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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL UNIDAD UPN 099 D. F. PONIENTE
PROYECTO DE INNOVACIÓN DE ACCIÓN DOCENTE: LA ARITMÉTICA EN EL DOMINIO DE LAS ECUACIONES DE
PRIMER GRADO, EN EL SEXTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
PRESENTA
MARÍA LETICIA QUIRÓZ LIMA
MÉXICO D. F. AGOSTO 2006
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL UNIDAD UPN 099 D. F. PONIENTE
LA ARITMÉTICA EN EL DOMINIO DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO, EN EL SEXTO AÑO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
PROYECTO DE INNOVACIÓN DE ACCIÓN DOCENTE
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
LICENCIADA EN EDUCACIÓN
PRESENTA
MARÍA LETICIA QUIRÓZ LIMA
MÉXICO D. F. AGOSTO 2006
A mis 2 grandes amores. Mis hijos Gabriel y Héctor a quienes amo tanto por sus virtudes y cualidades y de quienes me siento orgullosa.
A mi esposo. Por su infinita paciencia A la memoria de un gran hombre. Va por ti papá. A mi madre. Tesoro invaluable que aun poseo. Con especial cariño
para mis hermanas y hermanos
Agradezco al Profesor Gabriel Cayetano Flores, quien me
indicó un sinnúmero de mejoras para aclarar los
conceptos del presente proyecto
ÍNDICE
Página
INTRODUCCIÓN......................................................................................................1
JUSTIFICACIÓN..................................................................................................... 7
MARCO CONTEXTUAL.........................................................................................11
Contexto social...........................................................................................11
Contexto escolar........................................................................................20
DIAGNÓSTICO PEDAGÓGICO.............................................................................23
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA...................................................................37
PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN......................................................................56
PREGUNTA CENTRAL..........................................................................................57
PROPÓSITOS Y/ O METAS POR ALCANZAR.....................................................57
MARCO TEÓRICO.................................................................................................58
Teorías del desarrollo................................................................................58
Teorías de aprendizaje..............................................................................64
Teorías de la instrucción..........................................................................76
Plan y programas de estudio 1993..........................................................80
De la aritmética al álgebra .......................................................................83
METODOLOGÍA...................................................................................................112
TIPO DE PROYECTO..........................................................................................118
ALTERNATIVA.....................................................................................................120
CATEGORÍAS DE ANÁLISIS..............................................................................158
PLAN DE TRABAJO ...........................................................................................160
APLICACIÓN Y REPORTES DE LA ALTERNATIVA........................................ 169
EVALUACIÓN GENERAL DEL PROYECTO..................................................... 205
REFORMULACIÓN..............................................................................................209
CONCLUSIONES.................................................................................................211
BIBLIOGRAFÍA....................................................................................................213
ANEXOS...............................................................................................................216
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INTRODUCCIÓN
La presente investigación: La aritmética en el dominio de las ecuaciones de primer
grado en sexto año de educación primaria pretende ser un conjunto de reflexiones
sobre los problemas que plantea la didáctica de las matemáticas, sobre todo
cuando se trata de iniciar a los alumnos en la enseñanza de las ecuaciones de
primer grado.
La obra en la que ahora nos introducimos pretende tomar la práctica docente
como punto de partida para un análisis que redunde en una clasificación y por lo
tanto en una mejora para esa práctica. No intenta barrer toda la problemática con
la que el profesor se enfrenta en su quehacer de todos los días. Es evidente que
quizá queden fuera cuestiones importantes, que algunos no se traten con
profundidad y deberán ser abordadas en otro momento.
La propuesta, pretende recoger sin embargo, los principales problemas de base
que plantea la iniciación al lenguaje algebraico a partir de la aritmética. En
concreto, se aborda el simbolismo, una de las fuentes de obstáculos para el
aprendizaje, la generalización, traducción del lenguaje ordinario al aritmético y al
algebraico, las ecuaciones de primer grado con sus dificultades conceptuales y las
destrezas aritméticas obtenidas.
El presenta trabajo se ha tenido que descomponer en partes para una mejor
investigación y comprensión del mismo. Con base a las circunstancias anteriores,
se elabora la justificación, donde se demuestra que el problema es digno de ser
investigado, asimismo, se justifica el problema mediante los criterios de evaluación
como: Magnitud del problema, trascendencia, vulnerabilidad del proyecto, impacto
social, así como la aportación que se pueda brindar con dicha investigación.
Por lo que respecta al marco contextual se estudian todos aquellos elementos que
influyen de manera directa e indirecta sobre el problema estudiado. Para lo cual se
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investigó sobre el Municipio de Cuautitlán México y del Fraccionamiento Hacienda
de Cuautitlán, en donde se inserta la escuela. Se muestra aspectos como el medio
físico, su perfil sociodemográfico, infraestructura social y de comunicaciones
donde se plasma la situación educativa del municipio.
En cuanto al contexto escolar se analizan en detalle elementos como el edificio de
la escuela, la preparación de los maestros, los materiales con los que se cuenta,
los problemas sociales que se le presentan, así como diferentes apoyos y
compromisos que asume la escuela para con los padres de familia, todo en
benéfico de sus hijos.
El siguiente apartado corresponde al diagnóstico pedagógico en el cual se
plasman cuantitativa y cualitativamente, datos que muestran la situación en que se
encuentran tanto profesores alumnos y padres de familia, para lo cual se aplican
diferentes cuestionarios. En dicho análisis se refleja el como piensan, que tanto
saben acerca de aspectos aritméticos y algebraicos y como se apoyan para lograr
mejores resultados.
El diagnóstico da la pauta para el planteamiento del problema el cual parte de lo
general a lo particular, se muestran los principales errores en que incurren la
mayoría de los profesores dentro de su práctica docente, se exponen las
principales causas por las que el niño no accede fácilmente al conocimiento
algebraico, el como se tratan erróneamente conceptos aritméticos en la primaria y
como muchos otros se suprimen, confundiendo a los estudiantes cuando se
enfrentan a las ecuaciones de primer grado.
Después de plantear el problema resulta más sencillo redactar las preguntas de
investigación, las cuales fueron hechas de forma sencilla y sin ambigüedades. A
su vez las preguntas de investigación dan paso a la pregunta central la cual refleja
la preocupación principal de la presente investigación. Por último el propósito
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general, ha sido redactado de tal forma que abarque todo lo que se espera
alcanzar a través del desarrollo del proyecto.
El material usado para estas reflexiones ha sido abundante y de distinta
procedencia. Así queda establecido en el marco teórico donde pedagogos
psicólogos e investigadores matemáticos han efectuado distintas investigaciones
al respecto
El marco teórico, esta constituido por diferentes secciones, la primera se dedica a
las diferentes teorías del desarrollo del niño, en donde los autores más
importantes para los fines propuestos son, Jean Piaget, y Lev S Vigotsky
En un segundo momento se tratan las diferentes teorías de aprendizaje vigentes y
en donde se incluyen estudios importantes sobre matemáticas de diferentes
autores como Edward L. Thorndike, (conductismo) David Ausubel, Jean Piaget y
Jerome Bruner (cognoscitivismo)
En la tercera parte, se hace un análisis del Plan y Programas de Estudio 1993
vigente en este momento, así como el marco teórico que a su vez fue utilizado
para la creación de este.
Por último y tal vez el más importante, es el espacio dedicado a la teoría en la
que se apoya la presente alternativa dedicados a explorar todos aquellos
elementos que impiden un buen razonamiento del conocimiento algebraico.
Básicamente se incluyen trabajos previos realizados de diferentes autores desde
la década de los ochentas como: Choat, Austin, Howson, Sharma, Skemp, Grupo
Wiskobas entre otros.
En la sección dedicada a la metodología se describe como su nombre lo indica la
metodología a seguir así como el paradigma más adecuado para desarrollar la
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investigación, para lo cual se han tomaron elementos como los concernientes a la
pedagogía crítica, la investigación acción y la pedagogía operatoria.
Tipo de proyecto. En este espacio se dan las característica por las cuales la
investigación encuadra en el proyecto pedagógico de acción docente.
La alternativa viene a ser el resultado de la investigación, en ella se dan las pautas
necesarias para superar la problemática estudiada. Dicha alternativa se compone
de dos partes, la primera esta basada en el Método Wiskobas, quien propone que
todo conocimiento debe partir a través del planteamiento de problemas, y en
donde se analizan cada una de las fases por las que hay que atravesar para
resolver problemas aritméticos, considerando como las más importantes: las
representaciones manipulativas, representaciones gráficas y representaciones
numéricas.
La segunda parte retoma todos estos conocimientos y siguiendo la última fase del
método Wiskobas, generalización se aplica a la resolución de problemas
algebraicos mediante las ecuaciones de primer grado, en donde se aplican todos
los conocimientos aritméticos adquiridos.
El material propuesto para que los niños puedan manipular y concretizar
conceptos matemáticos son las regletas Cuisenaire y los Bloques Unifix,
conocidos aquí en México como Bancubi.
En cuanto a la representación gráfica, se propone una serie de diagramas
sencillos como: la máquina operadora de Dienes, diagrama de árbol, balanza
numérica, diagramas de Venn entre otros en donde el alumno pueda hacer
diferentes representaciones gráficas del problema, mismas que podrá utilizar más
adelante con problemas algebraicos.
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La representación numérica es la parte medular de la presente investigación, es, a
juicio de la autora la más importante de todo el proceso por constituir dentro de su
representación ecuaciones de primer grado.
Las representaciones numéricas se hacen a través de los diagramas de Fuson
Willis dos investigadores que han continuado trabajando sobre los estudios
realizados por el grupo holandés Wiskobas, para lo cual se proponen
representaciones numéricas en donde se trabaja el número perdido.
Para obtener diferentes representaciones numéricas canónicas y no canónicas, se
hizo uso de diferentes planteamientos de problemas como los de razón,
comparación combinación y conversión. Para obtener problemas relacionados en
estos cuatro rubros, es necesario darles una redacción diferente. En páginas
interiores, se da un ejemplo de como un solo problema dependiendo de la
redacción que se le de, puede pertenecer a cualquiera de estos cuatro puntos.
En la segunda parte, se hace una extensión de dicho método aplicándolo a la
resolución de problemas algebraicos, los cuales se resuelven mediante
ecuaciones de primer grado. Para alcanzar el propósito, deseado, se hace uso de
uno de los modelos utilizado en la resolución de problemas aritméticos como el de
la balanza, por ser la que más refleja el concepto de expresiones algebraicas
Se incluye en la alternativa dos sesiones dedicadas al lenguaje matemático, en
donde se hace la relación entre lenguaje ordinario, aritmético y algebraico,
considerados como importantes dentro del propósito final y en donde se hace
patente la necesidad de hacer un uso correcto de ellos.
Por último se incluye una sesión dedicada exclusivamente al cálculo mental en
donde se explica la importancia de este y de cómo influye en la resolución de
problemas y en otras muchas cuestiones matemáticas.
11
Por otro lado, las categorías de análisis fueron diseñadas de acuerdo a los
principios de la pedagogía operatoria, las actividades ofrecen la posibilidad al
estudiante de avanzar progresivamente en la construcción de sus esquemas
aritméticos o cambie aquellos que posee de manera equivocada.
El plan de trabajo está compuesto por 18 sesiones y en cada una se establece la
fecha es que ha de realizarse, las actividades a desarrollar, el propósito, la
estrategia a seguir, los recursos humanos necesarios, recursos materiales y la
evaluación de cada una de ellas.
Ahora bien, siguiendo el plan de trabajo se deriva la aplicación y reportes de la
alternativa, en la cual se analizan de forma cuantitativa y cualitativamente los
resultados de dichas aplicaciones.
Una de las últimas secciones es el correspondiente a la evaluación general del
proyecto, en él se expone de forma sencilla los alcances obtenidos con la
investigación efectuada, así como problemas que tuvieron que superarse.
Ya por último se presenta una reformulación en donde se exponen los cambios
necesarios para alcanzar mejores resultados, estos con base a las observaciones
realizadas a lo largo de las sesiones.
Se ha querido hacer de esta investigación una aportación para cualquier profesor,
cualquiera que sean sus ideas pedagógicas.
Que mejore la enseñanza de la aritmética y el álgebra, se hacen necesarios si se
toma en cuenta el creciente porcentaje de reprobación y deserción de alumnos de
distintos niveles educativos.
Es de esperar que este trabajo suponga algunas aportaciones y sea recibido
y utilizado tanto como criticado y mejorado por otros compañeros.
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JUSTIFICACIÓN
Las matemáticas, junto con español, han sido consideradas como las de mayor
importancia dentro del Plan y Programas de Estudio en la escuela de educación
básica. Esto de debe a que son lenguajes que permiten la estructuración del
pensamiento y su comunicación, medios necesarios para desempeñarse en todas
las asignaturas que conforman el currículum en educación primaria.
Pedagogos, matemáticos y profesores trabajan arduamente para encontrar la
mejor estrategia o el mejor método que permita al alumno desarrollar habilidades
de pensamiento y el uso de herramientas que le accedan más fácilmente al
conocimiento matemático. Sin embargo y a pesar de los esfuerzos no se han
logrado buenos resultados a nivel Nacional, ni Internacional.
Así lo demuestran estudios realizados por PISA (Programa Internacional de
Evaluación de Estudiantes) de la OCDE (Organización para la Cooperación y el
Desarrollo Económico), en el que México participó durante los años 2000 y 2003.1
PISA 2003, se aplicó en 41 países, y al igual que en el 2000 evaluó a jóvenes
estudiantes de 15 años, dicha evaluación se centró en las matemáticas y
estableció VI niveles en el dominio de las mismas, instaurando como el más bajo
nivel el I y el más alto el VI
Dicho estudio arrojó que de los países participantes, en promedio se cuenta con
un 4 % de estudiantes que alcanzan el nivel máximo de dominio en matemáticas,
es decir el nivel VI. Los estudiantes de este nivel son capaces de resolver
problemas complejos mediante la extracción de información relevante de datos y
representaciones matemáticas. En México tan solo el 0.05 % de los estudiantes
alcanzan este nivel.
1 www.ocdemexico.org.mx , consultado en diciembre 2005.
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En el otro extremo de la escala un promedio del 8% de estudiantes en toda la
organización, se ubica por debajo del nivel I . En México el 38% de los estudiantes
se ubica en este nivel, este es el porcentaje más alto entre los países
participantes. Dicho estudio estableció que alumnos de este nivel, difícilmente
realizan tareas matemáticas muy básicas, como responder preguntas en contextos
familiares y cumplir disposiciones de rutina de acuerdo con instrucciones directas.
Del 38% que no superan el nivel I el 21% muestran serias lagunas en las
aptitudes fundamentales que se requieren para el aprendizaje posterior y podrían
no tener la capacidad de beneficiarse con las oportunidades educativas que
requieran competencia en Matemáticas.
Los resultados anteriores, son evidencia del porque México se encuentra en el
lugar 37 de los 41 países integrantes de la OCDE dejando claro la urgencia de
establecer nuevos métodos y estrategias que promuevan el pensamiento lógico
matemático en alumnos en edad escolar.
La falta de aptitudes y dominio matemático en alumnos de 15 años, (tal y como lo
demuestran los estudios anteriores) repercute en sus niveles de eficiencia,
aprovechamiento y acreditación en jóvenes que cursan la escuela secundaria.
Esto se debe en parte a que egresan de primaria con serias deficiencias. Los
maestros de educación secundaria, argumentan que muchas veces tienen que
retomar temas y conceptos que debieron verse en el nivel anterior, conceptos tan
sencillos como lo pueden ser las tablas de multiplicar, la resolución correcta de las
4 operaciones básicas, propiedades de las operaciones, reversibilidad de las
operaciones etc todos ellos necesarios para la rápida interpretación del álgebra y
en especial para la resolución de ecuaciones de primer grado.
El álgebra no está separada de la aritmética. El álgebra es en gran parte aritmética
generalizada, de aquí que para entender la generalización de relaciones y
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procesos se requiere que estos sean antes asimilados dentro del contexto
aritmético como lo debería ser en el nivel primaria.
A veces las dificultades que los estudiantes presentan en álgebra, no son tanto
dificultades en la misma, sino mas bien son problemas que se quedan sin corregir
en aritmética. Asimismo situaciones aritméticas donde las ideas erróneas o
incorrectas de los alumnos influyen en el álgebra son entre otras, las fracciones, el
uso de paréntesis, potencias, un dominio del lenguaje aritmético, interpretación
correcta de símbolos y letras, notaciones, etc así alumnos que no dominan estos
conceptos desde los primeros años escolares, tienen marcadas dificultades en el
aprendizaje del álgebra.
Por otro lado, no todos los maestros se encuentran debidamente preparados, sus
creencias acerca de lo que es matemáticas , influyen en la forma en que enseñan.
Los profesores que ven su tarea como la transmisión de un conocimiento acabado
y abstracto tienden a adoptar un estilo expositivo. Su enseñanza está plagada de
definiciones en abstracto y de procedimientos algorítmicos.
El problema puede ser minimizado en la medida en que maestros de primaria
busquen alternativas didácticas adecuadas a la población estudiantil y en donde
puedan ellos afirmar conceptos desde los más elementales como los
anteriormente citados.
Del mismo modo, y dado que el enfoque matemático se centra sobre la resolución
de problemas cotidianos. Una solución más sería de que el profesor vinculara los
problemas aritméticos con los algebraicos por medio de planteamientos que le
permitan establecer sus primeras ecuaciones de primer grado, de manera intuitiva
sin llegar directamente al concepto.
El impacto social de este problema sería, que de no obtenerse una solución
adecuada y oportuna desde la misma primaria, los porcentajes reprobatorios de
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matemáticas en secundaría aumentarían y en consecuencia seguirían presentes,
problemas como la reprobación y deserción de alumnos en este nivel perdiendo
así la posibilidad de cursar sin alteración su secundaria en los tiempos
programados.
El aporte que se puede brindar con este trabajo, es el detectar las variables que
han influido en la falta de comprensión por parte de los alumnos sobre conceptos
aritméticos, además de establecer el nivel de influencia de errores que se han
venido arrastrando de generación en generación, así como proponer alternativas
de solución al problema.
Fortalecer la enseñanza de las matemáticas desde la educación básica es un
aspecto necesario para que los alumnos se desempeñen con éxito en los niveles
de educación superior y estén en condiciones de resolver problemas y proponer
soluciones.
La búsqueda de una educación de calidad, alejada de los esquemas tradicionales,
es una necesidad para México. Sólo así se podrá responder a las necesidades
inmediatas y futuras de la sociedad, a los cambios de la economía de mercado
actual y al desarrollo de la tecnología propia para competir en el ámbito
internacional.
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MARCO CONTEXTUAL
El marco contextual constituye, todos aquellos elementos que de manera directa e
indirecta influyen sobre la práctica docente. Esto ayuda a percibir la problemática
estudiada con un enfoque distinto, ya que cada hecho sólo es comprensible en el
contexto en que se da.
La observación de la realidad en un momento (presente), contribuye a abrirse a
ella para reconocer aquellas alternativas objetivas que permitan dar una dirección
a la problemática estudiada e identificar opciones que accedan a transformarla.
Captar la realidad como presente permite potenciar la problemática mediante
proyecciones capaces de anticipar, en términos de posibilidad objetiva. De aquí
que esta observación deba realizarse sin perder de vista el carácter dinámico del
presente.
Es por esto que el contenido de cualquier problema de interés, requiere ser
reconstruido en el mismo contexto en el que se inserta, si se le quiere comprender
en su especificidad.
CONTEXTO SOCIAL
“El conocimiento de sucesos pasados ayuda a comprender el presente, lo que
implica mirar alrededor de donde nos encontramos y reconstruir el pasado.”2
La presente investigación se realiza en la Escuela Primaria Rosario Castellanos
ubicada en Av. Cedros y Olivos s/n Frac. Hacienda Cuautitlán, Cuautitlán México.
La escuela es de nueva creación inició actividades el 13 de septiembre del 2004,
por lo que actualmente en sus aulas se encuentra estudiando la segunda
generación. La mencionada escuela se encuentra enclavada en un
2 Zemelman, Hugo. El estudio del presente y el diagnóstico” citado en Antología Básica UPN, SEP México, 1994 p.10
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fraccionamiento totalmente nuevo, las casas apenas se están estregando a sus
propietarios, mismas que fueron adquiridas mediante algún tipo de crédito como:
hipotecario, bancario, FOVISTE. FOVI, e INFONAVIT.
El Fraccionamiento Hacienda de Cuautitlán cuenta con una guardería para
infantes, Jardín de niños, primaria y secundaria, una cancha de fútbol rápido,
jardines con juegos para los niños, multicanchas de voleibol y básquetbol, locales
comerciales, un mercado y un tanque elevado que surte al fraccionamiento de
agua potable.
El transporte es nulo dentro del fraccionamiento, no entra ningún tipo de camión o
combis, lo único con que se cuenta es el servicio de radio taxis, que hacen
servicios locales. En cuanto a la telefonía, se empiezan a colocar algunas líneas
en domicilios y en las vías públicas existen pocas casetas de teléfonos.
El comercio local es pobre, dado que los locales comerciales con que cuenta el
fraccionamiento, se localizan en la parte central de este, es común ver pequeños
comercios establecidos dentro de las mismas casas.
En términos generales el fraccionamiento se encuentra en buenas condiciones,
todas sus instalaciones son nuevas, las familias en su mayoría son jóvenes con
hijos pequeños, el ambiente es de tranquilidad.
La Escuela Rosario Castellanos, se encuentra enclavada en el municipio de
Cuautitlán México y su historia fue escrita en un compendio titulado Estudios e
investigaciones Monográficas de Cuautitlán elaborado por el Instituto Mexiquense
de Cultura, en coordinación con la Asociación Mexiquense de Cronistas
Municipales, cuyo propósito fundamental es contribuir a la preservación,
conocimiento y divulgación de los diversos rasgos de identidad estatal.
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CRONOLOGÍA DE LOS HECHOS HISTÓRICOS.
AÑO ACONTECIMIENTO
5 Ácatl Llegan a Cuautitlán los chichimecas que salieron de Chicomóztoc en el año 1 ácatl.
1324 A mediados del siglo XIV, se caracterizó por la supremacía de Azcapotzalco, asociado al reino de Tezozómoc, y la adopción de la vida sedentarizada de los chichimecas.
Siglo XV Las avenidas de los Ríos de Cuautitlán provocaban desbordamientos y cambios de cauce originando perjuicios a las comunidades.
1560 La Encomienda de Cuautitlán, contaba con tres cabeceras y un total de 5,020 tributarios.
1777 El corregimiento de Cuautitlán, proporciona 200 pesos al fisco.
1833 20 de mayo, el Congreso local expide un decreto, donde Cuautitlán formaba parte del distrito oeste de México junto con Tlalnepantla y Zumpango.
1837 Bajo el orden conservador, el 23 de diciembre, Cuautitlán como distrito se dividía en dos partidos siendo la cabecera Cuautitlán.
1861 Por decreto del Congreso local, desaparece el Distrito de Cuautitlán y se crea el de Zumpango.
1968 El 13 de octubre mediante el decreto número 88, se erigió nuevamente el distrito político de Cuautitlán. La cabecera sería la villa del mismo nombre, con las municipalidades de Cuautitlán, Tultitlán, San Miguel, Tultepec, Tepotzotlán, Coyotepec y Teoloyucan, segregadas del distrito de Zumpango.
1878 Cuautitlán cuenta con línea de ferrocarril desde el 2 de abril.
1890 El treinta de abril, el congreso local decretó que " el Distrito de Cuautitlán de la comprensión del territorio del Estado, se denominará en lo sucesivo Cuautitlán de Romero Rubio".
1914 El 21 de noviembre, fue evacuada la Plaza de Cuautitlán por las fuerzas constitucionalistas que comandaba el general Higinio Olivo.
1915 El 23 de marzo, una fuerza armada de revolucionarios, que pasó por Cuautitlán cometió robos en todas las poblaciones aledañas y se estableció en el palacio municipal.
1968 El 2 de octubre, el Congreso Local le otorga la categoría de ciudad a la Villa de Cuautitlán.
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LOGOTIPO DEL MUNICIPIO
Se encuentra en el libro de los Tributos de Moctezuma y está representado por un
árbol con dos ramas, su follaje y sus raíces; en el tronco se encuentra una
dentadura humana abierta y una franja diagonal; del lado izquierdo una cabeza de
la diosa Tlazolteotl con dos usos de hilar y sus respectivos malacates.
El municipio se denomina en la actualidad Cuautitlán. Sus radicales son cuauh,
que viene de cuauhuitl que significa árbol y de tlan, que significa lugar. La partícula
ti es una ligadura fonética. Por lo tanto Cuautitlán se traduce como Lugar donde
hay árboles.
MEDIO FÍSICO
Localización
El municipio de Cuautitlán se localiza en la Región II del Estado de México, en la
parte norte central del mismo. Limita al norte con los municipios de Teoloyucan,
Nextlalpan y Zumpango. Al oriente con Melchor Ocampo y Tultepec, al sur con
Tultitlán y al poniente con Cuautitlán Izcalli y Tepotzotlán
Extensión
. La extensión del municipio actualmente es de 37.3 kilómetros cuadrados. El
territorio original se redujo a la mitad, a partir de un decreto del Congreso del
Estado en 1973, por el que fue creado el municipio de Cuautitlán Izcalli.
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Relieve
El territorio municipal es casi totalmente plano, contando en su relieve únicamente
con una pequeña loma en su parte sur llamada Loma Bonita, la cual tiene
aproximadamente 10 metros de altura. El municipio se encuentra a 2 242 metros
sobre el nivel del mar.
Hidrografía
En el territorio municipal se identifican las siguientes corrientes superficiales: al
noroeste el río Cuautitlán. En el noroeste cruza el canal Castera, que lleva agua
para riego de la presa de Zumpango. En la cabecera municipal cruzan cinco
arroyos intermitentes, que nacen en la pila real de Atlamica y son: Diamante,
Córdoba, Chiquito, Cacerías y el Molino. Su uso es el riego agrícola y su grado de
contaminación es alto por recibir aguas residuales domésticas.
Clima
Cuenta con clima subtropical de altura tipificado como templado subhúmedo con
lluvias en verano.
PERFIL SOCIODEMOGRÁFICO
Grupos étnicos
De acuerdo al Conteo de Población y Vivienda 1995, en el municipio se registraron
400 personas mayores de cinco años que hablan una lengua indígena y español.
Las lenguas que en mayor medida se hablan son: chontal de Oaxaca, huasteco,
mazahua, otomí, pame, tarasco, totonaco, mayo, maya, mixteco, náhuatl y
zapoteco. Ello se debe a la alta tasa de inmigración que tiene el municipio.
Vivienda
El municipio, para 1995, contó con 91,402 viviendas. El material predominante en
su construcción es el block y cemento, en la mayoría de las viviendas. El número
promedio de habitantes de cada vivienda es de 4.5 personas.
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Evolución demográfica.
En 1995, el municipio registró 57,373 habitantes, con una tasa de crecimiento
media anual de 3.95%. Se estima una tasa de crecimiento social anual de 0.67%
con inmigración de los estados de Veracruz, Jalisco, Hidalgo, Michoacán y el
Distrito Federal. Y una tasa de crecimiento natural anual de 2.21% con 1527
nacimientos y 307 defunciones, por lo que la tasa de natalidad anual es 2.74% y la
mortalidad anual es 0.53%. La población urbana esta constituida por el 91.69%
(54,120 habitantes) y la rural por el 8.31% (4,905 habitantes).
Natalidad
La natalidad es uno de los indicadores que ayudan a medir el bienestar en que se
encuentra el municipio, en el caso de Cuautitlán los datos para el año de 1996 se
dio un total de nacimientos de 1 572 personas, 791 hombres y 781 mujeres.
Morbilidad
Si morbilidad se entiende como las causas que producen la muerte en una
población se puede decir que las enfermedades que más dañan la salud en este
municipio son en menores de un año y se consideran las principales causas las
afecciones originadas en el periodo perinatal, neumonías, enfermedades
infecciosas intestinales, respiratorias y desnutrición. En los adultos las principales
causas de muerte son enfermedades del corazón, cirrosis, enfermedades
crónicas, accidentes entre otros.
Mortalidad
La mortalidad, es un indicador social que permite conocer las condiciones
socioeconómicas y culturales de un país, sobre todo tratándose de la taza de
mortalidad infantil en menores de uno y cinco años.
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Para 1996 se registraron 307 defunciones de los cuales 163 fueron hombres y
144 mujeres, de estos totales 57 fueron menores de un año, 30 hombres y 27
mujeres.
INFRAESTRUCTURA SOCIAL Y DE COMUNICACONES.
Educación
En materia de educación, de acuerdo al Plan de Desarrollo Municipal 1997-2000,
se cuenta con 19 jardines de niños, 10 a cargo del DIF, 5 particulares y 4 oficiales
que atienden 2,008 alumnos; las escuelas primarias son 29, 14 particulares y 15
oficiales, con una población total de 6,086 alumnos; los planteles de educación
secundaria son 12, 11 oficiales y uno particular, y albergan 5,274 habitantes; las
preparatorias son 6, una particular y una por cooperación, para la atención de
1,400 estudiantes; a nivel universitario se cuenta con un plantel particular con una
población de 200 estudiantes; finalmente, los planteles técnicos y comerciales son
11, uno oficial y 10 particulares, atendiendo a 1,639 estudiantes escolares.
Sin embargo, se registra un rezago en los niveles de jardín de niños, secundaria y
preparatoria en materia de instalaciones educativas. También se requieren
ampliaciones y mantenimiento en varias escuelas, y hay carencia de material y
muebles; todo esto ha llevado a la creación de un consejo municipal de
participación social en la educación.
El municipio no deja de lado la educación para adultos que ayuda a contrarrestar
el nivel de analfabetismo que existe en el municipio, para ello se requiere de
apoyo a las instalaciones municipales con el fin de tener una sede y promover las
campañas contra este problema.
El municipio cuenta con siete bibliotecas públicas municipales, una Casa de
Cultura con 945 metros cuadrados , dos cines, una galería de arte moderno y una
Casa de la Mujer Campesina, en la cual se imparten diversos talleres.
23
Analfabetismo
Por analfabetismo se entiende aquellas personas que no saben leer y escribir,
actualmente Cuautitlán se encuentra entre los municipios con más bajo grado de
analfabetismo. en datos oficiales de 1998 se indicó que llegaba apenas al 15%.
Salud
La demanda de servicios de salud en la cabecera del municipio es atendida en 13
clínicas particulares, un módulo odontopediátrico del ISEM, 3 unidades médicas
del ISEM, IMSS e ISSSTE respectivamente, un Hospital General de Zona (ISEM),
una clínica de la Cruz Roja Mexicana.
Abasto
Se cuenta con un tianguis los días martes, donde hay más de 600 puestos
registrados y un número importante de ambulantes. El abasto en la cabecera es
suficiente, no así en las delegaciones cuya población debe trasladarse a la
cabecera para abastecerse.
Deporte
Se cuenta con un gimnasio municipal y dos gimnasios particulares; una unidad
deportiva, otra en desarrollo, 10 canchas deportivas en diferentes sitios de la
cabecera municipal, un parque urbano y dos parques principales.
Vivienda
De acuerdo al conteo de 1995, existen 12,455 viviendas en el municipio. De ellas
el 75% se encuentra en buenas condiciones. El material predominante es el block,
tabique y tabicón, para techos se utilizaron concreto y láminas.
Cabe señalar, que en el año 2000, de acuerdo a los datos preliminares del Censo
General de Población y Vivienda, efectuado por el INEGI, hasta entonces, existían
24
en el municipio 17,719 viviendas en las cuales en promedio habitan 4.26 personas
en cada una.
Medios de Comunicación.
Se dispone con la oferta de todos los periódicos y revistas publicados a nivel
nacional y locales. La radio y la televisión se capta muy bien, por la cercanía con
el Distrito Federal. Los servicios de correos y telégrafos se dan en forma regular,
la red telefónica está saturada y por lo tanto limitada en su crecimiento.
Vías de Comunicación
El municipio es beneficiado por su cercanía con la autopista México-Querétaro, lo
cual influye en su desarrollo económico. Tiene una serie de caminos asfaltados
que intercomunican a todo el municipio, aunque algunos de ellos no están en
óptimas condiciones: carretera Cuautitlán-Teoloyucan, Cuautitlán-Tlalnepantla y
otros. También cuenta con un tramo de vías de ferrocarril, líneas de autotransporte
que cubren 24 rutas y 22 por micros y combis.
25
CONTEXTO ESCOLAR
La Escuela Federal Rosario Castellanos pertenece a la zona escolar 40 del
Sector Educativo No. VIII C.C.T. 15 DPR1306M turno vespertino. La matrícula de
estudiantes durante su primer año de labores fue de 186 alumnos distribuidos en
6 grupos. Actualmente su matrícula es de 290 jóvenes integrados en 9 grupos de
1º a 6º año con dos grupos de 1º, 3º y 4º.
El personal docente posee experiencia en el manejo de contenidos y de grupos y
su preparación académica es la siguiente.
PROFESOR DE GRUPO
GRADO NIVEL DE CARRERA MAGISTERIAL
GRADO DE ESTUDIOS
GABRIELA MARTÍNEZ ACOSTA
DIRECTORA. 7B LIC. EDUC
MA. DE LOURDES BARBET CABRERA
1º.A 7A LIC. EDUC
ANA MARÍA PACHECO ANDRADE
1º B NORMAL BÁSICA
MA. DEL CARMEN CASTILL0 GONZALEZ
2º. LIC EDUC.
EMMA ALFARO AYALA
3º.A NORMAL BÁSICA
CATALINA FLORES ALCÁNTARA
3º B NORMAL BÁSICA
GLIORIA SÁNCHEZ SILVIA
4º. A LIC EDUC.
OLGA HERNÁNDEZ CONTRERAS
4º B NORMAL BÁSICA.
QUINTÍN DIAZ BARRIENTOS.
5º. 7A LIC EDUC.
EVELIA GONZÁLEZ TORRES
6º. 7B LIC EDUC.
La escuela como se mencionó anteriormente es de reciente creación, esta se
inició con el turno vespertino sin embargo en el presente ciclo escolar se inauguró
el turno matutino, motivo por el cual a toda la matricula del turno vespertino se le
dio preferencia para inscribirse en la mañana.
26
La escuela cuenta con varios problemas iniciales, uno de ellos es la desconfianza
de la comunidad pues tienen muy pocas referencias tanto del personal docente
como de la institución y la opinión que ellos tienen no siempre es favorable. La
relación con padres de familia no es tarea fácil dado que consideran la escuela
propia y pretenden una intromisión más allá de lo permisible sin embargo se les da
un buen trato y se busca conciliar intereses.
El material didáctico de apoyo no existe, cada uno de los maestros, tiene que
elaborar el suyo propio para apoyarse en las clases. No se cuenta con algún tipo
de biblioteca, sin embargo se ha iniciado con algunos libros pues uno de los
objetivos de la directora es el fomentar el hábito de la lectura.
El edificio es totalmente nuevo sus instalaciones están al 100% se fomenta el
cuidado del mismo así como las áreas verdes y la limpieza de los baños. La
escuela está formada por dos edificios cada uno de dos plantas con nueve
salones haciendo un total de 18, hay otra área pequeña con siete pequeñas
oficinas: dirección turno matutino, dirección turno vespertino, cooperativa.
Subdirección de Educación Física, psicología, USAER, enfermería y una pequeña
bodega.
Se elaboró un reglamento interno con la participación del personal y las
sugerencias de alumnos y padres de familia que permitan regular conductas,
establecer tiempos y orden en la relación con alumnos y padres de familia.
Se están realizando fichas dentro de todos los grupos con los datos principales de
los alumnos, como dirección teléfono, datos médicos, algún tipo de enfermedad
alergia o información inclusive de su participación educativa. La información con
los niños detectados como problemas es compartida con los demás profesores,
así como las observaciones y sugerencias realizadas.
