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Programa de la asignatura

Bloque I: Cálculo Integral

1. Integral de Riemann. Integrales impropias.1.1 Particiones de un intervalo. Suma superior e inferior de Riemann.1.2 Funciones integrables Riemann. Interpretación geométrica de la integral. Pro-

piedades.1.3 El Teorema fundamental del cálculo integral.1.4 Concepto de primitiva de una función. La regla de Barrow. Integración por

partes y cambio de variable.1.5 Aplicaciones del cálculo integral al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes1.6 Cálculo de primitivas.1.7 Métodos numéricos para calcular integrales. La regla del trapecio y el método

de Simpson.1.8 Integrales impropias de primera especie.1.9 Integrales impropias de segunda especie.2. Integrales de funciones de varias variables reales.2.1 Integral doble sobre recintos básicos de R2.2.2 Cálculo de integrales dobles mediante cambio de variables.2.3 Integrales de Riemann en prismas rectangulares de R3.2.4 Integral triple sobre recintos básicos de R3.

38 Programa de la asignatura

2.5 Cálculo de integrales triples mediante cambio de variables3. Integrales de línea. Interpretaciones.3.1 Integrales de línea escalares.3.2 Integrales de línea de funciones vectoriales.3.3 Campos conservativos.3.4 El teorema de Green en el plano.4. Integrales de supercie: interpretaciones. Análisis vectorial.4.1 Área de supercies.4.2 Integrales de supercie de funciones escalares.4.3 Integral de supercie de funciones vectoriales.

Bloque II: Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

5. Ecuaciones diferenciales de primer orden.5.1 Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuaciones diferenciales y

soluciones.5.2 Familias nparamétricas de soluciones y funciones.5.3 Problema de Cauchy.5.4 Relación entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales.5.5 Ecuaciones en variables separadas.5.6 Familia de curvas ortogonales.5.7 Ecuaciones lineales.5.8 Ecuaciones exactas.5.9 Análisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el método de las isoclinas.6. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental.

Programa de la asignatura 39

6.1 Deniciones básicas.6.2 Existencia y unicidad de soluciones.6.3 Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal.6.4 Estructura de las soluciones de la ecuación lineal.7. Ecuaciones y sistemas lineales. Resolución y aplicaciones.7.1 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden n.7.2 Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coecientes constantes.7.3 Reducción de un sistema lineal a una ecuación lineal de orden superior.7.4 Aplicaciones a la ciencia de las ecuaciones y sistemas diferenciales lineales.

Bloque III: Introducción a la Estadística

8. Estadística descriptiva.8.1 Introducción.8.2 Características de una población: variables y atributos.8.3 Frecuencias. Tablas de frecuencias.8.4 Representación gráca de datos: Representaciones de las tablas de frecuencias.8.5 Medidas asociadas a una distribución de frecuencias.9. Conceptos de probabilidad.9.1 Experimentos y sucesos.9.2 Denición de probabilidad.9.3 Distribución o Función de probabilidad en un espacio muestral.9.4 Métodos de conteo.9.5 Probabilidad condicional.10. Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad.


10.1 Concepto de variable aleatoria.10.2 Distribuciones discretas de probabilidad.10.3 Distribuciones continuas de probabilidad.10.4 Esperanza de una variable aleatoria.10.5 Media de una variable aleatoria.10.6 Momentos de una variable aleatoria.10.7 Varianza de una variable aleatoria.10.8 Desviación típica de una variable aleatoria.10.9 Otras medidas de concentración de una variable aleatoria.11. Distribuciones discretas y continuas de probabilidad.10.1 Introducción.10.2 Función de distribución binomial.10.3 Función de distribución de Poisson.10.4 Función de distribución binomial negativa.10.5 Función de distribución hipergeométrica.10.6 Distribución normal.10.7 Teorema central del límite.10.8 Distribución exponencial.10.9 Función de distribución κ2 (Chi-cuadrado).10.10 Función de distribución t-Student.P1 Prácticas Bloque I

P1.1 Cálculo de integrales denidas de una variable. PrimitivasP1.2 Operadores vectoriales

Programa de la asignatura 41

P1.3 Campos de velocidades, lineas de corriente y supercies equipotencialesP1.4 Integrales de linea y ujos a través de curvas planasP1.5 Áreas de supercies e integrales de supercieP2 Prácticas Bloque II

P2.1 Soluciones exactas con DSolveP2.2 Ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden 1. Isoclinas y método de EulerP2.3 Soluciones numéricas con NDSolveP2.4 Osciladores armónicos no acopladosP3 Prácticas Bloque III

P3.1 Represantación de datos e histogramasP3.2 Media, varianza, mediana y modaP3.3 Distribuciones de probabilidad con Mathematica

Análisis del primer bloque

Tema 1. Integral de Riemann.

Integrales impropias

Este tema está dedicado al estudio de la integral de Riemann de funciones realesde variable real, así como el estudio de las integrales impropias. Dividiremos eltema en dos partes, en la primera introduciremos la integral de Riemann de manerarigurosa, esta introducción necesitará del concepto de sucesión, que ya han sidoestudiadas en un tema de la asignatura de Fundamentos Matemáticos. De todasformas, no usaremos más que los conceptos básicos de sucesiones que, en principio,deben ser conocidos para los alumnos de la enseñanza secundaria. Pasaremos despuésal teorema fundamental del cálculo integral y la regla de Barrow, que permite elcálculo de la integral de una función a partir de evaluaciones en la primitiva de lafunción que queremos integrar. Será por tanto de utilidad que dediquemos algúntiempo a recordar algunos métodos para el cálculo de primitivas. Acabaremos estaprimera parte del tema con el estudio de algunos métodos numéricos para el cálculode integrales denidas. En la segunda parte del tema nos dedicaremos al estudio delas integrales impropias, que pueden ser de dos tipos: integrales donde el intervalodonde se integra no está acotado, o bien, integrales donde la función a integrar noestá acotada. El estudio de estas integrales tiene motivaciones físicas debido a laexistencia de distribuciones (densidades) de: energía, masa, fuerza, etc que puedenextenderse arbitrariamente lejos en el tiempo o en el espacio y que, sin embargo, suvalor total (su integral) es nito. La condición para que esto ocurra es que el valordicha distribución disminuya "sucientemente rápido"en puntos lejanos.

Para la elaboración del desarrollo del tema hemos seguido básicamente [MC 99,Capítulos 10 y 11], [Apo 95, Capítulos 1 y 2], [BS 00, Capítulos 4, 6 y 7], [Coq 97,Capítulos 1-5], [Fer 94, Capítulos 10 y 11], [TF 99, Capítulos 4 y 7] y [FMM 98,Capítulos 12-15] . Como libros de problemas recomendamos [Chi 87], [Dem OO,Capítulos 3 y 4] y [Fer 92, Capítulos 10 y 11].

46 Tema 1. Integral de Riemann. Integrales impropias

Objetivos del tema

Obtener sumas superiores e inferiores de funciones asociadas a una partición.Conocer la forma de construir la integral de Riemann y las propiedades deésta.Conocer el concepto de primitiva de una función en un punto.Comprender el Teorema fundamental del cálculo y la Regla de Barrow y ob-servar la importancia de éstos resultados.Aplicar la integral de Riemann al cálculo de longitudes, áreas y volúmenes.Calcular primitivas de algunos tipos de funciones.Entender el concepto de integral impropia.Saber calcular algunas integrales impropias.Determinar la convergencia de algunas integrales impropias a partir de algunoscriterios de convergencia.

TemporalizaciónSe dedicarán 5 horas al desarrollo del tema.

Desarrollo de los contenidos del temaT1.1 Particiones de un intervalo. Suma superior e inferior de RiemannEmpezaremos el estudio de este tema introduciendo los conceptos de suma superiore inferior de Riemann, que posteriormente nos ayudarán a introducir el concepto deintegral de Riemann.Denición T1.1 (Partición del intervalo). Dado un intervalo [a, b], una parti-

ción de [a, b] es un conjunto nito P = x0, x1, ..., xn tal que a = x0 < x1 < ... <

xn = b.

A los intervalos [xi, xi+1], i = 0, 1, ..., n− 1, se les llama intervalos de la particiónP . Se dene el diámetro de la partición P como el número real positivo δ(P) =

max|xi+1 − xi| : i = 0, 1, ..., n− 1. Dadas dos particiones P y P ′ de [a, b], diremosque P ′ es más na que P si P ⊂ P ′. Claramente, en ese caso δ(P ′) < δ(P).

Tema 1. Integral de Riemann. Integrales impropias 47

A continuación, pasamos a denir la suma superior y la suma inferior de Riemannde una función asociada a un partición.Denición T1.2 (Sumas inferiores y superiores de Riemann). Sea f : [a, b] →R y P = x0, x1, ..., xn una partición de [a, b]. Se dene la suma inferior de Rie-

mann de f para la partición P como:

s(P , f, [a, b]) =n−1∑i=0

mi(xi+1 − xi)

donde mi = inff(x) : x ∈ [xi, xi+1], 0 ≤ i ≤ n − 1, y la suma superior de

Riemann de f como:

S(P , f, [a, b]) =n−1∑i=0

Mi(xi+1 − xi)

donde Mi = inff(x) : x ∈ [xi, xi+1], 0 ≤ i ≤ n− 1.Claramente, si f : [a, b] → R y P y P ′ son particiones de [a, b] tales que P ′ es

más na que P entonces:s(P , f, [a, b]) < s(P ′, f, [a, b])

yS(P ′, f, [a, b]) < S(P , f, [a, b]).

Presentaremos a los alumnos varios ejemplos que muestran el signicado geomé-trico de las sumas inferiores y superiores así como el modo de calcular éstas. Porejemplo, para la función sen(x) con dominio [0, π

2]. Escogiendo la partición Pn =

0, 1n

π2, 2

nπ2, ..., n−1

nπ2, n

nπ2

= π2, la suma inferior de Riemann es:

s(Pn, sen, [0,π

2]) =

n−1∑j=0

sen

(jπ

2n

)π

2n

y la superior:

S(Pn, sen, [0,π

2]) =

n−1∑j=0

sen

((j + 1)π

2n

)π

2n

También podemos calcular sumas de Riemann sin elegir necesariamente el máxi-mo y el mínimo en cada intervalo, sino un punto arbitrario, éstas tendrán su utilidada la hora de las clases prácticas.


Denición T1.3 (Sumas de Riemann). Sea f : [a, b] → R y P = x0, x1, ..., xnuna partición de [a, b] y ξ = ξ1, ..., ξn−1 un vector tal que ξi ∈ [xi, xi+1] para todo

i ∈ 0, 1, ..., n − 1. Se dene la suma de Riemann de f para la partición P y la

elección ξ como:s(P , f, [a, b], ξ) =

n−1∑i=0

f(ξi)(xi+1 − xi).

T1.2. Funciones integrables Riemann. Interpretación geométrica de laintegral. Propiedades

Empezamos esta sección con la denición de integral de Riemann:Denición T1.4 (Función integrable Riemann). Sea f : [a, b] → R y (Pn)∞n=1

una sucesión de particiones de [a, b] tales que Pn+1 es más na que Pn, n = 1, 2, ...,∞y lımn→∞ δ(Pn) = 0. Se dice que f es integrable Riemann o integrable en [a, b] si

existen y coinciden los límites:

lımn→∞

s(Pn, f, [a, b], ξ) = lımn→∞

S(Pn, f, [a, b], ξ).

A este valor se le llama integral de Riemann o integral de f en [a, b] y se denota por∫ b

af(x)dx.A los números a y b se les llaman límites de integración. Adoptaremos el convenio∫ b

af(x)dx = −

∫ a

bf(x)dx y cuando a = b, deniremos ∫ a

af(x)dx = 0.

Observemos que si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], al aumentar n consideramoscada vez particiones más nas, luego las sumas inferiores de Riemann se aproximancada vez más por defecto al área comprendida entre la gráca f(x), el eje OX, larecta x = a y la recta x = b y con las sumas superiores nos aproximamos por exceso.

Así, si f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b] y f es integrable Riemann, ∫ b

af(x)dx

coincide con el área determinada por la gráca de f(x), el eje OX y las rectas x = a

y x = b, lo que da una interpretación geométrica de utilidad a la hora de calcularáreas de guras.

Una primera propiedad que tiene su utilidad en las clases prácticas para calcularel límite de sumas de Riemann no necesariamente superiores o inferiores es:Proposición T1.5 Sea f : [a, b] → R y (Pn)∞n=1 una sucesión de particiones de

[a, b] tales que Pn+1 es más na que Pn, n = 1, 2, ...,∞ y lımn→∞ δ(Pn) = 0. Si fes integrable en [a, b], entonces se verica:∫ a

a

f(x)dx = lımn→∞

S(P , f, [a, b], ξn)


donde, para todo n ∈ N, ξn = (xin1 , xin2 , ..., xi

nn−1) forma parte de una sucesión de

vectores cualquiera tales que ξj ∈ [xnj , x

nj+1] para todo j ∈ 0, ..., n− 1.

Funciones integrables. Propiedades de éstas. La relación entre continuidad eintegrabilidad es estrecha, los dos siguientes teoremas lo mostrarán.Teorema T1.6 (Continuidad-Integrabilidad). Si f : [a, b] → R es continua

entonces f es integrable en [a, b].Teorema T1.7. Si f : [a, b] → R es una función acotada y tiene como máximo un

número nito de puntos de discontinuidad, entonces f es integrable en [a, b].Con respecto a la integral de Riemann y las operaciones entre funciones se ob-

tiene:Proposición T1.8. Sean f, g : [a, b] → R integrables y α ∈ R. Entonces f + g, αf ,|f | y fg son integrables, además:

1. ∫ b

a(f(x) + g(x))dx =

∫ b

af(x)dx = 0 +

∫ b

ag(x)dx = 0.

2. ∫ b

aαf(x)dx = α

∫ b

af(x)dx = 0

3. Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces: ∫ b

af(x)dx ≥ 0.

4. Si f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces : ∫ b

af(x)dx ≥

∫ b

ag(x)dx.

5. ∫ a

a|f(x)| dx ≥

∣∣∣∫ b

af(x)dx

∣∣∣.6. Si c ∈ [a, b] entonces

∫ b

af(x)dx =

∫ c

af(x)dx+

∫ b

cf(x)dx.

Por último daremos el primer teorema de la media:Teorema T1.9 (Media). Si f : [a, b] → R es continua, entonces existe ξ ∈ (a, b)

tal que∫ b

af(x)dx = f(ξ)(b− a) .

T1.3. El Teorema fundamental del cálculo integralEsta sección está dedicada al estudio del teorema fundamental del cálculo inte-

gral, que muestra la importante conexión existente entre integración y diferenciación.Teorema T1.10 (Fundamental del cálculo). Sea f : [a, b] → R una función

integrable. Entonces denimos F : [a, b] → R tal que F (x) =∫ x

af(t)dt. Si f es

continua en x0 ∈ [a, b] entonces F es derivable en x0 y F ′(x0) = f(x0).


Así que, dejaremos claro que para obtener derivadas de funciones tales comoF (x) =

∫ x

1e−1

x2 dx, x ∈ (1,+∞), no es necesario el cálculo de la integral, basta conaplicar el teorema anterior para obtener que si x0 ∈ (1,+∞) se tiene:

F ′(x0) = e−1

x20 .

T1.4. Concepto de primitiva de una función. La regla de Barrow. Inte-gración por partes y cambio de variable

Hemos introducido ya el concepto de integrabilidad y hemos aclarado sus posi-bilidades a la hora de calcular áreas de regiones limitadas por grácas de funciones.Ahora bien, el cálculo de una integral como límite de sucesiones es bastante com-plicado. Buscaremos un método alternativo con el uso de primitivas, empezamosdeniendo éstas:Denición T1.11 (Primitiva). Dadas dos funciones f, F : [a, b] → R, se dice queF es una primitiva de f si y sólo si F es derivable en [a, b] y además F ′(x) = f(x)

para todo x ∈ [a, b].A efectos de notación, ∫ fdt representará una primitiva de la función f . Por

otro lado, el teorema fundamental del cálculo permite demostrar la existencia deprimitivas de cualquier función continua:Corolario T1.12. Sea f : [a, b] → R una función continua, entonces la función

F : [a, b] → R dada por F (x) =∫ x

af(t)dt es una primitiva de f .

El siguiente resultado permite, a partir del conocimiento de una primitiva de unafunción integrable, calcular integrales de ésta. Será el procedimiento que utilicemosa la hora de calcular integrales.Teorema T1.13 (Barrow). Si f : [a, b] → R una función continua y F : [a, b] → Runa primitiva de f , entonces ∫ b

af(x)dx = F (b)− F (a).

Por último, introduciremos las técnicas de integración por partes y por cambiode variable que permiten simplicar el cálculo de integrales.Teorema T1.14 (Integración por cambio de variable). Sea f : [a, b] → Runa función integrable en [a, b] y g : [c, d] → R una función inyectiva con derivada

integrable en [c, d], de tal manera que g(c) = a y g(d) = b. Entonces:∫a

bf(x)dx =

∫ d

c

f(g(t))g′(t)dt.


Teorema T1.15 (Integración por partes). Dadas dos funciones derivables, f, g :

[a, b] → R, con derivadas integrables en [a, b], se tiene:∫a

bf(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫

a

bg(x)f ′(x)dx.

T1.5. Aplicaciones del cálculo integral al cálculo de longitudes, áreas yvolúmenes

Esta sección recopila las posibilidades que tenemos de calcular longitudes, áreasy volúmenes utilizando la integral de funciones de una variable.Cálculo de la longitud de una curva. Consideremos la curva denida por lafunción derivable f : [a, b] → R. Entonces la longitud de dicha curva es:

L =

∫ b

a

√1 + f ′(x)2dx.

Cálculo del área de una supercie plana. Recordemos que por denición de laintegral de Riemann, si f : [a, b] → R con f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] es integrable,entonces el área delimitada por la gráca de f(x), el eje OX y las rectas x = a yx = b es ∫ b

af(x)dx. Como consecuencia de esto, si f, g : [a, b] → R son integrables

con f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces el área delimitada por las grácas def(x) y g(x), la recta x = a y la recta x = b es:

A =

∫ b

a

(f(x)− g(x))dx.

Cálculo del área de un sólido de revolución. Consideremos el sólido tridimen-sional que se obtiene al girar la gráca de la función f : [a, b] → R derivable sobreel eje OY (suponemos que dicha gráca no corta al eje OY ). Entonces el área de lasupercie exterior de dicho sólido es:

A = 2π

∫ b

a

f(x)√

1 + f ′(x)2dx.

Cálculo del volumen de un sólido de revolución. Consideremos el sólido tri-dimensional que se obtiene al girar la gráca de la función f : [a, b] → R integrablesobre el eje OX (suponemos que dicha gráca no corta al eje OX). Entonces elvolumen de dicho sólido es:

V = π

∫ b

a

f(x)2dx.


T1.6. Cálculo de primitivasAunque los alumnos ya conocen algunos métodos para el cálculo de primitivas,

un repaso de los mismos será de utilidad para ellos, ya que los necesitaremos en elcálculo de integrales.1. Integrales de funciones irracionales algebraicas. Son integrales no inmediatas

de funciones en las cuales aparecen alguna raíz o raíces con el mismo radicandode la forma ax+b

cx+dcon a, b, c, d ∈ R o sea, integrales de la forma:∫R(x, (

ax+ b

cx+ d)

n1m1 , (

ax+ b

cx+ d)

n2m2 , ..., (

ax+ b

cx+ d)

nrmr )dx.

Entonces hacemos el cambio (ax+bcx+d

) = ts donde s = mcm(m1,m2, ...,mr).2. Método de Euler. Se utiliza para calcular integrales del tipo:∫

R(x,√ax2 + bx+ c)dx,

que no son inmediatas. Los cambios que se pueden efectuar son:√ax2 + bx+ c = ±

√ax+ t si a > 0.

√ax2 + bx+ c = tx±

√c si c > 0.

√ax2 + bx+ c = t(x− α) si α es una raíz real de ax2 + bx+ c = 0.

3. Método Alemán. Se utiliza para calcular integrales de la forma∫An(x)√

ax2 + bx+ cdx

donde An(x) es un polinomio de grado n. Entonces expresaremos∫An(x)√

ax2 + bx+ cdx =

√ax2 + bx+ cAn−1(x) +

∫L√

ax2 + bx+ cdx

donde An−1(x) es un polinomio de grado n−1 y L ∈ R. Derivando la expresiónanterior se determinan An−1(x) y L. Para el cálculo de ∫ L√

ax2+bx+cdx, si ésta

no es inmediata, puede ser necesaria la utilización del Método de Euler.4. Integrales Binomias.

Son integrales de la forma ∫xm(a+ bxn)pdx


donde a, b ∈ R, y m,n, p ∈ Q.Tenemos las siguientes posibilidades:

Si p ∈ Z entonces la integral anterior es irracional algebraica.Si m+1

n∈ Z y p = r

sirreducible con r, s ∈ Z entonces efectuaremos el

cambio a+ bxn = us.Si m+1

n+ p ∈ Z efectuaremos el cambio a

xn + b = us donde s es el delapartado (b).

5. Integrales de funciones transcendentes.Si tenemos ∫ R(ax)dx puede ser adecuado el cambio t = ax.Si tenemos ∫ R(arc sen(x)) puede ser adecuado el cambio t = arc sen(x).Si tenemos ∫ R(arctan(x))dx puede ser adecuado el cambio t = arctan(x)

Para el caso ∫ R(sen(x), cos(x))dx el cambio general es t = tan(π2) de

donde sen(x) = 2t1+t2

, cos(x) = 1−t2

1+t2y dx = 2dt

1+t2aunque hay algunos

casos especiales donde se pueden simplicar los cálculos:i. SiR es impar en seno, o seaR(− sen(x), cos(x)) = −R(sen(x), cos(x))

entonces haremos el cambio t = cos(x) de donde sen(x) =√

1− t2 ydxdt

= −1√1−t2

.ii. Si R es impar en coseno, o sea se satisface R(sen(x),− cos(x)) =

−R(sen(x), cos(x)) entonces haremos el cambio t = sen(x) de dondecos(x) =

√1− t2 y dx

dt= 1√

1−t2.

iii. Si R es par, o sea R(− sen(x),− cos(x)) = R(sen(x), cos(x)) entoncesharemos el cambio t = tan(x) de donde sen(x) = t√

1+t2, cos(x) =

1√1+t2

y dxdt

= 11+t2

.Si tenemos ∫ R(tan(x))dx puede ser adecuado el cambio t = tan(x).

6. Cambios Trigonométricos.Se suelen usar cuando tenemos integrales donde aparecen raíces de los siguien-tes tipos:

√a2 − b2u2 donde u es una función, a, b ∈ R\0. Haremos el cambio

u = absen(t). (Recordar que √1− sen2(t) = cos(t)).

√a2 − b2u2 siendo a, b, u como en (a). Haremos el cambio u = a

btan(t).

(Recordar que √1 + tan2(t) = sec(t)).

54 Tema 1. Integral de Riemann. Integrales impropias√b2u2 − a2 siendo a, b, u como en (a). Haremos el cambio u = a

bsec(t).

(Recordar que √sec2(t)− 1 = tan(t)).

T1.7. Métodos numéricos para calcular integrales. La regla del trapecioy el método de Simpson

A pesar de que la regla de Barrow permite calcular el valor de integrales denidasde funciones que admiten primitivas, no siempre es fácil calcular dicha primitiva.Por ello es necesario disponer de métodos alternativos para calcular el valor de lasintegrales, la alternativa la dan los métodos numéricos. Estudiaremos dos de ellos:la regla del trapecio y el método de Simpson.

La regla del trapecio Dada una función f : [a, b] → R integrable, la regla deltrapecio consiste en aproximar la integral denida ∫ b

af(x)dx por ∫ b

aP1(x)dx, donde

P1(x) es el único polinomio de grado 1 (recta) que pasa por los puntos (a, f(a)) y(b, f(b)). Así que: ∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

P1(x)dx =b− a

2(f(a) + f(b))

y el error que cometemos en dicha aproximación, si la función f es de clase C2, es:E = − 1

12(b− a)3f ′′(c)

, donde c es un punto del intervalo (a, b).El error anterior puede reducirse si utilizamos la regla del trapecio compuesta,

ésta consiste en dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos de longitud h = b−an

yaplicar la regla del trapecio simple a cada uno de los intervalos [a+ jh, a+ (j+ 1)h]

con j ∈ 0, 1, ..., n− 1. Este método proporciona la aproximación:∫ b

a

f(x)dx ≈ h

2

(f(a) + 2

n−1∑i=1

f(a+ ih) + f(b)

).

para esta aproximación el error que se comete, si f es de clase C2, es:E = − 1

12(b− a)h2f ′′(c),

siendo c un punto del intervalo (a, b).La regla des Simpson. La idea de esta regla es aproximar la función f : [a, b] → Ra integrar por el polinomio de grado 2 (único) que pasa por los puntos (a, f(a)),


(a+b2, f(a+b

2)) y (b, f(b)). De esta manera, se obtiene la aproximación:∫ b

a

f(x)dx ≈∫ b

a

P2(x)dx =b− a

6

(f(a) + 4f(

a+ b

2) + f(b)

).

Además, si la función es de clase C4, existe c ∈ (a, b) tal que, el error que se cometeen la aproximación es:

E = − 1

90(b− a)3f (iv)(c).

Al igual que en la regla del trapecio, si subdividimos el intervalo [a, b] en n

partes y aplicamos a cada una de ellas la regla de Simpson, se obtiene una mejoraproximación de la integral:

∫ b

a

f(x)dx ≈ h

3

f(a) + 2

n2∑

i=1

f(a+ 2(i− 1)h) + 4

n2−1∑

i=1

f(a+ 2ih) + f(b)

,

con un error, si f es de clase C4, dado por:E = − 1

180(b− a)h4f (iv)(c),

estando c en (a, b).T1.8. Integrales impropias de primera especie

Las integrales impropias de primera especie son aquellas donde alguno o amboslímites de integración son innitos.Denición T1.16 Si f : [a,+∞) → R es tal que f es integrable en [a, b] para todo

b > a, se dene ∫ +∞

a

f(x)dx = lımt→∞

∫ t

a

f(x)dx

Si el valor anterior es nito, diremos que la integral anterior es convergente, si es

+∞ o −∞ diremos que es divergente y si no existe diremos que es oscilante.De forma análoga se dene

∫ a

−∞ f(x)dx para f : (−∞, a] → R.Si f : R → R es integrable en [a, b] para todo a, b ∈ R, a < b, entonces di-

remos que la integral impropia∫ +∞−∞ f(x)dx es convergente si existe a ∈ R tal que∫ +∞

af(x)dx y

∫ a

−∞ f(x)dx son convergentes y en ese caso se dene (demostraremos

que este valor no depende del número a ∈ R escogido)∫ +∞

−∞f(x)dx =

∫ a

−∞f(x)dx+

∫ +∞

a

f(x)dx.


Denición T1.17 (Valor principal). Si f : (−∞,+∞) → R, se dene el valor

principal de f en (−∞,+∞) como

VP∫ +∞

−∞f(x)dx = lım

t→∞

∫ +t

−t

f(x)dx.

