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LA INTEGRAL INDEFINIDA bernardsanz

Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 1

DEFINICIÓN DE DIFERENCIAL

La derivada de una función y = f(x) es [ ]( )'( )

d f xdy f xdx dx

= = , no se debe considerar una

fracción común y corriente en la que dy es el numerador y dx es el denominador, sino que estrictamente

representa xy

x ΔΔ

→Δ 0lim .

dónde: 2 1x x xΔ = − y 2 1y y yΔ = −

Sin embargo, en muchos problemas es necesario considerar dy y dx por separado.

POR DEFINICIÓN: 1. La diferencial de una variable independiente es el incremento que experimenta:

2 1dx x x x= Δ = −

2. La diferencial de una variable dependiente o función es igual al producto de su derivada por la

diferencial de la variable independiente.

Es decir:

dydx

dx

( )'( )f x dx=

Simplificando dxxfdy )('= , dy y≠ Δ

Las fórmulas para hallar las diferenciales son las mismas que se utilizan en la obtención de las

derivadas, multiplicadas por dx.

Ejemplo: Calcular la derivada y la diferencial de las siguientes funciones:

Función Derivada Diferencial

1) xxy 52 −= 52' −= xy ( )dxxdy 52 −=

2) 345 23 +−= xxy xxy 815' 2 −= ( )dxxxdy 815 2 −=

3) 53 −= xy 5323'

−=

xy

5323

−=

xdxdy



INCREMENTOS Y DIFERENCIALES, INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DIFERENCIAL Dada la curva y = f(x), su derivada en el punto P es, la pendiente de la recta tangente a la curva

f(x) en ese punto.

Como y QSΔ = , dx PS= y la '( ) tan RSPSf x θ= = y tomando la definición de diferencial tenemos:

'( )dy f x dx=

tandy dxθ=

RSdyPS

= PS

dy RS y dy= Δ ≠

dy , representa el incremento correspondiente de la ordenada de la tangente en P. Observando la gráfica se puede considerar que a medida que la dx se hace pequeña, la diferencia

entre Δy y dy se reduce, por lo que cuando Δx→0 o en su defecto es muy pequeño se puede considerar

el aproximar al Δy con la dy.

dy y≠ Δ

'( ) tanm f x θ= =

θ



CÁLCULO DE APROXIMACIONES USANDO LA DIFERENCIAL Por la razón anteriormente expuesta, para obtener el valor aproximado del incremento de una

función, resulta más sencillo calcular el valor de la diferencial correspondiente y utilizar este valor.

Ejemplo 1. Hallar el incremento del área de un cuadrado de lado 4 m al aumentar el lado 3 mm

Función: siendo x el lado, A = x2 y dx=Δx=3mm = 0.003m

2024.0)003.0()8()003.0()4(22 mdxxdAA =====Δ

Siendo el valor exacto del incremento de 0.024009 m2

Corresponde al estudiante comprobar cómo se obtuvo el valor exacto.

Los resultados por los dos métodos son sensiblemente iguales, sin embargo el método de usar

diferenciales es más sencillo.

Ejemplo 2. Utilizando la diferencial, calcular el volumen aproximado del incremento de volumen de un

cubo de lado 5 m al aumentar el lado en 0.002 m

Función: V = x3 (siendo x el lado)

322 15.0)002.0()25(3)002.0()5(33 mdxxdVV =====Δ

Corresponde al estudiante comprobar el resultado exacto y comparar los resultados.

Ejemplo 3. Hallar el valor aproximado de 17 , utilizando a la diferencial.

Función: 1, entonces ' , por lo que .2 2

dxy x y dyx x

= = =

Tomando al valor más cercano de 17, 416 = .

17 16 1 pequeñox y dyΔ = − = ≈ Δ ≈

17 16 17 4, 17 4y yΔ = − = − = + Δ

1 1 1 0.1252(4) 82 2 16

dxy dyx

Δ ≈ = = = = =

Por lo tanto: 125.4125.0417 =+=

Valor de calculadora: 17 4.1231= lo que genera una diferencia de 0.0019, con lo cual concluimos

que la diferencial proporciona una buena aproximación al problema.



LA ANTIDERIVADA Definición: una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo I si:

'( ) ( )F x f x= Para todo valor de x en I.

Ejemplo:

Sea 3 2( ) 4 5F x x x= + + , entonces, 2'( ) 12 2F x x x= +

De modo que si f es la función definida por: 2( ) 12 2f x x x= +

Entonces “f es la derivada de F y F es la antiderivada o función primitiva de f”

Ahora bien, si G es la función definida por: 3 2( ) 4 17G x x x= + − .

