DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINI-DAMENTE DIFERENCIABLE DE SOPORTE COMPACTO

J. Arias de Reyna Martínez

Recibido : 5 noviembre 1980

PRESENTADO POR EL ACADÉMICO CORRESPONDIENTE D. ANTONIODE CASTRO BRZEZICKY

1. Introducción

La existencia de funciones indefinidamente diferenciables de so-porte compacto definidas en R es un hecho elemental pero de conse-cuencias importantes. Las funciones de esta naturaleza suelen cons-truirse a partir del ejemplo de Cauchy, y por esto sus derivadassucesivas son difíciles de manejar. Este problema ha sido el que nosha llevado a definir la función que estudiamos en este trabajo.

Al considerar la figura 1 (imagen de una función de esta clasey de su derivada), nos surgió la siguiente cuestión :

¿ Existe una función ff •€ 3) (R) tal que :a) sop (H) =.[-1,1].b) If (í) > O para — 1< í < 1.C) 1f(0):=l.

d) Existe una constante k > O tal que, para todo t <€ R,

ïï'(f) = M 1 [ ( 2 * + l) - fl(2f-11] f

Es clara la interpretación geométrica de la cuestión.

Esta idea intuitiva se revela acertada y hemos conseguido demos-trar que existe una única función fl que cumple las condiciones an-teriores. Resulta además que la constante k que aparece en d) esnecesariamente igual a 2.

22 J. ARIAS DE EEYNA MARTINEZ

Vimos también que la función f tiene otras propiedades impor-tantes, como son su interpretación como una probabilidad (teore-ma 3), el constituir con sus trasladadas una partición de la unidad(teorema 5), la forma tan sencilla de sus derivadas sucesivas (teo-rema 4) y, la más importante de todas, que no siendo una funciónracional, sus valores en todos los puntos diádicos son números ra-

Fig. l.

•dónales que pueden calcularse efectivamente. Por esto y por estar.sus derivadas tan estrechamente relacionadas con la función, se de-duce que no sólo la función sino también todas sus derivadas pueden•calcularse exactamente en los puntos diádicos.

La única referencia que conocemos de esta función se encuentra-en un artículo de Jessen y Wintner (1935) en el que aparece definidapor su transformada de Fourier, como ejemplo de función indefini-damente derivable, sin estudiar ninguna de sus propiedades.

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIADLE 23

2. Existencia y unicidad

TEOREMA 1.—Existe una única función f : R —> R indefinida-mente diferenciable y de soporte compacto tal que:

«) Sop(M = [-1,1].¿O If (t) > O para — 1< t < 1.

c) fl(0)'=l.d") Existe una constante k > O tal que para todo t € R

fl'(t) = k [ f l (2t + D- if ( 2 t - l ) ] ,

.Siendo la constante k que aparece en d) necesariamente igual a 2.

DEMOSTRACIÓN.—En primer lugar, suponiendo- la existencia de if,vamos a probar que k = 2 y fl está determinada de manera única.

Puesto gue fl f ££ (R) su transformada de Fourier es una función'entera

lì (*.) = J fl (O «-««".«¿í (1)

Además las transformadas de fl' 0)> !í (2 í + 1). y H (2 í —'l) so'n

2 7 C Í Z if ( z ) , «tí* if ( 2 / 2 ) , e-*«'s U ( 2 / 2 )

•respectivamente. La condición d) se traduce pues en

* k sen it z *if Í 2 ) = if ( , / 2 )

2 1TZ

Usando reiteradamente esta relación se obtiene

(2)

if ( « ) = ( ¿ / 2 ) ««n

Á = 0

ît asen

2*

irz

2A

i r / 2i i i —\ 2- + 1

(3)

24 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

Las condiciones a) y b) implican que fl (0) = / fl (í) d t > O asrque tomando límites se obtiene que k = 2 y

nzsen

TT 2*n ( « ) = i r (0) U ——— (4>.Ã =0 " *

1t Z

"ã*"

Si existe una solución a nuestro problema será única, pues atser fl de decrecimiento rápido, por el teorema de inversión de-Fourier,

irc)=/iî (*) «H*"* ¿* (5).

y la condición c) determinará el valor de f (0) que es Io que queda.para determinar fl.