27
Los perfiles grupales se han llevado a cabo con sumo cuidado conscientes de la
importancia de establecer las bases para los ciclos siguientes y con el propósito
de que se hagan los ajustes pertinentes.
A lo largo del año se han organizaron tres conferencias por especialistas
(pedagogos y psicólogos) con asistencia de los padres de familia para orientarlos
acerca de la educación de sus hijos, los temas fueron:
1. ¿Cómo debo establecer límites a mis hijos
2. La autoestima
3. ¿Cómo debo apoyar a mi hijo en casa?
Asimismo se pretende establecer el compromiso con la sociedad de padres de
familia y el consejo de participación escolar en el desarrollo e integración a las
actividades escolares tanto al interior como al exterior de la escuela.
La escuela no puede hablar de logros académicos pues tiene factores en contra
como es el tiempo en que inicio funciones, el constante ingreso de alumnos y la
movilidad que en su momento tuvo el personal.
28
DIAGNÓSTICO PEDAGÓGICO.
La palabra diagnóstico proviene de dos vocablos griegos, dia que significa a través
y gnóstico conocer; por lo tanto la palabra diagnóstico se puede traducir como
conocer a través de.
Aunque inicialmente esta palabra surge y se desarrolla en la medicina como un
proceso mediante el cual el médico conoce y explica las causas de los síntomas
de la enfermedad del paciente con el fin de poderla curar, es aplicable a otros
conceptos como Psiquiatría, Psicología, Ecología entre otros y por supuesto
Pedagogía en donde los maestros analizan el origen y desarrollo de los conflictos,
dificultades o contrariedades de problemáticas que se dan en la práctica docente
con el único fin de poder darle solución al mismo.
El presente apartado, trata de localizar el origen de los aspectos que motivan el
que los niños de la escuela primaria Rosario Castellanos turno vespertino, no
comprendan satisfactoriamente conceptos matemáticos que más adelante
aplicarán al conocimiento de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Para lograrlo, se aplicaron cuestionarios a los 32 integrantes del grupo: 17 niños y
15 niñas, a los 9 maestros que integran la plantilla escolar y a padres de familia
en donde, por medio de las preguntas efectuadas, se pueden observar algunos de
los primeros síntomas que presenta la problemática estudiada (Ver anexos)
29
CUESTIONARIO PARA ALUMNOS
Si % NO % Total
alumnos
Total
%
1. ¿Te gustan las matemáticas? 19 60 13 40 32 100
2.-¿Eres eficiente resolviendo problemas? 7 22 15 78 32 100
3.- ¿Cuentas con alguna estrategia para
resolverlos
2 6 30 94 32 100
1.- ¿Te gustan las matemáticas?
Con esta pregunta se buscaba saber que tanto les gustaban las matemáticas, y se
puede comprobar que un gran porcentaje les gustan las matemáticas, con lo que
se puede intuir que a mayor edad les empiezan a parecer aburridas, en parte
porque los maestros las hacen aburridas y no fomentan el gusto por ellas.
2.- ¿Eres eficiente resolviendo problemas?
Las respuestas de los alumnos nos indican que no son buenos resolviendo
problemas aritméticos pues casi no los practican en clase.
3.- ¿Cuentas con alguna estrategia para resolverlos?
La mayoría de los niños no cuentan con una estrategia propia para resolver
problemas aritméticos, al momento de cuestionarlos de el porque, responden que
nunca les han enseñado alguna. Aquí se puede ver claramente que el maestro no
cuenta con alguna estrategia que les pueda ofrecer a sus alumnos para resolver
problemas.
4.- ¿Cuál o cuáles de las 4 operaciones básicas te cuesta trabajo resolver?
30
Ninguna 4 12%
Todas 8 25%
Multiplicación 6 19%
División 14 44%
Total 32 100%
La gran mayoría del grupo no sabe resolver operaciones básicas, la balanza se
inclina hacia las multiplicaciones y divisiones, en donde necesariamente se
necesita un dominio amplio de las tablas de multiplicar, lo que deja claro que no
dominan al 100% las tablas de multiplicar. Asimismo no poseen el concepto de lo
que significa cada una de ellas.
5.- ¿Qué opinas acerca de los ejercicios de tu libro de matemáticas?
Buenos 22 68%
Malos 6 20%
Regulares 4 12%
Total 32 100%
Los alumnos manifiestan en un 68% que los ejercicios son buenos, que les gustan
porque les ayudan a comprender conceptos de matemáticas que les son difíciles.
SI % NO % Total
alumnos
Total
%
6.-¿Conoces la reversibilidad de las
operaciones?
1 3 31 97% 32 100
7.-¿Conoces las propiedades de las
operaciones básicas?
- - 32 100 32 100%
8.- ¿Te gusta como enseña tu maestro la
clase de matemáticas?
27 84 5 16 32 100
9.- ¿Alguna vez has practicado el cálculo
mental?
12 37 20 63 32 100
31
10.- ¿Sabes lo que es el número perdido? 2 6 30 94 32 100
11.-¿Sabes lo que es una variable? 1 3 31 97 32 100
6.- ¿Conoces la reversibilidad de las operaciones?
Este concepto es totalmente desconocido por los educandos, y por el maestro en
gran medida por no existir dentro del Plan y Programas un tema específico
dedicado a impartir dicho tema.
7.- ¿Conoces las propiedades de las operaciones básicas?
Con esta pregunta sucede lo mismo que la anterior, los maestros no dominan las
propiedades de las operaciones y por lo tanto no transmiten este conocimiento,
amen de que tampoco viene marcado en el Plan y Programas, mas que como una
apoyo para realizar, facilitar o explicar situaciones de cálculo.
8.-¿Te gusta como enseña tu maestro la clase de matemáticas?
La mayoría de los alumnos manifiesta que se sienten a gusto de cómo se les
imparte la clase de matemáticas, mencionan que la maestra les explica
detenidamente y con calma.
9.-¿Alguna vez has practicado el cálculo mental?
La gran mayoría del grupo nunca ha practicado el cálculo mental y no tienen idea
de lo que se trata, este aspecto coincide con las respuestas de los maestros, los
cuales tampoco lo practican de manera regular dentro de las clases.
10.- ¿Sabes lo que es el número perdido?
Las respuestas vertidas por lo niños, indican no saber que es el número perdido, a
pesar de que existen ejercicios en sus libros de texto. Aquí se demuestra que los
chicos realizan sus ejercicios de forma mecanizada y no reflexionan sobre lo que
hacen y sobre todo para que les sirve, es decir no son significativos para ellos
pues desconocen su aplicación.
32
11.-Sabes lo que es una variable?
Aun cuando solo una sola persona externó saber lo que es una variable, al
momento de pedirle que fundamentara su respuesta, esta fue equivocada, por lo
que se podría considerar que el total del grupo no sabe lo que es una variable, a
pesar de que en aritmética se manejan variables simples.
Con respecto a estas últimas preguntas, se presume que los niños tienen serias
deficiencia en cuanto a conocimientos aritméticos los cuales se requieren para
obtener más adelante conocimientos algebraicos.
12.- ¿Hay alguien en casa que te ayude a resolver tus tareas matemáticas?
Mamá 10 31%
Papá 8 24%
Hermanos 6 20%
No 8 25%
Total 32 100%
Las respuestas son variadas. Los porcentajes coinciden más o menos en la
medida en que trabajan los padres. En el caso en que son ayudados por sus
hermanos mayores, es porque generalmente ambos trabajan. Se puedo observar
que coinciden las respuesta de los padres que tienen estudios son quienes
apoyan a sus hijos.
33
CUESTIONARIO PARA PADRES DE FAMILIA
Los cuestionarios fueron repartidos a los niños y contestados por los padres de
forma indistinta, haciendo un total de 25 madres y 7 padres.
1.- ¿Como considera actualmente la enseñanza de las matemáticas?
Buena 8 24%
Mala 14 44%
Regular 10 32%
Total 32 100%
Algunos padres opinaron que la educación actualmente es buena ya que los
cambios en la educación han favorecido a esta y que los maestros se encuentran
más preparados. Sin embargo otra parte opina lo contrario, ellos argumentan que
los maestros son muy irresponsables, faltan mucho y le ponen muy poco interés a
si los alumnos aprenden o no. Una pequeña minoría opinó que la educación es
regular, ya que si bien ésta no ha mejorado notablemente, tampoco se ha
deteriorado.
Si % NO % Total
alumnos
Total
%
2. ¿Cuándo usted fue estudiante, le gustaban
las matemáticas?
13 40 19 60 32 100
3.- De acuerdo a como usted aprendió.
¿Considera que sería efectiva en la
actualidad?
12 37 20 63 32 100
4.- ¿Fue usted buen estudiante en
aritmética?
8 25 24 75 32 100
5.- ¿Fue usted buen estudiante en álgebra? 4 12 28 88 32 100
34
6.- ¿Considera que son importantes las
matemáticas para su hijo?
32 100 __ __ 32 100
7.-A su hijo, ¿Se le facilitan las matemáticas? 10 32 22 68 32 100
8.- Su hijo, ¿Resuelve correctamente las
operaciones básicas?
10 32 22 68 32 100
9.- Su hijo, ¿Resuelve correctamente
problemas aritméticos?
8 25 24 75 32 100
10.- ¿Hay alguien en casa que apoye las
tareas matemáticas de su hijo?
20 62 12 38 32 100
2.- Cuando usted fue estudiante, ¿Le gustaban las matemáticas?
En este rubro se obtuvieron respuestas muy parecidas a sus hijos, se pudo
constatar que en primaria fueron buenos estudiantes, no así en secundaria.
3.- De acuerdo a como usted aprendió ¿Considera que sería efectiva en la
actualidad?
Una minoría de padres manifiesta que sí serían efectivas, ya que consideran que
antes se les exigía más a los niños, y salían mejor preparados. Contrario a este
grupo, la mayor parte opina que no funcionarían, que los tiempos han cambiado y
que existen mejores técnicas de enseñanza.
4.- ¿Fue usted buen estudiante en aritmética?
La gran mayoría de los padres externan haber sido buenos en aritmética. pero que
las matemáticas se fueron complicando poco a poco, hasta llegar al punto de ser
complicadas y difíciles de entender.
5.- ¿Fue usted buen estudiante en álgebra?
En esta pregunta la estadística cambia radicalmente, solo 4 padres consideran
haber sido buenos estudiantes en álgebra, es decir la mitad de aquellos que
destacaron en aritmética, no lo fueron en álgebra. Se puede concluir de igual
forma que los esquemas se repiten una y otra vez.
35
6.-¿ Considera que son importantes las matemáticas para su hijo?
El total de los padres considera que son importantes las matemáticas para sus
hijos.
7.- ¿A su hijo se les facilitan las matemáticas?
La mayoría de los padres reconocen que sus hijos tienen dificultades en
matemáticas y que necesitan apoyo.
8.- Su hijo, ¿Resuelve correctamente las operaciones básicas?
Igualmente reconocen los padres que sus hijos no dominan las operaciones
básicas, en especial multiplicaciones y divisiones. Aquí se puede observar como
los alumnos pasan de grado hasta llegar incluso a sexto año sin dominar este
concepto, corriendo el peligro de llegar mal preparados a niveles profesionales.
9.- Su hijo, ¿Resuelve correctamente problemas aritméticos?
Haciendo de nuevo un contraste de las respuestas de padres e hijos, se puede
apreciar que los padres coinciden en que no son buenos resolviendo problemas
aritméticos. La consecuencia pudiera ser la misma, los maestros no practican
problemas mediante una metodología que apoye a los alumnos.
10.-¿Hay alguien en casa que apoye las tareas matemáticas de su hijo?
Los resultados arrojan que la mayoría es apoyado por algún integrante de la
familia
11.- ¿De que manera le ayuda y explica a su hijo (a) cuando tiene que resolver
problemas aritméticos y operaciones básicas.
Explicándoles 18 56%
Apoyándose en libros 5 15%
Ninguno 9 29%
Total 32 100%
36
Los padres que se encuentran mejor preparados se apoyan en diferentes
materiales para explicar el como resolver problemas, sin embargo esto disminuye
al punto que aquellos que no tienen estudios, no apoyan de ninguna manera a sus
hijos. Los hijos de padres preparados no tienen muchas dificultades para aprender
matemáticas. Los hijos de padres sin estudios son los que menos destacan tanto
en esta materia como en las demás.
12.- ¿Cómo califica la actuación del maestro con respecto a la clase de
matemáticas?
Los porcentajes coinciden con las opiniones de sus hijos. La profesora de sexto
año a demostrado ser buena maestra, así lo manifiestan las opiniones de padres y
alumnos.
13.-¿Hasta que nivel de estudios cursó?
Solo 3 padres concluyeron la preparatoria, los hijos de estos, son quienes de
alguna manera externaron gustarles las matemáticas y tener quien los apoye en
casa.
Buena 20 62%
Regular 5 16%
Mala 7 22%
Total 32 100%
Ninguno 2 7%
Primaria 10 31%
Secundaría 17 53%
Preparatoria 3 9%
Total 32 100%
37
CUESTIONARIOS PARA MAESTROS.
Los cuestionarios se aplicaron a nueve maestros de 1º a 6º grado, suman nueve
por haber 2 grupos de 1º, 3º y 4º.
Si % NO % Total
maestros
Total
%
1.- Cuando usted fue estudiante ¿Le
gustaban las matemáticas?
4 45 5 55 9 100
Una vez más se observa que los esquemas se repiten una y otra vez a través de
las generaciones, los maestros enseñan de la misma forma en que aprendieron
matemáticas. Estas al ser tan poco significativas para los alumnos, se tornan
aburridas y complejas, así lo demuestran las constantes respuestas de padres
hijos y maestros.
2.- ¿Qué tan buen estudiante fue en álgebra?
Bueno 1 12%
Regular 4 44 %
Malo 4 44%
Total 9 100%
Se pudiera decir que la mitad de los maestros fueron regulares es sus estudios
algebraicos, y que en consecuencia se encuentran preparados para impartir la
clase.
3.- ¿Cómo considera actualmente la enseñanza de las matemáticas?
Buena 5 56%
Mala 2 22%
Regular 2 22%
Total 9 100%
38
La mayoría de los maestros opinan que la educación ha cambiado para mejorar,
consideran que los maestros se encuentran mejor preparados, ya sea por los
estudios que poseen o por cursos que ofrece regularmente la S E P sin embargo
dos maestros no están de acuerdo con los primeros profesores, pues argumentan
que antiguamente los niños salían mejor preparados, e inclusive el Plan y
Programas estaba mejor estructurado.
4.-¿Con qué frecuencia aplica problemas a sus alumnos?
Seguido 1 12%
Regular 8 78%
Total 9 100%
El dato es deprimente, un maestro utiliza con frecuencia los problemas aritméticos,
el resto aplica de manera regular los problemas contenidos en los libros de texto.
5.- Los problemas ¿Los aplica antes o después de impartir los conceptos del
tema?
Después del tema 9 100 %
El total de los maestros aplican los problemas después de que se da el tema,
ninguno de ellos considera que el procedimiento se pueda dar de forma contraria,
es decir, plantear inicialmente problemas para después impartir el tema
Si % No % Total
Maestros
Total
%
6.-¿Posee alguna estrategia para resolver
problemas aritméticos que comparta con sus
alumnos?
2 22 7 78 9 100
39
La gráfica muestra que los maestros no posee ninguna estrategia para resolverlos,
motivo por el cual sus alumnos, tampoco podrán poseer alguna en la que se
puedan apoyar.
7.-¿Cuales cree que sean las razones por la que sus estudiantes (los que así
fuera) no resuelven satisfactoriamente problemas aritméticos?
En esta gráfica se muestra la razón principal por la que cada maestro cree que sus
estudiantes no los resuelven correctamente, sin embargo algunos coinciden en
más de una respuesta.
SI % No % Total
maestros
Total
%
8.- ¿Utiliza algún tipo de material didáctico
para favorecer el razonamiento de los
problemas?
1 12 8 88 9 100
9.-¿Practica el cálculo mental con sus
alumnos?
_ _ 9 100 9 100
10.- ¿Considera que existe alguna relación
entre problemas aritméticos y algebraicos?
9 100 _ _ 9 100
11.- ¿Ha recibido algún tipo de capacitación
sobre matemáticas por parte de la SEP?
9 100 _ _ 9 100
No saben leerlos bien 2 22%
No saben hacer operaciones 3 34%
Copian mal los datos 2 22%
No saben interpretar los problemas 2 22%
Total. 9 100%
40
8.- ¿Utiliza algún tipo de material didáctico para favorecer el razonamiento de los
problemas?
Los maestros no acostumbran utilizar material didáctico para concretizar
conceptos matemáticos. Lo que se ve reflejado en la falta de consistencia de los
niños para obtener buenas calificaciones.
9.-¿Practica el cálculo mental con sus alumnos?
El dato anterior no tiene mayor comentario ya que ninguno de los maestros lo
práctica en la actualidad a pesar de lo importante que es.
10.- ¿Considera que existe alguna relación entre problemas aritméticos y
algebraicos?
Los 9 maestros consideran que si debe de haber algún tipo de relación, aunque
cuando se les pidió que la explicaran, sus ideas no estaban muy claras.
11.- ¿Ha recibido algún tipo de capacitación sobre matemáticas por parte de la
SEP?
El total de los maestros reconoce, que se les han impartido en diferentes
ocasiones cursos no tan solo de matemáticas sino de todas las asignaturas que
componen el currículum.
Al comparar las respuestas de los tres cuestionarios, se alcanzan a apreciar
algunas cuestiones importantes. Una de ellas es la que se refiere a padres con
problemas matemáticos, se repiten los mismos esquemas en sus hijos.
Una más es que algunos padres consideran que sus hijos van bien en
matemáticas, que dominan correctamente las operaciones básicas, las tablas de
multiplicar y la resolución de problemas, sin embargo los datos no coinciden, pues
un mayor porcentaje de alumnos no lo consideran así, lo que deja claro es que los
41
padres no están bien informados sobre los avances de sus hijos y que sin
embargo por el grado que cursan, suponen que deben dominarlos al 100%.
Otro de los puntos que se observa, es que los maestros no imparten ciertos
conocimientos, tal vez porque no los dominen, por no considerarlos necesarios o
por no especificarse en los Planes y Programas, pero conceptos como variable,
aplicación del número perdido, propiedades de las operaciones, metodología para
solución de problemas, cálculo mental, entre otros, los alumnos los desconocen en
su totalidad y claro esta, si no se les enseña ¿Cómo pueden aprenderlos?
Un último aspecto destacable, es que los padres que tienen una mejor
preparación, son los que ayudan de manera eficaz a sus hijos, los orientan, les
explican, los acompañan en sus tareas etc. Sus hijos demuestran por medio de
sus respuestas en los cuestionarios que si bien no dominan las matemáticas al
100 % sus avances son muy significativos con respecto al resto del grupo, en
conclusión, los hijos de padres preparados, son quienes menos problemas tienen
en matemáticas y por consecuencia en la escuela.
Desgraciadamente aquellos padres que tuvieron muy pocos estudios, son quienes
menos participan con la educación de sus hijos. Son estos niños los menos
favorecidos académicamente, pues no tienen en quien apoyarse en casa.
42
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas ha demostrado tener desde
tiempos inmemoriales, grandes dificultades tanto para alumnos como para
maestros.
Los bajos niveles de aprovechamiento en matemáticas son a la vez causa y
consecuencia del poco interés de los alumnos en esta asignatura, lo que se
traduce en que las matrículas de las carreras científicas sean cada vez menores y
la formación de científicos se encuentre rezagada.
De igual forma el maestro contribuye a esta falta de interés, con una escasa
motivación hacia sus alumnos. El profesor, acostumbrado a recibir modelos
curriculares centralizados no se encuentra preparado para afrontar con éxito la
responsabilidad de construir su propio currículum.
La reprobación en matemáticas está en primer lugar desde primaria hasta niveles
superiores. En cada uno de los niveles, los maestros se quejan que los alumnos
llegan muy mal preparados, y la mayoría coincide en que se trata de un problema
que pudo haberse resuelto desde la base como lo es la primaria.
Realmente el problema no empieza aquí, cuando se estudia la primaria sino una
generación atrás. Cuando el profesor fue estudiante apenas se le otorgó la
posibilidad de descubrir las matemáticas, los maestros en su mayoría utilizaban la
exposición y práctica de destrezas, algunos pocos creían que este método era
ineficaz, pero desconocían la existencia de algún otro en el que pudieran apoyarse
por lo que trabajaban de la misma forma tradicional.
Para el maestro de primaria, es difícil cambiar estos esquemas con los que creció,
el resultado es una prevalencia de aprendizajes rutinarios, carentes de significado
y la construcción de esquemas conceptuales débiles por los alumnos que
43
manifiestan una pobre actuación sobre los contenidos supuestamente aprendidos.
En suma, los profesores enseñan de la misma forma en que aprendieron.
Ahora bien, el problema reprobatorio en matemáticas no se alcanza a vislumbrar
tan claramente en primaría como lo puede ser en secundaría. Es aquí cuando se
empiezan los estudios formales, donde se da el mayor índice de reprobación y
donde se dan los primeros casos de deserción por no aprobar la materia.
En segundo o tercero de secundaría, se imparte la materia de álgebra, y es una
parte de las matemáticas que presenta mayores dificultades para los alumnos, en
virtud de que presenta abstracciones más complejas. Sin embargo estas
dificultades suelen atribuirse más a un insuficiente trabajo de automatización de
problemas y algoritmos que a la dificultad intrínseca de la misma.
La falta de conocimiento del currículum de secundaría por parte del maestro de
primaria, da como consecuencia el que no exista una vinculación entre ambos
niveles y que se enseñen de forma incorrecta conceptos en primaria que más
adelante creará confusión entre los alumnos
La enseñanza y aprendizaje del álgebra es un núcleo esencial en la comunicación
y expresión de las matemáticas y deben ser introducidos como una parte útil
apetecible y agradable que facilite los procedimientos empíricos inductivos frente
al tradicional planteamiento formal y deductivo
Existe un gran dilema en matemáticas acerca de la decisión sobre cuál es el
momento más adecuado para introducir el vocabulario y los símbolos apropiados
ya que una de las mayores dificultades con que se encuentra un alumno al iniciar
los estudios formales está en el uso y significado de las letras, uso de variables,
símbolos etc.
.
44
El álgebra ha cobrado gran importancia, su aplicación se ha multiplicado debido a
problemas tecnológicos, científicos, físicos, mecánica cuántica etc y que se han
representado por medio de expresiones algebraicas (ecuaciones de primer grado).
Por tal motivo, los estudiantes que ingresan a secundaría deben poseer un
conocimiento de contenidos elementales de aritmética, que le sirvan de base para
el aprendizaje del álgebra.
El presente trabajo se realiza en la escuela Rosario Castellano con niños de 6º
año del turno vespertino. El grupo está formado por 32 alumnos, 17 niñas y 15
niños, su rendimiento escolar se puede considerar como regular ya que el
promedio del grupo es de 7.6, los pequeños cuentan entre 10 y 11 años de edad,
sus características corresponden según la clasificación de Piaget al estadio de las
operaciones concretas.
A pesar de lo mucho que se ha hablado y escrito sobre el álgebra aun hay mucho
por hacer en cuanto a enseñanza-aprendizaje. Esta se empieza a estudiar de
manera formal entre los 12 y 14 años de edad en 2º o 3º de secundaria.
Se ha demostrado que existe una estrecha relación entre la aritmética y el álgebra,
lo que lleva a pensar que en primaría hay suficientes antecedentes como para
poder iniciar estudios algebraicos a partir de la aritmética.
El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) propuso para la década
de los ochenta la resolución de problemas como eslogan educativo de la
matemática escolar: “En la enseñanza de las matemáticas escolares se debe
poner el enfoque en la resolución de problemas.”3
Siguiendo esta propuesta, El Plan y Programas de Estudio de la S E P se ajustan
a sus lineamientos y establecen su enfoque matemático en la resolución de
3 Dr. H. Freudenthal, 1980. III Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) Berckeley
45
problemas señalando como criterio de evaluación el resolver problemas sencillos
de la vida cotidiana.
A pesar de que el enfoque matemático está muy claro en dicho documento, los
docentes no se ajusta a él y le otorgan muy poco tiempo a la resolución de
problemas argumentando que el programa es tan extenso y el tiempo en la
escuela es tan corto que dejan la resolución de los mismos como una actividad
extra-clase.
Esto da como resultado el que los alumnos no resuelvan satisfactoriamente
problemas aritméticos y no cuenten con una metodología propia que les permita
resolverlos de forma sistemática y ordenada, pero también en parte porque los
maestros, no conocen algún método que puedan aplicar a la resolución de los
mismos, en consecuencia los esquemas se repiten. Si el maestro no transmite
este conocimiento a sus alumnos, estos desconocerán por completo como
resolverlos.
De igual forma, los maestros han dejado reducidos los problemas a un papel,
posterior al aprendizaje de los conceptos, su función ha consistido,
fundamentalmente en cubrir dos objetivos: por un lado asentar y poner en práctica
dichos conceptos y relaciones y por otro, evaluar el aprendizaje adquirido por los
alumnos. La postura debería ser diferente primero plantear problemas en donde
el niño entra en actividad mental, es entonces cuando con esta actitud el maestro
puede lograr que el niño descubra conceptos que posteriormente se reafirmaran.
La resolución de problemas no debería ser el objetivo terminal de la enseñanza
sino el punto de arranque y el elemento que caracteriza todo el proceso de
enseñanza.
Por otra parte el maestro desconoce la estrecha relación que existe entre
problemas aritméticos y algebraicos, siendo que los segundos son una
generalización de los primeros. Este desconocimiento obliga al profesor a
46
desechar la posibilidad de que una sola metodología sea aplicable para ambos
tipos de problemas.
Ahora bien, esto obliga a analizar el porque los estudiantes no resuelve en forma
correcta problemas aritméticos.
Muchas veces se oye la queja del profesor de que el alumno no lee bien los
problemas y se precipita a aplicar la operación aritmética que lo resuelva la cual
en muchas ocasiones no es la correcta. En la elección de dicha operación,
intervienen numerosos factores: la comprensión lectora, el desarrollo conceptual
que se posea sobre tales operaciones, la familiaridad de los términos del problema
entre otros, aspectos que en muchas ocasiones el niño no domina, lo que
ocasiona errores en la solución del problema.
En cuanto al desarrollo conceptual de las operaciones da lugar a uno de los
errores más comunes en aritmética, y es el relacionado a la naturaleza de la
multiplicación.
Desde hacer largo tiempo se enseña en las instituciones escolares que la
multiplicación es una suma reiterada, este es un concepto hasta cierto punto mal
impartido. No es que la idea sea incorrecta, pero se debe manejar como una
operación de naturaleza binaria que puede interpretarse como una suma reiterada
(sin ser lo mismo) o como un producto cartesiano, es decir cuando el multiplicando
y producto son de la misma naturaleza se puede interpretar como una suma
reiterada, pero cuando el multiplicando y el multiplicador tienen la misma
naturaleza se debe interpretar como un producto cartesiano, tal y como sucede
con los problemas de áreas
Lo mismo sucede con el resto de las operaciones. El niño en muchas ocasiones
desconoce el concepto de suma, mucho menos sabrá el concepto de división, esto
en parte porque se le enseñó a hacer operaciones de manera totalmente
47
mecanizada, sin haber conceptualizado cada una de ellas, esto ocasiona que se
cometan errores tan comunes como los derivados en el desconocimiento del
sistema decimal, las tablas de multiplicar, y problemas para realizar correctamente
multiplicaciones y sobre todo divisiones.
Para que un alumno pueda concretizar cada una de las operaciones deberá
manipular diferentes materiales.
Hoy en día se encuentra toda clase de material didáctico en las clases de
preescolar, sin embargo cuando este alumno ingresa a la primaria, el material, cae
estrepitosamente en el olvido por parte del maestro el cual desaprovecha todas las
ventajas que conlleva su uso.
Por medio de la manipulación de diferentes clases de materiales el alumno puede
descubrir conceptos tan importantes como la reversibilidad de las operaciones, las
propiedades conmutativa, asociativa y distributiva, sistema de numeración
decimal, diferentes notaciones, valores absoluto o propio, relativo y posicional,
concepto de variable, sumandos, factores, divisores, entre otros, todos ellos
desconocidos totalmente por el alumno de primaria e indispensables para el
conocimiento algebraico.
Lo cierto es que la manipulación del material es una actividad indispensable en
una primera fase del aprendizaje aritmético, Cierto es también que en algún
momento el alumno deberá prescindir de él, pero solo hasta que halla obtenido el
suficiente sentido numérico para que los símbolos aritméticos cobren una
identidad suficiente que le permita tratarlos en sí mismos y sin ayuda de apoyos
materiales.
La falta de utilización de material didáctico en las escuelas primarias durante los
primeros grados para concretizar todos los conceptos anteriormente citados,
48
repercute en los educandos de manera inconsciente arrastrando estos errores aun
en escuelas superiores.
En suma, el maestro no apoya con ningún tipo de material didáctico a sus alumnos
ni para concretizar las operaciones básicas ni para materializar problemas
aritméticos, mismo que les ayudaría a entender mejor los pasos a seguir el la
resolución de los mismos.
Una más de las razones por las que el niño no resuelve correctamente
problemas aritméticos se debe a que se confunde al planteársele problemas
donde incluye en su redacción palabras clave como he ganado, he comprado,
tengo de más etc. induciendo al niño a resolverlo con una suma, o cuando se
incluyen palabras como las pierdo, las regalo tengo de menos etc opta por aplicar
la operación de resta.
Este tipo de palabras pueden confundir al niño acerca de que tipo de operación lo
resuelve ya que la estructura del problema, la sentencia numérica y la estrategia
de resolución, no necesariamente deben ser las mismas.
Justo este tipo de problemas son los que más se le dificultan al niño, cuando estos
tres puntos no coinciden. Por ejemplo.
Tienes cinco estampas y te dan varias más. Al final, tienes en total ocho estampas
¿Cuántas te dieron?
Aquí se puede ver claramente que la estructura del problema es aditiva, aspecto
que también alcanza a apreciar el alumno, ya que las palabras clave así lo indican
la sentencia numérica también es aditiva su planteamiento quedaría:
5 + = 8
49
sin embargo su estrategia de resolución es sustractiva.
El maestro de educación primaria esta acostumbrado a plantear problemas con
sentencias canónicas, los alumnos por su parte así lo consideran también, es por
esto que cuando se les plantea un problema de forma diferente como el
anteriormente expuesto, estos se confunden y son considerados como problemas
difíciles de resolver.
Plantear problemas únicamente con sentencias canónicas, limita la producción de
estos.
a + b = a – b = a x b = a ÷ b =
Este tipo de sentencias habitúan al niño a que los datos del problema son
necesariamente los que se escriben del lado izquierdo de la igualdad y que el
resultado que se debe encontrar es el de la derecha. Ahora bien, las sentencias
no canónicas dan lugar al planteamiento de una gran variedad de problemas.
a + = c + b = c a - = c - b = c
x b = c a x = c ÷ b = c a ÷ = c
Aquí se puede ver claramente la influencia ejercida por el conocimiento aritmético
sobre el algebraico ya que el concepto de variable y expresión algebraica se verán
seriamente afectados por un uso exclusivo de sentencias canónicas y la
interpretación subsiguiente de que el número de la derecha es el resultado de una
acción efectuada sobre los números de la izquierda.
En este sentido, las sentencias no canónicas impiden la formación rígida de estas
concepciones, que los números de la izquierda no se operan para hallar la
50
solución, sino que se debe encontrar un número en la izquierda que haga
equivalentes ambas expresiones.
Ello fortalece el concepto algebraico posterior de variable, por cuanto en el
cuadrado en blanco se puede incluso ir probando distintos números al objeto de
encontrar el que se ajuste a la igualdad.
Esto constituye uno de los problemas más graves cometidos en la educación
primaria, la falta de planteamientos de problemas con ambos tipos de sentencias
numéricas y sobre todo el no enseñarles a los niños que el problema se puede
expresar numéricamente de esta forma.
Ahora bien cuando al alumno se le plantean problemas únicamente con
sentencias canónicas, no se le esta dando la oportunidad de descubrir la
reversibilidad de las operaciones, conocimiento indispensable para la ulterior
resolución de ecuaciones de primer grado, en donde al momento de despejar una
incógnita se utiliza la operación inversa de la misma.
Este es un paso esencial para conseguir la idea de que la resta puede expresarse
como la inversión de la suma, funcionando de igual manera con la multiplicación y
división en donde problemas con estructura de multiplicación se pueden resolver
con división o problemas con estructura de división se resuelven con una
multiplicación.
Actualmente existen muchos ejercicios de sentencias no canónicas en los libros
de texto escolar, pero se manejan como simples ejercicios sin ningún contexto
específico, sin ninguna aplicación y nunca como planteamiento de problemas en
donde ayudaría enormemente a la comprensión de variable, pues un
planteamiento de este tipo, lleva implícito una ecuación de primer grado, cuya
resolución es la misma a nivel aritmético que algebraico, sólo que en lugar de la
51
etiqueta blanca se escribe una letra que en el caso del álgebra representa la
variable.
7 + = 18 7 + X = 18 X = 18 – 7 X = 11
por lo tanto 7 + 11 = 18
Es indispensable que los maestros den una aplicación práctica a este tipo de
ejercicios, el niño los resuelve sin encontrarle ninguna utilidad práctica lo que se
traduce en que no le es significativo.
Una más de las carencias del profesor es que desconoce la utilidad practica de la
aplicación de modelos. Los modelos permiten pasar de una situación problemática
expresada al modelo y de este a la expresión numérica que resuelva dicho
problema, en este sentido se debe entender al modelo como un tipo de lenguaje
que permite al estudiante encontrar el camino correcto hacia la resolución de
problemas.
Aquí como en muchos otros conceptos en necesario indicar que los modelos son
aplicables para ambos tipo de problemas y lo mismo pueden ser utilizados en la
resolución de problemas aritméticos, como para entender las expresiones
algebraicas que plantean la resolución de ecuaciones de primer e inclusive
segundo grado.
Para continuar con este análisis se presentan dos ideas.
“El álgebra es el lenguaje de las matemáticas.... las matemáticas son
esencialmente, la expresión (o reducción) de ideas complejas y sofisticadas
52
mediante símbolos y operaciones sobre símbolos. Una vez que tenemos los
símbolos y las operaciones aparece el álgebra”. 4
“Los símbolos escritos, son una manera conveniente y poderosa de representar
las situaciones matemáticas y manipular las ideas matemáticas. Una vez que se
representa simbólicamente el problema se puede resolver a menudo bastante
fácil. Cuando el problema es complejo, la representación simbólica llega a ser
bastante ventajosa.”5
Para la mayoría de los alumnos los símbolos ya tienen un significado, aunque no
necesariamente sea el correcto, esto hará que el niño, entre en conflicto con el
significado que se les atribuirá más adelante.
Los símbolos utilizados en aritmética son de muy distinta naturaleza y conviene
hacer un tratamiento de cada uno de ellos.
LAS LETRAS
Una de las mayores dificultades con que se encuentra un alumno al iniciarse en
álgebra está en el uso y significado de las letras, esto se debe en parte a la
naturaleza abstracta de sus elementos.
El nivel de comprensión del álgebra esta muy relacionado con la progresión que
se siga en la utilización de las letras en los niveles básicos, lo cual por lo general
se hace de forma incorrecta o simplemente ni siquiera se tiene conciencia de ello.
En aritmética regularmente se utilizan dos tipos de letras, aquellas que
representan un valor fijo y es asignado de forma internacional, utilizadas como
unidades de medidas tanto de peso, longitud y capacidad (g., m., l. Entre muchas
4 Lewis, citado en Alonso, Fernando, et al. Ideas y actividades para enseñar álgebra. 1ª ed., Madrid, Síntesis, 1993 5 Hiebert, citado en idem.