Entonces G también es una antiderivada de f ya que: 2'( ) 12 2G x x x= +

En general: cualquier función determinada por 3 24x x C+ + , donde C es una constante, es una

antiderivada de f.

Teorema: Si F es una antiderivada particular de f en un intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está dada

por: ( )F x C+

Donde C es una constante arbitraria, y todas las antiderivadas de f en I pueden obtenerse a partir de

( )F x C+ , asignando valores particulares a C.

Por comodidad, este concepto se expresa con la frase “F(x) es una antiderivada de f(x)”.

( )F x C+ , representa a una familia de curvas, por ejemplo para la antiderivada 2x C+ , se presentan

las gráficas de 2 2y x= + , 2y x= y 2 2y x= − , lo cual nos indica que se tendrían infinitas graficas de esta

antiderivada, como se ilustra en la siguiente figura:



LA INTEGRAL INDEFINIDA La antidiferenciación, es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las

antiderivadas de una función dada, es decir, es el proceso de encontrar la antiderivada más general de

una función dada.

El símbolo ∫ denota la operación de antiderivación, la cual se escribe como:

( ) ( )f x dx F x C= +

Dónde: f(x) = Integrando. dx = Diferencial de la variable independiente.

x = Variable de integración. F(x) = Función primitiva. C = Constante de integración. F(x)+C = Antiderivada general de f.

Las expresiones integral indefinida y función primitiva son sinónimos de la palabra antiderivada.

Como la antidiferenciación es el inverso de la operación de diferenciación, podemos obtener fórmulas

de integración a partir de fórmulas de diferenciación, por ejemplo:

(cos ) sen (cos ) sen sen (cos )

sen

d u duu dx d u udu udu d udx dx

udu

= − = − = −

= −

d ( )cos sen cosu udu u = −



El siguiente formulario será de utilidad en la resolución de integrales indefinidas:

FORMULAS DE INTEGRACIÓN INMEDIATA O DIRECTAS

a, C y n = constantes. u, v y w son función de x.

1. += Cxdx

2. +−+=−+ Cwvuw)v(u

3. Cdada += uuuu

4. 1 ; 1

1

−≠++

=+

nCn

dn

n uuu

5. Cd += ulnuu

6. ≠>+= 10 ; aaCa

ada ,ln

uu

u

7. += Cd uu eue

8. +−= Cd ucosuusen

9. += Cd senuuucos

10. Cd += useclnuutan

11. Cd += usenlnuucot

12. Cd ++= utanuseclnuusec

13. Cd +−= ucotucsclnuucsc

14. Cd += utanuusec 2

15. Cd +−= ucotuucsc 2

16. += Cd usecuutanusec

17. +−= Cd ucscuucotcscu

18. Caa

d +=− uarcsen

uu

22

19. Caaa

d +=+ uarctan

uu 1

22

20. Caaa

d +=− usecarc

uuu 1

22

21. Caa

aad +

+−=

− uuln

uu

21

22

22. Caa

aad +

−+=

− uuln

uu

21

22

( ) Caa

d +++=+

22

22uuln

uu23.

Caa

d +−+=−

22

22uuln

uu24.

Ca

a

ada

+

+−=−uarcsen

uuuu25.

2

2222

21

21

( ) Caa

ada

+++

++=+222

2222

21

21

uuln

uuuu26.

Caa

ada

+−+

−−=−222

2222

21

21

uuln

uuuu27.



INTEGRALES INMEDIATAS Las integrales que podemos obtener como resultado de aplicar de una manera directa fórmulas, reciben

el nombre de integrales inmediatas. En algunos casos, antes de aplicar la fórmula que corresponda, es

necesario hacer algunas transformaciones algebraicas sencillas las cuales se pueden llevar a cabo

mediante los conceptos básicos de integración:

1. La integral de la suma de un número finito de funciones es igual a la suma algebraica de las

integrales de las funciones.

( )u v w u v w+ − = + −

( )2 25 7 2 5 7 2x x dx x dx xdx dx+ − = + −

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral d

la función. Si a es una constante y esta como un factor del integrando.

audu a udu=

( )2 2 25 7 2 5 7 2 5 7 2x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx+ − = + − = + −

3. Dentro del signo de integración se pueden conmutar los factores del integrando.

( ) ( )3 32 21 1x x dx x xdx− = −

4. Por ningún motivo se puede sacar la variable de integración del signo de integración.

( ) ( )3 32 21 1x x dx x x dx− ≠ −

5. En algunos casos la integración se facilita si se efectúan previamente las operaciones indicadas

(productos y cocientes de polinomios).