Veremos más adelante que, para que se verifique c), debemos*

poner f (0) = l, por lo que en lo que sigue llamaremos f a la fun-

ción definida por (4) poniendo H (0) = 1.Pasamos ahora a probar la existencia de fl. Partimos de la fun-

ción fl definida por (4). Es claro que ff es una función entera puesel producto converge uniformemente en compactos. La fórmula (2)puede usarse para obtener el desarrollo en serie de potencias

oo

fl (*)= S '* ( 2 « » ) « * (6)*^o ( 2 - 4 ) !

donde los c* son números racionales determinados por la relaciónde recurrència

Vi , 2¿ + l\< 2 * + l) 2«**»= 2, Ie* (7>

f=o \ 2 / 4 /

que prueba que todos los ck son positivos. En general

ck= -J"* TT (2««-l ) - i (8>(2* + l ) ( 2 * - l ) . . . l ííi

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 25-

donde los F* son naturales, F0 = 1, F1 = 1, F2 = 19, F3 = 2 915,.F4 = 2 788 989.

Teniendo en cuenta

sen z TT / z \ sen ir z TT / z* \= 11 cos — y 11 I 1 —7)z « = i > 2" / T E Z »-í \ n1 I

se obtiene

1Í(«) n" / *z \" TT /cos^ =n i-m—l\ 2m I m= 1 X

.j v 1 + v, (m)

9>

donde v2 (m) es el mayor exponente tal que 2V> Cm) divide a m.

Es claro que f restringida a R es indefinidamente diferenciable-Vamos a probar que es de decrecimiento rápido.

Designemos por / (x) — (sen x)/x, para todo x '€ R*. Entonces;I / C*1) I .̂ 1 Y I sen ^tr | < 1 y se tiene, para todo n,

* « — i /n\* « f f ( j f ) | = je« Jl / ( ic*/2*) f¿ «« U / ( i ta : /2 A ) ^ 2 ^ î - ' î C -

t = 0 ir=0

Además es fácil ver que existe una constante Mr ^ O para cadas.r € N tal que | or / (x) | !< Mr, por lo que

I ¿ '/(**/2*) | ¿í z'-a-^'-M,,

Usando ahora la regla de derivación de un producto infinito y lat

misma idea que en la acotación de | x"1 f (x) | se obtiene

I * " d r Ï Ï ( * ) | ^

é: y\ ———y\ ii d'i / ( « x / 2 * ) «" u / ( ic* /2*)S J,! ... fi! H « = 1 A * A,-

í1*"1"^í,, ... M^ ( y K^-ÍI*,-...-^ ) 2^ * '2 r!

í,!...í/!M,, 7C-"<00

donde la suma extendida a S se refiere a los conjuntos {Sj^ ... st}-de naturales tales que s^ + ... + st<= r y s f > l ; y Ia sumatoria.en H a todos los conjuntos {hL, ..., h,} de naturales distintosientre sí.

:26 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

Habiendo probado que ff es de decrecimiento rápido podemos de-finir jf por medio de la ecuación (5). Se obtiene así una función in-

«definidamente diferenciable de decrecimiento rápido. Por verificar fla ecuación (2) para k = 2 se obtiene que fl verifica d) para k = 2.Debemos probar que verifica además a), b) y c), en lugar de usarpara esto directamente el teorema de Paley-Wiener, preferimos el.siguiente método que proporciona más información.