53
otras) y aquellas letras que son consideradas como variables, como las utilizadas
en la gran mayoría de las fórmulas aritméticas (h, D, d, r, p, b, A etc).
Es muy común que se parta de la tendencia natural que se tiene de designar a la
letra con la inicial del nombre o utilizarla como si esta representara un objeto.
Regularmente en aritmética, la letra aparece como una etiqueta que acompaña al
número sin embargo su interpretación es errónea, por ejemplo en las expresiones
18 cm., 6 Kg., y 3l., cuya lectura habitual es: dieciocho centímetros, seis
kilogramos y tres litros, para el alumno no es fácil distinguir que cm., Kg., y l., se
repetirá tantas veces como lo indique el número por lo tanto existe la dificultad
intrínseca de entender que las anteriores expresiones representan una
multiplicación, es decir son dieciocho veces la medida que representa el
centímetro, seis veces la medida establecida como Kg., y 3 veces la unidad de litro
Expuesto de esta forma sería más fácil para los alumnos que se inician en
álgebra, distinguir otra forma de representar la multiplicación en donde el
coeficiente multiplica a la letra.
Este simple concepto al cual poca importancia se le da en la escuela primaria es
uno de los errores tan largamente cometidos a través de generación en
generación, el cual se debe de corregir entre la población estudiantil y resaltarles
que la letra no necesariamente representa la inicial del nombre, ya que esta bien
pudiera ser representada por cualquier otra, ni tampoco representa un objeto, más
bien ésta tiene un valor el cual puede ser fijo o variable.
VARIABLE.
Para la enseñanza y aprendizaje del álgebra, es fundamental el concepto de
variable, sin embargo la mayoría de las veces se utilizan como si pudieran
entenderse sin ningún problema.
54
La adquisición del concepto de variable es un proceso muy lento, que se
desarrolla a largo plazo y al que no se le pueden poner límites iniciales. El hecho
de que este concepto no se halla asimilado suficientemente a nivel primaria tiene
mucha relación con la dificultad que presenta el niño al entender el concepto de
variable a nivel secundaria.
En primaria se utilizan una gran cantidad de variables, pero los alumnos las
desconocen totalmente, debido a que no se les manejan correctamente por parte
de sus maestros, estas son las utilizadas en todas las fórmulas aritméticas.
A = 2
bxh En donde:
A = área
b = base
h = altura
Aquí se puede ver claramente como se sigue manejando erróneamente, a la
variable con la inicial de su nombre, sin embargo aquí la letra no tiene un valor fijo
como en el caso de m., l., g., etc., sino como una variable.
Este es otro de los problemas generacionales con los que se trabaja hoy día en
las aulas escolares, el maestro no hace conciencia entre sus alumnos que estas
letras representan una variable, ya que el valor depende de la figura a medir, lo
que lleva a señalar en este sentido, que la letra representa el valor numérico el
cual se pretende encontrar. Este concepto habrá que recalcarlo una y otra vez con
cada problema en que se utilicen las fórmulas aritméticas.
Manejar las letras, equivocadamente por parte del maestro contribuye fácilmente a
que el educando trate a la letra como si fuera un objeto y a olvidar por tanto que
representa un número.
55
SÍMBOLOS DE OPERACIONES
En aritmética los signos de operaciones indican una acción que se va a realizar
con números y que da como resultado otro número, por tanto dar un significado a
estos signos es dar un procedimiento que permita llegar a la respuesta.
Los signos de operación el niño los conoce desde los primeros grados escolares,
sin embargo, el maestro los utiliza de una manera muy convencional, los
estudiantes ignoran cual es su función, las diferentes formas de representarse y
sobre todo el modo correcto de leerse, siendo la multiplicación y división en donde
más se incurre en errores a pesar de que se manejan estos símbolos en las
fórmulas aritméticas. Por ejemplo.
Los niños conocen el clásico signo de multiplicar X y lo aplican a cuestiones como
8 x 4, pero existen otras formas de representarse como el anteriormente expuesto
18 cm., 6 Kg., y 3l., también suele emplearse un punto 8• 4 y por último se
puede indicar la multiplicación colocando los factores entre paréntesis (8 ) (4) en
todos los casos se lee el signo multiplicado por.
Igualmente el signo de división se lee dividido entre y las formas de representarse
son: 4 8 , 8 ÷ 4 , 48
, 8 / 4 todos ellos son igualmente de válidos.
Uno de los errores más comunes cometidos en la lectura de este signo es cuando
se lee por ejemplo A = 2
bxh área es igual a base por altura sobre 2, cuando lo
correcto debería ser, área igual a base por altura entre 2.
Leído de forma incorrecta crea confusión entre los alumnos pues no alcanzan a
visualizar que la línea entre el numerador y denominador representa una división
sucede los mismo cuando se les presenta 43
no reconocen que el 3 divide al 4
56
El maestro de primaria no promueve la lectura correcta de estos ni el uso de las
diferentes formas de representarlo, cuando que sería bastante fácil hacerlo
mediante las fórmulas aritméticas es decir por ejemplo
A =2
)( hbB + A =
2ap •
, A = 2
bh
En cada una de ellas se puede apreciar las diferentes formas de representar estos
signos,. El maestro deberá presentar una sola fórmula de diferentes maneras y
explicar a los niños que las operaciones no cambian sino que simplemente son
diferentes formas de representar estos signos. El manejo correcto de estas
fórmulas apoyará al niño en sus estudios posteriores, pues esto a simple vista no
es otra cosa que álgebra elemental.
SIGNOS DE RELACIÓN
De igual forma estos signos se utilizan frecuentemente en aritmética, el alumno no
tiene conciencia de cual es su función y en ocasiones como es el caso del signo =
se tiene una concepción equivocada. Estos signos son: = que se lee igual a, >
mayor que < menor que.
Por lo que respecta a los signos > < su uso es correcto, pero se utilizan muy poco
en las aulas escolares, lo que impide fijar estos elementos dentro de sus
esquemas.
El uso del signo igual en matemáticas plantea varias dificultades de aprendizaje.
En aritmética el uso del signo igual es considerado como representando el
resultado de una acción sobre las cantidades de la izquierda. Ello provocará más
adelante serias dificultades en el aprendizaje del concepto de ecuación algebraica,
donde este signo tiene un significado diferente, es decir, los dos miembros de una
ecuación vienen a ser equivalentes (este concepto se refuerza en líneas anteriores
cuando se toca el tema referente a sentencias numéricas no canónicas).
57
En aritmética se utiliza casi siempre y de manera equivocada con carácter
unidireccional. En álgebra indica restricción y tiene un carácter bidireccional.
Una vez más se hace presente la falta de vinculación de ambos currículos, lo que
ocasiona que no se trabaje desde primaria conceptos tan sencillo pero que a la
vez, al no ser tratados de forma correcta sean de los más difíciles de asimilar en
estudios algebraicos.
Otra parte omitida por los maestros es la concerniente a las propiedades de las
operaciones básicas.
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES.
En álgebra son importantes las propiedades de las operaciones y las relaciones
que se establecen entre ellas, esto es lo que permite realizar transformaciones
algebraicas que se apoyan directamente en ellas.
En el Plan y Programas de Estudio 1993 dice al pie de la letra “Las propiedades
de las operaciones ( conmutativa, asociativa, distributiva ) no se introducen de
manera formal, se utilizan sólo como herramientas para realizar, facilitar o explicar
cálculos”6
El programa no indica que el concepto se suprima sin embargo el maestro lo hace
de forma definitiva, pues aunque el programa indica que se utilice como
herramienta para realizar, facilitar o explicar cambios, lo cierto es que no se les
enseñan de manera directa ni indirectamente. No es que el concepto sea difícil de
transmitir, este se puede incluso enseñar de manera intuitiva desde primer grado,
el niño puede descubrir cada una de estas propiedades a través del manejo de
material didáctico.
6 SEP “Plan y Programas de Estudio 1993” S E P México
58
Es triste ver que este concepto quede eliminado totalmente por los profesores de
educación primaria, ya que para dominar el álgebra se hace necesario el que se
relacione el significado de las operaciones con las acciones realizadas sobre las
cantidades.
CONVENIOS DE NOTACIÓN.
Los convenios de notación no se identifican claramente en primaria, pero sin
embargo si se utilizan aunque no de manera consiente.
Los convenios de notación tanto en aritmética como en álgebra, son ambiguos y
esto hace que su aprendizaje lleve mucho tiempo.
Dentro del currículum de primaria se ven los valores absoluto o propio, relativo y
posicional de manera aislada, los maestros no relacionan estos valores para que
el estudiante visualice la aplicación de cada uno de ellos, por ejemplo, los libros de
texto escolar manejan mucho la notación desarrollada, en donde ellos aplican
precisamente el valor relativo, en cuanto al valor posicional, deben dominar el
sistema decimal, pues este valor indica cuantas unidades, decenas, centenas etc.
representa.
En álgebra se utilizan mucho estos valores, los estudiantes llegan a secundaria sin
tener un dominio pleno de estos conceptos, debido a que no tuvieron ejercitación
en primaria sobre ellos.
Por ejemplo un convenio de notación como 27 el 2 indica el lugar de las decenas
y por lo tanto representa el 20. Cuando se conocen las reglas del valor de posición
la relación entre las dos cifras es 27 = 2 x 10 + 7 esto ayudara a entender
posteriormente notaciones algebraicas que aunque son distintas le serán mas fácil
59
comprender. Los niños en muchos de los casos no logran entender esta notación
y ve el 27 como una unidad gráfica que significa 27 unidades aritméticas.
CÁLCULO MENTAL
Un tema más al cual el profesor no le da la debida importancia es el relacionado
con el cálculo mental. El tema esta desde luego incluido dentro del Plan y
Programas de Estudio sin embargo el maestro lo relega a un aspecto secundario.
El maestro no practica el cálculo mental dentro del aula, desconoce su utilidad, y
las ventajas que obtendrían sus alumnos con la ejecución constante. Las pocas
veces que se llega a practicar, es mediante ejercicios que aparecen en los libros
de texto, pero estos son los mínimos, impidiendo que los alumnos lleguen a
dominar el concepto
Una de las grandes ventajas del cálculo mental es que crea agilidad mental, los
niños podrán encontrar rápidamente el valor de la incógnita en problemas
aritméticos y una vez encontrado el valor, podrá verificar rápidamente. Lo mismo
sucede con la resolución de las ecuaciones de primer grado, con esta habilidad se
pueden resolver las más sencillas y en el caso de las más complicadas se podrá
calcular más o menos por donde esta el resultado.
También y por medio del cálculo mental, se pueden practicar cada una de las
propiedades de las operaciones, ya que se utilizan de manera inconsciente para
hacer cálculos más rápidos.
Todos los puntos anteriormente citados, son deficiencias que se cometen por
parte de los maestros de educación primaria y que de manera directa e indirecta
inciden en estudios posteriores, afectando sobre todo al conocimiento algebraico.
60
Es necesario que el maestro cambie sus estrategias para superar cada uno de
estos problemas, todo en beneficio de la preparación académica de sus alumnos,
los cuales llegaran mejor preparados a secundaria enfrentando más fácilmente el
álgebra.
Por su parte el maestro podrá aprovechar al máximo los libros de texto y alcanzar
más cómodamente, los propósitos establecidos por el Plan y Programas de
Estudio de la SEP de una forma más conciente.
61
PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN
1. ¿El niño tiene interés por las matemáticas?
2. ¿De qué manera resuelven los niños problemas aritméticos?
3. ¿Posee el alumno alguna metodología que le permita resolverlos?
4. ¿Posee el maestro alguna metodología en la resolución de problemas?
5. ¿Sabe el alumno analizar los problemas para comprender lo que se le
pide?
6. ¿Reconoce el alumno la reversibilidad de las operaciones?
7. ¿Identifica el alumno las propiedades de las operaciones?
8. ¿Reconoce el educando el número perdido y su utilidad?
9. ¿Reconoce el niño lo que es una variable?
10. La redacción de los problema ¿Es factor que impida el razonamiento del
niño?
11. El maestro ¿Imparte los conceptos necesarios para la resolución de
problemas en forma correcta?
12. ¿De qué manera influye el maestro para el logro o fracaso en la resolución
de problemas aritméticos?
13. ¿Utiliza el maestro algún material de apoyo para hacer más significativos
los problemas?
14. El lenguaje aritmético empleado en el aula ¿es el correcto?
15. ¿Reconoce el maestro la conexión de los problemas aritméticos con los
algebraicos?
16. El maestro ¿Posee los conocimientos necesarios sobre álgebra?
62
PREGUNTA CENTRAL
¿PORQUÉ LOS ALUMNOS NO LOGRAN DOMINAR LAS ECUACIONES DE
PRIMER GRADO CUANDO EGRESAN DE PRIMARIA?
PROPÓSITO
DOMINAR EN FORMA CORRECTA CONCEPTOS ARITMÉTICOS PARA QUE
LOS PUEDA APLICAR A ECUACIONES DE PRIMER GRADO Y A LA
APLICACIÓN DE PROBLEMAS FUTUROS COMO CIENTÍFICOS Y
TECNOLÓGICOS.
63
MARCO TEORICO
En el presente apartado se analizan todos aquellos elementos que sustentan el
proceso de enseñanza-aprendizaje en las matemáticas, el cual se apoya en las
teorías de prestigiados investigadores de diferentes ramas como: psicología,
pedagogía y matemáticas.
TEORIAS DEL DESARROLLO
JEAN PIAGET.
Desarrollo cognitivo
La posibilidad de reconocer los estadios generales del desarrollo intelectual,
representado cada uno de ellos por un modo característico de razonamiento y por
tareas específicas en matemáticas que los alumnos son capaces de hacer,
constituye una información valiosa para los profesores a la hora de diseñar el
material de enseñanza y permite conocer el nivel de relaciones y respuestas a
cuestiones esperadas por los alumnos.
La psicología evolutiva se centra en el desarrollo o evolución de los niños,
enfatizando los aspectos relacionados con el aprendizaje y los procesos de
cognición. Este desarrollo que comienza desde el nacimiento del niño va
conformando un proceso de evolución y maduración. Los estadios de este proceso
son universales, aunque cada niño posee características propias.
La personalidad más importante de esta corriente es Jean Piaget. Piaget señala
que el desarrollo de la inteligencia de los niños es una adaptación del individuo al
ambiente o al mundo que lo circunda. Aborda el problema del desarrollo de la
inteligencia a través del proceso de maduración biológica.7
7 Piaget Jean, citado por Socas, Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Síntesis.
64
En este enfoque, la palabra aprendizaje tiene un doble sentido. El primero más
amplio, se refiere al propio desarrollo de la inteligencia como proceso espontáneo
y continuo que incluye maduración, experiencia, transmisión social y desarrollo del
equilibrio. El segundo se limita a la adquisición de nuevas respuestas para
situaciones específicas o de nuevas estructuras para determinadas operaciones
mentales.
La inteligencia en suma, se desarrolla a través de un proceso de maduración y
también incluye lo que específicamente se llama aprendizaje. El proceso comienza
con una forma de pensar (estructura) propia de un nivel. Algunos cambios
externos o intromisiones en la forma habitual de pensar crean conflictos y
desequilibrio. La persona compensa esa confusión y resuelve el conflicto mediante
su propia actividad intelectual. De todo esto resulta una forma distinta de pensar y
estructurar las cosas que origina una nueva comprensión y satisfacción al sujeto.
En definitiva, un estado de nuevo equilibrio.
El proceso de desarrollo de la inteligencia, tal como lo ve J. Piaget, se desarrolla
en cada niño a través de determinados estadios que son parte de un proceso
continuo, en el cual una característica del pensamiento infantil se cambia
gradualmente en un tiempo determinado y se integra en formas mejores de
pensamiento. El niño puede estar en más de un estadio al mismo tiempo.
Jean Piaget distingue cuatro estadios de desarrollo cognitivo, cualitativamente
diferentes entre sí.8
Estadio sensoriomotriz, (0-2 años) Período sensorial y de coordinación de
acciones físicas. Se comienza a usar la imitación, la memoria y el
pensamiento. Se da cuenta que los objetos no dejan de existir cuando
están escondidos. Pasa de las acciones reflejas a la actividad dirigida.
Preoperacional, (2-7 años) Desarrolla gradualmente el lenguaje y de la
capacidad de pensar en forma simbólica. Esa capaz de pensar en
8 WOOLFOLK, Anita E. “Psicología Educativa”, 3ª ed., Prentice Hall
65
operaciones continuas de manera lógica en una dirección. Tiene
dificultades al ver el punto de vista de otra persona.
Operaciones concretas (7-11 años) Capacidad para resolver problemas
concretos en una forma lógica. Entiende las leyes de la conservación y es
capaz de clasificar y de seriar. Entiende la reversibilidad.
Operaciones formales, (11-15 años) Es capaz de resolver problemas
abstractos en forma lógica. El pensamiento es más científico. Desarrolla
intereses de carácter social e identidad.
El orden por el que pasan los niños las etapas de desarrollo no cambia, es decir
deben pasar por las operaciones concretas para llegar al estadio de las
operaciones formales, pero la rapidez con que pasan los niños por estos estadios
cambia de persona a persona.
En los niños no se producen cambios fijos de la noche a la mañana. Hay períodos
de desarrollo continuo que se sobreponen, de hecho cuando un niño entra en la
etapa preoperacional, su desarrollo sensoriomotor continua, a pesar de que la
nueva capacidad de pensamiento representacional sea el rasgo dominante del
periodo. Igualmente un niño que sustenta un pensamiento operativo concreto en
una labor de permanencia, puede estar en una etapa preoperacional con relación
a trabajos más complicados de permanencia.
Análogamente, a medida que el niño entra en el periodo de las operaciones
formales el pensamiento operativo concreto continua en varias áreas, para poco a
poco llegar a ser integrado en un sistema más comprensible de operaciones
formales. El razonamiento operativo formal no siempre funciona con toda su
capacidad, y en determinadas circunstancias baja a un nivel inferior de
pensamiento. Adultos y adolescentes, a menudo regresan al pensamiento de
operaciones concretas y aun al pensamiento preoperacional cuando se les expone
66
a nuevas áreas de aprendizaje, beneficiándose con experiencias concretas en
estas áreas antes de avanzar a niveles abstractos de pensamiento.
Acerca de su concepto de período de desarrollo J. Piaget señala que no hay
períodos estáticos como tales. Cada uno es conclusión de algo comenzado en el
que precede y el principio de algo que nos lleva al que sigue. De esta forma las
operaciones concretas llegan a ser integradas en las operaciones formales. En el
período de las operaciones concretas, la acción física y mental del niño hacia
objetos crea operaciones y relaciones. En el período operativo formal, la acción
mental hacia esas operaciones y relaciones, da por resultado operaciones de
operaciones y relaciones de relaciones.
LEV SEMIANOVITCH VYGOTSKY
Lenguaje y pensamiento.
Para L. Vygotsky, el lenguaje es crucial para el desarrollo cognoscitivo,
proporciona el medio para expresar ideas y plantear preguntas. L. Vygotsky
destacó la función del lenguaje en el desarrollo cognitivo, ya que consideraba que
bajo la forma de habla privada (hablarse a uno mismo) el lenguaje orienta el
desarrollo.
Para este autor el vínculo que une pensamiento y lenguaje es primario y además
se origina, cambia y crece en el curso de su evolución. Siendo esta relación
continua, que va de la palabra al pensamiento y a su vez, del pensamiento a la
palabra.9
El lenguaje cobra la significación de instrumento de regulación del pensamiento y
la acción. La asimilación por el niño de las significaciones contenidas en los
símbolos lingüísticos que usa, su aplicación en la actividad práctica, transforman
9 http://personales.com/espana/soria/infantil/teo.html , Teorías influyentes en torno al lenguaje consultado en diciembre 2006
67
cualitativamente su acción. El lenguaje nacido como instrumento de comunicación,
se convierte en instrumento de acción.
El lenguaje y a través de él, la cultura tiene una influencia decisiva en el desarrollo
individual. Las posibilidades de aprendizaje pueden ser elevadas como
consecuencia de la relación social. Conviene diferenciar las posibilidades de
aprendizaje que el niño es capaz de ejercer por sí solo, de las que podría
desarrollar en un marco social adecuado, lo que L. Vygotsky llama el desarrollo
potencial.10
En el proceso de aprendizaje, no se puede prescindir de un elemento como el
lenguaje de carácter eminentemente social, a través del cual el pensamiento
individual se apropia de la cultura del grupo humano al que pertenece.
Para el autor, la relación del individuo con su realidad exterior no es una simple
relación biológica. Mediante la utilización de instrumentos adecuados puede
extender su capacidad de acción sobre esa realidad. .Entre estos instrumentos,
atribuye una significación especial al lenguaje, que permite al individuo actuar
sobre la realidad a través de los otros y le pone en contacto con el pensamiento de
los demás, con la cultura, que influyen recíprocamente sobre él.
L Vygotsky sugiere que el desarrollo cognoscitivo depende más de las personas a
su alrededor. Propone que el desarrollo cognoscitivo tienen lugar mediante la
interacción del niño con adultos y con niños mayores. Estas personas juegan el
papel de guías y maestros para el niño y le dan información y apoyos necesarios
para su crecimiento intelectual.11
De acuerdo con el autor, en cierto punto de desarrollo, se presentan algunos
problemas que los niños están a punto de poder resolverlos, aquí los niños
10 Ibíd. 11 WOOLFOLK, Anita E. “Psicología Educativa”, Prentice Hall Hispanoamericana S. A.3ª edición Trad. Gutiérrez, Aguilar Rafael. Pág. 73-74
68
necesitan solo una estructura, claves, recordatorios o ayuda para recordar los
detalles o los pasos, por supuesto algunos problemas pueden ser resueltos por
ellos mismos, otros superan la capacidad del niño, aunque se les explique paso a
paso.
El punto medio es la zona de desarrollo proximal, el área en la que el niño no
puede resolver solo el problema, pero que con ayuda de un adulto o en
colaboración de otro niño más avanzado lo puede hacer.
La zona de desarrollo proximal sugiere que los alumnos deberán colocarse en
situaciones en las que tienen que alcanzar a comprender un poco, pero donde la
ayuda y apoyo de otros compañeros o del maestro, son también accesibles.
Algunas veces el mejor maestro es otro estudiante, quien ya ha resuelto el
problema. Este estudiante, probablemente está operando en la zona de desarrollo
proximal del aprendizaje.
El nivel de desarrollo real del niño define funciones que ya han madurado, es
decir, los productos finales del desarrollo. La zona de desarrollo próximo define
funciones que todavía no han madurado pero que se hallan en proceso de
maduración. El nivel de desarrollo real caracteriza el desarrollo mental
retrospectivamente. Mientras que la zona de desarrollo próximo caracteriza el
desarrollo mental prospectivamente.
Vygotsky define la zona de desarrollo próximo como: “La zona proximal de
desarrollo es la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la
capacidad de resolver independientemente un problema y el nivel de desarrollo
potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la ayuda de
un adulto o la colaboración de otros compañeros mas diestros12”
12 SEMIANOVITCH, Vygotsky Lev. “El desarrollo de los procesos psicológicos superiores” en El niño: desarrollo y proceso de construcción del conocimiento, Antología Básica UPN/ SEP. México, 1994. P 76-80
69
El estado del desarrollo mental de un niño puede determinarse únicamente si se
lleva a cabo una clarificación de sus dos niveles, del nivel real de desarrollo y de la
zona de desarrollo próximo.
.
TEORIAS DE APRENDIZAJE.
CONDUCTISMO.
Edward L. Thorndike.
Edward Thorndike realizó investigaciones observando la conducta de animales,
pero después realizó experimentos con personas. E. Thorndike implantó el uso de
métodos usados en las ciencias exactas para los problemas en educación al hacer
énfasis en el tratamiento cuantitativo exacto de la información. “Cualquier cosa
que exista, debe existir en determinada cantidad y por lo tanto pude medirse.”13
Su teoría, conexionismo, establece que aprender es el establecimiento de
conexiones entren estímulos y respuestas. E. Thorndike postula que las conductas
se desarrollan por ensayo y error; y formula dos leyes de aprendizaje:
Ley del ejercicio :La conducta se adquiere mientras se practique
Ley del efecto : La conducta se adquiere por que el efecto es agradable
La ley del efecto es quizás la que ha tenido mayores repercusiones para el
desarrollo posterior de la psicología del aprendizaje. Según esta ley, las conductas
aprendidas son las que satisfacen un determinado impulso, positivo o negativo, es
decir, las que satisfacen una necesidad o evitan un peligro, mientras que las
conductas que impiden la satisfacción de una necesidad del organismo o que le
atemorizan no son aprendidas. Las leyes del aprendizaje enunciadas por E.
13 citado en http://www.ediuoc.es.mex consultado en diciembre 2005
70
Thorndike, y muy especialmente la ley del efecto, están en el origen de la
psicología conductista.
El autor se interesó en el desarrollo de un aprendizaje activo y selectivo de
respuestas satisfactorias. Ideó un tipo de entrenamiento en que los vínculos
establecidos entre los estímulos y las respuestas quedarían reforzados mediante
ejercicios en los que se recompensa el éxito obtenido.
Así mismo denominó conexionismo (asociacionismo) a este tipo de psicología. El
aprendizaje es el producto de un funcionamiento cognitivo que supone ciertas
conexiones o asociaciones de estímulo y respuesta en la mente de los individuos.
Por lo tanto los programas para enseñar matemáticas podrían elaborarse sobre la
base de estímulos y respuestas sucesivos, de tal forma que los resultados de este
proceso se podrían objetivar en cambios observables de la conducta de los
alumnos.
En 1922 publicó su libro The Psychology of Arithmetic. En el que presentaba su
teoría del aprendizaje: todo el conocimiento incluso el más complejo esta formado
por relaciones sencillas, vínculos entre estímulos y respuestas. Así la conducta
humana, tanto de pensamiento como de obra, se podría analizar en términos de
dos sencillos elementos. Si se reducía la conducta a sus componentes más
elementales, se descubría que consistía en estímulos y respuestas. Si se
premiaba una respuesta dada a un estímulo propuesto, se establecía un vínculo
fuerte entre estímulo respuesta. Cuanto más se recompensa la respuesta más
fuerte se hacía el vínculo y por lo tanto, se sugería que uno de los medios más
importantes del aprendizaje humano era la práctica seguida de recompensas (ley
del efecto).14
14 citado en http://nti,educa.canaria.es/rtee/didmat,htm Juán Antonio García La didáctica de las matemáticas consultado en diciembre 2005
71
E. Thorndike sugirió como aplicar sus ideas a la enseñanza de la aritmética
afirmando que lo que se necesitaba era descubrir y formular el conjunto
determinado de vínculos que conforman la disciplina a enseñar. Una vez
formulado todos los vínculos, la práctica sujeta a recompensas, sería el medio
para poner en funcionamiento la ley del efecto y propiciar una mejora en los
resultados de los alumnos.
La teoría de Thorndike significó un gran paso hacia la aplicación de la psicología a
la enseñanza de las matemáticas, siendo su mayor contribución al centrar la
atención sobre el contenido del aprendizaje y en un contexto determinado como lo
es la aritmética.
COGNOSCITIVISTA.
El enfoque conductista sostiene que si los eventos mentales como el pensamiento,
las imágenes y la conciencia no pueden observarse, tampoco pueden ser objeto
de estudio.
En cambio, los teóricos cognoscitivistas consideran que este argumento es
demasiado limitado. El interés de los psicólogos cognoscitivistas en los eventos
mentales se refleja en los temas que estudian, memoria, atención, percepción,
solución de problemas y aprendizaje de conceptos.
Tanto los teóricos conductistas como los cognoscitivistas creen, aunque por
distintas razones, que el reforzamiento es importante para el aprendizaje. Para el
enfoque, cognoscitivistas el reforzamiento sirve para reducir la incertidumbre y por
tanto da la sensación de entendimiento y dominio.
Entre los teóricos más importantes de este enfoque se encuentran Jerome Bruner,
David Ausubel, y Jean Piaget.
72
JEROME BRUNER.
Jerome Bruner basa su teoría acerca de cómo se desarrolla la comprensión de los
conceptos matemáticos a través del pensamiento y aprendizaje. Esto se da a
través del desarrollo conceptual por medio de tres presentaciones, enactiva,
icónica y simbólica. y equivale a las etapas del desarrollo del intelecto.15
Enactiva.- Representa eventos pasados mediante una respuesta motriz adecuada,
como lo puede ser cuando los niños resuelven los problemas de suma, dándole
con los dedos en la barbilla o en la mesa en lo que evidentemente es un
movimiento de conteo, recordando cuando aprendieron a contar cubos con un
golpecito en cada uno.
Icónica.- Nos separa un poco de los concreto y de los físico para entrar en el
campo de las imágenes mentales, lo que sucede en la representación icónica
cuando el niño, se imagina una operación, o una manipulación como forma no solo
de reorganizar el acto, sino recrearlo eventualmente cuando sea preciso. Se
recuerda sólo lo más importante, no así los detalles.
Simbólica.- En la tercera manera de capturar las experiencias en la memoria, se
posibilita sobre todo por la aparición de la competencia lingüística. Un símbolo es
una palabra o marca que representa alguna cosa, pero que no tiene que
parecerse a dicha cosa. Ejemplo 8 no se parece en nada a una formación de
objetos que tengan dicha propiedad numérica, como tampoco la tiene la palabra
ocho.
Es así como según J. Bruner, los niños van aprendiendo los conceptos
matemáticos desde sus primeras etapas. El desarrollo del niño de este concepto
se da en este orden y cada uno depende del anterior, en la medida en que este se
15 B. Resnick, Lauren. La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. (trad. Alejandro pareja) 2ª ed., Paidos, 1972, 383 p.
73
domina completamente, se pasa al siguiente y cada uno exige mucha práctica en
el mismo.
Por otro lado Jerome Bruner, propone la enseñanza por descubrimiento, en el que
el aprendizaje sea fruto de un proceso de relación del alumno con los problemas,
sin que se le presente el contenido a aprender, sino cuidando de que el alumno lo
descubra en el curso de su proceso de resolución de los mismos. Entramos así en
otra forma de enseñanza para conseguir el aprendizaje significativo, la basada en
la resolución de problemas.
De acuerdo con Jerome Bruner, los maestros deben proporcionar situaciones
problema que estimule a los estudiantes a descubrir por sí mismos, la estructura
mental de la asignatura. Entendiendo por estructura a las ideas fundamentales, las
relaciones o patrones de las materias, así como la información esencial.16
J. Bruner cree que el aprendizaje en el salón de clases puede tener lugar
inductivamente. El razonamiento inductivo significa pasar de los detalles y los
ejemplos, hacia la formulación de un principio general. En el aprendizaje por
descubrimiento, el maestro presenta ejemplos específicos y los estudiantes
trabajan así hasta que descubren las interacciones y la estructura del material.
Una estrategia inductiva, requiere del pensamiento inductivo por parte de los
estudiantes, De acuerdo con el autor, los maestros pueden fomentar este tipo de
pensamiento, alentándolos a hacer especulaciones basadas en evidencias
incompletas y luego confirmarlas o desecharlas sistemáticamente. Por tanto en el
aprendizaje por descubrimiento de J. Bruner el maestro organiza la clase de
manera que los estudiantes aprendan a través de su participación activa.
16 WOOLFOLK, Anita E. “Psicología Educativa”, Prentice Hall .3ª ed., Pág. 284-286
74
Usualmente se hace una distinción, entre el aprendizaje por descubrimiento,
donde los estudiantes trabajan en buena medida por su parte y el descubrimiento
guiado en el que el maestro proporciona su dirección.
En la mayoría de las situaciones, es preferible usar el descubrimiento guiado . Se
les presentan a los alumnos preguntas inteligentes, en lugar de explicar como
resolver el problema, el maestro proporciona los materiales adecuados, alienta a
los estudiantes para que hagan observaciones, elaboren hipótesis y comprueben
resultados.
DAVID AUSUBEL
Por su parte, el enfoque del aprendizaje de David Ausubel, ofrece un contraste
interesante con el de Jerome Bruner. De acuerdo con D. Ausubel, las personas
adquieren conocimientos, principalmente a través de la recepción más que a
través del descubrimiento. Los conceptos, principios e ideas les son presentados y
son recibidos, no descubiertos.17
D. Ausubel hace hincapié en que el aprendizaje debe ser significativo para el que
aprende. Entendía que un aprendizaje es significativo cuando la materia de
aprendizaje puede relacionarse, de manera sustancial, no arbitraria, con lo que el
alumno ya sabe, siendo necesario que la materia sea potencialmente significativa,
es decir coherente en su estructura con la estructura cognoscitiva y lógica previa
de los alumnos.
El aprendizaje repetitivo es un aprendizaje esencialmente no significativo, lo que
no impide que pueda ser necesario en algunos casos como el de una lista de
números telefónicos, asociados a determinados nombres. El aprendizaje por
recepción puede dar lugar a un aprendizaje de tipo memorístico, repetitivo no
17 Idem.
75
significativo si no se consigue presentar adecuadamente la materia de aprendizaje
a los estudiantes.18
D. Ausubel señala que el aprendizaje por recepción puede ser tan significativo
como el aprendizaje por descubrimiento. Este incluso, debe contener una fase de
aprendizaje receptivo, cuando la actividad investigadora propia se revela limitada
por falta de conocimientos previos y se hace necesario un aporte externo de
modificación.
Un método de enseñanza que no consiga motivar a los alumnos, estimular su
curiosidad hacia el aprendizaje propuesto, despertar su interés por el
descubrimiento, difícilmente podrá ser significativo.
JEAN PIAGET
El tercero de estos exponentes, lo constituye Jean Piaget. La teoría piagetana
explica, esencialmente, el desarrollo cognoscitivo del niño, haciendo énfasis en la
formación de estructuras mentales.
J. Piaget concibe la formación del pensamiento como un desarrollo progresivo
cuya finalidad es alcanzar un cierto equilibrio en la edad adulta. El dice, "El
desarrollo es, en cierto modo una progresiva equilibración, un perpetuo pasar de
un estado de menor equilibrio a un estado de equilibrio superior"19
Ahora bien, esa equilibración progresiva se modifica continuamente debido a las
actividades del sujeto, y éstas se amplían de acuerdo a la edad. Por lo tanto el
desarrollo cognitivo sufre modificaciones que le permiten consolidarse cada vez
más.
18 Gutiérrez ángel, Área de conocimiento: Didáctica de las matemáticas. , ed. Síntesis, Madrid, 1993 19 citado en, http://www.bibliodgsca.unam.mx/tesis/tes15marg/sec_1.htm ,consultado en diciembre 2005
76
J. Piaget, menciona que toda actividad es impulsada por una necesidad y que
ésta, no es otra cosa que un desequilibrio, por lo tanto toda actividad tiene como
finalidad principal recuperar el equilibrio.
Ahora bien, cada vez que un desequilibrio se presenta, por así decirlo, el niño se
ve en la necesidad de asimilar aquella situación que produjo el cambio para poder
acomodar sus estructuras cognoscitivas en forma cada vez más estable, y con
esto hacer más sólido el equilibrio mental.
Para J. Piaget asimilar es: "... incorporar las cosas y las personas a la actividad
propia del sujeto y por consiguiente, asimilar el mundo exterior a las estructuras ya
construidas...".20
El concepto de acomodación funciona complementariamente al término de
asimilación. Una vez que las experiencias han sido incorporadas a las estructuras
cognitivas del sujeto, es necesario hacer las modificaciones consecuentes en
dichas estructuras, es decir, reajustar las estructuras construidas en función de las
transformaciones sufridas y por consiguiente, acomodarlas a los objetos externos.
De este modo, la actividad cognoscitiva del sujeto es entendida como un
constante reajuste ante situaciones nuevas, que le permiten lograr un mayor
equilibrio mental. Los procesos gemelos de asimilación y acomodación son rasgos
permanentes del trabajo de la inteligencia, es decir, están presentes en todos los
estados de desarrollo de la inteligencia. La adaptación al medio se produce tan
solo cuando los dos procesos se hallan en equilibrio y entonces la inteligencia
encuentra su equilibrio en el medio.
