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I.-PROGRAMACIN DINMICA

La programacin dinmica es una tcnica matemtica que se utiliza para la solucin de problemas matemticos seleccionados, en los cuales se toma una serie de decisiones en forma secuencial.

Proporciona un procedimiento sistemtico para encontrar la combinacin de decisiones que maximice la efectividad total, al descomponer el problema en etapas, las que pueden ser completadas por una o ms formas (estados), y enlazando cada etapa a travs de clculos recursivos.

La programacin dinmica es un enfoque general para la solucin de problemas en los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolucin futura del sistema, afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrar en el futuro (denominadas estados), y a las decisiones que se plantearn en el futuro.

La programacin dinmica parte de una pequea porcin del problema y llega a la solucin ptima para esa pequea parte del problema, entonces gradualmente se agranda el problema hallando la solucin ptima en curso a partir de la anterior. Este proceso se repite hasta obtener la solucin ptima del problema original.

El problema de la diligencia es un prototipo literal de los problemas de programacin dinmica. Por tanto una manera de reconocer una situacin que se puede formular como un problema de programacin dinmica es poder identificar una estructura anloga a la del problema de la diligencia.

Caractersticas bsicas.

1.- El problema se puede dividir en etapas que requieren una poltica de decisin en cada una de ellas.

2.- Cada etapa tiene cierto nmero de estados asociados con su inicio. Los estados son las distintas condiciones posibles en las que se puede encontrar el sistema en cada etapa del problema.

3.- El efecto de la poltica de decisin en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con el inicio de la siguiente etapa.

4.- El procedimiento de solucin est diseado para encontrar una poltica ptima para el problema completo.

5.- Dado el estado actual, una poltica ptima para las etapas restantes es independiente de la poltica adoptada en etapas anteriores. Este es el principio de optimalidad para programacin dinmica.

6.- El procedimiento de solucin se inicia al encontrar la poltica ptima para la ltima etapa.

7.- Se dispone de una relacin recursiva que identifica la poltica ptima para la etapa n, dada la poltica ptima para la etapa n+1. La forma precisa de relacin recursiva difiere de un problema a otro de programacin dinmica, pero usaremos una notacin anloga a la siguiente:

N = nmero de etapas.

n = etiqueta para la etapa actual ( n = 1,2,...,N)

sn = estado actual para la etapa n

xn = variable de decisin para la etapa n

xn* = valor ptimo de xn (dado sn)

fn(sn,xn) = contribucin a la funcin objetivo de las etapas n, n+1,...,N, si el sistema se encuentra en el estado sn en la etapa n, la decisin inmediata es xn y en adelante se toman decisiones ptimas. fn*(sn) = fn(sn,xn*) La relacin recursiva siempre tendr la forma: fn*(sn) = mn fn(sn,xn) fn*(sn) = max fn(sn,xn)

8.- Cuando se usa esta relacin recursiva, el procedimiento de solucin comienza al final y se mueve hacia atrs etapa por etapa, hasta que encuentra la poltica ptima desde la etapa inicial.

Procedimiento de solucin.

1. Se construye una relacin recursiva que identifica la poltica ptima para cada estado en la etapa n, dada la solucin ptima para cada estado en la etapa n + l.

2. Se encuentra la decisin ptima en la ltima etapa de acuerdo a la poltica de decisin establecida. Comnmente la solucin de esta ltima etapa es trivial, es decir, sin ningn mtodo establecido, tomando en cuenta solamente la "contribucin" de la ltima etapa.

3. La idea bsica detrs de la relacin recursiva es trabajar "hacia atrs", preguntndose en cada etapa: qu efecto total tendra en el problema si tomo una decisin particular en esta etapa y acto ptimamente en todas las etapas siguientes?

El costo de la pliza estndar (cij ) se muestra en la tabla siguiente.

destino conocidos, pero tiene mltiples opciones para viajar a travs del territorio. Se entera de la posibilidad de adquirir seguro de vida como pasajero de la diligencia.

etapa hacia la

Si se resolviera el problema "hacia adelante", es decir, de la primera

sera necesario realizar una enumeracin exhaustiva de todas las alternativas, que resolvindolo "hacia atrs" reducimos el nmero de alternativas a analizar, simplificando la solucin del problema. Cuando se llega a la etapa inicial se encuentra la solucin ptima.

