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ISSN 0185-6200

MATHESIS

Enseñanza, pero no sólo aquella que se da, sino también aquella que se busca.

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MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

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edebé

ARTÍCULOS Fernando Zalamea. Javier de Lorenzo: por una filosofía dinámica de la praxis matemática. . . . . . . . . . . . . . . 1-35 Marco A. Hernández Ramírez. La noción de posibilidad en tres definiciones matemáticas de probabilidad. . . . . . . . 37-71 Miguel Ariza. Teoría semántica y matemáticas. Hacia una semántica presuposicional. . . . . 73-97 FUENTES Euclides. La perspectiva. . . . . . . . . . 99-192 Jesús Padilla Gálvez. Introducción a: Sobre consistencia y completitud en el sistema axiomático. . . . . . . . . . . . . . 193-196 Kurt Gödel. Sobre consistencia y completitud en el sistema axiomático. . . . . . . 197-204 RESEÑAS Mauricio Beuchot. Lógica y metafísica en la

Nueva España. por Walter Beller. . . . . . . . . . . 205-214

Alejandro Tomasini Bassols. Filosofía y Mate- máticas: Ensayos en torno a Wittgenstein

por Sandra Lazzer. . . . . . . . . . . 215-223 Jaime Nubiola y Fernando Zalamea. Peirce y el mundo hispánico. Lo que C. S. Peirce dijo sobre España y lo que el mundo hispánico ha dicho sobre Peirce.

por Mauricio Beuchot. . . . . . . . . . 225-227 INFORMACIÓN PARA AUTORES

Mathesis III 21 (2007) 1-35. Impreso en México. Derechos reservados © 2007 por UNAM (ISSN 0185-6200)

Javier de Lorenzo: por una filosofía dinámica

de la praxis matemática

Fernando Zalamea

Resumen La obra de Javier de Lorenzo en historia y filosofía de la matemática re-salta por su incisiva atención a los modos de hacer de las matemáticas avanzadas de los siglos XIX y XX, en contraposición con otras visiones filosóficas usuales de la matemática, restringidas a consideraciones sobre lógica, fundamentos o aritmética elemental. En este artículo de conjunto sobre la obra de Javier de Lorenzo, mostramos cómo éste construye una profunda mirada crítica sobre diversos haceres, estilos, niveles, inversio-nes y rupturas dentro de la praxis matemática, donde coexisten dinámi-camente la intuición y la demostración, la creatividad y la normalización, la imaginación y el rigor, gracias a múltiples definiciones, relaciones, modelos, contraejemplos y pruebas en las matemáticas avanzadas. De Lo-renzo consigue exhibir así a la matemática como un saber vivo, en cons-tante evolución, donde ámbitos irreducibles entre sí incluyen muy diver-sos quiebres creativos, y donde la problemática de los fundamentos pasa a situarse en un apropiado lugar secundario, sin mayor relevancia para una filosofía dinámica de la práctica real de la matemática.

Abstract We study the work of Javier de Lorenzo in the philosophy of modern mat-hematical knowledge (XIXth and XXth centuries). De Lorenzo’s perspective emphasizes the web of doing mathematics by its practitioners, a global pragmatic perspective which is able to embrace both style and rupture, in-tuition and proof, invention and discovery, imagination and standardiza-tion, particularization levels and universality. Creativity in higher mathema-tics is one of the main aspects elucidated by de Lorenzo’s approach, which has been kept at dark by main trends in the philosophy of mathematics. Well beyond the usual analytical considerations of foundations, de Lo-

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renzo opens up a synthetical view of actual (“real” in Corfield’s sense) mathematical practice.

1. Introducción Dentro de la aplastante cantidad de trabajos de ‘filosofía de la matemá-tica’ que terminan siendo, en realidad, ‘filosofía analítica de los funda-mentos clásicos de la matemática’ (teoría de conjuntos con una lógica clásica de primer orden subyacente), resultan muy interesantes aquellas voces singulares que se alzan en pro de una filosofía de las matemáticas en acción, una filosofía que debe preocuparse de los modos peculiares de invención y ordenación que se elaboran —más allá de las solas lógi-cas— en las diversas geometrías, álgebras y topologías de la matemáti-ca contemporánea, así como en los notables mixtos donde se han veni-do delineando su fuerza y su futuro (geometría algebraica, topología algebraica, espacios funcionales, etc.). Cuando, además, una de esas voces, alerta a la energía creativa de las matemáticas avanzadas, surge en un terreno baldío —árido y reseco en matemáticas— como la Espa-ña de los años 1960, y cuando esa voz consigue luego mantenerse audi-ble a lo largo de más de treinta años de escritura, firme y coherente en contra de las zigzagueantes corrientes de moda, nos encontramos ante una verdadera ‘singularidad’ que merece ser ampliamente resaltada. En este artículo ofrecemos una visión de conjunto de la obra de Javier de Lorenzo en historia y filosofía de la matemática, una obra notable no sólo dentro del mundo hispánico —donde brilla por su aislamiento y su unicidad— sino dentro del ámbito general de la filosofía de la matemá-tica en el siglo XX, donde sólo muy contadas percepciones filosóficas pueden describirse como realmente atentas a los desarrollos contempo-ráneos de la matemática y a la especificidad de sus diversos modos creativos. 2. Núcleos conceptuales y polaridades Una nítida conciencia de la praxis matemática subyace en toda la obra de Javier de Lorenzo y sirve de núcleo aglutinador para tensar su mira-da crítica. Para de Lorenzo, la práctica matemática escinde a la discipli-na en muy diversos ámbitos y niveles, con modos creativos que no resultan reducibles unos a otros; más allá de la reconstrucción conjun-tista ‘ideal’ de las matemáticas, la matemática se jerarquiza en entornos ‘reales’ de muy diversa complejidad, donde los modos de visión, intui-ción, relación o demostración no son correlacionables linealmente, ni pueden entenderse como meramente acumulativos. Los ‘haceres’ de la matemática (en la terminología del autor, donde el ‘hacer’ enfatiza la acción, la fragua, el quiebre) responden a muy precisos condicionantes

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—conceptuales, técnicos, históricos— donde esos haceres adquieren lugar. Como resultado, no sólo ciertos haceres geométricos deben dis-tinguirse de haceres lógicos o algebraicos, por poner el caso, sino que cierto tipo de haceres matemáticos merecen distinguirse de otros, de-pendiendo de su lugar dentro de una evolución (o ruptura) histórica determinada. Asociados a los diversos haceres de la matemática, de Lorenzo detecta múltiples ‘estilos’ en la praxis matemática, y esto le permite situarse desde una perspectiva global donde contrapone y equi-libra aspectos primordiales de la ‘creatividad’ matemática —la intui-ción, la imaginación, la balanza estética— con otros aspectos de la arquitectónica matemática —la demostración, los fundamentos—. Una dialéctica y una ‘dinámica’ vivas de los haceres matemáticos surgen con fuerza de la visión construida por de Lorenzo. Impregnada por un sostenido rechazo a todo tipo de reduccionismos —mentales, disciplinarios, institucionales— la filosofía de Javier de Lo-renzo se compenetra cómodamente con su campo de estudio, un univer-so matemático lleno de altibajos, diferencias y especificidades, que se han venido allanando fácilmente desde las perspectivas de la filosofía analítica, pero que no corresponden de hecho a la mucho más compleja práctica matemática moderna. Consciente, desde un comienzo, de que toda mirada se inscribe en un preciso contexto cultural subyacente, de

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Lorenzo muestra cómo —naturalmente, inevitablemente— una creencia orienta una interpretación; en el caso de nuestro autor, no pueden pasar-se por alto su fina formación dialéctica, su hábil percepción de tonos y modos, su rechazo de posiciones dogmáticas, su sensibilidad por las rupturas y los quiebres de todo lo humano. Sus creencias amoldan su visión, pero, por fortuna, resulta que las matemáticas de los siglos XIX y XX incorporan también —en su praxis ‘real’, independientemente del observador— profundas dialécticas, muy diversas multiplicidades crea-tivas, complejas polaridades y sorprendentes diferencias de enfoque. Cuando se acercan el marco del observador y el contexto que éste pre-tende observar, puede llegar entonces a producirse una interpretación valiosa para las diversas disciplinas en juego.

En las cinco secciones siguientes de este artículo, estudiaremos en detalle algunos temas básicos en la obra de Javier de Lorenzo realizada entre 1971 y 2001, a lo largo de treinta años de publicaciones conti-nuas, y que han quedado por ahora sólo señalados en la figura 1: (a) el papel central que el conocimiento real de la praxis matemática mo-derna y el reconocimiento de su jerarquización en ámbitos y niveles irreducibles entre sí otorgan a una filosofía dinámica de las matemáti-cas; (b) la consiguiente conciencia de que las matemáticas se entrela-zan alrededor de diversos haceres conceptuales, con sus estilos pro-pios y peculiares; (c) el lugar fundamental que ocupan la intuición, la imaginación, la visualización y el goce estético dentro de la creativi-dad matemática; (d) la explicitación del marco epistemológico de creencias, rupturas e inversiones en donde se mueve la matemática, entendida como construcción dinámica de la humanidad; (e) la labor de la lógica y de los fundamentos para correlacionar los entramados reticulares de la matemática. La articulación de temas tan diversos y delicados en la obra de un solo autor indica, de entrada, su verdadera seriedad e importancia. 3. La praxis matemática Desde su primera monografía, Introducción al estilo matemático [1971], iniciada con una Pensión de Literatura Juan March en 1966, de Lorenzo se muestra inmediatamente alerta a los modos de hacer de las matemáticas avanzadas. En contraposición con el enfoque usual de los filósofos de la ‘matemática’, quienes se restringen a la aritmética y geometría elemental (caso de Wittgenstein, que llega al extremo de dedicar decenas de páginas a ‘filosofemas’ sobre la suma de números naturales), o a la lógica y la teoría de conjuntos (Russell, Quine, etc.), de Lorenzo se enfrenta de entrada con el ímpetu creativo de grandes


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figuras de la matemática de los siglos XIX y XX (Cauchy, Abel, Ga-lois, Jacobi, Poincaré, Hilbert, el grupo Bourbaki, etc.). De Lorenzo parte de una constatación básica que sugiere la práctica matemática: el ‘hecho’ de que los ‘fragmentos’ de la matemática avanzada —teoría de grupos, análisis real, geometrías abstractas, por poner tres ejemplos gratos a de Lorenzo— conllevan ‘distintos’ modos de visión, intuición, manejo operatorio, y, aún, deducción, dentro de cada uno de sus con-textos conceptuales. De Lorenzo [1971, 23] señala cómo

la Matemática crece por yuxtaposición, dialéctica y no orgánicamente. Existen varios tipos de Matemática, sin más enlace entre ellas que el ser producto del espíritu humano. Cada época tiene sus enfoques y temática propios, que pueden ser, incluso, variados dentro de ese instante histórico.

De Lorenzo rompe así con una visión orgánica de la matemática —que crecería por acumulación y que progresaría ascendentemente— y pro-pone en su lugar un ensanchamiento conceptual de la disciplina, donde se entrelazan horizontalmente nuevos ámbitos, sin que deban cabalgar unos encima de otros.

En La matemática y el problema de su historia [1977], de Lorenzo postula la “radical historicidad del hacer matemático” [1977, 14] y confirma luego, con múltiples ejemplos de detalle dentro de las mate-máticas avanzadas, cómo “el hacer matemático no es un hacer único a lo largo de historia evolutiva alguna” [1977, 111]. El conocimiento matemático se produce mediante permanentes saltos y ‘rupturas’, a lo largo de muy distintos ‘contextos’ y ramales, siguiendo múltiples tiem-pos y ritmos; constantes incorporaciones, transvases, osmosis, traduc-ciones y representaciones se producen luego entre los diversos entornos del saber matemático; las nociones ya construidas permiten entonces la fabricación de otras nuevas mediante interrelaciones, deformaciones, ‘transfiguraciones’. Surge así una matemática eminentemente dinámica, “no evolucionista, difusionista o cíclica” [1977, 19], “situada en un tiempo no lineal” [1977, 19], donde coexisten diversas formas de la práctica. De Lorenzo fija tres entornos básicos de referencia, donde se fraguan, en su interpretación, las rupturas y las inversiones mayores que dan lugar a los haceres de la matemática moderna: ‘entornos de 1827’, donde la matemática adopta “la divisa plasmada por Abel, hallar la razón” [1977, 40], donde se invierte el programa de resolución de los problemas matemáticos, partiendo desde entonces “de lo que parece inalcanzable para dar razón del por qué (los problemas) pueden o no resolverse” [1977, 40], y donde la matemática comienza a nutrirse de ella misma y de sus limitantes; ‘entornos de 1875’, donde los haceres de la matemática del medio siglo anterior se unifican (grupos, conjun-

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tos) o se transvasan (haceres geométricos convertidos en haceres alge-braicos o axiomáticos), generando importantes mixturas (grupos de Lie, topología conjuntista, geometría algebraica, etc.) que impulsan el desa-rrollo de las matemáticas de comienzos del siglo XX; ‘entornos de 1939’, donde el hacer del grupo Bourbaki fija la orientación de las matemáticas contemporáneas alrededor de las nociones de ‘estructura’ y morfismo, invirtiendo el enfoque de estudio de los objetos matemáti-cos, pasando de lo analítico particular a lo sintético general, y buscando primordialmente las relaciones entre estructuras abstractas (álgebras, topologías, órdenes, etc.), sin preocuparse más por la “polémica sin fin” [1977, 92] ligada a los objetos conjuntistas ‘en sí’. De Lorenzo exhibe su fina atención por la matemática contemporá-nea al presentar al lector trabajos de tanta trascendencia para el ‘hacer’ matemático como los de Weil [1977, 88], Noether y Artin [1977, 96], Zariski [1977, 99], Lawvere [1977, 105], o Schwartz [1977, 107]. La consideración de la difícil obra de Lawvere —en un libro sobre la histo-ria de la matemática publicado en un ‘segundo mundo’ (siendo genero-sos), sólo siete años después de la creación de la teoría de topos, cuando aún en los centros matemáticos del ‘primer mundo’ la obra revoluciona-ria de Lawvere seguía siendo desconocida— sirve como uno de los muchos ejemplos donde se cristaliza la acerada mirada de Javier de Lorenzo, dirigida hacia la ‘matemática en acción’. Ya quisieran muchos ‘matemáticos’ haber podido vislumbrado en 1977 que

el enlace de la teoría de categorías con la de topos, prehaces y geometría al-gebraica se está mostrando esencial para los intentos de Lawvere y de quie-nes trabajan en la misma dirección, de lograr una fundamentación, que él califica de «dialéctica», del trabajo matemático, aun reconociendo que la misma no puede tener otra característica que la meramente descriptiva, lo-grando así, por ejemplo, una revisión de la lógica intuicionista de Heyting como la más adaptada a la teoría de topos [de Lorenzo 1977, 105].

La investigación matemática ‘en curso’ (‘se está mostrando’, ‘trabajan’) no sólo emerge en las insólitas consideraciones de un historiador y filósofo, sino que lo hace del modo más acertado posible, al conseguir detectar el ‘núcleo conceptual’ de la situación (enlaces de los topos con la geometría algebraica y con la lógica intuicionista): expresión harto inusual en filosofía de las ‘matemáticas’ que merece encomio. La práctica matemática, según de Lorenzo, se encuentra en incesan-te cambio y construcción; lejos de ser eternos y estáticos, “los concep-tos matemáticos han ido variando y no han quedado delimitados de una vez para siempre, sino que sus referenciales se transforman” [1987b, 76]; por consiguiente, “quien pretenda reducir a un lenguaje único, con suposiciones únicas, las distintas parcelas de la práctica matemática no


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podrá dar cuenta del total de dicha práctica” [1987b, 76]. El hecho de que la teoría de conjuntos, en cuanto a sus resultados técnicos, englobe con equivalencias todos los resultados de la matemática moderna, no resulta ser más que una reconstrucción ideal, sin consecuencias reales para la ‘práctica’. “En la práctica matemática no hay, en sus conceptos, la univocidad querida, ni la ausencia de vaguedad; no hay definiciones analíticas, en términos de filosofía lingüística” [1987b, 80]: de Lorenzo devela así la mayor flaqueza de la filosofía analítica, verdadera ‘desco-nocedora’ de la matemática moderna aunque pretenda filosofar sobre la matemática en general (encuéntrese un Russell hablando de topología algebraica, un Wittgenstein mencionando espacios funcionales, o un Quine estudiando geometría de variable compleja). De hecho, el mate-mático habla sobre estructuras en niveles de complejidad ‘no equivalen-tes’, sobre hipótesis ‘no uniformes’ para distintos contextos, sobre mé-todos y teorías que se quiebran e invierten, que sólo se neutralizan rela-tivamente mediante diversos lenguajes, pero que “cobran una realidad que trasciende y se impone al matemático” [1987b, 84]. La matemática crea así un entramado de ámbitos no equivalentes entre sí, con muy diversos ‘grados y escalas’, con contenidos conceptuales irreducibles, pero con múltiples interrelaciones que se objetivan a través de lengua-jes, definiciones, axiomas y demostraciones. Un inmejorable ejemplo de la acertada percepción de Javier de Lorenzo se encuentra en el notable programa de las ‘matemáticas en reverso” (1970-2000) de Friedman y Simpson, que de Lorenzo no llegó a conocer pero que se adecúa perfectamente con su concepción de la ‘jerarquización real’ de los diversos haceres de la ‘práctica’ matemáti-ca, no reducibles, no uniformes y no equivalentes entre sí. Si, desde la teoría de conjuntos ZF, cualquier par de teoremas de la matemática contemporánea son equivalentes entre sí (en el sentido de que ZF |⎯ φ↔ϕ, para cualquier par de resultados clásicos φ, ϕ), las matemáticas en reverso de Friedman y Simpson han conseguido detectar, en cambio, unos cuantos subsistemas ‘canónicos’ de la aritmética de segundo orden que ‘distinguen’ (y también llegan a ‘caracterizar’) a los teoremas usua-les de la ‘práctica’ matemática. Por ejemplo, mientras que el teorema de Bolzano-Weierstrass resulta equivalente a la existencia de ideales maximales en anillos conmutativos contables ‘a los ojos’ ‘de’ un sub-sistema ‘minimal’ de la aritmética (RCA0) con formas restringidas de inducción y de comprensión, en cambio el teorema de completitud de Gödel, la existencia de ideales primos o la unicidad de clausuras alge-braicas ‘no’ resultan equivalentes a Bolzano-Weierstrass. Después de treinta años de investigaciones, la extensa monografía de Simpson

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[1999], Subsystems of Second Order Arithmetic, ‘demuestra’ fehacien-temente cómo la práctica de la matemática ha ido revolucionando el estudio de sus fundamentos. La ‘variación’ de los conceptos, las ‘distin-tas parcelas’ de la matemática, las gradaciones, tonalidades y escalas preconizadas por de Lorenzo han alcanzado ahora una profunda ‘vida’ técnica gracias a las jerarquías de teoremas de Friedman y Simpson. La observación y la comprobación de distintos haceres en la prácti-ca matemática va de la mano, en la mirada crítica de Javier de Lorenzo, con una alerta constante por las diversas formas que toma también la lógica matemática contemporánea, como son las lógicas abstractas y el teorema de Lindström (culminación de un notable recorrido por aspec-tos selectos de la matemática abstracta del siglo XX) [1980, 107-100], la lógica de los haces de Lawvere [1980, 63-64], la teoría de conjuntos alternativa (AST) de Vopenka [1979b, 450], o la lógica computacional de Chaitin [1992d, 435-437]. El espectro de teoremas, nombres y co-rrientes de la lógica en el que se mueve de Lorenzo se distingue inme-diatamente del conjunto de referencias usuales en otros tratados de filosofía de la lógica. Por poner un ejemplo (véase en detalle la tabla incluida en el ‘apéndice’), en la primera versión del Handbook of Philo-sophical Logic [Gabbay, Guenther 1983] se incluyen noventa y nueve referencias a Russell y setenta y cuatro a Quine (!) —más que a los mismos Gödel (cincuenta y nueve) o Tarski (sesenta y nueve)— mien-tras que aparecen dieciseis referencias a Lindström y sólo una a Lawve-re. La desproporción es manifiesta, y, por supuesto, ésta surge de las ‘creencias’ subyacentes —como lo señalaría de Lorenzo— que orientan al Handbook; en cualquier caso, se trata de creencias que ‘impiden’ ver los múltiples movimientos dinámicos de la práctica real de la lógica, donde Quine, por poner el caso, tiene una muy escasa influencia (res-tringida a algunos desarrollos de su teoría alternativa de conjuntos NF) mientras que Lindström o Lawvere han impulsado muy complejos y fructíferos programas de trabajo. La conciencia que permite observar importantes avances en la lógica matemática —con un potencial filosófico que excede fácilmente las acota-das incursiones de la filosofía analítica en los fundamentos de la matemáti-ca— es la misma conciencia que le permite a de Lorenzo develar y romper algunos ‘mitos’ fuertemente arraigados en la filosofía de la matemática:

Es un mito el que todo hacer matemático se reduzca a un trabajo deriva-tivo sintáctico lógico. Mito que ha conducido a los lógicos a enfocar fundacionalmente la matemática. Visión de una Matemática creada por algunos lógicos para poder decir, de ella, lo que previamente han puesto en la misma; visión que nada tiene que ver con la práctica matemática [1992d, 447, nuestras cursivas].


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Al ubicar en su adecuado lugar las creencias, los supuestos y las limi-tantes de ciertas perspectivas reduccionistas, de Lorenzo puede criticar con firmeza los bizantinismos de aquellas “discusiones en las que, realmente, no hay elementos matemáticos, sino simples alusiones a la aritmética elemental u otras nociones similares. Las discusiones alrede-dor de una Filosofía de las Matemáticas desde el modo de trabajo ma-temático resultan ciertamente marginales” [1996, 219, original en in-glés]. Cuando una filosofía de la matemática olvida el amplio espectro de la disciplina, cuando ignora el ‘mathematical work mode’, cuando deja de calibrar los múltiples niveles de la práctica matemática —como es el caso de la influyente compilación Philosophy of Mathematics [Benacerraf, Putnam 1983], donde se utiliza, aún en su segunda edición, el término ‘matemáticas’ a pesar de sólo incluir textos sobre filosofía de la ‘lógica’— se llega a una delicada escisión entre filosofía y matemáti-cas. De ahí un importante ‘trabajo a realizar’ [1992d, 448] en el acer-camiento de la filosofía a la praxis matemática. En La matemática: de sus fundamentos y crisis [1998], de Lorenzo explicita varias reflexiones críticas de gran valor, donde se resquebrajan dos de los mitos mayores de la filosofía de la matemática: la pretendida ‘crisis’ de los fundamentos y el pretendido hacer rígido y derivativo de la matemática. De hecho, según de Lorenzo, “no hubo ni hay crisis de fundamentos en la praxis matemática, sino que en dicha praxis se pro-ducen inversiones respecto a los tipos de Hacer anteriores [...] Y son esas inversiones las que obligan a precisiones conceptuales en el nuevo hacer con sus diferentes niveles [...]” [1998, 14]. La determinación de los marcos de los haceres matemáticos, así como la exploración de las limitantes de esos marcos, no generan realmente ninguna crisis en el interior de esos haceres, donde se adelantan las investigaciones mate-máticas; más aún, las demarcaciones y los límites ayudan a definir y establecer nuevos niveles, contextos y conceptos que ayudan al desarro-llo interno de cada hacer. Las inversiones y los niveles son plenamente dialécticos, no se encuentran determinados desde un comienzo, y se van refinando progresivamente a lo largo de la praxis matemática, con ideas, analogías, imágenes, correlaciones, métodos que siempre se encuentran en permanente movimiento y contrastación. Merece aquí citarse extensamente a de Lorenzo [1998, 15-16, nuestras cursivas]:

La praxis científica, en particular el Hacer matemático, no se lleva a cabo como quiere el tópico y aceptan quienes no lo practican. Hasta en los textos de Lengua, en aquellos que ‘enseñan’ lo que es el lenguaje científico, se mantiene que la praxis científica, la matemática en parti-cular, tiene como punto de partida conceptos plena y claramente defini-dos, proposiciones iniciales explícitas, maneja un lenguaje unívoco, con

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proposiciones o teoremas demostrados en su totalidad de forma rigurosa y donde la opinión de los matemáticos no cuenta para nada [...]. Desde la reflexión crítica como método o criterio aquí impuesto, y haciendo camino, aparece una tesis radicalmente contraria a la visión anterior: los conceptos-núcleo no están delimitados o precisados en sus puntos de partida, sino que se muestran difusos y se van delimitando, precisando a lo largo de la praxis. Las proposiciones no están plena-mente demostradas y hay teoremas que han de aceptarse por un acto de fe porque muy pocos matemáticos pueden llegar a entender, dominar y controlar su demostración; demostración que jamás se presenta como una derivación sintáctica, mera sucesión de proposiciones formales; hay teoremas que se demuestran una y otra vez utilizando en cada ocasión contenidos conceptuales diferentes, porque en la praxis matemática lo que interesa no es el teorema en sí, sino las ideas, analogías y los posi-bles nuevos instrumentos metodológicos y conceptuales que puedan asociarse a cada una de las demostraciones del teorema. [...]. En otras palabras, el Hacer matemático no es un saber ya plenamente cristalizado sino un saber vivo, en constante proceso, un saber manifes-tación de la razón constructiva matemática en la que se incardina, tam-bién, una imaginación ensoñadora. [...].

4. Haceres, estilos Una aproximación no reduccionista al amplio panorama de las matemá-ticas de los siglos XIX y XX induce rápidamente en el espectador una visión de enorme complejidad, donde se tensan y se entrelazan hondos análisis conceptuales y largas derivaciones de detalle, grandes intuicio-nes globales y marcados refinamientos locales, series de aproximacio-nes conjeturales y sucesivos entornos axiomáticos, todo en un perma-nente vaivén dialéctico, que se nutre sin cesar a sí mismo, entre ‘visión’ (núcleo conceptual, idea global, intuición, conjetura) y ‘escritura’ (mar-co local, cálculo, derivación intermedia, definición, axiomática, prue-ba). El vaivén entre imaginar un núcleo conceptual de interés y delimi-tarlo por medio de sucesivas definiciones, entre observar diversas pro-piedades de una estructura y jerarquizarlas en un orden derivativo, entre conjeturar consecuencias de un estado de correlaciones y someter esas predicciones a diversas contrastaciones, entre intuir un camino de prue-ba y entrelazar retroducciones intermedias hasta conseguir elaborar una demostración completa —en suma entre modelar y calcular, entre ver y escribir— resulta ser un vaivén de una extrema fuerza dinámica, que impregna todo el andar dinámico de las matemáticas contemporáneas.

Plenamente consciente de la ‘vida compleja’ de las matemáticas, Javier de Lorenzo descarta, desde el comienzo, cualquier aproximación unilateral al uso en la historia y la filosofía de la disciplina. Multiplici-dad, pluralidad, multiformidad son piedras de toque en todos sus escri-tos; los haceres y los estilos, en plural, le otorgan a la matemática toda su riqueza. Cuando surge la unidad —la ‘Matemática’ o el ‘Hacer ma-


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temático’, con una extraña mayúscula (discutiremos el ‘estilo’ mismo de Javier de Lorenzo en la última sección de este artículo)— ésta sólo puede entenderse realmente como enlace transversal de lo previamente múltiple. Al ubicar el desarrollo de las matemáticas en un (hiper)plano conceptual, con múltiples haceres verticales y eventuales enlaces hori-zontales, de Lorenzo escapa de las reconstrucciones lineales del deve-nir, y abre el campo de la investigación histórica y filosófica hacia una comprensión real de las matemáticas en acción. La explosiva creativi-dad de las matemáticas poco tiene que ver con la lineal y estática fun-damentación conjuntista; la práctica matemática incorpora múltiples haceres que coexisten, se influencian, se correlacionan, pero rara vez se subsumen unos en otros.

Un par de confesiones de Javier de Lorenzo [1977, 7] nos muestran a un autodidacta en el verano de 1965 leyendo los escritos matemáticos de Pascal, y descubriendo atónito en las páginas de Descartes y Pascal una nítida expresión de la coexistencia de distintos haceres dentro de la matemática. En entornos académicos donde aún se desconocía a Kuhn, de Lorenzo descubre así, en dos verdaderos ‘creadores’ matemáticos, las nociones de ruptura e irreducibilidad que le acompañarán desde entonces. Cuando, en otro breve apunte autobiográfico, encontramos a de Lorenzo, en 1966, estudiando por su cuenta, a las 8.30, la geometría proyectiva ‘según’ ‘Staudt’, y luego, a las 11.30, revisándola ‘según Artin’ [1996, 228] —contrastando así con suma conciencia dos estilos antagónicos— observamos cómo, desde muy pronto, van encajando algunas de las piezas principales de la filosofía de las matemáticas según de Lorenzo. Todo lector de tratados de matemáticas avanzadas conoce bien las ‘notables diferencias de haceres y de estilos’ que tanto impactaron a de Lorenzo; el gran mérito de éste último consiste en haber registrado esas especificidades a fondo, en haberlas explorado con gran perseverancia más allá de las modas filosóficas del momento, en haber construido tipologías locales y globales de los haceres y estilos matemáticos, en suma, en haberse tomado muy ‘en serio’ la diversidad de la creación y la expresión matemática, y en haberla entendido como una de las características primordiales de su ‘práctica’, una diversidad que ‘no puede ser eliminada’ en ninguna consideración plena de la disciplina.

Para de Lorenzo [2000b, 86], “la Matemática es un Hacer en el que se va dando un producto que se construye, que se transforma”; “el Hacer matemático es algo más que lenguaje: requiere del lenguaje pero no se resuelve en el lenguaje” [2000b, 115]; de hecho,

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la Matemática no aparece como lenguaje ideográfico para expresar, sin más, la praxis científica o, al menos, una parte de esa praxis. No es me-ra forma expresiva neutral que no actúa sobre aquello de lo que habla o nombra, ni el instrumento en el que se resuelve la praxis científica. Sino elemento constitutivo de una determinada concepción de la physis [2000b, 100].

Dos características básicas del ‘hacer’ matemático —peculiaridades no siempre bien entendidas y, en muchos casos, ni siquiera registradas— se mencionan en las citas anteriores: su incesante construcción y trans-formación (versus una concepción eterna y estática de la matemática), y su entrelazamiento intrínseco con el mundo, que lo modula y al cual el hacer matemático a su vez moldea (versus una concepción lingüística y gramatical de la matemática). Contrastando con una matemática repleta de modos y haceres diversos, en transformación, estrechamente ligada con el mundo, de Lorenzo [1997, 312, original en inglés] oberva que una “historia del hacer matemático desde una visión de los fundamentos es una reconstrucción ideológica parcial”. Como “cabe aceptar que los conceptos matemáticos no están dados de una vez para siempre, con naturaleza única, determinada plenamente, sino que tal naturaleza de-pende del marco de una teoría en la cual cobran sentido” [1992e, 106], la variación de las teorías y de los haceres de la matemática va siempre revelando nuevas facetas de los conceptos-núcleo, así como de las es-tructuras parciales con que esos núcleos conceptuales van luego enri-queciéndose. De Lorenzo exclama una vez más, con nitidez, con teso-nera valentía: “no cabe el reduccionismo” [1992e, 106].

Al ligar estrechamente matemáticas y realidad, de Lorenzo se en-cuentra lejos de una versión ingenua de la matemática como instrumen-tario para describir la naturaleza. Para de Lorenzo, “el hacer matemáti-co es un hacer constructivo, igualmente, de modelos de la realidad. Modelos de lo posible y no meros juegos sintácticos en los que no se sabe de qué se habla” [1992c, 384]; una construcción y un modelo contrastan con una descripción neutral: “desde el marco matemático, la razón conceptual ha llegado a la creación de constructos conceptuales que no son «reflejo» de la naturaleza, sino constructos con los que cap-ta, fuerza y transforma a esa naturaleza” [1992c, 384]. De Lorenzo distingue dos grandes ámbitos (o ‘burbujas’, uno de los términos idio-sincráticos del autor) para la razón: el ámbito de lo ‘simbólico’ (otra acepción personal del autor), donde se pretende un conocimiento direc-to de la naturaleza, sin mediaciones, y el ámbito de lo ‘conceptual’ —lugar propio de la matemática— donde “la captación y transformación de lo real se hace a través del conocimiento mediador” [1992c, 384]. En la razón conceptual, múltiples formas adquieren una verdadera realidad


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propia (es decir, son ‘independientes’ de un observador particular), sin constituirse por ello en meros reflejos naturales. “El hacer matemático, así, se me muestra como un hacer cognoscitivo de la realidad; bien entendido que de una realidad transformada, captada ahora desde lo formal posible y nunca en su totalidad, sino según el ámbito elegido y las cualidades ónticas que ese ámbito establezca” [1992c, 385, nuestras cursivas]. Los múltiples haceres de la matemática entrelazan entonces —indisolublemente— estratos de realidad, interpretación y creencia.

En su primera monografía, Introducción al estilo matemático [1971], de Lorenzo intenta una tipología de diversos estilos en la mate-mática, donde se fraguan las formas de expresión de otros tantos hace-res. La tipología se fuerza desde una perspectiva donde se acumulan demasiadas descripciones históricas y resulta excesiva: sin pretender exhaustividad, de Lorenzo distingue doce estilos a lo largo de la historia de la matemática (‘geométrico’, ‘poético’, ‘cósico’, ‘algebraico-cartesiano’, ‘de indivisibles’, ‘operacional puro’, ‘de los ε‘, ‘sintético y analítico’, ‘dual’, ‘axiomático’, ‘formal’, ‘semiformal’) y estudia algu-nas de sus expresiones en los actos creadores de algunos grandes ma-temáticos. Aunque una adecuada separación de los linderos de los doce estilos deja bastante que desear desde un punto de vista teórico —con etiquetas más bien artificiales, sin fronteras naturales o conceptuales de fondo— el ‘ejercicio práctico’ llevado a cabo muestra ya la ‘originali-dad’ y la ‘pertinencia’ del enfoque. Independientemente del éxito de la tipología intentada, aquejada de una elaboración teórica insuficiente —que hubiese podido aprovechar los quiebres teóricos introducidos por grandes historiadores del arte (los ‘dinamogramas’ de Warburg), de la filosofía (las ‘formas simbólicas’ de Cassirer), o de la literatura (la ‘dialéctica de la mirada’ de Benjamin), pero que de Lorenzo no parece haber llegado a conocer—, independientemente del resultado, son de gran valor, ‘aún hoy en día’, los denodados esfuerzos de ese extraordi-nario autodidacta que emergió en las áridas tierras conceptuales de la España de los años 1960: el énfasis en la noción de ‘estilo’ dentro de una disciplina aparentemente aséptica como las matemáticas, la sober-bia lectura de textos ‘clásicos’ de la matemática dentro de una estilística que contrapone rigor e intuición, la firme presentación de aspectos de la práctica matemática avanzada de los siglos XIX y XX, la elaboración de diversos apartados dedicados a los modos de la creación matemática (entre los cuales un magnífico análisis del estilo de Galois), la construc-ción de una lúcida conciencia donde se explicitan las continuas meta-morfosis del pensamiento matemático.

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En La matemática y el problema de su historia [1977], de Lorenzo supera las descripciones tipológicas algo artificiales de sus comienzos, y se concentra en dos haceres conceptuales de fondo, que, junto con los tres grandes entornos de la matemática (1827, 1875, 1939) donde cree haber detectado las mayores inversiones conceptuales de la disciplina, le permiten acercarse con mejores herramientas a una epistemología de las matemáticas modernas. Un primer hacer, el ‘hacer figural’ (término tomado de García Bacca [1971, 62]), parte de los objetos concretos, singulares, y los manipula mediante fórmulas, esquemas y diagramas; corresponde a los inicios de la experimentación y la creación matemáti-ca, pero puede darse en numerosas franjas de desarrollo histórico, de-pendiendo de la complejidad de los problemas en juego [1971, 1977, 1993, 1997, 2001b]. Un segundo hacer, el ‘hacer global’, parte de las multiplicidades, los agregados, las totalidades, y procede luego hacia los objetos singulares; las funciones, las relaciones, los morfismos se convierten en el objeto de estudio del matemático, y se requiere un alto umbral de complejidad para que el hacer se desenvuelva adecuadamen-te [1977, 1979b, 1991, 1993, 1994, 1997, 1998]. (Un tercer hacer, que no revisaremos aquí, emerge en los últimos escritos de Javier de Loren-zo [1993, 1996, 2000a], un ‘hacer computacional’ ligado al manejo matemático de los avances informáticos reales impulsados por los or-denadores y la web.)