Entonces se tiene el siguiente resultado:Proposición T1.18. Si f : (−∞,+∞) → R es tal que

∫ +∞−∞ f(x)dx es convergente,

entonces

VP∫ +∞

−∞f(x)dx =

∫ +∞

−∞f(x)dx.

La función f : R → R tal que f(x) = x muestra que el recíproco del resultadoanterior no es cierto, en efecto, el valor principal es 0 mientras que ∫ +∞

−∞ f(x)dx noexiste.

Por último, se dice que ∫ +∞a

f(x)dx es absolutamente convergente si la integral∫ +∞a

|f(x)| dx es convergente. Se hará notar que toda integral impropia absoluta-mente convergente es convergente.Cálculo de integrales impropias de primera especie. Al igual que para laintegral de Riemann, las integrales impropias son fáciles de calcular cuando se conoceuna primitiva del integrando.Teorema T1.19.1. Si f : [a,∞) → R es tal que

∫∞af(x)dx es convergente y F (x) es una primitiva

de f(x) entonces: ∫ ∞

a

f(x)dx = lımt→∞

F (t)− F (a).

2. Si f : (−∞), a] → R es tal que∫ a

−∞ f(x)dx es convergente y F (x) es una

primitiva de f(x) entonces:∫ a

−∞f(x)dx = F (a)− lım

t→−∞F (t).

3. Si f : (−∞,+∞) → R es tal que∫ +∞−∞ f(x)dx es convergente y F (x) es una

primitiva de f(x) entonces :∫ +∞

−∞f(x)dx = lım

x→+∞F (x)− lım

x→−∞F (x).


Criterios de convergencia. Como ya sabemos, es posible que sea muy difícil oincluso imposible encontrar una primitiva de una función dada. Así, sería muy inte-resante obtener criterios que permitan conocer el carácter de una integral impropiasin conocer su valor.

Vamos a introducir criterios para funciones f : [a,+∞) → R tales que f(x) ≥ 0

para todo x ∈ [a,+∞). De forma análoga se tienen los criterios para integralesimpropias del tipo ∫ a

−∞ f(x)dx siendo f(x) ≤ 0 para todo x ∈ (−∞, a].Proposición T1.20. Sea f : [a,+∞) → R tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,+∞),f es integrable en [a, b] para todo b > a y lımx→+∞ f(x) > 0. Entonces ∫ +∞

af(x)dx

es divergente.Así, aplicando este criterio se obtiene la divergencia de integrales impropias del

tipo ∫ +∞a

xndx siendo n ≥ 0 o de ∫ +∞1

x2+1x2+2

dx, pero no podemos decir nada sobre elcarácter de la integral impropia ∫ +∞

0e−x2

dx.Los siguientes criterios permiten deducir el carácter de ciertas integrales impro-

pias a partir del conocimiento del carácter de integrales impropias de otras funciones.Proposición T1.21 (Criterio de comparación). Sean f, g : [a,+∞) → R po-

sitivas tales que f, g son integrables en [a, b] para todo b > a y supongamos que

f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a,+∞). Entonces :1. Si

∫ +∞a

f(x)dx es convergente entonces∫ +∞

ag(x)dx es convergente.

2. Si∫ +∞

ag(x)dx es divergente entonces

∫ +∞a

f(x)dx es divergente.

Proposición T1.22 (Criterio del límite). Sean f, g : [a,+∞) → R dos funciones

positivas integrables en [a, b] para todo b > a. Sea l = lımx→+∞f(x)g(x)

∈ R. Entonces:

1. Si l > 0, ∫ +∞a

f(x)dx es convergente (divergente) si y sólo si∫ +∞

ag(x)dx es

convergente (divergente).2. Si l = 0 y

∫ +∞a

f(x)dx es divergente entonces∫ +∞

ag(x)dx es divergente.

3. Si l = 0 y∫ +∞

ag(x)dx es convergente entonces

∫ +∞a

f(x)dx es convergente.

Es sencillo demostrar que para a ∈ R, ∫ +∞a

1xαdx es convergente si α > 1 y

divergente si α ≤ 1. El criterio anterior junto con el carácter de estas integralesimpropias permiten obtener el carácter de muchas integrales impropias.


T1.9. Integrales impropias de segunda especieSupongamos que tenemos una función f [a, b) → R integrable en [a, c] para todo

c ∈ (a, b) y tal que lımx→b− f(x) = ∞. ¾Qué signicado tiene la expresión ∫ b

af(x)dx?

En principio, a esta expresión no la hemos dotado de un signicado concreto ya quela función f no es acotada, nos ocuparemos en esta sección de darle un signicado.Denición T1.23 (Integral impropia de segunda especie). Sea f una función

como antes. Entonces, se dene∫ b

a

f(x)dx = lımt→b−

∫ t

a

f(x)dx.

Si este límite es nito, se dice que la integral impropia de segunda especie∫ b

af(x)dx

es convergente, si es innito se dice que es divergente y si no existe se dice que es

oscilante.

Análogamente, si f : (a, b] → R es integrable en [c, b] para todo c ∈ (a, b) ylımx→a+ f(x) = ∞, se dene∫ b

a

f(x)dx = lımt→a+

∫ b

t

f(x)dx

y se tienen análogas deniciones de convergencia, divergencia y oscilación.

Al igual que para integrales impropias de primera especie, en las condicionesanteriores de la función f , se dice que la integral ∫ b

af(x)dx es absolutamente con-

vergente si y solo si ∫ b

a|f(x)| dx es convergente. Además se verá que la convergencia

absoluta de una integral de segunda especie implica también la convergencia de laintegral.Cálculo de las integrales impropias de segunda especie. Para estas integralestambién dispondremos de un análogo a la regla de Barrow, la dos proposicionessiguientes lo recogen.Proposición T1.24. Sea f : (a, b] → R tal que lımx→a+ f(x) = ∞, ∫ b

af(x)dx es

convergente y supongamos que F (x) es una primitiva de f(x). Entonces:∫ b

a

f(x)dx = F (b)− lımt→a+

F (t).

Proposición T1.25. Sea f : [a, b) → R tal que lımx→b− f(x) = ∞, ∫ b

af(x)dx es

convergente y supongamos que F (x) es una primitiva de f(x). Entonces:∫ b

a

f(x)dx = lımt→b−

F (t)− F (a).


Criterios de convergencia de las integrales impropias de segunda especie.En cuanto a los criterios de convergencia, dispondremos del criterio de comparacióny del límite, ambos los enunciamos para integrales impropias que tienen su singulari-dad en el límite inferior. Los resultados análogos para cuando se tiene la singularidaden el extremo superior son también ciertos y se deja su enunciado como ejercicio alalumno.Proposición T1.26 (Criterio de comparación). Sean f, g : (a, b] → R positivas,

integrables en [c, b] para todo c ∈ (a, b) y tales que lımx→a+ f(x) = lımx→a+ g(x) =

+∞. Si f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ (a, b] entonces:1. Si

∫ b

af(x)dx es convergente entonces

∫ b

ag(x)dx es convergente.

2. Si∫ b

ag(x)dx es divergente entonces

∫ b

af(x)dx es divergente.

Proposición T1.27 (Criterio del límite). Sean f, g : (a, b] → R funciones posi-

tivas, integrables en [c, b] para todo c ∈ (a, b) y tales que

lımx→a+

f(x) = lımx→a+

g(x) = ∞.

Sea l = lımx→a+f(x)g(x)

∈ R. Entonces:

1. Si l 6= 0, ∫ b

af(x)dx es convergente (resp. divergente) si y sólo si

∫ b

ag(x)dx es

convergente (resp. divergente).

2. Si l = 0 y∫ b

ag(x)dx es convergente entonces

∫ b

af(x)dx es convergente.

3. Si l = 0 y∫ b

af(x)dx es divergente entonces

∫ b

ag(x)dx es divergente.

De este criterio, junto con el hecho de que para funciones del tipo f(x) = 1(x−a)α

se tiene que ∫ b

a1

(x−x0)α es convergente si α < 1 y divergente si α ≥ 1, se obtiene laconvergencia de muchas integrales impropias de segunda especie.

Tema 2.Integrales de funciones de

varias variables reales

Generalizamos en este capítulo las nociones del cálculo integral de una variableintroducidas en el tema anterior. Nos ocuparemos en primer lugar de dar un sentidoa la integral de funciones de dos variables denidas en un rectángulo del plano, paraluego extender esta denición a recintos básicos de R2, es decir, recintos acotadoscuyas f ronteras están compuestas por un número nito de grácas de funcionesreales de variable real. Estudiaremos también los cambios de variable y cómo sereduce el cálculo de una integral doble al cálculo reiterado de dos integrales de fun-ciones reales de variable real. En la segunda parte del tema veremos la extensión delconcepto de integral a funciones denidas sobre prismas rectangulares tridimensio-nales y más generalmente sobre recintos básicos tridimensionales, esto es, recintosacotados cuya frontera es la unión de grácas de funciones de dos variables reales(supercies). Veremos que este tipo de integrales satisfacen propiedades análogas alas integrales dobles, así como la posibilidad de reducir los cálculos de éstas a tresintegrales de funciones reales de variable real. Veremos las posibilidades que estostipos de integrales ofrecen a la hora de calcular áreas y volúmenes de guras planasy sólidos tridimensionales. Por otro lado, será importante que alumno asimile loscontenidos para un adecuado seguimiento de la asignatura de Ampliación. Para laelaboración del desarrollo del tema hemos seguido básicamente [MC 99, Capítulo 17][Fer 92, Capítulo 1], [TF 99, Capítulo 13] y [Coq 97, Capítulos 10-12]. Como librode problemas recomendamos [Dem OO, Capítulo 8] y [Fer 93, Capítulos 9 y 10].Objetivos del tema

Conocer la forma de construir la integral de Riemann de funciones reales endos y tres variables.Conocer las propiedades de las integrales doble y triples.

62 Tema 2. Integrales de funciones de varias variables reales

Calcular integrales dobles y triples en algunos recintos.Realizar cambios de variable para la obtención de integrales dobles y triples.Calcular áreas y volúmenes utilizando las integrales múltiples.

TemporalizaciónSe dedicarán 5 horas al desarrollo del tema.

Desarrollo de los contenidos del temaT2.1 Integrales de Riemann en rectángulos

Introducimos en esta sección la integral de Riemann para funciones reales de dosvariables. Hemos preferido no realizar la introducción para funciones de un númeroarbitrario de variables por la pérdida de visión geométrica que ello supone y porqueel procedimiento es enteramente análogo al bidimensional. El alumno interesadopuede seguir el proceso general en [Fer 92, p. 11-19].Denición T2.1 (Partición de rectángulos). Consideremos el rectángulo [a, b]×[c, d] y sean P1 = a = x0, x1, ..., xn = b y P2 = c = y0, y1, ..., ym = d particionesde [a, b] y [c, d] respectivamente. Entonces, diremos que

P1 × P2 = (xi, yj) ∈ R2 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

es una partición de [a, b]× [c, d]. A partir de P1×P2 se obtiene una descomposición

del rectángulo como unión de los rectángulos Rij = [xi, xi+1]×[yj, yj+1], 0 ≤ i ≤ n−1,0 ≤ j ≤ m− 1. Deniremos por diámetro de la partición al número

δ(P1 × P2) = max(i,j)∈0,...,n−1×0,...,m−1

√(xi+1 − xi)2 + (yj+1 − yj)2.

Denición T2.2 (Sumas de DarbouxRiemann). Sea f : [a, b] × [c, d] → Runa función acotada y

P1 × P2 = (xi, yj) ∈ R2 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m

una partición de [a, b]× [c, d]. Entonces1. Se dene la suma inferior de DarbouxRiemann de f asociada a la partición

P1 × P2 como

s(f,P1 × P2) =n−1∑i=0

m−1∑j=0

mi,j(xi+1 − xi)(yj+1 − yj),

donde mi,j = mınf(x, y) : (x, y) ∈ [xi, xi+1]× [yj, yj+1].

2. Integrales de funciones de varias variables reales 63

2. Se dene la suma superior de DarbouxRiemann de f asociada a la partición

P1 × P2 como

S(f,P1 × P2) =n−1∑i=0

m−1∑j=0

Mi,j(xi+1 − xi)(yj+1 − yj),

donde Mi,j = maxf(x, y) : (x, y) ∈ [xi, xi+1]× [yj, yj+1]..

Denición T2.3 (Función integrable Riemann). Se dice que la función f :

[a, b]× [c, d] → R es integrable Riemann si existe un único número real, I, tal que:s(f,P1 × P2) ≤ I ≤ S(f,P1 × P2)

para toda partición P1 × P2 de [a, b] × [c, d]. Entonces diremos que I es la integral

(doble) de f en [a, b]× [c, d] y escribiremos:∫ ∫[a,b]×[c,d]

f(x, y)dxdy = I.

Al igual que para integrales de Riemann de funciones de una variable, se tiene:Proposición T2.4. Dada f : [a, b] × [c, d] → R entonces, si f es continua es

integrable.

Además el concepto introducido tiene dos interpretaciones para calcular áreas yvolúmenes:

1. Cuando la función f es positiva, la integral de f en [a, b]× [c, d] coincide conel volumen delimitado por la gráca de la función f y dicho rectángulo.

2. Cuando la función f es idénticamente igual a 1, el valor de la integral es (b−a)(d−c), es decir, el área del recinto sobre el que integramos. Esta observacióntrivial tendrá importancia cuando generalicemos la integral a otro tipo derecintos.

El cálculo de integrales dobles en rectángulos puede reducirse al cálculo de inte-grales de funciones de una variable gracias al teorema de Fubini.Teorema T2.5 (Fubini). Si f : [a, b]× [c, d] → R es continua entonces:∫ ∫

[a,b]×[c,d]

f(x, y)dxdy =

∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y)dx

)dy =

∫ b

a

(∫ d

c

f(x, y)dy

)dx.


T2.2 Integral doble sobre recintos básicos de R2

Abordamos ahora la denición de integral doble en un recinto acotado Ω ⊂ R2

que tenga interior no vacío y frontera formada por una unión nita de curvas de laforma y = f(x) y x = g(y), donde f y g son funciones reales de una variable realcontinuas. Estos recintos reciben el nombre de recintos básicos. Haremos notar quelos rectángulos son recintos básicos.Denición T2.6 (Integral de Riemann sobre conjuntos básicos). Sea f :

Ω → R una función acotada donde Ω es un recinto básico y sea [a, b] × [c, d] el

menor rectángulo que contiene a Ω. Entonces, si la función f : [a, b] × [c, d] → Rdenida por f(x, y) = f(x, y) si (x, y) ∈ Ω y f(x, y) = 0 si (x, y) /∈ Ω es integrable,

diremos que f es integrable en Ω. En ese caso se dene la integral (doble) de f en

Ω como: ∫ ∫Ω

f(x, y)dxdy =

∫ ∫[a,b]×[c,d]

f(x, y)dxdy.

Al igual que la integral sobre rectángulos, la denición de integral de Riemannsobre conjuntos básicos tiene dos interpretaciones de utilidad, sea Ω un recinto básicoy f : Ω → R una función, entonces:1. Cuando la función f es positiva, la integral de f en Ω coincide con el volumen

delimitado por la gráca de la función f y el conjunto Ω.2. Cuando la función f es idénticamente igual a 1, el valor de la integral es el

área del recinto Ω.Al igual que para funciones denidas en rectángulos, se tiene una relación entre

continuidad e integrabilidad:Denición T2.7. Si Ω es un recinto básico de R2 y f : Ω → R es continua entonces

f es integrable Riemann en Ω.Para acabar esta sección damos las propiedades más importantes de la integral

doble sobre recintos básicos:Proposición T2.8. Sea Ω ⊆ R2 un recinto básico, f, g : Ω → R integrables y

α, β ∈ R. Entonces:1. αf + βg es integrable en Ω y :∫ ∫

Ω

(αf(x, y) + βg(x, y))dxdy = α

∫ ∫Ω

f(x, y)dxdy + β

∫ ∫Ω

g(x, y)dxdy.


2. Si f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ Ω entonces,∫ ∫

Ωf(x, y)dxdy ≥ 0.

3. Si f(x, y) ≥ g(x, y) para todo (x, y) ∈ Ω entonces,∫ ∫Ω

f(x, y)dxdy ≥∫ ∫

Ω

g(x, y)dxdy.

4. ∫ ∫Ωf(x, y)dxdy =

∫ ∫Int(Ω)

f(x, y)dxdy.

5. Sea Ω = Ω1 ∪ Ω2 con Ω1 ∩ Ω2 = ∅ y Ω1, Ω2 recintos básicos. Entonces:∫ ∫Ω

f(x, y)dxdy =

∫ ∫Ω1

f(x, y)dxdy +

∫ ∫Ω2

f(x, y)dxdy.

Para recintos básicos, también podremos reducir el cálculo de integrales dobles aintegrales de funciones reales de variable real, la justicación a la explicación siguien-te la da el teorema general de Fubini, que no introduciremos (ver por ejemplo [Fer 92,p. 164]. Si queremos calcular la integral de f : Ω → R, siendo Ω un recinto básico,jaremos una de las dos variables de integración y el intervalo máximo sobre el quevamos a integral dicha variable, después delimitaremos los límites de integraciónde la segunda variable respecto a la primera. En concreto, denimos los conjuntosΩx = y ∈ R : (x, y) ∈ Ω, elegimos a = mınx : x /∈ Ωx, b = maxx : x /∈ Ωx ypara cada x ∈ (a, b) tomamos c(x) = mıny : y ∈ Ωx y d(x) = maxy : y ∈ Ωx.Supondremos además que (c(x), d(x)) ∈ Ωx y que f es continua. Con esta notaciónse tiene:Proposición T2.9 (Fubini).∫ ∫

Ωf(x, y)dxdy =

∫ b

a

(∫ d(x)

c(x)f(x, y)dy

)dx.

T2.3 Cálculo de integrales dobles mediante cambio de variablesMuchas veces los cambios de variable son necesarios para el cálculo de integrales.

Para integrales sobre recintos de R2 se tiene el siguiente resultado:Proposición T2.10. Sea Ω un subconjunto abierto y básico de R2 y sea f : Ω → Runa función integrable. Sea ∆ un abierto de R2 y Φ : ∆ → R2 una función tal que:

1. Φ(∆) = Ω,2. Φ es diferenciable en ∆ y

3. |J(Φ(u, v))| 6= 0 para todo (u, v) ∈ ∆.


Entonces, se verica que ∆ es un abierto básico y:∫ ∫Ω

f(x, y)dxdy =

∫ ∫∆

f(Φ(u, v)) |J(Φ(u, v))| dudv.

El cambio de variable que más emplearemos en R2 es el cambio a coordenadaspolares, dado por: Φ : (0,+∞)× (0, 2π) → R2 tal que Φ(r, θ) = (r cos(θ), r sen(θ)).T2.4 Integrales de Riemann en prismas rectangulares de R3

Esta sección está dedicada a generalizar la noción de integral a conjuntos tridi-mensionales de la forma [a, b]× [c, d]× [e, f ], que llamaremos prismas rectangulares.No liaremos el desarrollo teórico ya que es análogo al hecho para rectángulos de R2,nos centraremos en la parte práctica. No obstante daremos en apuntes el desarrolloteórico por si algún alumno quiere seguirlo.Denición T2.11 (Partición de prismas). Dado el prisma rectangular [a, b] ×[c, d]× [e, f ] y particiones P1 = a = x0, x1, ..., xn = b, P2 = c = y0, y1, ..., ym = dy P3 = e = z0, z1, ..., zl = f diremos que

P1 × P2 × P3 = (xi, yj, zk) ∈ R3 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ l

es una partición de [a, b]× [c, d]× [e, f ].Denición T2.12 (Sumas de DarbouxRiemann). Sea f : [a, b]×[c, d]×[e, f ] →R una función acotada y

P1 × P2 × P3 = (xi, yj, zk) ∈ R3 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, 1 ≤ k ≤ l

una partición de [a, b]× [c, d]× [e, f ]. Entonces:1. Se dene la suma inferior de DarbouxRiemann de f asociada a la partición

P1 × P2 × P3 como

s(f,P1 × P2 × P3) =n−1∑i=0

m−1∑j=0

l−1∑k=0

mijk(xi+1 − xi)(yj+1 − yj)(zk+1 − zk),

donde mijk = mınf(x, y, z) : (x, y, z) ∈ [xi, xi+1]× [yj, yj+1]× [zk, zk+1].

2. Se dene la suma superior de DarbouxRiemann de f asociada a la partición

P1 × P2 × P3 como

S(f,P1 × P2 × P3) =n−1∑i=0

m−1∑j=0

l−1∑k=0

Mijk(xi+1 − xi)(yj+1 − yj)(zk+1 − zk),

donde Mijk = maxf(x, y, z) : (x, y, z) ∈ [xi, xi+1]× [yj, yj+1]× [zk, zk+1].


Denición T2.13 (Función integrable Riemann). Se dice que la función f :

[a, b] × [c, d] × [e, f ] → R es integrable Riemann si existe un único número real, I,tal que:

s(f,P1 × P2 × P3) ≤ I ≤ S(f,P1 × P2 × P3)

para toda partición P1×P2×P3 de [a, b]× [c, d]× [e, f ]. Entonces diremos que I es

la integral (triple) de f en [a, b]× [c, d]× [e, f ] y escribiremos:∫ ∫ ∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x, y, z)dxdydz = I.

Al igual que para integrales de Riemann de funciones de una variable, se tiene:Proposición T2.14. Dada f : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R entonces, si f : [a, b] ×[c, d]× [e, f ] → R es continua es integrable.

Al igual que la integral doble, la triple tiene una interpretación geométrica parael cálculo de volúmenes: cuando la función f es idénticamente igual a 1, el valorde la integral es (b − a)(d − c)(f − e), es decir, el volumen del prisma sobre el queintegramos. Esta observación trivial tendrá importancia cuando generalicemos laintegral a otro tipo de recintos, los recintos básicos tridimensionales.

El cálculo de integrales triples sobre prismas rectangulares también puede re-ducirse al cálculo de integrales de funciones de una variable gracias al teorema deFubini.Teorema T2.15 (Fubini). Si f : [a, b]× [c, d]× [e, f ] → R es continua entonces:∫ ∫ ∫

[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x, y, z)dxdydz

es igual a∫ f

e

(∫ d

c

(∫ b

a

f(x, y, z)dx

)dy

)dz =

∫ b

a

(∫ d

c

(∫ f

e

f(x, y, z)dz

)dy

)dx.

T2.5 Integral triple sobre recintos básicos de R3

Generalizamos la denición de integrales a recintos de R3, llamados recintosbásicos. No realizaremos el desarrollo teórico ya que es análogo al que se ha hechopara integrales dobles, no obstante, si daremos a los alumnos unas notas dondeaparezca dicho desarrollo por si los alumnos están interesados en seguirlo. En esteapartado debe primar el aspecto computacional sobre el teórico.


Denición T2.16 (Recinto básico). Un recinto básico es un conjunto acotado

Ω ⊂ R3 que tenga interior no vacío y frontera formada por una unión nita de

supercies de la forma z = f(x, y),y = g(x, z) y x = h(y, z), donde f, g y h son

funciones continuas reales de dos variables reales.Denición T2.17 (Integral de Riemann sobre conjuntos básicos). Sea f :

Ω → R una función acotada donde Ω es un recinto básico de R3 y sea [a, b] ×[c, d] × [e, f ] el menor prisma rectangular que contiene Ω. Si la función f : [a, b] ×[c, d] × [e, f ] → R dada por f(x, y, z) = f(x, y, z) si (x, y, z) ∈ Ω y f(x, y, z) = 0 si(x, y, z) /∈ Ω es integrable, diremos que f es integrable en Ω. En ese caso se dene

la integral de f en Ω como:∫ ∫ ∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]

f(x, y, z)dxdydz.

La interpretación básica de esta integral es que ∫ ∫ ∫Ωf(x, y, z)dxdydz da el valor

del volumen del recinto Ω cuando f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ Ω. Este hechose utilizará bastante en las clases de problemas.

Para esta nueva integral, la continuidad implica integrabilidad:Teorema T2.18. Si Ω es un recinto básico de R3 y una función f : Ω → R continua,

entonces f es integrable Riemann en Ω.Para acabar esta sección estudiaremos las propiedades más importantes de la

integral triple sobre recintos básicos, en particular daremos la Proposición T2.8traducida a recintos básicos de R3. Por otro lado se verá cómo aplicar el teorema deFubini para traducir integrales triples a hacer tres integrales de funciones reales devariable real.T2.6 Cálculo de integrales triples mediante cambio de variables

Introducimos, en esta sección, los cambios de coordenadas en R3, el teorema quesigue es análogo al que dimos en R2:Proposición T2.19. Sea Ω un subconjunto abierto y básico de R3 y sea f : Ω → Runa función integrable. Sea ∆ un abierto de R3 y Φ : ∆ → R3 una función tal que:

1. Φ(∆) = Ω,2. Φ es diferenciable en ∆ y

3. |J(Φ(u, v, w))| 6= 0 para todo (u, v, w) ∈ ∆.


Entonces, se verica que ∆ es un abierto básico y:∫ ∫ ∫Ω

f(x, y, z)dxdydz =

∫ ∫ ∫∆

f(Φ(u, v, w)) |J(Φ(u, v, w))| dudvdw.

Los cambios de coordenadas más importantes en R3 son los cambios a coorde-nadas esféricas y cilindricas, los explicaremos en los siguientes dos apartados.Coordenadas cilindricas Consideremos Φ : R+ × [0, 2π) × R → R3\(0, 0, 0)dado por Φ(rθ, z) = (r cos(θ), r sen(θ), z).

Si (x, y, z) ∈ R3\(0, 0, 0) tal que Φ(r, θ, z) = (x, y, z) entonces r =√x2 + y2 y

θ es el ángulo que forma el vector de posición del punto (x, y, 0) con la parte positivadel eje OX.Coordenadas esféricas Consideremos Φ : R+×[0, 2π)×[−π

2,−π

2] → R3\(0, 0, 0)

dado por Φ(rθ, z) = (r cos(θ) cos(ϕ), r sen(θ) cos(ϕ), r sen(ϕ)).Si el punto (x, y, z) ∈ R3\(0, 0, 0) es tal que Φ(r, θ, ϕ) = (x, y, z) entonces

r =√x2 + y2 + z2 y θ es el ángulo que forma el vector de posición del punto

(x, y, 0) con la parte positiva del eje OX y ϕ es el ángulo que forma el vector deposición del punto (x, y, z) con el vector de posición del punto (x, y, 0).

Tema 3. Integrales de linea.

Interpretaciones

En este tema tratamos de combinar las ideas de integración y la geometría dife-rencial de curvas para abordar problemas de la física tales como:

Calcular la masa de un objeto curvo para el que conocemos su densidad demasa,Calcular el trabajo realizado por una fuerza sobre una partícula que se muevea lo largo de una curva.

