investigación de operaciones ii
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Investigación realizada de diferentes fuentes, sitios web y librosTRANSCRIPT
CATEDRÁTICO:
ING. ARGIA LILI PAZ MOLINA.
ASIGNATURA:
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II.
PRESENTA:
JESÚS ABUNDIS MANZANARES.
CARRERA:
LICENCIATURA EN INFORMATICA.
INSTITUTO TECNOLÓGICO
SUPERIOR DE PÁNUCO
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
INDICE UNIDAD 1 ................................................................................................................................................. 6
INVENTARIOS ......................................................................................................................................... 6
1.-INTRODUCCIÓN. ............................................................................................................................... 7
1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE
INVENTARIOS. ........................................................................................................................................ 8
SISTEMAS DE INVENTARIOS. ........................................................................................................ 8
MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT .................................................................................... 10
FUNDAMENTOS ............................................................................................................................... 10
ANÁLISIS DE ECUACIONES.......................................................................................................... 12
MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT .................................................................................. 15
ANÁLISIS DE ECUACIONES .......................................................................................................... 16
MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT ................................................................................. 19
MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT ............................................................................... 21
MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES ........................................................ 24
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES ..................................................................... 31
1.3 COSTOS DE INVENTARIOS ....................................................................................................... 37
COSTOS DE ALMACENAMIENTO. ............................................................................................... 40
COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE ..................................................................................... 41
CALCULO DE LA TASA ANUAL ―AD-VALOREM ― ..................................................................... 42
COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO. .............................................................................. 45
COSTOS DE ADQUISICION ........................................................................................................... 45
COSTOS DE RUPTURA DE STOCK ............................................................................................ 46
1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS ................................................................................................. 47
MODELO DE INVENTARIO GENERAL ........................................................................................ 47
1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. ................................................... 49
UNIDAD 2 ............................................................................................................................................... 51
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LÍNEAS DE ESPERA ............................................................................................................................ 51
INTRODUCCION. .................................................................................................................................. 52
ORIGEN. ............................................................................................................................................. 53
2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. .............................................................. 56
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 57
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA. ..................................................... 59
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 62
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 64
2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO. ................................................... 65
2.3 TEOREMA DE LITTLE............................................................................................................... 68
2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. ......................................................................... 70
2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. ........................................................................ 78
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO ............................................................... 78
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA ..................................................................... 79
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO. ......................................................... 82
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL. ........................................................ 83
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON).................................. 84
PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA. ......................................................... 84
MODELO DE NACIMIENTO PURO. .............................................................................................. 84
MODELO DE MUERTE PURA. ....................................................................................................... 86
UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIÓN FINITA. ................................................................ 89
UNA COLA-SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO-POBLACION INFINITA. .............. 96
UNIDAD 3 ............................................................................................................................................. 109
SIMULACIÓN ....................................................................................................................................... 109
3.1 INTRODUCCIÓN. ......................................................................................................................... 110
3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. ...................................................................................... 112
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Descripción del procedimiento empleado en las simulaciones. ............................................... 112
3.3 LOS NUMEROS ALEATORIOS Y EL MUESTREO DE VARIABLES ALEATORIAS. ...... 115
NÚMERO ALEATORIO. ................................................................................................................. 115
3.4 SIMULACION DE INVENTARIOS. ............................................................................................ 116
3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. .................................................. 117
3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION. ........................................................... 130
VENTAJAS: ...................................................................................................................................... 130
DESVENTAJAS: .............................................................................................................................. 131
UNIDAD 4 ............................................................................................................................................. 132
TEORÍA DE JUEGOS ......................................................................................................................... 132
4. INTRODUCCION ........................................................................................................................... 133
4.2 JUEGOS DE SUMA CERO ......................................................................................................... 135
4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO .................................................................................. 136
HISTORIA: ........................................................................................................................................ 137
HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS. ................................................................................... 138
APLICACIONES. ............................................................................................................................. 140
UNIDAD 5 ............................................................................................................................................. 144
CADENAS DE MARKOV ................................................................................................................... 144
5.- INTRODUCCION. .......................................................................................................................... 145
PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN. ....................................................................................... 148
5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION ......................................... 161
DIAGRAMAS DE ESTADO ............................................................................................................ 161
5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION Y DE ESTADO ESTABLE. ........................................ 168
RESULTADOS. ................................................................................................................................ 169
UNIDAD 6 ............................................................................................................................................. 170
PROGRAMACIÓN DINAMICA. ......................................................................................................... 170
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INTRODUCCION. ............................................................................................................................ 171
10.1 MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA ................................................................. 172
6.2 FORMULACION DE MODELOS PROGRAMACION DINAMICA ......................................... 172
6.3 METODO HACIA ATRAS ............................................................................................................ 172
ANEXOS ............................................................................................................................................... 173
PROBLEMARIO. ................................................................................................................................. 173
UNIDAD I .............................................................................................................................................. 174
1.-INVENTARIOS. ................................................................................................................................ 174
UNIDAD II ............................................................................................................................................. 202
Líneas de espera. ................................................................................................................................ 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD III ............................................................................................................................................ 202
Simulación .......................................................................................................................................... 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD IV............................................................................................................................................ 202
Teoría de Juegos ................................................................................................................................. 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD V ............................................................................................................................................. 202
Cadenas de Markov ............................................................................................................................ 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
UNIDAD VI............................................................................................................................................ 202
Programación ..................................................................................................................................... 202
Documento PDF ................................................................................................................................. 202
BIBLIOGRAFIAS. ................................................................................................................................ 203
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UNIDAD 1
INVENTARIOS
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1.-INTRODUCCIÓN.
Inventarios son bienes tangibles que se tienen para la venta en el curso ordinario del
negocio o para ser consumidos en la producción de bienes o servicios para su
posterior comercialización.
Los inventarios comprenden, además de las materias primas, productos en proceso y
productos terminados o mercancías para la venta, los materiales, repuestos y
accesorios para ser consumidos en la producción de bienes fabricados para la venta o
en la prestación de servicios; empaques y envases y los inventarios en tránsito.
La base de toda empresa comercial es la compra y venta de bienes o servicios; de
aquí la importancia del manejo del inventario por parte de la misma. T.Q.M.S.L.
Este manejo contable permitirá a la empresa mantener el control oportunamente, así
como también conocer al final del período contable un estado confiable de la situación
económica de la empresa.
Ahora bien, el inventario constituye las partidas del activo corriente que están listas
para la venta, es decir, toda aquella mercancía que posee una empresa en el almacén
valorada al costo de adquisición, para la venta o actividades productivas.
Clases de Inventarios: Inventario de Mercancías: Lo constituyen todos aquellos bienes
que le pertenecen a la empresa bien sea comercial o mercantil, los cuales los
compran para luego venderlos sin ser modificados.
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En esta Cuenta se mostrarán todas las mercancías disponibles para la Venta. Las que
tengan otras características y estén sujetas a condiciones particulares se deben
mostrar en cuentas separadas, tales como las mercancías en camino (las que han
sido compradas y no recibidas aún), las mercancías dadas en consignación o las
mercancías pignoradas (aquellas que son propiedad de la empresa pero que han sido
dadas a terceros en garantía de valor que ya ha sido recibido en efectivo u otros
bienes).
Inventario de Productos Terminados: Son todos aquellos bienes adquiridos por las
empresas manufactureras o industriales, los cuales son transformados para ser
vendidos como productos elaborados.
1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
SISTEMAS DE INVENTARIOS.
Las empresas mantienen inventarios de materias primas y de productos terminados.
Los inventarios de materias primas sirven como entradas al proceso de producción y
los inventarios de productos terminados sirven para satisfacer la demanda de los
clientes.
Puesto que estos inventarios representan frecuentemente una considerable inversión,
las decisiones con respecto a las cantidades de inventarios son importantes.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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Los modelos de inventario y la descripción matemática de los sistemas de inventario
constituyen una base para estas decisiones.
Mantener un inventario (existencia de bienes) para su venta o uso futuro es una
práctica común en el mundo de los negocios. Las empresas de venta al menudeo, los
mayoristas, los fabricantes y aún los bancos de sangre por lo general almacenan
bienes o artículos. ¿Cómo decide una instalación de este tipo sobre su ―política de
inventarios‖, es decir, cuándo y cómo se reabastece.
En una empresa pequeña, el administrador puede llevar un recuento de su inventario
y tomar estas decisiones. Sin embargo, como esto puede no ser factible incluso en
empresas chicas, muchas compañías han ahorrado grandes sumas de dinero al
aplicar la ―administración científica del inventario‖. En particular, ellos.
1. Formulan un modelo matemático que describe el comportamiento del sistema de
inventarios.
2. Derivan una política óptima de inventarios con respecto a este modelo.
3. Con frecuencia, utilizan una computadora para mantener un registro de los niveles
de inventario y señalar cuándo conviene reabastecer.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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MODELO DE INVENTARIO SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Este modelo tiene como bases el mantener un inventario sin falta de productos para
desarrollar las actividades de cualquier empresa.
Este es un modelo de inventarios que se encuentra basado en las siguientes
suposiciones:
La demanda se efectúa a tasa constante.
El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
En este modelo no se permite la falta de productos para la venta, es decir, una
empresa que maneje este modelo de inventario no se puede quedar sin mercancías
para la venta.
En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Símbolos.
Q = Cantidad optima a pedir.
Im = Inventario Máximo.
t = Periodo entre pedidos.
T = Periodo de Planeación.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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En este modelo se representan iguales el inventario máximo y la cantidad económica
pedida.
Cabe mencionar que esto no siempre es verdadero.
El costo total para un periodo en este modelo esta conformado por tres componentes
de costo:
Costo unitario del producto (C1)
Costo de ordenar una compra (C2)
Costo de mantener un producto en almacén (C3).
El costo para un periodo estará conformado de la siguiente manera:
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo]
El costo total para el periodo de planeación estará conformado de la manera
siguiente:
Costo total = Costo por periodo x Numero de pedidos a realizar.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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ANÁLISIS DE ECUACIONES.
Costo unitario por periodo.
El costo unitario por periodo simplemente es el costo de la cantidad optima a pedir.
C1 Q
Costo de ordenar una compra.
Puesto que solo se realiza una compra en un periodo el costo de ordenar una compra
está definido por:
C2
Costo de mantener el inventario por periodo.
El inventario promedio por periodo es [Q / 2]. Por consiguiente el costo de
mantenimiento del inventario por periodo es:
Para determinar el costo en un periodo se cuenta con la siguiente ecuación:
El tiempo de un periodo se expresa de la siguiente manera:
Nota: La demanda del artículo en un periodo de planeación se define con la letra D.
El número de periodos se expresa de la manera siguiente:
Si se desea determinar el costo total en el periodo de planeación (T) se multiplica el
costo de un periodo por el número de interperiodos (t) que contenga el periodo de
planeación. Para determinar este costo se aplica la siguiente ecuación:
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Costo Total = Costo (Q*)t
Otra manera de representar el costo total para el periodo de planeación es por medio
de la siguiente ecuación:
Cuando los componentes del costo total se representan gráficamente se obtiene un
punto óptimo (de costo mínimo).
Una forma de determinar la cantidad óptima a pedir es suponer diversos valores de Q
y sustituir en la ecuación anterior hasta encontrar el punto de costo mínimo. Un
procedimiento más sencillo consiste en derivar la ecuación del costo total con
respecto a Q e igualar la derivada a cero.
Al resolver esta derivada tenemos la ecuación para determinar la cantidad óptima a
pedir.
Q =
Esta ecuación ocasiona un costo mínimo y tiene como base un balance entre los dos
costos variables (costo de almacenamiento y costo de compra) incluidos en el
modelo. Cualquier otra cantidad pedida ocasiona un costo mayor.
Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos más importantes de este modelo de compra.
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EJERCICIO
Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. No se permite
faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar:
La cantidad optima pedida
El costo total por año
El número de pedidos por año
El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
La cantidad optima a pedir se calcula de la siguiente forma.
= 3 465 Unidades
El costo total estará determinado por:
Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año
El número de pedidos por año es
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N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año
El tiempo entre pedidos es
t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años
MODELO DE INVENTARIO CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
El modelo de compra que permite déficit tiene como base las siguientes suposiciones:
La demanda se efectúa a tasa constante.
El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es infinita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
Este modelo tiene costos normales (costo unitario del producto, costo de ordenar una
compra, costo de mantener en inventario) pero además tiene un costo adicional, el
costo por unidad de faltante.
En este modelo es posible diferir un pedido, de manera que una vez recibida la
cantidad pedida desaparece el déficit, esto se representa claramente en el siguiente
esquema.
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Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre pedidos
T = Periodo de Planeación
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario
t2 = Tiempo en donde se cuentan con unidades agotadas.
Por consiguiente, en este modelo, los costos de déficit son ocasionados por
agotamiento de existencias durante el periodo de tiempo y no por la pérdida de
ventas.
En este modelo se incluyen los costos de déficit para determinar el costo para un
periodo.
Costo por periodo = [Costo unitario por periodo] + [Costo de ordenar un pedido] +
[Costo de mantener el inventario en un periodo] + [costo de déficit por periodo]
ANÁLISIS DE ECUACIONES
El costo unitario y el costo de ordenar un pedido se determinan de una manera
semejante a como se determinan en el modelo de compra sin faltante.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Para determinar el tiempo t1, el inventario máximo y el tiempo t2 en función de la
cantidad óptima a pedir (Q) y la cantidad de existencias agotadas (S) se realiza el
siguiente proceso.
El inventario máximo estará definido por:
Im = Q – S
Las siguientes ecuaciones se obtienen a partir de la semejanza de triángulos:
Debido a que el tiempo de un periodo t es Q / D. Las ecuaciones anteriores pueden
representarse de la siguiente forma.
Sustituyendo las ecuaciones 1,2 y 5 en la ecuación del costo por periodo tenemos.
Multiplicando el costo de un periodo por el número total de interperiodos que tiene el
periodo de planeación obtenemos el costo total.
Para determinar la cantidad optima a pedir y la cantidad de existencias agotadas se
realiza una operación de derivación parcial con respecto a cada una de estas
variables.
El resultado de estas operaciones nos da como resultado.
Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos más importantes de este modelo de compra.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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EJERCICIO
Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por año,
su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de ordenar
una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. El costo por
unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar:
La cantidad optima pedida
El costo total por año
El número de pedidos por año
El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
C4 = $ 5.00
La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma.
= 3 465 Unidades
El costo total estará determinado por:
= 747 Unidades
El número de pedidos por año es
= 4.66
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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El tiempo entre pedidos es
=0.215
MODELO DE PRODUCCIÓN SIN DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones de este modelo son las siguientes.
La demanda se efectúa a tasa constante.
El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.
Este modelo es muy similar al modelo de compra sin déficit. En este modelo cambia el
costo de ordenar una compra por el costo de iniciar una tanda de producción (C2).
Para determinar la cantidad optima a pedir, se sigue el procedimiento del modelo de
compra sin déficit.
En el siguiente esquema se representa este modelo.
Q = Cantidad optima a producir
R = Tasa de manufacturación
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre tandas de producción
T = Periodo de Planeación
t1 = Tiempo en donde se cuenta con inventario disponible
t2 = Tiempo en donde no se cuenta con inventario
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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El costo de organizar una tanda por periodo estará determinado por.
El tiempo entre tandas de producción estará definido por.
Puesto que las unidades se utilizan de acuerdo a su definición el inventario máximo
por periodo es el tiempo de manufacturación t1 multiplicado por la tasa de
acumulación, en donde la tasa de acumulación es la tasa manufacturación R menos
la tasa de demanda D, obteniendo como resultado:
Im= t1(R - D)
El tiempo de manufacturación es el tiempo requerido para fabricar Q unidades:
Por consiguiente el inventario máximo estará definido por:
Otra forma de representar el costo por periodo es de la forma siguiente:
Para determinar el costo total por el periodo de planeación se procederá a multiplicar
el costo por periodo por el número de tandas de producción.
Para encontrar la cantidad optima a producir se derivada esta ecuación y se iguala
con cero.
En donde el valor de Q se puede obtener mediante la siguiente ecuación:
Esta cantidad óptima que debe fabricarse representa un balance entre los costos de
almacenamiento y los costos de organización de una tanda de producción.
Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos más importantes de este modelo de manufacturación.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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EJERCICIO
La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por
año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes.
El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad óptima
de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00,
= 4 470 Unidades
El costo total anual es
= $ 40, 026
El inventario máximo estaría determinado por:
= 2 235 Unidades
MODELO DE PRODUCCIÓN CON DÉFICIT
FUNDAMENTOS
Las suposiciones para este modelo son las siguientes:
La demanda se efectúa a tasa constante.
El reemplazo es instantáneo (la tasa se reemplazo es finita).
Todos los coeficientes de costos son constantes.
La tasa de manufacturación es mayor que la tasa de demanda.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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En la siguiente figura se ilustra esquemáticamente este modelo.
Q = Cantidad optima a pedir
S = Cantidad de unidades agotadas
Im = Inventario Máximo
t = Periodo entre tandas de producción
T = Periodo de Planeación
t1 t4= Tiempo de manufacturación
t2 t3= Tiempo de consumo de las unidades producidas.
El costo de un periodo de producción estará determinado por la siguiente ecuación:
Por definición tenemos otra manera de representar el costo de producción para un
periodo tenemos.
Multiplicando la ecuación anterior por el número de periodos de producción tenemos
el costo total para el periodo de planeación:
Para determinar la cantidad óptima Q se obtienen las derivadas parciales con
respecto a Q y a S.
Realizando las operaciones correspondientes obtenemos como resultado:
Para entender este modelo se resolverá un ejercicio en donde se aplican todos los
aspectos más importantes de este modelo de manufacturación.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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EJERCICIO
La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades por
año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por mes,
El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima
de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por año.
Datos
D = 18, 000 Unidades por año
R = 3,000 por mes
C1 = $ 2.00
C2 = $ 500.00
C3 = $ 0.15 por mes
C4 = $ 20.00 por año
La cantidad óptima estará definida por:
= 4670 Unidades
Para calcular el costo anual primero se deben calcular el número de unidades
agotadas.
= 193 Unidades
El costo total quedara definido por
Costo Total = $ 39, 855 por periodo de planeación.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
MODELO DE DESCUENTO EN TODAS LAS UNIDADES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa manejar diferentes costos según las unidades pedidas, es decir,
la cantidad de productos a comprar definirá el precio de los mismos.
Algunas empresas manejan este modelo de inventario debido a que sus costos le
permiten realizar este tipo de compras. Este modelo les proporciona sus costos
totales más bajos según sus necesidades y los recursos con los que cuenten. En la
siguiente gráfica se representa este modelo.
Ni = Cantidades a pedir
Costo i = Costos de adquirir la cantidad Ni
En este modelo se realizan descuentos según la cantidad a comprar, por ejemplo, una
empresa distribuye artículos, sus precios son los siguientes:
De A Costo Unitario 0
10, 000
$ 5.00
10, 001
20,000
$4.50
20, 001
30, 000
$3.00
30, 001
En adelante
$2.00
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.2.- CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE INVENTARIOS Y DE LOS MODELOS DE INVENTARIOS.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Según estos costos si nosotros deseamos comprar entre 0 y 10, 000 unidades estas
tendrán un costo de $5.00, entre 10, 0001 y 20, 000 un costo de $4.50, entre 20, 001
y 30, 000 un costo de $3.00 y arriba de 30, 001 un costo de $2.00.
En la siguiente gráfica se presentan los datos antes descritos.
Esto resulta bueno para algunas empresas que cuenten con costos de mantener
inventarios muy bajos, ya que pueden realizar compras en gran escala a precios
bajos.
Con este tipo de modelo los costos unitarios de los productos se ven mermados pero
los costos de mantener un almacén se pueden ver incrementados sustancialmente.
Cabe mencionar que se debe de tomar en cuenta que la mercancía en ocasiones
mantenerla en un almacén le ocasiona deterioro.
Para realizar el desarrollo de este modelo estructuraremos un algoritmo que consta de
cuatro pasos, en los cuales se tomarán aspectos importantes de este modelo.
Pasos para la aplicación de este modelo.
Para realizar el desarrollo de este algoritmo nos apoyaremos en la siguiente gráfica
en donde se representa este modelo.
PASO 1.
El primer paso es determinar la cantidad optima a pedir según los costos (Costo de
pedir, Costo de mantener) que maneje la empresa, para cada uno de los descuentos
con que se cuentan.
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26
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos (C1, C2, C3,
C4) de los descuentos.
Q = Cantidad Optima
D = Demanda del artículo.
C1 = Costo unitario del artículo.
C2 = Costo de ordenar un pedido.
i = Porcentaje sobre el precio del artículo por mantenimiento en inventario.
Existen ocasiones en que la empresa maneja un costo de almacén adicional,
entonces la ecuación que definida de la siguiente forma:
En donde C3 + iC1j será el costo total de mantener en almacén.
PASO 2.
El segundo paso es realizar una comparación de los valores de Qj con sus
respectivos niveles de precio (Ci), por ejemplo, se compara el valor obtenido de Q1
con respecto al intervalo que corresponde el valor del costo de C1, si este se
encuentra entre el valor de 0 y el valor de N1 entonces este valor de Q se tomará
como un valor óptimo. De igual manera se realizará una comparación entre Q2 y el
intervalo de N1 y N2. Esto operación se realiza con todos los valores de Q obtenidos.
En caso de que el valor obtenido no se encontrara dentro de este intervalo, la
cantidad óptima estará definida por el límite inferior del intervalo.
En la gráfica el valor de Q1 no se encuentra dentro de su intervalo, por consiguiente el
valor de Q2 será su límite inferior, o sea, Q2 = N1.
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27
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
PASO 3.
El tercer paso es determinar los costos totales para cada uno de los valores óptimos
obtenidos anteriormente. El costo total lo determinaremos con la siguiente ecuación.
PASO 4.
El cuarto paso es determinar el menor costo total obtenido en el paso anterior. El valor
de Q utilizado para determinar este costo será la cantidad optima a pedir según los
costos estimados en el planteamiento del problema.
Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán
cada uno de los pasos anteriormente mencionados.
EJERCICIO.
Determine la cantidad optima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes características:
Uso estimado anual a tasa constante 10, 000 unidades
Costo de procesar una orden $ 32.00
Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre
el inventario promedio 20 %.
El esquema de precios es el siguiente:
Cantidad
Precio
0 < Q < 1, 000
$ 3.50
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
1, 000 < Q < 2, 000
$ 2.95
2, 000 < Q
$ 2.00
No se permiten faltantes el lote se entrega en un embarque.
RESOLUCIÓN.
Datos.
D = 10, 000 Unidades
C2 = $ 32.00
C11 = $ 3.50
C12 = $ 2.95
C13 = $ 2.00
i = 20 %
Nota: Cabe hacer mención que el costo de mantener una unidad en almacén esta
definido por C3 = iC1j.
Representando los costos unitarios proporcionados tenemos la siguiente gráfica.
Para iniciar con el desarrollo del problema seguiremos el algoritmo antes descrito.
PASO 1.
Determinaremos la cantidad optima a pedir para cada uno de los costos
proporcionados.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Para C11 = $ 3.50 tenemos:
= 956.18
Para C12 = $ 2.95 tenemos:
= 1041.51
Para C13 = $ 2.00 tenemos:
= 1264.91
Con los datos obtenidos anteriormente terminaremos que las cantidades optimas que
se encuentran dentro del intervalo correcto.
Cantidad
Consideración
0 < Q1 = 956.18 < 1, 000
Ö
1, 000 < Q2 = 1041.51 < 2, 000
Ö
2, 000 < Q3 = 1264.91
X
Debido a que Q3 no se encuentra dentro de su intervalo su valor quedará definido por
su intervalo inferior, o sea, Q3 = 2, 000.
Los datos obtenidos anteriormente pueden quedar representados en la siguiente
gráfica.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
PASO 3.
Ahora procederemos a determinar el costo total de los valores óptimos obtenidos
anteriormente.
El costo total para el primer valor óptimo obtenido es (Q1 = 956.18):
= $ 35, 669.32
El costo total para el segundo valor óptimo obtenido es (Q2 = 1041.51):
= $ 30, 114.48
El costo total para el segundo valor optimo obtenido es (Q3 = 2000):
= $ 20, 560.00
PASO 4.
Ahora solo falta determinar el mínimo valor del costo total calculado anteriormente.
Vemos que el valor mínimo es el del Costo Total3 por consiguiente la cantidad optima
a ordenar es de 2,000 unidades.
En la siguiente gráfica se presentan los resultados obtenidos al calcular cada uno de
los costos totales y la determinación del menor costo.
Como se puede ver en la gráfica el menor costo se produce al pedir 2, 000 unidades.
Podemos concluir que la cantidad optima a pedir para este problema es de 2, 000
unidades y esto ocasiona tener un costo total de $ 20, 560.00.
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31
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
MODELO CON DESCUENTO INCREMENTALES
FUNDAMENTOS
Este modelo se basa en manejar un precio unitario de un producto en referencia a la
cantidad necesitada, a diferencia del modelo de descuentos en todas las unidades
este realiza descuentos sobre una cierta cantidad de artículos que se encuentran
dentro de un intervalo. Para entender mejor este modelo supongamos que tenemos la
siguiente tabla de precios y deseamos conocer el costo de 25 000 unidades de cierto
producto.
De A Costo Unitario 0
10, 000
C11
10, 001
20,000
C12
20, 001
30, 000
C13
30, 001
En adelante
C14
En la siguiente gráfica se presentas los costos unitarios de este producto.
Para determinar el costo de 25 000 unidades se tomarán 10 000 unidades a un costo
de C11, 10 000 unidades a un costo de C12 y 5 000 unidades a un costo de C13.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se toman las cantidades de los intervalos con sus respectivos precios hasta que se
logre acumular la cantidad requerida, es obvio que existe un gran contraste en
comparación al modelo de descuentos en todas las unidades en donde el precio se
toma con referencia al intervalo en donde se encuentra la cantidad requerida.
Por consiguiente el costo de 25 000 unidades será:
Costo = C11 (10 000) + C12(10 000)+ C13(5 000)
Para el modelo de descuentos en todas la unidades estaría definido de la siguiente
manera:
Costo = C13 (25 000)
En la siguiente gráfica se presentan los costos que nos representaría adquirir una
cierta cantidad de un producto, por ejemplo, si queremos adquirir alguna cantidad que
se encontrase entre el intervalo de N0 y N1 la línea de costo estaría definida de la
siguiente manera:
Si la cantidad a adquirir sobrepasará el intervalo de N0 y N1, y se ubicará ahora entre
el intervalo de N1 y N2 la línea de costo estará representada por:
Esto se realiza para todos los intervalos considerados, dando como resultado la
siguiente gráfica.
Ahora podemos concluir que el costo no se incrementa linealmente, sino que toma
diversos estados en relación a la cantidad requerida.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En este modelo se deberá determinar la cantidad optima a pedir en base a los costos
unitarios con los que se cuenten, es decir, se determinará la cantidad optima para
cada costo unitario.
Es necesario también definir el costo de adquirir una cantidad Nj, es se realiza
mediante la siguiente ecuación.
Para adquirir una cantidad N3 el costo de esta se le deberá sumar los costos
anteriores, o sea, N1 y N2, esto se realiza debido a las bases en las que se
fundamenta el modelo anteriormente explicadas.
El costo óptimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación.
El costo total para un periodo de planeación estará definido por la siguiente ecuación.
Si a esta ecuación la derivamos con respecto a Q obtendremos la ecuación para
determinar la cantidad óptima a pedir.
En ocasiones algunas empresas manejan un costo de almacén adicional, entonces la
ecuación es la siguiente:
En donde C3 + iCj será el costo total de almacén.
Para entender mejor este modelo se resolverá un problema en donde se describirán
cada uno de los pasos anteriormente mencionados.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Ejercicio
Determine la cantidad óptima a ordenar para una parte comprada que tiene las
siguientes características:
Uso estimado anual a tasa constante 120, 000 unidades
Costo de procesar una orden $ 800.00
Intereses anual, impuesto y seguro como una fracción del valor de la inversión sobre
el inventario promedio 10 %.
El costo de mantener es de $ 6.00.
El esquema de precios es el siguiente:
Cantidad
Precio
0 < Q < 10, 000
$ 6.00
10, 000 <= Q < 30, 000
$ 5.80
30, 000 <= Q
$ 5.70
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
RESOLUCIÓN
Datos.
D = 120 000 Unidades
C2 = $ 800.00
i = 10 %
C3 = $ 6.00
La siguiente gráfica nos representa la estructura de precios del problema.
Para desarrollar mejor este modelo, se realizará una tabla la cual contendrá datos
referentes del problema que se analiza.
La tabla se presentará de la siguiente manera:
J
Cj
Nj
V(Nj)
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
J = Intervalos
Cj = Precio unitario para el intervalo j
Nj = Cantidad para el periodo j.
V(Nj) = Costo de Nj unidades.
V(Q) = Costo de Q unidades
Ahora procederemos a iniciar el proceso de resolución del problema. Encontraremos
los costos de lotes para cada uno de los intervalos de productos.
V(N1) = C1(N1-N0) = 6(10,000 - 0) = 60, 000
V(N2) = C2(N2- N1) = 60,000 + 5.80(30,000 – 10, 000) = 60,000+116, 000 = 176, 000
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36
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Nota. En el paso anterior se le suma el costo del lote anterior al costo actual, es decir,
a 116 000 del costo del lote actual se le suma 60, 000 del costo anterior.
El costo óptimo total de un lote de productos estará definido por la siguiente ecuación.
V(Q1) = V(N0) + C1(Q –N0) = 0 + 6(Q - 0) = 6Q
V(Q2) = V(N1) + C2(Q –N1) = 60 000 + 5.80(Q – 10, 000) = 5.80 Q + 6 000
Ahora introduciremos los valores a la tabla quedando de la siguiente forma.
J
Cj
Nj
V(Nj)
V(Q)=V(Nj-1)+Cj(Q-Nj-1)
1
$ 6.00
10, 000 60, 000 6Q 2 $ 5.80 30, 000
176, 000
5.80 Q + 6000
3
$ 5.70
La cantidad óptima para los diferentes costos será:
= 5 393.59 Unidades
= 10 105.82 Unidades
= 14 555.82 Unidades
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 37
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los valores obtenidos los compararemos con sus respectivos intervalos.
Cantidad
Consideración
0 < Q1 = 5393.59 < 10, 000
Si
10, 000 <= Q2 = 10 105.82 < 30, 000
Si
30, 000 <= Q3 = 14 555.82
No
En base al análisis anterior tenemos que los costos para Q1 y Q2 son:
Costo Total (Q1) = $ 739 130.07
Costo Total (Q2) = $ 731 955.28
Ahora podemos concluir que lo óptimo será pedir 10 105.82 Unidades.
1.3 COSTOS DE INVENTARIOS
La Gestión de Inventarios es una actividad en la que coexisten tres tipos de Costos
• Costos asociados a los flujos
• Costos asociados a los stocks
• Costos asociados a los procesos
Esta estructura se plantea sin perjuicio de mantener la clásica estructura de Costos
por naturaleza, según se clasifican en los dos siguientes grandes grupos.
• Costos de Operación.
• Costos Asociados a la Inversión
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 38
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los primeros, son los necesarios para la operación normal en la consecución del Fin.
Mientras que los asociados a la Inversión son aquellos financieros relacionados con
depreciaciones y amortizaciones.
Dentro del ámbito de los flujos habrá que tener en cuenta los Costos de los flujos de
aprovisionamiento (transportes), aunque algunas veces serán por cuenta del
proveedor (en el caso de contratos tipo CFR, CIF, CPT o CIP, entre otros) y en otros
casos estarán incluidos en el propio precio de la mercancía adquirida. Será necesario
tener en cuenta tanto los Costos de operación como los asociados a la inversión.
Costos asociados a los stocks, en este ámbito deberán incluirse todos los
relacionados con Inventarios. Estos serían entre otros Costos de almacenamiento,
deterioros, perdidas y degradación de mercancías almacenadas, entre ellos también
tenemos los de rupturas de Stock, en este caso cuentan con una componente
fundamental los Costos financieros de las existencias, todo esto ya serán explicados
más adelante.
