javier lezama, reproducibilidad

Una mirada socioepistemológica

al fenómeno de la reproducibilidad

Javier Lezama Andalón1

RESUMEN

En este escrito, se aborda el análisis de un fenómeno didáctico denominadoreproducibilidad a partir de los resultados obtenidos al repetir en diversos escenariosuna situación didáctica. Se muestran los factores a considerar para introducir unapropuesta did áctica determinada a un sistema ajeno para el que fue diseñada. El estudioseñala al profesor como un factor fundamental de la reproducibilidad. Mostramos, losprocesos de comunicación de escenarios así como la dinámica de adaptación a losmismos. Se pone especial atención a la actividad del profesor, entendiendo a ésta,como una práctica social institucionalizada, así mismo, mostramos cómo el enfoquesocioepistemológico nos permite abordar dicho fenómeno de una manera más amplia.

PALABRAS CLAVE: Socioepistemología, reproducibilidad.

ABSTRACT

In this writing, the analysis of a didactic phenomenon called reproducibility is approachedfrom the results obtained when repeating in diverse scenes a didactic situation. Thefactors to consider when is introduced a didactic proposal unsuitable to a system for theone that was designed are shown. The study point out to professor as a fundamentalfactor of the reproducibility. We show the settings communication processes as well asthe adaptation dynamics. Special attention is put to the professor activity, understandingto this, as a institutionalized social practice, also, we show how the socioepistemologicalapproach let us to undertake the phenomenon in a more extensive way.

KEYWORDS: Socioepistemology, Reproducibility.

RESUMO

Aqui, abordamos a análise de um fenômeno didático denominado reproducibilidade a partir dos resultados obtidos ao repetir em diversos cenários uma situação didática. Sãoapresentados os fatores a serem considerados para introduzir uma proposta didática

339Relime Vol. 8, Núm. 3, noviembre, 2005, pp.339-362.

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Fecha de recepción: Noviembre de 2004/ Fecha de aceptación: Septiembre de 2005

Programa de Matemática Educativa (Prome), Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del

Instituto Politécnico Nacional (Cicata-IPN, Legaria), México.

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determinada a um sistema desconhecido ao que foi planejada. O estudo marca oprofessor como um fator fundamental da reproducibilidade. Mostramos, os processosde comunicação de cenários assim como a dinâmica de adaptação aos mesmos. Demosespecial atenção à atividade do professor, entendendo esta, como uma prática socialinstitucionalizada. também mostramos como o enfoque sócio-epistemológico nos permiteabordar tal fenômeno de uma maneira mais ampla.

PALAVRAS CHAVE: Sócioepistemologia, reproducibilidade.

RÉSUMÉ

Dans cet écrit, on abord l’ analyse d’ un phénomène didactique appelé reproductibilité àpartir des résultats obtenus par la répétition d’une situation didactique dans diversscénarios. On montre les facteurs obtenus à considérer pour introduire une propositiondidactique déterminée dans un système étranger auquel elle fut dessiné. L’ étude signalele professeur comme un facteur fondamental de la reproductibilité. On montre les procèsde communication de scénarios ainsi que la dynamique d’ adaptation aux mêmes. Onmet une spécial attention à l’ activité du professeur, comprise comme une pratique socialeinstitutionnalisée, de même, on montre comment l’ approche sociœpistemologique permetd’ aborder tel phénomène d’ une façon plus étendue.

MOTS CLÉS: Socioepistemologie, reproductibilité.

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La Matemática Educativa y el enfoquesocioepistemológico

La Didáctica de las Matemáticas oMatemática Educativa (ME), como se leconoce en México, aunque es un campode conocimiento relativamente joven, hasufrido importantes cambios tanto en suobjeto de estudio como en los métodos conque lo aborda (Gascón 1998; y Cantoral yFarfán 2003a).

La ME centra su atención en el estudio delos fenómenos que se producen en laapropiación del saber matemático en laescuela. El conocimiento generado por susinvestigaciones es util izado en laconstrucción de dispositivos didácticos,entendiendo por éstos a todas aquellaselaboraciones tanto teóricas comoprácticas que se destinan a apoyar elaprendizaje de las matemáticas en la

escuela; es en este contexto que Cantoraly Farfán (2003a) señalan: “Actualmente sedesarrollan estudios sobre currículo, en losque se busca determinar cuáles deben serlos contenidos a enseñar, considerando laevolución de la matemática y lasnecesidades sociales que el sistemaeducativo espera cubrir con la escuela”.

Además, hay trabajos de ME queprofundizan en las resistenciasdesarrolladas por los profesores dematemáticas, ante la dificultad de articularnovedosos enfoques educativos basadosen teorías educativas muy generales, conactividades de clase o procesosinstruccionales acordes a dichas teorías ya sistemas de creencias de los profesores,sustentadas –en muchos casos– en la

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experiencia. Otros se circunscriben a lasact iv idades que acompañan elaprendizaje para buscar la mejora de losmétodos de enseñanza, un aspectosumamente importante de lainvestigación, ya que está relacionadocon la apl icación del saber que seproduce en la ME para la innovación enla escuela, de ahí que tenga un alto valorutilitario y sea una de las principalesdemandas del profesorado a estadisciplina.

Existe otra veta de la ME se encamina alestudio de los problemas que seenmarcan en torno a la transmisión oraldel conocimiento, los procesoscognitivos, la motivación y la creación deactitudes positivas; los trabajos de estet ipo en ocasiones han sido pocoabordados porque exigenconsideraciones teóricas que, se pudierapensar, están muy alejadas de ladisciplina.

Otras investigaciones de ME ponen ciertaatención sobre recursos, específicamentesobre aquellos que refuerzan el proceso deenseñanza, los materiales educativos, lascalculadoras y computadoras, y la maneraen que los medios audiovisuales se habríande introducir en las aulas. Estasinvestigaciones tienen un carácter urgente,ya que la escuela está resintiendo unafuerte presión social para introducirtecnologías que ya tienen un usogeneralizado en la sociedad y, enocasiones, con un alta efectividad(Trouche, 2005).

Como los anteriores, muchos otrosproblemas se están abordando en el campode la matemática educativa desde múltiplesparadigmas, debido a que es una disciplinaeminentemente social.

Uno de esos paradigmas, en el que nosformamos y actualmente desarrollamos ennuestro trabajo es la socioepistemología2

(Cantoral y Farfán, 2004), que plantea unadistinción de origen con las aproximacionesepistemológicas tradicionales. Mientraséstas asumen al conocimiento como elresultado de la adaptación de lasexplicaciones teóricas con las evidenciasempíricas, ignorando el papel que losescenarios históricos, culturales einstitucionales desempeñan en todaactividad humana, la socioepistemología seplantea el examen del conocimientosituado, aquel que atiende a lascircunstancias y escenarios socioculturalesparticulares. El conocimiento, en este caso,se asume como el fruto de la interacciónentre la epistemología y los diversosfactores sociales.