Ambos problemas nos servirán para introducir la noción de integral de línea esca-lar y vectorial respectivamente. Daremos las nociones de centro de gravedad de unobjeto y veremos cómo el cálculo de las integrales de línea, tanto escalares comovectoriales, se reduce al cálculo de integrales de Riemann de funciones reales devariable real. Acabaremos el tema deniendo y estudiando las propiedades de loscampos conservativos, noción que los alumnos ya deben conocer de la física al haberestudiado el campo gravitacional terrestre en la secundaria. Para la elaboración deeste tema hemos usado como referencia básica los capítulos 7 y 8 del libro de Mars-dem y Tromba, [MT 98]. Otros libros utilizados en la elaboración del tema y a losque remitimos a los alumnos que quieran ejercitar los conocimientos adquiridos son[Kre 89, Capítulo 8], [Apo 80, Capítulo 10], [LHE 99, Capítulo 14], [P 95, Capítulo7]. Por último el libro de Pedregal, [Ped 01][Capítulos 3 y 4], en su capítulo 4 da untratamiento sencillo y claro a este tema, accesible a nuestros alumnos y con el nivelque pretendemos que alcancen en esta parte de la asignatura.Objetivos del tema

Conocer la denición de integral de línea escalar y vectorial como límite desumas de Riemann.

72 Tema 3. Integrales de linea. Interpretaciones

Calcular integrales de línea de funciones escalares y vectoriales continuas.Conocer las interpretaciones de las integrales de línea.Entender el concepto de campo conservativo.Aplicar las propiedades de los campos conservativos en la resolución de pro-blemas.Aplicar los teoremas De Green y la divergencia en el plano.Utilizar el teorema de Green para calcular áreas de regiones planas.

Temporalización Se dedicarán 2.5 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT3.1 Integrales de línea escalares

El objetivo ahora es extender la noción de integrabilidad a una gama más ampliade funciones, en particular funciones denidas en un subconjunto D de R3, f :

D → R siendo el conjunto D una curva. Es decir, vamos a dotar de signicado a laexpresión ∫

Dfdr. Creemos conveniente dar una aproximación física a este problema,

en particular propondremos a los alumnos el problema de encontrar la masa de unalambre que posee la forma de una curva D y que tiene una densidad lineal de masaque viene dada por la función ρ(r).

Haremos notar que lo más lógico para resolver el problema planteado es hacerparticiones de la curva D, es decir, se elige un conjunto ordenado de puntos en lacurva D r0, r1, ..., rn y en cada subarco de D limitado por ri−1 y ri, tomamos unpunto r∗i donde evaluamos la función ρ. Por último, haciendo uso de la Figura 3.1justicamos aproximar la masa total del alambre por la suma de Riemann:

Mn =n∑

i=1

ρ(r∗i ) ‖ri − ri−1‖ (1)

Ahora parece plausible que si hacemos particiones cada vez más nas de D, lassumas Mn tenderán al valor de la masa del alambre.

La discusión anterior se puede abstraer para cualquier curva D en Rk (k = 2, 3)y cualquier función ρ : D → R, donde deniremos ∫

Dρdr = L en el caso en que las

Tema 3. Integrales de linea. Interpretaciones 73

Figura 3.1: Aproximación gráca al concepto de integral de linea

sumas de Riemann de la ecuación (1) tienen límite L cuando hacemos particionescon diámetro tendiendo a 0.Cómo realizar los cálculos de estas integrales

Si para calcular estas integrales tuviéramos que recurrir a la denición, los cálcu-los se complicarían bastante. Mostremos cómo se pueden simplicar en el caso que ρsea una función continua y que la la curva D esté parametrizada por una aplicaciónde clase C1 α : [a, b] → D.

Hagamos una partición del intervalo [a, b] (t0,t1,...,tn) Esta partición inducetrivialmente una partición en la curva D mediante la parametrización α (r0 =

α(t0), r1 = α(t1), ..., rn = α(tn)). Para tomar los puntos r∗i en el arco de D deli-mitado por los puntos ri−1 y ri elegimos números reales t∗i ∈ [ti−1, ti] e imponemosr∗i = α(t∗i ), ahora las sumas de Riemann de la ecuación (1) serán:

Mn =n∑

i=1

ρ(α(t∗i ) ‖α(ti)− α(ti−1)‖).

Usando el teorema del valor medio componente a componente obtenemos que lassumas de Riemann Mn convergen a:∫ b

a

ρ(α(t))

∥∥∥∥dαdt (t)

∥∥∥∥ dt,así que hemos reducido el cálculo de una integral de línea a una integral en elintervalo. El teorema que sigue resume el razonamiento hecho.


Teorema T3.1. Dada una curva D parametrizada por α : [a, b] → D (de clase C1

a trozos) y dada una función continua f : D → R,se tiene la siguiente igualdad:∫D

f(r)dr =

∫ b

a

f(α(t)) ‖α′(t)‖ dt.

Observación T3.2.Muchos autores denen la integral de línea por la fórmula dada

en el teorema anterior. Nosotros hemos preferido esta aproximación ya que contiene

gran información geométrica.

Conviene destacar algunas propiedades más de las integrales de línea:Proposición T3.3. Dadas las funciones escalares y continuas f1, f2 : D → Rdenidas sobre la curva D parametrizada por una función de clase C1 a trozos, se

tiene:1. ∫

D(f1 + f2)dr =

∫Df1dr+

∫Df2dr.

2. ∫Dcf1dr = c

∫Dfdr para todo c ∈ R.

Es el momento de proponerles a los alumnos que comprueben que la integral delínea sobre una curva D, en virtud del Teorema T3.1, no depende de la parame-trización elegida sobre la curva D. Conviene asimismo introducir ciertos ejemplosprácticos sobre la integral de línea, por ejemplo el cálculo de la supercie de una va-lla construida sobre una curva D de R2 y con altura dada por una función continuaf : D → R.

Para acabar esta sección damos las deniciones del valor promedio de una fun-ción.Denición T3.4 (Valor promedio, centro de gravedad). Dada una función

escalar denida sobre una curva D, f : D → R, se dene el valor promedio de f y

se denota por f a la expresión∫

D fdrl(D)

=∫

D fdr∫D 1dr , donde l(D) es la longitud de la curva

D.El centro de gravedad de una curva D, (x, y, z), se obtiene por las expresiones:

x =

∫Dfxdr

l(D), y =

∫Dfydr

l(D), z =

∫Dfzdr

l(D)

donde: fx(x, y, z) = x, fy(x, y, z) = y, fz(x, y, z) = z.

T3.2 Integrales de línea de funciones vectoriales


El objetivo de esta sección es darle un sentido a la expresión ∫DFdr donde

D es una curva en Rk (k ∈ 2, 3 y F : D → Rk. Otra vez recurriremos a unproblema físico para la introducción de este concepto y posteriormente haremos unaabstracción para introducir el concepto de integral de línea de funciones vectoriales.

Recordamos a los alumnos que el trabajo realizado por una fuerza constante Fa lo largo de un segmento representado por el vector r viene dado por el productoescalar F r. Ahora bien, ¾qué pasa si la fuerza F no es constante?. ¾O si r no esun segmento?. ¾O si suceden las dos cosas a la vez?. En estos casos lo que estamosplanteando es calcular el trabajo realizado por una fuerza F : D ⊂ Rk → Rk alo largo de la curva D. Para resolver el problema hacemos particiones de la curvaD con el objetivo de considerar la función F constante en cada una de ellas. Sear0, r1, ..., rn una partición de D y elijamos un punto r∗i en el arco de D limitadopor ri−1 y ri. Por último aproximamos el trabajo de F sobre la curva D por laexpresión

Wn =n∑

i=1

F(r∗i )(ri − ri−1). (2)

Ahora está claro que el trabajo buscado será el que se obtenga como límite (si existe)de hacer las particiones con diámetro cada vez menor.

Una vez realizada esta introducción física del problema, abstraemos el razona-miento anterior para cualquier función vectorial (campo de vectores) y para cualquiercurva D. Denimos por último ∫

DFdr = W si el valor de las sumas de Riemann de

la ecuación (2) converge a W cuando el diámetro de la partición tiende hacia 0. Ha-cemos notar que sería más preciso denotar al valor anterior por ∫

D+ Fdr puesto quela curva D está orientada y puesto a que el valor varía si cambiamos la orientación.Cómo realizar los cálculos de las integrales de línea vectoriales

Al igual que en el caso de las integrales de línea escalares, el cálculo de una inte-gral de línea vectorial se va a simplicar si el campo que integramos, F, es continuoy además la curva D se puede parametrizar por una función de clase C1 a trozosα : [a, b] → D. Para ello hagamos una partición del intervalo [a, b] (t0, t1, ..., tn)que induce trivialmente una partición en la curva D mediante la parametrizaciónα (r0 = α(t0), r1 = α(t1), ..., rn = α(tn)). Para tomar los puntos r∗i en el arcode D delimitado por los puntos ri−1 y ri elegimos números reales t∗i ∈ [ti−1, ti] eimponemos r∗i = α(t∗i ), ahora las sumas de Riemann de la ecuación (2) serán:

Wn =n∑

i=1

F(α(t∗i ) ‖α(ti)− α(ti−1)‖ .


Usando el teorema del valor medio componente a componente obtenemos que lassumas de Riemann Wn convergen a:∫ b

a

F(α(t))dα

dt(t)dt,

así que hemos reducido el cálculo de una integral de línea a una integral en elintervalo. El teorema que sigue resume el razonamiento hecho.Teorema T3.5. Dada una curva D parametrizada por α : [a, b] → D (de clase C1

a trozos) y dada una función continua f : D → Rk,se tiene la siguiente igualdad:∫D+

f(r)dr =

∫ b

a

f(α(t)) ‖α′(t)‖ dt.

Destacamos algunas propiedades de la integral de línea vectorial cuya demostra-ción se puede dejar al alumno como ejercicio.Proposición T3.6. Dados los campos vectoriales F1,F1 : D → Rk denidos sobre

la curva D parametrizada por la función de clase C1 a trozos, α : [a, b] → D, setiene:

1. ∫D+(F1 + F2)dr =

∫D+ F1dr+

∫D+ F2dr,

2. ∫D+ cF1dr = c

∫D+ F1dr para todo c ∈ R,

3. ∫D− F1dr = −

∫D+ F1dr.

T3.3 Campos conservativosEn general los alumnos ya conocen que existen campos de fuerzas para los que

el trabajo realizado por el campo sobre una partícula, que se mueve a lo largo deuna curva C, sólo depende de los puntos nales de la curva recorrida y no de latrayectoria descrita. En esta sección vamos a denir lo que entendemos por campovectorial conservativo y estudiar sus propiedades.Denición T3.7 (Campo vectorial conservativo). Un campo vectorial continuo

denido sobre un conjunto abierto D ⊂ R3, F : D ⊂ R3 → R3, se dice que deriva

de un potencial o que es conservativo si existe una función escalar de clase C1,f : D → R, tal que ∇f = F. En estas condiciones se dice también que la función f

es un potencial de F .


Con la denición de campo conservativo es fácil deducir que la integral de líneadel campo F sólo depende de los puntos nales de la curva sobre la que hacemos laintegral, usualmente se dice que la integral es independiente del camino. Recogemoseste hecho en el siguiente teorema.Teorema T3.8 (Teorema fundamental de las integrales de línea). Dadauna curva regular a trozos C parametrizada por α : [a, b] → Rn y dado un campo

conservativo denido en un abierto D ⊂ Rn (n ∈ 2, 3), F : D → Rn, se tiene que:∫C

Fdr =

∫∇fdr = f(α(b))− f(α(a)),

donde f es una función potencial de F .El recíproco del resultado anterior no es cierto a menos que el conjunto abierto

D tenga una forma determinada, sea conexo.Denición T3.9 (Conjunto conexo). Un conjunto abierto D ⊂ Rn se dice conexosi y sólo si para cada par de puntosA y B de D existe una curva regular C contenidaen D y cuyos puntos nales son A y B.

Ahora estamos ya en condiciones de enunciar y demostrar el teorema que relacio-na la independencia de la integral respecto al camino con los campos conservativos.Denición T3.10 (Independencia del camino y campos conservativos).Dado un campo denido sobre un conjunto abierto y conexo D ⊂ Rn (n ∈ 2, 3),F : D → Rn, se tiene que la integral de línea sobre una curva regular a trozos C es

independiente del camino si y sólo si el campo F es conservativo.Observación T3.11 La demostración del teorema anterior posee una información

de importancia cara a la resolución de ejercicios, en particular para el cálculo de

funciones potenciales de campos conservativos. En efecto, si tenemos un campo con-

servativo F : D → Rn (n ∈ 2, 3) denido sobre un conjunto abierto y conexo

D ⊂ Rn, la función f que sigue está bien denida (por ser F conservativo) y es una

función potencial.

f : D → R

dada por

f(P ) =

∫COP

Fdrdonde O es un punto prejado del abierto D y COP es una curva regular uniendo

O y P .


Acabamos esta sección dando varias equivalencias para un campo conservativo.En particular es interesante la equivalencia entre un campo conservativo y un campo

irrotacional, es decir, aquél cuyo rotacional es cero. La demostración otra vez essencilla de seguir pero no la haremos por escasez de tiempo. Quizás conviene aclararque para una función vectorial F : D ⊂ R2 → R2 (resp. F : D ⊂ R2 → R2 elrotacional es la función vectorial dada por:

rotF : D → R3

conrotF(x, y) = (0, 0,

∂F2

∂x(x, y)− ∂F1

∂y(x, y))

(resp. rotF(x, y, z) =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F3

∂x− ∂F1

∂z,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

).

Teorema T3.12 (Campo conservativo-irrotacional).Sea D un abierto conexo

de Rn (n ∈ 2, 3) y sea F : D → Rn un campo vectorial de clase C1. Entonces lassiguientes condiciones son equivalentes:

1. Para toda curva parametrizada regular a trozos y cerrada C se tiene que∫CFdr = 0.

2. Para cualesquiera par de curvas regulares a trozos C1 y C2 con los mismos

puntos iniciales y nales se tiene que∫

C1Fdr =

∫C2Fdr.

3. F es conservativo.

4. F es irrotacional.

T3.4 El teorema de Green en el planoEl teorema de Green en el plano relaciona las integrales en regiones del plano

con las integrales de línea que acabamos de estudiar, fue demostrado alrededor de1828 en relación con la teoría del potencial eléctrico y gravitacional. Para establecereste teorema deberemos imponer condiciones tanto sobre el campo vectorial queintegremos como sobre la región del plano sobre la que llevamos a cabo la integraly su frontera. Las condiciones impuestas al campo vectorial van encaminadas aasegurar la existencia de la integral, en cuanto a las condiciones exigidas a la regióny a su frontera serán de tipo geométrico. Introducimos previamente algunas nocionesy resultados de tipo topológico geométrico.


Teorema T3.13 (Jordán).Toda curva de Jordán C descompone al plano en dos

conjuntos abiertos conexos y disjuntos que tienen a C como frontera común. Uno

de los abiertos es acotado y recibe el nombre de interior a C y el otro es no acotado

y se denomina exterior a C.Aunque la denición de orientación positiva se puede hacer más rigurosa, nos

contentamos con la siguiente denición que a efectos prácticos nos será suciente.Denición T3.14 (Orientación positiva de una curva de Jordán).Una curva

de Jordán C parametrizada por α se dice que está positivamente orientada o que

tiene orientación positiva si cuando recorremos la curva según marca la parame-

trización α, dejamos la región interior a C a nuestra izquierda. En caso contrario

diremos que la curva está negativamente orientada o tiene orientación negativa.reeY por último damos las deniciones adaptadas de abiertos del plano simplemente

conexos y múltiplemente conexos.Denición T3.15.Un conjunto abierto y conexo U del plano, se dice que es simple-

mente conexo si y sólo si su complementario también es conexo. En caso contrario

diremos que U es múltiplemente conexo.

Con las consideraciones anteriores podemos enunciar ya el teorema de Green enel plano.Teorema T3.16 (Green).Sea U un conjunto abierto de plano y sea F : R2 → R2

una función vectorial de clase C1 tal que F(x, y) = (F1(x, y),F2(x, y)) para todo

(x, y) ∈ U . Sea R una región contenida en U , con interior no vacío. Entonces:

1. (Dominios simplemente conexos) Si C es una curva de Jordán parametrizada

por α : [a, b] → R2 y positivamente orientada tal que la frontera de R es igual

a C, entonces: ∫C+

Fdr =

∫ ∫R

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

).

2. (Dominios múltiplemente conexos) Si la frontera de R es igual a C1∪C2∪...∪Cn

siendo cada Ci una curva de Jordán parametrizada por αi : [a, b] → R2 , C1 está

positivamente orientada, las demás tienen orientación negativa, C2 ∪ ... ∪ Cn

están contenidas en el interior a C1 y además para cada i 6= j (i, j ∈ 2, ..., n)Ci está contenida en el exterior a Cj. Entonces:

n∑i=1

∫C+

i

Fdr =

∫ ∫R

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

).


Una demostración rigurosa de este teorema es difícil de exponer a nuestros alum-nos podríamos hacer una demostración para regiones más sencillas limitadas por lagráca de dos funciones de clase C1, f, g : [a, b] → R con f(x) < g(x) para todox ∈ [a, b], es decir R = (x, y) : a < x < b y f(x) < y < g(x). La demostración essencilla usando el teorema de Fubini, no obstante creemos razonable no introducirlapor la escasez de tiempo y sí proponerla como un ejercicio para tenerlo en cuenta ala hora de evaluar al alumno.Ejercicio T3.17.Demostrar el teorema de Green para una región introducida como

antes, R = (x, y) : a < x < b y f(x) < y < g(x), para ello se proponen seguir los

siguientes pasos:

1. Identicar la frontera de R, C, dividirla en cuatro trozos siendo dos de ellos

segmentos verticales.

2. Calcular parametrizaciones de las cuatro curvas anteriormente identicadas

que den una orientación positiva a la frontera de R.3. Calcular la integral

∫C+(F1, 0)dr haciendo una suma de las cuatro integrales

en las que se subdivide utilizando el apartado anterior.

4. Comprobar que∫

C+(F1, 0)dr = −∫ ∫

R∂F1

∂ydxdy.

5. Calcular la integral∫

C+(0, F2)dr haciendo una suma de las cuatro integrales

en las que se subdivide utilizando el segundo apartado.

6. Comprobar que∫

C+(0, F2)dr = −∫ ∫

R∂F2

∂xdxdy.

7. Concluir.

En este momento proponemos a los alumnos que comprueben la validez delteorema de Green para la región:

R = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1

y la función:

F(x, y) = (y2 − 7y, 2xy + 2x).

Es fácil ver que estamos bajo las hipótesis del teorema de Green, en particular en elcaso de un dominio simplemente conexo. Ahora aplicamos el teorema y calculamos


por un lado la integral doble ∫ ∫R

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy y por otro ∫

C+ Fdr siendo C lacircunferencia unidad C = (x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1. El objetivo es ver que ambasintegrales tienen el mismo valor.

Por un lado tenemos:∫ ∫R

(∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∫ ∫R

[2y + 2− (2y − 7)]dxdy

= 9

∫ ∫R

dxdy = 9π,

y por otro, tomando la parametrización de C: α : [0, 2π] → C dada por α(t) =

(cos(t), sen(t)), la cual hace que C esté positivamente orientada, se tiene:∫C+

Fdr =

∫ 2π

0

(− sen3(t) + 7 sen2(t) + 2 cos2(t) sen(t) + 2 cos2(t))dt = 9π.

El teorema de Green tiene un fácil corolario que resulta de interés introducirlo.Corolario T3.18.Sea U un abierto simplemente conexo de R2 y F : U → R2 una

función de clase C1 tal que ∂F1

∂y= ∂F2

∂x. Entonces si C1 y C2 son dos curvas de Jordán

contenidas en U con la misma orientación, se tiene que:∫C+

1

Fdr =

∫C+

2

Fdr.

Aplicación del teorema de Green al cálculo de áreasUna de las aplicaciones inmediatas del teorema de Green es el cálculo de áreas de

regiones limitadas por curvas cerradas de clase C1 a trozos C, en particular vamosa ser capaces de calcular dichas áreas utilizando las integrales de línea.

Según se ve en el tema anterior el area de R A(R) =∫ ∫

Rdxdy; ahora bien,

si queremos utilizar el teorema de Green para simplicar el cálculo de la integralanterior mediante una integral de línea debemos encontrar una función vectorial declase C1, F = (F1, F2), denida en un abierto que contenga a R y tal que ∂F2

∂x−

∂F1

∂y= 1. Consideraremos además una parametrización α : [a, b] → C que hace estar

orientada positivamente a C. Ahora podemos calcular el área de R por tres caminos:1. Tener en cuenta la función F : R2 → R2 denida por F(x, y) = (0, x) y utilizar

el teorema de Green obteniendo queA(R) =

∫ ∫R

(∫ ∫R

∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∫ b

a

α1(t)α′2(t)dt

siendo α1 y α2 las funciones componentes de α.


2. Tener en cuenta la función F : R2 → R2 denida por F(x, y) = (−y, x) yutilizar el teorema de Green obteniendo que

A(R) =

∫ ∫R

(∫ ∫R

∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∫ b

a

−α2(t)α′1(t)dt.

3. Usando los dos caminos anteriores se deduce fácilmente que:A(R) =

∫ ∫R

(∫ ∫R

∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)dxdy =

∫ b

a

(α1(t)α′2(t)− α2(t)α

′1(t))dt.

Para acabar esta sección proponemos como ejercicio calcular el área encerradapor la elipse parametrizada por α(t) = (a cos(t), bsen(t)), para valores de t entre 0

y 2π. Utilizando el tercer camino de los dados anteriormente se tiene que el áreabuscada se obtiene con las integrales que siguen.

A =1

2

∫ 2π

0

(ab cos2(t) + ab sen2(t))dt = abπ.

Hacemos notar que el área anterior también se puede calcular utilizando integra-les dobles.El teorema de la divergencia en el plano

Acabamos este tema deduciendo del teorema de Green en el plano el teoremade la divergencia en el plano. En el capítulo que sigue se estudiará también esteteorema en tres dimensiones.Teorema T3.19.Sea R ⊂ R2 una región en las condiciones del teorema de Green

con forntera C1∪C2∪ ...∪Cn, estando las curvas Ci parametrizadas por αi : [a, b] →R2, que dan orientaciones negativas a C2,..., Cn y positiva a C1. Denotemos por ni(t)

al vector normal unitario a Ci, por último consideremos un campo vectorial F de

clase C1 denido en un abierto U que contiene a R junto a su frontera. Entonces:n∑

i=1

∫Ci

F · nidr =

∫ ∫R

divF(x, y)dxdy.

Demostración. Empezamos calculando el primer miembro de la igualdad que dael teorema teniendo en cuenta que el vector normal viene dado por la expresiónni(t) =

(y′i(t),−x′i(t))√x′i(t)

2+y′i(t)2, donde estamos considerando que αi(t) = (xi(t), yi(t)).

Primer miembro. El primer miembro es igual a:n∑

i=1

∫Ci

F · nidr =


n∑i=1

∫ b

a

F1(xi(t), yi(t))y′i(t)− F2(xi(t), yi(t))x

′i(t)√

x′i(t)2 + y′i(t)

2

√x′i(t)

2 + y′i(t)2dt =

n∑i=1

∫ b

a

(F1(xi(t), yi(t))y′i(t)− F2(xi(t), yi(t))x

′i(t))dt =

n∑i=1

∫C+

i

(−F2, F1)dr.

Utilizamos ahora el teorema de Green en la expresión que hemos obtenido alcampo (−F2, F1) y se tiene:

Primer miembro =

∫ ∫R

(∂F1

∂x+∂F2

∂y

)dxdy =∫ ∫

R

divF(x, y)dxdy = Segundo miembro.lo que concluye la prueba del teorema de la divergencia en el plano.

Tema 4. Integrales de supercie:

interpretaciones

Este tema tiene bastante importancia para la formación del Arquitecto Técnico,pues los conceptos aquí tratados se usan extensivamente en otras asignaturas comoFísica donde constituyen una herramienta básica para el cálculo de ujos electro-magnéticos. También nos han reiterado los profesores de Mecánica de Fluidos elinterés que este tema tiene de cara a los cálculos de caudales que realizan en suasignatura. El tema está estructurado de manera que pretendemos dejar claro losconceptos de área de una supercie, integral de supercie de funciones escalares eintegral de supercie de funciones vectoriales. Para ello recurriremos en la introduc-ción de la integral de funciones vectoriales al problema del cálculo de caudales de unuido que atraviesa una cierta supercie. Una segunda parte del tema está dedicadaa la presentación de los teoremas de Stokes y Gauss-Ostrogradsky, los cuales supo-nen una generalización del teorema de Gauss en el plano. En esta parte dejaremosclaro la utilidad de los teoremas que introducimos con el cálculo de integrales querecurran a dichos teoremas. Nuestra exigencia aquí no será muy alta en el sentidoque no propondremos ejercicios con supercies muy complicadas de parametrizar.En clases de problemas calcularemos la fuerza electromotriz creada en una espiraque gira en el seno de un campo magnético (Ley de inducción electromagnética deFaraday). Por otro lado, éste resulta ser el fundamento básico de una central hidro-eléctrica, tema de especial interés en la Arquitectura Técnica. La bibliografía querecomendamos para este tema es coincidente con la del tema anterior.Objetivos del tema

Calcular áreas de supercies.Entender los conceptos de integral de supercie de campos escalares y vecto-riales.

86 Tema 4. Integrales de superficie: interpretaciones

Asimilar las interpretaciones físicas de los conceptos de integral de supercieescalar y vectorial.Calcular con destreza integrales de supercie.Aplicar los teoremas de Stokes y Gauss-Ostrogradsky a la resolución de pro-blemas.

Temporalización Se dedicarán 2.5 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT4.1 Área de supercies

Intentamos en esta sección encontrar cómo calcular el área de una porción desupercie R. Llamaremos a la supercie por S y tomaremos una parametrización φ :

U → S tal que R ⊂ φ(U) (puede que φ(U) ⊂ S). Parece lógico dividir la supercieS en porciones cada vez más pequeñas (elementos de supercie) y aproximar elárea de dichas porciones por un área conocida. Para todo ello será de importanciadisponer de la parametrización φ, en particular liaremos las porciones en U y lastrasladaremos a S mediante φ (ver Figura 4.1).

Figura 4.1. Particiones para el cálculo de áreas de supercies

Para esta discusión vamos a suponer que el abierto U es un producto de intervalosU = (a, b)×(c, d) y que la región R es todo φ(U). Empezamos haciendo una particiónde U , para lo que hacemos particiones Pn = a = u0 < u1 < u2 < ... < un = by Qn = c = v0 < v1 < v2 < ... < vn = d y consideramos la partición de U

Tema 4. Integrales de superficie: interpretaciones 87

Sn = (ui, ui+1) × (vj, vj+1) : 0 < i < n − 1, 0 < j < n − 1. Una aproximación alárea de la supercie sería la siguiente suma de RiemannDarboux (ver Figura 4.2):

An =n−1∑i=0

n−1∑j=0

‖(φ(ui, vj)− φ(ui+1, vj))× (φ(ui, vj)− φ(ui, vj+1))‖ .

Ahora es fácil ver utilizando el teorema del valor medio componente a componente,que si hacemos tender hacia 0 el diámetro de la partición cuando n tiende a innito,entonces:

A(φ(U)) =

∫ ∫U

∥∥∥∥∂φ∂u(u, v)× ∂φ

∂v(u, v)

∥∥∥∥ .El razonamiento hecho hasta aquí justica la siguiente denición de área de una

porción de supercie parametrizada por una sola función.

