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Tabla de Contenido

1 Elementos de la teorıa de conjuntos 2

1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Axiomatizacion de la teorıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Apendice: Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) . . . . . . 22

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Relaciones y funciones 31

2.1 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 Relaciones de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Relaciones de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.5 Productos cartesianos arbitrarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3 Estructuras algebraicas 78

3.1 Leyes de composicion interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2 Estructura de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

3.3 Estructura de anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.4 Estructura de cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.5 Leyes de composicion externa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.6 Estructura de espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3.7 Estructura de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4 Numeros 87

4.1 Numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.2 El teorema de recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Aritmetica de los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.4 Numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.5 Numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.6 Sucesiones de Cauchy de numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . 97

4.7 Numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

ii

1

Elementos de la teorıa de conjuntos

1 Introduccion 2

2 Axiomatizacion de la teorıa de conjuntos 3

3 Algebra de conjuntos 10

3.1 Producto cartesiano 14

3.2 Familias de conjuntos 16

Apendice

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) 22

Problemas 23

1 Elementos de la teorıa de conjuntos

1.1 Introduccion

La teorıa de conjuntos es un lenguaje, sin ella, no solo es imposible hacer matematicas,

sino que ni siquiera podemos decir de que se trata esta, de ahı que ”los matematicos

estan de acuerdo en que cada uno de ellos debe saber algo de Teorıa de Conjuntos;

el desacuerdo comienza al tratar de decidir que tanto es algo”.

Existen dos formas de la teorıa de conjuntos, una intuitiva, la cual funciona

bien en primeros cursos de matematicas, pero no es conveniente para cursos de

matematicas superiores, en donde se prefiere una teorıa axiomatica. La teorıa de

conjuntos tiene su origen con la celebre ”definicion” dada por el matematico aleman

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918): ”Se entiende por conjunto a

la agrupacion en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuicion o nuestra

mente”, esta definicion dista un poco de la comun definicion: ”Los conjuntos son

colecciones de objetos con alguna propiedad comun”. Esta definicion es en sı vaga.

Ejemplifiquemos esto; consideremos el ”conjunto de todos los borregos gordos”,

la primer observacion que debemos hacer es que quiere decir gordo (es decir, que tan

gordo es gordo), pues solo ası, si nos presentan un borrego podremos determinar si

es o no gordo. Tomemos otro ejemplo, el ”conjunto de todos los numeros naturales

que pueden ser escritos (con papel y lapiz) en notacion decimal”. Es claro que 0

puede ser escrito, y si un numero n puede ser escrito, entonces seguramente n + 1

puede ser escrito, y por el familiar principio de induccion, cualquier numero n puede

ser escrito. Pero, habra alguien que pueda escribir el numero 101010? Este numero

en notacion decimal requiere de un 1 y 1010 ceros, que para lograr escribirse requiere

de al menos trescientos anos de trabajo continuo anotando un cero por segundo.

Los problemas que se han generado aquı es el concepto vago que tiene ”gordo” y

”puede”, esto se podrıa remediar diciendo explıcitamente que significa ”puede” o

especificar que es ”gordo”; por ejemplo, definiendo que un borrego es gordo si su

masa es mayor a los cien kilogramos.

Aun cuando especifiquemos la propiedad que definirıa un conjunto, sigue siendo

complicado determinar los elementos que satisfacen dicha propiedad, ejemplifique-

mos tal situacion. ”Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato habıa

un barbero llamado As-Samet, ducho en afeitar cabezas y barbas, maestro en as-

Elementos de la teorıa de conjuntos 3

camodar sanguijuelas. Un dıa el Emir, dandose cuenta de la escasez de barberos en

el emirato, dio ordenes de que todos los barberos solo afeitaran a aquellas personas

que no pudieran hacerlo por sı mismas (todas las personas en este pueblo tienen

que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellas mismas). Un dıa el barbero fue

llamado a afeitar al Emir y le conto a este sus congojas.

- En mi pueblo soy el unico barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por

mı mismo y por lo tanto, no deberıa afeitarme el barbero de mi pueblo que soy yo!

Pero si no me afeito, lo debe hacer un barbero por mı pero no hay allı mas barbero

que yo!

El emir penso que tales razonamientos eran muy profundos, a tal grado que

premio al barbero con la mano de la mas virtuosa de sus hijas, y el barbero vivio

eternamente feliz.”

Consideremos como P(x) la propiedad ”el habitante x del pueblo no se afeita a

sı mismo (y, por tanto, es afeitado por el barbero)”. Sea b el barbero. La cuestion

es: b tiene o no la propiedad?, es decir, P(b) se verifica o no? Si b tiene la propiedad,

entonces b no se afeita a sı mismo y es afeitado por el barbero. Pero b es el barbero,

ası que se afeita a sı mismo. Esto signifa que b no tiene la propiedad. Si b no

tiene la propiedad, entonces b se afeita a sı mismo y por lo tanto, no es afeitado

por el barbero. Como b es el barbero, entonces b no se afeita a sı mismo, ası que

tiene la propiedad. En conclusion, no sabemos si b tiene o no la propiedad, pues

la propiedad P(b) es cierta y falsa a la vez, es una paradoja (la paradoja aquı

presentada es frecuentemente conocida como paradoja del barbero).

Los ejemplos mostrados anteriormente (al igual que otros similares) no definen

conjuntos, pues la propiedad no esta bien definida. Por lo cual, una propiedad es

una proposicion tal que para cualquier objeto es posible decir, sin ambiguedad, si

dicho objeto la verifica.

Sin embargo, para poder hacer una teorıa de conjuntos solidamente construida es

necesario partir de una serie de axiomas (como los que se expondran en la siguiente

seccion y que es la axiomatizacion mas facil para acercase a la teorıa de conjuntos)

y partir de allı para construir toda la teorıa.

1.2 Axiomatizacion de la teorıa de conjuntos

Para comenzar con nuestra axiomatizacion es necesario saber que no se examina

directamente el significado de los terminos primitivos, tal como en la geometrıa,

no se examinan los significados de ”punto”, ”recta”, ”plano”, pero a partir de sus


axiomas se deducen todos los teoremas sin recurrir a los significados intuitivos de

los terminos primitivos.

Las nociones primitivas de la teorıa de conjuntos son ”conjunto” y la relacion de

pertenencia ”ser elemento de”, la cual se simboliza por ∈1, su negacion: x no es un

elemento o miembro de y la denotamos con x 6∈ y. Denotaremos un conjunto con

letras mayusculas y, cuando sea posible, indicaremos la jerarquıa de un conjunto

denotandolo con letras caligraficas.

La axiomatizacion que se expondra aquı corresponde a la de Zermelo-Fraenkel

(comunmente conocida como ZF), dicho sistema puede o no poseer el axioma de

eleccion (cuando lo posee se le conoce sistema de Zermelo-Fraenkel con eleccion

o ZFC). El primer axioma que postularemos es que existe al menos un conjunto,

concretamente postularemos la existencia de un conjunto vacıo. Dado que posteri-

ormente se formulara una suposicion de existencia mas profunda y util, la siguiente

solo juega un papel temporal.

Axioma C1. (de existencia): Existe un conjunto que no tiene elementos.

Un conjunto de esta naturaleza puede ser descrito de muchas formas, ”el conjunto

de elementos que son diferentes de sı mismos”, ”el conjunto de numeros reales que

satisfacen la ecuacion x2 + 4 = 0”. Aunque todas estas definiciones nos determinan

el mismo conjunto (conjunto vacıo), no podemos probar tal afirmacion, para esto

necesitamos de un axioma que indique que un conjunto esta determinado por sus

elementos.

Axioma C2. (de extension): Si todo elemento de X es elemento de Y , y todo

elemento de Y es elemento de X entonces X = Y .

Este axioma puede expresarse tambien diciendo que dos conjuntos son identicos

si tienen los mismos elementos, es decir:

X = Y ⇐⇒ (∀x : x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) ∧ (∀x : x ∈ Y ⇒ x ∈ X)

Notese que el axioma de extension no es solo una propiedad logicamente necesaria

de la igualdad, sino que es una proposicion no trivial acerca de la pertenencia.

Proposicion 1.1. Hay un unico conjunto que no tiene elementos.

1El sımbolo ∈ es una abreviacion de la palabra griega εστ ι (estar) y fue introducido por primeravez por Peano en 1895.


DEMOSTRACION:

Asumamos dos conjuntos A y B, los cuales no tienen elementos. Entonces todo

elemento de A es un elemento de B (puesto que A no tiene elementos la proposicion

”a ∈ A ⇒ a ∈ B” es automaticamente cierta). Similarmente todo elemento de B es

un elemento de A, y por el teorema de extension concluimos que A = B •La proposicion anterior nos permite hacer la siguiente

Definicion. El unico conjunto que no tiene elementos se llamado conjunto vacıo y

es denotado por ∅.El siguiente axioma es uno de los mas importantes, pues permite la construccion

de nuevos conjuntos a partir de otros ya existentes.

Axioma C3. (Esquema de comprension). Sea P(x) una propiedad de x. Para

cualquier conjunto A hay un conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y P(x).

Observese que el axioma esquema de comprension es realmente una coleccion

infinita de axiomas, uno por cada eleccion de la propiedad P(x).

Por ejemplo, si P(x) es x = x el axioma dice: Para cualquier conjunto A, hay

un conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y x = x. (En este caso obtendremos

A = B). La propiedad P(x) puede depender de otras variables p, q, . . . , r; en este

caso, el correspondiente axioma postula que para cualquier eleccion de las variables

p, q, . . . , r y cualquier conjunto A, hay un conjunto B (que depende de p, q, . . . , r

y A) que consiste exactamente de los elementos de A para los cuales se verifica

P(x, p, q, . . . , r).

Ejemplo 1.1. Si P y Q son conjuntos, entonces hay un conjunto R tal que x ∈ R

si y solo si x ∈ P y x ∈ Q.

DEMOSTRACION:

Considerese la propiedad P(x, q) de x y Q: ”x ∈ Q”. Por el axioma esquema de

comprension, para todo Q y cualquier P hay un conjunto R tal que x ∈ R si y solo

si x ∈ P y P(x, q), es decir, si y solo si x ∈ P y x ∈ Q •Lema 1.1. Sea P(x) una propiedad de x. Para todo conjunto A hay un unico

conjunto B tal que x ∈ B si y solo si x ∈ A y P(x).

DEMOSTRACION:

Supongamos que la propiedad P(x) se cumple para los conjuntos B y B′, es

decir, x ∈ B si y solo si x ∈ A y P(x) y x ∈ B′ si y solo si x ∈ A y P(x), entonces

x ∈ B si y solo si x ∈ B′, por lo cual B = B′, por el axioma de extension •


Como el conjunto B queda unıvocamente determinado, podemos hacer la sigu-

iente

Definicion. {x ∈ A : P(x)} es el conjunto de todos los x ∈ A con la propiedad

P(x).

Nuestro sistema axiomatico, no es muy poderoso hasta este momento, pues el

unico conjunto que hemos postulado es el conjunto vacıo, y las aplicaciones del

axioma esquema de comprension nos conduciran nuevamente al conjunto vacıo. por

lo cual necesitamos otros axiomas que nos produzcan conjuntos.

Axioma C4. (del Par): Para cualesquiera a y b hay un conjunto C tal que x ∈ C

si y solo si x = a o x = b.

Ası, a ∈ C y b ∈ C, y no hay otros elementos en C. Por el axioma de extension,

el conjunto C es unico. Observese que este axioma asegura que todo conjunto es

un elemento de algun conjunto y dos conjuntos cualesquiera son simultaneamente

elementos de algun mismo conjunto.

Definicion. el par no ordenado de a y b es el conjunto que tiene a a y a b como

elementos, y se denota por {a, b}.

Definicion. Se llama conjunto singular o unitario al par no ordenado {a, a} y se

denota simplemente por {a}.

Ejemplo 1.2. Sean A = ∅ y B = ∅, entonces {∅} = {∅, ∅} es un conjunto tal

que ∅ ∈ {∅}. Notese que ∅ 6= {∅}, puesto que ∅ no tiene elementos y {∅} tiene un

elemento.

Ejemplo 1.3. Sean A = ∅ y B = {∅}, entonces ∅ ∈ {∅, {∅}} y {∅} ∈ {∅, {∅}};notese que ∅ y {∅} son los unicos elementos de {∅, {∅}}. Observese que ∅ 6= {∅, {∅}}y {∅} 6= {∅, {∅}}.

Ejemplo 1.4. Sean A = {∅} y B = {∅}, entonces ∅ ∈ {∅} y {∅} ∈ {{∅}}, pero

∅ /∈ {{∅}}, puesto que el unico elemento del conjunto {{∅}} es {∅}, y por el ejemplo

2, ∅ 6= {∅}. No es dificil deducir ∅ 6= {{∅}} y {∅ 6= {{∅}}.El ejemplo anterior nos permite construir muchos conjuntos singulares como:

{∅}, {{∅}}, {{{∅}}}, · · · , {· · · {{∅}} · · ·}, o bien pares no ordenados como: {∅, {∅}}, {∅, {∅, {∅}}}.Hay que notar que no debemos confundir los conjuntos de un solo elemento con el

elemento mismo, no es cierto que x y {x} sean iguales, es facil confirmarlo, puesto

que {x} solo tiene un miembro, mientras que x puede tener cualquier numero de

miembros.


Axioma C5. (de Union): Para cualquier conjunto S, existe un conjunto U tal que

x ∈ U si y solo si x ∈ X para algun X ∈ S.

Este axioma nos permite hacer la siguiente

Definicion. El conjunto U es llamado union de S y es denotado por⋃

S. Por el

axioma de extension, este conjunto es unico.

Definicion. Decimos que S es un sistema de conjuntos o familia de conjuntos

cuando los elementos de S son conjuntos.

La union de una familia de conjuntos S es el conjunto de todos los x que

pertenecen a algun conjunto que forma parte de la familia S.

Ejemplo 1.5. Sea S = {∅, {∅}}. Entonces x ∈ ⋃S si y solo si x ∈ A para algun

A ∈ S, es decir, si y solo si x ∈ ∅ o x ∈ {∅}. Por lo tanto x ∈ ⋃S si y solo si x = ∅,

ası⋃

S = {∅}.

Ejemplo 1.6.⋃ ∅ = ∅.

Ejemplo 1.7. Sean A y B conjuntos, x ∈ ⋃{A,B} si y solo si x ∈ A o x ∈ B. El

conjunto⋃{A,B} es llamado la union de A y B y es denotado por A ∪B.

Observese que el axioma del par y el axioma de union son necesarios para definir

la union de dos conjuntos, y el axioma de extension es necesario para garantizar su

unicidad. Notese que la union de dos conjuntos tiene el significado usual:

x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B

Ejemplo 1.8. {{∅}} ∪ {∅, {∅}} = {∅, {∅}}.

Ejemplo 1.9. Si A = {∅, {∅}} y B = {{{∅}}}, entonces el par no ordenado de A

y B es distinito de A ∪B.

Dados a, b y c, puede probarse la unicidad del conjunto P cuyos elementos son

a, b y c, dicho conjunto puede ser P = {a, b} ∪ {c} y se denota por P = {a, b, c}.Se le llama terna no ordenada de a, b y c. De forma similar pueden definirse una

cuarteta, quinteta, sexteta no ordenada.

Definicion. A es un subconjunto de B si cualquier elemento de A pertenece a B.

Es decir, A es un subconjunto de B si, para todo x, x ∈ A implica x ∈ B, y se

denota por A ⊆ B o B ⊇ A. Observese que todo conjunto es subconjunto de sı

mismo.


Ejemplo 1.10. {∅} ⊆ {∅, {∅}} y {{∅}} ⊆ {∅, {∅}}.

Ejemplo 1.11. x ∈ A si y solo si {x} ⊆ A.

Ejemplo 1.12. ∅ ⊆ A y A ⊆ A para todo conjunto A.

Ejemplo 1.13. Para cualesquiera conjuntos A,B y C tales que A ⊆ B y B ⊆ C

se tiene que A ⊆ C.

El axioma esquema de comprension puede utilizarse como un axioma que nos

permita la formacion de subconjuntos.

Ejemplo 1.14. {x ∈ A : P(x)} ⊆ A.

Ejemplo 1.15. Si A ∈ S entonces A ⊆ ⋃S.

Si A y B son dos conjuntos tales que A ⊆ B y B ⊆ A, entonces A y B tienen

los mismos elementos y, por el axioma de extension A = B. De hecho el axioma de

extension puede ser formulado de la siguiente forma Si A y B son dos conjuntos,

una condicion necesaria y suficiente para que A = B es que A ⊆ B y B ⊆ A

simultaneamente.

Axioma C6. (del conjunto potencia): Para cualquier conjunto X existe un con-

junto S tal que A ∈ S si y solo si A ⊆ X.

Este axioma nos permite hacer la siguiente

Definicion. Al conjunto S de todos los conjuntos de X, se le llama el conjunto

potencia de X y es denotado por P(X). Observese que esta unıvocamente determi-

nado.

Ejemplo 1.16. P(∅) = {∅}.

Ejemplo 1.17. P({a}) = {∅, {a}}.

Ejemplo 1.18. P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.

Ejemplo 1.19. Para cualquier conjunto X, siempre ∅, X ∈ P(X). En particular

siempre se cumple P(X) 6= ∅ para cualquier X.

Ejemplo 1.20. Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

Ejemplo 1.21. Si X = {∅, a, b, {a}} y A = {a} ⊆ X entonces P(A) ⊆ X.


Ejemplo 1.22. Si X = {∅, a, b} y A = {a} entonces P(A) 6⊆ X.

Axioma C7. (de fundacion): En cada conjunto no vacıo A existe u ∈ A tal que

u y A no tienen elementos en comun, es decir, para cualquier x, si x ∈ A entonces

x /∈ u.

La finalidad de este axioma es postular que ”conjuntos” de cierto tipo no existen,

esta restriccion no es contradictoria (dicho de otro modo, es consistente con los otros

axiomas) y es irrelevante para el desarrollo de los numeros naturales, reles, y de

hecho, para casi todas las matematicas ordinarias. Sin embargo, es muy util en las

matematicas de la teorıa de conjuntos.

Ejemplo 1.23. Si A = {{∅}, {∅, {∅}}} entonces u = {∅} y A no tienen elementos

en comun.

Ejemplo 1.24. Si ∅ ∈ A entonces, tomando a u = ∅ tenemos que u y A no tienen

elementos en comun.

Teorema 1.1.

1. Ningun conjunto no vacıo puede ser elemento de sı mismo, es decir, para

cualquier X 6= ∅, X /∈ X.

2. Si A y B son conjuntos no vacıos, entonces no es posible que ocurran si-

multaneamente A ∈ B y B ∈ A.

DEMOSTRACION:

a) Supongamos que existe un conjunto no vacıo X tal que X ∈ X. Por el axioma

del par, {X} tambien es un conjunto, y puesto que X es el unico miembro de {X},el conjunto {X} contradice el axioma de fundacion, ya que X y {X} tienen a X

como elemento comun, es decir, todo elemento de {X} tiene un elemento conun con

{X}.b) La demostracion es similar, considere el par no ordenado {A,B} y proceda

de modo analogo •Del teorema anterior, podemos deducir que no pueden existir ciclos de la forma

A ∈ B ∈ A.

Nuestra lista de axiomas no esta completa, pospondremos los restanes para

capıtulos posteriores, cuando se hayan dado las y definiciones y teoremas necesarios

para entenderlos.


Para finalizar esta seccion introduciremos una notacion. Sea P(x) una propiedad

de x (y, posiblemente de otros parametros). Si hay un conjunto A tal que para todo

x, P(x) implica x ∈ A, entonces {x ∈ A : P(x)} existe, y no depende de quien

sea el conjunto A. Es decir, supongamos que exista A′ tal que para todo x, P(x)

implica x ∈ A′, entonces

{x ∈ A′ : P(x)} = {x ∈ A : P(x)}

podemos entonces expresar {x : P(x)} como el conjunto {x ∈ A : P(x)}, donde

A es cualquier conjunto para el que P(x) implica x ∈ A. Ası, {x : P(x)} denota al

conjunto de todo x que tiene la propiedad P(x), hay que recordar que esta notacion

puede ser usada solamente despues que se haya probado que algun conjunto A

contiene a todos los x con la propiedad P(x).

Ejemplo 1.25. {x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} existe.

DEMOSTRACION:

Sea P(x, P, Q) la propiedad ”x ∈ P y x ∈ Q”. Sea A = P ; entonces P(x, P,Q)

implica x ∈ A. Por lo cual

{x : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} = {x ∈ P : (x ∈ P ) ∧ (x ∈ Q)} = {x ∈ P : x ∈ Q}

es el conjunto del ejemplo 1.1 •Ejemplo 1.26. {x : (x = a) ∨ (x = b)} existe.

Para demostrar este ejemplo tomese A = {a, b} y demuestrese que A = {x : (x =

a) ∨ (x = b)}

1.3 Algebra de conjuntos

En el capıtulo anterior se definio un subconjunto (A es subconjunto de B, A ⊆ B,

si todo elemento de A es tambien un elemento de B). La relacion de contencion ⊆posee las siguientes propiedades:

• Es reflexiva: A ⊆ A.

• Es transitiva: Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C.

• Es antisimetrica: A ⊆ B y B ⊆ A si y solo si A = B.

En los ejemplos 1.1 y 1.7 introdujimos dos conjuntos muy utiles, hagamos ahora una

definicion mas formal:


Definicion. Si A y B son conjuntos, la union de A y B es el conjunto

A ∪B = {x : (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}

Definicion. Si A y B son conjuntos, la interseccion de A y B es el conjunto

A ∩B = {x : (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}

Acorde a la definicion anterior, una condicion necesaria y suficiente para que

A ∩B 6= ∅ es que A y B tengan elementos en comun.

Definicion. A los conjuntos A y B se les llama ajenos o disjuntos si A ∩B = ∅.Con estas definiciones, podemos formular el axioma de fundacion de la forma

En cada conjunto no vacıo A existe un elemento u ∈ A que es ajeno a A, es decir

u ∩ A = ∅.Teorema 1.2. Para cualesquiera conjuntos A, B, C, D tenemos:

a) A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪B.

b) Si A ⊆ C y B ⊆ D entonces A ∩B ⊆ C ∩D y A ∪B ⊆ C ∪D.

c) A ⊆ C y B ⊆ C si y solo si A ∪B ⊆ C.

DEMOSTRACION:

a) Si x ∈ A ∩ B entonces x ∈ A y x ∈ B, ası en particular x ∈ A, es decir

A ∩ B ⊆ A. Por otra parte, para cualquier x ∈ A se tiene que x ∈ A ∪ B por

deficinion de A ∪B, es decir, A ⊆ A ∪B.

b) y c) Quedan como ejercicios •Teorema 1.3. Las operaciones ∩ y ∪ son:

a) Reflexivas para todo A: A ∩ A = A = A ∪ A.

b) Asociativas: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C y A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C.

c) Conmutativas: A ∩B = B ∩ A y A ∪B = B ∪ A.

Mas aun, ∩ distribuye sobre ∪ y ∪ distribuye sobre ∩:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C) y A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C).

Del teorema anterior, gracias a que dichas operaciones son asociativas, podemos

designar a A∪ (B ∪C) simplemente por A∪B ∪C, puesto que por la asociatividad

no son necesarios los parentesis. Similarmente, la union y la interseccion de cuatro

conjuntos, digamos (A∪B)∪(C∪D) puede ser escrito brevemente como A∪B∪C∪D,

observese que por la conmutatividad el orden de los terminos es irrelevante. De la

misma forma, esta observacion es aplicable a la union y a la interseccion de cualquier


numero finito de conjuntos. La union y la interseccion de n conjuntos son escritas

como:n⋃

k=1

Ak

n⋂

k=1

Ak

Teorema 1.4. Los siguientes enunciados son equivalentes:

a) A ⊆ B.

b) A = A ∩B.

c) B = A ∪B.

DEMOSTRACION:

a)⇒ b). Supongamos que A ⊆ B. Por el teorema 1.2(a) sabemos que A∩B ⊆ A.

Ahora, si x ∈ A entonces x ∈ A y x ∈ B (puesto que A ⊆ B), es decir, x ∈ A∩B.