Cuando se quiere conocer, en su conjunto los costos de inventarios habrá que tener
en cuenta todos los conceptos indicados. Por el contrario, cuando se precise calcular
los costos, a los efectos de toma de decisiones, (por ejemplo, para decidir tamaño
óptimo del pedido) solamente habrá que tener en cuenta los costos evitables (que
podrán variar en cada caso considerado), ya que los costos no evitables, por propia
definición permanecerán a fuera sea cual fuera la decisión tomada.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 39
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Por último, dentro del ámbito de los procesos existen numerosos e importantes
conceptos que deben imputarse a los Costos de las existencias ellos son: Costos de
compras, de lanzamiento de pedidos y de gestión de la actividad. Un caso
paradigmático es el siguiente. En general, los Costos de transporte se incorporan al
precio de compras (¿por qué no incorporar también los Costos de almacenamiento, o
de la gestión de los pedidos?), como consecuencia de que en la mayoría de los casos
se trata de transportes por cuenta del proveedor incluidos de manera más o menos
tácita o explícita en el precio de adquisición. Pero incluso cuando el transporte está
gestionado directamente por el comprador se mantiene esta práctica, aunque muchas
veces el precio del transporte no es directamente proporcional al volumen de
mercancías adquiridas, sino que depende del volumen transportado en cada pedido.
En estas circunstancias el costo del transporte se convierte también en parte del costo
de lanzamiento del pedido.
La clasificación puramente logística de Costos que se ha citado hasta ahora no es la
más frecuentemente utilizada en ―la profesión‖. Ya hemos citado en el párrafo anterior
conceptos como ―costo de lanzamiento del pedido‖ o ―costo de adquisición‖, que no
aparecían entre los conceptos inicialmente expuestos. Pues bien, la clasificación
habitual de costos que utilizan los gestores de los inventarios es la siguiente:
• Costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión de stocks
• Costos de lanzamiento del pedido
• Costos de adquisición
• Costos de ruptura de stocks
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 40
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
COSTOS DE ALMACENAMIENTO.
Los costos de almacenamiento, de mantenimiento o de posesión del Stock, incluyen
todos los costos directamente relacionados con la titularidad de los inventarios tales
como:
• Costos Financieros de las existencias
• Gastos del Almacén
• Seguros
• Deterioros, pérdidas y degradación de mercancía.
Dependen de la actividad de almacenaje, este gestionado por la empresa o no, o de
que la mercadería este almacenada en régimen de depósito por parte del proveedor o
de que sean propiedad del fabricante.
Para dejar constancia de esta complejidad, se incluye seguidamente una relación
pormenorizado de los Costos de almacenamiento, mantenimiento o posesión de los
stocks en el caso más general posible. No obstante, más adelante se expondrá un
método simplificado para calcular estos costos (la tasa anual ―ad valorem‖) que se
utiliza con mucha frecuencia.
La clasificación de los costos de almacenamiento que seguidamente se incluye los
clasifica por actividad (almacenaje y manutención), por imputabilidad (fijos y variables)
y por origen directos e indirectos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 41
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
COSTOS DIRECTOS DE ALMACENAJE
• Costos fijos
• Personal
• Vigilancia y Seguridad
• Cargas Fiscales
• Mantenimiento del Almacén
• Reparaciones del Almacén
• Alquileres
• Amortización del Almacén
• Amortización de estanterías y otros equipos de almacenaje
• Gastos financieros de inmovilización
Costos variables
• Energía
• Agua
• Mantenimiento de Estanterías
• Materiales de reposición
• Reparaciones (relacionadas con almacenaje)
• Deterioros, pérdidas y degradación de mercancías.
• Gastos Financieros de Stock.
COSTOS DIRECTOS DE MANTENCION
Costos fijos
• Personal
• Seguros
• Amortización de equipos de manutención
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 42
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
• Amortización de equipos informáticos
• Gastos financieros del inmovilizado
Costos variables
• Energía
• Mantenimiento de equipo de manutención
• Mantenimiento de equipo informático
• Reparaciones de equipos de manutención
• Comunicaciones.
COSTOS INDIRECTOS DE ALMACENAJE
• de administración y estructura
• De formación y entrenamiento del personal
Existe un método aproximado de valuar los costos de almacenamiento, conocido
como la tasa Anual Ad valorem.
CALCULO DE LA TASA ANUAL “AD-VALOREM “
Este método aproximado, que se utiliza bastante para la planificación de Sistemas
Logísticos, consiste en admitir que los costos de almacenamiento se pueden
aproximar por una tasa anual aplicada al valor de las mercancías almacenadas.
Esta hipótesis que es evidente en el caso de los costos financieros de los Stocks se
generaliza en este método a los demás costos que intervienen en el almacenamiento
(Inversiones, personal, energía, deterioros, perdidas.) Asumiéndose que cuanta más
cara es una mercancía más caro es el costo de almacenamiento.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 43
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Supongamos por ejemplo, el caso de una empresa comercializadora de cementos
especiales, ubicado en un determinado puerto marítimo, para atender a uno de sus
clientes, recibe un buque de 5.000 Tm. Con un cargamento de cemento blanco
especial de la misma cantidad, cuyo precio es de $80 la Ton. , se traslada a un
almacén adecuadamente acondicionado donde queda almacenado.
El destino de esta carga es una fábrica que trabaja Just in time, y que solo admite 200
Tons diarias. El cargamento de 5.000 Tns. Tardará 25 días en ser retirado, existiendo
a lo largo de dichos 25 días un Stock medio de 2.500 Tns. (5.000 el primer día y 0 el
ultimo).
Hemos invertido $ 400.000 (5.000 x $80), que no recuperaremos hasta el día 25. Si
somos capaces de obtener un rendimiento por nuestro dinero alternativo del 8%
anual, el costo financiero de los Stock que tenemos por inmovilización es del 8%, esto
aplicado al Stock medio nos da (2.500 x$80) durante el tiempo que lo tenemos
inmovilizado (25 días).
1 / A B C D E F
2 8% Rendimiento Anual 16000 (B3 x B5) x B2
3 2500 Promedio de Inmovilización 1.095,89 pta (E3 x B4 ) / 365
4 25 Tiempo inmovilizado promedió
5 80 Precio unitario
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 44
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Pues bien el método de la tasa ad-valorem se extienden a los demás costos que se
componen el almacenamiento de mercaderías, admitiendo que además del 8% anual
que corresponde al costo de Stock, hay otros puntos porcentuales que corresponden
a la integración de los demás costos que también intervienen en el almacenamiento,
haciendo así tasas superiores a la de almacenamiento de Stock, por ejemplo en
España se cobraba el 25 % cuando la tasa de mercado era del 15 %.
También es muy importante destacar que estos costos que mencionamos ―extras‖ en
el almacenamiento, siempre están en relación directa con el tipo de mercadería que
se trate, así bien no será lo mismo almacenar arena, o leña contra dinero o caviar.
Una estructura razonable para la composición de la tasa es la siguiente:
Costo financiero de los Stocks 8% al 20%
Almacenamiento Físico 5% al 15%
Deterioro o Robo 2% al 5%
Para el Ejemplo del almacenamiento de cemento blanco, que requiere un esmerado
Almacenaje pero poca manutención, cabe valorarlo con una tasa que contemple solo
el costo financiero de Almacenamiento sin ―Extras‖, en este caso 18 %.
0.18 * (2500* 80) * ( 25/365 ) = 2.466
La repercusión, de los costos de almacenamiento, es 0.49 la tonelada, que se suman
a los costos del transporte primario hasta el puerto de descarga, y los costos de la
distribución capilar hasta el cliente.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 45
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
COSTOS DE LANZAMIENTO DEL PEDIDO.
Los Costos de lanzamiento de los pedidos incluyen todos los Costos en que se
incurre cuando se lanza una orden de compra. Los Costos que se agrupan bajo esta
rúbrica deben ser independientes de la cantidad que se compra y exclusivamente
relacionados con el hecho de lanzar la orden. Sus componentes serían los siguientes:
Costos implícitos del pedido: Costo de preparación de las máquinas cuando el pedido
lo lanza producción, Costo de conseguir ―LUGAR‖ en el almacén de recepción
(movilización de mercancías o transporte a otras localizaciones, por ejemplo), costos
de transporte exclusivamente vinculados al pedido (la factura de un ―courier‖ en el
caso de una reposición urgente, por ejemplo), costos de supervisión y seguimiento de
la necesidad de lanzar un pedido, etc.
Costos Administrativos vinculados al circuito del pedido.
Costos de recepción e inspección.
COSTOS DE ADQUISICION
Es la cantidad total Invertida en la compra de la mercancía, o el valor contable del
producto cuando se trata de material en curso o productos terminados.
En el primer caso (materias primas o componentes), el costo de adquisición
incorporará los conceptos no recuperables que el proveedor vaya a incluir en su
factura (por ejemplo, el transporte, si es por cuenta del proveedor, pero no el IVA).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.3 COSTOS DE INVENTARIOS 46
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se debe tener en cuenta que muchos proveedores aplican descuentos por volumen,
por lo que unas veces el costo de adquisición de un pedido tendrá una componente
de costo evitable y otras veces será en su totalidad un costo no evitable.
En el segundo caso (material en curso o productos terminados), la determinación del
costo de adquisición es más compleja, dependiendo de las prácticas contables de la
empresa. En principio debe incorporar los siguientes conceptos:
• Costos de Materiales incorporados que, según las prácticas contables de la empresa
pueden ser valorados de acuerdo a los siguientes criterios.
o Método FIFO (first in, first out ). – (Primero en entrar, primero en salir) PEPS
o Método LIFO (last in, first out ). – (Ultimo en entrar, primero en salir) UEPS equivale
en cierto modo a un precio de reposición.
o Método MIFO (midle in, first out) es un promedio ponderado
o Precios estandarte de la empresa
o Precios estimados de reposición
o Costos directos de producción (MOD, depreciaciones etc.)
COSTOS DE RUPTURA DE STOCK
Los Costos de ruptura o de rotura de stocks incluyen el conjunto de Costos por la falta
de existencias, estos costos no serán absorbidos por la producción en proceso, sino
que irán a parar directamente al estado de resultados.
Los criterios para valorar estos costos de ruptura son:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS 47
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
• Disminución del ingreso por Ventas: La no integridad contable por falta de
referencias en un pedido realizado, supone una reducción de los ingresos por ventas,
tanto por el desplazamiento en el tipo de la fecha de facturación, como por la pérdida
absoluta de la pérdida.
• Incremento de los gastos del Servicio: Aquí se incluyen las penalizaciones
contractuales por retrasos de abastecimiento, partes en el proceso de producción, los
falsos fletes etc.
La valoración de estos costos de ruptura es difícil y poco frecuente, solo es posible si
la empresa esta provista de un eficiente sistema de gestión de la calidad, en general
el gestor de inventarios deberá conformarse con estimaciones subjetivas o costos
Estándar. En literatura especializada estos son considerados entre el 1% y el 4% de
los ingresos por ventas, pero esto es también tentativo.
1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS
MODELO DE INVENTARIO GENERAL
La naturaleza del problema de inventario consiste en hacer y recibir pedidos de
determinados volúmenes, repetidas veces y a intervalos determinados. Una política
de inventario responde las siguientes preguntas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.4 MODELOS DETERMINÍSTICOS 48
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
¿Cuánto se debe ordenar?
Esto determina el lote económico (EOQ) al minimizar el siguiente modelo de costo:
(Costo total del inventario) = (Costo de compra) + (costo de preparación + (Costo de
almacenamiento) + (costo de faltante).
Todos estos costos se deben expresar en términos del lote económico deseado y del
tiempo entre los pedidos.
El costo de compra se basa en el precio por unidad del artículo. Puede ser constante,
o se puede ofrecer con un descuento que depende que dependa del volumen del
pedido.
El costo de preparación representa el cargo fijo en el cual se incurre cuando se hace
un pedido. Este costo es independiente del volumen del pedido.
El costo de almacenamiento representa el costo de mantener suficientes existencias
en el inventario. Incluye el interés sobre el capital, así como el costo de
mantenimiento y manejo.
El costo de faltante es la penalidad en la cual se incurre cuando nos quedamos sin
existencias. Incluye la perdida potencial de ingresos, así como el costo mas subjetivo
de la perdida de la buena voluntad de los clientes.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. 49
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
¿Cuándo se deben colocar los pedidos?
Depende del tipo de sistema de inventario que tenemos. Si el sistema requiere una
revisión periódica (por ejemplo, semanal o mensual), el momento para hacer un
nuevo pedido coincide con el inicio de cada periodo. De manera alternativa, si el
sistema se basa en una revisión continua, los nuevos pedidos se colocan cuando el
nivel del inventario desciende a un nivel previamente especificado, llamado el punto
de reorden.
1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES.
Conceptos de Planeación de Requerimientos de Materiales, qué es el sistema MRP,
qué es el Plan Maestro de Producción, Lista de Materiales, programación dinámica,
Datos para la Planificación de requerimiento de materiales, modelos heurísticos.
Ventajas De Las MRP.
Entre las ventajas de un sistema MRP se pueden considerar los siguientes ítems:
1. Capacidad para fijar los precios de una manera más competente.
2. Reducción de los precios de venta.
3. Reducción del inventario.
4. Mejor servicio al cliente.
5. Mejor respuesta a las demandas del mercado.
6. Capacidad para cambiar el programa maestro.
7. Reducción de los costos de preparación y desmonte.
8. Reducción del tiempo de inactividad.
9. Suministrar información por anticipado, de manera que los gerentes puedan ver el
programa planeado antes de la expedición real de los pedidos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 1.5 PLANEACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. 50
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
10. Indicar cuando demorar y cuando agilizar.
11. Demorar o cancelar pedidos.
12. Cambiar las cantidades de los pedidos.
13. Agilizar o retardar la fecha de los pedidos.
14. Ayudar en la capacidad de planeación.
15. Reducción hasta el 40% en las inversiones de inventario.
Los sistemas avanzados de MRP, también llamados como siguiente generación de
MRP II o simplemente E.R.P incluyen entre sus características básicas:
1. Arquitectura Cliente/Servidor.
2. Base datos centralizados, con consultas SQL y generación de informes.
3. Interface gráfica de usuario, con manejo de ventanas.
4. Soporte de base de datos distribuida.
5. Sistemas iniciales para soporte de decisiones.
6. Manejo electrónico de datos e intercambio de los mismos.
7. Interoperabilidad con múltiples plataformas, entre las que se pueden incluir
Windows NT y Unix
8. Manejo de interfaces de programación con interoperabilidad con otras aplicaciones
de otros programas.
9. Intercambio de datos utilizando Internet.
10. Comunicación entre clientes y proveedores.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 2 51
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD 2
LÍNEAS DE ESPERA
LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 52
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
INTRODUCCION.
Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos esperamos en colas
para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el
supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos
hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando lo son
demasiado.
Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la
población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de
vida como en la eficiencia de su economía. Por ejemplo, antes de su disolución, la
Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener
que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima
que las personas pasan 37 mil millones de horas al año en líneas de espera. Si este
tiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de personas-
años de trabajo útil cada año.
Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la
espera excesiva. También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de
espera que no son personas en una Cola.
La Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los
modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera
(sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas
para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y
señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.
LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 53
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo
operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada
capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no
Contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus
desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance
adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.
ORIGEN.
El origen de la Teoría de Colas o Líneas de Espera se remonta a los estudios
realizados en 1909 por Agner Krarup Erlang (Dinamarca, 1878 - 1929), para analizar
la congestión en el sistema telefónico de Copenhague.
Sus investigaciones acabaron en una nueva teoría llamada teoría de colas o de líneas
de espera. Esta teoría es ahora una herramienta de valor en negocios debido a que
muchos de sus problemas pueden caracterizarse, como problemas de congestión
llegada - partida.
La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas
de espera. Estas se presentan cuando ―clientes‖ llegan a un ―lugar‖ demandando un
servicio al ―servidor‖, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la ―línea
de espera‖.
LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 54
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en qué momento llegarán los clientes. También el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.
Las llegadas se describen por su distribución estadística. Si las llegadas ocurren con
una tasa promedio y que son independientes una de otra, entonces ocurren de
acuerdo con una distribución de probabilidades de tipo ―Poisson‖.
Distribución Poisson.
Si la tasa de llegada se da en razón del tiempo que transcurre entre una llegada y
otra, entonces se dice que sigue una distribución de tipo ―Exponencial‖.
En un supuesto común, la distribución del tiempo de servicio está dada por la
distribución ―Exponencial‖. Mientras que el número de servidores puede ser uno o
varios.
Distribución Exponencial.
La tasa de servicio, al igual que la de llegada, debe ser evaluada para ver si se ajusta
a una distribución ―Exponencial‖.
DEFINICION
Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas
de colas. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre costes del
sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado.
LI. Jesús Abundis Manzanares | INTRODUCCION. 55
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Con frecuencia, las empresas deben tomar decisiones respecto al caudal de
servicios que debe estar preparada para ofrecer. Sin embargo, muchas veces es
imposible predecir con exactitud cuándo llegarán los clientes que demandan el
servicio y/o cuanto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por eso que esas
decisiones implican dilemas que hay que resolver con información escasa.
Estar preparados para ofrecer todo servicio que se nos solicite en cualquier momento
puede implicar mantener recursos ociosos y costos excesivos. Pero, por otro lado,
carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en
ciertos momentos. Cuando los clientes tienen que esperar en una cola para recibir
nuestros servicios, están pagando un coste, en tiempo, más alto del que esperaban.
Las líneas de espera largas también son costosas por tanto para la empresa ya que
producen pérdida de prestigio y pérdida de clientes.
La teoría de las colas en si no resuelve directamente el problema, pero contribuye con
la información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes
prediciendo algunas características sobre la línea de espera: probabilidad de que se
formen, el tiempo de espera promedio.
Pero si utilizamos el concepto de ―clientes internos‖ en la organización de la empresa,
asociándolo a la teoría de las colas, nos estaremos aproximando al modelo de
organización empresarial ―just in time‖ en el que se trata de minimizar el costo
asociado a la ociosidad de recursos en la cadena productiva.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 56
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio proporciona el balance
correcto. Esto no es sencillo, ya que un cliente no llega a un horario fijo, es decir, no
se sabe con exactitud en que momento llegarán los clientes. También el tiempo de
servicio no tiene un horario fijo.
Los problemas de ―Colas‖ se presentan permanentemente la vida diaria: un estudio de
EE.UU. concluyó que un ciudadano medio pasa 5 años de su vida esperando en
distintas Colas, y de ellos casi 6 meses parado en los semáforos.
La Teoría de Colas requiere de un estudio matemático del comportamiento de líneas
de espera. Estas se presentan cuando ―clientes‖ llegan a un ―lugar‖ demandando un
servicio al ―servidor‖, el cual tiene cierta capacidad de atención. Si el servidor no está
disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma en la ―línea
de espera‖.
2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA.
Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de
espera que se pueden tener. La notación consta de 6 números de la forma siguiente:
a/b/c/d/e/f
Donde los símbolos representan lo siguiente:
a= La distribución de tiempo entre llegadas.
b= La distribución de tiempo de servicio.
c= El número de servidores en paralelo.
d= Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD).
e= Número máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 57
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
f= Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.
Para reemplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales:
M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial
entrada o salida de Poisson (o Markoviana).
D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista
Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con
parámetro K.
G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (cualquier
distribución arbitraria).
Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera,
dependerá de los siguientes factores:
Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo).
Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).
Diseño de la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red)
Disciplina de servicio
Tamaño de la línea (finita o infinita)
Fuente de los clientes (finita o infinita).
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO
Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene
su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la
condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 58
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En este capítulo el procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la
línea de espera, a base de que el que llega primero queda en primer lugar.
Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La
tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de
herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de
clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como
tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un
orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de
los casos en el mundo de los negocios.
En las situaciones en que las llegadas se distribuyen en forma aleatoria puede
utilizarse su promedio si se registra durante un periodo suficientemente prolongado.
La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden
manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo.
Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el
departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio
puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‗se
encontraran más casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 59
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA.
La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones
de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será de gran ayuda para
sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría. Una gran cadena de
supermercados ha utilizado las líneas de espera para determinar el número de
estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento continuo y
económico de sus almacenes, a diversas horas del día.
Otro uso de esta teoría consiste en analizar las demoras en las casetas de peaje de
puentes y túneles. Un estudio de esta índole se refiere al número y programación de
las casetas de peaje requeridas sobre una base de veinticuatro horas, a fin de reducir
al mínimo los costos en determinado nivel de servicio.
Otras áreas relacionadas con un cliente, serían las líneas de espera de restaurantes y
cafeterías, expendios de gasolina, oficinas de líneas aéreas, almacenes de
departamentos y la programación de los pacientes en las clínicas.
En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras
que la empresa espera poder mantener sus costos al mínimo.
La teoría de las líneas de espera no solo es aplicable a los establecimientos de ventas
a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-facturaras también la usan
extensamente. Una aplicación muy popular de la teoría de las líneas de espera es el
área de las casetas de herramientas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 60
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que esperar
mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas. Aunque se presiona a
los gerentes de fábrica para que reduzcan los gastos generales de administración, e!
aumento de empleados puede reducir realmente los gastos generales de
manufactura, porque el personal de la fábrica puede trabajar en vez de esperar en
una fila.
Otro problema que ha resuelto con éxito la teoría de las líneas de
espera. Es la determinación adecuada del número de muelles que se requieren
cuando se construyen instalaciones terminales para barcos y camiones. como
tanto los costos de los muelles como los de las demoras pueden ser considerables, ya
que los primeros disminuyen mientras aumentan los segundos, o viceversa, es muy
conveniente construir el número de muelles que reduzcan al mínimo la suma de
esos dos costos, Varias empresas manufactureras han atacado el problema de
descomposturas y reparaciones de sus máquinas, utilizando la misma teoría, El
problema se refiere a una batería de máquinas que se descomponen individual-' mente
en diferentes épocas. En realidad, las máquinas que se descomponen.
Forman una línea de espera para su reparación por el personal de mantenimiento. Es
conveniente emplear el personal de reparaciones necesario para disminuir al mínimo
la suma del costo de la perdida de producción causada por el tiempo de espera y del
costo de los mecánicos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 61
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
La teoría de las líneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I de incentivos
de salarios. Por ejemplo, se había asignado cierto personal de línea de producción
para manejar dos máquinas, mientras que a otros se les había asignado para
manejar. Cuatro máquinas. Como. Todas las maquinas son.
Iguales, los trabajadores reciben el mismo salario básico, pero la gratificación •: de
incentivo por la producción sobre la cuota, es de la mitad por unidad i para los
operadores con cuatro máquinas que para los que tienen dos: maquinas.
Superficialmente ese arreglo parece equitativo.
No obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada una de las
dos I maquinas que maneja un solo hombre estarían ociosas alrededor del 12 por
ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro máquinas manejadas j por
un solo individuo estarían ociosas alrededor del 16 por ciento de su tiempo
programado.
El problema es que dos (o más) maquinas pueden descomponerse a la vez
en el grupo de cuatro máquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo de dos
máquinas. El individuo que maneja el, grupo de cuatro máquinas tiene que trabajar a
mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos máquinas, a fin de ganar el
mismo incentivo.
El f problema se resolvería pagando a los operadores de las baterías de cuatro |
maquinas un salario básico mayor, determinado básicamente empleando las J
probabilidades calculadas con la teoría de las líneas de espera.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 62
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Las áreas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones de la teoría
de las líneas de espera, que pueden extenderse para incluir la i dotación de personal
de las operaciones de oficina, y el equilibrio del flujo I _ de materiales en un taller de
tareas. Esa teoría puede tener una influencia bien definida en el desafío de un
sistema de inventario y de control de producción.
TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO.
El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en términos
de costo mínimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa manufacturera
maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus grandes fábricas.
Actualmente, el grupo de análisis de sistemas tiene en observación una de esas
casetas atendida por un trabajador: los maquinistas llegan a solicitar servicio a una
tasa uniforme de 10 por hora mientras que se observa que el encargado de
la caseta de herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de
7 1/2 por hora. ¿Seria? lucrativo para la empresa aumentar el número de
encargados si se les paga a razón de $3.00 por hora, y se paga a los maquinistas a
razón de $4.QO hora? Esas cuotas incluyen los beneficios marginales.
Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el personal
del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a almorzar Los resultados finales
se calculan sobre una base de 8 horas.
En vista de esos datos —tasa uniforme de llegada de 10 por hora (uno cada 6
minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2 por hora (uno cada 8 minutos)-' el
problema puede resolverse empleando la fórmula de la suma de una serie aritmética.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 63
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene tiempo de espera. Antes de dar
servicio al que llego primero, el que liego en segundo lugar se convierte en el primero
que espera en la fila, y su tiempo de espera es de 2 minutos (8 minutos — 6 minutos),
antes de que se le dé servicio.
Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es necesario
calcular el tiempo de espera del último hombre en nuestras 4 horas iníciales.
Como llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4 horas), y el primero no espera,
debemos calcular el tiempo de espera de los treinta y nueve restantes, o sea que 39
maquinistas multiplicados por 2 minutos son igual a 78 minutos.
Como el aumento del tiempo de espera para cada maquinista adicional es lineal,
podemos promediar el tiempo de espera del segundo y del cuadragésimo.
El promedio del tiempo de espera de cada maquinista es igual a 2 minutos más 78
minutos, dividido entre 2, 6 40 minutos, lo que se resume en la tabla 14-1.
(La probabilidad de que los que lleguen al último no espere en la fila, porque se
acerca la hora del almuerzo, no se ha considerado aquí, aunque normalmente lo
será.) El examen de los datos indica que el costo se reduce al mínimo empleando dos
encargados.
En contraste con las tasas uniformes, la mayor parte de los problemas de los
negocios se ocupa de tasas aleatorias de llegada y de servicio, cuya solución requiere
un proceso diferente, que constituirá el tema del resto de este capítulo.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 64
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL.
En la última sección, estudiamos las tasas uniformes de llegada y de servicio, y ahora
estudiaremos las tasas aleatorias de llegada y de servicio en un problema de líneas
de espera de un solo canal (una sola estación).
No trataremos aquellos casos en los que la capacidad de las instalaciones de servicio
es mayor que el promedio de las demandas de las entradas, porque esta condición da
por resultado que no haya líneas de espera.
En vez de ello nos ocuparemos de un problema de líneas de espera de un solo canal,
en el que hay una línea de espera que resulta de tiempos aleatorios de llegada y de
servicio.
Vale la pena notar que los modelos de líneas de espera pueden usarse para eliminar
un exceso de trabajadores, cuando la instalación de servicio es mayor que las
demandas de servicio.
La forma en que llegan las unidades es aleatoria, si no puede predecirse exactamente
cuando llegara cierta unidad.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 65
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
2.3 MODELO CON REABASTECIMIENTO INSTANTANEO.
No se permite el faltante. Suposiciones:
1. La demanda tiene que ser constante.
2. Los costos son constantes (no se permite descuento en adquisiciones
voluminosas).
3. Los proveedores entregaran con puntualidad los pedidos en el periodo
comprendido.
4. El lote mínimo es igual al inventario máximo.
Nomenclatura:
Q = tamaño económico del lote. Si es muy grande o muy chico
N = número de pedido. Puedes pedir una o 2 veces
D = Demanda. Por si las dudas ten cuidado y siempre papelito habla
Ci = Costo de compra. Al mejor te sale más barato en otro lado
Ch = Costo de mantener un unidad en los inventarios (%).
Co = Costo de ordenar. ya ves que hay gandallas que te cobran el envió
R = Punto de reorden.
L = Tiempo de consumo. en menos de 30 min si te cobran sino pues no
T = Tiempo para consumir el inventario máximo. el tiempo en el que te atragantas
Imáx = Inventario Máximo.
Î =Inventario Promedio.
Ct = Costo Total.
Ct = Costo de compra + Costo de ordenar + Costo de tenencia.
Costo de compra = CiD
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 66
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Costo de ordenar =
Costo de tenencia =
Si la demanda es de 50 piezas por día y el proveedor pasa 10 días en surtir por tanto
necesitamos 500 piezas para no tener faltante.
R = ? = 50 * 10 −500
D = 50 pza/día.
L = 10 días.
R = D L
Unidad = 5040
Ejemplo:
Una Cía. fabricante de refrescos de la marca de Coca-Cola a observado que requiere
anualmente de 3000 baleros que son utilizados en las bombas de agua a propulsión a
chorro con un programa de mantenimiento preventivo diseñado por el departamento
de producción.
El costo de cada unidad es de $ 80,000, el costo de oportunidad de inversión es de
12% del costo del producto. Los costos generados por el control de inventarios como
son el sueldo de personal de almacén, agua y electricidad es de 2,400 * unidad lo cual
es muy caro porque yo solo pago cuatrocientos pesos de luz, otro costo que
representa aun los deterioros, extravió y envejecimiento de los productos
almacenados anualmente y alcanzan un costo de $2,000 * unidad .La orden de
compra se ha estimado en $120,000.
Suponga que el proveedor tarda en promedio 15 días en surtir una orden, determinar:
El tamaño económico del lote.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 67
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El inventario máximo.
El inventario Promedio.
El punto de reorden.
El tiempo requerido para consumir el inventario máximo.
Costo total del inventario.
Número de pedidos.
Datos:
D = 3000 unidad por año.
Ci = $80,000
Co =$120,000
Ch= 0.12 (80,000)+ 2,900 + 2,000
Ch = 14,000 unidades por año.
L = 15 días.
Q = 227 unidad.
Imáx. = Q = 227 u.
=
=
e) T - Q/D = 0.075 Años = 27 días.
f)Ct = $ 243,174,340
g) =
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 68
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
2.3 TEOREMA DE LITTLE
Sea un sistema de colas con cualquier distribución de llegadas y servicios y cualquier
estructura, Sean L el número de trabajos presentes en el sistema en el estado
estacionario, W es tiempo medio de respuesta en el estado estacionario y λ la razón
de llegadas al sistema, Entonces:
L = λW
Explicación intuitiva: Supongamos que cobramos 1€ a cada trabajo por cada unidad
de tiempo que pasa en el sistema, Habría dos maneras equivalentes de medir las
ganancias:
� Colocando un recaudador a la entrada del sistema, le cobrará como media W a
cada uno de los λ trabajos que vea pasar por unidad de tiempo � Cada vez que
transcurre una unidad de tiempo, cobro 1 € a cada uno de los L trabajos que como
media hay en ese instante en el sistema.
Si aplico el teorema a la cola, dejando fuera del sistema al servidor, obtengo el
siguiente resultado, también muy útil:
q q L = λW
Las dos fórmulas obtenidas nos sirven para ayudarnos a obtener los valores de las
medidas de rendimiento, aunque necesitaremos otras ecuaciones para poder
conseguir resultados explícitos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.2 TERMINOLOGIA NOTACION LINEAS DE ESPERA. 69
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Las ecuaciones de Little expresan que para cualquier sistema o subsistema dado, en
estado estacionario el número medio de clientes dentro es igual a la tasa media de
entrada de clientes por el tiempo medio de permanencia en ese sistema o
subsistema.
Casos particulares: el número medio de clientes en el sistema, el número medio de
clientes en la cola, el tiempo esperado de permanencia en el sistema y el tiempo
esperado de permanencia en la fila satisfacen las siguientes igualdades:
s n =l t
f n =l t
Donde l es la tasa media de llegadas, que viene dada por
¥
=
=
n 0
n n l l p .
Asimismo, si at t es el tiempo medio de atención, tenemos que at r = l t.
Tiempo esperado de permanencia en el sistema
Utilizando las igualdades de Little, tenemos que
l
n
ts =
Tiempo esperado de permanencia en la fila
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 70
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Aplicando nuevamente las igualdades de Little, llegamos a
l
=n f t
Hemos obtenido ecuaciones para diversas medidas de interés (en estado
estacionario) sobre filas de espera con llegadas de Poisson y tiempos de servicio
exponenciales sin hacer suposiciones acerca de las tasas de llegada y de atención. A
continuación aplicaremos estos resultados ―genéricos‖ para establecer resultados en
modelos específicos.