Figura 4.2. Pararticiones para el cálculo de áreas de supercieDenición T4.1 (Área de una porción de supercie parametrizada por unasola carta).Sea S una supercie, sea U un abierto de R2 básico y φ : U → S una

parametrización de S, entonces se dene el área del conjunto φ(U) por la identidad :A(φ(U)) =

∫ ∫U

∥∥∥∥∂φ∂u(u, v)× ∂φ

∂v(u, v)

∥∥∥∥ dudv.Cabría preguntarse si el área denida depende de las parametrizaciones elegidas.

Lógicamente la respuesta es no y la demostración es fácil de hacer utilizando elteorema de cambio de variable de las integrales dobles. Por otro lado, el objetivonal de toda esta discusión es encontrar el área de una supercie y no sólo de unaporción. Para dar este paso introducimos la noción de conjunto de área nula.


Denición T4.2(Conjunto de área nula). Un subconjunto W de una super-

cie S se dice que tiene área nula si para cada número real ε > 0 existe una fa-

milia de parametrizaciones φn : Un → Vn ⊂ R3kn=1 que recubren W y además∑k

n=1A(φn(Un)) < ε.Denición T4.3(Área de una supercie). Sea S una supercie y sea φn : Un →Vn ⊂ R3k

n=1 una familia de parametrizaciones de S para las que Un son abiertos

básicos de R2. Supongamos adicionalmente que si i 6= j entonces φi(Ui)∪φj(Uj) = ∅y que S\∪k

n=1φn(Un) tiene área nula. Entonces denimos el área de S por la fórmula:

A(S) =k∑

n=1

∫ ∫Un

∥∥∥∥∂φn

∂u(u, v)× ∂φn

∂v(u, v)

∥∥∥∥ dudv.T4.2 Integrales de supercie de funciones escalares

En la sección anterior hemos introducido el concepto de área de una supercie ycómo desarrollar el cálculo efectivo. La integral de supercie de funciones escalaresse introduce como una generalización del razonamiento que hicimos para introducirel concepto de área de una supercie. Fijamos la notación: tomemos una porciónde supercie R, llamemos a la supercie por S y tomemos una parametrización φ :

U → S tal que R ⊂ φ(U) (puede que φ(U) ⊂ S). El objetivo es dotar de signicadoa la expresión ∫ ∫

Rfds, donde f representa a una función continua f : S → R.

Obsérvese que cuando f = 1, la expresión ∫ ∫Sfds denotaba el área de la supercie

S y por lo tanto, al dotar de sentido a ∫ ∫Rfds hay que ser cauteloso para que en

el caso en que f sea constante e igual a 1 entonces ∫ ∫Rfds represente el área de R.

Suponemos que el abierto U es un producto de intervalos, U = (a, b) × (c, d), yque la región R es todo φ(U). Empezamos haciendo una partición de U , para lo quehacemos particiones Pn = a = u0 < u1 < u2 < ... < un = b y Qn = c = v0 <

v1 < v2 < ... < vn = d y consideramos la partición de U Sn = (ui, vj) : 0 < i <

n − 1, 0 < j < n − 1. Una aproximación al área de la supercie sería la siguientesuma de RiemannDarboux :

An =n−1∑i=0

n−1∑j=0

f(ui, vj) ‖(φ(ui, vj)− φ(ui+1, vj))× (φ(ui, vj)− φ(ui, vj+1))‖ ,

ahora utilizamos el teorema del valor medio y deducimos de la anterior expresión


que

A(φ(U)) =n−1∑i=0

n−1∑j=0

f(ui, vj)

∥∥∥∥∂φ∂u(ui, vj)×∂φ

∂v(ui, vj)

∥∥∥∥ (ui+1 − ui)(vj+1 − vj),

para ciertos valores ui ∈ (ui, ui+1) y vj ∈ (vj, vj+1). Por último, es fácil ver que si fes continua y hacemos tender hacia 0 el diámetro de la partición cuando n tiende ainnito, entonces las sumas de Riemann tienden a:

A(φ(U)) =

∫ ∫U

f(u, v)

∥∥∥∥∂φ∂u(u, v)× ∂φ

∂v(u, v)

∥∥∥∥ dudv.El razonamiento hecho hasta aquí justica la siguiente denición de integral de

supercie escalar.Denición T4.5 (Integral de supercie escalar). Sea S una supercie, sea U

un abierto básico de R2, φ : U → S una parametrización y f : S → R una función

continua, entonces se dene la integral de supercie de f sobre φ(U) por la igualdad:∫ ∫φ(U)

fds =

∫ ∫U

f(u, v)

∥∥∥∥∂φ∂u(u, v)× ∂φ

∂v(u, v)

∥∥∥∥ dudv.Lógicamente la denición de integral de supercie no puede depender de la para-

metrización elegida y la demostración se puede hacer fácilmente usando el teorema decambio de variable de las integrales dobles. Nos queda por último denir la integralde supercie para aquellas supercies que necesitan más de una parametrización.Denición T4.6 (Integral de supercie). Sea S una supercie y sea φn : Un →Vn ⊂ R3k

n=1 una familia de parametrizaciones de S para las que Un son abiertos

básicos de R2 y sea f : S → R. Supongamos adicionalmente que si i 6= j entonces

φi(Ui) ∪ φj(Uj) = ∅ y que S\ ∪kn=1 φn(Un) tiene área nula. Entonces denimos la

integral de supercie de f sobre S por la fórmula:∫ ∫S

fds =k∑

n=1

∫ ∫Un

f(u, v)

∥∥∥∥∂φn

∂u(u, v)× ∂φn

∂v(u, v)

∥∥∥∥ dudv.Esta denición de integral de supercie de funciones escalares conlleva una pro-

piedad fácil de demostrar, la resume la siguiente proposición.Proposición T4.7. Dada una supercie S, funciones escalares continuas f1, f2 :

S → R y números reales a y b se tiene que∫ ∫S

(af1 + bf2)ds = a

∫ ∫S

f1ds+ b

∫ ∫S

f2ds.


Las integrales de supercie, al igual que las de linea, se usan para denir el valorpromedio de una función y el centro de gravedad de una supercie.Denición T4.8 (Valor promedio, centro de gravedad). Dada una supercie

S y una función continua sobre ella f : S → R, se dene el valor promedio de f

sobre la supercie S por el cociente:

f =

∫ ∫Sfds

A(S)=

∫ ∫Sfds∫ ∫

S1ds .

Por otro lado, el centro de gravedad de S es el punto (x, y, z) estando las coordenadas

de dicho punto denidas por:

x =

∫ ∫Sxds

A(S), y =

∫ ∫Syds

A(S), z =

∫ ∫Szds

A(S).

Para acabar esta sección hacemos notar que la integral de supercie ∫ ∫Sfds

representa entre otras, la masa de una supercie cuando la función f es la densidadsupercial de masa de la supercie S.T4. Integrales de supercie de funciones vectoriales

Vamos a desarrollar una primera aproximación a las integrales de supercie defunciones vectoriales con el cálculo de caudales de un uido que atraviesa una deter-minada supercie S. Supongamos que el uido uye por una tubería a una velocidadconstante v perpendicular a una supercie rectangular tal y como se ilustra en laFigura 4.3.

Figura 4.3. Perl tubería velocidad y supercie S perpendicularesSi nos preguntamos por la cantidad de volumen de uido que atraviesa la super-

cie entre los instantes t y t + h el resultado se obtiene fácilmente y es ‖v‖A(S)h.Así que la cantidad de uido que atraviesa S por unidad de tiempo, que recibe elnombre de caudal es ‖v‖A(S). Responder a la misma pregunta se complica un poco


más si la velocidad a la que viaja el uido no es perpendicular a la supercie aunqueesta siga siendo constante, la ilustración (de perl) de este caso se encuentra en laFigura 4.4. Ahora es fácil convencerse de que el volumen que atraviesa la supercieS en un instante h de tiempo es vNA(S)h. Y el caudal sería vNA(S).

Figura 4.4. Perl de la tubería velocidad no es perpendicular a S

En esta introducción se han hecho restricciones importantes, tanto a la velocidaddel uido como a la supercie que atraviesa, el caso más general sería calcular elvolumen de uido por unidad de tiempo que atraviesa una supercie orientable S,viniendo la velocidad del uido dada por una función denida en un abierto U talque S ⊂ U , F : U ⊂ R3 → R3. Es pues necesario introducir la integral de superciede funciones vectoriales.Denición de la integral de supercie de funciones vectoriales

Para llegar a la denición precisa de integral de supercie de funciones vectorialeses necesario empezar jando la notación. Tomamos una porción de supercie R,denotamos a la supercie por S y tomamos una parametrización φ : U → S tal queR ⊂ φ(U) (puede que φ(U) ⊂ S). El objetivo es dotar de signicado a la expresión∫ ∫

RFds, donde F representa a una función vectorial continua F : S → R3, que

en la discusión de la introducción era la velocidad del uido que se movía por latubería.

Suponemos, como en la discusión encaminada a denir la integral de supercie defunciones escalares, que el abierto U es un producto de intervalos, U = (a, b)×(c, d),y que la región R es todo φ(U). Se hace una partición de U usando las particionesde los intervalos [a, b] y [c, d], Pn = a = u0 < u1 < u2 < ... < un = b yQn = c = v0 < v1 < v2 < ... < vn = d y consideramos la partición de USn = (ui, vj) : 0 < i < n − 1, 0 < j < n − 1. Calculamos la suma de RiemannDarboux, que según la discusión realizada anteriormente aproxima a la cantidad deuido que atraviesa la supercie S por unidad de tiempo:


An =n−1∑i=0

n−1∑j=0

F(ui, vj) [(φ(ui, vj)− φ(ui+1, vj))× (φ(ui, vj)− φ(ui, vj+1))] ,

ahora utilizamos el teorema del valor medio componente a componente y hacemostender el diámetro de la partición a 0, entonces las sumas de Riemann tienden a:∫ ∫

U

F(u, v)

[∂φ

∂u(u, v)× ∂φ

∂v(u, v)

]dudv.

Así pues, se introduce la denición de integral de supercie vectorial como sigue.Denición T4.10 (Integral de supercie vectorial). Sea S una supercie orien-

tada, U un abierto básico de R2, φ : U → S una parametrización de S que induce la

misma orientación que la jada en la supercie y F : S → R una función continua,

entonces se dene la integral de supercie de F sobre φ(U) por la igualdad:∫ ∫φ(U)

Fds =

∫ ∫U

F(u, v)

[∂φ

∂u(u, v)× ∂φ

∂v(u, v)

]dudv.

Lógicamente la denición de integral de supercie no puede depender de laparametri-zación elegida y la demostración se puede hacer fácilmente usando elteorema de cambio de variable de las integrales dobles. Nos queda por último de-nir la integral de supercie para aquellas supercies que necesitan más de unaparametrización para ser denidas.Denición T4.11 (Integral de supercie). Sea S una supercie orientable y

orientada, sea φn : Un → Vn ⊂ R3kn=1 un conjunto de cartas de S cuyos vectores

normales unitarios coinciden con el de la orientación tomada en S. Supóngase que

Un son abiertos básicos de R2, sea F : S → R3 una función continua y exijamos

adicionalmente que si i 6= j entonces φi(Ui)∪φj(Uj) = ∅ y que S\∪kn=1φn(Un) tiene

área nula. Entonces denimos la integral de supercie de F sobre S por la fórmula:∫ ∫S

Fds =k∑

n=1

∫ ∫Un

F(u, v)

[∂φn

∂u(u, v)× ∂φn

∂v(u, v)

]dudv.

Proposición T4.12. Dada una supercie orientada S, funciones vectoriales conti-nuas F1,F2 : S → R3 y números reales a, b ∈ R se tiene que:

1. ∫ ∫S

(aF1 + bF2)ds = a

∫ ∫S

F1ds+ b

∫ ∫S

F2ds,


2. Si N : S → R3 es el campo de vectores unitarios que da la orientación de

S, entonces podemos relacionar una integral de supercie vectorial con una

integral de supercie escalar mediante la fórmula:∫ ∫S

F1ds =

∫ ∫S

F1 ·Nds.

Aprovechamos el nal de este apartado para introducir notación física íntima-mente ligada al desarrollo de la integral de supercie de funciones vectoriales. Elsímbolo ∫ ∫

SFds tiene diferentes expresiones según lo que represente la función vec-

torial F, ya hemos dicho que cuando F representa el campo de velocidades de unuido entonces ∫ ∫

SFds es el caudal del uido a través de la supercie S. Si F

representa un campo eléctrico o magnético entonces ∫ ∫SFds recibe el nombre de

ujo. Por otro lado, si T : U → R (S ⊂ U) es una función de clase C1 denidaen un abierto U y además T representa la temperatura en la región U , entonces elgradiente de T (∇T (x, y, z) = (∂T

∂x(x, y, z), ∂T

∂y(x, y, z), ∂T

∂z(x, y, z))), nos da el campo

vectorial F = −k∇T que mide cómo uye el calor (k es una constante positiva). Asíque −k ∫ ∫

SFds da el ujo de calor a través de la supercie S.

Fórmulas para la integral de supercie cuando S es la gráca de unafunción

El objetivo de este apartado es encontrar la expresión de las integrales de su-percie cuando la supercie S es la gráca de una función, es decir, existe unafunción denida sobre un abierto básico U ⊂ R2, f : U → R, de tal manera queS = (x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ U. Recordamos que una parametrización de esta su-percie viene dada por φ : U → R3 con φ(x, y) = (x, y, f(x, y)) para todo (x, y) ∈ U .Tomemos ahora funciones continuas f : S → R y F : S → R y simpliquemos lasfórmulas que denían ∫ ∫

Sfds y ∫ ∫

SFds. Empecemos para ello calculando los vec-

tores normales a la supercie S:

N(φ(x, y)) =

(−∂f∂x

(x, y),−∂f∂y

(x, y), 1

)y

‖N(φ(x, y))‖ =

√(∂f

∂x(x, y)

)2

+

(∂f

∂y(x, y)

)2

+ 1.

Así que las fórmulas desarrolladas de las integrales de supercie son las quesiguen:


1. ∫ ∫Sfds =

∫ ∫Uf(x, y)

√(∂f∂x

(x, y))2

+(

∂f∂y

(x, y))2

+ 1dxdy.

2. ∫ ∫SFds =

∫ ∫U

[−∂f

∂x(x, y)F1(x, y)− ∂f

∂y(x, y)F2(x, y) + F3(x, y)

]dxdy donde

hemos utilizado las coordenadas F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y), F3(x, y)).

Análisis del segundo bloque

Tema 5. Ecuaciones diferenciales

de primer orden

Este tema supone un primer contacto con la teoría de ecuaciones diferenciales,que es una de las ramas con mayor aplicación de las matemáticas a otras disciplinascientícas. Por citar algunos casos concretos de aplicaciones se pueden dar en Físicalas órbitas planetarias, en Química la cinética de las reacciones químicas, en Eco-nomía ciertos modelos dinámicos de espacios económicos, en Ecología la dinámicade los ecosistemas, en Ingeniería la teoría de uidos y en Arquitectura el cálculo deestructuras. Pretendemos en este primer contacto con las ecuaciones diferencialesdenir con precisión lo que entenderemos por ecuación diferencial, sistema de ecua-ciones diferenciales y lo que entendemos por soluciones de éstos. Recalcaremos quelas soluciones no tienen por qué tener únicas e introduciremos por ello las familiasnparamétricas de soluciones. Un paso más nos llevará a la denición de problema deCauchy. En cuanto a las ecuaciones diferenciales de primer orden que presentamosprestaremos atención a las ecuaciones en variables separadas, ecuaciones lineales yexactas, incluyendo la búsqueda de factores integrantes. Somos conscientes de lagran cantidad de métodos existentes, estudiados en libros como [NOR 95, p. 37-87]o [B 93, Capítulo 1]. Sin embargo, no seremos muy ambiciosos a la hora de plantearuna amplia gama de métodos de resolución, nos contentaremos con que los alumnosaprendan ciertas técnicas para integrar las ecuaciones diferenciales antes enumera-das. Para que los alumnos no caigan en el aburrimiento y vean por otro lado lapotencia de esta rama de las matemática, presentaremos varios ejemplos de cadauno de los tipos de ecuaciones que presentemos, en particular se hará el estudio dela catenaria, braquis-tocrona, mezclas químicas, diseño de radiotelescopios. Ademásde la resolución de ecuaciones dedicaremos una sección a dar un teorema de exis-tencia y de unicidad para las ecuaciones de orden uno, aunque lo enunciaremos entérminos de funciones de clase C1 y no de funciones lipschitzianas. La última sección

98 Tema 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden

estará dedicada al estudio cualitativo de soluciones de ecuaciones de orden uno, enparticular presentaremos el método de las isoclinas, después de todo, los alumnosdeben comprender que ya que la resolución analítica no siempre es posible, sí seráel estudio cualitativo de las soluciones. Consideramos que este tema no es difícil deasimilar, sin embargo el alumno suele encontrar bastantes problemas cuando afrontala resolución de ejercicios por no saber qué método aplicar a una ecuación diferen-cial concreta. La clases de problemas deben ayudar a salvar esta dicultad. Ademásde ello, éstas clases deberán contribuir a introducir otras aplicaciones típicas de lasecuaciones diferenciales como: interés compuesto, datación de un evento por el mé-todo del carbono 14 y determinación de la hora de un fallecimiento. Por otro lado sepropondrán problemas de ecuaciones reducibles a lineales indicando, en cada caso,el cambio a emplear. Éstas son por ejemplo el caso de las ecuaciones de Bernoulliy Riccati. Como libros de referencia aconsejamos [Jim 00, Capítulo 1] , [NOR 95,Capítulos 1-3], [MC 99, Capítulo 19] y [BGo 00, Capítulo 19].Objetivos del tema

Comprender los conceptos de ecuación y sistema de ecuaciones diferenciales.Determinar si una función es solución de una ecuación diferencial.Determinar si un conjunto de funciones son soluciones de un sistema de ecua-ciones diferenciales.Comprender el concepto de problema de Cauchy.Obtener las ecuaciones diferenciales que satisfacen una familia n-paramétricade funciones.Calcular familias de curvas ortogonales a una familia de curvas dada.Conocer técnicas que permiten encontrar la solución de ecuaciones diferencialeslineales, exactas y variables separadas.Buscar factores integrantes para transformar algunas ecuaciones en exactas.Aprender técnicas de modelización de fenómenos experimentales.Extraer consecuencias de los modelos planteados.Conocer el teorema de existencia y unicidad de soluciones de problemas deCauchy.

Tema 5. Ecuaciones diferenciales de primer orden 99

Conocer el método de las isoclinas para el estudio cualitativo de las ecuacionesdiferenciales de orden uno.

Temporalización Se dedicarán 7 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT5.1. Nociones básicas: ecuación diferencial, sistemas de ecuaciones dife-renciales y soluciones

Iniciamos esta lección introduciendo lo que es una ecuación diferencial ordinariaque no es más que una expresión del estilo:

f(t, y, y′, ..., y(n)) = 0 (5,1)

donde f : D ⊂ Rn+2 → R es una función denida en un subconjunto abiertoD ⊂ Rn+2. Una ecuación diferencial se dirá autónoma si f no depende de t, es decir,es una expresión del estilo g(y, y′, ..., y(n)) = 0, donde g : D ⊂ Rn+1 → R.

A la variable t le daremos el nombre de variable independiente y con frecuenciautilizaremos x en lugar de t, dependiendo de los fenómenos físicos que modelemosen cada momento. La variable y se llamará variable dependiente. Pondremos a con-tinuación ejemplos de ecuaciones diferenciales (no autónomas):

y′ + y − x = 0,

log(y2) + ty − y3 = 0,

y′′ + 4y′ − sen(ty) = 0,

y ahora ecuaciones diferenciales autónomas:y′ + cos(y) = 0,

tan(y4) + y − arcsen(y3) = 0,

y′ + 4y − ey = 0.

Seguimos, ahora con la noción de solución. Una función real denida en unintervalo abierto I, y : I → R, es solución de la ecuación diferencial (5.1) si esnveces derivable con derivadas continuas y para todo elemento t ∈ I se vericaf(t, y(t), y′(t), ..., yn(t)) = 0. Ilustraremos esta denición con la ecuación diferencialty′′ − y′ = 3t2, para ella probaremos que para cada elección de números reales c1 yc2 se tendrá que y(t) = t3 + c1t

2 + c2 es solución.


Una primera observación que se desprende de este ejemplo es que las solucionesno van a ser únicas, en particular, en nuestro ejemplo hay innitas soluciones. Otraobservación que se debe hacer es que las soluciones deben buscarse en intervalos dedenición lo más grandes posibles, es decir lo que se busca son soluciones maximales.

En este momento del curso el alumno ya ha estudiado, en la asignatura de primercuatrimestre Fundamentos Matemáticos, las funciones denidas en forma implícitay ya debe saber cómo derivarlas. Por lo tanto, la denición de solución de ecuacionesdiferenciales no excluye que demos como solución funciones denidas implícitamente.Así podemos decir que para la ecuación diferencial yy′+t = 0, la expresión t2+y2 = c2

(c constante) dene a y en función de t en el intervalo (−√c,√c) siendo y(t) solución

de yy′ + t = 0.Seguimos deniendo un sistema de ecuaciones diferenciales como una colección

de expresiones como la que sigue:

f1(t, y1, y′1, ..., y

(n)1 , y2, y

′2, ..., y

(n)2 , yk, y

′k, ..., y

(n)k ) = 0,

f2(t, y1, y′1, ..., y

(n)1 , y2, y

′2, ..., y

(n)2 , yk, y

′k, ..., y

(n)k ) = 0,

....................................................................

fs(t, y1, y′1, ..., y

(n)1 , y2, y

′2, ..., y

(n)2 , yk, y

′k, ..., y

(n)k ) = 0.

Las variables y1, y2, ..., yk reciben el nombre de variables dependientes y t recibeel nombre de variable independiente. Sólo consideraremos sistemas con el mismonúmero de variables dependientes que de ecuaciones, es decir, sistemas con k = s.La noción de solución es análoga a la introducida anteriormente, es decir, a la funciónsolución se le pide lo mismo que a las soluciones de una ecuación diferencial perocon cada una de las ecuaciones del sistema.

Para claricar esta denición propondremos vericar que el sistema de ecuacionesdiferenciales:

x′ = −y, y′ = x+ t,

tiene por soluciones x(t) = −t+ c1 cos(t) + c2 sen(t), y(t) = 1 + c1 sen(t)− c2 cos(t)

en el intervalo I = R para cada par de números reales c1, c2.Acabamos esta sección deniendo el orden de una ecuación diferencial como el

más alto grado de las derivadas que aparecen.T5.2. Familias nparamétricas de soluciones y funciones


En esta sección pretendemos mostrar al alumno que, en general, las soluciones deuna ecuación diferencial dependen de nparámetros, aunque también veremos que sepresentarán bastantes excepciones. Empezamos considerando la ecuación diferencialy′ = f(t) para la que es claro que una solución es y(t) =

∫f(t)dt + c, donde c

es cualquier número real y ∫ f(t)dt denota una primitiva ja de la función f(t).Nos planteamos estudiar después la ecuación y′′ = f(t) cuya solución es y(t) =∫ (∫

f(t)dt)dt+c1t+c2 donde c1 y c2 son números reales cualesquiera jos. Siguiendo

con el mismo razonamiento, la solución de y(n) = f(t) dependerá de nparámetros.En general, la ecuación diferencial f(t, y, y′, ..., y(n)) = 0 tiene por soluciones

una familia nparamétrica de funciones, es decir, una familia de funciones del tipoy(t) = f(t, c1, c2, ..., cn) o en forma implícita, g(t, y, c1, c2, ..., cn) = 0.

Aunque lo expuesto hasta aquí es cierto en general (ya lo veremos) conviene ponerde maniesto contraejemplos sencillos a esta regla. En efecto, la ecuación diferencialy2+(y′)2 = −1 no tiene soluciones, y2+(y′)2 = 0 tiene como única solución la funcióny : R → R constantemente igual a 0 y por último (y′ − y)(y′ − 2y) = 0 tiene porsoluciones la familia biparamétrica denida implícitamente por (y−c1et)(y−c2e2t) =

0.Parece lógico preguntarse si jada una familia nparamétrica de funciones, y(t) =

f(t, c1, c2, ..., cn) o g(t, y, c1, c2, ..., cn) = 0, existe una ecuación diferencial cuyas solu-ciones incluyen la familia jada. En general la respuesta a este problema es armativay para encontrar la ecuación diferencial basta con derivar nveces la función y(t)

obteniendo así n + 1 ecuaciones de las que eliminaremos c para obtener una únicaecuación diferencial. Ilustraremos este procedimiento buscando una ecuación dife-rencial que contenga como soluciones a la familia uniparamétrica y(t) == c cos(t)+t

y otra para la familia biparamétrica z(t) = c1et + c2e

2t.Derivando respecto de t se obtiene y′(t) = −c sen(t) + 1, de donde

y′(t) = −(y(t)− t) sen(t)

cos(t)+ 1.

Así que la familia uniparamétrica y(t) = c cos(t) + t satisface la ecuación y′ =

(t − y)tan(t) + 1. Para obtener la ecuación diferencial de la familia biparamétricaz(t) = c1e

t+c2e2t derivamos dos veces respecto de t y obtenemos z′(t) = c1e

t+2c2e2t,

z′′(t) = c1et + 4c2e

2t, ahora eliminamos c1 y c2 utilizando las tres ecuaciones y seobtiene z′′(t) − 3z′(t) + 2z(t) = 0, por lo que la familia biparamétrica satisface laecuación diferencial:

z′′ − 3z′ + 2z = 0.


T5.3. Problema de Cauchy Llegados a este punto se impone una reexión. Silas ecuaciones diferenciales modelan fenómenos físicos de los que queremos estudiarsu comportamiento posterior, no parece razonable que sus soluciones sean innitascomo estamos viendo que de hecho sucede. En realidad nuestro fenómeno físicodeberá quedar determinado por una sola de las soluciones desechando las demás,este proceso de elección de la función adecuada se puede realizar con éxito porquepodremos medir, en general, el estado inicial del sistema (el valor de la función en unvalor determinado de t), a esta condición inicial se le llama condición de Cauchy si lavariable t es temporal y condición de contorno si la variable x es espacial. Llegamosasí a la denición de problema de Cauchy. Entendemos por problema de Cauchy auna expresión del estilo:

f(t, y, y′, ..., y(n)) = 0,

y(t0) = y0,1,

y′(t0) = y0,2,

......

y(t0)(n−1) = y0,n.