Por lo tanto, A ⊆ A ∩B. Ası concluimos que A = A ∩B.

b) ⇒ c). Si A = A ∩ B entonces se tienen las siguientes implicaciones: x ∈A ∪ B ⇒ (x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ⇒ (x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ B) ⇒ x ∈ B, lo cual muestra

que A ∪ B ⊆ B, y nuevamente, el teorema 1.2(a) nos proporciona B ⊆ A ∪ B. Por

lo tanto B = A ∪B.

c) ⇒ a) Si B = A ∪B entonces A ⊆ A ∪B = B •Definicion. La diferencia de dos conjuntos A y B es

A\B = {x ∈ A : x /∈ B}

Ejemplo 1.27. Si A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} y B = {x ∈ R : 12

< x ≤ 2},entonces A\B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1

2}.

Ejemplo 1.28. A\∅ = A y A\B = A\(A ∩B).

Ejemplo 1.29. Si A\B = A, entonces A ∩B = ∅.

Ejemplo 1.30. A\B = ∅ si y solo si A ⊆ B.

Observese que por la propia definicion, la diferencia de conjuntos no es conmu-

tativa, lo que implica que sus propiedades no sean tan simples como ∩ y ∪, por

ejemplo, si A 6= ∅, (A ∪ A)\A 6= A ∪ (A\A).

Proposicion 1.2. Para conjuntos arbitrarios A y B tenemos que A∩B = A\(A\B).

DEMOSTRACION:

Se deja como ejercicio •Definicion. Si A ⊆ B, el comlemento de A con respecto de B es el conjunto B\A.


Teorema 1.5. Para cualesquiera dos conjuntos A y B, y cualquier conjunto E que

contenga a A ∪B

A\B = A ∩ (E\B)

DEMOSTRACION:

Como A ∪ B ⊆ E, tenemos que A\B = {x ∈ E : (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)} = {x ∈E : x ∈ A} ∩ {x ∈ E : x /∈ B} = A ∩ (E\B) •Teorema 1.6. Si E es un conjunto que contiene a A ∪B, entonces:

a) A ∩ (E\A) = ∅ , A ∪ (E\A) = E.

b) E\(E\A) = A.

c) E\∅ = E , E\E = ∅.d) A ⊆ B si y solo si E\B ⊆ E\A.

DEMOSTRACION:

Se dejan como ejercicio •Teorema 1.7. (Leyes de De Morgan). Si A,B ⊆ X, entonces:

a) X\(A ∪B) = (X\A) ∩ (X\B).

b) X\(A ∩B) = (X\A) ∪ (X\B).

DEMOSTRACION:

a) x ∈ X\(A ∪ B) =⇒ x ∈ X ∧ x /∈ A ∪ B =⇒ x ∈ X, x /∈ A ∧ x /∈ B =⇒ x ∈X\A ∧ x ∈ X\B.

b) X\[(X\A) ∪ (X\B)] = [X\(X\A)] ∩ [X\(X\B)] = A ∪ B =⇒ (X\A) ∪(X\B) = X\(A ∩B) •Definicion. Sean A y B conjuntos, se define la diferencia simetrica de A y B como:

A4B = {x ∈ A : x /∈ B} ∪ {x ∈ B : x /∈ A}

Las propiedades de la diferencia simetrica se encuentran en el siguiente

Teorema 1.8. Para conjuntos A,B y C se tiene:

a) A4∅ = A.

b) A4A = ∅.c) A4B = B4A.

d) (A4B)4C = A4(B4C).

e) A ∩ (B4C) = (A ∩B)4(A ∩ C).

f) Si A4B = A4C =⇒ B = C.


DEMOSTRACION:

Se deja como ejercicio •

Observese que, para cualesquiera dos conjuntos A y C existe exactamente un

conjunto B tal que A4B = C, a saber B = A4C, en otras palabras:

A4(A4C) = C

A4B = C =⇒ B = A4C

En efecto, del teorema 1.8(a,b,c) se tiene A4(A4C) = (A4A)4C = ∅4C =

C4∅ = C. De igual forma, si hacemos A4B = C tendremos A4C = A4(A4B) =

(A4A)4B = ∅4B = B, es decir, la diferencia simetrica es inversa de sı misma.

1.3.1 Producto cartesiano

En este apartado vamos a introducir otro conjunto construido a partir de los con-

juntos A y B, se le llama producto cartesiano de A y B y se denota por A×B. Este

producto es una de las construcciones mas importantes de la teorıa de conjuntos,

pues permite expresar muchos conceptos fundamentales de matematicas en terminos

de conjuntos. A diferencia de los elementos de la union y de la interseccion, los el-

ementos del producto cartesiano son de naturaleza distinta a los elementos de A y

de B, ya que A × B consiste de parejas ordenadas (en un momento se definen), es

decir, de entidades que consisten de dos objetos en un orden especıfico.

Definicion. Se define el par ordenado de elementos a y b como

(a, b) = {{a}, {a, b}}

Observese que tiene dos propiedades:

a) Dados dos objetos a y b, existe un objeto (a, b) que esta unıvocamente de-

terminado por a y b. En efecto, si a 6= b, (a, b) tiene dos elementos, un singular

{a} y un par no ordenado {a, b}. La primera coordenada de (a,b) es el elemento

que pertenece a ambos conjuntos, a; y la segunda coordenada es el elemento que

pertenece solo a uno de los conjuntos, b. Si a = b, entonces (a, a) = {{a}, {a, a}}tiene un unico elemento, en este caso ambas coordenadas son iguales. Observese que

(a, b) ⊆ P({a, b}).b) Si (a, b) y (c, d) son dos pares ordenados, entonces (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a =

c ∧ b = d. Para demostrar esta propiedad (⇐) supongamos que a = c ∧ b =

d =⇒ (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}} = (c, d). Supongamos ahora (⇒) que


{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}. Si a 6= b, entonces debe suceder que {a} = {c} ∧{a, b} = {c, d} =⇒ a = c =⇒ {a, b} = {a, d} =⇒ b = d. Si a = b, {{a}, {a, b}} =

{{a}} =⇒ {a} = {c} ∧ {a} = {c, d} =⇒ a = c = d =⇒ a = c ∧ b = d.

Habiendo ya definido un par ordenado, podemos definir tambien ternas orde-

nadas

(a, b, c) = ((a, b), c)

cuartetas ordenadas

(a, b, c, d) = ((a, b, c), d)

etc. Es evidente que las propiedades sitadas en el parrafo anterior se cumplen.

Definicion. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A

y de B denotado por A×B, es el conjunto que consistente de todos aquellos pares

ordenados (a, b) tales que a ∈ A ∧ b ∈ B, esto es

A×B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}Proposicion 1.3. Para cualesquiera A y B, A×B es un conjunto.

DEMOSTRACION:

Del ejemplo 1.20 tenemos que si a ∈ A∧b ∈ B =⇒ P({a, b}) ⊆ P(A∪B), y como

(a, b) ⊆ P({a, b}), se sigue que cuando a ∈ A∧b ∈ B se tiene que (a, b) ⊆ P(A∪B),

es decir, (a, b) ∈ P (P(A ∪B)). Por lo cual

A×B = {(a, b) ∈ P (P(A ∪B)) : a ∈ A ∧ b ∈ B}Ya que P (P(A ∪B)) existe, la existencia de A × B como conjunto se sigue del

Axioma Esquema de Comprension •Denotaremos A × A por A2. Para ser consistentemos con la definicion de una

terna ordenada introducimos el producto cartesiano de tres conjuntos A,B y C como

A×B × C = (A×B)× C

Notese que

A×B × C = {(a, b, c) : a ∈ A ∧ b ∈ B ∧ c ∈ C}De modo analogo, denotaremos A× A× A por A3, y ası sucesivamente.

Ejemplo 1.31. Sean A = {1, 2, 3} y B = {2, 4, 5}. Entonces

A×B = {(1, 2), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5)}Ejemplo 1.32. Si A = R = B, entonces A × B = {(x, y) : x, y ∈ R} = R2 es el

plano usual de la geometrıa analıtica.


Ejemplo 1.33. Sea A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} y B = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}Entonces, A×B es el conjunto de los puntos de R3 que estan en el cilindro unitario

de altura 1.

Teorema 1.9. a) A×B = ∅ ⇐⇒ A = ∅ ∨B = ∅.b) Si C ×D 6= ∅ =⇒ C ×D ⊆ A×B ⇐⇒ C ⊆ A ∧D ⊆ B.

c) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C)

d) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

DEMOSTRACION:

a) Es inmediata si se parte de las definiciones.

b) Supongamos (⇒) que C × D ⊆ A × B. Puesto que C × D 6= ∅, aplicando

a) obtenemos que C 6= ∅ ∧D 6= ∅. Sean c ∈ C ∧ d ∈ D elementos arbitrarios. Por

definicion (c, d) ∈ C×D, luego (c, d) ∈ A×B, lo cual implica que c ∈ A∧d ∈ B. Por

lo tanto C ⊆ A ∧D ⊆ B. (⇐) Sea (c, d) ∈ C ×D. Entonces c ∈ C ∧ d ∈ D. Como

por hipotesis C ⊆ A ∧D ⊆ B, se tiene que c ∈ A ∧ d ∈ B, de aquı (c, d) ∈ A× B.

Por lo cual C ×D ⊆ A×B.

c) (x, y) ∈ A× (B ∪ C) ⇐⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B ∪C =⇒ x ∈ A ∧ y ∈ B ∨ y ∈ C =⇒x ∈ A ∧ y ∈ B o bien x ∈ A ∧ x ∈ C =⇒ (x, y) ∈ A × B ∨ (x, y) ∈ A × C =⇒(x, y) ∈ (A×B) ∪ (A× C).

d) Se deja como ejercicio •Para conjuntos no vacıos A y B se tine que A× B = B × A si y solo si A = B,

es decir, el producto cartesiano no es conmutativo.

1.3.2 Familias de conjuntos

Hemos introducido un tipo de conjuntos muy especial: los sistemas o familias de

conjuntos. Una caracteristica de estos conjuntos es que tienen conjuntos como ele-

mentos, ası, una familia de conjuntos es ”un conjunto de conjuntos”. La terminologıa

sistema o familia de conjuntos tiene por objeto resaltar el hecho de que trataremos

a los elementos de la familia como conjuntos mismos. Usualmente denotaremos las

familias de conjuntos con letras caligraficas tales como A,B, C, · · · ,Z. Las familias

de conjuntos juegan un papel muy importante en otras ramas de las matematicas,

donde el objetivo es estudiar a familias especiales de conjuntos. Por ejemplo, la

topologıa no es otra cosa que el estudio de las propiedades de un sistema especial

de subconjuntos de un conjunto dado X.


Ejemplo 1.34. A = {∅, {∅}} es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el

conjunto vacıo ∅ y el conjunto unitario {∅}.

Ejemplo 1.35. Sea M = {{x ∈ N : x es par}, {x ∈ N : x es impar}}. Entonces

M es un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto de los numeros

naturales pares y el conjunto de los numeros naturales impares. Observese que

N 6= M.

Ejemplo 1.36. Para cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X,P(X), es la

familia de todos los subconjutos de X.

Ejemplo 1.37. Una circunferencia en R2 con centro en el punto x ∈ R2 y radio

r > 0, la podemos considerar como el conjunto C(x, r) = {y ∈ R2 : | x − y |= r}.Sea Ex, la familia de todas las circunferencias en R2 con centro x ∈ R2, es decir,

Ex = {C(x, r) : r > 0}, y sea E = {Ex : x ∈ R2}. Entonces E es un sistema de

conjuntos cuyos elementos son familias de conjuntos. Note que ni los puntos de R2,

ni las circunferencias son elementos de E .

En base a los axiomas de union y esquema de comprension podemos hacer la

siguiente

Definicion. Sea F una familia no vacıa de conjuntos:

a) La union de la familia F es el conjunto

⋃F =⋃

A∈FA = {x : ∃A ∈ F , x ∈ A}

b) La interseccion de la familia F es el conjunto

⋂F =⋂

A∈FA = {x : ∀A ∈ F , x ∈ A}

No hay problema si uno de los elementos de F es el conjunto vacıo. Por otra

parte, el ejemplo 1.6 muestra que si F = ∅ =⇒ ⋃F = ∅; en efecto, aplicando lit-

eralmente el axioma de union, vemos que no existen x que satisfagan la propiedad

que define a la union de la familia F . Sin embargo, en el caso en que F = ∅ no

es posible definir a la interseccion de F , pues esto generarıa contradicciones dado

que cualquier x satisface la propiedad que define a la interseccion de F , es decir,

x ∈ A∀A ∈ F (puesto que no hay tales A). Ası,⋂ ∅ podrıa ser el ”conjunto de

todos los conjuntos”, por lo cual la interseccion de un familia vacıa de conjuntos no

esta definida.


Ejemplo 1.38. Sea M la familia definida en el ejemplo 1.35, =⇒ N =⋃M.

Ejemplo 1.39. Para cualquier conjunto X, X =⋃P(X).

Ejemplo 1.40. Si F = {A,B} =⇒ ⋃F = A∪B ∧⋂F = A∩B (ver ejemplo 1.7).

Ejemplo 1.41. Si F = {A} =⇒ ⋃F = A =⋂F .

Supongamos que tomamos un conjunto I 6= ∅ y que a cada α ∈ I le corresponde

un unico conjunto Aα. Al sistema A = {Aα : α ∈ I} le llamamos familia de

conjuntos indizada por el conjunto I. En este caso, se dice que I es el conjunto

de ındices de A. Notese que no se requiere que distintos ındices les correspondan

distintos conjuntos. Para referirnos a familiaz indizadas de conjutos, en ocasiones

emplearemos la forma breve {Aα}α∈I , o simplemente {Aα}α cuando sea claro el

conjunto de ındices que se esta usando.

Observacion. Cualquier familia no vacıa de conjuntos F puede considerarse como

una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ındices es el mismo F , a

saber: F = {FA : a ∈ F}, donde FA = A para cada A ∈ F .

Restringiremos nuestro estudio a familias indizadas no vacıas de conjuntos.

Ejemplo 1.42. Sean I = {1, 2, 3} y A1 = {1, 2, 5}, A2 = {5, 7, 1}, A3 = {2, 5, 7}.Entonces A = {Ai}i∈I es una familia indizada de conjuntos.

Ejemplo 1.43. Para x ∈ R2, la familia Ex del ejemplo 1.37 es una familia indizada

de conjuntos, donde el conjunto de ındices es el conjunto de los numeros reales

positivos I = {r ∈ R : r > 0}, si denotamos C(x, r) como Cr siendo r ∈ R+,

tendremos entomces Ex = {Cr : r ∈ R+} . Tambien el sistema E es una familia

indizada de conjuntos, aquı el conjunto de ındices es R2.

Con el concepto de familia indizada de conjuntos, la union de la familia F =

{Aα}α∈I puede denotarse como

⋃F =⋃{Aα : α ∈ I} =

⋃{Aα}α∈I =⋃

α∈I

Aα

y es el conjunto {x : ∃α ∈ I, tal que x ∈ Aα}. La interseccion es denotada por

⋂F =⋂{Aα : α ∈ I} =

⋂{Aα}α∈I =⋂

α∈I

Aα


y es el conjunto {x : ∀α ∈ I, x ∈ Aα}. Cuando el conjunto de ındices sea el conjunto

de los numeros naturales N, denotaremos con

∞⋃

n=0

An a⋃

n∈N

An

y con∞⋂

n=0

An a⋂

n∈N

An

Ejemplo 1.44. Para cualquier conjunto X, X =⋃{{x} : x ∈ X}.

Ejemplo 1.45. Sea Ak = {n ∈ N : n ≥ k}, k = 0, 1, 2, 3, · · ·. Note que A0 ⊇ A1 ⊇A2 ⊇ A3 ⊇ · · · y que

⋂∞k=0 Ak = ∅.

Ejemplo 1.46. Sean x ∈ R2 y Ex la familia indizada de conjuntos definida en el

ejemplo 1.37. Entonces⋃

Ex =⋃

r>0 C(x, r) = R2\{x} y⋂

Ex =⋂

r>0 C(x, r) = ∅.

Ejemplo 1.47. Si

C = {C ∈ P(R2) : Ces una circunferencia no degenerada}

y E es el sistema del ejemplo 1.37, entonces C =⋃ E .

Ejemplo 1.48. Si A ⊆ B =⇒ ⋂B ⊆ ⋂A.

Teorema 1.10. a)⋃

α distribuye sobre ∩ y⋂

α distribuye sobre ∪[ ⋃

α∈I

Aα

]∩

⋃

β∈J

Bβ

=

⋃{Aα ∩Bβ : (α, β) ∈ I × J} (1)

[ ⋂

α∈I

Aα

]∪

⋂

β∈J

Bβ

=

⋂{Aα ∪Bβ : (α, β) ∈ I × J} (2)

b) Si el complemento es tomado respecto a X, entonces:

X\⋃{Aα : α ∈ I} =⋂{X\Aα : α ∈ I} (3)

X\⋂{Aα : α ∈ I} =⋃{X\Aα : α ∈ I} (4)

c)⋃

α y⋂

α distribuyen sobre el producto cartesiano:

[ ⋃

α∈I

Aα

]×

⋃

β∈J

Bβ

=

⋃{Aα ×Bβ : (α, β) ∈ I × J} (5)


[ ⋂

α∈I

Aα

]×

⋂

β∈J

Bβ

=

⋂{Aα ×Bβ : (α, β) ∈ I × J} (6)

DEMOSTRACION:

a) x ∈ [⋃{Aα : α ∈ I}]∩[

⋃{Bβ : β ∈ J}], si y solo si x ∈ ⋃α∈I Aα y x ∈ ⋃

β∈J Bβ,

si y solo si x ∈ Aα0 para algun α0 ∈ I y x ∈ Bβ0 para algun β0 ∈ J , si y solo si

x ∈ Aα0 ∩Bβ0 , si y solo si x ∈ ⋃{Aα ∩Bβ : (α, β) ∈ I × J}. Lo cual demuestra (1).

De forma similar se establece (2).

b) x ∈ X\⋃{Aα : α ∈ I}, si y solo si x ∈ X y x /∈ ⋃α∈I Aα, si y solo si

x ∈ X y ∀α ∈ I : x /∈ Aα, si y solo si x ∈ X\Aα para cada α ∈ I, si y solo

si x ∈ ⋂{X\Aα : α ∈ I}. Lo cual demuestra (3). De forma analoga se puede

demostrar (4).

c) (a, b) ∈ [⋃{Aα : α ∈ I} × [

⋃{Bβ : β ∈ J}], si y solo si existen α ∈ I y

β ∈ J tales que a ∈ Aα y b ∈ Bβ, si y solo si (a, b) ∈ Aα × Bβ, si y solo si

(a, b) ∈ ⋃{Aα × Bβ : (α, β) ∈ I × J}. Lo cual demuestra (5). De forma similar se

demuestra (6) •Corolario 1.1. a) A ∩ ⋃{Aα : α ∈ I} =

⋃{A ∩ Aα : α ∈ I}b) A ∪ ⋂{Aα : α ∈ I} =

⋂{A ∪ Aα : α ∈ I}.c) A× ⋃{Aα : α ∈ I} =

⋃{A× Aα : α ∈ I}d) A× ⋂{Aα : α ∈ I} =

⋂{A× Aα : α ∈ I}.Teorema 1.11.

⋂α y P conmutan

⋂

α∈I

P(Aα) = P( ⋂

α∈I

Aα

)

sin embargo,⋃

α y P no conmutan, aunque

⋃

α∈I

P(Aα) ⊆ P( ⋃

α∈I

Aα

)

DEMOSTRACION:

A ∈ ⋂α∈I P(Aα) si y solo si para cada α ∈ I, A ∈ P(Aα), si y solo si para cada

α ∈ I, A ⊆ Aα, si y solo si A ⊆ ⋂α∈I Aα, si y solo si A ∈ P(

⋂α∈I Aα).

Si A ∈ ⋃α∈I P(Aα) entonces existe α ∈ I tal que A ∈ P(Aα), o sea, A ⊆ Aα ⊆⋃

α∈I Aα, lo que implica A ∈ P(⋃

α∈I Aα).

Para ver que⋃

α y P no conmutan, sean A1 = {1}, A2 = {2}, entonces:

⋃

α∈I

P(Aα) = {∅, {1}, {2}}


y

P( ⋃

α∈I

Aα

)= {∅, {1}, {2}, {1, 2}} •


Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)


PROBLEMAS

1.2 Axiomatizacion de la teorıa de conjuntos

1. Muestre que los conjuntos ∅, {∅}, · · · , {· · · {∅} · · ·} son distintos.

2. Indique cuales de las siguientes expresiones son falsas:

a) A = {A} b) {a, b} = {{a}, {b}} c) ∅ ∈ {∅}

3. Muestre el conjunto de todos los x tales que x ∈ A y x /∈ B existe.

4. Pruebe que para cualquier conjunto X hay algun a /∈ X.

5. Demuestre la unicidad del conjunto U asegurado por el axioma de union.

6. Pruebe que⋃ ∅ = ∅.

7. Verifique la afirmacion hecha en el ejemplo 1.9.

8. Sean A y B conjuntos. Muestre que existe un unico conjunto C tal que x ∈ C

si y solo si (x ∈ A y x /∈ B) o (x ∈ B y x /∈ A).

9. Demuestre que {a} = {b, c} si y solo si a = b = c.

10. Muestre que para cualesquiera conjuntos A,B y C existe un unico conjunto P

tal que x ∈ P si y solo si x = A o x = B o x = C. Generalice para cuatro o

mas elementos.

11. Demuestre que A ⊆ B si y solo si A = ∅.

12. Verifique las afirmaciones de los ejemplos 1.11, 1.12, 1.13 y 1.15.

13. Demuestre que si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).

14. Pruebe la afirmacion del ejemplo 1.26.

15. Complete la demostracion del teorema 1.1.

16. Pruebe que es imposible la existencia de un ciclo:

A0 ∈ A1 ∈ A2 ∈ · · · ∈ An ∈ A0

para toda n ∈ N.


17. a) Demuestre que para cualquier conjunto X es falso que P(X) ⊆ X. En

particular X 6= P(X).

b) Demuestre que el conjunto de todos los conjuntos no existe.

18. Reemplace el axioma de existencia por el siguiente axioma:

Axioma debil de existencia. Existe al menos un conjunto.

Deduzca el axioma de existencia unsando el axioma debil de existencia y el

axioma esquema de comprension.

19. El axioma de union, el axioma del par y el axioma del conjunto potencia

pueden reemplazarse por las siguinetes versiones mas debiles:

Axioma debil del par. Para cualesquiera a, b existe un conjunto C tal que

a ∈ C y b ∈ C.

Axioma debil de union. Para cualquier conjunto S existe un conjunto U

tal que si x ∈ A y A ∈ S entonces x ∈ U .

Axioma debil del conjunto potencia. Para cualequier conjunto S existe

un conjunto P tal que x ⊆ S implica x ∈ P .

Deduzca el axioma del par, el axioma de union y el axioma del conjunto

potencia usando las versiones debiles.

1.3 Algebra de conjuntos

20 Demuestre el teorema 1.2 partes b) y c) y el teorema 1.3.

21 a) Demuestre que si A ⊆ C =⇒ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ C.

b) Es necesaria la hipotesis A ⊆ B?

c) Demuestre que A ⊆ C ⇐⇒ A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ C.

22 Pruebe los ejercicios 1.28, 1.29 y 1.30.

23 Demuestre el teorema 1.6.

24 Pruebe que

(a) A\B = (A ∪B)\B.

(b) A\(B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).


(c) (A\C)\(B\C) = (A\B)\C.

(d) (A\C) ∪ (B\C) = (A ∪B)\C.

(e) (A\C) ∩ (B\C) = (A ∩B)\C.

(f) (A\B)\(A\C) = A ∩ (C\B).

(g) A1 ∪A2 ∪ · · · ∪An = (A1\A2) ∪ · · · ∪ (An−1\An) ∪ (An\A1) ∪ (⋃n

k=1 Ak).

(h) Si A,B ⊆ X =⇒ (X\A)\(X\B) = B\A.

25 Muestre que las siguientes proposiciones son falsas. De tambien un ejemplo

(a) A\B = B\A.

(b) A ⊆ (B ∪ C) =⇒ A ⊆ B o A ⊆ C.

(c) B ∪ C ⊆ A =⇒ B ⊆ A o C ⊆ A.

26 Sea X un conjunto que contiene a A ∪B

(a) Demuestre que si A ∪B = X =⇒ X\A ⊆ B.

(b) Demuestre que si A ∩B = ∅ =⇒ A ⊆ X\B.

(c) Demuestre que A = X\B ⇐⇒ A ∪B = X ∧ A ∩B = ∅.

