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1 Introducción a la Física Paralelos 10 y 13. Profesor RodrigoVergara R

FUERZAS

1) Conceptos básicos • Definir operacionalmente una fuerza. • Conocer y usar unidades de fuerzas. • Definir y distinguir fuerzas de contacto y fuerzas a distancia. • Comprender y usar el principio de superposición de fuerzas.

Definición de Fuerzas La primera noción que se tiene de fuerza es la actividad muscular. Se dice que, por ejemplo, el levantador de pesas capaz de levantar 120 [kg] es “fuerte” o “tiene mucha fuerza” Se denomina fuerza a cualquier causa o agente físico que produce

• Cambios en el estado de movimiento

• Deformación de los objetos

• Equilibrio o pérdida de equilibrio Los objetos no tienen fuerza por sí solos, por lo que la fuerza no es una propiedad intrínseca de los cuerpos. Para que exista una fuerza tienen que existir al menos dos agentes que interactúan entre sí: uno que aplica la fuerza y otro que la recibe. Se habla de “la fuerza que actúa sobre un objeto y que produce efectos en él” ó “la fuerza ejercida por un objeto sobre otro”. Fuerzas de contacto y de campo Existen dos tipos de fuerzas (ver figura 2):

• Las fuerzas de contacto, en las cuales se requiere contacto físico directo. Ejemplos: fuerza elástica, tensión, normal, roce, etc.

• Las fuerzas de campo o de distancia, en las cuales no existe contacto físico directo, sino que se produce una interacción a distancia a través de un campo generado por los cuerpos implicados. Las tres fuerzas más conocidas de este tipo son: la fuerza gravitacional (relacionada con el peso), la fuerza eléctrica y la fuerza magnética.

Medición de Fuerzas

Figura 1) Para que exista fuerza,

deben existir dos agentes.

Figura 2) Tipos de Fuerzas


Vamos a medir fuerza y definir unidades de fuerza a partir de uno de sus efectos más comunes: la adquisición de aceleración. Para ello vamos a usar el tercer principio de Newton (que será explicado posteriormente): Considere un cuerpo de masa m sobre superficie lisa (sin roce), al cual se le aplica una fuerza F, adquiriendo una aceleración a. Se cumple que:

amF ⋅= Definiendo las unidades

• Sistema MKS: Si se aplica una fuerza a un cuerpo de 1[kg] de masa, de modo que este adquiera una aceleración de 1 [m/s2], la fuerza aplicada corresponde a 1 Newton (1 [N] = 1 [kg·m/s2]).

• Sistema CGS: Si se aplica una fuerza a un cuerpo de 1[g] de masa, de modo que este adquiera una aceleración de 1 [cm/s2], la fuerza aplicada corresponde a 1 Dyna (1 [Dy] = 1

[g·cm/s2]). [ ] [ ]dy10N1 5≡

• Sistema Técnico Métrico: El kilopondio o kilopeso ([kp], [kgf], [kgp], [ ]kg ). [ ] [ ]Ngkp1 ≡

Uno de los instrumentos más conocidos para medir fuerzas es el dinamómetro (ver figura 4), que consiste en un gancho adherido a un resorte en el cual se cuelga el cuerpo al que se le quiere medir la fuerza. Sistemas de Unidades Durante el desarrollo del presente curso se han introducido diferentes cantidades físicas, cada una de las cuales tiene asociada una dimensión física. En general, existen dos tipos de sistemas de unidades:

• Los sistemas físicos, cuyas unidades básicas son tiempo, longitud y masa.

• Los sistemas técnicos, cuyas unidades básicas son tiempo, longitud y fuerza.

Tal como se muestra en la figura 5, cada uno de estos tipos de sistemas se divide a su vez en sistemas métricos (metro, kilogramo, etc) y en sistemas ingleses (pie, libra, etc)

Figura 3) Aplicación de fuerzas

Figura 5) Tipos de sistemas de unidades

Figura 4) La fuerza se puede medir con un

dinamómetro


En la siguiente tabla se resumen las unidades de tiempo, longitud, masa y fuerza para estos sistemas de unidades.

Sistemas Métricos Sistemas Ingleses

Físico

MKS CGS

Técnico Físico Técnico

Tiempo 1 [s] 1 [s] 1 [s] 1 [s] 1 [s]

Longitud 1 [m] 1 [cm] 1 [m] 1 [ft] 1 [ft]

Masa 1 [kg] 1 [g] 1 [utm] 1 [lb] 1 [slug]

Fuerza 1 [N] 1 [Dy] 1 [kp] 1 [pdl] 1 [lbf]

Masa v/s Peso Tal como se mencionó en el capítulo anterior, existe un abuso conceptual en el que hasta los físicos suelen caer: confundir “masa” con “peso”. Ambos conceptos son conceptualmente diferentes, aunque relacionados, pues P = M ·g, donde P es la magnitud del peso, g es la aceleración de gravedad y M es la masa. En la siguiente tabla se muestran las diferencias entre ambos conceptos

MASA (M) PESO (P)

• Cantidad Escalar

• Es propia del cuerpo.