Definimos ¡xm como la medida de Radon en R cuya transformada•de Fourier vale

TT / *x \*^)=n cos~^* = i v ¿ '(10)

Apuesto que

g / J_S 2 -*-» + _L S_r*~ l )=cos —- (11)\ 2 2 / 2 *

y-m es el producto de convolución

m I 1 1 \ *v.m= ^ _ s - A - ,+_ 8 -*-i (12)

•<londe las potencias deben entenderse también como productos de•convolución.

Es claro que || i¡tm [| = 1, ¡ATO > O y sop (¡im) c [— 1, 1], esto.último debido a que

œ ¿y * =1^—J -)K + l 'h=í ¿

LEMA 1.—La sucesión de medidas ¡im converge para la topología•as (SVÍb (R), C* (R)) hacia la medida fl A gw? ¿íVwí densidad ff rwpecio de la de Lebesgue X.

DEMOSTRACIÓN.—Sea C* (R) el espacio de Banach de las funcio-nes complejas continuas y acotadas definidas en R. Como las ¡AM es-tán en la bola unidad del dual, que es débilmente compacta, existeuna medida ¡i adhérente a la sucesión ¡Jt.m.

Puesto que 0 (>m) —* ^ (If ),) en C* (R), ha de ser ^ ({i) =

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFEEENCIABLE 27

= & (fl A) ; y, por ser ^ inyectiva en el espacio de las medidas deRadon acotadas, ¡x = f X. Como existe un único punto adhérente,•debe ser el límite débil de la sucesión ¡im.

Por ser ¡im —> fl X débilmente se obtiene que f[ satisface la con-dición a) y, puesto que fl es continua, que I f C ^ O ^ O para todo ^r'€R.

Sabemos que / fl (í) d í = f (0) = 1, pero ahora también sabe-mos que sop (fl) c: [—. l, 1] luego

o o

1 F ( 0 ) = l^'(t)Jt= l 2 ( U ( 2 f + l ) - i r ( 2 ï - l ) ) . r f / =

— i — l

= 2/ if ( 2 f + l ) rf í=/ f f («) rf«- . l ,

y f verifica la condición c).Por último |f verifica b). En efecto, por el mismo razonamiento

.-anterior se tiene, para todo x € (— l, 0),

x

(x)-* fTT ( * ) - 2 í 1f ( 2 Í + 1) dt (13)

, ^

luego |f es no decreciente en (—1,0) [por ser \'(x)^§\- Como"f es par, se deduce que \ (x) > O implica \ (í) > O para todoA '€ (— #, ¿r). Finalmente \(x)>§ implica If ((^ — l)/2) > O y portanto ^f (í) > O para í € (— 1, 1).

3. Otras expresiones de la función j[

Hemos visto dos posibles definiciones de la función \ : la ex-•presión (5) y la dada por el lema 1. Ahora vamos a obtener otras-dos, una como límite puntual de una sucesión de funciones escalo-liadas y otra mediante una integral. En primer lugar necesitamos-algunas definiciones y notaciones.

Sea p,n la sucesión de polinomios definidos por la relación deTecurrencia

A = l : /«(*)=/«-! (*") (1+*)". (U)

28' J. ARIAS DE REVNA MARTÍNEZ

Es fácil ver que

TT / l-** \* ( ->=ni-r r7- / (15>

El grado g.n de pn está determinado por las relaciones

¿"0 = 0; gn = 2 gn-i+lt (Ift

y por tanto

ÍL=_l + ̂ +...+ ̂ (17),2« 2 2* 2«

Comparando (12) y (14) se tiene que jiw es la medida que se ob-tiene sustituyendo en el polinomio

-C" + 1Ì2 ^ s ' / „ ( * )

cada potencia ¿r"1 por S ,„,_.,.

a"*1

Por ùltimo, para cada n '€ N, sea flB la función escalonada que-_/« + i\

se obtiene en 2 \ * ' pn (*) sustituyendo cada potencia xm porla función característica del intervalo

[ <¿m — \-Sn Zm + l-fn 1

2»-*-» ' 2" + 1 J

multiplicada por 2n. Tenemos entonces :

TEOREMA 2.—fl es el límite de la sucesión de escalonadas ffm.