Una solución del problema de Cauchy es una función denida en un intervaloabierto I, y : I → R, de manera que y(t) es solución de la ecuación diferencial yademás y(k)(t0) = y0,k para cada k ∈ 0, 1, ..., n − 1. Acabaremos este apartadoresolviendo el problema de Cauchy:

ty′′ − y′ = 3t2, y(1) = 1, y′(1) = 1,

sabiendo que la familia biparamétrica y(t) = t3 + c1t2 + c2 es una solución de la

ecuación diferencial que dene el problema de Cauchy.T5.4. Relación entre ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuacionesdiferenciales

Dedicamos este apartado a justicar que una ecuación diferencial de orden n

es equivalente a un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden 1. En particulardemostraremos que la ecuación (E):

y′ = f(t, y, y′, ..., y(n))

es equivalente al sistema (S):


y′1 = y2,

y′2 = y3,

......

y′n−1 = yn,

f(t, y1, y2, ..., yn−1, y′n) = 0,

en el sentido que si y(t) es solución de la ecuación (E) entonces y(t), y′(t),...,y(n−1)(t)

son una solución del sistema (S). Recíprocamente, si y1(t), y2(t),..., yn(t) son solucióndel sistema (S) entonces y1(t) es solución de la ecuación (E) e y2(t), ...,yn(t) sonlas derivadas sucesivas de y1(t). Con lo cual, este método nos permite pasar de unaecuación de orden n a un sistema de n ecuaciones de primer orden. Como la soluciónde la ecuación depende en general de n parámetros, la solución del sistema tambiéndependerá de n parámetros.T5.5. Ecuaciones en variables separadas

Una ecuación diferencial en variables separadas es una ecuación de primer ordende la forma

y′ = f(t)g(y)

o cualquier otra ecuación diferencial que pueda reducirse a ella. Ejemplos de estasecuaciones son:

y′ = eyt log(t),

y′ =t

sen(y),

y′ = etarcsen(y),

y′ =3t+ t2

log(t)

y

y − 1

y′ = g(y).

Hemos querido iniciar el estudio de las ecuaciones de primer orden con las ecua-ciones en variables separadas porque son las más sencillas de resolver. En efecto, siy(t) es solución entonces y′(t) = f(t)g(y(t)) y por lo tanto si g(y(t)) 6= 0 se tieneque

y′(t)

g(y(t))= f(t)


para cada t. Sean ahora G(y) =∫

1g(y)

dy una primitiva de 1g(y)

y F (t) =∫f(t)dt

una primitiva de f(t) (en general ∫ f(t)dt denota una primitiva particular de lafunción f , mientras que ∫ f(t) representa a todas las primitivas de f(t), es decir,todas aquellas funciones que tienen por derivada a f(t)).

Usando ahora la regla de derivación compuesta se obtiene[G(y(t))]′ = G′(y(t))y′(t) =

y′(t)

g(y(t))= f(t)

por lo que G(y(t)) es una primitiva de f(t) y por lo tanto existirá una constante ctal que G(y(t)) = F (t) + c, o lo que es lo mismo, y(t) está denida implícitamentepor G(y) = F (t) + c, es decir,∫

1

g(y)dy =

∫f(t)dt+ c

es la solución general de la ecuación en variables separadas.Para que los alumnos asimilen el método proponemos resolver el problema de

Cauchyy′ =

y cos(t)

1 + 2y2, y(0) = 1.

Según lo expuesto, la solución de la ecuación viene dada por la expresión∫1 + 2y2

ydy =

∫cos(t)dt+ c,

y haciendo ambas primitivas se obtienelog(y) + y2 = sen(t) + c,

ahora la condición inicial y(0) = 1 fuerza a que c = 1 y por lo tanto la solucióndel problema viene dada en forma implícita por la ecuación:

log(y) + y2 = sen(t) + 1.

Aplicaciones en ingenieríaEmpezamos esta sección con la exposición del problema de la catenaria como un

paso preliminar al estudio de vigas. Este problema consiste en determinar la formaque toma un cable cuando se suspende de dos puntos y se deja bajo la acción de lagravedad, es el caso pues, de los cables de uido eléctrico apoyados en dos torres.


Para resolver el problema jamos un sistema coordenado como muestra la gura,donde hacemos coincidir el origen coordenado con el punto más bajo que toma elcable y donde el eje x es tangente a la curva que adopta el cable. Para obtener laecuación de la curva utilizaremos que el cable está en equilibrio entre el punto másbajo y el punto Q = (x, y(x)), la función p(s) nos da densidad lineal de peso delcable. Las fuerzas que actúan en el problema son:

1. la tensión horizontal H en el punto más bajo,2. la tensión en el punto Q, que es variable y que denotamos por T (x, y).3. el peso de la porción de cadena entre O y Q(x, y) que denotaremos por P (x, y).

Figura 5.1. CatenariaPuesto que el sistema está en equilibrio, la suma de las fuerzas horizontales (resp.

verticales) debe ser cero. Así que:

T (x, y) cos(θ) = H y T (x, y) sen(θ)

∫ s

0

p(s)ds,

donde la integral ∫ s

0p(s)ds es la integral que nos da el peso del cable entre el punto O

y el punto Q(x, y) situado a una distancia s medida sobre la curva y(x). Deducimosahora de la primera de las dos ecuaciones

T (x, y) sen(θ) = Htan(θ) = Hy′(x),


por lo tantoHy′(x) =

∫ s

0

p(t)dt.

Derivamos la igualdad anterior respecto de la variable x y se obtieneHy′′ =

d

dx

∫ s

0

p(s)ds =d

ds

∫ s

0

p(t)dtds

dx= p(s)

√1 + y′(x)2,

lo que indica que la curva y(x) es solución de la ecuación diferencialHy′′ = p(s)

√l + (y′)2.

Resolvemos la anterior ecuación en el caso que la función p(s) sea constante e iguala p, que es el caso comentado de los cables de tendido eléctrico. La ecuación quedacomo

y′′ =p

H

√1 + (y′)2,

y cambiando y′ por z transformamos la ecuación diferencial anterior porz′ =

p

H

√1 + z2

que es una ecuación en variables separadas con solución (utilícese que z(0) = 0):

log(z +√

1 + z2) = ax.

Despejando z y cambiando de variable se obtiene:y(x) =

H

2p(e

pxH + e

−pxH ).

Representamos para acabar la curva y(x) para los valores H = 10 y p = 3.Una primera aproximación al problema de la braquistocrona

Esta sección está dedicada a la exposición del problema de la braquistocronay a ver cómo podemos resolverlo utilizando las ecuaciones diferenciales y la ley derefracción de Snell. No es una resolución formal pero sí una aproximación.

En 1606 Jean Bernoulli planteó encontrar la curva que conecta dos puntos Ay B separados horizontal y verticalmente una distancia prejada (que para mayorcomodidad supondremos 1 metro en ambas direcciones) de manera que si dejamoscaer una bola por la curva bajo la acción de la gravedad tarda tiempo mínimo. Entreotros, Newton, Leibniz, L'Hópital, Jakob Bernoulli y el propio Jean Bernoulli dieron


Figura 5.2. Catenaria por el paso particular y(x) = 53(e

3x10 + e

−3x10 ).

respuesta al problema. Para mayor simplicidad supondremos A = (0, 0) y B = (1, 1)

(véase Figura 5.3). La solución que daremos a los alumnos no se obtiene realmentemediante una resolución formal ya que utilizamos que una partícula que se deslicepor la curva que minimiza el tiempo debe vericar que

sen(α(y))

v(y)= c,

donde v(y) es la velocidad de la partícula cuando se encuentra en el punto (x, y(x)),dicha igualdad se obtiene haciendo un símil con la ley de refracción de la luz deSnell. Ahora bien, la velocidad v(y) es fácil de calcular utilizando el principio deconservación de la energía, de donde se obtiene

v =√

2gy.

Podemos encontrar ya la ecuación diferencial que satisface la función y(x), en efectosen(α(y)) =

1√1 + tan2(π

2− α(y))

=1

1 + (y′(x))2,

ahora, combinando las ecuaciones anteriores tenemosy(1 + (y′)2) = c

para una constante c. Esta última ecuación se puede reescribir como una ecuacióndiferencial en variables separadas

y′ =

√c− y

y,


cuya solución general viene dada por∫ √c− y

ydy = x+ c1

para una constante c1. Ahora integramos la ecuación como hemos indicado en elapartado de ecuaciones en variables separadas y determinamos la constante c1 parallegar a la solución

x = c

(θ − tan(θ)

1 + tan2(θ)

)=c

2(2θ − sen(2θ))

dondeθ = arctan(

√c− y

y).

Figura 5.3. Problema de la braquistocrana.T5.6. Familia de curvas ortogonales

Dadas dos familias de curvas F y G, se dice que son ortogonales si para cada parde curvas, y(x) de la primera y z(x) de la segunda, se tiene que las intersecciones deambas son perpendiculares, es decir, los vectores tangentes de ambas curvas en lospuntos de intersección son perpendiculares. Con las técnicas desarrolladas en estetema podemos reducir el problema de encontrar una familia de curvas ortogonalesa una familia jada H, a resolver una ecuación diferencial.


Este problema de encontrar familias de curvas ortogonales tiene interés en física.En efecto, si una corriente uye por una lámina plana de material conductor, lascurvas equipotenciales son las líneas perpendiculares a las líneas de ujo.

Pasamos pues a ver cómo se resuelve el problema, para ello suponemos jadouna familia de curvas, H, denida mediante una ecuación diferencial y′ = f(x, y),lo cual quiere decir que la curva de H que pase por un punto (x0, y0), y : I → R,tendrá en dicho punto pendiente f(x0, y0) y por lo tanto una curva perpendicularque interseque con ella deberá tener pendiente − 1

f(x0,y0). Así que la familia de curvas

ortogonales a H debe satisfacer la ecuación diferencial z′ = −1f(x,z)

.Para motivar al alumno comprobaremos, con este método, que la familia de

círculos x2 + y2 = c2 tiene como familia ortogonal a las rectas de R2 que pasan porel origen.T5.7. Ecuaciones lineales

En esta sección vamos a considerar las ecuaciones lineales de primer orden, esdecir, ecuaciones del tipo: a0(t)y

′ + a1(t)y = b(t), donde las funciones a0(t), a1(t) yb(t) las suponemos continuas y denidas en un intervalo I, adicionalmente supone-mos que a0(t) 6= 0 para todo t ∈ I, con lo cual la ecuación anterior puede reescribirsecomo:

y′ + p(t)y = q(t).

Tanto p(t) como q(t) serán funciones continuas y siguiendo la notación de los sistemasde ecuaciones lineales, diremos que la ecuación es homogénea cuando q(t) ≡ 0 y nohomogénea en caso contrario.Resolución de la ecuación lineal

El objetivo de este apartado es enseñar al alumno a resolver la ecuación y'+p(t)y= q(t), la idea de la resolución es sencilla, consiste en multiplicar la ecuación poruna función µ(t) de manera que el miembro izquierdo de la ecuación obtenida seaahora la derivada de la función µ(t)y(t) (explicaremos que la función µ recibe elnombre de factor integrante). Después tomaremos primitivas en ambos miembros ydividiremos por µ(t) para obtener y(t).

Mediante una serie de cálculos justicativos en la pizarra, será fácil llegar a laexpresión de µ:

µ(t) = e∫

p(t)dt.

Ahora tenemos que la ecuación de partida queda equivalente a (µ(t)y(t))′ = µ(t)q(t)


y por lo tanto, la solución general es:y(t) =

1

µ(t)

∫µ(t)q(t)dt+ c.

Si ahora consideramos un problema de Cauchy asociado a una ecuación diferen-cial lineal cabe preguntarse si la solución será única para cada condición inicial dada.La respuesta la da el siguiente teorema.Teorema T5.1.Sea t0 un punto del intervalo I e y0 ∈ R. El problema de Cauchy

y′ + p(t)y = q(t)

y(to) = y0,

tiene solución única dada por la expresión

y(t) =1

µ(t)

(∫ t

t0

µ(s)q(s)ds+ y0

),

donde:µ(t) = exp

(∫ t

t0

p(s)ds

).

Conviene hacer notar en este punto al alumno que la solución general obtenida esrealmente general en el sentido que cualquier solución se escribe según la expresiónanterior, la demostración de este hecho se deduce del teorema anterior. En estepunto de la exposición conviene ilustrar los resultados obtenidos con la resoluciónde alguna ecuación particular.

Por último, pasaremos a explicar cómo acortar los cálculos para obtener solucio-nes generales de la ecuación. A este respecto demostraremos que la solución generalde la ecuación no homogénea se puede obtener como la suma de la solución generalde la ecuación homogénea y′h+p(t)yh = 0 con una de las soluciones particulares de lano homogénea. La ventaja de resolver de este modo la ecuación lineal no homogéneaes que la resolución de la homogénea resulta más sencillo:

yh(t) = cexp(−∫p(t)dt

),

quedándonos a expensas de encontrar una solución particular.Para obtener una solución particular de la ecuación no homogénea utilizaremos

el principio de superposición de soluciones : si y1(t), y2(t),...,yn(t) son soluciones de


y′ + p(t)y = q1(t), y′ + p(t)y = q2(t),..., y′ + p(t)y = qn(t) respectivamente, entoncesa1y1(t) + a2y2(t) + ...+ anyn(t) es solución de

y′ + p(t)y = a1q1(t) + a2q2(t) + ...+ anqn(t).

Para nalizar el apartado expondremos el método de los coecientes indetermi-

nados, ecaz en la búsqueda de soluciones de la ecuación lineal para p(t) constantey q(t) de la forma eαt[Pm(t) cos(βt) + Qm(t) sen(βt)], siendo Pm(t) y Qm(t) polino-mios de grado menor o igual que m. El método sugiere buscar las soluciones de laecuación entre funciones del tipo:

y(t) = eαt[Rm(t) cos(βt) + Sm(t) sen(βt)],

donde Rm(t) y Sm(t) son polinomios de grado menor o igual que m con coecientesque hay que determinar usando la ecuación. No obstante, existe una salvedad almétodo anterior, si q(t) = e−ptPm(t), siendo Pm(t) un polinomio de grado menor oigual que m. Buscaremos la solución particular entre funciones de la forma y(t) =

tRm(t)e−pt con Rm(t) un polinomio con coecientes a determinar. Algunos ejemplosdejarán claro el procedimiento.Problemas de mezclas químicas

En este apartado mostraremos a los alumnos cómo se pueden utilizar las ecua-ciones diferenciales en problemas de mezclas químicas. Supongamos que tenemosun tanque de volumen V udv (udv representará una unidad de volumen) en el quetenemos inicialmente una cantidad y0 udm (udm representará una unidad de ma-sa) de una sustancia diluida a una concentración y0

Vudm/udv. Ahora empezamos

a introducir una disolución de la misma sustancia a una concentración b udm/udvy velocidad k udv/udt (udt representará una unidad de tiempo) y por otro ladosacamos parte de la solución a una velocidad f udv/udt. Representemos por y(t) lacantidad de sustancia dentro del tanque en el instante t, por lo tanto:

y′(t) = ve(t)− vs(t)

donde ve y vs representan las velocidades de entrada y salida en el tanque de lasustancia.

Las condiciones del problema imponen que la velocidad de entrada de sustanciaes constante, en particular:

ve = kb,


la velocidad de salida vs no va a ser constante puesto que, aunque la velocidad desalida de la disolución es constante, la concentración cambia en cada instante. Ahorabien vs(t) = y(t)

V (t)f donde V (t) representa el volumen de disolución que tenemos en

el instante t y que será V (t) = V + (k − f)t. Por lo tanto y(t) satisface el problemade Cauchy

y′ = kb− fy

V + (k − f)t,

con y(0) = y0.Podemos aplicar ahora los conocimientos ya adquiridos y resolver el problema

de Cauchy anterior obteniendo una ecuación para y(t). No obstante, la existenciade las constantes complica la escritura y en general asusta al alumno, preferimospor lo tanto proponer un ejemplo concreto que ayude al alumno a aanzar susconocimientos.

Supongamos que tenemos un tanque con 400 litros de agua destilada y añadimosa una velocidad de 8 litros por segundo concentración salina de 0.05 Kilogramos desal por litro. Dejamos salir del tanque disolución a la misma velocidad que añadimosconcentración salina. ¾Cuánta sal habrá en el tanque al cabo de 1 minuto?

Siguiendo el planteamiento del problema hecho antes se obtiene el problema deCauchy:

y′ = 0,4− 8y

400con y(0) = 0.

La ecuación homogénea y′ = −y50

tiene por solución y(t) = Ke−t50 siendo K una

constante. Ahora utilizamos que la función yp(t) = 20 es una solución particular dela ecuación, se tiene que la solución general será de la forma:

y(t) = 20 +Ke−t50 .

Imponemos nalmente la condición de Cauchy y(0) = 0 y se obtiene y(t) =

20− 20e−t50 , entonces

y(60) = 20− 20e−150 = 13,976Kilogramos.

T5.8. Ecuaciones exactasEn esta sección vamos a estudiar ecuaciones diferenciales de primer orden del

tipoM(t, y) +N(t, y)y′ = 0,


siendoM y N funciones continuas denidas en un abierto D de R2. Estas ecuacionesse escriben normalmente como:

M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0.

Para este tipo de ecuaciones, si existe una función f : D ⊂ R2 → R de clase C1

tal que ∂f∂tf(t, y) = M(t, y), ∂f

∂y(t, y) = N(t, y) y f(t, y) = c dene a y como función

implícita de t entonces la función y(t) tal que f(t, y(t)) = c es solución de la ecuacióndiferencial. En efecto, derivamos en la anterior igualdad para obtener:

d

dtf(t, y(t)) =

∂f

∂t(t, y) +

∂f

∂y(t, y)y′(t) = M(t, y(t)) +N(t, y(t))y′(t) = 0.

Recíprocamente, si y : K → R es solución de la ecuación diferencial entonces:

0 = M(t, y(t)) +N(t, y(t))y′(t) =∂f

∂t(t, y) +

∂f

∂y(t, y)y′(t) =

∂f

∂t(t, y)

y por lo tanto f(t, y(t)) = cte. Se impone pues, dada una ecuación diferencial de estetipo, buscar una función f : D ⊂ R2 → R de clase C1 tal que ∂f

∂tf(t, y) = M(t, y),

∂f∂y

(t, y) = N(t, y). Este tipo de ecuaciones diferenciales para las que existe la funciónf se llaman ecuaciones diferenciales exactas. El siguiente teorema da respuesta a estacuestión.Teorema T5.2. Supongamos que M(t, y) y N(t, y) son funciones de clase C1 de-nidas en un abierto D = I × J donde I y J son intervalos de R. Entonces son

equivalentes:

1. La ecuación M(t, y) +N(t, y)y′ = 0 es exacta,2. ∂M

∂y(t, y) = ∂N

∂t(t, y).

En este caso, jados t0 ∈ I e y0 ∈ J , la solución general de la ecuación exacta viene

dada por

f(t, y) :=

∫ t

t0

M(s, y)ds+

∫ y

y0

N(t0, u)du = c.

Si además N(t0, y0) 6= 0 entonces el problema de Cauchy M(t, y) + N(t, y)y′ = 0,y(t0) = y0, tiene solución única, que está denida implícitamente por la ecuación

f(t, y) = 0.


Proponemos la ecuación (3t2 + 4ty)dt+ (2t2 + 2y)dy = 0 para ilustrar el métodode resolución que propone el anterior teorema. La ecuación es exacta, en efecto:

∂(3t2 + 4ty)

∂y= 4t y ∂(2t2 + 2y)

∂t= 4t,

si ahora jamos una condición de Cauchy y(1) = 1, la solución del problema deCauchy viene dada por

0 = f(t, y) =

∫ t

1

(3s2 + 4sy)ds+

∫ y

1

(2 + 2u)du = t3 + 2t2y + y2 − 4.

Factores integrantesEmpezamos esta sección haciendo notar al alumno que la denición que he-

mos dado de ecuación exacta es ambigua ya que puede ocurrir que exista unafunción µ : D ⊂ R2 → R continua que no se anule en ningún punto y tal queµ(t, y)M(t, y)dt+ µ(t, y)N(t, y)dy = 0 sea exacta sin que M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0

lo sea. Y evidentemente se trata de la misma ecuación diferencial, sería pues máscorrecto hablar de ecuaciones escritas en forma exacta y de ecuaciones escritas enforma no exacta.

Para abordar la resolución de ecuaciones escritas en forma no exacta se introducela noción de factor integrante que no es más que una función µ : D ⊂ R2 → R declase C1 que no se anula en ningún punto y tal que

µ(t, y)M(t, y)dt+ µ(t, y)N(t, y)dy = 0

está escrita en forma exacta. Como estamos pidiendo a µ que no se anule, las ecua-ciones M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0 y µ(t, y)M(t, y)dt+ µ(t, y)N(t, y)dy = 0 tienen lasmismas soluciones. La función µ debe vericar (utilizando el Teorema T5.2)

∂(µM)

∂y=∂(µN)

∂t,

o lo que es lo mismo,µ∂M

∂y+M

∂µ

∂y= µ

∂N

∂t+N

∂µ

∂t,

de dondeN∂µ

∂t−M

∂µ

∂y= µ

(µ∂M

∂y− ∂N

∂t

).

No obstante, la ecuación anterior es una ecuación en derivadas parciales, engeneral, mucho más difícil de resolver que nuestra ecuación de partida. Así que


hallaremos factores integrantes por métodos directos y nos limitaremos a factoresintegrantes de la forma µ(t, y) = µ(t) o µ(t, y) = µ(y).Diseño de radiotelescopios

Algunas de las señales electromagnéticas que proceden del espacio llegan a laTierra muy debilitadas y para que un radiotelescopio sea ecaz ha de concentrartodas las señales que recibe en un mismo punto. Así que a la hora de construirlodebemos buscar la forma óptima.

Por simetría el telescopio tendrá la forma de una supercie de revolución gene-rada al girar una cura del plano xy alrededor del eje x;, suponemos que las ondasllegan paralelamente al eje x y deseamos que cuando las ondas choquen con el ra-diotelescopio vayan a parar al origen de coordenadas (ver Figura 5.4). Usando quelos ángulos de incidencia y reexión, α y β, son los mismos se deduce que φ = α = β

y θ = α+ φ = 2α. Debido a quetan(θ) =

y

xy tan(θ) = tan(2α) =

2tan(α)

1− tan2(α),

Figura 5.4. Sección de un radiotelescopioobtenemos:

y

x=

2y′

1− (y′)2e (y′)2 +

2xy′

y= 1.

Despejamos y′,

y′ =−x±

√x2 + y2

y,


o escrito de otra manera(x∓

√x2 + y2)dx+ ydy = 0(paraalgunodelossignos).

Esta ecuación no es exacta, pero si multiplicamos la ecuación por el factor inte-grante µ(x, y) = 1√

x2+y2se convierte en la ecuación exacta

(x√

x2 + y2 + 1

)dx+

y√x2 + y2

= 0,

que, usando el método de resolución dado anteriormente, tiene por soluciones√x2 + y2 ∓ x = c

y simplicandoy2 = 2cx+ c2 c ∈ R.

Es decir, las curvas solución son parábolas de foco el origen y eje el eje x.Existencia y unicidad de soluciones

Ya comentamos al introducir la noción de problema de Cauchy, la importanciade que este tenga solución única si estamos tratando con ecuaciones diferencialesque modelan fenómenos físicos, ya que sin esta unicidad puede que no podamospredecir el comportamiento futuro del sistema. Dejaremos claro en esta sección quela solución no tiene que ser única y ni siquiera tiene por qué existir. No obstante,bajo ciertas condiciones sí que existe la solución.

En primer lugar ponemos un par de ejemplos, el primero de ellos,y′ = xlog(y)

y′(0) = −1,

muestra que un problema de Cauchy no tiene por qué tener solución. A continuaciónconsideramos el problema

y′ = 3y23

y′(0) = 0,

que tiene la ecuación diferencial en variables separadas y que podremos resolver comohemos indicado anteriormente obteniendo y(t) = t3 para todo t ∈ R. Obsérvese que


la función y(t) = 0 para todo t ∈ R también es solución. En denitiva, este problemade Cauchy no tiene solución única.

Expondremos seguidamente un resultado que garantiza la existencia y unicidadde soluciones.Teorema T5.3. Sea f : D = [t0 − a, t0 + a] × [y0 − b, y0 + b] → R continua y con

derivada parcial ∂f∂y

continua en D, sea M = max|f(x, y) : (x, y) ∈ D|. Entoncesel problema de Cauchy

y′ = f(t, y)

y′(t0) = y0,

tiene solución única denida en [t0 − α, t0 + α] donde α = mına, bM.

Aunque el resultado anterior admite una formulación más general en términosde funciones localmente lipschitzianas respecto de la variable y no lo expondremosbajo esas hipótesis más generales debido a que no hemos introducido previamente elconcepto de función lipschitziana. La demostración la consideramos fuera del alcancede los objetivos del curso. Por último haremos notar que la existencia de solucio-nes para problemas de Cauchy (no la unicidad) se deduce exigiendo únicamente lacontinuidad de la función f .

Enunciaremos, sin demostrar, para acabar un teorema de existencia y unicidadpara problemas de Cauchy asociados a sistemas de ecuaciones diferenciales.T5.9. Análisis cualitativo de las ecuaciones de orden uno: el método delas isoclinas

Hasta ahora, el estudio que hemos hecho de las ecuaciones de orden uno sólopermite abordar la solución de algunos tipos concretos de ecuaciones, lo cual implicaque, en general, no seremos capaces de encontrar soluciones de una ecuación de ordenuno elegida al azar.

El método de las isoclinas no nos va a permitir resolver la ecuación diferencialpero sí extraer cierta información cualitativa de las soluciones de una ecuación di-ferencial y′ = f(x, y). En efecto, si y(x) es una solución de y′ = f(x, y) y (x0, y0)

es un punto de la gráca, entonces la pendiente de la solución en dicho punto esy′(x0) = f(x0, y0) que es un valor que conocemos.

Los puntos del plano donde la gráca tiene pendiente α serán(x, y) : f(x, y) = a,


que en general representa una curva llamada isoclina para la pendiente a. Dibujandolas isoclinas de la ecuación y dándose cuenta de que las curvas de las soluciones quecortan a una isoclina lo hacen con la misma pendiente, podemos hacernos una ideaaproximada de la forma de las soluciones.

Atención especial merecen las isoclinas para la pendiente 0 puesto que son lascurvas donde se van a localizar los extremos relativos de las funciones soluciones dela ecuación diferencial. Por otro lado, la segunda derivada de una solución y habráde vericar:

y′′(x) =∂f

∂x(x, y(x)) +

∂f

∂yy′(x),

lo cual nos permite averiguar las zonas de concavidad y convexidad de las curvassolución. Aplicaremos este método al estudio cualitativo de algunos ejemplos.

Tema 6. Ecuaciones y sistemas

lineales. Teoría fundamental

Este tema está dedicado al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales de ordenuno y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que uno. Estudiar estetipo de sistemas tiene bastante interés ya que algunos sistemas mecánicos y eléctricosde ingeniería están modelados por ecuaciones y sistemas lineales.