Los tres enfoques, tanto el de J, Bruner, D. Ausubel y J. Piaget ofrecen algunos
contrastes, sin embargo son los más utilizados en el proceso de enseñanza
aprendizaje.
20 Op.cit.
77
Relacionando a estos grandes teóricos, cabría señalar como se estudia
actualmente, la forma de concebir el aprendizaje matemático.
DIFERENTES POSTURAS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS.
ASOCIACIONISTA
Existen dos enfoques acerca de los que significa aprender matemáticas:
asociacionista y estructuralista, el primero tiene una raíz conductual, mientras que
el segundo tiene una base cognitiva.
Los enfoques conductuales conciben aprender como el provocar un cambio de
conducta del que aprende. Por ejemplo, un alumno habrá aprendido la
multiplicación de fracciones si realiza correctamente tareas relacionadas con este
concepto matemático. Como este procedimiento es muy complejo, para
aprenderlo los asociacionistas lo descomponen en unidades elementales. Una de
estas unidades es el algoritmo de lápiz y papel, es decir, se define al producto de
fracciones como una nueva fracción en donde el numerador es el resultado del
producto de los numeradores y el denominador como el producto de los
denominadores. Más adelante aparecen los problemas relacionados con la
multiplicación de fracciones.
Para aprender la multiplicación de fracciones, por ejemplo, la postura
asociacionista promueve que se ejercite la realización de operaciones más
simples, como multiplicar fracciones sencillas de una sola cifra, realizar
multiplicaciones de una fracción de una cifra por otra de dos, luego de tres, etc..
Posteriormente se generalizaría este proceso a la multiplicación por dos fracciones
cualesquiera.
78
De esta forma vemos que los asociacionistas descomponen una idea más
compleja en otras más simples, y se ocupan de ejercitar las tareas simples (ley del
ejercicio de Thorndike).Para reforzar la asociación entre el estímulo de la tarea
(realizar la multiplicación de fracciones) y la respuesta del alumno (aplicar el
algoritmo de la multiplicación de fracciones), la perspectiva asociacionista
suministra un refuerzo asociado a cada respuesta (un premio o castigo –sanción-
para la corrección o incorrección de la respuesta). En el caso del aprendizaje de la
multiplicación de fracciones, el profesor tendría que corregir las operaciones
realizadas por los alumnos, e informarles de si sus resultados son correctos o no.
Esta corrección (decir si está bien o mal) es una sanción para el alumno (ley del
efecto de Thorndike).21
ESTRUCTURALISTAS
Las teorías estructuralistas parten de la idea de que el sujeto tiene una estructura
mental que permite organizar las experiencias que ha vivido hasta entonces.
Cuando este sujeto se relaciona con nuevos problemas del entorno, los relaciona
con las experiencias previas. La primera tendencia es interpretar estos problemas
y buscar soluciones por medio de las estructuras y conocimientos previos. A este
proceso lo llama Piaget asimilación.
D. Ausubel hizo hincapié en que el aprendizaje debía ser significativo para el que
aprende. Entendía que un aprendizaje es significativo cuando se relaciona de
modo sensible con las ideas que el aprendiz ya posee. El grado de significación
depende de hasta que punto se relaciona la forma final y las que ya existían en la
estructura cognitiva. Se opone al aprendizaje memorístico. Para poder llevar a
cabo un aprendizaje significativo Bruner propone la enseñanza por descubrimiento
en el que el aprendizaje sea fruto de un proceso de relación del alumno con los
21 Gómez, Sánchez B. Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestros 2ª ed., Barcelona, Paidos. 1979
79
problemas, sin que se le presente el contenido a aprender, sino cuidando de que
el alumno lo descubra en el curso de su proceso de resolución de los problemas.
Actualmente, la forma de concebir el aprendizaje matemático es de tipo
estructuralista, especialmente cuando se refiere al aprendizaje de conceptos,
donde se considera que aprender es alterar estructuras, y que estas alteraciones
no se producen por medio de procesos simples, sino que se realizan de manera
global. Algunas cualidades de este tipo de aprendizaje son:22
1.- El aprendizaje matemático se realiza a través de experiencias concretas
Bruner propone que el aprendizaje de conceptos matemáticos se introduzca a
partir de actividades simples que los alumnos puedan manipular para descubrir
principios y soluciones matemáticas. Con objeto de que esta estrategia repercuta
en las estructuras, Bruner dice que hay que animar a los niños a formar imágenes
perceptivas de las ideas matemáticas, llegando a desarrollar una notación para
describir la operación.
El aprendizaje va de lo concreto a lo abstracto. Así, la enseñanza matemática
actual promueve que se trabaje con objetos concretos antes de pasar a establecer
las abstracciones.
Cuando estas abstracciones se han consolidado, entonces estamos en
condiciones de emplearlas como elementos concretos. Así, los números son una
abstracción, pero llegado un momento del aprendizaje matemático, estas
abstracciones pueden considerarse objetos concretos con los que realizar tareas
matemáticas, como descomponer un número en operaciones con otros números,
rellenar cuadrados mágicos, estudiar sus propiedades, etc.
22 Idem
80
2.- El aprendizaje tiene que arrancar de una situación significativa para los
alumnos.
Para que el aprendiz pueda llevar a cabo los procesos de equilibración, el
aprendizaje tiene que partir de una situación significativa. Esto exige que se
presente en forma de un problema del que el aprendiz pueda captar que encierra
un interrogante, y del que puede comprender cuando este problema está resuelto.
3.- La forma en que los aprendices puedan llegar a incorporar el concepto a su
estructura mental es mediante un proceso de abstracción que requiere de
modelos.
Dado que los conceptos matemáticos son abstracciones complejas, los aprendices
no pueden entrar en contacto con ellas si no es por medio de formas de
representarlos. Llamamos modelo a la representación simplificada de un concepto
matemático o de una operación, y está diseñada para comunicar la idea al
aprendiz. Hay varias clases de modelos, los modelo físico son objetos que se
pueden manipular para ilustrar algunos aspectos de las ideas matemáticas. Los
modelo pictóricos son representaciones bidimensionales de las ideas
matemáticas.
4.- Una de las formas de conseguir que el aprendizaje sea significativo para los
alumnos es mediante el aprendizaje por descubrimiento.
Propuesto por Bruner, el aprendizaje por descubrimiento sucede cuando los
aprendices llegan a hacer, por ellos mismos, generalizaciones sobre los conceptos
o fenómenos. El descubrimiento al que se llega en clase es descubrimiento
guiado.
5.- No hay un único estilo de aprendizaje matemático para todos los alumno.
81
Cada alumno tiene su propia idiosincrasia. Si concebimos el aprendizaje como un
cambio de estructuras mentales, tenemos que reconocer que estas estructuras
son subjetivas, que se afectan por motivos diversos y que actúan siguiendo
modelos distintos para esquematizar los problemas.
Podemos distinguir diversos estilos de aprendizaje, los alumnos que tienen mayor
propensión al aprendizaje de carácter social, llegan más fácilmente a aprender por
medio de conversaciones y acuerdos con sus compañeros, se dice que tienen un
estilo orientado al grupo.
Otros sujetos tienen que aprender partiendo de situaciones concretas,
relacionadas estrechamente con el concepto (dependencia del campo), mientras
que, por el contrario, otros son muy propensos a realizar aprendizajes genéricos
(independencia del campo). Otra variable que suele diferenciar el aprendizaje de
los alumnos se refiere al tiempo que necesitan para tomar decisiones, se llama a
esta variable tiempo cognitivo, y su valor indica otros estilos de aprendizaje.
Reconozcamos por último que la enseñanza no es la única forma de producir
aprendizaje. A veces los niños construyen conocimiento por si mismos a través de
interacciones con el entorno y reorganización de sus constructos mentales. A este
aprendizaje se le llama aprendizaje por invención.
TEORIAS DE LA INSTRUCCIÓN.
CONSTRUCTIVISMO.
El enfoque del constructivismo sostiene que el individuo tanto en los aspectos
cognoscitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos, no es un mero
producto del ambiente ni un simple resultado de sus disposiciones internas, sino
una construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la
interacción entre esos dos factores. El conocimiento no es una copia de la
82
realidad, sino una construcción del ser humano, que se realiza con los esquemas
que ya posee, con lo que ya construyó en su relación con el medio que la rodea.23
El modelo constructivista está centrado en la persona, en sus experiencias previas
de las que realiza nuevas construcciones mentales, considera que la construcción
se produce:
Cuando el sujeto interactúa con el objeto del conocimiento(Piaget)
Cuando esto lo realiza en interacción con otros (Vygotsky)
Cuando es significativo para el sujeto (Ausubel)
Cuando lo descubre por sí mismo (Bruner)
La concepción constructivista del aprendizaje y de la enseñanza se organiza en
torno a tres ideas fundamentales:
1. El alumno es el responsable último de su propio proceso de aprendizaje. Es él
quien construye el conocimiento y nadie puede sustituirle en esa tarea. La
importancia prestada a la actividad del alumno no debe interpretarse en el sentido
de un acto de descubrimiento o de invención sino en el sentido de que es él quien
aprende y, si él no lo hace, nadie, ni siquiera el facilitador, puede hacerlo en su
lugar. La enseñanza está totalmente mediatizada por la actividad mental
constructiva del alumno. El alumno no es sólo activo cuando manipula, explora,
descubre o inventa, sino también cuando lee o escucha las explicaciones del
facilitador.
2. La actividad mental constructiva del alumno se aplica a contenidos que ya
poseen un grado considerable de elaboración, es decir, que es el resultado de un
cierto proceso de construcción a nivel social. Los alumnos construyen o
23 http://www.monografias.com/trabajos23/aprendizaje-constructivista/aprendizaje-constructivista.shtml consultado en diciembre 2005
83
reconstruyen objetos de conocimiento que de hecho están construidos. Los
alumnos construyen el sistema de la lengua escrita, pero este sistema ya está
elaborado; los alumnos construyen las operaciones aritméticas elementales, pero
estas operaciones ya están definidas.
3.-El hecho de que la actividad constructiva del alumno se aplique a unos
contenidos de aprendizaje preexistente condiciona el papel que está llamado a
desempeñar el facilitador. Su función no puede limitarse únicamente a crear las
condiciones óptimas para que el alumno despliegue una actividad mental
constructiva rica y diversa; el facilitador ha de intentar, además, orientar esta
actividad con el fin de que la construcción del alumno se acerque de forma
progresiva a lo que significan y representan los contenidos como saberes
culturales. 24
24 COLL, Cesar. Un marco de referencia psicológico para la educación escolar. Citado en Corrientes pedagógicas Contemporáneas , Antología Básica UPN/ SEP. México, 1994. P 28-44
84
PLAN Y PROGRAMAS DE ESTUDIO 1993 SEP
Los fines que fundamentan los planes y programas de estudio, son los principios
que se desprenden de El Artículo Tercero de la Constitución, el cual define los
valores que deben realizarse en el proceso de formación del individuo así como
los principios bajo los que se constituye nuestra sociedad.
El Artículo Tercero señala que: “Todo individuo tiene derecho a recibir educación.
El Estado-Federación, Estados y Municipios, impartirá educación preescolar,
primaria y secundaria. La educación primaria y secundaria son obligatorias.
La educación que imparte el Estado tenderá a desarrollar armónicamente, todas
las facultades del ser humano y fomentará en él a la vez el amor a la patria y la
conciencia de la solidaridad internacional, en la independencia y la justicia.” 25
Del mismo modo señala que la educación que se imparta, tenderá a desarrollar
armónicamente, todas las facultades del ser humano, es decir, propone el
desarrollo armónico del individuo. Por otra parte, señala la Convivencia Humana
como la expresión social del desarrollo armónico, tendiendo hacia el bien común.
ENFOQUE.
El enfoque matemático está centrado en la resolución de problemas en diversos
ámbitos, tales como el científico, el técnico, el artístico y la vida cotidiana.
En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños parten de
experiencias concretas, y a medida que hacen abstracciones sucesivas, pueden
prescindir de los objetos físicos.26
25 Constitución política. De los Estados Unidos Mexicanos. Ed. Alco 2 000 26 Plan y Programas de Estudio 1993 SEP
85
El niño podrá por medio del diálogo, la interacción y la confrontación de sus puntos
de vista con sus compañeros y maestro, hacer de las matemáticas herramientas
funcionales y flexibles que le permita resolver situaciones problemáticas que le
planteen.
Contar con las habilidades, conocimientos y formas de expresión que la escuela
proporciona, permite la comunicación y comprensión de la información matemática
presentada a través de medios de distinta índole.
PROPÓSITOS GENERALES.
Los alumnos en las escuelas primaria deberán adquirir conocimientos básicos de
las matemáticas y desarrollar:27
La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer,
plantear y resolver problemas.
La capacidad de anticipar y verificar resultados.
La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.
La imaginación espacial.
La habilidad para estimular resultados de cálculo y mediciones
La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.
El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre
otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.
Los contenidos incorporados al currículum se han articulado en seis ejes:
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Medición
Geometría
Procesos de cambio
27 IBID
86
Tratamiento de información
Predicción al azar
PROGRAMA SEXTO GRADO.
Los números, sus relaciones y sus operaciones.
Números naturales
Números fraccionarios
Números decimales
Medición
Longitudes, áreas y volúmenes
Capacidad, peso y tiempo
Geometría
Ubicación espacial
Cuerpos geométricos
Figuras geométricas
Tratamiento de la información
Procesos de cambio
Predicción al azar
MARCO DE REFERENCIA PSICOLÓGICO PARA
EL CURRÍCULUM ESCOLAR
El actual currículum escolar está integrado por información de distintas fuentes
(análisis socioantropológico, psicológico, análisis pedagógico y también del
análisis disciplinar).
Las que tienen su origen en el análisis psicológico son las que tienen una
importancia especial, dado que al referirse a los procesos de aprendizaje y de
87
desarrollo del alumno, su pertinencia está asegurada cualquiera que sea el nivel
educativo y porque las informaciones que proporciona el análisis psicológico son
útiles para seleccionar objetivos y contenidos, para establecer secuencias de
aprendizaje que favorezcan al máximo la asimilación de los contenidos.28
El marco de referencia está delimitado por enfoques cognitivos, entre los que se
encuentran: La teoría genética de Piaget, referente a las formulaciones
estructurales clásicas del desarrollo operatorio y las elaboraciones más recientes
en torno a las estrategias cognitivas y los procedimientos de resolución de
problemas.
La teoría del origen sociocultural de los procesos psicológicos superiores de
Vygotsky en especial aquellos que se refieren a la manera de entender el vínculo
entre aprendizaje y desarrollo y la importancia de los procesos de relación
interpersonal.
La teoría del aprendizaje verbal significativo de Ausubel y su prolongación en la
teoría de la asimilación de R. E. Mayer dirigidas a explicar los procesos de
aprendizaje de bloques de conocimiento altamente estructurados.
Las teorías de los esquemas desarrolladas por autores como Anderson, Norman,
Rumelhart, Minsky y otros, que postulan que el conocimiento previo, organizado
en bloques interrelacionados, es un factor decisivo en la realización de nuevos
aprendizajes.
Los anteriores enfoques no son prescripciones educativas en sentido estricto, sino
principios generales que componen el currículum y que reflejan la manera de
concretar sus componentes, en las decisiones relativas a su estructura formal y en
las actuaciones que su desarrollo y utilización implican.
28 CESAR Coll. Bases psicológicas, citado en El niño desarrollo y proceso de construcción del conocimiento. Antología básica UPN 1994 Pág., 153-157
88
DE LA ARITMÉTICA AL ÁLGEBRA.
LENGUAJE.
El hombre para poder manifestar sus ideas e introducir aspectos de la realidad a la
mente, abstraerlos o transformarlos en ideas, ha tenido que crear una inmensa
variedad de elementos de comunicación llamados símbolos. Empleando los
símbolos se han creado estructuras de comunicación más complejas que han
generado las diferentes gamas de lenguajes entre los que se encuentran las
matemáticas. El lenguaje matemático, constituye uno de los elementos de
comunicación y comprensión más poderoso que ha inventado el hombre.
.
Para expresar el conocimiento matemático se hace uso continuo del lenguaje
ordinario. Las matemáticas tienen un lenguaje propio las palabras tienen un
significado muy propio y a menudo distinto del que comúnmente se les atribuye.
De esta insuficiencia nace la necesidad de generar sus propias palabras y reglas
para lograr decir todo aquello que en el lenguaje habitual no es posible decir.29
EL LENGUAJE Y LA FORMACIÓN
DE CONCEPTOS MATEMÁTICOS.
En la enseñanza aritmética hay que decidir sobre cual es el momento más
adecuado para introducir el vocabulario y los símbolos apropiados. Sin embargo,
el papel del lenguaje en la adquisición de conceptos constituye una verdadera
incertidumbre.
J. Piaget consideró al menos en sus primeros escritos que el lenguaje solo puede
reflejar, no determinar el desarrollo del conocimiento. El progreso lingüístico no es
el responsable del progreso lógico u operacional, es más bien al revés. El nivel
lógico u operacional es posiblemente el responsable de un sofisticado nivel de 29 Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp.
89
lenguaje En trabajos posteriores Piaget acepta que puede haber un desarrollo
paralelo del aspecto lingüístico y el cognitivo.30
Choat hace hincapié en la estrecha interdependencia entre lenguaje y desarrollo
conceptual, incluso si el aprendiz interacciona con el aspecto físico de la situación
de aprendizaje, los objetos, el elemento verbal es necesario como un significado
de comunicación y como un instrumento de representación individual. En la
adquisición del conocimiento matemático un nuevo concepto tiene una nueva
palabra.31
L. Vigotsky cree que el pensamiento y el lenguaje son independientes. Lo que si
está admitido es que un objetivo de la educación matemática es capacitar a los
niños para expresar sus ideas matemáticas verbalmente. Esto incluye la
capacidad para escuchar y para hablar sobre matemáticas, así como para leer y
escribir sobre ellas.32
Austin J. L y Howson A. G. sugiere que en los últimos años se ha hecho necesaria
una mayor comprensión lectora por parte de los alumnos, y no se presta atención
de que el nuevo vocabulario sea entendido.33
EL LENGUAJE HABITUAL
Y EL LENGUAJE DE LAS MATEMÁTICAS.
El lenguaje ordinario es necesario para la comunicación de ideas. En matemáticas
existen 2 niveles: el nivel semántico, donde los símbolos y las operaciones son
dadas con un significado claro y preciso, y el nivel sintáctico, en el que las reglas
pueden ser operadas sin referencia directa a ningún significado.
30 Piaget 1954 citado en, Ibid. 31 Choat 1974. citado en Ibid 32 Vygotsky 1962 citado en Ibid. 33 Austin y Howson 1979 citado Ibid
90
En matemáticas el lenguaje ordinario ayuda a interpretar el lenguaje simbólico,
ayuda a expresar su significado a pesar de que se cometan abusos
morfosintácticos, tales como rotura de reglas gramaticales, faltas de ortografía,
entre otros. Puede ser usado para expresar emociones, dar opiniones, discutir
cualidades etc,. Por el contrario el lenguaje de las matemáticas es más preciso,
está sometido a reglas exactas, no comunica su significado, y no puede expresar
emociones, juicios o valores. 34
Palabras como raíz, potencia, producto, matriz entre otros, tienen significados
diferentes en matemáticas y en el lenguaje habitual, de modo que produce
confusión a la hora de interpretarlas. Así mismo algunas palabras usadas en
ciertos contextos podrían ser evitadas ya que obscurecen su concepto, por
ejemplo pedir prestado en la sustracción, añadir un cero en la multiplicación por
diez, reducir una fracción, en la simplificación que connota hacerla más pequeña.
Existen otras palabras que son específicamente matemáticas como hipotenusa,
paralelogramo, isósceles, múltiplo etc que son poco familiares y frecuentemente
mal entendidas pues sólo las encuentran en sus lecciones de matemáticas. Y por
último están aquellas palabras que tienen igual significado en el lenguaje ordinario
y matemático y cuyo principal problema es saber que en efecto el significado es el
mismo. Algunos estudiantes piensan que una palabra del lenguaje ordinario toma
un significado misterioso cuando se emplea en matemáticas.
ESTADIOS DE DESARROLLO MATEMÁTICOS.
Una de las grandes ventajas que da el poder reconocer los estadios generales del
desarrollo intelectual de los niños y a través de estos saberes reconocer hasta
que punto pueden desarrollar tareas específicas de matemáticas, brinda una
34 Alonso, Fernando, et al. Ideas y actividades para enseñar álgebra. 1ª ed., Madrid, Síntesis, 1993, 199 pp.
91
información valiosa para el maestro que diseña y planea estrategias para sus
clases.
Los trabajos iniciales de Piaget, los posteriores de Collins K. F. y los de Chelsea35
señalan un camino en el desarrollo de los niños, del estadio operacional concreto
al estadio operacional formal, marcando 5 estadios matemáticos alternos a los de
Piaget.
(0) Preoperatorio ( 4-6 años)
(1) Temprano de operaciones concretas ( 7-9 años)
(2) Final de operaciones concretas (10-12 años)
(3) De generalización concreta (formal temprano 13-15 años)
(4) De operaciones formales (16 años en adelante.
Las edades correspondientes a los estadios son solamente orientativas, varían de
acuerdo a la cultura, de una a otra persona y de una a otra tarea. Es el orden de
sucesión de los estadios lo que permanece invariante.
Temprano de Operaciones Concretas.
Se manifiesta la capacidad de los alumnos para trabajar significativamente con
operaciones simples sobre elementos concretos, por ejemplo, la concreción de las
operaciones debe venir garantizada por algunas analogía física y la concreción de
los números, asegurada por la disponibilidad del material físico. El niño puede
calcular 6 + 3 = 9 imaginando un conjunto de seis y tres elementos colocados
juntos y contados. Aun con estas restricciones, el niño parece necesitar la
operación clausurada. Una expresión como 5 + 8 + 7 no tiene sentido para el niño,
puesto que no puede concebir 5 + 8 como representante de un número hasta que
35 Collins, Chelsea. Citado en Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp.
92
no tenga realizada la operación, es decir hasta que no tenga la clausura de la
misma. Las cuatro operaciones de la aritmética elemental son significativas
cuando se las utiliza por separado con números pequeños dentro de la
experiencia del niño. El niño puede relacionar tanto los números como las
operaciones con su mundo físico familiar.
Final de Operaciones Concretas.
Se caracteriza por la capacidad del niño para trabajar con cierto número de
operaciones en secuencia si los números se mantienen pequeños, y con números
grandes si forman parte de operaciones simples. De este modo pueden realizar
tareas de comparación como 5 + 8 + 7 con 5 + 8 + 3 ó 525 x 218 con 532 x
218 En el caso de números pequeños sin recurrir a la clausura y en el de
números grandes, el niño se ajusta a la clausura es decir cierra cada parte por
separado y compara.
Generalización Concreta.
Los niños pueden usar cierto número de operaciones, no asequibles físicamente,
en la medida en que tienen una garantía de que los elementos y sus
combinaciones pueden clausurarse en cualquier momento. Aun necesitan la
garantía de clausura, pero esto no significa que necesiten cerrar secuencialmente
operación por operación. Pueden determinar si el siguiente par de expresiones
son o no equivalentes, sin clausura.
417
417325x y
325405325x
Los alumnos de este nivel utilizan elementos generalizados. Están dispuestos a
entender y usar con significado la generalización.
93
Operaciones Formales.
El alumno no tiene necesidad de relacionar elementos, operaciones o la
combinación de ellos con modelos análogos físicos y puede tomar como realidad
un sistema abstracto. La clausura es ahora una propiedad matemática que puede
o no existir en un conjunto dado. El chico no relaciona la clausura con su propia
realidad física, sino que puede aplicarla a elementos abstractos y a operaciones
definidas. El alumno puede resolver problemas en los que las letras representan
números o variables que emplean una operación bien determinada. Este período
se caracteriza, por la habilidad de los niños para pensar más allá de la realidad
concreta. Razonamientos deductivos e inductivos, abstracciones reflexivas,
pensamiento proporcional que implican combinaciones de operaciones o de
variables.
LA TEORIA DE LOS HEMISFERIOS CEREBRALES.
La mayoría de las personas, tienen un hemisferio dominante y cada una de las
personas, necesita un balance entre el cerebro derecho e izquierdo para funcionar
saludablemente.
Actualmente muchos autores definen que cada uno de los hemisferios representan
procesos mentales diferentes, para ellos el hemisferio izquierdo constituye el
soporte del pensamiento abstracto, analítico y lógico asociado a las funciones
lingüísticas; el hemisferio derecho correspondería al pensamiento concreto, global,
intuitivo que corresponde a los procesos espaciales.36
36 Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp
94
Características en el procesamiento de la información
Características de los alumnos
Hemisferio izquierdo
-Piensa en palabras. -Procesa la información unidad a unidad. -Se organiza secuencialmente. -Procesa la información en el nivel abstracto del lenguaje y las palabras. -El trabajo se procesa de las partes al todo.
-Son muy hábiles para resolver actividades de lenguaje y expresiones verbales. Resuelven los problemas paso a paso. -Buenos en cálculo. -Expertos en la resolución de operaciones que construyen secuencialmente ( suma, multiplicación potenciación) -Ante problemas de planteo, buscan algoritmos para resolverlos.
Hemisferio derecho
-Piensa en imágenes -Procesa la información globalmente. Se ocupa de los aspectos visuales y espaciales. -Procesa la información visualmente y la comunica a través de acciones. El trabajo se procesa del todo a las partes
-Mira los problemas en conjunto y realiza la búsqueda de sus soluciones aproximándolas globalmente. -Buenos en la identificación de modelos, tanto espaciales como simbólicos. -Rápidos y creativos en la resolución de la vida real. -Parecen jugar metafóricamente con los problemas de planteo antes de resolverlos.
Esta clasificación puede identificarse sin dificultad, con dos maneras de comunicar
los conocimientos matemáticos que dependen o pueden depender de las
concepciones propias que sobre matemáticas tienen los enseñantes.
Distintas experiencias demuestran que mientras muchos niños son capaces de
progresar en un trabajo individual guiado por procesos espaciales, otros son
incapaces de avanzar en esos procesos, necesitando de esta forma un trabajo
más analítico y menos intuitivo.
95
Sharma identifica personas con orientación de hemisferios derecho y personas
con orientación de hemisferio izquierdo, con habilidades claramente diferenciadas
en cuanto a sus aptitudes matemáticas que dependen de las características
propias de cada uno de los hemisferios cerebrales para procesar la información.37
De acuerdo con las características de cada hemisferio se obtendrán alumnos con
habilidades específicas según el tipo de enseñanza recibida.
La enseñanza de las matemáticas en las últimas décadas ha enfatizado los
contenidos correspondientes al desarrollo de aspectos propios del hemisferio
izquierdo, en detrimento de actividades enfocadas a procesos característicos del
pensamiento espacial.
Carpenter T. P. indica que los pobres resultados en la resolución de problemas se
deben a la primacía de una enseñanza basada en aspectos verbales y lingüísticos
propios del lado izquierdo del cerebro. Asegura que de las tres etapas en la
resolución de problemas matemáticos:38
1. Hacer un esquema o dibujo de la situación planteada.
2. Aplicar los mecanismos propios del método de resolución elegido.
3. Reflexionar sobre el sentido de la solución encontrada.
Los pasos 1 y 3 constituyen procesos mentales propios del hemisferio derecho y
son omitidos por la mayoría de los alumnos que resuelven mal esos problemas.
Se pueden distinguir en matemáticas dos aspectos principales, lenguaje y
símbolos por una parte y representación espacial por otro, que deben ser
totalmente complementarios. Es por ello que el proceso de enseñanza-aprendizaje
de las matemáticas es necesario incluir múltiples actividades que provean
37 Sharma 1979. Citado por, Socas M. Martín. Iniciación al álgebra. Ed. Síntesis, 1ª edición, 1993, Madrid 38 Collins, Chelsea. Citado en Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp.
96
oportunidades para desarrollar paralelamente estas características que acaban de
ser señaladas.
SIMBOLOGÍA VISUAL Y VERBAL.
Visual Verbal
-Abstrae propiedades
espaciales, tales como forma,
posición.
-Más difícil de comunicar.
-Puede representar
pensamiento más individual.
-Integrador, muestra estructura.
-Simultáneo.
-Intuitivo.
-Abstrae propiedades que son independientes
de la configuración espaciales, tales como
número.
-Más fácil de comunicar
-puede representar pensamiento más
socializado.
Analítico, muestra detalles.
-Secuencial
-Lógico.
Skemp P. R. señala que la imaginación mental de las personas puede clarificarse
en dos tipos: visual y verbal, de manera que en la representación de los conceptos
matemáticos se plantean mediante estos dos sistemas. Para él los símbolos
verbales son la representaciones de la palabra oral y escrita y los símbolos
visuales están constituidos por diagramas de distintas clases.39
El lenguaje algebraico tienen mucho más en común con la simbolización verbal
que con la visual, aunque hay que tener en cuenta la importancia que el
componente gráfico posee sobre todo tipo de razonamiento lógico matemático que
se realice. De esta manera, habrá de tener en cuenta que en matemáticas se
utilizan con mucha frecuencia la combinación de ambos tipos de simbología.
39 Skemp,1980, citado en, Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp
97
Las características socializantes del sistema verbal explican su hegemonía sobre
el visual, por cuanto que su facilidad de comunicación contrasta sobre lo difícil que
resulta la expresión de una idea por una imagen.
La historia y la experiencia han mostrado la importancia de la visualización como
una herramienta fundamental para la comprensión de muchos argumentos y
fórmulas algebraicas. Este carácter algebraico de las matemáticas escolares es
debido al hecho de que no se es consistente del potencial que posee el sistema
grafico visual y de la insuficiencia de modelos que enlacen ambos sistemas
La visualización es de gran importancia pues ayuda a fundamentar la comprensión
de problemas aritméticos y muchos argumentos y fórmulas algebraicas.
LOS MODELOS
Los conceptos, según la teoría de Piaget, son el resultado se abstracciones que se
logran después de un proceso de percepciones y que va íntimamente unido al
concepto de clasificación. Por ello, el aprendizaje tendrá como finalidad la
formación y consolidación de dichas estructuras mentales que Skemp denomina
esquemas. 40
Si tenemos en cuenta que en matemáticas los conceptos están fuertemente
relacionados, organizándolos en unas estructuras básicas o esquemas,
disminuiremos la cantidad de conceptos a aprender, a la vez que facilitamos su
aprendizaje.
Para que los modelos sean válidos deben tener una doble función, por una parte,
han de permitir, describir u obtener soluciones totalmente acordes con la situación
planteada y por otra han de crear esquemas que el alumno pueda adaptarlos a
nuevos conceptos.
40 Ibíd..
98
De esta manera en ecuaciones de primer grado, los modelos permitirán pasar de
una simple situación problemática a la ecuación correspondiente, así los alumnos
se inician en la resolución y en el conocimiento de las reglas de manipulación de
expresiones algebraicas sencillas.
Los modelos que se propones son:41
INTUITIVOS.
Las relaciones matemáticas son modelos abstractos de realidades concretas.
Muchas veces en la elaboración de modelos abstractos se utilizan concientemente
o inconscientemente representaciones físicas o gráficas para las nociones que se
trabajan, Estas representaciones son modelos intuitivos, modelos de naturaleza
sensorial, que algunas veces no reflejar directamente una realidad.
En matemáticas uno de los modelos intuitivos más utilizados son los diagramas.
Un buen modelo intuitivo lo constituyen los cubos encajables para explicar
situaciones de volumen.
EXPLÍCITOS.
Los modelos se plantean explícitamente con uso de diferentes tipos de recursos
gráficos: gráficos de todo tipo, máquinas, ordinogramas, operadores, histogramas
etc,
ANALÓGICOS.
Los modelos son analógicos cuando pertenecen a una clase se distinta realidad
que representan. Por ejemplo, los bloque aritméticos multibase de Dienes para
conocer los sistemas de numeración y las operaciones.
41 Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp.
99
La analogía es utilizada constantemente en matemáticas. Polya distingue
diferentes tipos de analogías, que intervienen, tácita o explícitamente, en el
razonamiento matemático. 42
1ª categoría
Tanto el modelo como el original no usan explícitamente medios intuitivos, sino
solamente simbolismos numéricos algebraicos. Consideremos por ejemplo, el
caso de las operaciones con números imaginarios, definidos por analogía con los
números reales.
2ª categoría.
Se da cuando un término es intuitivo, generalmente una representación
geométrica, y el segundo término es una expresión simbólica. Las
representaciones geométricas de las funciones basadas en el isoformismo
fundamental entre números y figuras es el ejemplo más importante de esta
categoría.
3ª categoría.
El modelo es extramatemático, más específicamente una representación material
de los conceptos matemáticos. Los materiales estructurados (como ábaco o
regletas Cuisenaire) se encuentran en esta categoría. Pero también se pueden
incluir aquí las representaciones gráficas de los números o de los conceptos
geométricos.
La utilización de modelos juega un papel fundamental en la creación de conceptos
y procesos de razonamiento, pues permite hacer accesibles y manipulables
conceptos intelectualmente más difíciles, y para que esto ocurra es necesario que
el modelo cumpla las dos condiciones43.
42 Polya 1966, citado en Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp 43 Socas Martín M, et al. Iniciación al álgebra. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis, 205 pp.
100
1. Que la descripción o solución obtenida en el modelo sean igualmente
válidas en la situación que representan y.
2. Que el modelo tenga en sí mismo una autonomía con respecto a lo
representado.
Los modelos más recomendables para el estudio de ecuaciones, reglas de
manipulación de ecuaciones y resolución de ecuaciones son: balanza, diagramas,
máquinas, graficas y tableros de fichas.
Balanza.
La balanza de dos platillos de brazos iguales utilizada en forma de puzzle facilitará
la adquisición del concepto de ecuación, el uso de algunas reglas de manipulación
de igualdad y la resolución de ecuaciones sencillas.
En la balanza, se representa la ecuación como la situación obtenida al estar la
balanza en equilibrio. Supongamos que se desconoce el peso del barril y que la
balanza se equilibra colocando en un platillo 3 Kg. y el barril y en el otro 6 Kg.
El puzzle representado podemos escribirlo con palabras como:
peso del barril + 3 kg = 6 kg
101
Para pasar finalmente a esta situación de equilibrio con la ecuación
S + 3 = 6 o también como ¿ + 3 = 6
Buscar la solución será encontrar el equilibrio de nuevos, pero dejando en un
platillo solamente el barril. Para ello quitamos 3 Kg. de cada lado del platillo con lo
que nos queda la garrafa sola en un platillo.
expresado simbólicamente es S = 3
Con este modelo se puede llegar (realizando diferentes actividades) a
conclusiones sencillas que permitan usar algunas reglas de manipulación de
igualdades.44
Actividad en el modelo Ecuación
Si se añade o se quita el
mismo peso a los dos platillos,
la balanza sigue equilibrada
Si se suma o se resta el mismo número a los dos
miembros de una ecuación, ésta no varía.
Lo mismo ocurriría si multiplicáramos o
dividiéramos por un número uno de los miembros
de la ecuación, deberíamos hacer lo mismo en el
otro.
44 Alonso, Fernando, et al. Ideas y actividades para enseñar álgebra. 1ª ed., Madrid, Síntesis, 1993, 199 pp.
102
IMPORTANCIA DE LOS PROBLEMAS.
¿Qué es un problema? Polya lo definió como: “Tener un problema significa buscar
de forma consiente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente
concebido pero no alcanzable de forma inmediata.”45 Otra definición parecida es la
de Krulik y Rudnik “Un problema es una situación, cuantitativa o de otra clase, a la
que se enfrentan un individuo o un grupo, que requiere solución, y para la cual no
se vislumbra un medio o camino aparente y obvio que conduzca a la misma.”46
La psicología cognitiva, en las últimas décadas, colocó la resolución de problemas
en un primer plano de su estudio, concibiendo el problema de un modo amplio.