DEMOSTRACIÓN.—Basta tener en cuenta que, para una función fcaracterística de intervalo de extremos diádicos, se tiene

l im ^ ( / )= lim J \\m / = / l f /.

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFEKENCIABLE 29

•junto con el hecho fácilmente comprobable de que flm es monótonano decreciente en (— 1, 0) y monótona no creciente en (O, 1) y ade--más Hm (0) = 1.

Es fácil ver que

A.+, (*)=/„(*) (1+X + XÍ+...+*-*1-1) (18)

Esto proporciona un algoritmo fácil para obtener las flm y tam-'bién prueba que

fim(x) = (l+x)(l+x + x* + x*)...(l+x f ... + **""-') (19)

;y por tanto la interpretación combinatoria siguiente del coeficiente*de xr en pm (x) :

El coeficiente de xr en pm (x) es el número de descomposiciones«d& r, r = s1 + s2 + ... + sm tales que O < s¡ < 2¡ — 1.

co

TEOREMA 3.—Sea a = (g) Xfc la medida definida en [O, 1]N, sien-k = l

•do At la medida de Lebesgue en [O, 1]. Para —1 <x < O se tiene

H (*) = o

QO

(** ) |0^ ̂ -^- ^^ + 1

DEMOSTRACIÓN.—Consideremos en [— 1, 1]N la medida

1® (—3, -' = 1 \ 2

» — * _ ( _ .2

'•(e = 1, 2, ...) y designemos la variable en el espacio [—1, 1]N por

'O*, 1» ¿*, 2) • • • ) '

Sea ¡A la medida definida en {O, 1}N como producto de la medida•que asigna a O y 1 peso 1/2.

Entonces v* = fu (¡A) siendo /> : {O, 1}N —»• •:[— 1, 1]N definidapor fK (sj, «2, ...) = (tt,i, t*,2, ...) donde

z-*,«, = 2-w-* si s m =l y ^M=-2~""~* si e« = 0,

También es ¡i la medida imagen de la de Lebesgue en [O, 1] por

30 J- ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

la aplicación g : [O, 1] —> (O, 1}N definida por g (x) = (e1} sa, ...>OD

si x = V^ (£„/2"") con sm € {O, 1}. g está definida de manera únic»m = l

sólo en casi todo el espacio [O, 1], pero no hay dificultad en salvareste inconveniente.

Por ser j[ (f) d t límite de las y,m se tiene, para toda / integrable,.

f f (t) Tf ( t ) dt~° f/(2i*,m) d <§, v*.•/ ./ * = i

Esta integral, por ser cada v* una medida imagen, puede conver-tirse en una integral sobre [O, 1]N con respecto a la medida

<T = ® X.Ã = 1

00

La relación /t o ̂ (^) = (ít_ 1; í t j2J ...) implica xk ~ ^ (s.m/2m>>K = 1

con e m < € { 0 , 1}, ííjm = 2-™-* : si <% = l y 4 , m = — 2-OT~I[ si sm = Or

luego

^ '*

00 , 0 0 CO .

X»1 Ä Q— íw — k i > í> — m — k > _ c) - m — k \

, m = Z,. £>» ¿ ~ \ ¿La ¿ ~ ¿Li m ¿ l"»4^=1 \ w=l m = l /

'*, » — X ,. "" ^ — | X , * ~»! = 1

:** 2-* + 1 -2-*

De esto resulta

/ / ( O II U ) r f ' = / / (¿ **2-*+'-l) ¿o\ * = i /

Poniendo /(í) = x c - i . a * + i ] (O queda, para —l < jc < O,

1i (^J^-!^^ ^S-A + l - l ^ S í + l J ¿0==

A= l

CO /»

= o^ V ^a~*^" + i J ^0"" (2°>*= L

oo

= a { ( « • * ) | O ^ 2 *A 2-* ̂ * + l

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE SB-

El resultado puede enunciarse del siguiente modo : fl (x) es la_probabilidad de que la suma S xk 2~ " sea menor o igual que x + 1(siendo —• 1< x < 0) donde cada XK es una variable aleatoria uni-formemente distribuida en [O, 1].

