UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

FACULTAD DE QUÍMICA

INGENIERÍA QUÍMICA

FENOMENOS DE TRANSPORTE III

IQ-20303

APUNTES

DR. AGUSTIN RAMON URIBE RAMIREZ

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TABLA DE CONTENIDO.

1. INTRODUCCIÓN.

OPERACIONES INDUSTRIALES CON TRANSFERENCIA DE MASA.

2. GENERALIDADES DE LA TRANSFERENCIA DE MASA .

DEFINICIÓN.

MECANISMOS DE LA TRANSFERENCIA DE MASA.

TRANSFERENCIA MOLECULAR DE MASA.

TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA.

3. DEFINICIONES UTILES EN LA TRANSFERENCIA DE MASA.

CONCENTRACION. DEFINICION.

ALGUNAS FORMAS DE EXPRESAR LA CONCENTRACION DE MASA.

VELOCIDAD DE MASA.

FLUJOS DE MASA.

4. LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN

DEFINICION.

FORMAS EQUIVALENTES DE LA LEY DE FICK.

5. ESTIMACIÓN DE LA DIFUSIVIDAD.

6. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA TRANSFERENCIA DE MASA.

BALANCE TOTAL DE MASA. ECUACION DE CONTINUIDAD.

ECUACION DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE MASA.

FORMAS ESPECIALES DE LA ECUACION DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE

MASA.

CONDICIONES DE FRONTERA ENCONTRADAS USUALMENTE EN LA

TRANSFERENCIA DE MASA.

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7. ESTUDIO DE CASOS DE TRANSFERENCIA DE MASA.

DIFUSIÓN A TRAVÉS DE UNA PELÍCULA GASEOSA ESTANCADA.

DETERMINACION DE LA DIFUSIVIDAD.

DIFUSION CON REACCION QUÍMICA HETEROGENEA.

DIFUSION CON REACCION QUÍMICA HOMOGENEA.

DIFUSIÓN EN UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE: TRANSFERENCIA DE

MATERIA POR CONVECCIÓN FORZADA.

8. TEORIA DE LA CAPA LIMITE

INTRODUCCION

ESTUDIO CUALITATIVO DE LA CAPA LÍMITE.

1. FLUJO EXTERNO SOBRE UNA PLACA PLANA.

2. FLUJO INTERNO EN UNA CONDUCCIÓN DE SECCIÓN CIRCULAR.

3. SEPARACION DE LA CAPA LIMITE.

4. PLACAS PLANAS.

5. CUERPOS REDONDOS.

6. ENSANCHAMIENTOS Y ESTANCAMIENTOS.

7. METODOS PARA EVITAR LA SEPARACION DE LA CAPA LIMITE.

8. CAPA LIMITE DE CONCENTRACIÓN.

ESTUDIO CUANTITATIVO DE LA CAPA LIMITE.

1. CAPA LIMITE DE VELOCIDAD.

2. TEORIA DE PRANDTL SOBRE LA CAPA LIMITE.

3. SOLUCION EXACTA DE BLASIUS.

4. METODO INTEGRAL DE KARMAN.

9. TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA.

INTRODUCCION.

CONSIDERACIONES FUNDAMENTALES DE LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA

DE MASA.

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COEFICIENTE CONVECTIVO DE TRANSFERENCIA DE MASA.

PARÁMETROS IMPORTANTES EN LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA.

MODELOS DE COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA.

METODOS DE EVALUACION DEL COEFICIENTE CONVECTIVO DE MASA.

1. ANÁLISIS DIMENSIONAL ACOPLADO CON EXPERIMENTOS

2. ANÁLISIS EXACTO DE CAPA LIMITE

3. ANÁLISIS APROXIMADO DE CAPA LIMITE

4. ANALOGÍA ENTRE LA TRANSFERENCIA DE MOMENTO, ENERGÍA Y

MASA.

DIFUSIÓN MOLECULAR EN ESTADO NO ESTACIONARIO

TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA

TRANSFERENCIA DE MASA EN LA INTERFASE

EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE MASA

10. BIBLIOGRAFIA.

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CAPITULO 1

Introducción.

Los fenómenos de transporte tienen lugar en aquellos procesos, conocidos como procesos

de transferencia, en los que se establece el movimiento de una propiedad (masa, momentum

o energía) en una o varias direcciones bajo la acción de una fuerza impulsora.

Los procesos de transferencia de masa son importantes ya que la mayoría de los procesos químicos

requieren de la purificación inicial de las materias primas o de la separación final de productos y

subproductos. Para esto en general, se utilizan las operaciones de transferencia de masa.

1.1 Operaciones industriales con transferencia de masa.

Muchas operaciones en la industria de los procesos químicos implican la

transferencia de masa de una fase a otra. Generalmente, un componente

de la fase se transferirá en mayor medida que otro; consiguientemente, se

ocasiona una separación de los componentes de la mezcla. Por ejemplo, el

petróleo crudo puede separarse en varios componentes mediante

transferencia de masa entre una fase liquida y una fase vapor. El ingeniero

químico esta interesado en la distribución de los componentes entre las

dos fases en equilibrio y con la velocidad de transferencia de los

componentes de una fase a otra.

Los nombres que generalmente se acompañan a las operaciones de

transferencia de masa evolucionaron antes de que fueran comprendidas

plenamente las similitudes entre las operaciones discontinuas.

Algunas de las operaciones industriales donde es importante el proceso de

transferencia de masa, son:

Destilación

Absorción Gaseosa

Deserción

Extracción Liquido-liquido

Lixiviación

Extracción sólido-liquido.

En la destilación, una fase vapor entra en contacto de una fase liquida, y la masa se transfiere tanto

del liquido al vapor como del vapor al liquido.

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Capítulo 2

Generalidades de la Transferencia de Masa

Cuando un sistema contiene dos o más componentes cuyas concentraciones varían de un punto a

otro, presentan una tendencia natural a transferir la masa, haciendo mínimas las diferencias de

concentración dentro del sistema.

Transferencia de masa

Muchas experiencias cotidianas están relacionadas con la transferencia de masa, por ejemplo, un

terrón de azúcar en una taza de café negro se disuelve finamente y después se difunde de manera

uniforme en el café. Del perfume emana una agradable fragancia, que se esparce por la atmósfera

circundante.

La transferencia de masa juega un papel muy importante en procesos industriales: por ejemplo la

difusión de neutrones dentro de los reactores nucleares, la difusión de sustancias que los poros del

carbón activado absorben, la rapidez de las reacciones químicas catalizadas y biológicas entre otros

ejemplos típicos.

Volviendo a retomar el terrón de azúcar dentro de la taza de café , la experiencia nos enseña que el

intervalo de tiempo que se requiere para distribuir el azúcar depende de si el líquido está en reposo o

se le agita mecánicamente por medio de una cucharita. Por lo que el mecanismo de transferencia de

masa, depende de la dinámica del sistema en el que se lleva a cabo.

La masa puede transferirse por dos formas:

Molecular: se lleva a cabo por medio del movimiento molecular fortuito en los fluidos

en reposo.

Convectiva : se transfiere de una superficie a un fluido en movimiento, ayudado por las

características dinámicas del flujo. Por ejemplo, cuando una bomba ocasiona el

movimiento del fluido.

Es necesario percatarse de que en ocasiones durante la transferencia de masa ambos mecanismos

actúan, a menudo simultáneamente. Sin embargo, al ocurrir ambos, uno puede se cuantitativamente

dominante, de manera que es necesario usar soluciones aproximadas que incluyan solamente el

modo dominante.

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Es la transferencia de un constituyente de una región de alta concentración a una de baja concentración

2.1 Transferencia molecular de masa.

En el año de 1815 Parrot observó cuantitativamente que cuando una mezcla de gases contiene dos o

más especies moleculares cuyas concentraciones relativas varían de un punto a otro, resulta un

proceso, aparentemente natural, que tiende a disminuir cualesquiera desigualdades de composición.

Difusión molecular

Para el caso de mezclas gaseosas se puede deducir una explicación lógica de este fenómeno de

transferencia a partir de la teoría cinética de los gases.

Examinaremos una sección hipotética que pase en forma normal al gradiente de concentración,

dentro de una mezcla gaseosa isobárica isotérmica que contenga moléculas de solvente y soluto, los

dos elementos delgados e iguales de volumen que se encuentran sobre y por debajo de la sección,

contienen el mismo número de moléculas, tal como lo estipula la ley de Avogadro.

Aunque no es posible establecer la dirección específica en la que viajará una molécula particular en

un intervalo dado de tiempo, puede decirse que un número definido de moléculas que en se

encuentren en el elemento inferior del volumen cruzará la sección hipotética desde abajo y el mismo

número de moléculas abandonará el elemento superior y atravesará la sección desde arriba.

Con la existencia del gradiente de concentración, habrá más moléculas de soluto en un de los

elementos de volumen que el en otro; así pues, resultará una transferencia total neta de una región

de concentración mayor a una de concentración menor.

El flujo de cada una de las especies moleculares ocurre en la dirección del gradiente negativo del las

concentraciones.

2.2 Transferencia convectiva de masa.

La transferencia debida a la convección consiste en la transferencia entre un fluido en movimiento y

una superficie o entre dos fluidos en movimiento, relativamente no miscibles. Este modo de

transferencia depende, tanto en las propiedades de transferencia como de las características

dinámicas del fluido que está fluyendo.

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Es la transferencia macroscópica de masa, independientemente de cualquier convección dentro del sistema

Se debe hacer una distinción entre los dos tipos de flujo:

Convección forzada : es el proceso cuando una bomba u otro aparato semejante

ocasiona el movimiento del fluido.

Convección libre o natural : si el movimiento del fluido se deba a una diferencia de

densidades, que puede haber surgido como resultado de una concentración o de una

diferencia de temperatura.

Como se hizo en el caso de la transferencia de masa molecular, la transferencia convectiva de masa,

se lleva a cabo en la dirección de una concentración decreciente.

Las ecuaciones de rapidez correspondientes a la transferencia de masa de la especie A en una

mezcla binaria, son:

a) Transferencia molecular de masa

------------------ flujo molar relativo a la velocidad molar media.

----------------- flujo de masa relativo a la velocidad masa promedio.

NA= yA (NA + NB) - cDAByA ----- flujo molar relativo a coordenadas espaciales fijas.

nA= wA (nA + nB) - DABwA ----- flujo de masa relativo a coordenadas espaciales fijas.

b) Transferencia convectiva de masa:

Estas ecuaciones se estudiaran con más detalle a lo largo del curso.

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Capítulo 3

Definiciones Útiles en la Transferencia de Masa.

Para poder establecer una base común para estudios futuros, es necesario estudiar las definiciones y

relaciones que se utilizan a menudo para explicar los componentes de la mezcla.

Concentraciones: en una mezcla de múltiples componentes la concentración de una especie

molecular se puede expresar de muchas maneras. En la figura aparece un volumen elemental dV,

que contiene una mezcla de componentes, incluyendo a la especie A. como cada una de las

moléculas de cada especie tiene una masa, puede definirse una concentración de masa para cada

especie, así como para la mezcla.

La concentración de masa, ρA, que es la masa de la especie A por unidad de volumen de solución

La concentración total de masa o densidad es la masa total de la mezcla contenida en al unidad

de volumen.

La concentración molar de la especie A. es el número de moles de la especie i pro unidad de

volumen de solución.

La fracción masa. es la concentración de masa de la especie A dividida por la densidad total de la

solución.

La fracción molar. es la concentración molar de la especie A dividida por la densidad total de la

solución.(entendiendo como solución , una mezcla gaseosa, líquida, o sólida , que forma una sola

fase)

La concentración molar total, c, es el número total de moles de la mezcla, contenidos en la unidad

de volumen.

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Cuando se está tratando con una fase gaseosa , a menudo , las concentraciones se expresan en

términos de las expresiones parciales. Bajo las condiciones en las cuales es válida la ley de los gases

ideales, PA V = nART, la concentración molar es:

Donde:

pA = presión parcial de la especie A en la mezcla

nA = número de moles de la especie A

V = volumen del gas

T = temperatura absoluta

R = constante del gas.

La concentración molar total, C, es el número total de moles de la mezcla , contenidos en la unidad

de volumen, esto es:

O en una mezcal gaseosa que obedezca al ley de los gases ideales.

C = ntotal / V = P/RT

Donde:

P = presión total.

La fracción molar correspondiente a las mezclas de líquidos o sólidos, xA, y la correspondiente al

mezclas gaseosas , yA , son las concentraciones molares de la especie A divididas entre la densidad

molar total.

(liquidos y sólidos)

(gases)

Cuando una mezcla obedece a la ley de los gases ideales, la fracción molar yA, se puede escribir en

fución de las presiones:

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La ecuación anterior es una representación algebraica de la ley de Dalton que corresponde a mezclas

de gases. La suma de las fracciones molares, debe ser igual a 1, por definición.

Velocidades: en un sistema de componentes múltiples, las diferentes especies se moverán de

manera normal a diferentes velocidades, por lo tanto, para evaluar la velocidad de la mezcla de

gases, se necesitan promediar las velocidades de cada una de las especies presentes.

Velocidad promedio o media de la masa correspondiente a una mezcla de componentes múltiples se

define en fución de las densidades y velocidades de la masa, de todas las componentes en la forma:

En la ecuación anterior se observa que v es la velocidad local con que la masa atraviesa una

sección unidad colocada perpendicularmente a la velocidad v.

La velocidad molar media o promedio de una mezcla de componentes múltiples , se define en función

de las concentraciones molares de todas las componentes , por medio de la expresión.

De aquí que cv* es la velocidad local con la que los moles atraviesan una sección unidad colocada

perpendicularmente a la velocidad v*.

Velocidad de difusión

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Es la velocidad de una especie particular con relación a la masa promedio o velocidad molar media.

Se pueden definir dos velocidades diferentes de difusión.

Velocidad de difusión de la especie A con relación a la velocidad media de la

masa.

Velocidad de difusión de la especie A con relación a la velocidad molar media

Estas velocidades de difusión representan el movimiento del componente i con relación al movimiento

local de la corriente del fluido.

Considerando un ejemplo cuando un líquido A se evapora y difunde hacia arriba a través de un tubo

largo que inicialmente está lleno de vapor B. Al evaporarse A, empuja al vapor B hacia arriba. Sin

embargo, no existen una línea de separación entre los vapores A y B puros, tal como se indica en la

figura, sino que el desplazamiento ascendente del vapor B va acompañado de una mezcla mutua de

los dos vapores. Por lo tanto, debido a la difusión, en un punto cualquiera del tubo, A se mueve hacia

arriba más lentamente.

En la figura se muestran los distintos vectores velocidad para el caso de que xA = 1/6, v*= 12, vA – v* =

3, y MA = 5 MB.

La densidad de flujo de masa (o molar)

de la especie A

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Es una magnitud vectorial que representa la masa (o moles ) de la especie A que cruzan la unidad de área por unidad de tiempo.

El movimiento puede estar referido a unas coordenadas estacionarias, a la velocidad media molar

local v*, o a la velocidad media de masa v. Por lo tanto, las densidades de flujo de masa y molar

relativas a coordenadas estacionarias son

flux de masa

flux molar

Las densidades de flujo de masa y molar relativas a la velocidad media de masa v, son:

flux de masa

flux molar

Y las densidades de flujo de masa y molar relativas a la velocidad media molar v*, son

de masa

molar

NOTACIÓN DE CONCENTRACIONES EN SISTEMAS BINARIOS

DEFINICIONES BÁSICAS

= A + B = densidad de la solución ( g/cm3 )

A = cA MA = concentración de masa de A ( g de A/cm3 de solución )

A = A / = fracción de masa de A

c = cA + cB = densidad molar de la solución ( g-mol / cm3 )

cA = A / MA = concentración molar de A ( g-mol de A/cm3 de solución )

xA = cA / c = fracción molar de A

M = / c = peso molecular medio de la mezcla

RELACIONES ADICIONALES

xA + xB = 1

xAMA + xBMB = M

xA = ( A / MA ) / [(A / MA) + (B/MB)]

dxA = dA / [MAMB (A/MA+B/MB)]2

A + B = 1

A/MA + B/MB = 1/M

A = xAMA / (xAMA + xBMB)

dA = (MAMBdxA) / (xAMA + xBMB)2

NOTACIÓN DE VELOCIDADES EN SISTEMAS BINARIOS

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DEFINICIONES BÁSICAS

= velocidad de la especie A relativa a coordenadas estacionarias

= velocidad de difusión de la especie A relativa a

= velocidad de difusión de la especie A relativa a

= velocidad media de masa =

= velocidad media de masa =

RELACIONES ADICIONALES

Cualquiera de las seis notaciones anteriores de la densidad de flujo sirve para tratar todos los

problemas de difusión, sin embargo cada una de ellas tiene ciertas ventajas.

La densidad de flujo Ni (y menos frecuente ni) se utiliza ampliamente en ingeniería, debido a que los

cálculos de los procesos resulta en general conveniente referirse a un sistema coordenado

establecido en los aparatos.

Las densidades de flujo ji y ji* se utilizan habitualmente para medir las velocidades de difusión y

resultan adecuadas para formular las ecuaciones de variación en sistemas de varios componentes.

DENSIDADES DE FLUJO DE MASA Y MOLAR EN SISTEMAS BINARIOS

magnitud con respecto a ejes

estacionarioscon respecto a con respecto a

Velocidad de la

especie A

(cm seg-1)

Densidad de flujo

de masa de la

especie A

(gr cm-2 seg-1)

Densidad de flujo

molar de la

especie A

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(g-mol cm-2 seg-1)

Suma de las

densidades de

flujo de masa

(g cm-2 seg-1)

Suma de las

densidades de

flujo molares

(g-mol cm-2 seg-1)

Densidades de

flujo en función de

nA y nB

Densidad de flujo

en función de NA y

NB

Densidad de flujo

en función de jA y

Densidad de flujo

en función de

y

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Capítulo 4

LEY DE FICK DE LA DIFUSIÓN.

En la ley de Newton de la viscosidad (), esta propiedad se definido como el factor de

proporcionalidad entre la densidad de flujo de cantidad de movimiento y el gradiente de velocidad

De una forma análoga, se puede definir ahora la Difusividad DAB = DBA en un sistema binario:

JA* = - c DAB xA

Que es la primera ley de Fick de la difusión expresada para la densidad de flujo molar de difusión JA*.

Esta ecuación establece que la especie A difunde (se mueve con relación a la mezcla) en la dirección

decreciente de la fracción molar de A, de la misma forma que el calor fluye por una conducción en la

dirección de temperatura decreciente. La Difusividad DAB es idéntica en todas estas ecuaciones.

Puede escribirse la Ley de Fick en función de la densidad de flujo molar relativa a coordenadas

estacionarias:

NA= xA (NA + NB) - cDABxA

Está ecuación indica que la densidad de flujo de difusión NA, con relación a un eje de coordenadas

estacionarias, es la resultante de dos magnitudes vectoriales:

Este término se llama contribución del gradiente de la concentración

Este término se

llama

contribución del

movimiento

global

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FORMAS EQUIVALENTES DE LA PRIMERA LEY DE FICK

densidad de flujo gradiente forma de la primera ley de fick

AJ

Es el flujo molar, JA que resulta del gradiente de la concentración

Es el flujo molar que resulta cuando la componente molar A circula con el flujo global.

Capítulo 6

Ecuaciones Diferenciales de la Transferencia de Masa.

Balance total de masa (Ecuación de Continuidad)

Balance microscópico de masa total para un elemento diferencial de volumen estacionario y fijo en el

espacio aplicando la expresión general:

Salidas-entradas + generación = acumulación

En este caso no hay termino de generación, ya que se admite como un principio, establecido por

Lavoisier en el siglo XVIII, que la masa es una magnitud conservada. Esto es cierto excepto en el

caso de reacciones nucleares en las que la masa puede convertirse en energía y viceversa, pero en

todos los sistemas de interés en Ingeniería Química se puede admitir que la masa se conserva como

tal.

La deducción se hará en coordenadas rectangulares y un volumen de control Euleriano de

dimensiones x, y y z. la viscosidad del fluido en un punto, y Vx, Vy, Vz las componentes de la

velocidad.

Cantidad de masa de entrada al elemento diferencial:

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yyVy

zzVz

xVx

zVz

yVy

xxVx

y

x

z

zy

x

Cantidad de masa de salida del elemento diferencial:

Cantidad de masa acumulada en el volumen de control en t:

Cantidad de masa generada en el elemento diferencial:

Generación = 0

Entradas - Salidas + generación = acumulación

Para este caso:

Entradas – Salidas – acumulación = 0

- -

=0

Reagrupando términos:

dividiendo la expresión anterior por: x, y, z y t:

tomando el limite cuando x, y, z y t tienden a cero:

Esta ultima expresión es el balance microscópico total de masa o la llamada ecuación de continuidad,

en su forma vectorial se escribe:

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Donde:

= densidad del fluido (Kg/m3)

V = velocidad del fluido (m/s).

El primer termino de esta ecuación es el termino de acumulación, y nos da la variación con el tiempo

de la masa ( por unidad de volumen) dentro del elemento diferencial de control, y el segundo termino

nos indica la velocidad neta de masa ( por unidad de volumen) que atraviesa los limites del volumen

diferencial de control. El termino de generación. Como ya se había mencionado, es igual a cero.

La ecuación deducida, se puede expresar en forma Lagrangiana, realizando las derivadas parciales

de los productos Vi:

Agrupando términos:

Que en forma vectorial nos queda:

Aplicando el concepto de derivada sustancial:

Que es la ecuación de continuidad en forma Lagrangiana.

Caso Particular.

Una forma muy importante de la ecuación de continuidad es la que corresponde a un fluido

incompresible, para el cual la densidad es constante, es decir, no varia ni con la posición ni con el

tiempo. En este caso, la ecuación de continuidad se reduce a:

fluidos incompresibles.

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LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRANSFERENCIA DE MASA

Analizando el volumen de control , a través del cual está fluyendo una mezcla.

Volumen de control diferencial

La expresión de volumen de control para la conservación de masa es:

La cual en palabras se puede escribir como

Si se estudia la conservación de especie determinada, resta relación debe incluir un término que

corresponde a la producción o desaparición de A pro medio de una reacción química que ocurra

dentro del volumen.

La relación general para el equilibrio de la masa de la especie A es:

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La rapidez neta de flujo de masa del volumen de control se puede calcular tomando en cuenta la

masa transferida a través de la superficie de control.

La masa de A transferida a través del área , en x, será , o en función del flujo ,

, sería . Por lo tanto la rpidez de flujo de masa de la especie A, será:

En la dirección de x:

En la dirección de y:

En la dirección de z:

Por lo que la acumulación de A en el volumen de control es

Si A se produce dentro del volumen de control por medio de una reacción química a una rapidez rA,

donde rA tiene la unidades (masa producida de A)/ (volumen)(tiempo), por lo que el término de rapidez

de producción de A es:

Si se suman cada uno de los términos de flujo y acumulación se obtiene la ecuación:

Dividiendo la ecuación anterior entre el volumen del elemento diferencial se obtiene la

expresión.

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Tomando el límite cuando tienden a cero, se obtiene

Ecuación de continuidad del componente A

En la cual se observa que son las componentes recatangulares

del vector de flujo de masa nA y la ecuación de continuidad se puede escribir como

Para un componente B se obtiene una ecuación semejante siguiendo el mismo procedimiento.

Donde el termino rB representa la r´pidez con la que se producira B dentro del volumen de control por

una reacción química.

Sumando las ecuaciones de continuidad para componente A y B

Para la mezcla binaria A y B se tiene

Sustituyendo estas ecuaciones en 1 se obtiene

Ecuación de continuidad para la mezcla

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la ecuación de continuidad de la mezcal y de una especie dada , se pueden escribir en función de la

derivada sustancial.

la ecuación de continuidad de la especie A en función de la derivada sustancial es

para unidades molares es de modo semejante, donde RA representa la rapidez de producción molar B

por unidad de volumen, las ecuaciones se expresan.

Componente A:

componente B:

para la mezcla

por lo que la para las mezcla binaria de A y B se tienen las relaciones.

cuando la estequiometría de la reacción es

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en la cual se establece que se produce una mol de B por cada mol de A que desaparece

Ec. de continuidad de la mezcla en unidades molares

FOMAS ESPECIALES DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE TRASNFERENCIA DE MASA

Las formas especiales de la ecuación de continuidad válidas en situaciones especiales , aparecen a

continuación. Para utilizarlas se remplazan los flujos nA y NA

que es equivalente a

para la ecuación

su equivalente es

al sustituir la ecuación 3 en:

se obtiene

al sustituir ecuación 1 en

se obtiene

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cualquiera de las ecuaciones 5y 6 se pueden usar en la descripción de perfiles de concentración

dentro de sistemas de difusión. Estas dos ecuaciones son completamente generales, sin embargo

son relativamente complejas.

Las anteriores ecuaciones se puede simplificar haciendo suposiciones restrictivas.