• Independiente de la aceleración de gravedad.

• Cantidad Vectorial (Fuerza)

• Surge de la interacción con la Tierra.

• Dependiente de la aceleración de gravedad.

Ello explica el resultado del experimento de Galileo, en cuanto a que los cuerpos caen de igual manera independientemente de su masa (ver figura 6) En el espacio, la aceleración de gravedad es menor, por lo que el peso es menor. Sin embargo, la masa permanece constante, pues no depende de g. Ello explica porqué un astronauta puede tener la misma masa, pero diferente peso en diferentes puntos del espacio (ver figura 7). Para mitigar este abuso conceptual, se suele usar el kilopondio. Así, el peso de un cuerpo de masa M [kg] está dado por:

[ ]N gMP ⋅= Aplicando la equivalencia en [kp]

Figura 6) La masa no influye en

la aceleración de gravedad

Figura 7) Masa y peso

de un atronauta


[ ] [ ][ ]

[ ]kp MN g

kp1N gMP =⋅⋅=

Luego, a nivel terrestre, la masa de un cuerpo en [kg] es numéricamente igual a su peso en [kp]. Fuerza neta Cuando a un cuerpo se le aplican dos o más fuerzas, se produce en este un efecto equivalente al de una sola fuerza, a la que llamamos fuerza total, neta o resultante. En las figuras 8a, 8b y 9 se aprecia diversos casos de fuerza neta.

La fuerza como vector La fuerza es una cantidad física vectorial, pues tiene las cuatro características de un vector: punto de aplicación, dirección, sentido y magnitud. En las figuras 10, 11 y 12 se aprecian situaciones en las que se visualiza el carácter vectorial de la fuerza.

Figura 10) Las componentes verticales de las fuerzas que los perros le aplican al bote se

anulan, quedando una fuerza neta horizontal que lo mueve en línea recta a través del río.

Figura 11) La fuerza aplicada por el hombre sobre la cortadora de pasto tiene dos componentes: una que aplasta la cortadora contra el suelo (FY), y otra que

la hace avanzar (FX)

Figura 12) Las dos fuerzas que ejercen las cuerdas de un arco sobre la flecha equivalen a una fuerza suma vectorial

de ellas.

(a) (b)

Figura 8) Fueza neta o resultante de: a) dos fuerzas de igual dirección y sentido; b) dos fuerzas de igual dirección y sentidos opuestos.

Figura 9) Diversos casos de fuerza neta


2) Principios de Newton • Comprender y aplicar el principio de inercia. • Comprender y aplicar el segundo principio de Newton. • Comprender y aplicar el principio de acción y reacción. Identificar pares acción y

reacción. Introducción Todas las mediciones se suelen hacer desde el punto de vista de un observador ubicado en un sistema de referencia, que dispone de los elementos mínimos (regla y cronómetro para medir distancia y tiempo) para determinar:

• si un cuerpo está en reposo o en movimiento.

• sus cambios de posición, velocidad y aceleración.

• el tipo de movimiento que realiza. Sin embargo, con estos elementos no es posible saber el origen del movimiento, por lo que no se pueden predecir ni reproducir. Los principios de Newton permiten establecer este origen, lo cual constituyó un elemento decisivo en el desarrollo de la física, pues a partir de su formulación ésta ha avanzado con paso rápido y seguro. Incluso, en algún momento se llegó a pensar que con estos principios bastaba para explicar el universo completo, aseveración que fue desechada con la teoría de la relatividad de Einstein, de la cual los principios de Newton son un caso particular para velocidades mucho menores que la de la luz. Para la formulación de estos principios, el movimiento de un cuerpo se analiza como el cambio de posición de éste respecto a un observador en un sistema de referencia “fijo” (ideal) o que se mueva con velocidad constante respecto de él. Este tipo de sistema de referencia se denomina sistema inercial (el caso no inercial se analizará en FIS 110) Primer Principio de Newton: INERCIA El principio de inercia se ilustra en la figura 13, y se puede resumir en la siguiente sentencia: “un cuerpo tiende a mantener su estado de movimiento a menos que surja una fuerza que lo obligue a cambiarlo” En las figuras 14, 15 y 16 se muestran situaciones en las que se visualiza el efecto del principio de inercia.

Figura 13) Ilustración del principio de inercia.


