johann carl friedrich gauss · 2013-09-24 · se usa la letra mayúscula l para litro porque el 1...

0. Herramientas matemáticas

Johann Carl Friedrich Gauss (Brunswick, 1777 – Göttingen, 1855), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia,

1

El Sistema Internacional (SI), define las siguientes unidades básicas•Kelvin (K). Unidad de temperatura termodinámica.Un kelvin es la temperatura termodinámica correspondiente a la fracción 1/273,16 de la temperaturatermodinámica del punto triple del agua.•Segundo (s). Unidad de tiempo.El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transiciónentre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.•Metro (m). Unidad de longitud.Un metro es la longitud de trayecto recorrido en el vacío por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458de segundo.•Kilogramo (kg). Unidad de masa.Un kilogramo es una masa igual a la almacenada en un prototipo.•Amperio (A). Unidad de intensidad de corriente eléctrica.Un amperio es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos,rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metrouno de otro en el vacío, produciría una fuerza igual a 2•10-7 newton por metro de longitud.•Mol (mol). Unidad de cantidad de sustancia.Un mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales comoUn mol es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales comoátomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando se emplea el mol, es necesario especificar lasunidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o gruposespecificados de tales partículas.•Candela (cd). Unidad de intensidad luminosa.Una candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiaciónmonocromática de frecuencia 540•1012 hercios y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683vatios por estereorradián.

Tema 0: Recursos matemáticos Gonzalo Mora Pérez Física 2º Bachillerato

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2

USO ESCRITO DE SÍMBOLOS Y PREFIJOS:1. Los nombres de las unidades, así como de sus múltiplos y submúltiplos, se escriben con minúscula. El grado Celsius es una excepción. Ejemplo, amperio2. Los símbolos que representan a las unidades se escriben con minúscula, excepto cuando proceden nombres propios. Ejemplo: V (voltio) en honor a VoltaSe usa la letra mayúscula L para litro porque el 1 se confunde con l. 3. Cuando un símbolo con dos letras procede de un nombre propio, la letra inicial es mayúscula. Por ejemplo Pa (en honor a Blaise Pascal)3 Los prefijos y submúltiplos se escriben con minúscula excepto en el caso de mega y 3. Los prefijos y submúltiplos se escriben con minúscula, excepto en el caso de mega y superiores.4. Los símbolos nunca se escriben en plural, ni llevan punto final, salvo que estén al final de una frase.5. Los símbolos de las unidades se imprimen en caracteres romanos (rectos o redondos).6. Entre el número y el símbolo debe dejarse un espacio salvo en las medidas angulares.7. Cuando una unidad derivada está formada multiplicando dos o varias unidades, está expresada con la ayuda de símbolos de unidades separados por puntos a media altura o por un espacio. Por ejemplo: N·m o N m.8. Cuando una unidad derivada está formada dividiendo una unidad por otra, se puede utilizar una barra inclinada (/), una barra horizontal o bien exponentes negativos. Por ejemplo: m/s o

1m·s-1.9. Debe dejarse un espacio entre grupos de 3 dígitos, tanto a la izquierda como a la derecha de la coma (15 739,012 53). En números de cuatro dígitos puede omitirse dicho espacio. La coma no debe usarse como separador de los miles. 10. Debe estar perfectamente claro a qué símbolo de unidad pertenece el valor numérico y qué operación matemática se aplica al valor de la magnitud:Ejemplos: 35 cm x 48 cm pero no 35 x 48 cm; 100 g ± 2 g pero no 100 ± 2g