( )( ) ( )22 1 3 2 5 3x x dx x x dx+ − = − −

321 72 4

2 2x dx x x dxx x

− = + + + − − 6. Otras integrales se pueden resolver al sumar el neutro aditivo al integrando:

0 1 1 2 2 3 3 etc etc= − = − = − = = −



( )( )( )

( )( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

5 55 5 5 55 5 5 5 5

5

xxxdx xdx dx dxx x x x x

x

+ − + − + = = = − + + + + +

+

( ) 25x + ( )( ) 2

25 5 555

dx dxdx x dxxx

−− = − +++

Ejemplos:

3 1 431

3 1 4x xx dx C

+

= = ++

Fórmula

4

5 1 6

52 5 1 6x xx dx C

+

= = ++ 4

3 1 4

3 3 53 5 5 53 1 4x xx dx x dx C

+ = = = + + 3 y 4

3 1 2

33 2

3 3 34 3 33 1 2 2

dx x xx dx Cx x

− + −− − −= − = − = = + − + − 3 y 4

( )2 1 1 1

2 25 3 5 2 3 5 2 3 5 22 1 1 1

3

x xx x dx x dx xdx dx x+ +

+ − = + − = + − = + +

=

3

3x 2

3 255 2 22 2x x x x x C

+ − = + − +

1,2,3 y 4

2 2

2

4 36 4 3 4 3

4 3ln2

x x x x dx dxdx dx dx x dx dxx x x x x

x x x C

− + = − + = − +

= − + +

1,2,3,4 y 5

1,2,3 y 4

0

( ) ( )2 1 1 1

2 2

3 23 2

7 2 3 1 2 3 2 32 1 1 1

2 3 2 33 2 3 2

x xx x dx x dx xdx dx x

x x x x x x C

+ + − + = − + = − + = + +

= − + = − + +



INTEGRACIÓN POR EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE El propósito de este método es identificar en el integrando una función ( )u f x= que este

multiplicada por su diferencial du , y así poder aplicar una fórmula de integración inmediata.

En este método se escoge una literal, que es u la cual se iguala a la función que incluye el

integrando, regularmente u es la función que se encuentra dentro de una potencia, un radical, en el

denominador o como el argumento de una función trascendente:

etc., , , cos , arctan , , ln ,n un au u u u e uu

Ejemplos:

1. ( )23 5x dx− = , se procede así : si 3 5u x= − , entonces 3du dx= , entonces

2u dx , y notamos que al integrando le falta un 3, por lo que multiplicamos por el neutro

multiplicativo: 1 3 2 1011 3 2 10

etcetc

−= = = = =−

de donde elegimos 3 1(3)13 3

= =

( )2 1 3

32 2 31 1 1 1 1 13 3 53 3 3 2 1 3 3 9 9

u uu dx u du u x C+

= = = = = − + +

2. ( )4210 5 3x x dx+ = , se puede razonar así : si 25 3u x= + , entonces 10du xdx= , de donde

observamos que solo debemos reordenar el integrando:

( )524 1 54 4

5 310

4 1 5 5xu uu xdx u du C

+ += = = = +

+

3. 2 5xe dx+ = , refiriéndonos a la fórmula 7 se puede proceder así, si 2 5u x= + , entonces 2du dx= , de

donde notamos que el neutro que necesitamos es 2 1(2)12 2

= =

( ) 2 51 1 1 122 2 2 2

xu u ue dx e du e e C+= = = +



4. ( )23x sen x dx− = , refiriéndonos a la fórmula 8 se puede razonar así :

si 23u x= − , entonces 6du xdx= − , de donde el uno que necesitamos para tener a du es:

6 1( 6)16 6

− −= =− −

( ) ( ) ( )21 1 1 1 1sen 6 sen cos cos cos 36 6 6 6 6

u x dx u du u C u x C= − ⋅ − =− =− − + = = − +

5. ( ) ( )2 2 36 4 sec 2 4x x x dx− − = , refiriéndonos a la fórmula 14 se puede cambiar la variable así:

si 32 4u x x= − , entonces ( )26 4du x dx= − , lo único que debemos hacer es reacomodar el

integrando:

( ) ( )2 2 2 3sec 6 4 sec tan tan 2 4u x dx u du u x x C− = = = − +

BIBLIOGRAFIA

1) Swokowski E., Cálculo con geometría analítica, Editorial iberoamericana, México, 2002.

2) Stewart J., Cálculo Trascendentes Tempranas, 6 edición, Thomson Brooks/Cole, México, 2008.

3) Leithold L., El Cálculo, Oxford University Press, 7 Edición, México, 1988.

4) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., Cálculo, 9 Edición, Pearson Educación, México, 2007.

5) Swokowski E. y Cole J., Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 11ª edición,

International Thomson Editores, México, 2006.

6) Stewart J., Redlin L., Watson S., Precalculus, 5th edition, Brooks/Cole, CENGAGE Learning,

USA, 2009.