Si la densidad, y el coeficiente de difusión se pueden suponer constante, la ecuación se

transforma en.

dividiendo la ecuación entre el peso molecular de A y se reordena se obtiene.

si no hay término de producción, RA=0 y si los coeficientes de densidad y difución se suponen

constantes la ecuación anterior se reduce a:

como

es la derivada sustancial de cA, por lo que la ecuación se reduce a:

que es una ecuación análoga a la de transferencia de calor.

donde es la difusividad térmica. La semejanza entre estas dos ecuaciones sirve de base para las

analogía señaladas entre transferencia de calor y masa.

En una situación en la cual no exista movimiento del fluido, v=0, ni término de producci´+on,

RA=0, ni variación alguna en la difusividad o en la densidad. La ecuación

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se reduce a:

Ley de Fick de la difusión

la ecuación de la ley de Fick es análoga a la segunda ley de conducción de calor:

las ecuaciones 8,9 y 13 se pueden simplificar , cuando el proceso esta en estado permanente; es

decir y la ecuación correspondiente a una densidad constante y una difusión constante.

cuando la densidad es constante , lo mismo que la difusividad y no hay producción química, se

obtiene.

si además v=0 la ecuación se reduce a

Ecuación de Laplace

todas las ecuaciones descritas anteriormente estan en su forma vectorial , por lo cual todas son

válidas en cualquier sistema ortogonal de coordenadas

para realizar la transformación se realiza escribiendo el operador Laplaciano, , en su forma

adecuada.

Por lo que la segunda ley de Fick de la difusión

Ley de Fick en Coordenadas Rectangulares

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Ley de Fick en Coordenadas Cilíndricas

Ley de Fick en Coordenadas Esféricas

Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Rectangulares

Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Cilíndricas

Ecuación de Continuidad de A en Coordenadas Esféricas

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CONDICIONES DE FRONTERA ENCONTRADAS USUALMENTE

La condición inicial en los procesos de transferencia de masa es la concentración de la especie en

difusión la principio del intervalo de tiempo bajo estudio, expresada ya sea en unidades molares o en

unidades de concentración de masa

en unidades molares

las condiciones de frontera que generalmente se encuentran

Se puede especificar la concentración de una superficie. Esta concentración puede estar en

función de la concentración molar,cA=cA, de fracciones molares, yA=yA1 en gases o xA=xA1, en

líquidos y sólidos; de concentración de masa, o de fracción de masa,

El flujo de masa en la superficie puede estar especificado, por ejemplo o

En ingeniería los casos de interés incluyen aquel en el que el flujo es cero debido a una

superficie impermeable y aquellos en los que el flujo se especifica como:

La rapidez de la reacción química puede estar especificada , por ejemplo. Si A desaparece en

la frontera debido a una reacción química de primer orden, se puede escribir .

Cuando la especie en difusión desaparece en la frontera debido a una reacción instantánea ,

la concentración de la especie se supone, a menudo igual a cero.

Cuando un fluido fluye en la fase para la cual está descrita la ecuación de masa, la especie

puede perderse de la fase de interés por medio de la transferencia convectiva de masa. El

flujo de masa en la frontera se define como:

donde es la concentración de la corriente de fluido adyacente a la

superficie y k el coeficiente de transferencia de masa de convección.

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Capítulo 7

ESTUDIO DE CASOS DE TRANSFERENCIA DE MASA.

Difusión a través de una película gaseosa estancada.

Consideremos el sistema de difusión que se muestra en la figura. El líquido A se evapora en el seno

del gas B, e imaginemos que mediante un artificio es posible mantener el nivel del líquido en z=z1. la

concentración de la fase gaseosa, expresada en fracción molar, exactamente en al interfase líquido-

gas, es xA1. se admite que la concentración de A en la fase gaseosa es la correspondiente al equilibrio

con el líquido de la interfase; es decir , que xA1 es la relación entre la presión de vapor de A y la

presión total, Pvap/p, suponiendo que A y B forman una mezcla gaseosa ideal. Finalmente, se supone

que la solubilidad de B en el líquido A es despreciable.

Por la parte superior del tubo (para z = z2) circula lentamente una corriente de mezcla gaseosa A-B

cuya concentración es xA2, de forma que la fracción molar de A en la parte superior de la columna

permanece constante e igual a xA2. se supone que todo el sistema se mantiene a temperatura y

presión constante, y que los gases A y B se comportan como ideales.

Cuando el sistema alcanza el estado estacionario, existe una movimiento neto de A alejándose de la

superficie de evaporación, mientras que el vapor B permanece estacionario.

Solución. Debido a que se trata de se utilizan ejes fijos se puede utilizar la siguiente ecuación.

= +

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Densidad de flujo con respecto a ejes estacionarios

Densidad de flujo que resulta de la difusión

Densidad de flujo con resulta del flujo global

Debido a que la densidad de flujo molar de B en dirección z es muy pequeña se puede despreciar por

lo cual la ecuación nos queda.

Aplicando un balance de materia en el elemento diferencial

Dividiendo la ecuación dos entre el volumen (SN) y tomando el límite cuando queda finalmente

la ecuación

Sustituyendo la ecuación 1 en la ecuación 3 se obtiene

Para mezclas gaseosas ideales, a T y P constantes, c es una constante la difusividad es

independiente de la concentración. Por consiguiente cDAB puede salir fuera de la derivada, quedando.

Integrando una vez con respecto a z se obtiene

Volviendo a integrar se obtiene.

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Para encontrar el valor de las constantes se tiene las siguientes condiciones límite

C.L. 1 cuando z=z1 xA=xA1

C.L 2 cuando z=z2 xA=xA2

De acuerdo a estas las condiciones limite tenemos

De la ecuación 5 se tiene

Sustituyendo la ecuación 7 en la 6

Despejando C1 se tiene

Sustituyendo C1 en 5 se obtiene

Sustituyendo C1 y C2 en (4):

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Simplificando se obtiene:

Sacando antilogaritmo a la ecuación anterior

La velocidad de transferencia de materia en al interfase líquido gas, es decir la velocidad de

evaporación, se obtiene de la ecuación

Integrando cuando z=z1

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Determinación de la Difusividad.

La difusividad para gases O2-CCl4 se determina observando la evaporación en estado estacionario

del CCl4 en un tubo que contiene oxígeno. Como se muestra.

La distancia entre el nivel del CCl4 líquido y la parte superior de tubo es de z2-z1=17.1cm. la presión

total en el sistema es de 755 mmHg y la T=0K. la presión de vapor del CCl4 a esa temperatura es de

33 mmHg. El área transversal del tubo de difusión es de 0.82cm2. se encuentra que se que se

evaporan 0.208cm3 en un periodo de 10horas después que se ha alcanzado el estado estacionario.

¿Cuál es la difusividad del para gaseoso O2-CCl4?

Solución

El perfil de concentración para una celda de Arnold como ya se obtuvo es el siguiente

Para la densidad de flujo molar

En la interfase se tiene

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Rapidez con la cual A deja el líquido

Rapidez con la cual A entra al gas

Como la dos velocidades de entrada y de salida son iguales al igualarlas se obtiene

Considerando que H= distancia inicial= z2-z1(0)

H=z1(0)-z1(t)

Por lo que simplificando queda

Sustituyendo en 1 tenemos

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Sustituyendo en ecuación 2

Despejando la difusividad se obtiene la ecuación final

Con los datos se obtiene

PMCCl4 = 153.82

PA* = 33mmHg

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PT = 0.9934Atm

XAT = 33/755 = 0.044

T = 0°C

S = 0.82cm3

t = 10hr

h = 0.025cm

xA2 =0

Sustituyendo en la ecuación(4) los valores

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DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HETERGÉNEA

Consideremos un reactor catalítico, tal como se indica en la figura, en el que se realiza la reacción de

dimerización . Un sistema de este arreglo de complejidad no puede describirse exactamente

mediante un desarrollo teórico. Sin embargo, se puede obtener cierta información analizando un

modelo altamente simplificado.

Cada partícula esta rodeada por una película gaseosa estancada a través de la cual difunde para

alcanzar la superficie del catalizador. Suponiendo que la reacción se produce

instantáneamente en la superficie catalítica, y que el producto A2 difunde después en sentido

contrario a través de la película gaseosa hasta alcanzar la corriente turbulenta del gas que consta de

A y de A2 . se trata de encontrar una expresión para la velocidad local de conversión de A en A2,

cuando se conocen el espesor efectivo de la película gaseosa , y las composiciones globales xA0 y

xA20 de la corriente. Se supone que la película gaseosa es isotérmica , aunque para muchas

reacciones catalíticas no se pude despreciar el calor que se genera en la reacción.

Solución

De acuerdo a la

estequiometría

de la reacción, se

mueve un mol de A2 en

la dirección z

negativa por

cada dos moles de A

que se mueven en la

dirección Z positiva. Por consiguiente se establece la siguiente relación en estado estacionario.

De acuerdo con esto y utilizando la ecuación

Considerando B=A2

Sustituyendo la ecuación 1 en 2

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Aplicando ahora un balance de materia para la especie A a una delgada lámina de la película

gaseosa de espesor z.

Dividiendo la ecuación dos entre el volumen (SN) y tomando el límite cuando queda finalmente

la ecuación

Ahora suponiendo en la ecuación 4 que cDAA2 es una constante se obtiene.

Integrando con respecto a z se obtiene

Integrando nuevamente

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De acuerdo a las condiciones límite siguientes

C.L 1 para z=o xA = xA0

C.L 2 para z= xA= 0

Aplicando condiciones limite a ecuación 10

Condición límite 1

Condición límite 2

Sustituyendo ecuación 12 y 14 en 10 se tiene

Aplicando antilogaritmo se obtiene finalmente

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Para obtener la densidad de flujo molar a travéz de la película se obtiene a partir de la ecuación 4

integrando entre los límites de z=0 z= y x=0 x=xA0

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DIFUSIÓN CON REACCIÓN QUÍMICA HOMOGÉNEA

Consideremos el sistema que se indica en la figura

En este caso el gas A se disuelve en el líquido B y difunde en al fase líquida. Al mismo tiempo que

difunde, la sustancia A sufre una reacción química irreversible de primer orden:

Solución

Realizando el balance de materia en el elemento diferencial

(entrada –salida + producción =0)

se obtiene

En la expresión anterior es una constante de velocidad de primer orden para la descomposición

química de A, S es un área característica de la sección transversal del líquido. Debido a la reacción

química es necesrio incluir un termino que nos represente la velociad de producción o desaparición

de A, por lo tanto representa el número de moles de A que desaparecen por unidad de volumen

y unidad de tiempo.

Para simplificar la ecuación anterior se divide entre un volumen Sz,

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Tomando el límite cuando . Se obtiene finalmente

De acuerdo a la ecuación

Dado que A y AB estan en bajas concentraciones obteniendose

Sustituyendo la ecuación 2 en 1 se obtiene

Las condiciones límite para este problema son

La concentración en la superficie se mantiene en un valor fijo cA0

C.L 1 cuando z=0 cA=cA0

La difusión en el fondo del recipiente es muy pequeña, por lo que puede despreciarse .

C.L.2 cuando z=L NAz=0

Reacomodando la ecuación 3 se tiene

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Donde

Por tanto la solución se puede plantear

Condiciones límite

Para

Sustituyendo condiciones límite

Sustiuyendo en la ecuación 4 se obtiene

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Tomando en cuenta el numero adimensional (Modulo de Thiele)

Así como las relaciones

Sustituyendo en la ecuación 5 se obtiene finalmente

Para calcular el flux difusivo se obtiene a partir de la ecuación 6

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DIFUSIÓN EN UNA PELÍCULA LÍQUIDA DESCENDENTE: TRANSFERENCIA DE MATERIA POR

CONVECCIÓN FORZADA.

Consideremos concretamente la absorción de un gas A por una película laminar descendente del

líquido B. La substancia A es solo ligeramente soluble en B, de forma que la viscosidad del líquido no

varía apreciablemente. Tomar en cuenta que la difusión en la película líquida tiene lugar tan

lentamente que A “penetra” muy poco en B( la distancia de penetración es pequeña en comparación

con el espesor de la película). El sistema a estudiar se representa en al figura siguiente.

Después de realizar el balance de cantidad de movimiento en ausencia de transferencia de materia

para obtener el perfil de la velocidad en una película se obtiene la ecuación. No considerando los

efectos finales.

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De acuerdo al problema se observa que cA variará con x y con z. por lo tanto, como elemento

diferencial para aplicara el balance de materia se elige un volumen formado por la intersección de un

espesor z con otro de espesor x. por lo cual el balance general queda representado con la

siguiente ecuación.

Para simplificar la ecuación anterior se divide entre un volumen se obtiene

Tomando el límite cuando y

Para la densidad de flujo molar se utiliza la ecuación

De acuerdo al problema, el componente A se mueve en dirección z debido principalmente a la

convección o flujo, por lo cual la contribución por parte de la difusión puede considerarse

despreciable. Y la densidad de flujo molar en dirección z resulta.

Por el contrario en la dirección x, A se transporta esencialmente por difusión, y no existe

prácticamente transporte convectivo debido a que A no es muy soluble en B, por lo que se obtiene.

Sustituyendo ecuaciones 2 y 3 en 1 se llega a la ecuación diferencial

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Estableciendo las condiciones límite.

Sustituyendo el perfil de velocidad de la película en la ecuación 4

C.L.1

Al inicio del experimento cuando z=0 la concentración de A es cero

Cuando Z=0 CA =0

C.L 2

En al dirección x , cuando inicialmente la película esta constituida por B puro y la concentración del

líquido en al interfase ser toma como la solubilidad de A en B , que se designa como CA0

Cuando x=0 CA =CA0

C.L.3

Debido a que la solubilidad de A es muy pequeña en B se establece la condición

Cuando

Sin embargo debido a que la ecuación diferencial 5 es no lineal y de segundo orden, la solución es

complicada, por lo cual se deben tomar en cuenta las consideraciones siguientes válidas para facilitar

su resolución.

La sustancia A penetra una pequeña distancia en la película, por lo cual la especie A tiene la

impresión de que la película se mueve toda ella con una velocidad igual a vmáx.

Considerando que la penetración de A no es muy grande , esta no llegara jamas a la pared sólida

situada en . Por lo tanto, si la película tuviese un espesor infinito y se moviera con la velocidad

vmáx, el material que difunde no notaría la diferencia, con estas consideraciones la tercera condición

límite se modifica y la ecuación 5 se simplifica.

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C.L.1

Al inicio del experimento cuando z=0 la concentración de A es cero

Cuando Z=0 CA =0

C.L 2

En al dirección x , cuando inicialmente la película esta constituida por B puro y la concentración del

líquido en al interfase ser toma como la solubilidad de A en B , que se designa como CA0

Cuando x=0 CA =CA0

C.L.3

Debido a que la solubilidad de A es muy pequeña en B la concentración de A cerca de la pared o en

infinito es cero.

Cuando

Debido a A penetra muy poco

Por lo tanto

Adimensionalizando ecuación 6

Sustituyendo en la ecuación 6

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Considerando

Condiciones límite

Aplicando transformada de Laplace

Aplicando a ecuación 8

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Soluciones reales y diferentes

Soluciones real e igual

Soluciones complejas

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REGRESAR....

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Capítulo 8

TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

INTRODUCCIÓN.

Antes de 1860, aproximadamente, el interés de la ingeniería por la mecánica de fluidos se

limitaba casi exclusivamente al flujo del agua. El desarrollo de la industria química durante la última

parte del siglo XIX dirigió la atención a otros líquidos y a los gases. El interés por la aerodinámica

comenzó con los estudios del ingeniero aeronáutico alemán Otto Lilienthal en la última década del siglo

XIX, y produjo avances importantes tras el primer vuelo con motor logrado por los inventores

estadounidenses Orville y Wilbur Wright en 1903.

La complejidad de los flujos viscosos, y en particular de los flujos turbulentos, restringió en gran

medida los avances en la dinámica de fluidos hasta que el ingeniero alemán Ludwig Prandtl observó en

1904 que muchos flujos pueden separarse en dos regiones principales. La región próxima a la superficie

está formada por una delgada capa límite donde se concentran los efectos viscosos y en la que puede

simplificarse mucho el modelo matemático. Fuera de esta capa límite, se pueden despreciar los efectos

de la viscosidad, y pueden emplearse las ecuaciones matemáticas más sencillas para flujos no

viscosos. Para el autor J.K Vernard: "La teoría de la capa límite ha hecho posible gran parte del

desarrollo de las alas de los aviones modernos y del diseño de turbinas de gas y compresores". El

modelo de la capa límite no sólo permitió una formulación mucho más simplificada de las ecuaciones de

Navier-Stokes en la región próxima a la superficie del cuerpo, sino que llevó a nuevos avances en la

teoría del flujo de fluidos no viscosos, que pueden aplicarse fuera de la capa límite. Gran parte del

desarrollo moderno de la mecánica de fluidos, posibilitado por el concepto de capa límite, se ha debido

a investigadores como el ingeniero aeronáutico estadounidense de origen húngaro Theodore von

Kármán, el matemático alemán Richard von Mises y el físico y meteorólogo británico Geoffrey Ingram

Taylor.

Un fluido manifiesta sus propiedades intrínsecas de fluido cuando se encuentra cerca de una

interfase sólida, ya que sobre ella ha de cumplir la condición de adherencia. Dependiendo de cuál sea la

posición relativa entre el fluido y la interfase sólida podremos distinguir dos tipos de flujo. Se denomina

flujo externo al que se desarrolla cuando el fluido circula rodeando a un cuerpo sólido, de forma que el

perfil de velocidad del fluido se modifica por la presencia del sólido que queda en su seno. En este caso,

los límites externos del fluido se encuentran relativamente distantes y pueden considerarse ilimitados.

Por otra parte, se denomina flujo interno al que se desarrolla cuando el fluido circula por el interior de

cualquier tipo de conducción. En este caso los límites del fluido están bien definidos por la propia

conducción que encierra al fluido.

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ESTUDIO CUALITATIVO DE LA CAPA LÍMITE.

En la circulación de fluidos reales, las capas de fluido en contacto con las superficies sólidas

se adhieren a ellas de forma que su velocidad respecto a las mismas se anula. Recibe el nombre de

capa límite o capa de rozamiento de un fluido que está circulando en las proximidades de una interfase

sólida, aquella región del fluido en la que su movimiento se ve afectado por la presencia de la superficie

del sólido. La definición de la dimensión de la capa límite es siempre arbitraria porque, al menos de

forma teórica, la influencia de la placa se deja sentir asintóticamente en todo el fluido que hay sobre ella.

Normalmente se define espesor de la capa límite, ó, en cada punto, la distancia a la placa para la que la

velocidad del fluido sólo se diferencia en un 1 % de la velocidad de aproximación V∞.

Flujo externo sobre una placa plana.

Consideremos un fluido que circula sobre una placa plana en la que incide con flujo paralelo.

Si en distintas secciones transversales se hiciera una cuidadosa exploración de la velocidad del fluido a

distancias variables del borde inicial de la placa, se encontraría que la velocidad varía desde cero (sobre

la superficie sólida) hasta V∞, velocidad que poseía el fluido antes de incidir sobre la placa, (a una

distancia muy pequeña de la placa, δ).

En la Figura 1 se representa esquemáticamente la distribución de velocidad en la capa límite.

En el borde inicial de la lámina (x = O) la velocidad V∞ no varía en la dirección perpendicular a la placa,

pero a medida que aumenta la distancia al borde anterior, el espesor de la capa frenada por el

rozamiento va creciendo, al ir afectando éste a cantidades crecientes de fluido, aunque este espesor es

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muy pequeño, sobre todo para fluidos poco viscosos.

Pero incluso para pequeños valores de la viscosidad, el esfuerzo cortante en el interior de la

capa límite será siempre grande, ya que lo será el gradiente de velocidad dvx/dy porque la velocidad

disminuye bruscamente desde Vx = O.99 V∞ en y = δ hasta Vx = O en y = O. En cambio, fuera de la capa

límite no existirán prácticamente esfuerzos cortantes, porque en esa región no varía apreciablemente la

velocidad del fluido.

Debido a ello, el campo de flujo de los fluidos poco viscosos en flujos externos, puede

dividirse para su estudio en dos regiones: la delgada capa límite, próxima a la placa, en la que

forzosamente deberá considerarse el rozamiento existente, y la región exterior a la capa límite, en la

que, al poder despreciar las tensiones de rozamiento, podrá aplicarse como una buena aproximación la

teoría de los fluidos perfectos o ideales. Este modo de proceder simplifica mucho el aparato matemático

para tratar el movimiento de fluidos poco viscosos, prácticamente imposible de resolver hasta que

Prandtl introdujo el concepto de capa límite.

En las proximidades del borde frontal de la placa, el régimen de circulación del fluido en la

capa límite es siempre laminar, pero si la velocidad V∞ con la que el fluido incide sobre la placa es

suficientemente elevada y/o la placa tiene una longitud suficiente en la dirección del flujo, la circulación

en la capa límite llega a hacerse turbulenta. Cuando esto ocurre, aumentan tanto el espesor de la capa

límite como la tensión rasante sobre la placa. La distancia al borde frontal de la placa para la que

aparece el régimen turbulento no queda nítidamente definida, pues como se observa en la Figura 1

siempre existe una zona de transición. Lo que sí que se observa es que, a una cierta distancia del borde

de la placa, que recibe el nombre de distancia crítica, xcrít se produce un brusco aumento del espesor de

la capa límite y del esfuerzo cortante sobre la placa, lo que indica que la capa límite ha dejado de ser

laminar. Esto se produce cuando el módulo de Reynolds, definido como. Rex = V∞x/v alcanza un valor de

Rex ≈ 3.2*105, aunque con una experimentación cuidadosa esto no se da hasta Rex ≈ 3*106. También a

veces se define un módulo de Reyno1ds referido al espesor de la capa límite: Reδ = V∞δ /v.

En la capa límite turbulenta, la magnitud de las fluctuaciones turbulentas se aproxima a cero

cuando nos aproximamos a la placa, subsistiendo siempre en las proximidades de ésta una subcapa

laminar.

Flujo interno en una conducción de sección circular.

Consideremos ahora un tubo cilíndrico en el seno de un fluido que circula con velocidad

uniforme, como se esquematiza en la Figura 2.

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La velocidad del fluido a la entrada del tubo es uniforme, pero en ese lugar empieza a

formarse sobre la pared interior la capa limite, cuyo espesor va creciendo hasta que, a una determinada

distancia de la entrada, denominada longitud de entrada, Le, el espesor de la capa limite se hace igual

al radio del tubo, y esta llena toda la conducción.

En el tramo del tubo que corresponde a la longitud de entrada, la velocidad de la corriente V∞

debe aumentar progresivamente para compensar la disminución de velocidad del fluido en la capa limite

cuyo espesor va creciendo, ya que estamos suponiendo que el flujo es estacionario. En este aspecto, la

circulación en capa limite dentro de una conducción de diámetro finito difiere de la que se desarrolla

sobre una placa plana, en la que la velocidad de la corriente V∞ es constante.

Por lo tanto, toda circulación por el interior de una conducción, cualquiera que sea su

geometría, se reduce a una circulación en capa limite. A la entrada, coexisten capa limite y corriente

libre; cuando desaparece ésta última, porque la capa limite ocupa toda la conducción, finaliza la longitud

de entrada y, si el régimen es estacionario, el perfil de velocidades se mantiene constante a partir de

ese punto y se hace independiente de la distancia x medida desde la entrada; a partir de ese punto se

dice que el flujo esta completamente desarrollado. Si la conducción es cilíndrica, el módulo de Reynolds

se suele referir al diámetro del tubo y a la velocidad media de circulación: Re = V*D/v.

Si en la capa limite desarrollada en la longitud de entrada el régimen era exclusivamente

laminar, la naturaleza del flujo completamente desarrollado será laminar; si en la capa limite de entrada

ya había empezado a formarse el régimen turbulento, el flujo plenamente desarrollado será turbulento.

En este ultimo caso, de acuerdo con lo indicado al hablar de capa límite turbulenta, habrá siempre tres

regiones en toda la conducción: una subcapa laminar del pequeño espesor en las inmediaciones de las

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paredes, una región de transición de espesor variable, y un núcleo turbulento muy extenso en el

centro de la conducción

.

Separación de la capa limite

Una de las hipótesis que se harán siempre en el estudio de la capa limite que se forma sobre

cualquier cuerpo, es que en una sección transversal determinada la presión que existe en el interior de

la capa limite coincide con la que hay en su exterior; o dicho de otra forma, la presión exterior imprime la

presión que corresponde a la capa limite, a cada distancia x medida desde su inicio.

Placas Planas

En el exterior de la capa limite, al comportarse el fluido como ideal, se cumplirá la ecuación

de Bernouilli, de la cual puede deducirse que en el exterior de la capa limite sobre una placa plana (Vx =

V∞ = cte y gx = 0) la presión se mantiene constante a lo largo de la placa. Por consiguiente, dentro de la

capa limite isoterma sobre una placa plana la presión será también constante en toda su longitud.

Cuando, como en el caso de la placa plana, ∂p/∂x = 0, o cuando ∂p/∂x < 0 (es decir, cuando

la presión disminuye en el sentido de la circulación), el fluido decelerado que constituye la capa limite

permanece realmente junto a la superficie sólida en forma de fina película.