1. Se partía de unos datos originales.
2. Se plantea una meta por alcanzar.
3. Esta meta respondía a la necesidad del resolutor.
4. Se buscaba una estrategia que permitiera pasar de los datos originales a la
meta buscada.
5. Se ponía es práctica dicha estrategia.
Cualquier aprendizaje deberá estar enmarcado en la resolución de problemas. La
conclusión inmediata de todo ello era colocar a dicha resolución como eje
vertebrador del currículum. El alumno se enfrenta a una serie de problemas a
partir de los cuales construía, guiado por el profesor, los conceptos y relaciones
necesarios para, posteriormente aplicarlo sobre dichos problemas47.
Para Polya La resolución de un problema consiste a grandes rasgos en cuatro
fases bien definidas:
1. Comprender el problema. ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos?
45 George Polya. 1945 citado en http://nti,educa.canaria.es/rtee/didmat,htm consultado en diciembre 2005 46 Krulik y Rudnik 1980 Ibíd. 47 Maza Gómez, Carlos. Enseñanza de la multiplicación y la división. 1ª ed., Madrid, Ed síntesis 157pp.
103
2. Concebir un plan.¿Se ha encontrado con un problema semejante?
¿Conoce un problema relacionado con este? ¿ Podría enunciar el problema
de otra manera? Ha empleado todos los datos?
3. Ejecutar el plan.¿Son correctos los pasos dados?
4. Examinar la solución obtenida. ¿Puede verificar el resultado? ¿Puede
verificar el razonamiento?
Las fases anteriores caracterizan claramente al resolutor ideal, competente. Cada
fase se acompaña de una serie de preguntas al estilo socrático, cuya intención es
actuar como guía para la acción.
Los trabajos de Schoenfeld A.48 son por otro lado, la búsqueda inagotable de
explicaciones para la conducta de los resolutores de problemas. Propone un
marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del
comportamiento en la resolución de problemas.
1. Recursos cognitivos. Conjunto de hechos y procedimientos a disposición
del resolutor.
2. Heurísticas. Reglas para progresar en situaciones dificultosas.
3. Control. Aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.
4. Sistema de creencias. Nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de
las matemáticas y como trabajar en ella.
Cada una de tales componentes explica las carencias, y por lo tanto, el poco éxito
en la resolución de problemas. Así cuando a pesar de conocer las heurísticas no
se sabe cual utilizar o cómo utilizarlas se señala la ausencia de un buen control o
gestor de los recursos disponibles. Pero las heurísticas y un buen control, no son
suficientes, pues puede que el resolutor no conozca un hecho, algoritmo o
procedimiento específico del dominio matemático del problema en cuestión. En
48 Schoenfeld, citado en http:://nti.educa.rcanaria.es/rtee/didmat.htm consultado en diciembre 2005
104
este caso se señala la carencia de recursos cognitivos como explicación al intento
fallido en la resolución.
La mayor parte de las veces se carece de heurísticas. Se dispone de
conocimientos específicos del tema o dominio matemático del problema. Incluso
de un buen control, pero falla el conocimiento de reglas para superar las
dificultades en la tarea de resolución.
Las heurísticas son las operaciones mentales útiles en la resolución de problemas,
son como reglas o modos de comportamiento que favorecen el éxito en el proceso
de resolución, sugerencias generales que ayudan al individuo o grupo a
comprender mejor el problema y hacer progresos hacia su solución.
Entre las heurísticas más importantes se encuentran:49
1. Buscar un problema relacionado.
2. Resolver un problema similar más sencillo.
3. Dividir el problema en partes.
4. Considerar un caso particular.
5. Hacer una tabla.
6. Buscar regularidades.
7. Empezar el problema desde atrás.
8. Variar las condiciones del problema.
La característica más importante del proceso de un problema es que, por lo
general, no es un proceso paso a paso sino más bien un proceso titubeante.
El enfoque actual, plasma una visión de la matemática centrada en la construcción
social del conocimiento y una concepción de la enseñanza-aprendizaje centrada
49 http:://nti.educa.rcanaria.es/rtee/didmat.htm consultado en diciembre 2005
105
en el sujeto. El hecho de tomar como punto de partida para la construcción del
conocimiento matemático la propia experiencia y la reflexión sobre la misma con el
fin de ir avanzando progresivamente hacia niveles más elevados de abstracción y
de formalización lleva consigo importantes implicaciones para la enseñanza y el
aprendizaje de las matemáticas.
Brown M. y Borko H. señalan los criterios siguientes como necesarios para llevar a
cabo una buena enseñanza de las matemáticas:50
1. Conceder prioridad al trabajo práctico y oral, introduciendo únicamente las
actividades decontextualizadas y el trabajo escrito (utilización de nociones
simbólicas) cuando los alumnos muestren una comprensión de los
conceptos matemáticos y un interés por los mismos.
2. Conceder prioridad al trabajo mental (en especial al cálculo mental) con el
fin de profundizar los conocimientos matemáticos intuitivos antes de pasar a
su formalización.
3. Utilizar ampliamente actividades grupales de aprendizaje que favorezcan
los intercambios, la discusión y la reflexión sobre las experiencia
matemáticas.
4. Prestar especial atención al desarrollo de estrategias personales de
resolución de problemas, potenciando la inclusión en las mismas de los
conocimientos matemáticos que se vayan adquiriendo ( representaciones
gráficas y numéricas, registros de las alternativas exploradas, simplificación
del problema)
5. Utilizar los distintos ámbitos de experiencia de los alumnos, escolares y
extraescolares como fuentes de experiencias matemáticas.
Según estos criterios, los algoritmos de cálculo, las manipulaciones de símbolos y
la memorización de reglas no deben ya predominar en las matemáticas escolares,
50 Brown y Borko, 1992, citado es Ibíd.
106
lo que debe predominar es el razonamiento matemático, la resolución de
problemas, la comunicación y las conexiones.
CÁLCULO MENTAL.
Se entiende por cálculo mental el conjunto de procedimientos que, analizando los
datos por tratar, se articulan, sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para
obtener resultados exactos aproximados51
Los procedimientos de cálculo mental se apoyan en las propiedades del sistema
de numeración decimal, en las propiedades de las operaciones y ponen en juego
diferentes tipos de escrituras de los números, así como diversas relaciones entre
ellos.
La mayoría del cálculo que cotidianamente se hace fuera de la escuela es mental.
Muchas veces la respuesta no tiene por que ser exacta, basta con una
aproximación. Este tipo de calculo se caracteriza porque:
1. Es de cabeza.
2. Se puede hacer rápidamente.
3. Se apoya en un conjunto limitado de hechos numéricos.
4. Requiere ciertas habilidades: Conteos, recolocaciones, compensaciones,
descomposiciones, redistribuciones etc.
En este tipo de cálculo, la concentración, el hábito, la atención y el interés son
factores determinantes para lograr buenos resultados.
Algunas de las ventajas del cálculo mental son:52
51 Parra Cecilia Cálculo mental es la escuela primaria consultado en “Los problemas matemáticos en la escuela” Antología Básica, U P N 1994 pag.,119-144 52 Ibíd..
107
Los aprendizajes en el terreno del cálculo mental influyen en la capacidad
para resolver problemas.
Ante un problema los alumnos tienen que construirse una representación de
las relaciones que hay entre los datos y de cómo, trabajando con estos
datos, podrán obtener nueva información, que responda ésta a una
pregunta ya formulada o formulable por ellos mismos. El enriquecimiento de
las relaciones numéricas a través del cálculo mental favorece que los
alumnos, ante una situación, sean capaces de modelizarla, por anticipación,
o por reflexión.
El cálculo mental acrecienta el conocimiento en el campo numérico.
Las nociones matemáticas (los números, las operaciones) deben aparecer
en principio, como herramientas útiles para resolver problemas Solo
entonces estas herramientas podrán ser estudiadas en sí mismas, tomadas
como objeto. En este sentido, las actividades de cálculo mental proponen el
cálculo como objeto de reflexión, favoreciendo la aparición y el tratamiento
de relaciones estrictamente matemáticas.
Por ejemplo, cuando en distintos grados se propone buscar la manera más
rápida de resolver mentalmente cálculos como los siguientes, aparecen,
entre otros, procedimientos los que ponen en juego las propiedades de las
operaciones.
5 + 3 + 4 + 7 + 6 = 4 x 19 x 25 =
5 + 10 + 10 = 25 19 x 100 = 1900
125 + 95 = 9 + 7
(125 – 5 + 95 + 5 ) (9 + 1 + 7 – 1 )
120 + 100 = 220 10 + 6 = 16
108
Dichas propiedades permanecen en principio implícitas, y más tarde serán
reconocidas y formuladas.
El trabajo del cálculo mental habilita un modo de construcción del
conocimiento que favorece una mejor relación del alumno con la
matemática.
Ante una situación y a partir del análisis de los datos, los alumnos buscan
los procedimientos que les parecen más útiles, discuten sus elecciones y
analizan su pertinencia y validez, a través de esto se inscribe en el terreno
del cálculo lo que constituye el desafío central de toda didáctica; que los
alumnos puedan articular lo que saben con lo que tienen que aprender.
El cálculo mental favorece, aunque no es el único medio que los alumnos
establezcan una relación más personal con el conocimiento, en oposición al
frecuente sentimiento de ajeneidad que la mayoría de las personas tienen
con las matemáticas.
El trabajo de cálculo pensado debe ser acompañado por un acercamiento
progresivo del cálculo automático.
El cálculo mental es una vía de acceso para la comprensión y construcción
de algoritmos. Así alumnos se 2º grado, antes de aprender el algoritmo de
la suma, pueden resolver 28 + 23 de distintos modos.
20 + 8 + 20 + 3 = 28 + 20 + 3 =
40 + 11 = 51 48 + 3 = 51
Estos modos de resolución, donde la reflexión sobre el significado de los cálculos
intermediarios, es preponderante, facilitan la asimilación posterior de los
algoritmos.
109
La decadencia del trabajo oral y mental en las clases de matemáticas es
consecuencia de la falta de reconocimiento de la importancia que el cálculo mental
tiene en esta asignatura. Incluso los métodos del cálculo sobre papel se basan en
la realización mental de determinadas operaciones.
A medida que el niño crece necesita ir desarrollando los métodos de cálculo
mental que empleara a lo largo de su vida. En los años de primaria, debe
practicarse por todas las ventajas ya antes citadas.
MÉTODO WISKOBAS.
Con base a la propuesta hecha por El National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM) a principios de la década de los ochenta, el grupo holandés
Wiskobas, ha trabajando con niños acerca de la resolución de problemas, con un
método el cual lleva su nombre, y cuyo razonamiento se fundamenta en la
enseñanza de los algoritmos a través del planteamiento de problemas, dentro de
un contexto y no de una serie de ejercicios numéricos. Con ello se gana
motivación y acercamiento a las situaciones cotidianas.53
53 Maza Gómez, Carlos. Enseñanza de la suma y de la resta. 1ª ed., Madrid, Ed. Síntesis 157 pp
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
MANIPULACIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
110
Un alumno entra en actividad mental cuando se enfrenta a un problema, para lo
cual, antes de resolverlo deberá empezar por planteárselo.
Un problema aunque se vea sencillo, no es una acción psicológicamente simple.
Muchos alumnos parecen buscar con gran rapidez la operación que lo resuelva,
en algunos casos la elección es acertada y en otros no, esto sucede por no actuar
correctamente a través de todas las fases del problema.
ANÁLISIS
MANIPULACIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
PLANIFICACIÓN REPRESENTACIÓN NUMÉRICA
EJECUCIÓN
VERBALIZACIÓN
GENERALIZACIÓN
111
Análisis.
Analizar el problema supone leerlo bien, descomponer la información que se da en
él separar los datos conocidos de los desconocidos, apartar aquellos que no
forman parte del problema. No existe más que una manipulación verbal, sobre los
elementos del problema que resulta, imprescindible para un correcto
entendimiento del mismo. Un buen análisis ofrece a los estudiantes separar la
información relevante de la irrelevante, y expresar verbalmente en que consiste el
problema.
Hoy día se recomienda establecer una diferencia clara entre escritura aritmética y
lenguaje ordinario debido a que la escritura aritmética tiene cierta autonomía con
respecto al lenguaje ordinario, dado que el lenguaje aritmético es el más
importante en esta fase.
Manipulación.
Modelar con materiales las acciones planteadas por el problema, reflejan con
transparencia los distintos elementos del mismo. La manipulación con material
didáctico aparte de ser divertida se hace necesaria en cuanto que los elementos
del problema ya no son abstractos sino concretos.
En esta fase al lenguaje se le une la acción sobre los elementos del problema.
Analizarlos ya ha sido una forma de actuar pero ahora estos elementos han de ser
relacionados entre si y expresados mediante una representación icónica
Se ha comentado que la primera estrategia seguida por el niño consiste en
modelar con materiales las acciones planteadas por el problema, lo esencial de
estas manipulaciones es que reflejen con transferencia los distintos elementos del
problema.
112
Los materiales más elementales para trabajar desde los primeros grados entre
otros están: conjunto de fichas de uno o dos colores y por extensión, cualquier
conjunto de piezas discretas que se quieran tomar, pinzas, lentejas, garbanzos
etc.
Dos materiales semejantes vienen a ser los cubos unifix, cuadrados consecutivos
en distintas cantidades y las placas de puntos, ambos de forma plana, por lo que
su carácter ronda con lo gráfico. Más manipulativos, por su carácter tridimensional,
son los bloques multibase y las regletas Cuisenaire.
Representación gráfica.
La falta de representación viene a ser la etapa que fomenta mayor número de
equivocaciones. Una representación acertada de las relaciones que muestran los
datos del problema conlleva una adecuada realización del mismo, Si la
representación de estas relaciones es equivocada los errores se multiplican. De
ahí que hay que poner especial empeño en trabajar esta fase.
Máquina Operadora de Dienes
La máquina operadora de Dienes consiste en una entrada donde se coloca el
conjunto de partida, un operador que ejerce el cambio y una salida que cuantifica
el resultado. Esta máquina es tan útil en aritmética como en álgebra.54
54 Ibid
113
Entrada 8
*** ***** Entrada Salida Regla Salida 24 3 + 2 = 5 Fig. a) Fig. b) Entrada 4 Entrada 1 2 3 4 s Salida 1 3 5 7 2s -1 Salida 7 Fig. c)
La representación más sencilla es la figura a y b su utilidad se reduce a
estudiantes de nivel primaria en donde se visualizan claramente el planteamiento
de problemas de cambio sobre todo de suma y resta.
No obstante en álgebra se pueden utilizar máquinas más complejas que permita
distintas variantes de búsqueda : conocidas la entrada y la regla, buscar la salida,
o conocida la salida y la regla encontrar la entrada, o conocidas varias entradas y
salidas buscar la regla. Un ejemplo de máquina compuesta es la figura “c”
+ 2
X 3
X 2
-1
114
Balanza Numérica.
La balanza numérica es una de las representaciones graficas más recomendadas,
en ella se muestra claramente las acciones manejadas sobre los planteamientos.
La comparación entre las acciones efectuadas y su resultado, cobra una
dimensión diferente y necesaria.55
7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7
En este diagrama el signo = vendría a ser el pivote de la balanza. Dicho diagrama
representa un equilibrio entre las cantidades de la izquierda con los de la derecha,
facilitando posteriormente el concepto de ecuación algebraica.
Esta equivalencia que, por otro lado también se encuentran en la suma, resulta
particularmente transparente con este material. Dado que tal equivalencia es más
importante en los problemas de comparación, será en ellos donde se aconseje
emplear la balanza numérica.
Planificar.
Supone establecer submetas y caminos para alcanzarlas. Significa actuar
ordenadamente sobre los datos y relaciones descubiertos en la fases anteriores.
55 Ibid
115
Representación Numérica.
Una vez superado las fases anteriores, es entonces cuando se decide que
operación u operaciones se efectuarán, de manera tal que se pueda observar en
donde se encuentra la incógnita.
Diagramas de Fuson Willis
Habitualmente la introducción de la representación numérica se realiza a través de
las gráficas. En las representaciones numéricas, se coloca una etiqueta con el
número correspondiente a cada cantidad conocida y dejando en blanco aquella
que corresponda a la cantidad desconocida, posteriormente se introduce el signo
que le corresponda entre las dos cantidades iniciales, inmediatamente después el
signo = entre las anteriores y la final. Por último, se prescinde del diagrama y se
efectúan operaciones sobre sentencias numéricas las cuales pueden ser
canónicas o no canónicas.56
Sentencias canónicas.
a + b = a – b =
Sentencias no canónicas.
a + = c - b = c a - = c
Por sus consecuencias posteriores pero sobre todo, por la potencialidad de su uso
en el primer año escolar, parece recomendable trabajar con sentencias no
canónicas y canónicas simultáneamente en el momento de introducir las
representaciones numéricas.
56 Ibid
116
Ejecución
La etapa de ejecución es ya simple puesto que consiste en realizar las acciones
planificadas antes.
Verbalización
El platicar con los compañeros acerca de los pasos que se siguieron para resolver
el problema, el confrontar y comparar resultados y procedimientos ayuda a que se
cree una visión amplia en cuanto a la resolución de problemas.
Generalización
Por último una revisión de lo conseguido debe complementarse con la
generalización del problema, extendiendo su formulación de manera que a partir
del primero, se aborden otros problemas relacionados con él.
117
METODOLOGÍA.
La investigación en educación matemática, es un área que ha crecido
significativamente en nuestros tiempos, las actividades asociadas a ella cubren
aspectos como la elaboración de teorías de enseñanza o aprendizaje, actividades
de innovación, producción de materiales, textos didácticos y su experimentación
en las aulas, pasando por investigaciones que analizan los procesos de
aprendizaje de los estudiantes, las dificultades en la comprensión de conceptos
matemáticos o el desarrollo de métodos alternativos de enseñanza siendo este
último, tema del presente trabajo.
Toda investigación debe estar inscrita en un determinado paradigma, el cual
marca los pasos sobre lo que es relevante ser investigado y cómo debe ser
investigado. La presente investigación, está basada en el Paradigma Dialéctico
Crítico, cuyo propósito es el mejorar la práctica educativa e involucrar a los
participantes de dicha práctica en la producción de esa mejora.
El Paradigma Dialéctico Crítico tiene como precedente el cuestionamiento a los
enfoques de tipo empirista, los cuales se inclinan hacia planteamientos filosóficos
de corte hipotético deductivo, en los que se plantea la neutralidad de la ciencia.
Dicho método está integrado por tres etapas las cuales son: propuesta de
hipótesis, deducción a partir de la hipótesis y verificación de la deducción
mediante observación o experimentos.57
El también llamado paradigma cualitativo, fenomenológico, hermenéutico,
subjetivo, intenta sustituir las nociones científicas de explicación, predicción y
control del paradigma positivista por las funciones de comprensión, significado y
acción, del paradigma dialéctico crítico, busca la objetividad en el ámbito de los
57 Raúl Acínar, Josefina Q., Investigación pedagógica y formación del profesorado OEI Revista Iberoamericana de Educación. 1997 V: 24, p. 7-10
118
significados utilizando como criterio de evidencia el acuerdo intersubjetivo en el
contexto educativo.
De igual manera, se centra en comprender la realidad educativa, desde los
significados de las personan involucradas y estudia sus creencias , intenciones,
motivaciones y otras características del proceso educativo no observables
directamente ni susceptibles de experimentación.
Desde la perspectiva crítica, los problemas parten de situaciones reales y tiene por
objeto transformar esa realidad cara al mejoramiento de los grupos o individuos
Implicados en ella. por tanto, los problemas de Investigación arrancan de la
acción; la muestra de estudio la constituye el propio grupo que aborda la
investigación; se trabaja generalmente con muestras pequeñas y estadísticamente
no representativas.
A pesar de utilizar métodos cualitativos y cuantitativos, en la recogida de datos se
pone un mayor énfasis en los aspectos cualitativos y en la comunicación personal;
las técnicas de recogida de datos tienen un carácter abierto originando multitud de
interpretaciones y enfoques, prevalece el carácter subjetivo tanto en el análisis
como en la interpretación de resultados.58
La pedagogía crítica encuentra su sustento en la teoría crítica. En la escuela de
Frankfurt los intelectuales y filósofos polemizaron sobre la fuente del conocimiento.
La teoría crítica inventó una nueva manera de leer la realidad, capaz de responder
a las problemáticas sociales del mundo moderno; esta corriente se ha constituido
en un punto de referencia en la búsqueda de una educación desde el enfoque
crítico.
58 Villareal M, Estelet C., Una caracterización de la Educación Matemática en Argentina. Revista de Educación Matemática en Argentina .2002 V. 17, P. 18-43. Universidad Nacional de Córdoba.
119
Los teóricos críticos, ven a la escuela como una industria política y cultural, en
donde se raciona el conocimiento en estratos divididos en clases, raza, poder y
género, produciendo la desigualdad, y favoreciendo los intereses de la cultura
dominante.
La pedagogía crítica se funda en la convicción de que para la escuela es una
prioridad ética dar poder al sujeto y a la sociedad sobre el dominio de habilidades
técnicas, que están primordialmente atadas a la lógica del mercado de trabajo.
Las escuelas según Henry Giroux deben ser espacios donde se cuestione la
dominación para cambiar dichas estructuras dominantes y antidemocráticas. Las
escuelas son lugares donde tienen formas alternativas de conocimiento, de
valores y de relaciones sociales, en ellas estudiantes y maestros críticos pueden
realizar una acción cultural. 59
En suma, se requiere pues que las instituciones educativas se conviertan en un
espacio abierto donde la comunidad se incorpore a la vida escolar y viceversa; de
esta manera, docentes y estudiantes se transformarán en investigadores de su
propio contexto. La ciencia, entonces, debe ser vista en un contexto desde el cual
surge y hacia donde se vierten sus efectos.
LA INVESTIGACIÓN ACCIÓN
Las comunidades educativas, no solo pueden mejorar aquello que hacen, sino
también comprender lo que hacen, esto se logra mediante la investigación acción.
Esta tendencia pedagógica aparece y se desarrolla en consecuencia con el hecho
de que todo cambio social y dentro de este contexto científico, propicia la aparición
y el desarrollo de la llamada investigación participativa y conjuntamente con ella
su variante, la investigación acción.
59Giroux, Henry Las escuelas públicas como esferas públicas democráticas. En Antología Básica U P N/ SEP. México, 1994. P 130-143
120
La investigación de la acción constituye un proceso en el cual se encuentran
involucrados, tanto el investigador como el investigado, los cuales hacen suyos los
mismos objetivos en un plano de interacción sujeto-objeto, llegándose así a
conocer de manera más amplia y profunda, al tiempo que enfrentan juntos la
problemática, es decir, sujeto objeto participan en su propia transformación como
seres humanos propiciando la transformación de su realidad.
Esta tendencia pedagógica transcurre en su desarrollo por cuatro etapas: la
problematizadora, de concientización, de dinamización y la de socialización,
adecuadamente articuladas en correspondencia con el fenómeno estudiado.60
La investigación acción como tendencia pedagógica contemporánea, en su praxis,
no deja de ser un método de gran valor en el abordaje de problemas relacionados
con la escuela, familia y en sentido más general con la comunidad.
De esta manera, la investigación acción educativa, pretende crear teoría educativa
generada por los mismos maestros en su cotidianeidad a partir de la comprensión,
la reflexión y la acción. La acción participativa de los sujetos se considera como
una praxis, en la que teoría y práctica se unen en la acción para generar el
cambio.
La investigación acción aplicada al aula y a la escuela puede ayudar a los
maestros y demás actores a solucionar sus problemas. Tiene sustentos
metodológicos porque busca explicaciones o causas de los hechos estudiados,
para poder actuar sobre ellas. En esto ayudan las tradiciones cualitativas
predominantemente hermenéuticas o interpretativas, tanto como las que tienen
pretensiones explicativas mas allá de la interpretación.
60 http://www.monografias.com/trabajos13/teapre/teapre2.shtml#ed
121
La tendencia de la investigación acción es procurar que los docentes reflexionen
sobre la práctica de la educación a partir de la comprensión de los problemas que
los rodean donde los alumnos también son participantes activos.
Los profesores a través de este tipo de investigación, reflexionan sobre la forma
en que las estructuras del currículum configuran la pedagogía. La investigación
acción educativa supone el estudio de las estructuras curriculares, de no ser así
quedaría reducida a una forma de racionalidad técnica orientada al
perfeccionamiento de las destrezas técnicas del docente61
PEDAGOGÍA OPERATORIA
La pedagogía operatoria contemporánea, subraya el carácter activo que tiene el
sujeto en la apropiación del conocimiento de la realidad, enfatiza que los
procedimientos utilizados en la enseñanza deben estar dirigidos a propiciar las
condiciones para que el alumno construya por si mismo su reflejo del mundo,
evitando ofrecérselo como algo terminado.
Esta tendencia pedagógica concibe el conocimiento como una construcción que
realiza el individuo mediante su actividad de enfrentamiento con el medio,
resultando comprensible para el sujeto, en función de los instrumentos
intelectuales que ya posea con anterioridad, o lo que es lo mismo de las
estructuras operatorias preestablecidas de su pensamiento.
La concepción pedagógica operatoria le asigna un papel esencial al error que el
individuo puede cometer en su interpretación de la realidad, no como una falta
sino como pasos necesarios en el proceso constructivo del conocimiento de la
misma, de aquí que tales errores formen parte de la interpretación del mundo por
61 Elliot John. Las características fundamentales de la investigación acción. en Investigación de la práctica docente propia. Antología Básica UPN/ SEP. México, 1994. P 35-41
122
el individuo, lo que permite organizarla de acuerdo a los instrumentos intelectuales
que posee y a sus conocimientos anteriores,
En esta tendencia pedagógica el individuo descubre los conocimientos, lo cual es
favorecido por la enseñanza organizada de manera tal que favorezca el desarrollo
intelectual, efectivo-emocional y social del educando.
La pedagogía operatoria debe estar centrada en el niño y estar adaptada a su
actual estado de desarrollo, aunque existe una relación dialéctica entre desarrollo
y aprendizaje, no es conveniente forzar el desarrollo mediante la instrucción; los
estadios tienen un ritmo madurativo y hay que respetar su evolución espontánea.
El principio operativo más importante en la práctica educativa es primero la
actividad. El niño debe descubrir el mundo a través de su actuación directa sobre
él. La educación debe preparar su escenario de actuación.
La enseñanza debe centralizarse en el desarrollo de las capacidades operativas y
no en la transmisión de contenidos, propiciando un aprendizaje permanente
123
TIPO DE PROYECTO
El presente proyecto nace dentro de la práctica educativa en donde el profesor,
alumno y comunidad, se encuentran involucrados en una problemática
significativa, la cual requiere de análisis, comprensión y solución en beneficio de la
comunidad estudiantil.
Debido a las características de la presente investigación y de acuerdo a la
problemática estudiada, se trabajará sobre el proyecto pedagógico de acción
docente, ya que ofrece un tratamiento educativo y no solo instruccional al
problema que enfatiza la dimensión pedagógica de la docencia.
Para que este proyecto se dé, en necesario que el colectivo escolar se involucre
en la problemática para que juntos, analicen, dialoguen, y propongan alternativas
en la acción misma de la práctica para constatar los aciertos y superar los errores.
El proyecto pedagógico de acción docente permite pasar de la problematización, a
la construcción de una estrategia de acción mediante la cual se desarrollará una
alternativa crítica de cambio que permita ofrecer respuestas de calidad,
considerando las condiciones concretas en que se encuentra tanto la escuela
como los alumnos.
La alternativa deberá estar sujeta a un proceso crítico de evaluación para su
constatación, modificación y perfeccionamiento, favoreciendo con ello la formación
de los alumnos y el desarrollo profesional de los profesores, porque en su
realización pone énfasis en buscar una educación de calidad para ambos.
El proyecto pedagógico de acción docente, se construye mediante una
investigación teórico práctica, preferentemente en una muestra pequeña (en un
grupo fijo de una escuela determinada) con una propuesta alternativa la cual se
desarrollará en corto tiempo, para llegar a innovaciones mas de tipo cualitativos
124
que cuantitativos, logrando modificar la práctica que se hacía antes de iniciar el
proyecto, tratando de superar lo diagnosticado previamente, con la perspectiva de
que si se lograse innovar lo referente al problema, poco a poco se modificarían
otros aspectos y con el tiempo transformar la docencia.
El soporte material del proyecto, no puede ser de gran alcance, ya que este va en
concordancia con los recursos económicos del profesor, por lo que se deben
tomar en cuenta los recursos disponibles y las condiciones existentes para llevar a
cabo el proyecto.
El proyecto pedagógico de acción docente, requiere de creatividad e imaginación
pedagógica y sociológica. Si se parte de un conocimiento profundo de la situación
propia, se podrán construir proyectos innovadores, creativos con cierto grado de
originalidad, que promuevan nuevos escenarios educativos.
125
ALTERNATIVA.
De acuerdo con el marco teórico presentado y el enfoque matemático establecido
en el Plan y Programas de la SEP se ha elaborado la presenta alternativa, con el
único fin de apoyar a los estudiantes a tener un mejor enlace entre conocimientos
aritméticos y algebraicos.
La alternativa está constituida por 18 sesiones de 2 hrs. cada una. La aplicación
se efectuó los días martes y jueves de 9 a 11 a m. En cada una de las sesiones de
trabajo, se aplicaron 5 ejercicios de cálculo mental.
En innumerables ocasiones, se ha marcado la estrecha relación que guardan los
problemas aritméticos y algebraicos, por lo que la presente propuesta, inicia con la
resolución de los primeros, a través del método Wiskobas, el cual presenta una
metodología a seguir para la resolución de problemas.
Dicho método, esta propuesto por sus autores, para iniciarse en la resolución de
las 4 operaciones básicas a partir del planteamiento de problemas. Este método
se aprovechará para aplicarlo a problemas generales además de repasar las
operaciones básicas, sobre todo con aquellos niños que tienen problemas para
resolverlas.
La propuesta es aplicable al presente proyecto, dado que la teoría nos indica que
primero se le debe plantear al alumno un problema en donde por medio de la
actividad mental, este pueda llegar a sus propias conclusiones. Por lo tanto para
llegar al propósito deseado, el estudiante deberá aprender a resolver problemas
aritméticos por medio de las etapas propuestas en el método Wiskobas, para
posteriormente vincularlos con las ecuaciones de primer grado.
Antes de iniciar con el método propuesto, se hace necesario que los alumnos
dominen correctamente los términos de las operaciones básicas los cuales son:
126
84 sumando 325 minuendo + 68 sumando - 233 sustraendo _________________ ______________ 152 suma o total. 92 resta o diferencia 25 multiplicando o factor 8 cociente x 3 multiplicador o factor divisor 354 dividendo ____________ 3 residuo 75 producto
73
= numerador
denominador Se debe hacer hincapié con los alumnos, del uso correcto del lenguaje aritmético
en beneficio del algebraico, en donde se utilizaran un poco más los términos de
sumandos, suma, diferencia, factores, producto, y cociente.
El buen uso del lenguaje aritmético desde primaria traerá grandes beneficios al
momento de utilizarlo en secundaria.
Una vez afirmado lo anterior, se pasa a la aplicación del método Wiskobas. El
cual está integrado por las siguientes etapas: análisis, manipulación,
representación gráfica, planificación, representación numérica, ejecución,
verbalización y generalización.
El alumno debe dominar cada una de ellas. no siendo necesario que las aplique
todas cuando inicia sus primeros estudios, sino más bien se debe avanzar
gradualmente. Una vez que se domine la primera etapa, se podrá pasar a la
siguiente, dándole su debido tiempo a cada una de ellas. En la medida en que
domine el método podrá tener éxito en la resolución de problemas aritméticos y en
consecuencia los vinculará más fácilmente con los algebraicos.
127
ANÁLISIS.
En esta fase se invita al alumno a descomponer la información que se da en el
problema, para lo cual una buena técnica pudiera ser separar en una hoja los
datos conocidos de los desconocidos auxiliándose con las siguientes preguntas.
¿Cuáles son los datos?
¿Cuáles conozco?
¿Qué se desea encontrar?
¿Cuál es la incógnita?
¿Qué condiciones cumplen los datos del problema?
En esta fase resalta entonces el papel del lenguaje matemático como el más
importante.
MANIPULACIÓN
Cuando se resuelven problemas por medio del método Wiskobas, la manipulación
de material didáctico como lo pueden ser las regletas Cuisenaire y los cubos
unifix, resultan de gran apoyo para la construcción de conceptualizaciones como
lo puede ser, la concretización de las operaciones básicas, el sistema de
numeración decimal, convenios de notación, tablas de multiplicar, reconocimiento
de factores, divisores, sumandos, número al cuadrado, número al cubo, variables,
raíz cuadrada, raíz cúbica, las propiedades, conmutativa, asociativa y distributiva,
entre otros.
Todos estos conceptos, sin exceptuar ninguno son utilizados en álgebra, por lo
que es recomendable, trabajar los problemas de forma natural y dejar que las
conceptualizaciones anteriores sean descubiertas por los educandos por medio
del manejo de material.
128
Para poder resolver problemas por medio del material, se hace necesario el dar a
conocer el manejo correcto de este, al hacerlo se aprovecha para impartir algunos
de los conceptos que más adelante se utilizarán.
Regletas Cuisenaire
Este material está compuesto por regletas que materializan los conceptos de los
números dígitos, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Las regletas miden exactamente en
centímetros el número que representan quedando de la siguiente manera, cada
regleta se identifica con la inicial de su color, pero como algunas letras se repiten
las segundas se identifican con mayúscula. quedando así: b = blanca, r = roja,
v = verde claro, R = rosa, a = amarillo, V = verde fuerte, n = negro, c = café,
A = azul, N = naranja
Se recomienda hacer varios ejercicios planeados con anterioridad por el maestro
para que el estudiante mediante la práctica descubra lo esperado. Con los
siguientes ejercicios, se pretende que el alumno descubra, sumandos, factores,
divisores, variables, el carácter bidireccional del signo igual, una forma diferente
de expresar la multiplicación así como la propiedad conmutativa de la suma y
multiplicación.
129
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b r v R a V n c A N
Con la regleta del 8 (café) encuentra con cuales otras puedes tener la misma
longitud, estas pueden ser de cualquier color, aun cuando se repitan.
A las regletas así expuestas se le da el nombre de tablero.
c
R R
r V
b A
v a
b b b b b b b b
130
Las combinaciones encontradas por los niños son muy numerosas, esto se puede
aprovechar para cuestionarlos y anotar en el pizarrón las diferentes
combinaciones que obtuvieron, algunas de ellas entre muchas otras pudieran ser:
R + R = c r + V = c b + A = c, v + a = c r + v + v = c v + v + r = c
4+ 4= 8, 2 + 6 = 8, 1 + 7 = 8, 3 + 5 = 8, 2 + 3 + 3 = 8, 3 + 3 + 2 = 8
b + b + r + R = c R + b + b + r = c
1 + 1 + 2 + 4 = 8 4 + 1 + 1 + 2 = 8
Cuando el alumno ha dado sus respuestas el maestro las planteará inicialmente
por sus correspondientes letras (las cuales más adelante se manejaran como sus
primeras variables), posteriormente se sustituyen por su valor numérico y se
forman diferentes planteamientos con los resultados, para que reflexiones sobre
ellos.
4 + 4 = 2 + 6 1 + 7 = 3 + 5 2 + 3 + 3 = 3 + 3 + 2 1 + 1 + 2 + 4= 4 + 1 +1+2
Se les invita a reflexionar si los anteriores planteamientos son correctos y se les
pregunta. De acuerdo a los términos de las operaciones,
¿Cómo se llaman todos estos números?