LA INTEGRAL INDEFINIDA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN bernardsanz

Elaboró: Ing. Bernardino Sánchez Díaz

1

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN A estas alturas ya somos capaces de calcular cualquier integral de manera inmediata o por medio

de un cambio de variable, como conclusión de la anterior unidad podemos sugerir el siguiente procedimiento para resolver integrales indefinidas:

Cuando una integral no se puede resolver de manera inmediata o por el método de sustitución por cambio de variable, se emplea algún método de integración más complejo. En esta unidad solo veremos 4 métodos:

Método de integración por partes Método para funciones trigonométricas Método de sustitución trigonométrica Método de fracciones parciales

INTEGRACIÓN POR PARTES

Sean: ( ) y ( )u f x v g x= = El producto de estas funciones queda definido como:

( )( ) ( ) ( )f g x f x g x uv⋅ = ⋅ =

Si consideramos a xu e= y cosv x= , entonces cosxuv e x= . Si este producto lo incluimos dentro de una integral, tenemos:

cosxe x dx

1.) Identificar a la función del integrando

2.) Seleccionar la fórmula de integración inmediata

3.) Identificar componentes

4.) Sustituir en fórmula y simplificar

Intentar un Cambio de Variable

Identificar en el integrando a:

Emplear un Método de Integración

No se pudo

No hay fórmula

Si la hay Si se pudo



2

Aplicando el diagrama de flujo de la página anterior, vemos que la integral no se puede resolver con alguna de las 27 fórmulas de integración inmediata de nuestro formulario. Al intentar un cambio de variable, éste resulta imposible por lo que de acuerdo al procedimiento debemos emplear algún Método de integración.

Toda regla de diferenciación tiene una regla de integración correspondiente, por ejemplo, a la regla de la cadena en la derivación le corresponde la regla de integración por el método de sustitución por cambio de variable.

Para el método de integración por partes, la regla que le corresponde es la de la derivación de un producto de funciones:

Convirtiendo la anterior regla a su forma diferencial

( )d uv vdu udv= + Integrando ambos miembros de la ecuación

( )d uv vdu udv= +

Aplicando la propiedad de la igualdad

udv vdu uv+ =

Despejando el primer término del lado izquierdo de la ecuación

udv uv vdu= −

A esta ecuación se le denomina fórmula de integración por partes.

La finalidad de emplear este método de integración es la de resolver una o más integrales sencillas

o de igual complejidad que la integral original. El método consiste en descomponer el integrando en y u dv , lo que significa un doble cambio

de variable. En general, en la elección de y u dv trataremos de definir a ( )u f x= como la función más sencilla de diferenciar, o al menos que no sea la más complicada, siempre y cuando ( )dv g x dx′= se pueda integrar con facilidad para obtener v .

El Método de Integración por Partes se recomienda cuando en el integrando tenemos un producto de funciones o funciones logarítmicas o funciones trigonométricas inversas.

( )d uv du dvv udx dx dx

= +



3

cos

x

x

u sen x dv e dx

du xdx v e

= =

= =

udv uv vdu= −

Ejemplo 1. Determinar x senx dx

Para resolver la integral, se emplea la fórmula de integración por parte:

Variantes del método

Ejemplo 2. La integración por partes se puede realizar las veces que sean necesarias en un mismo

ejercicio.

2 2 2 22 2 2x x x x x x x xx e dx x e e xdx x e xe dx x e xe e dx = − = − = − −

Finalmente 2 2 22 2 2 2x x x x x x xx e dx x e xe e dx x e xe e C= − + = − + +

Ejemplo 3. La fórmula de integración por partes, se puede manipular con los axiomas de las ecuaciones

lineales.

cos cos ( ) cosx x x x xe xdx e x e sen x dx e x e sen x dx= − − = +

cos cos cos cos cosx x x x x x xe xdx e x e senx e x dx e x e senx e x dx = + − = + −

Sumando en ambos miembros de la ecuación la integral cosxe xdx tenemos:

2 cos cosx x xe xdx e x e senx= +

Finalmente dividiendo por 2 ambos lados de la ecuación: coscos

2

x xx e x e senxe xdx C+= + .

cos

x

x x

u x dv e dx

du sen xdx v e dx e

= =

= − = =

2

2

x

x x

u x dv e dx

du xdx v e dx e

= =

= = =

x

x

u x dv e dx

du dx v e

= =

= =

Nuevamente por partes

Nuevamente por partes

Es la integral original

cos

( cos ) cos cos cos cos

u x dv senx dx

du dx v senx dx x

x sen x dx x x xdx x x xdx x x sen x C

= =

= = = −

= − − − = − + = − + +



4

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CON IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Este método hace uso de las identidades trigonométricas, sobre todo las pitagóricas y las de ángulo doble. El objetivo es convertir a integrales trigonométricas complicadas en otras más sencillas que pueden ser resueltas por métodos directos o por cambio de variable, mediante el uso de identidades trigonométricas. Este método resuelve los siguientes tipos de integrales y sus variantes:

) sen cos dm nA u u u

Caso I.- Si m y n son pares y positivos o alguno de ellos es nulo, utilizar:

2

2cos12 uusen −= y 2 1 cos2cos2

uu +=

Caso II.- Si m o n son impares y positivos: a) Si m es impar, se factoriza uusen d y se aplica: uusen 22 cos1−= . b) Si n es impar, se factoriza uu d cos y se aplica: usenu 22 1cos −= .

) tan sec dm nB u u u

Caso I.- Si m es impar y positiva, se factoriza: uuu d tan sec ⋅ y se aplica 1sectan 22 −= uu Caso II.- Si n es par y positiva se factoriza: uu d sec2 y se aplica 1tansec 22 += uu

Caso III.- Si m es par y n es impar, emplear el método de Integración por Partes.

) cot csc dm nC u u u

Caso I.- Si se factoriza uu d cot o uu d cot2 , se aplica: 1csccot 22 −= uu Caso II.- Si se factoriza uu d csc2 , se aplica: 1cotcsc 22 += uu , este caso solo aplica cuando n es par.

Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral trigonométrica: 5cos xdx

Esta integral pertenece al tipo A, y los exponentes son m = 0 y n =5, por lo que emplearemos el caso 2 inciso b.

( ) ( ) ( )2 25 4 2 2 2 4

2 12 4

cos cos cos 1 sen cos 1 cos 1 2

sen cos

2 22 1

xdx x xdx x xdx u xdx u u du

u x du x dx

u udu u du u du u+

= ⋅ = − = − = − +

= =

= − + = − + +

4 1 3 5

3 52 12 sen sen sen4 1 3 5 3 5

u uu x x x C+

= − + = − + + +



5

Ejemplo 2. Calcular la siguiente integral trigonométrica: 2 2cossen x x dx

Esta integral es del tipo A y pertenece al Caso I, m = n =2 = par

( )( )

( )

2 2

2 2

1 cos 2 1 cos 2 1cos 1 cos 2 1 cos 22 2 4

1 1 11 cos 2 cos 24 4 4

x xsen x x dx dx x x dx

x dx dx xdx

− + = = − + =

= − = − =

La segunda integral pertenece al mismo Caso I y se vuelve a sustituir la función cuadrática:

( )1 1 1 cos 4 1 1 1 1 11 cos 4 cos 44 4 2 4 8 4 8 8

4

xx dx x x dx x dx x dx

u x

+ = − = − + = − −

=

( )

1 1 1 1 1 1 1 1cos cos 4 cos4 8 8 8 8 4 8 32

4

1 1 1 1 sen sen 48 32 8 32

x x u dx x u dx x u du

du dx

x u x x C

= − − = − ⋅ = − =

=

= − = − +

Ejemplo 3. Calcular la siguiente integral: 4sec xdx

Esta integral pertenece al tipo B y caso II

( )4 2 2 2 2 2 2 2sec sec sec tan 1 sec tan sec sec

tan

xdx x xdx x xdx x xdx xdx

u x

= = + = + =

=

3

2 2 2 3

2

1sec tan tan tan tan tan3 3

sec

uu xdx x u du x x x x C

du xdx

= + = + = + = + +

=



6

2 2a u−

ua

2 2a u+u

a

2 2u a−

a

u

INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Este método se sugiere para integrales que contengan en su integrando alguna variante del Teorema de Pitágoras. El objetivo de este método de integración es transformar a integrales algebraicas

que contengan en su integrando a expresiones como 2 2a u− , 2 2a u+ y 2 2u a− , donde 0a > , en una integral trigonométrica de una nueva variable de la siguiente forma:

Para Sustituir con

Tomar a u como Triángulo

2 2a u− cos a θ senu a θ=

2 2a u+ seca θ tanu a θ=

2 2u a− tana θ secu a θ=

Ejemplo. Resuelve la siguiente integral indefinida:2 24

dxx x+

Para este ejercicio, si intentáramos resolverlo por un cambio de variable veríamos que es imposible, no obstante como tiene una expresión con radical similar a la segunda de la tabla, aplicamos este método de integración. Por medio de analogías obtenemos los valores de a y u, y construimos el triángulo rectángulo que nos servirá para finalizar el ejercicio:

2 2 24 2, a a u x u x= = = =

22 2 2 4sec 4 2sec sec

2x ha u a x

caθ θ θ ++ = + = = =

2tan 2 tan 2sec tan2x cou a x dx d

caθ θ θ θ θ= = = = =

( )2

2 22 22 2

12sec 1 sec 1 1 coscos

4 tan 4 42 tan 2sec4cos

ddx d d d

sensenx x

θθ θ θ θ θ θθ

θ θθ θ θθ

= = = = =

+

2 12 2 21 1 1 1 1 1 1sen cos cos csc

4 4 4 4 2 1 4 4sen 4

sen cos

vd v d v dvv

v dv d

θ θ θ θ θ θθ

θ θ θ

− +− − −

= = = = − = − = − − + = =

θ

ca

co h

csc

cos sec

tan cot

co hcoh

ca hcah

co caca co

sen θ θ

θ θ

θ θ

= =

= =

= =

h2 = co2+ca2

θ

2

x 24 x+

θ

θ

θ



7

Hasta aquí correspondería a la solución trigonométrica, pero como la función original es algebraica debemos de cambiar la variable x nuevamente con la ayuda del triángulo:

24csc h xco x

θ += = 2 2

2 2

1 4 44 44

dx x x Cx xx x

+ += − = − + +

INTEGRACIÓN POR FRACCIONES PARCIALES

El objetivo de este método de integración es resolver integrales algebraicas que contengan en su integrando la división de polinomios. Este método solo se aplica a integrandos que contengan fracciones racionales propias. Definición: se llama función racional a aquella, en la que el numerador y el denominador son expresiones en donde la variable solo tiene exponentes enteros y positivos:

( )( )( )

p xf xq x

= Donde f(x)= función racional, p(x) y q(x) son polinomios.

Si el grado de p(x) es menor al grado de q(x), entonces f(x) es una fracción racional propia, en cualquier otro caso es impropia.

3 2

3

3 2 ( ) 1( ) fracción racional propia2 ( ) 3

1 ( ) 3( ) fracción racional impropia2 ( ) 1

x p x gradof xx x x q x gradox p x gradof xx q x grado

−= = = − −−= = =

−

En caso de tener un integrando que sea una fracción racional impropia, se realiza la división larga antes de resolver la integral:

321 7( ) 2 4

2 2xf x x xx x

−= = + + +− −

Si el integrando es una fracción racional propia, se emplea alguno de los casos siguientes:

Caso I: Todos los factores lineales del denominador son distintos. A cada factor lineal ax+b que este una sola vez en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una sola fracción simple de la forma

Aax b+

, donde A es una contante cuyo valor se tendrá que calcular.

Caso II: Algunos de los factores lineales del denominador se repiten. En este caso el factor repetido (ax+b)n se transforma en las siguientes fracciones simples:

( ) ( ) ( )31 2

2 3n

nA AA A

ax b ax b ax b ax b+ + + +

+ + + +



8

Caso III: Algunos de los factores del denominador son cuadráticos irreducibles, de la forma 2 ,ax bx c+ + donde 2 4 0,b ac− < entonces dicho factor genera una fracción simple de la forma:

2

Ax Bax bx c

++ +

Caso IV: Algunos de los factores del denominador son cuadráticos irreducibles “repetidos” de la forma

( )2ax bx cn

+ + , donde 2 4 0b ac− < , se transforma en las siguientes fracciones simples:

( ) ( ) ( )3 31 1 2 2

2 22 22 3n n

nA x B A x BA x B A x B

ax bx c ax bx cax bx c ax bx c

+ ++ ++ + + +

+ + + ++ + + +

Ejemplo 1. Calcular la siguiente integral indefinida: 3 23 2

2x dx

x x x−

− −

Al intentar realizar un cambio de variable nos encontraríamos con la imposibilidad de hacerlo, por lo que recurriríamos al método de fracciones parciales, ya que tenemos una división de polinomios en el integrando.

PROCEDIMIENTO Paso 1. Determinar si el integrando es una fracción racional propia o impropia.

3 23 2 ( ) 1( ) fracción racional propia

2 ( ) 3x p x gradof x

x x x q x grado−= = =

− −

Paso 2. Factorizar el denominador.