27 Pruebe que el sistema de ecuaciones A∪X = A∪B, A∩X = ∅ tiene a lo mas

una solucion para X.

28 Sea A un conjunto. Demuestre que el ”complemento” de A no es un conjunto.

(El ”complemento” de A es el conjunto de todos los x /∈ A).

29 Pruebe el teorema 1.8.

30 Pruebe que A4B = ∅ ⇐⇒ A = B.

31 Pruebe que

A ∪B = A4B4(A ∩B)

A\B = A4(A ∩B)

32 Sean A,B dos conjuntos tales que A ∪B ⊆ E


(a) Demuestre que A4B = (A ∪B)\(A ∩B).

(b) Demuestre que (A4B) ∩ A = A\(A ∩B).

(c) Demuestre que E\(A4B) = (A ∩B) ∪ [E\(A ∪B)].

33 Demuestre que si A ∩B = ∅ ⇐⇒ A4B = A ∪B.

1.3.1 Producto cartesiano

34 Pruebe que (a, b) ⊆ P({a, b}).

35 Pruebe que (a, b), (a, b, c)y(a, b, c, d) existen para todo a, b, c y d.

36 Pruebe que (a, b, c) = (a′, b′, c′) si y solo si a = a′, b = b′ y c = c′.

37 Encuentre a, b y c tales que ((a, b), c) 6= (a, (b, c)) A pesr de este resultado,

puede definirse la terna ordenada de elementos a, b y c como (a, b, c) = (a, (b, c)),

y el producto cartesiano de A, B y C como A×B × C = A× (B × C).

38 Demuestre que A×B = B × A ⇐⇒ A = B.

39 Muestre que (este ejercicio muestra que × no es asociativo)

(a) A× (B × C) 6= (A×B)× C.

(b) A3 6= A× A2, es decir, (A× A)× A 6= A× (A× A).

39 Si A,B son conjuntos no vacıos y (A×B)∪ (B×A) = C ×C, demuestre que

A = B = C.

40 Pruebe la parte d) del teorema 1.9.

41 Demuestre que:

(a) (A ∪B)× C = (A× C) ∪ (B × C).

(b) (A ∩B)× C = (A× C) ∩ (B × C).

(c) A× (B\C) = (A×B)\(A× C).

(d) A× (B4C) = (A×B)4(A× C).

42 Sean A,B ⊆ X ∧ C, D ⊆ Y . Demuestre que


(a) (A× C) ∩ (B ×D) = (A∩)× (C ∩D).

(b) (A×C)∪ (B×D) ⊆ (A∪B)× (C ∪D). Muestre que es posible que no

se de la igualdad.

(c) (A ∪B)× (C ∪D) = (A× C) ∪ (B ×D) ∪ (A×D) ∪ (B × C).

(d) (X × Y )\(B × C) = ((X\B)× Y ) ∪ (X × (Y \C)).

43 Para dos conjuntos A y B, se define la union ajena de A y B como

AqB = (A× {x}) ∪ (B × {y})

donde x /∈ B , y /∈ A. Demuestre el analogo del teorema 1.3 para uniones

ajenas.

1.3.2 Familias de conjuntos

44 Sea M = {{x ∈ N : x es par}, {x ∈ N : x es impar}}. Muestre que M 6= N

y que N =⋃M.

45 Suponiendo que R es un conjunto, demuestre que los conjuntos definidos en

el ejemplo 1.37 existen.

46 Demuestre que ∃ ⋂F ∀ F 6= ∅. Es necesaria la hipotesis F 6= ∅ en la

demostracion? Explique.

47 Muestre que para cualquier conjunto X,⋂P(X) = ∅.

48 SeaF una familia de conjuntos. Pruebe que⋃F = ∅ si y solo si F = ∅ o

A ∈ F implica A = ∅.

49 Verifique los ejemplos 1.46, 1.47 y 1.48.

50 Si A y B son conjuntos y X es el par ordenado (A,B), pruebe

(a)⋃

X = {A, B}.

(b)⋂

X = {A}.

(c)⋃

(⋂

X) = A.

(d)⋂

(⋂

X) = A.


(e)⋃

(⋃

X) = A ∪B.

(f)⋂

(⋃

X) = A ∩B.

51 Supongase que se sabe que la familia X es un par ordenado. use los resultados

del ejercicio anterior para obtener la primea y la segunda coordenadas de X.

52 Pruebe las ecuaciones (2), (4) y (6) del teorema 1.10.

53 Una familia de conjuntos se dice ajena por pares si para cualesquiera A, B ∈ Fcon A 6= B se tiene que A ∩ B = ∅. Sea F = {An : n ∈ N} una familia de

conjuntos ajena por pares, y sea Sn =⋃n

k=0 An para n = 0, 1, 2, 3, · · ·

(a) Muestre que la familia

E = {A0} ∪ {An\Sn−1 : n ∈ N ∧ n ≥ 1}

es ajena por pares.

(b) Muestre que

∞⋃

n=0

An =⋃ E = A0 ∪ (A1\S2) ∪ · · · ∪ (An\Sn−1) ∪ · · ·

54 Sean F 6= ∅ y X conjuntos:

(a) Sea E1 = {A ∈ P(X) : A = F ∩ X para algun F ∈ F}. Pruebe que

X ∩ ⋃F =⋃ E1.

(b) Sea E2 = {A ∈ P(X) : A = X\F para algun F ∈ F}. Pruebe que

X\⋃F =⋂ E2, X\⋂F =

⋃ E2.

55 Demuestre que la union y la interseccion generalizada satisfaces la siguiente

forma de asociacion:

⋃ {Aα : α ∈ ⋃ I

}=

⋃

I∈I

( ⋃

α∈I

Aα

)

⋂ {Aα : α ∈ ⋂ I

}=

⋂

I∈I

( ⋂

α∈I

Aα

)

donde I es una familia no vacıa de conjuntos no vacıos.


56 Sea F = {An : n ∈ N\{0}} una familia de subconjuntos de X, es decir,

F ⊆ P(X). Defina

lim sup An =∞⋂

n=1

( ∞⋃

k=0

An+k

)

lim inf An =∞⋃

n=1

( ∞⋂

k=0

An+k

)

Sea tambien para cada x ∈ X, Jx = {n ∈ N : x ∈ An}. Demuestre que

(a) lim sup An = {x ∈ X : Jx es infinito}.

(b) lim inf An = {x ∈ X : N\Jx es infinito}.

(c)⋂∞

n=1 an ⊆ lim inf An ⊆ lim sup An ⊆ ⋃∞n=1 An.

(d) lim inf (X\An) = X\lim sup An.

(e) Si {Bn}n∈N es otra familia de subconjuntos de X entonces:

i. lim inf An∪ lim inf Bn ⊆ lim inf (An ∪Bn).

ii. lim inf An∩ lim inf Bn = lim inf (An ∩Bn).

iii. lim sup (An ∩Bn) ⊆ lim sup An∩ lim sup Bn.

iv. lim sup (An ∪Bn) = lim sup An∪ lim sup Bn.

(f) Si A1 ⊆ A2 ⊆ · · · o A1 ⊇ A2 ⊇ · · ·, entonces lim inf An = lim sup An.

2

Relaciones y funciones

1 Relaciones 31

2 Funciones 36

3 Relaciones de equivalencia 48

4 Relaciones de orden 53

5 Productos cartesianos arbitrarios 62

Problemas 65

2 Relaciones y funciones

Sin duda alguna, uno de los conceptos mas importatnes dentro de las matematicas

modernas son los de relacion y funcion; de hecho, la mayor parte de la investigacion

en matematicas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual, no debe

sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Hausdorff consideraba

que el concepto de funcion es casi tan primitivo como el de conjunto, y que decir del

concepto de relacion, el cual intuitivamente parece mas esencial que el de funcion.

En matematicas, la palabra relacion es usada en el sentido de relacionar. Como

ejemplos podemos sitar

es menor que esta incluido en

divide a es miembro de

es congruente a es madre de

En este capıtulo trataremos los conceptos de relacion y funcion desde el punto de

vista conjuntista. Veremos que estos pueden ser tratados como relaciones y que las

relaciones pueden ser definidas de manera natural como conjuntos de una estructura

especial.

2.1 Relaciones

Intuitivamente podemos pensar, empleando parejas ordenadas, que una relacion

(binaria) R es una proposicion tal que, para cada par ordenado (a, b), uno puede

determinar cuando a esta en relacion R con b o cuando no lo esta. Toda relacion

debe determinar de manera unica al conjunto de aquellas parejas ordenadas en las

cuales la primera coordenada mantiene esta relacion con la segunda. Si conocemos la

relacion, conocemos el conjunto y, mejor aun, si conocemos el conjunto, conocemos la

relacion. Es decir, las relaciones pueden ser representadas como el conjunto de todos

los pares ordenados de objetos mutuamente relacionados. Notese la importantancia

de considerar pares ordenados y no solo pares no ordenados.

Definicion. Un conjunto R es una relacion (binaria) si todo elemento de R es un

par ordenado, es decir, si para todo z ∈ R, existen x, y tales que z = (x, y). Si

R ⊆ A×B diremos que R es una relacion de A en B, o entre A y B; y si R ⊆ A×A

diremos simplemente que R es una relacion en A.

Relaciones y funciones 32

Ejemplo 2.1. Definimos una relacion entre los enteros positivos y los enteros di-

ciendo que un entero positivo m esta en relacion R con un entero n, si m divide a

n. La relacion R es simplemente el conjunto

R = {z : ∃m,n tales que z = (m,n),m ∈ Z, n ∈ Z,m > 0 y m divide a n }

Los elementos de R son los pares ordenados

· · · , (1,−3), (1,−2), (1,−1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (1, 3), · · ·· · · , (2,−6), (2,−4), (2,−2), (2, 0), (2, 2), (2, 4), (2, 6), · · ·· · · , (3,−9), (3,−6), (3,−3), (3, 0), (3, 3), (3, 6), (3, 9), · · ·

...

Ejemplo 2.2. Sean A y B conjuntos. La relacion de A en B de todos los pares

ordenados (a, b) con a ∈ A y b ∈ B es llamada relacion producto cartesiano y es

denotada por A×B.

Ejemplo 2.3. El conjunto ∅ es una relacion llamada relacion vacıa. (Para de-

mostrar que ∅ es un conjunto de parejas ordenadas, busque un elemento de ∅ que

no sea una pareja ordenada).

Definicion. Para cualquier conjunto A, la diagonal

IdA = {(a, a) : a ∈ A}

es la relacion de igualdad o relacion identidad. Note que en esta relacion en A, cada

par de elementos en A no necesariamente estan ordenados: si a 6= b ⇒ (a, b) /∈IdA y (b, a) /∈ IdA.

Definicion. La relacion diferencia en A es R = (A× A)\IdA.

Definicion. La relacion inclusion en P(X) es

R = {(A,B) ∈ P(X)× P(X) : A ⊆ B}

A partir de ahora escribiremos xRy para denotar (x, y) ∈ R.

Definicion. (a) El conjunto de todos los x que estan en relacion R con algun y es

llamado dominio de R y es denotado por dom R, es decir

dom R = {x : ∃y tal que xRy}


(b) El conjunto de todos los y tales que para algun x, x esta en relacion R con y, es

llamado rango de R y denotado por ran R, es decir

ran R = {y : ∃x tal que xRy}

(c) El conjuto dom R ∪ ran R es llamado campo de R y denotado por field R.

Observese que si field R ⊆ X podemos decir que R es una relacion en X.

Ejemplo 2.4. En el ejemplo 2.1, dom R = Z+, ran R = Z y field R = Z.

Ejemplo 2.5. Si R es la relacion identidad o la relacion diferencia en A, entonces

dom R = ran R = field R = A, excepto si A es unitario, en cuyo caso la relacion

diferencia es ∅.

Ejemplo 2.6. dom (A×B) = A, ran (A×B) = B y field (A×B) = A ∪B.

Definicion. (a) La imagen de un conjunto A bajo R es el conjunto de todos los

elementos y del rango de R en relacion R con slgun elemento de A. Este conjunto

es usualmente denotado por R(A), ası

R(A) = {y ∈ ran R : ∃x ∈ A tal que xRy}

(b) La imagen inversa de un conjunto B bajo R es el conjunto de todos los elementos

x del dominio de R en relacion R con algun elemento de B. Este conjunto es

usualmente denotado por R−1(B), ası

R−1(B) = {x ∈ dom R : ∃y ∈ B tal que xRy}

Ejemplo 2.7. En el ejemplo 2.1, R({2}) es el conjunto de todos los enteros pares

(positivos y negativos), mientras que R−1({0}) es el conjunto de todos los enteros

positivos.

Definicion. Sea R una relacion. La relacion inversa de R es el conjunto

R−1 = {z : z = (x, y) ∧ (y, x) ∈ R}

De la propia definicion de relacion inversa se sigue inmediatamente que (x, y) ∈R−1 si y solo si (y, x) ∈ R. Esto justifica el nombre de relacion inversa para R−1,

pues intuitivamente R−1 hace lo contrario que R.


Ejemplo 2.8. Consideremos nuevamente la relacion del ejemplo 2.1, para tal relacion

R−1 = {w : w = (n,m) ∧ (m,n) ∈ R}= {(n,m) : m entero positivo, n entero y (m,n) ∈ R}= {(n,m) : n entero, m entero positivo y n es multiplo de m}

Ejemplo 2.9. (A×B)−1 = B × A.

Ejemplo 2.10. ∅−1 = ∅.

Ejemplo 2.11. (IdA)−1 = IdA.

Observese que el sımbolo R−1(B) usado para la imagen inversa de B bajo R, es

tambien usado para denotar la imagen de B bajo R−1, esto nos lleva al siguiente

Teorema 2.1. La imagen inversa de B bajo R es igual a la imagen de B bajo R−1.

DEMOSTRACION:

Notese que el rango de R es igual al dominio de R−1. Ahora x ∈ R−1(B) si y solo

si existe y ∈ B tal que (x, y) ∈ R si y solo si (y, x) ∈ R−1. Por lo tanto x ∈ R−1(B)

bajo R si y solo si para algun y en B, (y, x) ∈ R−1, es decir, si y solo si x pertenece

a la imagen de B bajo R−1 •Para simplificar notacion, introduciremos la siguiente convencion. En lugar de

escribir

{w : w = (x, y), para x, y con P(x, y)}escribiremos simplemente {(x, y) : P(x, y)}. por ejemplo, dada una relacion R, la

relacion inversa de R puede ser escrita con esta notacion como

{(x, y) : (y, x) ∈ R}

observese que, como en el caso general, esta notacion es admisible solo si probamos

que existe un conjunto A tal que para todo x, y,P(x, y) implica que (x, y) ∈ A.

Definicion. Sean R y S relaciones. La composicion de R y S es la relacion

S ◦R = {(x, z) : ∃y para el cual (x, y) ∈ R y (y, z) ∈ S}

Que un par (x, y) pertenezca a S ◦ R, significa que para algun y, xRy y yRz.

Ası que para encontrar objetos relacionados con x en S ◦R, primero se encuentran

objetos y relacionados a x en R y luego objetos z relacionados en S con alguno de

los objetos y; todos estos objetos estan relacionados en S ◦ R con x. Note de aquı

que no es lo mismo S ◦R que R ◦ S.


Ejemplo 2.12. Para cualquier relacion R, ∅ ◦R = ∅ = R ◦ ∅.

Ejemplo 2.13. Si R = {(1, 2)} y S = {(2, 0)}, entonces S ◦R = {(1, 0)}, mientras

que R ◦ S es la relacion vacıa.

Ejemplo 2.14. Si R es una relacion en A, entonces R ◦ IdA = R = IdA ◦R.

Ejemplo 2.15. Si ran R ∩ dom S = ∅, entonces S ◦R es la relacion vacıa.

Definicion. Sea R una relacion en A.

(a) R es llamada reflexiva en A, si ∀a ∈ A, aRa.

(b) R es llamada simetrica en A, si ∀a, b ∈ A, aRb ⇒ bRa.

(c) R es llamada antisimetrica en A, si ∀a, b ∈ A, aRb y bRa ⇒ a = b.

(d) R es llamada asimetrica en A, si ∀a, b ∈ A, aRb implica que no ocurre

bRa. Es decir, (a, b) y (b, a) no pueden ser ambos elementos de R.

(e) R es llamada transitiva en A, si ∀a, b, c ∈ A, aRb y bRc ⇒ aRc.

Ejemplo 2.16. La relacion de igualdad es reflexiva, simetrica y transitiva. En

efecto, a = a ∀ a, a = b ⇒ b = a, y a = b y b = c ⇒ a = c.

Ejemplo 2.17. Sean A,B y C conjuntos. La relacion de inclusion es reflexiva,

antisimetrica y transitiva. Es evidente que A ⊆ A ∀ A y en el capıtulo 1 se

encontro que A ⊆ B ∧B ⊆ A ⇒ A = B, y que A ⊆ B y B ⊆ C ⇒ A ⊆ C.

Ejemplo 2.18. Sea D el conjunto de las rectas del plano, la relacion ”D es perpen-

dicular a D′” que se escribe D ⊥ D′ no es reflexiva (una recta no es perpendicular a

sı misma), es simetrica (pues D ⊥ D′ ⇒ D′ ⊥ D) y no es transitiva (de la hipotesis

D ⊥ D′ y D′ ⊥ D′′ se deduce que D ‖ D′′ y no que D ⊥ D′′).

Definicion. La relacion de pertenencia en (o restringida a) A es definida por

∈A= {(a, b) : a ∈ A, b ∈ A y a ∈ b}

Tambien pueden definirse relaciones ternarias. Mas explıcitamente, S es una

relacion ternaria si para cualquier u ∈ S, existen x, y, z tales que u = (x, y, z). Si

S ⊆ A3, se dice que S es una relacion ternaria en A. Muchos de los conceptos de

esta seccion pueden ser generalizados a relaciones ternarias.


2.2 Funciones

La palabra funcion fue introducida por Leibniz, quien originalmente utilizo este

termino para referirse a cierta clase de formulas matematicas. Hoy en dıa se ha

generalizado como sigue: Dados dos conjuntos A y B, una funcion de A en B es

una correspondencia que asocia con cada elemento de A un unico elemento de B.

Ası, una funcion es una relacion donde todo objeto del dominio esta relacionado con

un unico objeto del rango, nombrado el valor de la funcion.

Definicion. Una relacion f es llamada funcion si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f implica que

b = c para cualesquiera a, b, c.2

Es decir, una relacion f es una funcion si y solo si para todo a ∈ dom f hay

exactamente un b tal que (a, b) ∈ f . Este unico b es llamado valor de f en a y es

usualmente denotado por f(a), aunque en algunas ocasiones es muy conveniente la

notacion fa. Si f es una funcion con dom f = A y ran f ⊆ B, entonces

f = {(a, f(a)) : a ∈ A}

y es costumbre emplear la notacion f : A → B para denotar la funcion f , o de

manera mas precisa:

f : A → B

a 7→ f(a)

Observese que si a /∈ A, f(a) carece de sentido.

Ejemplo 2.19. Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2}, entonces

f = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1)}

no es una funcion, ya que (1, 1) y (1, 2) pertenecen a f , y, sin embargo 1 6= 2.

Definicion. Sean X y Y conjuntos y sea b ∈ Y . Entonces la funcion f = X × {b}es llamada funcion constante de X en Y .

Definicion. Si X es un conjunto, a la funcion f = {(x, y) ∈ X2 : x = y} se le llama

identidad en X, f = IdX .

2Esta definicion fue propuesta por G. Peano en Formulaire de Mathematiques. Torino. 1895.


Definicion. Sean X un conjunto y A un subconjunto de X. Definamos XA : X →{0, 1} por la regla

XA(x) =

1, si x ∈ A

0, si x /∈ A

para cada x ∈ X. Esta importante funcion es la funcion caracterıstica de A.

Ejemplo 2.20. Sea X un conjunto f : P(X) → P(X) definida como f(A) = X\Aes una funcion.

Definicion. Sean X un conjunto y A ⊆ X. La funcion iA = {(x, x) : x ∈ A} es

llamada inclusion de A en X y usualmente se denota por iA ↪→ X.

Definicion. Si A y B son conjuntos, entonces tenemos dos funciones naturales

p1 : A × B → A y p2 : A × B → B tales que p1(a, b) = a y p2(a, b) = b. Se llaman

proyectores en la primera y la segunda coordenada, respectivamente.

Puesto que las funciones son relaciones, los conceptos de rango, imagen, inversa

y composicion pueden ser alpicados. Si f : A → B y A1 ⊆ A, B1 ⊆ B tenemos que

f ⊆ A×B; la imagen de A1 bajo f es el conjunto

f(A1) = {y ∈ B : (x, y) ∈ f, x ∈ A1} = {f(x) : x ∈ A1}

La imagen inversa bajo f de B1 es

f−1(B1) = {x ∈ A : (x, y) ∈ f, para algun y ∈ B1} = {x ∈ A : f(x) ∈ B1}

Observese que la descripcion de estos conjuntos es mas simple para funciones

que para relaciones en general.

Teorema 2.2. Supongamos que f : X → Y es una funcion, entonces:

(a) Para A ⊆ X resulta que A = ∅ si y solo si f(A) = ∅.

(b) f−1(∅) = ∅.

(c) f({x}) = {f(x)}.

(d) Si A ⊆ B ⊆ X entonces

f(A) ⊆ f(B) y f(B\A) ⊇ f(B)\f(A)


(e) Si A′ ⊆ B′ ⊆ Y entonces

f−1(A′) ⊆ f−1(B′) y f−1(B′\A′) = f−1(B′)\f−1(A′)

(f) Si {Aα}α∈I es una familia indizada de subconjuntos de X y {A′α}α∈I es

una familia indizada de subconjuntos de Y , entonces

f

( ⋃

α∈I

Aα

)=

⋃

α∈I

f(Aα) , f

( ⋂

α∈I

Aα

)⊆ ⋂

α∈I

f(Aα)

f−1

( ⋃

α∈I

Aα

)=

⋃

α∈I

f−1(Aα) , f−1

( ⋂

α∈I

Aα

)=

⋂

α∈I

f−1(Aα)

(g) Si A ⊆ X es tal que A ⊆ f−1(f(A)), y si A′ ⊆ Y

f(f−1(A′)) = A′ ∩ f(X)

.

DEMOSTRACION:

(a) Esto se obtiene ya que f es una funcion (para todo x ∈ X existe y ∈ Y

tal que (x, y) ∈ f) y por la definicion de f(A) = {f(x) : x ∈ A}.

(b) Es clara.

(c) Esto se debe a que (x, y1) ∈ f y (x, y2) ∈ f implica y1 = y2.

(d) Veamos primero que f(A) ⊆ f(B). Si y ∈ f(A) entonces existe x ∈ A

tal que f(x) = y. Como A ⊆ B entonces x ∈ B, luego y ∈ f(B). Por lo

tanto, f(A) ⊆ f(B).

Si y ∈ f(B)\f(A) entonces y ∈ f(B) y y /∈ f(A), por lo que se deduce la

existencia de x ∈ B tal que f(x) = y. Ademas, como y /∈ f(A), entonces

para cualquier a ∈ A, f(a) 6= y, con lo cual x ∈ B\A; ası y ∈ f(B\A).

Por lo tanto f(B)\f(A) ⊆ f(B\A).

(e) Veamos primero que f−1(A′) ⊆ f−1(B′) si A′ ⊆ B′. Si x ∈ f−1(A′) en-

tonces existe y ∈ A′ tal que f(x) = y. Como A′ ⊆ B′ y y ∈ B′ tendremos

x ∈ f−1(B′). Por lo tanto, f−1(A′) ⊆ f−1(B′). Ahora veamos que

f−1(B′\A′) = f−1(B′)\f−1(A′). En efecto, x ∈ f−1(B′\A′) si y solo si

existe y ∈ B′ y y /∈ A′ tal que f(x) = y si y solo si x ∈ f−1(B′)\f−1(A′).


(f) Demostraremos unicamente que

f

( ⋃

α∈I

Aα

)=

⋃

α∈I

f(Aα)

dejando como ejercicio las igualdades restantes. y ∈ f(⋃

α∈I Aα) si y solo

si existe x ∈ ⋃α∈I Aα con f(x) = y si y solo si existen α ∈ I y x ∈ Aα

tales que f(x) = y si y solo si existe α ∈ I tal que y ∈ f(Aα) si y solo si

y ∈ ⋃α∈I f(Aα). Por lo tanto f (

⋃α∈I Aα) =

⋃α∈I f(Aα).