A continuación presentamos un estudio de algunos modelos simples de filas de
espera con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.
2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO.
El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que
requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito. Este caso no
corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño finito. Este
caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño
finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que
describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el
supuesto de población infinita y no con el real.
Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de
un sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la
sección 3.4 se convierten en series finitas y generan de manera análoga los
siguientes resultados9.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 71
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m)
elementos de esa población piden ese servicio, entonces P0 (t) se calcula mediante el
uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación:
(3.20)
∑
(3.21)
Una vez conocida (t) se calcula L, W, Ts, Tw de:
(3.22)
( ) (3.23)
(3.24)
(3.25)
Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente manera:
(3.26)
Ejemplo 3.2. Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo
jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971
y, en especial, las fallas de las turbinas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 72
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los datos indican que las fallas de cualquier turbina de cualquier avión es una
variable aleatoria y que el tiempo promedio entre dos fallas consecutivas de cualquier
avión es de un año. El tiempo promedio de revisión y compostura de la falla de la
turbina es de 45 días (un octavo de año).
Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se
proporciona servicio bajo la política de ―primero que entra al taller, primero que se le
sirve‖. Durante el periodo de mantenimiento el avión no vuela. Describa
cuantitativamente al sistema de espera.
∑
∑
∑
Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces
⁄
.
Como
, se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión 3.20
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 73
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Para n = 0, 1, 2, 3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que esperan
compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico.
n m
0 4
1.00000
1 4
0.50000
2 4
0.18750
3 4
0.04688
4 4
0.00576
Tabla 3.2 ∑
Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene:
∑
Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún
avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 74
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es:
El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de:
Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en
el taller) es:
El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es:
O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el sistema
(espera más servicio) es de:
O sea casi 64 días:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 75
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
¿Qué representa esto en costo?
Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2 mil
cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se supone que estos
aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les
Proporcionaría mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla
de turbina) que dura en promedio 100 horas. Se supone que el sueldo mensual del
personal especializado de reparación es de 200 mil pesos y el costo mensual del
equipo de reparación (luz, depreciación, seguros, etc.,) es de 125 mil pesos.
El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es, por lo
tanto, la suma de los siguientes costos:
a) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw).
b) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por
compostura de turbinas.
c) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir Tw – Ts.
Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos unitarios a
costo por año.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 76
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En un año (365 días) el avión vuela:
Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para un total
de 500
de servicio de mantenimiento. Si en un año existen 8760 horas, lo
anterior quiere decir que:
8760 – (5110 + 500) = 3150
Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada avión será
de:
(5110
) + (500
* 5000
) + (3150
2000
) = 59.9
Si un avión de este tipo pasa Tw = 0.175 de año (64 días), en el sistema de
compostura de turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es:
(59.9
) (0.175 años) = 10.48
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.4 PATRONES DE LLEGADAS Y DE SERVICIO. 77
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de pesos por
año); por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la
compostura de una turbina será:
(
)
La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325
mil pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del tiempo de
reparación por avión, sin tomar en cuenta refacciones es:
(
)
El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es:
(10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58
Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo
especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En cuánto disminuiría el
costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de
reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio?
LI. Jesús Abundis Manzanares | 78
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA.
USO DE LAS TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO
Como la mayor parte de las técnicas matemáticas, la teoría de líneas de espera tiene
su propio conjunto de términos. El de disciplina de la línea de espera se refiere a la
condición en que se escogen las llegadas para recibir servicio. En este capítulo el
procedimiento consiste en que las llegadas ocupan su lugar en la línea de espera, a
base de que el que llega primero queda en primer lugar.
Las llegadas pueden ser uniformes durante cierto periodo, o pueden ser aleatorias. La
tasa de llegadas puede tomar la forma de empleados que llegan a la caseta de
herramientas de la empresa, o en otras condiciones podrían representar el número de
clientes que esperan para comer. General-mente, la tasa de llegada se expresa como
tasa de llegada por unidad de tiempo. Si es aleatoria los clientes no llegan en un
orden o patrón lógico en el transcurso del tiempo, lo que representa la mayor parte de
los casos en el mundo de los negocios. En las situaciones en que las llegadas se
distribuyen en forma aleatoria puede utilizarse su promedio si se registra durante un
periodo suficientemente prolongado.
La tasa de servicio se ocupa de la forma en que las instalaciones de servicio pueden
manejar las demandas de llegada, y se expresa como una tasa por unidad de tiempo.
Por ejemplo, la tasa de servicio podría indicar el número de pedidos que el
departamento de piezas de repuesto procesa por hora. También el tiempo de servicio
puede ser uniforme o distribuido en forma aleatoria. En las problemas de-negocios ‗se
encontraran más casos de tasa uniforme de servicio que de tasa uniforme de llegada.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 79
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
APLICACIONES DE LA TEORIA DE LINEAS DE ESPERA
La teoría de las líneas de espera se ha aplicado a una gran variedad de situaciones
de negocios. Una breve descripción de algunas aplicaciones será de gran ayuda para
sugerir problemas a los que pueda aplicarse la teoría.
Una gran cadena de supermercados ha utilizado las líneas de espera para determinar
el número de estaciones de control que se requieren para lograr un funcionamiento
continuo y económico de sus almacenes, a diversas horas del día.
Otro uso de esta teoría consiste en analizar las demoras en las casetas de peaje de
puentes y túneles. Un estudio de esta índole se refiere al número y programación de
las casetas de peaje requeridas sobre una base de veinticuatro horas, a fin de reducir
al mínimo los costos en determinado nivel de servicio.
Otras áreas relacionadas con un cliente, serían las líneas de espera de restaurantes y
cafeterías, expendios de gasolina, oficinas de líneas aéreas, almacenes de
departamentos y la programación de los pacientes en las clínicas.
En todos los casos, los clientes esperan cierto nivel aceptable de servicio, mientras
que la empresa espera poder mantener sus costos al mínimo.
La teoría de las líneas de espera no solo es aplicable a los establecimientos de ventas
a] menudeo o mayoreo, sino que las empresas manu-facturaras también la usan
extensamente. Una aplicación muy popular de la teoría de las líneas de espera es el
área de las casetas de herramientas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 80
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Los sobrestantes se quejan constantemente de que sus hombres tienen que esperar
mucho tiempo en las filas para recibir herramientas y piezas. Aunque se presiona a
los gerentes de fábrica para que reduzcan los gastos generales de administración, e!
aumento de empleados puede reducir realmente los gastos generales de
manufactura, porque el personal de la fábrica puede trabajar en vez de esperar en
una fila.
Otro problema que ha resuelto con éxito la teoría de las líneas de
espera. es la determinación adecuada del número de muelles que se requieren
cuando se construyen instalaciones terminales para barcos y camiones. como
tanto los costos de los muelles como los de las demoras pueden ser considerables, ya
que los primeros disminuyen mientras aumentan los segundos, o viceversa, es muy
conveniente construir el número de muelles que reduzcan al mínimo la suma de
esos dos costos, Varias empresas manufactureras han atacado el problema de
descomposturas y reparaciones de sus máquinas, utilizando la misma teoría, El
problema se refiere a una batería de máquinas que se descomponen individual-' mente
en diferentes épocas.
En realidad, las maquinas que se descomponen forman una línea de espera para su
reparación por el personal de mantenimiento. Es conveniente emplear el personal
de reparaciones necesario para disminuir al mínimo la suma del costo de la perdida
de producción causada por el tiempo de espera y del costo de los mecánicos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 81
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
La teoría de las líneas de espera se ha extendido para estudiar un plan I de incentivos
de salarios. Por ejemplo, se había asignado cierto personal de línea de producción
para manejar dos máquinas, mientras que a otros se les había asignado para
manejar. Cuatro máquinas. Como. Todas las maquinas son iguales, los trabajadores
reciben el mismo salario básico, pero la gratificación de incentivo por la producción
sobre la cuota, es de la mitad por unidad i para los operadores con cuatro máquinas
que para los que tienen dos: maquinas. Superficialmente ese arreglo parece
equitativo. No obstante, un; estudio de las condiciones reales revela que aunque cada
una de las dos I maquinas que maneja un solo hombre estarían ociosas alrededor del
12 por ciento de su tiempo programado, cada una de las cuatro máquinas manejadas
j por un solo individuo estarían ociosas alrededor del 16 por ciento de su tiempo
Programado. El problema es que dos (o más) maquinas pueden descomponerse a
la vez en el grupo de cuatro máquinas, lo que-general-; mente no ocurre con el grupo
de dos máquinas. El individuo que maneja el , grupo de cuatro máquinas tiene que
trabajar a mayor eficiencia que el que j maneja un grupo de dos máquinas, a fin de
ganar el mismo incentivo. El f problema se resolvería pagando a los operadores de las
baterías de cuatro | maquinas un salario básico mayor, determinado básicamente
empleando las J probabilidades calculadas con la teoría de las líneas de espera.
Las áreas anteriores no agotan en modo alguno las posibles aplicaciones de la teoría
de las líneas de espera, que pueden extenderse para incluir la i dotación de personal
de las operaciones de oficina, y el equilibrio del flujo I _ de materiales en un taller de
tareas. Esa teoría puede tener una influencia bien definida en el desafío de un
sistema de inventario y de control de producción.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 82
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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TIEMPOS UNIFORMES DE LLEGABA Y DE SERVICIO.
El manejo apropiado de los tiempos uniformes de llegada y de servicio, en términos
de costo mínimo, puede demostrarse con un ejemplo. Una empresa manufacturera
maneja muchas casetas de herramientas dentro de una de sus grandes fábricas.
Actualmente, el grupo de análisis de sistemas tiene en observación una de esas
casetas atendida por un trabajador, : los maquinistas llegan a solicitar servicio a una
tasa uniforme de 10 por hora mientras que se observa que el encargado de
la caseta de herramienta ' atiende sus peticiones a una tasa uniforme de
7 1/2 por hora. ¿Seria? lucrativo para la empresa aumentar el número de
encargados si se les paga a razón de $3.00 por hora, y se paga a los maquinistas a
razón de $4.QO hora? Esas cuotas incluyen los beneficios marginales.
Inicialmente, el problema se calcula sobre una base de 4 horas, porque el personal
del taller trabaja de las 8 a. m. a las 12, y luego sale a almorzar Los resultados finales
se calculan sobre una base de 8 horas. En vista de esos datos —tasa uniforme de
llegada de 10 por hora (uno cada 6 minutes) y una tasa uniforme de servicio de 7 1/2
por hora (uno cada 8 minutos)-' el problema puede resolverse empleando la fórmula
de la suma de una serie aritmética. Si el primer hombre llega a las 8 a. m. no tiene
tiempo de espera. Antes de dar servicio al que llego primero, el que liego en segundo
lugar se convierte en el primero que espera en la fila, y su tiempo de espera es de 2
minutos (8 minutos — 6 minutos), antes de que se le dé servicio.
Una vez que conocemos el tiempo de espera del primer maquinista, es necesario
calcular el tiempo de espera del último hombre en nuestras 4 horas iníciales. Como
llegan 40 maquinistas (10 hombres por hora X 4 horas), y el primero no espera,
debemos calcular el tiempo de espera de los treinta y nueve restantes, o sea que 39
maquinistas multiplicados por 2 minutos son igual a 78 minutos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 83
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Como el aumento del tiempo de espera para cada maquinista adicional es lineal,
podemos promediar el tiempo de espera del segundo y del cuadragésimo. El
promedio del tiempo de espera de cada maquinista es igual a 2 minutos más 78
minutos, dividido entre 2, 6 40 minutos, lo que se resume en la tabla 14-1. (La
probabilidad de que los que lleguen al último no espere en la fila, porque se acerca la
hora del almuerzo, no se ha considerado aquí, aunque normalmente lo será.) El
examen de los datos indica que el costo se reduce al mínimo empleando dos
encargados. En contraste con las tasas uniformes, la mayor parte de los problemas
de los negocios se ocupa de tasas aleatorias de llegada y de servicio, cuya solución
requiere un proceso diferente, que constituirá el tema del resto de este capítulo.
TEORIA DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL.
En la última sección, estudiamos las tasas uniformes de llegada y de servicio, y ahora
estudiaremos las tasas aleatorias de llegada y de servicio en un problema de líneas
de espera de un solo canal (una sola estación). No trataremos aquellos casos en los
que la capacidad de las instalaciones de servicio es mayor que el promedio de las
demandas de las entradas, porque esta condición da por resultado que no haya líneas
de espera.
En vez de ello nos ocuparemos de un problema de líneas de espera de un solo canal,
en el que hay una línea de espera que resulta de tiempos aleatorios de llegada y de
servicio. Vale la pena notar que los modelos de líneas de espera pueden usarse para
eliminar un exceso de trabajadores, cuando la instalación de servicio es mayor que
las demandas de servicio.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 84
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
La forma en que llegan las unidades es aleatoria, si no puede predecirse exactamente
cuando llegara cierta unidad.
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE (MODELOS DE POISSON).
PROCESO DE NACIMIENTO PURO Y MUERTE PURA.
En esta sección consideraremos dos procesos especiales. En el primer proceso, los
clientes llegan y nunca parten y en el segundo proceso los clientes se retiran de un
abasto inicial. En ambos casos los procesos de llegada y retiro ocurren de manera
aleatoria. Las dos situaciones se denominan proceso de nacimiento puro y proceso de
muerte pura.
MODELO DE NACIMIENTO PURO.
Considere la situación de emitir actas de nacimiento para bebes recién nacidos. Estas
actas se guardan normalmente en una oficina central de Registro Civil. Hay razones
para creer que el nacimiento de bebes y, por ello, la emisión de las actas
correspondientes es un proceso completamente aleatorio que se puede describir por
medio de una distribución de Poisson. Usando la información de la sección 15.2 y
suponiendo que λ es la tasa con que se emiten las actas de nacimiento, el proceso de
nacimiento puro de tener n arribos o llegadas (acta de nacimiento) durante el periodo
de tiempo t se puede describir con la siguiente distribución de Poisson:
!
)()(
n
ettp
tn
n
, n=0,1,2,…. (Nacimiento puro)
Donde λ es la tasa de llegadas por unidad de tiempo, con el número esperado de
llegadas durante t igual a λ t.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 85
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Ejemplo 15.3-1
Suponga que los nacimientos en un país están separados en el tiempo, de acuerdo
con una distribución exponencial, presentándose un nacimiento cada 7 minutos en
promedio.
Como el tiempo promedio entre arribos (entre nacimientos) es de 7 minutos, la tasa
de nacimiento en el país se calcula como:
diasnacimientox
/7.2057
6024
El número de nacimientos en el país por año está dado por
λ t = 205.7x365 = 75080 nacimientos/año
La probabilidad de ningún nacimiento en cualquier día es
0!0
)17.205( 17.2050
x
o
exp
Suponga que nos interesa la probabilidad de emitir 45 actas de nacimiento al final de
un periodo de 3 horas, si se pudieron emitir 35 actas en las primeras 2 horas.
Observamos que debido a que los nacimientos ocurren según un proceso de Poisson,
la probabilidad requeridas reduce a tener 45-35=10 nacimientos en una hora ( =3-2).
Dado λ=60/7=8.57 nacimientos/hora, obtenemos
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 86
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
11172.0!10
)157.8()19(
157.810
10 x
p
ex
MODELO DE MUERTE PURA.
Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana,
para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la
demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda
es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el
almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson:
,)!(
)()(
nN
ettp
tnN
n
n = 1,2,…N
N
n
n tptp1
0 )(1)( (Muerte pura)
Ejemplo 15.3-2
Al inicio de la semana, se almacenan 15 unidades de un artículo de inventario para
utilizarse durante la semana. Solo se hacen retiros del almacenamiento durante los
primeros 6 días (la empresa está cerrada los domingos) y sigue una distribución de
Poisson con la media de 3 unidades/día. Cuando el nivel de existencia llega a 5
unidades, se coloca un nuevo pedido de 15 unidades para ser entregado al principio
de la semana entrante. Debido a la naturaleza del artículo, se desechan todas las
unidades que sobran al final de la semana podemos analizar esta situación en varias
formas. Primero, reconocemos que la tasa de cálculo es µ = 3 unidades por día.