( )3 2 22 2 ( 2)( 1)x x x x x x x x x− − = − − = − +

Paso 3. Identificar el caso al que pertenece la factorización. Para este ejemplo es Caso I:

3 2 3 23 2 3 2

2 2 1 2 2 1x A B C x A B Cdx dx

x x x x x x x x x x x x− − ≡ + + = + + − − − + − − − +

Paso 4. Obtener los valores de las constantes de las fracciones simples del Paso 3. Multiplicando ambos lados de la fracción por ( 2)( 1)x x x− + obtenemos:

( ) ( )

2 2 2

2 2

3 2 ( 2)( 1) ( 1) ( 2)3 2 2 2factorizando con respecto a las 's0 3 2 2 2

x A x x Bx x Cx xx Ax Ax A Bx Bx Cx Cx

xx x A B C x A B C x A

− ≡ − + + + + −− ≡ − − + + + −

+ − ≡ + + + − + − −



9

Las flechas nos indican equivalencias entre coeficientes, lo cual nos lleva a la generación de un sistema de ecuaciones:

0..........(1)2 3..........(2)

2 2..........(3)

A B CA B C

A

+ + =− + − =

− = − 2 5resolviendo: 1,

3 3A B y C= = = −

Paso 5. Resolver las integrales resultantes del Paso 3.

523 3

3 23 2 1 2 5

2 2 1 3 2 3 1x dx dx dxdx dx

x x x x x x x x x−− = + + = + − − − − + − +

3 23 2 2 5ln ln 2 ln 1

2 3 3x dx x x x C

x x x− = + − − + +

− −

BIBLIOGRAFIA SUGERIDA 1) Fuenlabrada, Samuel. Cálculo Integral, México, McGraw Hill, 2004.

2) Granville W. A. Cálculo diferencial e integral, México, Limusa, 2000.

3) Leithold L. El cálculo, México, Oxford University Press, 1998.

4) Purcell J. E., Varberg D. y Rigdon S. E. Cálculo, México, Pearson Educación, 2001.

5) Stewart J. Cálculo, Trascendentes tempranas, México, Thomson Learning, 2002.

6) Swokowski, Earl W. Calculo con geometría analítica, México, G.E. Iberoamérica, 1989.

CÁLCULO INTEGRAL EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Elaboro: Ing. Bernardino Sánchez Díaz 1

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

INTRODUCCIÓN

El cálculo consta de dos partes principales, el cálculo diferencial que está basado en la derivada y

el cálculo integral, cuya base es la integral definida. Con la integral definida estaremos calculando

el área bajo una curva o entre curvas. Para evaluar una integral definida es absolutamente necesario

haber entendido y dominado las fórmulas de integración así como los métodos de integración.

La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los

campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una suma de infinitos

sumandos, infinitamente pequeños. El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es

una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación, es muy común en la

ingeniería y en la matemática en general; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y

volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Fue usado por primera vez por científicos como

Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este

último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone

que la derivación y la integración son procesos inversos.

LA INTEGRAL DEFINIDA Suma de Riemann como antecedente de la integral definida

La notación sigma se define por la siguiente expresión:

( )

n

i m

f i

donde

es el operador suma

es el límite inferior de la suma

es el límite superior de la suma

es el índice de la suma, también puede ser , , , etc.

es una expresión que contenga al índice .

m

n

i j k l

f i

Ejemplos:

5

2 2 2 2 2 2

1

2

2

32 3 3 3 3

1

1 2 3 4 5 1 4 9 16 25 55

3 2 3 2 2 3 1 2 3 0 2 3 1 2 3 2 2

4 1 2 5 8 10

1 2 3 1

i

i

n

j

i

i

j n n



8

3

1 1 1 1 1 1 1 341

3 4 5 6 7 8 280k

k

Propiedades de la notación Sigma

1) ncc

n

1i

, c = cualquier constante.

4

1

4

i

c c c c c c

2)

n

1i

n

1i

)i(fc)i(fc

4

1

4

1

5 5 1 5 2 5 3 5 4

5 1 2 3 4 5

i

i

F i F F F F

F F F F F i

3)

n

1i

n

1i

n

1i

)i(G)i(F)i(G)i(F

3

2 2 3 3

1

3 3

2 3 2 3

1 1

i i

i

i i

i i

x y x y x y x y

x x x y y y x y

Estas son algunas fórmulas importantes empleadas en la notación Sigma

1

( 1)

2

n

i

n ni

Suma de los n-primeros números naturales

2

1

( 1)(2 1)

6

n

i

n n ni

Suma de los cuadrados de los n-primeros números naturales

2 23

1

( 1)

4

n

i

n ni

Suma de los cubos de los n-primeros números naturales

3 24

1

( 1)(6 9 1)

30

n

i

n n n n ni

Suma de los términos a la cuarta de los n-primeros números

naturales



Suma de Riemann con notación Sigma

Definición: Supongamos que la función f es continua en un intervalo cerrado ,a b , con ( ) 0f x

para toda x en ,a b , y que R es la región acotada por la curva ( )y f x , el eje de las x y las

rectas x a y x b . Si dividimos el intervalo ,a b en n subintervalos, cada uno de longitud

b anx , y denotamos el i–ésimo subintervalo por 1,i ix x .