(g) Se deja como ejercicio •

El axioma de extension puede ser aplicado a funciones como sigue:

Lema 2.1. Sean f y g funciones f = g si y solo si dom f = dom g y f(x) = g(x)

para todo x ∈ dom f .

DEMOSTRACION:

Demostremos (⇒) primero que f = g implica dom f = dom g. x ∈ dom f si y

solo si existe algun y para el cual (x, y) ∈ f si y solo si existe algun y para el cual

(x, y) ∈ g (pues el conjunto f es igual al conjunto g) si y solo si x ∈ dom g. Por otra

parte si existe x ∈ dom f tal que f(x) 6= g(x) entonces (x, f(x)) ∈ f y (x, f(x)) /∈ g

(pues g es funcion), entonces (x, f(x)) ∈ f\g, es decir f 6= g.

Supongamos (⇐) que dom f = dom g y que para cada x ∈ dom f, f(x) =

g(x). (x, y) ∈ f si y solo si x ∈ dom f y f(x) = y si y solo si x ∈ dom g y g(x) = y

si y solo si (x, y) ∈ g. Por lo tanto f = g •Definicion. Sea f una funcion y A, B conjuntos:

(a) f es una funcion desde A si dom f ⊆ A.

(b) f es una funcion en A si dom f = A.

(c) f es una funcion hacia B si ran f ⊆ B.

(d) La restriccion de la funcion f a A es la funcion

f |A = {(a, b) ∈: a ∈ A}

Si g es una restriccion de f para algun A, decimos que f es una extension de

g.

Es costumbre emplear la frase: f es una funcion de A en B cuando f es una

funcion en A y f es una funcion hacia B, o sea f : A → B.


Ejemplo 2.21. Para cualquier conjunto A hay una unica funcion f de ∅ en A, a

saber, la funcion vacıa, f = ∅.

Ejemplo 2.22. Sea f = {(x, 1x2 ) : x ∈ R\{0}}. f es una funcion. En efecto,

si (a, b) ∈ f y (a, c) ∈ f , entonces b = 1a2 y c = 1

a2 , ası b = c. La notacion

usual para esta funcion es f(x) = 1x2 . f es una funcion desde el conjunto de los

numeros reales, pero no en el conjunto de los numeros reales, pues 0 /∈ dom f .

Esta es una funcion en A = R\{0} = dom f y hacia el conjunto de los numeros

reales. Si C = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}, entonces f(C) = {x ∈ R : x ≥ 1} y

f−1(C) = {x ∈ R : x ≤ −1 ∨ x ≥ 1}.La composicion f ◦ f es la relacion:

f ◦ f = {(x, z) : ∃y para el cual (x, y) ∈ f, (y, z) ∈ f}= {(x, z) : ∃y para el cual x 6= 0, y = 1

x2 , z = 1y2}

= {(x, z) : x 6= 0, z = x4}

ası f ◦ f = x4 Note que f ◦ f es una funcion, esto no es una coincidencia.

Teorema 2.3. Sean f y g funciones. Entonces g ◦ f es una funcion, g ◦ f esta

definida en x si y solo si f esta definida en x y g esta definida en f(x), es decir,

dom g ◦ f = dom f ∩ f−1(dom g).

DEMOSTRACION:

Se mostrara que g ◦ f es una funcion. Si (x, z1) ∈ g ◦ f y (x, z2) ∈ g ◦ f entonces

existen y1, y2 tales que (x, y1) ∈ f y (y1, z1) ∈ g, (x, y2) ∈ f y (y2, z2) ∈ g. Puesto

que f es una funcion y1 = y2. Ası tenemos que (y1, z1) ∈ g y (y1, z2) ∈ g. Entonces

z1 = z2, porque tambien g es una funcion.

Por otra parte, x ∈ dom g ◦ f si y solo si existe algun z tal que (x, z) ∈ g ◦ f , es

decir, hay un y tal que (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ g. Lo anterior se satisface si y solo si:

x ∈ dom f y y = f(x) ∈ dom g

es decir, x ∈ dom f y x ∈ f−1(dom g) •Se desprende inmediatamente el siguiente

Corolario 2.1. Si ran f ⊆ dom g ⇒ dom g ◦ f = dom f .

Es importante senalar que la composicion de funciones siempre esta definida,

de hecho, si ran f ∩ dom g = ∅, la composicion de f con g es la funcion vacıa,

g◦f = ∅. pero ∅ es una funcion de poco interes, por lo cual generalmente se restrigne


la composicion al caso en que ran f ⊆ dom g, por ser el caso verdaderamente

interesante. Pero no hay razon para no definir la composicion de cualquier par de

funciones.

Ejemplo 2.23. Encontrar la composicion y el dominio de la composicion de las

siguientes funciones:

f = {(x, x2 − 1) : x ∈ R} g = {(x,√

x) : x ∈ R, x ≥ 0}

Determinaremos primero el dominio de g ◦ f. dom f es el conjunto de todos los

numeros reales y dom g = {x ∈ R : x ≥ 0}. Entonces

f−1(dom g) = {x ∈ R : f(x) ∈ dom g}= {x : x2 − 1 ≥ 0}= {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1}

por lo tanto

dom g ◦ f = dom f ∩ f−1(dom g) = {x ∈ R : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1}

y

g ◦ f = {(x, z) : x2 − 1 ≥ 0 ∧ ∃y ∈ R, y = x2 − 1 ∧ x =√

y}= {(x,

√x2 − 1) : x ≥ 1 ∨ x ≤ −1}

Teorema 2.4. Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D funciones:

(a) Si A′ ⊆ A ⇒ g ◦ f(A′) = g(f(A′)).

(b) Si C′ ⊆ C ⇒ (g ◦ f)−1(C′) = f−1(g−1(C′)).

(c) h◦(g◦f) = (h◦g)◦f , es decir, la composicion de funciones es asociativa.

DEMOSTRACION:

Demostraremos unicamente la parte (c), quedando el resto como ejercicio. (x, z) ∈h ◦ (g ◦ f) si y solo si existe w tal que (x,w) ∈ g ◦ f y (w, z) ∈ h si y solo si existe y

tal que (x, y) ∈ f, (y, w) ∈ g y (w, z) ∈ h si y solo si (x, y) ∈ f y (y, z) ∈ h ◦ g si y

solo si (x, z) ∈ (h ◦ g) ◦ f •Si f es una funcion, f−1 es una relacion, pero no necesariamente una funcion.

Decimos que una funcion f es invertible si f−1 es una funcion, es decir, la relacion

f−1 = {(y, x) : (x, y) ∈ f}

es una funcion.


Definicion. Una funcion f es llamada inyectiva (o uno a uno) si a1 ∈ dom f, a2 ∈dom f y a1 6= a2 implica f(a1) 6= f(a2). O dicho de otra forma a1 ∈ dom f, a2 ∈dom f y f(a1) = f(a2) implica a1 = a2. Ası, una funcion inyectiva asigna diferentes

valores para diferentes elementos de su dominio.

Teorema 2.5. Una funcion es invertible si y solo si es inyectiva.

DEMOSTRACION:

(⇒) Sea f una funcion invertible, entonces f−1 es una funcion. Si a1 ∈ dom f, a2 ∈dom f y f(a1) = f(a2), entonces tenemos que (f(a1), a1) ∈ f−1 y (f(a2), a2) ∈ f−1,

lo cual implica que a1 = a2, ası f es inyectiva. (⇐) Sea f una funcion inyectiva.

Si (a, b1) ∈ f−1 y (a, b2) ∈ f−1, tenemos que (b1, a) ∈ f y (b2, a) ∈ f . Por lo tanto

b1 = b2, y concluimos que f−1 es una funcion •Si consideramos la funcion f : X → R, donde X = {x ∈ R : x ≥ 0} y f(x) = x2

podemos demostrar que dicha funcion es inyectiva, por lo cual f es una funcion

invertible. Pero el dominio de f−1 es {x ∈ R : x ≥ 0}. De modo que a f−1

no la podemos considerar como una funcion de R en X tal que f−1 ◦ f = IdX y

f ◦ f−1 = IdR. Estamos interesados en hallar una funcion g−1 : B → A que actue

inversamente con respecto a g : A → B cuando sea posible, o sea g−1 ◦ g = IdA y

g ◦ g−1 = IdB. Si observamos, el problema de la funcion f : X → R es que su rango

no es todo R.

Definicion. Sea F : A → B una funcion:

(a) f se llama sobreyectiva si f(A) = B.

(b) f se llama biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Notemos que una funcion f : A → B es biyectiva si y solo si para cada b ∈ B

existe un unica a ∈ A tal que f(a) = b. Este a ∈ A existe por la sobreyectividad de

f y es unico por la inyectividad de f .

Ahora, si f : A → B es una funcion biyectiva entonces dom f−1 = B, es decir,

se puede definir

f−1 : B → A

puesto que para f−1(b) hay un unico a ∈ A tal que f(a) = b. Ademas, con esto

ultimo tenemos que f−1 cumple las relaciones

f−1 ◦ f = IdA y f ◦ f−1 = IdB


las que expresan que f−1 actua de manera inversa a como lo hace f sobre todo

el conjunto A y que f actua de manera inversa a como lo hace f−1 sobre todo el

conjunto B. En el teorema 2.8(c) mostraremos que f−1 es unica.

Ejemplo 2.24. Para cualquier conjunto A, la funcion identidad es una biyeccion

en A. Observese que en caso de que A = ∅, IdA es la funcion vacıa y que es biyectiva

en este (unico) caso.

Definicion. Si f : A → B es una funcion biyectiva, a la funcion f−1 : B → A se le

llamara funcion inversa de f : A → B.

Note que a f−1 : B → A se le llama funcion inversa de f : A → B, y no solo de

f , para recalcar el hecho de que f−1 depende de los conjuntos A y B.

Teorema 2.6. Sea f : X → Y una funcion con X 6= ∅. Entonces los siguientes

enunciados son equivalentes:

(a) f es inyectiva.

(b) ∀ x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2.

(c) Existe g : Y → X tal que g ◦ f = IdX .

(d) Para cualesquiera h, k : Z → X, f ◦ h = f ◦ k implica h = k.

(e) ∀A ⊆ X, f−1 (f(A)) = A.

(f) Para cualesquiera A ⊆ B ⊆ X, f (B\A) = f (B) \f (A).

(g) Para cualesquiera A,B ⊆ X, f (A ∩B) = f (A) ∩ f (B).

DEMOSTRACION:

(a) ⇒ (b) es obvio.

(b) ⇒ (c) sea x0 ∈ X y definamos g : Y → X del siguiente modo:

g(y) =

x0 si y /∈ f(X)

x si y = f(x)

g es claramente una funcion, pues si (y, x1) ∈ g y (y, x2) ∈ g tenemos

dos posibilidades: si y /∈ f(X), por definicion x1 = x2 = x0. Si y ∈ f(X)

entonces f(x1) = f(x2) y por (b) x1 = x2. Ahora, si x ∈ X, g ◦ f(x) =

g (f(x)) = x de donde g ◦ f = IdX .


(c) ⇒ (d) si h, k : Z → X son funciones tales que f ◦h = f ◦k, entonces por

hipotesis existe una funcion g : Y → X tal que g ◦ f = IdX , con lo cual:

h = IdX◦h = (g ◦ f)◦h = g◦(f◦h) = g◦(f◦k) = (g◦f)◦k = IdX◦k = k.

(d) ⇒ (e) sea A ⊆ X. Sabemos que A ⊆ f−1 (f (A)) para cualquier funcion

(Ver teorema 2.2(g)). Ahora, si x ∈ f−1 (f(A)) entonces f(x) ∈ f(A),

por lo que existe a ∈ A tal que f(a) = f(x). Sean h, k : {1} → X

definidas como h(1) = a y k(1) = x, entonces f ◦h = f ◦k. Por hipotesis

h = k, de donde a = x, con esto concluimos que A ⊇ f−1 (f(A)).

(e) ⇒ (f) sean A y B dos conjuntos tales que A ⊆ B ⊆ X y supongamos que

f(x) ∈ f(B\A) con x ∈ B\A. Entonces f(x) ∈ f(B); pero como x /∈ A y

A = f−1 (f(A)), entonces x /∈ f−1 (f(A)). Esto implica que f(x) /∈ f(A);

ası f(x) ∈ f(B)\f(A). Como siempre ocurre f(B)\f(A) ⊆ f(B\A),

concluimos que f(B)\f(A) = f(B\A).

(f) ⇒ (g) sean A ⊆ X y B ⊆ X. Se sabe que f(A ∩ B) ⊆ f(A) ∩ f(B).

Si y ∈ f(A) ∩ f(B), entonces y = f(x) con x ∈ A. Si ocurriese x /∈ B

entonces x ∈ X\B. por lo cual, f(x) ∈ f(X\B) = f(X)\f(B), y

y = f(x) /∈ f(B) que es una contradiccion. por lo tanto f(x) ∈ f(B)

implica x ∈ B, y x ∈ A ∩B. De todo lo anterior y ∈ f(A ∩B).

(g) ⇒ (a) es trivial •

Teorema 2.7. Si f : X → Y es una funcion entonces, son equivalentes:

(a) f es sobreyectiva.

(b) ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X tal que f(x) = y.

(c) Para todo subconjunto no vacıo A de Y, f−1(A) 6= ∅.

(d) ∀B ⊂ Y, B = f (f−1(B)).

(e) Para cualesquiera h, k : Y → Z, h ◦ f = k ◦ f ⇒ h = k.

DEMOSTRACION:

Las implicaciones (a) ⇒ (b) y (b) ⇒ (c) son obvias.


(c) ⇒ (d) sabemos que f(f−1(B)) = f(X) ∩ B ⊆ B. Si la contencion fuese

estricta, entonces A = B\f(f−1(B)) 6= ∅, lo que implica f−1(A) 6= ∅,con lo que se deduce que existe un x ∈ X tal que f(x) ∈ B\f(f−1(B)),

pero esto es imposible.

(d) ⇒ (e) sean h, k : Y → Z dos funciones cualesquiera tales que h◦f = k◦f .

Sea y ∈ Y . Como f(f−1({y})) = {y}, por el teorema 2.2(a), f−1({y}) 6=∅. Sea x ∈ X tal que x ∈ f−1({y}), es decir, f(x) = y. Tenemos

entonces que h(y) = h(f(x)) = h ◦ f(x) = k ◦ f(x) = k(f(x)) = k(y).

Por el lema 2.1, se sigue que h = k.

(e) ⇒ (a) si f : X → Y no es sobreyectiva, defina funciones h, k : Y → {1, 2}por h = Y × {1} y

k(y) =

1 si y ∈ f(X)

2 si y /∈ f(X)

entonces, h ◦ f = k ◦ f pero h 6= k •

De los teoremas 2.6(d) y 2.7(e) llegamos a la siguiente

Definicion. Sea f : X → Y una funcion

(a) A una funcion g : Y → X tal que g ◦ f = IdX se le llama inversa

izquierda de f : X → Y .

(b) A una funcion h : Y → X tal que f ◦h = IdY se le llama inversa derecha

de f : X → Y .

Podemos pensar que, ası como las funciones inyectivas se caracterizan por poseer

inversa izquierda, las funciones sobreyectivas se caracterizan por tener inversa derecha;

esta conjetura es correcta, sin embargo, posteriormente se vera que esta proposicion

es equivalente a uno de los Axiomas de la Teorıa de Conjuntos (el Axioma de

Eleccion), por lo cual no es trivial. Lo que si se puede demostrar es la siguiente

Proposicion 2.1. Si f : X → Y tiene una inversa derecha g : Y → X, entonces f

es sobreyectiva.

DEMOSTRACION:

Para cualquier y ∈ Y , poniendo x = g(y), se tiene que f(x) = y. Por lo tanto f

es sobreyectiva •


Teorema 2.8. Sean f : X → Y y g : Y → Z dos funciones. Entonces:

(a) La inyectividad de f y g implica la inyectividad de g ◦ f .

(b) La sobreyectividad de f y g implica la sobreyectividad de g ◦ f .

(c) Si X = Z, y f y g son tales que

g ◦ f = IdX f ◦ g = IdY

entonces g = f−1, es decir, la inversa de f : X → Y es unica.

DEMOSTRACION:

(a) Sean A ⊆ X y B ⊆ X. Entonces haciendo uso de los teoremas 2.4(a)

y 2.6(g), g ◦ f(A ∩ B) = g(f(A ∩ B)) = g(f(A) ∩ f(B)) = g(f(A)) ∩g(f(B)) = g ◦ f(A) ∩ g ◦ f(B). Por lo tanto, g ◦ f es inyectiva.

(b) Sea A ⊆ Z un subconjunto no vacıo, y, usando los teoremas 2.4(b) y

2.7(c) (g◦f)−1 (A) = f−1 (g−1 (A)). Como g es sobreyectiva g−1 (A) 6= ∅,y puesto que f tambien es sobreyectiva,

f 1(g−1 (A)

)6= ∅

por lo tanto, g ◦ f es sobreyectiva.

(c) Del teorema 2.6(c) y de la proposicion 2.1, obtenemos que f y g, tambien

son funciones biyectivas. De aquı se sigue que dom f−1 = dom g = Y .

Ahora, si y ∈ Y , entonces

f (g (y)) = y = f(f−1 (y)

)

de la inyectividad de f se sigue que g(x) = f−1(x). De donde concluimos

que g = f−1, por el lema 2.1 •

Una de las razones por la que las funciones biyectivas son tan importantes es la

siguiente: Supongamos que X y Y son dos conjuntos y que f : X → Y es una funcion

biyectiva entre ellos. Si unicamente estamos interesados en X como conjunto, es

decir, sin atender a la naturaleza de sus elementos, entonces podemos considerar

a estos dos conjuntos como ”equivalentes” desde el punto de vista de la teorıa de


conjuntos, puesto que cualquier afirmacion y construccion de la teorıa de conjuntos

que sea posible realizar con X tambien se puede realizar con Y . Por ejemplo, si Z

es otro conjunto y estamos interesados en funciones de X en Z, entonces cualquier

funcion g : X → Z tiene una unica funcion correspondiente g : Y → Z, a saber,

g = g ◦ f−1. Ası entonces, podemos ”cambiar” nuestro estudio de las funciones de

X en Z por el estudio de las funciones de Y en Z. Ası, por el hecho de que la

funcion f traslada uno a uno tanto a los elementos como a los subconjuntos de X

a Y , desde el punto de vista de la teorıa de conjuntos, aunque X y Y sean objetos

(posiblemente) distintos, ellos pueden considerarse ”equivalentes” ya que son, salvo

por ”sus nombres”, indistinguibles.

Definicion. (a) las funciones f y g son llamadas compatibles si f(x) = g(x) para

todo x ∈ dom f ∩ dom g.

(b) Un conjunto de funciones F es llamado sistema compatible de funciones si cua-

lesquiera dos funciones f ∈ F y g ∈ F son compatibles.

Lema 2.2. (a) Las funciones f y g son compatibles si y solo si f ∪g es una funcion.

(b) Las funciones f y g son compatibles si y solo si

f |dom f∩dom g = g|dom f∩dom g

DEMOSTRACION:

(a) (⇒) Sean (x, y) ∈ f ∪ g y (x, z) ∈ f ∪ g, entonces x ∈ dom f ∪ dom g.

Si x ∈ dom f4dom g, necesariamente (x, y) ∈ f\g y (x, z) ∈ f\g. O

bien, (x, y) ∈ g\f y (x, z) ∈ g\f , y en este caso, se concluye que y = z.

Si por el contrario x ∈ dom f ∩ dom g, por hipotesis f(x) = g(x); ası,

y = f(x) = z. Por lo tanto, f∪g es funcion. (⇐) Sea x ∈ dom f∩dom g.

Entonces (x, f (x)) ∈ f ∪ g y (x, g (x)) ∈ f ∪ g. Como f ∪ g es funcion,

se sigue que f(x) = g(x).

(b) Se deja como ejercicio •

Teorema 2.9. Si F es un sistema de funciones compatibles, entonces⋃F es una

funcion con dom⋃F =

⋃{dom f : f ∈ F}. Ademas, la funcion⋃F extiende a

cada f ∈ F .

DEMOSTRACION:


No es difıcil observar que ∪F es una relacion; probaremos que es una funcion. Si

(a, b) ∈ ⋃F y (a, c) ∈ F , hay funciones f1, f2 ∈ F tales que (a, b) ∈ f1 y (a, c) ∈ f2;

pero f1 y f2 son compatibles, y como (a, b) ∈ f1 ∪ f2, (a, c) ∈ f1 ∪ f2 y f1 ∪ f2 es

una funcion, entonces b = c.

Luego, x ∈ dom⋃F si y solo si para algun y, (x, y) ∈ ⋃F si y solo si (x, y) ∈ f

para alguna f ∈ F si y solo si x ∈ dom f si y solo si x ∈ ⋃{dom f : f ∈ F}. Por

lo tanto,⋃F =

⋃{dom f : f ∈ F}. Ası⋃F extiende a cada f ∈ F •

Para concluir hagamos la siguiente

Definicion. Sean A y B conjuntos, el conjunto de todas las funciones de A en B

es denotado por BA.

Formalmente se deberıa mostrar primero que tal conjunto existe, pero nos basta

observar que BA ⊆ P (A×B).

2.3 Relaciones de equivalencia

En esta (y en la siguiente) seccion abordaremos un importante concepto que fue

primeramente estudiado por Frege en 18843.

Definicion. Una relacion R se llama de equivalencia en A, si es reflexiva, simetrica

y transitiva en A.

Generalmente una relacion de equivalencia en A se denota por E,≡,∼=,≈ o ∼.

Cuando dos elementos a, b ∈ A satisfacen aEb se dice que a es E-equivalente a

b o que a es equivalente a b modulo E. Observese que si E es una relacion de

equivalencia en A entonces el dominio de A es igual a A; en efecto, la reflexividad

implica que para cualquier a ∈ A, (a, a) ∈ E, es decir, a ∈ dom E. Por otra parte,

como E es una relacion en A, entonces E ⊆ A× A, por lo que dom E ⊆ A. Por lo

tanto dom E = A.

Ejemplo 2.25. El ejemplo 2.16 forma una relacion de equivalencia.

Ejemplo 2.26. Sea P el conjunto de todas las personas que viven en la tierra.

Decimos que una persona p es equivalente a q (p ∼= q) si ambos p y q viven en el

mismo paıs. Trivialmente se demuestra que ∼= es una relacion de equivalencia en P.

Note que el conjunto P del ejemplo anterior puede ser ”partido” en clases de

elementos mutuamente equivalentes; toda la gente que vive en Mexico forman una

3G. Frege Die Grundlagen der Arithmetik. Loebner, Breslau. 1884.


de estas clases, todas las personas que viven en Francia forman otra clase, etc.

Todos los miembros de una misma clase son equivalentes. las clases de equivalencia

corresponden exactamente a los diferentes paıses.

Ejemplo 2.27. Defina la relacion ≡ en el conjunto de los enteros Z como sigue:

x ≡ y si y solo si y − x es divisible4 por 2. Se puede verificar que ≡ es una relacion

de equivalencia.

Nuevamente el conjunto Z, puede ser dividido en clases de equivalencia bajo ≡.

En este caso, hay dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros pares y el

conjunto de los enteros impares. Cualesquiera dos pares o cualesquiera dos impares

estan relacionados, pero nunca un par esta relacionado con un impar.

Los ejemplos anteriores reflejan una regla general; una relacion de equivalencia

en un conjunto A genera una particion del conjunto A en clases de equivalencia;

recıprocamente, dada una particion en A hay una relacion de equivalencia en A

determinada por la particion de A.

Definicion. Sea E una relacion de equivalencia en A y sea a ∈ A. La clase de

equivalencia de a modulo E es el conjunto

[a] = {x ∈ A : xEa}

Observese que lo que hemos llamado clase de equivalencia de a, realmente es un

conjunto. Es conveniente notar que para todo a ∈ A, [a] 6= ∅, pues al menos a ∈ [a].

Cuando se trabaja con varias relaciones de equivalencia en un mismo conjunto A, es

preferible emplear la notacion Ea para denotar la clase de equivalencia de a modulo

E.

Ejemplo 2.28. En Z se define la congruencia modulo n como a ≡ b mod n si y solo

si b−a es divisible por n. ≡ es una relacion de equivalencia y la clase de equivalencia

de a ∈ Z es el conjunto {a + kn : k ∈ Z}.

Lema 2.3. Sean E una relacion de equivalencia en A y a, b ∈ A.

(a) a es equivalente a b modulo E si y solo si [a] = [b].