En cambio, cuando ∂p/∂x > 0 ( es decir, si la presión aumenta en la dirección x) el espesor

de la capa limite aumenta considerablemente, y la velocidad puede llegar a invertirse dentro de la capa

limite. En tal caso, los elementos de fluido decelerados son forzados a alejarse del cuerpo con la

consiguiente separación de la capa límite de la pared sólida y la formación de torbellinos o

remolinos en la estela del cuerpo, que producen pérdidas considerables de energía mecánica.

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Para una placa plana con gradiente adverso de presión (ap/8x > O) el fenómeno de

separación de la capa límite se vería como se esquematiza en la Figura 3:

CUERPOS REDONDEADOS.

Aunque la situación descrita en el ejemplo anterior no es muy real, sí que puede darse, en la

práctica, la separación de la capa límite en el flujo alrededor de cuerpos redondeados, tales como

cilindros o esferas. Para explicar este fenómeno; consideremos, en primer lugar, la circulación de un

fluido ideal alrededor de un cilindro, como se esquematiza en la Figura 4.

Figura 4. Circulación de un fluido alrededor de un cilindro y separación de la capa límite.

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Para un fluido ideal (sin rozamiento) en la mitad anterior del cilindro (entre A y B) existe un

aumento de la velocidad (por tener que juntarse las líneas de corriente para sortear al sólido), mientras

que en la mitad posterior (entre B y P) existe una disminución de velocidad; la velocidad es máxima en

B y es nula en A y en P. Como el fluido es ideal, es incompresible y no presenta rozamiento. Si el

cilindro es de pequeño diámetro (de modo que se pueda despreciar la variación de energía potencial) la

suma de energía cinética y de presión debe permanecer constante (ecuación de Bernouilli) sobre todos

los puntos de la superficie. Como la energía cinética es máxima en B y nula en A y en P, la presión

deberá disminuir desde A hasta B, y aumentar luego desde B hasta P, siendo la presión máxima e igual

en los puntos A y P. Si la presión es la misma en A y en P, y no hay rozamiento sobre la esfera, la

fuerza neta que actúa sobre el cilindro será nula.

Para un fluido real (con rozamiento) la situación cambia bastante. Al principio, mientras la

capa límite es aún muy delgada, se produce un flujo casi sin rozamiento. Como se ha comentado antes,

para los elementos de la corriente externa, hay conversión de energía de presión en energía cinética

desde A hasta B, y esa energía cinética vuelve a transformarse en presión desde B hasta P. Los

elementos que marchan por la capa límite se encuentran sometidos al mismo campo de presiones que

reina en la corriente libre, ya que ese campo de presiones se imprime en la capa límite. Pero, debido al

rozamiento, los elementos próximos a la pared pierden tanta energía mecánica entre A y B que ya no

les queda bastante para escalar la cuesta de presión que hay entre B y P. Estos elementos no pueden

penetrar muy profundamente en la región de presión creciente que se crea en la parte posterior del

cilindro, por lo que se detienen, son arrastrados hacia atrás por la distribución de presiones existente en

la corriente externa y se separan de la superficie del sólido.

En la Figura 4 se representa un esquema de la separación de la capa límite sobre un cilindro

y el campo de presiones que se origina sobre su superficie. En el caso del cilindro, la inversión del flujo

en la zona interior de la capa límite motiva un aumento de su espesor y origina la formación de

remolinos. La capa límite aumenta de tamaño hasta que se separa del cuerpo y se desplaza con la

corriente. Todo ello motiva un cambio completo del campo de flujo en la estela del cuerpo, sufriendo la

distribución de presiones una variación radical respecto a la del fluido ideal.

En la región de separación de la capa límite creada detrás del cilindro se produce una

apreciable depresión, como puede apreciarse en las curvas de distribución de la presión real que se dan

en la Figura 4, lo cual motiva un empuje o arrastre sobre el cuerpo, cosa que no sucedía si el fluido era

ideal.

Estos efectos explican la aparición de esta resistencia adicional al flujo (además del

rozamiento) debida a efectos de presión que se conoce con el nombre de rozamiento o resistencia de

forma. A bajas velocidades puede predominar la resistencia de fricción, pero a medida que la velocidad

aumente y se produzca el despegue de la capa límite, la resistencia de forma pasa a ser una fracción

progresivamente más grande de la resistencia total. Si aumenta mucho la velocidad, la capa límite se

hace turbulenta antes de que se produzca la separación, con lo que, al ser mucho mayor la velocidad de

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transporte de cantidad de movimiento, es menos probable que ocurra la separación; ya que el fluido que

se mueve rápidamente en la región exterior a la capa límite es capaz de arrastrar al fluido de la capa

límite hacia adelante. En este caso, la separación tiene lugar más cerca de P, y los remolinos que se

forman son menores, con lo que se reduce la resistencia de forma.

Con las denominadas formas aerodinámicas se procura que el perfil de presiones real se

ajuste lo más posible al teórico para fluidos ideales, con lo que se evita la separación de la capa límite, y

con ello el rozamiento de forma, de modo que la resistencia total es sólo la debida a la fricción y, por lo

tanto, relativamente pequeña.

El punto de separación de la capa límite viene dado por el hecho de que en ese momento

el gradiente de velocidad normal a la pared se anula, es decir: ∂ v / ∂ r = O.

ENSANCHAMIENTOS Y ESTANCAMIENTOS.

El mismo proceso de separación de la capa límite tiene lugar en conducciones que sufran un

ensanchamiento, ya que al aumentar el diámetro disminuye la velocidad, y por 1o tanto se produce un

aumento de la presión en la dirección de circulación del fluido. Si el ensanchamiento es suave, el

aumento de presión debido al ensanchamiento se compensa con la pérdida de presión que sufre el

fluido al circular, y éste se adapta perfectamente a las paredes de la conducción, como en el caso de un

fluido perfecto. En cambio, si el ensanchamiento es brusco, la presión crece también bruscamente, y la

capa límite se desprende al entrar en el ensanchamiento con formación de remolinos. Todo esto puede

verse en la Figura 5.

A partir de lo que se ha expuesto, debe haber quedado claro que el gradiente de presión a lo

largo de la superficie del sólido, combinado con el rozamiento en el mismo sentido, es decisivo para que

se produzca separación de la capa límite. Una prueba experimental de ello se puede observar en el

experimento que se representa en la Figura 6.

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En el esquema de la izquierda se muestra el flujo contra una pared perpendicular a la dirección

del fluido (corriente de estancamiento). En el eje de simetría de la corriente, que pasa por el punto de

detención hay un fuerte aumento de la presión en el sentido de la corriente, pero allí no cabe

desprendimiento de la capa límite puesto que no hay pared. Tampoco puede haber desprendimiento en

la pared perpendicular a la corriente, pues en ambos sentidos de la pared la capa límite fluye hacia

presiones más bajas.

Sin embargo, si situamos en el eje de simetría de la corriente una lámina delgada, (como se

observa a la derecha) se producirán en ella un par de capas límite, con presiones crecientes en el

sentido del flujo. Por lo tanto, esas capas límite se desprenderán de la lámina por una y otra cara.

MÉTODOS PARA EVITAR LA SEPARACIÓN DE LA CAPA LÍMITE.

La separación de la capa límite es un fenómeno perjudicial, ya que siempre entraña una

considerable disipación de energía mecánica. Por ello, siempre que sea posible se debe evitar. Un

método práctico para hacerlo es el de la succión: consiste en absorber el fluido de la capa límite hacia la

pared, a través de una estrecha hendidura situada en la pared posterior del cilindro, con lo que se evita

casi toda la separación.

Capa límite de concentración.

Así mismo, al circular un fluido con varios componentes sobre una superficie sólida en la que

la concentración de uno de ellos, Aj, sea distinta de la correspondiente al seno del fluido, se formará una

capa límite de concentración, que será la región del fluido afectada en su concentración del componente

Aj por la presencia de la superficie. En la Figura 7 se ha representado esta capa límite junto con la capa

limite termica, la cual, aunque influida por las otras dos, no tiene por qué coincidir con ellas. Su espesor,

δe, que crece con la distancia al borde frontal, será la distancia de la placa en la que la influencia de ésta

es del 1 % de la ejercida sobre la superficie de la misma, es decir:

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Cj = Cj∞ - 0.01 (Cj∞ - Cjo) en y= δc.

Fig. 7 Capas Limites de velocidad, térmica y de concentración.

ESTUDIO CUANTITATIVO DE LA CAPA LÍMITE.

Las ecuaciones de conservación y cambio planteadas (continuidad, movimiento, energía

calorífica y difusión de un componente), junto con las ecuaciones de estado y las que expresan las

propiedades de transporte en función de la temperatura, de la presión y de la composición, permiten la

so1ución exacta o aproximada de los problemas de transporte. Estas ecuaciones pueden simplificarse

en algunos casos, bien porque alguno de los términos resulten físicamente despreciables, bien porque

sea aceptable en el tratamiento considerar constantes algunas de las propiedades físicas del problema

(, k, Dj, Cp, , c), aunque luego deban extrapolarse adecuadamente los resultados a sistemas con

propiedades físicas variables.

Analizaremos el caso de la transferencia de cantidad de movimiento y por analogías con masa y calor,

se plantearan las ecuaciones para la transferencia de estas otras dos formas de transporte.

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CAPA LIMITE DE VELOCIDAD.

Capa limite laminar llega hasta que V=0.99Vc a μ y ρ constante:

------------- (1)

---------- (2)

Estas ecuaciones fueron extraídas de las tablas de balances y corresponde la ecuación B6.

Teoría de Prandtl sobre la capa límite.

Prandtl, consideró que los efectos de rozamiento debidos a la viscosidad tenían importancia

exclusivamente en las proximidades de la superficie sólida, y que podían despreciarse fuera de ésta.

Analizó el orden de magnitud de los distintos términos de estas ecuaciones, y estableció una serie de

hipótesis que permitieron simplificar considerablemente las ecuaciones (1) s (3) que se han planteado

anteriormente.

La primera hipótesis de Prandtl establece que el espesor de la capa límite de velocidad, , es

siempre muy pequeño respecto a la distancia x al punto de su iniciación. Extendiendo esta hipótesis a

los espesores de las capas límite térmica y de concentración se tendrá:

<<< x ------------ (4)

La segunda hipótesis establece que se considerarán valores típicos para evaluar el orden de

magnitud de las distintas variables y de sus variaciones, el máximo intervalo de variación de las mismas.

Así:

vx(y) V -0 V - 0 -------------(5)

Página 62 de 199

---------- (3)

y

por lo tanto:

V Vy Vy V Vy << V Vy << Vx ------------ (6)

x x

La tercera hipótesis considera los órdenes de magnitud de las derivadas segundas de los

segundos miembros de las ecuaciones planteadas:

V << V 2 V x << 2 V x --------------------- (7)

x2 2 x2 y2

desigualdades que ponen de manifiesto que el transporte longitudinal de la propiedad es

despreciable frente a su transporte transversal.

La cuarta hipótesis es una consecuencia de la segunda. Según la ecuación (6), todos los

términos del primer miembro de la ecuación (3) son de una magnitud muy inferior a los de la ecuación

(2). Evidentemente, igual relación existirá entre las magnitudes de los términos de presión de ambas:

es decir, que la presión prácticamente sólo varía en la dirección x, siendo la misma dentro o fuera de la

capa límite a igual distancia x de su origen, o lo que es igual, la presión en el exterior de la capa límite

imprime la que corresponde al interior de la misma, como ya se indicó anteriormente.

Finalmente, la quinta hipótesis se obtiene aplicando la ecuación (2) al borde externo o de la

capa límite de velocidad, para la que Vx = V, al anularse los gradientes transversales de esta velocidad,

se obtiene:

Con las cinco hipótesis que acabamos de plantear, las ecuaciones (1) a (3) se convierten en:

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que junto con las condiciones límite:

para x =0; y>0 Vx = V

x0; y= Vx = V

x0; y=0 Vx = 0

x0; y=0 Vy = 0 Vy = Vy0

constituye el denominado modelo matemático de Prandtl para la capa límite. La magnitud V, que

puede ser constante o puede depender de la posición x, deberá conocerse para que el modelo se pueda

resolver.

Aunque estas ecuaciones pueden aplicarse a la capa límite que se pueda formar sobre

cualquier superficie sólida, en el resto de este Tema sólo vamos a resolver estas ecuaciones para el

caso de la capa límite que se forma sobre una placa plana.

Capa límite laminar de velocidad sobre una placa plana.

Existen dos formas de solución en dicha ecuación parea la capa limite

Metodo Aproximado (Análisis Integral de Von Karmman)

Metodo Exacto ( Método de Blasius)

Efecto del desplazamiento

Espesor de momento

Solución exacta de Blasius.

Realizando el Análisis de ordenes de Magnitud

Magnitud de referencia V∞, L , ρV2∞ este ultimo termino de la presión de referencia.

Página 64 de 199

Blasius resolvió las ecuaciones anteriores para un flujo paralelo sobre una placa plana sobre la que

se desarrolla exclusivamente una capa límite de velocidad laminar y régimen estacionario.

Considerando isotérmico y un fluido puro, por lo que no hay transporte de calor ni de materia.

Al ser el flujo paralelo a la placa, no dependerá de X. Además, al ser el sistema isotérmico y no

existir difusión de ningún componente.

Al tratarse de un movimiento bidimensional plano, puede tratarcse introduciendo una función de

corriente,(x,y), definida de forma que satisfaga la ecuación de continuidad, definiéndose así:

Utilizando lo siguiente:

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D a n d o la t r a n s fo r m a c ió n : 0

y

Vy

x

Vx A p lic a n d o la t r a n s fo r m a c ió n d e v a r ia b le s :

yyv

yyyyxyecuaciónnuevalada

xyyx

rienteineasdecororrienteolfunciondecvxV

yxf

vx

Vyyx

2

2

:02

,

2,

Solución exacta:

lDimensionaFormay

Vx

xy

Vyvy

x

VxVx

...............................Re 2

2

de la ecuación de Bernoulli Que es una ecuación resuelta por Blasius Por transformación de variables Sin variación en la curvatura del perfil.

2

2

00

yVx

vyVy

VyxVx

Vx

xxV

V

Tercera derivada con respecto a y nuevamente:

Utilizando las siguientes condiciones limite.

Vx(0)=0

Vx()=V

Vy(0)=0

La forma de las condiciones de contorno, sugiere que la solución de este sistema de

ecuaciones diferenciales en derivadas parciales puede abordarse por el método de

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combinación de variables, definiendo una nueva variable independiente, . Como se a

desarrollado hasta ahora.

También se realizo un cambio de variable, de la función corriente por otra función de

corriente adimensional, .

La ecuación diferencial no lineal de tercer orden fue resuelta por Blasius, desarrollando la

función en serie de Taylor, en la forma:

(35)

y su derivadas valdrán:

Como f(0)=0 y f(0)=0 debe cumplirse que si se sustituyen los valores de f’’’, f y f’’

en la ecuación (34) y se agrupan los potenciales del mismo orden, se obtiene:

Como puede tomar cualquier valor entre cero e infinito, la ecuación (39) se ha de cumplir

para cualquier valor de , deberán de ser nulos todos los coeficientes de las sucesivas

potencia de . Esta condición nos lleva a las siguientes igualdades:

que ponen de manifiesto que todas que todas las constantes en el desarrollo en serie de

f() pueden:

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Función que representa la solución de la ecuación diferencial y satisface las condiciones de

contorno: . La primera condición de contorno se utiliza para

calculas el valor numérico de la única constante (2) que hay en la anterior ecuación.

Aplicando la condición:

se puede encontrar numéricamente que: . En la siguientes tabla se reproducen

los valores de para diversos valores de :

TABLA

f f’=2Vx/V f’’

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

2.2

2.4

2.6

2.8

3.0

3.2

3.4

3.6

0.00000

0.02656

0.10611

0.23795

0.42032

0.65003

0.92230

1.23099

1.56911

1.92954

2.310576

2.69238

3.08534

3.48189

3.88031

4.27964

4.67938

5.07928

5.47925

0.00000

0.26554

0.52942

0.78756

1.03352

1.25954

1.45798

1.62304

1.75218

1.84665

1.91104

1.95174

1.97558

1.98850

1.99496

1.99796

1.99922

1.99974

1.99992

1.32824

1.32588

1.30956

1.26636

1.18668

1.06700

0.91236

0.73604

0.55652

0.39236

0.25696

0.15588

0.08728

0.04536

0.02172

0.00960

0.00392

0.00148

0.00028

Página 68 de 199

3.8

4.0

4.2

5.87924

6.27923

6.67923

1.99998

2.00000

2.00000

0.00005

0.00004

0.00000

A partir de la solución exacta de la capa límite laminar sobre una placa plana obtenida por

Blasius, y de los valores de Tabla I(calculados por Howarth con mayor precisión que los del

propio Blasius) se pueden sacar una serie de valores útiles.

ESPESOR DE LA CAPA LIMITE DE VELOCIDAD

Se ha definido que el espesor, , de la capa límite de velocidad es la distancia desde la plca,

y, para la cual Vx=0.99V.

Tomando la grafica como auxiliar:

De donde se deduce que : es decir:

ESFUERZO CORTANTE EN LA SUPERFICIE DE LA PLACA

Como el gradiente de velocidad en la dirección y viene da do por:

donde el esfuerzo sobre las placas vendrá

dado por:

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dxdy

d

d

df

dy

dg

dy

dfgVx

2

Esto es Vx de la

x

x

V

vx

x

Vy

Re

5525

22

y como f’’(0)=2=1.32824, la

ecuación se puede expresar así:

Como:

Para un flujo laminar no existe capa limite pues la Fuerza de inercia y la Fuerza viscosa son iguales.

Al ser el flujo paralelo a la placa

PERFILES DE VELOCIDAD EN LA CAPA LÍMITE DE VELOCIDAD

La componente Vx de la velocidad en la capa limite viene dada por:

También existe un componente Vy de la velocidad en la capa límite aunque la velocidad de

aproximación V sea paralela a la placa plana:

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f

xx

f

y

CCfCvx

VV

vx

VVf

vx

VV

y

Vx

dy

dx

2Re

328.1

Re

664.0332.0

332.0)0(''4

2/12/10

000

Para un caso particular:

A)

B) Espesor de cantidad de movimiento: Se define como la distancia en la corriente libre normal a la

superficie a través de la cual la velocidad de flujo de momento es igual a la velocidad de perdida de

momento en la capa limite en la misma línea de corriente.

Balance de cantidad de movimiento

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Análisis de la ecuación para la primera simplificación:

Segunda simplificación:

Adimencionalizar

Dar a la ecuación una forma integral:

Página 72 de 199

Donde

0

0

0

00'

000

Re

'1

1

'

'

Re

y

Vx

y

Vx

L

V

y

Vx

y

Vx

y

xV

y

Vx

y

Vx

y

Vx

xy

y

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En este momento se ha de tener lo suficiente para el calculo de δ*,θ,τ0,CD, este ultimo llamado

coeficiente de arrastre.

Factor de Fricción: Se refiere a perdida de energía cinética en o del fluido.

Retomando nuestra ecuación:

0

1* dyV

Vx

Realizando la siguiente consideración:

Se ha de desarrollar de la manera siguiente:

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Para:

Tomando otra consideración

Método integral de Karman.

La solución obtenida anteriormente es de valor restringido ya que sólo puede aplicarse al

caso de una capa límite laminar desarrollada sobre una placa plana. Cualquier otra situación de interés

práctico más complicada que ésta requiere el uso de procedimientos analíticos que resultan, por el

momento, inferiores en precisión a las medidas experimentales. Por ello, se va a presentar ahora un

método aproximado que proporciona información para otras geometrías y tipos de flujo no considerados

Página 75 de 199

hasta ahora.

Consideremos el volumen de control representado en la Figura 9. Tiene una profundidad

unidad (Δz = 1) y está limitado en el plano XY por la superficie sólida, por el eje OY (normal a la

superficie en el punto O), por el extremo de la capa límite, y por una línea paralela al eje OY a una

distancia Δx del origen. Supondremos que el fluido es incompresible y que el flujo es estacionario y

bidimensional.

Figura 9. Volumen de control en la capa límite.

Comenzaremos aplicando un balance de materia macroscópico al volumen de control.

Como la materia sólo puede salir por el plano situado en x +Δx, y sólo puede entrar por el plano situado

en x y por el extremo de la capa límite que cierra por arriba el volumen de control, la expresión del

balance de materia en estado estacionario será:

---------- (k.1)

siendo msup el caudal másico que entra por la parte superior del volumen de control. El valor de este

caudal es:

----------- (k.2)

Apliquemos ahora un balance macroscópico de cantidad de movimiento al volumen de

control, en estado estacionario. Su componente x será:

--------------- (k.3)

Página 76 de 199

Hagamos un estudio de sus dos miembros. La integral de superficie se transforma en:

----------- (k.4)

y el sumatorio de las fuerzas que actúan sobre el volumen de control vendrá dado por:

-------( k.5)

donde es el espesor (variable) de la capa límite. Todos los términos de la derecha irían. multiplicados

por Δz = 1, y se han supuesto despreciables las fuerzas gravitatorias. Los términos del segundo

miembro de la ecuación (k.2) representan las fuerzas x-dirigidas siguientes: sobre la izquierda, sobre la

derecha, sobre la parte superior y sobre la parte inferior, respectivamente.

Sustituyendo en la ecuación (k.3) todos los valores calculados en las expresiones (k.2), (k.4} Y (k.5),

resulta:

-------- (k.6)

Reordenando, dividiendo por Δx y tomando el límite cuando Δx →0, se obtiene:

----------- (k.7)

Por otra parte, el propio concepto de capa límite supone que el flujo más allá de ella es sin

rozamiento, por lo que se cumplirá la ecuación de Bemouilli, que escrita en forma diferencial tiene la

forma:

Página 77 de 199

--------- (k.8)

y que se puede transformar en:

------- (k.9)

Como la presión en el exterior de la capa límite imprime la que corresponde al interior de la

misma, la ecuación (k.9) será válida dentro de la capa límite. Sustituyendo la ecuación (k.9) en la (k.7) y

reordenando, se llega a:

Esta es la expresión que proporciona el método integral de Karman para el estudio de la capa límite.

Se trata de una expresión general cuya resolución necesita que se conozca el perfil de velocidad Vx(y).

La precisión del resultado final dependerá de la aproximación del perfil supuesto al real. Puede aplicarse

sea cual sea la geometría de la superficie sólida y el tipo de flujo que se desarrolle.

ESTUDIO DE LA CAPA LIMITE

Estas ecuaciones por tener tanta similitud entres si tienen la misma solución o se resuelven de la

misma forma:

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Sacando el flux en la pared, pues no hay velocidad en y por lo tanto no hay convección:

K= Coeficiente de Transferencia de Masa es un parámetro de :

1.- Del sistema-de las especies químicas.

2.- Hidrodinamica-(Re, Velocidad).

3.- Geometría-La forma(Cilindro, plano, l/d, área o formula)

Para calcular en cualquier punto:

La capa limite se considera tres veces mayor que la capa de cantidad de movimiento:

Se integra para una longitud para encontrar Sh promedio:

exacto

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toEnfriamiendeLeyCaCapKN AAy )(

1Re332.0:lim

1Re332.0

2/1

2/1

ScvalidoShD

xKitecapaPara

Scsix

DK

xxAB

A

xAB

A

FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA.

Vamos a considerar el caso del flujo laminar sobre una placa plana, para la cual conocemos la

ecuación exacta de Blasius. En este caso, la velocidad de la corriente libre V es constante y se

simplifica a:

Polhausen obtuvo una solución a esta ecuación, suponiendo un perfil de velocidades en la

capa límite de la forma:

Vx = a + by + cy2 + dy3

Las constantes a, b, c y d pueden evaluarse a partir de las condiciones de contorno que deben

cumplir:

CC1: En y = 0 vx = 0

CC2: En y = vX = V

CC3: En y = vX /y=0

CC4: En y = 0 2 vX /y2=0

La CC4 se deduce de la componente x de la ecuación de movimiento: en y=0,

vx= vy = 0 y como p/x =0 por ser V = cte, 2 vX /y2 debe ser igual a cero.

Aplicando las ecuaciones de contorno, se encuentra que:

a = 0 b = 3 V / 2 c = 0 d = - V/ 23

Lo que proporciona el perfil de velocidad:

Si tenemos en cuenta que:

Página 80 de 199

Si sustituimos las ecuaciones :

Integrando,

Ecuación diferencial ordinaria cuya integración conduce a :

Que si la comparamos con la ecuación exacta de Blasius en la que el coeficiente numérico es de

4.92, observamos que el error cometido es inferior al 6%. Esto muestra la utilidad del método integral

para la solución de la capa límite, e indica un procedimiento que puede utilizarse con exactitud

razonable para predecir los espesores de la capa límite.