Supóngase que nos interesa determinar la probabilidad de tener 5 unidades (el nivel
de nuevo pedido) al día t; es decir,
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 87
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
,)!515(
)3()(
3515
5
tet
tp t= 1,2,…,6
Como ejemplo ilustrativo de los cálculos, tenemos los siguientes resultados utilizando
el programa TORA µt=3, 6, 9…., y 18
t (días) 1 2 3 4 5
6
µt
p5(t)
3 6 9 12 15
18
0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486
0.015
Obsérvese que p5(t) representa la probabilidad de hacer un nuevo pedido el día t.
Esta probabilidad llega a su nivel máximo en t=3 y después disminuye conforme
transcurre la semana. Si nos interesa la probabilidad de hacer un nuevo pedido para
el día t, debemos determinar la probabilidad de tener cinco unidades o menos el día t;
esto es,
Pn<=5 (t) = p0(t)+p1(t)+…..+p5(t)
Usando TORA nuevamente obtenemos
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 88
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
t (días) 1 2 3 4 5
6
µt
pn<=5(t)
3 6 9 12 15
18
0.0011 0.0839 0.4126 0.7576 0.9301
0.9847
Podemos advertir en la tabla que la probabilidad de hacer el pedido para el día t
aumente monótonamente con t.
Otra información, que es importante al analizar la situación, es determinar el número
promedio de unidades de inventario que se desecharan el fin de semana.
6tnE =
15
0
)6(n
nnp
Esto se hace calculando el número esperado de unidades para el día 6; es decir,
La tabla que sigue presenta un resumen de las operaciones dado µt=18
N 0 1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11
pn(6) 0.792 0.0655 0.0509 0.0368 0.0245 0.015 0.0083 0.0042
0.0018 0.0007 0.0002 0.0001
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 89
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Y pn(6) ~= 0 para n = 12,13,14 y 15. Por lo tanto, al calcular el promedio, obtenemos
6tnE = 0.5537 unidad
Esto indica que, en promedio, se desechará menos de una unidad al término de cada
semana.
Ejercicio 15.3-2
Determine en el ejemplo 15.3-2
A) La probabilidad de que se agote la existencia después de tres días.
B) La probabilidad de que se retirará una unidad de inventario al termino del
cuarto día dado que la última unidad fue retirada al cabo del tercer día.
C) La probabilidad de que el tiempo restante hasta que se retire la siguiente
unidad sea cuando mucho un día, dado que el último retiro ocurre un día antes.
D) El inventario promedio que se mantiene en existencia al término del segundo
día.
E) La probabilidad de que no ocurran retiros durante el primer día.
UNA COLA, UN SERVIDOR Y POBLACIÓN FINITA.
El sistema que se analizó en la sección anterior supone que el número de clientes que
requieren servicio en un periodo de tiempo determinado es infinito.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 90
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de tamaño
finito. Este caso no corresponde a la realidad ya que una población es, por regla, de
tamaño finito. Esta consideración, en vez de simplificar el desarrollo de fórmulas que
describen cuantitativamente al sistema, lo complica. Por ello, se refiere trabajar con el
supuesto de población infinita y no con el real.
Suponiendo que una población finita de m elementos (o<m<∞) requiriera servicios de
un sistema similar al de la sección anterior, las series infinitas analizadas para la
sección 3.4 se convierten en series finitas y generan de manera análoga los
siguientes resultados9.
Si m es la población que pudiera requerir un servicio determinado y n (n < m)
elementos de esa población piden ese servicio, entonces P0 (t) se calcula mediante el
uso simultáneo de las expresiones 3.20 y 3.21, determinadas a continuación:
(3.20)
∑
(3.21)
Una vez conocida (t) se calcula L, W, Ts, Tw de:
(3.22)
( ) (3.23)
(3.24)
(3.25)
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 91
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Obviamente, conocida P0 (t) se calcula Pn (t) de 3.20 de la siguiente manera:
(3.26)
Ejemplo 3.2. Suponga que en la flota de Aeroméxico existen cuatro aviones del tipo
jumbo 747. Se ha venido observando el comportamiento de estos aviones desde 1971
y, en especial, las fallas de las turbinas. Los datos indican que las fallas de cualquier
turbina de cualquier avión es una variable aleatoria y que el tiempo promedio entre
dos fallas consecutivas de cualquier avión es de un año. El tiempo promedio de
revisión y compostura de la falla de la turbina es de 45 días (un octavo de año).
Solamente se tienes un equipo humano de expertos para dar servicios y se
proporciona servicio bajo la política de ―primero que entra al taller, primero que se le
sirve‖. Durante el periodo de mantenimiento el avión no vuela. Describa
cuantitativamente al sistema de espera.
∑
∑
∑
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 92
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Si se toma como unidad de tiempo un año, entonces
⁄
.
Como
, se aplica los conceptos anteriores. Se calcula la expresión 3.20
para n = 0, 1, 2, 3, 4 y m = 4, donde n es el número de aviones que esperan
compostura y m es la flota de jumbos 747 de Aeroméxico.
n m
0 4
1.00000
1 4
0.50000
2 4
0.18750
3 4
0.04688
4 4
0.00576
Tabla 3.2 ∑
Por lo tanto, y de acuerdo con 3.21, se tiene:
∑
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 93
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Que significa que existe un 5704% de probabilidad de que no se encuentre ningún
avión jumbo 747 en el sistema de compostura de turbinas en el tiempo t.
La probabilidad de que se encuentre un avión en mantenimiento y otro en espera es:
El número promedio de aviones de aviones que esperan servicio en 1 año es de:
Mientras que el número promedio de aviones en el sistema (esperando en la cola y en
el taller) es:
El tiempo promedio de espera en la cola para recibir servicio es:
O sea aproximadamente 18 días, mientras que el tiempo promedio en el sistema
(espera más servicio) es de:
O sea casi 64 días:
¿Qué representa esto en costo?
Suponga que el costo de 1 hora de vuelo de un 747 es de 10 mil pesos, de 2 mil
cuando está en tierra y de 5 mil cuando está en mantenimiento. Se supone que estos
aviones vuelan, en promedio, 14 horas por día y por cada mil horas de vuelo se les
proporcionaría mantenimiento preventivo (independiente de las composturas de falla
de turbina) que dura en promedio 100 horas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 94
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Se supone que el sueldo mensual del personal especializado de reparación es de 200
mil pesos y el costo mensual del equipo de reparación (luz, depreciación, seguros,
etc.,) es de 125 mil pesos.
El costo de la espera para componer las fallas de la turbina de un avión es, por lo
tanto, la suma de los siguientes costos:
d) Tiempo muerto del avión mientras espera y le reparan la turbina, (Tw).
e) Tiempo muerto de la tripulación cuando el avión se encuentra en el taller por
compostura de turbinas.
f) Tiempo de reparación de la turbina (sin incluir refacciones), es decir Tw – Ts.
Como la unidad de tiempo es un año, se deben convertir todos los costos unitarios a
costo por año.
En un año (365 días) el avión vuela:
Por lo que recibe 5 mantenimientos preventivos de 100 horas cada uno, para un total
de 500
de servicio de mantenimiento. Si en un año existen 8760 horas, lo
anterior quiere decir que:
8760 – (5110 + 500) = 3150
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 95
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Estará parado el avión en tierra. Entonces el costo total anual para cada avión será
de:
(5110
) + (500
* 5000
) + (3150
2000
) = 59.9
Si un avión de este tipo pasa Tw = 0.175 de año (64 días), en el sistema de
compostura de turbinas, el costo asociado a este tiempo muerto es:
(59.9
) (0.175 años) = 10.48
El sueldo mensual de una tripulación es de 400 mil pesos (4.8 millones de pesos por
año); por lo tanto, el costo del tiempo muerto de la tripulación asociado a la
compostura de una turbina será:
(
)
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 96
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
La nómina mensual del equipo de reparación más sus costos mensuales suman 325
mil pesos (3.9 millones de pesos por año). Por lo tanto, el costo del tiempo de
reparación por avión, sin tomar en cuenta refacciones es:
(
)
El costo total de tener a un avión en el sistema de compostura es:
(10.48 + 0.21 + 0.49) = 11.58
Este resultado motiva las siguientes preguntas: ¿Conviene aumentar el equipo
especializado de reparación de turbinas a 2 o 3? Si es así, ¿En cuánto disminuiría el
costo de la espera por avión en el sistema? ¿A cuánto aumenta el costo del equipo de
reparación? ¿Cuál es un buen punto de equilibrio?
UNA COLA-SERVIDORES MULTIPLES EN PARALELO-POBLACION
INFINITA.
Se supone un sistema con una sola cola, a la cual puede llegar un número infinito de
clientes en espera de recibir un mismo servicio por parte de S(S>1) servidores en
paralelo. La política del sistema es que sirve a los clientes en el orden de su llegada;
el servicio lo proporciona el primer servidor que se haya desocupado al principio y se
irán ocupando en forma progresiva (primero el servidor 1, después el 2 y así
sucesivamente) en la medida que vayan llegando los clientes.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 97
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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El número promedio de llegadas por unidad de tiempo es λ y se supone que este
tiene una distribución de poisson.
El número promedio de servicios de cada servidor por unidad de tiempo es el mismo
y se denota por µ. Se supone que este número tiene una distribución exponencial
negativa.
Se observa que cuando el número de elementos en la cola y en las estaciones de
servicio, m, es mayor que el número de servidores, S, (m > S), la probabilidad de que
algún cliente abandone el sistema (después de recibir su servicio) en el intervalo de
tiempo Δ t es S µ Δ t. En caso contrario (S > m), dicha probabilidad es m µ Δ t.
Esta observación incorporada en la expresión 3.3 origina:
(3.27)
En la expresión anterior no tiene sentido cuando m = O, por lo que una vez
agrupados los términos se obtiene:
Restando en ambos lados PQ (t) y dividiendo entre A t, se tiene
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 98
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Tomando el límite cuando tiende a cero genera
Por lo que
(3.28)
El límite, cuando tiende a cero, de la expresión general 3.27, para m = 1, genera
(3.29)
Substituyendo 3.28 en 3.29
(
)
(3.30)
Generalizando 3.30 para un valor m — 1 cualquiera se obtiene
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 99
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
que se puede reescribir:
(
)
(3.31)
Para el caso en que m < S, se sigue el mismo razonamiento cambiando el término
de 3.27 por m µ Δ t, para obtener
(3.32)
Una fórmula explícita de se genera despejando este término de ∑
, arrojando la expresión:
∑ ∑
(3.33)
Combinando 3.33 con 3.31 y 3.32 y tomando el límite cuando m tiende a infinito, se
construye después de un buen ejercicio algebraico (que aquí se omite) la expresión
final para dada por
∑
(
) (3.34)
El largo de la cola L, lo dará la expresión
∑
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 100
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Que una vez desarrollada, utilizando 3.31 y agrupando términos, genera la fórmula
(3.35)
El número de elementos en el sistema W, es igual a
W = L +
(3.36)
El tiempo de espera en la cola Ts es:
(3.37)
Mientras que el tiempo de espera en el sistema, Tw
(3.38)
Así como en el caso de un servidor se supone que
(para que no se formen
colas de tamaño infinito), en el caso de servidores múltiples se requiere que se
cumpla la condición
, la cual se puede reescribir como
Se puede demostrar que
{ } { }
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 101
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Donde
{ } ∑
Y
{ }
Ejemplo 3.3. Suponga que en el cruce fronterizo de México y Estados Unidos,
localizado entre las poblaciones de Piedras Negras, Coahuila, y Eagle Pass, Texas,
existe un puente sobre el Río Bravo con dos líneas de tráfico, una en dirección de
México a Estados Unidos y la otra en sentido contrario. La línea de tráfico de Estados
Unidos a México, se bifurca a 5 garitas de inspección migratoria y aduanera.
Suponga que las llegadas de automóviles tienen una distribución de Poisson con ƛ
igual a 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una
distribución exponencial negativa con µ igual a
8 servicios por hora.
Por decreto gubernamental, no existe prioridad de trato, así que las garitas
migratorias y aduaneras proporcionan servicio en la medida que se desocupan, y se
atiende en primer término al primer automóvil de la cola y así sucesivamente.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 102
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se describe en forma cuantitativa al sistema de garitas migratorias y aduaneras.
Primero se corrobora que el parámetro
, queriendo decir que en el puente
internacional de Piedras Negras no se formará una cola infinita de automóviles o, en
términos más reales, que esta cola no tiende a crecer sin freno:
Se tiene
∑
(
)
(
)
Lo anterior implica que existe un 15% de probabilidades de que, al llegar un automóvil
cualquiera a la garita internacional de Piedras Negras, en el tiempo t las 5 estaciones
de servicio se encuentren vacías, y no exista ningún automóvil esperando este
servicio.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 103
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Por lo tanto, no se forma una cola hasta que m > 6, como se verifica en la tabla 3.3.
El largo de la cola, L es:
El número de elementos en el sistema, W, es:
El tiempo promedio de espera en la cola, Ts es:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 104
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
M Tamaño de la cola Garitas desocupadas
Número de automóviles a
los cuales se les está dando
servicio
Pm (t)+,*
0 0 5 0 0.152
1 0 4 1 0.286**
2 0 3 2 0.267
3 0 2 3 0.167
4 0 1 4 0.078
5 0 0 5 0.029***
6 1 0 5 0.011****
7 2 0 5 0.004
8 3 0 5 0.001
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 105
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
o sea casi 7 segundos, mientras que el tiempo dentro del sistema, Tw es:
Aproximadamente 7 minutos con 36 segundos.
Ejemplo 3.4. El Director General de Egresos, el Lie. A. Uslero, experto en sistemas,
sospecha que se puede lograr un considerable ahorro económico, si en vez de 5
garitas funcionan 2, y que esto no causa graves problemas al turismo. ¿Estará en lo
cierto?
Se calcula
∑
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 106
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Es decir, existe un 3% de probabilidades de que al llegar un automóvil cualquiera a la
garita internacional de Piedras Negras, en el tiempo t las 2 garitas se encuentren
vacías y no hay automóviles esperando por un servicio.
No se forma una cola hasta que m > 3, tal como se aprecia en la siguiente tabla.
M Tamaño de
la cola
Garitas
desocupadas
Número de
automóviles
a los cuales
se les está
dando
servicio
Pm (t) + ,*
0 0 2 0 0.03226
1 0 1 1 0.06048
2 0 0 2 0.05670
3 1 0 2 0.05316
4 2 0 2 0.04984
5 3 0 2 0.046725
LI. Jesús Abundis Manzanares | 2.5 SOLUCION ANALITICA LINEAS DE ESPERA. 107
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Tabla 3.4
El largo de la cola, L, es:
Mientras que el número de elementos en el sistema, W, es:
W = L +
= 13.61 + 1.875 = 15.49 automóviles
El tiempo promedio de espera en la cola, TS, es:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 108
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
O sea casi 55 minutos, mientras que el tiempo dentro del sistema, Tw, es:
O sea, casi 62 minutos.
Así, por un lado, la medida de reducir de 5 a 2 garitas podría ahorrarle al país el
salario y el mantenimiento de 3 garitas, por el otro provocaría pérdidas en turismo, ya
que, en promedio cada automóvil que cruce por ese puerto fronterizo, esperará más
de una hora por trámites.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 3 109
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD 3
SIMULACIÓN
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.1 INTRODUCCIÓN. 110
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
3.1 INTRODUCCIÓN. La simulación es uno de los procesos cuantitativos mas ampliamente utilizados en la
toma de decisiones; sirve para aprender lo relacionado con un sistema real mediante
la experimentación con el modelo que lo representa. El modelo de simulación
contiene expresiones matemáticas y relaciones lógicas que describen la forma de
calcular el valor de los resultados. Cualquier modelo de simulación tiene 2 entradas:
controlables y probabilística
Entradas
probabilísticas
Entradas Salidas
Controlables
Las primeras referencias sobre simulación se encuentran hacia el año 1940, cuando
Von Neumann y Ullman trabajaron sobre la simulación del flujo de neutrones para la
construcción de la bomba atómica en el proyecto ―Montecarlo‖. Desde entonces se
conocían las técnicas de simulación como procesos Montecarlo, aunque en la
actualidad se diferencian ambas cosas, siendo los segundos un tipo particular de
simulación. También se realizó un proceso de simulación para el proyecto APOLLO
dentro del plan espacial de la N.A.S.A, acerca del movimiento dentro de la atmósfera
de la luna.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.1 INTRODUCCIÓN. 111
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Actualmente, la simulación es una poderosa técnica para la resolución de problemas.