Múltiplos y submúltiplos10n Prefijo Símbolo Escala Larga Equivalencia Decimal

1024 yotta Y Cuatrillón 1 000 000 000 000 000 000 000 000

1021 zetta Z Mil trillones 1 000 000 000 000 000 000 000

1018 exa E Trillón 1 000 000 000 000 000 000

1015 peta P Mil billones 1 000 000 000 000 000

1012 tera T Billón 1 000 000 000 00010 tera T Billón 1 000 000 000 000

109 giga G Mil millones (o millardo) 1 000 000 000

106 mega M Millón 1 000 000

103 kilo k Mil 1 000

102 hecto h Centena 100

101 deca da / D Decena 10

100 ninguno Unidad 1

10−1 deci d Décimo 0.1

10−2 centi c Centésimo 0.01

10−3 mili m Milésimo 0 00110 3 mili m Milésimo 0.001

10−6 micro µ Millonésimo 0.000 001

10−9 nano n Milmillonésimo 0.000 000 001

10−12 pico p Billonésimo 0.000 000 000 001

10−15 femto f Milbillonésimo 0.000 000 000 000 001

10−18 atto a Trillonésimo 0.000 000 000 000 000 001

10−21 zepto z Miltrillonésimo 0.000 000 000 000 000 000 001

10−24 yocto y Cuatrillonésimo 0.000 000 000 000 000 000 000 001


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3


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Notación científicaUn número se expresa con una parte entera (entre 1 y 9) y una parte decimal, multiplicadapor una potencia de base diez. Por ejemplo: 1234 1,234·103

Son significativas todos los dígitos distintos de ceros.Los ceros colocados entre dos cifras significativas, también lo son.Los ceros colocados antes de la primera cifra significativa, no lo son.

Cifras significativas

En una multiplicación, el número de cifras significativas del resultado no debe superar ladel factor que menos tenga.

Se desechan las cifras que están a la derecha de la última cifra que consideremossignificativa.*Si es menor que 5, el resultado que queda es válido.*Si es 5 o mayor que 5, sumamos una unidad a la última cifra conservada.

Redondeo

InstrumentosÓPRECISIÓN: Es la unidad más pequeña que puede medir un instrumento.

FIDELIDAD: Cuando siempre se obtiene el mismo valor al medir varias veces la mismamagnitud.EXACTITUD: Cuando los datos que se obtienen corresponden con el valor que seconsidera correcto.SENSIBILIDAD: Cuando puede obtener datos para pequeñas variaciones en la magnitud amedir. Al valor mínimo se le llama “umbral mínimo”.


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5

Magnitud escalar:Magnitud escalar:magnitud física que queda totalmente definida mediante un escalar

Magnitud vectorial:Magnitud vectorial:magnitud física que necesita para quedar definida, además de un escalar, una dirección y un sentido.

Vectores

MagnitudesMagnitudes escalaresescalares::VelocidadFuerza

( ) /2 3 1i j k m s+ +

( )2k N

Magnitudes vectorialesMagnitudes vectoriales::

escalar, una d recc ón y un sent do.

Temperatura (23 ºC)Potencial eléctrico (4 V)Masa (10 g)P ió (7 P )

AceleraciónVector de posición

( ) /5 2 1i j k m s2+ -( )2 9i j m+Presión (7 Pa)

Tiempo (5 s)

Densidad (3 g/cm3)

Vector de posición( )2 9i j m+


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6

Vector:

Representación de los vectoresRepresentación de los vectores

Vector: segmento orientado en el espacio mediante una flecha que permite representar una magnitud vectorial

•módulo : su longitud, expresa la medida de la magnitud que representa.•dirección: la de la recta sobre la qual se encuentra (línea de acción).•sentido: se señala con la punta de flecha.

v

Tipos de vectoresTipos de vectores

Vector libre: puede desplazarse paralelo a si mismo (velocidad de un cuerpo en movimiento rectilíneo)

Vector deslizante: puede desplazarse a lo largo de su línea de acción (fuerza aplicada

n n d )

F

vv

vv

v

v

con una cuerda)

F

Vector fijo:el origen está aplicado en un punto fijo (fuerza que produce un giro)

F F


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7

Suma de vectoresSuma de vectores

suma de dos vectores:vector resultante de unir el origen del primero con el final del segundo al

Regla del triánguloRegla del triángulo

Operaciones con los vectoresOperaciones con los vectores

a

b

ba +a

el final del segundo al colocarlos uno a continuación del otro.


suma de dos vectores:la diagonal del paralelogramo obtenido al poner ambos vectores

Regla del paralelogramoRegla del paralelogramo

b

ba +a

al poner ambos vectores con el origen común.

a


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8


De varios vectoresDe varios vectores

b

a

aa b c+ +

b

suma de varios vectores: se ponen uno a continuación del otro, con la misma orientación. La suma es un vector con origen en el primero y fin en el último.También se puede hacer por pares, es decir, se suman dos y el resultado, con el tercero y el nuevo resultado con el siguiente, y así sucesivamente.