El hacer global se torna, sin duda, en el hacer más interesante para entender los modos de acción y de creación de las matemáticas con-temporáneas, con “vías de demostración donde se establece la existen-cia de algunos elementos de la totalidad, elementos con propiedades definidas aunque ninguno de ellos pueda ser dado exactamente” [de Lorenzo 1997, 317, original en inglés]. El interés de contrastar diferen-tes haceres de la matemática se manifiesta cuando, en una notable lectu-ra conceptual, de Lorenzo consigue ligar la emergencia de la lógica clásica de primer orden con la inversión mucho más profunda que re-presenta el hacer global con respecto al figural: En efecto, de Lorenzo indica cómo, de la aporía entre existencia (hacer global) y construcción (hacer figural), surge una urgente “demanda de cuantificadores” [1997, 318, nuestras cursivas] para conseguir manejar esos objetos que pueden existir pero no construirse, cuantificadores “inexistentes en el hacer figural” [1997, 318] pero imprescindibles en el nuevo hacer global. Dentro del hacer global, el impulso de la lógica matemática, con una semántica adecuada para los cuantificadores (modelos y equivalencia elemental) se entrelaza así ‘naturalmente’ con el impulso de los espa-cios funcionales y las álgebras abstractas (estructuras y morfismos),


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para abrir enormes campos de trabajo donde explota la inventividad matemática. Merece citarse de nuevo extensamente a de Lorenzo [1998, 101, nuestras cursivas]:

Todo ello [la emergencia del hacer global] supone una inversión con-ceptual radical. Una inversión respecto al hacer anterior. Desde la acep-tación de unos conceptos-núcleo como los de agregados, sistemas o multiplicidades, y los de función, transformación o correspondencia pa-ra manejarlos, se tiene que hacer una nueva praxis matemática. Praxis matemática que conduce a elaborar nuevas disciplinas, imposibles des-de la praxis anterior. Así, surge la Teoría de funciones, como ya he mencionado, la Teoría de conjuntos, la Teoría de la medida y la noción de integral de Lebesgue, el Álgebra, la Geometría algebraica [...]. Con nuevos modos demostrativos: El manejo de la biyección, de la diagonal; nuevas formas de definición: por relación de equivalencia o implícita, por recursión; y el permanente recurso a la reducción al absurdo que obliga que las demostraciones tengan un carácter existencial no cons-tructivo.

Una de las prácticas primordiales del hacer global consiste en manejar adecuadamente el método axiomático, que “no actúa como un mero algoritmo, sino que es el que permite el ejercicio de la imaginación creadora, que es la que llega a establecer las analogías, pero siempre entre teorías acerca de estructuras” [1980, 35, nuestras cursivas]. La práctica axiomática permite construir múltiples contextos y niveles, donde consiguen plasmarse los análisis, las teorías, las estructuras, los enlaces de la matemática moderna: “Análisis que parte, insisto, de la existencia de varios planos o niveles: 1. Estructura como objeto con-ceptual; 2. Teoría acerca de esa estructura; 3. Estudio de dicha teoría bien en sí, bien tras la elaboración de un lenguaje, o condiciones que de esta teoría puedan predicarse; 4. Conjunto de modelos o interpretacio-nes de la estructura o de la teoría [...] con sus representaciones pictóri-cas en algunos casos, y que, siendo reflejo de una misma estructura, poseen referenciales semánticos diferentes, y componen todo un haz o clase de aplicaciones; clase abierta de realizaciones particulares, que poseen su historia, desarrollo, evolución [...] Niveles o planos sólo posibilitados, en su existencia, por el método axiomático” [1980, 36, nuestras cursivas]. Los saltos de nivel, las inversiones, las saturaciones en un contexto dado (teoría, estructura, categoría) y las nuevas perspec-tivas desde otro contexto no saturado, dan lugar a muchas de las mayo-res rupturas creativas en matemáticas.

Una consecuencia radical de la escisión en distintos niveles de los haceres matemáticos es el fracaso de cualquier tipo de reduccionismo, que “falla precisamente por no reconocer y aceptar la existencia de estos diferentes niveles y querer formar un cuerpo de complejidad única

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con todo el hacer matemático” [de Lorenzo 1988a, 47]. La multiplici-dad de los haceres, reflejada en estilos contrastantes, y la muy diversa complejidad de niveles y contextos dentro de cada uno de esos haceres es una constatación básica dentro de las matemáticas modernas, no adecuadamente apreciada por muchos de los enfoques ‘canónicos’ de la filosofía de las matemáticas. En particular, la teoría causal del conoci-miento, la pretensión de que toda verdad debe poseer un referente abso-luto, y las predicaciones del tipo sujeto-objeto ‘no cursan’ ‘ya’ dentro del hacer matemático global, donde el conocimiento es eminentemente contextual y funcional, con múltiples referencias y correlaciones a lo largo de los diversos niveles de la matemática. De esta manera, por ejemplo, fallan de entrada —para la matemática contemporánea— tres de los supuestos básicos (causalidad, referencia, predicación monádica) subyacentes en el ‘dilema de Benacerraf’ (“lo que parece necesario para la verdad en la matemática hace imposible el conocimiento de esa ver-dad; lo que haría posible el conocimiento matemático hace imposible la verdad del mismo”) [de Lorenzo 2000a, 35-51; cita dilema 38]. Ancla-do aún en una matemática rígida, sin jerarquías de complejidad —y enfocado, una vez más, a la aritmética y a la lógica clásica elemental— el ‘dilema’ no contempla los modos de hacer de las matemáticas avan-zadas, donde las verdades (en plural) dependen de contextos axiomáti-cos variables (y son perfectamente cognoscibles desde aproximaciones funcionales relativas), y donde el conocimiento matemático se libera de causas, referencias, predicaciones disyuntivas y pretensiones absolutas, para ocuparse de mixturas, nudos, transvases —en una palabra, de ‘con-taminaciones’— dentro de complejas ramificaciones, contextos y nive-les que sólo se rigen ya por criterios de consistencia relativa. 5. La creatividad matemática Partiendo de que “hay que admitir que en la Matemática coexisten tanto el elemento lógico como el intuitivo” [1971, 19], de Lorenzo estudia en repetidas ocasiones cómo se refina ese elemento intuitivo mediante el ‘uso’ de muy diversos y contrastantes estratos imaginales, estéticos y diagramáticos, así como de oposiciones, saltos y analogías entre esos estratos. Para de Lorenzo, la intuición matemática, lejos de preexistir, se ‘construye’; la creación matemática se desarrolla entonces de acuer-do con el progresivo ‘ejercicio’ dual de la intuición y de la prueba de-ntro de la praxis matemática. La influencia del pensamiento de Poinca-ré, a quien de Lorenzo dedica su segunda monografía, La filosofía de la matemática de Poincaré [1974], es manifiesta en su formación. Por un lado, las lecturas ‘polares’ de Poincaré, quien sostiene que “es por in-


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tuición como se inventa, por lógica como se demuestra” [1974, 49], y que “la lógica y la intuición tienen cada una un papel necesario. ‘Am-bas son indispensables’” [1974, 94], se convierten en imprescindibles puntos de apoyo para el mismo de Lorenzo. Por otro lado, el estudio de la ‘virtud creadora’ según Poincaré —enlaces de inducción completa, repeticiones y homogeneidad, basándose en una intuición previa del continuo y ejecutando permanentes ‘inversiones’ conceptuales (como en la creación de los grupos fuchsianos por Poincaré, cuyas representa-ciones naturales entroncan con la geometría no euclídea de Lobachevs-ki [1974, 88-90, 152])— abre las compuertas de la reflexión matemáti-ca a las inversiones de haceres que describirá de Lorenzo. Además, la observación de que “lo fundamental, para Poincaré, no es la proposi-ción en la cual pueda formularse tal virtud creadora, sino la actividad del espíritu matemático [...]”, y de que “lo primario no es, por consi-guiente, el lenguaje —aunque no por ello éste deba ser despreciado u olvidado— sino la acción por la cual se crea dicho lenguaje” [1974, 105-106, nuestras cursivas], se convierte en otra de las puntas de lanza de la filosofía de las matemáticas propugnada por de Lorenzo.

La búsqueda de equilibrio y armonía es uno de los motores centrales de la creatividad matemática: “es la percepción de analogías entre es-tructuras al parecer distintas uno de los principios fundamentales de la invención matemática” [de Lorenzo 1971, 32]. En ese acto creativo no resulta aún indispensable el detalle lógico riguroso: “los matemáticos auténticamente creadores, los «matemáticos de raza» como los califica-ra Poincaré, han cometido fallos en las demostraciones, o ni siquiera han llegado a darlas, y, curiosamente, no han fallado en sus ideas cen-trales, creadoras” [1987b, 68]. De hecho, para entender la matemática, más que fundamentar o entender lógicamente una demostración, hay que tratar de rehacer, romper, equivocar —crear— de nuevo la demos-tración:

en el hacer matemático no se «comprende» hasta que no se ha pasado por la experiencia de ese hacer matemático, hasta que no se ha vivido el problema, su resolución, hasta que no se ha incardinado en el sujeto; y no basta pasar por la matemática creyendo que una lectura o el aprendi-zaje más o menos memorístico de unos teoremas es suficiente; hay que integrarla, rehaciéndola, aunque ello no implique que el sujeto se con-vierta en matemático creador, sino que, más simplemente, posee una experiencia originaria de un hacer determinado y, gracias a la misma, puede apreciar la belleza y armonía de una proposición, de una teoría” [1992b, 85, nuestras cursivas].

Los innumerables ‘ejercicios’ que debe realizar un matemático para intentar manejar algunas partes de su disciplina no se ejecutan en balde; no puede seguir pasándose por alto que es la praxis matemática la que

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abre un acceso ‘real’ a la comprensión de la disciplina, y, por lo tanto, que si se desea realizar una filosofía de las matemáticas ‘medianamente fiel’ a su objeto de estudio, hay que ‘enfrentarse’ necesariamente con la práctica matemática avanzada —es decir con la variable compleja, con la topología algebraica, con la geometría diferencial, con la teoría analí-tica de números, con los espacios vectoriales topológicos, con la teoría abstracta de modelos, con la teoría de categorías, etc.— Una filosofía de las matemáticas que, a comienzos del siglo XXI, no considere ‘muy seriamente’ esa praxis se convierte por desgracia en un auténtico con-trasentido.

Uno de los grandes méritos de Javier de Lorenzo consiste en haber repetido hasta la saciedad la importancia de ‘ver’ a las matemáticas contemporáneas en acción, incluyendo en esa visión algunos de sus mayores quiebres creativos. Cuando de Lorenzo exclama que, en aque-llos “enfoques marginados a la praxis matemática y con nula repercu-sión sobre la misma” [2000a, 157], ‘no se ve’, lo que hace es constatar un muy desafortunado ‘estado de la cuestión’ en filosofía de las mate-máticas. De Lorenzo es diáfanamente crítico con aquellos ‘profesiona-les’ de la filosofía de la ‘matemática’ que han venido reduciendo arbi-trariamente su campo de estudio [2000a, p154-155, nuestras cursivas]:

Con una limitación propia de quienes adoptan los temas matemáticos para hacer filosofía: quedarse en la Aritmética elemental, discutir el pa-pel, naturaleza, estatuto del número natural, bien en sí, bien a partir de la noción de conjunto si se estima éste como noción más fundamental. Pero ello implica que no se ve la riqueza del Hacer matemático que va mucho más allá del número tres, del numeral 3, de las rayitas ||| [...]. No se ve la riqueza conceptual, metodológica, epistemológica que tiene un teorema como el de Weyl sobre los grupos finitos, y la geniali-dad de su demostración, tras los trabajos de Elie Cartan, y donde el Hacer global muestra toda su potencia, inexplicada y quizá inexplicable si se sigue discutiendo del número tres [...]. Praxis que no queda justifi-cada, explicada, por ninguna de las corrientes de la Filosofía de la Ma-temática que hacen Filosofía y que tampoco parecen tener en cuenta los cambios, radicales, que se están produciendo en el Hacer matemático fin de siglo.

Para poder ‘ver’, por supuesto, hay que acercarse a la creatividad ma-temática y sumergirse en el “carácter proteico del Hacer matemático” [de Lorenzo 2001b, 197, retomando una formulación de MacLane]. Como apoyo al acto creativo, el recurso a la intuición no es contradicto-rio de manera alguna, pues no invoca ningún matiz psicologista: la intuición, “de la que todo matemático de raza se precia, no es la percep-tivo-orgánica, sino una intuición establecida por lo cultural y que se superpone a la orgánica” [1992b, 199], una intuición “que ha de ser


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adquirida mediante un trabajo, mediante un proceso de ascesis” [1992b, 200]. Esa intuición —‘cultural, construida, trabajada’— es la que per-mite que algunos grandes matemáticos, en sus mejores momentos crea-tivos, sean capaces de ‘visualizar’ novedosos balances o rupturas de simetría:

la lemniscata que aparece en el borrador de Abel durante su estancia en París, como clave de su «visión» de las funciones elípticas como fun-ciones doblemente periódicas, o la de Poincaré en su viaje a Caen enla-zando la geometría hiperbólica con las funciones meroformas, [...] o los diagramas de Weierstrass para los teoremas de prolongación analítica [...]. Diagramas que permiten plasmar la idea que luego se reflejará me-diante la proposición o cascada de proposiciones que siguen al término «teorema» [de Lorenzo 1992b, 200].

Dentro de la creatividad matemática se enlazan ideas, diagramas, es-quemas, hipótesis, definiciones, modelos, contraejemplos, inferencias, y se articulan entre ellos ‘recursivamente’; un diagrama puede ser refina-do, por ejemplo, con modelos, definiciones e hipótesis; las hipótesis pueden ser, a su vez, sometidas a inferencias y contraejemplos, hasta adecuarse mejor al diagrama inicial; algunas inferencias pueden enton-ces dar lugar a ideas derivadas dentro de otros niveles, los conceptos pueden ramificarse y jerarquizarse dando lugar a nuevos esquemas y contraposiciones, y así sucesivamente. Dentro de ese hacer creativo, el goce estético adquiere un lugar fundamental, como lo señala Poincaré: “si trabajamos, es menos para obtener esos resultados positivos a los cuales el vulgo nos cree únicamente ligados, que por experimentar esa emoción estética y comunicarla a aquellos que son capaces de sentirla” [1974, 159]. Una filosofía que pretenda dar cuenta de la actividad real de los matemáticos no puede prescindir, entonces, de considerar seria-mente el papel ‘irreducible’ que la intuición, la visualización, la imagi-nación y la sensibilidad estética ejercen dentro de la praxis matemática. La obra de Javier de Lorenzo enfrenta con determinación todas esas componentes. 6. Marcos, creencias Una emocionada admiración por la razón humana, a pesar de todos los horrores de que la especie es capaz, subyace en la obra de Javier de Lorenzo. La matemática, ‘honor del espíritu humano” en el dictum de Jacobi, se entiende como uno de los mayores actos creativos de la humanidad en la filosofía impulsada por de Lorenzo:

la Matemática es un Hacer y, como tal, una producción y un producto de la especie humana. Como hacer construido por la razón conceptual imaginativa se encuentra incardinado en dicha especie y, más aún, en unos ciertos tipos de sociedad que son los que han posibilitado y posibi-

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litan el mismo. El Hacer matemático no puede desgajarse de la sociedad en la que ese hacer se tiene, por mucho que el producto obtenido en él provoque la ilusión de un saber verdadero, universal y objetivo [...] [2001b, 183, nuestras cursivas].

Arrancando de la matemática como ‘producto humano’, se siguen in-mediatamente múltiples refutaciones de su carácter pretendidamente eterno, atemporal o absoluto. Sin embargo, el hecho de que la matemá-tica merezca entenderse contextualmente, dentro del ámbito de la razón humana, no invalida su rango de validez dentro de aquellos entornos a los que esa razón accede ‘en su conjunto’. Más allá de escepticismos singulares o de idiosincracias particulares —es decir, dentro de una ‘comunidad’ cultural que ha ido creciendo a lo largo de muchos si-glos— las matemáticas se constituyen en un fragmento estable de la civilización. Aunque sólo podamos entender la matemática ‘desde’ el marco de la especie humana (imposible imaginarla desde otro marco, pues es algo que escaparía a nuestro mismo ‘hacer’), ello no conlleva, ni mucho menos, la famosa ‘pérdida de las certidumbres’ tan apreciada por el ‘post’modernismo. Las creencias, los marcos, los contextos —imprescindibles en nuestra concepción del saber humano desde el ‘giro copernicano’ introducido por Kant en la filosofía— relativizan el cono-cimiento matemático, pero no lo tornan ni arbitrario, ni irrelevante. Con su visión de una matemática relativa, pero no por ello caprichosa o desligada de lo real, Javier de Lorenzo desmonta con prontitud la impli-cación falaz ‘todo es relativo, por tanto todo vale’, una deducción injus-tificada que ronda muchos escritos postmodernos pero que sólo puede sostenerse asumiendo creencias adicionales (como la idea de que sólo existen ‘universales absolutos’, mientras que todo indica que pueden pensarse también ‘universales relativos’).

Dentro de una adecuada relativización del saber matemático, de Lo-renzo señala cómo “cabe admitir el uso de lógicas minimales para cada campo concreto de trabajo” [1979b, 40], ya que “de hecho es lo que el matemático ha venido haciendo y hace en todo su trabajo. Manejar lógicas minimales que se adaptan en cada trabajo que hace” [1980, 150, nuestras cursivas]. De Lorenzo detecta así con suma fineza el gran interés de la lógica matemática contemporánea, entendida como ‘haz de sistemas’ que capturan el contenido lógico (proposicional, cuantifica-cional, modal, etc.) de clases de estructuras dadas. De esta manera, pierde toda su razón de ser una conceptualización de la lógica que pue-da servir para proveer un fundamento último o absoluto de las matemá-ticas; lo que adquiere importancia y, de hecho, lo que impulsa el desa-rrollo de la lógica matemática, son las ‘lógicas minimales’ que ayudan a caracterizar la estabilidad (o volatilidad) de ciertas clases de estructuras.


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Prefiguración de las incisivas labores de los ‘meteoros’ lógicos de las tres últimas décadas del siglo XX —Shelah, Zilber, Hrushovski—, la intuición filosófica de Javier de Lorenzo indica el valor lógico de los planos proyectivos finitos, de los teoremas de coordinación de grupos, de los avances en teoría de categorías. Aunque de Lorenzo no parece haber llegado a conocer la enorme cantidad de resultados en lógicas minimales (‘adaptadas’ al trabajo matemático real: grupos, álgebras, geometrías) que Shelah, Zilber y Hrushovski han conseguido construir, una buena muestra de su acumen filosófico se encuentra en su ‘coliga-zón’ de un detallado recorrido sobre la ‘práctica geométrica’ con otro cuidadoso recorrido por la ‘teoría de modelos’ (de Löwenheim-Skolem a los teoremas de Lindström, pasando por categoricidad y definibilidad) [1980, 63-110].

La multiplicidad de los marcos de referencia no frena, así, ni el de-sarrollo de la lógica, ni el de la matemática. Más aún, las rupturas, las irreducibilidades, los nudos, la no linealidad, hacen que se elaboren matemáticas enteramente nuevas para poder abordar las limitantes a las que se enfrenta cada teoría. De hecho, delimitado un marco mediante el método axiomático, surge de modo automático “un haz de problemas referidos al mismo” [1980, 144]; se trata de un enorme “salto cualitati-vo que hace variar el objeto del hacer matemático, y, por supuesto, el enfoque epistemológico del mismo. Cambio dialéctico de nivel o nueva etapa en la elaboración o construcción conceptual” [1980, 144, nuestras cursivas]. El hacer global pasa a ocuparse de complejas ‘características estructurales de clases de estructuras’, una ‘autoreferencia’ que no es en ningún modo circular, gracias a los diferentes niveles en los que se mueven y habitan ahora los objetos matemáticos. Los ‘teoremas de representación’ adquieren entonces una prominencia constante a lo largo del siglo XX, ya que con ellos pueden elaborarse reflejos parcia-les entre diversos niveles estructurales de clases de objetos, y caracteri-zar así la complejidad (cualitativa y, en muchos casos, aún cuantitativa) de familias de soluciones a problemas dados. Como lo señala de Loren-zo, la ‘ruptura epistemológica’ de los entornos de 1939 consiste, por un lado, en tomar plena conciencia de los marcos de referencia (estructuras / teorías) en los que se mueve la matemática, y, por otro lado, en inten-tar situarse en las fronteras de cada marco, en saturar sus vecindades, en salir al exterior, y en construir nuevas interacciones con otros marcos aledaños.

Una verdadera ‘cascada pragmática’ —en el sentido científico y ri-guroso de ‘pragmática’ según C.S. Peirce— inunda los entornos del hacer global matemático. En efecto, dentro de ese hacer contextual, se

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registran tres importantes deslindes conceptuales (1: Signos; 2: Rela-ciones entre signos; 3: Transformaciones entre relaciones), que se en-treveran luego a lo largo de una compleja jerarquía de marcos y niveles (estructuras, teorías) y que —siguiendo una plena dinámica peirceana— se determinan progresivamente (1: Ideogramas, conceptos; 2: Morfis-mos, funtores; 3: Modelizaciones, cálculos). De Lorenzo muestra cómo esa cascada pragmática se extiende naturalmente a todo un haz más amplio de ‘burbujas’ culturales, creencias implícitas y mitologías sub-yacentes, de las que no puede escapar la matemática: “si el hacer ma-temático se acepta como una producción y un producto de la especie humana, entonces, como producto, es un mecanismo cultural, con todas las vicisitudes que esa producción y ese producto puedan revelar a lo largo del tiempo” [1997, 314, original en inglés]. De allí se deducen no sólo las ‘inevitables’ diferencias de haceres y estilos de la matemática —“diferentes vías demostrativas que reflejan y determinan los diferen-tes momentos culturales en los que el hacer matemático se produce” [1997, 314]— sino la inevitable presencia de creencias e ideologías detrás de muchos programas de trabajo (en particular, detrás de la “pre-tensión fundacional en su versión formal sintáctica” [1992d, 441] que pretende imponer un triple reduccionismo —fundamentación, formali-zación, sintaxis— a un hacer que se beneficia de esas corrientes, pero que, a la vez, ‘requiere’ escapar constantemente de ellas en sus modos básicos de creación).

De Lorenzo [1992b, 269] delata las trampas del “reduccionismo en cuya base se encuentra todo un haz de residuos míticos”, y muestra cómo, en lo que denomina el problema de la “causación ascendente” —donde pretende explicarse una totalidad por una suma de las propieda-des de las partes—, se encuentran múltiples asunciones adicionales (linealidad, causalidad, estatismo, absolutismo) que son las que subya-cen en una eventual reducción de lo global a lo local [1992b, 270-275]. Sin que de Lorenzo lo haga explícito (aunque puede colegirse perfec-tamente de su obra), el detenido análisis metodológico del problema de la causación ascendente según de Lorenzo puede aplicarse, término por término, al problema de la fundamentación conjuntista de la matemáti-ca. De hecho, detrás de la pretensión de explicar el todo de la matemá-tica gracias a una reconstrucción conjuntista, son perfectamente identi-ficables las ‘asunciones analíticas adicionales’ que subyacen al progra-ma de los fundamentos: una creencia en la ‘linealidad’ del esqueleto cardinal (denodados esfuerzos por asegurar que todo cardinal se sitúa en la escala de los alephs, aunque tal linealidad requiera introducir el axioma de elección (Zermelo); denodados esfuerzos por situar el cardi-


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nal del continuo entre χ1 (Gödel) y χ2 (Woodin), aunque tal fijación requiera exigentes axiomas adicionales), una creencia en la ‘causalidad’ de la derivación matemática (denodados esfuerzos por imponer deduc-ciones y reglas al estilo Hilbert, en vez de contemplar cálculos de se-cuentes o de deducción natural), una creencia en el ‘estatismo’ de la lógica (denodados esfuerzos por normalizar la lógica clásica de primer orden como sostén sine qua non de la matemática, en detrimento de otras lógicas), y una creencia en el ‘absolutismo’ del universo conjun-tista (denodados esfuerzos por situar toda creación matemática dentro de la jerarquía bien fundamentada de los (Vα)Ord(α), aunque ello requiera usar axiomas excesivamente potentes que llegan a desfigurar la recons-trucción del concepto o del objeto).

Sin una firme ‘convicción’ en las ‘creencias’ anteriores, por parte de extensas comunidades de estudiosos, en determinados momentos de la historia de la disciplina, y en determinados entornos geográficos, habría sido sencillamente imposible adelantar los difíciles y dispendiosos programas ‘técnicos’ de trabajo sostenidos por esas creencias. Sin em-bargo, los haceres de la matemática moderna, aunque contemplan tam-bién el hacer de los fundamentos, se entrelazan realmente en una ‘ur-dimbre dialógica’ mucho más extensa y heterogénea, con múltiples contrapuntos, tensiones y deformaciones. Como señala de Lorenzo [1992b, 34, nuestras cursivas], “cualquier método [es], siempre, arbitra-rio y, además, falsificador, si es que dicho método se toma como único y radicalmente adecuado, finalizado”; de Lorenzo [1992b, 261] confía, en cambio, en aquellos espacios de la razón donde “reactuará el diálo-go, profundizándolo, ensanchándolo, sin llegar jamás a un cierre siste-mático, dogmático”. La ‘visión dialógica’ de Javier de Lorenzo —la visión de un verdadero maestro, dedicado con generosidad, durante décadas, a una tarea permanente de enseñanza y de comunicación con sus alumnos— sostiene una obra siempre abierta, sin cierres dogmáti-cos, como la suya. Tan atento a Pascal como a Lindström, a la funda-mentación logicista como a los desarrollos de la geometría algebraica, de Lorenzo [1985, 88, nuestras cursivas] es perfectamente capaz de exclamar: “Parto del principio de que la historia de cualquier disciplina no puede desgajar, arbitrariamente, el núcleo de la «metafísica» que lo entorna; ni siquiera la Matemática. Y ello exige situar el hacer matemá-tico en el contexto, en las redes tanto conceptuales como de creencias que, en cada momento, constituyen la burbuja conceptual a la que ese hacer pertenece”. Una cosa es ‘escindir’ cuidadosamente marcos y niveles de referencia, contextualizar, analizar, sintetizar: una metodolo-gía del back-and-forth que de Lorenzo maneja con habilidad. Otra cosa,

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muy distinta, es intentar ‘suprimir’ marcos y entornos “inconvenientes” (la metafísica, el compromiso ético del científico [2000c], o el tema de la ‘matemática’ en Marx y Engels [1984], por ejemplo). La obra de Javier de Lorenzo nos enseña a escindir múltiples estratos de la razón, sin por ello tener que llegar a tergiversarla, reducirla o empobrecerla. 7. El papel de la lógica matemática Consecuencia de una mirada siempre atenta a la praxis matemática, cuando Javier de Lorenzo habla de ‘lógica’ se refiere en la mayoría de los casos al hacer de la ‘lógica matemática’, un muy ‘amplio’ hacer que no se reduce a discusiones sobre aspectos derivativo-sintácticos, funda-cionales, clásicos o conjuntistas, sino que engloba también los otros grandes ámbitos de la lógica matemática construidos a lo largo del siglo XX: Teoría de modelos, teoría de la recursión, constructividad, lógicas no clásicas. En una impactante formulación, que remite a la influencia del programa bourbakista en la visión de Javier de Lorenzo, éste señala la importancia de considerar el hacer lógico ‘a la par’ de los otros gran-des haceres que tensan y dinamizan el ‘interior’ de la matemática [1998, 110, nuestras cursivas]:

El intento de tal fundamentación [‘reduccionista logicista’], por increí-ble que se considere, quizá se deba a que no se ha visto que L1 posibilita ‘expresar’ parte del Hacer matemático, como indicara Skolem, pero es muy distinto de ‘fundamentar’ aquello que expresa. No se ha visto que la Lógica formal, construida desde el interior del Hacer global, no es más que una estructura que pretende captar una compleja noción como la de ‘consecuencia de’. Una estructura del mismo tipo que las que Bourbaki calificara ‘estructuras-madre’ y a las que, realmente, debe incorporarse sabiendo que su operador central no es ya la operación interna algebraica, la relación de orden reticular o la relación ‘entre’ o noción de proximidad topológica, sino la de ‘conse-cuencia de’.

De Lorenzo explicita así el papel ‘estructural’ de la lógica matemática, un papel a la vez ‘demarcador y amalgamador’, que diversas corrientes de la lógica en el siglo XX han ayudado a precisar (teoría de modelos, álgebra universal, teoría de retículos, lógica algebraica, teoría de cate-gorías). Dentro del hacer global —en el back-and-forth entre marcos y amalgamas, entre contextos y transferencias, entre modelos y morfis-mos, entre categorías y funtores— la lógica matemática ha producido muchos deslindes mayores, de enorme importancia para la filosofía de las matemáticas, aunque aún no debidamente apreciados, y, en la mayo-ría de los casos, ‘ni siquiera aún registrados’: Teoremas de representa-ción y de jerarquización relativa (Freyd) versus fundamentos y deriva-


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ciones absolutas, teoremas de estructura y de no estructura (Shelah) versus reconstrucciones uniformes, teoremas de adecuación axiomática y de complejidad de la práctica demostrativa matemática (Simpson) versus axiomas conjuntistas universales. Los ‘lentes deformantes’ utili-zados por muchos enfoques reductores en la filosofía de las matemáti-cas —propios de una concepción analítica que ‘no ve’ sino fundamen-tos, deducciones o números— han impedido que la filosofía se enfrente a esos nuevos haceres de la lógica matemática, que exceden con creces las consideraciones sintácticas o gramaticales, las preocupaciones sobre la ‘esencia’ de los números o las investigaciones sobre la generatividad del universo de conjuntos. Dicho con mayor crudeza, por poner un ejemplo sobradamente indicativo, una filosofía ‘actual’ de las matemá-ticas no puede seguir pretendiendo que un pensamiento sobre las ‘ma-temáticas’ como el de Wittgenstein sea aún válido y cuente con un valor atemporal, útil o ajustado para la filosofía de la disciplina (aun-que, por supuesto, sí tenga un inmenso valor arqueológico para estudiar la pragmática interna del sistema wittgeinsteiniano). Resulta evidente, sin embargo, que el traslape ideológico e institucional que ha tratado de identificar ‘filosofía de las matemáticas’ con ‘filosofía analítica de las matemáticas’ —construyendo así consigo los ‘mitos’ de un Russell, de un Wittgenstein o de un Quine como supuestos filósofos sine qua non de la matemática (véase el ‘apéndice’)— prima con fuerza, todavía, sobre cualquier consideración alterna que intente acercar la filosofía a los haceres reales de la práctica matemática avanzada. Dentro de ese panorama bastante desolador, una obra como la de Javier de Lorenzo sirve para refrescar y remover los supuestos y las creencias que enrigi-decen cualquier intento de normalización filosófica.

Después de sus tres monografías de los años setenta [1971, 1974, 1977], los dos primeros artículos publicados por Javier de Lorenzo se centran en las dos figuras más conocidas y citadas de la lógica moder-na: Frege [1979a] y Gödel [1979b]. De inmediato, la orientación se dirige a las ‘peculiaridades del hacer’ de ambos lógicos, dando lugar a las dos primeras presentaciones ‘fieles’ de las obras de Frege y de Gödel realizadas tal vez en el mundo hispánico. De Lorenzo, de hecho, se enfrenta de entrada con el Begriffsschrift, la gran ‘ideografía’ sólo mencionada al pasar en la mayoría de las consideraciones sobre Frege, y muestra ante el lector (de Investigación y ciencia (!)) cómo la ideo-grafía se pone en ‘acción’. Con múltiples comentarios detallados, ‘e imágenes’ sobre los procedimientos visuales de la deducción, de Loren-zo no tiene reparos en explicitar, en contra de la opinión usual, lo que son las ‘ventajas indudables’ de la conceptografía bidimensional de

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Frege: “La combinación del condicional con la negación y la concavi-dad permiten obtener cualquier tipo de expresiones, porque la flexibili-dad de este simbolismo es muy superior a cualquier otro. Logra tanto la supresión de paréntesis como mostrar cuál es la estructura de la expre-sión total [...]” [1979a, 112, nuestras cursivas]. A la falta de hábito para romper la escritura lineal, al uso excesivo de espacio, a las incomodida-des del impresor, de Lorenzo agrega otras dos razones que permiten explicar el fracaso de la conceptografía fregeana: La necesidad de con-tar con ‘mixturas’ entre lenguaje ordinario y lenguaje formal para poder vehicular el pensamiento conceptual, y la creación de otro lenguaje simbólico donde pueden elaborarse más cómodas mixturas con el len-guaje ordinario —como el de Peano, donde la ideografía fregeana pue-de reconstruirse (tarea adelantada por Russell)—. La crítica certera de Javier de Lorenzo nos muestra así a un Frege “fuera de cauce” [1979a, 112, nuestras cursivas], a un revolucionario visual del pensamiento conceptual, cuya revolución realmente se ignora. Cuando, en todas las historias usuales de las matemáticas, se sigue repitiendo que el ‘cauce’ de la lógica matemática se abre con Frege, una detallada percepción ‘fuera de cauce’ de la Begriffsschrift, como la que nos presenta de Lo-renzo, nos revela los muchos olvidos, matices, solapamientos, creencias e intereses en los que se mueve la historia.

A su vez, al situar a Gödel dentro del hacer matemático, de Lorenzo se enfrenta con otros ‘mitos’ arraigados, como aquel de que “la Lógica se muestra analítica y transparente a la razón, mientras que la Matemá-tica supone una construcción de carácter más bien sintético” [1979b, 430], opinión que

olvida que L1 es indecidible, por lo que se mostrarían como más trans-parentes a la razón aquellas teorías que además de completas fueran de-cidibles, para lo cual basta agregar a los axiomas de L1 otros axiomas escritos en el mismo lenguaje formal, cambiando, como lo indicó Gödel en 1931, el conjunto de proposiciones decidibles y trasparentes a la ra-zón. En este caso, teorías como la de los cuerpos algebraicos cerrados —con característica cero o primo— o la de los grupos abelianos libres sin torsión, por ser completas y decidibles se mostrarían como más transparentes aún a la razón que la propia Lógica [...]” [1979b, 430].

La visión de los resultados técnicos ‘en su contexto’ y la continua per-cepción de la ‘práctica’ matemática matizan las posiciones adoptadas a priori. La lógica no debe optar entonces por ningún estatuto filosófico privilegiado: Merece entenderse ‘dentro’ del entramado de las matemá-ticas avanzadas como un hacer más, “como un producto matemático más” que “permanece en el mismo plano que cualquier otro producto matemático” [1979b, 436]. La derivación formal es sólo ‘un’ aspecto más del hacer matemático (“quizá el menos importante?” [1995, 42]),


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dentro de un complejo vaivén dialéctico entre detecciones de concep-tos-núcleo y acotaciones definicionales, construcciones de estructuras y adecuaciones de sistemas parciales, ejercicios imaginativos y contrasta-ciones factuales, elecciones de hipótesis y escalas de demostraciones.

De Lorenzo señala con fineza cómo “lo geométrico espacial, lo to-pológico queda radicalmente ausente” de la noción de derivación for-mal, concepción que “cae bajo la noción de sucesión de fórmulas escri-tas en una conceptografía convenientemente elegida”, y en la que “pri-ma, por ello, el elemento iterativo numérico, aritmético, esencialmente discreto” [1995, 62-63, nuestras cursivas]:

Lo topológico, lo espacial, con su continuidad asociada que sólo puede darse y captarse mediante la imagen visual, queda ausente o, como mu-cho, se intenta su subordinación a lo discreto. Sin embargo, el hacer matemático no queda reducido, en su totalidad, a lo discreto, sino que exige, en gran parte, de la captación topológica espacial de la forma, de la imaginación del espacio, hasta de la forma de los signos en los cuales se materializa lo discreto [...]. Es lo topológico lo que permite la capta-ción de elementos tan esenciales como la simetría, semejanza, identidad [...]; o las transformaciones como traslación, homotecia, giro [...]. El hacer matemático requiere, con Hilbert, de la “imaginación geométri-ca”, con rechazo de reduccionismos numéricos que se convierten en mera superstición [...]. Pretender eliminar lo geométrico y topológico no equivale a otra co-sa que a pretender la eliminación de una de las raíces del pensamiento matemático, ya que lo continuo es irreducible a lo discreto, a lo aritmé-tico.

Una comprensión tendenciosa (¿perversa?) de los grandes logros analí-ticos de la teoría de conjuntos —y, en particular, de la reconstrucción del continuo cantoriano desde la aritmética, pero gracias a los hiperpo-tentes axiomas de ZF— ha llevado a acentuar, desde las tendencias ‘normales’ de la filosofía de las matemáticas (ya que ‘no’ desde la práctica matemática misma), un ‘desbalance interpretativo’ a favor de lo “manipulativo configuracional sígnico discreto” [1995, 62] y en detrimento de lo topológico, lo geométrico, lo continuo. Al ‘desequili-brar’ así la “aporía fundadora” de las matemáticas —la “dialéctica irre-ducible continuo / discreto” [Thom 1982]— los enfoques usuales de la filosofía de las matemáticas ‘han dejado de ir observando’ su objeto de estudio. Cuando un medallista Fields indica que desea “enfrentarse a un mito profundamente anclado en la matemática contemporánea, a saber que el continuo se engendra (o se define) a partir de la generatividad de la aritmética” [Thom 1992, 141] —o cuando algunas de las tendencias más espectaculares de la lógica matemática actual (teoría topológica de modelos, teoría de modelos de la variable compleja, lógica geométrica

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categórica, lógica de los haces) intentan denodadamente reintroducir el pensamiento geométrico y topológico dentro de la lógica— es cuando las reflexiones críticas de Javier de Lorenzo adquieren todo su valor. 8. El estilo de Javier de Lorenzo El estudio de cualquier equilibrio —rupturas y enlaces, vaivenes entre lo particular y lo general, contraposiciones y tendencias— “pertenece por entero a la Estilística”, como lo señala de Lorenzo en su Introduc-ción al estilo matemático [1971, 19]. Obra donde siempre se busca conservar un difícil equilibrio conceptual entre tendencias antitéticas, donde la reflexión intenta seguir de cerca el dinámico caracter proteico de la creación matemática, la obra de Javier de Lorenzo se elabora, a su vez, siguiendo un ‘estilo’ muy peculiar, que refleja la ‘tirantez dialécti-ca’ misma de la práctica observada. Tres niveles básicos articulan la práctica del ‘estilo’ en de Lorenzo —un estilo de vida, un estilo concep-tual y un estilo gramatical— y explican en buena medida la inapropiada ‘marginación’ de una obra de gran valor, tan excepcional en el marco hispánico, como notable en el marco general de la filosofía de las ma-temáticas del siglo XX. Un iterado ‘fuera de cauce’ en los entornos universitarios margina al autor: fuera de cauce por su autodidactismo, por su enclave geográfico, por sus temas de estudio, por la originalidad de sus enfoques. Otro fuera de cauce en la reflexión conceptual acentúa la marginación: Por su lucha contra todo reduccionismo, por su inde-pendencia de la filosofía analítica, por su concepción de la matemática como producto cultural, por su atención a los verdaderos desarrollos técnicos y creativos de la disciplina. Finalmente, un muy duro fuera de cauce en la escritura misma, con todo tipo de rupturas gramaticales, enlaces sin verbo y puntuaciones flotantes, termina de situar la obra en un difícil margen que ha impedido su justa valoración.