El razonamiento utilizado puede extenderse fácilmente a los otros fenómenos de transporte, de modo

que, análogamente a la ecuación primera se puede obtener:

y, en general, haciendo uso de las variables adimensionales, se obtiene:

con las condiciones límite:

pudiendo utilizarse para perfiles análogos a los de , es decir:

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Operando de esta forma se obtiene:

FLUJO TURBULENTO SOBRE UNA PLACA PLANA

Si suponemos que la capa límite es turbulenta desde su comienzo, se pueden obtener unos

resultados aproximados que , desde luego, no se verán válidos para la parte laminar de la capa límite.

La ecuación de Karman sigue siendo válida, ya que se ha deducido de un balance macroscópico que

no hace referencia al mecanismo de circulación del fluido. Por lo tanto, para la capa límite sobre una

placa plana con gradiente nulo de presiones, es decir, con V= cte, se cumplirá:

Los valores experimentales de la distribución de velocidad en régimen turbulento en el interior

de conducciones, muestran que se pueden ajustar a una ecuación teórica del tipo:

Donde Vmax es la velocidad en el centro de la conducción, análoga a V para el flujo externo. El

exponente n es una función del Re. A fin de proceder a la integración de la ecuación inicial, elegimos

el valor de n=7 (válido para Re en condiciones).

Un problema adicional que surge es que este perfil es una buena aproximación para el seno de la

capa límite, pero va mal cerca de la placa, por lo que no debe de usarse para calcular gradientes

sobre la placa, y por lo tanto, densidades de flujo. Por eso, en lugar de utilizar la ley de Newton para

calcular yx0 que no tiene validez para el flujo turbulento, utilizamos una ecuación obtenida por

Blassius para el flujo turbulento en condiciones con la capa límite totalmente desarrollada, y que se

ha demostrado que es válida hasta valores de Rex de 107 sobre placas planas.

Sustituyendo las ecuaciones anteriores definidas en la ecuación original, se obtiene:

Integrando,

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Separando variables e integrando,

donde C es una constante de integración que puede evaluarse aplicando la condición de contorno

ficticia de que para , ya que hemos supuesto que la cApa límite es turbulenta desde el

mismo borde de ataque. Con ello, C=0, y se obtiene:

Con el razonamiento análogo, extendido a los casos de transporte de

energía y transporte de materia, se puede hacer también un tratamiento global para el caso de

transporte turbulento sobre una placa plana. Los resultados que se obtienen son:

REGRESAR...

Página 83 de 199

Capítulo 9

TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA.

La transferencia de masa por convección es la que realiza entre una superficie limite y un fluido en

movimiento o entre dos fluidos en movimiento, relativamente no miscibles. La ecuación de rapidez

correspondiente a la transferencia de masa, es:

Esta sencilla ecuación es la que define a kc, el coeficiente de transferencia convectiva de masa; este

coeficiente esta relacionado con las propiedades del fluido, con sus características dinámicas y con la

geometría del sistema específico bajo estudio.

Consideraciones fundamentales acerca de la transferencia convectiva de masa.

La transferencia molecular de masa siempre estará presente y siempre tendrá un papel

importante en cualquier proceso de convección.

Si el flujo de fluido es laminar, entonces toda la transferencia entre la superficie y el fluido

en movimiento se llevara acabo por medios moleculares.

Si el flujo de fluido es turbulento, habrá un movimiento físico de paquetes de materia a lo

largo de las líneas de flujo transportadas por los remolinos presentes en el flujo turbulento.

La distinción entre los flujos laminar y turbulento será de vital importancia en cualquier

situación convectiva.

Existen cuatro métodos de evaluación de los coeficientes de transferencia convectiva de masa, son:

Análisis dimensional acoplado con experimentos

Análisis exacto de capa limite

Análisis aproximado de capa limite

Analogía entre la transferencia de momento, energía y masa

Estos cuatro métodos se expondrán a agrandes rasgos a continuación:

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Parámetros importantes en la transferencia convectiva de masa.

a menudo se utilizan parámetros adimensionales para relacionar los datos relativos a la transferencia

convectiva.

En la transferencia de momento, son importantes los números de Reynolds y Euler:

En la relación de datos de la transferencia convectiva de calor, son importantes los números de

Prandtl y Nusselt.

Algunos de los mismos parámetros junto con ciertas razones adimensionales recién definidas,

resultaran de utilidad en la correlación de datos correspondientes a la transferencia de masa.

La razón de la difusividad molecular de momento a la difusividad molecular de la masa se denomina

numero de Schmidt:

Difusividad de momento / difusividad de masa.

El numero de Schmidt tiene una importancia en la transferencia convectiva de masa, análoga a la del

numero de Prandtl, en la transferencia convectiva de calor.

La razón de la difusividad molecular del calor a la de la masa, se denomina numero de Lewis:

difusividad térmica / difusividad de masa.

El número de Lewis aparece cuando en un proceso existe la transferencia simultánea de masa y

energía. Los números de Schmidt y Lewis son combinaciones de las propiedades de los fluidos, por

lo tanto, cada uno de ellos se puede considerar como una propiedad del sistema en difusión.

A es un soluto sólido que se transfiere a un fluido, por medio del rose del fluido con la pared sólida.

En este caso la transferencia de masa del sólido al fluido se escribe de la siguiente manera:

, la transferencia de masa se presenta por difusión molecular en la pared se

rescribe: Considerando CA,S constante, simplificándose:

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esta y la primera se refieren al mismo flujo de A por lo tanto pueden

resolverse por igualación de las mismas produciendo una reacción:

que se redondea de la forma que se muestra a continuación:

Ahora tomado una longitud significativa es posible obtener una ecuación adimensional:

La relación de los gradientes de concentración del soluto y el fluido son considerada la relación de la

resistencia a la transferencia molecular de masa y la resistencia del fluido a la transferencia

convectiva de masa. Donde la relación se denomina como numero de Nusselt de transferencia

de masa, también llamado numero de Sherwood. Sc, UnAB o Sh y Le son importantes para las

definiciones de la transferencia de masa convectiva.

MODELOS DE COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA

Durante años se han estado usando los coeficientes de transferencia convectiva de masa en el

diseño de equipo de transferencia de masa. Sin embargo , en muchos casos has sido coeficientes

empíricos determinados a partir de investigaciones experimentales.

Existen dos posibles modelos para explicar la transferencia convectiva de masa.

La teoría de la película

La teoría de la penetración.

La teoría de la película se basa en la presencia de una película ficticia de fluido en flujo laminar,

próxima a la frontera, en la cual se ofrece una resistencia a la transferencia de masa, igual que la que

existe verdaderamente en todo el fluido en movimiento.

Página 86 de 199

En otras palabras se supone que toda la transferencia existe en una película ficticia en la que la

transferencia se realiza totalmente por medio de la difusión molecular. El espesor de la película debe

extenderse más allá de la subcapa laminar para incluir la resistencia equivalente que se encuentra

cuando la concentración cambia dentro de la capa de amortiguamiento y el núcleo turbulento.

Esta teoría predice que el coeficiente de transferencia de masa es:

el coeficiente de transferencia de masa correspondiente a la contradifusión equimolar, se expresa en

la forma.

el coeficiente de transferencia de masa convectiva se relaciona directamente con el de difusividad de

la masa molecular.

El espesor de la película nunca puede medirse puesto que no existe, por estas razones se han

postulado otros modelos para describir este fenómeno.

La Teoría de la Penetración fue propuesta por Higbie para expliar la transferencia de masa en al

fase líquida durante la absorción del gas

Danckwersts la ha aplicado al flujo turbulento y también lo han hecho otros investigadores cuando la

componente en difusión solo penetra a corta distancia en al fase de interés a causa de su

desaparición rápida por medio de la reacción química o del tiempo, relativamente corto, de contacto.

Higbie supuso que la masa se transfería a la fase líquida por medio de la transferencia molecular en

estado no permanente y se expreso el flujo de masa en la interfase líquido-gas, en la forma:

Danckwerts aplicó este concepto de estado no permanente a la absorción de la componente A en una

corriente turbulenta de líquido. Su modelo supone que el movimiento del líquido ocasiona

constantemente remolinos de líquido nuevo del interior hacia la superficie, donde desplazan a los

elementos de líquido que se encontraban anteriormente en la superficie.

Mientras se encuentra en la superficie cada uno de los elementos del líquido queda expuesto a la

segunda fase y se transfiere masa la líquido como si este estuviera estancado y fuera infinitamente

profundo. La rapidez de transferencia depende del tiempo de exposición.

Si cada elemento de la superficie tiene el mismo tiempo de exposición antes de ser reemplazado.

Esto permite pensar que la transferencia instantánea de masa ocurrira de acuerdo a la ecuación 1 . la

cantidad total de soluto que penetrara en el remolino en un tiempo de exposición igual a texp es:

Página 87 de 199

y la rapidez media de transferencia durante la exposición se obtiene dividiendo la ecuación anterior

entre el tiempo de exposición:

Danckwerts modificó la suposición de un periodo costanate de exposición proponiendo un conjunto

infinito de valores de las edades de los elementos de la superficie.

La rapidez de transferencia de masa con renovación superficial aleatoria es:

donde los valores de S se obtienes por medio de investigaciones experimentales.

En ambos modelos: la de película y de penetración, la transferencia de masa comprende una interfse

entre dol fluidos en movimiento. Cuando una de las fases es un sóido, la velocidad del fluido paralela

a la superficie en al interfase debe ser igual acero, por lo aula es de esperarse que exista la

necesidad deun tercer modelo, el modelo de la capa límite para correlacionar ls datos

correspondientes a una sóido que se sublima convirtiéndose en gs o un sólido que se disuelve ,

transformadose en líquido el coefiente promedio de transferencia de masa correspondiente a la

difusión a traves de una capa laminar es

esto demuestra que el coefiente de transferencia de masa varia con DAB2/3 .

Página 88 de 199

ANALISIS EXACTO DE LA CONCENTRACION LAMINAR DE LA CAPA LIMITE

Blasius obtuvo una solución exacta, para la capa límite hidrodinámica para el fluido paralelo a una

superficie plana, en este caso se incluirá la transferencia convectiva de masa para el mismo flujo

laminar.

Para la capa limite en estado permanente para la transferencia de momento convectiva, considerando

la ecuación bidimensional de continuidad: , para una dirección X y velocidad ambas

constantes:

Existe una ecuación que es capas de describir la transferencia de energía en estado permanente,

incompresible y bidimensional con una difusividad constante en un flujo isobárico para una capa

térmica límite:

La ecuación de pata un flujo permanente incompresible y bidimensional de difusividad constante

aplicada a la transferencia de masa en la capa límite de concentración:

Para la solución tenemos las siguientes condiciones limite:

La velocidad en dirección x en la pared y la velocidad es cero

L transferencia convectiva de calor cuando la razón del momento a la difusividad térmica,

se ha de utilizar el mismo tipo de solución para describir la transferencia convectiva de masa cuando

la razón: momento-difusividad de masa,

Página 89 de 199

Atizando la solución antes mencionada para la concentración en la capa limite:

La expresión correspondiente al gradiente de la concentración en la superficie:

Para cuando la velocidad de y en la superficie en igual a cero(Vy,s) la contribución global, el flujo de

m asa de la superficie en dirección Y. La transferencia de masa de la superficie plana para la capa

límite es:

Esta ecuación esta restringida para cuando el Schmidt, Sc, sea igual a uno y con una rápidez de

transferencia de masa entre la placa plana y la capa límite, muy baja.

ANALISIS APROXIMADO DE LA CAPA LIMITE DE CONCENTRACION.

Página 90 de 199

Cuando un flujo es de un tipo diferente al laminar o cuando la configuración es otra que no sea una

placa plana, existen pocas soluciones exactas para la transferencia en una capa limitada.

Le método aproximado, encontrado por Von Karmán para describir la capa límite hidrodinámica, se

puede utilizar en el análisis de la capa límite de concentración.

Analizando el volumen de control localizado en la capa límite de concentración, tal como se muestra

en la figura, este volumen representado por líneas punteadas, tiene un ancho igual a X, una altura

igual al espesor de la capa límite de concentración, c y profundidad.

Si se hace un balance de la masa molar en estado permanente sobre el volumen de control se tendrá

la relación.

donde WA es la rapidez molar de transferencia de masa de la componente A. En cada una de la

superficies , la rapidez se expresa así:

en términos de rapidez molar, se puede rescribir la ecuación 1 en la forma

Página 91 de 199

Reordenando y dividiendo ecuación 2 entre x y calcular el resultado en el límite, cuando x tiende a

cero, se obtiene:

Ecuación integral de von Karman

Para resolver la ecuación 3 deben conocerse los perfiles de velocidad y l concentración que

usualmente se desconocen y se deben suponer.

Las siguientes son algunas de las condiciones de frontera que deben satisfacer las condiciones

supuestas.

CL1

CL2

CL.3

CL.4

Página 92 de 199

El perfil de concentración supuesto debe satisfacer las condiciones correspondientes de

frontera en función de las concentraciones.

el flujo laminar paralelo a una superficie plana, se puede usar la ecuación integral de von

Kármán, ecuación 4 para obtener una solución aproximada. Como primeras aproximación

vamosa a tomar una expresión en serie de potencias, para la variación de la concentración con

y.

aplicando condiciones de frontera se obtendrá la expresión

si se supone que el perfil de la velocidad tiene la misma forma en serie de potencias, entonces

la expresión resultante, es:

sustituyendo las ecuaciones 5 y 6 en la expresión integral(ecuación 4) se obtiene:

aunque la expresión anterior no es la correcta , es suficientemente aproximada para indicar que

se puede usar el método integral con bastante confianza con otras situaciones en las que no se

conozca una solución exacta.

La ecuación 4 , también se ha utilizado para obtener una solución aproximada de la capa límite

turbulenta sobre la placa plana. Si se toma el valor aproximado del perfil de la velocidad igual a:

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y el valora aproximado de la concentración , es igual a:

el número de Nusselt de la capa turbulenta es:

ANALOGIAS ENTRE FENOMENOS DE TRANSPORTE

Se has observado similitudes entre las ecuaciones diferenciales que describen el transporte en

la interfase de cantidad de movimiento, energía y materia, y también entre las condiciones de

contorno, utilizando variables adimensionales. Esto nos sugiere que se puedan determinar las

velocidades de transporte de materia y energía a partir del cálculo de la velocidad de transporte

de cantidad de movimiento o viceversa, aprovechando las similitudes entre el transporte de las

tres propiedades para relacionar entre sí coeficientes de transporte, y permitir el cálculo de uno

de ellos si se conoce el otro en las mismas condiciones de flujo.

Estas semejanzas existentes en los fenómenos de transporte tienen condiciones o

características a satisfacer, a continuación son mencionadas:

Sus propiedades físicas deben permanecer constantes.

En el sistema no debe existir generación de materia

No debe existir radiación

No debe existir disipación viscosa de energía en el sistema.

No se debe ver afectada la velocidad por la transferencia de materia.

Estas analogías se suelen establecer a partir de las ecuaciones que dan las densidades de flujo

total (tanto por transporte molecular como por turbulento), y que según la teoría de Boussinesq

serían:

Partiendo que la densidad de flujo varía con la linealidad de la distancia, lo cual se puede

comprobar para el transporte de la cantidad de movimiento y muy aproximado para el

transporte de materia y energía si es flujo turbulento en estado estacionario, la relación entre la

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densidad de flujo en la interfase (y0) y la densidad de flujo de propiedad en un punto cualquiera

(y), se puede expresar:

De modo que las anteriores se escriben:

ANALOGIA DE REYNOLDS Y DE SHERWOOD-KARMAN.

Tomando las ecuaciones 47 y 48 y suponiendo un flujo muy turbulento para despresar v frente

a Eτ y frente a Eq, se obtiene:

En la teoría de Prandtl, Eτ, Eq y EM son iguales, de manera experimental existe una variación de

l 0.5 y 1. Admitiendo la igualdad entre Eτ, y Eq y recordando la definición de factor de rozamiento

local y de coeficiente individual local de transmisión de calor, la ecuación (51) se da:

-1/2 f ρ V 2 c p = - V

h(To - Tb) T0 - Tb (52)

Es decir

St = Nu = h = f

RePr cpVρ 2

Que se denomina analogía de Reynolds entre transporte de cantidad de movimiento y

transporte de energía.

El miembro primero recibe el nombre de Modulo de Stanton (St), y representa el coeficiente

entre el calor que se trasfiere y la capacidad térmica del fluido.

Se realizo una extensión de la analogía de Reynolds a los transportes de cantidad de

movimiento y de materia. A paritr de las ecuaciones 47 y 49 y se tiene:

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StAB = Sh = kc = f

ReSc V 2

Que es la analogía Sherwood y Karman entre transporte de cantidad de movimiento y

trnasporte de materia. El primer miembro recibe el nombre de módulo de Stanton de masa (St

AB).

De las ecuaciones de 53 y 54 se obtine:

h = kc = f

ρcpV V 2

Para la transferencia de masa en los fluidos de gases y la transmisión de calor, presenta una

desviación del 35% de los datos experimentales, Para los que Pr ≈ Sc ≈ 1.

ANALOGÍAS DE PRANDTL-TAYLOR Y DE COLBURN.

Las analogías de Reynolds y de Sherwood-Karman no tenían en cuenta la distribución real de

velocidades en el interior de conducciones, ya que se supone una región turbulenta. Prandtl y

Taylor considera que en todo flujo turbulento por interior de un conducción existe una delgada

capa laminar junto a la interfase en la que el transporte es siempre molecular. Se distinguen dos

regiones: la capa delgada laminar y un núcleo central turbulento.

Para poder realizar la otra analogía se supone que el núcleo cumple la analogía de Reynolds,

mientras que en la capa laminar solo se utilizan las ecuaciones de velocidad para transporte

molecular, combinado estas dos ecuaciones considerando resistencias en serie obteniéndose

una sola ecuación para la resistencia total.

St = Nu = h = f/2 .

RePr cpVρ 1-5[f/2]1/2(Pr-1)

llamada analogía de Prandtl y Taylor entre el transporte de cantidad e movimiento y transporte

de energía. Esta analogía se convierte en la de Reynolds cuando Pr = 1.

Colburn aplicó estas mismas ideas a los transportes de cantidad de movimiento y matería, y con

similares postulados llegó a:

St = Sh = kc = f/2 .

ReSc V 1-5[f/2]1/2(Sc-1)]

Se denomina la analogía de Colburn entre transporte de cantidad de movimiento y de materia.

Esta analogía se convierte en la Sherwood-Karman cuando Sc = 1.

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Estas analogías concuerdan con datos experimentales de transmisión de calor y transferencia

de materia en los flujos de gases y de líquidos de poca viscosidad, cuyos módulos de Prandtl y

Schmidt no sean demasiado elevados.

ANALOGÍAS DE KARMAN Y DE SHERWOOD

Karman considero que un flujo interno en régimen turbulento podría dividirse en tres regiones.

Una subcapa laminar inmediata a la pared de la conducción en la que sólo es posible el

transport5e molecular de propiedad, ya considerada por Prandtl y Taylor en su analogía; Una

región de transición en la que el transporte molecular y turbulento son del mismo orden; y en

núcleo turbulento en el que sólo tiene importancia el transporte turbulento y que fue la única

región considerad por Reynolds.

El proceso completo de transporte debe de ser en forma de resistencia en seria, por lo que se

deduce la siguiente analogía entre el transporte de cantidad de movimiento y de energía:

St = Nu = h = f/2 .

RePr cpVρ 1-5(f/2)1/2[Pr-1 + ln (1+5Pr / 6)] 58

Denominada analogía de Karman entre el transporte de cantidad de movimiento y materia, con

otros postulados similares llego a:

St = Nu = kc = f/2 .

ReSc V 1-5(f/2)1/2[Sc-1 + ln (1+5Sc / 6)]

Llamada analogía de Sherwood entre el transporte de cantidad de movimiento y de materia.

Esto cuando Sherwood-Karman Sc = 1 .

También concuerdan razonablemente con los datos experimentales de transmisión de calor y

de materia, en los fluidos cuyos números de Pr y St no están excesivamente reducidos.

ANALOGÍA DE MARTINELLI

Así como en las analogías de Reynolds, Prandtl-Taylor y Karman entre transporte de cantidad

de movimiento y transporte de energía se ha despreciado en el núcleo turbulento la contribución

molecular al transporte de propiedad, despreciando v y frente a Eτ y Eq, la analogía que

desarrolla Martinelli para los metales líquidos principalmente, desprecia viscosidad cinemática,

pero no la difusividad térmica en la región.

Con un flujo de calor constante en las paredes de conducción, considero también las tres

regiones que ya antes definimos. y llegó a:

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esta constituye la llamada analogía Martinelli entre transporte de cantidad de movimiento y

transporte de energía. Los valores de F y de (To-Tb) / (To – Tc), donde Tc es la temperatura en el

centro de la conducción se da en la tablas siguientes:

Pr . Re

Re

104 105 106

102 0.180 0.098 0.052

103 0.650 0.450 0.290

104 0.920 0.830 0.650

105 0.990 0.985 0.980

106 1.000 1.000 1.000

Re

Pr 104 105 106 107

0 0.564 0.558 0.553 0.550

10-4 0.568 0.560 0.565 0.617

10-3 0.570 0.572 0.627 0.728

10-2 0.599 0.639 0.738 0.813

10-1 0.692 0.761 0.823 0.864

0 0.865 0.877 0.897 0.912

10 0.958 0.962 0.963 0.966

102 0.992 0.993 0.993 0.994

103 1.000 1.000 1.000 1.000

ANALOGÍA SEMIEMPIRICA DE CHILTON Y COLBURN

Esta es una analogía entre la cantidad de movimiento, de energía y de materia en sistemas con

circulación turbulenta, introduciendo factores j para la transmisión de calor y para la

transferencia de materia, jH y jD definidos así:

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La analogía de Chilton y Colburn para la energía y la materia que da así:

tomando los siguientes rangos Para los fluidos que se han de calcular en

placas planas en el interior de conductos se cumple también:

Referencias

Bird, R. B., et al. FENÓMENOS DE TRANSPORTE. 1ª ed. Ed. Reverté. México

1998.

Welty, Wick and Wilson. FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE

MOMENTO, CALOR Y MASA. 1ª ed en español. Ed.

Geankoplis, Christie J. PROCESOS DE TRANSPORTE Y OPERACIONES

UNITARIAS. pp., 319-328

Perry, Robert H. MANUAL DEL INGENIERO QUÍMICO Tomo 1. 6ª ed. Ed. Mc

Graw Hill. México 2001.

Foust, Alan S. PRINCIPIOS DE OPERACIONES UNITARIAS.pp. 25-30

Mataix, Claudio. Mecanica de Fluidos y Maquinas Hidraulicas. pp 176.

REGRESAR......

Página 99 de 199

DIFUSIÓN MOLECULAR EN ESTADO NO ESTACIONARIO

En éste capítulo consideraremos problemas en los que existe variación de la concentración con respecto al tiempo. Estos problemas, en general, caen en dos categorías: un proceso en el que se está en estado estacionario solamente al inicio del mismo, y un proceso en el cual la concentración sigue cambiando al cambiar el tiempo. La ecuación diferencial con respecto al tiempo se deriva de la ecuación diferencial general de la transferencia de masa. Cabe mencionar que la solución a las ecuaciones diferenciales resultantes es generalmente difícil y requiere de técnicas matemáticas avanzadas por lo que debemos considerar la solución de algunos procesos menos complejos de los procesos de transferencia de masa.

l.- DIFUSIÓN EN ESTADO NO ESTACIONARIO Y LA SEGUNDA LEY DE FICK

La segunda ley de Fick de la difusión de la transferencia de masa unidireccional está dada por:

(27.1)

la cual describe una situación física en la cual no hay movimiento de masa, por lo tanto v=0 y no hay reacción química dado que RA=0. Esta situación se manifiesta en el caso de sólidos, líquidos en estado estacionario o sistemas que tienen contradifusión equimolar. Se puede expresar en otros términos de concentración, por ejemplo la densidad

(27.2)

Si la densidad de una fase dada representa esencialmente, la transferencia de masa durante un periodo constante, entonces, la densidad de la especie A puede dividirse entre la densidad total, de ésta manera la ecuación queda en términos de la fracción peso de A, wA

(27.3)

Cuando la fase pierde una cantidad considerable de soluto la densidad total no es constante y la ecuación anterior no puede ser usada para explicar la transferencia de masa. Bajo éstas circunstancias, es preferible dividir entre la densidad para una fase dada en una base libre de soluto de la siguiente manera

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y se llega a

(27.4)

donde w´A es la fracción peso de A dividida en un negativo de la fracción peso de A. De igual manera, de la ecuación anterior se llega a la segunda ley de Fourier de conducción de calor

(27.5)

a través de la cual se establece una analogía entre la difusión molecular y la conducción del calor.

La solución analítica a la segunda ley de Fick es comúnmente obtenida por transformadas de Laplace o por transformación de variables; está solución puede ser descrita por difusión instantánea en un medio semiinfinito y por difusión instantánea en un medio dimensionanl finito.