Segundo Principio de Newton: FUERZA Y ACELERACIÓN Este principio dice que la aceleración de un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada y tiene la dirección de la recta según la cual esa fuerza es aplicada. En referencia a la figura 17, si la fuerza neta

aplicada a un cuerpo de masa M es netaF�

y la

aceleración neta es netaa�

, se cumple que:

netanetanetaneta aMFaMF��

⋅=⇒⋅=

En las figuras 18a y 18b se aprecia el significado de este principio.

Figura 14) Un equitador y su caballo se

aprestan a saltar una valla. El caballo “arruga” en el último momento y el equitador sale

volando y cae al otro lado. Una situación de este tipo le significó quedar parapléjico al

actor Christopher Reeve

Figura 15) Considere una mesa puesta con

servicios, platos, copas, botellas, tec. Un “mago” toma el mantel y le da un tirón fuerte y rápido, de manera de que los elementos de la mesa queden en su

posición inicial.

(a) (b)

Figura 16) Principio de inercia en el transporte público. (a) Si un bus va con velocidad constante y frena inesperadamente, los pasajeros que van parados y distraídos tienden a “caerse” hacia

delante; (b) Si un bus está en reposo y acelera inesperadamente, los pasajeros que van parados y distraídos tienden a “caerse” hacia atrás.

M

netaa�

netaF�

Figura 17) Ley F = M a


Tercer Principio de Newton: ACCIÓN Y REACCIÓN Este principio dice que si un cuerpo ejerce una fuerza (acción) sobre otro, éste reacciona con una fuerza igual y opuesta (reacción), aplicada sobre el primero. Estas fuerzas constituyen un par acción-reacción. En las figuras 19, 20 y 21 se ven algunos ejemplos de este principio.

(a) (b)

Figura 18) Aplicación de la ley F = m·a. (a) Con una misma fuerza, a cuádruple masa, un cuarto

de aceleración; (b) Con una misma masa, a triple fuerza, triple aceleración.

Figura 19) Ejemplos del principio de acción y reacción

Figura 20) Principio de acción y reacción y armas. Al disparar un arma de fuego, la reacción de la fuerza aplicada por el percutor a la bala hace que la mano “sienta” un empuje hacia atrás. Se requiere tener buen pulso para sostener el arma y evitar que ésta se desvíe.


Aunque acción y reacción son fuerzas de igual magnitud y dirección contraria, no se anulan porque actúan en distintos cuerpos. A continuación, se mostrará una regla general para deducir pares acción – reacción. Considere el siguiente ejemplo: En la situación de la figura 22, el cuerpo de masa M adquiere aceleración constante en dirección + x en virtud de una fuerza horizontal de magnitud F horizontal aplicada por la persona. ¿Cuál es la fuerza de reacción correspondiente? Este problema requiere manejar el principio de acción y reacción, que dice que cuando un cuerpo A le aplica una fuerza (“acción”) a otro cuerpo B, de magnitud F, éste le responde con una fuerza (“reacción”) de igual magnitud F, aplicada de B hacia A y en sentido opuesto a la anterior. Lo anterior se resume en la siguiente tabla

Parámetro / Fuerza Acción Reacción La aplica A B La recibe B A Magnifud F F

Dirección y sentido →→→→ ←←←← Para el ejemplo de la figura 22, si la acción se aplica de la persona al cuerpo, tiene magnitud F y dirección +x, la reacción cumple los siguientes requisitos:

Figura 21) Principio de acción y reacción aplicado al apoyo en una pared. Al empujar una pared

conuna fuerza F, ésta devuelve una fuerza de igual magnitud y con sentido contrario, que puede usarse para tomar impulso.

Figura 22) Ejemplo de deducción de par acción-reacción.


• Tiene magnitud F

• La aplica el cuerpo sobre la persona.

• Tiene dirección –x. Lo anterior se resume en la siguiente tabla

Parámetro / Fuerza Acción Reacción La aplica Persona Cuerpo La recibe Cuerpo Persona Magnifud F F

Dirección y sentido +x -x En la figura 22-A) se aprecia un cuerpo de masa M colgando de una cuerda. Si bien la tensión de la cuerda T y el peso del cuerpo Mg son fuerzas de igual magnitud y sentidos opuestos, no constituyen un par acción-reacción pues se aplican al mismo cuerpo. En las siguientes tablas se aprecian cuáles son las respectivas fuerzas de reacción:

Tensión Parámetro / Fuerza Acción Reacción

La aplica Cuerda Cuerpo La recibe Cuerpo Cuerda Magnifud Mg Mg

Dirección y sentido ↑↑↑↑ ↓↓↓↓

Peso Parámetro / Fuerza Acción Reacción

La aplica Tierra Cuerpo La recibe Cuerpo Tierra Magnifud Mg Mg

Dirección y sentido ↓↓↓↓ ↑↑↑↑

T

M·gT = M·g

Figura 22-A)

masa colgando de cuerda


3) Interacción gravitacional.