(b) a no es equivalente a b modulo E si y solo si [a] ∩ [b] = ∅.

DEMOSTRACION:

4Se dice que m es divisible por n si existe k ∈ Z tal que m = k · n.


(a) Supongase (⇒) que aEb. Sea x ∈ [a], entonces xEa y aEb. Por la

transitividad de E, xEb, lo que significa x ∈ [b]. Similarmente (⇐)

x ∈ [b] ⇒ x ∈ [a]. Ası [a] = [b].

(b) Supongamos (⇒) que no ocurre aEb, y que existe x ∈ [a]∩ [b]. Entonces

xEa ∧ xEb, y en virtud de la simetrıa y transitividad de E, aEb.

Esto contradice el supuesto. Supongamos ahora (⇐) que [a] ∩ [b] = ∅.Si ocurriera aEb, entonces a ∈ [b]. pero a ∈ [a], lo que contradice la

relacion [a] ∩ [b] = ∅ •

Definicion. Una familia de conjuntos F no vacıos se llama particion de A si:

(a) Los conjuntos que forman F son ajenos dos a dos, es decir, C,D ∈ F y

C 6= D ⇒ C ∩D = ∅.

(b) La union de F es A, es decir, A =⋃F .

Definicion. Sea E una relacion de equivalencia en A. La familia de todas las clases

de equivalencia modulo E es denotada por A/E y

A/E = {[a] : a ∈ A}

usualmente a A/E se le llama conjunto cociente de A por la relacion E.

Teorema 2.10. Sea E una relacion de equivalencia, entonces A/E es una particion

de A.

DEMOSTRACION:

La parte (a) de la definicion de particion de A se sigue del Lema 2.3, si [a] 6= [b]

entonces a y b no son equivalentes modulo E, ası [a] ∩ [b] = ∅. Para probar (b),

notese que A =⋃

A/E porque a ∈ [a] para cada a ∈ A. Ademas, por la misma

razon, no hay clases de equivalencia vacıas. •Definicion. Sea F una particion de A. La relacion EF determinada por F es

definida por:

EF = {(a, b) ∈ A× A : ∃B ∈ F tal que a, b ∈ B}

La definicion de la relacion EF puede hacrse en las siguientes palabras: a, b ∈ A

estan EF -relacionados si y solo si ellos pertenecen al mismo elemento de la particion

F .


Teorema 2.11. Sea F una particion en A. Entonces EF es una relacion de equiv-

alencia en A.

DEMOSTRACION:

(a) Reflexividad: Sea a ∈ A. Puesto que A =⋃F , entonces existe C ∈ F

tal que a ∈ C, ası (a, a) ∈ EF .

(b) Simetrıa: Supongase que (a, b) ∈ EF , entonces existe C ∈ F tal que

a ∈ C y b ∈ C. Por lo cual b ∈ C y a ∈ C, lo que implica (b, a) ∈ EF .

(c) Transitividad: Supongamos que (a, b) ∈ EF y (b, c) ∈ EF , entonces

exiten conjuntos C, D ∈ F tales que a, b ∈ C y b, c ∈ D. Como los

elementos de F son mutuamente ajenos, entonces D = C, por lo que

a, c ∈ D y ası (a, c) ∈ EF •


Teorema 2.12.

(a) Si E es una relacion de equivalencia en A y F = A/E ⇒ E = EF .

(b) Si F es una particion de A y EF es la correspondiente relacion de equiv-

alencia determinada por F ⇒ F = A/EF .

Ası las relaciones de equivalencia y las particiones son dos descripciones diferentes

del mismo concepto. Toda relacion de equivalencia E determina una particion F =

A/E. la relacion de equivalencia EF determinada por la particion F = A/E es

identica a la original. Recıprocamente, cada particion determina una relacion de

equivalencia; cuando formamos las clases de equivalencia modulo EF , recobramos la

particion original. Cuando trabajamos con relaciones de equivalencias o particiones,

es muy conveniente tener un conjunto que consista precisamente de un elemento de

cada clase de equivalencia.

Definicion. Sea E una relacion de equivalencia en A. Un conjunto X ⊆ A es

llamado conjunto de representantes para las clases de equivalencia modulo E (o

para una particion F), si para todo C ∈ A/E (C ∈ F), X ∩ C = {a} para algun

a ∈ C.

Ejemplo 2.29. Para la relacion de equivalencia definida en el ejemplo 2.26, el

conjunto X de los presidentes o jefes de estado de cada paıs son un conjunto de

representantes. El conjunto X = {0, 1} lo es para la relacion de equivalencia del

ejemplo 2.27.

Intuitivamente, podrıamos pensar que cualquier particion tiene un conjunto de

representantes, pero es imposible probar tal afirmacion sin el axioma de eleccion.

Definicion. Sean A un conjunto y E una relacion de equivalencia en A. La funcion

que asigna a cada elemento de A su clase de equivalencia modulo E, es decir, pE :

A → A/E tal que pE(a) = Ea, se llama funcion proyeccion o proyeccion natural.

Del lema 2.3 puede deducirse que pE : A → A/E; puesto que para a ∈ A,

(a,Eb) ∈ pE y (a,Ec) ∈ pE implica a ∈ Eb y a ∈ Ec con lo cual Eb ∩ Ec 6= ∅; ası

Eb = Ec. No se dificil observar que pE es una funcion sobreyectiva, pero en general

no es inyectiva (puesto que Ea = Eb siempre que aEb).

Definicion. Sean A,B dos conjuntos y sean R, S relaciones de equivalencia en A

y en B, respectivamente. Una funcion f : A → B preserva las relaciones R y S, si

aRb implica f(a)Sf(b).


Teorema 2.13. Sea f : A → B una funcion que preserva las relaciones R y S.

Existe una unica funcion f∗ : A/R → B/S tal que pS ◦ f = f∗ ◦ pR. A f∗ se le llama

funcion inducida por f en ”el paso al cociente”.

DEMOSTRACION:

Definamos f∗ : A/R → B/S como f∗ (Ra) = Sf (a) para cada Ra ∈ A/R.

Primero mostremos que f∗ esta bien definida. La funcion f∗ asigna (por el lema 2.3)

a Ra el unico elemento Sb ∈ B/S tal que f(a) ∈ Sb. Ası entonces, para que f∗ este

bien definida es suficiente mostrar que la clase Sf(a) no dependa del representante

seleccionado. Si Ra = Ra′, por el lema 2.3 aRa′. Puesto que f preserva relaciones,

tendremos f(a)Sf(a′). Por lo que f∗ esta unıvocamente definida. El dominio de f∗es A/R puesto que A es el dominio de f y pR es sobreyectiva. Por otra parte:

(pS ◦ f) (a) = pS (f(a)) = Sf(a) = f∗(Ra) = f∗ (pR(a)) = (f∗ ◦ pR) (a)

lo que implica que pS ◦ f = f∗ ◦ pR (por el lema 2.1). Para concluir f∗ es unica

puesto que pR es sobreyectiva: si g∗ fuese otra funcion tal que pS ◦ f = g∗ ◦ pR, se

tendrıa f∗ ◦ pR = g∗ ◦ pR y, por el teorema 2.7(e), f∗ = g∗, demostrandose que f∗ es

unica •El recıproco del teorema anterior tambien es valido, es decir: si f : A → B y

f ′ : A/R → B/S son funciones tales que pS ◦f = f ′ ◦pR, entonces f necesariamente

preserva las relaciones y f ′ = f∗. En efecto, supongamos que f y f ′ son dos funciones

tales que pS ◦ f = f ′ ◦ pR. Sean a, a′ ∈ A con aRa′, entonces pR(a) = pR(a′) y como

pS ◦ f = f ′ ◦ pR, tendremos que (pS ◦ f) (a) = (pS ◦ f) (a′), lo que muestra que

f(a)Sf(a′) y prueba que f preserva las relaciones. Del hecho que f ′ = f∗ se sigue

la unicidad de f∗ en el teorema anterior.

Ejemplo 2.30. Sean A = B = Z. Sea R la congruencia modulo 4 y sea S la

congruencia modulo 2 del ejemplo 2.28; entonces fA → B dada por f(n) = n,

preserva las relaciones. Usando el conjunto de representantes {0, 1, 2, 3} para A/R

y {0, 1} para B/S, no es dificil observal que f∗(0) = f∗(2) = 0 y f∗(1) = f∗(3) = 1.

Para concluir lo aprendido de las relaciones de equivalencia, diremos que muchas

de sus aplicaciones en matematicas estan en la direccion de formular nociones

matematicas, es decir, formalizar las definiciones por abstraccion. La esencia de

esta tecnica es definir una nocion como el conjunto de todos los objetos los cuales se

desea tengan la cualidad para la nocion. Como ejemplo esta la definicion de numero

real. La tecnica en este caso particular sera definiendo relaciones de equivalencia,

primero en el conjunto de los numeros naturales, despues en el conjunto cociente y,


mas aun, en el ”cociente del cociente” para llegar a definir los numeros racionales

y finalmente definir otra relacion de equivalencia para llegar a definir ”un numero

real”.

2.4 Relaciones de orden

Otro importante concepto que fue primeramente estudiado por Frege en 1884 es el

de una relacion de orden, para esto, demos la siguiente

Definicion. Una relacion R en A, que es reflexiva, antisimetrica y transitiva se

llama orden (parcial) en A. El par (A,R) se le llama conjunto (parcialmente) orde-

nado.

Notese que el dominio de un orden en A es A. A aRb se le puede leer como ”a

es menor o igual que b”, ”b es mayor o igual que a”, ”a precede a b” o ”b es sucesor

de a” (en el orden R). Ası todo elemento de A es menor (mayor) o igual a sı mismo.

Generalmente se usan los simbolos ≤,¹,¿ para denotar ordenes.

Ejemplo 2.31. La relacion vacıa ∅, en cualquier conjunto A no es un orden, salvo

que A = ∅.

Ejemplo 2.32. Dado un conjunto A, la relacion identidad es un orden.

Ejemplo 2.33. Si ≤ es el orden usual en el conjunto de los numeros reales, entonces

≤ es una relacion de orden, segun nuestra definicion.

Ejemplo 2.34. La relacion definida por m | n si y solo si m divide a n, es un orden

en el conjunto de los numeros enteros positivos.

Ejemplo 2.35. Si X es un conjunto, la contencion de conjuntos es un orden en

P(X).

Ejemplo 2.36. La relacion de pertenencia ∈A restringida a un conjunto A no es

un orden, pues no es reflexiva.

Ejemplo 2.37. Sea C el conjunto de los numeros complejos (Z = a + ib con

a, b ∈ R), y definamos z1 ¹ z2 si y solo si ‖z1‖ ≤ ‖z2‖, donde ≤ es el orden usual de

los numeros reales y ‖z‖ =√

a2 + b2. Entonces la relacion ¹ es reflexiva y transitiva,

pero no antisimetrica. Por lo tanto, no es un orden parcial en C. A las relaciones

como ¹ que son reflexivas y transitivas se les llama pre-ordenes.


Algunas veces se puede preferir la relacion < (estrictamente menor) en lugar de

la relacion ≤ cuando se relacionan numeros, similarmente, se puede usar ⊂ (sub-

conjunto proio) en lugar de ⊆, es decir, cuando A ⊆ B y A 6= B.

Definicion. Una relacion S en A es un orden estricto, si es asimetrica y transitiva.

Ejemplo 2.38. Para cualquier conjunto A, la relacion ∅ es un orden estricto en A.

Teorema 2.14.

(a) Sea R un orden en A, entonces la relacion S definida en A por aSb si y

solo si aRb y a 6= b, es un orden estricto en A.

(b) Sea S un orden estricto en A, entonces la relacion R definida en A por

aRb si y solo si aSb o a = b es un orden en A.

Es decir, los ordenes estrictos S corresponden a ordenes R y viceversa.

Ejemplo 2.39. Sean A 6= ∅ y S = ∅. Entonces el orden R obtenido en el teorema

anterior es la relacion identidad IdA.

Observese que si R es un orden en A no necesariamente para cualesquiera a, b ∈A, ocurre que aRb o bRa, aun cumpliendose que dom R = A.

Definicion. Sean a, b ∈ A y sea ≤ un orden en A. Decimos que a y b son compa-

rables en el orden ≤ (o que son ≤-comparables) si:

a ≤ b o b ≤ a

Decimos que a y b son ≤-incomparables si no son ≤-comparables. Similarmente

se define para un orden estricto < las nociones de <-comparables y <-incomparables.

Ejemplo 2.40. Cualesquiera dos numeros reales son comparables en el orden usual

≤.

Ejemplo 2.41. 2 y 3 son incomparables en el orden | del ejemplo 2.34.

Ejemplo 2.42. Cualesquiera a, b ∈ X con a 6= b son incomparables en el orden

IdX .

Ejemplo 2.43. Si A tiene al menos dos elementos, entonces hay dos elementos

incomparables en el conjunto ordenado (P(A),⊆).


Definicion. Un orden≤ (o <) es llamado lineal o total si cualesquiera dos elementos

de A son comparables. El par (A,≤) es entonces llamado conjunto liealmente o

totalmente ordenado5.

Ejemplo 2.44. El orden usual ≤ en los numeros enteros es lineal, mientras que |no lo es.

Definicion. Sean (A,≤) y (B,¹) dos conjuntos liealmente ordenados, entonces

para A×B se tienen los siguientes ordenes lineales:

(a) Orden lexicografico vertical: (a1, b1) ¿v (a2, b2) si y solo si (a1 < a2) o

(a1 = a2 y b1 ¹ b2).

(b) Orden lexicografico horizontal: (a1, b1) ¿h (a2, b2) si y solo si (b1 < b2)

o (b1 = b2 y a1 ≤ a2).

Ejemplo 2.45. El conjunto C de los numeros complejos con cualquiera de los

ordenes lexicograficos es toalmente ordenado6.

Definicion. Sea B ⊆ A, donde A esta ordenado por ≤. B es una cadena en (A,≤)

si cualesquiera dos elementos de B son ≤-comparables.

Ejemplo 2.46. El conjunto de todas las potencias de 2, {20, 21, 22, . . .} es una

cadena en el conjunto de los enteros positivos ordenado por la divisibilidad.

Es claro que un orden parcial (total) induce un orden parcial (total) en cualquier

subconjunto; por lo que una cadena en un conjunto ordenado (A,≤) es un subcon-

junto totalmente ordenado en el orden inducido.

Definicion. Sea ≤ un orden en A, y sea B ⊆ A

(a) b ∈ B es el elemento mınimo de B en el orden ≤, si para todo x ∈ B, b ≤x.

5Los ordenes lineales fueron considerados originalmente por G.F.P.Cantor en Beitrage zurBegrundung der transfiniten Mengenlehre. Math. Ann. 46 (1895) 481-512. Los ordenes parcialesfueron introducidos por F.Hausdorff en Der potenzbergriff in der Mengenlehre. Jahr. Deutsch.Math. Ver. 13 (1904).

6El hecho que el conjunto C de los numeros complejos se puede ordenar con cualquiera delos ordenes lexicograficos, no implica que los numeros complejos sean ordenados, de hecho, eso esimposible.


(b) b ∈ B es un elemento minimal de B en el orden ≤, si no existe x ∈ B

tal que x ≤ b y x 6= b.

(c) b ∈ B es el elemento maximo de B en el orden ≤, si para todo x ∈B, x ≤ b.

(d) b ∈ B es un elemento maximal de B en el orden ≤, si no existe x ∈ B

tal que b ≤ x y x 6= b.

Observese que, en virtud de la antisimetrıa, los elementos mınimo y maximo (si

existen) son unicos; no sucede ası con los maximales. La razon es que la definicion de

mınimo y maximo impica que estos elementos son comparables con todo elemento

de B, mientras que las definiciones de minimal y maximal no implican que estos

elementos (si existen) necesariamente deban ser comparables con cualquier elemento

de B. De hecho, cuando un conjunto B tiene dos elementos maximales, estos son

incomparables.

Ejemplo 2.47. Sea Z+ el conjunto de todos los enteros positivos ordenados por |.Entonces 1 es el elemento mınimo de Z+, pero Z+ no tiene elemento maximo. Si

B = Z+\{1}, entonces B no tiene elemento mınimo en el orden | (2 no es el mınimo

porque 2 | 3 falla); pero este conjunto tiene muchos (infinitos) elementos minimales,

a saber, 2, 3, 5, 7, etc. (todos los numeros primos) son minimales. B no tiene ni

maximo ni maximales.

Ejemplo 2.48. Sea A cualquier conjunto con el orden dado por la relacion identidad

IdA. Si B ⊆ A entonces cualquier elemento de B es tanto minimal como maximal.

Teorema 2.15. Sean A ordenado por ≤, y B ⊆ A.

(a) B tiene a lo mas un elemento mınimo (maximo).

(b) El elemento mınimo (maximo) de B (si existe) es tambien minimal (max-

imal).

(c) Si B es una cadena, entonces todo elemento minimal (maximal) de B es

tambien un mınimo (maximo).

Definicion. Sean ≤ un orden en A y B ⊆ A.


(a) a ∈ A es una cota inferior de B en el conjunto ordenado (A,≤), si a ≤ x

para todo x ∈ B.

(b) a ∈ A es llamado ınfimo de B en (A,≤) (o maxima cota inferior), si es

el elemento maximo del conjunto de todas las cotas inferiores de B en

(A,≤).

(c) a ∈ A es una cota superior de B en el conjunto ordenado (A,≤), si x ≤ a

para todo x ∈ B.

(d) a ∈ A es llamado supremo de B en (A,≤) (o mınima cota superior), si

es el elemento mınimo del conjunto de todas las cotas superiores de B

en (A,≤).

Notese que la diferencia entre ”a es el mınimo de B” y ”a es una cota inferior

de B” es que el segundo concepto no requiere que a ∈ B. Un conjunto puede tener

muchas cotas inferiores; pero el conjunto de todas las cotas inferiores de B puede

tener a lo mas un elemento maximo. Ası, B puede tener a lo mas in ınfimo. Similar

observacion se aplica para maximo, cota superior y supremo.

Teorema 2.16. Sean (A,≤) un conjunto ordenado y B ⊆ A.

(a) B tiene a lo mas un ınfimo (supremo).

(b) Si b es el elemento mınimo (maximo) de B, entonces b es ınfimo (supremo)

de B.

(c) Si b es el ınfimo (supremo) de B y b ∈ B, entonces b e el elemento mınimo

(maximo) de B.

(d) b ∈ A es el ınfimo (maximo) de B en (A,≤) si y solo si

b ≤ x (b ≥ x) ∀x ∈ B y si b′ ≤ x (b′ ≥ x) ∀x ∈ B ⇒ b′ ≤ b (b′ ≥ b)

DEMOSTRACION:

a) Practicamente esta probada en la observacion que precede al teorema.

b) El mınimo (maximo) elemento de B es ciertamente una cota inferior (superior)

de B. Si b′ es cualquier otra cota inferior superior de B, b′ ≤ b (b′ ≥ b) puesto que

b ∈ B. Ası, b es el elemento maximo (mınimo) del conjunto de todas las cotas

inferiores (superiores) de B.


c) Es obvio.

d) Esto es una reformulacion de la definicion de ınfimo •Comunmente se emplea min B max B inf B sup B para denotar mınimo,

maximo, ınfimo y supremo de un subconjunto B en un conjunto ordenado (A,≤),

respectivamente.

Ejemplo 2.49. Sea ≤ el orden usual en el conjunto de numeros reales y sean los

conjuntos B1 = {x ∈ R : 0 < x < 1}, B2 = {x ∈ R : 0 ≤ x < 1}, B3 = {x ∈ R : x >

0}, B4 = {x ∈ R : x < 0}. B1 no tiene elemento maximo ni elemento mınimo, pero

cualquier b ≤ 0 es una cota inferior, ası 0 es la maxima cota inferior de B1, es decir

inf B1 = 0. Similarmente, cualquier b ≥ 1 es cota superior de B1 y sup B1 = 1. El

conjunto B2 tiene elemento mınimo min B2 = 0, pero no tiene maximo; sin embargo

sup B2 = 1. El conjunto B3 no tiene elemento maximo y tampoco tiene supremo;

de hecho, B3 no es acotado superiormente en (R,≤); inf B3 = 0. Similarmene, B4

no tiene cotas inferiores y, por tanto, no tiene ınfimo, sup B4 = 0.

Ejemplo 2.50. Un conjunto puede ser acotado superiormente y no tener supremo.

Considerese X = R\{0} y sea B = {x ∈ X : x es negativo}. Entonces B es acotado

superiormente, pero no tiene supremo en el conjunto ordenado (X,≤), donde ≤ es

el orden usual en los numeros reales.

Si tenemos un conjunto ordenado finito (A,≤), entonces x < y si y solo si existe

una cadena de la forma

x = x1 < x2 < · · · < xn = y

El resultado anterior permite representar a cualquier conjunto ordenado por

medio de un diagrama. Los elementos de A son representados por puntos acomoda-

dos acorde con la siguiente regla: el punto x2 es colocado arriba del punto x1 si

y solo si x1 < x2, y si no existen otros elementos de A que sean sucesor de x1 y

precedan a x2, los puntos son unidos por un segmento de lınea. Ası x < y si y solo

si existe una lınea quebrada ascendente que conecta a x y y (figura 2.1).


Fig.2.1 El primero es el diagrama de una cadema de cinco elementos (es claro que el diagrama

de cualquier cadema tiene esta forma). El ultimo diagrama corresponde al conjunto potencia

de un conjunto con tres elementos., ordenado por la inclusion; el punto en el nivel mas bajo

representa al conjunto vacıo, los puntos del siguiente nivel representan los subconjuntos unitarios,

y ası sucesivamente.

Definicion. Si (A,≤) es un conjunto parcialmente ordenado, el segmento inicial

determinado por a ∈ A es el conjunto

Ua = {x ∈ A : x < a}

Definicion. Un conjunto parcialmente ordenado (W,≤) se llama bien ordenado si

cada subconjunto no vacıo B ⊆ W tiene un elemento mınimo. En este caso al orden

≤ se le llama buen orden.

Cualquier conjunto bien ordenado (W,≤) es totalmente ordenado, puesto que

cada subconjunto {a, b} ⊆ W tiene elemento mınimo. Mas aun, el orden inducido a

un subconjunto de un conjunto bien ordenado es un buen orden en el subconjunto.

Es costumbre referirse al mınimo elemento de un subconjunto B como primer ele-

mento.

Ejemplo 2.51. ∅ es un conjunto bien ordenado.

Ejemplo 2.52. Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado. Cualquier conjunto

B = {a1, a−2, . . . , an} ⊆ A es un conjunto bien ordenado con el orden inducido por

≤ en B.

Ejemplo 2.53. El ordenamiento por inclusion en P(X) no es un buen orden en

cualquier X con mas de un elemento.

Ejemplo 2.54. Sean (W,≤) un conjunto bien ordenado y q /∈ W . En W ∪ {q}definimos un buen orden que coincida con ≤ en W de la manera siguiente: q ¹ q

para cada w ∈ W , w ¹ q, y para w1, w2 ∈ W,w1 ¹ w2 si y solo si w1 ≤ w2. Decimos

que W ∪ {q} esta formado desde W adjuntando un punto como ultimo elemento.

Para cada B ⊆ W ∪ {q} no vacıo, o bien B = {q} o B ∩W 6= ∅. En el ultimo caso,

el primer elemento de B∩W en (W,≤) es el primer elemento de B en (W ∪{q},¹).

Por lo tanto, (W ∪ {q},¹) es un conjunto bien ordenado.

Cada elemento w en un conjunto bien ordenado (W,≤) que tiene un sucesor

en W , tiene un sucesor inmediato; esto es, podemos encontrar s ∈ W con s 6= w


que satisfaga w ≤ s y tal que ningun c ∈ W\{s} satisface w ≤ c ≤ s. En efecto,

necesitamos tan solo elegir s = min {x ∈ W : w < x}, lo cual es posible dado que

{x ∈ W : w < x} 6= ∅ y (W,≤) es bien ordenado. Sin embargo, aun cuando un

elemento w en un conjunto bien ordenado tenga un predecesor, no necesariamente

tiene un predecesor inmediato. Por ejemplo, si W 6= ∅ es un conjunto bien ordenado

y no acotado superiormente, entonces adjuntando un punto q como ultimo elemento

de W (como en el ejemplo 2.54), q no tiene un predecesor inmediato.