Nos centraremos en este capítulo en el estudio de las soluciones, en particularveremos qué estructura tienen, sin embargo dejaremos para el tema siguiente elproblema de calcular las soluciones. Por otro lado, este tema tiene una conexiónfuerte con el álgebra lineal. al ser las soluciones de sistemas de ecuaciones lineales yecuaciones de orden arbitrario espacios vectoriales nito dimensionales. Aconsejamoscomo referencias que se ajustan al tratamiento que hacemos del tema: [NOR 95, pag.217-219] y [Jim 00, Capítulo 3].Objetivos del tema

Conocer la denición de sistema de ecuaciones diferenciales lineales.Conocer la denición de ecuación diferencial lineal de orden n.Conocer la estructura de las soluciones de ecuaciones homogéneas y no homo-géneas.Conocer la estructura de la soluciones de sistemas de ecuaciones lineales ho-mogéneos y no homogéneos.Determinar si una matriz es fundamental o no.Conocer la denición de Wronskiano.

120 Tema 6. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental

Determinar si un conjunto de soluciones de una ecuación lineal es un sistemafundamental de soluciones.

Temporalización Se dedicarán 7 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT6.1. Deniciones básicas

Empezamos esta sección exponiendo al alumno las deniciones que vamos a uti-lizar a lo largo de este capítulo y el siguiente. Un sistema de ecuaciones diferencialeslineales es un sistema de ecuaciones diferenciales de la forma (6.1)

y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + ...+ a1nyn + b1(x),

y′2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + ...+ a2nyn + b2(x),

.....................................................

y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + ...+ annyn + bn(x),

donde las funciones aij(x) y bi(x) son continuas para todo 1 ≤ i, j ≤ n en un intervaloI. Este sistema de ecuaciones diferenciales se puede escribir resumidamente como(6.2)

y′ = A(x)y+ b(x),

donde

A(x) =

a11(x) a12(x) ... a1n(x)

a21(x) a22(x) ... a2n(x)

... ... ... ...

an1(x) an2(x) ... ann(x)

yb(x) =

b1(x)

b2(x)

...

bn(x)

.

Hacemos notar que en la ecuación (6.2) y′ denota la derivada coordenada acoordenada, cuando b(x) es el vector 0 el sistema de ecuaciones diferenciales se dicehomogéneo y en caso contrario, se dice que el sistema es no homogéneo. Diremosque el sistema (6.1) es de coecientes constantes si todas las funciones aij(x) sonconstantes, o equivalentemente si la matriz A(x) es constante.

Una ecuación diferencial lineal de orden n es una expresión de la forma (6.3)an(x)yn + an−1(x)y

(n−1) + an−2(x)(x)y(n−2) + ...+ a1(x)y

′ + a0(x)y = c(x),

6. Ecuaciones y sistemas lineales. Teoría fundamental 121

donde las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, y c(x) están denidas en un intervalo I y soncontinuas. Si la función an(x) es tal que an(x) 6= 0 para todo x de I, entonces laecuación (6.3) se puede reescribir como (6.4)

y(n) + cn−1y(n−1) + cn−2y

(n−2) + ...+ c1(x)y′ + c0(x)y = d(x),

siendo las funciones ci(x), 1 ≤ i ≤ n, y d(x) continuas en el intervalo I. Se-guidamente hacemos notar al alumno que la ecuación diferencial anterior se puedereescribir como un sistema diferencial lineal introduciendo las variables yi = y(i−1),1 ≤ i ≤ n:

y′1

y′2...

y′n

=

0 1 0 ... 0

0 0 1 ... 0

... ... ... ... ...

−c0(x) −c1(x) −c2(x) ... −cn−1(x)

y1

y2

...

yn

+

0

0

...

d(x)

Planteamos este tema de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales de manera

que iremos de lo general a lo particular, en particular veremos primero las propieda-des que satisfacen las soluciones de las expresiones (6.1) y (6.4) para después pasar alcálculo efectivo de dichas soluciones, aunque aclaramos ya, que no seremos capacesde resolver todos los casos posibles que se pueden plantear a priori.T6.2. Existencia y unicidad de soluciones

Empezamos esta sección mostrando que los sistemas de ecuaciones diferencialeshomogéneos tienen solución única una vez jada una condición inicial. El siguienteteorema resume dicha existencia y unicidad de soluciones.Teorema T6.1(Existencia y unicidad de soluciones). Dado el sistema de ecua-

ciones diferenciales y′ = A(t) + b(t), siendo cada componente de A y b funciones

continuas denidas en un intervalo I. Entonces, el problema de Cauchy

y′ = A(t)y+ b(t),y(t0) = y0,

tiene solución única denida en todo el intervalo I.La demostración de este teorema la consideramos fuera del objetivo de este curso,

sí diremos en cambio que la solución del problema de Cauchy, y(t), satisface (6.6):y(t) = y0 +

∫ t

t0

(A(s)y(s) + β(s))ds.


Y recíprocamente, cualquier función y(t) que satisfaga la ecuación integral an-terior será solución del problema de Cauchy.

Por otro lado, este teorema de existencia y unicidad de soluciones implica laexistencia y unicidad de soluciones para la ecuación lineal de orden n en los términosque damos a continuación:Teorema T6.2 (Existencia y unicidad de soluciones). El problema de Cauchy:

y(n) + a1(t)y(n−1) + ...+ an−1y

′ + an(t) = b(t)

y(t0) = y0,1,

y′(t0) = y0,2,

...................

y(n−1)(t0) = y0,n,

para funciones continuas a1(t), a2(t),..., an(t) y b(t) denidas en un intervalo I tiene

solución única.T6.3. Estructura de las soluciones de un sistema diferencial lineal

Empezamos ocupándonos de la estructura de las soluciones del sistema homogé-neo (6.7)

y′ = A(t)yen particular demostraremos el resultado que sigue.Teorema T6.3. Las soluciones del sistema lineal homogéneo (6.7) tienen estruc-

tura de espacio vectorial sobre R. Además su dimensión es n (n es el número de

componentes de y).Denimos a continuación la noción de matriz fundamental asociada al sistema

(6.7) que no es más que una matriz Y (t) cuyas columnas constituyen una base delas soluciones de (6.7). Ahora se puede ver sin dicultad que si Y (t) es una matrizfundamental, entonces para cualquier matriz C ∈ Mn(R) invertible, de númerosreales, se tiene que Y (t)C es una matriz fundamental. Recíprocamente, para cual-quier matriz fundamental Z(t), existe una matriz invertible C de números reales talque Z(t) = Y (t)C. Usando este resultado se puede probar fácilmente la siguientecaracterización.Teorema T6.4. Sea Y ∈Mn(C(I)) cuyas columnas son solución de (6.7). Entoncesson equivalentes:


1. Y (t) es una matriz fundamental,2. existe t0 ∈ I tal que detY (t0) 6= 0,3. para todo t ∈ I, detY (t) 6= 0.

Resolución del sistema no homogéneo a partir de una matriz fundamentalSi ahora consideramos el sistema lineal no homogéneo, sus soluciones tienen

también una determinada estructura algebraica tal y como reza el resultado quesigue.Teorema T6.5. El conjunto de soluciones del sistema (6.2) (y′ = A(t)y + b(t))tiene estructura de variedad afín de dimensión n sobre R. Es decir, toda solución

y(t) del sistema tiene la forma

y(t) = α1y1 + α2y2 + ...+ αnyn + yp(t),

donde αi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n. Las funciones y1(t), y2(t),..., yn(t) son soluciones

linealmente independientes de (6.7) e yp es una solución particular del sistema (6.2).A la luz de este teorema conviene resaltar en este punto que tenemos ante noso-

tros dos problemas de envergadura para encontrar las soluciones de (6.2). El primerode ellos es encontrar una matriz fundamental de (6.7) (este problema, que para elcaso unidimensional era muy fácil, será tratado posteriormente aunque no podremosabordarlo totalmente). El segundo es encontrar una solución particular de (6.2), paraello utilizaremos el principio de superposición de soluciones y el método de variaciónde las constantes. Este último consiste en buscar una solución particular de (6.2)entre funciones de la forma

yp(t) = Y (t)(c1(t), c2(t), ..., cn(t))t,

para una adecuada función c(t), la cual veremos que debe satisfacerc(t) =

∫Y −1b(t)dt.

Con lo cual las soluciones de la ecuación (6.7) será:y(t) = Y (t)k+ Y (t)

∫Y −1b(t)dt

para cada vector constante k. Por otro lado justicaremos que el problema de Cauchytendrá por solución (6.8):

y(t) = Y (t)Y −1(t0)y0 + Y (t)

∫ t

t0

Y −1(s)b(s)ds.


Concluiremos la sección poniendo un ejemplo que claricará a los alumnos losmétodos introducidos.Ejemplo T6.6. Resolver el problema de Cauchy:

y′ = 0 1

−1 0

y+

sen(t)

cos(t)

,

y(0) =

1

0

teniendo en cuenta que una matriz fundamental del mismo es

Y (t) =

sen(t) cos(t)

cos(t) − sen(t)

.

Solución: Aplicamos la solución dada por (6.8) y obtenemos tras calcular:

y(t) =

cos(t) + t sen(t)

− sen(t) + t cos(t)

.

T6.4. Estructura de las soluciones de la ecuación linealAprovechando la estructura que satisfacen las soluciones de los sistemas lineales

y utilizando la relación que existe entre sistemas de ecuaciones lineales y ecuacioneslineales, según se ha visto en la introducción del desarrollo de los contenido deeste tema, vamos a dar un teorema de estructura de las soluciones de la ecuacióndiferencial lineal homogénea de grado n (6.9):

y(n) + cn−1(t)y(n−1) + cn−2(t)y

(n−2) + ...+ c1(t)y′ + c0(t)y = 0,

siendo ci(t), 0 ≤ i ≤ n− 1, y d(t) funciones continuas denidas en un intervalo I.En primer lugar podemos establecer:

Teorema T6.7. Las soluciones de (6.9) forman un espacio vectorial real de dimen-

sión n.El teorema anterior nos permite denir un sistema fundamental de soluciones de

(6.9) como una base y1(t), y2(t), ..., yn(t) del espacio de soluciones de (6.9). Debidoa que cualquier solución de nuestra ecuación lineal homogénea será de la forma:

y(t) = α1(t)y1(t) + α2(t)y2(t) + ...+ αn(t)yn(t).


Será importante disponer de alguna herramienta para saber si un conjunto de solu-ciones de (6.9) es un sistema fundamental o no. Para ello introducimos seguidamentela noción de wronskiano.Denición T6.8 (Wronskiano). Dado un conjunto de funciones z1(t), z2(t),...,zn(t) de clase Cn−1, denimos el wronskiano de dicho conjunto en un punto t como:

W (z1(t), z2(t), ..., zn(t)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

z1(t) z2(t) ... zn(t)

z′1(t) z′2(t) ... z′n(t)

... ... ... ...

z(n−1)1 (t) z

(n−1)2 (t) ... z

(n−1)n (t)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

La denición de wronskiano nos permite reescribir el Teorema 6.4 como sigue:Teorema 6.9. Sean y1(t), y2(t),... , yn(t) soluciones de (6.9). Entonces las siguentesarmaciones son equivalentes :1. y1(t), y2(t),... , yn(t) es un sistema fundamental,2. existe t0 ∈ I tal que W (y1(t0), y2(t0), ..., yn(t0)) 6= 0,3. para todo t ∈ I, W (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) 6= 0.El Teorema 6.5 tiene un análogo para la ecuación diferencial lineal de orden n:

Teorema 6.10. El conjunto de soluciones de (6.4) tiene estructura de variedad afín

de dimensión n sobre el cuerpo de los números reales. Es decir, toda solución y(t)

de (6.9) es de la forma

y(t) = α1y1(t) + α2y2(t) + ...+ αnyn(t) + yp(t),

donde αi ∈ R para 1 ≤ i ≤ n, el conjunto y1(t), y2(t),... , yn(t) constituye un sistema

fundamental de la ecuación homogénea (6.9) e yp(t) es una solución particular del

problema no homogéneo.Resolución de la ecuación no homogénea a partir de un sistema funda-mental de soluciones

En este caso, para encontrar la solución particular de la ecuación no homogé-nea, aplicaremos el método de variación de las constantes buscando una soluciónparticular que sea de la forma

yp(t) = e1(t)y1(t)(t) + e2(t)y2(t) + ...+ en(t)yn(t).


Veremos además para concluir esta sección, que las funciones ei(t) verican(6.10):

e1(t)

e2(t)

...

en(t)

=

∫

y1(t) y2(t) ... yn(t)

y′1(t) y′2(t) ... y′n(t)

... ... ... ...

y(n−1)1 (t) y

(n−1)2 (t) ... y

(n−1)n (t)

0

0

...

b(t)

dt,

donde la integral anterior se entiende que se toma componente a componente. Ilus-traremos este método a los alumnos aplicándolo a la ecuación

y′′ − 3

ty′ +

3

t2y = 2t− 1,

para la que suponemos conocido que t, t3 es un sistema fundamental de la ecuaciónhomogénea.

Siguiendo las indicaciones generales antes dadas buscamos una solución particu-lar de la forma

yp(t) = e1(t)t+ e2(t)t3

donde las funciones e1 y e2 deben ser elegidas como en (6.10). Por lo tanto: e1(t)

e2(t)

=

− t2

2+ t

2

log(t) + 12t

.

Así que la solución general de la ecuación y′′ − 3ty′ + 3

t2y = 2t− 1, es

y(t) = c1t+ c2t3 + t2 + t3log(t),

con c1 y c2 dos números reales arbitrarios.

Tema 7. Ecuaciones y sistemas

lineales. Resolución y aplicaciones

Este tema tiene tres partes diferenciadas: resolución de sistemas lineales de ecua-ciones diferenciales de orden uno, resolución de ecuaciones lineales de orden n yaplicaciones de dichas ecuaciones y sistemas. Pensamos que es uno de los temas másimportantes de los que vamos a ver en ecuaciones diferenciales por las aplicacionesque de él daremos. El tema que vamos a presentar es bastante largo y complicadopara una primera toma de contacto. No obstante, si el alumno trabaja las hojas deproblemas, la dicultad a la hora de aplicar lo aprendido no suele ser alta puesto quelos métodos son bastante fáciles de aprender por las similitudes que presentan entreellos. En cuanto a los métodos de resolución presentados, lo más destacado puedeser el no uso de la forma canónica de Jordán para el cálculo de la exponencial deuna matriz. La razón de no hacerlo es la imposibilidad de dar esta forma canónicaen asignaturas tan cortas como la Ampliación de Matemáticas de . Por otro lado,conviene tener en cuenta que los métodos que se presentan no son operativos parasistemas de más de cuatro ecuaciones debido al tiempo que se tiene que emplear parasu resolución. En cuanto a las ecuaciones diferenciales lineales nos ocuparemos deaquéllas que tienen coecientes constantes, para pasar después al método de los coe-cientes indeterminados a la hora de buscar soluciones de la ecuación no homogéneacon término independiente siendo combinación lineal con coecientes polinómicos desenos y cosenos, todo ello multiplicado por una exponencial. Este método supondráuna alternativa al método variación de las constantes estudiado con anterioridad.También se estudiará el método de los coecientes indeterminados en la resoluciónde sistemas no homogéneos. Una vez estudiadas las ecuaciones lineales de orden nse verá cómo transformar un sistema lineal en un ecuación lineal para utilizar losmétodos de resolución de éstas y obtener así también las soluciones del sistema li-neal. Por último veremos aplicaciones de los sistemas y las ecuaciones lineales en la

128 Tema 7. Ecuaciones y sistemas lineales.

ecuación de la viga, circuitos eléctricos, osciladores armónicos acoplados y oscilado-res armónicos no acoplados. Las fuentes recomendadas para el seguimiento de estetema son: [B 93], [Jim 00, Capítulo 3] , [Jef 93, Capítulo 5], [NOR 95, Capítulo 7],[Lóp 01]. Para las aplicaciones a las ciencias experimentales son de interés: [Ada 67,p. 101112], [BP 96, p. 165186] y [Sim 93, p. 111119] .Objetivos del tema

Calcular la exponencial de una matriz usando el teorema de Cayley-Hamilton.Utilizar métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales homogéneosde orden 1.Utilizar el método de los coecientes indeterminados para resolver sistemas deecuaciones lineales no homogéneos.Utilizar métodos de resolución de ecuaciones lineales homogéneas de orden n.Utilizar el método de los coecientes indeterminados para resolver ecuacioneslineales no homogéneas.Modelar osciladores mecánicos y circuitos mediante ecuaciones y sistemas deecuaciones lineales.Extraer conclusiones de los modelos de osciladores mecánicos y circuitos.Resolver la ecuación de la viga.

Temporalización Se dedicarán 6 horas al desarrollo del tema.Desarrollo de los contenidos del temaT7.1. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden nExponencial de una matriz real

Haciendo algunas analogías con la exponencial real podemos introducir al alumnoel concepto de exponencial de una matriz A ∈Mm(C(I)).Denición 7.1. Dada una matriz A ∈Mm(C(I)) donde I es un intervalo cualquie-

ra, se dene la exponencial de dicha matriz como

exp(A) = eA :=∞∑

k=0

Ak

k!

7. Ecuaciones y sistemas lineales. 129

No demostraremos que esta denición tiene sentido, ya que sería necesario intro-ducir el concepto de norma matricial y convergencia de series funcionales que hastaeste momento el alumno no ha estudiado. Además enunciaremos las propiedadesmás importantes de la exponencial:1. A y eA conmutan,2. la exponencial de la matriz 0 es la matriz identidad Im,3. si AB = BA entonces eAB = eAeB,4. la matriz eA es siempre invertible siendo su inversa e−A,5. si P es una matriz invertible y A = PBP−1 entonces eA = PeBP−1.La última propiedad tiene una importancia especial para calcular la exponencial

de matrices diagonalizables, en efecto, si A es una matriz real diagonalizable detamaño m×m, existirá una matriz invertible P tal que D = PAP−1 es una matrizdiagonal:

D =

λ1 0 ... 0

0 λ2 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... λn

por lo tanto eA = P−1eDP . Además el cálculo de la exponencial de D es trivial:

Proposición 7.2. Usando la notación de esta sección, se tiene:

etD =

eλ1 0 ... 0

0 eλ2 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... eλn

.

Aplicación de la exponencial a la resolución de sistemas homogéneosEs el momento de aclarar al alumno el porqué denir la exponencial de una

matriz. en particular es interesante ver cuál es la derivada de la exponencial deuna matriz de funciones. El siguiente resultado, que no demostraremos, explica elcomportamiento de la derivada.


Teorema 7.3. Sea B(t) una matriz de funciones denidas en un intervalo I ⊂ R.Si B(t) es derivable siendo todas las componentes de B′(t) continuas, entonces eB(t)

es derivable con derivadas continuas.Además, si B(t)B′(t) = B′(t)B(t) entonces

(eB(t))′ = B′(t)eB(t).

Como consecuencia de este teorema obtenemos el siguiente resultado que tienegran importancia y cuya prueba no ofrece dicultad.Teorema 7.4. Sea A(t) una matriz de funciones denidas en el intervalo I y de

tamaño n × n y sea B(t) una primitiva de A(t). Si B(t)A(t) = A(t)B(t) entonces

la matriz eB es una matriz fundamental del sistema lineal homogéneo y′ = A(t)y.En particular, si A(t) es constante, entonces etA es una matriz fundamental del

sistema y′ = Ay. Además, y(t) = e(t−t0)Ay0 es la solución del problema de Cauchy :y′ = Ay,

y(t0) = y0.

Es importante pues, que los alumnos noten que no siempre el método de laexponencial de una matriz conducirá a encontrar la solución de un sistema de ecua-ciones diferenciales, aunque en el caso de que la matriz sea constante el método serásuciente para resolver el sistema diferencial.

Otra observación es que, aunque la matriz asociada al sistema diferencial linealsea constante, no siempre es fácil calcular la exponencial, de momento sólo sabemoscalcularla para matrices diagonalizables. Por ello debemos desarrollar otros métodospara calcular la exponencial que no involucren la matriz de Jordán, pues en Funda-mentos Matemáticos no se explica debido al poco tiempo disponible. Desarrollaremosun método basado en el teorema de CayleyHamilton. Antes un ejemplo.Ejemplo 7.5. Resolver el sistema y′ = A(t)y, siendo

A(t) =

0 1

−1 0

Solución: empezamos calculando una primitiva de A(t), que será

B(t) =

−t 0

t2

2−t


ahora comoA(t)B(t) = B(t)A(t) =

t 0

−3t2

2t

,

entonces eB(t) es una matriz fundamental del sistema. En este caso la exponenciales fácil de calcular. Para ello descomponemos la matriz B(t) como

B(t) =

−t 0

0 −t

+

0 0

t2

20

estas dos matrices conmutan y por lo tanto

eB(t) = exp

−t 0

0 −t

+ exp

0 0

t2

20

.

Recurrimos a la denición para calcular las dos exponenciales anteriores y seobtiene:1.

exp

−t 0

0 −t

=

e−t 0

0 e−t

,

2.

exp

0 0

t2

20

=

1 0

0 1

+

0 0

t2

20

+

0 0

0 0

=

1 0

t2

21

.

Por lo tanto:

eB(t)

e−t 0

0 e−t

1 0

t2

21

=

e−t 0

e−t t2

2 e−t

,

y la solución del sistema es:

y(t) =

c1e−t

(c1t2

2+ c2)e

−t

donde c1 y c2 son constantes reales.Un método para construir la exponencial de una matriz basado en elteorema de CayleyHamilton


Centramos nuestros esfuerzos en esta sección en dar un método efectivo paraconstruir la exponencial de una matriz eAt, siendo A una matriz de Mm(R). Dichométodo está basado en el Teorema de CayleyHamilton.

Supongamos que pA(x) es el polinomio característico de la matriz A y que suespectro es σ(A) = λ1, λ2, ..., λk con multiplicidades m(λi) = ri para todo 1 ≤i ≤ k. Empezamos buscando para cada i, 1 ≤ i ≤ k, polinomios ai(x) de grado a losumo ri − 1 de manera que se tenga la igualdad:

1

pA(x)=

k∑i=1

ai(x)

(x− λi)ri,

de donde se deduce:1 =

k∑i=1

ai(x)pA(x)

(x− λi)ri.

Seguidamente evaluamos el polinomio anterior en x = A, de donde se tiene1:

Im =k∑

i=1

ai(A)pA(A)

(A− λi)ri.

que se puede escribir abreviadamente como:

Im =k∑

i=1

ai(A)qi(A) con qi(A) =pA(A)

(A− λi)ri.

Observemos que para todo i, 1 ≤ i ≤ k,

eAx = eλixIme(A−λiIm)x = eλix

∞∑j=0

(A− λiIm)jxj

j!,

y ahora multiplicando por qi(A):

qi(A)eAx = eλix

ri−1∑j=0

(A− λiIm)jxj

j!,

ya que por el Teorema de CayleyHamilton, para todo j ≥ ri, qi(A)(A − λiIm)j =

PA(A)(A− λiIm)j−ri = 0.

1La expresiónpA(A)

(A−λi)rino tiene sentido, ya que, no es posible que en un cociente haya una

matriz. Así que dicha expresión, por convenio, será una forma abreviada de escribir la matriz∏nj=1,j 6=i(A− λj)rj


Multiplicamos ahora la ecuación anterior por ai(A) y obtenemos:

ai(A)qi(A)eAx = eλix

ri−1∑j=0

ai(A)qi(A)(A− λiIm)jxj

j!.

Por último, sumamos las ecuaciones anteriores desde i = 1 hasta i = k paraobtener:

eAx =k∑

i=1

(eλixai(A)qi(A)

ri−1∑j=0

(A− λiIm)jxj

j!

).

Proponemos seguidamente un ejemplo para aclarar el método dado de construc-ción de la exponencial.Ejemplo 7.6. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:

x′ = 4x+ 2y

y′ = 3x+ 3y

Solución: según lo expuesto hasta ahora, debemos calcular previamente exp(Aa),siendo

A =

4 2

3 3

.

Se ve fácilmente que pA(x) = (x− 1)(x− 6), σA = λ1 = 1, λ2 = 6, a1(x) = −15y

a2(x) = 15, de donde

eAx = ex

(−1

5

)I2(A− 6I2) + e6x 1

5I2(A− I2) =

1

5

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

y por lo tanto cualquier solución del sistema será del tipo

y(x) =1

5

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

c1

c2

.

Exponemos otro ejemplo donde hay que utilizar los números complejos.Ejemplo 7.7. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:

x′ = 3x− 5y

y′ = x− y.


Solución: en un primer paso calculamos exp(Bx) con

B =

3 −5

1 −1

Como pB(x) = (x − 1 − i)(x − 1 + i), σB = λ1 = 1 + i, λ2 = 1 − i, a1(x) = 1

2iy

a2(x) = − 12i, se tiene

eBx = e(1+i)x 1

2iI2[A−(1− i)I2]− e(1−i)x 1

2iI2[A− (1 + i)I2] =

ex

2 sen(x) + cos(x) −2 sen(x)

sen(x) −2 sen(x) + cos(x)

.

Así que cualquier solución del sistema será del tipo

y(x) =

2 sen(x) + cos(x) −2 sen(x)

sen(x) −2 sen(x) + cos(x)

c1

c2

.

Acabamos esta sección resolviendo un sistema no homogéneo por el método devariación de las constantes.Ejemplo 7.8. Resolver el sistema:

x′ = 4x+ 2y + et

y′ = 3x+ 3y

Solución: para esta ecuación ya hemos encontrado la solución del sistema linealhomogéneo. Así que debemos encontrar una solución particular del sistema no ho-mogéneo con el método de variación de las constantes. Calculamos pues. c1(x)

c2(x)

=1

5

∫ 3e−6x + 2e−x 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3e−x

ex

0

dx

=1

5

∫ 3e−5x + 2

3e−5x − 3

dx =1

5

−3e−5x

5+ 2x+ c1

−3e−5x

5− 3x+ c2

así que una solución particular del sistema será

yp(x) =1

5

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

1

5

−3e−5x

5+ 2x

−3e−5x

5− 3x

=

1

25ex

10x− 3

3− 15x

.


Y la solución general del sistema será:

yg(x) =

3e6x + 2ex 32e6x − 2ex

3e6x − 3ex 2e6x + 3ex

c1

c2

+1

25ex

10x− 3

3− 15x

.

El cálculo hecho de la exponencial de una matriz en esta sección nos va a darla estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Enparticular, la interpretación de la ecuación A2.2 permite probar la proposición quesigue.Proposición 7.9. Sean A ∈Mm(R) e y(t) una solución de y′ = Ay. Entonces cadauna de las coordenadas de y(t) es una combinación lineal de las funciones

tketa cos(tb), tketa sen(tb),

donde a + bi recorre el conjunto de los valores propios de A con b ≥ 0 y 0 ≤ k <

m(a+ bi).Resolución de sistemas diferenciales lineales no homogéneas por el méto-do de los coecientes indeterminados

Anteriormente se vio como intentar buscar soluciones de una ecuación diferencialno homogénea cuando conocíamos una matriz fundamental del sistema homogéneo.El propósito de esta sección es dar una alternativa a dicho método cuando el términono homogéneo es de una forma determinada, el procedimiento que explicamos acontinuación supone una extensión del que dimos para las ecuaciones lineales nohomogéneas de orden uno en un capítulo anterior.