• Comprender y aplicar la ley de gravitación universal. • Relacionar la aceleración de gravedad con la ley de gravitación universal.

Ley de Gravitación Universal Llamamos gravedad a la fuerza de atracción que se ejerce entre los objetos por el sólo hecho de poseer masa. Esta es una fuerza de campo, es decir, no surge del contacto físico directo entre los dos cuerpos implicados, sino que de la interacción de uno de los cuerpos con el campo gravitacional generado por el otro (ver figura 23) La fuerza de gravedad está regida por la Ley de Gravitación Universal de Newton. Considere dos cuerpos de masas M1 y M2 puestos a una distancia r entre sus centros, como se muestra en la figura 24.

Las fuerzas gravitacionales 12F�

(sobre M1 debido al campo

gravitacional de M2) y 21F�

(sobre M2 debido al campo

gravitacional de M1) constituyen un par acción reacción, pues:

• Se aplican sobre cuerpos diferentes

• Tienen igual dirección y sentidos opuestos.

• Sus magnitudes son iguales. Las magnitudes de estas fuerzas están dadas por

2

212112

r

MMGFFF

⋅===

��

Donde G es la constante de gravitación universal dada por:

( )

⋅⋅±= −

2

211

kg

mN100,00416,6720G

Aceleración de gravedad Las manifestaciones más directas y observables de la atracción gravitacional son la caída y el peso de los cuerpos. El peso de un cuerpo en la Tierra se define como la fuerza con que un cuerpo es atraído al centro de ésta, y depende de la aceleración de gravedad del lugar en que se encuentre, la cual es levemente diferente en distintos puntos del planeta, como lo muestra la figura 25

MF

Mn

m

R

Figura 23) Interacción

gravitacional como fuerza de

campo

r

M1

M2

12F�

21F�

Figura 24) Ley de Gravitación Universal de

Newton


Para calcular el valor de la aceleración de gravedad, vamos a considerar la situación de la figura 26. En ella, se observa un cuerpo de masa m en interacción gravitacional con un planeta de masa M y de radio R. El cuerpo está a una altitud (altura sobre la superficie del planeta) h. La magnitud de la fuerza de atracción gravitacional que el planeta le aplica al cuerpo es

( )2hR

mMGFF

+

⋅==

�

Donde G es la constante de gravitación universal. Asumiendo que esta fuerza es la única que sufre el cuerpo, por el segundo Principio de Newton es igual al producto de la masa m por la aceleración neta que adquiere. Esta última es la que denominamos “aceleración de gravedad”

( )( )

( )22hR

MGhgggm

hR

mMGgmF

+

⋅==⇒⋅=

+

⋅⇒⋅=�

Así, g(h) es la función de la aceleración de gravedad en función de la altura. En las aplicaciones prácticas, la altitud es mucho menor que el radio del planeta. En el caso de la tierra, el radio es 6400 [km], mientras que lo más alto que puede volar un avión es alrededor de los 10000 [m] o 10 [Km]. La idea es obtener una expresión aproximada para la aceleración de gravedad en el caso R >> h. La idea es aplicar la aproximación de Newton

( ) αα ⋅+≈+ n11n

, con α << 1. Como R >> h, entonces h/R << 1

Manejando algebraicamente la expresión anterior:

R

m

h

M

g�

F�

Figura 26) Cuerpo de masa m

atraído por una planeta de masa M

Figura 25) La aceleración de gravedad es diferente en diferentes puntos del planeta


( )( )

-2

2222 R

h1

R

MG

R

h1

1

R

MG

hR

MGhg

+⋅

=

+

⋅=

+

⋅=

Aplicando la aproximación de Newton, se llega a:

( )

−=

−⋅

≈R

2h1g

R

2h1

R

MGhg 02

Donde 20

R

MGg

⋅= es la aceleración de

gravedad en la superficie del planeta.

Para el caso de la Tierra, G ≈ 6.67·10-11

[N·m2/kg2], M ≈ 6·1024 [kg] y R ≈ 6.4·106 [m]. Entonces, g0 = 9.771 [m/s2]. En la figura 27 se comparan las expresiones exacta y aproximadas para g(h). Se observa que ambas funciones coinciden para valores muy pequeños de h, y se van separando a medida que la altitud aumenta.

Altitud en [m]

Acele

ració

n d

e g

ravedad e

n [m

/s2]

Valor Exacto

Valor Aproximado

Aceleración de gravedad v/s Altitud

Figura 27) Aceleración de gravedad en función de la

altitud.