1.2 EJEMPLOS DE MODELOS DE PROGRAMACIN DINMICA

El problema de la diligencia.

El problema de las monedas.

Para el problema de las monedas con programacin dinmica se necesita crear un algoritmo que permita a una mquina expendedora devolver el cambio mediante el menor nmero de monedas posible. Mediante la programacin dinmica se solucionar el caso en el que el nmero de monedas de cada tipo es ilimitado. En el problema de las monedas mediante el algoritmo voraz el que el nmero de monedas es ilimitado.

A

\ - y 1

- \

V

G C 4 6

4

3 3

C

3 4 F

4 1 5 G

1

6

1 4 4

3

3 3

Ver

El problema de la mochila.

Sean n objetos no fraccionables de pesos pi y beneficios bi. El peso mximo que puede llevar la mochila es C. Queremos llenar la mochila con objetos, tal que se maximice el beneficio.

Los pasos que vamos a seguir son los siguientes:

que se cumple el principio de optimalidad de Bellman. Buscar ecuaciones recurrentes para el problema. Construir una tabla de valores a partir de las ecuaciones.

1.3 PROGRAMACIN DINMICA DETERMINSTICA

Los problemas determinsticos de programacin dinmica son aquellos en los cuales el estado asociado en la etapa siguiente est totalmente determinado por el estado y la poltica de decisin de la etapa actual. La siguiente figura describe el funcionamiento de la programacin dinmica determinstica.

Contribucin al objetivo

f (S ,X ) C (X )

Los problemas de programacin dinmica determinstica son aqullos en los que el estado en la etapa siguiente queda completamente determinado por el estado y la poltica en la etapa actual.

Una manera de catalogar los problemas de programacin dinmica determinstica es por la forma de la funcin objetivo. Por ejemplo, el objetivo podra ser minimizar la suma de contribuciones de las etapas individuales, o bien minimizar un producto de tales trminos y as sucesivamente. En un problema de programacin dinmica, las temporadas deben ser las etapas.

f )

tradicionales de

programacin dinmica

programacin dimensionalidad

dinmica

1.4 PROGRAMACIN DINMICA PROBABILSTICA

La programacin dinmica probabilstica difiere de la programacin dinmica determinstica en que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la decisin de la poltica en el estado actual. En lugar de ello existe una distribucin de probabilidad para lo

que ser el estado siguiente. Sin embargo, esta distribucin de probabilidad todava esta completamente determinada por el estado y la decisin de la poltica del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramticamente la estructura bsica que resulta para la programacin dinmica probabilstica, en donde N denota el nmero de estados posibles en la etapa n+1.

Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en todas las etapas, a veces recibe el nombre de rbol de decisin. Si el rbol de decisin no es demasiado grande, proporciona una manera til de resumir las diversas posibilidades que pueden ocurrir.

EN PROGRAMACIN DINMICA

La programacin dinmica tradicional permite obtener las trayectorias ptimas de control para procesos no lineales, variantes, con cualquier tipo de funcional o ndice de desempeo y con restricciones en las variables. Los algoritmos pueden ser programados en cualquier sistema de cmputo digital ampliamente disponibles en la actualidad. La aplicacin de estos algoritmos a sistemas continuos exige la discretizacin de las ecuaciones diferenciales que modelan el proceso o sistema, as como la cuantificacin de las variables de estado, de las variables de decisin o control y del tiempo.

Para obtener resultados tiles se debe construir una rejilla de estados suficientemente fina. En cada punto de la rejilla, en cada etapa de tiempo, se deben integrar las ecuaciones de estado con cada valor admisible de las variables de decisin cuantificadas, para seleccionar aquella que minimiza el ndice de desempeo. Se generan requisitos adicionales de clculo cuando la trayectoria, calculada a partir de un punto de la rejilla no alcanza un estado cuantificado en la etapa siguiente. Para ello es necesario realizar interpolaciones para encontrar los valores de la variable de decisin o control ptima y del ndice de costo.