La marcada escritura de Javier de Lorenzo [1992a, 18] no contempla comodidades con el lector:

Es el plano conceptual puro el que parece presidir el pensamiento leib-niziano. Plano al que, sin embargo, agrega una condición modal, la ne-cesidad de las verdades de razón. Existencia de dos tipos de conoci-miento, conceptual-fáctico; de un método analítico o resolutivo concep-tual; de un criterio de consistencia que conlleva la condición modal de necesidad. Notas que me interesa destacar [...]”.

Como queriendo en cierta manera romper, escindir, la linealidad misma de la escritura, adecuarla al ágil tránsito de los conceptos y multiplicarla geométricamente, de Lorenzo procede a permanentes reenvíos e itera-ciones de términos:


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Variaciones o encuadres que jamás pueden ser considerados como defi-nitivos, cerrados porque no lo es el tema al que se busca solución. Tema que, en definitiva, y en su dinámica, ha de ir reelaborándose y permi-tiendo sucesivas variaciones y encuadres, distintas aproximaciones, como diferentes son las lecturas, nunca inacabadas [sic], de un mismo texto. Texto que, en este caso, es la naturaleza enfocada en su globali-dad [...]” [1992b, 91].

Se trata, a menudo, de un estilo donde se ‘eliminan’ las conjunciones, los verbos y los modismos gramaticales, para jugar con la iteración, la yuxtaposición y el reenvío, para ‘dinamizar y romper’, en suma, la exposición. Por supuesto, un tal estado de cosas no se encuentra siem-pre meditado, y corresponde a un cierto aislamiento del autor; sin em-bargo, el producto final, una vez asimilado con bastantes renuencias por el lector, produce una muy interesante correspondencia entre una mane-ra de pensar y una manera de expresar ese pensamiento.

Dentro del estilo de pensar de Javier de Lorenzo, la ‘balanza pasca-liana’ adquiere un lugar de enorme preponderancia. Cuando en su artí-culo sobre Pascal [1985], de Lorenzo observa que en la “mezcla radi-cal” de lo geométrico y lo combinatorio, de los esprits de finesse y de géometrie, “se encuentra toda la grandeza de Pascal” [1985, 110], cuando señala que “todo el arte matemático de Pascal se va a centrar en la búsqueda de un eje, sea en la base o en la curva, que haga el papel de balanza” [1985, 109], de Lorenzo está también, en el fondo, definiendo su aproximación misma a la historia y la filosofía de las matemáticas. ‘Todo en de Lorenzo es arte de la balanza, atención polar, figuración dialéctica, vaivén irreducible’. En grandes maestros como Pascal, Kant o Poincaré, de Lorenzo apoya una visión dinámica y constructiva de las matemáticas, donde se contraponen y entrelazan múltiples haceres. Una atención inusual a los avances de las matemáticas en los siglos XIX y XX completa su bagaje. Un brillante análisis de un aspecto de la balan-za pascaliana —el vaivén pendular entre el axioma de Arquímedes (que regula lo discreto a través de lo infinitamente grande, vale para enteros y falla con indivisibles) y el axioma ‘simétrico’ de Arquímedes (que regula lo continuo a través de lo infinitamente pequeño, vale para indi-visibles y falla para enteros) [1985, 113]— sirve de preciso reflejo para que de Lorenzo pueda explicitar la ‘aporía fundadora’ de las matemáti-cas. Cuando en una visión crítica consiguen plasmarse, y adecuarse al mundo presente, algunas de las grandes enseñanzas de los grandes maestros del pasado, esa visión cuenta realmente entonces con un ‘futu-ro’. Es sin duda el caso de la obra de Javier de Lorenzo.

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Apéndice. En la tabla siguiente se presentan algunas estadísticas que intentan registrar, algo más objetivamente, ciertos énfasis y temáticas en la historia y la filoso-fía de la lógica, según se realizan dentro del ‘ámbito angloamericano’. Se consideran recopilaciones de artículos tanto ‘canónicos” ([Benacerraf, Putnam 1983], [Gabbay, Guenther 1983], [Prawitz, Skyrms, Westertahl 1991]) como “emergentes” ([Tymoczko 1986], [Drucker 1991], [Grattan-Guinness 1994], [Goble 2001]). Pueden resaltarse algunas ‘tendencias’ de la tabla, así como algunas de sus ‘singularidades’: Tendencias: • Neto énfasis en la exploración lógica y filosófica de lo ‘discreto’

versus lo ‘continuo’. • Neto énfasis en la exploración lógica y filosófica de lo ‘analítico’

versus lo ‘sintético’. • Mayor énfasis en una percepción unitaria de la ‘lógica’ (singular)

que en una visión múltiple de las ‘lógicas’ (plural). • Equilibrio y vaivén pendular entre el estudio de ‘lenguajes’ y ‘mo-

delos’. • Equilibrio entre el estudio de la lógica ‘clásica’ y el de lógicas ‘al-

ternativas’. • Falta de tendencia en el nudo ‘local versus global’, rara vez explíci-

tamente abordado. Singularidades: • Inexistencia de referencias a [Lautman 1977]: Indicador de una

historia y filosofía de las matemáticas nítidamente orientada hacia una ‘historia y filosofía de la lógica y de los fundamentos’ versus una historia y filosofía de la matemática moderna en acción. Obsér-vese, curiosamente, que Javier de Lorenzo tampoco menciona nunca los trabajos pioneros de Lautman (1937-39) sobre filosofía de las matemáticas avanzadas, aunque se encuentra muy cerca de muchos de los planteamientos del filósofo francés.

• Muy pocas referencias a Lindström o Lawvere: Indicador de una historia y filosofía de la lógica poco atenta a desarrollos contempo-ráneos de importancia.

• Gran cantidad de referencias a Russell y a Quine: Indicador de un énfasis excesivo en los cauces ‘normales’ —analíticos— de la histo-ria y filosofía de la lógica (desproporción manifiesta al observar que, en varios casos, el número de referencias a Russell y Quine su-pera el número de referencias a Gödel y Tarski).


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La noción de posibilidad en tres definiciones matemáticas de

probabilidad

Marco Antonio Hernández Ramírez

Resumen En este trabajo defendemos el carácter lógico de las nociones de nece-sidad y posibilidad, además de su no reductivilidad a la noción matemá-tica de probabilidad. Se presentan tres definiciones de probabilidad: clá-sica, frecuencialista y axiomática; después, haciendo uso de criterios apropiados, se distinguen diferentes nociones de posibilidad. Con la dis-tinción de al menos dos nociones de posibilidad, se realiza un análisis modal de los diferentes enfoques de probabilidad y se demuestra que en cada uno de ellos alguna noción de posibilidad permanece tácita o ex-plícitamente presupuesta. Esto refuta la tesis de que las nociones moda-les son sólo explicables por la teoría matemática de las probabilidades, tesis sostenida en el siglo XIX por lógicos y matemáticos.

Abstract In this paper we defend the logic nature of notions as necessity and pos-sibility, and we defend that they can not be reduced to the mathematical no-tion of probability. We show three definitions of probability: classic, frequency and axiomatic; then, making use of proper criteria, we distinguish different notions of possibility. Then, with at least two distinctions of possi-bility we make a modal analysis of the different definitions of probability, and show that in each of them some notion of possibility is presupposed in a tacit or explicit way. This refuses the thesis that the modal notions are only explained by the mathematical theory of probability. This thesis was sup-ported by logicians and mathematicians in the XIX century.

Palabras claves: Probabilidad clásica, frecuencialista, axiomática; posibilidad de re, de dicto; lógica modal.

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1. Introducción Antecedentes En 1879, cuando los Begriffsschrift de Gottlob Frege fueron publica-dos, a decir de van Heijenoort, inició una gran época en la historia de la lógica,1 pues “este libro la liberó de una conexión artificial con las matemáticas al tiempo que preparó una profunda interrelación entre esas dos ciencias” [van Heijenoort 1967, vi]. Sin embargo, no todas las áreas de la lógica fueron iluminadas por la luz de esa época de esplendor;2 en particular, las nociones que ahora conocemos como modales, fueron dejadas al margen del desarrollo axiomático que se inició a finales del siglo XIX, y alcanzó su apogeo a principios del siglo XX. Frege mismo en su Conceptografía calificó de irrelevantes para su trabajo las distinciones modales.3 Tal actitud reflejó una pos-tura generalizada entre los lógicos del siglo XIX, y explica el éxito que alcanzó lo que consideramos, siguiendo a Niiniluoto [1988], el programa rival de las modalidades, a saber: La teoría matemática de las probabilidades.

Más tarde, en 1910, Whitehead y Russell publicaron la obra que dio la pauta para el surgimiento de la moderna lógica modal: los Principia Mat-hematica.4 Muchas de las ideas expuestas en los Principia fueron discuti-

1. Las siguientes son algunas de las contribuciones fundamentales de esa obra a la lógica:

1) El cálculo proposicional veritativo-funcional; 2) el análisis de proposiciones en tér-minos de función y argumento, que sustituye el análisis sujeto-predicado; 3) la teoría de la cuantificación; y 4) un sistema de derivación lógico en el cual las inferencias son realizadas exclusivamente de acuerdo a la forma de las expresiones.

2. La segunda mitad del siglo XIX fue testigo de un renacimiento de la lógica; esta disci-plina a la cual el filósofo alemán Immanuel Kant ([1781, BVIII]) acusó de estar com-pletamente terminada por no haber sufrido progreso alguno durante más de dos mil años, recibió un fuerte impulso proveniente de las matemáticas. Las publicaciones de Boole, De Morgan y Peano, por mencionar tan sólo algunas de las más destacadas, vi-nieron no sólo a revivir la ciencia del pensamiento puro, sino que además la dotaron de nuevas herramientas y métodos.

3. De acuerdo con Frege [1988, 16], ‘posible’ y ‘necesariamente,’ tienen más que ver con consideraciones sobre el conocimiento humano que con la lógica pura, es decir, son nociones meramente epistémicas. De haber estado Frege en lo cierto, entonces, Aristó-teles se habría equivocado en pensar que forma parte de la tarea de los lógicos buscar reglas de inferencia aplicables sólo a las proposiciones modales. Sin embargo, ahora nos es más claro que las nociones modales de necesidad y posibilidad no pertenecen a la epistemología (por lo menos no exclusivamente), ni a ninguna otra disciplina en es-pecial, que no sea la lógica misma.

4. Esa obra fue durante mucho tiempo la referencia ineludible para cualquier trabajo que se quisiera realizar en el campo de la lógica. En esa obra se redefinen gran parte de los conceptos lógicos y se introduce una simbolización novedosa (debida a Peano) para ofrecer un cálculo deductivo que abarca la lógica de primer orden y toda la teoría de tipos.

La noción de posibilidad ... 39

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das ampliamente por los lógicos de la época;5 en particular, Lewis estuvo en desacuerdo con el tratamiento que Russell y Whitehead le dieron a la implicación material. En los Principia Mathematica [p. 94] leemos:

La interpretación más conveniente de la implicación es, conversamente, que si p es falsa o q es falsa, es decir, entonces “p implica q” es verda-dera. Entonces “p implica q” es definida con el significando: “O bien p es falsa o q es verdadera”. Entonces nosostros escribimos:

~ . . .p q⊃ = p q∨

Esta interpretación, que considera una implicación material verdadera si, y sólo si, no se da el caso de que su antecedente sea verdadero y su consecuente falso, da lugar a las siguientes tesis conocidas como para-dojas de la implicación material: a) Una proposición falsa (p = 0) implica materialmente cualquier proposición:

(p = 0) ( )p q→ →∴0 q→

b) Una proposición verdadera (p = 1) es implicada materialmente por cualquier proposición:

( 1) (q p= → → )q

))

))

1p∴ →

c) Dadas dos proposiciones cualesquiera, y dado que una implicación material sólo es falsa cuando el consecuente es falso y el antecedente verdadero, entonces la primera implica materialmente a la segunda o la segunda implica materialmente a la primera:

( ) (p q p q¬ → → →¬ ; ( ) (p q p q¬ → → ¬ → ; ( ) (p q q p¬ → → ¬ →¬

Si , entonces p = 1 y q = 0 ( p q¬ →Si p = 1, 0p¬ = , y si q = 0, entonces 1=¬q Si , entonces y 0p¬ = 0p¬ = p q¬ →¬ Si , entonces 1q¬ = p q→¬

Lewis argumentó que algunas de las propiedades de la implicación material obedecen al hecho de que el álgebra de relaciones fue origi-nalmente vista como representado el sistema de la lógica de clases. Sin embargo, Lewis [1918, 230] se percató de que: 5. De todas las reacciones que los Principia suscitaron, destaca un artículo, publicado en

1931 por un joven matemático, miembro del Círculo de Viena, llamado Kurt Gödel: “Sobre sentencias formalmente indecidibles en Principia Mathematica y sistemas afi-nes” [Gödel 2006].


Mathesis

[c)] exhibe propiedades de la implicación material que no tienen analogía algu-na con las relaciones entre clases. [c)] es una consecuencia del postulado adicio-nal, p = (p = 1). Para clases, representa ‘es contenido en’: pero si a no está contenido en b, no se sigue que a está contenido en no b —a puede estar parcial-mente dentro y parcialmente fuera de b.

⊂

Para solucionar ese problema, Lewis remplazó la implicación material por la implicación estricta , donde p q, significa intuitivamente que p ¬q es imposible. De esta manera, Lewis [1918, 294] definió la fórmula ‘es posible que p’, como sigue

≺ ≺∧

◊p =df ¬ (p ≺ ¬p).

Al reflexionar sobre las razones de la demora para la invención de un tratamiento sintáctico de la modalidad como el anterior, Niiniluoto [1988, 277] escribe que:

Este enigma no se puede responder simplemente acusando a los lógicos de una carencia de imaginación: después de todo, los sistemas formales de la lógica extensional, desarrollados por Boole, Peirce, Schröder, Fre-ge, Russell, Hilbert y otros, han sido técnicamente más complejos que los relativamente simples marcos de la lógica intensional.

La respuesta buscada por Niiniluoto la encontró en los supuestos filosó-ficos más profundos que prevalecieron entre los lógicos del siglo XIX.

Sin embargo, el problema de la modalidad no fue exclusivo de los lógicos del siglo XIX. Al considerar el problema de la modalidad rela-cionado con la teoría de las probabilidades, encontramos, en primer lugar, que los matemáticos del siglo XIX emprendieron una lucha contra el determinismo Laplaciano y su concepción epistémica de la probabilidad; esta concepción se encuentra estrechamente relacionada con la noción de posibilidad. En segundo lugar, tenemos que los matemáticos del siglo XIX se avocaron a encontrar una definición no circular y objetiva de las probabilida-des. Entonces, la definición frecuencialista de las probabilidades se erigió como la definición extensional6 buscada, es decir, la definición que, aparen-temente, no apelaba más a la noción de posibilidad para su formulación.

Objetivo Nuestro propósito en este trabajo es mostrar que alguna noción de posi-bilidad se encuentra presupuesta, tácita o explícitamente, en las defini-ciones matemáticas de las probabilidades que sucedieron a la definición 6. De acuerdo con Quine [1953, 21]: “La clase de todas las entidades de las cuales un

término general es verdadero es llamada la extensión del término”, y agrega que “es un lugar común en filosofía oponer intensión a extensión, o, en un vocabulario distin-to, connotación a denotación”.


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clásica de probabilidad. En otras palabras, proponemos una reflexión de tres enfoques matemáticos de la teoría de las probabilidades en relación con la moderna lógica modal. Los tres enfoques referidos no son los únicos que se han propuesto en la historia de las matemáticas,7 pero creemos que son los más representativos y los hemos elegido ciñéndo-nos a consideraciones puramente históricas del desarrollo de la discipli-na matemática de las probabilidades.

En este trabajo, siguiendo a Łukasiewicz [1970, 62], entendemos por proposición modal la que ha sido construida sobre el modelo de una de las cuatro expresiones siguientes:

Es posible que p Simbólicamente p◊ No es posible que p Simbólicamente p¬◊ Es posible que no p Simbólicamente p◊¬ No es posible que no p Simbólicamente p¬◊¬

Donde la letra p designa cualquier proposición de la lógica de primer orden.8

2. Tres definiciones de probabilidad 2.1 Definición clásica de probabilidad La definición clásica de probabilidad define la probabilidad de un even-to εi como el cociente de los casos favorables a εi sobre la totalidad de los casos igualmente posibles —o ‘equiposibles’— dentro de un espa-cio muestral Ω. Asignar iguales probabilidades a cada una de las salidas es un rasgo característico de la definición clásica de las probabilidades, pues ésta define probabilidad apelando al ‘principio de indiferencia’: “Este principio establece que dos posibilidades son igualmente probables pues no hay razón para preferir una sobre otra” [Salmon 1984, 65].

No debe sorprender que detrás de la definición clásica de las proba-bilidades se encuentre un principio como el de indiferencia si tenemos presente que esta teoría fue producto del pensamiento de la ilustración 7. Huygens resolvió los mismos problemas que dieron origen a la teoría matemática de

las probabilidades mediante métodos distintos a los de Fermat y Pascal, sólo que él no recurrió en algún momento a probabilidades de eventos. Las soluciones de Huygens “están basadas en el cálculo de esperanzas, lo cual hacía ver ya que este concepto po-día tomarse como primario, previo incluso al de probabilidad de un evento, y a partir de él desarrollar la nueva disciplina. La historia no fue de ese modo pues el concepto que prevaleció como primario fue el de probabilidad” [García 2005, 311].

8. Creemos pertinente esta acotación debido a que la lógica modal engloba muchas otras lógicas, no sólo la de la necesidad y la posibilidad. También son lógicas modales: La lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica. En este trabajo cuando nos refiramos a lógica modal, estaremos haciendo referencia a la lógica también llamada alética.


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europea y que como tal está empapada de muchas de esas ideas, en particular, la idea de determinismo [Gillies 2000, 14]. Ésta idea sugiere que las probabilidades no pueden ser inherentes a la naturaleza de los objetos sino que deben estar relacionadas con la ignorancia humana.9 Esto llevó a Laplace [1814, 6] a afirmar que

La probabilidad es relativa, en parte a nuestra ignorancia, en parte a nuestro conocimiento. Sabemos que de tres o de un número mayor de eventos, sólo uno de ellos debe ocurrir; pero nada nos induce a creer que uno de ellos ocurrirá en mayor medida que los otros. En este estado de indecisión, es imposible para nosotros anunciar la ocurrencia con certeza.

Una situación como ésta, en la cual ‘nada nos induce a creer que uno de ellos ocurrirá en mayor medida que los otros’, Laplace recomienda considerar todos los eventos con la misma posibilidad de ocurrir, es decir, considerarlos como eventos equiposibles.10 De esta manera en-contramos que la teoría clásica de las probabilidades sólo puede ser aplicada donde tengamos un número finito de casos igualmente posi-bles:

Este método de encontrar probabilidades, basándose en la equiprobabi-lidad de los posibles resultados, es conocido como la definición clásica de probabilidad. Según esta definición, la probabilidad de un evento A se calcula de la siguiente manera:

P(A) = # de eventos elementales que producen la ocurrencia de A# total de eventos

[García 2005, 54]

Se debe tener presente que calcular probabilidades de esta manera es factible sólo cuando ha sido posible determinar que los resultados de nuestro experimento aleatorio son equiposibles y finitos, en nuestra notación moderna: Si un espacio muestral Ω consiste de n eventos ele-mentales equiposibles y εi es un evento contenido en Ω, εi ⊆ Ω, con nε resultados favorables a εi, entonces la probabilidad de εi está dada por la fórmula

P(A) = nn

ε

9. Supongamos que tenemos una situación compuesta por tres posibles eventos ajenos

entre sí, A, B, y C. Si nos ceñimos a la idea del determinismo universal, uno de ellos —digamos que B— debe ocurrir. Pero dada nuestra condición humana, nosotros no sabemos cuál de ellos ocurrirá. Nos encontramos en la situación en la cual debemos recurrir al cálculo de probabilidades.

10. No es claro quien fue el primero en formular está definición; aparece en la corres-pondencia entre Fermat y Pascal, y, al parecer, para 1678 Leibniz estaba en posesión de ella [Hacking 1975, 152].


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La probabilidad así definida cumple con las propiedades que Laplace llamó ‘principios’ en su Ensayo filosófico de las probabilidades.11 Nosotros no haremos referencia a estos principios,12 debido a que nues-tro interés primordial se encuentra en la definición misma de probabili-dad, más que en sus propiedades aritméticas.

2.2 Definición frecuencialista de probabilidad En la teoría frecuencialista, las probabilidades son asociadas con colec-ciones de eventos considerados como objetivos e independientes de los individuos de la misma manera que la masa de un cuerpo es considera-da independiente del físico que la mide cuando hace mecánica.13

En la teoría frecuencialista se introdujo por primera vez el concepto de espacio de eventos, sólo que referido a atributos, y se le debe a Von Mises [Gillies 2002, 89]. Este término es el que más tarde fue conocido en los libros de texto sobre probabilidades como ‘espacio’ muestral. La definición de probabilidad frecuencialista se puede formular de la si-guiente manera:

Sea A un atributo arbitrario asociado con un conjunto particular. Si Ω es el espacio de atributos del conjunto, entonces A Ω⊆ . Supongamos que en los primeros n miembros del conjunto A ocurre m(A) veces, en-tonces su frecuencia relativa es m(A)/n. La ley de estabilidad de las fre-cuencias estadísticas establece que cuando n crece, m(A)/n se acerca ca-da vez más a un valor fijo [Gillies 2002, 92].

Este enfoque asume que si un experimento se repite n veces, de las cuales nA veces ocurre el evento A, entonces la probabilidad se define como el límite de la frecuencia relativa ( An

n ), lo cual quiere decir que:

Ann ⎯→⎯ P(A) [ ]1,0∈

La peculiaridad de este enfoque consiste en fundamentar la teoría sobre una sólida base experimental. Sin embargo, este enfoque presupone,

11. Tales como la propiedad de aditividad finita para n eventos Ai mutuamente excluyentes:

P(1

n

k

A=∪ k ) =

1(

n

KP A

=∑ k).

12. A los cuales preferimos llamar propiedades, para distinguirlos de principios implícitos en la teoría, como el de indiferencia y el de equiposibilidad.

13. El intento de Von Mises, y todos aquellos que compartieron la idea de que el enfoque frecuencialista era el adecuado para considerar las probabilidades, consistió en “pre-sentar la teoría de las probabilidades como una ciencia matemática como la mecáni-ca” [Gillies 2002, 90].


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además del principio de frecuencia relativa, una ley que Von Mises [1928, 12; citado en Gillies 2002, 92] llamó empírica:

Es esencial para la teoría de las probabilidades que la experiencia haya mostrado que en el juego del dado, como en todos los otros fenómenos que hemos mencionado, las frecuencias relativas de ciertos atributos llegan a ser más y más estables cuando el número de observaciones es incrementado.

En otras palabras, Von Mises sugiere que, por ejemplo, cuando noso-tros arrojamos una moneda al aire n veces, los resultados de este expe-rimento tenderán a estabilizarse en torno a un valor que él llama m(A)/n, a medida que la n tiende al infinito.

De supuestos como el anterior, los teóricos frecuencialistas como Von Mises formulan el axioma de convergencia: Sea A un atributo arbitrario (salir número par, por ejemplo, al arrojar un dado n veces) de una colección de C, entonces

nLim →∞( )m an

, existe

y ésta es la definición de probabilidad apelando al límite de la frecuen-cia relativa.14

Otra peculiaridad de esta teoría, es la que Von Mises subrayó de la siguiente manera: “Nuestra teoría de la probabilidad no tiene nada que ver con cuestiones tales como: ‘¿hay alguna probabilidad de que Ale-mania esté en un tiempo futuro en guerra con Liberia?’” [Von Mises 1928, 9, citado en Gillies 2002, 97].

La teoría frecuencialista sólo introduce probabilidades en senti-do matemático o cuantitativo cuando disponemos de un conjunto considerable de eventos uniformes que son el fruto de una cuidadosa observación. Nuevamente, dejamos de lado las propiedades de este enfoque ya que, como antes señalamos, nuestro interés está en la definición. 14. Este enfoque sobre las probabilidades hizo su aparición en 1692 cuando Jacob Ber-

noulli probó un importante teorema sobre cualquier conjunto infinito contable de sa-lidas aleatorias. La formulación del teorema es: “para cualquier ε, y para toda x, hay un número de intentos N, tales que para cualquier n > N,

[( ) / ( )] (1 ).Pr p k n p x− ≤ ≤ + > −ε ε

Ésta es […] la conección más fundamental entre probabilidad y frecuencias de una se-rie”.[Hacking 2001, 198] Bernoulli probó entonces que si n crece sin cota, la probabilidad de que k/n se estabilice en torno a un valor fijo es 1. Este resultado es conocido como el teo-rema del límite de Bernoulli o, más coloquialmente, como ley de los grandes números

[Cohen 1999, 22]. Una presentación de la prueba se encuentra en [Kneale 1949, 136].


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2.3 Definición axiomática de probabilidad Las condiciones para la axiomatización de la teoría de las probabilidades estaban dadas desde finales del siglo XIX.15 La teoría de los conjuntos creada por Cantor y las herramientas lógicas desarrolladas por Boole, Fre-ge, Peano y De Morgan, aunados a los trabajos de Lebesgue y Fréchet fueron utilizadas por Kolmogorov, con el objeto de dar fundamento axio-mático a la teoría de las probabilidades.16

Kolmogorov partió de la intuición de que la teoría de las probabili-dades podía ser susceptible de axiomatización, en la misma forma en que lo fue la geometría y el álgebra. En sus propios términos:

Esto significa que después de tener definidos los elementos a ser estu-diados y sus relaciones básicas, y después de haber expuesto los axio-mas por los que estas relaciones serán gobernadas, todas las exposiciones futuras deben estar basadas exclusivamente en estos axiomas, independien-temente del significado concreto usual de estos elementos y sus relaciones [Kolmogorov 1933, 1].

Kolmogorov fue consciente de que cualquier teoría axiomática es suscepti-ble de un ilimitado número de interpretaciones paralelas a aquella que se tuvo en mente al proponerla.17 La formulación de la teoría es como sigue: 15. El siglo XIX fue rico en construcciones axiomáticas para varias ramas de las matemá-

ticas: El análisis, la teoría de los conjuntos, la geometría y el álgebra. El cálculo de probabilidades no fue la excepción ya que varias axiomatizaciones fueron construi-das, como las de Fineti, Popper y Kolmogorov, por mencionar las más importantes, con la intención de axiomatizar la definición de probabilidad.

16. Como lo señaló en el prefacio de su monografía: Kolmogorov se dio a la tarea de colocar los conceptos básicos de la teoría de las probabilidades en su lugar natural. La tarea que él emprendió, como señala, no pudo haberse dado de manera tan natural, antes de la introduc-ción de las teorías de la medida y la integración de Lebesgue. Para Kolmogorov, después de la publicación de las investigaciones de Lebesgue, la analogía entre medida de un con-junto y probabilidad de un evento, y entre integral de una función y esperanza matemática de una variable aleatoria se hizo patente. Para que tal analogía fuese válida, fue necesario que la teoría de la medida y de la integración se independizasen de los elementos geométri-cos que se encontraban en Lebesgue. Ese trabajo fue llevado a cabo por Fréchet en su tesis doctoral de 1906, en la cual intentó unificar, en términos abstractos las ideas contenidas en los trabajos de Cantor, Volterra, Hadamar y otros, en lo que llamó cálculo funcional.

17. Kolmogorov define uno de los conceptos capitales de su sistema, el de campo o espacio de probabilidades, como un sistema de conjuntos los cuales satisfacen ciertas condiciones. Lo que representen esos conjuntos no será de importancia para el desa-rrollo de la matemática de la teoría de las probabilidades. Kolmogorov piensa en el punto de vista formalista, tal como lo representa Hilbert en la esfera de los números y la geometría, el cual consiste en dejar sin definir los enteros y los puntos pero afirma respecto a ellos axiomas tales que hagan posible la deducción de las proposiciones usuales de la aritmética. En otras palabras, Hilbert no atribuye significado a los sím-bolos ‘0’, ‘1’, ‘2’, ‘3’,..., ‘n’, excepto que deben tener ciertas propiedades que enume-ran los axiomas. De esta manera, los números se consideran como variables. Esto se debe a que tradicionalmente se ha pensado que a los matemáticos no les incumbe la esencia de los números:


Mathesis

Axiomas

Sea E una colección de elementos ξ, η, ζ, ..., los cuales llamaremos eventos elementales, y sea ℑ un conjunto de subconjuntos de E. Los elementos del conjunto ℑ serán llamados eventos aleatorios.

I. ℑ es un campo; II. ℑ contiene al conjunto E, ( ); E ⊆ ℑIII. A cada conjunto A en ℑ le es asignado un número real no nega-tivo P(A). Este numero P(A) será llamado la probabilidad del evento A; IV. P(E) es igual a 1; V. Si A y B no tienen elementos en común entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B);

Un sistema de conjuntos, ℑ, junto con una asignación definida de nú-meros P(A) que satisface los axiomas I-V, es lo que Kolmogorov llamó un campo generalizado de probabilidad. Un acierto de la teoría de Kol-mogorov es que se puede extender a casos en los cuales los conjuntos de eventos son infinitos. Para tal efecto, Kolmogorov introduce el axioma VI de su sistema llamado ‘Axioma de Continuidad’. Sobre él nos dice que:

Es esencial sólo para un campo infinito de probabilidades, aunque es imposible dilucidar su significado empírico [...] Pero, al describir cual-quier proceso aleatorio observable sólo podemos obtener campos finitos de probabilidad. Los campos infinitos de probabilidad ocurren solamen-te como idealizaciones de modelos de procesos aleatorios reales [Kol-mogorov 1933, 15].

Además: De esta forma estaremos derivando todos los campos posibles finitos de probabilidad en el cual ℑ consiste de los conjuntos de todos los subcon-juntos de E. (El campo de probabilidad es llamado finito si E es finito.) [Kolmogorov 1933, 3].

Destacamos en la construcción del espacio de probabilidades la noción que proviene de la teoría de los conjuntos, a saber, la noción de conjun-to de todos los subconjuntos de un conjunto dado, es decir, la de con-junto potencia. Esta noción está estrechamente ligada con otro concepto

“Lo que importa son las relaciones y operaciones que se aplican a los objetos, en par-ticular la igualdad y el orden entre ellos –de la misma manera en que los jugadores de ajedrez no se interesan por lo que es un alfil sino en cómo funciona” [Fraenkel 1976, 22].


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implícito en la presentación de Kolmogorov, a saber, la de ‘campo’: Un campo (o σ -álgebra) es aquel sistema de conjuntos en el que se cum-plen las siguientes condiciones:

a) Para cualesquier ξi, ξj ∈ℑ, ξi ξ∪ j ∈ℑ. b) Para cualesquier ξi, ξj ∈ℑ, ξi ∩ ξj ∈ℑ. c) Para cualesquier ξi, ξj ∈ℑ, ξi \ξj ∈ℑ. d) Si ℑ , entonces ℑ. ∅≠ ∈∅

Omitiremos, como en los casos anteriores, hablar de las propiedades de esta teoría. Nuestros cuestionamientos están dirigidos exclusivamente a conceptos que se encuentran en lo que acabamos de presentar.

3. Nociones de posibilidad Examinar en detalle todas las propuestas para distinguir entre diversas nociones de posibilidad exige un trabajo aparte; y aunque sería suficien-te para nuestros propósitos mostrar que existe al menos una distinción y que ésta está ampliamente reconocida y que es reiteradamente citada en la literatura, mencionamos dos estrategias para establecer criterios de distinción entre diferentes conceptos de posibilidad.

El primer criterio, debido a Hacking [1967, 1975], está basado en una distinción gramatical de dos construcciones en las cuales ocurre el adjetivo ‘posible,’ dejando de lado las ocurrencias de ‘posible’ como nombre o como sustantivo.18 Hay, sin embargo, autores como Łukasie-wics, quienes intentaron construir una definición del concepto de posi-bilidad que permitiera establecer todos los teoremas de la lógica modal tradicional sin incurrir en contradicción. Łukasiewics se encontró con la siguiente definición de lo que el llama ‘posibilidad pura’:

Mp AEpNp qNCpKqNq= Π 19

foque.

18. Nosotros, al igual que Hacking, dirigimos nuestro análisis al adjetivo o adverbio y no al sustantivo ‘posible’. Es decir, estamos interesados en el cambio de significado que tiene lugar cuando un sustantivo o un verbo es modificado por ‘posible’ o ‘posiblemente.’ Una pregunta sobre qué es lo posible, análoga a la pregunta ‘¿qué es el ser?’, no tiene ningún sentido ni importancia para nuestro en

19 Esta fórmula está escrita en notación polaca; su traducción a nuestra notación convencional se sigue de la definición de A, que es el símbolo polaco de alternación y de E, que es el símbolo polaco de equivalencia material. Los demás símbolos son los acostumbrados:

M =def.. ◊ , C =def.⊃ , N =def.¬ , K =def.∧ y =Π def. ∀ . De acuerdo a esto,

Apq CCpqq= y .E KCpqCqp=


Mathesis

La cual, traducida a nuestra notación moderna, se formula de la si-guiente manera:

(( ) ( ( ))) ( ( ))p p p q p q q q p q q◊ = ≡ ¬ →∀ ¬ ⊃ ∧ ¬ →∀ ¬ ⊃ ∧ ¬

Esta fórmula afirma que, “es posible que p” significa que “o bien p y son equivalentes entre sí, o no hay ningún par de proposiciones

contradictoria implicadas por p” [Łukasiewics 1970, 74]. Más tarde, Łukasiewics [1970, 75] se convenció de que “el concepto más amplio de posibilidad en general era preferible al concepto más restringido de posibilidad pura”. El proyecto de Łukasiewics, sin embargo, produce consecuencias indeseables

p¬

20 si no se adopta un sistema de lógica triva-lente.

El segundo método para establecer criterios de distinción entre po-sibilidades ofrece un ejemplo de cada una de las posibilidades que es-temos considerando para que el lector intuya las diferencias [Rinaldi 1967]. Esta última estrategia es infructuosa debido a que los ejemplos sobre posibilidades suelen ser tan contra intuitivos que lo menos que sugieren en el lector es una distinción. Ejemplos sobre modalidades son los siguientes: “es posible que mañana haya o no haya una batalla naval” [Aristóteles 1988, 50]; “es posible que una barra de hierro flote en el agua” [Rinaldi 1967, 82]; “No es posible que el agua no sea H2O” [Kripke 1981, 134]. Otra razón por la cual la estrategia no brinda los frutos que se esperan de ella es porque ciertas nociones de posibilidad a menudo presuponen otras nociones de posibilidad o tienen una intersec-ción que es no vacía. Esperamos que tales nociones se tornen más intuiti-vas después de la presentación de la sintaxis y semántica de la lógica modal.

3.1 Sistemas de lógica modal Los problemas que entrañan las modalidades de necesidad y posibilidad son señalados por primera vez en el tratado Sobre la interpretación de Aristóteles. Ahí se analizan las relaciones entre las nociones modales de necesidad y posibilidad, además de la forma de negar proposiciones que contienen esas modalidades,21 lo cual presupone el conocimiento de ciertas leyes lógicas dado que la negación de una proposición modal no

20. Admitir como posible todo, es una de ellas. 21. Lo que Aristóteles elaboró fue una teoría de las proposiciones modales Una proposi-

ción modal es una que contiene la palabra ‘necesario’ o ‘posible’, o alguna equivalen-te a esas dos. Véase el final de nuestra introducción.