Desde este enfoque, reflexionamos sobreun fenómeno didáctico llamadoreproducibilidad, cuyas investigacionesiniciales (Farfán y Lezama, 2001; Lezama,1999; Lezama, 2003) se centraron en larepetición de situaciones didácticas,trabajadas con la metodología de laingeniería didáctica (Artigue, 1995; Artiguey Perrin-Glorian, 1991). En este artículo nosinteresaremos por discutir el papel quetienen los estudios de reproducibilidad de

La socioepistemología es una aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar los fenómenos de producción

y de difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple, al incorporar el estudio de las interacciones entre la epistemológica

del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía

la enseñanza. Tradicionalmente, las aproximaciones epistemológicas asumen que el conocimiento es resultado de la adaptación

de las explicaciones teóricas con las evidencias empíricas, ignorando, sobremanera, el papel que los escenarios históricos,

culturales e institucionales desempeñan en la actividad humana. La socioepistemología, por su parte, plantea el examen del

conocimiento social, histórica y culturalmente situado, problematizándolo a la luz de las circunstancias de su construcción y

difusión.

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los productos de innovación para laescuela, y que han sido elaborados conbase en la investigación.

Cabe señalar que las investigaciones sobrereproducibilidad no sólo tienen un carácterpráctico, al hacer un análisis de losaspectos a considerar cuando se elaborandispositivos didácticos para intervenir enun sistema didáctico determinado, sinotambién tienen un carácter de investigaciónbásica, ya que han permitido conocer larelevancia de las estructuras de dichosdispositivos y muy especialmente nosintroducen a modelar la actividad delprofesor y, con ello, al reconocimiento desu labor fundamental para alcanzar lospropósitos didácticos.

El fenómeno de la reproducibilidad

Estudiar el fenómeno de la reproducibilidadde una situación didáctica o situación deaprendizaje implica establecerexplícitamente los factores que posibilitan ellogro de los propósitos didácticos de unamisma clase, al repetirse en distintosescenarios.

La exploración de la reproducibilidad sepuede iniciar alrededor del fenómeno delenvejecimiento de situaciones deenseñanza3, que está asociado con otro deíndole más general, el de la reproducibilidadde situaciones de enseñanza. Brousseauhace dos preguntas que permitenvislumbrar la problemática asociada alfenómeno de la reproducibilidad:

El hecho de reproducir situaciones deaprendizaje provoca una pregunta quees esencial para la didáctica: ¿qué eslo que realmente se reproduce? (…) Unprofesor que reproduce la misma

historia, la misma sucesión deactividades y las mismas declaracionesde su parte y de parte de sus alumnos,¿ha reproducido el mismo hechodidáctico que ha producido los mismosefectos desde el punto de vista delsentido? (…) Saber lo que sereproduce en una situación deenseñanza es justamente el objetivo dela didáctica; no es un resultado de laobservación, sino el de un análisis quese apoya en el conocimiento de losfenómenos que definen lo que dejaninvariable (Brousseau, 1986).

Las preguntas anteriores nos permitenidentificar elementos que pudierancaracterizar el fenómeno que designamoscomo reproducibilidad.

La reproducibilidad comoinvestigación básica

La ME reflexiona tanto en sus métodos deinvestigación como en el examen de lanaturaleza de sus hallazgos. El fenómenode la reproducibilidad adquiere un papelrelevante en este último aspecto, comohace ver Johsua (1996), quien discutesobre lo que es un resultado deinvestigación en el campo de la ME, bajotres condiciones:

Brousseau introduce la noción de envejecimiento de las situaciones de enseñanza a fin de mostrar el problema que

experimenta el profesor para reproducir una misma lección con nuevos alumnos; los resultados que se obtienen son

diferentes en cada repetición y, en ocasiones, mucho más pobres. Él afirma que surge en el profesor la necesidad de

modificar las instrucciones, su exposición, los ejemplos, los ejercicios y en ocasiones hasta la estructura misma de la

lección. Mientras más repite la lección, este fenómeno se acentúa, llegando a cambiar el sentido de la lección original.

Reconoce que las situaciones con poca interacción entre alumno y profesor, como las exposiciones seguidas de ejercicios

o instrucciones acompañadas de una situación de aprendizaje, envejecen más lentamente.

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a) Que se apoye en argumentosempíricos. Es decir, que haya datosempíricos producto de la observación, elanálisis y la experimentación quesustenten las afirmaciones.

b) Que la didáctica pase de laidentificación de fenómenos didácticos ala delimitación de las condiciones de suaparición. Afirma que la teoría gana enpotencia cuando es capaz de distinguirlos fenómenos recurrentes de aquellosque son contingentes, las formas deaparición de fenómenos recurrentes y lascondiciones de producción de unos yotros.

c) Que haya producción de fenómenos.Eso conduce a pasar de datos deobservación a datos experimentales ensentido estricto, sujetos aexperimentación. Lo mismo si laslimitaciones aparecen al principio que enla reproducción de esos fenómenos, almenos se deberá exhibir la posibilidadde dominio de la evolución del fenómeno,hecho que está ligado a un cierto rangode predicción. Esta condición quizá esla más importante de todas.

Johsua se pregunta si la didáctica de lasmatemáticas responde a esas trescaracterísticas, y señala que, de ellas, lamás problemática es la de lareproducibilidad. Afirma, con base en lasinvestigaciones de Artigue (1984), que lareproducibilidad en sentido estricto no sepuede asegurar en didáctica. Uno puedeganar en predicción reagrupando lashistorias de clase en vecindades dehistorias y en distinguir trayectorias yórbitas propias de cada situación didáctica,lo cual constituye una limitante muydrástica para la reproducibilidad.

Ahora sabemos que la reproducibilidad no

depende únicamente de los elementosinternos del diseño, sino que se debenconsiderar factores exógenos a él, y quepara poder obtener cierta estabilidad en losresultados tendremos que identificar yatender a esos factores, como se mostrarámás adelante.

La ingeniería didáctica

En la ingeniería didáctica, como metáforade la actividad de los ingenieros (Artigue,1995), se reconoce que los objetos con losque se trabaja en educación resultan sermucho más complejos que losconsiderados por la ciencia, lo cual obligaal ingeniero-investigador o ingeniero-profesor a hacer uso de todos los recursosa su alcance para lograr su objetivo.

Desde su surgimiento, la ingenieríadidáctica ha sido vista con una doblefunción, como declara Chevallard (1982):“Ingeniería, acción para investigar” e“Ingeniería, acción para la acción”. Talpolisemia de la expresión “ingenieríadidáctica”, vista como metodología deinvestigación y producción de desarrollospara la enseñanza, le es inherente; sinembargo, deja al descubierto que laseparación entre la investigación y la acciónno es fácil de localizar y, sin lugar a dudas,puede representar peligros deinterpretación.

Un aspecto relevante de la ingenieríadidáctica es su esquema experimentalbasado en las realizaciones didácticas enclase, es decir, sobre la concepción,realización, observación y análisis desecuencias de enseñanza. Además, secaracteriza por ubicarse en el registro delos estudios de caso cuya validación es enesencia interna, ya que se sustenta en laconfrontación entre el análisis a priori y ela posteriori.


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Breve revisión de los estudios dereproducibilidad

La tesis doctoral 4 que presentó Artigue en1984 constituye el primer estudioespecífico sobre el fenómeno de lareproducibilidad, ya que propone laconstrucción de un modelo que le permitacaracterizar a la reproducibilidad comofenómeno didáctico para así poderloestudiar, explicar y simular.