2.-DIFUSIÓN EN ESTADO ESTACIONARIO EN UN MEDIO SEMI-INFINITO

Un caso importante de difusión de masa en transito a la solución analítica es la transferencia unidimensional de masa de un soluto dentro de un liquido estacionario semiinfinito o un medio solidó donde la concentración en la superficie es fija para el soluto. Por ejemplo se puede describir la absorción de oxigeno-gas en el fondo de un tanque con agua, el “doping” de fósforo en una capa de silicio, o el proceso de difusión en fase sólida que involucra el caso de endurecimiento de acero templado dentro de una atmósfera carburante. La figura 27.1 presenta los perfiles de concentración con los incrementos de tiempo para un medio semiinfinito que tiene una concentración inicial uniforme de cAo y una concentración de la superficie constante, cAs . La Ecuación diferencial para ser resuelta es

(27.1)

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Figura 27.1. Perfil de concentración de a difusión de AsH a través de una película de silicio

La ecuación 27-1 es sujeta al la condición inicial.

para toda z

Se requieren dos condiciones límite. La primera condición en la superficie es

para t > 0

Debe ser especificada un asegunda condición limite en dirección z. Esta es obtenida asumiendo que el soluto difundido solo penetra una pequeña distancia durante un tiempo finito de exposición en comparación a la profundidad del medio, esta suposición nos lleva a la siguiente condición límite

para toda t.

La solución analítica de la ecuación (27-1) con el limite declarado y las condiciones limite pueden ser obtenidas por técnicas de Transformadas de Laplace. La solución analítica se facilita haciendo homogéneas las condiciones limite usando la transformación simple

La ecuación diferencial parcial y sus condiciones limite iniciales se vuelven con

(27.6)

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La transformación de Laplace de la ecuación 27-6 con respecto a los rendimientos del tiempo

Que transforma de la ecuación diferencial ordinaria

(27.7)

Con las condiciones limite transformadas de

Y

La solución analítica de esta ecuación diferencial es

La condición limite es z = requiere la constante de integración A1 para ser cero. La condición limite z = 0 requiere

Por consiguiente, la solución analítica se reduce a

(27.8)

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La Transformada inversa de Laplace de la ecuación (27-8) pueden ser encontrados en alguna tabla de transformada de La place. El resultado es

El cual puede ser expresado como el cambio de concentración adimensional con respecto a la concentración inicial de especies A, cA0, como

(27.9)

O con respecto a la concentración en la superficie de la especie a, cA0, como

(27.10)

La ecuación (27-10) es análoga a la conducción de calor en un pared semiinfinita dada por la ecuación (18-20). El argumento de la función error, dada por la cantidad adimensional

Contiene las variables independientes de posición z y tiempo t.

En general, la función error es definida por

Donde ф es el argumento de función error y ξ es la variable simulada para. La función error es aproximada por

Y

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El flux de difusión unidimensional de la especia A dentro de un medio semiinfinito en la superficie del medio (z=0) es

Para obtener el flux difusivo de especies A dentro de el medio semiinfinito, necesitamos obtener la derivada de cA con respecto a z. Aplicando la regla de la cadena de diferenciación de la función error para la ecuación (27-10) obtenemos

El cual insertado dentro de la ecuación del flux obtenemos

(27.11)

3.- DIFUSIÓN TRANSEÚNTE EN UN MEDIO DIMENSIONAL FINITO BAJO LAS CONDICIONES DE RESISTENCIA DE LA SUPERFICIE DESPRECIABLE

Las soluciones para procesos de transferencia de masa dependiente del tiempo se obtienen para formas geométricas simples usando la técnica de separación de variables.

Ejemplo ilustrativo 1.

Considere la difusión molecular de un soluto a través de una tabla sólida de grosor uniforme L. Debido a la velocidad lenta de difusión molecular dentro de los sólidos, el término de la contribución volumétrica de la primera ley de Fick se acerca el cero.Obtenemos

(27.1)Cuyas condiciones iniciales y de frontera son:

CA= C Ao en t = 0 para 0 < z < LCA= C As en z = 0 para t > 0 CA= C As en z = L para t > 0

Para simplificar adimesionalizamos. Tomamos CAs como base de cálculo.

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observando que CAo – CAs = Cte y que (CA – CAs) = (CA)

La ecuación diferencial parcial se convierte en

(27.12)

Cuyas condiciones iniciales y de frontera son:Y= Yo en t = 0 para 0 < z < LY= 0 en z = 0 para t > 0 Y= 0 en z = L para t > 0

Esta ecuación se puede escribir de la forma en que su solución es el producto dos funciones una dependiente del tiempo y otra dependiente de la posición. Las derivadas parciales serán entonces:

y

Sustituyendo en la ecuación adimensionalizada se produce:

Separando variables obtenemos:

(27.13)

El lado izquierdo de esta ecuación sólo depende del tiempo t y el lado derecho sólo depende de la posición z. Si t varía, el lado derecho de la ecuación permanece constante, y si z varía, el lado izquierdo permanece constante. De acuerdo con, ambos lados deben ser independientes de z y t y deben ser igual a una constante arbitraria, -2. Esto produce dos ecuaciones diferenciales ordinarias separadas, una para el tiempo t

y una para la posición z

cuyas soluciones son

Página 106 de 199

Y

respectivamente.

Sustituyendo obtenemos

(27.14)

Cuyas condiciones iniciales y de frontera produce:

Y= 0 en z = 0 = 0 Y= 0 en z = L sin(L) = 0

Porque no puede ser 0, porque nos daría toda la ecuación 0 y una solución trivial.

sin(L) = 0 si

Para tener aplicáramos propiedades ortogonales obteniendo como solución:

(27.15)

donde L ese grosor de la hoja, y XD es la proporción de tiempo relativa, dado por

con x1 siendo la longitud característica de L/2. Si la hoja tiene una concentración inicial uniforme a lo largo de z, la solución final es:

(27.16)

El flux en cualquier posición z es

para el perfil de concentración dado, el flux en cualquier posición z y tiempo t es:

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(27.17)

En el centro de la tabla (z = L/2), NA es igual a 0. Matemáticamente es igual poner a cero porque el término del coseno en la ecuación del flux desaparece a los intervalos de /2; físicamente es igual poner a cero porque el flujo neto es igual a cero en el línea central de simetría. Por consiguiente, la siguiente condición límite a z = L/2 también sostiene:

La ecuación de flux también puede usarse para la situación física dónde una tabla de corresponder a un espesor de x, tiene una barrera impermeable al límite z = x.

Ejemplo ilustrativo 2, Dopaje de átomos de fósforo

Los métodos para poner los átomos de fósforo en la superficie de la lámina de silicio incluye deposición de vapor química e implantación del ion. En un proceso típico, el oxicloruro fosforoso, POCl3 que tiene un punto de ebullición normal de 105.3°C se vaporiza. Los vapores de POCl3 se alimentan en un reactor de deposición de vapor química (CVD) a la temperatura elevada y la presión del sistema reducida (por ejemplo, 0.1 atm), dónde POCl3 descompone en la superficie de silicio según la reacción

Si(s) + 2 POCl3 (g) SiO2 (s) + 3Cl2 + 2P(s)

Un recubrimiento SiO2 rico en moléculas de fosforoso (P) se forma encima de la superficie del silicio cristalino. El fosforoso molecular se difunde a través del silicio cristalino para formar una película delgada de Si-P. Así que la capa es la fuente para el traslado de masa de fosforoso, y la lámina de silicio es el medio para el traslado de masa de fosforoso.

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Figura 27.2 Dopaje fosforito de una lámina de silicio

El proceso para hacer las películas delgadas al Si-P puede ser bastante complejo con muchas especies difundiendo y reaccionando simultáneamente. Pero considerando un caso simplificado donde la concentración del átomo P está constante en la interfaz. Desde el coeficiente de difusión de átomos del P en el silicio cristalino es muy bajo, y sólo una película delgada de Si-P se desea, los átomos fosforosos no penetran muy lejos en el silicio. Por consiguiente, los átomos fosforosos no pueden ver a través del espesor entero de la lamina, y el Si se considera un medio semi-infinito.

Considere el dopaje fosfórico de silicio cristalino a los 1100°C, una temperatura bastante alta para promover la difusión fosforosa. La concentración de la superficie de fosforoso (CAs) en el silicio es 2.5 x 1020 átomos P/cm3 Si sólido, que es relativamente diluido, mientras que el silicio sólido puro es 5 X 1022 átomos de Si/cm3 sólido. Además, la capa rica en fósforo es considerada como una relativa fuente infinita a la cantidad de átomos del P transferida, entonces CAs es constante. Prediga la profundidad del Si-P la película delgada después de 1 hora, si la concentración designada es 1% del valor de la superficie (2.5 x 1013 átomos P/cm3 Si sólido), y el perfil de concentración de átomos del P después de una hora. Usando la ecuación para estado no estacionario:

(27.1)

Para el medio semi-infinito, las condiciones inicial y limite con:

t = 0, CA(z,0) = CAo = 0, para toda zz = 0, CA(0,t) = CAs = 2.5 x 1020 átomos P/cm3 de Si sólido, para t > 0z = ∞, CA(∞,t) = CAo = 0, para todo t

La solución analítica de esta ecuación tomando es coeficiente de difusión DAB constante es:

El valor para el erf() es calculado del cambio adimensional de concentración

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De la Tabla del Apéndice L, el argumento de la función del error en erf () = 0.990 es = 1.82. De Figura 24.6, el coeficiente de difusión en sólido de átomos del P (las especies A) en el silicio cristalino (las especies B) es 6.5 x 10 -3 cm2/s a las 1100°C (1373 K). La profundidad entonces esta dada por:

La predicción del perfil de la concentración después de 1 hora requiere el cálculo de a los valores diferentes de z, seguido del cálculo de erf () y finalmente, CA(z,t). El cálculo repetitivo de erf() se lleva a cabo de una manera mejor con la ayuda de un paquete de software de matemáticas como Mathcad. El perfil de la concentración fosforoso predicho se compara con los datos de Errana y Kakati * obtuvo bajo las condiciones del proceso similares, como mostrado en Figura 27.3. se conoce que el coeficiente de difusión molecular de fosforoso en el silicio cristalino es función de concentración de fósforo. El coeficiente de difusión en función de la concentración crea un bosquejo del perfil de la concentración de fósforo observado. Modelo detallado de este fenómeno se proporciona por Middleman y Hochberg.

Ejemplo ilustrativo 3

Una manera de entregar una dosificación cronometrada de una droga dentro del cuerpo humano es ingerir una cápsula y permitirle establecer en el sistema gastrointestinal. Una vez dentro del cuerpo, la cápsula suelta la droga despacio por un proceso difusión limitado. Un portador de droga conveniente es una cápsula esférica de un material gelatinoso no toxico que puede atravesar el sistema gastrointestinal sin desintegrarse.

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Una droga soluble en agua (el soluto A) se disuelve uniformemente dentro del gel, y tiene una concentración inicial CAo. La droga cargada dentro de la cápsula es la fuente para el traslado de masa, considerando que el fluido alrededor de la cápsula es el medio para el traslado de masa. Éste es un proceso del estado no estacionario, y la fuente para el traslado de masa se contiene dentro del propio volumen de control de difusión.

Considérese un caso limitando donde la resistencia para el traslado por la película de masa de la droga a través de la capa del límite líquida que rodea la superficie de la cápsula el volumen del fluido circundante es despreciable. Además, asúmase que la droga se consume inmediatamente o desaparece una vez que alcanza la solución del volumen para que en escencia el fluido circundante sea un medio infinito. En este particular caso limitado, CAs es igual a cero, para que en un tiempo prolongado la cantidad entera de droga inicialmente cargado en la cápsula se vaciará. Si la simetría radial es supuesta, entonces el perfil de la concentración es sólo una función de la dirección r (Figura 27.4).

Figura 27.4 Descargo de droga de una cápsula de gel esférica.

Se deseaba diseñar una cápsula esférica para el descargo cronometrado del dimenhidrinato de droga, normalmente llamada Dramamina que se usa para tratar la enfermedad del movimiento. Una dosificación total conservadora para una cápsula es 10 mg donde deben soltarse 50% de la droga al cuerpo dentro de tres horas. Determine el tamaño de la cápsula y la concentración inicial de Dramamina en la cápsula necesario para lograr esta dosificación. El coeficiente de difusión de Dramamina (la especie A) en la matriz de gel (la especie B) es 3 X 10-7 cm2/s a una temperatura del cuerpo de 37°C. El límite de solubilidad de Dramamina en el gel es 100 mg/cm3, considerando que la solubilidad de Dramamina en el agua es sólo 3 mg/cm3.

El modelo debe predecir la cantidad de droga soltada contra el tiempo, diámetro de la cápsula, la concentración inicial de la droga dentro de la cápsula, y el coeficiente de difusión de la droga dentro de la matriz de gel. La ecuación diferencial general para el traslado de masa se reduce a la siguiente ecuación diferencial parcial del perfil de concentración para el caso unidimensional y estado no estacionario CA (r, t):

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(27.18)

Las supopsiciones importantes incluyen la simetría radial, la solución diluida de la droga disuelta en la matriz de gel, y ninguna degradación de la droga dentro de la cápsula (RA

= 0). Las condiciones límite al centro (r = 0) y en la superficie (r = R) de la cápsula son

Al centro de la cuenta, nosotros notamos la condición de simetría dónde el flujo N,(0, t) es igual poner a cero. La condición inicial es

La solución analítica para el inseguro-estado concentración perfil cA (r, t) se obtiene por la separación de técnica de las variables descrita antes. Los detalles de la solución analítica en las coordenadas esféricas son proporcionados por el Cigüeñal. El resultado es:

(27.19)

Al centro de la cuenta esférica (r = 0), la concentración es

(27.20)

Una vez la solución analítica para el perfil de la concentración es conocida, pueden realizarse cálculos de diseñar el interés, incluso la proporción de descargo de droga y la cantidad cumulativa de descargo de droga con el tiempo. La proporción de descargo de droga, WA, está el producto del flujo en la superficie de la cuenta (r = R) y el área de la superficie de la cuenta esférica

(27.21)

No es tan difícil de diferenciar el perfil de la concentración, el cA(r, el t), con respecto a la coordenada radial r, r fijo = R, y entonces inserta atrás en la expresión sobre para WA(t) para obtener finalmente

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(27.22)

La ecuación sobre muestras que la proporción de descargo de droga disminuirá como los aumentos de tiempo hasta toda la droga inicialmente cargado en la cuenta se vacía a que punto que WA irá a poner a cero. Inicialmente, la droga está uniformemente cargada en la cuenta. La cantidad inicial de droga cargada en la cuenta es el producto de la concentración inicial y el volumen de la cuenta esférica

La cantidad cumulativa de descargo de droga de la cuenta es con el tiempo con el tiempo el integral de la proporción de descargo de droga

Después de algún esfuerzo, el resultado está

(27.23)

La solución analítica se expresa como una suma de la serie infinita que converge como "n" va a la infinidad. En la práctica, la convergencia a un solo valor numérico puede lograrse llevando a cabo la suma de la serie a sólo unas condiciones, sobre todo si el parámetro adimensional NABt/R2 del es relativamente grande.

Una solución de la hoja de cálculo representativa se proporciona en la Tabla 27.1. la Note que en la Tabla 27.1 las condiciones dentro de la suma de la serie rápidamente decaen para poner a cero después de unos pocos terminos. Tabla 27.1 Soluciones a la ecuación 27.23

Página 113 de 199

El descargo de droga cumulativo contra el perfil de tiempo se muestra en Figura 27.5. El perfil del droga-descargo es afectado por el parámetro del adimensional NABt/R2. Si el coeficiente de difusión es fijo para una droga dada y se gelifica la matriz, entonces el parámetro del plan de ingeniería crítico que nosotros podemos manipular es el radio de la cuenta R. Como R aumenta, la proporción de descargo de droga disminuye, si se deseaba soltar 50% de Dramamina de una cuenta de gel dentro de tres horas, un radio de la cuenta de 0.326 centímetro (3.26 mm) se requiere, como mostrado en Figura 27.5. Una vez el radio de la cuenta R es especificado, la concentración inicial de Dramamina requerida en la cuenta puede echarse atrás

En resumen, una cuenta del 6.52 mm de diámetro con la concentración inicial de 68.9 mg/cm3 dosificará fuera los 5 mg requeridos de Dramamina dentro de tres horas. El perfil de la concentración a lo largo de la dirección r a los puntos diferentes se proporciona a tiempo en Figura 27.6. El perfil de la concentración era calculado por la hoja de cálculo similar al formato dado en la Tabla 27.1. Las disminuciones de perfil de concentración como los aumentos de tiempo y entonces allana fuera poner a cero después de que la droga es completamente liberada de la cuenta.

APÉNDICE LLA FUNCIÓN DE ERROR*

erf erf 0 0.0 0.85 0.7707

0.025 0.0282 0.90 0.79700.05 0.0564 0.95 0.82090.10 0.1125 1.0 0.84270.15 0.1680 1.1 0.88020.20 0.2227 1.2 0.91030.25 0.2763 1.3 0.93400.30 0.3286 1.4 0.95230.35 0.3794 1.5 0.96610.40 0.4284 1.6 0.97630.45 0.4755 1.7 0.98380.50 0.5205 1.8 0.98910.55 0.5633 1.9 0.99280.60 0.6039 2.0 0.99530.65 0.6420 2.2 0.99810.70 0.6778 2.4 0.99930.75 0.7112 2.6 0.99980.80 0.7421 2.8 0.9999

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4.- GRAFICAS CONCENTRACIÓN-TIEMPO PARA FIGURAS SIMPLES

Para la solución analítica el cambio que no se ha realizado (Y) es función del tiempo relativo (XD) esta relación se en encuentra en graficas puestas en el apéndice F.

Las graficas de “Gurney- Lurie” presenta soluciones para la placa plana, esfera y cilindro largo.

Estas grafica pueden utilizarse para resolver problemas de conducción de calor y difusión molecular.

Los términos que definen estas graficas son:

X1 es la distancia desde el punto medio a la posición de interésm es la relación entre la resistencia a la transferencia de masa por convección a la resistencia molecular interna y la transferencia de calor.

Las graficas pueden usarse para evaluar los perfiles de concentración para casos en que hay transferencia molecular de masa que entra o que sale de los cuerpos de las formas especificadas, si se satisface:

a) se supone la segunda ley de fick; sin movimiento de fluido, v = 0 , sin producción, RA =0 y difusividad de masa constante.

b) El cuerpo tiene una concentración inicial uniforme, CA0,c) El cuerpo limite se sujeta a una nueva condición que permanece constante con

el tiempo.

Para el transporte desde una sola cara, se considera que el grueso es del doble del valor real.

Estas graficas se pueden combinarse para obtener soluciones para transferencia bidimensional y tridimensional. Para estos casos Ya se evalúa en X1 =a , Yb en X1= b

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(27.24)

Resumen de soluciones combinadas.

1. para una barra rectangular con extremos sellados.

(27.25)2. para un paralepipedo rectangular

(27.26)

3. para un cilindro(27.27)

PROBLEMAS DE EJEMPLO

Problema 27.8

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Referente al problema 6, la “unión profunda” es un parámetro crítico establecido por las propiedades de conducción de películas de silicón. Para un semiconductor particular, la unión profunda es establecida cuando la concentración de arsénico en el silicón llega a 2x1017 átomos/cm3. a) Grafique la unión profunda con el tiempo durante las primeras 6 horasb) Ahora grafique unión profunda contra t1/2 ¿Porqué la gráfica es linear?

Figura P1. Difusión de AsH en películas de silicon

Solución:Se tienen los siguientes datos: z=2mm DAs-Si= 5x1 0-13 t=1hr

Con estos datos podemos usar la siguiente fórmula F=z/2(DAs-Si t)1/2

Para obtener F=2.3570

Con dicho valor, podemos calcular los valores de la distancia avanzada por el arsénico (z), para las siguientes tablas, para diferentes valores del tiempo, y posteriormente graficar z

Tabla P1. Distancia z contra tiempo t de difusión de arsénico en silicon.

Gráfica P1. Distancia z contra tiempo t de difusión de arsénico en silicon.

Tabla P2. Distancia z contra tiempo t1/2 de difusión de arsénico en silicon.

z t1/2

2 12.828 1.4143.464 1.732

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z (micras) t (hr)2 1

2.828 23.464 3

4 44.472 54.899 6

4 24.472 2.2364.899 2.449

Gráfica P2. Distancia z contra tiempo t1/2 de difusión de arsénico en silicon.

A pesar de ser muy similares las gráficas, al observar los valores de la segunda se ve que a cada valor de t1/2 el valor de z es el doble mientras que en los valores de la primera gráfica no existe relación alguna, por lo tanto la segunda grafica es lineal, dicho comportamiento indica que ambas aumentan de manera proporcional, es decir, al aumentar el tiempo aumenta distancia recorrida por el arsénico y por lo tanto aumenta la cantidad de arsénico en la placa; la segunda gráfica es el modelo de difusión del arsénico, la difusión del arsénico se da de manera constante y creciente a través del tiempo; este comportamiento no se observa de igual manera que en la primera gráfica.

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Problema 27.10

El aluminio es el principal material conductor para la fabricación de dispositivos microelectrónicas. Considere el compuesto, película delgada mostrada en la figura de abajo. Una película delgada de aluminio sólido es rociada hacia la superficie de una capa. Entonces una 0.5 micra película delgada de silicio se agrega en la parte superior de la película de aluminio por deposición química de vapor de silano. Esta capa delgada de silicio sirve como aislante eléctrico. Sin embargo si se mantiene una alta temperatura durante el proceso el aluminio puede difundir dentro de la capa delgada de silicio y cambiar las características del dispositivo micro eléctrico. Estimar la concentración de Al a medio camino dentro del Si, si la temperatura se mantiene a 1250 K por 10 horas. Cuidadosamente considere si el proceso representa una difusión en un medio semiinfinito o un medio dimensional finito. A 1250 K, la máxima solubilidad de Al en Si es cerca de 1 por ciento en peso. Datos de difusividad son proporcionas en la figura 24.6

Solución:El problema se considera como difusión transitoria en medio semiinfinito con una concentración fija en la superficie, por lo cual el procedimiento para resolver es el siguiente:

La Ecuación diferencial para ser resuelta es

y las condiciones iniciales y en la frontera son :

CA = CAo a t = 0, para todo zCA = CAs a z = 0, para toda tCA = CAo a z→∞, para todo t

El cambio de concentración adimensional con respecto a la concentración inicial de especies A, cA0, como

La ecuación que resulta para la resolción del problema es:

de donde:

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Para encontrar datos necesarios en el problema, recurrimos a la figura 24-6, de donde se obtuvo la difusión de A en B para 1250 K, la cual es de 2 x 10-13 cm2 / s, y z = 0.25 micras.

Sustituyendo datos del problema en la ecuación: WA = ?WAS = 0.01, puesto que el problema dice que la máxima solubilidad de aluminio en el silano es cerca de 1 % en peso.z = 2.5 micrasDAB = 2 x 10-13, dato calculado, a partir de la figura 24-6.

0.01 – WA / 0.01- 0 = erf ( 2.5 x 10-7 cm ) / 2 √(36000 seg) (2 x 10-13 )

0.01 – WA = erf (1.47 x 10-3 ) (0.01)

Para encontrar el valor de erf (1.47 x 10-3 ), recurrimos al apéndice L, donde el valor es de:

1.62 x 10-3 entonces:

wA = 0.01- 1.62 X 10-3 (0.01)

wA = 9.98 x 10-3

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Problema 27.17

La superficie de acero con un nivel del carbono inicial de 0.1 wt% se carbura. El acero se calienta a 1173 ºK en un horno. En el tiempo t = 0, el acero se expone a una mezcla de gas que contiene CO2 y CO que están en la superficie del acero en un nivel del carbono constante de 2 wt% a lo largo del proceso de la carburización. ¿Cuánto tiempo debe elevar el contenido de carbono del acero a un valor de 1 wt% a una profundidad de 1 mm? A 1173 ºK, la difusividad del carbono en el acero es 1 x 10-12 m2/s.

Del apéndice LPara erf = 0.5263 ;

erf 0.50 – 0.5205X – 0.5263

0.55 – 0.5633 = 0.5068

t = 270.37 horas

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Problema 27.18

Un camión grande vierte y derrama un herbicida encima de un campo. Si el líquido se derrama encima de la tierra con agua saturada durante 2000 segundos antes de evaporarse en el aire, determine la profundidad a la que la planta y los insectos probablemente serán destruidos, asumiendo que una concentración de 0.15 wt% destruirá la mayor parte de vida. La difusividad eficaz del herbicida en la tierra con agua saturada es 1 x 10-8 m2/s.

Del apéndice LPara erf = 0.5263 ;

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erf 2.2 – 0.9981X – 0.99852.4 – 0.9993 = 2.267

z = 2.4 cm

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Problema 27.20

Un procedimiento común para aumentar el grado de humedad del aire es rebosarlo a través de una columna de agua. Se asume que las burbujas aéreas son esferas que tienen un radio de 1 mm, y está en el equilibrio termal con el agua a 298 K. Determine cuánto tiempo la burbuja debe permanecer en el agua para lograr una concentración de vapor al centro que es 90% de la máxima concentración posible (la de saturación). Asuma que el aire está seco cuando entra en la columna de agua, y que el aire dentro de la burbuja pequeña es muy pequeño. La presión de vapor de agua está disponible de muchas fuentes, incluso las tablas de vapor.