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es directa [Aristóteles 1988, 53].22 Sin embargo, como señalamos en la sección introductoria:

La causa inmediata del nacimiento de la moderna “lógica modal” fue muy especial; se inspiró en la insatisfacción con el tratamiento de la ta-bla de verdad de la implicación de Frege-Russell. Donde la lógica pro-posicional hace φ ψ equivalente a ¬(φ ¬ψ) (no es caso que φ y no ψ), o equivalentemente, ( φ ψ ). (φ necesariamente implica ψ materialmente). [van Benthem 1988, 13]

∧

La insatisfacción de Lewis [1918] lo llevó a elaborar el primer trata-miento sintáctico de las modalidades. Más tarde, de acuerdo con van Benthem [1988, 13], el estudio de ◊ y llegó a ser dominante en la lógica modal cuando los estudios sobre la implicación material se cons-tituyeron como una materia aparte. Podemos considerar a la lógica modal como el intento por representar los argumentos lógicos que invo-lucran esencialmente los conceptos de necesidad y posibilidad [Haack 1978, 170]. Como muestra la referencia a Aristóteles, hay una larga tradición filosófica de distinguir entre verdades necesarias y contingen-tes, además de las posibles. La distinción suele ser explicada en los siguientes términos:

Una verdad necesaria es aquella que no puede ser de otra manera, una verdad contingente es la que sí podría [ser diferente]; o la negación de una verdad necesaria es imposible o contradictoria, la negación de una verdad contingente es posible o consistente; o, una verdad necesaria es verdadera en todos los mundos posibles. [Haack 1975, 172]

Es natural si tales tesis no son suficientemente claras, pues para explicar la necesidad se apela a otra noción modal, tan oscura como la anterior, a saber: Posibilidad. Por otro lado, hay ahí algunas nociones entrelaza-das que, como lo afirma Haack [1975, 172], debemos distinguir:

La distinción entre verdades necesarias y contingentes es una distinción metafísica; ésta se diferencia de la distinción epistemológica entre ver-dades a priori y a posteriori. Una verdad a priori es una que nosotros conocemos independientemente de la experiencia, y una verdad a pos-teriori es una que no podemos conocer así. Esas −la metafísica y la epistemológica− son ciertamente distinciones diferentes. Pero es con-troversial cuando ellas coinciden en extensión, esto es: Si todas y sólo las verdades necesarias son a priori y todas y sólo las verdades contin-gentes son a posteriori.

22. En efecto, Aristóteles observa que la negación de ◊p −donde ‘◊’ representa el opera-

dor modal ‘es posible que’ y ‘p’ representa una proposición cualquiera− no es p◊¬ . Las dos proposiciones son conjuntamente posibles; a cualquier persona le es posible leer o le es posible no leer. Por tanto ◊p y p◊¬ , no son contradictorias. La contradic-toria de ◊p es p¬◊ . La negación no se obtiene negando el dictum p, sino negando el modo ◊.


Mathesis

La última de las cuestiones planteada por Haack ha quedado al parecer resuelta por Kripke [1982].23 Él ha señalado que justamente esas son dos nociones diferentes, que no todas las verdades necesarias son a priori y no todas las verdades contingentes son a posteriori.

Comenzaremos caracterizando las modalidades sintácticamente, pues esto fue, después de todo, como históricamente sucedió.24 Pero antes anotemos qué clase de lógica es la lógica modal. La lógica modal ya no es una lógica clásica, sino una extensión25 de ésta:

Extensiones de la lógica clásica [Modal, Epistémica, Erotética, ...] son sistemas formales, los cuales extienden el sistema de la lógica clásica (Lc) en tres respectos: su lenguaje, axiomas y reglas de inferencia (Lc ⊆ Le, Ac⊆ Ae, Rc⊆ Re). Esos sistemas preservan todas las fórmulas váli-das de los sistemas clásicos, y entonces todas las fórmulas válidas pre-vias permanecen válidas también. Así, por ejemplo, la lógica modal ex-tiende los sistemas clásicos por los operadores modales de necesidad y posibilidad junto con sus axiomas y reglas. [Aliseda 2006, 58]

La lógica modal adiciona al vocabulario de la lógica clásica los opera-dores monádicos ◊ y , que se leen como ‘posible’ y ‘necesariamente.’ Otra de las lógicas extendidas, es la lógica epistémica la cual adiciona el operador ‘K’ que se lee como ‘saber’. Considerando algunos siste-mas de lógica modal y su semántica entenderemos por qué resulta ade-cuada la determinación que se hace de ésta como extensión de la lógica clásica.

a) Lógica modal mínima K Si añadimos a los axiomas, reglas de inferencia y lenguaje de la lógica clásica la noción ‘p es demostrable’, simbolizada como Bp, junto con los tres axiomas siguientes:

1. Bp p→2. ( ( ) )Bp B p q Bq→ → →3. Bp BBp→

23. Véase, en especial la primer conferencia. ‘El agua es H2O’, es para Kripke un enun-

ciado necesario, pero la manera en que adquirimos ese conocimiento es a posteriori. El caso de un enunciado a priori y contingente es más polémico; para ilustrarlo, Kripke recurre al ejemplo de Wittgenstein sobre el ‘metro patrón de Paris’: Sabemos a priori que un metro mide un metro, pero ¿es necesario que el metro de Paris mida lo que mide?

24. La primera axiomatización de la lógica proposicional modal fue dada por Lewis en 1918 y la extensión a la lógica de predicados, por Marcus en 1946; pero no fue hasta 1963 que Kripke propuso una semántica apropiada para la lógica modal.

25. En el inicio de la siguiente sección se explica la razón de llamar a estas lógicas ‘ex-tensiones’ de la lógica clásica. La cuestión tiene que ver con una práctica iniciada por Gödel.


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Lo que obtenemos es el sistema axiomático Σ que Gödel [1933] cons-truyó para interpretar la lógica conectiva de Heyting. Gödel afirmó que “el sistema Σ es equivalente al sistema de implicación estricta de Le-wis, si Bp se traduce por p y si el sistema de Lewis se complementa con el siguiente axioma de Becker: p p” [Gödel 1933, 139]. Esta práctica gödeliana de construir sistemas modales como extensiones de la lógica clásica terminó por imponerse dentro de la tradición lógica. Está es la razón por la cual prácticamente todo sistema de la lógica modal se define como una extensión de la lógica clásica. De acuerdo a lo anterior, definimos el sistema K, que es el sistema mínimo de lógica modal, de la siguiente manera:

→

a. Todas las tautologías proposicionales, b. La definición de ◊ φ ≡ def φ ¬ ¬c. ( φ → ψ) ( φ ψ), → →R1. ϕ, ϕ ψ / ψ modus ponens →R2. ϕ/ ϕ necesitación o regla de Gödel

Como K es una extensión de la lógica clásica, entonces, incluye todos los teoremas de la lógica clásica proposicional,26 esto es lo que expresa (a). La definición de necesidad en términos de posibilidad, (b), nos permite traducir las nociones de manera que podamos considerar a alguna de ellas como primitiva. En el inciso (c), tenemos un axioma que nos dice que una proposición implicada necesariamente por una proposición necesaria es ella misma necesaria. La regla de necesitación nos permite pasar de la afirmación ‘ϕ es un teorema, o axioma de la lógica clásica,’ a ‘ ϕ,’ es decir, ‘ϕ es una proposición necesaria.’

Más allá de K, las opiniones han divergido sobre los supuestos ra-zonables a considerar para hacer un uso práctico de las modalidades. Usualmente estos han tomado la forma de ‘principios de reducción,’ relacionando una modalidad a otra [van Benthem 1988, 14].

Si le anexamos a K los siguientes axiomas, tendremos como resul-tado el sistema S4 de Lewis:

S4.1 φ φ → S4.2 φ φ →

S4.1 afirma que toda proposición necesaria es una proposición verdade-ra, mientras que S4.2 afirma que toda proposición necesaria es necesa-

26. El desarrollo de sistemas de lógica modal cuantificada constituye la segunda etapa del

desarrollo de la lógica modal contemporánea. En la lógica modal cuantificada se combinan los operadores modales con los cuantificadores universal y existencial ( ). ,∀ ∃


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riamente necesaria. De estos axiomas se puede deducir que no es el caso que una proposición sea necesaria y falsa al mismo tiempo: ¬ ( A

A). ¬∧Si añadimos a K el siguiente axioma, en lugar del anterior, obten-

dremos lo que se conoce como el sistema brouweriano:

B.1 φ → ◊ φ.

Este axioma se denomina brouweriano porque es equivalente a una fórmula válida dentro del sistema de lógica intuicionista de Brou-wer:27 A A→¬¬ . La conversa de esta fórmula, A A¬¬ → , no es válida dentro del sistema de Brouwer. Interpretemos la negación intuicionista de la primera fórmula como ‘no es posible que’ para obtener: A A→¬◊¬◊ . Esta última fórmula, por (c), equivale a:

A → ◊A. Si añadimos el siguiente axioma a S4, entonces obtendremos el sis-

tema S5 de Lewis: S5.1 ◊ φ φ →

b) Semántica de la lógica modal Como antes, nuestro lenguaje básico es el de la lógica de primer orden, enriquecida con los operadores modales ◊ y . La estructura semántica para el caso proposicional, es:

M = <W, R, V>,

Donde W es un conjunto de mundos posibles, R una relación de accesi-bilidad entre los mundos de W, y V una valuación sobre los mundos de W. Para ilustrar esto:

Un simple ejemplo es el tablero de ajedrez: Los mundos son todas las posibles configuraciones de piezas sobre el tablero; en cualquiera de ellas, los mundos accesibles son aquellos que pueden ser aún obtenidos por subsecuentes jugadas con las reglas del juego [van Benthem 1988, 15].

De acuerdo con esto, R impone ciertas restricciones sobre nuestras opciones modales, tales como la relación ‘menor o igual que’ lo hace

27. La fórmula A A¬¬ → no es derivable en el cálculo intuicionista; A¬¬ significa en

la lógica intuicionista que si suponemos que A es falsa, entonces ello lleva a una con-tradicción. Sin embargo, el no tener certeza de refutar A no es suficiente para afirmar A. La fórmula conversa, A A→¬ derivable en la lógica intuicionista: Una demostración de A es una demostración de que A es imposible de ser refutada. En el cálculo intuicionista la introducción de la doble negación es válida; la eliminación de la doble negación es inválida.

¬ , si es


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para el tiempo en la lógica temporal, o para el orden numérico en la recta real. De acuerdo a lo anterior, las cláusulas cruciales en la defini-ción de verdad para nuestra semántica son [van Benthem 1988, 15]:

M φ[w] si y sólo si para todo v con Rwv, M φ [ v]

M ◊ φ[w] si y sólo si para algún v con Rwv, M φ [v].

La primera cláusula, donde w y v son mundos y Rwv significa que w está relacionado con v, retoma la idea de verdad necesaria como verdad en todos los mundos posibles. Esta idea de necesidad, como verdad en todos los mundos posibles, de acuerdo con van Benthem [1988a, 15], tiene una prehistoria conceptual que viene de Leibniz.

c) Relaciones entre los sistemas modales S5 es el sistema más fuerte de lógica modal en el sentido de que éste incluye todos los teoremas y axiomas de los sistemas más débiles. El siguiente esquema de Hughes y Cresswell [1968, 211] representa la relación de S5 con otros sistemas de lógica modal: 5 4S S⎯⎯ K

1S⎯⎯→ ⎯⎯→

→ ⎯⎯→ ------------------------------------------------------------- S S 3 2 La relación , significa que todo teorema de B es también un teorema de A (pero no a la inversa). S5, S4 y K están por arriba de la línea horizontal, eso significa que poseen la regla de necesitación de Gödel; los sistemas que aparecen a la izquierda de la diagonal poseen un número finito de modalidades distintas.

BA→

La proliferación de sistemas modales nos orilla a decidir entre al-guno de ellos, esto origina la cuestión de saber cuál elegir, es decir, cuál de ellos es el más adecuado para capturar la noción de posibilidad que en un momento dado consideremos [Haack 1975, 178]. Para ello, es necesario saber antes que noción de necesidad y posibilidad se está estudiando. De acuerdo con Haack [1975, 178], Lemmon argumentó que cada sistema modal puede ser visto como formalizando una idea diferente de necesidad (o posibilidad): si lo que se entiende por necesi-


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dad es demostrabilidad, entonces S4 es el sistema adecuado; la nocion de necesidad como tautologicidad o como analiticidad es capturada por S5. Esto nos sugiere que los distintos sistemas modales no necesaria-mente son rivales.

La inspiración filosófica para el desarrollo de la lógica modal, de acuerdo con van Benthem [1988, 14], tiene tanto inspiraciones locales —análisis de argumentos modales particulares provenientes de la tradi-ción— como más globales: “intentar (re)construir puntos de vista filo-sóficamente coherentes de la modalidad”. Esto es una razón más por la cual las nociones de necesidad y posibilidad que encierran cada uno de esos sistemas deben ser previamente aclaradas. Gabbay [2003, 3] afir-ma que aunque los sistemas de Lewis llegaron a ser célebres dentro de la lógica modal, él nunca se preocupó por clarificar lo que entendió por necesidad y posibilidad. Por su parte, Chihara [1998, 7] escribe que hay muchos sistemas de lógica modal, pero “el tipo de sistema que es gene-ralmente aceptado como la formalización correcta de los rasgos lógicos de la necesidad lógica es S5”.

3.2 Todas las posibilidades Si hacemos un recuento de toda la clase de nociones de posibilidad que las tradiciones científica y filosófica han considerado, inmediatamente caeremos en la cuenta de que se han considerado muchas más de las que uno puede a primera vista distinguir. Una lista de diferentes con-cepciones de posibilidad que rebasa la concepción tradicional28 es la que aparece en Hacking [1975, 321]. Ahí encontramos el siguiente recuento de posibilidades: lógica, física, de re, de dicto, epistémica, técnica, humana, teórica, económica, metafísica. En otros autores [Ri-naldi 1967, 83] encontramos términos como ‘posibilidad lógicamente empírica’ y ‘posibilidad real’ [Deutsch 1990, 751]. Ahora bien, al ver-nos frente a una lista tan variada de nociones de posibilidad, debemos contar con un buen criterio para distinguir entre ellas.

El criterio de Hacking, a explicar en breve, consiste de un simple método gramatical, y es considerado por su autor como el único medio con que contamos para auxiliarnos en la tarea de colocar a cada una de las posibilidades en su lugar [Hacking 1975, 321]. Otra de las virtudes que Hacking destaca de su método es que permite dirimir la vieja dispu-ta entre las posibilidades de re y de dicto. En opinión de Hacking, la gramática termina con una vieja controversia, porque la definición de la

28. La cual sólo considera tres posibilidades: lógica, empírica y metafísica.


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posibilidad de re es referencialmente transparente,29 y los problemas de opacidad que se originan en las construcciones de dicto, no tienen nada que ver con modalidad [Hacking 1975, 321].

Veamos entonces en qué consiste el método gramatical. En su in-tento de distinguir dos clases de posibilidad, Hacking señala que hay dos construcciones gramaticales en donde ocurre ‘posible’ de manera natural y gramaticalmente correcta:

L: Es posible que p M: Es posible para xA→ 30

Para la primera ocurrencia, Hacking llama la atención sobre p, la cual será sustituida por sentencias en modo indicativo y de ningún otro tipo; las ocurrencias de oraciones en subjuntivo, imperativas e interrogativas se excluyen.31 En el caso de la segunda ocurrencia de ‘posible’, la re-presentación A→ x lo único que pretende capturar es el caso de un agente realizando una acción en indicativo, por ejemplo ‘Atenea llega en bicicleta a la Facultad de Ciencias en pocos minutos.’ Si tenemos la M construcción, A x◊ → , entonces la fórmula se traduce como: ‘es posible para Atenea llegar en bicicleta a su Facultad en pocos minutos.’

Intuitivamente, un poco de conocimiento de la lógica modal nos in-dica que L implica M, pero que no es el caso que M implique L; es

29. La elaboración de sistemas de lógica modal cuantificada también provocó un fuerte

ataque a la empresa por lógicos de orientación extensionalista. La lógica modal se ca-racteriza por ser intensional, es decir, en ella no rige el principio de extensionalidad según el cual el valor de verdad de una oración compuesta está determinado por el va-lor de verdad de las oraciones componentes. Ni siquiera en el caso de las proposicio-nes atómicas se conserva tal principio extensional, ya que si tenemos la proposición modal p◊ , ésta puede ser verdadera tanto si p es falsa como si p es verdadera. En términos de la semántica de la lógica modal contemporánea: “Una fórmula ¬Φ , por ejemplo, recibirá el valor de verdad 1 en un contexto dado sólo en el caso de que la fórmula reciba el valor de verdad 0 en ese contexto. De hecho, el conjunto k de todos los contextos sólo interviene cuando empezamos a evaluar oraciones de la for-ma en un contexto dado k. Para la verdad de una determinada fórmula k se hace que dependa de la verdad de no únicamente en el mismo contexto k’ pero tam-bién en otros contextos k’ en K. Esto es lo que hace el sistema intensional” [Gamut 1991, 17].

Φ

ΘΦ,Φ

30. A→ x, simboliza: ‘el agente A realiza la acción x’, es decir, x es un verbo transitivo en indicativo. L es una construcción lógica, el operador tiene como alcance una proposi-ción; mientras que M es una construcción moral, aquí las acciones del agente son el alcance del operador.

31. Es natural que las interrogaciones y las oraciones imperativas se excluyan, pues ellas no son veritativo funcionales. El caso de las oraciones en subjuntivo es dramática-mente diferente, pues dado su carácter hipotético, en cierto sentido tienen implícito cierto grado de modalidad. De ahí el rechazo de Hacking a tratar las oraciones en sub-juntivo como instancias de p en la L construcción. Una consideración de otro orden, es que si formalizamos esa oración, nos aparecerán operadores modales iterados, lo cual presenta dificultades en ciertos sistemas de lógica modal, en particular aquellos sistemas donde p → p ó p → p no sean teoremas.


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decir, las modalidades de re/ de dicto,32 implícitas en esas construccio-nes, no son equivalentes; aunque la primera pueda implicar la segunda, la segunda no implica la primera. La cuestión de fondo tiene que ver con la fórmula Barcan (BF), la cual afirma que la L construcción impli-ca la M construcción:

[BF] (x) Fx → ( )x Fx

y su conversa (CBF), donde la M construcción implica la L construc-ción:

[CBF] ( )x Fx → (x) Fx

La fórmula Barcan es discutible. Del supuesto de que es posible que algo no tenga la propiedad F, no se sigue que existe algo que posible-mente no tiene la propiedad F, y la fórmula Barcan afirma justo eso:

( ) ( )x Fx x Fx◊ ∃ ¬ → ∃ ◊¬

Una semántica adecuada de la lógica modal debe garantizar que la fórmula Barcan no sea un teorema del sistema.

Hay una sutileza más que no queremos dejar de lado, y es que hay más de dos interpretaciones de [BF]. Veamos el siguiente ejemplo de van Benthem [1988, 14] que hemos adaptado: “Los matemáticos son [posiblemente] racionales, pero no necesariamente bípedos”. Ahora pongamos atención en la primera aserción y vemos como ésta tiene tres lecturas distintas:

(a) ( ( ) ( ))x matemático x racional x∀ → ◊ (b) ( ( ) ( ))x matemático x racional x◊∀ → (c) ( ( ) ( ))x matemático x racional x∀ ◊ → [van Benthem 1988, 15]

El ejemplo (a) adscribe la posibilidad de ser racional a un matemático, lo cual coincide con la modalidad de re. El ejemplo (b) es la modalidad de dicto y corresponde a la proposición de que los matemáticos son racionales es posible; mientras que (c) es una interpretación intermedia que puede resultar ambigua. Ejemplos como éste nos orillan a conside- 32. En las Refutaciones sofísticas, Aristóteles se preguntó si es siempre contradictorio

decir que un hombre es capaz de escribir mientras no esté escribiendo. Aristóteles se percató de que hay dos interpretaciones posibles de la modalidad y que la respuesta depende de cuál sea la que consideremos. Si ese enunciado se interpreta en el sentido de composición −es decir, como en la oración ‘un hombre es capaz de escribir mien-tras-no-está-escribiendo’− el enunciado comporta una modalidad de dicto. Se afirma que la oración ‘un hombre que no está escribiendo es capaz de escribir’ es posible. In-terpretada en sentido de división, ‘un hombre que no está escribiendo es-capaz-de-escribir’, comporta una modalidad de re: Se afirma que la propiedad modal ‘ser-capaz-de-escribir’ se aplica a cierta cosa.


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rar la necesidad de un formalismo en el que suficientes formas sintácti-cas justifiquen las diferentes lecturas del operador de posibilidad.

Sin embargo, Hacking establece la distinción de re/ de dicto, a par-tir de consideraciones como la siguiente: L toma la operación booleana usual mientras M no lo hace. El ejemplo de Hacking para ilustrar esto es el siguiente: ‘Es posible que Hecuba ría y que Hecuba llore’ es una construcción gramaticalmente apropiada (es una ocurrencia L, es decir de dicto); pero ‘es posible para Hecuba llorar y reír,’ no es una cons-trucción L, ni M. Es ambiguo el alcance del operador y si se afirmara que es una ocurrencia M, no es claro si Hecuba es capaz de ambas cosas al mismo tiempo [Hacking 1975, 323].

De esta manera, el método de Hacking indica cuando una construc-ción arbitraria en la cual hay una ocurrencia de la palabra ‘posible’ está relacionada directamente con una L o M ocurrencia, o ambas:

En adición a los ejemplos citados, nótese que ‘probable’ puede rempla-zar a posible en L, y ‘permisible’ contrasta característicamente en M ... para cualquier construcción gramatical en la cual la palabra ‘posible’ ocurre, hay sólo tres casos. 1) Sólo ‘probable’ encaja. 2) Sólo ‘permisi-ble’ encaja; y 3) ambas encajan [Hacking 1975, 324].

Hacking piensa que cuando ninguno de ellos se ajusta, es porque ‘posi-ble’ está precedido por un adverbio cuyo sentido excluye ambas pala-bras, entonces, para clasificar la ocurrencia de ‘posible’ es necesario suprimir el adverbio. De acuerdo con la cita anterior, si se da (a), enton-ces la construcción es una ocurrencia L; si se da (b), entonces tenemos un caso de M ocurrencia; si (b) es el caso, entonces tenemos una ambi-güedad gramatical.

Asumamos que el anterior es un criterio suficiente para la distin-ción entre posible de re y de dicto y veamos que es lo característico de cada una de esas posibilidades.

3.3 Posibilidad epistémica y lo lógicamente posible Hemos visto que de acuerdo al criterio de Hacking, las L ocurrencias de posible son de dicto, mientras que las M ocurrencias son de re. Hay, sin embargo, otro rasgo de las posibilidades que es importante destacar, a saber, su carácter epistémico: “Decir que es posible que tal y tal, es decir que tal y tal es consistente con todo nuestro conocimiento” [Hack-ing 1975, 325]. En el artículo que referimos, Hacking afirma que la M posibilidad es inmensamente más importante que la mera posibilidad epistémica. Pero para poder ver la diferencia entre la posibilidad epis-témica y la posibilidad en la M ocurrencia, debemos considerar lo si-guiente:


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La M ocurrencia de posible puede ser modificada por muchos adverbios de la forma Φ-mente: técnicamente, económicamente, médicamente, metafísicamente, humanamente. Sin embargo, es importante que la Φ tienda a una disciplina académica [Hacking 1975, 325].

La razón por la cual Hacking exige que la Φ tienda a ser una disciplina académica está en que de esa manera evita compromisos con términos tales como ‘perfectamente posible’ o ‘idealmente posible’. Los adver-bios ‘disciplinarios’ a los que hace alusión Hacking tienen su par con algún adjetivo Φ, el cual debe ajustarse fácilmente dentro de cualquier esquema explicativo de la posibilidad. En otras palabras, si es Φ-mente posible para A x→ , entonces A tiene una cierta habilidad o poder Φ para realizar x. Pero cuando decimos que es teóricamente posible vivir en Marte no es muy claro que significa ese ‘poder o habilidad teórica.’ Sin embargo ‘una habilidad metafísica’ puede ser un sin sentido para Hacking [1975, 325].

Hacking observa que si procedemos positivamente, como hasta ahora, esto nos conduce a considerar las posibilidades como poderes en las cosas o los agentes. La vía negativa le parece más fructífera:

Es imposible para A si algo previene a A absolutamente de realizar x. Es posible para A realizar x si nada absolutamente previene a A de realizar x. Es Φ-mente posible para A realizar x si no hay nada, de suerte que Φ prevenga absolutamente a A de realizar x [Hacking 1975, 326].

x→

Esta estrategia resulta ser un antídoto contra el punto de vista común que considera a las posibilidades como poderes de las cosas y los agen-tes. De esta manera queda establecido que la posibilidad epistémica es L posibilidad, es una posibilidad de dicto y el dictum es objeto de creencia o conocimiento. Mientras que la técnica, humana, económica, médica y toda esa suerte de posibilidades33 son especies de M posibili-dad, es decir son capacidades de un agente para realizar acciones dentro de un contexto dado, son posibilidades de re.

Lo que el análisis de Hacking muestra es que la posibilidad lógica es en última instancia una posibilidad de re.34 En el recuento de lo Φ-mente posible para Hacking, es lógicamente posible para si no xA→

33. Esta caracterización excluye adverbios como ‘afortunadamente’ o ‘perfectamente,’

los cuales no son disciplinarios y contraen ambigüedades indeseables que ahora que-remos evitar.

34. Cuando Hacking llegó a esa conclusión, pensó que nadie creería en ella, pero enton-ces apareció una publicación de Kripke, El nombrar y la necesidad, que cambió la percepción de las cosas. Hacking piensa que a partir de esa publicación, ya podemos contar con una explicación viable de las modalidades lógicas de re, sobre las cuales sin embargo, no profundizaremos ya que nos desviarían de nuestro objetivo central.


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hay nada de una suerte lógica que prevenga absolutamente a A de llevar a cabo x.

En este punto la pregunta obligada es la siguiente: ¿qué hay sobre la posibilidad lógica de dicto? Hacking [1875, 325] sostiene que debe-mos rechazar cualquier concepto de posibilidad lógica de dicto. Esta-mos claramente en libertad de decir de un enunciado, el cual no implica una contradicción, que es lógicamente posible y también somos libres de afirmar el enunciado ‘es lógicamente posible que p’ en el modo indicativo, para expresar ese hecho. Sin embargo, no siempre es senci-llo establecer que p no implica una contradicción lógica o que p implica una contradicción lógica. ¿Cuál será entonces el motivo por el cuál Hacking rechaza la posibilidad lógica de dicto? Los lógicos [e.g., Hack-ing 1967, 143] tradicionalmente han defendido que ‘cualquier cosa que no es lógicamente imposible es lógicamente posible; algo que es lógi-camente posible pero no lógicamente necesario es contingente’. De esto se sigue que la posibilidad lógica puede entonces ser subdividida, pues “algunos estados de cosas lógicamente posibles son causalmente posi-bles —esto es, compatibles con las leyes regulativas del universo” [Ibid.]. Sin embargo, esas elegantes subdivisiones van inevitablemente acompañadas por la imagen que heredamos de Leibniz sobre los mun-dos posibles:

Lo necesario se obtiene en cada mundo posible, mientras que lo lógi-camente imposible no se encuentra en ninguno; lo lógicamente posible se satisface en algún mundo posible. Es bien conocido como esta fami-lia de nociones se mueve en círculos [Hacking 1967, 144].

Lo anterior muestra que las nociones modales no son ociosas. Éstas se puede circunscribir por axiomas. Esa parece ser una condición necesa-ria para la aplicación de ‘lógicamente posible.’ Si algo no pudiera haber sido, entonces no sería lógicamente posible. Pensemos en una equiva-lencia que se ha citado tradicionalmente: una proposición falsa es lógi-camente posible si ésta pudiera haber sido verdadera.35

Resumiendo: La noción epistémica de la posibilidad es la noción más sencilla de intuir dado que lo que es posible epistémicamente no entra en conflicto con nuestro conocimiento. La posibilidad lógica es la noción más difícil de explicar y, sin embargo, es la más frecuente en

35. De esta manera encontramos que lo lógicamente posible, no siempre es posible, es

decir, Russell estaría de acuerdo en que una proposición falsa es posible si ésta pudie-ra haber sido verdadera; pero al parecer rechazó las ideas de posibilidad y necesidad lógica parcialmente, porque al parecer no hay proposición verdadera de la cual no haga sentido decir que podría haber sido falsa, y no parece haber proposición falsa de la cual no se pueda decir con sentido que podría haber sido verdadera.


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nuestro discurso científico y filosófico. Otra forma de posibilidad, la posibilidad física, se puede entender en términos de la posibilidad lógi-ca: es una verdad ‘físicamente’ necesaria, aquella que físicamente no puede ser de otra manera.

La lógica modal se creó teniendo en mente las modalidades lógi-cas, por eso es que ahora sólo mencionamos la posibilidad física. Tener una noción clara de la posibilidad física supone tener en mente que lo físicamente posible no debe estar en conflicto con las verdades de la física. En palabras de Peirce: “La necesidad y posibilidad lógica presu-ponen sólo ‘el entendimiento de los distintos significados de las pala-bras,’ las modalidades físicas ‘sólo que el conocimiento de ciertos principios de la física no se excluyan’” [Niiniluoto 1988, 304]. 4. Posibilidad y teoría de las probabilidades 4.1 Posibilidad en la teoría clásica de las probabilidades La definición clásica de la teoría de las probabilidades hace uso explíci-to de una noción de posibilidad. Al respecto, Hacking [1975, 152] se pregunta: “¿cómo pudo una definición tan monstruosa haber tenido tanta viabilidad?”, pues esta definición sólo es defendible si se argu-menta suficientemente la imposibilidad de dar una definición no circu-lar. Sin embargo, la definición clásica de las probabilidades es conside-rada una definición matemática. Pero, a pesar de considerar a la defini-ción clásica de la probabilidad como meramente matemática, no deja de surgir ante nosotros:

la dualidad esencial de la probabilidad, que es tanto epistémica como aleatoria. Las probabilidades aleatorias tienen que ver con el estado fí-sico de las monedas o con los humanos mortales. Las probabilidades epistémicas se vinculan con nuestro conocimiento [Hacking 1975, 153].

La primera definición de probabilidad que apareció en la historia de la matemática se encontró en la correspondencia entre Pascal y Fermat en el siglo XVII, y fue inmediatamente relacionada con un concepto alea-torio y otro epistemológico:

La probabilidad estaba evolucionando como algo conjuntamente físico y epistemológico. La posibilidad ya era dual de un modo similar (aun-que no idéntico). La definición de probabilidad en términos de posibili-dad no es un capricho histórico sino un rasgo bastante esencial en el de-sarrollo de ambos conceptos [Hacking 1975, 153].

Después de esto, no es de sorprender que el concepto epistemológico de probabilidad se haga corresponder con el concepto epistémico de posi-


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bilidad, mientras que el concepto aleatorio de probabilidad se hizo corresponder con un concepto de posibilidad física.36

Sin embargo, esas dos interpretaciones de la teoría de las probabilida-des no fueron distinguidas en una forma clara y sistemática, dados los problemas que implica establecer de manera convincente la distinción entre las dos nociones de posibilidad que ahí se encuentran explícitas. Esto expli-ca por qué los teóricos de las probabilidades en el siglo XVIII, incluyendo a Laplace, titubearon entre las interpretaciones física y epistemológica de la equiposibilidad [Niiniluoto 1988, 278]. De acuerdo a lo anterior, lo que realmente hicieron Laplace y sus seguidores fue concluir a partir del deter-minismo un punto de vista epistemológico de la probabilidad.

El rasgo sobresaliente de la teoría de las probabilidades clásica es la inmediata y explícita asociación de probabilidad con posibilidad. Leib-niz afirmó que probabilidad es un grado de posibilidad, igualando en-tonces probabilidad con grados de posibilidad [Niiniluoto 1988, 278]. Pero la definición clásica de probabilidad va más allá, puesto que tam-bién sugiere que la teoría de las probabilidades es de hecho explicable a partir de una teoría que dé cuenta de las modalidades, es decir, a una lógica modal. Sin embargo, fue la inversa la que sedujo a los lógicos del siglo XIX: Si las nociones de necesidad y posibilidad no son primi-tivas, entonces una noción matemática de probabilidad puede muy bien ayudar a definirlas. El mismo Boole sugirió que la teoría de las propo-siciones hipotéticas podría ser tratada como una parte de la teoría de las probabilidades; en sus Leyes del pensamiento dedicó muchas páginas a la aplicación de su nueva álgebra a las probabilidades:

Otra interpretación del cálculo de acuerdo a la cual la letra establecida para la probabilidad de la proposición X en relación a toda la informa-ción disponible, digamos K. Adaptando y simplificando el simbolismo de Boole tenemos: ProbK(X y Y) = xy si X e Y son independientes dado K, y ProbK(X ó Y) = x + y, si X e Y son mutuamente excluyentes [Knea-le y Kneale 1962, 414].

Esta interpretación claramente no satisface el principio mediante el cual Boole transformó su álgebra en un sistema bivalente: ‘o bien x = 0, o bien x = 1’. En el caso de las probabilidades no podemos sostener que toda probabilidad es ‘o bien Prob(X) = 0, ó bien Prob(X) =1.’ De esta forma se pensó que las probabilidades filosóficas no podrían ser cuanti-tativas. Lo determinante en esta disputa fue que: 36. Si Hacking tiene razón, entonces el lado aleatorio de la probabilidad se puede poner en

correspondencia con la posibilidad de re, puesto que ésta tiene que ver con las característi-cas físicas de las cosas; mientras que, por otro lado, el aspecto epistémico de la probabili-dad se hace corresponder con la posibilidad de dicto. En otras palabras, se puede poner en correspondencia con lo que sabemos y se puede expresar por proposiciones (dictum).


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Para aquellos filósofos que no estuvieron satisfechos con el estado de la teoría de la modalidad, la reducción de la probabilidad a posibilidad no pudo parecer del todo atrayente. El cálculo de probabilidades tuvo una estructura matemática claramente formulada y bien entendida, mientras que la silogística modal había caído no en “negligencia, sino en despre-cio” [Niiniluoto 1988, 279].

Las razones de ese desprecio se han esbozado en la introducción, y se pueden encontrar en la obra de los lógicos más prominentes de fines del siglo XIX y principios del XX. En particular destacamos el desdén que de la modalidad hizo Frege [1879, 16] en su Conceptografía:

Cuando designo una proposición como necesaria, con ello doy una in-dicación sobre mis fundamentos de juicio. Pero, puesto que con esto no se toca el contenido conceptual del juicio, la forma del juicio apodíctico no tiene para nosotros importancia alguna.

El rechazo de los lógicos por las cuestiones modales, llevó a plantearse otra alternativa, en apariencia mucho más prometedora, pero en muchos senti-dos contra intuitiva: Reducir la lógica modal a la teoría de las probabilida-des. Veamos que dice Niiniluoto [1988, 279] al respecto:

Si podemos analizar las condiciones de verdad para enunciados proba-bles sin emplear conceptos modales, entonces la necesidad puede ser definida por la probabilidad uno, la imposibilidad por la probabilidad cero, y la posibilidad por la probabilidad no cero.

Este planteamiento no parece apropiado para el caso de la definición clásica de las probabilidades. Se plantea que si nosotros podemos saber las condiciones de verdad de un enunciado p, el cual es un enunciado probabilística, sin recurrir a nociones modales, entonces estas nociones pueden ser definidas por la noción de probabilidad. Pero apelar a una noción modal para calcular un enunciado probabilística es ineludible, pues por definición, donde p simboliza la proposición “el evento ε ocurre”:

0 si p¬◊

P(ε ) = 0 ( )P 1ε≤ ≤ si p◊

1 si ¬◊¬ p

La posibilidad o imposibilidad de nuestro enunciado es una condición necesaria para conocer su probabilidad, y es una noción presupuesta. Pero, ¿de qué posibilidad estamos hablando aquí?

En primer lugar, la relación de la posibilidad con la probabilidad clásica no es, como Hacking y otros quieren, una relación entre una probabilidad epistémica y una noción de dicto de la posibilidad. La


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manera correcta de apreciar esto, a nuestro parecer, es la siguiente: La noción de posibilidad que está explícita en la probabilidad clásica es una noción de la forma ‘es posible que p’ donde p es la proposición que hace referencia a nuestro evento ε. De acuerdo con las caracterizaciones de posibilidad expuestas anteriormente, ésta es una posibilidad episté-mica, no una posibilidad lógica. De acuerdo al criterio que hemos ex-puesto, tampoco cabe una interpretación física de la posibilidad; para serlo debiera ser una posibilidad de re, pero ésta no es la noción que está inmersa en la definición clásica.

En segundo lugar, parece que la reducción de la modalidad a las probabilidades pasó por alto el hecho de que no todos los ámbitos de aplicación de las modalidades son accesibles a las probabilidades. En otras palabras, hoy nos es intuitivamente verdadero que todo lo proba-ble es posible. Sin embargo, la inversa rara vez es el caso.