De inicio, Artigue pone de manifiesto lasdificultades que se enfrentan al desarrollarinvestigaciones con grupos en situaciónescolar, al señalar que las investigacionesclásicas, clínicas o estadísticas introducenun paréntesis en el medio escolar durantela experimentación; por el contrario, laexperimentación en situación escolarresulta difícil debido a la complejidad delsistema, ya que no se puede aislar alalumno del grupo, al grupo del maestro nial maestro de la institución.

Las preguntas que guían su investigaciónson:

¿Cuáles son los fenómenos observadosy cuáles son las variables que losdeterminan?

¿Qué relaciones existen entre lashistorias de clase y las historiasindividuales de los alumnos?

¿Se puede pasar de un discursodescriptivo llegando a uno explicativo y,aún más, predictivo, a nivel de losalumnos, a nivel del grupo?

Artigue precisa que Brousseau (1981) fueel primero en enfrentarse al problema dela reproducibilidad y le identificó dosvertientes: una externa, de ordendinámico, que se ubica en el nivel de lashistorias de clase5 (actividades,procedimientos, entre otros, ostensiblespara el investigador), y otra interna, quese localiza en el nivel de la comprensiónde los significados.

Con base en el reconocimiento de lacomplejidad que implicaba retener ladinámica del grupo en el momento detrabajar una situación de aprendizaje,Artigue tuvo que reconsiderar sus hipótesisiniciales. Fue a partir del análisis de unaexperiencia de trabajo con una situacióndidáctica determinada (Artigue y Robinet,1982), la cual implicó un elaboradoproceso de simulación y análisis de losresultados, que pudo desprender algunasconclusiones importantes.

El desarrollo de una situación en ungrupo estará determinada por laestructura de la situación (las posiblesvías de solución –trayectorias–, lasdist intas órbi tas que se puedenproducir, los elementos de la situaciónque pueden provocar bloqueos en losestudiantes), así como por la difusiónlocal y grupal, que puede serespontánea o provocada por elprofesor.

Es el profesor quien conoce elpropósito didáctico de la situación, lasvías de solución y los posiblesobstáculos para el estudiante, asícomo el control del tiempo escolar.

Para una descripción más detallada ver Lezama y Farfán (2001); Lezama 2003).

Una trayectoria estará constituida por todo aquello que hace un alumno en el proceso de resolver o enfrentar una

actividad en clase. Pero esta noción de trayectoria es demasiado amplia y compleja para identificar en ella de manera

razonable regularidades cognitivas. Es por ello que se utiliza preferentemente la noción de órbita, que permite operar los

reagrupamientos didácticamente significativos. Una órbita sería una sucesión finita de estados del sujeto; dicho de otra

manera, es una discretización de la trayectoria. El conjunto de las órbitas da la historia de clase.

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En tal dinámica, el maestro juega unpapel esencial. Él es el actor decisivode la reproducibilidad.

Artigue concluye que “la reproducibilidadestá en buscar en las estructuras dehistorias y no en las historias mismas, ydentro de esa reproducibilidad estructural,el profesor tiene un papel activo adesarrollar” (1986, p.55). Sin embargo,reconoce que los resultados obtenidos ensu investigación son limitados porreducirse a estudiar el problema de lareproducibilidad bajo un ángulo dinámicopara una situación, no para un proceso.

En 1989, Artigue comenta en relación a lareproducibilidad de situaciones didácticas:

Me parece razonable formular en laactualidad la siguiente hipótesis conrespecto a la noción dereproducibilidad: conviene pensarlas relaciones entre reproducibilidadinterna y reproducibilidad externaen términos de una relación deincertidumbre. En otras palabras,una exigencia fuerte dereproducibilidad externa no puedesatisfacerse sino sacrificando otrotanto la reproducibilidad interna.

Otros estudios relacionados con lareproducibilidad

Otras investigaciones, elaboradas a partirde los estudios de Artigue, hanincorporado nuevos aspectos aconsiderar, como es el caso de Grenier(1989). En esta experiencia emergenfenómenos en las etapas deinstitucionalización, cuando el profesordeberá tomar decisiones sobre el curso dela discusión, en términos de laproblemática que plantean los estudiantes

en su debate y los objetivos trazados porel diseño de la situación. Ello nos permiteobservar el papel del profesor al momentode tomar decisiones con miras alcumplimiento del objetivo de la situación;además, se plantea el fenómeno de lasrepresentaciones del profesor con relacióna los alumnos, al saber y al aprendizaje.Tal hecho es un elemento que Artigue noconsideró en su trabajo.

La investigación de Perrin-Glorian (1993)muestra la necesidad de considerar el polodel “profesor” como un elementofundamental a considerar en un estudio dereproducibilidad. Uno de los problemasque le interesaba explorar a Perrin-Glorianera encontrar las variables intermediariasposibles, orientadas a explicar lasdiferencias de aprendizaje a partir desituaciones aparentemente idénticas. Sinembargo, se hizo notorio el fracaso dellevar una ingeniería didáctica diseñadapara un escenario a otro muy distintoporque, a pesar de que se hicieron lasadaptaciones que se consideraronpertinentes y se trabajó estrechamente conlos profesores de grupo, sobre la marchase mostraron las enormes distorsiones quese producían al aplicar las actividades enel aula, debido a las interpretaciones quehacían los profesores sobre las actividadesy a las características de los grupos. Antela fuerza de las variaciones, Perrin-Gloriantuvo que renunciar al planteamientooriginal de su investigación, trasladandoel foco de atención a las diferencias deaprendizaje.

El estudio de Perrin-Glorian nos muestraque las ingenierías no son instrumentosuniversales, lo cual es un hecho relevanteen términos de reproducibilidad porquenos permite poner atención en losaspectos de estructura de las situaciones,los trabajos de adaptación para losescenarios y el papel del profesor en la


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actividad de reproducir ingenieríasdidácticas.

Por último, Arsac, Balacheff, y Mante(1992) reportan una investigación en laque, con el fin de dar un carácter científicoal problema de la reproducibilidad desituaciones didácticas, se plantean lasiguiente pregunta: ¿Qué tipo defenómenos podemos esperar sereproduzcan cuando la misma situación declase es implementada por dos profesoresdistintos en dos diferentes clases?

Con dicho fin, se creó un experimento queconsistía en plantearle un problema avarios grupos de estudiantes. En el diseñodel problema participaron los profesoresque coordinarían la actividad con el grupo;sin embargo, debido a su fuerteintervención en el desarrollo de esa tarea,se decidió realizar una segunda etapa enla que se repitió el experimento, pero condocentes ajenos a la elaboración deldiseño del problema.

El principal requerimiento a los profesoresque aplicarían la actividad era que nopodían intervenir en aspectosmatemáticos; sólo dirigirían la discusióndel problema en grupo y elaborarían unreporte de lo acontecido.

A partir de esta experiencia surgió elproblema relacionado con lo que sedenominaría comunicación de unescenario de una situación didáctica a unprofesor y, por tanto, a la descripción dedicho escenario, que se caracterizó conlos siguientes aspectos:

Propósito didáctico de la situación.

Estructura de la situación (actividad delestudiante, actividad del profesor,tiempo asignado, organización social dela clase).

Contenido de la situación (contenidomatemático, naturaleza de lasactividades, claves de construcción designificados), donde era indispensableestablecer ligas, interacciones ycompatibil idad entre contenido yescenario.

