la

división la llamamos exacta. (resto cero)

2. cuando no es posible un reparto exacto y sobran algunos elementos, la división

se llama entera. En este tipo de división, además de un cociente obtenemos un

resto. Un ejemplo de este caso: 28 3 = 9 . 3 + 1; aquí podemos formar 3

grupos de 9 elementos y sobra 1 elemento, llamado resto.

Por este motivo, decimos que la división no es cerrada respecto de la división, pues en

algunos casos (división exacta), el resultado cae dentro del conjunto de los naturales y

en otros casos (división entera) no.

❖ RADICACIÓN:

En el caso de los números naturales la extracción de raíces sólo tiene sentido cuando el

radicando es una potencia perfecta. O sea: √16 = 4 tiene sentido en los naturales pues

42 = 16. De la misma forma tenemos, por ejemplo: √83

= 2 pues 23 = 8.

Las propiedades de la radicación de los números naturales son semejantes a la de la

potenciación:

P1: √𝑎 . 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛

. √𝑏𝑛


P2 : √𝑎

𝑏

𝑛 =

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛

P3: √ √𝑎𝑚𝑛

= √𝑎𝑛 .𝑚

P4: ( √𝑎𝑛

)n = a

CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

Vimos que con los números naturales no era siempre posible hacer la

sustracción y la división. Como solución a la resta, se define el conjunto de los

números enteros.

Los números enteros también son infinitos.

Al conjunto de los números enteros los denotamos con la letra Z. Así:

Z = {……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,……}

Si excluimos al cero del conjunto de los enteros lo indicamos Z* = {…-2, -1, 1, 2,

3, …}

Podemos representarlos en una recta, así:

-3 -2 -1 0 1 2 3

Todos los números naturales son mayores que los enteros negativos.

Si un número natural “a” es menor que otro “b”, entonces –a es mayor que –b.

Si a b, entonces –b -a. Por ejemplo: 5 7, entonces -7 -5.

Propiedades de las operaciones con números enteros.

✓ Todo número entero a tiene un opuesto (-a), de tal modo que a + (-a) = 0. Con

esta propiedad podemos definir la resta así: a – b = a + (-b)

✓ las propiedades de las operaciones con números enteros son:

Si a, b y c son números enteros, se verifica:

PROPIEDAD ADICIÓN (+) MULTIPLICACIÓN (.)

De cierre (interna) a + b es un número entero

a . b es un número entero


Asociativa (a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

Conmutativa a + b = b + a

a . b = b . a

Elemento Neutro

Es el 0 (cero), pes, a + 0 = 0 + a = a

Es el 1 (uno), pues, a . 1 = 1 . a = a

Elemento simétrico

El opuesto de a es –a, pues, a + (-a) = 0

No tiene

Distributiva del producto respecto de la suma

a . (b + c) = a . b + a . c

Reglas prácticas para operar con los números enteros

Para sumar números positivos y negativos, agrupamos los unos y los otros,

restamos los resultados y ponemos el signo del que tenga mayor valor

absoluto. Por ejemplo:

7 – 5 -11 + 15 – 17 +3 = 7 + 15 + 3 – 5 -11 – 17 = (7 + 15 + 3) – (5 + 11 + 17) = 25 – 33

= -8

Si un paréntesis va precedido por el signo menos, podemos suprimirlo

cambiando el signo de todos los sumandos que haya adentro. Por ejemplo:

3 – 5 + 8 – (4 – 13 + 6 – 11) – (-3) = 3 – 5 + 8 – 4 + 13 – 6 + 11 + 3 =

= (3 + 8 +13 + 11 + 3) – (5 + 4 + 6) = 23

Para multiplicar números enteros recordemos la regla de los signos


Signos de los factores Signo del resultado Ejemplo

+ . + + 5 . 7 = 35

+ . - - 3 . (-5) = -15

- . + - (-3) . 4 = -3 . 4 = -12

- . - + (-6) . (-7) = 6 . 7 = 42

CONJUNTO DE NÚMEROS RACIONALES

El conocimiento de los números fraccionarios es anterior, en muchos siglos, al de los

números negativos y nació de la necesidad de la vida cotidiana para las cuales se

necesita medir, comprar, vender, pesar, etc.

El campo de los números enteros resulta insuficiente, pues el cociente entre dos

números enteros no siempre es otro entero. El cociente a : b de dos números enteros

a y b, solamente será un entero cuando b sea divisor de a. Pero si no es así será un

NÚMERO FRACCIONARIO.

Un número fraccionario tiene muchos símbolos para ser representado.

El conjunto de los números enteros unido al conjunto de todas las fracciones

constituye el conjunto de los NÚMEROS RACIONALES, al que denotamos por Q.

Definición:

Un número racional 𝑎

𝑏 es el cociente de dos números enteros a y b, con b 0,

siendo “a” el numerador y “b” el denominador.