Con ello se les induce a descubrir los sumandos.
De igual manera se les hace notar el carácter bidireccional del signo igual, y como
este funciona para hacer equivalentes ambas expresiones. En las dos últimas, se
observa claramente la propiedad conmutativa de la suma, se hace conciencia
entre el alumnado para revisar si son los mismos sumandos y se plantea la
pregunta, si están correctamente escritos quiere decir que,
¿El orden de los sumandos no altera la suma?
131
Con lo que queda confirmada la propiedad conmutativa de la suma.
Con el siguiente ejercicio de sumas y restas a partir del tablero del cuatro el
alumno trabajará de forma intuitiva sus primeros conceptos algebraicos.
Al igual que en el los planteamientos del tablero del 8 se trabaja primero con las
letras, las cuales se sustituirán posteriormente por su valor numérico.
1) 2) 3)
Planteamiento R = v + 2b + r = 2b + = R Sustitución __ = __ + 2 x __ + __ = 2 x__ + = ___ 4) 5) 6) Planteamiento R= r + b + + b = R R = 3b + Sustitución __ = __ + __ + + ___ = __ __ = 3x __ + 7) 8) 9) Planteamiento 2r = = b + b + b + b + r = R Sustitución 2 x __ = = __ + __ + __ +__ + __ = __ Estos serían sus primeros ejercicios algebraicos, aunque de una manera intuitiva,
ya que manejan sin darse cuenta el uso correcto de variables.
R
b b b b
r r
b v
132
Forma el tablero del número 12 e iguala su longitud pero ahora con regletas del
mismo color
La preguntas obligada a los alumnos es:
¿En el tablero del 12 qué regletas del mismo color encontraste?
Sus respuestas deben ser: v, R, V, r, b, siendo sus valores: 3, 4, 6, 2, 1, 12
¿Qué relación tienen estos números con respecto al 12?
A la conclusión que se espera lleguen es de que son los divisores ya que el 12 se
puede dividir en forma exacta entre cada uno de ellos, sus diferentes
representaciones quedarían:
12 entre 4 = 12 ÷ 4 = 4
12 = 4 12 = 3 12 entre 3 = 12 ÷ 3 =
312
= 3 12 = 4
12 entre 2 = 12 ÷ 2 =2
12 = 2 12 = 6 12 entre 6 = 12 ÷ 6 =
612
= 6 12 = 2
12
v v v v
R R R
V V
r r r r r r
b b b b b b b b b b b b
133
12 entre 12 = 12 ÷ 12 = 1212
= 12 12 = 1 12 entre1 = 12÷1 = 1
12 = 1 12 = 12
De esta forma se trabaja de forma correcta los símbolos de operaciones, en este
caso las diferentes formas de representar la división
Ahora bien, del mismo tablero ¿Qué significa obtener 3 regletas rosas (4), o 2
regletas V (6), o 6 regletas r (2) etc.
La relación es que ambos números son factores del 12, tenemos entonces que:
3R = 12 2V = 12 6r = 12 4v = 12 12b = 12
La anterior representación se puede aprovechar para cuestionar a los alumnos.
¿Cuánto nos da 3 regletas rosas?
Los niños contestan rápidamente 12, pero cuando se les pregunta ¿Cómo llegaron
tan rápidamente al resultado? ¿Qué operación mental hicieron realmente? la
mayoría concluye que hacen una multiplicación y no suman de uno en uno, con lo
que debe quedar claro, que una forma más de representar una multiplicación es
ésta precisamente. Un número unido a una letra es sinónimo de multiplicación, por
lo tanto quedarían representados de la siguiente forma.
3 x 4 = 12 2 x 6 = 12 6 x 2 = 12 4 x 3 = 12 12 x 1 = 12 1 x 12 = 12
Con la anterior representación se cuestiona al alumno si es lo mismo
3 x 4 = 4 x 3 = 12 2 x 6 = 6 x 2 = 12 12 x 1 = 1 x 12 = 12
134
Es decir 3 regletas rosas de valor 4 es lo mismo que 4 regletas verdes de valor 3
¿Podríamos concluir que el orden de los factores no altera el producto?
Planteado de esta forma quedará establecida la propiedad conmutativa de la
multiplicación. De esta propiedad, se puede aprovechar el que las tablas de
multiplicar se reducen a la mitad, si a esto le aumentamos que existen números
como el 12 que tiene 4 representaciones, las tablas se reducen a 37, se les puede
invitar a los niños a que encuentren estas 37 combinaciones irrepetibles.
Bloques Unifix.
Los bloques unifix son cubos de madera de 2 cm de arista, en tres colores: verde,
azul y rojo las unidades son representadas por el color verde, las decenas de color
azul y las centenas de color rojo. Estos cubos, funcionan tal como lo hace el
sistema decimal, los cubos verdes representan las unidades y por cada 10 se
135
cambia por uno de color azul que representa una decena, cuando se forma 10
decenas, estas se cambian por una centena, o sea un cubo rojo.
El alumno puede concretizar cada una de las operaciones y entender como
funciona el sistema decimal.
Al pedirle al alumno que represente por ejemplo el número 325 no solo se le
imparte el concepto de unidad decena y centena, sino que lleva implícito los
valores absoluto o propio, relativo y posicional, valores importantes y necesarios
para el álgebra, con la consecuente ventaja de que concretice estos valores y
pueda hacer otras representaciones numéricas relacionadas al álgebra
= 325 o lo que es lo mismo que:
Valor absoluto o propio Valor relativo Valor posicional
3 3 300 3 centenas
2 2 20 2 decenas
5 5 5 5 unidades
Expuestos los cubos de esta forma, los niños pueden apreciar fácilmente el valor
absoluto o propio el cual será únicamente la cantidad de cubos que hay en cada
color, es decir no importa la posición de estos, lo importante es el número.
En cuanto al valor relativo se puede invitar al niño a que reflexione en las palabra
que utiliza para nombrar el número estudiado, para lo cual puede hacerlo
lentamente, con ello descubrirá que menciona el mismo valor que tienen en
conjunto cada color es decir: trescientos – veinti - cinco con lo que observaran la
notación desarrollada utilizada en sus ejercicios del libro de texto.
136
Por último tenemos el valor posicional y es el correspondiente al lugar ocupado
dentro del sistema de numeración decimal.
Tomando en cuenta los anteriores valores, el alumno podrá hacer uso de ellos
para poder representar números con diferentes notaciones.
Para cuestiones algebraicas, son importantes las siguientes notaciones de las
cuales el alumno puede deducir que.
325 = (3 x 100) + (2 x 10 ) + 5
Que no es otra cosa más que la notación desarrollada, desde luego que la
ejercitación constante ayudará a que el niño la descubra y obtenga habilidades
para realizar diferentes notaciones.
325 = 300 + 20 + 5
En cuanto a las operaciones estas se realizan de la siguiente forma.
SUMA
68 + 25 =
Al unir el material en una sola línea, el alumno ve la necesidad de simplificarlo y
cambiar 10 unidades por una decena, quedando de la siguiente manera.
= 93
RESTA
35 – 23 =
137
Primero se representa el minuendo, posteriormente se elimina el sustraendo,
quedando de la siguiente forma.
Esta resta es muy sencilla sin embargo cuando se les presenta la resta 400 - 138,
los niños tienen que hacer otro tipo de reflexiones, ¿Cómo restarle 8 unidades y 3
decenas si el 400 no tiene en cubos ninguno de ellos?
Esta resta se resuelve en la medida en que el estudiante comprende el sistema
decimal y puede hacer las conversiones necesarias, es decir una centena la
cambiará por diez decenas.
Y una decena en diez unidades.
Sigue estando representado el número 400 pero ahora si podemos restarle el 138
Con lo que queda.
= 262
138
MULTIPLICACIÓN.
En cuanto a las multiplicaciones su enseñanza parte de la suma reiterada, aunque
se debe aclarar que la multiplicación es de naturaleza binaria, que puede
representarse como una suma reiterada o como un producto cartesiano.
a) 24 x 3 =
Al unir todos los cubos en una sola línea, el alumno tendrá que hacer algunas
conversiones para simplificar el resultado, es decir cambiará 10 unidades por 1
decena
Con lo que queda = 72
DIVISIÓN.
En el caso de las divisiones, estas se efectúan mediante la repartición de material,
en donde igualmente si no se puede hacer una repartición por ejemplo de 2
decenas entre 5, se tendrán que dividir estas en unidades.
a) 762 ÷3 =
139
Al dividir las centenas en tres nos sobra 1 por lo que hay que cambiarla por
decenas e igualmente repartirlas, como me sobra una decena se cambia por
unidades e igualmente se reparte con lo que queda.
762 ÷3 = 254
Trabajado de esta forma el material, el niño puede visualizar que de la misma
forma efectúa sus operaciones escritas, y que son los mismos pasos y
conversiones tanto en el material como en el algoritmo.
3 9 10
10 254
68 4 0 0 24 3 762
+25 -1 3 8 x 3 16
13 2 6 2 12 12
8 6 . 0
93 72
Con cada una de las operaciones básicas se pueden plantear ejercicios de
número perdido.
68 + = 93 – 23 = 12 24 x = 72 762 ÷ = 254
Este tipo de planteamiento son las que usaremos en la resolución de problemas
en donde se aplicará para su solución, la operación inversa de las operaciones.
140
De esta manera el niño trabajará de manera intuitiva sus primeras ecuaciones de
primer grado. Cuando el niño sabe el funcionamiento correcto del material, se le
plantean sus primeros problemas para que los resuelva por medio de la
manipulación. Ejemplo.
Un pastor tiene 18 ovejas. Se quedó dormido y cuando despertó contó doce
ovejas ¿Cuántas se le han perdido?
Con sus regletas el niño puede formar el número 18 y en la parte inferior el
número 12, el resultado será la regleta que iguale la longitud superior.
N + c = N + r + V
10 + 8 = 10 + 2 + 6 18 = 18
Un maestro tiene 12 caramelos para repartir entre 4 niños ¿Cuántos caramelos
recibirá cada niño? La conclusión esperada sería, 3 caramelos cada uno.
Ahora veamos el mismo problema pero con una ligera variante, si los caramelos a
repartir son 13 los niños se quedarían cortos al igualar las regletas.
N c
N r V
N r
v v v v
N v
v v v v b
141
Hay que añadir una regleta blanca para que se complete la longitud, podemos
escribir entonces.
Las regletas N y v son iguales a 4 veces la v más la b
N + v = 4v + b N + v = 4 x v + b
Numéricamente 10 + 3 = 4 x 3 + 1 13 = 13
De igual manera los problemas se pueden resolver con las regletas y con los
cubos unifix de manera simultánea.
Ahora bien, los cubos unifix se prestan para otro tipo de problemas como lo
pueden ser los relacionados con áreas y perímetros
142
Disponemos de 12 cuadrados iguales ¿Cómo se deben disponer para conseguir
formar distintos rectángulos? Si la superficie resulta ser siempre igual a 12
unidades ¿Cuál es el perímetro en cada caso?
A = 6 x 2 = 12 A = 4 x 3 = 12
P = 16 P = 14
A = 12 x 1 = 12
P = 26
Con el mismo material se puede dar a conocer las propiedades conmutativa,
asociativa y distributiva de la multiplicación.
Propiedad Conmutativa de la multiplicación.
5 columnas de 4 filas ó
4 columnas de 5 filas
En ambos casos el resultado es 20
143
Propiedad asociativa de la multiplicación.
Esta propiedad permite asociar de diferente manera los factores de la
multiplicación. Para poder aplicar esta propiedad, se necesitan por lo menos 3
factores, su utilidad más evidente parece restringirse a los problemas de dos
etapas como el siguiente:
Te compras 2 sobres de estampas al día, cada uno de los sobres contiene 4
estampas. ¿Cuántas estampas te habrás comprado en 5 días?
El problema puede solucionarse de varias formas, como 8 estampas 5 veces, o
como 2 veces 20 estampas, o como 10 sobres por 4 estampas, en ambos casos el
resultado es siempre el mismo, 40. Así el niño podrá decidir sobre cual es la que
más le acomoda, o la que a su juicio es la más sencilla.
Las diferentes asociaciones quedarían representados de la siguiente forma.
4 x 5 x 2 = 40 ( 4 x 5 ) x 2 = 40 ( 2 x 4 ) x 5 = 40 (2 x 5) x 4 = 40
Si juntamos los bloques quedaría representada la primera opción. Ancho ( 4 ) por
largo ( 5 ) por altura ( 2 )
4 x 5 x 2 = 40 2 5 4
144
Si los partimos a la mitad quedaría representada la segunda asociación:
(4 x 5 ) x 2 = 40 2 partes 5
4
La tercera asociación se representaría de la siguiente manera:
(2 x 4 ) x 5 = 40 8 x 5 = 40
Y la cuarta asociación quedaría así. (2 x 5 ) x 4
145
Propiedad distributiva de la multiplicación.
Esta propiedad suele ser aplicada a números que se descomponen en dos
sumandos los cuales se pueden distribuir de diferente manera sin alterar el
producto ejemplo
3 x 26 5 x 14
3 x ( 20 + 6 ) 5 x ( 10 + 4 )
( 3 x 20 ) + ( 3 x 6 ) ( 5 x 10 ) + ( 5 x 4 )
60 + 18 50 + 20
78 70
Tomemos como ejemplo 3 x 7
3 x 7 = 21 3 x 7 = 21 3 x ( 5 + 2 ) = 21
(3 x 5) + ( 3 x 2) = 21 15 + 6 = 21
3 x 5 3 x 2 Al sumar el área de los dos rectángulos, el resultado es el mismo que el obtenido
en forma total.
146
Números al cuadrado y al cubo.
Se le invita al niño a colocar sobre la mesa pegaditas 2 regletas rojas, en
diferentes momentos y separadas unas de otras, 3 verde claro, 4 rosas, 5
amarillas, 6 verde oscuro, 7 negras, 8 cafés, 9 azules y por último 10 naranjas,
posteriormente se miden con las mismas regletas tanto el ancho como el largo., el
alumno se dará cuenta que miden lo mismo de ancho y largo.
Se les cuestiona sobre ¿Que tienen en común, las medidas que tomaste? ¿Qué
figura forma cada uno de los tapetes? ¿Cómo representarías numéricamente esta
operación? ¿Es la única? ¿En que tipo de problemas haz utilizado este concepto?
( generalización) ¿Con que se relaciona su nombre? (número al cuadrado) ¿Cuál
crees que sea su operación inversa?
147
2 x 2 = 4 2 2 3 x 3 = 9 3 2 4 x 4 = 16 4 2
Con este ejercicio se espera que el niño descubra y concretice lo que es el
número al cuadrado.
Con base al concepto anterior, ¿Cómo representarías un número al cubo? ¿Qué
forma tiene la figura que formaste? ¿Cuánto mide de ancho, largo y altura?
¿Cómo lo representarías numéricamente? ¿Es la única? ¿En que tipo de
problemas puedes usar este concepto? (generalización) ¿Tiene relación su figura
con su nombre?
De igual forma, se espera que el alumno con base en el modelo anterior pueda
formar las figuras de 4 3 , 3 3 , 2 3 , 1 3 ¿Cuántos cubitos tiene cada figura?
Cuéntalos. Se les debe hacer notar ciertas características como la de tomar en
cuenta que la regleta blanca representa el número1 mide uno de ancho 1 de largo
y uno de altura, por lo tanto cada una de las regletas tiene el número de cubitos,
según el número que represente. Cuenta cuantos cubitos tiene cada cubo y
verifícalo haciendo la operación correspondiente
Para este ejercicio se presta ambos tipos de materiales tanto las regletas
Cuisenaire como los bloques unifix.
148
2 x 2 x 2 = 8 ¿El cubo del 2 tiene 8 cubos?
2 3 .
1 3
¿Cuál sería la operación inversa de los números al cubo? ¿Cómo lo
representarías numéricamente?
REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
Otra de las etapas no menos importantes, es la representación gráfica, la cual se
basa en la construcción de modelos, explícitos y análogos.
La utilización de modelos, juega un papel, fundamental en la creación de
conceptos y procesos de razonamiento, pues permite hacer accesibles y
manipulables, conceptos intelectualmente más difíciles.
Para que esto ocurra, es necesario que los niños conozcan toda la gama de
modelos existentes y dar libertad a que ellos hagan sus propias representaciones,
las cuales son tan válidas como las preestablecidas.
En el proceso de representar gráficamente el problema, el alumno puede hacer
uso de los siguientes modelos: máquina operadora de Dienes, recta numérica,
diagrama de árbol, representación matriarcal, diagramas de Venn, las
representaciones personales y desde luego la balanza numérica, la cual es de vital
importancia para los fines últimos de la presente alternativa (algunos de estos
ejemplos están ampliamente explicados en el apartado de la teoría).
149
Diagramas de Venn
La suma y resta han venido construidas sobre dos operaciones realizadas entre
conjuntos; la unión y la diferencia.
Los diagramas de Venn representan gráficamente esta teoría, mostrando con
claridad las cantidades iniciales.
3 + 2 = 5
Diagrama de árbol y representación matriarcal
El diagrama de árbol nos permite visualizar de forma transparente las acciones
realizadas en un problema en donde se tienen que hacer varias combinaciones.
Por ejemplo.
¿Cuántas parejas de baile se pueden formar con 3 hombres y 4 mujeres.
H M
H M
H M
M
150
Sí hacemos una gráfica con la letra H para los hombres y M para mujeres,
podremos unir con una línea las parejas que se pueden formar, y nada más nos
quedaría contar las líneas para saber el resultado.
En la representación matriarcal, se hace una línea por cada uno de los elementos,
en este caso tres líneas para hombres y cuatro para mujeres. La intersección de
las líneas hace las combinaciones. En ambos casos el resultado es 12.
En este tipo de representaciones, se puede ver más claramente la importancia de
presentar a la multiplicación ya no solo como una suma reiterada sino como un
producto cartesiano, en donde el multiplicando y multiplicador son de la misma
naturaleza, y el resultado de una distinta.
Recta o línea numérica
La línea numérica muestra las cantidades iniciales con claridad así como las
acciones ( traducidas a saltos en línea ) y en cierta forma la equivalencia acciones
resultados. Ejemplo.
Tengo 25 estampas y adquiero 35 más ¿Cuántas tengo en total.?
I I I I I I I
0 10 20 30 40 50 60
Este modelo, es de gran utilidad más adelante en álgebra cuando se estudien
números negativos y la combinación de sumas y restas con estos, así como la
representación de diferentes conjuntos de números, sobre la recta numérica.
151
Balanza numérica.
Este modelo será el más utilizado para favorecer el concepto de ecuaciones.
Un niño ha hecho 8 ejercicios que le encargó su profesora. Un compañero ha
podido hacer sólo 5. ¿Cuantos ejercicios más tendrá que hacer el último para
hacer los mismos que el primero?
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Naturalmente la balanza se inclinará inicialmente del lado en donde se encuentra
el mayor peso (8), es necesario entonces equilibrarlo. Ello se conseguirá
colocando un nuevo peso sobre el número tres.
PLANIFICAR.
Supone establecer submetas y caminos para alcanzarlas. Significa actuar
ordenadamente sobre los datos y relaciones descubiertos en la fases anteriores.
REPRESENTACIÓN NUMÉRICA.
Cuando se llegue a esta etapa es recomendable hacerlo por medio de los
diagramas de Fuson–Willis, los cuales plantean sentencias canónicas y no
canónicas.
Los diagramas de Fuson-Willis deben utilizarse asiduamente, enseñando al
alumno a distinguir el tipo de problema planteado y el diagrama que ha de elegir
para su solución.Las sentencias no canónicas ofrecen una mayor posibilidad de
plantear diferentes problemas entre los que se encuentran:
Problemas de Cambio. Se refieren a situaciones activas o dinámicas en las que un
hecho cambia el valor de la cantidad inicial.
152
Problemas de Combinación. Se refieren a situaciones estáticas consistentes en
dos cantidades que son consideradas por separado o juntas.
Problemas de Comparación. Implican dos cantidades que son comparadas y la
diferencia entre ellas.
Los maestros deben plantear problemas de formas variadas para no acostumbrar
a los niños a una sola forma, así se puede observar en los siguientes ejemplo.
Nombre Ejemplo Situación desconocido Dirección Ca1 Pedro tenía 3 manzanas. Ana le
dio 5 ¿Cuántas manzanas tiene pedro ahora?
Cambio Conjunto resultado
Aumento
Ca2 Pedro tenía 8 manzanas. Le dio a Ana 3. ¿Cuántas manzanas tiene Pedro ahora?
Cambio Conjunto resultado
Disminución
Ca3 Pedro tiene 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas tiene que pedir a Ana para tener 8?
Cambio Conjunto cambio
aumento
Ca4 Pedro tiene 8 manzanas. ¿Cuántas manzanas tiene que darle a Ana para tener 3 manzanas
Cambio Conjunto cambio
Disminución
Ca5 Pedro tenía algunas manzanas. Ana le dio 3. Ahora Pedro tiene 8 manzanas. ¿Cuántas manzanas tenía pedro en un principio?
Cambio Conjunto inicial Aumento
Ca6 Pedro tenía algunas manzanas. Le dio a 3 a Ana ahora pedro tiene 5 manzanas. ¿Cuántas manzanas tenía Pedro al principio?
Cambio Conjunto inicial Disminución
Co1 Pedro tiene 3 manzanas. Ana tiene 5 manzanas. ¿Cuántas manzanas tienen entre los dos?
Combinación Superconjunto __
Co2 Pedro y Ana tienen 8 manzanas entre los dos. Pedro tiene 3 manzanas ¿Cuántas tiene Ana?
Combinación Subconjunto __
Cp1 Pedro tiene 8 manzanas. Ana tiene 3. ¿Cuántas manzanas más que Ana tiene Pedro?
Comparación Conjunto diferencia
Más
153
Cp2 Pedro tiene 8 manzanas. Ana tiene 3 manzanas. ¿Cuántas manzanas menos que pedro tiene Ana?
Comparación Conjunto diferencia
Menos
Cp3 Pedro tiene 3 manzanas. Ana tiene 5 manzanas más que pedro. ¿Cuántas manzanas tiene Ana?
Comparación Conjunto comparado
Más
Cp4 Pedro tiene 8 manzanas. Ana tiene 3 manzanas menos que Pedro. ‘Cuántas manzanas tiene Ana?
Comparación Conjunto comparado
Menos
Cp5 Pedro tiene 8 manzanas. Tiene 3 manzanas más que Ana ¿Cuántas manzanas tiene Ana?
Comparación Conjunto referencia
Menos
Cp6 Pedro tiene 5 manzanas. Tiene 3 manzanas menos que Ana ¿Cuántas manzanas tiene Ana?
Comparación Conjunto referencia
Menos
Ca= cambio; Co = combinación; Cp= comparación
A medida que los distintos problemas son representados por los diagramas
indicados, los educandos van construyendo una correspondencia entre la
estructura del problema, el tipo de sentencia numérica y la estrategia propia del
problema, todos diferentes entre sí.
Hay problemas que representan una estructura, afectan una operación y su
estrategia que corresponde a la otra operación, los cuales son los más complejos
de resolver. Es decir un problema puede presentar estructura aditiva en su
redacción y también lo es la sentencia numérica que lo representa, sin embargo
su estrategia es sustractiva.
Los problemas bien representados por medio de los diagramas de Fusson Willis
dan pie a que el estudiante se apropie de la idea de que la resta puede expresarse
como la inversión de la suma, la multiplicación como la inversión de la división o
viceversa. Este es un concepto insustituible en la resolución de ecuaciones de
primer grado en donde su estrategia es a base de las operaciones inversas.
154
VERBALIZACIÓN.
La verbalización se produce a través del lenguaje y es otro de los pasos que
ayuda a los estudiantes a comprender diferentes aspectos relacionados con las
matemáticas. El maestro deberá fomentar el razonamiento en voz alta.
El razonamiento en voz alta, contribuye la socialización del aprendizaje,
verbalización y comunicación son puentes de acceso al conocimiento.
GENERALIZACIÓN.
Por último, una revisión de lo conseguido debe complementarse con la
generalización del problema, extendiendo su formulación de manera que, a partir
del primero, se aborden otros problemas relacionados con él.
Para hacer una buena generalización se puede invitar a los alumnos a hacerse la
pregunta ¿Se puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?,
desde luego que a nivel aritmético la conexión con otros problemas es amplia, ya
que los diferentes temas estudiados en aritmética y geometría, son extensos y
cada uno de ellos da lugar a problemas similares que se pueden resolver con una
misma estrategia, sin embargo y para los fines de dicha alternativa, la
generalización se hace extendiendo este conocimiento a los problemas
algebraicos, motivo principal de la presente investigación.
En la resolución de problemas algebraicos se utiliza el mismo método que los
problemas aritméticos, por lo que se hace necesario presentar a los educandos
únicamente de sexto año esta generalización, ya que se encuentran próximos a
superar la etapa de las operaciones concretas y pasar al periodo de las
operaciones formales.
155
Antes de pasar a la conexión de ambos problemas se hace necesario proponer
algunos cambios a los profesores dentro del aula.
Lenguaje aritmético.
La comprensión y el uso del lenguaje por el niño varia según la implicación en la
situación en que se usa, y la interpretación que dicha situación tenga para él.
El maestro debe hacer un uso correcto del lenguaje dentro del aula, pues la mala
interpretación que se le de a los símbolos como letras, variables y signos desde la
educación primaria, influye de manera negativa en el lenguaje algebraico.
El uso del concepto de variable en matemáticas es una práctica común. Parte de
las dificultades, proceden de que en la escuela primaria no se desarrolla suficiente
el sentido de variabilidad ligado a las letras, Esta mala práctica, ha servido más
para oscurecer el significado del término mismo que para mostrar la diferencia
real con el sentido que puede tener las letras.
Para cambiar este concepto, el maestro puede aprovechar todas las fórmulas
aritméticas, estas se integran por letras, las cuales deben ser interpretadas como
variables. Dichas letras nunca tienen un valor fijo, este varía de acuerdo a la figura
que se desee medir.
En aritmética existen otro tipo de letras, estas si tienen un valor fijo y son las
relacionadas con unidades de medida, como las derivadas del litro, metro, gramo,
π entre otros. Al igual que las letras anteriores, se debe cambiar el concepto de
que representan un objeto o la inicial del nombre, además se debe marcar
claramente la diferencia entre un valor fijo y variable.
En cuanto a los signos de operación, existen diferentes formas de expresarlos, el
maestro deberá cambiar estos esquemas y apoyarse de nuevo en las fórmulas
156
aritméticas, para utilizar todas las expresiones de los signos de operación tal y
como se analizan en el planteamiento del problema.
En aritmética se manejan muy pocos signos de relación ( >, <, ó =) no por esto se
le debe restar importancia, Estos deben ser manejados correctamente, darle el
significado correcto y manejarlos continuamente para visualizar su verdadera
función, sobre todo el signo igual del cual ya se ha hablado ampliamente.
En la medida en que los maestros usen correctamente el lenguaje aritmético, será
más fácil para el alumno hacer la conexión entre ambos lenguajes y cometer
menos errores cuando tengan necesidad de utilizar el algebraico. Para este caso
se aplicó un cuestionario a los alumnos (anexos)
Cuando los alumnos dominen el lenguaje aritmético, y estén a punto de concluir el
año escolar, se puede probar con las preguntas del punto 11 del cuestionario pero
utilizando el lenguaje algebraico.
Calculo mental.
El cálculo mental debe ser aprovechado y practicado por el maestro de forma
cotidiana en el salón de clases, sus ventajas son muchas como las expuestas de
forma fehaciente en el marco teórico.
De igual forma se aplicaron ejercicios a lo largo de la aplicación de la alternativa,
los cuales aumentaban en grado de dificultad. Dichos ejercicios también aparecen
en los anexos.
Generalización de problemas aritméticos con algebraicos.
Como se mencionaba anteriormente, los problemas aritméticos se resuelven con
la misma metodología que los algebraicos, por lo tanto si se obtuvo la destreza
157
necesaria para resolverlos no tendrá ningún problema con los algebraicos los
cuales se resuelven mediante ecuaciones de primer grado.
Para hacer esta conexión y siguiendo la teoría donde se marca que la enseñanza
de las matemáticas se deben apoyar en la realización de esquemas, dibujos o
representaciones que ayuden a comprender la situación del problema, el presente
proyecto se apoya específicamente en la balanza para la construcción de
ecuaciones de primer grado.
Una vez recorrido los primeros pasos del método Wiskobas, al llegar a las
representaciones gráficas, se empieza por plantear diferentes situaciones en
donde los niños obtengan sus propias conclusiones.
1. Observa que los pesos de cada lado son iguales ¿Cuál es el peso de la barrica?
158
2. Considera que la balanza no está en equilibrio ¿Qué peso añadirías sobre el
platillo para que se equilibre
3. Explica la situación reflejada en el dibujo.
4. Iguala el peso en ambos brazos ahora ¿Qué ocurre si añadimos 1 kg a cada
lado? ¿Y si quito 2 kg a cada platillo?
5. ¿Qué ocurre si se añade a cada platillo la mitad de lo que tenía? ¿y si se añade
sobre cada platillo el doble?
Ahora bien, una vez que se han efectuado varios ejercicios de este tipo en donde
el niño ha reflexionado, se le invita a expresar cada uno en forma numérica.
1) Peso de la barrica = 50 kg + 20 kg
2) 5 = 3 +
3) 3 + 6 = + 4
159
4) La primera igualdad quedaría 2 + = 6, a lo que el niño concluye que el
resultado es 4, las otras expresiones propuestas quedarían así.
2 + 4 + 1 = 6 + 1, 2 + 4 – 2 = 6 – 2
7 = 7 4 = 4
Con lo que las expresiones siguen estando equilibradas, por lo tanto son
equivalentes.
5) La primero igualdad quedaría 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6 + 6, 12 = 12
La segunda 12 + 2
12= 12 +
212
12 + 6 =12 + 6 18 = 18
La tercera 2 x 12 = 2 x 12 24 = 24
De igual forma, las balanzas se encuentran equilibradas
Una vez que el alumno se ha ejercitado con este tipo de ejercicios, se encuentra
preparado para sus primeras ecuaciones de primer grado.
El objetivo de los siguientes ejercicios en iniciarlo al lenguaje simbólico.
1) Observa que la balanza está equilibrada. Llamando con la letra que gustes al
peso del saco, expresa la situación indicada.
m = 22
2) De igual forma asignándole una letra al peso de las botellas expresa la
situación.
160
2d + 3 = d + 7
Se le pide al niño que exprese verbalmente los movimientos que efectuaría para
encontrar el peso de la botella y los exprese numéricamente. El primer movimiento
sería quitar a ambos brazos 3 kg.
2d + 3 - 3 = d + 7 – 3 2d = d + 4
El último movimiento sería quitar una botella de cada miembro de la igualdad.
2d – d = d – d + 4 d = 4
Con lo que se concluye que las botellas pesan 4 kg.
3) De igual forma le asignaremos la letra z al peso de las botellas, la
representación numérica quedaría.
3z = 18
Para encontrar el peso de la botella, habrá que dividir entre 3 cada uno de los
miembros, recordando a los niños que este concepto el de una letra unida a una
cifra (variable), era sinónimo de multiplicación, y para resolverlo, habrá de
utilizarse la operación inversa tal y como lo efectuaron con los planteamientos de
sus problemas mediante los diagramas de Fuson Willis.
161
3
3z =
318
con lo que queda z = 6
4) Ahora se le asignará la letra w al peso de las tasas, la expresión numérica
quedaría.
20 = 4w
Para obtener el peso de una taza, basta con dividir entre 4 ambos miembros para
que el equilibrio se mantenga.
420
= 4
4w 5 = w
5) Si le asignamos la letra m al peso del plato su representación numérica sería.
8 + 2m = 5 + 5m Le restamos 5 kg a cada lado.
8 – 5 +2m = 5 – 5 + 5m 3 + 2m = 5m
162
Se quitan 2 platos de cada brazo.
3 + 2 m – 2 m = 5 m – 2 m 3 = 3 m por último se divide entre 3 cada miembro.
33
= 3
3m 1 = m
Por lo que cada plato pesa 1 kg.
Para verificar cada uno de los ejercicios, basta con sustituir el peso encontrado en
cada una de las balanzas las cuales se deben mantener en equilibrio.
Como se puede observar, para resolver las anteriores representaciones gráficas,
los niños utilizan todos los conocimientos estudiados: diagramas de Fusson Willis,
inversión de las operaciones, diferentes formas de representar la multiplicación,
uso correcto del signo igual, equivalencia de representaciones numéricas entre
muchas otras todos ellos aplicables a la resolución de ecuaciones de primer
grado.
163
CATEGORÍAS DE ANÁLISIS
De acuerdo a la metodología propuesta, se han diseñado actividades en donde
los alumnos pongan en práctica los principios de la pedagogía operatoria. Dichas
actividades ofrecen al alumno la posibilidad de avanzar progresivamente en la
construcción del conocimiento algebraico a través del aritmético.
Para el diseño de las actividades se ha tomado en cuenta que el alumno necesita
cambiar todos aquellos esquemas de los que se ha apropiado de manera
incorrecta y para lograrlo necesita del apoyo y orientación por parte del maestro el
cual le ofrecerá una serie de estrategias que le permitan descubrirlos, corregirlos y
aprehenderlos.
Las actividades se apoyan en el desarrollo de destrezas aritméticas mediante el
manejo de material y modelos haciendo más accesible la construcción del
conocimiento lógico matemático.
Asimismo la aplicación de las actividades se basan en los elementos que tienen
en común la resolución de problemas aritméticos y algebraicos, haciendo al final
una generalización de ambos.
1. Reconocer la necesidad de aprehender una metodología para resolver
problemas aritméticos.
2. Analizar, comprender y resolver problemas aritméticos con diferentes
estructuras, por medio de material didáctico.
164
3. Provocar el descubrimiento de conceptos que se tienen en común tanto en
aritmética como en álgebra.
4. Fomentar el uso correcto del lenguaje aritmético y establecer las diferencias
entre lenguaje ordinario aritmético y algebraico.
5. Propiciar la expresión de igualdades numéricas, mediante modelos
símbolos y números de ecuaciones de primer grado sencillas.
6. Fomentar el uso del cálculo mental como herramienta en la resolución de
conceptos matemáticos.
165
PLAN DE TRABAJO
No de sesión 1 Fecha 15 -nov -05 Actividades Se sensibilizará al grupo, dándoles la bienvenida y hacer una pequeña
introducción acerca del trabajo que se realizará. Se les dará unos gafetes para identificarlos. Se hará una pequeña evaluación, dándoles a resolver 5 problemas * Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.* Se cuestionará a los alumnos acerca de que estrategias usaron para resolverlos, se hará conciencia de lo importante que es contar con alguna estrategia. Se les dará a conocer los pasos tentativos a seguir en la resolución de problemas
Propósito Despertar la curiosidad por el proyecto y el deseo de participar para llegar a interesarse por las matemáticas.
Estrategia Hacer que los alumnos reflexionen por medio de la confrontación acerca de la forma particular que tienen para resolver problemas y reconocer que necesitan de alguna metodología para resolverlos.
Recursos humanos
Maestro, alumno.
Recursos materiales
Esquemas en rotafolio, gafetes, hoja de resumen y hoja de problemas
Evaluación Se puede considerar como regular la sesión ya que se logró despertar el interés del grupo en un 44% . El 47% participó opinando sobre el proyecto y en un 65 % se mostraron abiertos al cambio.
* anexos No de sesión 2 Fecha: 17-nov-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental
Se investigará en los alumnos sus conocimientos previos del material, Si alguien ya los conoce que explique su funcionamiento. Se formarán equipos de 4 personas. como máximo Se les dará físicamente las regletas Cuisenaire para que las conozcan jueguen con ellas y las puedan manipular Por medio de operaciones y ejercicios sencillos se les explicara el uso correcto del mismo
Propósito Manipular e identificar el uso correcto del material para que por medio de él concretice las 4 operaciones básicas, identifique sumandos, factores divisores, la propiedad conmutativa de la suma multiplicación y se inicie gradualmente en el uso de literales.