Definicion. Un isomorfismo entre dos conjuntos ordenados (P,≤) y (Q,¹) es una

funcion biyectiva h : P → Q tal que para todo p1, p2 ∈ P

p1 ≤ p2 si y solo si h(p1) ¹ h(p2)

si existe un isomorfismo entre (p,≤) y (Q,¹), entonces (P,≤) y (Q,¹) son isomorfos

y la biyeccion h se llama isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹).

La expresion ”si y solo si” es sumamente importante, pues establece que dos

elementos en P son comparables siempre y cuando sus imagenes por la biyeccion

son comparables en Q. Tambien dice como deben compararse dos elementos en P

si sabemos como se comparan sus imagenes en Q.

Teorema 2.17. Sean (P,≤) y (Q,¹) conjuntos linealmente ordenados y sea h :

P → Q una biyeccion tal que h(p1) ¹ h(p”) siempre que p1 ≤ p2. Entonces h es un

isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹).

DEMOSTRACION:

La demostracion esta completa si p1, p2 ∈ P con p! 6= p” son tales que h(p1) ¹h(p2), entonces p1 ≤ p2. Supongamos que p1 no es menor a p2, como ≤ es un orden

lineal en P , entonces p1 = p2 o p2 < p1. Como se supuso que p2 6= p1 tendremos que

p2 < p1, lo que implica, por hipotesis que h(p2) ≺ h(p1), lo cual es una contradiccion

•Este teorema permite omitir el ”solo si” en la definicion de isomorfismo cuando

se tienen conjutos linealmente ordenados.

Proposicion 2.2.

(a) Si (P,≤) y (Q,¹) son conjuntos ordenados isomorfos y ≤ es un orden

lineal, entonces ¹ tambien es un orden lineal.

(b) La funcion identidad es un isomorfismo de (P,≤) en sı mismo.


(c) Si h es un isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹) entonces h−1 es un isomor-

fismo entre (Q,¹) y (P,≤).

(d) Si h es un isomorfismo entre (P,≤) y (Q,¹) y g es un isomorfismo entre

(Q,¹) y (T,¿), entonces g ◦ f es un isomorfismo entre (P,≤) y (T,¿).

La parte (a) de la proposicion anterior puede interpretarse diciendo que si ten-

emos dos conjuntos ordenados isomorfos y uno de ellos tiene un orden lineal, en-

tonces el otro tambien tiene un orden lineal. Las partes (b), (c) y (d) nos dicen que

la propiedad ”...es isomorfo a...” es una relacion de equivalencia, ası, desde el punto

de vista de los conjuntos ordenados es indistinto trabajar con un conjunto ordenado

o un isomorfo a el.

Teorema 2.18. Todo conjunto ordenado (A,≤) es isomorfo a una familia indizada

de subconjuntos de A, parcialmente ordenana por la contencion.

DEMOSTRACION:

Para cada a ∈ A, definamos Sa = {x ∈ A : x ≤ a}. Entonces la funcion

h : A → {Sa}a∈A definida por h(a) = Sa verifica la afirmacion. En efecto, claramente

h es una biyeccion, ademas a1 ≤ a2 siy solo si a1 ∈ Sa2 . Por la transitividad

Sa1 ⊆ Sa2 . Ası a1 ≤ a2 ⇒ Sa1 ⊆ Sa2 •Definicion. Sean (A,≤) y (B,¹) conjuntos linealmente ordenados y f : A → B

una funcion.

(a) f se llama creciente si a1, a2 ∈ A con a1 ≤ a2 implica f(a1) ¹ f(a2).

(b) f se llama decreciente si a1, a2 ∈ A con a1 ≤ a2 implica f(a1) º f(a2).

A una funcion creciente tambien se le denomia funcion que preserva el orden y

a una funcion decreciente tambien se le dice funcion que invierte el orden.

Lema 2.4. Si (W,≤) es un conjunto bien ordenado y f : W → W es una funcion

creciente e inyectiva, entonces f(x) ≥ x para cada x ∈ W .

DEMOSTRACION:

Supongamos que X = {x ∈ W : f(x) < x} es no vaciıo y sea w = min X. Sea

f(w) = z. Como w ∈ W, z < w y siendo f creciente se cumple que f(z) < z, lo que

contradice la eleccion de w •


Corolario 2.2. El unico isomorfismo de un conjunto bien ordenado en sı mismo es

la identidad.

DEMOSTRACION:

Del lema 2.4, si (W,≤) es un conjunto bien ordenado y f : W → W es un

isomorfismo, entonces f(x) ≥ x y f−1(x) ≥ x∀x ∈ W . Lo que implica que f(x) =

x∀x ∈ W , es decir, f = IdW •Corolario 2.3. Si dos conjuntos bien ordenados son isomorfos, entonces el isomor-

fismo es unico.

Lema 2.5. Ningun conjunto bien ordenado es isomorfo a un segmento inicial de sı

mismo.

DEMOSTRACION:

Supongamos que (W,≤) es un conjunto bien ordenado que es isomorfo a uno de

sus segmentos iniciales, y sea f el isomorfismo entre ellos. Entonces para alguna

u ∈ W

f(W ) = {x ∈ W : x < u}por lo que f(u) < u, lo que contradice el lema 2.4 •Teorema 2.19. Si (W1,≤1) y (W2,≤2) son dos conjuntos bien ordenados, entonces

exactamente uno de los siguientes tres casos se cumple:

(a) (W1,≤1) es isomorfo a (W2,≤2).

(b) (W1,≤1) es isomorfo a un segmento inicial de (W2,≤2)

(c) (W2,≤2) es isomorfo a un segmento inicial de (W1,≤1)

DEMOSTRACION:

Para ui ∈ Wi (i = 1, 2), sea Wi(ui) = {x ∈ Wi : x < ui} el segmento inicial de

Wi determinado por ui. Sea

f = {(x, y) ∈ W1 ×W2 : W1(x) es isomorfo a W2(y)}

y usando el lema 2.5, es facil ver que f es inyectiva. Si h es un isomorfismo entre

W1(x) y W2(y) y x′ < x ⇒ W1(x′) y W2 (h(x′)) son isomorfos, por lo que f es

creciente.

Si dom f = W1 y ran f = W2, tendremos el caso (a). Si y1 < y2 y y2 ∈ ran f ,

entonces y1 ∈ ran f . Ası, si ran f 6= W2 y y0 = min W2\ran f , tenemos que


ran f = W2(y0). Necesariamente dom f = W1, de otro modo tenemos (x0, y0) ∈ f ,

donde x0 = min W1\dom f . Con lo que se cumple el caso (b). Similarmente, si

dom f 6= W1 tendremos el caso (c). Por el lema 2.5, los tres casos considerados son

mutuamente excluyentes •Este resultado podrıa interpretarse diciendo que los conjuntos bien ordenados

pueden compararse por su ”longitud”, un hecho que es sumamente importante.

2.5 Productos cartesianos arbitrarios

En esta seccion se generalizara el producto cartesiano de conjuntos en terminos de

funciones.

Definicion. Dados un conjunto no vacıo X y un numero natural m ≥ 2, definimos

una m− ada de elementos de X como una funcion

x : {1, 2, . . . ,m} → X

si x es una m-ada, es conveniente denotar el valor de x en i ∈ {1, 2, . . . , m} por xi

en lugar de x(i). Ademas, representemos la funcion x por el sımbolo

{x1, x2, . . . , xm}

En base a esta definicion hagamos una generalizacion al producto cartesiano,

definiendolo para una familia de conjuntos con cualquier m ∈ N

Definicion. Supongamos que {A1, A2, . . . , Am} esta indizada sobre el conjunto

{1, 2, . . . , m}. El producto cartesiano de esta familia indizada de conjuntos denotado

porm∏

I=1

Ai o A1 × A2 × · · · × Am

es el conjunto de todas las m-adas (x1, x2, x3, . . . , xm) de elementos de X =⋃m

i=1 Ai

tales que xi ∈ Ai para cada i ∈ {1, 2, . . . , m}.Notese que hay una correspondencia biyectiva entre la definicion dad en esta

seccion, que define a A×B como el conjunto de todas las funciones x : {1, 2} → A∪B

tales que x1 ∈ A y x2 ∈ B y la definicion dada en la seccion 1.3.1, en la que A× B

denota el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que a ∈ A y b ∈ B: La

correspondencia esta establecida si al par (a, b) le hacemos corresponder la funcion

x : {1, 2} → A ∪B definida como x1 = a y x2 = b.


Aun podemos generalizar mas, pues si {An}n∈N es un sistema de conjuntos no

vacıos indizado sobre el conjunto de los numeros naturales N, se puede definir el

producto cartesiano de la familia {An} como

∞∏

n=0

An =

{x : N →

∞⋃

n=0

An : xn ∈ An, ∀n ∈ N

}

y, representamos las funciones x como

(x0, x1, . . . , xi, . . .) o (xn)∞n=0

Entonces los elementos de∏∞

n=0 An son sucesiones (xn)∞n=0 de elementos en⋃∞

n=0 An

cuyo i-esimo termino de (xn)∞n=0, xi = x(i) ∈ Ai. Note que si todos los conjuntos Ai

son un mismo conjunto A, el producto cartesiano A1×A2× · · · ×Am es justamente

el conjunto Am de m-adas de elementos de A, y el producto A1 × · · · es el conjunto

AN de todas las sucesiones de elementos en A.

Ejemplo 2.55. Rm denota el espacio euclidiano m-dimensional. De forma similar,

RN es algunas veces llamado espacio euclıdeo de dimension infinita. Este es el

conjunto de todas las sucesiones de numeros reales, es decir, el conjunto de todas

las funciones x : N → R.

Definicion. Sea A un sistema de conjuntos. Una funcion indizadora para A es

una funcion sobreyectiva A : I → A, donde I es un conjunto no vacıo y llamado

conjunto de ındices. La coleccion A, junto con la familia indizadora es llamada

familia indizada de conjuntos.

Ejemplo 2.56. Cualquier familia no vacıa de conjuntos puede considerarse como

una familia indizada de conjuntos, donde la funcion indizadora es S : A → A dada

por SA = A.

Con ayuda de esta definicion, podemos formular la definicion mas general de

producto cartesiano como sigue:

Definicion. Sea {Aα}α∈I una familia indizada de conjuntos. El producto cartesiano

de la familia {Aα}α∈I , denotado por∏

α∈I

Aα

es definido como el conjunto de todas las funciones x : I → ⋃α∈I Aα, representadas

por (xα)α∈I , tales que x(α) = xα ∈ Aα para cada α ∈ I. Si β ∈ I, el conjunto Aβ

es llamado el β-esimo factor del producto∏

α∈I Aα. La coordenada β-esima de un

elemento (xα)α∈I en el producto∏

α∈I Aα es por definicion xβ = x(β).


Ejemplo 2.57. Si cada Aα tiene exactamente un elemento, entonces∏

α∈I Aα tiene

un elemento.

Ejemplo 2.58. Si I 6= ∅ y algun Aα = ∅, ⇒ ∏α∈I Aα = ∅.

Ejemplo 2.59. Considere An = {0, 1} para cada n ∈ N. El producto cartesiano∏

n∈N An es precisamente el conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, a veces

llamado Conjunto de Cantor.

Aunque podemos suponer que∏

α∈I Aα 6= ∅ siempre que I 6= ∅ y Aα 6= ∅ para

cada α ∈ I, no es posible demostrarlo sin el axioma de eleccion.

Definicion. Si {Aα}α∈I es una familia novacıa de conjuntos se define la proyeccion

en la β-esima coordenada como la funcion:

pβ :∏

α∈I

Aα → Aβ

dada por

pβ

((xα)α∈I

)= xβ

es decir, si x ∈ ∏α∈I Aα, entonces pβ(x) = x(β) = xβ.

Teorema 2.20. Sea {Xα}α∈I una familia indizada de conjuntos no vacıos, y sean

Aα y Bα subconjuntos no vacıos de Xα, para cada α ∈ I. Entonces:

(a)∏

α∈I Aα ∩∏α∈I Bα =

∏α∈I (Aα ∩Bα).

(b)∏

α∈I Aα ∪∏α∈I Bα ⊆ ∏

α∈I (Aα ∪Bα).

DEMOSTRACION:

Queda como ejercicio •Denotemos a p−1

β (Cβ) por 〈Cβ〉 para β ∈ I y Cβ ⊆ Xβ; este es el ”gajo” en∏

α∈I Xα donde cada factor es Xα excepto el β-esimo, el cual es Cβ. Similarmente,

para una cantidad finita de ındices α1, α2, . . . , αm y los conjuntos

Cα1 ⊆ Xα1 , . . . , Cαm ⊆ Xαm

el subconjunto⋂m

i=1〈Cαi〉 =

⋂mi=1 p−1

αi(Cαi

) es denotado por

〈Cα1 , . . . , Cαi〉

estas nociones nos permiten formuilar el siguiente


Corolario 2.4. En∏

α∈I Xα

(a)∏

α∈I Cα =⋂

α∈I〈Cα〉.

(b) (∏

α∈I Xα) \〈Cβ〉 = 〈Xβ\Cβ〉.

(c) (∏

α∈I Xα) \∏α∈I Cα =

⋃α∈I〈Xα\Cα〉

DEMOSTRACION:

a) c ∈ ∏α∈I Cα si y solo si para cada α ∈ I, pα(c) ∈ Cα si y solo si para cada

α ∈ I, c ∈ p−1α (Cα) si y solo si c ∈ ⋂

α∈I〈Cα〉. b) La demostracion es similar a (a).

c) Se sigue de (a) y(b) usando el teorema 2.20 •

PROBLEMAS

2.1 Relaciones

1. Sea R una relacion (binaria). Demuestre que dom R ⊆ ⋃(⋃

R) y que ran R ⊆⋃

(⋃

R). Concluya de esto que dom R y ran R existen.

2. Muestre que R−1 y S ◦R existen.

(Sugerencia: R−1 ⊆ (ran R)× (dom R), S ◦R ⊆ (dom R× ran S)).

3. Sean R una relacion y A,B conjuntos. Pruebe:

(a) R(A ∪B) = R(A) ∪R(B).

(b) R(A ∩B) ⊆ R(A) ∩R(B).

(c) R(A\B) ⊇ R(A)\R(B).

(d) Por medio de ejemplos muestre que ⊆ y ⊇ en b) y c) no pueden reem-

plazarse por =.

(e) Pruebe los incisos a), ..., d) con R−1 en vez de R.

4. Sean A una familia de conjuntos y R una relacion. Muestre que

(a) R(⋃A) =

⋃{R(A) : A ∈ A.

(b) R(⋂A) ⊆ ⋂{R(A) : A ∈ A.


5. Sea R ⊆ X × Y . Demuestre:

(a) R(X) = ran R y R−1(Y ) = dom R.

(b) Si a /∈ dom R, R({a}) = ∅ si b /∈ ran R, R1({b}) = ∅.

(c) dom R = ran R−1, ran R = dom R−1.

(d) (R−1)−1 = R.

(e) R−1 ◦ R ⊇ Iddom R, r ◦ R−1 ⊇ Idran R. Dar un ejemplo de una relacion

R tal que R−1 ◦R 6= Iddom R y R ◦R−1 6= Idran R.

6. Pruebe que para tres relaciones R, S y T la operacion ◦ es asociativa

T ◦ (S ◦R) = (T ◦ S) ◦R

7. Sean X = {∅, {∅}} y Y = P(X). Determine:

(a) ∈Y .

(b) IdY .

(c) el dominio, rango y campo de ambas relaciones.

8. Muestre que si M es una familia no vacıa de relaciones entonces⋂M es una

relacion.

9. Sea X un conjunto. Pruebe que la relacion ⊆ en P(X) es siempre reflexiva y

transitiva. Pruebe tambien que es simetrica si y solo si X = ∅.

2.4 Funciones

10 Sea f : X → Y una funcion. Pruebe que F : P(X) → P(Y ) y G : P(Y ) →P(X) definidas por:

F (A) = f(A) G(A) = F−1(A)

son funciones.

11 Termine las demostraciones de los teoremas 2.2 y 2.4.


12 Sean A ⊆ X y sea f : X → Y una funcion. Sea i : A ↪→ X la inclusion.

Muestre que

(a) f |A = f ◦ i.

(b) Pongamos g = f |A. Entonces g−1(B) = A ∩ f−1(B) para cada B ⊆ Y .

13 Las funciones fi, i = 1, 2, 3, 4, estan definidas como sigue.

f1 = {(x, 2x− 1) : x ∈ R}f2 = {(x,

√x) : x 6= 0}

f3 = {(x, 3√

x : x ∈ R}f4 = {(x, 1

x) : x ∈ R, x 6= 0}

describa cada una de las siguientes funciones y determine sus dominios y ran-

gos: f2 ◦ f1, f1 ◦ f2, f3 ◦ f1, f1 ◦ f3, f4 ◦ f1, f1 ◦ f4, f3 ◦ f2, f2 ◦ f3, f4 ◦ f2, f2 ◦f4, f4 ◦ f3, f3 ◦ f4.

14 Sean f : X → Y y g : y → Z.

(a) Si g ◦ f es inyectiva, que se puede decir de la inyectividad de f y de g?

(b) Si g ◦ f es sobreyectiva, que se puede decir de la sobreyectividad de f y

de g?

15 Sean f : A → C y g : A → B funciones. Demostrar que existe una funcion

h : B → C tal que f = h ◦ h si y solo si para cada x, y ∈ A, g(x) = g(y)

implica f(x) = f(y).

16 Pruebe la siguiente importante propiedad del producto cartesiano A×B y de

las proyecciones p1 y p2. Si A 6= ∅ y B 6= ∅, entonces para cualquier conjunto

C y cualesquiera funciones f1 : C → A y f2 : C → B, existe una unica funcion

f : C → A × B tal que f1 = p1 ◦ f y f2 = p2 ◦ f . Las funciones f1 y f2 se

llaman funciones coordenadas de f .

17 Sean f : X → Y y g : Y → X dos funciones. Demuestre que X y Y pueden

expresarse como union de subconjuntos ajenos, es decir, X = X1 ∪ X2 con

X1 ∩ X2 = ∅ y Y = Y1 ∪ Y2 con Y1 ∩ Y2 = ∅, tales que f(X1) = Y1 y

g(Y2) = X2.

(Sugerencia: Para cada A ⊆ X, sea Q(A) = X\g (Y \f(A)). Tomese X1 =⋂{Q(A) : Q(A) ⊆ A}.)


18 (a) Dar un ejemplo de una funcion que tenga inversa izquierda pero no

inversa derecha.

(b) Dar un ejemplo de una funcion que tenga inversa derecha pero no inversa

izquierda.

(c) Dar un ejemplo de una funcion que tenga dos inversas izquierdas.

(d) Dar un ejemplo de una funcion que tenga dos inversas derechas.

(e) Muestre que si f : X → Y tiene inversa derecha e izquierda entonces es

biyectiva.

19 Muestre que si f : A → B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1.

20 Dar un ejemplo de una funcion f y un conjunto A, tal que f ∩ A2 6= f |A.

21 Si f es una funcion biyectiva muestre que

f

( ⋂

α∈I

Aα

)=

⋂

α∈I

f(Aα)

22 Demuestre el lema 2.2(b).

23 Muestre que BA existe.

24 Pruebe que el conjunto de todas las funciones desde A hacia B es igual a⋃

X⊆A BX .

25 Demuestre la siguiente forma general de distribucion:

⋂

a∈A

⋃

b∈B

Fa,b

=

⋃

f∈BA

( ⋂

a∈A

Fa,f(a)

)

suponiendo que Fa,b1 ∩Fa,b2 = ∅ para todo a ∈ A y cualesquiera b1, b2 ∈ B con

b1 6= b2.

(Sugerencia: Sea L el conjunto en el lado izquierdo de la igualdad y R el

conjunto en el lado derecho. Fa,f(a) ⊆ ⋃b∈B Fa,b; por lo tanto

⋂a∈A Fa,f(a) ⊆⋂

a∈A (⋃

b∈B Fa,b) = L, y ası finalmente R ⊆ L. Para probar que L ⊆ R, tome

x ∈ L. Defina (a, b) ∈ F si y solo si x ∈ Fa,b. Pruebe que f es una funcion de

A en B para la cual x ∈ ⋂a∈A Fa,f(a); ası x ∈ R.)


2.3 Relaciones de equivalencia

26 Una ”demostracion” de que toda relacion R en un conjunto A que es a la

vez simetrica y transitiva, es tambien reflexiva: ¿ Como R es simetrica, aRb

implica bRa. Ahora, dado que R es transitiva, aRb y bRa juntas implican

aRa, como se deseaba. À Encuentre el error de este argumento.

27 Pruebe que una relacion E en A es de equivalencia si y solo si IdA ⊆ E, E =

E−1 y E = E ◦ E.

28 Si R es una relacion reflexiva y transitiva en A = dom R, muestre que E =

R ∩R−1 es una relacion de equivalencia en A.

29 Considere la relacion E en R2 definida por

E ={((x1, y1) , (x2, y2)) : y1 − (x1)

2 = y2 − (x2)2}

Muestre que E es una relacion de equivalencia y describa las clases de equiv-

alencia modulo E.

30 Sean E y E′ las relaciones en R

E = {(x, y) : y = x + 1} E′ = {(x, y) : y − x ∈ Z}

(a) Muestre que E′ es una relacion de equivalencia en R y que E ⊆ E′.

(b) Describa las clases de equivalencia modulo E′.

(c) Es E una relacion de equivalencia?

31 Sea f : X → Y una funcion. Muestre que:

(a) Ef = {(x, y) : f(x) = f(y)} es una relacion de equivalencia en X.

(b) Las clases de equivalencia modulo Ef son precisamente los conjuntos

f−1({y}) para y ∈ f(X).

32 Sean f : A → B una funcion y E una relacion de equivalencia en B. pruebe

que

f ′(E) = {(x, y) ∈ A2 : f(x)Ef(y)}es una relacion de equivalencia.


33 Para relaciones R, S en A y B, respectivamente, defina R× S en A×B por

R× S = {((a, b) , (c, d)) : aRc ∧ bSd}

pruebe que R×S es una relacion de equivalencia en A×B, si R, S son relaciones

de equivalencia.

34 Sean S y R relaciones de equivalencia en A, con S ⊆ R. Defina

R/S = {(Sa, Sb) : ∃a′ ∈ Sa, ∃b′ ∈ Sb tales que (a′, b′) ∈ R}

muestre que R/S es una relacion de equivalencia en el conjunto cociente A/S

y que hay una biyeccion de (A/S)/(R/S) en A/R.

(Sugerencia: Primero demuestre que Sa ⊆ Ra para cada a ∈ A. Para construir

la biyeccion utilice el teorema 2.13).

35 Demuestre que una relacion R en A es de equivalencia si y solo si existe una

particion {Aα}α∈I de A tal que

R =⋃{Aα × Aα : α ∈ I}

mas aun, los conjuntos Aα son precisamente las clases de equivalencia modulo

R.

36 Pruebe que si A es un conjunto y E es una relacion de equivalencia en A,

entonces A/E es un conjunto.

37 Sean A y B dos particiones de X. Demuestre que la condicion EA ⊆ EB es

equivalente a que cualquier conjunto A ∈ A es la union de una familia A ′ ⊆ B.

38 Sea I = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Para X ⊆ I denotese por X(r) el conjunto de

numeros pertenecientes a I que tienen la forma x + r + n, donde x ∈ X y n

es un numero entero. Demuestre que, si Z es un conjunto de representantes

para la relacion ≡ definida por a ≡ b si y solo si a− b ∈ Q, entonces:

(a) Z(r) ∩ Z(s) = ∅ para cualesquiera numeros racionales r, s con r 6= s.

(b) I =⋃

r∈Q Z(r).

39 Sea M una familia no vacıa de relaciones de equivalencia en A

(a) Muestre que⋂M es una relacion de equivalencia en A.


(b) Pruebe que existe una relacion de equivalencia E en A tal que:

• R ∈M ⇒ R ⊆ E

• si E′ es una relacion de equivalencia en A y ∀R ∈M, R ⊆ E′ ⇒E ⊆ E′.

(c) Si M = {EA, EB}, describa⋃M y la relacion E.

2.4 Relaciones de orden

40 Sea R una relacion reflexiva y transitiva. Defina ≈ en A por a ≈ b si y solo si

(aRb) y (bRa).

(a) Muestre que ≈ es una relacion de equivalencia en A.

(b) Si ¿ se define por [a] ¿ [b] si y solo si aRb; muestre que (A/ ≈,¿) es

un conjunto ordenado.

41 Muestre que R ⊆ A × A es reflexiva y transitiva si y solo si IdA ⊆ R y

R ◦R = R.