Una fracción es IRREDUCIBLE, cuando el numerador y el denominador son números

primos entre sí.

☺ Q es un conjunto DENSO: entre dos números racionales hay infinitos números

racionales.

☺ Q no tiene sucesores o antecesores.

☺ Las cuatro operaciones elementales son cerradas, es decir, el resultado

obtenido es siempre un número racional.

El número racional 𝑎

𝑏 indica que dividimos en b partes iguales al todo y tomamos a de

esas partes.


Dado 4

5 éste nos indica que se ha dividido el todo en 5 partes iguales y se han tomado 4

de ellas.

Representación en la recta numérica:

0

Fracciones Equivalentes:

Dos fracciones son equivalentes o iguales si representan la misma cantidad.

Si multiplicamos (o dividimos) el numerador y el denominador de una fracción por un

mismo número, distinto de cero, obtenemos una fracción equivalente a la dada.

Ejemplo: 2

5 y

4

10 representan la misma cantidad

4

10

2

5

Si ambas fracciones representan la misma cantidad, entonces:

2

5 =

4

10 2 . 10 = 5 . 4

2

5 = 0,4

4

10 = 0,4

Dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 son equivalentes, si y sólo si, a . d = b . c

Se llama razón entre dos números reales, “a” y “b”, donde b 0, al

cociente exacto del primero por el segundo. El primero recibe el

nombre de antecedente y el segundo consecuente.


Comparación de fracciones

Dadas dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑, tal que b 0 y d 0 se define el siguiente orden en el

conjunto de los números naturales: 𝑎

𝑏

𝑐

𝑑 a . d b . c, de la misma manera se

definen para “”, “” y “”.

Por ejemplo: 3

4 <

3

2 3 . 2 4 . 3

Dadas dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑, puede resultar:

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑 ó

𝑎

𝑏 =

𝑐

𝑑 ó

𝑎

𝑏

𝑐

𝑑

Una fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa.

Dadas dos fracciones positivas de igual denominador, es mayor la que tiene

mayor numerador. Por ejemplo: 12

5

7

5

Dadas dos fracciones positivas de igual numerador es mayor la que tiene menor

denominador. Por ejemplo: 8

3

8

5

Dadas dos fracciones positivas con distinto denominador y numerador, se

llevan a fracciones equivalentes con igual denominador (o numerador) para

hacer la comparación. Por ejemplo:

Dadas dos fracciones negativas es mayor aquella cuyo valor absoluto es menor.

Por ejemplo:

Todo número racional puede expresarse como una expresión decimal exacta o

periódica.

Las expresiones decimales exactas y periódicas, pueden expresarse en forma de

fracción.

OPERACIONES EN Q

ADICIÓN:

☺ La adición de varias fracciones con igual denominador es la fracción con

el mismo denominador que aquellas y el numerador es la suma de los

numeradores. 𝑎

𝑏 +

𝑐

𝑏 =

𝑎+𝑐

𝑏

Ejemplo: 4

3 +

7

3 =

4+7

3 =

11

3


☺ Si las fracciones tienen distinto denominador, se buscan fracciones

equivalentes a las dadas que tengan igual denominador y después se

suman de la forma indicada anteriormente. 𝑎

𝑏 +

𝑐

𝑑 =

𝑎+𝑐

𝑏.𝑑

Ejemplo: 2

3 +

5

4 =

8

12 +

15

12 =

8+15

12 =

23

12

MULTIPLICACIÓN:

☺ La multiplicación de varias fracciones es otra fracción que tiene como

numerador el producto de los numeradores y como denominador el

producto de los denominadores. 𝑎

𝑏 .

𝑐

𝑑 =

𝑎 . 𝑐

𝑏 . 𝑑

Ejemplo: 3

2 .

1

4 =

3 . 1

2 . 4 =

3

8

DIVISIÓN:

☺ La división entre dos fracciones es otra fracción que surge al multiplicar

la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

Una fracción 𝑎

𝑏 tiene inversa a 0 y su inversa es:

𝑏

𝑎

Luego: 𝑎

𝑏 :

𝑐

𝑑 =

𝑎

𝑏 .

𝑑

𝑐 =

𝑎 . 𝑑

𝑏 . 𝑐

Ejemplo: 4

3 :

1

5 =

4

3 .

5

1 =

4 . 5

3 . 1 =

20

3

NÚMEROS ENTEROS.

Las temperaturas inferiores a 0º C, los números de los subsuelos de un edificio y las

fechas de los acontecimientos históricos ocurridos antes de la era cristiana, no se

pueden escribir con los números naturales. Para representar esos casos se debe

recurrir a los números negativos, que junto con el cero y los positivos forman el

conjunto de los números enteros.


Marquen con una cruz la opción correcta.