Con un nmero del orden de cinco variables de estado, los algoritmos exigen elevados requisitos de memoria

y de tiempo de clculo a los sistemas de procesamiento digital. Esta caracterstica de la metodologa fue denominada maldicin de

por el propio Bellman, lo cual desalent el empleo de la tradicional durante ms de veinte aos.

dinmica Por otro lado, las ventajas significativas que ofrece la

programacin

para la solucin de problemas de control ptimo, tales como, la obtencin de una solucin ptima global, el tratamiento de sistemas no lineales y variantes, la utilizacin de cualquier ndice de desempeo, y el hecho de que cuanto ms restricciones se imponen a las variables mayor es el ahorro de tiempo de cmputo y memoria, promovieron el inters de muchos investigadores por encontrar mtodos alternativos para superar los problemas que presenta la tcnica tradicional

EJERCICIOS RESUELTOS

Ejercicio # 1

Considere la siguiente red en la que cada nmero junto a una ligadura representa la distancia real entre el par de nodos que conecta. El objetivo es encontrar la ruta mas corta del origen al destino.

Utilice programacin dinmica para resolver este problema construyendo manualmente las tablas usuales para n=3, n=2 y n=1.

f*i(A>=l

fi(C)=1

Solucin:

D 5+6=11

7+6=13 ----------

E ----------

8+7015 6+7=13

A 9+11=20

B 6+13=19

C 7+13=20

Ruta: 0BDT

l

3

n=3

S3 D

E

f3*(s) 6

7

X3* T

T

n=2

s A

B C

x2 f2*(s) 11

13 13

X2* D

D E

n=1

s O

x1 f1(s) 19

X1* B

6 9

13 15

4 8

11 14

7 10

14 17

Ejercicio # 2

Una compaa esta planeando una estrategia de publicidad durante el ao prximo para sus 3 productos mas importantes. Como los 3 son bastante diferentes, cada esfuerzo de publicidad estar dedicado a un solo producto. Se dispone de un total de 6 millones de dlares para esta campaa de publicidad y

se supone que el gasto para cada producto deber ser un nmero entero mayor o igual a uno. El vicepresidente de mercadotecnia ha establecido el objetivo como sigue: determinar cuanto gastar en cada producto con el fin de maximizar las ventas totales. La siguiente tabla da un incremento estimado en ventas (en las unidades apropiadas) para los diferentes gastos en publicidad:

Gasto publicidad

1 2

3 4

en Producto 1 Producto 2 Producto 3

Utilice programacin dinmica para resolver este problema.

Solucin:

n=3

S3 1 2

3

4

f3*(s) 6

9 13

15

X3* 1

2 3

4

X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 4+6 = 10

X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) = 4+9 = 13 X2 = 2 f2(3,2) = P2(2) + f3*(3-2) = 8+6 = 14

X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 4+13 = 17 X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 8+9 = 17 X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-4) = 11+6 = 17

n=2

n=1

20 17 20

14 17

21

1 2

1,2,3 2

10 14 17

21

10 13 17

19

S2 1 2

3

4

X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 4+15 = 19 X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 8+13 = 21 X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 19+9 = 20 X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 14+6 = 20


123 = 7+8+13 = 28 321 = 14+8+6 = 28

X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2*

X2 1 2 3 4 f2*(s2) X2*

S2 6 28 27 28 27 28 1,3

Ejercicio # 3

El World Health Council, se dedica a mejorar la atencin mdica en los pases subdesarrollados del mundo. Dispone de 5 brigadas mdicas para asignarlas a 3 de estos pases con el fin de mejora el cuidado de la salud, la educacin para la salud y los programas de capacitacin, entones, el consejo

necesita determinar cuantas brigadas debe asignar (si lo hace) a cada uno de estos pases para maximizar la medida de eficiencia de las 5 brigadas. Los equipos deben mantenerse como estn formados por lo que el nmero asignado a cada pas debe ser un entero.

La medida de desempeo se tomara en trminos de los aos de vida adicionales por persona (para una pas especifico, esta medida es igual al incremento en el promedio de vida esperado en aos, multiplicado por su poblacin). En la tabla siguiente se dan las estimaciones de estos aos de vida adicionales de vida por persona (en mltiplos de mil) para cada pas y para cada nmero posible de brigadas mdicas asignadas.

Cual es la asignacin que maximiza la medida de desempeo?