42 Sea RR el conjunto de todas las funciones de los numeros realies en sı mismos.

Pruebe que definiendo f ¹ g si y solo si ∀x ∈ R, f(x) ≤ g(x), (RR,¹) es un

conjunto bien ordenado.


44 (a) Sea R un orden en A. Sean S el correspondiente orden estricto en A y

R∗ el orden correspondiente en S. Muestre que R = R∗.

(b) Sea S un orden estricto en A, sea R su correspondiente orden en A, y

sea S∗ el orden estricto correspondiente a R. Demuestre que S = S∗.

(Sugerencia: Utilice el teorema 2.14).

45 Formule las definiciones de elementos incompatible, maximal, minimal, maximo,

mınimo, supremo e ınfimo en terminos de ordenes estrictos.

46 Pruebe que el Axioma de Fundacion es equivalente a que todo conjunto no

vacıo tiene un elemento εA-minimal.

47 Sea R un orden en A. Pruebe que R−1 es tambien un orden en A (se llama

dual de R), y para B ⊆ A se cumple que


(a) a es el mınimo elemento de B en R−1 si y solo si A es el maximo elemento

de B en R.

(b) Similarmente para mınimal, maximal, supremo e ınfimo.

48 Sean R un orden en A y B ⊆ A. Muestre que R ∩ (B ×B) es un orden en B.

Este orden se llama orden inducido por R en B.

49 Muestre que el diagrama correspondiente al conjunto

{1, 2, 4, 5, 6, 10, 15, 30}

con el orden inducido por el dual de la divisibiliad en los enteros, es identico

al ultimo presentado en la figura 2.1.

50 Dar ejemplos de un conjunto ordenado finito (A,R) y un subconjunto B ⊆ A

tles que:

(a) B tiene un elemento maximo.

(b) B no tiene elemento mınimo.

(c) B no tiene maximo, pero B tiene supremo.

(d) B no tiene supremo.

51 Sean (A,≤) y (B,¹) dos conjuntos ordenados con A∩B = ∅. Defina ¿ como

sigue:

x ¿ y si y solo si x, y ∈ A y x ≤ y

o x, y ∈ B y x ¹ y

o x ∈ A y y ∈ B

muestre que ¿ es un orden en A ∪ B y que ¿ restringido a A es ≤, y ¿restringido a B es ¹. Intuitivamente ¿ pone a todo elemento de B despues

de todo elemento de A y coincide con los ordenes originales en A y B; esta es

la razon de que al orden ¿ se le llama orden de yuxtaposicion.

52 Sean (A,≤) y (B,¹) dos conjuntos ordenados. Muestre que ¿ es un orden

parcial en A×B, donde ¿ se define como (a1, b1) ¿ (a2, b2) si y solo si a≤a2

y b1 ¹ b2. El conjunto ordenado (A×B,¿) se llama producto (cartesiano) de

los conjuntos ordenados (A,≤) y (B,¹).


53 Sean A 6= ∅ y Pt(A) el conjunto de todas las particiones de A. Defina una

relacion ≤ en Pt(A) por: S1 ≤ S2 si y solo si ∀B ∈ S1, ∃ C ∈ S2 tal que

B ⊆ C. Cuando S1 ≤ S2 se dice que la particion S1 es un refinamiento de S.

(a) Muestre que ≤ es un orden.

(b) Sean S1,S2 ∈ Pt(A). Muestre que {S1,S2} tiene ınfimo. Como es la

relacion de equivalencia ES con respecto a las relaciones de equivalencia

ES1 y ES2?

(Sugerencia: Defina S = {B ∩ C : B ∈ S1, C ∈ S2}).

(c) Sea T ⊆ Pt(A), T 6= ∅. Muestre que inf T y sup T existen. (Sugeren-

cia: Sea T ′ el conjunto de todas las particiones S con la propiedad que

cualquier particion de T es un refinamiento de S. Muestre que T ′ 6= ∅y que sup T = sup T ′).


55 Muestre que en una cadena los conceptos de elemento maximo y elemento

maximal coinciden, y muestre los mismo para elemento mınimo y elemento

minimal.

56 Un conjunto (parcialmente) ordenado es una retıcula si para cada a, b ∈ A el

conjunto {a, b} tiene supremo e ınfimo.

(a) Muesre que (RR,¹) es una retıcula (ver problema 2.42).

(b) Muestre que (P(A),⊆) es una retıcula.

(c) Muestre que (Z, |) es una retıcula.

(d) Muestre que (Pt(A),≤) es una retıcula.

57 Sea (X,≤) un conjunto totalmente ordenado. Una cortadura de X es un par

de subconjuntos A,B que satisfacen:

• X = A ∪B

• A ∩B = ∅

• a ∈ A ∧ b ∈ B ⇒ a ≤ b


Si A,B y A′, B′ son dos cortaduras de X, pruebe que A ⊆ A′ o que A′ ⊆ A.

58 Sea (A,≤) un conjunto ordenado con la propiedad de que todo subconjunto no

vacıo con una cota superior tiene supremo. Pruebe que A tiene la propiedad

de que cualquier subconjunto de A no vacıo con un cota inferior tiene ınfimo.

A las propiedades anteriores se les llama propiedad de la mınima cota superior

y propiedad de la maxima cota inferior.

59 Sea F la familia de todas las funciones desde X hacia T (ver problema 2.24).

Defina la relacion ≤ en F por

f ≤ g si y solo si f ⊆ g

(a) Pruebe que ≤ es un orden.

(b) Sea A 6= ∅, A ⊆ F . pruebe que sup A existe si y solo si A es una familia

de funciones compatibles. Pruebe ademas que si sup A existe, entonces

sup A =⋃A.

60 Si (A,≤) es un conjunto ordenado y a, b ∈ A con a ≤ b, se define el intervalo

cerrado de extremos a, b como el conjunto

[a, b] = {x ∈ A : a ≤ x y x ≤ b}

pruebe que el conjunto de intervalos cerrados ordenados por la inclusion es

isomorfo a un subconjunto del producto de (A,≤) y su dual (A,≤−1).

2.5 Productos cartesianos arbitrarios

61 Muestre que existe una correspondencia biyectiva entre A×B y B × A.

62 Sea A×B ×C el producto cartesiano de tres conjuntos tal como fue definido

en la seccion 1.3.1 y sea (A×B×C)′ el producto cartesiano de los tres mismos

conjuntos como fue definido en la seccion 2.5. Pruebe que existe una biyeccion

f : A×B × C → (A×B × C)′.

(a) Demuestre que existen biyecciones entre A× (B × C) y (A×B)× C.

(b) Muestre que si n > 1, entonces hay una funcion biyectiva de

A1 × A2 × . . .× An en (A1 × A2 × . . .× An−1)× An


(c) Sea I un conjunto de ındices. Pongamos I = J ∪K, donde J y K son

ajenos y no vacıos. Pruebe que existe una funcion biyectiva de∏

α∈I Aα

en∏

α∈J Aα ×∏α∈K Aα.

63 Sea I 6= ∅ un conjunto de ındices. Considere dos familias indizadas {Aα}α∈I y

{Bα}α∈I . Demuestre que

(a) Si Aα ⊆ Bα para cada α ∈ I, entonces

∏

α∈I

Aα ⊆∏

α∈I

Bα

(b) El recıproco de (a) se cumple si∏

α∈I Aα 6= ∅.

64 Pruebe que si {Aα}α∈I es una familia indizada de conjuntos no vacıos, entonces

para cualquier conjunto X y cualquier familia {fα} de funciones fα : X → Aα,

existe una unica funcion

f : X → ∏

α∈I

Aα

tal que para cada α ∈ I, fα = pα ◦ f . Las funciones fα se llaman funciones

coordenadas de f , y a veces f se denota por {fα}α∈I o∏

fα. (ver ejemplo

2.46).

65 Sean m, n enteros positivos y sea X 6= ∅.

(a) Para m ≤ n, encuentre una funcion inyectiva f : Xm → Xn.

(b) Encuentre una funcion biyectiva g : Xm ×Xn → Xm+n.

(c) Encuentre una funcion inyectiva h : Xn → XN.

(d) Encuentre una funcion biyectiva k : Xn ×XN → XN.

(e) Encuentre una funcion biyectiva l : XN ×XN → XN.

(f) Si A ⊆ B, encuentre una funcion inyectiva m : XA → XB.

66 Pruebe el teorema 2.20 y las partes (b) y (c) del corolario 2.4.

67 Demuestre que∏

α∈I Aα\∏α∈I Bα =

⋃α∈I Qα, donde cada Qβ es un producto

cuyo factor α 6= β es Aα, y el β-esimo factor es Aβ\Bβ.


68 Cuales de los siguientes subconjuntos de RN pueden ser expresados como el

producto cartesiano de subconjuntos de R?

(a) {x = (xn)∞n=0 : xn es entero para cada n ∈ N}.

(b) {x = (xn)∞n=0 : xn ≤ n para cada n ∈ N}.

(c) {x = (xn)∞n=0 : xn es un entero para cada n ≤ 100}.

(d) {x = (xn)∞n=0 : x2 = x3}.

3

Estructuras algebraicas

1 Leyes de composicion interna

2 Estructura de grupo

3 Estructura de anillo

4 Estructura de cuerpo

5 Leyes de composicion externa

6 Estructura de espacio vectorial

7 Estructura de algebra

Problemas

3 Estructuras algebraicas

El presente capıtulo es el primero que trata del algebra, materia de la que en este

capıtulo, se expondran los conocimientos mas basicos para poder incursionar en

areas mas formales, las cuales se discutiran posteriormente; tales como el algebra

lineal (cap.???), la teorıa de grupos (caps.???) o las algebras de Lie (caps.???).

Para comenzar el capıtulo es necesaria la siguiente

Definicion. Sean A,B y C conjuntos. Una operacion binaria que relaciona A con

B y que toma valores de C es una funcion

f : A×B → C

ası, si a ∈ A, b ∈ B y c ∈ C, tendremos

α = (a, b) ∈ A×B y f(α) = f ((a, b)) = c ∈ C

En general, en lugar de f ((a, b)) = c escribiremos a ? b = c o a ◦ b = c que se lee ”a

estrella b igual c” y ”a circulo b igual c” respectivamente.

Si A = B = C entonces se define una operacion binaria sobre A, operacion

tambien conocida como ley de composicion interna (sec. 3.1), una ley de composicion

interna define cierto tipo de estructuras algebraicas, tales como grupos (sec. 3.2),

anillos (sec. 3.3) y cuerpos (sec. 3.4). En el caso general tendremos una ley de

composicion externa (sec. 3.5), en el caso en que A = C se puede definir una

estructura conocida como espacio vectorial (sec. 3.6).

3.1 Leyes de composicion interna

Definicion. Sea A un conjunto. Una ley de composicion interna en A es una

operacion binaria f : A×B → C en la que A = B = C, es decir, es una funcion

f : A× A → A

que asocia a cada par odenado (a, b) ∈ A× A un tercer elemento c ∈ A.

Ejemplo 3.1. Sea A un conjunto; si definimos la funcion f : A × A → A por

a ? b → a, queda definida una ley de composicion interna, se trata del primer

proyector de A× A.

Estructuras algebraicas 81

Ejemplo 3.2. Sean A,B ⊆ X. En P(X) la union A ∪ B y la interseccion A ∩ B

son leyes de composicion interna.

Definicion. Una ley de composicion interna en X (escrita por ?) es asociativa si

(a ? b) ? c = a ? (b ? c) ∀a, b, c ∈ X

Definicion. Una ley de composicion interna en X (escrita por ?) es conmutativa si

a ? b = b ? a ∀a, b ∈ X

Definicion. Una ley de composicion interna en A (escrita por ?) que sea asociativa

define una estructura de semigrupo en dicho conjunto.

Definicion. Una ley de composicion interna en A que sea asociativa y conmutativa

define una estructura de semigrupo conmutativo en dicho conjunto.

En general, una ley de composicion interna en A (escrita por ?) que defina una

estructura la denotaremos por 〈A, ?〉.Ejemplo 3.3. El primer proyector de A×A en A, definido en el ejemplo 3.1 es una

ley asociativa, pero no es conmutativa, en efecto, ya que

a ? b = a y b ? a = b

por lo que, si a 6= b ⇒ a ? b 6= b ? a, ası, el primer proyector de A × A en A

define un semigrupo.

Ejemplo 3.4. La interseccion y la union en P(X) (ejemplo 4.2) son asociativas y

conmutativas, es decir, 〈P(X),∩〉 y 〈P(X),∪〉 son semigrupos conmutativos.

Definicion. Se dice que un elemento a ∈ A es simplificable para una ley de com-

posicion interna en A (escrita por ?) si se verifica, para cualesquiera b, c ∈ A

a ? b = a ? c ⇒ b = c

b ? a = c ? a ⇒ b = c

se dice tambien que a es regular para la ley ?

Ejemplo 3.5. La adicion en el sentido ordinario entre los naturales define una ley

de composicion interna en N; notese que todo numero natural es simplificable, de

forma similar, la multiplicacion en el sentido ordinario entre los reales define una ley

de composicion interna en N, y, salvo el cero, es simplificable todo numero natural.


Ejemplo 3.6. En P(X) (ej. 3.2), ningun elemento, salvo X es simplificable para

la interseccion; pues si A 6= X

A ∩B = A ∩ C No implica B = C

de forma similar, ningun elemento, salvo ∅, es simplificable para la union; si A 6= ∅

A ∪B = A ∪ C No implica B = C

Definicion. Se dice que un elemento e ∈ A es neutro para una ley de composicion

interna en A (escrita por ?), si

a ? e = e ? a = a ∀a ∈ A

Teorema 3.1. Si el elemento neutro existe, es unico.

DEMOSTRACION:

Supongamos que existen dos elementos neutros e y e′. Por ser e elemento neutro,

si tomamos a = e′ se tendra e′ ? e = e ? e′ = e′. Puesto que e′ es elemento neutro,

tomando a = e tendremos e ? e′ = e′ ? e = e, de donde e = e′ •Definicion. Sea ? una ley de composicion interna en A que tenga e como elemento

neutro, se dice que a′ ∈ A es simetrico de a ∈ A para la ley ? si a ? a′ = a′ ? a = e

Definicion. Una ley de composicion interna en A que sea asociativa y que tenga

elemento neutro define una estructura en dicho conjunto llamada monoide.

Definicon. Sean 〈A, ?〉 y 〈B, ◦〉 monoides y sea una funcion f : A → B. f se llama

homomorfismo si

f(a ? b) = f(a) ◦ f(b) ∀ a, b ∈ A

Ejemplo 3.7. Sea E el conjunto de los puntos del espacio y definamos la ley ?

como

c = a ? b ⇒ c es el punto medio de a y b

sea F el conjunto de los puntos en un plano con la misma ley, que denotaremos

como ◦. Se tiene

f(a ? b) = f(a) ◦ f(b)

es decir, el punto medio de un segmento se proyecta sobre el punto medio del seg-

mento proyeccion. El proyector f es un homomorfismo.


Definicion. Un homomorfismo se llama

• monomorfismo si f es inyectiva.

• epimorfismo si f es sobreyectiva.

• isomorfismo si f es biyectiva.

Ejemplo 3.8. Sean A y B dos rectas coplanares y sea D una recta secante a A y

B. La aplicacion f : A → B que asocia a todo punto de A el punto a′ de B tal que

aa′ ‖ D se denomina ”proyeccion de A sobre B paralelamente a D. Se comprueba

inmediatamente que f es una biyeccion de A sobre B. Si sobre ambas rectas se

define la ley ? del ejemplo 3.7, se tiene

f(a ? b) = f(a) ? f(b)

La biyeccion f es un isomorfismo de A sobre B para la ley ?.

Definicion. Un isomorfismo se llama automorfismo si el dominio y el rango es el

mismo conjunto.

3.2 Estructura de grupo

Una de las estructuras algebraicas mas simples y mas importantes es la de grupo, en

este breve apartado daremos solo las definiciones mas importantes y necesarias para

la continuidad de la obra, un estudio mas profundo se encontrara en los capıtulos

(caps.???), como ya se menciono.

Definicion. Una ley de composicion interna en G (escrita por ?) define una estruc-

tura de grupo si es asociativa, tiene elemento neutro (es unico) y existe un elemento

simetrico para cada elemento de G.

Explıcitamente, 〈G, ?〉 es un grupo si

• a ? (b ? c) = (a ? b) ? c

• ∃! e ∈ G | a ? e = a ∀ a ∈ G

• ∃ a′ ∈ G | a ? a′ = e ∀ a ∈ G

la unicidad del elemento neutro esta garantizada por el teorema 3.1.


Ejemplo 3.9. Si + esta definido en el sentido usual 〈Z, +〉 es un grupo. En efecto,

+ es asociativa, existe elemento neutro (es el 0) y existe elemento simetrico para

cada elemento de Z, a saber, a′ = (−a).

Ejemplo 3.10. Definimos en Q+ el producto ? por a ? b = ab/2, entonces 〈Q+, ?〉es un grupo, en efecto

(a ? b) ? c =ab

2? c =

abc

4= a ?

bc

2= a ? (b ? c)

por lo que es asociativa. Busquemos el elemento neutro. De la definicion de ?

tendremos

a ? e =ae

2y, de la definicion de elemento neutro se debe tener

a ? e = a

por lo que al igualar ambos terminos tendremos que 2 es el elemento identidad bajo

?. De igual forma podemos buscar el elemento simetrico, puesto que

a ? a′ = aa′2

y a ? a′ = e = 2

de donde a′ = 4a. Como estas propiedades que se cumplen ∀ a ∈ Q+, se demuestra

que 〈Q+, ?〉 es un grupo.

Ejemplo 3.11. Sea el conjunto R−1 el conjunto de todos los reales menos −1.

Definimos la operacion binaria ? en <−1 como a ? b = a + b + ab = a + (1 + a)b,

entonces

(a ? b) ? c = (a + b + ab) ? c = a + b + ab + c + ac + bc + abc

= a + b + c + bc + ab + ac + abc = a + (1 + a)(b + c + bc)

= a ? (b + c + bc) = a ? (b ? c)

por lo que es asociativa. Busquemos el elemento neutro

a ? e = a + (1 + a)e y a ? e = a

por lo que 0 es el elemento neutro. Busquemos ahora el elemento simetrico

a ? a′ = a + (1 + a)a′ y a ? a′ = e = 0 ⇒ a′ = − a

1 + a

propiedaes que se cumplen ∀ a ∈ R−1, por lo que 〈R−1, ?〉 es un grupo.


Ejemplo 3.12. Sea S ⊂ M2(R) el conjunto de todas las matrices invertibles de

orden 2× 2 y sea ? la multiplicacion entre matrices en el sentido usual. Es facil ver

que ? es ley de composicion interna, pues si

A,B ∈ S ⇒ ∃! A−1, B−1 ∈ S tal que AA−1 = 1 = BB−1

de donde

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = A1A−1 = 1

comprobandose que AB es invertible y pertenece a S. Como la multiplicacion ma-

tricial es asociativa y 1 actua como la identidad y como cada elemento de S tiene

una inversa en S (por definicion), entonces S forma un grupo bajo la multiplicacion.

Teorema 3.2. Sea 〈A, ?〉 un grupo, si a ∈ A se tendra a′ ? a = e.

DEMOSTRACION:

Sabemos que a′ ∈ G y (a′)′ ∈ G, por lo cual

e = a′ ? (a′)′ = (a′ ? e) ? (a′)′ = [a′ ? (a ? a′)] ? (a′)′= [(a′ ? a) ? a′] ? (a′)′ = (a′ ? a) ? [a′ ? (a′) ′] = (a′ ? a) ? e

= (a′ ? a) •

Teorema 3.3. Sea 〈A, ?〉 un grupo, si a ∈ A se tendra e ? a = a.

DEMOSRACION:

Sabemos que e = a ? a′ = a′ ? a, por lo cual

a = a ? e = a ? (a′ ? a) = (a ? a′) ? a = e ? a •

Teorema 3.4. En un grupo los elementos son simplificables.

DEMOSTRACION:

Supongamos a ? b = a ? c, se tendra entonces

a′ ? (a ? b) = a′ ? (a ? c)

(a′ ? a) ? b = (a′ ? a) ? c

e ? b = e ? c

b = c •

Teorema 3.5. Sea 〈A, ?〉 un grupo, sea a?b ∈ A, entonces ∃! x ∈ A | x = a′?b.

DEMOSTRACION:


Demostremos primero la existencia. Si a ? x = b, entonces

x = e ? x = (a′ ? a) ? x = a′ ? (a ? x) = a′ ? b

para demostrar la unicidad, supongamos que existen dos soluciones, ası

a ? x1 = b y a ? x2 = b por lo cual a ? x1 = a ? x2

y por el teorema 3.4 x1 = x2 •Teorema 3.6. En un grupo el elemento simetrico es unico.

DEMOSTRACION:

Supongamos que existen dos elementos simetricos a′1 y a′2. Tendremos

a ? a′1 = e y a ? a′2 = e

de donde a ? a′1 = a ? a′2 y por el teorema 3.4 a′1 = a′2 •Notese que en un grupo < G, ? > se tiene

(a ? b) ? (b′ ? a′) = a ? (b ? b′) ? a′ = (a ? e) ? a′ = a ? a′ = e

y por el teorema 3.2 concluimos que b′ ? a′ = (a ? b)′ ∀ a, b ∈ G. Si extendemos

estas observaciones encontramos el

Teorema 3.7. Sea 〈A, ?〉 un grupo, y sean a1, · · · , an ∈ A, entonces (a1? · · ·?an)′ =a′n ? · · · ? a′1

DEMOSTRACION:

Se deja como ejercicio •Definicion. Un grupo 〈G, ?〉 es abeliano si ? es conmutativa.

Observese que los ejemplos 3.9, 3.10 y 3.11 son abelianos, observese tambien que

el ejemplo 3.12 no es abeliano (no conmuta la multilicacion entre matrices).

Definicion. El orden de un grupo es el numero de elementos del grupo y se denota

como O(G).

Si el grupo tiene un numero finito N de elementos, N es el orden del grupo. Si

el orden del grupo es infinito, el grupo puede ser numerable si su cardinalidad es

la misma a la de los numeros naturales O(G) = ∞; o bien, el grupo puede ser no

numerable o contı nuo si su cardinalidad es similar a la de los numeros reales.


Definicion. Un grupo cuyos elementos pueden ser escritos como {e, a, · · · , an−1} es

llamado grupo cıclico (de orden n).

Ejemplo 3.13. Sea el grupo con tres elementos distintos {e, a, b}, de los axiomas,

si

a ? b = a o a ? b = b ⇒ b = e o a = e

por lo cual, el unico resultado posible sera a ? b = e. Supongamos que a ? a = e, si

multiplicamos por b tendremos a ? (a ? b) = b ⇒ a = b, por lo cual, a ? a = b.

Con un razonamiento similar encontramos que b ? b = a, de donde a ? a = a2 = b y

e a b

e e a b

a a b e

b b e a

un ejemplo simple de este grupo es el conjunto de las raices cubicas de la unidad,

bajo la multiplicacion ordinaria de los numeros complejos.

Observese que siempre es posible contruir un grupo de la forma {e, a, · · · , an−1}para cualquier n, el ejemplo basico de tal grupo es el conjunto de las n raices de la

unidad.

3.3 Estructura de anillo

3.4 Estructura de cuerpo

3.5 Leyes de composicion externa

3.6 Estructura de espacio vectorial

3.7 Estructura de algebra

4

Numeros

1 Numeros naturales

2 El teorema de recursion

3 Aritmetica de los numeros naturales

4 Numeros enteros

5 Numeros racionales

6 Sucesiones de Cauchy de numeros racionales

6 Numeros reales

Problemas

4 Numeros

El origen de los numeros, es, sin duda, uno de los mayores misterios en las matematicas,

es importante recalcar que la idea de numero no es exclusiva de los seres humanos.

Como un ejemplo, podemos poner las aves, en efecto, una gallina (para particu-

larizar mas), tiene una nocion de numero: digamos 1, 2, 3, 4,”muchos”. La forma en

que se puede visualizar lo anterior, es cuando dicha ave tiene sus polluelos; ella sabe

que tiene ”muchos” (digamos 6), si le quitamos uno, ella no lo percata, pues sigue

teniendo ”muchos”; si le quitamos otro, ella notara que le hace falta un polluelo,

pues debe tener ”muchos” y no 4 polluelos.