Hay otros aspectos de la definición clásica que dejaremos de lado, como por ejemplo el de la equiposibilidad. La razón de ello es que si bien contamos con criterios claros de distinción entre posibilidades, no es así para el caso de la identidad. Además, el problema de la identidad es en sí mismo un tema controvertido.37

37. De acuerdo con Aristóteles [1988, 103a6.] lo idéntico se dice de tres formas diferen-

tes: Solemos dar la designación de idéntico, bien por el número, bien por la especie, bien por género. Estas manera de considerar la identidad pueden dar pauta a ambi-güedades. El símbolo de identidad (=) es un símbolo de las matemáticas, cuyo signi-ficado forma parte del lenguaje cotidiano. En este sentido, viene a coincidir con algu-nos de los sentidos del verbo ‘ser,’ aunque no con los más comunes. “Todos los grie-gos son europeos” ejemplifica la inclusión de una clase en otra que ya aparece en la definición de Aristóteles, y ‘Sócrates es griego’ indica la pertenencia de un elemento o individuo a una clase. Éstas son relaciones inequívocas de una parte con el todo. Pe-ro ‘todo triángulo es un polígono de tres lados’ y ‘Sócrates es el maestro de Platón’ son casos muy particulares; el último en especial viene a coincidir con la manera en que en este trabajo consideraríamos el signo ‘=’. Este sentido no dista mucho del que tiene en matemáticas y que se distingue del filosófico, por su precisión. Sin embargo, de acuerdo con Quine, a pesar de que la verdad lógica se ve amenazada por el predi-cado de identidad, ‘=’, ya que las verdades de la teoría de la identidad (‘x = x’, o ‘ ( ( ))x y y x¬ = ∧¬ = ’) no serían verdades lógicas, pues al sustituir ‘=’ por otros pre-dicados éstas se falsean; a pesar de ello: “la teoría de la identidad parece más próxima a la lógica que a la matemática, por ejemplo, porque es, como la lógica pura, una teo-ría completa [...] En cambio, el más célebre de los teoremas de Gödel (1931) muestra que, por el contrario, la teoría elemental de los números no es susceptible de ningún procedimiento completo de demostración” [Quine 1970, p 112]. Sin embargo, Kripke [1972, 114] sostiene que: “Los enunciados de identidad deberían ser muy sencillos, pero de alguna manera resultan muy desconcertantes para los filósofos [...]. De mane-ra que algunos filósofos, incluso Frege en una etapa temprana de sus escritos, han considerado que la identidad es una relación entre nombres. La identidad, dicen ellos, no es la relación entre un objeto y sí mismo, sino la relación que se da entre nombres cuando estos designan el mismo objeto” [Kripke1972, 114].


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4.2 Posibilidad en la teoría frecuencialista de las probabilidades Jacques Bernoulli demostró un famoso teorema en el cual muestra que la probabilidad tiene una interesante conexión con frecuencias relativas. Éste fue el primer paso en dirección a abandonar la definición leibni-ziana de probabilidades basada en casos equiposibles a favor de una definición en términos de frecuencias.

Si nosotros no estamos dispuestos a aplicar la definición clásica pa-ra asignar probabilidades a un evento, ya sea porque nuestros eventos no son equiposibles, ya sea porque no tenemos un conocimiento a priori de los casos favorables y de la totalidad de los casos posibles, Bernoulli sugirió que la manera de realizar esto es tratando de determinar a partir de los resultados observados en numerosos ensayos similares, aquel valor que no tenemos a priori. Este consejo de Bernoulli tuvo frutos:

La interpretación frecuencialista de la probabilidad nació en 1843, cuando Robert Lesli Ellis, John Stuart Mill, y A.A. Cournot indepen-dientemente uno del otro concibieron esta prueba a posteriori de la pro-babilidad como siendo una definición válida a priori de probabilidad. Por ejemplo, decir que cara o cruz en una moneda arrojada son equipo-sibiles significa, en esta interpretación, que ellas ocurren con frecuen-cias iguales en grandes series de lanzamientos [Niiniluoto 1988, 292].

Aunque muchos autores reaccionaron en contra de la definición clásica, finalmente terminaron por adoptarla. Tal es el caso de Mill quien, a pesar de su definición de frecuencia en las últimas ediciones de su Sis-tema de Lógica, finalmente regresó a una interpretación epistémica Laplaciana de la misma:

De todos modos en el cálculo de probabilidades es preciso recordar que entre todos los sucesos posibles uno, nada más, ocurrirá, y que no te-nemos razón alguna para creer que será uno más bien que otro; se ha di-cho que además se necesita, para realizar el cálculo de probabilidades, que estemos convencidos, ya inductiva, ya deductivamente, de que los diversos sucesos posibles son igualmente probables [Mill 1897, 169].

El de Mill no fue un caso aislado, pues de acuerdo con Niiniluoto [1988, 292], Boole también adoptó en Las leyes del pensamiento la definición clásica. Aunque Boole no tardó en considerar que la probabi-lidad había sido expresada de manera satisfactoria a partir del conoci-miento de las frecuencias relativas de ocurrencias de eventos.38 Los lógicos de la época recurrían a la teoría de las probabilidades, con la idea errónea de que ésta nada tenía que ver con modalidades.

38. La definición más satisfactoria de la probabilidad frecuencialista se la debemos a

Venn. Uno de sus aciertos fue que llamó la atención sobre el fenómeno que aquí se trata de resaltar, a saber: Había un ámbito del razonamiento que las interpretaciones de las probabilidades habían venido a cubrir.


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El propósito ahora es mostrar cómo este nuevo enfoque matemático de las probabilidades,39 puede presuponer una noción modal si, de acuerdo con Peirce, nos encontramos ante una definición nominalista. Dice Niiniluoto [1988, 293] que:

La definición de probabilidad de Venn es extensional más que modal en el sentido de que ésta se refiere sólo a un mundo. Este es el mundo ex-terno de los hechos, indefinidamente continuo en las direcciones pasado y futuro en el tiempo. Al parecer, Peirce estuvo bien informado de la dificultad que origina asignar probabilidades objetivas a ciertas proposiciones cuando nos vemos en la necesidad de apelar a frecuencias relativas de mundos po-sibles. En realidad Peirce nunca aceptó la idea de Leibniz de que todo mundo posible tiene una propensión a ser real. Aunque en definitiva, el núcleo intuitivo de toda la semántica de lo lógica modal es la idea leib-niziana de verdad necesaria como verdad en todo mundo posible.

En esta postura leibniziana, se comenzó a vislumbrar otra interpretación de la teoría de las probabilidades, que no es estrictamente matemática, y que por tal motivo no fue tomada en consideración en nuestro primer capítulo: La teoría propensitivista, en la cual:

la probabilidad es una disposición numérica de un dispositivo físico o disposición para producir ciertas salidas en un solo ensayo. Los enun-ciados probabilísticos sobre tales tendencias disposicionales son corro-borables a través de las consecuencias que ellos tienen sobre las fre-cuencias estadísticas a través de la ley de los grandes números (como el teorema de Bernoulli). La interpretación propensitivista, entonces, hace respetable la idea clásica de la probabilidad como un grado de posibili-dad física [Niiniluoto 1988, 295].

El señalamiento a esta interpretación se hace con la intención de mos-trar que la discusión sobre las modalidades no quedó del todo termina-da con la definición frecuencialista, y si hay alguna relación entre los enfoques frecuencialista y el propensitivista, ésta es la asociación con alguna noción de posibilidad física. Sin embargo, esto no es sencillo de ver.

En autores como Cournot y Venn, la posibilidad epistémica asocia-da a la probabilidad clásica se encontraba en el olvido y superada, pero otra noción de posibilidad ocupa el lugar de la noción relegada en la nueva definición matemática de las probabilidades. Esta noción se encuentra a tono con la postura nominalista de los lógicos de la época, pero estos, al igual que los lógicos anteriores, no alcanzaron a ver la

39. El primer intento sistemático por desarrollar la interpretación de la probabilidad como

frecuencias en series de eventos fue dado por John Venn en la Lógica de probabilida-des, publicado en el año de 1866.


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significación e importancia de esto. La siguiente cita de Niiniluoto [1988, 296. La cursiva es nuestra] es clarificadora al respecto:

Entre los hechos físicos y las realidades con las cuales los sentidos tra-tan, es natural considerar cada evento como teniendo una fuerte tenden-cia a ocurrir, o como siendo más posible en los hechos físicamente, en proporción a cómo éste es producido más frecuentemente en un número más grande de casos. La probabilidad matemática llega, entonces, al límite de la posibilidad física, y las dos expresiones pueden ser usadas equivalentemente [Cournot 1956, 39-48].

La probabilidad frecuencialista, de acuerdo a nuestro análisis presupone la posibilidad física, es decir, una noción de posibilidad asociada a la definición de probabilidad persistió.

Todavía hace falta ver si alguna de nuestras nociones de posibilidad sobrevivió a la axiomatización de la teoría de las probabilidades. Antes de considerar la teoría axiomática, permítasenos presentar la prueba en la que Niiniluoto relaciona la probabilidad y el principio de plenitud. En primer lugar, Niiniluoto define la posibilidad así:

Definición: El evento A es posible si y sólo si la probabi-lidad P(A) de A no es cero.

Ahora bien, de lo que se trata es de saber qué interpretaciones de P(A), clásica o frecuencialista, implican el principio de plenitud (Π):

Principio Π: Si el evento A es posible, hay un tiempo t tal que A es realizado en t.

Niiniluoto [1988, 297] observa que una caracterización epistémica de la probabilidad no implica Π, y “que en el mejor de los casos un grado de creencia no cero en la ocurrencia de A garantiza que la oración ‘A ocu-rre’ no es autocontradictoria”.

En segundo lugar, Niiniluoto destaca que la definición de frecuen-cia de Venn invariablemente lo compromete con el Principio de Pleni-tud.

Sea f(A,sn) la frecuencia del evento A en una serie de tamaño n, donde sn es una subsecuencia de una serie infinita s. Entonces, para Venn, la probabilidad de A relativa a s es

P(A, s) = limn ∞ f(A,sn)/n

Asumiendo que P(A, s) > 0, se sigue que, para algún n, f(A, sn) > 0, es decir, que A ocurre en la serie finita sn [Niiniluoto 1988, 297] .

En otras palabras: si A ocurre en la serie finita sn, A es físicamente posi-ble. Aún hoy, resulta sorprendente que se olvide el carácter distintivo


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de la teoría frecuencialista: en principio nuestro experimento debe ser físicamente posible, esto es, un experimento realizable.

4.3 Posibilidad en la teoría axiomática de las probabilidades En este momento nos encontramos ya en un ámbito en el cual la posibi-lidad epistémica y física no tienen relevancia alguna. Sin embargo, la manera como se asignan probabilidades en el espacio de probabilidades de la teoría axiomática viene restringida por otras nociones. En particu-lar, nuestra tesis es que las posibilidades de ocurrencia de ciertos even-tos compuestos están caracterizadas por la posibilidad lógica de tener tales eventos como subconjuntos del conjunto de los eventos elementa-les, esto es, del conjunto potencia. Para esto, consideremos primera-mente la definición de conjunto potencia:

Para cualquier X existe un conjunto Y = P(X): ∀X∃Y∀u ( u∈Y ↔ u ⊂ X) Un conjunto U es un subconjunto de X, U ⊂ X, si ∀z (z ∈ U → z ∈ X) Si U ⊂ X y U ≠ X, entonces U es un subconjunto propio de X El conjunto de todos los subconjuntos de X, P(X) = u: u ⊂ X Es llamado el conjunto potencia de X [Jech 2002, 9].

La definición de conjunto potencia muestra que la manera en que los eventos compuestos de un experimento se dan, no es arbitraria, ni está sujeta a condiciones físicas, ni a nuestro conocimiento. Contamos con una herramienta matemática poderosa que nos señala cuáles y cuántas son las posibilidades lógicas de la ocurrencia de tales eventos. Con el aparato axiomático nos encontramos en condiciones de saber cuándo tal evento compuesto tiene alguna posibilidad lógica de ocurrir dado cierto conjunto de eventos elementales. Las posibilidades de ocurrencia de los eventos compuestos están acotadas y están en relación con la cardinali-dad del conjunto de eventos elementales. Esto es lo que llevó a Cantor a afirmar que:

Cada conjunto M tiene una ‘potencia’ definida, la cual nosotros pode-mos llamar también su número cardinal. Llamaremos por el nombre po-tencia o número cardinal de M el concepto general que mediante nues-tra facultad activa de pensamiento se origina a partir del conjunto M cuando nosotros hacemos abstracción de la naturaleza de sus varios elementos m y del orden en el cual ellos son dados [Cantor 1895, 86].

Para considerar las ocurrencias lógicas de los eventos elementales, debemos entonces abstraer la naturaleza de lo que estamos consideran-do, además del orden en que estos se manifiestan. Recordemos que


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Kolmogorov dio una lectura ahora convencional de las nociones con-juntistas:

Disyunciones de conjuntos se lee como eventos incompatibles, las in-tersecciones como realizaciones simultáneas de eventos, y complemen-tos como la no ocurrencias de los eventos (conjuntos) complemento. El conjunto vacío es un evento imposible, mientras que todo el espacio es un evento necesario. La relación subconjunto A B⊂ dice que de la ocurrencia de A se sigue la ocurrencia de B [von Plato 1994, 226].

Pero hay una noción adicional en Kolmogorov: La de partición finita A1+A2+...+An = E del espacio. En términos de la teoría de las probabi-lidades un experimento EA consiste en determinar cuáles de los eventos A1, A2, ..., An ocurrirán. Pero, A1, A2, ..., An son todos los posibles resul-tados de EA. La teoría de Kolmogorov ignora el dominio de aplicación, es decir, el conjunto de los procesos aleatorios para los cuales se ha implementado el modelo; ignora también los procedimientos mediante los cuales los datos han sido obtenidos. La carencia de contenido de esta teoría le permite tener un campo amplio de aplicación que va desde la física hasta las teorías de la conducta [Fine 1973, 83]. Pero no pro-vee guía alguna para la aplicación de las probabilidades ni un procedi-miento para interpretar la naturaleza de los fenómenos aleatorios. Es decir, es una teoría abstracta en donde la única noción de posibilidad que vale, es la de posibilidad lógica. 5. Conclusiones El éxito que logró alcanzar la definición frecuencialista se debió en gran medida a que parte de una sólida base experimental pero, sobre todo al hecho de que en tal definición no figuró más, aparentemente, el elemento extraño y extramatemático que aparece en la definición clási-ca. Lo anterior fue motivo de júbilo no sólo para los matemáticos del siglo XIX, sino también para los lógicos más sobresalientes de la época. Esto se puede constatar en el hecho de que todos los lógicos, con ex-cepción de Peirce [Niiniluoto 1988, 276], recurrieron a las probabilida-des para explicar los futuros contingentes ya que al parecer se encon-traban en un terreno no meramente extensional. La lógica modal y la teoría de las probabilidades devienen entonces en programas rivales. Considerarlas como tales implica que una de ellas da cuenta de ciertos fenómenos con mayor éxito que la otra. Sin embargo, a pesar de que la teoría de las probabilidades fue en un principio explicada en términos de posibilidad, ésta última noción quedó finalmente relegada por el programa frecuencialista, y así fue como cada uno de estos enfoques se distanció uno del otro.


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Pero, como hemos mostrado, aún la nueva definición de probabili-dad presupone una nueva noción de posibilidad, a saber: La noción de posibilidad física.

Con respecto a la definición axiomática de las probabilidades, seña-lamos que la pretensión de Kolmogorov con respecto a ella fue dar una definición de probabilidad que no estuviera basada en otros conceptos. Eso no es algo que nosotros pongamos en duda. Lo que cuestionamos es que aún cuando la noción de probabilidad ha sido definida en forma axiomática, hay un elemento constituyente de esta nueva definición que nosotros podemos caracterizar como una noción de posibilidad lógica. Es decir, nuestra herramienta matemática no sólo nos dice cuáles, sino además, cuántos eventos compuestos podemos tener a partir de ciertos eventos elementales. Ese número y esas combinaciones, como hemos mostrado, están caracterizadas por la noción de conjunto potencia. Posibilidad en la teoría axiomática de las probabilidades es potenciali-dad, es decir, ninguna posibilidad de ocurrencia de eventos compuestos va más allá de los eventos comprendidos en la potencia del conjunto.

Si tenemos razón, nos encontramos con que esas tres definiciones de probabilidad presuponen tres diferentes nociones de posibilidad. Entonces la noción de posibilidad no es reducible a la de probabilidad, por lo tanto, la noción de posibilidad es una noción primitiva. Pero sobre todo, una noción lógica.

Para Niiniluoto, lo que nos enseña el análisis de las posibilidades a partir de las probabilidades es que ciertos principios metafísicos como el de plenitud son falsos. Nuestra propuesta en este trabajo consiste en analizar, bajo una nueva luz, las nociones de probabilidad a partir de los marcos de la lógica modal. La investigación sobre la noción de posibi-lidad muestra que hay lugar para una definición de la probabilidad que no sea circular, pero, sobre todo, reivindica el área de la lógica que da cuenta de proposiciones que van más allá del ámbito meramente exten-sional.

Agradecimientos El autor agradece la valiosa ayuda que le brindaron para la elaboración de este trabajo las discusiones con la Dra. Atocha Aliseda, en torno a las lógicas no clásicas, y con el Dr. Alejandro Garciadiego, en torno a todo aquello que guarda alguna relación con las matemáticas en los Seminarios de Filosofía e Historia de las Matemáticas en la Facultad de Ciencias de la UNAM.


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Teoría semántica y matemáticas. Hacia una semántica presuposicional.

Miguel Ariza

Resumen A partir de la conformación de un modelo semántico fundado por la re-lación de presuposición se construye un entramado algebraico de carác-ter diagramático y articulación reticular, que considera y se apoya en la noción de orden como dimensión semiótica. Esta articulación relacional se realiza al abarcar diversos niveles de análisis, que van desde un nivel grafémico a un nivel discursivo. Se destacan de modo significativo los procesos complejos de composicionalidad semántica (asociados a mo-dalidades de síntesis) en contraposición con procesos elementales de aditividad (asociados a sumas analíticas). Asimismo, a lo largo del aná-lisis, quedarán establecidos los elementos configuracionales para la ar-ticulación reticular de los sucesos pertenecientes a un relato, formando unidades discursivas complejas a través de esquemas narrativos.

Abstract

An algebraic framework with diagrammatic character and lattice struc-ture is built, based on the conformation of a semantic model founded by presupposition relationship, and with the aid of the order notion as se-miotic dimension. This relational articulation is done through various analysis levels, from a graphemic one to a discursive level. The com-plex processes of semantic compositionality (synthesis processes) are emphasized in opposition to additive processes (analytic sums). Also, throughout the analysis the configurational essentials for lattice articu-lation of events, which belong to a narrative discourse, are established with the consequent formation of complex units susceptible to be visu-alized globally by means of ‘narratives sketches’.

Palabras clave: presuposición, esquema narrativo, retículo, composi-cionalidad, semántica.

74 Miguel Ariza

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Un asunto de especial interés a lo largo de la historia del conocimiento, radica en cómo poder dar cuenta de una manera consistente de los di-versos procesos y estadios que sufre el lenguaje humano. Cómo realizar la difícil tarea de crear modelos que den cuenta de los procesos dinámi-cos que hacen de la lengua algo vivo y en constante estado de flujo, y al mismo tiempo describan de manera concreta y confiable una estructura bien conformada de la misma. Para Ferdinand de Saussure, por ejemplo, la Lengua es un sistema articulado de signos, un sistema de relaciones y diferencias, y la lin-güística, es decir, la disciplina que da cuenta y explicación de todos los fenómenos suscitados dentro de la Lengua, también lo es. Saussure, en 1894, escribía: “Las relaciones, en el lenguaje, son regularmente expre-sables en su naturaleza fundamental por expresiones matemáticas” [Jakobson 1961, 5 y Serrano 1975, 25]. Por otro lado George Boole, después de hacer un análisis formal del lenguaje ordinario y observar su correlación con las leyes del pensamiento humano, llega a concluir que las palabras son signos, y que la matemática no es necesariamente una ciencia de la cantidad, ya que puede existir una formulación de carácter matemático del lenguaje ordinario, que apele a sistemas de signos suje-tos a interpretación y susceptibles de ser combinados según leyes de-terminadas. Boole fue uno de los grandes iniciadores del estudio de las leyes del pensamiento humano y del análisis matemático de la lógica, el suyo fue un proyecto de carácter algebraico, que fue secundado y enrique-cido entre otros por Jevons, Veen, Schröder y Peirce. Este proyecto de álgebra lógica, tuvo un importante impacto en el desarrollo de la matemáti-ca y la lógica subsiguientes. Asimismo el despliegue de una articulación algebraica de los diversos procesos sígnicos, adquiere una relevancia que va mucho más allá de la mera construcción de símbolos creados de manera convencional, con vista a la elaboración de un tinglado de carácter forma-lista. El signo algebraico entraña una profundidad que trasciende el conte-nido de la mera elaboración de un cálculo de naturaleza simbólico-formal. Más allá de ello, un signo ‘algebraico’ es un esquema conceptual de senti-do, que proporciona un régimen de inteligibilidad y esclarecimiento, que permite hacer visible lo que una mera combinación y manipulación de símbolos oculta [véase de Lorenzo 1994, 235-254]. “La utilidad de las fórmulas algebraicas consiste precisamente en esa capacidad de develar verdades imprevistas.”[Peirce 1895 y Zalamea 1994, 273-289] Esta cualidad consustancial de los entramados algebraicos, es muy valorada en los estudios actuales de semántica lingüística y filosófica.1

1. Para mayor indagación, ver [Godehard 1998].

Teoría semántica y matemáticas 75

III 21 (2007)

En el terreno de la lingüística y la semiótica, el lingüista danés Louis Hjelmslev en una de sus obras más importantes: Prolegómenos a una teoría del lenguaje, expone los principios, conceptos y métodos de una teoría del lenguaje, consistente y con pertinencia lógica clara. Esta teoría del lenguaje intenta constituirse en un ‘álgebra lingüística’, cuya regla de correspondencia principal es la relación de ‘presuposición’. En este sentido, el aparato formal construido por Hjelmslev puede conce-birse como un ‘sistema relacional’, cuyo predicado primitivo resulta ser la ‘presuposición’. En particular, a partir de las ideas de Hjelmslev podemos concebir la construcción de una teoría semántica de carácter presuposicional, aprovechando los recursos de la matemática moderna. La semántica es el estudio del significado semiótico y según Barwi-se y Perry, podemos abordar dicho estudio de manera matemática empleando ‘la semántica de la teoría de modelos’, precisando que la teoría de modelos es la parte de la lógica que se ocupa de las relaciones entre las expresiones lingüísticas de la matemática y las estructuras matemáticas que aquellas describen. Dar el nombre de ‘semántica for-mal’ a esta perspectiva semántica es desafortunado, según estos autores, ya que sugiere una vinculación con el formalismo y la filosofía mate-mática de Hilbert, que considera el sistema de símbolos matemáticos como un sistema de figuras de la expresión, prescindiendo por comple-to de su contenido, reduciendo los objetos matemáticos a expresiones matemáticas. Ambos autores señalan que si este proyecto hubiera teni-do éxito, se habría reducido la actividad matemática a una actividad puramente formal, se habría reducido a la mera manipulación de expre-siones mediante reglas formales. Y nada puede estar más lejos del autentico espíritu de la semántica.2 Uno de los objetivos de la semántica consiste en dar cuenta de la productividad del lenguaje,3 de la relación entre el significado de una expresión compuesta y el significado de sus partes. Es decir, toda teoría semántica debe ser composicional, productiva y universal. Sin embar-go, estos tres conceptos no son independientes unos de otros; son con-ceptos de naturaleza filosófica y a través de ellos se intenta dar una explicación de cómo los seres humanos nos relacionamos con los obje-tos del mundo para generar significado. La significación es un proceso de ‘Síntesis’. Y desentrañar los mecanismos de funcionamiento de

2. Para mayores detalles consultar [Barwise & Perry 1983. Cap. 2]. 3. Uno de los aspectos más sorprendentes del lenguaje humano es nuestra gran capacidad

para emplear y comprender expresiones que nunca habíamos utilizado. Partiendo de un repertorio finito de palabras somos aptos para entender un conjunto potencialmente infinito de expresiones. A dicha cualidad se le denomina ‘productividad’.

76 Miguel Ariza

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dicho proceso es un problema filosóficamente abierto. No obstante, desde una perspectiva matemática es posible dar cuenta de la composi-cionalidad, productividad y universalidad, aunque de una manera indi-recta y totalmente parcial. Desde el punto de vista anterior, existe una colección potencialmente abierta de modelos semánticos con los cuales tratar de dar cuenta de la composicionalidad, productividad y universalidad, ya que ello consiste en encontrar una ‘función’ o un ‘predicado’ adecuados para tal fin y una entidad conjuntista apropiada. Es decir, la peculiaridad comprendida en el tipo de predicados, funciones y la colección de objetos, que elijamos, determinará la clase de ‘Sistema’4 que nos servirá para conformar nues-tra ‘Teoría Semántica’.

Sistemas Relacionales Sistemas Ecuacionales

Teoría Semántica Sistemas Aplicacionales Sistemas Logísticos Sistemas (…)

Cada uno de los sistemas determina un tipo de ‘formalización’ posible. Es decir, uno cualquiera de los sistemas de este campo de variación, especifica el tipo de ‘teoría semántica’ por construir. Por ejemplo, las teorías semánticas que tienen como piedra angular el uso de la ‘conver-sión λ’, son ‘Sistemas Aplicacionales’5 (en términos generales, son sistemas en donde se pueden efectuar reducciones a una sola operación binaria). A los sistemas en los que hay un solo predicado primitivo (que da lugar a relaciones binarias de orden) se les denomina ‘sistemas rela-cionales’. A los sistemas cuyo predicado primitivo se comporta como la igualdad (en realidad dan lugar a relaciones de equivalencia) se les llama ‘sistemas ecuacionales’. A los sistemas cuyo único predicado primitivo es monádico se les denomina ‘sistemas logísticos’, etc [Curry y Feys 1967]. El sistema que elegiremos en la ‘semántica presuposicional’ es relacional (estando ‘regulada’ su ‘interpretación’ por la teoría de con-juntos [véase [Ariza 2003, 175-208]); siendo su predicado primitivo la 4. “Un sistema es una entidad compleja, compuesta de un conjunto no vacío, llamado

universo del sistema, y de una serie de individuos, relaciones y funciones (sobre ese universo) distinguidos o considerados” [Mosterín 2000, 214].

5. Estos son los sistemas utilizados por excelencia en diversas teorías semánticas de índole formal, equiparando el principio de composicionalidad al de aplicación funcio-nal.


III 21 (2007)

‘presuposición’. De este sistema se puede derivar un ‘álgebra relacio-nal’ (sustentada en la teoría de retículos <lattices>). Una vez especificado el sistema, es imprescindible precisar su arti-culación, ya que para la ‘formalización’ mencionada existe una varie-dad muy grande de ‘sistemas relacionales’, es decir, es necesario preci-sar el ‘proceso’ que singularizará la articulación relacional. Dando lugar a los siguientes recorridos relacionales.

Recorridos relacionales Presuposición Supongamos que en un fragmento cualquiera de un relato identificamos el suceso: ‘acercarse’. Desde una perspectiva relacional, podemos consi-derar este suceso como el ‘componente’ inicial, de un suceso complejo, que posee unidad de sentido. Acercarse será entonces, el antecedente necesario para producir una transformación de estado, cuyas consecuen-cias tienen un estatuto variable. En este sentido el suceso ‘acercarse’ resulta ser una magnitud constante, que posibilita la aparición de otro suceso (magnitud variable) que eventualmente, en conjunción con ‘acer-carse’, producirá una específica totalidad de contenido. Acercarse da lugar a una entidad múltiple (paradigmática), potencialmente abierta, de los posibles sucesos que pueden ser consecuencia de dicho suceso y que podrán dar lugar a una gran multiplicidad de sucesos con distinto conte-nido semántico. (Ver cuadro)

Empujar

Abofetear

Acercarse Besar

Acariciar

Abrazar

En realidad, el paradigma mencionado es uno de los tantos campos semánticos que en conjunción con ‘acercarse’ pueden producir una determinada unidad de sentido. Este campo de variación ‘selecciona’ al suceso ‘acercarse’, siendo cada una de sus variables (cada uno de los sucesos contenidos en el paradigma) condición ‘no- necesaria’ para la aparición de dicho suceso. Ahora bien, supongamos que uno cualquiera de los sucesos aparece también en el relato, por ejemplo el suceso ‘be-sar’, siendo producto del ‘acercamiento’; decimos entonces que el suce-

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Mathesis

so ‘besar’ es condición suficiente para asegurar que ocurrió el suceso ‘acercarse’. La relación que obtenemos deja de ser una simple ‘selec-ción’ determinada por ‘posibles’ para convertirse en una ‘presuposi-ción’ establecida por un suceso bien definido.

La unidad de sentido generada por la pareja (besar, acercarse) pro-ducto de la ‘presuposición’, resulta ser un ‘beso’, pero no es cualquier clase de ‘beso’, es un ‘beso’ producto de un ‘acercamiento’, tal vez ‘el más convencional de los besos’, en contraposición con cualquier otra modalidad simbólica del acto de besar. Y ambos sucesos resultan ser solidarios composicionalmente con res-pecto a la configuración de dicha unidad de sentido.

Acercarce Besar

‘Beso Habitual’

Presuposición sintagmática y composicionalidad Ahora supongamos que en un corpus lingüístico hallamos expresiones complejas tales como ‘bailar saltando’ o ‘saltar bailando’. Ambas ex-presiones están conformadas composicionalmente por las actividades relacionales [Barwise y Perry, op. cit. 37], bailar y saltar. La acción realizada en ‘bailar saltando’, es un baile que tiene la peculiaridad de realizarse saltando. Así que para producirse, es ‘condición necesaria’ la existencia de la actividad ‘bailar’. Y ‘saltar’ es una actividad que modi-fica el contenido semántico del baile. En este sentido ‘saltar’ es ‘condi-ción suficiente’ para asegurar que el baile se realiza saltando. En otras palabras, ‘saltar’ ‘presupone’ ‘bailar’ en la unidad de sentido ‘bailar Saltando’.

bailar < saltar CONDICIÓN NECESARIA CONDICIÓN SUFICIENTE

< presuposición

‘bailar saltando’


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En la expresión ‘saltar bailando’ ocurre precisamente todo lo contrario. La acción realizada es un saltar que se realiza bailando. Por lo tanto, para producirse, es ‘condición necesaria’ la actividad ‘saltar’. Y ‘bailar’ es condición suficiente para asegurar que el saltar se realiza bailando. Así que en la unidad de sentido ‘saltar bailando’, ‘bailar’ ‘presupone’ ‘saltar’.

saltar < bailar CONDICIÓN NECESARIA CONDICIÓN SUFICIENTE

< presuposición

‘saltar bailando’

Ahora supongamos que en otro corpus nos encontramos, por ejemplo, con las frases simples: ‘El astrónomo de larga barba’ y ‘comparecer de rodillas ante el tribunal’. Ambas frases simples están conformadas por frases principales y adjuntos:

El astrónomo de larga barba

Frase principal Adjunto CONDICIÓN NECESARIA CONDICIÓN SUFICIENTE

< presuposición

Comparecer de rodillas ante el tribunal

Frase principal Adjuntos

CONDICIÓN NECESARIA CONDICIÓN SUFICIENTE <

presuposición

En ambas frases, observamos que dada la unidad de sentido producida por la ‘frase simple’, es necesaria la existencia de las frases principales para poder asegurar que existen los adjuntos. Y es suficiente con la existencia de los adjuntos para poder asegurar que existieron las frases principales (frase nominal y frase verbal respectivamente).

80 Miguel Ariza

Composicionalmente podemos asociar una unidad de sentido de ca-rácter semántico a la articulación presuposicional:

‘Postración’

Mathesis

Comparecer de rodillas ante el tribunal Empero, si refinamos aún más el análisis podemos encontrar efectos composicionales y presuposicionales inclusive a nivel palabra.

Consideremos ahora uno de los ejemplos ‘grafémicos’, dado por Hjelmslev [c1976, 44] en su obra ‘El lenguaje’:

pit sal

Sustituyendo la p y la s, la i y la a, la t y la l, respectivamente,

obtenemos expresiones diferentes: pit, pil, pal, pat, sal, sat, sit, sil. Según Hjelmslev [c1974, 59] cada una de estas entidades es una cadena (texto lingüístico). En el texto pit hay coexistencia entre p, i, t; del mismo modo hay coexistencia entre s, a y l en la texto sal. Pero entre p y s hay alternancia; también hay alternancia entre t y l, así como entre i y a. Asimismo, las parejas p, s; i, a; t, l; forman tres paradigmas distintos. Gráficamente podemos visualizar el ejemplo de Hjelmslev de la si-guiente forma: p i t s ll a

pit sal

< < < < En la unidad de sentido pit: la existencia de p es ‘condición necesaria’ para la existencia de i, e i es ‘condición necesaria’ para la existencia de t. Recíprocamente: t es ‘condición suficiente’ para asegurar que ocurrió i,e i es ‘condición suficiente’ para asegurar que ocurrió p. Por lo tanto t ‘presu-pone’ i e i ‘presupone’ p. De idéntica forma sucede en sal: l es ‘condición suficiente’ para asegurar que ocurrió a, y a es ‘condición suficiente’ para asegurar que ocurrió s. Recíprocamente: la existencia de s es ‘condición


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necesaria’, para la existencia de a, y a es ‘condición necesaria’ para la existencia de l. Por lo tanto l ‘presupone’ a y a ‘presupone’ s.

Generalizando este ejemplo, podemos decir que en este sistema:

Consonante presupone Vocal presupone Consonante. Los diversos trayectos presuposicionales, pueden ser representados a través del siguiente diagrama:

SISTEMA RELACIONAL

p s

i a

t l

pit

pil

pat

sal

sat

sil

pal sit

p < i < t s < a < l

c < v < c

Unidades de sentido

Este sistema relacional constituye un conjunto parcialmente ordenado de manera estricta,6 configurado por la relación de presuposición. Ob-servemos que en el diagrama no existen líneas entre p & s, i & a, t & l, ya que entre los términos de cada uno de estos pares no existe coexis-tencia sino alternancia. Con cada uno de los pares de grafemas podemos formar los tres conjuntos paradigmáticos p, s, i, a, t, l. De ahí que Hjelmslev afirme que tomando en cuenta este punto de vista, los grafemas p, s, i, a, t, l, sean llamados ‘miembros’.

Observemos también que en el sistema relacional transitamos del texto pit al texto sal, a través de diversos trayectos presuposicionales. Entre ambas delimitaciones se encuentran las configuraciones presuposicionales de todos los textos del sistema relacional. Cada texto es un ‘proceso’ que media entre

6. Irreflexivo, Asimétrico y Transitivo.

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Mathesis

ambos límites. El conjunto de todas las unidades de sentido conforma a su vez una ‘constelación de autonomías’ (‘paratagmas’) que se obtiene a través de reemplazos alternados de cada uno de los grafemas. Alternancia que está regulada por la relación de presuposición. Esto nos permite poder establecer una relación entre cada uno de los ‘paratagmas’ y los grafemas:

LA PRESUPOSICIÓN PARADIGMÁTICA Supongamos que queremos construir una relación entre cada una de las ‘unidades de sentido’ y sus partes componentes, por ejemplo en la palabra ‘ron’. Para construir dicha relación tendríamos que dar cuenta del ‘proceso’ existente en la composición de dicha palabra. Para tal fin, podemos afirmar, sin pérdida de generalidad, que cada uno de los componentes de la palabra son exigidos para su conformación y que basta con la realización de la palabra entera para asegurar la ocurrencia de sus partes componentes. Es decir, es condición suficiente la ocurrencia de ron para asegurar la ocurren-cia de r, o y n, y que la ocurrencia de r, o y n es condición necesaria para la ocurrencia de ‘ron’. Por lo tanto diremos que: ‘ron presuponer’, ‘ron presu-pone o’, ‘ron presupone n’.

Esta nueva relación de presuposición ‘paradigmática’ también da lugar a un orden parcial, pero este es un orden parcial reflexivo.7 Y da lugar a un sistema relacional distinto al de la presuposición sintagmática. Desde la perspectiva de las relaciones de orden, la presuposición sintagmática fun-ciona de manera similar a la relación ‘mayor que’ (>), y la presuposición paradigmática se asemeja a la relación ‘mayor o igual que’ (≥).

r o n ron

El sistema relacional suscitado por la presuposición paradigmática en el ejem-plo de Hjelmslev, puede ser representado a través del siguiente diagrama:

p

7. Reflexivo, Antisimétrico y Transitivo.

i t

pat pit

l a

pal

a l

sil sal

t i s

sit sat

SISTEMA RELACIONAL


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Podemos observar que en este nuevo sistema relacional, cada uno de los textos (que en el sistema relacional anterior eran ‘paratagmas’) ahora están articulados por la presuposición paradigmática. Al igual que en el sistema relacional anterior se forman dos bloques. Pero en esta ocasión los grafemas también carecen de líneas entre sí. Además podemos articular una serie de operaciones al interior de este sistema relacional:

p U i U t= pit, Fusión (o unión); pal п pil п pat п pit = p, solapa-miento (o intersección)

s U a U l= sal, Fusión (o unión); sit п sat п sil п sal = s, solapa-miento (o intersección)

Tradicionalmente a la relación que da lugar a órdenes parciales reflexi-vos (haciendo un abuso de lenguaje) se les llama ‘inclusión’, por el parecido que tienen estas relaciones de orden con la inclusión de con-juntos; y a cada uno de los términos involucrados en la relación se les denomina partes. De ahí, tal vez sea que Hjelmslev asevere que, desde este otro punto de vista, los grafemas p, s, i, a, t, l, sean llamados ‘par-tes’. Dos ejemplos muy conocidos de conjuntos parcialmente ordenados son:

1) el conjunto de los números naturales ordenados con la relación ‘divide a’.