Resta de vectoresResta de vectores

Diferencia de dos vectores: para restar de un vector a (minuendo) otro vector b (sustraendo), se suma al vector a el vector opuesto a b.

b

( )d a b a b= − = + −

a ad

b−


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9

va·Producto de un vector por un escalar a (a>0)

Misma dirección y sentido

Producto de vectoresProducto de vectores

v

vaMódulo multiplicado por a

Vector unitario

Misma dirección y sentidovv

vu

vvuv =

yMódulo unitario

Producto escalar de dos vectoresProducto escalar de dos vectores

Producto escalar:escalar producto de los módulos por el coseno

ab

α

αcosaαcos·· baba =

módulos por el coseno del ángulo que forman los dos vectores

20cos·· aaaaa ==

Casos especiales:Casos especiales:

vu

1· =vv uu

0· =⇒⊥ baba


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10

b

Producto vectorial de dos vectoresProducto vectorial de dos vectoresproducto vectorial: es un vector de módulo el producto de los módulos por el seno del ángulo que forman los dos vectores dirección

ba ×

a

α

a

b

vectores, dirección normal al plano que forman, y sentido el que hace a los tres vectores un triedro a derechas, yendo del primero hacia el segundo por el camino más corto.

·a b a b senα× =Regla de la mano derecha o del avance de un tornillo

a b área× =a sen α

Producto vectorial de dos vectoresProducto vectorial de dos vectores

ab

α

00 0· a a a a sen× = =· a b a b sen α× =

Casos especiales:Casos especiales:

vu 0=× vv uu


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11

a

b

ba +

suma

va·

producto por l

ResumenResumen

ba ×

a

b

producto escalar

v

un escalar

· a b a b sen α× =

producto vectorial

ab

α

αcos·· baba =

sistema de referencia cartesiano (en el plano) ortonormal se representa mediante dos semirrectas de origen el punto O, origen del sistema, y ejes OX y OY

Las componentes de un vector en un sistema de referencia son las coordenadas del punto final del vector al colocar el origen del vector en el origen del sistema de referencia (v v )

VECTORES EN EL PLANOVECTORES EN EL PLANO

Los vectores unitarios en el sentido positivo de los ejes Ox y OY son i y j (tienen de módulo la unidad)

vector en el origen del sistema de referencia (vx, vy,).

x y x yv = v + v v i + v j = v cos i + v sen jα α= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2v = v = v + v

YEn módulo:

x yv v v + v

XOj

i

v

xv

yv

α( ) ( )

( ) ( )x y x y

x x y y

a + b = a i + a j + b i + b j =

= a + b i + a + b j

La suma de dos vectores por componentes:


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12

Z

Sistema de referenciaSistema de referencia

sistema de referenciaortonormal dextrógiro se representa mediante tres semirrectas de origen el punto

AMPLIACIÓNVECTORES EN EL ESPACIOVECTORES EN EL ESPACIO

YO

semirrectas de origen el punto O, origen del sistema, y ejes OX, OY y OZ

YZ

X

X

Z

Sistema de referenciaSistema de referencia

coordenadas de un punto en un sistema de

f i ( ) ·

AMPLIACIÓN

YO y

z (x,y,z)

referencia (x, y, z) son los valores de las tres proyecciones sobre los tres ejes: x sobre el eje OX, y sobre el eje OY y z sobre el eje OZ.

x

X


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13

Z

Componentes de un vectorComponentes de un vector

Las componentes de un vector en un sistema de referencia son las

d n d s d l p nt

AMPLIACIÓN

O Yv

vz v

coordenadas del punto final del vector al colocar el origen del vector en el origen del sistema de referencia (vx, vy, vz).vz

(vx,vy,vz)

X

vxvy

222zyx vvvv ++=El módulo de un vector se

puede calcular a partir desus componentes como:

vy

vx

C n di t

Z

Componentes de un vectorComponentes de un vectorAMPLIACIÓN

Cosenos directoresson los cosenos de los ángulos α, β y γ que forma el vector con los ejes del sistema de referencia.