1. En una recta numérica, “m” representa el número:

o m 5000

2500 1250 1000

2. El cociente entre 78 y 0 es:

0 78 no existe

3. El resultado de √144 + 30 + 31 es:

16 18 14

4. El número 40 es divisible por:

Tres Dos y cinco Sólo por cinco

5. Un cálculo equivalente a 3.5 + 42 es:

5+5+5+2.5 5 +4.4 5+5+5+4.4

6. En la división exacta 𝑎: 𝑏 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑏 ≠ 0, 𝑠𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎:

𝑏. 𝑐 = 𝑎 𝑎. 𝑐 = 𝑏 Ninguna de las opciones

7. El resultado de (16 + 2): 9 + 3. (2 − 1) es:


6 5 7

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA INICIAL

Observen los datos de la tabla y respondan:

a) ¿En qué ciudad se registró la

temperatura más baja?

b) ¿En qué ciudad se registró la

temperatura más alta?

c) ¿Cuántos grados de diferencia se

registran entre la máxima y la mínima en Miami?

d) ¿Cuántos grados de diferencia se registran entre la máxima y la mínima en Madrid?

e) ¿Cuántos grados de diferencia se registran entre las mínimas de Paris y Madrid?

1) Escriban el número entero que corresponde a cada situación.

a) El freezer tiene una temperatura de 12º bajo cero.

b) Un avión se desplaza a 8000 m de altura.

c) Esteban debe $200 a su amigo.

d) La napa del agua se encuentra a 8m de profundidad.

e) Se encontraron artesanías cuyo origen se calcula del año 500 a.C.

2) Completen la siguiente tabla.

p q |𝑝| |𝑞| -p -q

-5 -10

8 -7

0 -3

-1 10

2.a. Respondan verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

a) Los números opuestos tienen el mismo valor absoluto.

CIUDAD Tº MÁXIMA (ºC)

Tº MÍNIMA (ºC)

Londres 13 -6

París 19 -3

Miami 24 19

Madrid 12 -6


b) Existe un número que es su propio opuesto.

c) El opuesto de un número entero es siempre negativo.

d) El valor absoluto de un número entero a veces es negativo.

e) El opuesto del opuesto de un número entero es siempre en mismo número.

3. Resuelvan los siguientes cálculos:

a) 17 − (−8) =

b) −100 + (−90) =

c) −85 + (−19) + (−2) =

d) 4. (−4) =

e) −15: (−5) =

f) (−2). (−2). (−2) =

g) 15.1 ∶ 5 =

4. Resuelvan los siguientes cálculos combinados:

a) (−3)5: (−3)2 − [45: (−9) + 7]2 − 5. (−3) =

b) √164

− (82 + 60): (−5) − [(−2)3]2 =

c) (−1)7. √−83

. √−2435

+ √(62 + 4.6)=

d) (20. 23). (−4) + √100 + (−3)2 =

FRACCIONES Y EXPRESIONES DECIMALES

El resultado de una medición, en general, no se puede expresar con un número entero.

Por ejemplo, la estatura de una persona o la longitud de un objeto son cantidades que

se escriben habitualmente con números que tienen coma. Todo número racional se

puede expresar como fracción o como expresión decimal. De acuerdo con cada

situación en particular, puede resultar más cómodo adoptar una de estas formas de

escritura.


Marquen con una cruz la opción correcta.

1. El mínimo común múltiplo entre 6 y 15 es:

15 90 30

2. El 25 % de 500 es :

120 125 250

3. La parte del entero que se representó en el dibujo es el

número:

0,2 2 0,02

4. El cociente entre dos números enteros:

Siempre es un número entero

Nunca es un número estero

En algunos casos es un número entero

5. El resultado del cálculo 3,2 . 1000 es:

3200 320 ninguna de las opciones

6. Una expresión equivalente a 42. 4.4 𝑒𝑠:

43 44 45

SITUACIÓN PROBLEMÁTICA INICIAL

Se realizó una encuesta para averiguar el tipo de transporte con el cual los

alumnos se trasladan al colegio.


Resuelvan:

a) ¿Cuántos alumnos fueron encuestados?

b) Escriban como fracción la parte total que se traslada en colectivo.

c) ¿Qué porcentaje de los encuestados se traslada en bicicleta?

d) ¿Qué porcentaje de los encuestados no se traslada en auto?

ACTIVIDADES:

1. Escriban la fracción irreducible que representa la parte pintada en cada figura.

2. Resuelvan los siguientes cálculos y expresen el resultado como fracción irreducible.

a) −3

8− (−

1

8) = b)

2

5− (

2

5−

3

5) +

1

5=

c) 1

3− (−

1

7) + (−3) = d)

7

5 .

4

5=

e) 8

4∶

1

2= f)

8

8∶ 4 =

SITUACIONES PARA RESOLVER

3. Ramiro gastó en el kiosco $ 2,50 en un chupetín, $ 6,50 en un chocolate y $10 en un

sándwich. Compró también una gaseosa de $11,80.

0

20

40

60

colectivo bicicleta auto

Can

tid

ad d

e p

ers

on

as

Tipo de transpporte


a) ¿Cuánto gastó en total?

b) Si pagó con $50. ¿Cuánto recibió de vuelto?

