Matriz Es un conjunto de números o expresiones ordenados en forma rectangular,

formando filas y columnas. De igual manera Giovanni Pizzella en su libro Algebra Lineal para estudiantes de Ingeniería de la Universidad de Carabobo del año 2006 expresa que una matriz “Es un simple arreglo rectangular de números, usualmente encerrados entre paréntesis o corchetes”. Ejemplo:

-2 3 4 5 1 -6 6 8 (1)

Es una matriz, la matriz (1) tiene dos filas y cuatro columnas. Una manera de indicar el tamaño o dimensión de una matriz viene dada por el número de filas y columnas. Es convencional escribir primero el número de filas. Por ejemplo, la matriz (1) es de tamaño 2 x 4, ya que tiene dos filas y cuatro columnas.

Elementos de una Matriz Pizzella2006 manifiesta en libro anteriormente mencionado, frecuentemente se usa

una notación con doble subíndice para indicar la localización de una entrada en una matriz. El primer subíndice indica el número de la fila en la cual se ubica la entrada, contando desde arriba, y el segundo subíndice índica el número de la columna, contando desde la izquierda. Así una matriz de m X n se escribe como:

(2)

Donde cada a ij es un número llamado elemento o entrada de la matriz, los números m y n determinan la dimensión o tamaño de la matriz.

Igualdad de Matrices Se dice que   y   son dos matrices iguales, denotado

por  , si y solo sí ; es decir:

(3)

Por lo tanto, dos matrices A y B son iguales cuando son del mismo tamaño y los elementos que están en la misma posición en ambas matrices, llamados elementos correspondientes, son iguales. Ejemplo.

Si   y   (4)

Entonces para que   deben tener el mismo tamaño, que lo tienen pues son de

tamaño , y además debe cumplirse que los elementos correspondientes sean iguales;

es decir, los valores de los parámetros ,   y   deben ser:

y  

Matriz Fila Un matriz 1 X n, llamada matriz fila, es una n-upla fila ordenada de números

reales. Una matriz fila es cuando tiene una sola fila, es decir de orden 1.Ejemplo: R = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]; es una matriz de 1 x 9, o un vector fila con 9 elementos.

Matriz Columna   Es una m-upla columna de números reales Se denomina matriz columna porque existe

una sola columna, es decir de orden m x 1. Ejemplo: La siguiente matriz es de orden 2 x 1

A2x1= 12

  (5)

Matriz Cuadrada   Es aquella que tiene igual número de filas y columnas, m = n. Ejemplo: La siguiente

matriz es de orden 2 x 2 5 7 (6) A2x2= 4 1

Matriz Diagonal

Es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal

principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si: di,j=0 si i≠j. Ejemplo:

(7)

Matriz Triangular Se denomina matriz Triangular, a aquella matriz cuadrada que tiene todos sus

elementos nulos por encima o por debajo de la diagonal principal.Ejemplo:

(8)

Matriz EscalarEs una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

(9)

Matriz IdentidadEs aquella matriz que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal

principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad. Ejemplo:

(10)

Traza de una MatrizSea una matriz cuadrada A de orden n, se define la traza de la matriz A y se denota

por  tr(A) al valor obtenido al sumar todos los elementos de la diagonal principal, es decir

Ejemplo: Demostrar que para cualquier par de matrices A,B de Mn(K) y para cualquier λ∈Kse verifica:a) tr(A+B)=trA+trB.b) tr(λA)=λtrA.c) tr(AB)=tr(BA).

Solución:

a) tr(A+B)=∑i=1n(aii+bii)=∑i=1naii+∑i=1nbii=trA+trB.b) tr(λA)=∑i=1nλaii=λ∑i=1naii=λtrA.c) Calculemos tr(AB). Sabemos que el elemento cij de la matriz

producto AB es cij=∑nk=1aikbkj, por tanto:

tr(AB)=∑i=1ncii=∑i=1n(∑k=1naikbki)=∑i=1,…,nk=1,…,naikbki.(1)

De manera análoga:tr(BA)=∑i=1n(∑k=1nbikaki)=∑i=1,…,nk=1,…,nbikaki.(2)

Es claro que en (1) y (2) aparecen exactamente los mismos sumandos. Por ejemplo, el

sumando a23b32 de (1) que corresponde a los subíndices i=2, k=3, es el sumando

de (2) que corresponde a los subíndices i=3, k=2. Concluimos

que tr(AB)=tr(BA).