YO

v (vx,vy,vz)

v

vz

β

γ

α

γβα

coscoscos

vvvvvv

z

y

x

===

X

vxvyα


IPEP DE HUELVA 14

14

Z

Vectores unitariosVectores unitarios

Los unitarios en el

AMPLIACIÓN

YOk

j

sentido positivo de los ejes de un sistema de referencia, i, j, k, son los vectores que forman la base ortogonal del sistema de referencia.

X

i

kj

i

≡

≡≡

kji

Z

Vectores unitariosVectores unitarios

⎧ 001 kijiii

producto escalarproducto escalar

AMPLIACIÓN

YOk

j

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=========

=1·0·0·0·1·0·0·0·1·

cos··kkjkikkjjjijkijiii

baba α

X

i

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=×−=×=×=×=×−=×−=×=×=×

=×0

00

sin·kkijkjik

ikjjjkijjkikjiii

baba α

producto vectorialproducto vectorial


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15

Z

Componentes de un vectorComponentes de un vector

Un vector se puede expresar en función de sus componentes y de los vectores unitarios

AMPLIACIÓN

vzkvy jYO

(vx,vy,vz)v

los vectores unitarios del sistema de referencia como la suma de tres vectores en las direcciones de los mismos

vx i

Xkvjvivv zyx ++=

( )kjivv γβα coscoscos ++=

Z

Componentes del vector unitarioComponentes del vector unitario

Las componentes del vector unitario de un

AMPLIACIÓN

YO

(vx,vy,vz)v

vu

vector son los cosenos directores del vector (cosα, cosβ, cosγ)

X kjivvuv γβα coscoscos ++==

( )kjivv γβα coscoscos ++=


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16

Z

A(a a a ) kajaiaOA zyx ++=

Vector entre dos puntosVector entre dos puntosAMPLIACIÓN

AB

YO

A(ax,ay,az)

B(bx,by,bz)OB

OA

j zyx

kbjbibOB zyx ++=

kabjabiab zzyyxx )()()( −+−+−=X OAOBAB −=

a

b

ba +

Operaciones por componentesOperaciones por componentes

( ) ( )( ) ( ) ( )kbajbaiba

kbjbibkajaiaba

zzyyxx

zyxzyx

+++++=

=+++++=+

sumasuma

AMPLIACIÓN

b

ab

α ( )( )( ) ( ) ( )zzyyxx

zyxzyx

bababakbjbibkajaiaba

·····

++=

=++++=

producto escalarproducto escalar

producto vectorialproducto vectorialα

ba ×

ba

α ( ) ( )x y z x y z

x y z

x y z

a b a i a j a k b i b j b k

i j ka a ab b b

× = + + × + + =

=


IPEP DE HUELVA 17

17

DeterminantesDeterminantes

232221

131211

cccbbbaaa

( )( )

11 22 33 12 23 31 13 21 32a b c a b c a b ca b c a b c a b c

= + + −− + +

AMPLIACIÓN

producto vectorialproducto vectorial

α

( ) ( )=++×++=× zyxzyx

kji

kbjbibkajaiaba

333231 ccc ( )13 22 31 11 23 32 12 21 33a b c a b c a b c− + +

ba ×

a

b α ==

zyx

zyx

bbbaaa

( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xa b a b i a b a b j a b a b k= − ⋅ + − ⋅ + − ⋅

MAYÚSCULAS Minúsculas Nombre en griego Nombre español Letra latina

Α α αλϕα Alfa AΒ β βητα Beta B

Γ γ γαμμα Gamma G (ga,gue,..)Δ δ δεϕλτα Delta DΕ ε εψιλον Épsilon E (breve)