Sus orígenes están en la teoría de muestreo estadístico y análisis de sistemas físicos
probabilísticos complejos. El aspecto común de ambos es el uso de números y
muestras aleatorias para aproximar soluciones.
Una de las más famosas aplicaciones de muestras aleatoria s, ocurre durante la
segunda guerra mundial, cuando la simulación se utilizó para estudiar el flujo de
neutrones dentro del desarrollo de la bomba atómica. Esta investigación era secreta y
le dieron un nombre en código: Monte Carlo. Este nombre se mantiene, y durante
mucho tiempo se usaba para hacer referencia a algunos esfuerzos en simulación.
Pero el término métodos Monte Carlo, se refiere actualmente a una rama de las
matemáticas experimentales que trata con experimentos de números aleatorios,
mientras que el término simulación, o simulación de sistemas, cubre una técnica de
análisis más práctico.
Vamos a ver técnicas que utilizan los computadores para imitar, o simular, el
comportamiento de sistemas del mundo real. Para estudiar científicamente estos
sistemas, a menudo se han de hacer una serie de suposiciones acerca de cómo
trabaja éste. Estas suposiciones que usualmente toman la forma de relaciones
matemáticas o lógicas, constituyen un modelo que va a ser usado para intentar
comprender el comportamiento del sistema correspondiente.
Si las relaciones que componen el modelo son suficientemente simples, es posible
usar métodos matemáticos (tales como álgebra, cálculo o teoría de la probabilidad)
para obtener una información exacta de las cuestiones de interés; a esto se le llama
solución analítica.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. 112
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Sin embargo, la mayoría de los sistemas del mundo real son demasiado complejos y
normalmente los modelos realistas de los mismos, no pueden evaluarse
analíticamente. Lo que se puede hacer es estudiar dichos modelos mediante
simulación. En una simulación se utiliza el ordenador para experimentar con un
modelo numéricamente, de forma que con los resultados obtenidos se haga una
estimación de las características del sistema.
3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION.
Descripción del procedimiento empleado en las simulaciones.
Las simulaciones se realizaron por medio de una versión baro trópica y verticalmente
integrada del HAMSOM. El uso de códigos de estas características es habitual en los
sistemas de predicción de ondas de tormenta. El hecho de emplear un modelo 3-D,
con toda la carga adicional de física y para metrizaciones, no aporta una mejora sobre
el valor estimado del nivel del mar, aunque si puede tener sentido a la hora de
predecir corrientes superficiales (comunicación en persona, Philip Woodword).
El cálculo de residuos en un punto se ha realizado por medio de una técnica que
implica la realización de dos simulaciones diferentes (Davies and Lawrence, 1994). La
primera consiste en una simulación de marea (como se verá en el apartado
―Constantes de marea‖ se ha empleado para ello el conjunto de constantes FES 95 de
la Universidad de Grenoble) con todos los armónicos disponibles en el modelo y
reproduciendo la situación real existente durante los días concretos del estudio. Para
ello ha sido necesario introducir en el código una rutina que calcule, para todos los
armónicos contemplados y para una fecha determinada, los factores nodales y el
desfase con respecto al origen de tiempo (ecuación 2).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. 113
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
A través de esta rutina, el término de desfase se calcula al inicio del periodo
considerado y el valor de fi,t se actualiza al principio de cada día. En estas
simulaciones el modelo reproduce el comportamiento de los 7 armónicos más
importantes, que poseen más del 95% de la energía de la marea. La segunda
simulación consiste en una ejecución conjunta de los forzamientos de la atmósfera
(vientos y presiones procedentes del HIRLAM) y la marea. En este caso, se reproduce
el nivel absoluto del mar, a excepción de las contribuciones baro clínicas y las debidas
a los armónicos no considerados. Los residuos se calculan como la diferencia entre
ambas simulaciones.
La figura 4 ilustra este procedimiento a través de los resultados del modelo en el
punto de malla de Bilbao. Los datos corresponden a unos cuantos días del periodo
considerado en este estudio. La gráfica superior muestra los resultados de la
simulación de marea con 7 armónicos. En esta figura se manifiesta con claridad la
presencia del ciclo de mareas vivas y muertas. La central muestra la elevación
resultante de introducir marea y forzamiento meteorológico. La inferior, que es la
diferencia entre las anteriores, corresponde a los residuos. La onda de tormenta del
día 7 de Febrero (día 98 de la simulación) es la mayor registrado en Bilbao desde la
puesta en marcha de la REDMAR.
Figura 4: Cálculo de residuos (gráfica inferior) a partir de las simulaciones de marea
(gráfica superior) y de marea con meteorología (gráfica central). El eje de abscisas
muestra los días transcurridos desde el inicio de la simulación. Nótese el cambio en la
escala vertical.
Al calcular las ondas de tormenta de esta manera el modelo puede estimar las
transferencias de energía entre los forzamientos meteorológicos y de marea.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.2 PROCEDIMIENTO DE SIMULACION. 114
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En aquellos puertos donde existe un mareógrafo, el nivel del mar se calcula como la
suma de la marea predicha astronómicamente y el residuo calculado por el modelo.
Por supuesto, este nivel calculado no puede tener en cuenta las contribuciones baro
clínicas ni las variaciones de la presión media planetaria (ver sección ―La influencia de
la presión atmosférica). Estos factores pueden producir derivas estacionales del nivel
medio del mar que han de ser tenidas en cuenta de alguna forma. Al hacer retro
análisis de periodos cortos de tiempo la técnica habitual es igualar las medias de las
series de residuos medidos y simulados (Vested et al, 1995). Al hacer predicción se
hace uso de diversas técnicas de asimilación de datos (Vested et al, 1995). En la
sección ―El esquema de asimilación de NIVMAR‖ se mostrará la aplicación de una de
estas técnicas.
El salto de tiempo empleado en las simulaciones fue de 10 minutos. Con este paso de
tiempo, relativamente pequeño, el máximo número de Courant para la propagación de
ondas largas presente en el dominio de simulación es del orden de 5, con lo que la
estabilidad y la ausencia de amortiguamiento numérico quedan aseguradas (Kowalik y
Murty, 1993).
Los valores de viscosidad horizontal y fricción de fondo empleados son los mismos
que dieron buenos resultados a la hora de simular las mareas en Fanjul el al (en
prensa (a)) ( 200 m2s-1 y R=0.0025). Las tensiones de arrastre de viento fueron
calculadas a partir de los datos del HIRLAM por medio de la para metrización de
Charnock (Fanjul el al, en prensa (a)), utilizando un valor de (Mastenbroek, et al,
1993).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 115
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
3.3 LOS NUMEROS ALEATORIOS Y EL MUESTREO DE
VARIABLES ALEATORIAS.
NÚMERO ALEATORIO.
Es un resultado de una variable al azar especificada por una función de distribución. Cuando no
se especifica ninguna distribución, se presupone que se utiliza la distribución uniforme
continua en el intervalo [0,1).
En los ordenadores personales es fácil simular la generación de números aleatorios,
mediante mecanismos de generación de números aleatorios , que, sin ser aleatorios
(siguen una fórmula), lo aparentan.
Un generador de números aleatorios es un componente o funcionalidad que crea números o
símbolos para un programa software en una forma que carezca de un patrón evidente, y que así
parezcan ser números aleatorios.
La mayor parte de los generadores de números aleatorios son, en realidad, pseudoaleatorios: se
calcula (o introduce internamente) un valor X0, que llamaremos.
Semilla, y, a partir de él, se van generando X1, X2, X3,...Siempre que se parta de la
misma semilla, se obtendrá la misma secuencia de valores.
El algoritmo básico es el método congruencia, que genera valores en el intervalo[0,1),
mediante el siguiente esquema: Se fijan A, B, enteros positivos (deben tener ciertas propiedades
para obtener un buen generador), y, a partir de una semilla X0 en el conjunto
0,1,...,(N-1), se generan X1 = A*X0+B (mod N) X2 = A*X1+B (mod N) X3 =A*X2+B
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.4 SIMULACION DE INVENTARIOS. 116
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
(mod N) ... X(k+1) = A*Xk+B (mod N) ...Donde A*X+B (mod N) es el resto de la división
entera de A*X+B entre N. Por ejemplo, 16 (mod 7) es 2.A partir del método congruencia, es
posible tomar valores pseudo aleatorios en el intervalo [0,1) como sigue: Se toma N,
entero, muy grande, se toman A, B adecuados, y una semilla X0 en 0,1,.., (N-1). A
partir de ella, se generan X1, X2, X3,... por el método congruencial, y a partir de ellos,
Y0, Y1, Y2, Y3,... mediante la fórmula Yk = Xk /N.
3.4 SIMULACION DE INVENTARIOS.
En base al estudio de Teoría de Inventarios, el simulador a describir, fue desarrollado en Net Logo.
El simulador fue programado para analizar los siguientes datos de entrada:
El número de pedidos de un producto la cantidad demandada de un producto.
La caducidad del producto.
Costo adicional por pedido.
Revisión del inventario (stock).
Tiempo de demora en los pedidos.
El modelo de simulación que se utilizó fue el modelo determinístico del lote económico EOQ.
Para la simulación se ha creado un solo objeto denominado producto que tiene una sola propiedad,
caducidad. Este objeto simula el comportamiento de un producto en general que se puede adquirir
o si se llega a cumplir su periodo de caducidad el mismo se da de baja, es decir se elimina del
inventario.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 117
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
De manera general la lógica de la aplicación es la siguiente, en caso de que no se desee optimizar
la simulación, el usuario configura los datos de entrada, se generan los productos, se inicia la
simulación, se actualizan los elementos de salida (output y plots).
Cuando el usuario desea optimizar la simulación algunos de los datos de entrada son calculados
en base a la información ingresada por el usuario, a pesar de que hayan sido
configurados por el usuario, esto debido a que la optimización aplica los cálculos de los sistemas
de inventarios para determinar el stock óptimo, cuándo y cuánto comprar.
3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA.
La selección del modelo para analizar una línea de espera, sea analítico o por
simulación, está determinado principalmente por las distribuciones de los tiempos de
llegada y los tiempo de servicio.
En la práctica estas distribuciones se determinan observando las líneas de espera
durante su operación y registrando los datos correspondientes. Entonces: ¿cuándo
observar el sistema?, y ¿ Cómo registrar los datos?. ¿CUANDO OBSERVAR?.
Se observa el sistema cuando está funcionando ―normalmente‖, esto cada una de sus
partes está maniobrando. Para un investigador ―conservador‖ será correcto observar y
recopilar los datos durante los ―periodos de mayor actividad‖, que corresponde a los
momentos de congestión en los sistemas de colas; por lo que el sistema debe
diseñarse para tomar en cuenta esas condiciones extremas:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 118
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Mayores tasas de llegadas (mayor número de clientes o productos/unidad de tiempo).
Otra alternativa para observar, es simplemente cuando el sistema está en su
―comportamiento o fase estable‖: Tiempo de espera similar por cada cliente o
producto Cualquier sistema de colas pasa por 2 fases básicas: La fase transitoria y la
fase estable. En el curso, se resolverán sólo casos en condiciones estables.
¿CÓMO REGISTRAR LOS DATOS?
La recolección de datos relativos a llegadas y salidas se puede efectuar utilizando uno
de dos métodos:
Método 1.- Medir el tiempo entre llegadas (o salidas) sucesivas para determinar los
tiempos entre arribos (o servicio). Se busca analizar las distribuciones de los tiempos
entre arribos o servicios.
Método 2.- Contar el número de llegadas (o salidas) durante una unidad de tiempo
seleccionada (por ejemplo, una hora). Se busca analizar las distribuciones del número
de llegadas o salidas.
Para la recolección de datos se pueden usar: Un cronómetro o un dispositivo de
registro automático (cuando las llegadas ocurren a una tasa alta).
La información deberá resumirse en una forma adecuada para luego determinar la
distribución asociada: Elaboración de un histograma de frecuencias, gráfica de la
distribución empírica, prueba de bondad de ajuste.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 119
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El tiempo está asociado a la distribución exponencial y el
Tiempo de Espera Número de Clientes
FASE TRANSITORIA FASE ESTABLE
Número de llegadas a la Poisson. Si no es así, puede ser necesario buscar otros
métodos de análisis para completar el estudio:
La simulación es muy adecuada para investigar situaciones de ―mal comportamiento‖
en filas que no se pueden analizar por medio de los modelos teóricos estándar de
líneas de espera.
Indicadores para Evaluar el Rendimiento de un Sistema de Colas
RELACIONADOS CON EL TIEMPO:
W o Ws = Tiempo promedio en el sistema
Wq = Tiempo promedio de espera (en cola) RELACIONADOS CON EL NUMERO DE
CLIENTES: L o Ls = Número promedio de clientes en el sistema Lq = Número
promedio de clientes en la cola Pw = Probabilidad de que un cliente que llega tenga
que esperar(ningún cajero vacío) Pn = Probabilidad de que existan ―n‖ clientes en el
sistema.
n = 0, 1, 2, 3…….
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 120
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Po = Probabilidad de que no hayan clientes en el sistema Pd = Probabilidad de
negación de servicio, o probabilidad de que un cliente que.
Llega no pueda entrar al sistema debido que la ―cola está llena‖.
RELACIONES ENTRE LAS MEDIDAS: Si =Número promedio de llegadas por unidad
de tiempo (tasa de llegadas).
=Número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un canal(tasa de
servicio) Se cumple : a) Ws = Wq + 1 /
Tiempo Tiempo Tiempo
Promedio = promedio + promedio
en el sistema de espera de servicio
b) Ls =
. Ws
# Promedio # Promedio Tiempo promedio
de clientes = de llegadas en el sistema
en el sistema por unidad de tiempo
c) Lq =
. Wq
# Promedio # Promedio Tiempo promedio
de clientes = de llegadas en la cola
en la cola por unidad de tiempo
Algunos modelos de líneas de espera Se estudiaran principalmente modelos con
procesos de markov; cada modelo se describe con notación extendida de Kendall.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 121
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los servidores son en paralelo. Las fórmulas para cada caso se obtienen a partir las
probabilidades de estado estable de tener ―n‖ clientes en el sistema. Estas
probabilidades, entonces, se usan para desarrollar las medidas de desempeño del
modelo de línea de espera.
Aplicación en banco reportes de servimatic: Banco de Crédito del Perú (BCP)
Evaluación de los Reportes diarios por promotor reporte diario consolidado por oficina
Tipo de Cliente Nivel de Atención Usuarios Total F.T.M Tiempo Promedio Espera
Tiempo Promedio Atención Transacciones VIP Cliente No Cliente Especial Interno
94.12 % 78.69 % 86.73 %
34 2 244 52 211 28 1 ----- 0 ----- 00: 02:05 00:07:43 00:09:44 00:00 00:00 00:02:28
00:02:05 00:02:19 01:06 00:00 85 490 472 1 0 Total 490 00:08:10 00:02:12 1048.
Calificación del Día : Deficiente reporte diario consolidado por oficina Tipo de Cliente
Nivel de Atención Usuarios Total F.T.M Tiempo Promedio Espera Tiempo Promedio
Atención Transacciones VIP Cliente No Cliente Especial Interno 96.43 % 99.34 %
100.00%.
28 1 152 1 209 0 2 ----- 0 ----- 00: 01:06 00: 02:23 00: 04:08 00:00 00:00 00:02:35
00:02:39 00:02:26 02:24 00:00 47 295 437 2 0 Total 391 00:03:12 00:02:31 781
Calificación del Día : Satisfactorio.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 122
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Reporte diario consolidado por oficina tipo de cliente nivel de atención usuarios total
f.t.m tiempo promedio espera tiempo promedio atención transacciones vip cliente no
cliente especial interno 100.00 % 93.30 % 98.45 %.