Estrategia Darles físicamente el material para que por medio de su curiosidad y la manipulación del mismo haga sus propios descubrimientos.
Recursos humanos
Maestro alumno
Recursos materiales
Regletas cuisenaire, esquemas en rotafolio, hoja de resumen.
Evaluación El propósito se alcanzo en forma parcial. La propiedad conmutativa de suma y multiplicación, solo se impartieron de forma intuitiva, más adelante se concretizarán ambas. Por otro lado un 72% del grupo identificó los sumandos y factores, un 62 % logró un acercamiento con las variables, de igual forma un 62% concretizó las 4 operaciones básicas.
166
No de sesión 3 Fecha: 22-nov-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.
Se investigará en los alumnos sus conocimientos previos del material, Si alguien ya los conoce, que explique su funcionamiento. Se formarán equipos de 4 personas como máximo. Se les dará físicamente los bloques unifix, para que los conozcan jueguen con él y lo puedan manipular Por medio de operaciones y ejercicios sencillos se les explicara el uso correcto del mismo.
Propósito Manipular e identificar el uso correcto del material para que por medio de él concretice las 4 operaciones básicas, el funcionamiento del sistema de numeración decimal, valores absoluto o propio, relativo y posicional, y número perdido.
Estrategia Darles físicamente el material para que por medio de su curiosidad y la manipulación del mismo haga sus propios descubrimientos.
Recursos humanos
Maestro alumno.
Recursos materiales
Bloques unifix, esquemas en rotafolio, hojas de resumen.
Evaluación En esta sesión como en la anterior, solo se alcanzó parcialmente el propósito, los 3 valores de las cifras se imparten de forma intuitiva y en posteriores sesiones se concretizaran. Sin embargo se logró el objetivo en un 87% al concretizar las operaciones, el 72% o sea la mayoría comprendió más a fondo el funcionamiento del sistema decimal. Sin embargo tan solo un 28% logró encontrar el número perdido.
No de sesión 4 Fecha 24-nov-05 Actividades Se aplicaran 5 ejercicios de cálculo mental
Se investigaran sus conocimientos previos, por medio de preguntas Se les dará a conocer los diagramas como, la máquina operadora de Dienes, diagramas de Venn, diagramas de árbol, recta numérica,.
Propósito Conocer los diferentes diagramas de los que puede hacer uso, para concretizar los problemas y pueda ser más fácil su resolución
Estrategias Por medio de una plática y con auxilio de los esquemas el alumno reconozca que existen diferentes métodos y herramientas de los que se puede auxiliar para resolver problemas
Recursos humanos
Maestro, alumno
Recursos materiales
Esquemas en rota-folio
Evaluación El resultado no fue muy favorable. Estos conceptos son totalmente nuevos para ellos, su aplicación hasta el momento es desconocida así queda reflejado ya que un 72 % no logró asimilar los diagramas expuestos en la sesión
167
No de sesión 5 Fecha 29-nov-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.
Se investigaran sus conocimientos previos, por medio de preguntas Se les dará a conocer los diagramas como: la balanza numérica, y diagramas de Fuson-Willis.
Propósito Conocer los diferentes diagramas de los que puede hacer uso, para concretizar los problemas y pueda ser más fácil su resolución
Estrategia Por medio de una plática y con auxilio de los esquemas el alumno reconocerá que existen diferentes métodos y herramientas de los que se puede auxiliar para resolver problemas
Recursos humanos
Maestro alumno
Recursos materiales
Esquemas de rotafolio
Evaluación Al igual que en la anterior sesión, el resultado no fue muy favorable. Estos conceptos son totalmente nuevos para ellos, su aplicación hasta el momento es desconocida por lo que provocó escepticismo en un 85% Y por lo tanto no se lograron aprehender los diagramas expuestos.
No de sesión 6 Fecha: 1-dic-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.
Se formaran equipos de 4 personas haciendo a su vez 2 subgrupos de 2 cada equipo trabajará en la misma mesa y con un problema en común pero con diferente material didáctico, de manera que al final comparen sus estrategias ambos subgrupos y confronten resultados, así como con el resto del grupo
Propósito Analizar y resolver problemas de suma y resta (Cambio aumentado y disminuido) con material didáctico sin utilizar los algoritmos para concretizar problemas e intuir conceptos algebraicos.
Estrategia Al dividir un equipo en dos, permite que exista una mayor interacción entre los alumnos acerca de la resolución del problema, ya que se trabaja primero con su subgrupo y luego analiza el procedimiento del otro subgrupo. Llegando a conclusiones generales.
Recursos humanos
Maestro- alumno
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix y hoja de problemas
Evaluación Los resultados fueron desfavorables, tal vez por ser la primera clase dedicada a resolver problemas, los alumnos en un 59% no lograron resolverlos, se encontraban un poco confundidos acerca del procedimiento a seguir.
168
No de sesión 7 Fecha: 6-dic-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.
Se formaran equipos de 4 personas haciendo a su vez 2 subgrupos de 2 cada equipo trabajará en la misma mesa y con un problema en común pero con diferente material didáctico, de manera que al final comparen sus estrategias ambos subgrupos y confronten resultados, así como con el resto del grupo
Propósito Analizar y resolver problemas de suma y resta (Combinación y comparación) con material didáctico sin utilizar los algoritmos para concretizar problemas e intuir conceptos algebraicos.
Estrategia Al dividir un equipo en dos, permite que exista una mayor interacción entre los alumnos acerca de la resolución del problema, ya que se trabaja primero con su subgrupo y luego analiza el procedimiento del otro subgrupo. Llegando a conclusiones generales.
Recursos humanos
Maestro- alumno.
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix y hoja de problemas
Evaluación En esta sesión se lograron mejores resultados, los alumnos al ya trabajarlos en la sesión anterior, se trabajó de forma más organizada, alcanzando en un 94% los propósitos marcados para esta sesión..
No de sesión 8 Fecha: 8-dic-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.
Se formaran equipos de 4 personas haciendo a su vez 2 subgrupos de 2 cada equipo trabajará en la misma mesa y con un problema en común pero con diferente material didáctico el cual manipularan, para resolver el problema de manera que al final comparen sus estrategias ambos subgrupos y confronten resultados entre ellos, como con el resto del grupo.
Propósito Analizar y resolver problemas de multiplicación y división (Razón y combinación) con material didáctico sin utilizar los algoritmos para concretizar problemas e intuir conceptos algebraicos
Estrategia Al dividir un equipo en dos, permite que exista una mayor interacción entre los alumnos acerca de la resolución del problema, ya que se trabaja primero con su subgrupo y luego analiza el procedimiento del otro, llegando a conclusiones generales.
Recursos humanos.
Maestro- alumno
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix y hoja de problemas
Evaluación Se alcanzaron en forma parcial los propósitos, los alumnos han obtenido destrezas y habilidad para resolverlos rápidamente. El porcentaje aun cuando es mucho menor que en la anterior sesión ( 56%), se debe considerar que el grado de dificultad es mayor, ya que son de multiplicación y división.
169
No de sesión 9 Fecha: 13-dic-05 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental
Se formaran equipos de 4 personas haciendo a su vez 2 subgrupos de 2 cada equipo trabajará en la misma mesa y con un problema en común pero con diferente material didáctico, de manera que al final comparen sus estrategias ambos subgrupos y confronten resultados, así como con el resto del grupo.
Propósito Analizar y resolver problema de multiplicación y división (comparación y conversión) con material didáctico, sin utilizar los algoritmos para concretizar problemas, e intuir conceptos algebraicos.
Estrategia Al dividir un equipo en dos, permite que exista una mayor interacción entre los alumnos acerca de la resolución del problema, ya que se trabaja primero con su subgrupo y luego analiza el procedimiento del otro subgrupo Se les da a escoger entre dos diferentes materiales teniendo la oportunidad de cambiarlo a media sesión para poder conocer todo el equipo y lograr un mayor aprendizaje
Recursos humanos.
Maestro- alumno.
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix y hoja de problemas.
Evaluación En esta sesión se lograron muy buenos resultados, los objetivos se alcanzaron en un 94%
No. de sesión 10
Fecha: 15-dic-05
Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental Se formaran equipos de 4 personas haciendo a su vez 2 subgrupos de 2 Después de que cada equipo ha manipulado diferentes materiales hará representaciones gráficas sobre la resolución de problemas de suma, y resta, haciendo uso de los diagramas estudiados. Posteriormente compartirá opiniones con sus compañeros sobre otros diagramas utilizados.
Propósito Mejorar el nivel de abstracción por medio del material didáctico y representaciones gráficas para que pueda comprender mejor los problemas.
Estrategia Una vez que domine la manipulación del material, el alumno deberá sentir la necesidad de pasar al siguiente paso, que es la representación gráfica del problema para lo cual se servirá de toda la gama de gráficas
Recursos humanos.
Maestro- alumno.
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix hojas de rotafolio con los esquemas y hoja de problemas
Evaluación El objetivo no se alcanzó en su totalidad, los alumnos al no manejar este tipo de representaciones gráficas no lograron representar sus problemas de forma correcta en un 60% Sin embargo un 59% opinó acerca de sus aciertos y desaciertos.
170
No. de sesión 11
Fecha: 10-enero-06
Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental Se formaran equipos de 4 personas haciendo a su vez 2 subgrupos de 2 Después de que cada equipo ha manipulado diferentes materiales hará representaciones gráficas sobre la resolución de problemas de multiplicación y división haciendo uso de los diagramas estudiados. Posteriormente compartirá opiniones con sus compañeros sobre otros diagramas utilizados.
Propósito Mejorar el nivel de abstracción por medio del material didáctico y representaciones gráficas para que pueda comprender mejor los problemas.
Estrategia Una vez que el alumno domine los diagramas de sumas y restas, pase a la representación gráfica de multiplicaciones y divisiones del problema para lo cual se servirá de toda la gama de gráficas
Recursos humanos.
Maestro- alumno.
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix hojas de rotafolio con los esquemas y hoja de problemas.
Evaluación. El trabajo realizado es esta sesión fue satisfactoria, el 47% de los alumnos utilizaron varios de los diagramas estudiados para un sólo problema, el 56% intercambio ideas lo que pluralizó el conocimiento. El 56% las pudo justificar
No de sesión 12 Fecha: 12-enero-06 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental
Se formarán equipos de 4 personas Se trabajarán problemas con las cuatro operaciones básicas pasando rápidamente por la manipulación, representaciones gráficas y concluyendo única y exclusivamente con la representación numérica de los diagramas de Fuson y Willis se realizarán ejercicios de número perdido, para lo cual se valdrá de la reversibilidad de las operaciones
Propósito Representar numéricamente los problemas a través de los diagramas de Fuson Willis , para descubrir la reversibilidad de las operaciones y aplicarlo al número perdido.
Estrategia Al tener un mayor dominio en la manipulación y representaciones gráficas servirá de motivación para hacer representaciones numéricas y resolver cualquier tipo de problema.
Recursos humanos
Estudiante- alumno
Recursos materiales
Regletas Cuisenaire, bloques unifix hojas de rotafolio con los esquemas y hoja de problemas.
Evaluación. Los objetivos de la sesión no fueron alcanzados, Los alumnos no tienen práctica en el uso de los diagramas, por lo que se hace necesario una mayor práctica de ellos. Tan solo un 37% logró representar numéricamente su problema un 26 % descubrió la reversibilidad de las operaciones. Sin embargo después de una breve explicación el 72% logro descubrir el número perdido
171
No de sesión 13 Fecha: 17-enero-06 Actividades Se realizará una revisión de las destrezas obtenidas en este renglón a lo largo
de las sesiones en donde se les ha estado aplicando el cálculo mental Se trabajarán en forma individual problemas relacionados con cálculo mental
Propósito Analizar los logros obtenidos con los ejercicios del calculo mental y reconocer sus ventajas para aplicarlo a situaciones cotidianas
Estrategia Darle a los estudiantes situaciones en donde hagan uso del calculo mental y que ellos reconozcan que han avanzado en sus cálculos.
Recursos Humanos
Maestro, alumno,
Recursos Materiales
Hoja con ejercicios para cálculo mental.*
Evaluación Los resultados fueron muy satisfactorios, se hizo un pequeño recuento de los resultados obtenidos a lo largo de las sesiones y una pequeña evaluación en donde se pudo constatar que en un 81% han tenido avances significativos en sus cálculos mentales.
* Anexos No de sesión 14 Fecha: 19-enero-06 Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental.
Se trabajará en forma individual Se retomaran algunos problemas anteriores para demostrará que ya se habían trabajado las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva con el material, con los problemas y en sus cálculos mentales Se dará una breve explicación de las propiedades. Se demostrará la veracidad de estas con ejemplos numéricos y manipulativos. Se aprovecharan estas propiedades para darles una estrategia en el aprendizaje de las tablas de multiplicar
Propósito Concretizar las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva en suma y multiplicación para que los puedan aplicar al aprendizaje de las tablas de multiplicar, problemas futuros (aritméticos y algebraicos) y para cálculos mentales más ágiles.
Estrategia Despertar el asombro en los estudiantes al demostrarles que las propiedades ya las habían utilizado, desde los primeros problemas resueltos en diversas sesiones, así como en los ejercicios de cálculo mental
Recursos humanos
Maestro, alumno-
Recursos Materiales
Regletas cuisenaire, bloques unifix, ojas de rotafolio, pizarrón, plumones y hoja de resumen.
Evaluación Se pudiera decir que el trabajo de la sesión fue satisfactorio los alumnos concretizaron en un 88 % la propiedad conmutativa de la suma y multiplicación en un 25 % la propiedad asociativa, pero un 69 % se encuentra en proceso, un 22 % logro comprender la propiedad distributiva pero un 70 % se encuentra en proceso, es decir muy próximos a lograr el propósito..
172
No se sesión 15 Fecha: 24-enero-06 Actividades Se aplicaran 5 ejercicios de cálculo mental.
Se trabajará en forma individual. Se retomaran algunos problemas anteriores para demostrar que ya se habían trabajado los valores: absoluto o propio, relativo y posicional, se reafirman con material estos conceptos.
Propósito Concretizar los valores absoluto, relativo y posicional de las cifras, por medio de la manipulación de los cubos unifix para que pueda representar con diferentes notaciones una cifra dada además de aplicarlo a problemas futuros (aritméticos y algebraicos)
Estrategia Por medio del manejo del material y del repaso, los alumnos podrán concretizar los conceptos estudiados.
Recursos Humanos
Maestro, alumnos
Recursos Materiales
Bloques unifix, hoja de resumen, pizarrón y plumones
Evaluación El trabajo de esta sesión, también fue satisfactoria. Los niños concretizaron los valores absoluto en un 88% el relativo en un 94% el posicional en un 91% y el 59% logro representar diversas cantidades en diferentes formas de acuerdo a la notación recién asimilada.
No se sesión 16 y 17
Fecha: 26 y 31 enero-06
Actividades Se aplicarán 5 ejercicios de cálculo mental Se aplicará al inicio de la sesión un cuestionario de forma individual para saber si se tienen bien definidos algunos conceptos relacionados con el lenguaje aritmético Se dará una explicación teórica acerca de los errores más comunes sobre este aspecto y como corregirlos. Después de la explicación se repetirá el mismo cuestionario pero ahora se resolverá en equipo para que puedan comparar sus resultados.
Propósito Corregir el lenguaje aritmético y conceptos relacionados con él para aplicarlos al lenguaje algebraico.
Estrategia Al aplicar el mismo cuestionario en dos momentos el alumno tiene la oportunidad de hacer conciencia del mal uso del lenguaje aritmético para así poderlo corregir al socializar con sus compañeros comparando sus resultados, y argumentando sus respuestas.
Recursos H. Maestro, alumnos Recursos Materiales
Hoja de cuestionario *, pizarrón hojas de rotafolio, plumones.
Evaluación La sesión no fue tan satisfactoria como se esperaba. A los alumnos les cuesta mucho trabajo eliminar esquemas que traen con anterioridad En una evaluación inicial el 97% tiene conceptos equivocados con respecto al lenguaje aritmético, aun después de dos sesiones, el grupo no pudo corregir este tipo de errores y en una segunda evaluación el 50% siguió conservando ese tipo de errores, el otro 50% logró eliminar algunos cuantos
* anexos
173
No de sesión 18 Fecha: 2-feb-06 Actividades Se formarán pequeños grupos de 2 personas.
Se les repartirá una hoja con diagramas algebraicos para que los resuelvan de forma visual. Se les invitará a que expresen en forma verbal el procedimiento que usaron para resolverlo. Representarán en forma numérica la estrategia que usaron. Al final se confrontarán resultados con el grupo en general
Propósito Expresar igualdades de cantidades con números, así como iniciarse al lenguaje simbólico por medio de modelos para aplicarlos a la resolución de ecuaciones de primer grado.
Estrategia Hacer divertidas las resoluciones de ecuaciones de primer grado mediante esquemas, en donde se aprecia a primera vista la solución de las misma. Esto permite que el alumno le pierda el miedo a dicho tema y lo encuentre divertido
Recursos Humanos
Maestro, alumno
Recursos Materiales
Hoja de diagramas, pizarrón, diferentes figuras de fomis ( tazas, platos, botellas etc).
Evaluación La sesión cubrió en su mayoría los propósitos esperados. Los niños lograron representar correctamente en un 91% los modelos de forma numérica, en un 94% representaron simbólicamente en forma correcta los modelos y un 94% pudo resolver de forma satisfactoria ecuaciones de primer grado.
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APLICACIÓN Y REPORTES DE LA ALTERNATIVA.
Sesión1 Se ve interesado Participa Justifica sus Se muestra En el proyecto opinando opiniones abierto al cambio S A N S A N S A N S A N 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X X 10.-Guadarrama Nava Gina A. X X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X X 12.-López Rodríguez Carlos E. X X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X X 10.-Perafán Perea Ariadna L. X X X X 20.-Pérez García Alberto X X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X X 23.Rodríguez Almazán Christopher
X ( X X X
24.- Romero Aguilar Irma E. X X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X X 32.-Picazo Escalante José Luis X X X X TOTAL. 14 12 6 15 14 3 10 18 4 21 11 PORCENTAJE 44 38 18 47 44 9 31 56 13 65 35 S = Siempre A = Algunas veces N = Nunca
175
En esta primera sesión, se hizo una pequeña introducción acerca de cual sería la
dinámica a seguir, se les dio unos gafetes para poderlos identificar.
Se les aplicó un examen de exploración consistente en 5 problemas, los cuales
arrojaron como resultado el que efectivamente, no cuentan con una metodología
que les permita resolver problemas. Los niños así lo reconocieron al cuestionarlos
sobre el punto.
De igual forma se les aplicaron 5 ejercicios de calculo mental, esto permitió que
algunos estudiantes conocieran el concepto, pues muchos de ellos no sabían lo
que era un cálculo mental.
En general el grupo se mostró muy entusiasmado y motivado, los alumnos tenían
curiosidad por conocer el material con el que se trabajaría y estaban ansiosos por
jugar con él y conocer como éste sería utilizado para llegar a resolver ecuaciones
de primer grado.
Se pudo observar que ninguno de los niños sabía lo que era una ecuación de
primer grado, mucho menos habían oído hablar del álgebra, lo que lleva a la
conclusión de que los niños realmente adquieren el miedo a las matemáticas en la
educación secundaría, y este es transmitido en su mayoría por compañeros
mayores que ya han cursado álgebra y de los cuales se podría decir que no les
fue muy bien.
176
Sesión 2 Identificó los Identificó concretizó las Sumando y Factores variables 4 operaciones
S EP S EP S EP 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X 20.-Pérez García Alberto X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X TOTAL. 23 9 20 12 20 12 PORCENTAJE 72 28 62 38 62 38 S = Si E P = En proceso
177
En el desarrollo de las actividades de esta segunda sesión se dio algo muy
natural, el juego. Los alumnos jugaban con el material, lo sacaron de su estuche,
empezaron a hacer figuras con él, comentaban con sus compañeros hacían
preguntas etc., lo cual se les permitió sólo unos minutos después de los cuales el
juego fue guiado por la maestra.
Se les explicó como funcionaba el material. Mediante los ejercicios ya planeados
con anterioridad, los niños pudieron llegar a obtener sus propias conclusiones.
Cierto es que a los educandos les es más fácil descubrir ciertos conceptos a
través del material. Cuando formaron el tapete del 8, los niños no podían creer que
existieran tantas combinaciones, observaban que efectivamente alguna
combinación era muy parecida a las de su compañero y que la única diferencia era
que el orden de las regletas no era el mismo, por lo que se confundían y no sabían
si contaba como la misma combinación o como una diferente. Sin querer estaban
descubriendo la propiedad conmutativa de la suma, y reconociendo que todas
aquellas regletas de diferente color representaban los sumandos.
Por otro lado, cuando formaron el tapete del 12 las combinaciones con regletas del
mismo color fueron muy pocas en comparación con los sumandos. Los alumnos
trataban de encontrar más combinaciones, esperando que fueran tan numerosas
como el ejercicio anterior, al no encontrarlas, se les invitó a pensar el porque de la
situación, que representaban en realidad esas regletas, y aunque se tardaron en
concluirlo, descubrieron que se trataba de los divisores y que por lo tanto el 12 no
podía tener tantos divisores. De igual forma se les guió para descubrir la
propiedad conmutativa de la multiplicación de forma intuitiva.
Al respecto se puede comentar que una alumna al preguntarle cuanto
representaba numéricamente 4 regletas verde claro (4v) dijo rápidamente 12, se le
invito a reflexionar acerca de la operación que efectuó mentalmente y esta dijo “Lo
obtuve al multiplicar 4 por el valor 3 de la regleta.” Acto seguido se continuo con
178
una serie de preguntas y respuestas que hacían reflexionar a los educandos, una
de ellas fue la que causó mayor expectación ¿Quiere decir entonces que el 3
unido a una letra representa una multiplicación?, la respuesta de momento no fue
contestada, se les indicó que más adelante se retomaría el descubrimiento que su
compañera acaba de efectuar y que era muy importante, desde luego la más
sorprendida era la chica que no lograba comprender que era lo que había
descubierto.
De igual forma, los estudiantes concluyeron que las regletas del mismo color eran
los divisores y que era lo mismo 3 x 4 que 4 x 3. Descubrieron que estas regletas
representaban los factores de la multiplicación.
Con respecto a las operaciones básicas, se puede comentar que a los alumnos no
les gusto del todo el manejo de estas pues las operaciones tienen que ser con
números pequeños (se pueden hacer con cantidades mayores, pero el tiempo no
permite adentrarse tan profundamente en el manejo de las mismas) no obstante,
lograron visualizar las operaciones desde una perspectiva que les sirvió para
concretizar las 4 operaciones básicas.
La sesión fue muy gratificante, los alumnos se mostraban entusiastas por el
material, se encontraban impacientes por contestar las preguntas de la maestra, y
como sabían que las respuestas estaban implícitas en el manejo del material,
ponían mayor énfasis en observarlo para descubrir la respuesta.
179
Sesión 3 Concretizó las Entendió el obtuvo el
Operaciones funcionamiento número básicas sistema numeración perdido.
decimal S EP S EP S EP 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X 20.-Pérez García Alberto X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X TOTAL. 28 4 23 9 9 23 PORCENTAJE 87 13 72 28 28 72
S = SI E P = En proceso
180
En esta sesión se les dio a conocer los bloques unifx, con ellos igualmente se
entusiasmaron, jugaron con ellos y estaban muy contentos. El material se presta
un poco más para concretizar las operaciones básicas, y el sistema de
numeración decimal. Los jóvenes lograron entender estos y algunos otros
conceptos de forma intuitiva.
La clase estuvo dirigida primordialmente a resolver operaciones básicas. A los
educandos les fue más fácil entender el funcionamiento de cada operación, los
problemas mismos obligaban a poner en práctica el sistema de numeración
decimal, y les exigía razonar acerca de las decisiones tomadas.
En el caso de la suma y multiplicación los alumnos mostraron entender más
fácilmente el sistema de numeración decimal, es decir, al tener el material
físicamente, contaban la cubos para cambiarlos por el siguiente en valor, pero
cuando se trataba de la resta, les resultaba complicado el cambiar un cubo de
mayor valor por 10 del valor inmediato anterior. En cuanto a la división, pasaba
algo similar, al repartir por ejemplo 5 centenas entre 4, la centena que sobraba se
confundían y pretendían que esta simplemente sobrara, se les hacían una serie de
preguntas que obligaba a los alumnos a reflexionar, por ejemplo se les decía,
“entonces quiere decir que si me sobraron 100 pesos, ¿ya no los puedo repartir
entre 4 personas?” aun cuando decían que sí se podían repartir les resultaba
complicado fundamentar sus respuestas con el material. La mayoría de los
alumnos lograban descubrir qué era lo que se tenía que hacer con el material,
entendiendo el funcionamiento de la división, la cual para ellos es la más difícil de
comprender.
En cuanto a los valores absoluto o propio, relativo y posicional, se trabajaron de
forma intuitiva, esto se logró al momento de pedirles a los niños que representaran
determinadas cantidades con el material, al hacerlo, desglosaban cierta cantidad
en cada uno de sus valores. Más adelante se podrán concretizar.
181
Sesión 4 Aprehendió los Diagramas.
S E P N 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 4 23 5 PORCENTAJE 13 72 15
S = Si E P = En proceso N = No
182
Sesión 5 Aprehendió los diagramas
S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 5 27 PORCENTAJE 15 85
S = Si E P = En proceso
183
Sesión 4 y 5
En estas dos sesiones el ánimo decayó un poco, como la clase era más bien
teórica, el material no lo tuvieron físicamente sin embargo el darles a conocer algo
totalmente nuevo para ellos como los diferentes diagramas, les causaba
expectación, pues no sabían como podrían utilizar dichos diagramas en la
resolución de problemas.
Como era de esperarse, nadie tenía conocimientos previos sobre los diagramas, a
excepción del diagrama de árbol y uno que otro la recta numérica, por ser un tema
de sexto año pero que sin embargo no lo tenían muy firme.
Se trabajó un poco más con los diagramas de Fuson Willis, haciéndoles mención
de que sus libros de texto contenían este tipo de ejercicios. La mayoría de los
alumnos pueden resolverlos, pero no tienen conciencia de los elementos que
utilizan para su resolución.
184
Sesión 6 Concretizó los problemas
S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 13 19 PORCENTAJE 41 59
S = Si E P = En proceso
185
Las actividades se tornaron más dinámicas pero desorganizadas, se formaron
equipos de 4 personas, 2 con las regletas y 2 con los cubos, pero en una sola
mesa de trabajo. A pesar de que ya se había dedicado una clase en explicar el
funcionamiento del material, en esta primera sesión dedicada ya a resolver
problemas, los alumnos se confundieron y no sabían aplicar la teoría a la práctica,
esto provocó que no todos los alumnos alcanzaran los propósitos trazados para
esta sesión.
De la confusión se pudo aprovechar el que los alumnos verbalizaran dudas con
sus compañeros y pudieran ayudarse mutuamente. Mediante el intercambio de
ideas, algunos fundamentaban sus respuestas provocando conocimiento entre
ellos.
Al final cuando todos los equipos habían resuelto el problema, cada uno explicaba
al resto del grupo el como habían trabajado el material para encontrar la
respuesta.
Los problemas a resolver en clase fueron diseñados de forma sencilla, por lo que
los alumnos encontraban el resultado mentalmente, aun antes de hacerlo con el
material, esto les daba confianza para manejar el material y encontrar el resultado.
Cada uno de los equipos, explicaba al resto del grupo como obtuvo el resultado,
los otros equipos podían observar que su procedimiento era o como el de ellos o
por lo menos muy parecido. Todos los equipos participaban de forma entusiasta,
esto beneficia al grupo en general pues los alumnos se encuentran en actividad
mental de forma continua.
186
SESIÓN 7 Concretizó los Problemas
S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 30 2 PORCENTAJE 94 6
S = Si E P = En proceso
187
En esta sesión el ambiente fue de entusiasmo, los alumnos estaban mejor
organizados, pudieron resolver en su mayoría más rápidamente los problemas. El
trabajar en una sola mesa dos materiales diferentes, permitió el que un equipo
opinara sobre el otro, éstos al estar seguros de sus resultados los defendían
provocando conocimiento entre ambos equipos.
Cada equipo peleaba amistosamente en ser el primero en resolver el problema,
esto les daba el privilegio de pasar al pizarrón a fundamentar sus resultados.
Los niños que se tardaban un poco más en resolverlos, se les esperaba sin
presión, claro siempre y cuando estuvieran trabajando sobre los mismos. El ultimo
equipo en resolverlos, también pasaba al pizarrón a explicar su procedimiento.
Tal parece que los niños no se intimidan al pasar al frente, esto era resultado de la
seguridad que les proporcionaba el haber encontrado el resultado correcto a
través del material el cual es muy transparente en la concretización de los
problemas.
188
Sesión 8 Concretizó los Problemas
S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 14 18 PORCENTAJE 44 56
S = Si E P = En proceso
189
Para esta sesión se programaron problemas de multiplicación y división,
operaciones que presentan dificultad para la mayoría de los alumnos, motivo por
el cual se observó un pequeño retroceso en los propósitos a alcanzar. No obstante
se esforzaron en resolverlos demostrando que están en proceso el obtener
destrezas y habilidades con el manejo del material con respecto a la multiplicación
y división.
El ánimo no ha decaído. A los alumnos les gusta manejar el material el cual ya
dominan ampliamente. Algunos tienen preferencia por las regletas y algunos otros
se acomodan más con los cubos unifix, sin embargo se tiene que intercambiar
constantemente el material para obtener una diversificación el la representación
de problemas.
190
Sesión 9 Concretizó los Problemas
S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 30 2 PORCENTAJE 94 6
S = Si E P = En proceso
191
El resultado obtenido fue satisfactorio. Los alumnos en casi su totalidad
demostraron haber adquirido las destrezas necesarias para resolver problemas
por medio de material didáctico sin necesidad de efectuar operaciones.
Sin embargo, el hecho de dedicar 4 sesiones a la resolución de problemas a dado
como resultado el que los niños quieran hacer cosas diferentes, pues se ha
entrado en una monotonía.
Se han observado a lo largo de las sesiones, a 2 pequeños que parece no
interesarles en absoluto el proyecto, se muestran indiferentes y apáticos y aunque
tienen potencial para las matemáticas no demuestran avances significativos. Aun
así se les motiva para que participen y se integren al grupo, así como el que
abandonen su actitud de desobediencia y desorden que perjudica al resto del
grupo.
192
Sesión 10
Concretizó el problema participa opinando Con representaciones Gráficas S E P N ---- S N 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X 7.-Flores Hernández Omar. X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X 20.-Pérez García Alberto X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X TOTAL. 4 19 9 19 13 PORCENTAJE 12 60 28 59 41
S = Si E P = En proceso N = No
193
Los propósitos para esta sesión no se alcanzaron en su totalidad. Tal parece que
los diagramas les cuesta trabajo aplicarlos a la interpretación de problemas, esto
se debe en parte a que efectivamente no están acostumbrados a representar
problemas por medio de diagramas.
Aquí el intercambio de ideas ayudo al progreso de la clase, entre ellos mismos,
escogían el diagrama que más le acomodara al problema y juntos lo diseñaban. El
pasar al pizarrón a ejemplificarlo no representa para ellos ningún problema, es
más se podría decir que hasta lo disfrutan, aun cuando se equivocaran no
desistían de volver a pasar.
Como esto llegó a ser un problema, se dividió el pizarrón en 4 y pasaban de 4 en
4. En ocasiones se repetían el mismo diagrama, pero en otras ocasiones resultaba
enriquecedor observar las diferentes formas de representar un solo problema por
los niños, lo cual habría su mente para ser más creativos.
194
Sesión 11 Concretizó el problema participa Justifica sus Con representaciones opinando opiniones graficas
S EP N S A N S A N 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X 20.-Pérez García Alberto X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X TOTAL. 15 14 3 8 18 6 18 8 6 PORCENTAJE 47 44 9 25 56 19 56 25 19 S = Si E P = En proceso A = Algunas veces N = No
195
El desempeño de los alumnos para esta sesión fue satisfactoria, el dominio sobre
los diagramas fue mejor, el intercambio de ideas fluyeron de manera más
dinámica.
Para un solo problema los alumnos utilizaron casi todos los diagramas estudiados,
se pudieron dar cuenta que los problemas así presentados son más fácil de
entender. Había diversidad de opiniones e intercambio de ideas.
Los alumnos pudieron explicar más abiertamente sus diagramas, la rapidez con la
que resolvían sus problemas fue notoria. Sin embargo les hace falta práctica, la
cual se espera adquieran de forma gradual.
196
Sesión 12 Representa Descubre la Localiza el No.
Numéricamente el problema reversibilidad perdido
S E P N __ S E P N __ S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X 20.-Pérez García Alberto X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X TOTAL. 12 12 8 8 13 11 23 9 PORCENTAJE 37 37 26 26 40 34 72 28
S = SI E P = En proceso N = No
197
Como era de esperarse en esta sesión los propósitos no se alcanzaron, la falta de
práctica se hizo evidente, los alumnos no tienen por costumbre a plantearse los
problemas en forma numérica, a pesar de que ejercicios de este tipo los elaboran
a lo largo del año pero sin aplicación al planteamiento de problemas.
La dificultad era pues el no poder expresar el problema en forma numérica, los
alumnos sentían la necesidad de expresar la incógnita del lado derecho del signo
igual, les era imposible asimilar el que esta se pudiera encontrar del lado
izquierdo.
Una vez que representaban los problemas por medio de los diagramas de Fuson
Willis se pudo constatar que solo unos pocos lograron entender que para
resolverlos había que hacer uso de la reversibilidad de las operaciones. Una vez
explicado este concepto la mayoría pudo encontrar el número perdido de los
diagramas de Fuson Willis.
Una de las pequeñas descubrió sin querer una de las funciones de los diagramas.
Cuando la incógnita se encontraba del lado izquierdo del signo igual, esta al no
saber como resolverlo, fue probando varios números en el cuadrado en blanco de
los diagramas de Fuson Willis hasta encontrar aquel que se ajustara a la
igualdad, esto al comentarlo con el resto del grupo, se les hizo notar, que
efectivamente el cuadrado en blanco vendría a ser más adelante la variable, la
cual podría tomar diferentes valores.
198
Sesión 13 Sus logros en cálculo Mental son
B R 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X 5.-Cruz Santiago Maribel. X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X 7.-Flores Hernández Omar. X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X 15.-Méndez Gonzáles Alan X 16.-Navarrete Arellano Jorge X 17.-Ortega Zamora Mariza X 18.-Ortiz Lozano Marcos X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X 20.-Pérez García Alberto X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X 28.-Tapia Rojas Jessica X 29.-Vallejo Romero Daniel X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X 31.-Muñoz Martines Cathia X 32.-Picazo Escalarte José Luis X TOTAL. 26 6 PORCENTAJE 81 19
B = Buenos R = Regulares
199
Esta sesión fue todo un éxito, los niños se autoevaluaron y confirmaron lo que era
evidente, sus avances fueron progresando paulatinamente. Para esta sesión el
grado de dificultad era alto, ellos mismos comentan que en un principio les era
complicado, sin embargo su nueva habilidad salió a flote y ahora son buenos
calculando mentalmente.
Los ejercicios de cálculo mental, se aplicaban al inicio de las clases, si por algún
motivo estos se retrazaban, los alumnos se encargaban de recordar el que faltaba
la aplicación de estos. De igual manera, los ejercicios planeados para esta clase
dio la oportunidad a los estudiantes de sentirse más seguros y confiados.