Seay′ = Ay+ b(t)

un sistema de ecuaciones lineales tal que la matriz A pertenece aMm(R) y el términoindependiente es de la forma b(x) = eat[cos(bt)p(t) + sen(bt)q(t)] donde p y q sonvectores columna que tienen en cada una de sus componentes polinomios de gradoa lo sumo k ∈ N. Tomemos µ = a+ bi, entonces:

1. Si µ no es un valor propio de A entonces el sistema tiene una solución particularde la forma yp(t) = b(x) = eat[cos(bt)r(t) + sen(bt)s(t)], siendo r y s vectorescolumna cuyas coordenadas son polinomios en t de grado a lo sumo k.


2. Si µ es un valor propio de A entonces la ecuación tiene una solución particularde la forma yp(t) = b(x) = eat[cos(bt)r(t) + sen(bt)s(t)], siendo r y s vectorescolumna cuyas coordenadas son polinomios en t de grado a lo sumo k+m(µ).

Para ilustrar el método proponemos el siguiente ejemplo.Ejemplo 7.10. Buscar una solución particular del sistema

y′ = 1 2

−2 1

y+

cos(2t)

− sen(2t)

sabiendo que

etA =

et cos(2t) et sen(2t)

−et sen(2t) et cos(2t)

.

Solución: a la vista del término independiente del sistema y teniendo en cuentaque los valores propios de A son 1 + 2i y 1 − 2i, el resultado anterior garantiza laexistencia de una solución de la forma:

yp(t) = cos(2t)

a

b

+ sen(2t)

c

d

para ciertas constantes reales a, b, c, d. Imponiendo ahora que yp sea solución de laecuación obtenemos un sistema lineal de ecuaciones numéricas que da los valores a,b, c y d. Estos valores son a = −1, b = 0, c = 0 y d = 1. Luego

yp(t) =

− cos(2t)

sen(2t)

.

T7.2. Resolución de ecuaciones diferenciales lineales con coecientes cons-tantes

Recordamos que por una ecuación lineal con coecientes constantes entendemosuna expresión del estilo:

y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y

′ + any = b(t)

donde ai ∈ R para todo i ∈ 1, 2, ..., n y b(t) es una función continua denida enun intervalo I. En esta sección nos dedicaremos a dar las estrategias a seguir para


resolver la ecuación. Recordamos que la resolución de la ecuación completa requierede la solución de la ecuación homogénea

y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y

′ + any = 0

y de encontrar una solución particular de la ecuación no homogenea. Nos ocupamosahora de buscar un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogeneabuscando soluciones de la forma y(t) = erx con r ∈ C. Derivando y(t) n veces ysustituyendo en la ecuación diferencial homogénea tenemos que:

(rn + a1rn−1 + ...+ an−1r + an)erx = 0,

y como la exponencial nunca se anula se tiene que tener rn+a1rn−1+...+an−1r+an =

0, es decir, r ha de ser raíz de la ecuación zn + a1zn−1 + ... + an−1z + an = 0

que recibe el nombre de ecuación característica. Por otro lado el polinomio p(z) =

zn + a1zn−1 + ...+ an−1z + an se llama polinomio característico.

Es más, veremos el siguiente resultado:Teorema 7.11. Si la ecuación característica de la ecuación diferencial de orden

n homogénea y con coecientes constantes tiene por soluciones las raíces reales

a1,a2,...,aj con multiplicidades r1, r2, ..., rn y las raíces complejas α1 + β1i, α2 +

β2i,...,αh + βhi con multiplicidades s1, s2, ..., sh, entonces el conjunto:j⋃

l=1

xtealt : 0 ≤ t < rl ∪h⋃

l=1

xteαlt cos(βlt), xteαlt sen(βlt) : 0 ≤ t < sl

es un sistema fundamental de soluciones de la ecuación homogénea.Resolución de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas por el mé-todo de los coecientes indeterminados

Ya se discutió cómo proceder a la búsqueda de una solución particular de laecuación diferencial no homogénea cuando conocíamos un sistema fundamental de laecuación homogénea. No obstante cuando el término no homogéneo es de una formadeterminada, el método de los coecientes indeterminados tiene una extensión a estecontexto.Teorema 7.12 (Coecientes indeterminados). Sea la ecuación lineal de orden

n con coecientes constantes:

y(n) + a1y(n−1) + ...+ an−1y

′ + any = eat[p(t) cos(bt) + q(t) sen(bt)],

tal que p(t) y q(t) son polinomios de grado a lo sumo k ∈ N ∪ 0 y sea µ = a+ bi.Entonces:


1. Si µ no es una raíz de la ecuación característica entonces la ecuación tiene

una solución particular de la forma yp(t) = eat[r(t) cos(bt) + s(t) sen(bt)] con

r y s polinomios de grado a lo sumo k.2. Si µ es una raíz de la ecuación característica de multiplicidad l entonces la

ecuación tiene una solución particular de la forma yp(t) = eat[r(t) cos(bt) +

s(t) sen(bt)] con r y s polinomios de grado a lo sumo k.

Ejemplo 7.13. Resolver la ecuación y′′′ − 4y′ = t+ 3 cos(t) + e−2t.Solución: la ecuación característica λ3− 4λ = 0 tiene como raíces a 0, 2 y −2 con loque la solución general de la ecuación homogénea será:

yh(t) = c1 + c2e2t + c3e

−2t.

Ahora calculamos una soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas:1. y′′′ − 4y′ = t,2. y′′′ − 4y′ = 3 cos(t),3. y′′′ − 4y′ = e−2t,

utilizando el teorema anterior. Por el principio de superposición de las soluciones setendrá que una solución de y′′′ − 4y′ = t + 3 cos(t) + e−2t se puede obtener comosuma de soluciones particulares de las tres ecuaciones anteriores, respectivamenteyp1, yp2, e yp3.

Como λ = 0 es raíz de la ecuación característica de multiplicidad 1, se debebuscar yp1 tal que:

yp1(t) = t(at+ b) = at2 + bt.

Imponiendo que yp1 sea solución de la primera ecuación, se tiene que yp1(t) = − 18t2.

Por otro lado, como i no es solución de la ecuación característica entones busca-mos yp2(t) = c cos(t) + d sen(t). Por último, como -2 es raíz de la ecuación caracte-rística de multiplicidad 1 buscamos yp3(t) = fte−2t. Haciendo cálculos obtenemos:yp2(t) = − 3

5 sen(t)e yp3(t) = 1

8te−2t .Por lo tanto, la solución general de la ecuación primera es:

y(t) = c1 + c2e2t + c3e

−2t − 1

8t2 − 3

5sen(t) +

1

8te−2t.


T7.3. Reducción de un sistema lineal a una ecuación lineal de orden su-perior

Este método consiste en pasar de un sistema de ecuaciones diferenciales linealesa una ecuación lineal de orden superior mediante un proceso similar al del métodode Gauss para resolver sistemas de ecuaciones lineales numéricos, para los detalles sepuede consultar [Jim 00, p. 138142]. Concretamente se pretenderá resolver sistemasde la forma:

L11(y1) + L12(y2) + ...+ L1n(yn) = b1(t),

L21(y1) + L22(y2) + ...+ L2n(yn) = b2(t),

........................

Ln1(y1) + Ln2(y2) + ...+ Lnn(yn) = bn(t),

donde para cada (i, j) ∈ 1, 2, ..., n2, Lij es un operador lineal de la forma Lij(y) =

amijy

(m) + am−1ij y(m−1) + ... + a1

ijy′ + a0

ijy con akij ∈ R para todo k ∈ 1, 2, ...,m.

Basándonos en el hecho de que dos operadores lineales de este tipo conmutan, sepuede reducir el sistema a un sistema triangular. A la hora de realizar las operacionesalgebraicas para triangularizar el sistema, será de interés simplicar la notaciónutilizando la igualdad Dmy = y(m), con lo que el sistema se reescribe como:

p11(D)y1 + p12(D)y2 + ...+ p1n(D)yn = b1(t),

p21(D)y1 + p22(D)y2 + ...+ p2n(D)yn = b1(t),

........................

pn1(D)y1 + pn2(D)y2 + ...+ pnn(D)yn = b1(t),

donde ahora cada pij(D) son polinomios en D y mediante las operaciones algebraicasahora se triangulariza el sistema.

Para ilustrar el método resolvemos el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:x′ = −6x− 3y + 14z,

y′ = 4x+ 3y − 8z,

z′ = −2x− y + 5z.

Para ello empezamos reescribiendo el sistema anterior utilizando el operador


derivación D:(D + 6)x+ 3y − 14z = 0,

−4x+ (D − 3)y + 8z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0.

Ahora eliminamos la variable y de dos ecuaciones restando a la primera ecuacióntres veces la tercera y a la segunda (D − 3) veces la tercera:

Dx+ (−3D + 1)z = 0,

(−2D + 2)x+ (−D2 + 8D − 7)z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0.

Eliminamos seguidamente x de una de las ecuaciones anteriores, para ello sumamosa la segunda ecuación dos veces la primera:

Dx+ (−3D + 1)z = 0,

2x+ (−D2 + 2D − 5)z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0.

y a continuación se le resta a la primera ecuación la segunda multiplicada por D2:

(1

2D3 −D2 +

5

2D − 3D + 1)z = 0,

2x+ (−D2 + 2D − 5)z = 0

2x+ y + (D − 5)z = 0,

obteniéndose el sistema triangular deseado. Ahora se resuelven las ecuaciones linealesobtenidas de arriba hacia abajo y el proceso concluye.T7.4. Aplicaciones a la ciencia de las ecuaciones y sistemas diferencialeslineales

En esta sección explicaremos a los alumnos cómo aplicar los conocimientos apren-didos en este tema a problemas de la ciencia. En particular detallaremos problemasde vigas que suponemos importantes puesto que nuestros alumnos van encaminadosa obtener el título de Arquitécto Técnico. Aparte de este ejemplo veremos una apli-cación a los circuitos eléctricos que les será de utilidad en la asignatura de física. Porúltimo también detallaremos el estudio de osciladores acoplados y no acoplados.


Una aplicación a las construcciones arquitectónicasEl uso de vigas en la construcción requiere estudiar el material del que están

hechas y su colocación para saber cuál será la exión de la viga una vez colocada.En este apartado nos ocuparemos sólo de vigas construidas uniformemente y paraaproximarnos a su estudio podemos suponer que una viga está constituida por brasdistribuidas longitudinalmente, véase la viga exada de la Figura 7.1, donde las brassuperiores están comprimidas y las inferiores alargadas.

Figura 7.1. VigaEl objetivo que nos marcamos es obtener la curva descrita por la bra que, antes

de exar la viga, ocupaba el eje horizontal de la viga. Esta curva se denomina curvaelástica o curva de exión. Por otro lado denominaremos supercie de separación

de la viga al plano exado que contiene la curva elástica o de exión.Con objeto de encontrar dicha curva jamos una sección transversal de la viga

a una distancia x del extremo izquierdo, denotemos por AB la intersección de lasección transversal de la viga con la supercie de separación de la viga y por Q(x, y)

a la intersección de AB con la curva elástica. Según la mecánica se sabe que elmomento M con respecto a AB de todas las fuerzas que actúan sobre cualquiera delos dos segmentos en los que AB divide a la curva elástica es:

independiente del segmento considerado,viene dado por

M =EI

R


donde E es la elasticidad de la viga, I el momento de inercia de la sección transversalcon respecto a AB y R es el radio de curvatura de la curva elástica en el puntoQ(x, y).

Para visualizar mejor el problema hacemos de la viga un objeto unidimensional,considerando sólo la curva elástica, con lo que la sección transversal queda reducidaal punto P . Además imponemos una condición adicional al problema, debido a quela pendiente de la curva y(x) es pequeña haremos la aproximación

R =1 + y′(x)

y′′(x)≈ 1

y′′(x).

Retomando la ecuación M = EIR

y la aproximación anterior para R obtenemospara el momento la ecuación

EIy′′(x) = M,

donde el momento ector M será la suma de los momentos de las fuerzas exterioresque actúan sobre el segmento de la viga respecto al punto P tomando por convenioque las fuerzas hacia arriba dan momentos positivos y hacia abajo negativos.

Vamos a estudiar ahora dos casos concretos, el primero el de una viga apoyadasobre dos puntos y el segundo el de una viga empotrada a la pared.

VIGA APOYADA SOBRE DOS PUNTOS

Estudiamos en este apartado la exión de una viga de carga uniforme de c New-tons por metro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en supunto medio (véase la Figura 7.2).

Consideramos las fuerzas que aparecen sobre el segmento OP de la viga, éstasson:

1. una fuerza hacia arriba en O igual a la mitad del peso total, es decir a = cl+b2

Newtons,2. una fuerza de cx Newtons que podemos suponer concentrada en el punto

(x2, y(x

2)),

3. además, cuando l2≤ x ≤ l entra en juego la fuerza de módulo b en el punto

medio de la viga, a x− l2metros de P .


Figura 7.2. Viga apoyada sobre dos puntos

Así que el momento ector en P será:

M1 =cl + b

2x− cx

x

2=cl + b

2x− c

x2

2six ≤ l

2

yM2 =

cl + b

2x− cx

x

2− b(x− l

2) =

bl

2+cl − b

2x− c

x2

2six ≥ l

2.

A continuación hacemos notar que podemos adoptar una notación conjunta parael momento ector, en efecto, obsérvese que

Mi =clx

2− cx2

2+ (−1)i b

2(x− l

2) +

bl

4,

de donde resulta la ecuación diferencial a resolver:Eiy′′(x) =

clx

2− cx2

2+ (−1)i b

2(x− l

2) +

bl

4.

Integramos ahora la ecuación anterior dos veces para obtener:EIy(x) =

cl

12x3 − c

24x4 + (−1)i b

12(x− l

2)3 +

bl

8x2 + ex+ d,

e imponiendo las condiciones de contorno y(0) = y(l) = 0 obtenemosd =

bl

24

ye =

cl3 − bl2 − b

24.


Hacemos notar por último que para calcular y(0) tomamos i = 1 y para el cálculode y(l) elegimos i = 2. Proponemos ahora al alumno encontrar cuándo la funcióny alcanza un mínimo y cuál es su valor, problema que tiene gran importancia a lahora de colocar vigas.

VIGA EMPOTRADA EN LA PAREDEstudiamos ahora la exión de una viga de carga uniforme de c Newtons por

metro de longitud, longitud l y una carga de b Newtons concentrada en su puntomedio (véase la Figura 7.3). En este caso la novedad es que la viga no está apoyadaen dos puntos sino que se encuentra empotrada, esto conlleva a que la pendiente dela curva elástica y(x) verique las condiciones de contorno y′(l) = y′(0) = 0 ademásde las mismas condiciones que antes y(l) = y(0) = 0.

Figura 7.3. Viga empotradaEstudiamos por separado la curva elástica y(x1) para los valores de x1 entre 0 y

l2y por otro lado para los valores de x1 entre l

2y l. Empezamos considerando las

fuerzas que actúan sobre OQ1 con 0 ≤ x1 ≤ l2:

1. un par de momento desconocido K, que actúan en O debido a la acción de lapared sobre la viga,

2. un empuje hacia arriba igual a cl+b2

newtons,3. cx1 newtons a x1

2metros de Q1.

Así que, la ecuación de los momentos queda comoEIy′′(x1) = K +

cl + b

2x1 −

1

4cx2

1 para 0 ≤ x1 ≤l

2,


de donde, integrando una primera vez y usando que y′(0) = 0 se obtieneEIy(x1) = Kx1 +

cl + b

12x3

1 −1

48cx4

1.

Integramos una segunda vez y utilizamos la condición de contorno y(0) = 0 paraobtener

EIy(x1) = Kx2

1

2+cl + b

12x3

1 −1

48cx4

1.

Ahora estudiamos y(x2) para l2≤ x2 ≤ l, empezamos estudiando las fuerzas que

actúan sobre OQ2, que no son más que las anteriores añadiendo el peso b en el puntox2 = l

2, es decir, a x2 − l de Q2. Por lo tanto:

EIy′′(x2) = K +cl + b

2x2 −

c

4x2

2 − b(x2 −l

2),

integramos ahora dos veces e imponemos las condiciones y′(0) = 0 e y(0) = 0 paraobtener

EIy′(x2) = Kx2 +cl + b

4x2

2 −c

12x3

2 −b

2(x2 −

l

2)2,

yEIy(x2) =

K

2x2

2 +cl + b

12x3

2 −c

48x4

2 −b

6(x2 −

l

2)3.

Por último se impone la condición y′( l2) = 0 para obtener

K = −cl + b

8l + c

l2

24,

con lo que tenemos perfectamente determinada la curva elástica que describe la viga.Además de estos dos problemas tipo de vigas, plantearemos a los alumnos que

calculen la curva elástica de una viga en voladizo o ménsula tal y como se muestraen la Figura 7.4, teniendo l metros de longitud y un peso uniforme de c newtonspor metro. En las clases de problemas resolveremos varios problemas con datosnuméricos.Aplicaciones a la electricidad

Vamos a ocuparnos en este apartado de estudiar las ecuaciones diferenciales quemodelan el ujo de corriente en un circuito eléctrico simple como el de la Figura7.5. Empezamos con un repaso de electricidad que nos llevará al planteamiento delas ecuaciones.

Los elementos que aparecen en el circuito 7.5 son:


Figura 7.4. Viga en voladizo o ménsulauna fuente de fuerza electromotriz 2 E cuya misión es impulsar las cargas eléc-tricas y producir una corriente I(t) en el circuito,un inductor de inductancia L, que se opone a cualquier cambio de la intensidadde la corriente y produce una caída de la fuerza electromotriz gobernada porla ecuación

EL = LI ′(t),

un condensador de capacitancia C, que almacena una carga Q, carga quediculta la entrada de nueva carga y produce una caída de fuerza electromotrizdada por

EC =Q

C,

una resistencia R que se opone al paso de la corriente y que provoca una caídade la fuerza electromotriz dada por la ecuación

ER = RI (Ley de Ohm).Conviene tener en cuenta que la corriente I(t) es el ritmo al que uye la carga,

por lo que I(t) = Q′(t). Además como, de acuerdo con la ley de Kirchho, la sumade las fuerzas electromotrices en torno a un circuito cerrado es cero se tiene

E − ER − EL − EC = 0,

2esta fuente de fuerza electromotriz puede variar con el tiempo


Figura 7.5. Circuito eléctrico simple

que se puede reescribir, teniendo en cuenta las consideraciones anteriores, comoLI ′(t) +RI(t) +

Q(t)

C= E(t)

Ahora utilizamos la relación entre I(t) y Q(t) para llegar a las siguientes dosecuaciones diferenciales equivalentes que gobiernan el circuito:

LI ′′(t) +RI ′(t) +I(t)

C= E ′(t)

yLQ′′(t) +RQ′(t) +

Q(t)

C= E(t).

Hemos visto en las secciones anteriores que un ataque global a estas ecuacionesno es posible, ya que para encontrar una solución particular de las ecuaciones juegaun papel importante la función E(t), será pues en las clases de problemas donderesolveremos las ecuaciones anteriores para casos concretos de la función E(t).

Antes de dar por concluida esta sección conviene plantear las ecuaciones de uncircuito más complicado para que los alumnos aprendan o recuerden las leyes básicasde la electricidad anteriormente expuestas. En particular, propondremos plantear lasecuaciones del circuito dado en la Figura 7.6.

Denotamos por I1(t) la intensidad de corriente que uye por la resistencia R1,por I2(t) la intensidad que uye por R2 y por I3 la intensidad que uye por L y C2.Por lo tanto, una primera ecuación que relaciona las tres intensidades es

I1(t) = I2(t) + I3(t).


Figura 7.6. Circuito eléctrico

Por otro lado aplicamos la ley de Kirchho dos veces, una para el subcircuito quecontiene a la fuente de fuerza electromotriz, la resistencia R1 y el condensador decapacitancia C1. Y una segunda vez para el subcircuito que tiene a R2, el inductory el capacitador de capacitancia C2. Con lo cual obtenemos

E ′(t) = I ′1(t)R1 +I1(t)

C1

+ I ′2(t)R2

yI ′2R2 = I ′′3L+

I3(t)

C2

.

Estas tres ecuaciones se pueden reducir a estudiar la ecuación lineal de tercergrado:

E ′′(t) = (R1L

R2

+ L)I ′′′3 + (R1 +L

R2C1

)I ′′3 + (R1

C2R2

+1

C1

+1

C2

)I ′3 +1

C1C2R2

I3.

Una vez calculada I3, podemos utilizar la ecuación en variables separadasI ′2 =

L

R2

I ′′3 +1

C2R2

I3

para calcular I2. Por último despejamos I1 de la ecuación E ′(t) = I ′1(t)R1 + I1(t)C1

+

I ′2(t)R2.Osciladores armónicos no acoplados

El objetivo de esta sección es el de obtener las ecuaciones que gobiernan elmovimiento de un carro sometido a la fuerza de un muelle tal y como se muestra enla Figura 7.7.


VIBRACIONES ARMÓNICAS SIMPLES NO AMORTIGUADAS

De acuerdo a la ley de Hooke y a la segunda ley de Newton, si denotamos porx(t) la posición del carro (considerando la posición de equilibrio en x = 0), por k larigidez del muelle y por m la masa del carro, entonces

mx′′(t) = −kx.

Figura 7.7. Oscilador armónico

Esta ecuación se puede reescribir como

x′′(t) +k

mx = 0,

cuya solución general hemos visto que es:

x(t) = c1 sen(

√k

mt) + c2 cos(

√k

mt)).

Así que si movemos el carro a una posición x = x0 y allí lo soltamos con velocidadinicial 0, el movimiento del carro viene dado por la función

x(t) = x0 cos(

√k

mt),

es decir, el carro se mueve periódicamente alrededor de la posición de equilibrio conperiodo T = 2π

√km.

VIBRACIONES ARMÓNICAS SIMPLES AMORTIGUADAS


El movimiento hasta aquí descrito es irreal puesto que siempre tendremos unafuerza de amortiguamiento debida a la viscosidad del medio donde el carro se abrepaso. Si suponemos que dicha fuerza de amortiguamiento es proporcional a la ve-locidad y se opone al movimiento, la ecuación que nos da el movimiento del carroes

mx′′(t) = kx(t)− cx′(t) con c > 0,

que se puede reescribir como

x′′(t) +c

mx′(t)− k

mx(t) = 0.

Resolvemos seguidamente la ecuación diferencial anterior con las condiciones decontorno dadas en el caso no amortiguado, es decir, x(0) = x0 y x′(0) = 0. Para ellose resuelve la ecuación característica asociada a la ecuación diferencial, de donde seobtienen las raíces r1 = − c

2m+√

( c2m

)2 − kmy r2 = − c

2m−√

( c2m

)2 − km.

Para dar la resolución hace falta distinguir tres casos:

1. Si ( c2m

)2 − km> 0 se sigue que las raices r1 y r2 son números reales negativos

y la solución de la ecuación diferencial es:

x(t) =x0r1e

r2t − x0r2er1t

r1 − r2.

Una representación gráca de la anterior función nos hará ver que en este casoel carro no oscila en torno a la posición de equilibrio, sino que se mueve deregreso a la posición de equilibrio. Diremos que estamos en un movimientosobreamortiguado.

2. Consideramos en este caso que ( c2m

)2 = km, con lo que la ecuación característica

tiene una raíz doble r1 = r2 = − c2m

= −√

km, con lo cual la solución de la

ecuación diferencial es

x(t) = x0e−√

km

t(1 +

√k

mt).

Un estudio de esta función nos muestra que en este caso tampoco hay oscilacióny el carro tiende a pararse. A este movimiento se le denomina críticamente

amortiguado.


3. Queda por considerar el caso donde las dos raíces de la ecuación característicason complejas y conjugadas, que denotaremos por r1 = − c

2m+ ai y por r2 =

− c2m− ai, donde a =

√km− ( c

2m)2. La solución en este caso es

x(t) =x0

ae−

c2m

t(a cos(at) +c

2msen(at)),

función que puede reescribirse como

x(t) =x0

√a2 + ( c

2m)2

ae−

c2m cos(at− θ)

donde θ = arctan( c2ma

). Esta escritura de x(t) nos dice que el carro oscila entorno al punto de equilibrio con una amplitud que decrece exponencialmente.Este movimiento recibe el nombre de subamortiguado.

MOVIMIENTOS FORZADOS

Hasta aquí hemos considerado el movimiento del carro sin que actúen sobre élfuerzas ajenas al sistema y las únicas ecuaciones lineales que nos han salido sonhomogéneas. No obstante, si aplicamos al carro una fuerza externa obtendremos unmovimiento forzado en general y en algunos casos puede que sea una vibración forza-da. En clase de problemas nos ocuparemos de este tipo de movimiento considerandofuerzas externas periódicas del estilo a la función f(t) = f0 cos(ωt), con lo que, laecuación del movimiento es

x′′ +c

mx′ + kx = f(t).

Pensamos que la resolución general de la ecuación anterior distraerá la atenciónde los alumnos más que aclarar los métodos de resolución. Pensamos que será mejorresolver problemas concretos donde tengamos valores jos de los parámetros queestán en juego. No obstante vamos a hacer un resumen de los posibles movimientosque encontraremos.

Para empezar exponemos que una solución particular de la ecuación esxp(t) =

f0√(k − ω2m)2 + ω2c2

cos(ωt− ψ) dondeψ = arctan(

ωc

k − ω2m

).

Por lo tanto, la solución de la ecuación general, x(t), será la suma de la solu-ción general de la ecuación homogénea xh(t) y la solución particular xp, es decir


x(t) = xp(t)+xh(t). Conviene notar que la parte que proviene de la resolución de laecuación homogénea tiende hacia cero, con lo cual predomina la solución particulary el movimiento tiende a hacerse oscilatorio de amplitud:

T =f0√

(k − ω2m)2 + ω2c2.

Haremos notar que cuando el parámetro c es pequeño y ω se aproxima a√

km,la

amplitud de la vibración es muy grande, este fenómeno se conoce con el nombre deresonancia. Comentaremos que un fenómeno relacionado con éste produjo la rupturadel puente de Tacoma, mostraremos una animación de tal ruptura.

Por último comentaremos la similitud de la ecuació a resolver en este caso conla ecuación de un circuito eléctrico gobernado por la ecuación diferencial

LQ′′ +RQ′ +Q

C= E0 cos(ωt),

por lo que las consideraciones anteriormente hechas para el movimiento del carrose aplican a la cantidad de carga que uye por un circuito eléctrico que satisfaga laecuación anterior.Osciladores armónicos acoplados

Acabamos esta sección generalizando el problema anterior para dos carros sujetoscon muelles a una pared y atados entre sí con otro muelle, situación que describe laFigura 7.8, donde xi mide la distancia de cada carro a su posición de equilibrio.

Aplicamos la ley de Hooke a cada uno de los carros suponiendo que el carro dela izquierda (carro 1) pesa mi kilogramos, el carro de la derecha (carro 2) pesa m2

kilogramos y los muelles, de izquierda a derecha, tiene constantes de rigidez k1, k2

y k3 respectivamente. Así que para el carro 1, la ecuación de su movimiento será:m1x

′′1(t) = −k1x1(t) + k3(x2(t)− x1(t)),

y para el carro 2:m2x

′′2(t) = −k2x2(t) + k3(x2(t)− x1(t)).