En el análisis de estas puestas en escenase evidenció que los profesores, duranteel período de debate, tomaban variasdecisiones opuestas al escenarioplaneado. Las causas de esto fueron lagestión del tiempo y la responsabilidadepistemológica del profesor (Balacheff,1988), ya que el profesor experimentó lanecesidad de un “cierre aceptable”; estehecho provocó una tensión entre esanecesidad y el contrato de no intervención,siendo el indicativo de la responsabilidadepistemológica del profesor. Asimismo, sedesprendieron dos elementos de índoleexógeno a la situación, que noincumbieron a la administración del tiemponi a la responsabilidad epistemológica delprofesor: la relación personal del profesorcon las matemáticas y con el contenidomatemático específico y las ideas acercade lo que es aprender y enseñarmatemáticas.

Como podemos observar, estasconclusiones giran alrededor de lasconcepciones del profesor.

Es importante notar el deslizamiento dela atención a la posición del profesorcuando se hacen consideracionesrelacionadas con la reproducibilidad.Artigue (1995) llama la atención de ello, eindica que la investigación de Arsac (1989)pone en evidencia la desproporción entreel carácter aparentemente insignificantede algunas intervenciones del profesor ysus efectos reales.

Arsac señala la necesidad de construir

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alguna otra categoría paralela a la devariable didáctica –como podría ser la deescogencia didáctica– que permita hacerconsideraciones sobre las posiblesdecisiones tomadas por el profesor antedeterminadas situaciones en el curso delas interacciones con los estudiantes, lascuales no sólo motivan un cambiocognitivo en el estudiante, sino tambiénel sentido y la función del conocimiento.

Tras reconocer la importancia de lostrabajos que hemos mencionado en esteapartado, Artigue indica que estánabriendo un tema de investigación que, sibien plantea preguntas y dificultadesmetodológicas delicadas, tiene comobeneficio la atención que se le estábrindando al profesor.

Reproducibilidad interna yreproducibilidad externa

Debido a la naturaleza dual de laingeniería didáctica y la cercanía que estapráctica de investigación tiene con losprofesores y su actividad en el aula, esfácil querer trasformar los diseños deinvestigación en diseños para clase. Taltentación la experimentan tantoinvestigadores (con el fin de probaracciones desarrolladas bajo un controlinusual en una clase estándar) comoprofesores cercanos a los investigadoresy a las investigaciones mismas, quienesincluso demandan ese traslado.

Es una necesidad real la demanda de quela investigación produzca objetosdidácticos para ser llevadosposteriormente al aula, en condicionesreales de clase; sin embargo, como se havisto, introduce una problemáticaimportante, ya que el objetivo del diseñode una situación es que tenga una

reproducibilidad interna, la cual estásituada en la construcción de significadoscon relación a un contenido matemáticoespecífico. No obstante, la descripción quegeneralmente se hace sobre los productosde ingeniería enfatiza, sobre todo, lascaracterísticas de la reproducibilidadexterna, como los comportamientosindividuales o colectivos de losestudiantes, o su evolución en el tiempo.Tal procedimiento descriptivo da laimpresión de que la sola reproducibilidadexterna garantizará la interna (Artigue,1995); sin embargo, no pueden discurrirpor separado porque comparten un asuntode primordial importancia: buscar losmecanismos de reproducibilidad internahaciendo uso de todos los factores queconstituyen la reproducibilidad externa.

La reproducibilidad en el marco de lasocioepistemología

En razón de que la investigación sobre elfenómeno de la reproducibilidad estáligada a la necesidad de acercar susproductos de investigación a la escuela,necesita contestar dos preguntas: ¿cómodeberán ser comunicados estos productosde investigación? y ¿cómo podrán sertomados en cuenta o utilizados por elprofesor en su práctica docente?

Pero surge otra interrogante: ¿Cómogarantizar, por una parte, la estabilidad delos efectos didácticos en una actividad declase, o en el uso de un texto, de unaingeniería didáctica o de una propuestacurricular; por otra, la validez de unhallazgo de investigación surgido de unaexperimentación didáctica?

El término estabilidad de efectosdidácticos se presenta frágil cuando semiran los reportes de las investigaciones


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sobre reproducibilidad. Artigue hacesimulaciones sobre posibles órbitas enuna situación didáctica concreta, pero sumodelo le impone restricciones en torno alas interacciones entre estudiantes y elprofesor; esto no le impide darse cuentadel papel del profesor para el logrodidáctico en un grupo.

Ahora bien, el diseño de situaciones deaprendizaje y la correspondienteinvestigación de su reproducibilidad esrelevante dentro del enfoquesocioepistemológico, ya que el diseño delas situaciones requiere que se incorporensupuestos inherentes a dicha perspectiva,como el que “la matemática escolar estáal servicio de otros dominios científicos yde otras prácticas de referencia de donde,a su vez, adquieren sentido y significación”(Cantoral y Farfán, 2003a y 2003b). Estesupuesto exigirá la estructuración deactividades y prácticas de aprendizaje quecontrastan con el discurso escolarconvencional.

En este contexto se diseñó una ingenieríadidáctica orientada a explorar nuevasmaneras de abordar la funciónexponencial, que forma parte de unproyecto más amplio, dirigido aelaboración de un nuevo lenguaje gráficoen el marco de la construcción de ununiverso de formas gráficas que sea a suvez amplio y estructurado, y permitaconstituir una base de significaciones paraprocesos y conceptos del cálculopreuniversitario y universitario.

Un proyecto de esta naturaleza provocala necesidad de introducir nuevasprácticas escolares de aprendizaje queimpliquen, como señalan Cantoral yFarfán, “no mirar los conceptos y susdiferentes estructuraciones conceptualesen forma aislada, sino tratar con lasprácticas que producen o favorecen la

necesidad de tales conceptos” (2003a y2003b). En este sentido, se produce unimportante deslizamiento metodológico enla actividad didáctica, desplazando el focode atención en la definición del conceptoa las prácticas (sociales) que lo propician.

La ingeniería didáctica, llamada “Un estudiodidáctico de la función 2x” (Aguilar, et al.,1997; Lezama y Farfán, 2001; Lezama2003), fue el producto de reflexiones sobreelementos de índole didáctico,epistemológico y cognitivo. Estabaencaminada a que el estudiante seapropiara de la noción de funciónexponencial favoreciendo la realización deacciones concretas, las cuales seríandesarrolladas paso a paso a partir decriterios geométricos, localizando puntos enel plano, observando las dificultades paraobtenerlos, escribiendo y analizando tablascon el fin de identificar regularidades quepropiciaran la generalización. Para ello, sepropuso una construcción cuyascaracterísticas atendieran a:

Elementos geométricos y gráficos, querequerían las actividades donde sesolicitaba la realización de trazos y lalocalización de puntos en un sistemacoordenado.

La inducción de lo local a lo global, quese presentaba tanto en las actividadesdonde se solicitaba la argumentaciónsobre la posibilidad de localizar otrospuntos, como en las que se debíaargumentar sobre los cocientes y lasdiferencias de valores puestos ensucesión, los cuales se observarían enlas tablas elaboradas.

El elemento de generalización, que seencontraba en la actividad donde se pedíaanalizar si las regularidades observadaspara 2x se podrían tener en otrasexpresiones exponenciales.