DAB = 0.260 cm2/s

De la figura F.3 (para esfera)

m = 0, n = 0 para una Y =0.9187XD = 0.61

T=0.023 s

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Problema 27.21

Un aglomerado del carbón de leña, aproximadamente esférico en la forma, con un radio de 2.54 centímetros, tiene un grado de humedad inicial de 350 kg/m3. Se pone en un secador aéreo forzado. El grado de humedad del aire dentro del secador mantiene una concentración de humedad de superficie de 12 kg/m3. Si la difusividad de agua en la matriz del carbón de leña es 1.3 x 10-6 m2/s y la resistencia de la superficie es despreciable, estime el tiempo requerido para secar el centro del aglomerado a una concentración de humedad de 50 kg/m3. Nota: Para los problemas secantes, el término de la concentración CA debe reemplazarse con el término de la proporción masa wA

dado por la ecuación (27-4).

m= 0 n=0 XD = 0.375

t =173.15 seg = 2.886 min = 2 min y 53.15 seg

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Problema 27.22

Un polo de roble que tiene un grado de humedad uniforme inicial de 45 wt%, se pone en un horno secante donde su humedad de la superficie se mantiene a 15 wt%. Bajo las condiciones secantes especificadas, el secado era controlado por la difusión interior de agua líquida a la superficie. ¿Si el grado de humedad máximo del rodillo seco está fijo en 25 wt%, en cuánto tiempo debe el polo de 10 cm de diámetro por 45 cm de longitud secarse cuando se sellan los límites del polo con una barrera de vapor? ¿En comparación, en cuánto tiempo el mismo cilindro debe secarse si la superficie del cilindro se sella con una barrera de vapor y los límites son expuestos? Usted puede asumir para los propósitos de este problema que madera es un material del isotrópico. La difusividad de humedad a través del roble es 1.04 x 10-5 cm2/s a las condiciones secantes especificadas. Nota: Para los problemas secantes, el término de la concentración CA debe reemplazarse con el término de la proporción masa wA dado por la ecuación (27-4).

27.23 Repita el problema 27.22 para un polo rectangular 10 cm x 10 cm de anchura y 45 cm de longitud.

Si sale por ambas caras descubiertas de 10 x 10 cm2 x1 = 22.5 cm

Si sale por ambas caras descubiertas de 10 x 45 cm2 x1 = 5 cm

Caso para m = 0, n = 0XD = 0.7

t = 292.96 días = 9.76 meses = 0.8026 años

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Conclusiones

Se trataron problemas que se han tratado anteriormente, pero en éste caso, para estado no estacionario, es decir, con un gradiente de concentración que cambia constantemente, y de esta manera, nos acercamos a la solución de problemas reales.

Se definió la ecuación de la segunda ley de fick para estado no estacionario, y además, se estableció una analogía entre la difusión molecular y la conducción del calor, puesto que ambas ecuaciones son similares, pero cada una con sus respectivos términos sabemos que la propagación tanto de masa como de calor, se realizan de igual manera.

En el caso de la función error es una manera aproximada para calcular bajo ciertas restricciones las concentraciones gracias a variables medibles exteriormente.

Para figuras simples la ecuación diferencial que describe estas esta bien representada a través de las graficas de concentración-tiempo por lo que los problemas se resumen a la buena descripción de este, para el caso de secados es necesario cambiar CA por W´ ya que esta característica permanece constante a lo largo del tiempo y esto se logra multiplicando el por el peso molecular y dividiendo entre el peso del sólido seco.

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TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA

La transferencia de masa por convección es la que se realiza entre una superficie límite y un fluido en movimiento o entre dos fluidos en movimiento, relativamente no miscibles.

La ecuación de rapidez correspondiente a la transferencia de masa está expresada:

donde:

NA: flujo de masa; se lleva a cabo en la dirección en la que disminuye la concentración.

Kc: coeficiente de transferencia convectiva de masa.

28.1 Consideraciones fundamentales acerca de la transferencia convectiva de masa.Cuando la transferencia de masa incluye a un soluto que se disuelve con rapidez constante desde una superficie sólida y después se difunde a un fluido en movimiento, el coeficiente de transferencia convectiva de masa se define:

(28.1)

donde:

NA representa los moles de soluto de A que abandonan la interfase por unidad de tiempo y por unidad de área interfacial.

cA,s: la composición del fluido en equilibrio con el sólido a la temperatura y presión del sistema.

cA: representa la composición en algún punto dentro de la fase fluída.

Cuando se define la capa límite de la concentración, se puede escoger a cA como la concentración de la componente A en el borde de la capa límite y se le puede llamar cA.

Si en flujo tuviera lugar en un conducto cerrado, la composición, cA, podría ser la concentración global o concentración de mezcla homogénea.

La concentración de mezcla homogénea es la concentración que se mediría si se recogiera y se mezclara perfectamente el flujo en un plano, esto es se tendría una concentración promedio del flujo global.

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Existen cuatro métodos de evaluación de los coeficientes de transferencia convectiva de masa:

1.- análisis dimensional acoplado con experimentos2.- análisis exacto de capa límite3.- análisis aproximado de capa límite4.- analogía entre la transferencia de momento, energía y masa.

28.2 PARÁMETROS IMPORTANTES EN LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA

Las difusividades moleculares de los tres fenómenos de transferencia se definen:

Difusividad de momento;

Difusividad térmica;

y

Difusividad de masa;

La relación de cualesquiera de dos de ellas debe ser adimensional. La razón de la difusividad molecular de momento a la difusividad molecular de masa se denomina número de Schmidt:

(28.2)

La razón de la difusividad molecular del calor a la de la masa, se denomina número de Lewis.

(28.3)

este número aparece cuando un proceso consta de la transferencia convectiva simultánea de masa y energía, y se puede considerar como una propiedad del sistema en difusión.

Consideremos ahora la transferencia de masa del soluto A desde un sólido hasta un fluido que pasa alrededor de la superficie del sólido, como en la figura.

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Figura 1. perfiles de la velocidad y la concentración correspondientes a un fluido que circula alrededor de una superficie sólida.

Para este caso la transferencia de masa se puede escribir:

(28.4)

como la transferencia de masa en la superficie se realiza por difusión molecular, la podemos escribir:

cuando la concentración de frontera, CA,s, es constante, se reduce a:

(28.5)

las ecuaciones 4 y 5 se pueden igualar por que definen el mismo flujo de la componente A , de esto obtenemos la relación:

y se puede reordenar de la siguiente manera:

(28.6)

si se multiplican ambos miembros de la ecuación por la longitud L obtenemos:

(28.7)

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el lado derecho de la ecuación, es la relación del gradiente de la concentración en la superficie y un gradiente global o de referencia de la concentración. Por lo tanto se puede considerar como la relación entre la resistencia a la transferencia molecular de masa y la resistencia del fluido a la transferencia convectiva de masa.

Numero de Nusselt de transferencia de masa,

ó

Número de Sherwood

Ejemplo 1.J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4th Ed. USA, Pag 584.

Solución.A 298K, la difusividad de metanol en aire puede evaluarse con el valor reportado en el apéndice J.11.

Y la viscosidad cinemática de aire del apéndice I.

Por lo tanto, el número de Schmidt para el metanol en el aire es

La difusividad en la fase líquida de metanol a 288K es reportada en el apéndice J.2 como 1.28(10)-9m2/s. Ese valor puede ser usado para encontrar la difusividad de la fase líquida a 298K por

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Determine en número de Schmidt para metanol en aire a 298K y 1.013x105 Pa y agua líquida a 298K.

El valor de la viscosidad fue obtenido del apéndice I. La viscosidad cinemática del agua líquida a 298K también fue encontrada en el apéndice I y es 0.912(10) -6m2/s; así el número de Schmidt para el metanol en agua líquida es

28.3. ANÁLISIS DIMENSIONAL DE LA TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA

El análisis adimensional predice los parámetros adimensionales que resultan útiles en la correlación de los datos experimentales.

TRANSFERENCIA HACIA UNA CORRIENTE QUE FLUYE EN CONDICIONES DE CONVECCIÓN FORZADA.

Considerando la transferencia de masa desde las paredes de un conducto circular hacia un fluido que circula a través del conducto .

Tabla 1. Variables importantes, sus símbolos y sus representaciones adimensionales.

Por medio del método de Buckingham de agrupamiento de variables, se puede determinar que habré tres grupos adimensionales, tomando DAB, y D como las variables principales, son:

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Si escribimos en forma dimensional,

Y se igualan los exponentes de las dimensiones fundamentales de ambos lados de la ecuación se tiene:

La solución a estas ecuaciones es: a=-1, b=0, c=1

Así pues: , es el número de Sherwood. Los otros grupos pi se determinan de la misma forma y nos quedan:

Que es el número de Schmidt. Si se hace una relación entre estos dos grupos pi, obtenemos el número de Reynolds.

El resultado de la transferencia de masa en condiciones de convección forzada en un conducto circular indica que la correlación podría ser de la forma:

(19.7)

TRANSFERENCIA A UNA FASE CUYO MOVIMIENTO SE DEBE A LA CONVECCIÓN NATURAL.

Las corrientes de convección natural se crearan si existe cualquier variación en la densidad en una fase líquida o gas.

En el caso en que la convección natural incluye la transferencia de masa desde una pared vertical plana hasta un fluido adyacente, las variables son las siguientes.

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tabla 2. variables para el caso de transferencia de masa por convección natural.

Por el mismo análisis adimensional, se pueden predecir que habrá tres grupos tomando en cuenta DAB, L y como variables principales.

Si se resuelven los tres grupos nos queda.

Al multiplicar estas últimos dos grupos, se obtiene un parámetro análogo al número de Grashof

El resultado del análisis dimensional de las transferencias de masa por convección natural sugiere una interrelación de la forma:

Con este análisis se puede ver que una correlación puede estar en función de tres variables y no de las seis originales, esto simplifica el trabajo.

28.4. Análisis Exacto de la Capa Límite de Concentración Laminar

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Blasius Desarrolló una solución exacta para la capa límite hidrodinámica para flujo laminar paralelo a una superficie plana. Esta solución se ampliará en la sección de Trasferencia de Calor por convección, así como en a presente sección.

En la transferencia de Momento las Ecuaciones de Capa límite en estado estacionario, incluyendo al ecuación de continuidad incompresible y bidimensional:

(12-11b)

Y la ecuación del movimiento en la dirección x, para valores constantes de y de la presión,

(12-11a)

La ecuación que describe la transferencia de energía en un flujo en estado estacionario, incompresible, bidimensional e isobárico, con difusividad constante fue:

(19-15b)

En analogía con las anteriores, en la transferencia de masa dentro de una capa limité de concentración, sin generación y si la segunda derivada de con respecto a x,

, es mucho menor en magnitud que la segunda derivada de con respeto de y. esta ecuación representada para flujo en estado estacionario bidimensional e incompresible con difusividad de masa constante, es:

(28-10)

La figura muestra la capa límite de concentración.

Las Condiciones de frontera para las tres capas límites serán:

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Momento a y a

Térmica a y a

a y a

Concentración a y a

La similitud entre las ecuaciones diferenciales 1), 2) y3) y las condiciones en la frontera sugieren que deben obtenerse soluciones similares para los tres fenómenos de transferencia.

Como se mencionó anteriormente, la Ec. De Blasius se aplicó con éxito para explicar la transferencia de calor por convección cuando la relación de la difusividad de momento y la difusividad térmica .

De manera similar, para la transferencia de masa por convección cuando la relación del momento a la difusividad de masa:

Una vez encontrada la similitud, o analogía como veremos más adelante, la Solución de Blasius para la Capa Límite de Concentración:

(28.13)

Puede reordenarse para obtener una expresión para el gradiente de concentración de la superficie:

(28.14)

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La Ec. Hace importante la suposición de que la rapidez con la que la masa entra o sale de la capa límite en la superficie es tan pequeña que no altera el perfil de velocidades predicho por la solución de Blasius.

La Transferencia de Masa desde la superficie plana hasta la capa límite laminar se describe como:

(28.15)

Al sustituir la ecuación 4.2 en 4.3 y reacomodando el signo:

(28.16)

El flujo de masa del componente que se difunde se definió en términos del coeficiente de transferencia de masa por :

(28.1)

Igualando las ecuaciones 4.4 y 4.5, y reacomodando, obtenemos:

(28.17)

La Ecuación anterior se restringe a sistema con un: y bajas rapideces de

transferencia de masa entre la placa plana y la capa límite.

la fig. 28.3 es una representación gráfica a la solución de la ecuación de capa límite. En ella se muestran curvas que representan los valores positivos y negativos del parámetro

de la superficie límite, :

Los valores + se aplican cuando al transferencia de masa va de la placa plana a la capa límite.

Los valores – describen la transferencia de masa desde el fluido hasta la capa.

A medida que este parámetro en al superficie límite se aproxima al valor de 0, la rapidez de transferencia de masa disminuye hasta que se considera que no tiene efecto sobre el perfil de velocidades. La pendiente de la línea cero, evaluada en y=0. es 0.332, según lo predicho en al ecuación 4.1.

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En las operaciones físicas en que interviene transferencia de masa, generalmente el parámetro de la superficie es despreciable y se utiliza el tipo de solución de Blasius para baja transferencia de masa para definir la transferencia a la capa límite laminar. Un caso en el que no se puede realizar la suposición anterior, sería la vaporización de un material volátil a una corriente de gas.

Para un fluido con número , pueden definirse curvas similares a las mostradas en la figura. Una vez más, la analogía en las ecuaciones diferenciales conlleva a una relación: la transferencia de masa por convección puede tratarse analógicamente a La solución de Pohlhausen para la Transferencia de Calor por Convección. La capa límite de concentración se relaciona con la capa límite hidrodinámica por:

(28.18)

Donde es el grueso de la capa límite hidrodinámica y es el grueso de la capa límite de concentración, lo anterior sugiere que, el término de Blasius debe multiplicarse por

. En la figura 28.4 se muestra la gráfica de la concentración adimensional en

relación con para . La variación de concentración que se da de esta

forma lleva a obtener una expresión para el coeficiente convectivo de transferencia de masa que es similar a la ecuación 4.6.

A y=0, el gradiente de concentración es:

(28.19)

Cuando se usa con la Ec. 4.3 da:

(28-20)

El coeficiente medido de transferencia de masa, que se la aplica sobre un placa de ancho W y longitud L, puede obtenerse por integración. Para una placa de estas dimensiones, la rapidez total de transferencia de masa, WA, puede evaluarse como:

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De acuerdo con esto:

Y

(28-21)

El núnero local de Nusselt a una distancia x corriente abajo s relaciona con el Número de Nusseltmedio par la placa a través de la relación:

(28.22)

Las Ecs. 4.9 y 4.10 se han vrificado en forma experimental. Por análisis dimensional para Transferencia de masa por convección forzada:

(28.8)

Al reconsiderar los perfiles de concentraciones adimensionales e la fig. 28.3, pueden observase que la pendiente de cada curva, cuando se evalúa en y=0, disminuye a

medida que el parámetro de la superficie límite positiva, aumenta. Puesto

que la magnitud del coeficiente de transferencia está relacionada directamente con a pendiente por la relación:

(28.17)

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La disminución de la pendiente indica que los sistemas que tienen valores más altos del parámetro de la superficie límite tendrán coeficientes de transferencia de masa más bajos.

Cuando se transfieren a la vez energía y masa a través de la capa límite laminar, los perfiles adimensionales de la figura 28.3, también pueden representar los perfiles de la temperatura adimensionales si los números de Prandtl y de Schmidt son iguales a ¡.

Se índico que el coeficiente de transferencia de masa disminuye en magnitud cuando se transfiere masa al interior de la capa límite desde la superficie; de acuerdo con esto, también debería esperarse que el coeficiente de transferencia de calor disminuyera a mediad que se transfiere masa dentro de l capa límite.

Lo anterior puede perfeccionarse si se fuerza a un fluido a pasar a través de una placa porosa saliendo de dentro de la capa límite, o por autosublimación en sí mismo del material que forma la placa. Estos procesos de transferencia simultánea de calor y masa, que con frecuencia se llaman enfriamiento por transpiración y ablación, respectivamente, se utilizan para ayudar a reducir los grandes efectos del calor durante el reingreso de un proyectil a la atmósfera terrestre.

El coeficiente de transferencia de masa para una capa límite turbulenta que se forma sobre una superficie plana sea a correlacionado en términos de un número de Nusselt local por medio de la expresión

Donde x es la distancia corriente abajo desde el extremo anterior de la placa plana; la transición de flujo lanimar a turbulento ocurre a , la expresión desarrolladaPara el coeficiente promedio de transferencia de masa para una placa plana d longitud L es:

(28.26)

28.5 ANALISIS APROXIMADO DE LA CAPA LÍMITE DE CONCENTRACIÓN.

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El método desarrollado por von Kármán para describir la capa límite hidrodinámica puede utilizarse para analizar la capa límite de concentración. Considérese un volumen de control que se localiza en la capa límite de concentración como se ilustra en la figura 28.5. Con las dimensiones indicadas y una profundidad unitaria, al hacer un balance de masa en estado estacionario se obtiene la relación:

WA1 + WA3 + WA4 = WA2 (28-27)

donde WA es la rapidez de transferencia molar de masa del componente A. En cada superficie, la rapidez molar se expresa como:

En términos de estas rapideces molares, la ecuación (28-27) puede volver a escribirse como:

+ + = (28-28)

Reordenando, después de dividir cada término entre x y evaluando los resultados en el límite a medida que x se aproxima a cero, se obtiene:

= (28-29)

Para resolver la ecuación anterior, deben conocerse los perfiles de velocidad y concentración; normalmente, estos perfiles no se conocen y deben suponerse. Algunas de las condiciones en el límite que deben satisfacerse por las condiciones en la frontera supuestas son:

vx=0 a y=0 a y=

vx=v a y= a y=0

El perfil de concentraciones supuesto debe satisfacer las condiciones en la frontera correspondientes en términos de las concentraciones:

cA – cA,s =0 a y=0 a y=c

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cA – cA,s= cA, – cA,s a y=c a y=0

Si se reconsidera el flujo laminar paralelo a una superficie plana, puede utilizarse la ecuación integral de von Kármán para obtener una solución aproximada; los resultados pueden compararse con la solución exacta y así verificar qué tan adecuadamente se supusieron los perfiles de velocidad y de concentraciones. Como primera aproximación, considérese una expresión en una serie de potencias para la variación de concentración con y.

cA – cA,s = a + by + cy2 + dy3

Al aplicar las condiciones en la frontera se obtendrá la siguiente expresión:

Si se supone que el perfil de velocidad sigue una serie de potencias de la misma forma y con las condiciones de frontera dadas se llega a:

Al sustituir los perfiles propuestos en la expresión integral (28-29) y resolverla, se obtiene:

Nux,AB = 0.36 Rex 1/2Sc1/3

Aunque este resultado no es la relación correcta, es lo bastante aproximado a ella para indicar que el método integral puede utilizarse con cierto grado de confianza en otras sustituciones en donde se desconoce una solución exacta. La exactitud del método depende completamente de la habilidad para suponer en forma adecuada los perfiles de velocidades y concentraciones.

28.6 Analogías de transferencia de masa, energía y momento.

La semejanza entre los fenómenos de transferencia y, por lo tanto, la existencia de las analogías, requieren de la existencia de las siguientes cinco condiciones dentro del sistema:

1. Que las propiedades físicas sean constantes.

2. Que no haya producción de masa o energía del sistema. Esto, desde luego, implica que no pueden ocurrir reacciones químicas homogéneas.

3. Que no exista emisión o absorción de energía radiante.

4. Que no haya disipación viscosa.

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5. Que el perfil de la velocidad no esté afectado por la resistencia lenta de masa.

Analogía de Reynolds.

Reynolds postuló que los mecanismos de transferencia de energía y momento eran idénticos. Esto se cumple cuando el número de Prandtl, Pr es igual a la unidad, de manera similar la transferencia de masa cuando el número de Schmith, Sc, también es igual a la unidad. Por ejemplo, si se analiza el flujo laminar sobre una placa plana, donde Sc=1, los perfiles de la velocidad y la concentración dentro de las capas límite están relacionadas por medio de:

donde y=0, se puede expresar el flujo de masa en función de la difusividad de la masa o del coeficiente de transferencia de masa , por medio

Combinando las ecuaciones (28-36) y (28-37) relaciona el coeficiente de transferencia de masa con el gradiente de la velocidad en la superficie:

El coeficiente de fracción superficial se relacionó, en el capitulo 12, con este mismo gradiente de velocidad, mediante la expresión:

La analogía de Reynolds de transferencia de masa correspondiente a los sistemas cuyo número de Schmidt es igual a uno,

La ecuación (28-39) es análoga a la analogía de Reynolds de transferencia de energía para los sistemas cuyo número de Prandtl es igual a uno.

Los datos experimentales correspondientes a la transferencia de masa hacia corrientes gaseosas, concuerdan, con la ecuación (28-39) cuando el sistema tiene un número de Schidt cercano a 1 y si su resistencia al flujo se debe a la fricción superficial.

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Consideraciones acerca del flujo turbulento.

En un esfuerzo para caracterizar este tipo de movimiento, Prandtl propuso la hipótesis de la longitud de mezclado, tal como se estudio en el capitulo 13. En esta hipótesis, cualquier fluctuación de la velocidad, se debe al movimiento en la dirección y de un remolino, en una distancia igual a la longitud de mezclado, L. El remolino de fluido, que posee una velocidad media, , se desplaza hacia una corriente en la que el fluido adyacente tiene una velocidad media, . La fluctuación de la velocidad se relaciona con el gradiente de la velocidad media, por medio de la ecuación

El esfuerzo cortante total se definió por medio de la expresión:

Al sustituir la ecuación (13-10) en la (13-() se obtiene:

ó

donde se denomina difusividad de remolino de momento y es análoga a la difusividad de momento,

Ahora se puede analizar, de manera semejante, la transferencia de masa que ocurre en un flujo turbulento. En la figura 28.6, la curva representa una porción del perfil turbulento de la concentración con un flujo medio en la dirección de x. La rapidez instantánea de transferencia de la componente A en la dirección y es:

donde , o sea la suma de las fluctuaciones instantáneas el promedio

temporal, de la concentración de la componente A. De nuevo puede utilizarse el concepto de la longitud

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De mezclado, para definir la fluctuación de la concentración por medio de la relación:

Al insertar la ecuación (28-43) en la (28-42), se obtiene, la transferencia total de masa, normal a la dirección de flujo es:

donde se denomina difusividad de remolino de la masa.

Por medio de un razonamiento semejante se obtuvo una expresión correspondiente a la transferencia convectiva de calor:

donde α es la difusividad térmica molecular y ε H, la difusividad térmica de remolino. La transferencia es rápida en el núcleo turbulento, al acercarse a la pared, la turbulencia va disminuyendo, y la transferencia se realiza casi completamente por difusión molecular. La resistencia a la transferencia ocurre en la capa límite próxima a la superficie en la cual el gradiente de la composición es más pronunciado.

Las analogías de Prandt y Von Karman.

En el capitulo 19 se obtuvo la analogía de Prandtl correspondiente a la transferencia de calor y momento. Se puede utilizar el mismo razonamiento, con respecto a al transferencia de masa y de momento. En la subcapa laminar las difusividades de remolino de momento y de masa son despreciables y en la superficie el esfuerzo cortante, τg y el flujo de masa, NA,y,s, son constantes. La ecuación (28-41) se puede integrar sobre el espesor de la subcapa, resultando:

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La ecuación (28-44) también se puede integrar sobre el espesor de la subcapa, dando como resultado:

La analogía de Reynolds, , se puede utilizar en el núcleo turbulento, de y=ξ a y en las condiciones globales. El flujo de masa del núcleo turbulento se transforma en:

Al eliminar a se obtiene, de las ecuaciones (28-46) y (28-48):

Cuando se sustituyen las ecuaciones que definen el proceso:

Y también:

en la ecuación (28-49), se puede simplificar la relación hasta quedar así:

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Nótese que la ecuación (28-50) simplifica la analogía de Reynolds con la siguiente restricción: Sc=1. En el capitulo 13 se definió la subcapa laminar mediante la expresión:

, donde por lo cual:

Cunado se sustituye el valor en la ecuación (28-50) se obtiene una analogía correspondiente a la transferencia convectiva de masa, semejante a la analogía de Prandtl de la transferencia convectiva de calor:

Al reordenar y multiplicar ambos lados de la ecuación (28-52) por donde L es una longitud característica, se obtiene:

Von Kárman amplió la analogía de Prandtl (19-57), tomando e cuanta la llamada ¨capa amortiguadora¨ además de la subcapa laminar y del núcleo turbulento.

Esto lo condujo a la formación de la analogía de von Kármán:

que corresponde a la transferencia de energía y momento. El análisis de von Kármán de la transferencia de masa, da origen a las ecuaciones:

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Analogía de Chilton-Colburn.