2) el conjunto que forman todos los subconjuntos de algún conjunto cualquiera, ordenados por la relación ‘inclusión’ o ‘ser subcon-junto de’.

Figura 1 Figura 2

La figura 1 ilustra la ordenación de los elementos del conjunto de todos los divisores de 30, D30= 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. En correspondencia con el razonamiento que hemos seguido hasta ahora, podemos decir,

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Mathesis

por ejemplo, que el número 15 es la articulación composicional de los números 3 y 5, que son sus ‘divisores’; y que 15, el ‘mínimo común múltiplo’ de ambos, es la ‘unidad de sentido’ que conforma la ‘fusión’ de los dos números. Lo mismo ocurre con la ‘fusión’ del 2 y el 3 con respecto al 6, o la del 2 y el 5 con respecto al 10. En general, de la ‘fu-sión’ de cualquier par de números del conjunto, obtenemos una ‘unidad de sentido’ que resulta ser el ‘mínimo común múltiplo’ del par en cues-tión. Y del ‘solapamiento’ de cualquier par de números del conjunto, obtenemos un tercer número que resulta ser el ‘máximo común divisor’ de ambos; por ejemplo, el número 2 es el máximo común divisor de 6 y 10; así como el 3 lo es de 6 y 15; y el 5 de 10 y 15. La figura 2 ilustra la ordenación de los elementos del conjunto de todos los subconjuntos del conjunto A = 2, 3, 5. Tal conjunto recibe el nombre de conjunto potencia, P (A)= ∅, 2, 3, 5, 2, 3, 2, 5, 3, 5, 2, 3, 5. En correspondencia con nuestro razonamiento, podemos decir, por ejemplo, que el conjunto 3, 5 es la articulación composicional de los conjuntos 3 y 5, que son sus ‘subconjuntos’; siendo el conjunto 3, 5, la ‘unidad de sentido’ que conforma la ‘fu-sión’ de ambos. Lo mismo ocurre con la ‘fusión’ de los conjuntos 2 y 3 con respecto al 2, 3, o la del 2 y el 5 con respecto al conjunto 2, 5. En general, de la ‘fusión’ de cualquier par de conjuntos del sistema, obtenemos una ‘unidad de sentido’ que resulta ser la ‘unión’ del par en cuestión. Y del ‘solapamiento’ de cualquier par de conjuntos del sistema, obtenemos un tercer conjunto que resulta ser la ‘intersección’ de ambos; por ejemplo, el conjunto 2 es la ‘intersección’ de 2, 3 y 2, 5; así como el 3 lo es de 2, 3 y 3, 5; y el 5 de 2, 5 y 3,5. Observemos que el conjunto resultante de la ‘unión’ de cualquier par de conjuntos del sistema, es la menor entidad (‘supremo’) que los contiene a ambos. Y que la intersección de cualquier par de conjuntos, es la mayor entidad (‘ínfimo’) contenida en ambos. De la misma for-ma, el ‘mínimo común múltiplo’ de cualquier par de números resulta ser la menor entidad (‘supremo’) que es dividida por ambos. Y el ‘máximo común divisor’ de cualquier par de números es la máxima entidad que divide a ambos. Estas observaciones, aplicadas a cualquier sistema relacional que está articulado por una relación de orden parcial, como en los dos sis-temas anteriores, se deben a Charles S. Peirce [Birkhoff y MacLeane 1941, 351]. A todo sistema relacional (conjunto parcialmente ordenado reflexivo), en el que cualquier par de sus elementos tiene supremo e ínfimo, con respecto a la relación que los ordena, se le llama retículo.


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Los dos sistemas relacionales anteriores son ejemplos de dos retículos que tienen la propiedad de ser isomorfos. Como ya se ha dicho, en la bibliografía matemática, comúnmente a la relación que da lugar a órdenes parciales reflexivos se les llama ‘in-clusión’, por el parecido que tienen estas relaciones de orden con la inclusión de conjuntos; y dichas relaciones se asemejan a la relación ‘mayor o igual que’ (≥). Esto concuerda con las intuiciones expresadas por el lingüista Edward Sapir [Sapir 2000, 127]:

Se puede decir que las nociones ‘más que’ y ‘menos que’ están funda-das en las percepciones de ‘envoltura’: si A puede ser ‘envuelto’ por B, contenido en él, colocado en contacto con él, sea realmente, sea con la imaginación, de suerte que permanezca en el interior de los límites de B, entonces se podrá decir que A es 'menos que’ B y que B es ‘más que’ A.

Estas intuiciones quedan manifiestas formalmente en los subsiguientes análisis. Composición y presuposición de eventos Consideremos ahora una situación de habla cualquiera, un fragmento de discurso sin hacer por lo pronto ninguna hipótesis respecto a su unidad, es decir, sin suponer que constituye una totalidad de sentido. Postular esta hipótesis es precisamente el objeto de la primera operación descrip-tiva que se realiza sobre un hecho de habla [Flores 2000, 14]. Situados en este lugar inicial, nuestro fragmento de discurso, resulta ser una ‘Situación abstracta’. Desde un punto de vista formal, nuestro fragmen-to es un ‘no- no discurso’, es la postulación de la existencia positiva de una entidad semiótica, de la que sólo puede formularse la hipótesis de que a través de un proceso constructivo, es posible concebirlo como unidad de sentido [Flores 1991, 112]. Es decir, dicho fragmento es susceptible de ser analizado a través de un proceso deductivo, a partir, como lo postula Hjelmslev [c1974, 51], inclusive desde ‘el todo sin analizar’. Conforme vamos realizando su análisis, nuestro fragmento comienza a configurarse como una entidad relacional. Si tomamos por ejemplo nuestro primer fragmento de narración de sucesos ‘beso habi-tual’, será a través de la relación de presuposición que se posibilitará dar a los objetos sometidos a análisis calidad de existentes dentro del relato. Será en este proceso relacional donde los sucesos ocupan una posición definida con respecto al relato y entre ellos mismos. Cada suceso, entonces, toma una localización definida dentro de la ‘situa-ción’ y con respecto a todos los demás sucesos inmersos en ésta [Ver Ariza 2003, 175-208].

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Mathesis

Supongamos que en nuestro fragmento de relato identificamos los sucesos acercarse, tocar y besar. Para estos tres sucesos identificados en el relato, podemos establecer un método de prueba, a través de preguntas, para establecer si existe la relación de presuposición sintagmática: 1a ¿Si besar se produjo, entonces se produjo tocar? i.e. ¿besar es condi-ción suficiente para tocar? Si las respuestas son "Sí", entonces existe presuposición, en caso con-trario, no la hay.

2a ¿Si tocar no se hubiera producido, se pudiera haber producido besar? i.e. ¿tocar es condición necesaria para besar? Si las respuestas son "No" y "Sí" respectivamente, (i.e. al NO ser posi-ble que se produzca besar sin haberse producido tocar, resultando ser cierto que tocar es condición necesaria para besar), entonces existe pre-suposición, en caso contrario no la hay. Cabe hacer notar que no en todo escenario posible es necesario acercarse y tocar para besar, existen muchas otras modalidades simbóli-cas del acto de besar que no precisan de un acercamiento o de un con-tacto (tocar). Es solamente en el ámbito de un ‘beso habitual’ que las relaciones de presuposición entre los tres sucesos ocurren. En este sen-tido, sólo dentro de la situación contextual de un beso habitual, puede establecerse la secuencia presuposicional: besar ¬> tocar ¬> acercase. Es decir, ‘beso habitual’ es la ‘unidad de sentido’ que posibilita la articulación presuposicional. Por lo tanto, las respuestas a las preguntas dependerán y estarán referidas a una situación englobante ‘bien deter-minada’. Así podemos contestar: Dentro de la Situación contextual de un beso habitual. ¿Es condición suficiente besar para tocar? Sí ¿Es condición suficiente tocar para acercarse? Sí por lo tanto, ¿es condición suficiente besar para acercarse? Sí ¿Es condición necesaria acercarse para tocar? Sí ¿Es condición necesaria tocar para besar? Sí Por lo tanto, ¿es condición necesaria acercarse para besar? Sí Desde un punto de vista presuposicional al ocurrir besar debió ocurrir tocar y acercase. En otras palabras, la aparición de los sucesos tocar y acercarse debe estar inserta en la aparición del suceso besar para poder hablar globalmente de un ‘beso habitual’. Esta propuesta tiene ciertos paralelismos con la formalización dada por Barwise y Perry [1983. Cap. 5] en su libro “Situaciones y Actitudes”:


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Eco:= en lh: involve, B, T; Sí. “Dentro de la localización espacio-temporal, habitual, es cierto que besar ‘involve’ tocar”

La relación ‘involve’ ordena ambos sucesos de manera similar a la ‘presuposición’, ambas son relaciones de orden, que también están en concordancia con la intuición expresada por Sapir. Esta suerte de dispo-sición envolvente de los sucesos pertenecientes a una ‘situación’, nos permite visualizar que el principio de composicionalidad, resulta ser mucho más refinado que el de una simple ‘aditividad’ del significado de las partes componentes de una expresión compleja. Como en repetidas ocasiones lo ha señalado el lingüista Roberto Flores [2000, 17], no es posible determinar el significado de un relato únicamente a partir de los sucesos que lo constituyen, visualizados como magnitudes autónomas, que se adicionan ‘composicionalmente’ para dar al relato su sentido, sino que deben ser tomados en cuenta efectos semánticos, producto de formas esquemáticas subyacentes, ya que se torna imposible designar una totalidad de sentido global, a partir de la simple suma de sucesos autónomos. Esto implica entender el principio de composicionalidad como un proceso de síntesis, en el que el significado de una expresión compleja emerge de la ‘articulación vinculada’ de los significados de las expre-siones que componen la expresión inicial.8 Dentro de nuestra propuesta relacional, dicho proceso de síntesis emerge de la articulación presupo-sicional, poniendo en consideración la relación entre cada una de las ‘unidades de sentido’ y sus partes componentes, tomando en cuenta las observaciones de Flores y los señalamientos de Barwise y Perry [1983]:

El presupuesto según el cual el significado de una expresión es una fun-ción de los significados de sus partes, es lo que se llama el principio de composicionalidad. Expresa claramente una intuición que solemos tener sobre el lenguaje y que, sin embargo, sólo entendemos vagamente. Algo que hay que precisar en una teoría semántica es en qué medida el signi-ficado de una expresión depende del de sus partes y viceversa.

En nuestro ejemplo podemos plantear el proceso de composición reco-nociendo como unidad narrativa esquemática a la unidad de sentido ‘beso habitual’, a partir de secuencias de unidades de acción, represen-tadas por los sucesos acercarse, tocar y besar. Los tres sucesos dan lugar semánticamente al esquema narrativo [Flores 1999, 59-62] ‘beso

8. Este principio de síntesis complejo, queda manifiesto en la gramática de Montague a

través del proceso de aplicación funcional.

88 Miguel Ariza

Mathesis

habitual’, que no está explícitamente manifestado, pero que da cuenta desde un punto de vista presuposicional de la resemantización produci-da por el suceso besar, último suceso de la secuencia. Estos tres sucesos son susceptibles de ser representados como un proceso global, cuyo último suceso es cierre y resemantizador de todo el proceso. Así, acer-carse, tocar y besar, son las partes componentes, que se fusionan para dar lugar a la unidad de sentido (esquema narrativo) ‘beso habitual’, que los presupone a los tres. En este sentido podemos decir que: besar ¬> tocar ¬> acercase

sólo si

‘beso habitual’ » besar; ‘beso habitual’ » tocar; ‘beso habitual’ » acer-carse

“Si hay presuposición sintagmática entre los tres sucesos, entonces su esquema narrativo presupone

paradigmáticamente a cada una de los tres” Asimismo el esquema narrativo ‘beso habitual’, es resultado de la fu-sión de los tres sucesos:

besar U tocar U acercarse = ‘beso habitual’

Diagramáticamente podemos representar las relaciones anteriores de la siguiente forma:

Autores como Barwise, Aczel, Etchemendy, Allwein, Hammer, Shin, etc. señalan la gran importancia que constituye el razonamiento dia-gramático. Un diagrama puede describirse, en términos generales, como una representación plana no lingüística elaborada con el cometido de aclarar un texto. Esta construcción presupone la existencia de algo que queda representado por el diagrama y un contexto lingüístico en el cual está inserto [Hammer 1995].


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Para Peirce, el razonamiento diagramático es una forma de razonamien-to profundamente fecundo. De hecho, dentro del pensamiento matemá-tico, a cada proceso de formación de diagramas, le llamó un ‘álgebra’, ya que en la actividad matemática intervienen diagramas mentales complejos:9

Pues el razonamiento matemático consiste en construir un diagrama de acuerdo con un precepto general, en observar ciertas relaciones entre partes de ese diagrama — [relaciones] que no están requeridas de mane-ra explícita por el precepto—, en mostrar que estas relaciones valdrían para todos los diagramas tales, y en formular esta conclusión en térmi-nos generales. Todo razonamiento necesario válido es entonces, de hecho, diagramático.10

Esta naturaleza sintética, esquemática y no lingüística de los diagramas, así como el carácter diagramático de la matemática, nos permiten elu-cidar conjuntos de regularidades, de los diversos procesos signicos de carácter semántico. Composición y presuposición reticular de eventos en el discurso histórico Como lo señala de Lorenzo [1994, 251], tanto en el hacer matemático como en el terreno del lenguaje humano, es insuficiente restringirse a la noción formal de ‘código’, ya sea lingüístico o proposicional, debido a que se deben tomar en cuenta también contextos y recreaciones. Es decir, ‘cualquier texto escrito, como objeto semiótico, es un diagrama que carece de valor en sí, como objeto, si no se tiene presente el valor potencial de ser actualizado en cada momento, en cada instante. Y es ese valor potencial el que posibilita la construcción real del texto como objeto semiótico’. Como ya hemos mencionado, todo análisis del relato pasa por la identificación de acciones y su integración en secuencias narrativas, tomando en cuenta efectos semánticos, producto de formas esquemáti-cas subyacentes. Tomemos como ejemplo un pequeño fragmento, tra-ducido al español, del “Yo abjuro”, discurso de abjuración de Galileo Galilei pronunciado el miércoles 22 de junio de 1633 [Boorstin 1988, 321]: 9. Charles S. Peirce, ‘The Critic of Arguments, 1892’, ‘Prolegomena of an Apology for

Pragmaticism, 1906’, Apud. Arnold Oostra, ‘Peirce y los diagramas’ II Jornada del Grupo de Estudios Peirceanos, La lógica de Peirce y el mundo hispánico 10 de octu-bre de 2003. Pamplona (ESPAÑA). p. 8.

10. Charles S. Peirce, CP. 1.54, Apud. Arnold Oostra, Loc. cit. p. 8

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Yo Galileo Galilei, hijo del finado Vicenzo Galilei, florentino, de setenta años de edad, compareciendo personalmente ante este tribunal, y de rodillas ante vosotros, eminentísimos y reverendísimos señores cardena-les, inquisidores generales contra la depravación herética de toda la Cris-tiandad, teniendo ante mis ojos y tocando con mis manos los santos evangelios, juro que siempre he creído, como lo sigo haciendo, y con la ayuda de Dios seguiré creyendo en el futuro todo lo que sostiene, predica y enseña la Santa Iglesia Católica, Apostólica y Romana.

El sistema relacional anterior, da lugar a un conjunto parcialmente ordenado de manera estricta, articulado por la presuposición sintagmá-tica. La representación geométrica de tal orden está expresada diagra-máticamente a través de un árbol de presuposición, cuya manifestación surge del siguiente análisis: No en todo escenario posible, ‘[estar] de rodillas’ presupone ‘comparecer’. Y tampoco en todo escenario posible es necesario ‘[estar] de rodillas’ para ‘comparecer’. Es sólo en ‘situa-ción contextual’ como se puede establecer la presuposición sintagmáti-ca. Es decir, el ‘comparecer’, del discurso de abjuración, no es cual-quier ‘comparecer’, es una actividad que está impregnada del ‘seman-tismo’ contenido en el Estado ‘de rodillas’. Pareciera que ‘comparecer’, asimila ‘rasgos semánticos’ del Estado ‘de rodillas’ al momento de establecer ‘composicionalmente’ el sintagma: ‘Comparecer de rodillas ante el tribunal’. Dicho sintagma puede ser visualizado como paráfrasis de una de las tantas ‘acepciones léxicas’ del término ‘postración’. En este sentido, ‘[estar] de rodillas’, resemantiza a ‘comparecer’, convir-tiéndolo en un comparecer en estado de ‘postración’ (estar a los pies de otro en señal de respeto, veneración o ruego). Formalmente, para dar cuenta, a la vez, de la asimilación y de la resemantización, es necesaria la articulación presuposicional, es decir: ‘[estar] de rodillas ¬> compa-recer’. Entonces diremos que en el esquema narrativo ‘postración’, ‘[estar] de rodillas’ ‘presupone’ ‘comparecer’. Es decir, al ocurrir ‘[es-tar] de rodillas’ debió ocurrir ‘comparecer’. En otras palabras, la apari-


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ción del suceso ‘comparecer’ debe estar inserta en la aparición del suceso ‘[estar] de rodillas’ para poder hablar globalmente de una postración. Ya que dentro del ámbito de la unidad de sentido ‘postración’, ‘[estar] de rodillas’ exige ‘comparecer’ (condición necesaria) y ‘[estar] de rodillas’ basta para asegurar que ocurrió ‘comparecer’ (condición suficiente). De manera análoga, en la segunda ramificación del árbol, pareciera ocurrir una asimilación, que podemos sintetizar diciendo: ‘tocar’ [los evangelios] ‘presupone’ ‘mirar’ [los evangelios]. Es decir, al ocurrir ‘tocar’ [los evangelios], debió ocurrir ‘mirar’ [los evangelios] todo ello en el ámbito de una ‘testificación’ (o toma de contacto). Es decir ‘tocar los evangelios’ resemantiza el contenido del ‘mirar’ convirtiéndolo en una forma del contacto, siendo ‘mirar y tocar los evangelios’ una pará-frasis de una ‘acepción léxica’ de ‘testificación’, sabiendo además que las etimologías de la palabra "testificar" la refieren al movimiento reali-zado por los centuriones romanos, al momento de realizar un juramen-to, elevando una de las manos, y haciendo contacto con los testículos empleando la otra. Por último la acción ‘jurar’ articula y correlaciona la ‘postración’ y la ‘testificación’, siendo un ‘testimonio jurado’ el producto de dicha articulación, que ya no se comportará como una asimilación sino más bien como una "coalescencia". Ambas ramas del árbol resultan ser complementarias y a la vez ajenas. Todo ello, nos permite visualizar el sistema entero como un retículo algebraico, donde, el ‘testimonio jura-do’ resulta ser el elemento máximo y el vacío el elemento mínimo de todo el sistema; donde la presuposición paradigmática es la relación de orden que articula al retículo, fungiendo la coalescencia como la ‘ope-ración fusión’ (al realizarse entre dos objetos disjuntos). Entonces este pequeño sistema reticular puede ser formalizado de la siguiente forma:

Sea S el conjunto de sucesos del sistema. S = ∅, ‘comparecer’, ‘[estar] de rodillas’, ‘tocar’, ‘[mirar]’, ‘ju-rar’11

Sea SC el conjunto de condensaciones (esquemas narrativos) del sis-tema.

SC = ‘postración’, ‘testificación’

Sea SR = S U SC = ∅, ‘comparecer’, ‘[estar] de rodillas’, ‘tocar’, ‘[mirar]’, ‘jurar’, ‘postración’, ‘testificación’ De donde:

11. Definimos el suceso vacío “∅”, como el acontecer no dicho, i.e. todo aquello que

ocurrió y que no fue recogido discursivamente.

92 Miguel Ariza

Mathesis

⟨SR, Ц, Π⟩ es un retículo; donde Ц:= ‘fusión’, Π:= ‘solapa-miento’ Entonces: La estructura ⟨SR, «, Ц, Π, ∅, J⟩ ‘es un álgebra relacional’.

El sistema entero puede ser representado a través del siguiente diagrama:

Así que podemos definir la presuposición paradigmática en términos reticulares:

W « Z Si y sólo si W Ц Z = Z

‘Una magnitud lingüística cualquiera presupone paradigmática-mente a otra, si y sólo si, de la fusión de ambas obtenemos la primera magnitud’

Observemos que ‘testimonio jurado’, es la magnitud máxima ordenada por la relación de presuposición, razón por la cual podemos considerar a dicha unidad de sentido como esquema narrativo global de todo el sistema. A través de este trayecto relacional hemos obtenido dos modalida-des diagramáticas, producto de formalizaciones complementarias, dos despliegues esquemáticos, en los que descriptivamente transitamos de la presuposicionalidad a la composicionalidad.


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Testimonio Jurado

Este despliegue figural, más allá de ser un mero instrumento descriptivo de análisis, o mera ayuda heurística, resulta ser una autentica elabora-ción conceptual de carácter semántico, potencialidad constructiva, es-quema ostensivo que entraña un principio de acción, que se materializa en un proceso constructivo espacial, en un grafico concreto y singular. En este sentido el diagrama ‘algebraico’ adquiere una relevancia que va mucho más allá de ser un símbolo formal sintáctico creado de manera convencional, con vista a la producción de un lenguaje artificial. Es la actualización de un ámbito potencial a través de una acción intencional constructiva, cuya visualización o captación trasciende la concreción singular de su trazado gráfico, de su creación más o menos convencio-nal o arbitraria, de su presentación singular y de su posible referente representacional [de Lorenzo 1994]. Entramado relacional, que entraña un pensamiento interior, médula o manifestación de la producción se-mántica. Presuposición y ordinalidad Por último, si consideramos los sucesos de un relato como conjuntos abstractos (multiplicidades puras), podemos dar una definición alterna de presuposición sintagmática, relacionando la presuposición con la pertenencia entre conjuntos: Definición. Representemos con ⟨ℜ, ¬>⟩, un conjunto ℜ ordenado por “¬>”. Entonces, para todo s, s’∈ℜ, s ¬> s’, si y sólo si s’∈s

De esta forma, cada vez que los sucesos de un relato estén ordenados por la presuposición, también lo estarán por la pertenencia y viceversa. Y podemos enunciar las aserciones:12

12. Aunque las propiedades de los ordinales finitos son bien conocidas, hemos considera-

do escribirlas para hacer ostensible que la presuposición sintagmática las cumple ca-balmente.

94 Miguel Ariza

Mathesis

1) ⟨ℜ, ¬>⟩ es un conjunto ‘parcialmente ordenado’. i.e. Para todo s∈ℜ, [¬(s ¬> s)] (la presuposición es irreflexiva en ℜ) i.e. ningún elemento de ℜ se presupone a sí mismo.

Para todo s, s’∈ℜ, [¬[(s ¬> s’)∧( s’¬> s)]] (La presuposición es asimétrica en ℜ) i.e. ningún par de elementos de ℜ se presuponen mutuamente.

Para todo s, s’, s”∈ ℜ, [[(s ¬> s’)∧( s’ ¬> s”)] → (s ¬> s”)] (La presuposición es transitiva en ℜ) 2) ⟨ℜ, ¬>⟩ es un conjunto ‘bien ordenado’. Para todo ν ⊆ ℜ, Si ν ≠ ∅ entonces hay m∈ν tal que para todo s ∈ ν: s ¬> m o m = s; tal m se llama el ‘℘-mínimo’ de ν. i.e. Todo subconjunto no vacío de ℜ tiene un primer elemento ordenado por la presuposición. 3) Todo subconjunto no vacío de ℜ tiene un ‘℘-máximo’. Para todo ν ⊆ P, Si ν ≠ ∅ entonces hay M ∈ν tal que para todo s ∈ν: M ¬>s o M = s; tal M se llama el “℘-máximo” de ν. i.e. todo subconjunto no vacío de ℜ tiene un último elemento ordenado por la presuposición. 4) ℜ es un conjunto transitivo presuposicionalmente. Para todo s ∈ ℜ, Si s ¬> s’, entonces s’∈ ℜ.

5) Para todo s ∈ ℜ; s es transitivo presuposicionalmente. Si s’¬> s” y s’∈ s, entonces s”∈ s. ∀ s’,∀ s” [(s’ ¬> s” ∧ s’∈ s) → s”∈ s] i.e. ∀ s’,∀ s” [(s’ ¬> s” ∧ s ¬> s’) → s ¬> s”], i.e. ∀ s’,∀ s” [(s” ∈ s’ ∧ s’∈ s) → s”∈ s] A los conjuntos que cumplen con las 5 condiciones anteriores, se les denomina ‘ordinales finitos’. Por ejemplo: El conjunto ∅, ∅, ∅, ∅ Es un ordinal finito en donde ocurre que:

∅ ∈ ∅ ∈ ∅, ∅ ∈ ∅, ∅, ∅, ∅

y ∅ < ∅ < ∅, ∅ < ∅, ∅, ∅, ∅ De igual manera ocurre para nuestro primer ejemplo de sucesos: el suceso besar, es un ordinal finito donde ocurre:


III 21 (2007)

acercarse ∈ tocar ∈ besar y acercarse < tocar < besar

Ambos Ordinales podemos representarlos de la siguiente forma:13

Besar

TocarAcercarse

∅

∅ , ∅∅

∅ , ∅,∅ , ∅

∅

De acuerdo a lo anterior podemos representar el ejemplo del fragmento del discurso de Galileo de la siguiente forma:

∅

Jurar

[Estar]de rodillas

Comparecer

[Mirar]

Tocar

El suceso jurar es el núcleo presuposicional, que articula dos desplie-gues ordinales distintos pero isomorfos. Todos los sucesos distintos a jurar le pertenecen; sin embargo, pareciera haber un problema, tocar y [estar] de rodillas, son sucesos distintos entre sí y ambos son anteceso-res inmediatos de jurar. Eso no debería ocurrir, ya que como ambos sucesos le pertenecen y son conjuntos transitivos distintos, entonces uno debería pertenecer al otro y, por lo tanto, uno debería presuponer al otro, cosa que no ocurre. Entonces diremos que los sucesos disjuntos tocar y [estar] de rodillas, son equivalentes bajo isomorfismo, a pesar

13. Esta manera de representar gráficamente conjuntos bien fundados (y muchas otras

formas más), aparece en: [Aczel 1988] y en. [Barwise y Etchemendy 1987]

96 Miguel Ariza

Mathesis

de no ser semánticamente iguales. Y diremos que forman parte de des-pliegues narrativos distintos, cuyo núcleo de articulación es el suceso jurar. Esto posibilita que ambos sucesos sean antecesores inmediatos de jurar. Debido a esto podemos establecer que existen procesos de simulta-neidad discursiva que la sucesividad narrativa no recoge, pero que sí hace evidentes. Este proceso de múltiple articulación ordinal a través de distin-tos despliegues narrativos, que dan unidad al relato, ilustra la complejidad que puede llegar a entrañar la composicionalidad semántica. Referencias Aczel, Peter 1988. Non-Well-Founded Sets. Stanford. CSLI Ariza, Miguel. 2003. ‘Hacia una formalización de la presuposición na-

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La perspectiva.

Euclides*

* La edición facsimilar de la obra La perspectiva de Euclides se presenta en este volumen de Mathesis gracias a la Dra. María de la Luz de Teresa de Oteyza, quien amablemente permitió la reproducción de la obra original.

HOJA EN BLANCO


Introducción a: Sobre consistencia y completitud

en el sistema axiomático. Discusión sobre la ponencia del Sr. Gödel.

Protocolo del 15 de enero de 1931

Jesús Padilla Gálvez

Introducción El protocolo que publicamos, con su correspondiente traducción al castellano, se encuentra en el Wiener Kreis Archiv de Haarlem en Holanda. El año ha sido escrito manualmente en el manuscrito. Fue pasado a limpio por Rose Rand.1 Hasta la fecha se han publicado dos versiones en alemán y una traducción al inglés que seguidamente comentamos. La publicación más antigua se debe a la monografía de Friedrich Stadler [1997] que ha sido reseñada recientemente en Mathesis [véase: Padilla 2006]. Dicha publicación adolece de ser poco crítica, corrige los errores y las faltas de ortografía que aparecen en el texto sin indicarlo adecuadamente y confunden algún símbolo formal por lo que su uso no es recomendable. Así por caso, si en el texto original aparece “ω-widerspruchsfrei” nos encontramos en la edición alemana incomprensiblemente “o-widerspru-chsfrei” [Stadler 1997, 279]. Alguien que tenga unas nociones rudimentarias de lógica habría percibido el error que se reitera en la traducción al inglés del texto [Stadler, 2001]. Aquí se une un deficiente conocimiento de los términos metalógicos. Así pues, ‘Widerspruchsfreiheit’ se traduce a lo largo del texto mediante la expresión ‘noncontradictory’ si bien en inglés se ha de

1. El Archivo de Rose Rand se localiza en la Universidad de Pittsburgh y en el se encuen-

tra en la carpeta RR 11-9 una copia de los: Wiener Kreis: Vorträge und Diskussion und Thesen, 1931-1932 y algunos trabajos sin un dato exacto (“9 items”). En el expediente hallamos la siguiente indicación: “[...] notas en alemán y taquigrafía alemana de una conferencia no identificada de Kurt Gödel; notas sobre hecho, lenguaje, sintaxis y veri-ficación”.

194 Jesús Padilla Gálvez

Mathesis

usar el término ‘consistency’ (es decir: ‘consistencia’). El término alemán ‘Vermutung’, es decir, conjetura se traduce por ‘speculation’ cuando en inglés se denomina ‘conjeture’. A toda vez que en el texto alemán se habla de ‘inhaltlich’, es decir de un argumento informal, se traduce al inglés por ‘substantive’ si bien en cualquier libro de metamatemática encontramos la translación de ‘informal’ [Cf., Kleene 1971, 62-64]. Existen otros problemas que tienen que ver con la opción libre por la que han optado los traductores que hace que el texto se saque de su contexto metamatemático. Posteriormente, se ha publicado una versión algo mejorada que la anterior donde los errores cometidos en la translación al alemán han sido subsanados, pero sigue siendo poco crítica [véase Rand 2002, 133-134]. Lo extraño de esta edición no es el texto que publicamos críticamente y que traducimos seguidamente sino el que los autores hayan localizado el texto al que supuestamente se asienta dicho protocolo y que publican unas páginas antes. Pues bien, los editores dan por sentado que han descubierto el supuesto texto que presentó K. Gödel en la conferencia del 15 de enero de 1931 y que titulan ‘Sobre consistencia y dicibilidad en sistemas axiomaticos’ [Véase: Köhler et allii 2002, 129-131]. Sin embargo, al píe de página hacen referencia al origen de dicho texto que nos remite a las obras completas de Gödel en donde aparentemente han encontrado esta obra hasta la fecha desconocida. Ahora bien, si nos tomamos la molestia de buscar dicho texto en las obras completas encontramos un título muy diferente al arriba expuesto, a saber: ‘Über unentscheidbare Sätze’ que traducido al inglés aparece con el título de ‘On undecidable sentences’ [véase: Gödel 1995, 30-35]. Alguien incrédulo puede preguntar ¿cómo se ha podido transformar el título ‘Über unentscheidbare Sätze’ (‘On undeci-dable sentences’) en ‘Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystemen’? Ciertamente en el trabajo publicado por Köhler no encontramos respuesta para dicha duplicación de textos. Ni en el texto de la introducción escrito por Kleene [1995, 30-31] ni los propios autores vieneses nos indican la razón para duplicar un trabajo y alterar el título [Köhler et allii, 2002, 129, en la nota no aparece explicación alguna]. Todo esto quedaría como una broma bien intencionada si no fuera porque recientemente se ha difundido una reseña del libro vienés en la que se da por sentado que “el manuscrito de Gödel “Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystemen” [sobre consistencia y decibilidad en sistemas axiomáticos] está impreso [p. 129-131], presumiblemente el texto de una plática que dio ante el círculo de Schlick el 15 de enero de 1931” [Peckhaus 2003, 11-12]. A partir de este instante habrá que preguntarse si los autores han actuado con argucia alevosa intentando duplicar la obra de Gödel o si hay razones imperiosas para pensar que el título que aparece en

Introducción a: Sobre consistencia y completitud ... 195

III 21 (2007)

las obras completas sea incorrecto y se deba alterar. Al mismo tiempo, ha de indicarse que algo importante falla en el trabajo científico ya que la reseña crítica escrita por Peckhaus no ha sido capaz de indicar que se duplica y altera la obra de Gödel sin argumento alguno. Ciertamente, lo primero que salta a la vista es que la obra de Gödel ‘Über unentscheidbare Sätze’ (‘On undecidable sentences’) (lo que Köhles et allii han denominado arbitrariamente ‘Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystemen’) y el protocolo tienen pocas cosas en común. El supuesto artículo de 1931 se titula ‘Über unentscheidbare Sätze’ (‘On undecidable sentences’) y tiene una estrecha relación con el artículo más amplio publicado por dichas fechas con el título ‘Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I’ [Gödel 1986, 144-195]. Se ve perfectamente que nos encontramos ante un artículo sinóptico que recoge los planteamientos más importantes del trabajo editado. Es más, se podría afirmar que es un simple compendio del trabajo más amplio. Sin embargo, los temas discutidos en el protocolo nos inducen a pensar que se trataron argumentos muy diferentes y que no aparecen en el texto que lleva el título ‘Über unentscheidbare Sätze’ (‘On undecidable sentences’). El lector encontrará la edición crítica alemana y su traducción al castellano de este protocolo que aclara algunos planteamientos particulares en donde se encontraba la discusión metalógica en el Círculo de Viena. Se aprecia una postura crítica al respecto y ciertas lagunas de conocimiento concreto de los textos fundamentales. Al mismo tiempo, Gödel presenta algunas pistas de cómo ha llegado a sus resultados y cual ha sido el ‘recurso decisivo de su procedimiento’. El texto es un ejemplo más de ese ambiente vienés de trabajo en grupo que sigue siendo sorprendente para muchas instituciones académicas que adolecen del trabajo instituciona-lizado en grupo. A la izquierda se encuentra la página del protocolo en negrita del siguiente modo “1”. El final de la página se indica mediante las dos barras diagonales “//”. Cuando se corrija una palabra, ésta irá en corchetes “[...]”. El símbolo [/] hace referencia a un nuevo renglón que no se respeta con el fin de dar consistencia a la frase. Si se introduce en la traducción alguna parte para mejor comprensión se usarán los corchetes siguientes “<…>”. Se mantendrán subrayados los nombres de los autores como aparece en el protocolo original. Las palabras tachadas en el texto aparecen también tachadas en esta edicicón como por ejemplo “1930”. Se han introducido algunas consonantes que faltan en el texto y se han corregido los errores pertinentes indicándolo escuetamente en la nota al píe de página. Las notas al píe de página han sido introducidas por el editor para hacer más sencilla la lectura.

196 Jesús Padilla Gálvez

Mathesis

Archivos WKA Wiener Kreis Archiv. Haarlem (Holanda) RR Archivo de Rose Rand. Universidad de Pittsburgh (EE.UU.) Ediciones Friedrich Stadler, Studien zum Wiener Kreis. Ursprung, Entwicklung

und Wirkung des Logischen Empirismus im Kontext. Suhrkamp, Frankfurt a. M., 1997, pp. 278-280.

Friedrich Stadler, The Vienna Circle. Studies in the Origins, Development, and Influence of Logical Empiricism. Springer, Wien, New York, 2001, pp. 244-246.

Rose Rand, Wechselrede zum Referat Herrn Gödfels. Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystemen. En: Kurt Gödel. Wahrheit und Beweisbarkeit. Vol. 1. Dokumente und historische Analysen (Ed. E. Köhler, P. Weibel, M. Stölzner, B. Buldt, C. Klein, W. DePauli-Schimanovich-Göttig). Öbv & Hpt, Wien, 2002, pp. 133-134.


Sobre consistencia y completitud en el sistema axiomático.

Kurt Gödel

Protokolo del 15 de enero de 1931 Sobre Consistencias y decisión en el sistema axiomático

Discusión sobre la (ponencia del Sr. Gödel) 1 Protocolo1 del 15 de enero de 1930 19312 (¡Carnap <se

encuentra> del 13 al 20 de enero de 1931 en Zurich!)3

Sobre consistencia y decisión en el sistema axiomático. Discusión sobre (la ponencia del Sr. Gödel.)

Kaufmann pregunta, cómo se encuentra el debate sobre la decisión de las proposiciones de un sistema parcial. Gödel contesta que, en tanto se pueda demostrar, dicha prueba ha de requerir medios que no pueden formularse en el marco del sistema parcial. Esto está también de acuerdo con su procedimiento demostrativo. A partir de una cuestión <suscitada por> Hahn, llama [/] Gödel de nuevo a la memoria el pensamiento gestor de su prueba para la demostración de la imposibilidad de la consistencia. Se adjunta4 la consistencia de un sistema al sistema mismo –y dicha adjunción5 se puede llevar a cabo formalmente– entonces se

1. El protocolo se encuentra en el Wiener Kreis Archiv en Haarlem (Holanda) en la carpeta

con la signatura WK.3. El año ha fue insertado manualmente en el manuscrito. En el bajo se puede leer una indicación en la que aparece el siguiente texto: „von Rose Rand angefertigt. Véase: WKA, WK 3, pp. 1-3 así como RR, Nachlaß liegt bei James Alt. 3 Cedar Ct. Roosevelt NJ 08555“.