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Dicha secuencia didáctica perseguía dosobjetivos: a) proporcionar un procesogeométrico de construcción de puntos dela gráfica de la función 2x –y, a partir deeso, analizar las regularidades quecaracterizan a dicha función–; b)confrontar la concepción espontánea deque 2x es evaluable sólo cuando x esentero.

Un estudio de reproducibilidadbasado en la repetición de la

ingeniería en diversos escenarios

Repetimos la ingeniería mencionada endiversos escenarios, haciéndonos lassiguientes preguntas: ¿Qué tipo defenómenos podemos esperar queaparezcan cuando se repite una situacióndidáctica que fue diseñada con unpropósito específico, al ser aplicada pordiferentes profesores o un mismo profesoren diferentes escenarios con la intenciónde lograr su reproducibilidad? ¿Cuáles deestos fenómenos apuntan a lograr lareproducibilidad y cuáles no? ¿Cuáles sonpredecibles y cuáles no?

Cabe señalar que repetir no es sinónimode reproducibilidad. Nuestra revisión delos distintos estudios relacionados con lareproducibilidad nos permitió conocervarios fenómenos que estarían presentesen el ejercicio de la repetición de laingeniería “Un estudio didáctico de lafunción 2x”, como las dispersiones ybloqueos que experimentan losestudiantes al trabajar el contenido de lasituación, y las variadas interpretacionesque sobre el contenido podrían elaborarlos profesores, las cuales obstaculizaríannuestro propósito de estudiar el “proceso”

de reproducibilidad; es decir, lascondiciones generales que permiten lareproducción de un objeto didáctico.

Por ello, nuestra intención era identificarlos fenómenos que surgen cuando serepite una situación didáctica, a fin dedesprender de esa experiencia loselementos generales que permitieranestablecer una clara definición de dichosfenómenos. Esto lo usaríamos en laconstrucción de un posible modelo dereproducibilidad para entender en quéconsiste el “proceso” de lareproducibilidad, el cual reconociera losaspectos relevantes que caracterizaran alos actores, los elementos dinámicos delproceso que resultaran determinantes yno exclusivos de la situación, así comoesclarecer el papel jugado por lasacciones individuales y colectivasconstitutivas de las historias de clase.Nuestro propósito es que dicho modelo seconstituya en un factor de predicción*

sobre la reproducibilidad de situacionesdidácticas.

Fueron dos los elementos en que nosapoyamos para efectuar nuestrainvestigación y en los que esperábamosprofundizar:

a)Reconocer la relevancia del papel delprofesor cuando se intenta reproducirsituaciones didácticas.

b)Advertir de que llevar una situacióndidáctica a un sistema didáctico ajenoal que nació constituye una intervenciónsobre dicho sistema, y que sólo se podráintervenir en él con legitimidad si seestablece un ordenado proceso decomunicación y construcción de

* Empleamos este término en un sentido descriptivo, como una manera de hacer uso de elementos que permitan conjeturar determinados

resultados a partir del cumplimiento de determinadas condiciones. Por la naturaleza del estudio, no puede asociarse el término al valor que se

le daría en Estadística.


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acuerdos con el profesor responsable, que haga posible hacer las adaptacionespertinentes de la situación a ese nuevo sistema.

La determinación de esos aspectos para cada puesta en escena nos permitió extraerelementos para elaborar nuestro modelo de reproducibilidad.

Epistemología del profesor Consideraciones metacognitivas

S

Sistema Didáctic o

Ingeniería Didáctica

Propósito didáctico Contenido matemático en juego Estructura y organización social de la clase

Análisis Preliminar Predicciones sobre el aprendizaje

Comunicación del escenario

Zona de negociación e intervención del profesor

Costumbres de clase, Ideas sobre el papel del profesor, concepciones sobre las matemáticas…

E

P

Elementos para un modelo dereproducibilidad de situaciones

didácticas

A continuación, se exponen algunosresultados y conclusiones producto de larepetición de la ingeniería en diversosescenarios. Una lectura completa seencuentra en Lezama (2003).

La situación didáctica en el sistemadidáctico

Al interior del sistema didáctico es elprofesor quien propone problemas, planeay diseña actividades; además, sigue elcurso de las interacciones del alumno conel saber a aprender. La intencionalidaddidáctica del profesor y aceptación delproblema por parte del estudianteprovocará en ambos el desarrollo de unconjunto de prácticas e interacciones que

caracterizarán al contrato didáctico. Ahorabien, si un mismo problema es llevado adiversos sistemas didácticos, laintencionalidad del profesor se ve afectaday, por ende, la naturaleza del contrato.Pero, en realidad ¿qué es lo que cambia?El propósito didáctico de la ingeniería semantiene aunque el profesor cambie, yaque es un elemento objetivo; sin embargo,la manera como el profesor se apropie deél y lo interprete sí afectará el desempeñode los estudiantes, debido a que seproducirán formas de interacción queestarán determinadas por el contratodidáctico.

De igual manera, planteamos nuestroproblema (como sinónimo de situación)con un propósito didáctico, pero con laintervención del profesor aparece un factorque denominaremos intencionalidad delprofesor; el cual podemos esperar que sea

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uno de los que afecten al sistema conmayor fuerza.

La estructura de la situación didácticacomo factor de reproducibilidad

Dentro del sistema, la situación didáctica“Un estudio de la función 2

x” se ubica en

el polo del saber. Y aunque no se la puedeconsiderar independientemente de losotros dos polos –el del profesor y el delestudiante– las consideraciones sobre suestructura y propósito fueronfundamentales para nuestro interés porreproducirla.

Así, en el proceso de comunicación delescenario, principalmente cuando se abrióla posibilidad de que los profesorespropusieran cambios a la situación, lasúnicas modificaciones introducidas porellos se ciñeron a la redacción de algunasactividades que, en su opinión, resultaríanmás comprensibles a los alumnos. Lospropósitos, los antecedentes, el ejeconceptual y la secuencia de situacionesdel problema permanecieron inalteradosen todas las puestas en escena debido aque el carácter puntual de las actividadesde la situación planteó problemas muyconcretos al estudiante, lo cual redujo laposibilidad de dispersión, pero aumentólas posibilidades de bloqueo.

Además, la situación, por suscaracterísticas, era poco flexible parasufrir modificaciones en su estructura, deahí que no cambió su sentido de maneraimportante. Este factor de estabilidadpermitió tener un mayor control de laactividad cuando fue trabajada en equipopor los estudiantes, ya que fueron muypocos los casos donde los alumnosrompieron el orden propuesto en lasituación.

Los estudiantes ante la reproducibilidad

Se trabajó con los grupos en condicioneslo más parecidas posibles a una clasecomún. Uno de los factores en que máscuidado se puso fue al control de tiempo;sin embargo, en todos los casos se rebasóel tiempo estimado porque los estudiantesse tomaron amplios espacios de tiempopara discutir algunas partes de la situación.