200
Sesión 14 concretizó las propiedades Conmutativa asociativa distributiva
S E P S E P N S E P N 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X 20.-Pérez García Alberto X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X TOTAL. 28 4 8 22 2 3 22 7 PORCENTAJE 88 12 25 69 6 9 70 21
S = Si E P = En proceso N = No
201
La clase inició con la pregunta ¿Quién conoce la propiedad conmutativa,
asociativa y distributiva? a lo que el 100% del grupo contestó que no conocían
dichas propiedades. La sorpresa de los niños se hizo presente cuando se les
comentó que en realidad ya las conocían, puesto que las han estado trabajando
desde la segunda sesión, tanto con los problemas como con sus cálculos
mentales, lo único que hacía falta era concretizarlas para que las pudieran
conocer.
Se retomaron todos aquellos ejercicios en donde se utilizaron cada una de las
propiedades, los jóvenes a través de cada ejemplo pudieron concretizar cada una
de éstas. Quedaron demostradas tanto en problemas como en la forma en que
elaboran sus cálculos mentales, pues al cuestionarlos acerca de cómo hacían en
realidad sus cálculos, reflexionaban en los pasos que utilizaban y efectivamente
comprobaban que utilizaban cada una de estas propiedades.
Aun así se hicieron ejercicios exclusivamente con material, los niños demostraron
tener más agilidad al manejar el material, pudieron observar mas de cerca en que
consiste cada una de ellas. En realidad no les fue difícil comprenderlas e
inmediatamente se apoderaron del conocimiento.
Se utilizó el mismo procedimiento hasta ahora seguido, primero se maneja el
material y posteriormente se demuestra numéricamente. Los alumnos, sin darse
cuenta al demostrar numéricamente las propiedades de las operaciones efectúan
operaciones algebraicas. Ahora para ellos les es sencillo y se espera que así lo
vean cuando estudien álgebra.
Los logros obtenidos fueron bastante satisfactorios, los alumnos en su mayoría
pudieron concretizar las propiedades. La clase fue muy divertida, así lo
manifestaron pues descubrieron conceptos interesantes y nuevos para ellos.
202
Sesión 15 Concretizó los valores utiliza Absoluto relativo posicional diferentes notaciones
S E P S E P S E P S E P N 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X X 20.-Pérez García Alberto X X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher X X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X X TOTAL. 28 4 30 2 29 3 7 19 6 PORCENTAJE 88 12 94 6 91 9 22 59 19
S = Si E P = En proceso N = No
203
Para esta sesión el entusiasmo continuó por parte de los alumnos. Se les comentó
que al igual que en la clase anterior conocerían los valores, absoluto o propio,
relativo y posicional, hasta ahora desconocidos para ellos, sin embargo se les
confirmó que estos valores ya los han trabajado no tan sólo en el presente curso
sino en sus clases regulares, pero que de igual forma solo necesitan
concretizarlos.
Se trabajó con material, el cual para estas alturas ya dominan perfectamente. Para
este caso se utilizaron los cubos unifix, por ser los más adecuados para la
ocasión. La mayoría del grupo asimiló rápidamente el concepto, y reconocieron ya
haber trabajado con estos valores, sólo que no se les habían presentado como tal.
Igualmente relacionaron el valor relativo de las cifras con los ejercicios contenidos
en sus libros de texto en donde una cifra la tienen que representar a través de la
notación desarrollada
El dominio del material les permitió representar una sola cifra en diferentes
notaciones, todas ellas de utilidad posterior en álgebra.
La clase en general se encuentra muy motivada por la serie de descubrimientos
que se ha efectuado durante las últimas sesiones. Son conceptos totalmente
nuevos, y desde su perspectiva los ven sencillos, así lo manifiestan. Esto les
causa curiosidad cuando se les comenta que todos estos conceptos serán
utilizados en secundaria.
204
Sesión 16 y 17 Evaluación evaluación Inicial final R M R M 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X 7.-Flores Hernández Omar. X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X 20.-Pérez García Alberto X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X TOTAL. 1 31 16 16 PORCENTAJE 3 97 50 50
R = Regular M = Mal
205
Las actividades de esta sesión fueron teóricas. Se aplicó un cuestionario para
investigar como manejaban su lenguaje aritmético, se pudo constatar que el 97 %
del grupo lo maneja de forma incorrecta, sólo una alumna tuvo 3 aciertos
correctos.
Es difícil para los alumnos cambiar esquemas que han aprendido a lo largo de la
primaria, sin embargo se mostraron dispuesto al cambio al hacerles algunas
observaciones acerca de lo que en realidad representan conceptos como
variables, diferentes formas de representar los signos de las operaciones, y sobre
todo el lenguaje empleado en donde las características son iguales en aritmética y
en álgebra.
Aun a pesar de que se utilizaron dos clases dedicadas a corregir el lenguaje
aritmético, los niños seguían empeñados en repetir sus errores, así se demostró
cuando se aplicó por segunda vez el mismo cuestionario en donde sólo el 50%
logró corregir algunos, mientras que el otro 50 % no los asimiló muy bien.
206
Sesión 18 Expresa Expresa Resuelve justifica
Correctamente correctamente correctamente sus Igualdades igualdades ecuaciones de resultados Numéricas simbólicas 1º grado
S E P S E P S E P S E P 1.-Abreo Santiago Jorge Luis X X X X 2.-Arias Zamudio Yareli Rebeca X X X X 3.-Cathi Bomayé Erick de Jesús X X X X 4.-Contreras Días Mónica Liliana X X X X 5.-Cruz Santiago Maribel. X X X X 6.-Díaz Juárez Claudia Mariana X X X X 7.-Flores Hernández Omar. X X X X 8.-Godinez Reyes Ana Laura X X X X 9.-Gonzáles Hernández Brenda X X X X 10.-Guadarrama Nava Gina Aurora X X X X 11.-Jácome Cabrera Adolfo X X X X 12.-López Rodríguez Carlos Enrique X X X X 13.-Luna Fuentes Juan Daniel X X X X 14.-Márquez Cruz Irene Adriana X X X X 15.-Méndez Gonzáles Alan X X X X 16.-Navarrete Arellano Jorge X X X X 17.-Ortega Zamora Mariza X X X X 18.-Ortiz Lozano Marcos X X X X 10.-Perafán Perea Ariadna Lizbeth X X X X 20.-Pérez García Alberto X X X X 21.-Ramírez León Jesús Efrén X X X X 22.-Ramírez Sánchez Alejandra X X X X 23.-Rodríguez Almazán Christopher Said X X X X 24.- Romero Aguilar Irma Elizabeth X X X X 25.- Rosas Castro Laura Victoria X X X X 26.-Serrato Chávez José Ajitzi X X X X 27.- Silva Castro Luis Eduardo X X X X 28.-Tapia Rojas Jessica X X X X 29.-Vallejo Romero Daniel X X X X 30.-Zamora Nabor Luis Oscar X X X X 31.-Muñoz Martines Cathia X X X X 32.-Picazo Escalarte José Luis X X X X TOTAL. 29 3 30 2 30 2 30 2 PORCENTAJE 91 9 94 6 94 6 94 6
S = Si
E P = En proceso
207
En esta la última clase dedicada a demostrar que tanto funcionó el proyecto, fue
todo un éxito. El tema ecuaciones de primer grado tocado por primera vez en todo
el proyecto fue motivo de expectación por parte de los alumnos. Tanto se les hablo
del tema que tenían curiosidad y prisa por conocer el tema.
En esta clase no se utilizó ninguno de los materiales didácticos anteriormente
utilizados, ni lápiz ni papel, se utilizaron sobre el pizarrón diferentes figuras de
fomis, y el diagrama de la balanza tantas veces utilizado.
Cuando se les presentó el primer modelo, en donde la balanza estaba equilibrada
con diferentes pesas y un objeto del cual se desconocía su peso, los alumnos al
observarlo, rápidamente concluyeron el peso del objeto, estos se mostraron
confundidos cuando se les dijo felicidades han resuelto su primera ecuación de
primer grado. Los alumnos se volteaban unos a otros como esperando otra
respuesta pues no podían creer que así de fácil fueran las ecuaciones.
Posteriormente se les explicó que este era un ejercicio muy sencillo, pero que
básicamente todas las ecuaciones de primer grado se podían representaban de
esta forma. Esto facilita en gran medida el poder encontrar el valor desconocido
aplicando todos los conocimientos asimilados a lo largo del curso.
Se les invito a verbalizar el como o el porque dicen que el peso del objeto es el
correcto. Aun cuando sus respuestas eran acertadas, tardaron un poco mas en
expresar verbalmente los pasos que tendrían que hacer sobre la balanza para
comprobar que efectivamente el resultado era correcto.
La mayoría del grupo pudo expresar y ejecutar físicamente los diferentes
movimientos en la balanzas de varios modelos de ecuaciones, aun aquellos niños
que se mostraron tímidos y reservados durante todo el curso.
208
Una niña en especial Brenda, sobresalió de forma especial, su participación en el
curso se podría considerar como regular, ella captó rápidamente la idea. Cuando
se presentaba un nuevo modelo lo resolvía rápidamente, se acercaba temerosa a
preguntar si su resultado estaba bien, cuando se le contestaba ¡Bien Brenda le
estas entendiendo muy bien, a ver pasa al pizarrón! su actitud cambiaba de forma
radical, se veía feliz por sus logros, sobre todo porque durante todo el curso no se
había sentido tan segura. Después del primero en donde su autoestima subió en
todos los demás ejercicios era la primera en resolverlos y aun sabiendo que
estaba correctos, se acercaba con la maestra para confirmarlo.
Una vez que se efectuaron varios ejercicios con figuras y comprendieron los
movimientos necesarios para encontrar el resultado se les invitó a hacerlo de
forma numérica. Se le asignó por primera vez una letra la que ellos eligieran al
peso del objeto, se fueron alternando los movimientos en la balanza con su
expresión numérica, hasta encontrar el valor de la incógnita.
Cuando se efectuaron varios ejercicios se les cuestionó a los alumnos que
¿Cuáles de los conocimientos recién adquiridos se estaban aplicando a la
resolución de las ecuaciones?, la gran mayoría pudo identificar los diagramas de
Fuson Willis, reversibilidad de las operaciones, desde luego el diagrama de la
balanza, el uso correcto del signo igual entre otros.
Se podría anotar que la última clase fue de júbilo general, los niños se veían
satisfechos con el curso, se sentían muy seguros de poder superar la barrera de
las ecuaciones. Un alumno Jesús Efrén comentó Uno de mis vecinos me dijo que
ya lo tenían harto con las ecuaciones de primer grado en secundaria porque no les
entendía nada, pero según como yo lo veo realmente no son difíciles.
El curso terminó con una clase muestra (misma que no se contempla dentro del
plan de trabajo), a la que asistieron los directores de ambos turnos, en ella se hizo
un recuento de todos los conocimientos estudiados, cada alumno eligió un tema y
209
con el material adecuado demostraron cada concepto. El buen ánimo se contagió
y todos participaron con gusto, cuando la clase terminó con la demostración de las
ecuaciones de primer grado el ánimo había aumentado, la directora contagiada
también solo pudo voltear a ver a la maestra y comentar ¿Por qué no nos
enseñaron esto a nosotros en la primaria?
Para finalizar se dio un fuerte aplauso reconociendo el esfuerzo de todos los
participantes.
210
EVALUACIÓN GENERAL DEL PROYECTO. En general el proyecto se pudiera decir que nació con buena estrella, desde un
principio la directora del plantel apoyó la aplicación del mismo, sugirió que este se
aplicara como si fuera un curso, dado que el horario de clases es muy reducido.
La invitación se hizo a todo el grupo, nadie estaba obligado a asistir, aun así se
inscribieron 32 de 35 niños lo cual se podría considerar como el total del grupo.
Se puede decir que el proyecto alcanzó los propósitos deseados, los alumnos
pudieron resolver problemas aritméticos con diferentes estructuras por medio de la
metodología propuesta desarrollando paso a paso, obtuvieron destrezas
aritméticas mediante el manejo de material, el cual, al final del curso dominaban
perfectamente, pudieron representar sus problemas por medio de diferentes
diagramas y dominaron ampliamente sus expresiones numéricas mediante los
diagramas de Fuson Willis.
Con todas estas destrezas recién adquiridas, la generalización de problemas fue
sencilla, es decir cuando se llegó al punto de resolver ecuaciones de primer grado
por medio de diagramas, para los niños no existía ninguna complicación. Los
jóvenes por medio del modelo propuesto (balanza) entendieron el concepto que
representa es decir las cantidades se encuentran en equilibrio, por lo tanto son
equivalentes. Con esta idea los alumnos pudieron hacer los movimientos
necesarios en la balanza respetando siempre la equivalencia para poder encontrar
el valor de la variable, primero de forma gráfica y posteriormente de forma
simbólica en donde se le asigna una letra a la variable.
El hecho de que los niños pudieran resolver ecuaciones de primer grado con una
incógnita de manera tan eficaz, es sinónimo de que obtuvieron las suficientes
destrezas aritméticas durante el curso, pues sin ellas es casi imposible resolver
ecuaciones.
211
El entusiasmo de los niños por resolver ecuaciones era muy evidente, resueltas
por medio de modelos facilitó su entendimiento, sin embargo cuando se tenia que
demostrar numéricamente se les complicaba un poco, pues en ello no tenían
práctica alguna, en este rubro desde luego si se le dedicara más tiempo, lograrían
dominar numéricamente las ecuaciones, sin embargo y aun cuando el concepto se
entendía no se quiso profundizar mucho en este aspecto pues se corría el riesgo
de confundirlos, esto debido a que los chicos se encuentran en una etapa de
transición entre el estadio de las operaciones concretas y el de las operaciones
formales y no resulta conveniente adelantarse a este. Se espera que cuando
lleguen de manera natural a este estadio, el cual se dará cronológicamente
cuando se encuentren estudiando álgebra en secundaría, puedan entender más
fácilmente no solo las ecuaciones de primer grado, sino muchos de los temas que
abarca el álgebra pues llevan las herramientas necesarias.
Existen algunos indicadores que demuestran el buen funcionamiento del proyecto,
algunos de ellos son: ninguno de los alumnos inscritos se dieron de baja, con la
matrícula con la que se inició fue la misma con la que se terminó; la asistencia fue
aceptable, a lo largo del curso se presentaron diversas enfermedades, las cuales
fueron justificadas con comprobantes por parte de los padres, una de las
condiciones para no ser dado de baja del curso era la asistencia, a la tercera falta
causaba baja. Una pequeñita tuvo una operación, pero igual, apenas se recuperó
continuó con su curso.
La puntualidad con la que asistían los niños fue otro indicador, no había tolerancia
de entrada, el curso empezaba a las 9 a m se abría una sola vez la puerta y nadie
más entraba, esto se estableció con la finalidad de no importunar al conserje pues
como el curso se impartía en un turno diferente al propio, no se quería causar
molestias abriendo la puerta cada que llegara un alumno con retardo, esto motivó
a los niños a llegar temprano. Si se toma en cuenta que el curso era totalmente
voluntario, que no influía ni a favor ni en contra en su calificación, y en el momento
en que ellos quisieran podían dejar de asistir sin ninguna represalia.
212
El proyecto en sí llegó más allá de lo que se esperaba. El director del turno
matutino interesado en el proyecto pidió que de ser posible, se diera otro curso
para sus alumnos de sexto año, lo cual fue viable debido a que se contaba con el
tiempo necesario. Es conveniente aclarar que las observaciones vertidas en la
presente investigación están hechas única y exclusivamente sobre la primera
aplicación, y aun cuando la segunda fue más enriquecedora pues se aplicó con
una visión más amplia, estas no son consideradas más que para un mayor acervo
cultural por parte de la autora.
Otro indicador más fue el que la directora interesada en que esto no quedara
como un simple curso, pidió a la que suscribe, organizara un curso de TGA para
los maestros, en el cual se expusieran los elementos más importantes del tema,
los maestros se mostraron interesados en la idea. Es importante destacar que sus
actitudes fueron muy parecidas a la de los estudiantes, de sorpresa y asombro
dado que el curso fue preparado como si ellos mismos fueran alumnos, es decir
manipularon de la misma forma el material y los diagramas.
La opinión de los maestros fueron en el sentido de que efectivamente los temas se
entienden mejor con el material, pero que desgraciadamente en escuelas de
gobierno como es el caso, el problema es adquirirlo, ya que los padres difícilmente
pueden comprárselo a sus hijos y la escuela no cuenta con presupuesto como
para poder adquirirlo. Sin embargo la directora ha dado el primer paso y con
ayuda del consejo de padres de familia ha adquirido ya casi al final del año 8
juegos de regletas Cuisenaire y 8 juegos de cubos unifix que desde luego son
insuficientes hasta para un grupo, pero se espera que sea el inicio para que el
siguiente año se complete por lo menos lo de un grupo.
Sumando todos los aspectos anteriores, se puede anotar que el proyecto en si es
viable, que puede funcionar en la medida en que el maestro lo conozca, domine y
213
aplique con sus grupos, inclusive su diseño permite sea aplicado aun desde el
primer año escolar.
Por otra parte los alumnos se interesaron más por las matemáticas, no se podría
decir que le perdieron el miedo al álgebra, pues ni siquiera saben que es lo que
estudia dicha materia, pero por lo menos llevan la idea clara de que las
ecuaciones de primer grado son cosa sencilla, que inclusive se puede jugar con
ellas.
Desde luego el proyecto es susceptible de ser perfeccionado, esto será en la
medida en que los profesores al momento de leerlo e inclusive de aplicarlo
observen errores en el mismo y sean corregidos y superados de acuerdo a la
forma muy particular de trabajar de cada maestro.
214
REFORMULACIÓN.
En general la presente investigación quedó bien estructurada, las 18 sesiones
para alcanzar el propósito principal del proyecto son las correctas, en un menor
número sería complicado dado que las matemáticas necesitan su tiempo para
comprenderlas.
Se pudo observar sin embargo que las sesiones dedicadas a la resolución de
problemas por medio de material, las cuales fueron 4 los alumnos entraron en
monotonía, es decir se aburrieron, es por esto que se sugiere se reduzcan a la
mitad, con la doble finalidad primero, de asignarlas al final del curso a las
ecuaciones de primer grado y segundo, el de reducir el tedio de 4 sesiones
dedicadas a la misma actividad.
Inicialmente se pensó que una sesión dedicada a las ecuaciones de primer grado
era suficiente, la razón se sustentaba en el hecho de no adelantar a los chicos a
su estadios de maduración natural, sin embargo, la sensación que se tuvo al final
del curso fue de insatisfacción tanto por los niños como por el maestro, ya que el
objetivo final tan esperado, el de relacionar todo lo aprendido a lo largo del curso
con las ecuaciones de primer grado, se vio truncado al dedicarle una sola clase.
Además se pudo comprobar que los chicos realmente le entendieron al tema y que
dedicarle más tiempo no los perjudicaría en un futuro.
Otro punto que se sugiere reestructurar es el de aumentar el material didáctico es
decir, se contaba con solamente 8 juegos de regletas y 8 juegos de cubos unifix.
Durante las primeras sesiones se formaron equipos de 4 personas, el material no
alcanzaba para que todos trabajaran, esto distraía la atención del resto del equipo.
Con el aumento del material se solucionaría otro pequeño problema, el
relacionado con el diseño del mobiliario. En las escuelas regularmente no se
215
cuenta con mesas para trabajar en equipo, al hacer pequeños grupos de 4
personas 2 integrantes trabajaban cómodamente, mientras los otros dos tenían
que sentarse en forma encontrada con sus bancas, trabajando de forma
incómoda. De no hacerse así ocasionaba conflictos entre los compañeros al pasar
el material a las bancas de adelante, donde los otros 2 no lo alcanzaban, esto
provocaba pérdida de tiempo, al tratar de solucionar el conflicto.
Por lo demás el curso alcanzó sus propósitos, y a juicio de la autora no necesita
ningún otro cambio.
216
CONCLUSIONES
Del trabajo presentado, se puede concluir que los resultados en general fueron
satisfactorios. Los alumnos lograron aprehender en su mayoría muchos de los
conocimientos algebraicos necesarios para iniciarse en el estudio de las
ecuaciones de primer grado a partir de la aritmética.
Los niños encontraron a lo largo de las sesiones, una metodología que les permitió
resolver problemas de forma ordenada y eficaz. Existen desde luego aquellos
niños que su ritmo de aprendizaje es más lento que el promedio del grupo, ellos
requerían de más tiempo, sin embargo las sesiones ya estaban planeadas por lo
que fue imposible hacer un trabajo más detallado de por lo menos dos casos.
A través de toda la metodología que adquirieron para resolver problemas, los
chicos pueden reconocer la reversibilidad de las operaciones, identifican las
propiedades de las operaciones básicas, el concepto de variable, reconocen el
número perdido, su utilidad y aplicación en ecuaciones de primer grado.
Del mismo modo la redacción de los problemas, no constituye un problema para
los estudiantes, pueden hacer diferentes representaciones numéricas a partir del
planteamiento de los mismos. El haber practicado con diferentes tipos de
problemas los llevo a obtener destreza es este rubro.
De igual manera el lenguaje aritmético empleado en el aula mejoró de forma
significativa.
En cuanto a los aspectos relacionados con el maestro, como el relacionado con
que éste también posea una metodología que pueda transmitir a sus alumnos, el
que redacte sus problemas de forma que plantee diferentes tipo de los mismos, el
que utilice diferentes materiales para que los alumnos resuelvan problemas
aritméticos, de si el lenguaje aritmético fue mejorado por el profesor, de la
217
aprehensión y / o ampliación del conocimiento algebraico, y por último de la
conexión por parte del profesor de problemas aritméticos y algebraicos, no se
pueden hacer conclusiones de manera formal, pues aun cuando se les ofreció un
curso a los maestros, este no se evaluó. Se espera que de alguna manera influya
sobre la forma de pensar y trabajar del maestro.
218
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http://www.monografias.com/trabajos13/teapre/teapre2.shtml#ed
221
ANEXOS
Cuestionario 1 anexo 1
CUESTIONARIO PARA ALUMNOS
Los datos vertidos en este cuestionario son totalmente confidenciales, la veracidad
con la que conteste será de gran ayuda para datos estadísticos. El propósito del
cuestionario es investigar tus preferencias sobre matemáticas, algunos conceptos
y de cómo resuelves problemas aritméticos.
EDAD__________ SEXO______
1.- ¿Te gustan las matemáticas? Si_______ No_______ ¿Porqué?___________
2.- ¿Eres eficiente resolviendo problemas? Si______ No_______ ¿Porqué?____
3.-¿Cuentas con alguna estrategia para resolverlos? No _____ Si_____
Descríbela _________________________________________________________
4.- ¿Cuál o cuáles de las 4 operaciones básicas te cuesta trabajo resolver? ¿A
que crees que se deba? ______________________________________________
5.¿Qué opinas acerca de los ejercicios de tu libro de matemáticas? (buenos,
malos, apropiados, aburridos etc) _______________________________________
6.¿Conoces la reversibilidad de las operaciones? No____Si_____ ¿Podrías
describirla? ________________________________________________________
7-¿Conoces las propiedades de las operaciones básicas? (conmutativa,
asociativa, distributiva) No____Si______¿Podrías describirlas? ______________
8.-¿Te gusta como enseña tu maestro la clase de matemáticas? Si_____ no
___¿Por qué?______________________________________________________
9.- ¿Alguna vez has practicado el calculo mental? Si______ No____ Expresa
brevemente de qué se trata.
10- ¿Sabes lo que es el número perdido? No___ Si__ ¿Cuál es su
utilidad?___________________________________________________________
11.- ¿Sabes lo que es una variable? No_____Si _______ Explícala ___________
12.- ¿ Hay alguien en casa que te pueda ayudar a resolver tus tareas
matemáticas? ¿Quién?______________
222
Cuestionario 2 anexo 2
CUESTIONARIO PARA MAESTROS.
Los datos vertidos en este cuestionario son totalmente confidenciales, la veracidad
con la que conteste será de gran ayuda para datos estadísticos.
El propósito del cuestionario es investigar sus preferencias sobre matemáticas,
algunos conceptos de cómo enseña a resolver problemas aritméticos.
1.-¿Cuándo usted fue estudiante ¿Le gustaban las matemáticas? ¿Por
qué?_____________________________
2.-¿Qué tan buen estudiante fue en álgebra? _____________________________
3.-¿Cómo considera actualmente la enseñanza de las Matemáticas?___________
4.-¿Con que frecuencia aplica problemas a sus alumnos?____________________
5.-Los problemas ¿Los aplica antes o después de impartir los conceptos del tema?
6.-¿Posee alguna estrategia para resolver problemas aritméticos que comparta
con sus alumnos? No___Si_____Explíquela______________________________
7.-¿Cuáles cree que sean las razones por la que sus alumnos (los que así fueran)
no resuelven satisfactoriamente problemas aritméticos?_____________________
8.-¿Utiliza algún tipo de material didáctico para favorecer el razonamiento de
problemas? ________________________________________________________
9.-¿Practica el cálculo mental con sus alumnos? y ¿Porqué?_________________
10.-¿Considera que existe alguna conexión entre los problemas aritméticos con
los algebraicos? No____Si______¿Cuál sería esa conexión?________________
11.- ¿Ha recibido algún curso de capacitación sobre matemáticas por parte de la
SEP?_____________
223
Cuestionario 3 anexo 3
CUESTIONARIO PARA PADRES DE FAMILIA
Los datos vertidos en este cuestionario son totalmente confidenciales, la veracidad
con la que conteste será de gran ayuda para datos estadísticos.
El propósito del cuestionario es investigar aspectos relacionados con su hijo
referentes a la materia de matemáticas dentro de su entorno familiar y escolar.
1.-¿Cómo considera actualmente la enseñanza de las matemáticas? __________
2.- Cuándo usted fue estudiante ¿Le gustaban las matemáticas?
Si_____No______¿Por qué?__________________________________________
3.- De acuerdo a como usted aprendió, ¿Considera que sería efectiva en la
actualidad? _________ ¿Por qué? ______________________________________
4.- ¿Fue usted buen estudiante en aritmética? Si___No____ ¿Por
qué?______________________________________________________________
5.-¿ Fue usted buen estudiante en álgebra? Si _____No_______¿Por
qué?______________________________________________________________
6.-¿Considera que son importantes las matemáticas para su hijo (a) ?
Si____no____¿Por qué? _____________________________________________
7.- A su hijo (a) ¿Se le facilitan las matemáticas? Si____No____ ¿A qué cree que
se deba? __________________________________________________________
8.-¿Su hijo (a) resuelve correctamente operaciones básicas? Si___ No____ ¿A
que cree que se deba? _______________________________________________
9.-¿Su hijo (a) resuelve correctamente problemas aritméticos? Si___ No____¿A
qué cree que se deba? _______________________________________________
10.-¿Hay alguien en casa que apoye las tareas matemáticas de su hijo (a) No____
Si_____ ¿Quién es quien lo ayuda?_____________________________________
11.-¿De que manera le ayuda y explica a su hijo (a) cuando tiene que resolver
problemas matemáticos y operaciones básicas. ___________________________
12.-¿Cómo califica la actuación del maestro con respecto a la clase de
matemáticas?_______________________________________________________
13.- ¿Hasta que nivel de estudios cursó?._________________________________
224
Cuestionario 4 anexo 4
CUESTIONARIO SOBRE LENGUAJE ARITMÉTICO.
Resuelve en el siguiente cuestionario de acuerdo a lo que se te pide, si consideras
necesario puedes consultar con tus compañeros tus respuestas. En la columna (1)
escribe si entiendes la palabra o no. En la columna (2) pon el símbolo para la
palabra. En la columna (3) Dibuja un diagrama o usa símbolos para mostrar el
significado de la palabra, puedes usar un ejemplo si lo deseas. Y en la columna (4)
describe el significado de la palabra usando un ejemplo si lo deseas.
Palabra Simbolo Como se lee
Diagrama Describe en palabras
Más
+ más ** *** ***** ** *** ***** 4 + 6 = 10
Sumar, es decir 4 + 6 es igual a 10
Menos
Multiplicar
Dividir
Igual
Un número al cuadrado
Un número al cubo
Raíz cuadrada
Raíz cúbica
225
1.- ¿Qué significa para ti la letra “m” en la expresión 3m?
2.- ¿Se esta efectuando algún tipo de operación entre el tres y la m?
3.- ¿Qué significa para ti la palabra variable?
4.- Durante el curso ¿Se ha estudiado el concepto de variable?
5.- ¿Qué significan los signos de las operaciones en general?
6.- ¿Cómo leerías el símbolo? 2
bxh ( la línea)
7.- En el ejemplo anterior. ¿Qué significan las letras b y h?
6.- ¿Que significan para ti los paréntesis? O ¿Para qué sirven?
7.- ¿De qué otra forma representarías el 27? 27 =?
8.- ¿Cómo escribirías la expresión 56 entre 8 y al resultado sumarle 5
9.- ¿Cómo se llaman aritméticamente los siguientes números 8 x 4 = 32
10.- ¿Cómo se llaman aritméticamente los siguientes números 24 ÷6 = 4
11.- ¿Cómo escribirías las siguientes expresiones aritméticas?
Un número cualquiera
La suma de dos números.
La diferencia de dos números
El cociente de dos números
El doble de un número
La mitad de un número
La raíz cuadrada de un número
El doble de la suma de dos números
La quinta parte de un número
El cubo de un número
La tercera parte de un número
12.- ¿Cómo se llaman aritméticamente los siguientes números? 9 – 5 = 4
13.- ¿Cómo se llaman aritméticamente los siguientes números 8 + 3 = 11
226
Cuestionario 5 anexo 5
PROBLEMAS DE EVALUACIÓN INICIAL
1.-Tengo una colección de monedas, adquirí en una tienda para coleccionistas 37
más, ahora tengo 278, ¿Cuántas monedas tenía en un principio?
Planteamiento Operaciones Resultado
2.- En la Kermés de la escuela nos toco vender refrescos, empezamos con 323,
vendimos casi todos, al final solo nos quedaron 56. ¿Cuántos refrescos
vendimos?
Planteamiento Operaciones Resultado
3.-Una vaca pesa 345 k y un rinoceronte 874 k ¿cuántos kilos pesa de más el
rinoceronte de la vaca?
Planteamiento Operaciones Resultado
4.- ¿Un coche pequeño vale $50 pesos. Otro más grande cuesta $150 pesos
¿Cuántos coches pequeños valen igual que uno grande?
Planteamiento Operaciones Resultado
5.- Juan tiene cierta edad, su hermano Pepe es 2 veces mayor que Juan y su
papá 3 veces mayor que Pepe ¿Cuántas veces es mayor el papá que su hijo
Juan?
Planteamiento Operaciones Resultado
227
Cálculo mental. anexo 6 Sesión 1 1) 5 +3 +8 + 7 = 23 2) 4 + 9 + 4 + 7 = 24 3) 13 – 4 – 2 – 5 = 2 4) 27– 4 – 3 – 7 = 13 5) 12 + 15 – 7 – 10 = 10 Sesión 2 1) 4 + 3 + 5 + 7 = 19 2) 8 +3 + 9 + 7= 27 3) 34 – 4 – 10 – 5 = 15 4) 20 – 3 – 5 – 2 = 10 5) 70 + 50 –30 –20 = 70 Sesión 3 1) 300 + 120 + 80 + 170 = 670 2)125 –15 –30 – 35 = 45 3) 250 +125 +25 +33 = 433 4) 750 – 20 – 50 – 30 = 650 5) 130 + 120 – 70 –30 = 150 Sesión 4 1) 80 +10 + 4 – 10 – 4 ÷8 =10 2) 3 + 5 + 2 x 3 +10 ÷10 = 4 3) 2 +3 +4 +9 ÷2 x 3 + 3 = 30 4) 100÷2 + 6 – 2 ÷9 = 6 5) 49÷ 7 + 14 x 3 – 3 x 10 = 300 Sesión 5 1) 3 + 4 + 28 – 10 x 4 ÷ 2 = 50 2) 9 x 7 + 10 – 3 ÷ 7 – 3 = 7 3)40 – 10 + 5 ÷ 7 x 6 = 30 4) 14 ÷ 2 x 3 + 4 ÷ 5 = 5 5) 25 x 4 x 5 – 300 ÷ 4 – 25 = 25 Sesión 6 1) 72 ÷9 x 5 + 6 + 3 = 49 2) 8 + 3 + 2 – 5 ÷4 = 2 3) 13 – 5 ÷4 x 6 ÷3 = 4 4) 81 ÷ 9 x 6 + 10 + 2 – 3 = 63 5) 9 x 7 + 18 ÷ 9 – 2 x 7 = 49 Sesión 7 1) 33 x 3 + 1÷ 5 – 17 x 6 + 32 = 50 2) 12 x 4 + 12 ÷ 2 + 30 – 40 = 20 3) 28 ÷ 7 + 3 x 7 = 49 4) 16 + 36 + 8 x 7 – 20 = 400 5) 7 + 5 + 9 + 5 –2 = 24 Sesión 8 1) 82 + 31- 13 ÷ 10 + 5 x 4 = 60 2) 42 – 12 x 5 + 150 + 10 ÷ 2 = 155 3) 198 x 3 + 6÷ 6 – 35 = 65 4) 152 x 4 – 8 –175 –25 ÷ 10 = 40 5) 24 ÷ 8 + 34 x 2 =74 Sesión 9 1) 55 2) 50 3) 68 4) 25 5) 9 Sesión 10 1) 45 + 34 + 11÷ 3 + 5 x 4 = 140 2) 79 + 31 +35 + 15 – 75 = 85 3) 9 x 7 + 8 x 2 = 142 4) 5000 + 4500 – 1 500 ÷ 2 – 2 000 = 2 000 5) 3 200 + 1 800 + 750 + 250
228
Sesión 11 1) 15 x 500 x 6 = 45 000 2) 45 000 x 4 – 80 000 – 50 000 ÷ 2 = 25 000 3) 3 500 + 3 500 x 3 – 1000 = 20 000 4) 1 200 + 1800 + 2 500 – 1 500 ÷ 2 = 2000 Sesión 12 1) 15 x 8 + 20 ÷ 2 ÷10 = 7 2) 15 x 100 + 1500 x 3 – 8 000 = 1 000 3) 3 000 ÷ 1 000 x 9 + 5 –2 = 30 4) 100 ÷ 4 ÷ 5 x 9 + 15 – 30 = 30 5) 6 x 5 +17 +3 = 50 Sesión 13 Calculo mental escrito. a) 59 b) 50 c) 60 d) 60 e) 46 f) 44 g)54 Sesión 14 1) 17 x 2 – 2÷ 8 + 19 =23 2) 440 ÷ 4 – 10 x 5 + 75 = 575 3) 87 + 83 – 68 –2 = 100 4) 59 + 50 + 60 + 11 + 20 = 200 5) 30 + 120 + 60 + 30 + 40 = 280 Sesión 15 1) 31 + 29 – 6÷ 9 x 8 = 48 2) 13 + 45 + 12 – 26 – 4 = 40 3) 53 + 18 – 6 – 5 ÷ 4 = 15 4) 60 x 60 = 3 600 5) 15 x 12 = 180 Sesión 16 1) 12 x 12 +144 = 288 2) 66 x 5 + 70 ÷ 2 = 200 3) 270 ÷ 3 – 45 ÷ 9 = 5 4) 73 x 11 – 3 = 800 5) 250 ÷ 5 – 3 x 2 = 94 Sesión 17 1) 2000 – 1 – 9 – 90 = 1900 2) 3 999 + 1÷ 4000 x 1 = 1 3) 1000 – 1 – 99 ÷10= 90 4) 10,000 – 1 – 1 – 998 = 9000 5) 3 333 + 1 – 334÷ 3 000 = 1 Sesión 18 1) 153 + 147 – 1 – 99 ÷10÷ 5 = 4 2) 10 x 10 x 10 x10 ÷ 10 000 = 1 3) 3 x 3 x 3 x 3= 81 4) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64 5) 5 x 5 x 5 x 2 = 250