2. Ambos años “1930” y “1931” fueron escritos a mano. En el mismo renglón se encuen-tra tachado 1930. Por encima aparece el año 1931. Por tanto pensamos que la confe-rencia fue impartida en enero de 1931

3. Está escrito a mano. 4. ‘Adjungiert’ significa en alemán ‘fügt man hinzu’. 5. Estamos ante una definición sintáctica. La ‘adjunción’ es una regla que se usa para

construir determinados tipos de términos y enunciados.

198 Kurt Gödel

Mathesis

puede decidir en dicho sistema ampliado una proposición primitiva indecidible, consecuentemente, no se puede mostrar la consistencia de un sistema en el propio sistema. A la consulta <motivada por> Schlick, Gödel formula la conjetura del Sr. v. Neumann:6 Si existe una prueba de consistencia finita, entonces se puede formalizar también. Por tanto envuelve la demostración gödeliana la prueba de la imposibilidad de la consistencia en general. Hahn pregunta por la aplicación al sistema axiomático de Heyting.7

Gödel <contesta:> el sistema de Heyting es mas restringido que el de Russell [véase Whitehead y Russell 1910-1913].8 Si es ω-consistente9 entonces se pueden detallar en el sentencias indecidibles. Hahn indica que uno de los planteamientos rectores de la prueba <es decir el que> “no existe absolutamente una totalidad con sentido10 de lo construible” juega un papel decisivo desde que se desarrolló el procedimiento diagonal de Cantor [véase Cantor 1932] en la teoría de conjuntos. //

2 Gödel apunta que la aplicación precisamente de dicho planteamiento parece cuestionar también si la totalidad11 de todas las pruebas intuicionistas correctas encuentran un lugar en un sistema formal. Esta es la posición débil en la argumentación de von Neumann.

Kaufmann pregunta cómo se encuentra la consistencia de las sentencias que no tienen un par conceptual en común o por caso los axiomas de Peano [véase Peano 1889]: hay un primero y hay un último número.

Gödel replica que en la prueba de consistencia no atiende a los conceptos como tales. [/] No se trata en general de consistencia en el sentido del planteamiento informal [véase: Frege 1903].

6. Véase: J. v. Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie. Mathematische Zeitschrift, 26, pp. 1-46. 7. Compárese: A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsbe-

richte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse, II, S. 42-56; 57-71; 158-169.

8. Véase: A. N. Whitehead / B. Russell, Principia Mathematica. 3 vol. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1910-1913.

9. En el protocolo no se puede leer fácilmente por lo que en la versión propuesta por Stadler encontramos algo tan absurdo como “o-widerspruchsfrei” [Stadler 1997, 279] que no tiene sentido. Ya que la discusión está enlazada a la propuesta formulada por Gödel en sus trabajos del año 1930 somos de la opinión que se debe leer como “Sys-teme ω-widerspruchsfrei”, es decir como sistemas ω-consistente que es lo que propone-mos en el texto [véase: Gödel 1930b, 213; 1986, 142].

10. En el texto aparece una falta de ortografía y encontramos: „Gesammtheit“. 11. En el texto aparece: “Gesammtheit”.

Sobre consistencia y completitud ... 199

III 21 (2007)

A la objeción <formulada por> Kaufmanns de que la consistencia informal no se pueda excluir, puntualiza Gödel: [/] que no se trata de un tal ‘examen’ de pruebas en el sentido de una teoría formal.

Neumann consulta si existen sistemas tan sencillos que se puedan mostrar de modo transparente la forma específica de las sentencias indecidibles.

Gödel responde que depende del sistema en el que se represente. Recuerda el recurso decisivo de su procedimiento. La representación isomorfa de las figuras deductivas en las que se derivan f2 de las sucesiones numéricas de f1 que ante todo permite la formulación interna de la prueba. Especifica entonces, por ejemplo, una figura deductiva S(f2), la “longitud” de la hilera pertinente l(f2),12 entonces la demostración de f1 se formula como sigue:

Dem. f1 ≡ (∃f2) S (f2) & f2 [ l (f2)] = f1 De este modo, se puede dar por satisfecho el símbolo S o

descomponerlo aún más. // 3 Hahn llama la atención sobre el libro de Lusin [1930] “Sobre los

conjuntos analíticos” [.] Lusin distingue en las pruebas de la existencia para los conjuntos de Borel13 escrupulosamente las clases superiores si el procedimiento diagonal se suprime o no.

Inmediatamente después pregunta Hahn: [/] si se puede excluir del procedimiento gödeliano de demostración el procedimiento diagonal.

Gödel constata que la fórmula indecidible que ha sido por él propuesta se puede construir realmente. Su contenido es finito como la conjetura de Goldbach14 o el <teorema> de Fermat.15

Sobre una observación de Kaufmann opina finalmente Gödel: [/] que el intuicionismo postulado por Brouwer [1925] no se altera por su trabajo debido a que precisamente no quiere estar contenido en ningún sistema formal.

12. K. Gödel denomina S(f2) una figura deductiva, l(f2) la longitud de la hilera pertinente y

denota la demostración de f1 mediante una fórmula sencilla, a saber: Bew. f1(f2) S (f2) & f2 [ l (f2)] = f1.

13. Un conjunto boreliano se denomina a un elemento del álgebra de Borel. El álgebra de Borel se llama a la σ-álgebra X generada por todos los subconjuntos compactos de un grupo topológico localmente compacto.

14. El texto hace referencia a la conjetura de Goldbach en la que se afirma que cualquier número par más grande que dos es el resultado de la suma de dos números primos. (La conjetura es denominada a Christian Goldbach, 1690-1764).

15. El teorema de Fermata afirma que si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z (excepto las soluciones triviales, como x = 0 o y = 0 o z = 0) tales que cumplan la igualdad:

xn + yn = zn

El teorema de Fermat pertenece a aquellos enunciados en el que se determina un procedimiento de invalidez pero no un concepto de demostración.

200 Kurt Gödel

Mathesis

Protokoll am 15. I. 1931 Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in

Axiomensystem. Wechselrede z. (Referat Herrn Gödels.)

1 Protokoll16 am 15. I. 1930 193117 (Carnap 13.-20. I. 1931 in

Zürich!)18

Über Widerspruchsfreiheit und Entscheidbarkeit in Axiomensystem. Wechselrede z. (Referat Herrn Gödels.)

Kaufmann fragt, wie es mit der Entscheidbarkeit der Sätze eines Teilsystems steht. Gödel erwidert, daß soweit sie sich beweisen läßt, dieser Beweis Mittel in Anspruch nehmen muß, die sich innerhalb des Teilsystemes selbst nicht formalisieren lassen. Das sei auch in Übereinstimmung mit einen Beweisführungen. Auf eine Frage von Hahn ruft Gödel noch einmal den Leitgedanken seines Beweises für die Unmöglichkeit des Widerspruchsfreiheitbeweises in Erinnerung. Adjungiert19 man die Widerspruchsfreiheit eines Systems dem System selbst - und diese Adjunktion20 läßt sich formal durchführen - dann wird in diesem erweiterten System ein im Ursprünglichen unentscheidbarer Satz entscheidbar, folglich kann die Widerspruchsfreiheit eines Systems im System selbst nicht gezeigt werden. Auf eine Frage Schlicks formuliert Gödel die Vermutung Herrn v. Neumanns21: Wenn es einen finiten Widerspruchsbeweis überhaupt gibt, dann läßt er sich auch formalisieren. Also in[v]olviert der Gödelsche Beweis die Unmöglichkeit eines Widerspruchsbeweises überhaupt.

16. Das Protokoll befindet sich im Wiener Kreis Archiv Haarlem (Holland) unter WK.3. Das

Jahr ist im Manuskript handgeschrieben. Unten kann man einen Verweis finden in dem steht: “von Rose Rand angefertigt. Nachlaß liegt bei James Alt. 3 Cedar Ct. Roosevelt NJ 08555”.

17. Beide Jahre “1930” und “1931” werden mit der Hand geschrieben. Auf derselbe Ebene steht 1930 und durchgestriechen. Oberhalb führt man das Jahr 1931.

18. Mit der Hand hinzugefügt. 19. “Adjungiert” steht für “fügt man hinzu”. 20. Hier stehen wir vor einer syntaktischen Definition. Die Adjunktion ist eine Regel zum

Aufbau bestimmter Arten von Termini und Aussagen. 21. Siehe: J. v. Neumann, Zur Hilbertschen Beweistheorie. Mathematische Zeitschrift, 26, S.

1-46.


III 21 (2007)

Hahn fragt nach der Anwendung auf das Axiomensystem von Heyting.22

Gödel [antwortet:] Das System Heyting ist enger als das von Russell [Whitehead y Russell 1910-1913]. Ist es ω-widerspruchsfrei23 dann lassen sich in ihm unentscheidbare Sätze angeben. Hahn verweist darauf, daß einer den Grundgedanken des Beweises "Es gibt keine sinnvolle Gesamtheit24 des Konstruier-baren schlechthin" seitdem Cantorschen Diagonalver-fahren25 in der Mengenlehre eine entscheidende Rolle spielt. //

2 Gödel bemerkt, daß die Anwendung eben dieses Gedankens auch fraglich erscheinen läßt, ob die Gesamtheit26 aller intuitionistisch einwandfreie Beweise in einem formalen System Platz findet. Das sei die schwache Stelle in der Neumannschen Argumen-tation.

Kaufmann fragt wie es etwa um die Widersprusfreiheit von Sätzen steht, die kein Begriffspaar gemeinsam haben oder etwa um die Peano-Axiomen:27 Es gibt eine erste, es gibt eine letzte Zahl.

Gödel entgegnet, daß es bei einem Widerspruchsfreiheitbeweis auf die Begriffe als solche nicht ankomme. Es handelt sich hier überhaupt nicht um Widerspruchsfreiheit im Sinne inhaltlichen Denkens.28

Auf den Einwurf Kaufmanns, daß inhaltliche Widerspruchs-freiheitbeweise nicht ausgeschlossen seien, stellt Gödel klar:

daß es sich bei einem solchen "Einsichten" überhaupt nicht um Beweise im Sinne einer formalistischen Theorie Handelt.

22. Hierzu: A. Heyting, Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik, Sitzungsberichte

der Preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalisch-Mathematische Klasse, II, S. 42-56; S. 57-71 und S. 158-169.

23. Im Protokoll kann es sehr schwer gelesen werden. F. Stadler entscheidet sich für “o-widerspruchsfrei” (Stadler 1997, 279), aber dies ergibt keinen Sinn. Da die Diskus-sion an Gödel 1930 anknüpft und dort von “Systeme ω-widerspruchsfrei” handelt, so muss dies so gelesen werden. (Gödel 1930b, 213; 1986, 142).

24. Im Text steht “Gesammtheit”. 25. Siehe: Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. In:

Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts. (Hrg. Ernst Zermelo). Berlin, Julius Springer, 1932, S. 282-356.

26. Im Text steht: “Gesammtheit”. 27. Siehe: J. Peano, Arithmetices principia, nova methodo exposita. Turin, Edit. Fratres

Bocca, 1889. 28. Siehe hierzu: G. Frege, Die Grundgesetze der Arithmetik. Bd. 2. Jena, 1903.

202 Kurt Gödel

Mathesis

Neumann fragt an, ob es so einfache Systeme gibt, daß sich die konkrete Form des unentscheidbaren Satzes in durchsichtiger Weise angeben lässt.

Gödel erwidert, daß es dabei auf das System ankommt in dem man ihn darstellt. Er erinnert an den entscheidenden Kunstgriff seines Verfahrens. Die isomorphe Abbildung der Schlußfiguren auf Folgen f2 von Zahlenfolgen f1[,] der es überhaupt erst ermöglicht, die Beweisbarkeit intern zu formulieren. Bezeichnet dann z.B. S(f2) eine Schlußfigur, l(f2) die "Länge" der zugehörigen Kette,29 dann schreibt sich die Beweisbarkeit von f1

Bew. f1 ≡ (∃f2) S (f2) & f2 [ l (f2)] = f1 Damit kann man sich nun begnügen oder das Symbol S weiter

auflösen. // 3 Hahn macht auf das Buch Lusin aufmerksam "Sur les ensembles

analytiques"30[.] Lusin unterscheidet bei den Existenzbeweisen für die Borelschen Mengen31 höherer Klassen sorgfältig, ob das Diagonalverfahren eingeht oder nicht.

Anschließend fragt Hahn: ob sich auch aus der Gödelschen Beweisführung das

Diagonalverfahren ausschließen lasse. Gödel stellt dem gegenüber fest, daß die von ihm angegebene unentscheidbare

29. K. Gödel bezeichnet dann S(f2) eine Schlußfigur l(f2) die Länge der zugehörigen Kette,

und schreibt die Beweisbarkeit von f1 mittels einer einfachen Formel: Bew. f1 ≡ (∃f2) S (f2) & f2 [ l (f2)] = f1.

30. Siehe: N. N. Lusin, Leçons sur les ensembles analytiques et leurs applications. Gauthier-Villars, Paris, 1930.

31. Die Borelsche Algebra ist ein Begriff aus der Mathematik, der einen Übergang zwischen den Zweigen Topologie und Maßtheorie bildet. Jeder Topologie lässt sich in eindeutiger Weise eine Boresche-Algebra zuordnen, die man die zugehörige borel-sche σ-Algebra nennt. Für einen gegebenen topologischen Raum Ω ist die borelsche σ-Algebra definiert als die kleinste σ-Algebra, die die offenen Mengen von Ω enthält. Die Elemente dieser σ-Algebra heißen Borelmengen. Eine σ-Algebra auf einer Grundmenge Ω ist eine Menge von Teilmengen, die die Grundmenge enthält und die bezüglich Komplementbildung und abzählbarer Vereinigung abgeschlossen ist. Eine Grundmenge zusammen mit einer auf ihr erklärten σ-Algebra heißt auch Messraum. Dass genau eine solche kleinste σ-Algebra existiert, wird im Absatz über den σ-Operator gezeigt. Eine borelsche σ-Algebra ermöglicht es somit, einen topologischen Raum in kanonischer Weise mit der zusätzlichen Struktur eines Messraums auszustatten. Im Hinblick auf diese Struktur heißt der Raum dann auch Borel-Raum. Es sei G die Menge aller links-halboffenen Intervalle in also Intervalle der Form (a, b) mit a, b ∈ und a ≤ b. Dann heißt die von G erzeugte σ-Algebra B die Borel-σ –Algebra und die Elemente von B heißen Borelmengen. Die Borelmengen sind der Er-eignisraum, falls der Merkmalraum ist.


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Formel wirklich konstruierbar ist. Ihr Inhalt ist finit wie der des Goldbachschen32 oder Fermatschen Satzes.33

Auf eine Bemerkung Kaufmanns meint Gödel schliesslich: dass der Intuitionismus nach der Auffassung Brouwers34 durch

seine Arbeit darum nicht berührt werde, weil er eben im keinem formalen System enthalten sein will.

Referencias Brouwer, L. E. J. 1925. “Zur Begründung der intuitionistischen

Mathematik”. Mathematische Annalen. 93, S. 244-257. Cantor, Georg. 1932. “Beiträge zur Begründung der transfiniten

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32. Der Text bezieht sich auf die Goldbachsche Vermutung (nach Christian Goldbach, 1690-

1764) die besagt, daß sich jede gerade Zahl außer 2 als Summe von zwei Primzahlen darstellen läßt.

33. Das Fermatschen Satzes behauptet, daß die diophantische Gleichung, xn + yn = zn

für n≥3 keine nichttriviale Lösung besitzt. Fermat notiert auf dem Rand seine diophant-ausgabe, daß er dies beweisen könne, einen solchen Beweis hat er aber nie publiziert. Der Fermatsche Satz wird von jedem Mathematiker als sinnvoll anerkannt. Es gehört zu jenem Typ von Aussagen, zu denen ein Widerlegungsbegriff festgelegt ist, aber kein Beweisbegriff. Ein Beweis kann durch Angabe einer Ableitung geführt werden. Somit ist eine Beweis durch schematische Ausführungen von Operationen mit Figuren entscheidbar, ob etwas eine Ableitung ist oder nicht. Auch die Negation (wir nennen sie (N)): (N) “x ist unableitbar in Kalkül”, kann als definit angesehen werden. In der Negation (N) ist zwar kein Beweisbegriff festgelegt, es ist aber festgelegt, wie die Aussage zu widerlegen ist. Die Widerlegung vollzieht man durch einen Beweis der Ableitbarkeit von x. Somit ist ein Widerlegungsbegriff festgelegt.

34. Siehe: L. E. J. Brouwer, Zur Begründung der intuitionistischen Mathematik, Mathema-tische Annalen, 1925, 93, S. 244-257.

204 Kurt Gödel

Mathesis

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Dos acotaciones alternativas para la reconstrucción de la ciencia.

Walter Beller

Mauricio Beuchot. 2006. Lógica y metafísica en la Nueva España. México: UNAM.. (Instituto de Investigaciones Filosóficas. Cuadernos No. 65).

Los diversos desarrollos de la lógica en la Nueva España, así como las diferentes concepciones metafísicas que se divulgaron en el país duran-te la época colonial, son temas que pueden resultar interesantes para quienes se especializan en la historia de la ciencia y la filosofía en México, aunque también podrán ser asuntos atractivos para quienes se sienten cautivados por los desarrollos de la lógica a lo largo de la histo-ria, incluidas las aportaciones generadas en hispanoamérica. Sin duda alguna, Mauricio Beuchot es una autoridad desde hace treinta años en ambas materias. Es un filósofo mexicano al que todos le reconocemos (y envidamos) su prolífica producción. Además de sus decisivas contri-buciones a la hermenéutica analógica, ha publicado numerosos libros y ensayos sobre la filosofía, la enseñanza, el tipo de análisis lógico y la semiología que se difundieron desde México y hacia el mundo desde la Real y Pontificia Universidad. Incluso él mismo ha traducido libros y textos filosóficos escritos durante la Colonia. Con todo ello, puede ofrecer una interpretación documentada y fundamentada sobre la lógica y la ontología en la Nueva España. Proponer una visión diferente a la de Mauricio Beuchot –como lo intentamos hacer en este escrito— no deja de ser una audacia, pero creo que hay razones que deben atenderse cuando se hacen reconstrucciones sobre la historia de la lógica y sobre los problemas epistemológicos y metodológicos previos a la revolución científica.

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1. La lógica escolástica y la lógica novohispana El libro recopila y analiza los puntos neurálgicos más importantes que Mauricio Beuchot ha encontrado en obras de pensadores de la época colonial que profundizaron en temas de lógica y ontología. En su mayo-ría, se trata de textos destinados primordialmente a la enseñanza. Pero más allá de su intensión pedagógica, están sus posibles hallazgos cientí-ficos y filosóficos, los cuales son el centro de interés de Beuchot. El período que comprende este estudio abarca desde 1520 hasta 1820 (es decir, se inicia con la Colonia y culmina un año antes del triunfo del ejercito trigarante). El trabajo abre con la presentación de una panorá-mica de problemas y temas lógicos que hasta cierto punto siguen vigen-tes. En una primera parte (capítulos I a IX), expone temas como la relación de consecuencia lógica, la semántica, la metalógica y la semio-logía general, según la visión de los novohispanos. En la segunda parte (capítulos X a XIII), examina temas peculiares de la metafísica, como lo son la definición y distinción del ser y del ente, la caracterización del principio de individuación, junto con otros asuntos de metafísica que resultan polémicos, ayer como hoy, según lo admite el propio autor.

Para Beuchot, la lógica escolática fue la ‘única’ lógica durante el período que engloba su estudio. La lógica escolástica comprende temas de la tradición aristotélica y la megárico-estoica, pero sobre todo incor-pora asuntos novedosos en la época como la teoría de las ‘propiedades de los términos’, el espinoso problema de los universales. Asimismo, la lógica escolástica enriqueció la ciencia deductiva con cuestiones técni-cas, como es el manejo de conceptos metalógicos, la cuantificación del predicado, la teoría de las relaciones y la teoría de la suposición. Igual-mente, la lógica escolástica desplegó un conjunto de conceptos en torno al uso comunicacional del lenguaje cuando se le emplea en argumenta-ciones.

Esa lógica se mantiene, según Beuchot, como una ‘doctrina unita-ria’, aunque con sucesivas aportaciones en sus diferentes áreas. Esta es la tesis que defendió uno de los precursores del estudio de la lógica medieval: El padre Bochenski [1968, Tercera Parte] y que Mauricio Beuchot ha insistido al ocuparse de la lógica en esta parte del mundo. De modo que, a pesar de las diferencias filosóficas entre tradicionalis-tas, humanistas y modernos (que son las tres orientaciones que aparecen en la escena docente del México Colonial, a lo largo de los tres siglos que abarca el libro), la lógica se conserva invariante en cuanto a su concepción. La idea de fondo es que los procesos inferenciales deducti-vos son totalmente independientes de la concepción filosófica de cada lógico. Por eso los desarrollos novohispanos se habrán de recoger hasta

Dos acotaciones alternativas 207

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la actualidad, aunque con sustanciales aportaciones tales como el mane-jo formalizado de la sintaxis y la semántica.

La Nueva España fue conociendo sucesivamente las novedades re-feridas a la lógica escolástica. Novedades tan actualizadas como los mismos cambios observados en el Viejo Continente. Novedades que, según Mauricio Beuchot, continuaron hasta que se toparon con el límite de los nuevos métodos, ya no deductivos sino inductivos, requeridos por el pensamiento moderno en su vertiente experimental.

2. Los autores, los temas Beuchot va presentando los temas de las aportaciones novohispanas a la lógica escolástica a través del prisma de los lógicos que él seleccionó (de los cuales incluye referencias biobliográficas). Así nos vamos ente-rando que Fray Alonso de la Vera Cruz (1507-1584) no sólo fue uno de los primeros catedráticos en la entonces recién fundada Real y Pontifi-cia Universidad, sino que publicó el primer curso filosófico del Nuevo Mundo. De su trabajo lógico, Beuchot diferencia dos grandes partes: una parte ‘analítica’, dedicada a la axiomatización del silogismo me-diante el despliegue de un sistema lógico que procede por axiomas (que son los cuatro primeros modos de la primera figura) y por reglas de inferencia (análogas a nuestras reglas de deducción natural). La otra parte de la obra de Vera Cruz, la dialéctica o ‘tópica’, estaba destinada a examinar las estrategias de lo que hoy llamamos ‘lógica informal’, aquella que se emplea para argumentar y rebatir (una cuestión altamen-te apreciada en el mundo académico de aquella época), incluyendo reglas para el correcto uso del lenguaje en una argumentación, donde lo que cuenta es el diálogo, la aportación de pruebas y todo un conjunto de habilidades retóricas.

Luego aparece el estudio riguroso de las cuestiones semánticas. Beuchot destaca en este aspecto el trabajo de Tomás Mercado (aprox. de 1523 a 1575) quien incluso llega a ofrecer una definición de signo como “aquello que representa algo para alguien” [p. 57]. Sin duda la misma definición que varios siglos después dará Peirce. Al respecto, Beuchot [p. 61] dice:

Para elaborar su reflexión sobre el signo, Peirce retomó la tradición es-colástica, pues coincidía con su idea central: trabajar la lógica como semiótica. Ésta es la idea que se tenía en la escuela salmantina, y en ella se sitúa Tomás Mercado, el cual enseñó esas teorías en México, donde en la segunda parte del siglo XVI había una enseñanza de la filosofía de lo mejor del mundo.

Lógica y metafísica en la Nueva España contiene un análisis somero de la célebre Lógica mexicana, la obra de Antonio Rubio (1548-1615) que

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se publicó en 1606 y que fue en su tiempo un éxito de librería (se publi-caron más de cincuenta ediciones). Una obra que formó a muchas gene-raciones de filósofos, entre ellos nada menos que a Descartes y Leibniz. Mauricio Beuchot ya se ha ocupado de esta obra en otras ocasiones y con diferente profundidad [véase: Beuchot y Redmond 1985]. En el libro que nos ocupa, destaca las aportaciones de Rubio en cuanto a la lógica de relaciones, de primer y segundo orden, así como otros temas tales como la cuantificación del predicado y la teoría de las suposicio-nes. Se trata de un trabajo lógico de gran importancia (que puede ser perfectamente reinterpretado en los términos del lenguaje formal, tal como lo ha expuesto Walter Redmond en su Lógica del siglo de oro).

Finalmente, el apartado dedicado a la lógica concluye con una ‘obra de transición’, de transición entre el mundo medieval y el mundo de la modernidad. Se trata de la lógica de José Ignacio Fernández del Rincón, cuyas Lecciones de filosofía tradujo del latín el propio Beuchot. De esta obra se destaca el interés por temas de filosofía del conocimiento y la apertura hacia cuestiones sobre la subjetividad y la conciencia. No es una obra moderna, pero tampoco es ya un texto propiamente escolásti-co.

3. La metafísica no es incontrovertible En una segunda parte del libro, Mauricio Beuchot se ocupa de la expo-sición de temas de la metafísica. Escribe: “Desde la antigüedad, la me-tafísica ha sido considerada como la ciencia filosófica más perfecta, necesaria y universal. Negada y rechazada en incontables ocasiones a lo largo de la historia, vuelve y resurge como ave fénix de lo que se creía eran sus cenizas a punto de apagarse y desaparecer […]. En la actuali-dad ha encontrado nuevas formas de negación y crítica, pero le sirven para renovarse y mejorar” [p. 117].

Esa declaración supone que la metafísica es, a diferencia de la lógi-ca, un terreno escabroso, un ámbito esencialmente polémico. Como el propio Beuchot hace ver en su libro, tampoco los autores novohispanos lograron mantenerse al margen de las polémicas en torno a temas sobre los cuales no hay acuerdos (por ejemplo, entre nominalistas y realistas). Las escuelas filosóficas, en Europa como en América, se mostraron profundamente enfrentadas entre sí. Beuchot destaca que durante el siglo XVI, no hubo trabajos novohispanos consagrados a la metafísica. Sólo en los dos siglos siguientes se hallan en México temas propios de esta disciplina filosófica, pero siempre, como lo advierte Beuchot, bajo la confrontación de visiones irreductibles entre tomistas, escotistas y suarecianos.


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Se examina la obra metafísica de Francisco Naranjo, un “dominico criollo” que disertaba sobre la Suma Teológica de Santo Tomás y al mismo tiempo incorporaba temas epistemológicos sobre el contenido de verdad de la teología. Explora Beuchot la identidad y la distinción de los entes a través de las exposiciones de Martín de Alcázar, jesuita nacido en España y que enseñó en México durante la segunda mitad del siglo XVII. Por último, se da noticia de las elucubraciones, bajo el influjo de la modernidad, de Juan José de Eguiara y Eguren, quien llegó a ser rector de la Universidad en 1749; además de los trabajos de An-drés de Guevara y Basoazábal, quien defendía la tesis de que el princi-pio de ‘contradicción’ ‘es el primer principio de los conocimientos humanos’, considerando que se trata de un principio anterior al princi-pio cartesiano de la duda. Hay que hacer notar que los temas de este último autor ya están en el terreno de la modernidad, por ejemplo, re-afirma la distinción entre cualidades primarias y secundarias, lo que sin duda significó un avance muy importante para pensar las cualidades competencia de la ciencia como cualidades mensurables, es decir, ma-tematizables.

4. Primera tesis, primera antítesis Más allá de los autores y temas particulares que con rigor analiza Mau-ricio Beuchot, hay una tesis general que creo que se puede afirmar y defender en otro sentido a como lo hace el autor de Lógica y metafísica en la Nueva España. Como se señaló, Beuchot asienta que la lógica (escolástica) es única e independiente de la posición filosófica particu-lar de cada lógico. Es la tesis de la autonomía de la lógica que explica-ría, entre otras cosas, cómo fue que autores como Frege o Russell pu-dieron continuar los trabajos de la lógica escolástica, sin conocerla o incluso ignorándola.

Beuchot sostiene que los escolásticos tradicionalistas, los humanis-tas y los modernizantes se ocuparon sucesivamente de temas de lógica y semántica que quedaron en suspenso a finales del siglo XVIII y sólo serán retomados a finales del siglo XIX, particularmente con Boole y luego con Frege, Peirce y Russell, con independencia de cualquier toma de posición en el terreno de la metafísica.

Esa tesis es discutible. Creo que se puede sustentar la tesis opuesta en dos facetas: 1) ‘no hay una’ lógica sino muchas ‘lógicas’; y 2) la opción lógica que se asuma estará impregnada de presupuestos filosófi-cos (luego, no es independiente de la filosofía de cada lógico). Justa-mente, la historia de la lógica confirma la existencia de numerosos sistemas alternativos, cada uno de los cuales es sustentable mediante

210 Walter Beller

Mathesis

argumentos sólidos. Sin embargo, no hay manera de asegurar que un sistema determinado sea irrefragablemente verdadero, auténtico, en tanto que los otros resultarían indiscutiblemente equivocados, o incluso falsos. Por ejemplo, un sistema de lógica bivalente está basado en un principio ontológico de maximalidad, según el cual no existe en absolu-to nada intermedio; todo es absolutamente blanco o absolutamente negro, uno y cero. En cambio, un sistema de lógica trivalente considera que hay indeterminación real, que objetivamente hay indeterminaciones y, por consiguiente, no caben argumentos fatalistas (de la forma ‘todo lo que sucede era necesario que hubiera ocurrido’). Asimismo, un sis-tema de lógica multivalente admite la existencia de situaciones inter-medias, las cuales a su vez son hasta cierto punto reales y hasta cierto punto irreales.1

Este planteamiento, que comparto con muchos otros [véase: Res-cher y Brandom 1979], incluye que el hecho de hay lógicas que asumen la consistencia (o falta de contradicción), en tanto que otras lógicas asumen cierto tipo de inconsistencias, determinada la clase de contra-dicciones, como es el caso de las lógicas paraconsistentes. (Las lógicas ‘paraconsistentes’ estudian sistemas lógicos apropiados para la cons-trucción de teorías formales inconsistentes pero no triviales. Permiten razonar desde premisas contradictorias, sin que se pueda deducir de ellas cualquier afirmación [Mosterín y Torretti 2002]. Es decir, en una lógica paraconsistente ‘no todo’ se puede inferir.)

Desde luego, uno de los temas fundamentales en esta discusión es la existencia de ‘paradojas’. Buena parte de los esfuerzos de la lógica clásica han tenido como objetivo eliminar y difuminar las paradojas, las antinomias y las contradicciones que, sin embargo, persisten en las ciencias, en el lenguaje y en la vida ordinaria.

En ese sentido, habría que decir que la lógica escolástica se conecta con la lógica clásica porque comparte los mismos presupuestos en cuanto al lenguaje y el alcance de los conectivos y las constantes lógi-cas, y nada de esto es ajeno a una interpretación previa. No obstante, los sistemas alternativos no deben ser pensados como ‘desviaciones’ de una y la misma lógica (p.e., la lógica clásica). La historia de la ciencia es el terreno privilegiado para comprobar que los sistemas alternativos en lógica corresponden a presupuestos ontológicos divergentes (a otros presuntos metafísicos). O sea que también en lógica hay oposiciones y

1. Estos puntos de vista son expuestos más extensamente por Lorenzo Peña [1991, Intro-

ducción].


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tomas de posición, que uno debería reconocer, a menos que se quiera tapar el sol con el dedo de la unicidad de la lógica.

5. El discurso de la modernidad y la ‘nueva’ lógica Ahora bien, termina Beuchot su revisión de la historia de la lógica esco-lástica en el mundo novohispano en el momento mismo de la emergen-cia de la modernidad en México. ¿Por qué cerrar el ciclo del análisis de la lógica cuando los vientos de la modernidad se van apoderando de las mentes más adelantadas de la época? Aunque Beuchot sólo lo menciona al pasar, la expulsión de los jesuitas fue un duro golpe para los impul-sos innovadores. Además, la Real y Pontificia Universidad terminará clausurada; por consiguiente, las labores de investigación se fueron perdiendo en las procelosas aguas de una sociedad cada vez más dividi-da por guerras intestinas; por consiguiente, la ciencia se desvanecía en una sociedad sin condiciones para la reflexión filosófica.

De hecho, para el autor de Lógica y metafísica en la Nueva España el abandono de la lógica fue sobre todo una cuestión de método y debi-da a los límites de la deducción frente a la inducción. Si la lógica esco-lástica de los novohispanos había sido uno de los intentos más acabados de abstraer de la lengua (el latín) las leyes y reglas de las funciones semánticas y sintácticas, el pensamiento de la modernidad podrá en su lugar el papel de la experiencia y el correlativo método inductivo.

Según una versión generalizada de la historia de los métodos de la ciencia, se sostiene que la inducción –como forma de inferencia carac-terística del método experimental— trajo aparejado el descubrimiento de los límites de la deducción. Mientras que la deducción representa el conocimiento que va de lo general a lo particular y se mantiene bajo términos de validez universal, el razonamiento inductivo procede de lo particular a lo general e introduce la incertidumbre y la probabilidad. Así, mientras que la inferencia deductiva sólo tiene dos posibilidades, que son la total certeza, la completa falsedad o la imposibilidad defini-tiva, la inferencia inductiva ofrece todos los grados de la ‘probabilidad’. Este último camino es característico del conocimiento con base en la experiencia. Este último camino estaba fuera de las consideraciones de los pensadores novohispanos ocupados en el lenguaje y el razonamiento deductivo.

Beuchot plantea que la ciencia moderna no podía avanzar con esos desarrollos deductivos. Se necesitaba un cambio de método e introdu-cir las inferencias inductivas para así desplegar el método experimental, emblemático de la ciencia moderna. O sea, por una parte, la lógica de los autores novohispanos resulta ser una anticipación de problemas que

212 Walter Beller

Mathesis

tendrán una solución formalizada y completa con la lógica matemática; pero, por otra parte, la lógica de los autores novohispanos se mantuvo en el terreno de la deducción y cuando la modernidad los alcanzó, se requería entonces de otras formas de razonamiento, en particular de la inducción, supuestamente más apropiado para el descubrimiento racio-nal con base empírica.

Mucho se ha dicho sobre la tesis que afirma que el método experi-mental es la condición suficiente para el abandono de la deducción como procedimiento central del método de prueba de verdades. Algu-nos estudios epistemológicos refutan esa tesis [véase: Piaget y García 1987].

Tomemos por ejemplo el caso de Nicolás Copérnico, quien dio pau-ta a la expresión ‘revolución copernicana’ y quien construyó en 1543 una nueva forma de discursividad científica basada en la representación geométrica del espacio, pasando del geocentrismo (el mundo medieval de por medio) al heliocentrismo (el mundo de la modernidad de por medio). Pero más que una revolución –que sin duda lo es— en el terre-no de la astronomía, es una revolución en el terreno del conocimiento. Desde entonces se produce un descentramiento del sujeto frente al objeto de conocimiento –como lo habría de exponer Kant—, de modo que el primero puede elaborar libremente hipótesis susceptibles de comprobarse o no en el segundo. La revolución copernicana es tanto una revolución en astronomía como en el método de adquisición de los conocimientos [véase: Nicolle 1994, capítulo IV].

La inducción no es el método que desbanca la deducción y la lógica escolástica. Lo que hace inoperante a la mera deducción es que los procedimientos lógicos escolásticos, continentales o novohispanos, estaban centrados en una concepción sustancialista del mundo y habían dejado de lado el manejo propiamente matemático de la concepción científica que busca, precisamente, ‘matematizar’ a la naturaleza, según lo propugnó Galileo. Por ejemplo, el concepto de ‘función’ es clave para cualquier razonamiento aritmético elemental, y tal concepto no aparece en la concepción y lógica escolásticas.

Vuelvo al punto: así como ‘los observables están cargados de teoría’ (N. R. Hanson), los métodos de cualquier tipo, sean deductivos y axio-máticos, o inductivos y experimentales, nunca son ajenos a una inter-pretación de la realidad que incorpora unos métodos frente a otros de acuerdo con una lectura epistemológica. La incorporación del método experimental implicó el despliegue de un discurso sobre las extensiones de la observación humana a través de instrumentos de observación y medida, junto con la aplicación de la matemática a los fenómenos físi-


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cos, lo cual fue lo más importante. La sustitución de la mentalidad medieval resultó una consecuencia del proceso de matematización de la naturaleza, y no sólo el señalamiento de que se trata de una nueva for-ma de inferencia que parte de hechos particulares conocidos para gene-ralizarlos mediante leyes.

La cuestión no es de método, sino de una reinterpretación de la ex-periencia misma. Ninguno de los autores novohispanos que menciona Mauricio Beuchot pone en tela de juicio la concepción de causalidad de cuño aristotélico. Por ejemplo, el presupuesto de la existencia de luga-res naturales, que dan una visión estática del universo, no es puesta en tela de juicio por los pensadores novohispanos, como si lo hará en defi-nitiva Galileo.