Por el hecho de ser los numeros una cualidad instintiva en las especies animales,

es de esperarse que los humanos tengamos dicha propiedad; sin embargo, en la

especie humana, se da una cualidad mas importante aun, y es el poder relacionar

cantidades con un ente abstracto a lo que llamamos numero. No fue nada facil para

la humanidad darse cuenta que un par de gallinas y un par de personas podıan

representarse con una sola idea (el numero 2), por lo que hubo la necesidad de

introducir la nocion de numero.

4.1 Numeros naturales

Por lo general, cuando pensamos en numeros, viene a nuestra mente 1, 2, 3, . . . y no

faltara alguien que diga 0, 1, 2, 3, · · ·. sin embargo no estan dando una definicion

de numero. Podemos utlizar el lengaje desarrollado en los capıtulos anteriores para

poder definir un numero, para poder llegar a tal definicion es necesario dar la sigu-

iente

Definicion. Los conjuntos A y B son equipotentes (tienen la misma cardinalidad o

la misma potencia) si hay una funcion biyectiva f con dominio A y rango B.

Teorema 4.1.

(a) A es equipotente a sı mismo, para todo conjunto A.

(b) Si A es equipotente a B, entonces B es equipotente a A.

(c) Si A es equipotente a B y B es equipotente a C, entonces A es equipo-

tente a a C.

Numeros 90

DEMOSTRACION:

(a) IdA e una funcion biyectiva de A en sı mismo (ver ejemplo 2.55).

(b) Si f : A → B es una funcion biyectiva, entonces f−1 : B → A tambien

es una funcion biyectiva.

(c) Si f : A → B y g : B → C son funciones biyectivas, entonces g ◦f : A →C es una funcion biyectiva •

Aun cuando desconocemos el axioma de eleccion, podemos estblecer un conjunto

de representantes entre lo que conocemos intuitıvamente por numero y ciertos con-

juntos, auxiliandonos del axioma de extension. Con esto podemos definir 0 como el

conjunto ∅. De aquı podemos definir

1 = {0} = {∅}2 = {0, 1} = {∅, {∅}}3 = {0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}4 = {0, 1, 2, 3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}}}5 = {0, 1, 2, 3, 4} = · · ·

...

ası, un numero natural n queda definido como el conjunto de todos los numeros

naturales mas pequenos {0, 1, . . . , n−1}, con lo que n es un conjunto con n elementos.

Aun cuando este proceso nos permite construir un numero no nos dice que es un

numero, pero es de bastante utilidad. Notemos que un numero natural se construye

en base a los numeros naturales previamente definidos, con las particularidad que sus

elementos son subconjuntos de el mismo (p.ej. vease el numero 5, esta constituido

por {0, 1, 2, 3, 4} adviertase que sus elementos son subconjuntos de sı mismo); esta

propiedad no la poseen todos los conjuntos, por lo que podemos hacer la

Definicion. Decimos que un conjunto x es transitivo si para todo y ∈ x, y es un

subconjunto de x; es decir, y ⊆ x.

De la definicion anterior se conluye que todos los numeros naturales son conjuntos

transitivos, esto no implica lo inverso, por ejemplo, el conjunto {∅, {∅}, {{∅}}} es

transitivo y aun cuando es transitivo, no es igual al numero 3. ESto nos lleva

a la pregunta, como se puede distinguir a los numeros naturales de un conjunto

Numeros 91

transitivo, para responder esto regresemos a la idea de que un numero natural n

es el conjunto de todos los numeros mas pequnos a nn; esto significa que m es

mas pequeno que n si y solo si m ∈ n, lo que nos lleva a la relacion de pertenencia

restringida al conjunto n ∈n, que es un orden lineal estricto. Notese que un conjunto

transitivo {∅, {∅}, {{∅}}} no tiene esta propiedad, en efecto, ∅ /∈ {{∅}} y {{∅}} /∈ ∅.;ademas, el ordenamiento lineal ∈n tiene la propiedad de qie si X es un subconjunto

no vacıo de n, intuitivamente se puede tomar uno a uno los elementos de nn y

verificar si son elementos de X, y hallar ası el elemento maximo y mınomo de X.

Esto nos lleva a la siguiente

Definicion. Un conjunto x es un numero natural si:

(a) x es transitivo.

(b) ∈n es un orden lineal estricto en x.

(c) todo subconjunto no vacıo de x tiene elementos mınimo y maximo en el

orden ∈x.

Mientras las consideraciones anteriores a la definicion muestran que intuitiva-

mente los numeros naturales tienen las propiedades (a), (b) y (c), el recıproco no es

obvio. La idea de definir a los numeros naturales a partir de la Teorıa de conjuntos

se debe a Frege7, de hecho, B. Russell8 afirma que Frege fue el primero que dio una

definici’on satisfactoria de numero, pero que apenas desperto atencion y su definicion

de numero permanecio practicamente ignorada hasta que fue redescubierta por el

en 1901. Sin embargo, la manera en que aquı se define a los nuermos naturales es

muy distinta a la idea original de Frege. La presentacion aquı dada fue iniciada por

von Neumann9.

Lema 4.1. Todo elemento de un numero natural es un numero natural.

DEMOSTRACION:

Sea n un numero natural, y sea x ∈ n. Mostremos que x cumple las tres

propiedaes de la definicion de numero natural.

a) Supongase que u y v son tales que u ∈ v y v ∈ x, entonces v ∈ n y u ∈ n,

ası, u, v, x ∈ n y u ∈ v, v ∈ x. Usando el hecho que ∈n ordena linealmente a n, se

concluye que u ∈ x, ası x es transitivo.

7G. Frege. Die Grundlagen der Arithmetik. Loebner, Breslau 1884.8B. Russell. Introduccion a la filosofıa matematica. Paidos. 1988.9J. von Neumann Zur Einfuhrung der transfiniten Zahlen. Ac. Sci. Hung. 1 (1923).

Numeros 92

b) y c) Por la transitividad de n, x ⊆ n, por lo que ∈x es la restriccion de la

relacion ∈n a x, es decir, ∈x=∈n ∩(x × x). Y las correspondientes propiedades de

∈x se siguen de las propiedes de ∈n •Lema 4.2. Si nn es un numero natural, entonces n /∈ n. Si m y n son numeros

naturales, entonces m /∈ n o n /∈ m.

DEMOSTRACION:

Si n ∈ n entonces el conjunto ordenado (n,∈n) conradice la suposici’on de que ∈n

es un orden lineal estricto. Para la segunda proposicion, si n ∈ m y m ∈ n, entonces,

por la transitividad de n tendremos que n ∈ n, lo cual, es una contradiccion •Con ayuda de estos dos lemas, se pueden caracterizar los numeros naturales en

una forma mas simple. Si observamos nuevamente la construccion de los primeros

numeros, definimos 2 = {0, 1}, para obtener 3 le agregamos un nuevo elemento, ası

3 = 2 ∪ {2} = {0, 1} ∪ {2}

de forma similar4 = 3 ∪ {3} = {0, 1, 2} ∪ {3}5 = 4 ∪ {4} = {0, 1, 2, 3} ∪ {4}etc.

ası, dado un numero natural n el siguiente numero se obtiene agregando un elemento

mas a n, concretamente n mismo. Este procedimiento inicia en 0, el primer numero

natural.

Definicion. El sucesor de un conjunto x es el conjunto S(x) = x ∪ {x}.

Teorema 4.2.

(a) 0 es un numero natural.

(b) Si x es un numero natural, entonces S(x) es un numero natural.

DEMOSTRACION:

(a) Se cumple por definicion.

(b) Sea n un numero natural, y sea x = S(n) = n ∪ {n}. Mostremos que es un

numero.

Sea u ∈ x, entonces u ∈ n o u = n. Si u ∈ n, tendremos que u ⊆ n, ya que nn

es transitivo, por lo que u ⊆ x, puesto que n ⊆ x. Si u = n es claro que u ⊆ x. Por

lo que x es transitivo.

Numeros 93

Notese que para u, v ∈ x, u ∈x v si y solo si (u, v ∈ n y u ∈x v) o (u ∈ n y

v = n), puesto que el lema 4.2 excluye las posibilidades u ∈ v y u = n, v ∈ n o

u = n y v = n. Sabemos que ∈x es un orden estricto en x. Sean u, v ∈ x = S(n),

entonces, obien u, v ∈ n y en este caso u ∈ v o u = v o v ∈ u, puesto que ∈x es un

orden estricto en x; o bien u ∈ n = v o v ∈ n = u o u = n = v. En cada caso u y v

son comparables, por lo que ∈x es un orden lineal estricto en x.

Sea X ⊆ S(n) con x 6= ∅. Si x ∩ n 6= ∅, el elemento mınimo del conjunto x ∩ n

tambien lo es de X; el elemento maximo de X es el mismo que el de X ∩ n en el

orden ∈n, o bien es n. Si x ∩ n = ∅, n es el elemento maximo y mınimo de X, con

lo que tiene elementos mınimo y maximo en el orden ∈x, por lo que es un numero

natural •Definicion. Un conjunto se llama inductivo si:

(a) 0 ∈ A.

(b) x ∈ A implica S(x) ∈ A.

Con la definicion anterior, el teorema 4.2 asegura que el conjunto de los numeros

naturales es inductivo, pero hay un problema, no hemos probado que el conjunto de

los numero naturales exista, la principal razon es que los axiomas que se tienen no

implican la existencia de conjuntos de una infinidad de objetos, pero la posibilidad

de colecciones infinitas de objetos en una entidad singular es la esencia de la teorıa

de conjuntos, por lo cual es necesario extender nuestro sistema axiomatico.

Axioma 8. (de Infinitud): Existe un conjunto inductivo.

Intuitivamente, el conjunto de los numeros naturales es uno de ellos. Mas aun,

todo numero natural puede ser obtenido a partir de 0 aplicando suficientes veces el

sucesor, ası, si un conjunto A contiene a 0 y al sucesor de cada uno de sus elementos,

entonces A contiene a 0, 1 = S(0), 2 = S(1), · · ·, por lo que contiene a todo numero

natural. Esto nos lleva al siguiente

Teorema 4.3. Todo conjunto inductivo contiene a todos los numeros reales.

DEMOSTRACION:

Sea A un conjunto inductivo y supongamos que x es un numero natural que no

pertenece al conjunto A. Entonces S(x) es un numero natural y x ∈ S(x)\A. Sea

y el elemento mınimo del conjunto no vacıo S8x)\A ordenado por ∈S(x). Note que

y ⊆ S(x), ya que S8x) es transitivo. Ademas, y ⊆ A puesto que si existe u ∈ y\A,

Numeros 94

entonces y no es el elemento mınimo de S8x)\A. Por el lema 4.1 y es un numero

natural. Si y = ∅, entonces y ∈ A, que es una contradiccion. por lo tanto y 6= ∅. Sea

z el elemento maximo de y en el orden ∈y. Entonces x ∈ A, mas aun, puesto que

z ∈ y, y y es transitivo, z ⊆ y, consecuentemente z ∪ {z} = S(z) ⊆ y; si u ∈ y\S(z)

entonces u /∈ z y u 6= z. Como y es un orden natural, ∈y es un orden lineal estricto,

entonces z ∈ u que contradice la eleccion de z como el maximo elemento de y, es

decir, y\S(z) = ∅; ası S(z) ⊆ y. Por lo tanto y = S(z) ∈ A, nuevamente una

contradiccion •Corolario 4.1. El conjunto N de los numeros naturales existe.

DEMOSTRACION:

Sea A un conjunto inductivo.

N = {x : x es un numero natural} = {x ∈ A : x es un numero natural}

es un conjunto por el Axioma esquema de comprension •El teorema 4.3 dice que N es el mınimo conjunto inductivo en el orden ⊆ de

todos los conjuntos inductivos, es decir, N ⊆ A para cualquier conjunto inductivo

A.

Teorema 4.4. (Principio de induccion): Sea P(x) una propiedad (posiblemente

con parametros). Supongamos que:

(a) P(0)

(b) ∀n ∈ N,P(n) =⇒ P(S(n))

entonces P(n) para todos los numeros naturales n.

DEMOSTRACION:

Las suposiciones (a) y (b) solo dicen que el conjunto

A = {n ∈ N : P(n)}

es inductivo, por lo que N ⊆ A •.Por haber definido cada numero natural como el conjunto de todos los numeros

naturales mas pequenos, se sugiere la siguiente

Definicion. Para cualesquiera m,n ∈ bfN , definimos m ≤ n si y solo si m ∈ n o

m = n.

Numeros 95

Teorema 4.5. (N,≤) es un conjunto bien ordenado.

DEMOSTRACION:

La reflexividad es obvia y la antisimetrıa se sigue del lema 4.2.

Transitividad: Si k ≤ m y m ≤ n, entonces tenemos que k ∈ m o k = m y

m ∈ n o m = n; si ambas igualdades se verifican no hay nada que probar. Si k ∈ m

y m = n, entonces k ≤ n. Similarmente si k = m y m ∈ n. Finalmente si k ∈ m y

m ∈ n, como n es transitivo k ∈ n, ası k ≤ n.

Buen orden: Primero estableceremos que ≤ ordena linealmente a N. Usualmente

decimos que m y n son comparables si m < n, m = n o n < m. Decimos que n ∈ N

es comparable si n es comparable con todo m ∈ N. Es suficiente con demostrar por

induccion que cualquier n ∈ N es comparable.

i) 0 es comparable. Probaremos por induccion sobre m que 0 es comparable

con todo m. Claramente 0 es comparable con 0. Asumamos que 0 es comparable

con m. Entonces, o bien 0 ∈ m o 0 = m. En cada caso, 0 ∈ m ∪ {m} = S(m),

ası 0 es comparable con S(m). Y por el princiio de induccion se concluye que 0 es

comparable.

ii) Supongamos que n es comparable. Nuevamente por induccion sobre m pro-

baremos que S(n) es comparable con m, para todo m ∈ N. Sabemos que S(n) es

comparable con 0 por i). Supongamos que S(n) es comparable con m, entonces

S(n) ∈ m, S(n) = m o m ∈ S(n). En los primeros dos casos S(n) ∈ m ∪ {m} =

S(m); en el ultimo caso m = n o m ∈ n. Si m = n, S(n) = S(m). Si m ∈ n, S(m)

y n son comparables por hipotesis de induccion (n es comparable). Como m ∈ n, es

imposible tener n ∈ m o m = n, es decir, n ∈ S(m) no puede ocurrir. Por lo tanto,

S(m) = n o S(m) ∈ n; en cualquier caso S(m) ∈ S(n). Se concluye que S(n) es

comparable, y que cualquier numero natural lo es.

Ahora sea M ∈ N con 6= ∅. Tomemos algun m ∈ M y consideremos S(m) ∩M ;

este es un conjunto no vacıo de numeros naturales en S(m). Si k es el elemento

mınimo de S(m) ∩M en el orden ∈S(m), entonces k es tambien el primer elemento

de M en el orden ≤, puesto que de lo contrario existirıa k′ ∈ M tal que k′ ≤ K y

k′ 6= k, entonces k′ ∈ k, por lo que k′ ∈ S(m) y ası k′ ∈ S(m) ∩M que contradice

la eleccion de k •

4.2 El teorema de recursion

Comencemos esta seccion introduciendo un metodo para definir funciones en N,

para ello veamos dos ejemplos informales:

Numeros 96

1. La funcion s : N −→ N definida por:

s(0) = 1

s(n + 1) = n2 ∀ n ∈ N

2. La funcion f : N −→ N definida por:

f(0) = 1

f(n + 1) = f(n) · (n + 1) ∀ n ∈ N

El primer ejemplo, nos dice explıcitamente como calcular s(x) para cualquier

x ∈ N, o, dicho de otra forma, nos permite formular una propiedad P tal que

s(x) = y si y solo siP(x, y)

a saber:

x = 0 ⇒ y = 1

x = n + 1 ⇒ y = n2 ∀ n ∈ N

ası, la existencia y unicidad de una funcion s(x) se sigue de los axiomas, por lo

que podemos escribir

s = {(x, y) ∈ N×N : P(x, y)}

El segundo ejemplo nos dice como calcular f(x) conociendo el valor de f para un

numero mas pequeno (concretamente x−1). No es obvio formular una propiedad P

que no involucre la misma funcion en su definicion, pues la definicion de f propor-

ciona condiciones sobre la funcion f , a saber, una condicion inicial: f(0) = 1 y una

condicion recursiva: f(n + 1) = f(n) · (n + 1) ∀ n ∈ N. Las definiciones recursi-

vas son ampliamente usadas en matematicas, sin embargo, una definicion recursiva

esta justificada solo si es posible mostrar que existe alguna funcion que satisfaga las

condiciones requeridas, y que sea unica.

Definicion. Una funcion t : S(m) → A se llama calculo de longitud m basado en

g, si t(0) = a y para todo k tal que 0 < k < m, t(S(k)) = g(t(k), k). Notese que

t ⊆ N× A.

Un calculo de longitud m basado en g puede ser descrito por una funcion t tal

que dom t = m + 1, t(0) = 1 y t(k + 1) = t(k) · (k + 1) = g(t(k), k) ∀ 0 < k < m.

Teorema 4.6. (de recursion). Para cualquier conjunto A, cualquier a ∈ A y

cualquier funcion g : A×N → A, existe una unica funcion f : N → A tal que

Numeros 97

(a) f(0) = a.

(b) f(S(n)) = g(f(n), n) ∀ n ∈ N.

En el segundo ejemplo, tenemos A = N, a = 1 y g(u, v) = u ·(v+1). El elemento

a es el ”valor inicial” de f . Notese que g da instrucciones para calcular f(S(n)),

asumiendo que f(n) ha sido calculado. La funcion f puede ser escrita como:

f(0) = 1

f(1) = 1

f(2) = 2...

f(m) = 1 · 2 · 3 · · · (m− 1) si m ∈ N\{0}

sin embargo, aun sigue estando la funcion en una forma imprecisa. Si f(0) = 1

y f(m) = t(m), donde t es un calculo de longitud m basado en g, la existencia y

unicidad de f se reduce al problema de mostrar que hay precisamente un calculo de

longitud m basado en g para cada m ∈ N (m 6= 0).

DEMOSTRACION:

Sea

F = {t ⊆ N× A : t es un calculo de longitud m, m ∈ N}y sea f =

⋃F . Para mostrar que f es una funcion es suficiente mostrar que el sistema

de funciones F es compatible (ver teorema 2.15). Sean t1, t2 ∈ F ; supongamos que

dom t1 = n1 ∈ N y dom t2 = n2 ∈ N. Sin perdida de generalidad supongamos

n1 ≤ n2, entonces n1 ⊆ n2, por lo que basta demostrar que t1(k) = t2(k) ∀ k < n1,

lo que se hara por induccion: t1(0) = t2(0) = a; sea k tal que S(k) < n1 y asumamos

que t1(k) = t2(k), entonces

t1(S(k)) = g(t1(k), k) = g(t2(k), k) = t2(S(k))

ası, t1(k) = t2(k) para todo k < n1. Es inmediato que dom f ⊆ N y que ran f ⊆ A,

para mostrar que dom f = N basta con probar que para cada n ∈ N hay un calculo

de longitud n, lo que se demostrara por el principio de induccion. Claramente

t0 = {(0, a)} es un calculo de longitud 0. Asumamos que t es un calculo de longitud

n, entonces la siguiente funcion t+ en S(S(n)) es un calculo de longitud S(n):

t+(k) = t(k) si k ≤ n

t+(S(n)) = g(t(n), n)

Numeros 98

por lo que, para cada n ∈ N hay un calculo de longitud n, de donde se concluye que

cada n ∈ N esta en el dominio de algun calculo t ∈ F , ası

N ⊆ ⋃{dom t : t ∈ F} = dom f

Una vez mostrada la existencia, probemos que realmente satisface las condiciones

(a) y (b) dadas en el teorema. Claramente f(0) = a ∀ t ∈ F . Para mostrar que

f(S(n)) = g(f(n), n), para cada n ∈ N, sea t un calculo de longitud S(n), entonces

t(k) = f(k), para todo k ∈ dom t, ası

f(S(n)) = t(S(n)) = g(t(n), n) = g(f(n), n)

Con lo que se demuestra la existencia de la funcion f con las propiedades re-

queridas por el teorema, para demostrar la unicidad, sea h : N → A tal que

(a′) h(0) = a

(b′) h(S(n)) = g(h(n), n) ∀ n ∈ N

claramente f(0) = h(0), Si f(n) = h(n), entonces

f(S(n)) = g(f(n), n) = g(h(n), n) = h(S(n)) ∀ n ∈ N

por lo tanto f = h •En ocasiones se usa el teorema de recursion para definir funciones de dos vari-

ables, es decir, funciones en N×N. Este resultado es comunmente formulado como

una version ”parametrica” del teorema de recursion.

Teorema 4.7. (Recursion parametrica). Sean A y P conjuntos, y sean a : P → A

y g : P × A×N → A funciones. Entonces existe una unica funcion f : p×N → A

tal que

(a) f(p, 0) = a(p) ∀ p ∈ P .

(b) f(p, S(n)) = g(p, f(p, n), n) ∀ n ∈ N ∧ p ∈ P .

En algunas definiciones recursivas, el valor de f(S(n)) depende no solamente

de f(n), sino tambien de f(k) para algun k ≤ n. Un ejemplo es la sucesion de

Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, · · ·que es: f(0) = 1, f(1) = 1 y f(n + 2) = f(n + 1) + f(n) para n ≥ 0.

Numeros 99

Teorema 4.8. Sea A un conjunto, sea S =⋃

n∈N(An) el conjunto de todas las

funciones con dominio un numero natural y valores en A, y sea g : S → A una

funcion. Entonces, existe una unica funcion f : N → A tal que

f(n) = g(f |n) ∀ n ∈ N

note que, en particular f(0) = g(f |0) = g(∅).

Definicion. Un subconjunto B de un conjunto ordenado (A,¹) se llama acotado

si tiene cota inferior y cota superior.

Teorema 4.9. Sea (A,¹) un conjunto no vacıo linealmente ordenado con las propiedades:

(a) para todo p ∈ A existe q ∈ A tal que p ≺ q.

(b) todo subconjunto no vacıo de A tiene un elemento mınimo en el orden

¹.

(c) todo subconjunto acotado no vacıo de A tiene un elemento maximo en

el orden ¹.

entonces (A,¹) es isomorfo a (N,≤).

DEMOSTRACION:

Construyamos.

4.3 Aritmetica de los numeros naturales

4.4 Numeros enteros

4.5 Numeros racionales

4.6 Sucesiones de Cauchy de numeros racionales

4.7 Numeros reales

Numeros 100

PROBLEMAS

3.1 Numeros naturales

1. Pruebe que un conjunto es transitivo si y solo si X ⊆ P(X).

2. Pruebe que un conjunto X es transitivo si y solo si⋃

X ⊆ X.

3. Cuales de los siguientes conjunto son transitivos? Cuales son numeros natu-

rales?

(a) {∅, {∅}, {{∅}}}.

(b) {∅, {∅}, {{∅}}, {∅, {∅}}}.

(c) {∅, {{∅}}}.

4. Pruebe que si X es un conjunto transitivo y todo elemento de X es un conjunto

transitivo, entonces⋃

X y⋂

X son conjuntos transitivos.

5. Pruebe que si n ∈ N, entonces no existe un k ∈ N tal que n < k < S(n).

6. Pruebe

(a) S(x) = S(y) implica x = y.

(b)⋃

S(x) = x.

7. Demuestre que para cualquier n ∈ N, n 6= ∅, existe k ∈ N tal que n = S(k).

8. Demuestre que para cualquier n ∈ N\{0, 1}, existe k ∈ N tal que n = S(S(k)).

9. pruebe que si m,n ∈ N y m ⊆ n, entonces m < n.

10. Dar un conjunto inductivo A 6= N.

11. (a) pruebe por induccion que si a ∈ n y n ∈ N, entonces a ∈ N. Concluya

que N es un conjunto transitivo.

(b) Pruebe que si S(a) ∈ N, entonces a ∈ N.

12. Pruebe que N es equipotente a algun subconjunto propio de N.

Numeros 101

13. Demuestre el principio de induccion finita: Sea bfP (x) una propiedad. Supongase

que k ∈ N y

(a) P(0) se verifica.

(b) ∀ n < k, P(n) implica P(S(n)).

entonces P(n) se umple para todo n < k.

14. (a) Sea K ⊆ N no vacıo, demuestrese que⋂

K ∈ N ∩K.

(b) Use lo anterior para probar que (N,≤) es bien ordenado.

15. Deduzca el teorema 4.5 a partir del axioma de fundacion. (Vease problema

2.27)

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