Brigadas Medicas 0

1 2 3

4 5

Pas 1 0

45 70 90

105 120

Pas 2 0

20 45 75

110 150

Pas 3 0

50 70 80

100 130

Solucin:

X2 = 0 f2(0,0) = P2(0) + f3*(0-0) = 0+0 = 0

X2 = 0 f2(1,0) = P2(0) + f3*(1-0) = 0+50 = 50 X2 = 1 f2(1,1) = P2(1) + f3*(1-1) = 20+0 = 20

n=3

S3 0

1 2

3 4 5

f3*(s3) 0

50 70

80 100 130

X3* 0

1 2

3 4 5

n=2

X2 = 0 f2(2,0) = P2(0) + f3*(2-0) = 0+70 = 70 X2 = 1 f2(2,1) = P2(1) + f3*(2-1) = 20+50 = 70 X2 = 2 f2(2,2) = P2(2) + f3*(2-2) = 45+0 = 45


X2 = 0 f2(4,0) = P2(0) + f3*(4-0) = 0+100 = 100 X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f3*(4-1) = 20+80 = 100 X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f3*(4-2) = 45+70 = 115 X2 = 3 f2(4,3) = P2(3) + f3*(4-3) = 75+50 = 125 X2 = 4 f2(4,4) = P2(4) + f3*(4-4) = 110+0 = 110

X2 = 0 f2(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+130 = 130 X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 20+100 = 120 X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 45+80 = 125 X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 75+70 = 145 X2 = 4 f2(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 110+50 = 160 X2 = 5 f2(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 150+0 = 150

X2 = 0 f1(5,0) = P2(0) + f3*(5-0) = 0+160 = 160 X2 = 1 f1(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 45+125 = 170 X2 = 2 f1(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 70+95 = 165 X2 = 3 f1(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 90+70 = 160 X2 = 4 f1(5,4) = P2(4) + f3*(5-4) = 105+50 = 155 X2 = 5 f1(5,5) = P2(5) + f3*(5-5) = 120+0 = 120

X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2*

S2 0

1 2

3 4 5

0 50

70 80

100 130

0 50

70 95

125 160

0 0

0,1 2

3 4

20 70

90 100 120

45 95

115 125

75 125 145

110 160 150

n=1

131 = 45+75+50=170

Ejercicio # 4

Una estudiante universitaria tiene 7 das para preparar los exmenes finales de 4 cursos y quiere asignar el tiempo que tiene para estudiar de la manera ms eficiente posible. Necesita por lo menos un da para cada curso y quiere concentrarse solo en un curso cada da, por lo que quiere asignar 1, 2, 3 4 das a cada curso. Como hace poco tom un curso de investigacin de

operaciones, ha decidido aplicar programacin dinmica para hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los 4 cursos. Estima que las distintas opciones de das de estudio redituarn puntos de calificacin segn la siguiente tabla:

Puntos de calificacin estimados

Nmero Das

1 2

3 4

de Curso 1 Curso 2 Curso 3 Curso 4

X2 0 1 2 3 4 5 f2*(s2) X2*

S2 5 160 170 165 160 155 120 170 1

3 5

6 7

5 5

6 9

2 4

7 8

6 7

9 9

F4*(s4) 6

7 9

9

X3 = 1 f3(3,1) = P3(1) + f4*(3-1) =2+6 = 8

X3 = 1 f3(4,1) = P3(1) + f4*(4-1) = 2+7 = 9 X3 = 2 f3(4,2) = P3(2) + f4*(4-2) = 4+6 = 10

X3 = 1 f3(5,1) = P3(1) + f4*(5-1) = 2+9 = 11 X3 = 2 f3(5,2) = P3(2) + f4*(5-2) = 4+7 = 11 X3 = 3 f3(5,3) = P3(3) + f4*(5-3) = 7+6 = 13 X3 = 1 f3(6,1) = P3(1) + f4*(6-1) = 2+9 = 11 X3 = 2 f3(6,2) = P3(2) + f4*(6-2) = 4+9 = 13 X3 = 3 f3(6,3) = P3(3) + f4*(6-3) = 7+7 = 14 X3 = 4 f3(6,4) = P3(4) + f4*(6-4) = 8+6 = 14

F3*(s3)