4) Aplicaciones

• Dibujar y usar diagramas de cuerpo libre. • Comprender y aplicar el concepto de fuerzas de contacto entre superficies (roce y

normal). • Conocer y aplicar el concepto de tension en una cuerda. • Comprender y aplicar la ley de Hooke en un resorte. • Plantear y resolver problemas de fuerzas, y de principios de Newton

Diagramas de Cuerpo Libre (DCL) Es un diagrama en el cual se indican todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. A partir de él, se pueden plantear las expresiones que permitan calcular la incógnita del problema de fuerzas (alguna de las fuerzas, la fuerza neta, la aceleración del cuerpo, etc.). En la figura 28 se aprecian algunos ejemplos de DCL.

T: Tensión de la cuerda

P: Peso del cuerpo

N: Normal de contacto con el

sueloP: Peso del cuerpo

T: tensión de la cuerdaP: Peso del cuerpoN: Normal de contacto conel plano

(a)

(b)

(c)

Figura 28) Diagramas de cuerpo libre. (a) cuerpo suspendido en una cuerda y en reposo; (b) cuerpo

apoyado en una superficie horizontal y en reposo; (c) cuerpo en un plano inclinado y en reposo


Fuerza normal Considere un libro de masa M en reposo, puesto encima de una mesa mostrado en la figura 29. Sobre este libro actúan dos fuerzas. Una de ellas es el peso del libro, y la otra fuerza, que lo mantiene en reposo (fuerza neta cero) es la fuerza de contacto “normal”, denominada así por ser perpendicular a la superficie de contacto. Fuerza de roce Se denomina roce o fricción a aquella fuerza que aparece en la superficie de contacto de dos cuerpos diferentes en movimiento relativo. Siempre que la superficie de un cuerpo se desliza sobre la de otro, cada cuerpo ejerce una fuerza de roce sobre el otro, siendo dichas fuerzas paralelas a la superficie y constituyendo ambas un par acción reacción.

Se debe en gran medida a las irregularidades de las superficies que entran en contacto, como las que se aprecian en la figura 30. Su intensidad depende del tipo de materiales en contacto y de la intensidad con que una superficie comprime a la otra. Por definición, el roce se opone al movimiento, por lo que la fuerza de roce tendrá sentido opuesto a éste, tal como se aprecia en la figura 31. En la siguiente tabla se muestran las ventajas y las desventajas de la existencia de roce.

Ventajas del roce Desventajas del roce

• Permite que los autos avancen, que las personas caminen y que los clavos cumplan su función, entre otras cosas.

• Pérdidas de energía en los mecanismos

• Menor eficiencia de las máquinas. Un porcentaje no despreciable de la potencia de los motores se usan para

N

M·gFigura 29) Libro de masa

M encima de una mesa

Figura 30) Rugosidad en superficies de contacto que causan la existencia de fuerzas de roce

Figura 31) La fuerza de roce se

opone al movimiento.


vencerlo.

• Desgaste de los cuerpos que permanecen en contacto (ruedas, ejes, cojinetes, etc)

En FIS 110 se analizará este tema con más detalle (roce estático y dinámico, coeficientes de roce, roce viscoso, etc) Tensión de una cuerda Las tensiones son aquellas fuerzas internas que aparecen en el interior de los cuerpos flexibles (cuerdas, cables) o barras, tratando de evitar su posible estiramiento. Actúan a lo largo de estos cuerpos manteniendo constante su valor, excepto en los puntos donde haya contacto con otros cuerpos (ver figura 32). Si la cuerda es inextensible y de masa despreciable, se considera ideal. En la figura 33, un cuerpo de masa M es colgado en una cuerda. Producto del peso del cuerpo, la cuerda se va a tensionar, es decir, adquiere una tensión T que se aplica sobre el cuerpo. Si éste tiene aceleración nula (es decir tiene velocidad constante o nula) la tensión es igual al peso. En la figura 34a, se aprecia un cuerpo de peso 10 [N] colgando de una cuerda que soporta su peso completo. En la figura 34b, se ve el mismo cuerpo soportado por dos cuerdas, dispuestas de manera que ambas soporten la mitad del peso. Finalmente, en la figura 34c se ve un niño colgando de un trapecio, donde cada una de las cuerdas soporta la mitad de su peso.

Figura 32) Definición de tensión de una cuerda

Figura 33) Tensión de una

cuerda de la que cuelga una masa en reposo

(a) (b) (c)

Figura 34) (a) Peso concentrado en una cuerda; (b) Peso igualmente repartido entre dos cuerdas;

(c) Niño colgado en un trapecio, entre cuyas dos cuerdas se reparte su peso.