Chilton y Colburn descubrieron que la mejor correlación entre los datos experimentales obtenidos en la transferencia de masa, está dada por la expresión:

Esta analogía es válida para líquidos y gases dentro de los valores 0.6<Sc<2500.

El término jD se denomina factor j de transferencia de masa y es análoga al factor j de transferencia de calor. La ecuación (28-56) satisface la solución exacta correspondiente a un flujo laminar sobre una placa plana,

Si se dividen ambos lados de la ecuación entre Re, Sc1/3, se obtiene:

Esta ecuación se reduce a la analogía de Chilton-Colburn cuando en la expresión de arriba se sustituye la solución de Blasius correspondiente a al capa laminar limite,

La analogía completa de Chilton-Colburn es:

la cual relaciona los tres tipos de transferencia en una sola expresión. La ecuación (28-59) es exacta para placas planas y satisfactoria cuando se emplea en sistemas cuya geometría sea diferente, a condición de que no exista ningún arrastre de forma. En sistemas en los que este último tipo de arrastre se encuentra presente, se ha encontrado que:

ó

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La ecuación (28-61) relaciona la transferencia convectiva de calor con la masa. Es valida para gases y líquidos, entre los valores: 0.6<Sc<2500 y0.6<Pr<100.

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Ejemplo 4.J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4th Ed. USA, Pag 584.

Solución.

En la solución del ejemplo 1, el coeficiente de trasnferencia de masa fue encontrado kc=0.118m/s y la difusividad masica del CO2 en el aire es 1.5x10-5m2/s y la viscosidad

cinematica de el aire es 1.55x10-5m2/s. De la ecuación , sabemos

Las siguientes propiedade del aire a 293K pueden encontrarse en el apéndice I:

ρaire =1.206kg/m3

Cp aire=1.0061J/kg*KPr=0.710

El número de Schmidt

Sustituyendo dentro de nuestra ecuación, obtenemos

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Usando la declaración presentada en el ejemplo 1 y el coeficiente de transferencia de masa determinado en el ejemplo 1, determine el valor del coeficiente de transferencia de calor, h, para el estado de flujo de aire.

Ejemplo 5.J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4th Ed. USA, Pag 584.

Solución.De acuerdo a la relación Chilton-Colburn

Sustituimos en la ecuación Dittus-Boelter, obteniendo

Esto simplificado es

Linton y Sherwood consideraron la transferencia de masa dentro flujos turbulentos a través de tuberías, obteniendo una correlación de datos que se muestra a continuación

Para 2000<Re<700001000<Sc<2260

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Dittus y Boelter propusieron la siguiente ecuación para la correlación del coeficiente de transferencia de calor para flujo turbulento en una tubería

¿Cuál debe ser la correspondiente ecuación para el coeficiente de transferencia de masa cuando la transferencia es en un fluido de flujo turbulento en una tubería?

28.7 MODELOS PARA LOS COEFICIENTES DE TRANSFERENCIA DE MASA POR CONVECCIÓN

La Teoría de la película se basa en la presencia de una película ficticia de fluido en flujo laminar, junto al límite, que ofrece la misma resistencia a la transferencia de masa que la que existe realmente en todo el fluido que fluye. En otras palabras, se supone que toda la resistencia a la transferencia se concentra en una película ficticia en donde la transferencia es exclusivamente por difusión molecular el espesor de la película debe extenderse mas allá de la subcapa laminar para incluir una resistencia equivalente. Para la difusión a través de una película que no se difunde, o sea, un fluido estancado, esta teoría predice que el coeficiente de transferencia de masa es:

Para la contradifusión equimolar, el coeficiente de transferencia de masa se expresó como:

En ambos casos, el coeficiente de transferencia de masa por convección esta relacionado con la difusividad de masa molecular, además el espesor de la película () nunca puede medirse dado que no existe.

La Teoría de la penetración se considera inicialmente la absorción de un gas en un líquido. Si la masa se transfiere a la fase líquida por transporte molecular en estado transitorio. Con tal concepto, el flujo de masa en la interfase líquido – gas se expresó como:

Danckwerts aplicó este concepto de estado transitorio a la absorción del componente A en una corriente de líquido en flujo turbulento. Su modelo supone que el movimiento del líquido constantemente produce nuevos remolinos de líquido que suben desde el interior hasta la superficie, donde se desplazan los elementos de líquido que antes se encontraban en la superficie. Mientras se encuentra en la superficie, cada elemento del líquido queda expuesto a la segunda fase y se transfiere masa al interior del líquido como si este estuviera estancado y fuera de profundidad infinita; la rapidez de transferencia depende del tiempo de exposición. El total de soluto que penetra al remolino en un tiempo de exposición, texp, es:

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y la rapidez promedio de transferencia durante la exposición se obtiene dividiendo esta ecuación entre el tiempo de exposición:

Las funciones de distribución de la permanencia en la superficie se introdujeron para predecir la probabilidad de que un elemento de la superficie sea sustituido por un nuevo remolino. Para esto se introdujo un factor de renovación de superficie, s. La rapidez de transferencia de masa con una renovación aleatoria de la superficie es:

Los valores de s se obtienen actualmente por medio de investigaciones experimentales.

Toor y Marchello hicieron notar que el concepto de penetración de Danckwertssolo es valido cuando la renovación de la superficie es relativamente rápida, proporcionando elementos nuevos en la superficie sobre bases continuas. Para elementos que han permanecido por más tiempo en la superficie, se establece un gradiente de concentración en estado estacionario como lo predice la teoría de la película; de acuerdo con esto la rapidez de transferencia de masa debe ser proporcional a la difusividad de masa molecular.

Tanto en el modelo de película como en el de penetración, la transferencia de masa implica que exista una interfase entre dos fluidos que se mueven. Cuando una de las fases es un sólido, la velocidad del fluido paralela a la superficie en la interfase debe ser cero y pede expresarse que sea necesario establecer un tercer modelo; el modelo de la capa límite, para correlacionar los datos en el caso de un sólido que se disuelve en un líquido. Para la difusión a través de una capa límite laminar, se encontró que el coeficiente promedio de transferencia de masa es:

Esto muestra que el coeficiente de transferencia de masa varía según DAB2/3, que es

típico en los cálculos de capa límite.

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Ejemplo: Problema 28.1Welty, ,Wicks, Wilson Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa”, 4ª ed., Pag, 580 y 581)

Solución.

Primero como ya tenemos la viscosidad y la densidad, debemos calcular la difusividad con la siguiente ecuación:

Buscamos el valor de B y del volumen molar del tetracloruro de silicio en la bibliografía,

El valor de B = 0

Y para obtener el valor del volumen molar utilizamos las siguientes ecuaciones

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El tatracloruro de silicio, SiCl4, es una clave química en la deposición de vapor química de silicio, es usado en la producción de silano, SiH4, el cual es después usado en la deposición de vapor de silicio. La pureza del SiCl4 es esencial para la producción de películas de silicio de alta pureza. Para eliminar el posible triclorosilano, SiHCl3, impureza dentro del SiCl4 de alta pureza, el cloro gas se hacer burbujear a través del SiCl4 líquido para promover la siguiente reacción

el HCl es después fácilmente removido en una columna de fraccionamiento, usando nitrógeno como gas de resorción. Para determinar el coeficiente de transferencia de masa del cloro en el SiCl4 líquido, se necesitó un número deSchmidt,

Evaluar el numero de Schmidt para el cloro en el tetracloruro de silicio a 298K. La siguiente información disponible para el SiCl4 a 298K

El valor de la difusividad para el cloro en el tetracloruro puede ser evaluada por la ecuación de Wilke-Chang.

Donde de acuerdo a tablas, el valor de V para el tetracloruro de Silicio es de 0.05281.

Por lo que utilizando las formulas

Sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación 1 y despejando la difusividad obtenemos:

Ya teniendo todos los datos necesarios para buscar el número de Schmidt, aplicamos la siguiente formula

Sustituyendo los valores obtenidos:

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Ejemplo. Problema 28.14J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4th Ed. USA, Pag 584.

Solución.

Calculando el No. Sc para los datos obtenidos

El No. De Reynolds para la longitud de 4m es :

Por lo anterior se reconoce que habrá un punto de transición por lo que : entonces:

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El Cl3CCH3 (TCA) es usado para clorar películas en el crecimiento de SiO2 por oxidación térmica. El proceso de fabricación de un semiconductor ha sido propuesto mediante la evaporación del TCA dentro de un flujo de vapor de gas inerte. Un recipiente contendrá el TCA a una profundidad uniforme de 0.01 m y longitud de 4 m en la dirección del flujo de gas inerte de 6m/s. el recipiente es poco ancho, el TCA se mantendrá a una T=293K y la presión del sistema estará a 1 atm. Bajo estas condiciones la presión del vapor del TCA es 1.33x104, la viscosidad cinemática del gas inere es de 1.5x10 -5 m2/s y al difusividad del TCA es 1x10-5 m2/s. si la densidad del TCA es asumida a 1 gr/m3

y la transición de flujo lamina a turbulento ocurre aun Rex= 2x105, determinar la cantidad de TCA evaporada. Datos:

Bajo la fórmula 555, calculamos el coeficiente promedio de transferencia:

La concentración de TCA del vapor que se encuentra en la superficie del líquido será:

La cantidad de TCA que sale de la superficie será:

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Ejemplo. Problema 28.21J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4th Ed. USA, Pag 584.

Solución.

Si introducimos la definición del número de Reynolds en la ecuación de McAdams:

usando la analogía de Chilton – Colburn:

y despejando h se llega a :

al sustituir h en la ecuación de McAdams y multiplicar por da:

reagrupando :

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McAdams presentó la siguiente ecuación de transferencia de calor para el flujo turbulento de gases alrededor de una esfera aislada:

Donde:

dp es el diámetro de la esfera.Predecir una ecuación para correlacionar el coeficiente de transferencia de masa desde una esfera aislada hacia una corriente turbulenta de gas. ¿Como se modificaría esta ecuación para cubrir rangos muy bajos del número de Reynolds?

para Re muy bajos se sabe, por análisis dimensional que:

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Ejemplo: Problema 28.25J. R. Welty, C. E. Wicks, R. E. Wilson y G. Rorrer., (2001) ¨Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer ¨, John Wiley & Sons, Inc, 4th Ed. USA, Pag 584.R. Byron Bird, Warren E. Stewart, Edwin N. Lightfoot.,(2002) ¨ Transport Phenomena ¨, John Wiley & Sons, Inc, 2 th Ed. USA, Pag 682.

Solución.

Designamos al agua como la especie A y el aire como la especie B. La solubilidad de aire en agua puede ser ignorada, así que NB0 (moles de la especie/área*tiempo). Después asumimos que la velocidad de evaporación es pequeña, así podemos escribir la siguiente ecuación que define el #moles de la especie A por unidad de tiempo y por unidad de área unitaria, para la superficie esférica tenemos

Chilton-Colburn nos da un relación para la razón kxm/h

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Una pequeña gota de liquido, desciende a través de aire en una torre atomizadora de secado, cuyo diámetro es reducido proporcionalmente a la cantidad de agua evaporada de su superficie. Si asumimos una temperatura del líquido dentro de la gota que permanece a 290K y el aire de secado esta a 310K, determine la composición de humedad del medio de secado (velocidad de evaporación).

Se dispone de las siguientes propiedades:

La temperatura de el aire, T (290+310)/2=300KLa viscosidad cinemática de aire, 1.5689x10-5m2/s

Difusividad térmica de aire, α 2.2156x10-5m2/sDifusividad masica de agua en aire, DAB 2.63x10-5m2/s

Densidad de aire, ρ 1.177kg/m3

Conductividad de aire, K 2.624x10-2J/msKCapacidad térmica de aire, cp 1.006J/gK

En la superficie de la gota la temperatura. T 290KCalor latente de vaporización en Ts 2461J/g

Presión de vapor de agua Ts 1.94x103Pa

Sustituimos (3) y (4) en (2) obteniendo

La concentración es

El coeficiente de transferencia de calor convectivo, se obtiene haciendo un balance en la superficie de la esfera, obteniendo;

Sustituimos (8) en (5), kc=2.48x10-5m/sy finalmente obtenemos

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Transferencia de masa en la interfase

En este capitulo se considerara el mecanismo de la transferencia de masa en estado estacionario entre fases.

29.1 Equilibrio

Si el sistema es de dos fases que implica el contacto entre un gas y un líquido y esta contenida en un recipiente isotérmico e isobárico, llegará a establecerse un equilibrio dinámico entre las dos fases. Parte de las moléculas que entran a la fase liquida regresan a la fase gaseosa con una rapidez que depende de la concentración del gas en la fase líquida y de la presión de vapor que ejerce es gas en la solución acuosa. El equilibrio dinámico está indicado por una concentración constante del gas en la fase líquida y por una concentración o presión parcial constante del gas en la fase gaseosa.

Figura 29.1 Distribución del equilibrio del soluto A entre una fase gaseosa y una liquida a la temperatura de control

Tabla 29.1 Ecuaciones auxiliares:

Fase Ley Ecuación

Líquida ideal Raoult (1)

Gaseosa ideal Dalton (2)

Otras ecuaciones:

Ley de Raoult y ley de Dalton combinadas: (3) Ley de Henry: (4) Ley de distribución: (5)

Conceptos básicos comunes a todos los sistemas que implican la distribución de un componente entre dos fases:

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1. Teniendo un conjunto de condiciones fijas, como la temperatura y la presión, la regla de las fases de Gibas estipula que existe un conjunto de relaciones de equilibrio que pueden representarse en forma de una curva de distribución de equilibrio.

2. Cuando un sistema se halla en equilibrio, no hay transferencia neta de masa entre fases.

3. Cuando un sistema no está en equilibrio, los componentes, los componentes o un componente del sistema se transportará de tal manera que la composición del sistema se desplace hacia el equilibrio. Si se permite que transcurra el tiempo suficiente, el sistema alcanzará finalmente al equilibrio.

29.2 Teoría de las dos resistencias

La transferencia de masa en la interfase implica tres etapas de transferencia, la transferencia de masa desde las condiciones en el seno de una fase hasta la superficie interfacial, la transferencia a través de la interfase hasta la segunda fase y, finalmente, la transferencia a las condiciones en el seno de la segunda fase.

La transferencia del componente A de la fase gaseosa a la fase líquida puede ilustrarse gráficamente como se indica en la figura 29.2, con un gradiente de presión parcial de la composición en el seno del gas, pA,G, a la composición del gas en la interfase, pA,i y un gradiente de concentración en el líquido desde cA,i. si no existe resistencia a la transferencia de masa en la superficie interfacial, pA,i y cA,i son concentraciones de equilibrio; éstos son los valores de la concentración que se obtendrían si las dos fases estuvieran en contacto durante un periodo de tiempo infinito.

La presión parcial interfacial, pA,i, puede ser menor que, igual, o mayor que cA,i de acuerdo con las condiciones de equilibrio a la temperatura y presión del sistema.

Figura 29.3 Gradiente de concentración entre dos fases donde el soluto es transferido desde el gas al liquido.

Coeficientes individuales de transferencia de masa

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Si el estudio se limita a la transferencia del componente A en estado estacionario, las rapideces de difusión en la dirección z a cada lado de la interfase pueden describirse por medio de las ecuaciones:

(6)

(7)

Donde:

kG = Coeficiente convectivo de transferencia de masa en la fase gaseosa.kL = Coeficiente convectivo de transferencia de masa en la fase liquida.

Pero como las condiciones son estado estacionario, el flujo de masa en una fase debe de ser igual al flujo de masa de la segunda fase, entonces queda:

(8)

Reacomodando queda:

(9)

Figura 29.6 Composiciones interfaciales como predicción para la teoría de las dos resistencias.

Tabla 29.2 Coeficientes individuales de transferencia de masa.

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Coeficientes totales de transferencia de masa

Puede definirse un coeficiente total de transferencia de masa en términos de una fuerza impulsora de presión parcial:

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(10)

(11)

Donde:

pA* = Presión parcial de A en equilibrio con la composición aparente en la fase liquida. cA* = Concentración de A en equilibrio con pA,G.

Figura 29.7 Concentración de fuerzas impulsoras para la teoría de de las dos resistencias.

La relación de la resistencia en una fase individual a la resistencia total puede determinarse por:

(12)

(13)

Cuando la relación de equilibrio es lineal como lo expresa:

(14)Puede obtener las siguientes relaciones:

(15)

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(16)

(17)

Donde m es la constante de proporcionalidad y es la ley de Henry.

Combinando las ecuaciones anteriores llegamos a las siguientes dos relaciones:

(18)

(19)

BIBLIOGRAFIA:

Welty J. Wicks C. Wilson R. Rorrer G. “FUNDAMENTALS OF MOMENTUM, HEAT AND MASS TRANSFER”. Four editions. Editorial John Wiley & Sons, Inc. USA. 2001.

Página 167 de 199

Problema 29.5(Welty J. Wicks C. Wilson R. Rorrer G., (2001) “Fundamentals of momentum, heat and mass transfer”, Editorial John Wiley & Sons, Inc, 4ª ed., USA, Pag. 600)

En un libro de texto sobre operaciones unitarias se hizo la siguiente afirmación:

Para una dada operación de transferencia de masa, KL, fue experimentalmente medida encontrándose un valor de 2.54 10-3 kg mol/m2∙s∙(kg mol/m3) y kL fue evaluada y se encontró un valor de 7.62 10-3 kg mol/m2∙s∙(kg mol/m3). Puesto que esta es una relación de 1 a 3, la resistencia a la transferencia de masa en la fase gaseosa debe corresponder a 2/3 del valor.

Criticar o verificar esta aseveración.

Análisis matemático:

Análisis verbal:

Dado que el sistema se considera un todo, las formulas del calculo de la resistencia se puede observar que es un promedio, la primera un promedio de la fase líquida y la segunda es de la fase gaseosa, dado esto las formulas nos calculan las fracciones de cada fase en la solución, y dado que es un promedio el máximo será 100 % y se deduce lo siguiente:

Se puede decir que una buena aproximación.

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Problema 29.7(Welty J. Wicks C. Wilson R. Rorrer G., (2001) “Fundamentals of momentum, heat and mass transfer”, Editorial John Wiley & Sons, Inc, 4ª ed., USA, Pag. 600)

En una torre de pared-húmeda donde amoniaco fue extraído de una solución amoniaco-agua dentro de una corriente de aire, el coeficiente total del gas KG, fue 3.12 10-9 kg mol/m2∙s∙Pa. En un plano de la torre la concentración del seno aparente de la corriente liquida fue de 4 kg mol/m3 de solución y la presión parcial de amoniaco en la corriente de gas ascendente fue de 3.04 103 Pa. Para una solución diluida de amoniaco en agua a la temperatura de operación, la presión parcial de equilibrio puede ser evaluada por:

Si la fase gaseosa aporta 75% de la resistencia total de la transferencia de masa calcular:

a) El coeficiente individual de la película gaseosa kG.b) El coeficiente individual de la película liquida kL.c) El coeficiente total de la película liquida KL.d) La concentración interfacial, pA,i y cA,i.

a)

b)

(18)

c)

(19)

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d)

Resolviendo:

Sustituyendo cA,i en:

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Problema 29.8(Welty J. Wicks C. Wilson R. Rorrer G., (2001) “Fundamentals of momentum, heat and mass transfer”, Editorial John Wiley & Sons, Inc, 4ª ed., USA, Pag. 601)

Jasmone C11H16O, un subproducto muy costoso, en la fina industria química, es obtenido de la planta de Jazmín. Un método común de manufactura es la extracción del material de la planta en agua, y esto usa benceno para concentrar el josmone en un simple proceso de extracción liquido-liquido. Jasmone (especia A) es 170 veces más soluble en benceno que agua;

Un propósito de la extracción unitaria, es una buena mezcla de la fase benceno (orgánica), y el coeficiente de transferencia de masa k’L = 3.5 10-6

kgmol/m2∙s∙(kgmol/m3) y la fase acuosa es también una buena mezcla y el coeficiente de transferencia de masa k’’L = 2.5 10-5 kgmol/m2∙s∙(kgmol/m3).

Determinar:

a) El coeficiente total K’L, basado en el lado del benceno.b) El coeficiente total K’’L basado en el lado acuoso.c) El porcentaje de resistencia de transferencia de masa encontrada en película liquida acuosa.

a)

b)

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c)

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Problema 29.11(Welty J. Wicks C. Wilson R. Rorrer G., (2001) “Fundamentals of momentum, heat and mass transfer”, Editorial John Wiley & Sons, Inc, 4ª ed., USA, Pag. 602)

En la absorción del componente A de una corriente de aire a una corriente acuosa, se analizó la composición aparente de las dos corrientes adyacentes encontrándose cA,L = 4.0 kg mol/m3 y pA,G = 1.013 104 Pa. La constante H de la ley de Henry para este sistema es 1.674 103 Pa/(kg mol/m3). El coeficiente total liquido KL es igual a 1.26 10-6 kg mol/m2∙s∙(kg mol/m3). Si el 43 % de la resistencia total de transferencia de masa se encuentra en la película liquida, determine:

a) El coeficiente de la película liquida kL.b) El coeficiente de la película gaseosa kG.c) La concentración en la parte liquida de la interfase, cA,i.d) El flujo de masa de A.

a)

b)

c)

Resolviendo:

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d)

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Problema 29.19 (Welty J. Wicks C. Wilson R. Rorrer G., (2001) “Fundamentals of momentum, heat and mass transfer”, Editorial John Wiley & Sons, Inc, 4ª ed., USA, Pag. 602)

Una torre de absorción opera a 293 K y un promedio de presión de 1.013 10-5 Pa. La corriente de agua descendente que atraviesa toda la columna y absorbe SO2 de una corriente de gas fluyendo contracorriente a la corriente liquida. En la parte más alta de la torre el agua entrante esta esencialmente libre de SO2 y la corriente de gas en este plano contiene 4 % molar SO2. Si el coeficiente de transferencia de masa en la fase liquida kx = 5.43 10-3 kg mol/(m2∙s∙∆xSO2) y el coeficiente de transferencia de masa de la fase gaseosa ky = 4.07 10-4 kg mol/(m2∙s∙∆ySO2) determine los coeficientes totales de transferencia de masa Kx y Ky en lo alto de la torre. ¿Qué porcentaje de la resistencia total de la transferencia de masa es aportado por la película gaseosa?Para una solución diluida de SO2 en agua a 293 K la fracción molar de equilibrio puede ser calculada por:

(15)

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EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE MASA

Tipos

Muchas operaciones de transferencia de masa se relacionan con el cambio de composición de las soluciones y mezclas, usando principios de transferencia de masa de interfase. Ejemplos de esto son:

Transferencia de un soluto de la fase gaseosa a la liquida (absorción, deshumidificación, destilación)Transferencia de un soluto de la fase gaseosa a la líquida (reabsorción, deshumidificación)Transferencia de un soluto de la fase líquida a una segunda fase líquida, no miscible (extracción líquido- líquido)Trasferencia de un soluto de una fase sólida a una fluida (secado, lixiviación)Transferencia de un soluto de un fluido a la superficie de un sólido ( absorción, intercambio de iones)

a) Torres de atomizador

Tales operaciones se realizan en torres diseñadas para proporcionar contacto íntimo entre fases. Estos equipos se clasifican en cuatro tipos generales, dependiendo del método para producir el contacto.

Las torres de atomizador son cámaras grandes abiertas a través de las cuales fluye la fase gaseosa, en los cuáles se introduce el líquido atomizado por medio de la boquilla cayendo a causa de la gravedad y en sentido opuesto a la corriente de gas ascendente. Para cierto flujo de líquido las gotas pequeñas proporcionan mas área de contacto interfase pero una atomización muy fina puede ser arrastrada por la corriente emergente de gas. La distancia que recorre la gota en su caída determina el tiempo de contacto y a su vez influye en la cantidad de masa transferida entre las dos fases en contacto continuo.

Consisten en cámaras grandes abiertas por las cuales fluye una fase gas en flujo ascendente y dentro de ellas se introduce el líquido con ayuda de medios de atomización (boquillas), este líquido cae por gravedad en sentido opuesto de la fase gas.

Los atomizadores tiene la función de dividir el líquido en gotas diminutas, para obtener rapidez y mayor área de contacto en la interfase a través de la cual se transfiere la masa. Sin embargo, se tiene un gran cuidado para evitar la producción de una atomización tan fina que se vea arrastrada por la corriente emergente de gas. La distancia que recorre la gota de líquido al caer, determina el tiempo de contacto total y la cantidad de masa transferida entres las dos fases en contacto continuo.

El movimiento de las gotas incrementa la transferencia de masa es decir que reduce la resistencia del gas altamente soluble a dicho fenómeno, esta resistencia determina la rapidez de transferencia de masa.

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b) Torres de burbujas.