X2 = 1 f2(3,1) = P2(1) + f3*(3-1) =5+8 = 13

X2 = 1 f2(4,1) = P2(1) + f2*(4-1) = 5+10 = 15 X2 = 2 f2(4,2) = P2(2) + f2*(4-2) = 5+8 = 13

X2 = 1 f2(5,1) = P2(1) + f3*(5-1) = 5+13 = 18 X2 = 2 f2(5,2) = P2(2) + f3*(5-2) = 5+10 = 15 X2 = 3 f2(5,3) = P2(3) + f3*(5-3) = 6+8 = 14


n=4

S4 1 2

3

4

X4* 1

2 3

4

n=3

X3 1 2 3 4 X3*

S3 1 2

3 4

8 9

11 11

8 10

13 14

1 2

2 3,4

10 11

13 13 14 14

n=2

F3*(s3)


F3*(s3)

2131 =5+5+7+6=23

Ejercicio # 5

Una compaa est a punto de introducir un nuevo producto al mercado muy competido y est planeando su estrategia de comercializacin. Ha tomado la decisin de introducir el producto en 3 fases. La fase 1 incluir ofertas especiales de introduccin a un precio muy reducido para atraer a los compradores de primera vez.

La fase 2 comprender una campaa intensa de comerciales y anuncios para persuadir a estos compradores de primera vez, que continen comprando el producto a precio normal. Se sabe que otra compaa introducir otro nuevo producto competitivo ms o menos cuando termine la fase 2.

La fase 3 entonces, incluir una campaa de seguimiento de promocin para tratar de evitar que los clientes regulares cambien al producto de la competencia.

Se cuenta con un presupuesto total de $ 4 millones de dlares para esta campaa comercial. El problema consiste ahora en determinar como asignar este dinero de la manera ms efectiva a las 3 fases. Sean m el porcentaje de mercado inicial que se logra en las fases, f2 la fraccin de este mercado que se retiene en la fase 2 y f3 la fraccin restante del porcentaje de mercado que se retiene en la fase 3. Con los datos de la siguiente figura, aplique programacin dinmica para determinar cmo asignar los $ 4 millones de dlares para maximizar el porcentaje final del mercado para el nuevo producto, es decir,

maximizar m+ff+ff. Suponga que el dinero se debe gastar en cantidades enteras mltiplos de 1 milln en cada fase y que el mnimo permisible es 1 para la fase 1 y 0 para las fases 2 y 3.

X2 1 2 3 4 X3*

S2 1 2 3 4

13 15 18 19

13 15 18 19

1 1 1 1

13 15 18

14 16 17

X2 1 2 3 4 X3*

S2

7 22 23 21 20 23 2

F3*(s3) 0.3

0.5 0.6

0.7

X2 = 0 f2(1,0) = P3(0) + f3*(1-0) = 0.2*0.5 = 0.1 X2 = 1 f2(1,1) = P3(1) + f3*(1-1) = 0.4*0.3 = 0.12

X2 = 0 f2(2,0) = P3(0) + f3*(2-0) = 0.2*0.6 = 0.12 X2 = 1 f2(2,1) = P3(1) + f3*(2-1) = 0.4*0.5 = 0.2 X2 = 2 f2(2,2) = P3(2) + f3*(2-2) = 0.5*0.3 = 0.15

X2 = 0 f2(3,0) = P3(0) + f3*(3-0) = 0.2*0.7 = 0.14 X2 = 1 f2(3,1) = P3(1) + f3*(3-1) = 0.4*0.6 = 0.24 X2 = 2 f2(3,2) = P3(2) + f3*(3-2) = 0.5*0.5 = 0.25 X2 = 3 f2(3,3) = P3(3) + f3*(3-3) = 0.6*0.3 = 0.18

F2*(s2)

X1 = 0 f1(4,0) = P3(0) + f2*(4-0) = 20*0.25 = 5 X1 = 1 f1(4,1) = P3(1) + f2*(4-1) = 30*0.2 = 6 X1 = 2 f1(4,2) = P3(2) + f2*(4-2) = 40*0.12 = 4.8 X1 = 3 f1(4,3) = P3(3) + f2*(4-3) = 50*0.2 = 10

n=3

S3 0

1 2

3

X3* 0

1 2

3

X2 0 1 2 3 X2*

S2 0 1 3 3

0.6 0.1 0.12 0.14

0.2 0.12 0.2 0.250

0 1 1 2

0.12 0.2 0.24

0.15 0.25 0.18

F3*(s3)