4. Catalina y Mateo están jugando a las cartas. Catalina obtuvo en la primera ronda

320 puntos y en la segunda ronda 250 puntos. Mateo obtuvo 140 puntos en la primera

ronda y 280 en la segunda. Hasta ahora ¿Quién va ganando?

5. Se desea vender un producto con un recargo del 40% sobre el costo del mismo. Si

dicho costo es de $420, ¿Cuál es el precio de venta?

6. El precio de lista de un artículo es $120; por pago al contado, su precio es de $

98,40. ¿Cuál es el porcentaje de descuento?

7.Un fabricante envasa alfajores en bolsas de una docena cada una. Necesita 126

bolsas para envasar la totalidad de los alfajores. Si ahora desea envasarlos en bolsas de

una docena y media cada una. ¿Cuántas bolsas usará para la misma cantidad de

alfajores?

GEOMETRÍA

MEDIR

Es comparar con un patrón que el hombre establece como referencia. Todo lo que se

puede medir recibe el nombre general de Magnitud. A los efectos de favorecer los

intercambios comerciales y el entendimiento en lo que se refiere a las distintas

magnitudes, desde muy antiguo el hombre se vio en la necesidad de crear unidades

que resultaran comunes a los distintos países. Surgió así el SISTEMA INTERNACIONAL

DE MEDIDAS (SI) cuya misión es la de establecer reglas para las distintas unidades, sus

múltiplos y submúltiplos, estableciendo una reglamentación con carácter universal.

SIMELA (SISTEMA MÉTRICO LEGAL ARGENTINO): acepta y toma las unidades, múltiplos

y submúltiplos del SISTEMA INTERNACIONAL (SI). Se tiene así un sistema único.

MEDIDAS DE LONGITUD

Km hm dam m dm cm mm


MEDIDAS DE MASA

t q mg kg hg dag g dg cg mg

MEDIDAS DE CAPACIDAD

Kl hl dal l dl cl ml

MEDIDAS DE SUPERFICIE

Km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

MEDIDAS DE VOLUMEN

Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

MEDIDAS AGRARIAS

hm2 dam2 m2

hectárea área centiárea

MEDIDAS DE EQUIVALENCIA

Capacidad Volumen Peso

1 kl 1 m3 1t

1l 1 dm3 1 kg

1ml 1 cm3 1g

MEDIDAS DE TIEMPO

1 día = 24 horas …. 1 hora= 60 minutos …. 1 minuto= 60 segundo

Otras unidades son:

La semana: 7 días el año común: 365 días la década: 10 años

La quincena: 15 días el año bisiesto: 366 días el siglo: 100 años

El mes: 30 días el lustro: 5 años el milenio: 1000 años

ÁNGULOS

ANGULOS CÓNCAVOS Y CONVEXOS. CLASIFICACIÓN


Un ÁNGULO es la región del plano delimitada por dos semirrectas de origen en común

llamado vértice.

m

mpr p mpr (convexo)

(Cóncavo)

r

El plano queda dividido en dos ángulos: uno cóncavo y el otro convexo.

Un ángulo es cóncavo cuando su amplitud es mayor que 180° y menor que 360°, si no,

es convexo.

Los ángulos convexos también se clasifican según su amplitud.

Amplitud Clasificación

∝̂= 𝟎° Nulo

0° ˂ ∝̂ ˂ 𝟗𝟎° Agudo

∝̂= 𝟗𝟎° Recto

𝟗𝟎°˂ ∝̂ ˂𝟏𝟖𝟎° Obtuso

∝̂= 𝟏𝟖𝟎° Llano

∝̂= 𝟑𝟔𝟎° Un giro

ACTIVIDADES

1) Enumera los ángulos interiores de las siguientes figuras y clasifica.

Figura 1:

………………………………………………………………………………………………………………………………………

Figura 2:…………………………………………………………………………………………………………………………


Figura 3:

……………………………………………………………………………………………………………………………….

2) Si un reloj marca las 12.30 hs, ¿Qué forman ambas agujas?

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90°

�̂� es el complemento de �̂�

∝̂ + �̂� = 90° ∝̂ y �̂� son complementarios

�̂� es el complemento de �̂�

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180°

�̂� es el suplemento de �̂�

∝̂ + �̂� = 180° ∝̂ y �̂� son suplementarios

�̂� es el suplemento de �̂�

ACTIVIDADES

1) Calcular y hallar.

a) El complemento de un ángulo de 27° 37’ 41’’

b) el suplemento de un ángulo de 138° 11´ 36´´

c) La mitad de un ángulo de 61°47´18´´

d) El triple del complemento de un ángulo de 49°27´51´´

ÁNGULOS ADYACENTES Y OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y los otros dos lados son semirrectas opuestas. 𝜶 𝜷

Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando sus lados son semirrectas opuestas. 𝜶 𝜷


𝜶 ̂ 𝒚 �̂� son adyacentes Los ángulos adyacentes son suplementarios.