Poleas Es una máquina simple cuya finalidad es cambiar el sentido y dirección de una fuerza. Está compuesta por una rueda que puede girar alrededor de un eje fijo a una chapa que pasa por su centro, y que en su periferia tiene una garganta por la cual corre una cuerda o una cadena (ver figura 35) Una polea puede cambiar la orientación (dirección y/o sentido) de una fuerza (figura 36a), multiplicar su efecto (figura 36b) o ambas cosas a la vez, si se combinan inteligentemente dos o más de ellas (figura 36c). En una polea ideal, el roce

entre la cuerda y la garganta es despreciable. Además, su peso es despreciable. En este caso, la magnitud de la fuerza se traspasa completamente de un extremo a otro de la cuerda, cambiando su dirección y sentido Podemos distinguir al menos dos tipos de poleas Las poleas fijas (figuras 37a y 37b), o con eje fijo, las cuales solamente cambian la orientación de la fuerza aplicada por la cuerda que pasa por ella. En la figura 37c, si la polea es ideal, el sistema está en equilibrio y

el cuerpo tiene un peso P, entonces PTT 21 == .

Las poleas móviles o con eje móvil (figura 38a), las cuales permiten amplificar por dos el efecto de una fuerza. En la figura 38b, para un sistema en equilibrio y polea de peso despreciable, se cumple que

2PTPTT =⇒=+

Figura 35) Partes de una polea

(a) (b) (c)

Figura 36) Efectos del uso de polea. (a) cambio de orientación de una fuerza; (b) multiplicación de su efecto; (c) ambas cosas a la

vez

(a) (b) (c)

Figura 37) Poleas fijas

F T FT =

P

(a) (b)

Figura 38) Poleas móviles


Si se considera el peso de la polea PP y el sistema está en equilibrio

2

PPTPPTT P

P

+=⇒+=+

Fuerza de un resorte Un resorte al que no se le aplica ninguna fuerza está en estado de equilibrio y tiene un largo natural L0 (ver figura 39b). Los resortes tienden naturalmente a buscar su estado de equilibrio. Así, si un resorte es estirado o comprimido por una fuerza externa,

generará una fuerza interior resF�

que tenderá a

restaurar su situación de equilibrio.

• Si un resorte está comprimido en una

distancia ∆� respecto a su largo

natural, el resorte aplicará una fuerza

interna resF�

que hará que el resorte se

estire (figura 39a)

• Si un resorte está estirado en una

distancia ∆� respecto a su largo

natural, el resorte aplicará una fuerza interna resF�

que hará que el resorte se comprima

(figura 39c)

El alargamiento o acortamiento ∆� de un resorte con

respecto de su largo natural es proporcional a la fuerza que actúa sobre él. Esto se conoce como Ley de Hooke, se ilustra en la figura 40 y su ecuación es:

��

∆⋅== kFF resres

Donde k es la constante de rigidez o coeficiente de elasticidad del resorte, que es un parámetro que depende el material de éste. Equilibrio de fuerzas. Un cuerpo está en equilibrio cuando la fuerza neta aplicada sobre él es igual a cero. En virtud del segundo principio de Newton:

0L

�∆ �∆(a)

(b)

(c)

resF�

Figura 39) Resortes en diferentes estados. (a)

comprimido; (b) en su largo natural; (c) estirado

k

�∆

resF�

Figura 40) Ley de Hooke


0aa0a0aMF netanetanetanetaneta

��==⇒=⇒=⋅=

Esto puede significar dos cosas:

• Un cuerpo en reposo (rapidez igual a cero), en cuyo caso se habla de equilibrio estático.

• Un cuerpo en movimiento uniforme (con rapidez constante), en cuyo caso se habla de equilibrio dinámico.

En la figura 41, a un cuerpo de masa M se le aplican n

fuerzas n21 F,,F,F�

…��

. Si el cuerpo está en equilibrio de

fuerzas, entonces se cumple que:

0FFn

1i

ineta

��==∑

=

Para resolver un problema de equilibrio de fuerzas hay que seguir los siguientes pasos:

1) Hacer un Diagrama de Cuerpo Libre para cada cuerpo implicado en el problema. 2) Plantear las Ecuaciones a partir de los Diagramas. 3) Despejar incógnitas.

Un caso particular del equilibrio se modela con el Teorema de Lamy. Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas concurrentes y coplanares, se cumple que el módulo de cada una de ellas es directamente proporcional al seno del ángulo de oposición formado por las otras dos. En referencia a la figura 42, esto se puede expresar como:

( ) ( ) ( )αθφ sen

F

sen

F

sen

F 321

��

==

A continuación se procederá a demostrar esta expresión. Lo primero que salta a la vista es el parecido de este teorema con el Teorema del seno, el cual se aplica a un triángulo. Así, uno puede intuir que la demostración de este teorema requiere el trabajar sobre un triángulo. De hecho, si el

cuerpo de la figura 42 está en equilibrio, se cumple que 0FFF 321

��=++ . En términos vectoriales,

si sumáramos gráficamente las tres fuerzas, éstas formarían un triángulo, tal como se aprecia en la figura 43. Aplicando el teorema del seno a este triángulo, se llega a que:

Figura 41) Equilibrio de fuerzas

α

θ φ

1F�

2F�

3F�

Figura 42) Teorema

de Lamy.