Entonces si ( )if x es el valor de la función en el i–ésimo subintervalo, la medida del área de la

región R está dada por:

1

( )

n

in

i

A Lim f x x

Como n y de la formula b anx se deduce que él 0x . Por lo tanto manejando este

límite en términos del x tenemos:

0

1

( ) ( )

bn

ix

i a

A Lim f x x f x dx

DEFINICIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA calculada entre dos extremos de un intervalo cerrado

,a b , es el incremento de la antiderivada ( ) ( )F F b F a , propuesta cuando la variable pasa

de un valor inicial hacia un valor

final.

Donde: a es el límite inferior ( )F a es la antiderivada evaluada en el límite inferior

b es el límite superior ( )F b es la antiderivada evaluada en el límite superior

b

a

f x dx F b F a



x

y

y = f(x)

b a

La integral definida representa el área de la superficie limitada por la curva de la función ( )y f x

cuyos extremos tienen como abscisas a x a y a x b .

El resultado de una integral definida se expresa siempre en unidades cuadradas de superficie.

El procedimiento para calcular una integral definida, comprende los siguientes pasos:

1. Integrar la expresión diferencial dada.

2. Evaluar la antiderivada en el límite superior b y restarle el valor de la antiderivada evaluada

en el límite inferior a .

Nota: No es necesario tomar en cuenta la constante de integración (C) pues siempre se cancela en la

resta.

Observemos algunos ejemplos:

4

4 4 443 2

22

4 2 256 1664 4 60

4 4 4 4 4

xx dx u

como se mencionó con anterioridad, la constante de integración desaparece.

4

4 2 222

11

3 4 3 13 48 3 453 22.5

2 2 2 2 2 2

xx dx u

33 3 2 3 23 2

2 2

11

3 5 3 1 5 15 27 13 345

3 2 3 2 3 2 2 6 3

x xx x dx u

El signo negativo, nos indica que el área calculada está por debajo

del eje “x” o al menos la mayoría de ésta.

1

12 3 2 3 2 3 2 2

3

3

3 2 ( 1) ( 1) ( 3) ( 3) 1 1 27 9 18 18x x dx x x u

( )

b

a

A f x dx



2

2

2

20

0

0 1 0 1cos x dx sen x sen sen u

8

8

2

2

8 2 2.08 0.69 1.39 2dxln x ln ln u

x

Propiedades de la Integral Definida

1) Si la función f es integrable en el intervalo ,a b y si k es cualquier constante, entonces;

( ) ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx

2) Si f y g son integrables en ,a b , entonces f g es integrable en ,a b y:

( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

3) Si f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los tres números a, b y c entonces:

( ) ( ) ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Sin importar cuál sea el orden de a, b y c.

4) Si k es una constante y si f es una función tal que ( )f x k , para toda x en ,a b , entonces:

( ) ( )

b b

a a

f x dx k dx k b a f (x) = k.

5) Si las funciones f y g son integrables en el intervalo cerrado ,a b y si ( ) ( ), en ,f x g x x a b ,

entonces:

( ) ( )

b b

a a

f x dx g x dx



EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

El nombre al teorema está bien aplicado, ya que dicho teorema establece la conexión entre las dos

ramas del cálculo.

El teorema fundamental del cálculo proporciona la relación inversa precisa entre la derivada y la

integral.

1ª parte

Si f es continua en ,a b , la función G está definida por

x

a

G x f t dt a x b

Es continua en ,a b y diferenciable en ,a b , y 'G x f x , en otras palabras:

( ) ( )

x

a

df t dt f x

dx 1

2ª parte

Si f es continua en ,a b , entonces:

b

a

f x dx F b F a

En donde F es cualquier antiderivada de f , esto es, ' .F f F x f x dx

BIBLIOGRAFIA

1) Swokowski E., Cálculo con geometría analítica, Editorial iberoamericana, México, 2002.

2) Stewart J., Cálculo Trascendentes Tempranas, 6 edición, Thomson Brooks/Cole, México,

2008.

3) Leithold L., El Cálculo, Oxford University Press, 7 Edición, México, 1988.

4) Purcell E. J., Varberg D., Rigdon S. E., Cálculo, 9 Edición, Pearson Educación, México,

2007.

5) Swokowski E. y Cole J., Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 11ª edición,

International Thomson Editores, México, 2006.

6) Stewart J., Redlin L., Watson S., Precalculus, 5th edition, Brooks/Cole, CENGAGE

Learning, USA, 2009.

1 Una variante de este teorema es: ( ) ( )

x

a

df t dt f x C

dt , de la Bibliografía 1 Swokowski.

l i bernardsanz · 2014-08-21 · la integral indefinida bernardsanz elaboró: ing.bernardino...

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