Los estudiantes siempre trabajaron enequipos de tres, y todos se comprometierongenuinamente con la situación. No obstante,su trabajo resultó contrastante debido, enla mayoría de los casos, al dominio de losconocimientos previos que los estudiantesrequerían para trabajar la situación, perotambién incidieron las características delos equipos: hubo varios muy activos, quebuscaban alternativas de solución conmucho sentido o solicitaban el apoyo delprofesor, mientras que otros se mostraronmucho más reservados. Asimismo, enalgunos equipos el contenido matemáticode la situación fue una fuente de interés;en otros, fue desalentadora.

Si el estudiante acepta los problemas, lostrabaja, los discute, propone respuestas,las reconsidera, pregunta al profesor,reelabora sus respuestas, atiende a lo queotros equipos hacen, defiende su punto devista, consume el tiempo asignado y dejainconcluso su trabajo. Si finalmenteescucha los comentarios de otroscompañeros y del profesor con relación alos contenidos de la situación, ¿sereprodujo en él el propósito didáctico dela situación?

Lo dicho en el párrafo anteriorcorrespondería a una historia individual.Pero si se describen diez, quince o veintehistorias individuales, la dificultad radicaen cómo “sumarlas” para hablar despuésde la historia del grupo, y luego respondera la pregunta sobre si en él se reprodujoel propósito didáctico, considerando que


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la dinámica concerniente a la difusión dela respuesta a los problemas de lasecuencia puede ser muy variada.

En nuestro caso, dentro de un mismoequipo, cuando un estudiante tomaba elliderazgo del trabajo, sus compañerosdaban muestra de quedarse al margen dela reflexión, mas se incorporaban a ladiscusión cuando el líder dudaba yrequería de la validación de suscompañeros; en algunos casos, ahí seproducía un cambio de liderazgo. Pero notodos los grupos funcionaron por la vía delliderazgo; en la mayoría, los tresintegrantes trabajaron juntos paraenfrentar los problemas: juntos se hicieronfuertes, juntos se equivocaron.

Un fenómeno producido a partir de la faltade antecedentes matemáticos en losestudiantes

El caso de los grupos cuyos resultadosen el ámbito de la reproducibilidad externafue limitada provocó grandes dificultadespara interpretar lo que desde el puntomatemático habían hecho los estudiantes;por ejemplo, se encontraron hasta cincointerpretaciones distintas sobre lo quesignificaba realizar la operación 2 . Antelo variado de las respuestas, se efectuóun primer análisis de su trabajo, tratandode interpretar el contrato didáctico surgido.Se asumió que los estudiantes se sentíancomprometidos con los profesores yquisieron colaborar con ellos; sinembargo, sus respuestas no fueronresultado de un auténtico compromiso oapropiación de la situación, sino “unasalida al paso”. Reconsiderar esainterpretación llevó mucho tiempo y sólose logró cuando se puso a laconsideración de personas ajenas a laexperiencia, ya que cuando se les pidióque discutieran nuestras transcripcionesnos hicieron observaciones importantes

sobre la actividad matemática de losestudiantes, que no habíamos detectadoporque la interpretación de su desempeñodesde el contrato didáctico sólo nosconducía a trivializarlo.

La reconsideración de la actividad de cadaequipo y la naturaleza de sus respuestaserróneas nos llevó a darnos cuenta quesus integrantes estaban haciendo unesfuerzo por construir un significado; lacarencia de antecedentes matemáticosfirmes y la imposibilidad de ocupar losalgoritmos geométricos no canceló laposibilidad de que propusierangenuinamente una salida matemática apartir de los elementos que sí dominaban.Asimismo, que los estudiantesinterpolaran linealmente, propusieranrespuestas que generaran números noenteros, o a través de operaciones que síconocían, constituyeron evidencia de unquehacer matemático serio, por más quefuera erróneo. Ellos se encontraron anteuna frontera de conocimiento que les hizoproponer respuestas provisionales, y nola cortedad del tiempo de trabajo nopermitió que las pudieran reconsiderar.

El profesor como agente dereproducibilidad

El profesor tiene una posición privilegiadadentro del sistema porque domina elcontenido matemático de la situación,conoce las características de susestudiantes e interviene en elestablecimiento de los propósitos de laingeniería, adaptándola a partir de lascaracterísticas de sus alumnos. Por talmotivo, el polo del profesor es el quemayor trabajo exige en el proceso dereproducción de la ingeniería didáctica

Como planteamos en la estrategia de lainvestigación, se había considerado llevarla ingeniería a un sistema didáctico para

pq

el que no se había diseñado. Por tanto,había que hacer una intervención en elsistema mediante un plan que hicieraposible la adaptación de la ingeniería alnuevo sistema, mientras que el inicio delproceso de adaptación del diseño a lasnuevas condiciones exigía una ampliacolaboración entre el profesor del grupo ylos agentes que colaborarían en dichapuesta en escena.

El profesor ante la situación didáctica

Cuando los profesores trabajaron lasituación didáctica para conocerla tuvierondificultades porque les resultó inusual. Eluso de criterios geométricos llamófuertemente su atención; aunque fueroncapaces de hacer uso de los algoritmosgeométricos para obtener los segmentos,en ese momento no tenían claro para quéllevar un problema de potenciación alcampo geométrico.

Declararon que la actividad erainteresante y ponía en juego múltiplesconceptos geométricos, pero en principioestaban lejos de poder darle sentido.Suponemos que las dificultades que losprofesores enfrentaron y la riqueza de lasituación –en el sentido de que hacía usode varios aspectos matemáticos– provocóque reflexionaran sobre qué deberíanhacer para llevarla a sus alumnos. Estose debió a que los docentes trabajaron lasituación siempre en función de susestudiantes y los problemas los vivieron,en cierto modo, desde la perspectiva deellos. “Esto que a mí me está costandotrabajo, ¿cómo van a hacer losestudiantes para resolverlo?”

En su reflexión posterior del trabajo sobrela situación, les fue fácil expresarse sobreel contenido matemático de la situación ysobre las posibles dificultades que podrían

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enfrentar los alumnos al ocuparla, sinembargo, en los aspectos concernientesal sentido de la situación y los aprendizajesque propiciaba, sus comentarios fueronmás inciertos y breves.

Los profesores señalaron de manera claradeficiencias en sus estudiantes yexpresaron dudas sobre si podrían abordarciertos problemas. No se atrevieron aproponer modificaciones radicales a lasituación o al tiempo de desarrollo de lasactividades.

Los profesores y las interaccionescon los estudiantes

La actividad de los estudiantes en susequipos de trabajo exigió diversasintervenciones de los profesores que, paralos fines del análisis, se catalogaron comopreguntas, observaciones, indicaciones yacciones.

Debido al nivel de familiarización que paraentonces tenían los profesores con lasituación, se esperaban intervencionesbien dirigidas y que redujeran al mínimola incertidumbre. Sin embargo, muchastuvieron que calificarse como ambiguasporque empleaban un lenguajeinapropiado para los estudiantes, o eranrespuestas ajenas a lo que demandaban.La explicación a la intervención ambiguaes difícil de dar, ya que puede aludir a queel profesor no entiende la pregunta delestudiante, no está atento a lo que en esemomento el estudiante hace o no tieneclaro el sentido de la actividad; de ahí quesus observaciones y respuestas seanimpertinentes. En nuestra experiencia, lasinteracciones ambiguas constituyeron unafuente de bloqueos y desviaciones.