3 millones en la 1 fase 1 millones en la 2 fase 0 millones en la 3 fase

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio Propuesto # 1

El gerente de ventas de una editorial de libros de texto universitarios tiene seis agentes de ventas que puede asignar a tres regiones distintas del pas. Ha decidido que cada regin debe tener por lo menos un agente y que cada agente individual debe quedar restringido a una de estas regiones con el fin de maximizar las ventas. La siguiente tabla da el incremento estimado en las ventas de cada regin si se le asignan diferentes cantidades de agentes.

Agentes 1

2 3

4

Regin 1 35

48 70

89

Regin 2 21

42 56

70

Regin 3 28

41 63

75


Una campaa poltica se encuentra en su ltima etapa y las preliminares indican que la eleccin est pareja. Uno de los candidatos tiene suficientes

fondos para comprar tiempo de TV por un total de 5 comerciales en horas de mayor audiencia en estaciones localizadas en 4 reas diferentes. Con base en la informacin de las preliminares se hizo una estimacin del nmero de votos

adicionales que se pueden ganar en las diferentes reas de difusin segn el nmero de comerciales que se contraten. Estas estimaciones se dan en la siguiente tabla en miles de votos.

Comerciales 0

1 2

3 4 5

rea 1 0

4 7

9 12 15

rea 2 0

6 8

10 11 12

rea 3 0

5 9

11 10 9

rea 4 0

3 7

12 14 16

X2 1 2 3 4 X3*

S2

4 5 6 4.8 10 10 3

a a a

Utilice programacin dinmica para determinar como deben distribuirse los 5 comerciales entre las 4 reas con el fin de maximizar el nmero estimado de votos ganados.


El propietario de una cadena de tres supermercados compr 5 cargas de fresas frescas. La distribucin de probabilidad estimada para las ventas potenciales de las fresas antes de que se echen a perder difiere entre los 3

supermercados. El propietario quiere saber como debe asignar las 5 cargas a las tiendas para maximizar la ganancia esperada. Por razones administrativas no quiere dividir las cargas entre las tiendas. Sin embargo, esta de acuerdo en asignar cero cargas a cualquiera de ellas. La siguiente tabla proporciona la ganancia estimada en cada tienda al asignar distintas cantidades de cargas:

Numero de cargas 0

1 2

3 4

5

Tienda 1 0

5 9

14 17

21

Tienda 2 0

6 11

15 19

22

Tienda 3 0

4 9

13 18

20

Utilice programacin dinmica para determinas cuantas cargas deben asignarse a cada tienda para maximizar la ganancia total esperada.


La presidenta de un partido poltico en un estado est haciendo planes para las prximas elecciones presidenciales. Cuenta con la colaboracin de 6 voluntarios para trabajar en los distritos electorales y los quiere asignar a 4 distritos de manera que se maximice su efectividad. Ella piensa que sera ineficiente asignar un voluntario a ms de un distrito pero est dispuesta a no asignar a nadie a cualquiera de ellos si pueden lograr ms en otro distrito. La siguiente tabla da el aumento estimado en el nmero de votos para el candidato del partido en cada distrito si se asignan distintos nmeros de voluntarios:

Voluntarios 0

1 2

3 4 5 6

Distrito 1 0

4 9

15 18 22 24

Distrito 2 0

7 11

16 18 20 21

Distrito 3 0

5 10

15 18 21 22

Distrito 4 0

6 11

14 16 17 18

Este problema tiene varias soluciones optimas sobre cantos voluntarios deben asignarse a cada distrito a fin de maximizar el incremento total esperado

en la popularidad del candidato del partido. Utilice programacin dinmica para encontrar todas las soluciones ptimas, para que la presidenta del partido pueda hacer una seleccin tomando en cuenta otros factores.


Considere la siguiente red de proyecto para un sistema tipo PERT, donde el nmero junto al arco es el tiempo requerido para la actividad

correspondiente. Considere el problema de encontrar la trayectoria ms grande (el mayor tiempo total) a travs de esta red desde el vento uno (inicio del proyecto) al evento 9 (terminacin del proyecto), ya que la trayectoria ms larga es la ruta critca

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