( ) ( ) ( )''' αθφ sen

F

sen

F

sen

F 321

��

==

En la figura 43, se dibujan 1F�

a partir de C, 2F�

a partir de A y

3F�

a partir de B. Por inspección, y con referencia a la figura 42,

se puede establecer que los ángulos sumplementarios a α’, θ’ y

φ’ son respectivamente α, θ y φ. Así, απα −=' , θπθ −=' y φπφ −='

En general, si xx' −= π , se puede verificar que:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xsenxsen1xcos0

xsencosxcossenxsenx'sen

=⋅−−⋅=

⋅−⋅=−= πππ

Así, se cumple que:

( ) ( ) ( )ααπα sensen'sen =−=

( ) ( ) ( )θθπθ sensen'sen =−=

( ) ( ) ( )φφπφ sensen'sen =−=

Finalmente, reemplazando estos resultados en el teorema del seno, se llega a la expresión del teorema de Lamy, con lo cual éste queda demostrado.

( ) ( ) ( )αθφ sen

F

sen

F

sen

F 321

��

==

Cuerpo colgado en una cuerda En la figura 44 se muestra un cuerpo en equilibrio colgado con una cuerda que proporciona una tensión T. Del DCL se aprecia que

gMT0gMT ⋅=⇒=⋅−

α

θ

φ

1F�

2F�

3F�

'α

'φ

' θ

A

B

C

Figura 43) Demostración del

Teorema de Lamy

T: Tensión de la cuerdaP: Peso del cuerpo

Figura 44) Cuerpo de masa M colgado en cuerda.


Cuerpo en un ascensor Considere un cuerpo de masa M dentro de un ascensor. Dependiendo del movimiento del ascensor, la fuerza de contacto normal N del ascensor al cuerpo va a tomar diferentes valores. En la Figura 45a), el ascensor tiene aceleración hacia arriba. Ello sucederá si:

• El ascensor va subiendo y aumenta la magnitud de su velocidad

• El ascensor va bajando y disminuye la magnitud de su velocidad

En este caso, ( )agMNaMgMN +⋅=⇒⋅=⋅− , por lo que la normal tiene mayor magnitud

que el peso. En la Figura 45b), el ascensor tiene aceleración cero, por lo que está en equilibrio de fuerzas. Ello sucederá si:

• El ascensor está en reposo (equilibrio estático)

• El ascensor va subiendo o bajando con magnitud de velocidad constante (equilibrio dinámico).

En este caso, gMN0gMN ⋅=⇒=⋅− , por lo que la normal tiene igual magnitud que el

peso. En la Figura 45c), el ascensor tiene aceleración hacia abajo. Ello sucederá si:

• El ascensor va subiendo y disminuye la magnitud de su velocidad

• El ascensor va bajando y aumenta la magnitud de su velocidad

En este caso, ( )agMNaMN-gM −⋅=⇒⋅=⋅ , por lo que la normal tiene menor magnitud

que el peso. Plano inclinado en equilibrio

M M M

a a(a) (b) (c)

N Mg

g�

g� g

�

Figura 45) Cuerpo en un ascensor. (a) Ascensor acelera hacia arriba; (b) ascensor en equilibrio; (c) Ascensor

acelera hacia abajo

T: Tensión de la cuerda

P: Peso del cuerpoN: Normal de contacto conel plano

θ θ

θ

N x

y

Figura 46) Cuerpo en plano inclinado en equilibrio


Para obtener las ecuaciones del DCL de un plano inclinado, conviene fijar los ejes de referencia x e y con respecto a éste (eje “x” paralelo al plano, y eje “y” perpendicular al plano). En términos vectoriales, se puede establecer que:

• Tensión de la cuerda: xTT ˆ=�

• Normal del plano: yNN ˆ=�

• Peso: ( ) ( )[ ]ycosxsengMP ˆˆ θθ +⋅⋅−=�

Haciendo el DCL en cada eje:

• Eje y: ( ) ( )θθ cosgMN0cosgMN ⋅⋅=⇒=⋅⋅−

• Eje x: ( ) ( )θθ sengMT0sengMT ⋅⋅=⇒=⋅⋅−

Fuerza sobre dos cuerpos en contacto En la figura 47 se muestran dos cuerpos de masas M1 y M2, que están pegados uno al otro, y deslizando en una superficie lisa. Al cuerpo M1 se le aplica una fuerza de magnitud constante F de magnitud constante, la cual provoca que el conjunto adquiera una aceleración neta as. Para analizar el sistema, hay que hacer un DCL para cada cuerpo. En cada DCL hay que considerar la fuerza de contacto entre ambos cuerpos, F12. Con referencia a la figura, se pueden establecer ecuaciones para relacionar las distintas fuerzas. Para el cuerpo de masa M1:

• Eje y: gMN0gMN 1111 ⋅=⇒=⋅−

• Eje x: s112 aMFF ⋅=−

Para el cuerpo de masa M2:

• Eje y: gMN0gMN 2222 ⋅=⇒=⋅−

• Eje x: s212 aMF ⋅=

Sumando las dos ecuaciones en el eje x:

M1

M1 M

2

F

as

M2

F

M1·g M

2·g

N1

N2

F12 F

12

Par acción-

reacción

Figura 47) Fuerza sobre dos cuerpos en contacto


( )21

ss21s2s11212MM

FaaMMFaMaMFFF

+=⇒⋅+=⇒⋅+⋅=+−

Reemplazando la aceleración del sistema en la ecuación del eje x para el cuerpo de masa M2, se puede obtener la fuerza de contacto F12:

FMM

M

MM

FMaMF

21

2

21

2s212 ⋅+

=+

⋅=⋅=

Fuerza sobre tres cuerpos unidos con cuerdas En la figura 48 se muestran tres cuerpos de masa M1, M2 y M3, deslizando en una superficie lisa. Los cuerpos M1 y M2 están unidos por una cuerda de tensión T12, y los cuerpos M2 y M3 están unidos por una cuerda de tensión T23. Al cuerpo M1 se le aplica una fuerza de magnitud constante F de magnitud constante, la cual provoca que el conjunto adquiera una aceleración neta as. Para analizar el sistema, hay que hacer un DCL para cada cuerpo. Con referencia a la figura, se pueden establecer ecuaciones para relacionar las distintas fuerzas. Para el cuerpo de masa M1:

• Eje y:

gMN0gMN 1111 ⋅=⇒=⋅−

• Eje x: s112 aMTF ⋅=−


• Eje y: gMN0gMN 2222 ⋅=⇒=⋅−

• Eje x: s22312 aMTT ⋅=−


• Eje y: gMN0gMN 3333 ⋅=⇒=⋅−

• Eje x: s323 aMT ⋅=

Sumando las tres ecuaciones en el eje x:

M1

M2

M3

T12T23F

as

M1

M2

M3

T12 FT

12T23

T23

N1

N2N

3

M3·g M

2·g M

1·g

Paracción-

reacción

Paracción-

reacción

Figura 48) Fuerza tres cuerpos unidos por cuerdas


( )321

ss321

s3s2s123231212

MMM

FaaMMMF

aMaMaMTTTTF

++=⇒⋅++=⇒

⋅+⋅+⋅=+−+−

Reemplazando en la ecuación del eje x para la masa M3, se obtiene la tensión T23:

FMMM

M

MMM

FMT

321

3

321

323 ⋅++

=++

⋅=

Reemplazando los resultados de as y T23 en la ecuación del eje x para la masa M2, se obtiene la tensión T12:

FMMM

MMF

MMM

M

MMM

FMTaMT

321

32

321

3

321

223s212 ⋅++

+=⋅

+++

++⋅=+⋅=

Así, la cuerda T23 “tira” de la masa M3, mientras que la cuerda T12 “tira” de las masas M2 y M3. Definición operacional de masa: demostración En la parte de masa y densidad vimos un sistema (ilustrado en la figura 49) a partir del cual se pueden relacionar las masas de los cuerpos con las velocidades de salida. A continuación se demostrará el resultado obtenido, usando consideraciones de dinámica. Inicialmente (t= 0), los cuerpos de masas M1 y M2 parten en reposo. Una vez que se corta la cuerda, el resorte le aplica a ambos cuerpos una fuerza media F durante un tiempo T. Así, mientras son empujados por el resorte, cada cuerpo adquiere una aceleración

media dada por 1

1M

Fa = y

2

2M

Fa = .

En el instante t = T, el resorte deja de actuar y los cuerpos salen disparados con velocidades v1 y v2. Usando la definición de aceleración media:

1

11

1

1M

TFv

T

0v

M

Fa

⋅=⇒

−==

2

22

2

2M

TFv

T

0v

M

Fa

⋅=⇒

−==

M1

M2

M1

M2

v1

v2

cuerda

M1

M2

F F

a1

a2

t = 0

t = T

Figura 49) Definición operacional de masa


Finalmente, haciendo la razón v1/v2:

2211

1

2

2

1

2

1 vMvMM

M

M

TF

M

TF

v

v⋅=⋅⇒=

⋅

⋅

=

Con lo que queda demostrada la relación entre masas y velocidades.

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