Matriz Traspuesta Se denomina matriz traspuesta a aquella que resulta intercambiando filas con

columnas.Ejemplo:

(11)

Matriz Simétrica La matriz simétrica es una cuadrada igual a su matriz transpuesta. A = At , aij = aji

Ejemplo:

Matriz AntisimétricaLa matriz antisimétrica es cuadrada igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij

= -aji Necesariamente aii = 0

(12)

Operaciones con Matrices

Suma y Resta de MatricesPara poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de

columnas. se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices. Ejemplos:

(13)

(14)

Producto de un Escalar por una MatrizSe define como el producto de un número real por una matriz, a la matriz del mismo

orden que A, en la que cada elemento es multiplicado por K. kA=(k a i j)Ejemplo:

Producto de MatricesDos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide con

el número de filas de B. Mm x n x Mn x p  = M m x p

Ejemplo:

Propiedades de las Operaciones con Matrices

Propiedades de la suma de matrices

De la dimensión

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa

A + (B + D) = (A + B) + D

Elemento neutro

A + 0 = A Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto

A + (-A) = O La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa

A + B = B + A

Propiedades del producto de matrices

Asociativa

A • (B • C) = (A • B) • C

Elemento neutro

A • I = A Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A. Anti

conmutativa A • B ≠ B • A

Distributiva del producto respecto de la suma

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz Inversa

A·A-1 = A-1 · A = I

Propiedades

(A · B) ^ (-1) = B ^ (-1) · A ^ (-1)

[ A^ (-1) ] ^ (-1) = A

(k · A) ^ (-1) = k ^ (-1) · A ^ (-1)

(A ^ t) ^ (-1) = [ A ^ (-1) ] ^ t

Matrices Singulares

Matriz cuadrada cuyo determinante es igual a cero. Una matriz singular no tiene matriz inversa. Ejemplo:

A = 4 28 4

= 0 Determinante de A = 4 x 4 – 2 x 8 = 0

Matrices InvertiblesSe dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la

propiedad de que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.

Ejemplo: 

 

                

                  

Puesto que  AB = BA = I,  A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra

Operaciones Elementales por Fila de una Matriz Una operación elemental por filas o por columnas en una matriz , es

alguna de las siguientes tres que se le aplique a los elementos de ciertas filas o columnas:

Intercambio de filas o columnasConsiste en intercambiar dos filas o dos columnas de la matriz .

Su notación matricial es:   o 

Se intercambiaron la fila   con la fila   de  ; es decir, los elementos de la fila   de  cambian de posición a la fila   y viceversa, pero conservan la posición de la columna, resultando una nueva matriz  .

En este caso se intercambiaron la columna   con la columna   de  ; es decir, los elementos de la columna   de   cambian de posición a la columna   y viceversa, pero conservan la posición de la fila, resultando una nueva matriz  .

Multiplicación de un escalar por fila o columna

Consiste en multiplicar un escalar distinto de cero por una fila o por una columna de  .Su notación matricial es:   o 

En ese caso se multiplicó el escalar   por la fila   de  ; es decir, los elementos de la fila  de   cambian el valor numérico por   veces su valor, resultando una nueva matriz  .

En ese caso se multiplicó el escalar   por la columna   de  ; es decir, los elementos de la columna   de   cambian el valor numérico por   veces su valor, resultando una nueva matriz  .

Sustitución de una fila por columna Consiste en sustituir una fila completa o una columna completa de   por la suma

de la misma fila (o columna) más el múltiplo de otra fila o columna.

Su notación matricial es:   o 

Se sustituyó la fila   de   por la suma de ella más   veces la fila   de  ; es decir, los elementos de la fila   de   cambian el valor numérico por la suma del elemento de la fila   más  veces el elemento de la fila  , resultando una nueva matriz  .

Se sustituyó la columna   de   por la suma de ella más   veces la columna   de  ; es decir, los elementos de la columna   de   cambian el valor numérico por la suma del elemento de la columna   más   veces el elemento de la columna  , resultando una nueva matriz  .