4. Propiedades

op

TEOREMA 4.— Sea 6 (t) = ̂ (— I)8 <k) fl (t — 2 k — 1) dowdrA = 0

s (k) ¿í la suma de las cifras de k expresada en el sistema binario.-.Entonces :

a) 6 es indefinidamente diferenciable.

b} «'(t) = 26(2 t ) ./* + i\

c) Para t € [— 1, 1], fl<k> (t) = 2^ 3 ; 6 (2k t + 2k).

DEMOSTRACIÓN.—La suma que define 6 (í) es localmente finita^Por tanto 6 es indefinidamente diferenciable y su derivada es

( ü ) = 2" ( - 1)'(A) 2 [ ff (2 / - 4 ¿ - 2 + 1) — ÏM2 / - 4 ¿ - 2 - 1)] =A = tf

= 2 ̂ [(-l) í (*> H (2/-2(2¿) _ ! )_ ( _!)'(*> íf (2 í - 2 (2 k + 1) - 1)J

0(t)

J 1 \ 3 5 / 7 \ 9 / 11 V V t

V7\7 WHg. 2.

y teniendo en cuenta la definición de í (k)

O' U) = 2 0 ("¿t) ' (21>

Derivando sucesivamente (21)

,k + i\u(k) ( / ) = 2 V 2 ' 6 (1kt) (22).

;32 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

Teniendo en cuenta que si t '€ [—l, 1], |f (í) = '6 (í + 1) se ob-liene

/*+i\fl<*) ( f ) = 2v 2 '6 (2** + 2*) si / e [ _ i , i ] {23)

Esta relación prueba que en cualquier punto diàdico t = q/2n eldesarrollo de Taylor es un polinomio

NT1 ÏÏ<*MOT ( / , * ) = > J! Li- ** (24)A^O k\

y si q es impar el grado de T (í, #) es n.

COROLARIO.—La función if wo es analítica en ningún punto del-Àntervalo [—1,1].

TEOREMA 5.—Si u > O y t € R se tiene

1 f ( t + uk,= 2;_Liì (JL).- lkf (25)k e z u \ u /z

k e Z k e Z

DEMOSTRACIÓN.—La suma de la izquierda en (25) es localmente-finita y por tanto indefinidamente diferenciable ; además es claro que•es función periódica en t de período «. Por esto admite un desarrollo*en serie de Fourier del tipo.

V i (* + «*)-£«* •"""="^w&ez kez

•donde

—-¡I.U J k*Z

tÏÏ ( / + «¿)«~ 2 *" 'T ^^ =

= z - ík^z « J

o

-L f K.« ./

tf (' + « * )«/

o

»(* + !)

"V T I «T , v -S«fn- — ,^ — I 1K»)« " rfz) =* €Z

1 . M

= — / íf ( » ) « " dv ••u

-!-!(-)« \ K /

DEFINICIÓN Y ESTUDIO - DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 33

Casos particulares de (25) son

2 1 k \Ï Ï ' ' + — - * sl * € N (26)

k*z \ ȕ

que es fácil probar derivando directamente. En particular

2 If «+*) = ! (27)k*Z

.que equivale a

U (0+ 1ÍU-1) =Í si ' € [0,1 J (28)

También de (25) se obtiene

^-t 1 X? » / k \2, i M / + 2 * ) = _2, if k-«"'* e z 2 A e z \ 2 /

(29)

•que, en esencia, no es más que el desarrollo de Fourier, rápidamente•convergente

1 -¿p ~ í 2-4.+ 1 \ï d f ) = . _ . 4 - > IT I_ eos ( 2 ¿ + l ) * í

2 fío ; A 2 /(30)

válido para ;¿ '€ [— 1, 1].