En inverso existe la torre de burbujas, en la cual el gas se dispersar en el líquido en forma de pequeñas burbujas que permiten un área grande de contacto. La transferencia es dada desde la formación de burbujas como durante el ascenso de las mismas a través de la fase liquida. Las burbujas disminuyen la resistencia del líquido por lo tanto la fase líquido controla la rapidez de transferencia de masa, esto es que lo gases son relativamente insolubles. Un ejemplo de dichos equipos son los tanques de lote para la aeración de aguas negras.

c) Torres empacadas.

Son columnas cilíndricas verticales, las cuales están rellenas con pequeñas piezas llamadas empaques, desde cerámicos hasta pedazos de roca. Estas piezas sirven para aumentar el área de contacto entre la fase gaseosa y la líquida, lo cual facilita la transferencia de masa.

El líquido se distribuye sobre el relleno descendiendo en forma de películas delgadas, el gas asciende lo contrario del líquido. Estos equipos son utilizados en sistema gas-líquido en los que el control puede ser ejercido por cualquiera de las dos fases, pues ambas resistencia tiene la misma importancia.

d) Torres de enfriamiento.

Las Torres de enfriamiento: se clasifican de tiro natural cuando hay suficiente viento para arrastrar el aire húmedo, y de, tiro forzado cuando se utiliza un ventilador, que hace llaga el aire hasta las superficies que se encuentran el la parte inferior de la estructura y después fluye de forma ascendente a través de las mismas, en sentido apuesto al agua.

La placa de burbuja como la las torres de placa de cedazo se utilizan regularmente en la industria y representan los mecanismos combinados de transferencia que se observan en la atomización y de burbuja. Pues en cada una de las placas se forman burbujas en la parte inferior de un estanque líquido, haciendo pasar el gas por pequeños orificios de la placa.

La transferencia en este ocurre al momento de formarse las burbujas así como al ascender a través del tanque, existe una transferencia adicional que se lleva acabo por encima del tanque del líquido a causa del exceso de atomización del producido por el mezclado activo de el líquido y el gas que se encuentra sobre la placa, dichas placas están colocadas una sobre de otra formando una cubierta cilíndrica.

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Figura 31.1 Representación grafica de los tipos de columnas anteriores.

Tanques o estanques de transferencia de masa intermitentes

En el tratamiento de aguas negras el agua expele gases indeseables y absorbe oxígeno cuando las burbujas de aire se dispersan cerca del fondo de los estanques de oxigenación. La introducción de gas comprimido en dispersantes de orificio pequeño, tales como tubos perforados, tubos rociadores y placas porosas, produce pequeñas burbujas de gas que ascienden por el líquido.

Cuando la burbuja asciende, puede transferirse soluto del gas al líquido o del líquido al gas, dependiendo de la fuerza motriz de concentración. Como los gases mezclados son usualmente solo ligeramente solubles en el líquido, la transferencia de masa se calcula usando el coeficiente total de transferencia de masa del líquido.

(31-1a)

La rapidez con la que se agrega el soluto al líquido contenido en el tanque es:

(31-1b)

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Donde A es el área interfacial total de contacto entre las burbujas de gas y la solución líquida. La ecuación se puede expresar en forma diferencial por medio de la ecuación:

En un tanque de volumen constante, esta ecuación se puede expresar en función de la acumulación del soluto:

(31-2a)

Cuando las burbujas ascienden, la concentración de equilibrio, cA* permanece

esencialmente constante, por lo cuál se pueden separan las variables,

(31-2b)

E integrarse entre los limites de tiempo, cero y t y los límites correspondientes de concentración, cAo y cA, Lt, para obtener:

(31-3a)

La razón A/V, representa el área total interfacial de las burbujas por unidad de volumen de solución de tanque. Con burbujas pequeñas se produce una mayor área interfacial aumentando esta razón y las burbujas de mayor tamaño aumentan el mezclado del tanque y a su vez el coeficiente total de transferencia de masa , KL.

El dispersor de gas debe diseñarse tal que el factor combinado de transferencia KL(A/V) sea óptimo.

Eckenfelder* encontró una relación general que corresponde a la transferencia de oxígeno de las burbujas de aire que ascienden por una columna de agua en reposo,

(31-3b)

Donde θg es la constante de correlación que depende del tipo de dispersor, Qg es la rapidez de flujo de gas en pies cúbicos estándar por minuto, n es una constante de correlación que depende del tamaño de los pequeños orificios del dispersor y h es la profundidad bajo la superficie del líquido en le cuál se introduce el aire al tanque de aeración.

En la gráfica se representan datos típicos que corresponden a una unidad rociadora de aeración correlacionadas por la ecuación anterior.

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31.2 Balance de Masa para torres de contacto continuo: Ecuaciones de la línea de operación

Existen cuatro fundamentos importantes que constituyen la base del diseño del equipo de contacto continuo:

Balances de material y entalpía en que intervienen las ecuaciones de conservación de masa y energía.

Equilibrio en la Interfase Ecuaciones de Transferencia de masa Ecuaciones de Transferencia de momento.

Los balances de materiales y entalpía son importantes puesto que se proporcionan las expresiones para evaluar las composiciones aparentes de la dos fases en contacto en cualquier plano de la torre. Las ecuaciones de transferencia de masa se desarrollaran en forma diferencial, combinada con un balance diferencial de materiales y después se integrarán en el área de contacto interfacial para obtener la longitud de contacto que se requiere en el intercambiador de masa.

Flujo a Contracorriente

Considérese cualquier operación de transferencia de masa en estado estacionario que implique el contacto a contracorriente de 2 fases insolubles como se muestra esquemáticamente en la figura 31.6 Las 2 fases insolubles se identificarán como fase G y fase LEn el fondo de la torre de transferencia de masa, se definen las rapideces de flujo y las concentraciones en la siguiente forma:

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Figura 31.6 Proceso a Contracorriente en Estado Estacionario

G1: Son los moles totales de la fase G que entran a la torre por hora por área de la sección transversal de la torre.L1: Son las moles totales de la fase L que salen de la torre por hora por área de la sección transversal de la torreyA1: Es la fracción mol del componente A en G1, expresada como moles de A por moles totales en la fase GyA2: Es la fracción mol del componente A en L1 expresada como moles de a por moles totales en la fase L

De manera semejante, en la parte superior de la tore o sea en el plano z2 el total de moles de cada fase será G2 y L2 y las composiciones de cada corriente serán yA y xA . Un balance de masa macroscópico total del componente A en el intercambiador de masa en estado estacionario, cuando no existe producción o desaparición química de A requiere que:

[Moles de A que entran a la Torre] = [Moles de A que salen de la torre]

(31.4)Un balance de masa del componente A entre el plano z=z1 y el plano arbitrario z estipula que:

(31.5)

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Pueden expresarse relaciones más simples y ciertamente ecuaciones más fáciles de utilizar, en términos de unidades de concentración libres de soluto. La concentración de cada fase se definirá en la siguiente forma: YA son los moles de A en G por mol de a libre de G es decir;

(31.6)

Y XA son las moles de A en L por mol de A libre de L; es decir;

(31.7)

Ahora las rapideces de flujo se convierten en LS y GS, donde LS son los moles de la fase L en una base libre de soluto; es decir; moles del disolvente portador en la fase L por hora por área de la sección transversal de la torre y GS, son los moles de la fase G por hora por área de sección transversal de la torre. Utilizando los términos libres de soluto, el balance total del componente en a puede expresarse como:

ó

(31.8)

Al reordenar se obtiene:

La ecuación (31.8) es una ecuación de una línea recta que pasa por los puntos (XA1, YA1) y (XA2, YA2) con una pendiente de LS / GS. Un balance de masa del componente a entre el plano z1 y el plano arbitrario z=z en términos libres de soluto es:

(31.9)

Al reordenar tenemos:

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Como antes la ecuación (31.9) es una ecuación de una línea recta, que pasa a través de los puntos (XA, YA) y (XA1, YA1) con una pendiente LS / GS. dos líneas rectas que tienen las misma pendiente y un punto en común se encuentran sobre la misma recta. Por o tanto, la ecuación (31.9) es una expresión general que relaciona las composiciones aparentes de las dos fases en cualquier plano en el intercambiador de masa. Puesto que define las condiciones de operación para las operaciones a contracorriente. Las figuras 31.7 y 31.8 muestran la ubicación de la línea de operación en relación con la línea de equilibrio cuando la transferencia es de la fase G a la fase L y de la fase L a la ase G

Es fácil obtener un balance de masa para el componente de A en la longitud diferencial dz al diferenciar la ecuación (31.9) Esta ecuación diferencial relaciona las moles transferidas de una fase a la segunda fase por hora por area de la sección transversal disponible en la longitud dz.

(31.10)

Cuando se escribe en unidades libres de soluto X y Y , la línea de operación es recta porque las relaciones de concentraciones en moles se basan en las cantidades constantes LS y GS . Cuando se escribe en unidades de fracción mol, x y y , los moles totales en una fase L o G cambian a medida que el soluto se transfiere dentro o fuera de la fase; esto produce una línea de operación curva sobre las coordenadas x-y.

Figura 31.8 Proceso a Contracorriente en estado estacionario, transferencia de la fase L a la fase

G

Figura 31.7 Proceso a Contracorriente en estado estacionario, transferencia de la fase G a la fase

L

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Flujo Concurrente o Paralelo.

Para las operaciones de transferencia de masa en estado estacionario que implican el contacto concurrente de dos fases insolubles, como lo muestra la figura 31.11 el balance total de masa para el componente A es:

(31.11)

El balance de masa en el componente A entre el plano z1 y un plano arbitrario z estipula que:

(31.12)

Figura 31.11 Proceso en Flujo Concurrente o paralelo en estado estacionario

Tanto (31.11) como (31.12) son ecuaciones de líneas rectas que pasan a través del plano común (XA,YA) y tienen la misma pendiente –LS/GS. La ecuación (31.12) es la expresión general que relaciona las composiciones de las 2 fases en contacto en

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cualquier plano en el equipo. Se identifica como la ecuación de la línea de operación para operaciones en flujo concurrente. Las figuras 31.12 y 31.13 ilustran la posición de la línea de operación en relación con la línea de equilibrio. Un balance de masa para el componente A a lo largo de la longitud diferencial, dz, para flujo concurrente es:

(31.13)

Figura 31.12 Proceso en flujo concurrente o paralelo en estado estacionario, transferencia de la fase G a la fase L

Figura 31.13 Proceso en flujo concurrente o paralelo en estado estacionario, transferencia de la fase L a la fase G

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G2, yA2, YA2

G1, yA1, YA1L1, xA1, XA1

L2, xA2, XA2

Lz, xAz, XAz Gz, yAz, YAz

z = z1

z

z = z2

Figura 31.14 Proceso en flujo a contracorriente en estado estacionario

Como en el caso del flujo a contracorriente hay una relación (LS/GS)mínima para las operaciones de transferencia de masa concurrentes que se establece a partir de las variables de proceso fijas GS, YA1, YA2, y XA. Su evaluación requiere del mismo procedimiento que se estudió para el flujo a contracorriente.

31.3 BALANCES DE ENTALPÍA PARA TORRES DE CONTACTO CONTINUO

Muchas operaciones de transferencia de masa son isotérmicas. Esto es especialmente cierto cuando se trata con mezclas diluidas. Sin embargo, cuando se transfieren grandes cantidades de soluto, el calor de mezclado puede producir una elevación de temperatura en la fase receptora. Si la temperatura de la fase cambia, la solubilidad en el equilibrio del soluto se alterará y a su vez las fuerzas impulsoras de difusión.

Considérese el proceso a contracorriente en estado estacionario que ilustra la figura

31.15. Un balance de entalpía en los planos z = z2 y z es

(31-14)

donde H es la entalpía molar de la corriente a estos valores particulares de temperatura, presión y concentración. Normalmente, las entalpías se basan en una referencia de soluto puro libre del disolvente portador y soluto puro a una temperatura base seleccionada, T0. La entalpía normal de una mezcla líquida se evalúa sobre esta temperatura base por medio de la relación

(31-15)

donde HL es la entalpía de la corriente líquida, en Btu/lbmol o kJ/mol de L; cpL es la capacidad calorífica de la mezcla en una base de masa, Btu/lbm°F o kJ/kg·K; TL es la temperatura de la mezcla en °F o K; Mmed es el peso molecular promedio de la mezcla; y ΔHS es el calor integral de la solución evaluado a la temperatura base, T0 y a la concentración de la mezcla en Btu/lbmol o kJ/mol.

La entalpía molar de una mezcla gaseosa, con la misma temperatura base y en el estado estándar del soluto se expresa como

(31-16)

donde HG es la entalpía de la corriente gaseosa, en Btu/lbmol o kJ/mol de G, cp,G es la capacidad calorífica en la fase gaseosa en Btu/lbm°F o kJ/kg·K; TG es la temperatura de la mezcla gaseosa en °F o K; M es el peso molecular y hf,g soluto es el calor de vaporización del soluto en Btu/lbm o kJ/kg. El calor integral de solución, ΔHS, es cero para soluciones ideales y esencialmente es cero para mezclas gaseosas. Para soluciones no ideales, es una cantidad negativa si se desprende calor al mezclar y una cantidad positiva si se absorbe calor al mezclar.

COEFICIENTES DE CAPACIDAD DE TRANSFERENCIA DE MASA

El coeficiente individual de transferencia de masa, kG, se definió por la expresión

(29-6)

y el coeficiente total de transferencia de masa se definió por una ecuación similar en términos de la fuerza impulsora total en unidades de presión parcial,

(29-10)

En ambas expresiones, la transferencia de masa en la interfase se expresó como moles de A transferidas por unidad de tiempo por unidad de área por unidad de fuerza impulsora en términos de presión parcial. Para utilizar estas ecuaciones en el diseño de intercambiadores de masa, debe conocerse el área de contacto de la interfase. Aunque la columna de pared mojada descrita en el capitulo 26, tiene un área superficial interfasial definida, las áreas correspondientes en otros tipos de equipos son virtualmente imposibles de medir. Por esta razón debe introducirse el factor a que represente el área superficial de la interfase por unidad de volumen del equipo de transferencia de masa. La transferencia de masa dentro de una altura diferencial dz, por unidad de área de la sección transversal del intercambiador de masa es

o, en términos de los coeficientes de transferencia de masa

(31-17)y

(31-18)

puesto que tanto el factor a como los coeficientes de transferencia de masa dependan de la geometría del equipo de transferencia de masa y de las rapideces de flujo de las dos corrientes inmiscibles en contacto, es común combinarlas como un solo producto. El coeficiente de capacidad individual kGa y el coeficiente de capacidad total, KGa, cada uno se evalúa experimentalmente como una variable de proceso combinado. Las unidades del coeficiente de capacidad de la fase gaseosa son

las unidades que se encuentran con más frecuencia son g moles de A/s·m3·Pa o lb moles de A/(hr)( ft3) (atm). Los coeficientes de capacidad en términos de fuerzas impulsoras de concentración en líquidos se define en forma similar por

(31-19)y

(31-20)

ANÁLISIS DE EQUIPO DE CONTACTO CONTINUO

Los moles del componente que se difunde, A, transferidos por tiempo por área de la sección transversal se definen mediante dos conceptos totalmente diferentes, el balance de materia y las ecuaciones de transferencia de masa.

COEFICIENTE DE CAPACIDAD TOTAL CONSTANTE

Considérese un intercambiador de masa isotérmico, a contracorriente que se utiliza para alcanzar una separación en un sistema que tiene un coeficiente de transferencia de masa total constante KYa en todo el intervalo de concentración en las operaciones de transferencia de masa. El balance de masa para el componente A a lo largo de la longitud diferencial dz se describe como

(31-10)

La transferencia de masa del componente A en la longitud diferencial dz, se define por

(31-21)

Al combinar estas dos ecuaciones y reordenar, se obtiene

(31-22)

o, para la longitud del intercambiador de masa,

(31-23)

COEFICIENTE DE CAPACIDAD TOTAL VARIABLE TOMANDO EN CUENTA LA RESISTENCIA EN LA FASE GASEOSA COMO EN LA FASE LÍQUIDA

El balance de masas para los componentes A a lo largo de la longitud dz es

(31-10)

Diferenciando la ecuación (31-6), se obtiene

Esta relación puede sustituirse en la ecuación (31-10) para obtener

(31-26)

La transferencia de masa del componente A en la longitud diferencial dz, se define en términos del coeficiente de capacidad individual de la fase gaseosa como

(31-27)

Al combinar las ecuaciones (31-26) y (31-27) y reordenar, se obtiene

o

(31-28)

31.4 MEDIA LOGARÍTMICA DE LA FUERZA IMPULSADA

Aunque el procedimiento de integración gráfica debe utilizarse en la mayoría de los cálculos prácticos de diseño, algunas veces es posible utilizar una ecuación mas

simple basada en una media logarítmica de la fuerza impulsora. Cuando las dos corrientes en contacto son relativamente diluidas, la curva de equilibrio y la línea de operación pueden ser ambas lineales, en términos de las fracciones mol o a lo largo del intervalo de concentración que interviene en la operación de transferencia de masa. Bajo estas condiciones, G1 = G2 = G y L1= L2= L. El balance de masa para el componente A puede aproximarse por medio de

(31-29)

o

(31-30)

La rapidez de transferencia en la interfase puede expresarse en términos del coeficiente de capacidad total de la fase gaseosa como

y (31-31)

Puesto que las líneas de operación y equilibrio son rectas, la diferencia en las ordenadas de las dos líneas debe variar linealmente en composición. Al identificar la diferencia yA – yA* como , puede verse que esta linealidad estipula

(31-32)

Al combinar las ecuaciones (31-30) y (31-31) y sustituir la ecuación (31-32) en la expresión resultante, se obtiene

o

(31-33)

Integrando a lo largo del intercambiador de masa se obtiene,

o

(31-34)

donde

(31-35)

Una expresión similar en términos de coeficiente de capacidad total de la fase líquida es

(31-36)

donde

(31-37)

31.5 DIÁMETRO DE COLUMNAS EMPACADAS

La torre empacada es la más comúnmente utilizada en equipos de contacto continuo en operaciones gas-líquido. Una gran variedad de material de empaquetadura es usado en empaquetamiento de cerámica o plástico. El empaquetamiento o relleno protege una larga área de contacto entre las fases con una mínima resistencia a el flujo entre las dos fases.

Se tiene previamente establecida la altura de la torre de contacto-continuo para determinar la tasa de transferencia de masa. El diámetro de la torre es establecido para dirigir la tasa de flujo en las dos fases a tratar. La torre no puede ser operada con cierta velocidad, cuando es una función de la velocidad del líquido, las propiedades del fluido y las características de empaquetamiento.

Los cambiadores de masa de contacto continuo se diseñan integrando una ecuación que relaciona las ecuaciones de balance de masa y transferencia de masa en un área diferencial de contacto interfacial. Un balance de masa correspondiente a al componente en difusión A en función de las unidades de concentración libre de soluto produce las siguientes ecuaciones de línea de operación:

 

Operaciones contracorriente en estado permanente:

 

y (31-38)

 

Operaciones concurrentes en estado permanente

 

y (31-39)

 

Debido a la dificultad que existe para medir el area de contacto interfase dentro del equipo de transferencia de masa se introdujo el factor a  que es el área superficial interfase por unidad de volumen del cambiador. El producto del coeficiente de transferencia convectiva de masa y el factor a se denominó coeficiente de capacidad de transferencia de masa.

Se hizo aun más énfasis en la semejanza entre la transferencia de masa y la de energía. Se obtuvieron las ecuaciones de diseño de los cambiadores de masa, usando un término combinado que representa la resistencia total KGa, comparada con UA y la resistencia total (pA,G –pA

*), comparada con ΔTtotal, integrando sobre el área de contacto.

Problema 31.2 Welty James, Wicks Charles, Wilson Robert. “FUNDAMENTALS OF MOMENTUM, HEATH AND MASS TRANSFER”

Fourth Edition. Editorial Wiley. Nueva York..pag 681

Un estanque de 425 m3 debe ser airado con 10 rejillas, cada una usado un flujo de aire de 7.08 10-3 m3/s. Si el agua de desecho a 285 K inicialmente contiene un nivel disueltos de oxigeno de 5 10-2 moles/litros, la profundidad del agua es 4.5 m, se airea durante 7200 seg., determinar el nivel final de oxigeno disuelto. Los sólidos disueltos son lo suficientemente bajos para que la ley de Henry sea obedecida, con una constante de Henry 3.27 104 atm/fracción mol.

De la grafica 31.5 de un rociador es 1200 ft3/h = 9.44 10-3 m3/sEntonces:

La presión hidrostática media de la burbuja ascendente de aires se puede considerar como la media aritmética de la presión de fondo con la superior del estanque:

Considerando la composición del aire se obtiene la presión parcial del oxigeno en la burbuja.

Para solubilidades bajas aplica la ley de Henry:

Como en un litro de agua hay 55.6 mol.

Entonces hay

De la ecuación 31.2

Sustituyendo datos queda:

De donde se despeja:

cAL = 0.357 milimoles

PROBLEMA 31.6 Welty James, Wicks Charles, Wilson Robert. “FUNDAMENOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO, MASA Y CALOR”

Segunda Edicion. Editorial Wiley. México..pag 830

Se considera un esquema para eliminación de H2S de un gas por lavado con aua a 293K y 10 atm. La composición inicial del gas alimentado es 2.5% en mol H2S. Se desea obtener una corriente gaseosa final que contenga únicamente 0.1% en mol de H2S. El agua absorbente entrará a la torre de absorción libre de cualquier cantidad de H2S. A la temperatura y presión dadas el sistema seguirá la ley de Henry, de acuerdo con la siguiente relación:

YH2S=.483XH2S

La Cantidad mínima de Agua a EmplearDeterminar la composición del líquido de salida.

De la fórmula Yn+1 = (yn+1/1-yn+1) .025=(yn+1/1-yn+1) yn+1=.0243

Y1 = (y1/1-y1) 1E-3=(y1/1-y1) y1=9.99E-4

Sustituyendo el Valor de yn+1 en la Ec. De Henry .0243=.483x x=.0503

(L/G)min=[(.0243-9.99E-4)/.503]

La cantidad de mezcla gaseosa que entra al Sistema por hora suponiendo una base de cálculo de 1000m3/h.G= (PV)/(RT)=(1000m3/h*10Atm)/(.082atml/molK*293K)G= 416.21mol/h

Lmin=.463*416.21= 192.7mol/h

El Valor de (L/G)=.463*1.5=.694

La composición del líquido a la salida de la columna esxn=(.0243-9.99E-4)/.694=.033

Problema 31.7 Welty James, Wicks Charles, Wilson Robert. “FUNDAMENOS DE TRANSFERENCIA DE MOMENTO, MASA Y CALOR”

Segunda Edicion. Editorial Wiley. México..pag 830

Se consideran varios sistemas para utilizar dos absorbedores cortos contiguos. Construya a mano los diagramas de operación, uno para cada distribución, donde se muestre la relación entre las líneas de operación para los dos absorbedores y la curva de equilibrio. Indique en general, la posición en la que se encontrarán las concentraciones de cada corriente una respecto de la otra, pero no realice los cálculos de la concentración real.

Solución:

a)

b)

c)

Problema 31.17

Welty James, Wicks Charles, Wilson Robert. “FUNDAMENTALS OF MOMENTUM, HEATH AND MASS TRANSFER” Fourth Edition. Editorial Wiley. Nueva York. 2002.pag 685

Un absorbedor empaquetado es usado para reducir un contaminante químico orgánico volátil (voc) de peso molecular 46.Cinco m3/min de gas a 289 k y 1.013 X 105 Pa contienen 5.0 % molar de voc y es alimentado al fondo de la torre de absorción, la concentración de voc es reducida a 3 %. La corriente del solvente es alimentado a la altura de la torre a una tasa de 365 g/s. Determinar la composición de la corriente del líquido fluyente.

 Primero se transforman las composiciones a relaciones molares

Yvoc,1 = yvoc,1 / 1-yvoc,1  = 0.05/ 1-0.05 = 0.05/0.95 = 0.0526

 Yvoc,2 = 0.03/ 1-0.03 = 0.03

 Xvoc,2 = 0

Con la ecuación del gas ideal y área transversal de la torre se obtienen flujos molares de gas y liquido.

G1 = VP/RT ·1/A=(5m3/min(1min/60 s)·1.013 X 105 Pa)/(8.314 Pa·m3/mol·K · 289 K) · 1/A

                            = 3.407 moles/s

 

Gs = G1(1-yvoc,1) = 3.407 moles/s · 1/A (0.95)

                            = 3.236 moles/s · 1/A

 

Ls = L2(1-xvoc,2) = 365 g/s · 1mol/46 g ·1/A

                           = 7.93 moles/s · 1/A

 A partir del balance se obtiene la composición el liquido fluyente

Ls(xvoc,1 – xvoc,2) = Gs(yvoc,1 – yvoc,2)

7.93 moles/s · 1/A(xvoc,1-0) = 3.236 moles/s · 1/A(0.0526-0.030)

 

xvoc,1 = 0.0731 moles/sA / 7.93 moles/sA

xvoc,1 = 0.0092

 

ó    xvoc,1 = xvoc,1 / 1+ xvoc,1 = 0.0092 / 1+0.0091

La solución es :

xvoc,1 = 0.0091