Matrices Particionadas Existen razones para querer particionar una matriz A, algunas de ellas son: (i) La

partición puede simplificar la escritura de A. (ii) La partición puede exhibir detalles particulares e interesantes de A. (iii) La partición puede permitir simplificar cálculos que involucran la matriz A.

Submatrices

Una submatriz es una matriz formada por la selección de ciertas filas y columnas de

una matriz más grande. Es decir, como un array, en el que se cortan las entradas limitadas

por fila y columna.

Descomposición LU

Su nombre se deriva de las palabras inglesas "Lower" y "Upper", que en español se traducen como "Inferior" y "Superior". Estudiando el proceso que se sigue en la descomposición LU es posible comprender el porqué de este nombre, analizando cómo una matriz original se descompone en dos matrices triangulares, una superior y otra inferior. La descomposición LU involucra solo operaciones sobre los coeficientes de la matriz [A], proporcionando un medio eficiente para calcular la matriz inversa o resolver sistemas de álgebra lineal.

Primeramente se debe obtener la matriz [L] y la matriz [U].[L] es una matriz diagonal inferior con números 1 sobre la diagonal. [U] es una matriz diagonal superior en la que sobre la diagonal no necesariamente tiene que haber números 1.El primer paso es descomponer o transformar [A] en [L] y [U], es decir obtener la matriz triangular inferior [L] y la matriz triangular superior [U].

Pasos Para Encontrar La Matriz Triangular Superior (Matriz [U])

1. Hacer cero todos los valores abajo del pivote sin convertir este en 1.2. Para lograr lo anterior se requiere obtener un factor el cual es necesario para convertir a

cero los valores abajo del pivote.3. Dicho factor es igual al número que se desea convertir en cero entre el número pivote.4. Este factor multiplicado por -1 se multiplica luego por el pivote y a ese resultado se le

suma el valor que se encuentra en la posición a cambiar (el valor en la posición que se convertirá en cero). Esto es:

- factor * pivote + posición a cambiar

Pasos Para Encontrar La Matriz Triangular Inferior (Matriz [L])

Para encontrar la matriz triangular inferior se busca hacer ceros los valores de arriba de cada pivote, así como también convertir en 1 cada pivote. Se utiliza el mismo concepto de "factor" explicado anteriormente y se ubican todos los "factores" debajo de la diagonal según corresponda en cada uno.

Esquemáticamente se busca lo siguiente:

  Originalmente se tenía:

Debido a que [A] = [L][U], al encontrar [L] y [U] a partir de [A] no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente:

Por lo tanto, si Ax = b, entonces LUx = b, de manera que Ax = LUx = b.

Método de Gauss Jordán

Es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

d1 = x d2 = y d3 = z

Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del número que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3º fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del método, es útil para facilitar cálculos posteriores.

Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 3ª fila, 2ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto será 17; lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 3ª fila.

A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a parecerse a la matriz identidad.Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3ª fila, 3ª columna de la matriz identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estábamos trabajando, es decir que vamos a multiplicar toda la 3ª fila por el inverso del número que se encuentre en la posición de la 3ª fila, 3ª columna, en este caso 96/13, cuyo inverso será 13/96.

Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por encima del 1 de la 3ª columna de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y ½ cuyos opuestos serán - 11/13 y -½, respectivamente.Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 3ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 1ª fila se multiplicara a -½ (opuesto de ½) por cada uno de los elementos de la 3º fila y se sumaran sus resultados con el número que le corresponda en columna de la primera fila.

El último paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1ª columna, 2ª fila de la matriz identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del número que se ubica en la 1ª columna, 2ª fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto será - 3/2, lo que hacemos ahora es multiplicar este número por todos los elementos de la 2ª fila y sumar esos resultados con el número que le corresponde en columna de la 1ª fila.

Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscábamos, y en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondiéndose de este modo:x= 1y= -1z= 2

Luego, el sistema de ecuaciones está resuelto y por último lo verificamos.2x + 3y + z = 1 3x – 2y – 4z = -3 5x – y – z = 42*1+3*(-1)+2=1 3*1- 2*(-1)-4*2=-3 5*1-(-1)-2 =42 -3 +2 =1 3 +2 - 8= -3 5 +1 - 2 = 4

1 = 1 -3 = -3 4= 4