El signo'de fl ((2 k + l)/2), teniendo en cuenta el producto (9)•es la paridad de 1 + z>a (1) + 1 + w2 (2) + ... + 1 + vz (k) = Ã +

+ v,2 (kl)'= s (k), -así pues el signo de 8 (k).No solamente es (25) un desarrollo de Fourier síno que es tam-

bién la fórmula de. Poisson aplicada a la función tf (í + x). Para.t = O da en particular

X~" 'S"1 l' " t m \2,;,1F. (>*<0= 2, — 1T — (31)m f z m e z d \ a 1

<jue, por la forma del soporte de j|, proporciona,

•<r-i . I m \ 1« + 2 « i r ( « ) = 2, IF ( — si —m 6 z \ £í / 2

r^ a ¿, 1 (32)2

34 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

5. Valores en los puntos diádicos

En primer lugar determinamos los valores fl (1 — 2~ ").

TEOREMA 6.—Para todo n natural

I i»"1 f l ( t ) d t = ( n _ l ) ! 2 W f l ( i -2- n )

o

/t2" 1f ( t ) d t = _ (34>

2o

donde cn so« Zcu números racionales que aparecen en el desarro-

llo (6) de \.

DEMOSTRACIÓN.—Es fácil probar, derivando, que en la sucesión»de funciones

/o (')= If (O, /, (»= ff (---). /i (') = » 1Í /1-1-1)\ 2 2 / \ 4 4 2 /

/,(o-2(í)*(J--±-_!--...-JL)\ 2* 2* 2*-» 2 /

cada función es primitiva en [— 1, 1] de la anterior y todas se anu-lan en í = —• 1.

Así pues, integrando por partes sucesivamente,

1 0 0

/ t-' fl ( t ) d t = (-í)» I i« y ( t ) d t = (-l)» I / « / „ ( / ) =

i — i — i

*° °= -(-!)"« / t'-if^t) dt = (-\}*(-\)«n\l f „ ( t ) d t =

-1 —1

(« + l\= « l / - f i (0) = « ! 2 V * ' 11(1-2-»-»)

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 8E>

Por otra parte

y,— (t«^(t)di= f f$(t)dt=i¡ í—\=y.a=t ni J J \ f¿v I

x'.t k

(2 /1 ) !—i —l

que prueba (34)

De las dos obtenemos

/ï« + n

fl(l_2-»-1) = JLj! ** TT(22*-lf' (85>( 2 « ) ! ( 2 » + l ) ( 2 « - l ) . . . l JJ-j

donde los F* son los enteros introducidos en (8).

Podemos calcular de manera análoga todos los fl (1 — 2~"). Paraello observamos que

/

l f e—1-Kixtfl(O*-««'»«¿/= + I fl'(') <i*

ÍTCÍX J ZtC ÍXO O

:í* J2 1 T ( 2 / - 1 ) '*"* dt= í (l---«í-1f(*/2))

2 T C Í Í C J 2lC»3í 2 lCÍ*o

por tanto

i i

f *>'H(t)dt=j?— / ' / · i r (o^=- — (i-"T í (—))J M = O » ! J K V \ 4* //

(36)

de la que se obtienen los jf (1 — 2~'n). Otro modo de calcularloses usar

l

/(*) = ! + * J í« ' f f ( / ) * / = ,T f /_íl J (37)

â6 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

y tener en cuenta

/ (2*)= — / (*) (38)

con lo que se obtiene

,

/ (*)= 2 —— *" <39>« = o « !

•donde d„ = 1 y vale la relación de recurrència:

inDe aquí que, con GK entero, se tiene

"̂ 1 / "+ 1 ,(« + D (2«- l ) r f , - ^ j | rf, (40)

4.= — TT (2*- l ) - t (41)(« + !>)! *=ì

que junto a (33) y

*•-/.'•

i

rf„= l í»-i ff ( ¡ f . j r f / (42)

o

•determina los valores de ff (l — 2""1).