𝜶 ̂ 𝒚 �̂� son opuestos por el vértice Los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

ACTIVIDADES

1) Calculen la amplitud de todos los ángulos de cada figura.

a) β b)

102° 36` 40`` δ

2) Planteen el cálculo y resuelvan.

a) La mitad del complemento de un ángulo de 27° 9` 16``.

b) El cuádruplo del suplemento de un ángulo de 141° 15``.

c) La quinta parte del complemento de un ángulo de 71° 45 minutos.

3) Coloquen V (verdadero) o F (Falso) según corresponda en cada caso.

a) Un ángulo llano es igual al doble de un recto

b) La suma de dos ángulos obtusos es un ángulo convexo.

c) El complemento de un ángulo nulo es un ángulo recto.

d) La mitad de un ángulo obtuso es un ángulo agudo.

e) La diferencia entre un ángulo llano y uno agudo es un ángulo obtuso.

f) El doble de un ángulo agudo es mayor que un ángulo recto.

g) El suplemento de un ángulo obtuso es un ángulo agudo.

h) La mitad de un ángulo cóncavo es un ángulo obtuso.

α


TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

Completen con el nombre de los elementos del triángulo.

a

b c

Los triángulos se clasifican según la longitud de sus lados y según la amplitud de sus

ángulos.

Escaleno: Los tres lados de distintas medidas

Según sus lados

Isósceles: por los menos dos lados de igual longitud.

Equilátero: Los tres lados de igual longitud.

Rectángulo: Un ángulo recto.

Según sus ángulos Oblicuángulo: Un ángulo Obtuso.

Acutángulo: Los tres ángulos agudos.

ACTIVIDADES


1) Clasifiquen según sus lados y ángulos cada uno de los siguientes triángulos.

a) b) c)

2) Calculen y respondan.

a) Si el perímetro de un triángulo equilátero es de 114 cm, ¿Cuál es la longitud de cada

uno de sus lados?

b) Si el perímetro de un triángulo isósceles es de 127 cm y el lado desigual mide 53cm,

¿Cuál es la longitud de cada uno de sus lados de igual longitud?

c) Hallar la amplitud de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si el ángulo

exterior a uno de ellos mide 117° 38` 42``.

d) En un triángulo isósceles cada uno de sus dos lados iguales es 5cm más largo que el

lado desigual y su perímetro es de 76cm. Hallar la longitud de cada lado.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILATEROS

Los cuadriláteros se clasifican según la cantidad de lados opuestos paralelos.

Paralelogramo: dos pares de lados opuestos paralelos.

Trapecio: Un par de lados opuestos paralelos.

Trapezoide: ningún par de lados opuestos paralelos.

PROPIEDADES DE LOS PARALELOGRAMOS

Lados Opuestos iguales Opuestos iguales

Todos iguales Todos iguales

Ángulos Opuestos iguales y los no opuestos suplementarios

Todos iguales

Opuestos iguales y los no opuestos suplementarios

Todos iguales

Diagonales Se cortan en un punto medio

Son iguales

Son perpendiculares y bisectrices de los

Iguales y perpendiculares


ángulos que intersecan

ACTIVIDADES

1) Coloquen V (Verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso.

a) Todos los cuadrados son rectángulos.

b) Algunos rectángulos son paralelogramos.

c) Todos los rombos son cuadrados.

d) Algunos paralelogramos son rectángulos.

2) Calculen la amplitud de los ángulos interiores y exteriores de un paralelogramo

cuyos ángulos no opuestos difieren en 50°.

3) Calculen la longitud de cada lado de un paralelogramo cuyo perímetro es de 160 cm

y sus lados no opuestos difieren en 8 cm.

4) Calculen la longitud de la diagonal 𝒂𝒄̅̅̅̅ del rombo abcd de 140 cm de perímetro y

𝒃𝒅̅̅ ̅̅ = 𝟒𝟐𝒄𝒎.

PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS

Los paralelos de un trapecio de denominan base. La base media es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. La base media es paralela a las bases e igual a su semisuma. Los ángulos que comparten los lados no paralelos son suplementarios.

a b r p d c

PROPIEDADES DEL ROMBOIDE

Un Romboide tiene dos pares de lados consecutivos iguales. Las diagonales son perpendiculares. La diagonal principal es bisectriz de los ángulos que interseca y mediatriz de la diagonal secundaria.


ACTIVIDADES

1) Hallen la base “x” en el siguiente trapecio.

a) 19cm

x cm

xcm

2) Calculen el perímetro de un trapecio rectángulo cuya altura es 24cm y sus bases

miden 7cm y 17cm.

3) Calculen el perímetro de un romboide cuyos lados no iguales miden 19cm y 26cm.