Por lo tanto el movimiento del sistema viene regido por las ecuaciones diferen-ciales:

m1x′′1 = (−k1 − k3)x1 + k3x2,

m2x′′2 = (−k2 − k3)x2 + k3x1,


Figura 7.8. Oscilador armónico acoplado

sistema que, utilizando la relación entre ecuaciones y sistemas, se reduce a resol-ver la ecuación diferencial lineal de orden 4:

m1m2

k3

x(iv)1 +

k1 + k3 + (k2 + k3)m1

k3

x′′1 +

((k2 + k3)(k1 + k3)

k3

− k3

)x1

Se usará posteriormente la relación:x2 =

m1x′′1 + (k1 + k3)x1

k3

.

En clases de problemas resolveremos problemas de este estilo con datos numéricos.

Análisis del tercer bloque

Temas 8,9,10 y 11. Introducción a

la Estadística

Debido al escaso tiempo para tratar este bloque, 10 horas lectivas daremos untratamiento unicado de los cuatro temas que lo integran. Los objetivos que preten-demos que el alumno/a alcance son:

Justicar el aprendizaje de la estadística como herramienta útil para la soluciónde problemas relacionados con la construcción.Conocer los conceptos más elementales de la estadística descriptiva.Representar grácamente los datos en estudio.Conocer y analizar las medidas asociadas a una distribución de frecuencias:medidas de tendencia central, de dispersión y de forma.Advertir, con numerosos ejemplos, cómo el azar aparece en muchas experien-cias de la vida cotidiana.Conocer a nivel básico los distintos enfoques de la probabilidad.Manejar las propiedades de las probabilidades en problemas de asignación deprobabilidades.Entender el signicado del concepto de esperanza matemática aplicado encualquier situación en donde se requiera conocer un valor medio teórico.Denir correctamente una variable aleatoria.Entender las características especícas que distinguen los modelos que repre-sentan cada una de las variables aleatorias.

158 Temas 8,9,10 y 11. Introducción a la Estadística

Comprender el signicado de los parámetros que aparecen en las denicionesde los modelos para poder precisar su valor cuando se modeliza un experimentoconcreto.Comprender las interrelaciones existentes entre los distintos modelos.Manejar las tablas de las distintas distribuciones para calcular probabilidadesde sucesos.Extraer información parcial de una variable aleatoria bidimendional a travésde las distribuciones marginales y condicionadas.Entender el concepto de matriz de covarianzas como la generalización a variasdimensiones del concepto de varianza.Adquirir herramientas para identicar la mejor función que relacione dos va-riables aleatorias.

Comentario general del bloqueLos conocimientos estadísticos constituyen un aporte esencial para el plantea-

miento y la resolución adecuada de muchos problemas.Entre las áreas que se señalan en las que más impacto puede tener la estadística

durante los próximos 25 años resaltan las siguientes:

1. Mejora de la calidad y de la productividad.2. Recogida y uso de información para la agricultura, la industria y la adminis-

tración.3. Integración de la estadística en la planicación empresarial.4. Desarrollo de nuevos productos y todo el proceso de la innovación.5. Evaluación de las necesidades y expectativas de los consumidores.6. Todo el proceso educativo en sus diferentes niveles y aspectos.

Temas 8,9,10 y 11. Introducción a la Estadística 159

En realidad las oportunidades futuras son enormes para la estadística, cuyo cam-po de acción se extiende cada día más afectando prácticamente a todas las facetasde la actividad humana.

A continuación haremos una pequeña reexión sobre algunos temas concernientesa la construcción. Para ello debemos conocer la existencia de la Instrucción de Hor-migón Estructural (EHE-98) que actualiza y refunde las instrucciones precedentesen un único texto reglamentario; la EH-91, relativa al hormigón en masa o armadoy la EP-93, referida al hormigón pretensado, donde se regulan los aspectos relativosal proyecto y ejecución de estructuras y elementos estructurales de hormigón, tantoen masa como armado o pretensado. En ella se habla del control de calidad de losmateriales y por tanto del control de calidad del hormigón, siendo ésta una de lasfunciones de mayor importancia y responsabilidad dentro de la actividad profesionaldel arquitecto técnico. Esto es debido, por un lado a su obligatoriedad, pues la nuevaEHE-98 mantiene con carácter preceptivo el control de recepción del hormigón, ypor otro lado, a la gran utilización del hormigón armado, siendo el principal materialestructural que encontramos en la edicación actual.

El control del hormigón deberá entenderse como una medida preventiva tendentea evitar o atenuar la aparición de posteriores patologías, cuya reparación podríaocasionar cuantiosos gastos, garantizando la seguridad estructural y la durabilidadde las estructuras de hormigón a lo largo de su vida útil.

En el control del hormigón aparece un apartado, en el que se habla del controlestadístico del hormigón dentro de los ensayos del hormigón (Arts. 86, 87 y 88). Enéstos se utilizan conceptos como población, muestra, media, desviación estándar,valor o resistencia característica, toma de probetas en distintas amasadas, se aceptala hipótesis de que la distribución de las resistencias del hormigón de obra sigueuna distribución normal, etc. En denitiva, podemos decir que el arquitecto técnicotendrá que estar en contacto con laboratorios de materiales de construcción o cuandomenos tendrá que interpretar los informes presentados por éstos.

Por otro lado, muchos arquitectos técnicos trabajan en fábricas de materiales deconstrucción donde el control de un proceso de producción o el control de fabrica-ción es muy importante. Si nos centramos en el control de fabricación por variablesaparecen los conceptos de media, desviación típica, teorema central del límite, dis-tribución normal, etc. Si nos centramos en el control de fabricación por atributos nosencontramos con el concepto de probabilidad, con la ley binomial, etc. Señalemos


que el 95% de los problemas de calidad pueden ser resueltos con métodos estadís-ticos muy sencillos, entre ellos cabe destacar los grácos de control por variables opor atributos.

Así pues, el alumno debe obtener unos conocimientos mínimos de estadísticapara que pueda desenvolverse, en un futuro, dentro de su vida profesional. Debemosreconocer que debido al poco tiempo de que disponemos y debido a la baja prepara-ción de los alumnos en conceptos estadísticos, la mayoría nunca han estudiado nadade estadística, no podemos pretender que éstos dominen todas las herramientas quepresentamos, pero sí aprenderán a manejar algunos conceptos y a interpretar esta-dísticamente instrucciones o grácos que puedan encontrarse en su futuro trabajo.

A continuación comentaremos el desarrollo de los distintos capítulos que compo-nen este bloque temático.

Comenzaremos el Tema 8 motivando el estudio de la estadística en esta titula-ción. Presentaremos las tres acepciones que engloba el término estadística y haremosuna extensa introducción en la que comentaremos algunos de los problemas que pre-tendemos resolver, tanto en el aula como en las prácticas informáticas. Hablaremosdel panorama general del control de calidad en la construcción, presentaremos unmodelo simplicado del proceso de construcción y su control donde aparecen cincoactividades principales: Promoción, Diseño-Proyecto, Materiales, Ejecución y Uso-Mantenimiento. La responsabilidad de cada una de ellas corresponde a los diferentessujetos: Promotor, Proyectista, Fabricante, Constructor, Usuario/Propietario. Dis-tinguiremos entre el control de producción y control de recepción. Comentaremosque una de las técnicas empleadas en estos controles, por ejemplo, en el de pro-ducción, son los grácos de control. Presentaremos el siguiente ejemplo para que elalumno pueda ver cómo son estos grácos:

• Una fábrica de productos cerámicos ha tenido quejas sobre la absorción dehumedad de uno de sus productos. Se decidió hacer un gráco de control sobre lavariación de la humedad absorbida en una muestra de cinco unidades cada dos horas(4 muestras por jornada de trabajo) tomadas del horno por personal del laboratorio.Expondremos una tabla con la muestra (5 medidas por cada muestra), la media yel recorrido. Presentaremos el cálculo de la media de las medias, el recorrido medioy los límites de control superior e inferior. A continuación se presentará el gráco devariables y se observará que el proceso está dentro de los límites de control y que la


alta absorción no es esporádica y debido a causas especiales, sino que es inherenteal propio proceso.

A continuación haremos algunos comentarios de la EHE-98, y presentaremosalgunos artículos de la misma (Arts. 86, 87 y 88) donde se habla de los ensayosdel hormigón y de su control estadístico. También expondremos varios ejemplos deaplicación de la estadística a la construcción.

Una vez hecha esta presentación, proponemos un ejemplo de una muestra decien amasadas de hormigón extraidas de una población de amasadas situadas en unelemento (en este caso una losa de cimentación) y a las que se la ha obtenido suresistencia a compresión a la edad de 28 días. A partir de este ejemplo introduci-remos los conceptos de población (en ocasiones se recurre al término de lote paraestablecer la idea de la población a examinar), de muestra, de variables discretas ycontinuas, de atributos, recorrido de un variable, frecuencia absoluta, relativa, acu-mulada, tabla de distribución de frecuencias, intervalos o clases y marcas de clase.Cada concepto que introducimos procuramos aplicarlo al ejemplo presentado, pe-ro también lo claricamos con otros ejemplos que pueden resultar más fáciles deentender por el simple hecho de tener menos datos.

Es importante que el alumno vea que no sólo aplicaremos estos u otros conceptosa temas relacionados con el hormigón. Para ello, presentaremos una tabla de datosque representa el número de árboles en cada plaza de una ciudad (este ejemplo podríaser más interesante para las asignaturas de Urbanismo o de Paisajismo); o unatabla donde se relacione el número de horas que tarda un albañil en alicatar un cuartode baño de unas dimensiones determinadas (será interesante para la asignatura deMediciones, Presupuestos y Valoraciones), etc.

En ocasiones, una buena representación gráca de los datos en estudio puedeayudar ecazmente a extraer conclusiones sobre el comportamiento real de la varia-ble estudiada; es necesario, para ello, que el impacto visual de la representacióngráca responda a la realidad y, por consiguiente, que el método seguido esté basadoen unos principios geométricos ortodoxos. Presentaremos varias formas usuales derepresentar datos:

1. Diagramas de barras y rectangulares.2. Diagramas en zeta y perles rectangulares.


3. Diagramas polares y diagramas de sectores.4. Pictogramas y cartogramas.5. Histograma.

A continuación, realizaremos el histograma de frecuencias relativas de clase delejemplo de las amasadas presentado al comienzo del tema.

Al analizar una característica de una determinada población, a través de unamuestra y de la posterior tabla de frecuencias, es inevitable el resumir la informa-ción contenida en dicha tabla, en un conjunto de constantes o medidas, que nospermitan tener una visión adecuada del comportamiento de la población respectoa la característica en estudio. Por tanto, continuaremos presentando las medidasasociadas a una distribución de frecuencias:

• Medidas de tendencia central:- Media.- Mediana.- Moda.

• Medidas de dispersión:- Varianza.- Desviación típica.- Recorrido.

• Medidas de forma:- Coeciente de asimetría.- Coeciente de curtosis.

Aplicaremos todas las medidas que podamos al ejemplo anterior, y en algunoscasos plantearemos otros ejercicios más sencillos para la mejor comprensión de losconceptos.

En el Tema 9 haremos un incursión rápida en algunos conceptos de probabilidadque nos resultan imprescindibles para el estudio de las distribuciones de probabi-lidad. Comenzaremos presentando los conceptos de: experimento aleatorio, espacio


muestral, suceso, suceso imposible, suceso complementario, intersección de sucesos,sucesos mutuamente excluyentes (sucesos disjuntos), sucesos dependientes o condi-cionados y unión de sucesos. La mayoría de estas deniciones las acompañaremoscon ejemplos aclaratorios donde intervienen elementos relacionados con la construc-ción, por ejemplo, ladrillos fabricados hasta obtener 10 no defectuosos, o el espaciomuestral de la vida de un cierto componente eléctrico, etc. En muchas ocasionesrecurrimos a los socorridos ejemplos de los números obtenidos al lanzar un dado,de urnas con bolas blancas y negras o al lanzamiento de una moneda. Es curiosoapreciar que, en los módulos de estadística de algunos cursos de Técnico en Labo-ratorio de Construcción, cuando se presentan estos conceptos recurren a ejemplosde los últimos presentados en vez de presentar casos especícos de aplicación a laconstrucción.

A continuación presentaremos la denición clásica de la probabilidad de obtenerun suceso A en un experimento aleatorio; tras advertir que esta denición presentael inconveniente de que es necesario que todos los casos posibles sean igualmente

probables, paliamos este defecto con la denición de probabilidad basada en elconcepto de frecuencia relativa, de esta forma, el hecho de que todos los casos posiblessean o no igualmente probables no tiene ya ninguna importancia, puesto que vendráreejado en la frecuencia relativa y, por ende, en su límite. Se evidencia, pues, deuna manera clara, que la primera denición se reere a probabilidad a priori;en cambio, la segunda se reere a probabilidad a posteriori, porque requiere de laexperimentación y al término de la cual se obtiene la probabilidad buscada. Así pues,concluiremos que la probabilidad no es más que una cuanticación o una medidade la posibilidad de ocurrencia de un suceso. Si el suceso es imposible que ocurra,la probabilidad valdrá cero; si el suceso es cierto valdrá la unidad. Entre estos dosextremos, la imposibilidad y la certeza, existe toda una gama de posibilidad cuyamedida es, como decimos, la probabilidad, que variará, en consecuencia, entre 0 y1: 0 ≤ P (A) ≤ 1.

Con el n de poder continuar con el estudio de sucesos y su probabilidad deocurrencia en un experimento dado, asignamos a cada suceso A del espacio muestralS un número P (A) que indique la probabilidad de que A ocurra. Esta asignación lahacemos de forma que se veriquen 3 axiomas especícos, y de esta forma presenta-mos una distribución de probabilidad sobre un espacio muestral S. Posteriormenteexpondremos las propiedades que verica la función de probabilidad y seguidamentepresentaremos el siguiente ejercicio de aplicación:


• Calcular la probabilidad de que un trabajador de la construcción no tenganingún accidente, sabiendo que la empresa constructora divide a sus trabajadoresen especializados (10%) y no especializados (90%) y que la probabilidad de queun trabajador especializado tenga un accidente, en un año, es de 0,02 y si no estáespecializado de 0,6.

Seguidamente presentamos los métodos que utilizaremos para contar los casosfavorables y posibles a la hora de calcular la probabilidad de un suceso: regla dela multiplicación (diagrama de árbol), permutaciones (número de formas distintasen las que S puede ser ordenado), variaciones y combinaciones (número de formasdistintas de extraer k elementos de un conjunto o población nita con n elementos).

Finalizaremos el capítulo con el estudio de la probabilidad condicionada. El ejem-plo que presentamos, relacionado con la asignatura de Geología, es el siguiente:

• Dada una tabla con la distribución de 100 cantos rodados, tomados al azar enun depósito de aluviones, donde unos son redondos y otros angulosos siendo unosde cuarzo y otros de berilo. Tomamos al azar un canto y es anguloso, pedimos quese calcule la probabilidad de que éste sea de cuarzo.

Haremos también ejercicios aplicados al control de calidad en la fabricación demateriales, sobre todo aquellos en los que hay artículos (por ejemplo, ladrillos, azu-lejos, grifos, puertas, etc.) defectuosos y sin defecto, y pedimos que se calcule laprobabilidad de escoger un número de artículos defectuosos si tomamos al azar esemismo número de artículos, etc.

En el Tema 10 presentaremos de forma genérica, las distribuciones de probabi-lidad de variables aleatorias discretas y continuas; de esta forma, en los siguientescapítulos, tan sólo tendremos que ir exponiendo los distintos tipos de distribución.

Comenzaremos el tema introduciendo la denición de variable aleatoria comouna función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral; éstaslas clasicamos en discretas y continuas. A continuación deniremos la función demasa o de probabilidad de una variable aleatoria discreta y su función de distribuciónacumulada. Presentaremos el siguiente ejemplo:

• Un almacén de construcción recibe un envío de 8 paquetes de plaquetas decerámica que contiene 3 paquetes defectuosos. Si un constructor compra 2 paquetes


para chapar el suelo de un aseo, encontrar la distribución de pro-babilidad y distribu-ción acumulada para el número de paquetes defectuosos que compra el constructor.Representar grácamente estas dos funciones.

A continuación presentaremos la función de densidad, f(x), y de distribuciónacumulada, F (x), pero ahora de una variable aleatoria continua. En este caso moti-varemos su estudio con un ejemplo en el que presentamos una estructura metálicaque, debido al calor, puede sufrir una dilatación (en milímetros) que es una variablealeatoria X, cuya función de densidad viene dada por

f(x) =

ax si 0 ≤ x ≤ 3

b si 3 < x < 5

b3(8− x) si 5 ≤ x ≤ 8

Entonces haremos varios análisis: calcular e interpretar la probabilidad de que ladilatación sea inferior a 3 mm, o calcular la probabilidad de que la dilatación estéentre 3 y 5 mm interpretando el resultado, etc.

Continuaremos calculando la esperanza, media, momentos, varianza y desviacióntípica de una variable aleatoria discreta y continua. Finalizaremos el capítulo pre-sentando otras medidas de concentración de una variable aleatoria: moda, medianay cuantiles de orden p. Presentaremos varios ejercicios que aclaren estos conceptoscomo, por ejemplo:

• Calcular el valor esperado de la proporción de accidentes mortales en la cons-trucción en la Región de Murcia, sabiendo que la variable aleatoria que representala proporción de accidentes mortales en ésta tiene la siguiente función de densidad:

f(x) =

42x(1− x)5 si 0 < x < 1

0 resto.

• También calcularemos la media y varianza de una variable aleatoria que repre-senta la demanda mensual de cemento en una determinada ciudad cuando conocemossu función de densidad, etc.


En el Tema 11 examinaremos varias distribuciones discretas y continuas de pro-babilidad y, en cada caso, expondremos las características diferenciadoras de éstaspresentando sus medias y varianzas. En la introducción del tema repasaremos rá-pidamente las funciones de probabilidad y de distribución presentadas en el temaanterior; también comentaremos que una distribución de probabilidad estará carac-terizada, de manera general, por una o varias cantidades que recibirán el nombrede parámetros de la distribución. Estudiaremos la función de distribución binomial,la de Poisson, la binomial negativa, la geométrica y nalmente la hipergeométri-ca. Presentaremos ejemplos y ejercicios de aplicación a la construcción; entre otrospodemos comentar los siguientes:

• Calcular la probabilidad de que el número de ladrillos defectuosos producidospor una fábrica en una semana sea mayor que 2, sabiendo que la probabilidad deque una determinada máquina fabrique un ladrillo defectuoso es de 0,001 y queen una semana se fabrican 20.000 ladrillos. Evidentemente veremos que sigue unadistribución binomial con n = 20,000 y p = 0, 001, pero podremos aproximarla a unade Poisson de parámetro λ = n·p = 2; para la resolución de este ejercicio utilizaremoslas tablas de valores de la función de distribución acumulativa correspondiente.

• Calcular la probabilidad de colocar exactamente 4 baldosas defectuosas en elsolado de un balcón, sabiendo que esas baldosas provienen de una fábrica que tiene,en ese tipo de baldosas, una proporción de defectos del 5% y que tenemos quecolocar 30 baldosas. Su solución la encontramos con la función de probabilidad deuna distribución binomial.

• Calcular la probabilidad de que el 5o grifo examinado sea el 1o defectuosoen un proceso de fabricación de grifos en el que se sabe que 1 de cada 10 grifoses defectuoso. Podremos observar fácilmente que sigue una distribución binomialnegativa.

A continuación nos centraremos, básicamente, en la distribución normal. El mo-delo normal es, con diferencia, el más utilizado para modelizar experimentos alea-torios. Inicialmente surgió para modelizar los errores que se obtienen al realizarrepetidas mediciones de una magnitud de un mismo objeto. Los errores suelen co-meterse con la misma probabilidad hacia arriba que hacia abajo del verdadero valorde la magnitud, de forma que el promedio de los errores suele ser cero. Además,la proporción de errores pequeños es mucho mayor que la de errores grandes. Si serepresentasen los errores en un histograma de frecuencias se obtendría una gura


en forma de campana, típica de la distribución normal. El hecho de que el modelonormal sea el más normal que se presente (de ahí su nombre) se debe a un resultadoconocido como teorema central del límite, que viene a decir que si una variable X esla suma de un número grande de variables independientes, entonces X sigue una dis-tribución normal. De ahí que habitualmente todas las mediciones de magnitudes depoblaciones homogéneas sigan una distribución normal. Por ejemplo, la desviaciónrespecto de unas determinadas especicaciones que presentan los azulejos fabricadospor una máquina, suele depender de muchos factores independientes entre sí talescomo, cambios en la temperatura y humedad, vibraciones, variaciones en el ángulode pulidos, cortes, desgastes de herramientas, desgastes de cojinetes, variaciones endistintas características de la materia prima, etc., por lo que distintas magnitudesde los azulejos fabricados en un proceso industrial (longitud de la pieza, resistencia,densidad, etc.) suelen seguir una distribución normal.

Así pues, presentaremos las características más importantes de un modelo nor-mal, su representación gráca y algunas propiedades. Veremos su forma tipicaday cómo se manejan las tablas de valores de la función de distribución acumulativanormal estándar, también enunciaremos el teorema central del límite. Tal y comohemos presentado en el ejemplo anterior, esta distribución es muy utilizada en elcontrol de calidad. Hay libros que tratan este tema y que dedican algún capítulo atécnicas estadísticas; éstos presentan la ley normal suponiendo que si se toma unamuestra de n unidades de un proceso que está bajo control, en el que se mide unacaracterística de calidad x y se hace un histograma de la distribución de estos valoresen función de n, al aumentar n, la distribución de la variable tiende hacia una curvasuave, que se llamará distribución de probabilidad; entonces, si las desviaciones entrelos valores x y la media del proceso son debidas a muchas causas no asignables queactúan independientemente unas de otras, la distribución de x seguirá una curvanormal.

Haremos varios ejercicios de aplicación:

• Supóngase que la demanda mensual de un cierto producto de construcción,en un almacén de materiales, se encuentra aproximada por una variable aleatorianormal con media 200 y desviación típica igual a 40 unidades. ¾Qué cantidad deartículos han de estar almacenados a principios de mes para que la probabilidad deque la existencia se agote no sea mayor de 0,05?

168 Bibliografía

• Una constructora está especializada en cimentaciones de grandes edicios cuan-do hay problemas en el suelo (presencia de sulfatos, aoramiento de agua, etc.). Estaempresa gasta al año 650.000 sacos de cemento que le son proporcionados por unacementera y se ha llegado, tras larga experiencia, a determinar que la distribucióndel peso de los sacos de cemento sigue una ley gaussiana. Más concretamente, delos últimos 1.000 sacos se sabe que 11 pesaron menos de 48 Kg. y sólo 6 rebasaronlos 54 Kg. El Arquitecto Técnico de la constructora considera inaceptable todo sacoque pese menos de 50 Kg., devolviéndolo en dicho caso a la cementera. ¾Cuántossacos habrá devuelto de los 1.000 citados? ¾Cuántos devuelve al n de año?

Por último nos limitaremos a comentar otras distribuciones continuas. Continua-remos con la distribución exponencial que juega, para variables continuas, el mismopapel que la geométrica para equipos cuya duración de vida es discreta; es la distri-bución del tiempo que transcurre entre dos ocurrencias consecutivas de un fenómenoregido por una ley de Poisson. La distribución Chi-cuadrado con n grados de liber-tad es la distribución de la suma de los cuadrados de n variables independientes yN(0,1) y surge con frecuencia en los estudios de abilidad relacionados con la distri-bución exponencial. Otro problema que se nos puede presentar es el tratamiento dedatos pero cuando las muestras son pequeñas, es decir, menores que 30, entonces laaproximación normal no es buena y va siendo tanto peor a medida que la muestradisminuye, de modo que deben hacerse modicaciones apropiadas. La distribucióncontinua t-Student es la distribución de la variable t = Y/

√X/n donde Y es N(0,1),

X es κ2 y son independientes, y el parámetro n son los grados de libertad de la dis-tribución; ésta juega un papel importante en la inferencia estadística asociada a lateoría de pequeñas muestras.

Como bibliografía del bloque recomendamos [AG 96], [Apo 80] y [C 95].

Bibliografía

[Ada 67] P. Puig Adam. Curso teórico práctico de ecuaciones diferenciales

aplicado a la física y la técnica. Biblioteca Matemática, Madrid,1967

[AG 96] F. Alonso, P. García, J. Ollero. Estadística para ingenieros (teoría

y problemas). Servicio de publicaciones Colegio de Ingenieros Cami-nos, Canales y Puertos de Madrid, 1996.

[Apo 80] T. M. Apóstol. Calculus: cálculo con funciones de varias variables

y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a

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[Apo 95] T. M. Apóstol. Análisis matemático, volumen I. Reverte, Barcelona,segunda edición, 1995

[BS 00] G. L. Bradley y K. J. Smitli. Cálculo de una variable. Prentice-Hall,Madrid, 2000

[BGo 00] J. L. Balmaseda, J. García, y otros. Fundamentos matemáticos de la

arquitectura técnica. Universidad Politécnica de Valencia, Valencia,2000

[BP 96] W. E. Boyce and R. C. Di Prima. Ecuaciones diferenciales y pro-

blemas con valores en la frontera. Limusa, México, 1996.[B 93] M. Braun. Dierential equations and their applications. Springer-

Verlag, Berlín, 1993[C 95] G.C. Canovos. Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos.

McGraw Hill, Madrid, 1995

170 Bibliografía

[Chi 87] J. Cartas Chinas. Problemas resueltos de cálculo integral. Limusa,México, 1987

[Coq 97] F. Coquillat. Cálculo integral (Metodología y problemas). Autor, Ma-drid, 1997

[Dem OO] B. P. Demidovich. 5000 problemas de análisis matemático. Paranin-fo, Madrid, 2000

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Tecnos, 1992[Fer 93] J. A. Fernández. Ejercicios y complementos de anális matemático

II. Tecnos, 1992[Fer 94] J. A. Fernández. Análisis matemático I. Cálculo innitesimal. Tec-

nos, 1994[Jef 93] A. Jerey. Linear algebra and ordinary dierential equations. CRC

Press, Boca Ratón (Florida), 1993.[Jim 00] V. Jiménez. Ecuaciones diferenciales, cómo aprenderlas, cómo en-

señarlas. Universidad de Murcia, Murcia, 2000[FMM 98] M. Franco, F. Martínez, y R. Molina. Cálculo I. Diego Marín, Mur-

cia, 1998[LHE 99] R. E. Larson, R. P. Hostetler, y B. H. Edwards. Cálculo, volumen

2. M. Graw Hill, Madrid, sexta edición, 1999[Lóp 01] J. López. Ecuaciones diferenciales y variable compleja. Prentice Ha-

ll, Madrid, 2001.[MT 98] J. E. Marsdem y A. J. Tromba. Cálculo vectorial. Addison Wesley,

Wilmington, 1998[MC 99] J. A. Murillo y J. S. Cánovas, Fundamentos matemáticos de la in-

geniería, Universidad de Murcia, ICE, Murcia, 1999[NOR 95] S.Novo, R. Obaya, y J. Rojo. Ecuaciones y sistemas diferenciales.

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