Cuando se incurre en las interaccionesambiguas, se muestra la complejidad de


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los fenómenos que se producen en el aula.Responder, indicar, hacer observacionesy realizar acciones en el marco de un planpara apoyar el proceso de aprendizaje delos estudiantes son actividades propias delprofesor, pero en determinadascircunstancias de presión o de enormedificultad puede hacer que vayan en contrade sus propósitos.

Elementos para la modelación delfenómeno de reproducibilidad

Llevar una propuesta de estudio formal aun sistema exige en el profesor queoperará la propuesta un alto nivel defamiliaridad con ella y que esté convencidode los beneficios para sus estudiantes.

Identificamos tres grandes espacios deacción a considerar para hacer un análisissobre la reproducibilidad:

a) Estructura de la ingeniería didáctica

(estructura). Es un espacio para elsaber constituido por la ingenieríadidáctica a trabajar, la cual es resultadode un análisis preliminar riguroso y sucorrespondiente val idación. Alcomunicarla a un profesor candidatopara que la lleve a sus estudiantes,consideramos que deberá:

Explicitarse de manera amplia elpropósito didáctico.

Establecerse de manera clara losantecedentes matemáticosindispensables para abordarla.

Mostrarse los ejes conceptual yoperativo, establecidos a través de unasucesión de elementos matemáticos aconsiderar, así como el conjunto deacciones, validaciones y formulacionesa realizar.

Analizar y discutir la estructura ysucesión de situaciones problema aresolver.

b) Comunicación del escenario

(comunicación). Es un espacio para lacomunicación de la ingeniería –lo que seha denominado comunicación delescenario–, consistente en discutir elpropósito de la situación didáctica. Al sernecesaria una apropiación del sentido dela actividad, analizar el por qué y para quéde todas sus partes, entonces se requierede un proceso de apropiación de laingeniería orientado a lograr que losprofesores puedan considerarse comodiseñadores de la situación. Ello seconsigue al resolver todas las situacionesproblemas y discutiendo aspectosconceptuales y operativos de la situación.

c) Adaptación al nuevo sistema

didáctico (adaptación). Es un espaciopara la planeación de la puesta en escenadonde, con base en el conocimiento quese tiene sobre los alumnos, es precisoidentificar los antecedentes matemáticosque requieren para trabajar la situación,así como las posibles dificultades quepodrían enfrentar desde la perspectivamatemática.

De igual manera, para desarrollar unproceso de adaptación de la situacióndidáctica al grupo de estudiantes hay queestablecer una negociación entre eldiseñador y los profesores; a partir de ahí,seguramente se rediseñará la situacióndidáctica ajustada al nuevo grupo deestudiantes. Además, resultaindispensable marcar los límites demodificación de la situación didáctica,poner en claro cuál será la estrategia deinteracción a seguir entre el profesor y losalumnos, así como tener en cuenta a laorganización social de la clase, donde seestablece la modalidad de trabajo con la

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que los estudiantes afrontarán la situacióny se elaborarán las predicciones sobre loque producirán.

Por tanto, la experiencia de trabajo de lasituación didáctica por los estudiantesestá determinada por la estructura de lasituación, el nivel de apropiación de lasituación por parte del profesor quecoordinará la puesta en escena (tal factordependerá de una apropiadacomunicación” del escenario) y unaconveniente adaptación, que toma encuenta las características de losestudiantes.

Ante las dificultades que los estudiantesenfrentan para resolver los problemasplanteados, entra en juego la organizaciónde la clase. Si el trabajo se efectúacolectivamente, debe considerarse laposibilidad de que la interacción entre losalumnos permita superar los problemas;si enfrentan obstáculos que, a juicio delprofesor, resultan insalvables o se desvíandel tema de la situación, la planeación dela puesta en escena debe proporcionarle

una estrategia de ayuda, la cual deberá estarplanificada con el fin de que sea lo menosinterventora posible y respondapuntualmente a las necesidades de losestudiantes. Debe tomarse en cuenta quelas interacciones entre profesores yestudiantes es uno de los factores quemayor alteración puede causar en eldesarrollo de la actividad.

Como se ha señalado, la reproducibilidadde la situación didáctica se puede presentarde dos formas: externa e interna. Lareproducibilidad externa, que se puede daren detrimento de la interna, consistiría entransitar por todas las partes de la situacióndidáctica, aunque no se esté seguro y no sepueda dar sentido a cada uno de losaspectos que se trabajan. Lograr lareproducibilidad interna estribaría en hacerevolucionar el trabajo de los estudiantes paraque puedan alcanzar tanto el significado delas actividades como una visión de conjuntosobre ellas.

El siguiente esquema ilustra cómoesperamos que se produzca esta evolución:

Esquema 1. Evolución del contrato didáctico de la zona de reproducibilidad externa a la interna.


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Por otro lado, lograr la reproducibilidad de una situación didáctica consiste en que lashistorias de clase descritas por los estudiantes se encuentren lo más próximas posiblesa la historia principal, que se establece desde el diseño. Las órbitas descritas por cadauno de los equipos pueden ser variadas, pero deben estabilizarse cuando se discutenlos obstáculos alrededor de los cuales se ha diseñado la situación.

Un diseño apunta a reducir al mínimo las posibles alteraciones, aunque son inevitables.Lo normal es que surjan múltiples alteraciones, provocadas cuando los estudiantes entrana interpretar los problemas que se les plantean por su bagaje matemático, por el dominioconceptual de los asuntos matemáticos que tratan o por la heterogeneidad de los alumnos.Estos elementos no son uniformes, por lo cual causan inestabilidad en el efecto didáctico;sin embargo, el profesor juega aquí un papel importante porque, desde su nivel deapropiación de la situación, y recurriendo a estrategias de interacción con los estudiantes,puede ayudar a reducir los factores desestabilizadores.

Para poder asegurar que el efecto didáctico se ha reproducido, la historia particular quedesarrolla cada uno de los estudiantes o grupo de estudiantes deberá tener el mayorparecido con la historia principal o ideal. La cercanía o lejanía de la historia principalestará determinada por los elementos estabilizadores o desestabilizadores que se ponenen acción, como ilustra la Figura 1.

Figura 1. Elementos estabilizadores y desestabilizares que inciden en la cercanía o lejanía de lahistoria de clase particular con la historia principal.

La reproducibilidad está determinada porla distancia o parecido de las historiasparticulares a la historia principal, sindesligarla del supuesto de que esimposible tener historias de claseidénticas.

La reproducción de una situación didácticarequiere que el diseño sea losuficientemente robusto para que presenteel menor número de dificultades deinterpretación, ya sea en su estructuraconceptual o en el lenguaje con el cual se

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plantean las situaciones problema. Ahorabien, el proceso de reproducción iniciacuando el profesor se pone a trabajar lasituación didáctica como un problemapersonal (en lo que se podría denominarproceso personalizador) e identifica suspartes problemáticas desde suexperiencia y formación, para luego pasara un proceso de despersonalización, enel que mirará a la situación como unaactividad para otros (sus estudiantes) ydetectará los elementos problemáticos apartir del conocimiento que tiene de ellos.

La etapa de preparación o adaptación quehace el profesor para los estudiantespodría ser considerada como rediseño dela situación. Su éxito dependerá de lahabilidad del profesor paradespersonalizar su experiencia de trabajocon la situación; es decir, no deberáidentificar las dificultades que experimentóal trabajarla, sino su estructura y sentidocon el fin de poder generar estrategiasapropiadas de adaptación para susestudiantes.