4) Calculen la amplitud de los ángulos interiores de un romboide cuyos ángulos iguales

tienen una amplitud de 127° cada uno y los otros dos difieren en 12°

5) Coloquen V (verdadero) o F (Falso) según corresponda en cada caso.

a) un paralelogramo que tiene todos sus lados iguales es un cuadrado.

b) Un rombo que tiene todos sus ángulos iguales es un rectángulo.

c) Todos los cuadrados son rombos.

d) un trapecio con sus cuatro lados distintos es un trapezoide.

e) Un paralelogramo puede tener todos sus lados distintos.

f) En un trapecio las bases deben ser distintas.

g) Un romboide tiene las diagonales perpendiculares.

h) Un romboide tiene los lados opuestos paralelos.

PERÍMETROS Y ÁREAS

ACTIVIDADES

1) Hallen la expresión reducida del perímetro y el área de cada figura.

13cm


a) b)

3n

2n 7n

c) 3n+2 d) 5n

5n 5n 2n+ 5

7n

12n

2) Calculen el área de las siguientes figuras.

a) Un cuadrado de 104 cm de perímetro.

b) Un rectángulo cuya base es el doble que la altura y tiene 78 cm de perímetro.

c) Un cuadrado de 12 cm de diagonal (Aplicando propiedad pitagórica)

d) Un círculo cuya longitud de circunferencia es de 157 cm (𝝅 ≅ 𝟑, 𝟏𝟒).

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

VARIABLE, POBLACIÓN, MUESTRA

Estadística

La Estadística se ocupa de la recolección, organización y análisis de datos para obtener

determinada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de

encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos

y utilizarlos mejor.

Población y muestra

Se denomina población al conjunto de individuos (personas, animales, plantas, cosas,

etc.) que se pretende estudiar estadísticamente. Cuando es difícil estudiar toda la

población, se selecciona una parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser

representativa, es decir debe elegirse de manera tal que del estudio estadístico se

obtengan resultados muy próximos a los que se obtendrán con toda la población. La

muestra es un subconjunto de la población.

Variables estadísticas


Cada uno de los temas que se estudia de una población o muestra se denomina

variable estadística. Por ejemplo, si se hace una encuesta para averiguar las alturas de

los alumnos de primer año, la variable es “altura de los alumnos de primer año”.

Las variables se clasifican en:

Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos. “Comida preferida de los

alumnos de primer año”.

Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos. Se clasifican en CONTINUAS (se

pueden medir) y DISCRETAS (se pueden contar).

ACTIVIDADES

1) Marquen con una X el tipo de variable en estudio.

Cuantitativa (Discreta- Continua) Cualitativa Cuantitativa (Discreta- Continua)

La edad de los empleados de una empresa.

Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio.

Buscador de Internet que utilizan los alumnos de una escuela.

Modelo de automóvil más vendido durante el último año.

Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol.

Película más vista durante el mes de febrero.

Altura de los estudiantes de un curso de secundaria.

2) Lean atentamente y respondan.

Una empresa de programación de juegos para computadora quiere crear un nuevo

producto. Para ello, realiza una encuesta entre los usuarios, de entre 12 y 20 años,

registrados en su sitio web para saber qué tipo de juegos prefieren. Entre las

opciones están los juegos de acción, de estrategia, de cartas, de búsqueda y de

carreras. La encuesta fue respondida por 125 chicos de entre 12 y 14 años, 132

chicos de entre 15 y 17 años y 93 chicos de entre 18 y 20 años.

a. ¿Cuál es la población a la que estará destinado el juego?¿Cuál fue la muestra?

b. ¿Cuál es la variable en estudio? Clasifíquenla.

3) Respondan y expliquen las respuestas.


a. ¿Cuál es el primer paso del trabajo estadístico?

b. La muestra, ¿es parte de la población?

c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80

alumnos del último año (repartidos en 3 cursos), ¿cuál puede ser una muestra

representativa?

d. Una variable, ¿puede ser cualitativa y cuantitativa a la vez?

RECOLECCIÓN Y ORGANIZACIÓN DE DATOS. TABLAS

Para realizar un estudio estadístico, es necesario usar una serie de herramientas y

técnicas que permitan recolectar la información necesaria. Entre los principales

instrumentos de recolección de datos se encuentran las encuestas, los

cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante

la observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden

organizar en tablas.

ACTIVIDADES

1) Resuelvan.

Martín hizo una encuesta entre sus compañeros de colegio acerca del cuál es el

club favorito de fútbol de cada uno de ellos y obtuvo los siguientes datos.

River, River, River, Boca, Boca, Racing, Independiente, Racing, River, Boca,

River, River, Boca, Boca, San Lorenzo, Huracán, Racing, Independiente, Boca,

San Lorenzo, Racing, San Lorenzo, Gimnasia, Vélez, River, River, Boca, San

Lorenzo.

a. Completen la tabla.