En este punto creo que no tengo mayores diferencias con el autor de Lógica y metafísica en la Nueva España, pues el propio Beuchot escri-bió: “Sabemos que esta teoría de la ciencia [escolástica] fue desbancada por la de la ciencia moderna, que prefería el método hipotético-deductivo. La atención a la experiencia más que a la especulación, y el talante cuantitativo, más que al cualitativo, por la utilización de las matemáticas, fueron cosas que determinaron la paulatina relegación del modelo anterior y su sustitución por el nuevo, que mostraba mayor rendimiento y veracidad”. [p. 40] Mi diferencia es el cuanto a qué ele-mentos tomar en cuenta para dar ese salto histórico. Para mí lo impor-tante es la reconceptualización de la realidad cognoscible, lo cual fue producto del abandono de la visión aristotélica de la naturaleza y la sociedad que se tuvo durante el periodo medieval.

Me parece que Mauricio Beuchot ha hecho una labor muy importan-te en bien de la investigación sobre la ciencia en México, particular-mente de una época sobre la cual no se cuentan con facilidad y accesi-bilidad todos los elementos bibliográficos y documentales. Pero bien podría revisar la tesis de la unicidad de la lógica, autónoma respecto de las posturas metafísicas, y meditar la cuestión de qué elementos consi-derar para un cambio de paradigma en la ciencia. Referencias Bochenski, I.M. 1968. Historia de la Lógica Formal. Madrid: Gredos. Beuchot, M. y Redmond, Walter. 1985.La lógica mexicana en el siglo

de oro. México: UNAM, Instituto de Investigaciones Filosóficas. Lorenzo, Peña. 1991. Rudimentos de lógica matemática, Madrid: Con-

sejo Superior de Investigaciones Científicas.

214 Walter Beller

Mathesis

Rescher, Nicholas y Brandom, Robert. 1979. The Logic of Inconsis-tency. A Study in Non-Standard Possible-World Semantics and On-tology. New Jersey: American Philosophical Quartery.

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Nicolle, Jean-Marie. 1994. Histoire des methodes scientifiques. Du Theo-reme de Thales a la fecondation in Vitro. París: Breal.


Filosofía y matemáticas

Sandra Lazzer

Alejandro Tomasini Bassols. 2006. Filosofía y Matemáticas: Ensayos en torno a Wittgenstein. México: Plaza y Valdés Editores.

Ludwig Wittgenstein es, sin duda, uno de los filósofos más importantes no sólo del siglo XX, sino de todos los tiempos. Aunque su filosofía, en opinión del propio autor concierne principalmente a cuestiones relacio-nadas con la fundamentación de las matemáticas,1 la asimilación de sus ideas sobre estos temas no fue un proceso que se desarrollara de manera simple. Cuando, en 1956, se publicaron las Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas, cinco años después de la muerte de Wittgenstein, la recepción de este texto por parte de los ‘especialistas’, como G. Kreisel, fue en general negativa. Esta mala acogida inicial de alguna manera hizo que las importantes contribuciones de Wittgenstein en filosofía de las matemáticas, en contraste con los que ocurrió con otras áreas de la filosofía, no fueran al principio debidamente valoradas. Sin embargo, esta situación se fue poco a poco modificando. Trabajos de wittgensteinianos de las nuevas generaciones han llamado la aten-ción tanto sobre el valor intrínseco de las aportaciones de Wittgenstein en el ámbito de la filosofía de las matemáticas como de la ligereza con la que algunos intérpretes clásicos las han desestimado. El propósito general de estas nuevas investigaciones en torno al pensamiento matemá-tico de Wittgenstein consiste, a grandes rasgos, en ofrecer estrategias de interpretación que nos permitan leer los textos wittgensteinianos acerca la naturaleza de las matemáticas y la exigencia de fundamentos en un contex-to que respete y considere tanto las intenciones filosóficas como las 1. Véase [Nedo 1993, 57] donde se recoge la siguiente descripción del propio Wittgen-

stein concerniente a su filosofía: “El se ha preocupado principalmente por cuestiones en torno a los fundamentos de las matemáticas”.

216 Sandra Lazzer

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orientaciones metodológicas del autor. En este proceso de relectura y de algún modo de reinvidicación de la filosofía wittgensteiniana de las matemáticas, muchos son ya los autores y los textos con los que hoy se cuenta.

Una primera lectura, no muy atenta, del libro de Alejandro Tomasi-ni Bassols que aquí reseño podría llevarnos a conjeturar que este libro es simplemente un texto más, aún considerando los indudables meritos ligados a la originalidad y la claridad expositiva del autor, que en el ámbito de la lengua española pasaría a engrosar el catálogo de obras con las características antes mencionadas. Sin embargo, a poco de en-trar en el juego de ideas y reflexiones filosóficas que el autor nos pro-pone se puede advertir que hay en este libro componentes ‘wittgenstei-nianos’ en dos sentidos diferentes que, dicho sea de paso, no es algo tan común aún entre aquellos autores dedicados al estudio sistemático del pensamiento matemático del filósofo austriaco, lo cual le da al libro un sesgo distintivo de novedad y originalidad. El libro de Tomasini es ‘wittgensteiniano’ en el sentido obvio de que se ocupa de algunos, quizá los más destacados, temas de reflexión filosófica en torno a la matemática que podemos encontrar en la obra de Wittgenstein. El autor, a través de una prosa precisa y eficaz en cuanto a lo expositivo, que sin embargo en ningún momento deja a la vez de ser elegante y amena, (cualidad está no tan común como se podría desear en trabajos académicos como este), reconstruye en forma magistral, por medio de una cuidadosa labor exegética, los puntos de vista efectivamente defen-didos por Wittgenstein. Pero el autor además reclama la cualidad de ‘wittgensteinianos’ para diversos pensamientos propios contenidos en los ensayos que constituyen este texto, con los que matiza y completa la exposición y reconstrucción de las posiciones del propio Wittgenstein, dando lugar con esto a un texto en los que se puede claramente consta-tar la aportación del autor a las discusiones. No hay duda de la justeza de este reconocimiento en función de lo que el propio Tomasini logra aquí con sus ensayos. Lo que el autor imagina como una ratificación de un posible lector en la ‘Presentación’ del libro en el sentido de que nada de lo que allí se dice es incompatible con lo que Wittgenstein de hecho sostuvo y que los puntos de vistas defendidos por el autor son afines al pensamiento wittgensteiniano, es sin duda la única conclusión posible a la que un lector atento y sincero puede arribar. Hay, empero, un segundo sentido de ‘wittgensteiniano’ al que me gustaría brevemente referirme, de acuerdo con el cual a mi entender el texto de Tomasini es un libro de auténtica filosofía wittgensteiniana. A diferencia de lo que pasa con un gran número de trabajos en el área,

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trabajos en muchos caso de indudables méritos exegéticos y donde se pueden encontrar también tesis e interpretaciones de mucha originali-dad, en Filosofía y Matemáticas: Ensayos en torno a Wittgenstein hay además una metodología, una estrategia de discusión, un estilo genui-namente wittgensteiniano de ‘concebir’ y ‘hacer’ filosofía. Lo que quiero destacar aquí es que se puede calificar de ‘wittgensteinianos’, tanto al libro como el autor, no sólo porque en él se encuentren temas wittgensteinianos de filosofía de las matemáticas, sino además porque el texto mismo es lo que quizás podría describirse como un muy buen ejemplo de una especie de ‘ejercicio’ de filosofía wittgensteiniana en un sentido más amplio. Este segundo aspecto es, si de destacar las caracte-rísticas valiosas y originales del libro se trata, una cualidad que a mi entender ningún lector serio del texto debería pasar por alto. Nada de esto, sin embargo, debe hacernos pensar que el libro fue escrito para una cofradía de iniciados en temas de filosofía wittgensteiniana. Al contrario, cualquier lector atento que se deje llevar por una reflexión de corte wittgensteiniano sobre temas que son, por derecho propio, witt-gensteinianos, encontrará en el libro de Tomasini planteos y discusio-nes críticas que apuntan al centro mismo de los problemas que atañen a eso que hoy llamamos ‘filosofía de las matemáticas’. Todo esto, a mi entender, le confiere un doble valor al libro: No se trata sólo de un estupendo texto de temas de filosofía wittgensteiniana en particular, sino que es además un excelente texto para todos aquellos lectores interesados en problemas filosóficos ligado con la matemáticas, sean o no wittgensteinianos. El libro es una compilación de un conjunto de ensayos estupenda-mente estructurados e integrados que, como el propio autor nos lo acla-ra, fueron escritos en diversos momentos, a los largo de varios años. Los temas tratados, no obstante, cubren tan sólo una parte de las innu-merables cuestiones que conforman la filosofía de las matemáticas de Wittgenstein. No hay en este sentido pretensión de exhaustividad algu-na, aunque sin duda las cuestiones tratadas formen parte de lo que po-dríamos calificar como ‘centrales’ o ‘medulares’ en la filosofía witt-gensteiniana. El libro ofrece al lector una serie de muy logradas discu-siones sobre diversos temas como, por ejemplo, los alcances de algunas de las muy polémicas reflexiones de Wittgenstein en torno a los teore-mas de incompletitud de Gödel, la naturaleza de la geometría, la singu-lar noción wittgensteiniana de inferencia matemática, el concepto witt-gensteiniano de número, el status de la teoría de conjuntos y el supuesto convencionalismo de Wittgenstein, achacado a éste por más de un filó-sofo. El hilo conductor de estas discusiones es un decidido rechazo del

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realismo en filosofía de las matemáticas, una bien conocida posición propia del pensar wittgensteiniano y que naturalmente Tomasini hace suya. El primero de los ocho ensayos, ‘Gödel y Wittgenstein’, ofrece una singular visión del que quizás sea el más controvertido tema de los pensamientos de Wittgenstein en torno a las matemáticas, i.e., las dis-cusiones concernientes a algunos comentarios por parte de Wittgenstein acerca de los teoremas de incompletitud de Gödel. Algunas observacio-nes de Wittgenstein se refieren a los resultados asociados con estos teoremas. Estos resultados, que habían producido un gran impacto en la comunidad de matemáticos y filósofos dedicados a los problemas aso-ciados con los fundamentos de la matemática, en el momento en que se dan a conocer las observaciones de Wittgenstein ya habían logrado capturar a un público importante de especialistas, quienes los reconocí-an como la conquista más valiosa de la lógica del siglo XX. Frente a los comentarios críticos de Wittgenstein, los primeros intérpretes de las Observaciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas encontraron que las referencias a los resultados de Gödel no sólo constituían una especie de profanación de aquello que los matemáticos ya habían cano-nizado sino que, según ellos, lo que se ponía en evidencia era una clara ingenuidad o inclusive una incapacidad de parte de Wittgenstein para enfrentar y dar cuenta de los célebres teoremas. En años recientes se han mostrado el error y la injusticia cometida con alguna de estas inter-pelaciones. Se ha señalado cómo y por qué los comentarios de Witt-genstein no estaban dirigidos a la naturaleza interna del cálculo pro-puesto por Gödel, sino que se orientaban a las consideraciones filosófi-cas que suelen adherirse a dichos resultados. A Wittgenstein le intere-saban las confusiones conceptuales, no las implicaciones matemáticas de un resultado formal y técnicamente impecable. El trabajo de Toma-sini se inscribe en esta línea de argumentación pero aporta a ella dos elementos que me parecen ser muy acertados en cuanto a la correcta evaluación de lo que Wittgenstein sostiene. En primer lugar se ofrece al lector una muy acabada presentación de un fenómeno lingüístico cuyas implicaciones conceptuales atañen directamente a la discusión, esto es, el fenómeno de la auto-referencia. Pero además, luego de recorrer algu-nas de las cuestiones centrales que nos permiten entender el alcance de los comentarios de Wittgenstein, el autor ofrece una muy interesante tesis interpretativa a partir de que “el resultado de Gödel no es estricta-mente hablando un resultado matemático, sino un resultado de (por así decirlo) otra clase y en el cual y para el cual se usan las matemáticas” [Pág. 38, el énfasis en la cursiva es mío]. La proposición demostrada


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por la prueba de Gödel es una proposición abstracta, una proposición que se refiere al todo de las proposiciones matemáticas y es así como en este sentido pertenece a un ámbito extra-matemático que Wittgenstein denominó ‘prosa’. De algún modo el de Gödel no es un resultado me-ramente matemático, sino meta-matemático (en un sentido hilbertiano) lo que separa claramente aquello que Wittgenstein sostuvo acerca de la naturaleza de las matemáticas del alcance de este resultado. Esta mane-ra de entender las cosas le permiten al autor establecer además un punto de vista personal desde el cual evaluar el alcance y la importancia con-tenidas en el teorema de Gödel. Los dos siguientes ensayos, ‘Números Wittgensteinianos’ y ‘Witt-genstein: Lenguaje, números y aritmética’, abordan el tema de la noción wittgensteiniana de número. En el primero de estos dos trabajos Toma-sini se concentra en el esclarecimiento de la noción de número presente en el Tractatus. La intuición wittgensteiniana de una ‘representación perspicua’ del simbolismo matemático, esto es, una representación clara de nuestro sistema de reglas gramaticales, aunque éstas sean sólo de un sector reducido o limitado de nuestro lenguaje, es la clave para entender la propuesta tractariana, que es la que nos permite generar una visión correcta de la noción de número, evitando toda tentación de asociar a éste concepto algún tipo de entidad abstracta que actué como su refe-rencia. El trasfondo de la crítica wittgensteiniana al logicismo es el punto de partida del análisis que aquí se nos propone, el que además incluye una muy clara exégesis de algunos elementos relevantes en torno a la noción de representación, aspectos ligados a la conocida teoría pictórica del lenguaje, así como una correcta reconstrucción de las nociones clave en este ámbito, como lo son las nociones de opera-ción y de función. El autor además toma parte en favor de la posición wittgensteiniana, mostrando cómo es posible superar las críticas de las que la noción tractariana de número fue objeto. El segundo de los artículos que componen este segmento dedicado al análisis del concepto de número comienza con una muy interesante descripción de cuáles fueron, a entender del autor, las causas que con-tribuyeron a que algunos de los primeros intérpretes tergiversaran y descalificaran las ideas wittgensteinianas de filosofía de las matemáti-cas. En mi opinión esta lista podría engrosarse. En este ensayo, sin embargo, el autor ahonda en el tema, el cual ya había sido considerado en ensayos anteriores: Las críticas de Wittgenstein al logicismo russe-lliano. A continuación en el trabajo se ofrece un muy interesante análi-sis que muestra la vinculación y continuidad entre las ideas wittgenstei-nianas en torno a la noción de número presentes en el Tractatus, en las

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que el autor había centrado su discusión en el ensayo anterior, y en las Observaciones Filosóficas. Tomasini presenta lo sostenido respecto de este tema en Observaciones Filosóficas como una suerte de refinamien-to de la noción tractariana de número. Una muy interesante observación final del autor del ensayo que vale la pena destacar gira en torno a la clásica división en períodos muy marcados con un corte histórico de-terminado en la obra filosófica de Wittgenstein. Para Tomasini el corte histórico entre un período de juventud y uno de madurez no coincide necesariamente con el corte filosófico, el que estaría marcado por el planteamiento y desarrollo de la cuestión de ‘seguir una regla’. Esta cuestión es clave si se quieren entender las particularidades que Witt-genstein le atribuye a la noción de inferencia matemática, que es el tema de análisis del siguiente ensayo. En el cuarto ensayo, ‘¿Qué es la inferencia matemática?’, el autor comienza su exposición analizado en detalle la cuestión del realismo matemático cuyo rechazo, como dijimos antes, es una especie de hilo conductor de todo libro. Tomasini desentraña los rasgos más sobresa-lientes de esta visión, bajo la forma de un tratamiento wittgensteiniano, en el cual queda de manifiesto que estamos en presencia de un mito filosófico, al que denomina el ‘mito realista’. Este análisis servirá como base para mostrar por contraste cuál es la posición de Wittgenstein respecto de la noción de inferencia. Esta noción surgirá entonces de una aclaración filosófica sobre aquello que los matemáticos dicen acerca de sus prácticas inferenciales, siendo que esta aclaración no constituye en manera alguna un desarrollo matemático, un cálculo, sino que es más bien lo que Wittgenstein denomina ‘prosa’. Es decir, esta fase construc-tiva en la que se ofrece una clarificación de qué debemos entender por inferencia matemática no toma cuerpo o se desarrolla a manera de una teoría, sino a través de aclaraciones y rectificaciones que se van hacien-do como parte del análisis. ¿En que consiste, por ejemplo, el procedi-miento que forma parte de nuestra praxis lingüística al que llamamos prueba? Al aclararnos cuestiones como éstas se van desechando mitos y enredos filosóficos, a la vez que se da cuenta en forma apropiada y convincente de la noción de inferencia matemática. Los dos ensayos siguientes están dedicados al tema de la geometría. En ‘Geometría y Experiencia’ el autor explora las distintas respuestas que se han dado al tema de cómo vincular estos dos conceptos. Se re-construyen algunas de las posiciones más representativas a este respec-to, ofreciéndose a la vez una serie de muy originales pautas de interpre-tación en función de las cuales el autor logra plantear lo que considera una adecuada concepción del status de la geometría y de su particular


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relación con la experiencia y el conocimiento. Siguiendo este rumbo, el autor sostendrá que el apartado conceptual wittgensteiniano permite dar expresión a las intuiciones presentes en otras escuelas e integrarlas en una concepción correcta, en algún sentido superadora de las anteriores. En ‘De espacios y Geometrías’ el autor trata el complejo tema concepto de espacio asociado con el desarrollo de la geometría, mostrando como en relación con esta noción no surge de los escritos tanto de destacados matemáticos y físicos, como de filósofos ni un acuerdo generalizado ni una cierta claridad conceptual sobre esta noción. Se presenta entonces la visión wittgensteiniana del concepto de espacio presente en el Trac-tatus Logico-Philosophicus, analizándose además distintos tipos de nociones de espacio (perceptual, matemático, físico) El lector podrá encontrar aquí una muy original propuesta del autor expresada en toda una serie de muy acertadas observaciones y sugerencias sobre posibles vías de salida para algunos de los problemas tradicionales asociados con el concepto de espacio desde, como era de esperar, una perspectiva wittgensteiniana. Sin embargo esta perspectiva no le impide al autor adoptar una posición crítica sobre lo insinuado por Wittgenstein en el Tractatus respecto a la idea de espacio vacio, mostrando los problemas de inteligibilidad que esta noción presenta. En el penúltimo ensayo, ‘Teoría de Conjuntos y Filosofía’, el autor aborda el tema de la teoría de conjuntos y el rechazo wittgensteiniano a considerarla tanto como una teoría matemática en un sentido genuino como a adjudicarle a esta teoría alguna capacidad explicativa y funda-cional respecto a ciertas cuestiones epistemológicas y ontológicas liga-das con ciertos objetos matemáticos. Para Tomasini, siguiendo una acertada exégesis de las ideas de Wittgenstein en relación con esta teoría, se trata más bien de un tipo especial de lenguaje formal, o si se prefiere de una técnica simbólica sólidamente establecida y desarrolla-da. En el ensayo el autor aborda algunos de los problemas filosóficos a los que da lugar la adopción incondicional por parte de los matemáticos de esta teoría, siendo estos problemas básicamente de carácter episte-mológico y ontológico. El análisis de esta problemática permiten con-cluir que más que una ‘teoría’, lo que la visión teórico-conjuntista de las matemáticas puede ofrecer es un potentísimo instrumental formal, de gran maleabilidad, que posibilita el tratamiento de otro instrumental formal, esto es, el de las matemáticas (números y estructuras algebrai-cas). La tradición conjuntista en matemáticas ejerció y sigue ejerciendo una enorme influencia no sólo en su desarrollo, sino fundamentalmente en su filosofía. Wittgenstein fue sin duda un personaje no sólo externo sino opositor a esta tradición, lo que a mi entender contribuyó aún más

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a que quienes fueron los primeros lectores e interpretes de las Observa-ciones sobre los Fundamentos de las Matemáticas, desestimaran, des-calificaran y desaprovecharan las ideas de Wittgenstein. Esta colección de ensayos termina con un trabajo en el que el autor analiza uno de los más controvertidos temas en torno a la interpretación de las ideas wittgensteinianas en filosofía de las matemáticas, a saber, el supuesto convencionalismo de Wittgenstein. A partir de que Michael Dummett presentara a Wittgenstein como un ‘full-blooded conventio-nalist’, es decir, un convencionalista de hueso colorado2 se usó esta expresión y descripción para mostrar que el convencionalismo de Witt-genstein tuvo carácter radical o extremo. Según Dummett, para Witt-genstein cualquier enunciado que sea lógicamente necesario, (incluidos los enunciados matemáticos), lo es sólo en virtud de la expresión dire-cta de una convención lingüística. Diversos comentaristas e interpretes han tanto adoptado como criticado esta interpretación dummettina. En ‘Convención y Necesidad Matemáticas’, Tomasini, de manera muy clara y convincente, aborda y matiza la tesis dummettiana mostrando en qué sentido puede considerarse a Wittgenstein un convencionalista y en qué sentido no. El autor analiza la manera en que es posible atribuir objetividad a la aplicación de signos y las reglas de un lenguaje como resultado de ciertas prácticas lingüísticas y extra-lingüística, apelando a la noción wittgensteiniana de concordancia que no es, en palabras del autor ‘una mítica convención’ [pág. 167] El establecimiento de una convención presupone siempre la concordancia en el uso de una técnica del lenguaje, el dominio de una técnica engendrada en conjunción con ciertas acciones. En el ámbito de las matemáticas una vez fijadas ciertas convenciones, por ejemplo el uso de un cierto símbolo para un determi-nado número, el resultado de la aplicación de dicho símbolo para reali-zar alguna operación en un cálculo ya no es una cuestión de conven-ción. La objetividad propia de una noción como la de necesidad mate-mática aparece, ‘con la aplicación coordinada del simbolismo’ [pág. 170] lo que a la vez muestra un aspecto o un carácter social en la natu-raleza del simbolismo usado en matemáticas. Con esto, según Tomasi-ni, Wittgenstein se aleja del convencionalismo que Dummett le atribu-yera abriendo una nueva perspectiva para dar cuenta de la verdadera naturaleza del lenguaje matemático, para explicar el desarrollo de las matemáticas y para aclararnos cuál es su autentica utilidad. Esta pers-pectiva da cuenta de ciertos requerimientos prácticos asociados al desa-

2. Esta es la traducción que Tomasini Bassols adopta de la expresión dummettiana, (véase

pág 157 del texto).


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rrollo de las matemáticas, lo que el autor propone denominar como el praxismo de Wittgenstein. Para terminar, quisiera decir que el libro de Tomasini logra eficaz-mente cumplir dos objetivos importantes: articular una excelente exége-sis de las ideas y pensamientos de Wittgenstein de algunos de los más destacados temas en filosofía de las matemáticas; y, ofrecer argumentos propios del autor que sin duda pueden ser reconocidos como contribu-ciones originales y substánciales a la temática. Por todo esto Filosofía y Matemáticas: Ensayos en torno a Wittgenstein es un libro de lectura indispensable tanto para quienes quieran iniciarse en los temas de filo-sofía de las matemáticas, como para los expertos que quieran encontrar una voz original y polémica en el ámbito de la filosofía wittgensteinia-na.

Referencias

Nedo, M. (ed). 1993. Ludwig Wittgenstein. Wiener Ausgabe. Ein-führung. Wien, New York: Springer Verlag


Peirce y el mundo hispánico.

Mauricio Beuchot

Jaime Nubiola – Fernando Zalamea, Peirce y el mundo hispánico. Lo que C. S. Peirce dijo sobre España y lo que el mundo hispánico ha di-cho sobre Peirce, Pamplona: EUNSA, 2006, 366 pp.

Después de un prefacio, en el que se habla de la naturaleza y objetivos de la obra, ésta consta de dos partes. Una, a cargo de Jaime Nubiola, filósofo español, sobre Charles S. Peirce (1839-1914), el filósofo prag-matista y pragmaticista estadounidense, sobre la relación de éste con España, y otra, a cargo de Fernando Zalamea, matemático colombiano, con una extensa bibliografía de y sobre Peirce en español. Jaime Nubiola se ha distinguido como uno de los principales estu-diosos de Peirce en nuestra lengua. Profesor de Filosofía en la Univer-sidad de Navarra, ha formado un Grupo de Estudios Peirceanos, que brinda valiosas informaciones sobre traducciones, monografías y artícu-los sobre el tema.

En una introducción a su parte, Nubiola expone el sentido de sus pesquisas, sobre todo en la Universidad de Harvard. Le interesa la rela-ción de Peirce con España: sus viajes, sus opiniones sobre ella, sus contactos con personajes. Primero da una breve semblanza de Peirce, para ofrecer sus principales rasgos biográficos y de esta manera contex-tuar su relación con España.

Luego se describe el viaje de Peirce, a sus treinta y un años, a Espa-ña. Hijo de Benjamin Peirce, matemático, Charles que había estudia-do química trabajaba en el Coast Survey, que se dedicaba a estudiar la atmósfera y sus fenómenos. Por eso pudo viajar a Europa, con el fin de observar un eclipse de sol en 1870. Fue enviado por su padre con mu-cha antelación, para hacer preparativos. Así pudo recorrer gran parte de Europa, hasta Constantinopla. Luego pasó a Italia y deliberó ir a Espa-ña, a lo que denominó su ‘correría española’.

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Peirce llegó a Málaga, y considera que Marbella es un buen lugar para observar el eclipse. Con el cónsul Geary hace arreglos para pro-veer alojamiento a los observadores. De ahí, Peirce pasa a Granada. Queda bien impresionado por la Alambra, pues la recuerda y cita casi treinta años después. En sus comentarios sobre la Alambra se pueden rastrear dice Nubiola algunas ideas estéticas de Peirce. Concreta-mente, el carácter matematizante de la misma, pues compara las hipóte-sis con los arabescos, bellos pero sin alma (p. 45). También se expresa sobre las iglesias góticas, que ve como construcciones con un anhelo de lo más excelso.

Después, Peirce viaja a Sevilla. Sobre ello hay pocos datos. Queda impresionado por la magnificencia de la catedral, y le impacta la (pre-tendida) motivación de aquel cabildo que propuso la construcción de la misma: “Hagamos una catedral por la que las generaciones venideras nos tomen por locos” [p. 50]. Pasó por Cádiz, Jerez y Córdoba, disfru-tando la arquitectónica árabe.

Hacia el 12 de noviembre llega a Madrid. Gestiona con el vicecón-sul y el secretario la atención a la expedición americana que iba para observar el eclipse del 22 de diciembre. Queda encantado con la escul-tura de la ninfa Eurídice, realizada por Sabino Medina. Posiblemente la vio en el Museo del Prado (y ahora está en el Casón del Buen Retiro). También le gustan otros cuadros que ha visto, según dice en carta a su madre [p. 54].

Varias cosas del viaje han sido investigadas acuciosamente por Nu-biola, por ejemplo la lista de visitas a la Alambra, donde quedó asenta-da la firma de Peirce. O la historia de los ferrocarriles, para saber por dónde hubo de pasar, etc. El elipse fue observado por el grupo america-no en Catania, Italia, y en Jerez, España, a una milla, en el Olivar de Buena Vista.

Nubiola recoge varias observaciones de Peirce. Su visión de España no es muy buena, tal vez por influencias francesas. Cuando la guerra entre España y EEUU se ve esto, una guerra demasiado breve, por la superioridad americana. Peirce se muestra antiespañol. Más interesantes que sus notas sobre el vascuence son sus contactos con científicos es-pañoles. Fueron Carlos Ibáñez de Ibero, militar y geodesta, Ventura Reyes y Prósper, matemático, y Santiago Ramón y Cajal, el célebre neurólogo. Me parece interesante su relación con Ventura Reyes, cate-drático de instituto en Toledo, que divulga por España ideas lógico-matemáticas de Peirce, pues éste le hizo llegar separatas de sus investi-gaciones, que aquél difundía en revistas matemáticas.

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También es interesante el recuento que Nubiola hace de autores hispánicos citados por Peirce. Destacan Séneca, Quintiliano, San Isidoro (que ya usaba la raya como negación, sobre términos). De entre los medievales, cita a Averroes, Pedro Hispano, Llull y Suárez. Aprecia mucho al Hispano, como una autoridad en lógica, que vale la pena seguir estudiando a pesar de que ha quedado obsoleto. En cambio, a Llull, aunque lo considera muy perspicaz, lo ve como “loco” [p. 129]. También cita a Vives, como antecedente del uso de diagramas geomé-tricos para representar proposiciones, cosa que se atribuía a Euler. Otros modernos, citados por Peirce, son Gaspar de Texeda (s. XVI), Esteban Manuel de Villegas y Francisco Suárez (s. XVII), Vázquez Queipo y García de Galdeano (s. XIX).

Nubiola muestra su erudición peirceana al abordar temas como el del nombre ‘Santiago’, que Peirce usó un tiempo, así como el del ori-gen de Juliette, su segunda mujer, que algunos han supuesto que era gitana de origen español y él sostiene que fue francesa. Se dan en anexos un escrito de Peirce sobre el monje Gerberto (supuestamente español) y un artículo de Reyes Orósper sobre ideas lógicas de Peirce y Mitchell, en El progreso matemático, del 15 de junio de 1892.

La bibliografía elaborada por Fernando Zalamea es muy útil. Con-tiene las traducciones de las obras de Peirce al castellano y lo que en esta lengua se ha escrito sobre él. Cada obra enlistada va acompañada de una reseña suficientemente profunda y que da cuenta del contenido. Además, se hacen estadísticas y seguimiento histórico del estudio de Peirce a través de las publicaciones enlistadas.

En definitiva, se trata de una obra bien hecha y útil, tanto desde el punto de vista histórico como desde el punto de vista bibliográfico. Un instrumento que rendirá muchos frutos.

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POINCARÉ, Henri. 1944a. Ciencia y Método. Madrid: Espasa Calpe. (Col. Austral # 409. Tercera edición, 1963). [Henri Poincaré. Science et Méthode. Paris: Flammarion. 1908].

En el caso de un artículo contenido en una revista, la referencia debe contener los siguientes datos: Nombre del autor; fecha de publicación; título del artículo, entre comillas; título de la revista subrayado (itálicas); número del volumen, (en negritas), seguido por dos puntos; y, finalmente, el número de las páginas entre las que está comprendida la mencionada referencia. Por ejemplo:

PALTER, Robert. 1987a. ‘‘Saving Newton's text: Documents, Readers, and Ways of the World’’. Studies in History and Philosophy of Science 18: 385-439.

Para el caso de un ensayo contenido en un libro o colección de ensayos deberá seguirse el modelo indicado por el siguiente ejemplo:

DAUBEN, Joseph. 1984a. ‘‘El desarrollo de la teoría de conjuntos cantoriana’’, contenido en: Ivor Grattan-Guinness (editor). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introduc-ción histórica. Madrid: Alianza Editorial. (Col. Alianza Universidad # 387. Traducción de Ma-riano Martínez Pérez). Pp. 235-282. [Ivor Grattan-Guinness (editor). From Calculus to Set The-ory, 1630-1910. An Introductory History. London: Duckworth. 1980].

Es también importante marcar con claridad —a fin de evitar al impresor cualquier tipo de confusión— todos aquellos símbolos, ecuaciones y fórmulas matemáticas; alfabetos poco usuales; fórmulas químicas y físicas, caracteres especiales y acentos diacríticos. También es publicable un reducido número de dibujos o esquemas, los cuales deben ser reproducibles directamente de la copia enviada por el autor; en este caso sólo es posible imprimir motivos a línea en blanco y negro y no en medio tono. El material gráfico deber estar separado del texto con la respectiva indica-ción, señalando dónde ha de ser incluido cada uno de los diagramas.

Una vez aprobada, revisada y corregida, el autor debe enviar la versión fi-nal de su ensayo impresa, y capturada en disco o CD, utilizando alguno de los siguientes procesadores de palabras para IBM-PC: Microsoft Word, Word Perfect; o enviar un archivo ‘adjunto’ dentro de un mensaje electrónico a la dirección: [email protected]

Finalmente, ya publicada la revista, el autor recibirá veinticinco sobretiros de su trabajo, sin cargo alguno, para su uso personal.

MATHESIS filosofía e historia de las ideas matemáticas

FINALIDAD Y NATURALEZA: Mathesis busca promover la creación de nuevo conocimiento que sea relevante —a través de la publicación de ensayos de investigación original y de proveer un foro de discusión abierta— en historia y filosofía de las ideas matemáticas. El enfoque multidisciplinario, internacional y multiétnico propone estrechar las relaciones académicas de un espectro muy amplio de colegas provenientes de una gran variedad de formaciones sociales. Mathesis no está comprometida con escuela o método alguno. No define una perspectiva, sino una disciplina. Mathesis está abierta a todos los puntos de vista, a todos los enfoques, a todos los métodos y a todos los aspectos de la historia y filosofía de las ideas matemáticas. Mathesis subyace dentro de un marco conceptual lo más amplio posible que contempla el estudio de la historia de las ideas matemáticas en todos los países del mundo (tanto las matemáticas occidentales tradicionales como las no tradicionales) y en todas las épocas (desde el origen del hombre hasta nuestros días), incluyendo etnomatemáticas, arqueoastronomía, matemáticas puras y aplicadas (y el desarrollo de los usos de ambas), escuelas de pensamiento, estilos matemáticos, estadística, probabilidad, enseñanza, ciencias actuariales, investigación de operaciones, ciencias de la computación (incluyendo política administrativa, ‘hardware’ —desde el ábaco hasta la computadora— y ‘software’ —e.g., algoritmos, lenguaje, notación y tablas—), cibernética, comunicación de las matemáticas (sistemas de información y bibliografías, entre otras), biografías de matemáticos, historiadores y filósofos, organizaciones e instituciones, historiografía, y cualquier aspecto que ilumine el desarrollo de las ideas matemáticas dentro de un contexto intelectual, cultural, político, económico y social. Desde el punto de vista filosófico, Mathesis comprende el estudio de la lógica, del método y el análisis de los conceptos matemáticos. Por su carácter multidisciplinario, Mathesis contempla el estudio de la historia y la filosofía de otras disciplinas —e.g., ciencias del hombre (antropología, psicología, pedagogía, entre otras), ciencias exactas (física, astronomía, química, y demás), ciencias naturales (biología, medicina, etc.), ciencias sociales (sociología, teoría política, relaciones internacionales, entre otras), humanidades (filosofía, leyes, etc.) y artes (literatura, pintura y escultura, y demás)— cuando su análisis, ya sea histórico o filosófico, arroje nueva luz sobre el entendimiento de los conceptos que conforman el ámbito matemático. En breve, a través de Mathesis se intenta estrechar más el apoyo mutuo entre los aspectos humanísticos de las ideas matemáticas y toda disciplina académica en la búsqueda común por una mejor comprensión del mundo que nos rodea. La revista se publica, primordialmente, en lengua vernácula, como se acostumbra en la disciplina, en un intento por profesionalizar estos estudios en los países de habla española. PERIODICIDAD: la revista se publica dos veces al año, en los meses de junio y diciembre. Cada volumen anual contiene un número aproximado de quinientas páginas.

ESTRUCTURA: la revista está integrada por las siguientes secciones, que no necesariamente aparecen en todos los fascículos:

Artículos. Incluye ensayos originales y panorámicos, tanto en historia como en filosofía. Los artículos históricos y filosóficos deben incluir nuevos datos provenientes de fuentes primarias, análisis inéditos de datos ya conocidos, reseñas de trabajos históricos y filosóficos previos, evaluaciones de trabajos recientes de investigación histórica y filosófica, manuscritos originales inéditos, traducciones o reimpresiones de materiales inaccesibles al común de los lectores y bibliografías anotadas y comentadas.

Clásicos matemáticos. Presenta traducciones al español de trabajos pasados que se consideran paradigmáticos en la disciplina. Estas traducciones (e.g. Descartes y Cantor, entre otros) se realizan directamente del lenguaje original y están precedidas por textos introductorios que explican la naturaleza y relevancia de su contenido.

Nuestros fundamentales. Presenta traducciones al español de trabajos históricos y/o filosóficos ‘recientes’ que se consideran primordiales —ya sea por su originalidad, trascendencia y/o relevancia— en la formación de nuestra comunidad.

Notas educativas. Comprende la publicación de breves artículos, notas y noticias sobre diversos programas y cursos en las dos áreas mencionadas. En esta sección se incluyen ensayos que discuten los usos de la historia y la filosofía en educación matemática.

Proyectos de trabajo. Contiene información de proyectos académicos en preparación o en pleno desarrollo, incluyendo temas de tesis, retos, preguntas y respuestas.

Noticias y avisos. Informa a los lectores de congresos, reuniones, conferencias, invitaciones, notas necrológicas y otros eventos de interés que realice la comunidad de filósofos e historiadores.

Ensayo-reseña. Presenta reseñas extensas que intentan, en detalle, inspeccionar trabajos contemporáneos y pasados. Los ensayos están dedicados a algunas obras que se consideran clásicas en estas disciplinas.

Reseñas. Presenta revisiones críticas de obras, tanto pasadas como actuales, que conforman estas materias.

Fuentes. Informa a los lectores de los acervos de bibliotecas y archivos de instituciones de países hispanohablantes para facilitar la localización de libros y revistas. También propone describir el contenido de las distintas revistas que se publican o se han publicado en lengua española (e.g., Matemáticas y Enseñanza, Ciencia y Desarrollo, Investigación Científica, Historia Mexicana, Naturaleza, Revista de Occidente, etc.).

Información bibliográfica. Ofrece a los lectores la información bibliográfica que les permita mantenerse al día en el conocimiento de las más recientes publicaciones.