Con esto estamos en condiciones de probar el siguiente teorema :

TEOREMA 7.—La función fl íowa valores racionales en todos lospuntos diádicos.

DEMOSTRACIÓN.—Sea í = q/2" con | q \ < 2n y vamos a calcu-las K?2-»).

DEFINICIÓN Y ESTUDIO DE UNA FUNCIÓN INDEFINIDAMENTE DIFERENCIABLE 37

Como fl y todas sus derivadas se anulan en —• 1 la fórmula inte-gral del resto de la fórmula de Taylor proporciona

t

--//

it — x)"'_ fl(« + i) (x) dx

n !

usando ahora la expresión de la derivada w-ésima

tl (" * 3Ì

' )= _2^ 2 i l (t- * ) » 6 ( 2 » HIf ( / ) = — 2 V 2 ' l (t- x)»f>(2« + i(l + x ) ) dxn \

Teniendo en cuenta que, para 2 h < 2"+1 (1 + x) < 2 (h + 1),se verifica 6 (2" + 1 (1 + *)) .= (— !)"<*' |f (2" + 1 (1 + x) — 2 A — 1)y haciendo 2re + 1 (1 + x) —• 2 h — 1 = M

! /- + •) »+£.-19V 2 /O-x- l1f ( / ) = — 2 V 3 y 2

» !¿" (-D-wf/ /—^-^±l+i)"lFW^-* = o J \ 2» + 1 2X + 1 /

1 _ /« +1\— L o V a /

+ i\ í+2-T1

= — 2

_ i ,-(-:l)f+v-1

»! *4i

h 2 — I /•

^ ( _ l ) i W I [2(5' — A ) + 2«+' — 1 — M]« If ( « ) r f « =4 = 0 J

— 1

,̂ /»\ r(-DÍÍ*)^ )[2(f-Ä)+2"+>-i]"-*(-i)*l **irw"* = o \ * / J

que junto con

i i

í- fi ( í ) ¿ í = [i + (- i )«] f t * V ( t ) d t

i i

f í - I f «)¿í = tl + (-l)-l f

y (34) prueba nuestro teorema, pudiéndose escribir

II (?2--)-

í + a"-i [f J (2V1)~("t1)= 2 T" Sí-1)*^)- [2(^-Ã)4-2"+ 1-l]"-2* fl(i_2-î*-i)

A^o ^o (» - 2 /í) !

38 J. ARIAS DE REYNA MARTÍNEZ

Para el cálculo puede obtenerse primero el denominador comúnde fl (q 2~K) para un n fijo, y usando (30) es posible entonces calcu-lar el valor exacto de fí((?2~™). Así para w = 5 el denominadorcomún es 33177600 i= 214 34 52 y se obtiene :

í~12345678910111213141516

33

3333333333323231302928262422201816

177

177177175152062842431780873707283622768784733662588

600 ff<?/82)

600E81312381400819088819600219888019000381712381800

í

77181920212223242526272829303132

33

141210864321

177

515443393409555893470304396746334115252

600 U (g/32)

219888219600581712381000781512781200219288190

Bibliografía

BOURBAKI, N. (1958). Fonctions d'une variable réelle. Hermann,Paris.

HEWITT, E. y STROMBERG, K. (1965). Real and abstract analysis.Springer, Berlin.

HORVATH, J. (1966). Topological Vector Spaces and Distributions.Vol. 1, Addison Wesley, Reading, Massachusetts.

JESSEN, B. y WINTNER, A. (1935). Distribution functions and theRiemann Zeta function. Trans. Amer. Math. Soc., 38, 48-88.

Departamento de Teoría de FuncionesFacultad de MatemáticasTarfia, s/n. Sevilla-12