Dicha etapa de rediseño deberá, por unlado, ser hecha de tal manera que nocambie el propósito didáctico de lasituación; por otro, ser producto dediscusión y acuerdos con el diseñador. Unelemento característico de la toma deacuerdo es que el diseño pase en lapráctica a posesión del profesor que laaplicará, dado que él será el responsablede la puesta en escena. Este espacio deintervención del profesor en la situacióndidáctica permitirá que por fin que injieraen el sistema didáctico, que se habíaseñalado anteriormente como ajeno.

El trabajo de reproducción consistirá engenerar estrategias que reduzcan lo másposible aquellos elementosdesestabilizadores, si bien éstosaparecerán inevitablemente. Ahora bien,

los operadores de la reproducción (losprofesores) tendrán que estar atentos alsurgimiento de las situacionesinesperadas y atenderlas, pero como estotambién estará sujeto a accionesinesperadas, se caerá en procesos denaturaleza cíclica, mas característicos dela actividad humana.

Conclusiones

La búsqueda de elementos objetivos quegaranticen la repetición de los efectosdidácticos, independientemente de losalumnos y del profesor con los que setrabaje, hace que se vea el fenómeno dela reproducibilidad como algo ilusorio, yaque la experiencia muestra que cadagrupo de estudiantes es distinto y, porende, cada experiencia será distinta. Síse repiten algunas cosas, pero ladeterminación exacta sobre qué hace quese repita el efecto didáctico no es posibleporque la conducta de las personas enla clase es extraordinariamente compleja.Al repetir la situación didáctica “Unestudio didáctico de la función 2x”encondiciones de control pudimos identificaralgunos fenómenos que se producencuando ésta se reproduce en distintosescenarios.

Señalamos algunas conclusiones a dosniveles: las primeras son generales, lassegundas hacen referencia a asuntos decarácter específico.

Aspectos generales

El fenómeno de la reproducibilidad sepresenta como frágil, ya que la repeticióndel efecto didáctico está determinadopor múltiples factores, siendo los máscomplejos e incontrolables los humanos.


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El fenómeno de reproducibilidademerge en el contexto de unaintervención a un sistema didáctico, porlo cual es indispensable abordarlodesde una perspectiva sistémica. Ennuestra investigación obtuvimosevidencias de que en la tríada didácticael polo del saber es el más estable apesar de su complejidad, mientras queel de los estudiantes y profesores sonlos más difíciles de controlar.

El fenómeno de reproducibilidadtambién está asociado al de latransposición didáctica, ya que elproceso de adaptar una situacióndidáctica a un grupo específico deestudiantes se halla sujeto a unproceso de negociaciones yadaptaciones por parte de quien estáinteresado en repetir la actividaddidáctica. La negociación y la posteriorintervención sobre el diseño paraobtener el rediseño son actividadescaracterísticas del sistema operativo dela transposición didáctica, al queChevallard (1991) denomina comonoosfera. Se puede afirmar quereproducir una situación didácticaconstituye una transposición a unnuevo sistema didáctico.

La reproducibilidad de una situacióndidáctica, entendida como la cercanía delas historias de clases particulares a lahistoria de clase principal, puede serestablecida de manera objetiva, ya quepueden ser explicitadas las orbitas de lahistoria de clase principal y contrastarlacon las seguidas por los estudiantes.

Los elementos estabilizadores ydesestabilizadores pueden seridentificados y, en cierto modo,controlados a partir del proceso decomunicación del escenario y surespectiva adaptación.

El profesor juega un papel determinanteen el proceso de reproducción desituaciones didácticas; es el polo delsistema didáctico que requiere ser másactivo y flexible. Debe modificar sumirada sobre la situación didáctica, puestendrá que reformularla para susestudiantes y posteriormenteacompañarlos cuando la trabajen. Taldinamismo exige en el profesorhabilidades que van más allá del dominiodisciplinar; sin embargo, al ser tantos losaspectos que necesita cubrir, es muyfácil que falle en alguno. De igualmanera, en esas múltiples actividadespodemos observar cómo se ponen enacción las concepciones del profesortanto acerca de su propia actividad comoacerca de los alumnos.

Con relación a las actividades quedesarrolla el profesor, reviste primordialimportancia las interacciones entreprofesores y alumnos, ya que a travésde ellas se puede observar en toda surealidad no sólo el sistema didáctico,sino también los roles que asumen susparticipantes.

Aspectos particulares

En el aspecto de las interaccionesprofesor-alumno, pudimos identificar loque denominamos interaccionesambiguas cuando no le quedó claro aninguno de los part ic ipantes ladirección a la que había de dirigirse,lo cual creó un clima de acuerdosumamente ambiguo que no permitiódar salida a los problemas que seestaban enfrentando. A respuestasambiguas sobre preguntas específicasles correspondieron accionesambiguas, debido a la autoridad quereconocían los estudiantes a susprofesores.

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En las interacciones donde el profesorobservó que los integrantes de losequipos no avanzaban, podríamos decirque tal hecho lo angustió en extremo ylo obligó a hacer cada vez más intensassus intervenciones para tomar ladirección del equipo, lo cual generó enlos estudiantes acciones totalmentedependientes del profesor.

Se pudo estudiar el fenómeno quehemos denominado umbral deconocimiento, el cual resultó de lacarencia de los antecedentesmatemáticos indispensables paraafrontar la situación. Las respuestaserróneas podrían ser calificadas comoarbitrarias o como la consecuencia deun salir al paso ante preguntas dondese desconocían las respuestas. Losestudiantes formularon respuestasprovisionales que no estaban enposibilidad de validar o darse cuenta delerror por razones de tiempo.

Las respuestas dadas por losestudiantes eran auténticasformulaciones; sin embargo, esto sólo lopermitió ver un largo análisis de lo hechoy dicho por las estudiantes. Encondiciones normales de clase susrespuestas hubieran sido calificadascomo arbitrarias y erróneas.

El concepto de potencia entera positivase mostró estable en la mayoría de los

estudiantes, pero también fue causa delas dificultades para interpretar laspotencias fraccionarias, ya que carecíade significado para la casi totalidad delos estudiantes.

Muchos de los estudiantes asociaron lafunción exponencial con crecimiento,pero fueron incapaces de reconocer lamodalidad de crecimiento, ya que lamayoría representó dicho crecimientocon líneas rectas crecientes.

Una reflexión final

El enfoque socioepistemológico para eldesarrollo de las investigaciones sobre lareproducibilidad de diversas propuestasdidácticas tiene especial importancia, yaque la incorporación explícita de lacomponente social permite explorarfactores que se habían mantenido ajenosa la investigación en el campo de laMatemática Educativa.

Reconocer los elementos socioculturalesy su estrecha vinculación con los aspectosde carácter cognitivo, epistemológico ydidáctico abre una extraordinaria veta deexploración y, sin lugar a dudas, aportaránuevas e interesantes explicaciones sobrelos fenómenos, que podrán ser útiles aprofesores e investigadores en su afánpor rediseñar el discurso matemáticoescolar.

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Javier Lezama AndalónPrograma de Matemática EducativaCicata-IPNMéxico

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