Equipos River Boca Racing San Lorenzo Independiente otros

Cantidad de compañeros


c. ¿Cuál es el club con mayor cantidad de simpatizantes?

d. ¿Cuántos clubes tienen al menos tres simpatizantes? ¿Cuáles?

2) Completen la tabla y respondan.

El profesor de Matemática está preparando un informe sobre los alumnos de

primer año para presentar junto con la planilla de notas. Las siguientes fueron

obtenidas por los alumnos al finalizar el año.

10 9 9 8 8 8 5 5 4 4 10 8 8 6 6 6 6 8 7 7 10 9 3 6 6 6 10 5

a. Completen la tabla.

Notas 10 9 8 7 6 5 4 3

Cantidad de


alumnos


c. ¿Cuántos alumnos hay en el curso?

d. Si se aprueba con al menos 7 puntos, ¿cuántos alumnos

aprobaron?¿Cuántos desaprobaron?

e. ¿Cuántos alumnos obtuvieron 8 puntos como mínimo?

f. Si la nota obtenida está entre 4 y 6, los alumnos deben rendir la materia en

diciembre y si es menor que 4, deben rendir en marzo; ¿cuántos alumnos

deben rendir en cada instancia?

FRECUENCIAS ABSOLUTAS Y RELATIVAS

Se denomina frecuencia absoluta (se escribe f) al número de veces que se

repite cada valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total

de encuestados.

Se denomina frecuencia relativa (se escribe 𝑓𝑟 ) al cociente entre la frecuencia

absoluta y el total de elementos que forman la muestra. La suma de las

frecuencias relativas es 1.

Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por

100, se obtiene el porcentaje de la variable.

𝒇𝒓 =𝒇

𝒏 n es el número de elementos que forman la muestra

Entre los alumnos de primer año de una escuela se tomó una muestra de diez

alumnos para averiguar cuántas materias tenían con calificación debajo de seis.

Los resultados fueron: 0 0 3 4 3 5 4 3 6 5

Cantidad de materias

𝑓 𝑓𝑟 Frecuencia Porcentual

𝑓% 0 2 2

10= 0,2

20%

3 3 3

10= 0,3

30%

4 2 2

10= 0,2

20%

5 2 2

10= 0,2

20%

6 1 1

10= 0,1

10%

Total 10 1 100%


ACTIVIDADES

1) Resuelvan

Los chicos de 1° año tuvieron que elegir el nombre que los representará en una

competencia intercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios

de la Argentina: Toba (T), Mapuche (M), Wichí (W) y Diaguitas (D). De la

votación se obtuvieron las siguientes respuestas.

M - M – M – W – W – W – M – D – D – T – M – T – D – M – M – M – D – M – M –

W – W – D – D – M – W – M – W – M – T – D – M – M – W – W – W – W – D – T

– T – W.

a. Completen la tabla de frecuencias.

Nombre 𝑓 𝑓𝑟 𝑓%

Toba

Mapuche

Wichí

Diaguitas

Total

b. ¿Qué nombre resultó ganador? ¿Cómo cuenta? ¿Qué porcentaje obtuvo?

c. ¿Qué pueblos obtuvieron como máximo diez votos?


a. ¿Es posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4?

b. ¿Qué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia

absoluta igual a 3?

c. Si en un caso de porcentaje de un valor de la variable es 27%, ¿significa

que la frecuencia relativa correspondiente es 2,7?

d. ¿Puede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea

125%?

GRÁFICOS

En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a

través de gráficos. El tipo de gráfico puede variar según la información que

se quiere brindar.

Gráfico circular

Los gráficos circulares o de sectores sirven para mostrar la distribución de

respuestas en relación con el total de resultados obtenidos.


Se realizó una encuesta para conocer la opinión de 20 personas sobre un

nuevo chocolate.

Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los

datos. El ángulo central de cada sector se puede obtener, por ejemplo, usando una

regla de tres:

100% 360°

10% 𝑥 = 10 % .360°

100% = 36° corresponde a Excelente.

Gráfico de barras

Los gráficos de barras sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden

a cada valor de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en el eje

horizontal se representan los distintos valores de la variable y en vertical, las

frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del mismo ancho cuya

altura coincide con la frecuencia absoluta del valor de la variable.

2; 10%

4; 20%

4; 20%

10; 50%

Excelente

Regular

Malo

Bueno

0

2

4

6

8

10

12

Excelente Regular Malo Bueno


Pictogramas

Los pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos.

Cada dibujo representa una determinada cantidad.

ACTIVIDADES

1) Resuelvan.

Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer la opinión

de los espectadores. Las respuestas fueron las siguientes.

Opinión Excelente Muy buena Buena Regular Mala

Cantidad de personas

20 15 10 15 5

a. ¿De qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó?

b. Realicen un gráfico circular con los datos de la tabla.

2) Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.

Mascota preferida

Cantidad de personas

Perro 30

Gato 24

Peces 8

Aves 10

a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla.

b. ¿A cuántas personas se encuestó para obtener la información anterior?