Alfabeto griego

ψ p ( )Ζ ζ ζητα Dseta DsΗ η ητα Eta E (larga)Θ θ θητα Zeta Z (za, ce,...)Ι ι ιωτα Iota IΚ κ καππα Kappa K (ca, ke,..)Λ λ λαμβδα Lambda LΜ μ μυ Mu MΝ ν νυ Nu NΞ ξ ξι Xi X (=ks)Ο ο ομικρον Ómicron O (breve)Π π πι Pi PΡ ρ ρω Rho R, rrΣ σ, ς σιγμα Sigma S (ς al final)Τ τ ταυ Tau TΥ υ υψιλον Ípsilon I (u francesa)Φ ϕ ϕι Fi FΧ χ χι Ji J (kh)Ψ ψ ψι Psi PsΩ ω ωμεγα Omega O (larga)


IPEP DE HUELVA 18

LEER

18


IPEP DE HUELVA 19

Áreas figuras planas VolúmenesGeometría FÓRMULAS ÚTILES

FÓRMULAS ÚTILES

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Ángulos, radián, ángulos pequeñosSe denomina ángulo a la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen elmismo origen. Suelen medirse en unidades tales como el radián (para el S.I.) y el gradosexagesimal.El grado sexagesimal esta definido partiendo de que un ángulo recto tiene 90°:1 ángulo recto = 90° (grados sexagesimales).1 grado sexagesimal 60′ (minutos sexagesimales)

El radián se define como el ángulo que limita un arco de circunferencia cuya longitud(curva) es igual a la del radio de la circunferencia. Su símbolo es rad.

Así, el ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es iguala la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s /r, donde θ es ángulo, s es lalongitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo α, de una circunferencia de

1 grado sexagesimal = 60′ (minutos sexagesimales).1 minuto sexagesimal = 60″ (segundos sexagesimales).

radio r, medido en radianes, es:

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°Se puede comprobar que para ángulos pequeños (<15º), si se expresa en radianes, secumple: sen tgθ θ θ≈ ≈

Relación entre grados sexagesimales (o) y radianes (rad)


IPEP DE HUELVA 20

IMPORTANTE

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20

Trigonometría

ac

α

Teorema de PitágorasSeno y coseno de un ángulo

T t d á l

b

α

α =csena

cos α =ba

Tangente de un ángulo

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

cos

ααα

= = ⋅ =sen c a ctg

a b b

Teorema del coseno

2 2 2 2 · ·cos( )a b c b c A= + −

En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la sumaEn todo triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto de ambos por el coseno del ángulo comprendido.


IPEP DE HUELVA 21

IMPORTANTE

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21

Teorema del seno

( ) ( ) ( )sen A sen B sen Ca b c

= =

En todo triángulo, la razón entre el seno de uno de sus ángulos y el lado opuesto es la misma para sus tres ángulos

Tabla de valores y representación0o 30o 45o 60o 90o

sen a

cos a

tg a

=0 0

2=

4 12

32

22

=1 1

2 2

112

32

22

0

0 11 3 ∞3

3


IPEP DE HUELVA 22

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22

Algunas identidades trigonométricas útiles

+ =2 2cos 1sen a a

Ángulos complementarios:

Ángulos suplementarios:

Ángulos que difieren en radianes:

Regla de oro:

− = − =( ) cos y cos( )2 2

sen a a a senaπ π

π π− = − = −( ) y cos( ) cossen a sena a a

( ) ( )

+ = ⋅ + ⋅( ) cos cossen a b sena b senb a

− = ⋅ − ⋅( ) cos cossen a b sena b senb a

+ = ⋅ − ⋅cos( ) cos cosa b a b sena senb

− = ⋅ + ⋅cos( ) cos cosa b a b sena senb

= ⋅2 2 cossen a sena a = −2 2cos 2 cosa a sen a

+a b a b +a b a b

Ángulos que difieren en π radianes:

Ángulos opuestos:

+ = − + = −( ) y cos( ) cossen a sena a aπ π

− = − = − − =( ) (2 ) y cos(-a)=cos(2 ) cossen a sen a sena a aπ π

+ −+ = ⋅ ⋅2 cos

2 2a b a bsena senb sen

+ −− = ⋅ ⋅2 cos

2 2a b a bsena senb sen

+ −+ = ⋅ ⋅cos cos 2 cos cos

2 2a b a ba b

+ −− = ⋅ ⋅cos cos 2

2 2a b a ba b sen sen

)(tf

fΔ)(tf

)( ttf Δ+

Derivada de una funciónDerivación

Δt t

α

t

La derivada de una

tg α=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

ΔΔ

=→Δ t

fdt

tdft

lim0

)(

La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.


IPEP DE HUELVA 23

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TABLA DE DERIVADAS

Nota: a y k son constantes ; f, g y h son funciones. 1. Funciones Algebraicas

y = a y’ = 0

y = x y’ = 1

y = f ± g ± h ± … y’ = f’ ± g’ ± h’ ± …

y = k·f y’ = k·f’

y = f·g y’ = f’·g + f·g’

gfy = 2

'·'·'g

gfgfy −=

2. Funciones Potenciales y Exponenciales

nxy = 1·' −= nxny

nfy = '··' 1 ffny n−=

nn ffy ==1

n nfnfy

1·''−

=

fay = afay f '·ln·'=

3. Función Logarítmica

fy alog= effy alog''=

fy ln= ffy ''=

4. Funciones Algebraicas

y = sen f y’ = f’·cos f

y = cos f y’ = - f’·sen f

y = tg f ffy²cos''=


IPEP DE HUELVA 24

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24

)(tf

Integral indefinida de una funciónIntegración

)(tdF

t

∫⇒=∃ )()( / )( tfdt

tdFtFsi

Es la operación inversa de la derivación.

La integral indefinida es igual a la primitiva de la función.

CtFdttf +=∫ )()(

)( itf)(tf

Integral definida de una funciónIntegración

ttf i Δ)(

2i n tt = →

tt2t1 Δtti

La integral definida de f ió i l l 2

2

11

01

( ) lim ( )t

t iti t

f t dt f t tΔ →= →

= Δ∑∫una función es igual al área definida bajo la curva (en verde).

)()()( 122

1

tFtFdttft

t−=∫ REGLA DE BARROW


IPEP DE HUELVA 25

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25

Tabla de integrales

CONSTANTES FÍSICASAceleración de gravedad (valor promedio): g = 9,8 m/s2

Carga del electrón: e = -1,60·10-19 C

Constante de Boltzmann: k = 1,38·10-23 J/K

Constante de gravitación universal: G = 6,67·10-11 N·m2/kg2

Constante de permeabilidad : m0 = 4π·10-7 H/m = 1,26·10-6 H/m

Constante de permitividad: ε0 = 8,85·10-12 F/m

Constante de Planck: h = 6,63·10-34 J·s

Constante universal de los gases ideales: R = 0,082 atm·L/mol·K = 1,98 cal/mol·K = 8,32 J/mol·K

Densidad del aire seco a 0°C y 1 atm = 1,293 kg/m3

Densidad máxima del agua = 1 g/mL ( a 3,98°C y 1 atm )

Densidad media de la Tierra = 5522 kg/m3 = 5,522 kg/L

Equivalente mecánico del calor: J = 4,184 J/cal

Masa de la Tierra = 5,983·1024 kg

Masa del electrón en reposo: me = 9,11·10-31 kg

Masa del neutrón en reposo: mn = 1,67·10-27 kg

Masa del protón en reposo: mp = 1,67·10-27 kg

Número de Avogadro: No = 6,02·1023 mol-1

Radio promedio de la Tierra = 6,371·106 m

Velocidad de la luz en el vacío: c = 3·108 m/s

Velocidad del sonido en el aire seco a 0 °C y 1 atm = 331,4 m/s

Velocidad orbital media de la Tierra = 29 770 m/s

Volumen patrón de los gases ideales a 0 °C y 1 atm = 0,0224 m3 = 22,4 L


IPEP DE HUELVA 26

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