Media o promedio, mediana y moda

Promedio

El promedio, también llamado media aritmética (se escribe �̅�), es el resultado de

dividir la suma de todos los valores de la variable por la cantidad de valores que

forman la muestra.


Se registraron las ventas diarias de gaseosas de 600 ml en determinado quiosco,

durante una semana y se obtuvieron los siguientes datos: 20, 16, 17, 23, 20, 26, 25.

�̅� = 16+17+20+20+23+25+26

7 =

16+17+2.20+23+25+26

7= 21

Moda

La moda (se escribe 𝑀𝑜) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, la

que tiene mayor frecuencia.

En el ejemplo anterior, 𝑀𝑜 = 20.

Mediana

La mediana (se escribe 𝑀𝑒) es el valor de la variable que está ubicada en el lugar

central luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide la

muestra de tal forma que deja igual cantidad de datos a su izquierda que a su derecha.

Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana es igual al promedio de los

valores centrales.

Cuando la cantidad de datos n es un número impar, 𝑛+1

2 y nos da el lugar donde se

encontrará a la mediana.

Se deben ordenar las cantidades de gaseosas vendidas en forma creciente o

decreciente.

16 17 20 20 23 25 26

Mediana

ACTIVIDADES

1) Calculen el promedio, la mediana y la moda para cada uno de los siguientes

grupos de datos.

a. 36, 38, 40, 40, 38, 38, 38, 42, 38, 36, 42, 36, 38, 36

�̅� = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 =

b. 32, 29, 42, 34, 34, 40, 28

�̅� = 𝑀𝑒 = 𝑀𝑜 =

20


2) Juliana, Pablo y Ana han recibido las notas de sus dos primeras evaluaciones.

Juliana obtuvo 7 y 6, Pablo 8 y 5 y Ana, 9 y 6.

a. Si Juliana quiere tener un promedio de 8 y todavía debe rendir dos

evaluaciones más, ¿qué notas tendrá que obtener para alcanzar el

promedio deseado?

b. A Pablo le falta rendir una sola evaluación, ¿puede alcanzar un promedio de

9 con las notas que ya tiene?

c. Si Ana rinde dos evaluaciones más y obtiene un promedio de 7, ¿cuáles son

las notas que obtuvo?


a. Si la variable es cualitativa, ¿se pueden calcular las tres medidas anteriores?

b. La moda, ¿es el mayor valor que alcanza la variable?

c. ¿Cuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos?

d. El promedio, ¿siempre es representativo de los datos?

EXPERIMENTOS ALEATORIOS. PROBABILIDAD

Experimentos aleatorios

Existen situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo

de situaciones, que dependen del azar, se las llama experimentos aleatorios.

Se denomina espacio muestral al conjunto formado por todos los resultados posibles

de un experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se

denomina suceso.

Experimento: tirar un dado y observar el resultado.

Espacio muestral: 1,2,3,4,5,6

Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por

ejemplo, diagramas de árbol y tablas.

En una bolsa se colocan fichas con números de tres cifras distintas formadas por los

dígitos 1, 2, 3. ¿Cuál es el espacio muestral?

1

2

3

3

2


El espacio muestral está formado por los números: 123, 132, 231, 213, 321, 312.

Probabilidad

En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese

número puede ser 0,1 o cualquier número comprendido entre el 0 y el 1.

Probabilidad de un suceso (p) =𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

Se tira un dado:

-Todas las caras de un dado tienen la misma probabilidad de salir.

-Es más probable que salga un número par que un divisor de 3.

-Es seguro que salga un número natural menor que 7.

-Es imposible, por ejemplo, que salga el número 10.

ACTIVIDADES

1) Marquen con una X los sucesos que son aleatorios.

a. El número que saldrá al tirar un dado

b. Próximo partido de un campeonato.

c. Que llueva dentro de dos días.

3

2

3

1

1

1

2

2

1

3


d. Ganar la lotería.

2) Escriban el espacio muestral en cada caso.

a. Se tira un dado.

b. Se tiran dos dados y se suman los puntos.

c. Se lanzan dos monedas.

3) Lean atentamente y calculen la probabilidad en cada caso.

En la ruleta, los números van del 0 al 36 inclusive (el cero está pintado de color

verde y del resto de los números, la mitad son rojos y la mitad, negros).

Calculen la probabilidad de que al arrojar una bola resulte alguno de los

siguientes casos.

a. Un número par.

b. Un número de color rojo.

c. Un número menor que 22.

d. Un múltiplo de 5.

e. Un número mayor que 40.

f. Un número menor o igual que 36.


a. Elegir qué remera usar, ¿es un experimento aleatorio?

b. ¿Puede el resultado de una probabilidad ser 3?

c. ¿En qué caso la probabilidad es igual a 0?

la educación es el pasaporte para el futuro, el mañana ...€¦ · algunos casos (división...

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