32 0 224 15 194 3 0 ----- 0 ----- 00: 01:18 00:04:16 00:07:36 00:00 00:00 00:02:58
00:02:42 00:02:27 00:00 00:00 66 494 435 0 0 Total 450 00:05:29 00:02:36 995.
Calificación del Día: Regular El Resumen de Agencia indica que :
- Se atendió 32 clientes VIP, en un tiempo menor de 6 min (c/u). Se dice que el nivel
de atención fue del 100% y la FTM es 0. Los 32 clientes realizaron 66 transacciones.
- Se atendió 224 clientes en un nivel del 93.3% (antes de 24 min), y los demás (15
clientes) fueron atendidos en más de 24 minutos.
- Se atendió 194 No clientes, quienes realizaron 435 transacciones (pago de celular,
AFP, Sunat, Luz, etc). - La calificación del día resulta de la comparación: Nivel de
atención vs. FTM(fuera del tiempo máximo) Ejercicios Modelo de un servidor y una
cola (M/M/1) Fórmulas (Caso 1 o M/M/1; escritas en pizarra) Ejemplo: (Un
supermercado ) Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en
donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora
y que hay 10 cajas en operación.
Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10
sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por
hora.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 123
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Para una tasa de servicio de 12 por hora y considerando M/M/1, evalúe el sistema.
Solución: Interpretación de resultados: El cliente promedio espera 15 minutos antes
de ser servido.
En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El
proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del
tiempo. Y finalmente, el 32 % del tiempo habrá cuatro personas o más en el sistema (
o tres o más esperando en la cola).
Modelo con servidores múltiples (M/M/c) Supóngase que las llegadas son Poisson, los
tiempos de servicio son exponenciales, hay una sola línea, varios servidores y una
cola infinita que opera con la disciplina de primero en llegar primero en ser servido
(PEPS).
Fórmulas (Caso 2 o M/M/c; escritas en pizarra) Para dos o tres servidores pueden
combinarse y simplificar las dos ecuaciones (pizarra) Ejemplo: Considérese la
biblioteca de una universidad cuyo personal está tratando de decidir cuántas
copiadoras o fotocopiadoras debe de instalar para uso de los estudiantes.
Se ha escogido un equipo particular que puede hacer hasta 10 copias por minuto. No
se sabe cuál es el costo de espera para un estudiante, pero se piensa que no deben
tener que esperar más de dos minutos en promedio.
Si el número promedio de copias que se hacen por usuario es cinco,
¿Cuántas copiadoras se deben instalar?.
¿Cuál es la tasa de servicio?
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 124
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Si el número promedio de copias es cinco y la copiadora puede hacer hasta 10 copias
por minuto, entonces pueden servirse en promedio hasta dos estudiantes por minuto.
Pero, en esto no se toma en cuenta el tiempo para pagar, cambiar originales, para
que un estudiante desocupe y otro comience a copiar. Supóngase que se permite un
70 % del tiempo para estas actividades. Entonces la tasa de servicio neta baja a 0.6
estudiantes por minuto. Además se supone que los periodos pico de copiado tienen
una tasa de llegada de 60 estudiantes por hora, o 1 por minuto.
Costos en los sistemas de colas un sistema de colas puede dividirse en sus dos
componentes de mayor importancia, la cola y la instalación de servicio.
Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio.
Siempre se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola está
vacía.
De la cola, las llegadas van a la instalación de servicio de acuerdo con la disciplina de
la cola, es decir, de acuerdo con la regla para decidir cuál de las llegadas se sirve
después. El primero en llegar primero en ser servido es una regla común, pero podría
servir con prioridades o siguiendo alguna otra regla.
Una vez que se completa el servicio, las llegadas se convierten en salidas. Ambos
componentes del sistema tienen costos asociados que deben de considerarse.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 125
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Sistema de costo mínimo La selección de un modelo adecuado de líneas de espera,
sólo puede darnos ―medidas de desempeño‖ que describen el comportamiento del
sistema analizado.
En la investigación de operaciones, nos interesará desarrollar ―modelos de decisión‖
que minimicen los costos totales asociados con la operación de líneas de espera.
Nivel óptimo de servicio Tasa o nivel de servicio En general, un modelo de costos en
líneas de espera busca equilibrar:
Los costos de espera contra los costos de incrementar el nivel de servicio Conforme
crece el nivel de servicio, los costos de este también crecen y disminuye el tiempo de
espera de los clientes.
El nivel de servicio ―óptimo‖ se presenta cuando la suma de los dos costos es un
mínimo. Se supone que para tasas bajas de servicio, se experimenta largas colas y
costos de espera muy altos.
Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el
costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un
punto de disminución en el rendimiento.
Entonces el propósito es encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el
mínimo. Costo de Espera, o Costo de clientes en espera por unidad de tiempo
Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar
en otra cosa y está dado por:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 126
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Costo total de espera = Cw * L Donde Cw = costo de espera (en u.m.) por llegada por
unidad de tiempo y L= longitud promedio de la línea en el sistema.
Costo total Nivel de servicio óptimo Costo de operación de la instalación de servicio
por unidad de tiempo Costo de clientes en espera por unidad de tiempo Costos
INTRODUCCIÓN: Las empresas de servicio, en su mayoría, experimentan largas
colas de clientes esperando para ser atendidos, ejemplos dramáticos de esta
situación pueden observarse en los bancos, donde la gente debe pasar largos
minutos a la espera de ser atendida por los cajeros.
Una aproximación para solucionar este problema podría ser incrementar el número de
cajeros. Sin embargo, la pregunta del millón es cuántos cajeros deben adicionarse.
Más aún, la adición de esos cajeros en cuánto reducirá el tiempo de espera.
Esta situación se vuelve más dramática cuando de una línea de producción dentro de
una fábrica se trata. Supóngase que existe una máquina en esta línea que produce un
cuello de botella debido a su insuficiente capacidad de procesar los trabajos que a ella
llegan.
Una solución consistiría en comprar una máquina idéntica y formar un vector de dos
máquinas que trabajen en paralelo. Una vez más, surge la gran interrogante de si
bastará con una sola máquina adicional.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 127
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Adicionalmente, se debería poder determinar en cuánto se reducirá el tiempo de
procesamiento con tal adición. Nótese que en las dos situaciones anteriores -la
adición de un cajero o la compra de una nueva máquina- implican costos, más aún,
estos cambios implican el riesgo de que no produzcan el efecto deseado.
En la vida real no sería sensato proponer cambios de este tipo, sin poder predecir de
antemano el impacto de éstos. Desde luego, esta predicción no debe hacerse en base
a futurología, sino más bien en base a ciencia.
Precisamente en este punto es donde interviene la simulación, que no es más que
una técnica que permite construir modelos de situaciones reales. Desde luego, estos
modelos estarán sujetos a experimentación y optimización.
Estos modelos se construyen en computadora y presentan la enorme ventaja de que
al ser virtuales, se puede hacer cambios sobre ellos, sin afectar la realidad de la
fábrica o empresa que se está estudiando.
En la actualidad, Pro Modelo constituye una de las mejores herramientas para la
construcción de modelos de simulación. El sitial que ocupa se debe a varios factores,
entre ellos: facilidad de uso, programación visual, representación gráfica, variedad de
reportes numéricos y tiempo comprimido para las corridas.
Componentes de promodel pro Model se funda en cuatro pilares básicos:
1. Entities: Que son aquellas cosas que son procesadas dentro del sistema, es decir,
son aquellas personas, partes, insumos, documentos, productos, etc. que ingresan al
sistema para ser transformados en productos finales o clientes atendidos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 128
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Como es de esperarse, estas entidades son altamente dinámicas, ya que pasan de
una estación de servicio o máquina, a otra.
2. Locations: Estos representan las máquinas o personas que atienden, procesan,
transforman, etc. a las entidades. Consiguientemente, son estáticas dentro del
sistema, ya que no es de esperarse que una máquina se mueva de un lugar a otro.
3. Arrivals: Este componente define cómo será alimentado el sistema con entidades;
es decir define parámetros tales como la cantidad, tipo, frecuencia y lugar de arribo de
las entidades.
4. Processing: Define la forma cómo se moverán las entidades entre las locaciones,
más aún, se encarga de proveer las reglas que determinan cómo procesará cada
máquina una entidad y el tiempo de ese procesamiento. Además de los componentes
básicos, Pro Model permite asignar recursos como personal de mantenimiento,
electricidad, agua, gas, etc. a cada operación realizada en una locación.
Es posible asignar costos para todos los componentes, de forma que no sólo se
pueda determinar el tiempo de producción, sino también el costo de cada producto
terminado o cliente atendido. Todos estos componentes son introducidos como texto
dentro de ventanas especiales provistas por la interface de Pro Model.
Presentación de resultados los resultados obtenidos del modelo de simulación son
presentados tanto en forma numérica, como en forma gráfica. Para el modelo de la
gráfica anterior, por ejemplo, obtuvimos los siguientes resultados numéricos:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.5 SIMULACION DE SISTEMAS CON LINEAS DE ESPERA. 129
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
A grandes rasgos, puede apreciarse en este listado de resultados, que el modelo
produjo 423 piezas terminadas y en que en algún punto de la simulación, el sistema
estuvo ocupado por 1719 productos en proceso.
Más importante todavía, los resultados muestran que los productos tardaron 2544.30
minutos para ser procesados, de ese tiempo 16.50 minutos fueron de procesamiento
efectivo y 2524.80 minutos se desperdiciaron en cuellos de botella. Como es de
suponer, este sistema debe ser optimizado de alguna manera, para reducir el tiempo
de espera que es por demás grande.
CONCLUCIONES: La simulación es una técnica rápida y barata que permite modelar
y optimizar sistemas. Rápida, en el sentido de que sólo se necesita recolectar datos,
construir el modelo, alimentarlo y correrlo. Barata, en el sentido de que la única
inversión es de tiempo. Pro Model como tal, probó ser un software robusto, versátil y
confiable.
A manera de ejemplo, se realizaron proyectos de curso que trataron temas tan
variados como el balanceo de una línea de producción de algodón hidrófilo, la
optimización de la producción en una panadería y la reubicación de bombas en una
estación de servicio. En resumen, la simulación debería constituirse en un paso vital a
la hora de optimizar sistemas y expresar recomendaciones de mejoras.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION. 130
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION.
La Simulación es una herramienta universalmente aceptada por diversas razones.
VENTAJAS:
1. Es un proceso relativamente eficiente y flexible.
2. Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real,
pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo
convencional.
3. En algunos casos la simulación es el único método disponible.
4. Los modelos de simulación se estructuran y nos resuelve en general problemas
trascendentes.
5. Los directivos requieren conocer como se avanza y que opciones son atractivas; el
directivo con la ayuda del computador puede obtener varias opciones de decisión.
6. La simulación no interfiere en sistemas del mundo real.
7. La simulación permite estudiar los efectos interactivos de los componentes
individuales o variables para determinar las más importantes.
8. La simulación permite la inclusión de complicaciones del mundo real.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 3.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACION. 131
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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DESVENTAJAS:
1. Un buen modelo de simulación puede resultar bastante costoso; a menudo el
proceso de desarrollar un modelo es largo y complicado.
2. La simulación no genera soluciones óptimas a problemas de análisis cuantitativos,
en técnicas como cantidad económica de pedido, programación lineal o PERT. Por
ensayo y error se producen diferentes resultados en repetidas corridas en el
computador.
3. Los directivos generan todas las condiciones y restricciones para analizar las
soluciones. El modelo de simulación no produce respuestas por si mismo.
4. Cada modelo de simulación es único. Las soluciones e inferencias no son
usualmente transferibles a otros problemas.
5. Siempre quedarán variables por fuera y esas variables (si hay mala suerte) pueden
cambiar completamente los resultados en la vida real que la simulación no previó…
en ingeniería se ―minimizan riesgos, no se evitan‖.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 4 132
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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UNIDAD 4
TEORÍA DE JUEGOS
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4. INTRODUCCION 133
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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4. INTRODUCCION
La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para
estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados
juegos). Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el
comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción
aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructuras de incentivos
similares y, por lo tanto, representar conjuntamente un mismo juego.
Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el
comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos
campos, desde la biología a la filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se
formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar
Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la
estrategia militar —en particular a causa del concepto de destrucción mutua
garantizada.
Desde los setentas, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal,
incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos
como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los
jugadores, la teoría de juegos se ha usado en ciencia política, ética y filosofía.
Finalmente, ha atraído también la atención de los investigadores en informática,
usándose en inteligencia artificial y cibernética.
La Teoría de Juegos fue creada por Von Neumann y Morgensterm.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4. INTRODUCCION 134
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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La Teoría de Juegos consiste en razonamientos circulares, los cuales no pueden ser
evitados al considerar cuestiones estratégicas. Por naturaleza, a los humanos no se
les da muy bien pensar sobre los problemas de las relaciones estratégicas, pues
generalmente la solución es la lógica a la inversa.
En la Teoría de Juegos la intuición no educada no es muy fiable en situaciones
estratégicas, razón por la que se debe entrenar tomando en consideración ejemplos
instructivos, sin necesidad que los mismos sean reales.
Por lo contrario en muchas ocasiones disfrutaremos de ventajas sustanciales
estudiando juegos, si se eligen cuidadosamente los mismos. En estos juegos-juegos,
se pueden desentender de todos los detalles.
Si en lugar de utilizar personajes ficticios utilizamos personajes reales para los juegos
si se observase qué tan honesto es ese personaje, cómo manipularía la información
obtenida, etc.
Para un especialista en Teoría de Juegos el ser deshonesto, etc., sería un error
comparable al de un matemático que no respeta las leyes de la aritmética porque no
le gustan los resultados que está obteniendo.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 135
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
4.2 JUEGOS DE SUMA CERO
Juegos de suma cero y de suma no cero.
Principal: Juego de suma cero.
Un juego de suma cero A B C.
1 30, −30 −10, 10 20, −20
2 10, −10 20, −20 −20, 20.
En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en
cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador
se beneficia solamente a expensas de otros).
El go, el ajedrez y el póker son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana
exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace
unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1
(considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la
actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.
La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del
prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen resultados
netos mayores o menores que cero.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 136
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida
de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de
suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría
si no se hubiera dado la negociación.
Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se puede
transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador ―ficticio‖ adicional (―el
tablero‖ o ―la banca‖), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los
jugadores.
La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por
ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la
derecha.
4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO
La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para
estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados
juegos).
Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento
previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente
distintos pueden, en realidad, presentar estructuras de incentivos similares y, por lo
tanto, representar conjuntamente un mismo juego.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 137
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Los analistas de juegos utilizan asiduamente otras áreas de la matemática, en
particular las probabilidades, las estadísticas y la programación lineal, en conjunto con
la teoría de juegos. Además de su interés académico, la teoría de juegos ha recibido
la atención de la cultura popular.
HISTORIA:
Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el
comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos
campos, desde la biología a la filosofía.
Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los
trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría,
debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar.
—en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los
setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el
desarrollo de las especies por la selección natural.
A raíz de juegos como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado
perjudica a los jugadores, la teoría de juegos se ha usado en ciencia política, ética y
filosofía. Finalmente, ha atraído también la atención de los investigadores en
informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 138
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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HISTORIA DE LA TEORÍA DE JUEGOS.
La primera discusión conocida de la teoría de juegos aparece en una carta escrita por
James Waldegrave en 1713. En esta carta, Waldegrave proporciona una solución
minimax de estrategia mixta a una versión para dos personas del juego de cartas le
Her. Sin embargo no se publicó un análisis teórico de teoría de juegos en general
hasta la publicación de Recherches sur les príncipes mathématiques de la théorie des
richesses, de Antoine Augustin Cournot en 1838.
En este trabajo, Cournot considera un duopolio y presenta una solución que es una
versión restringida del equilibrio de Nash.
Aunque el análisis de Cournot es más general que el de Waldegrave, la teoría de
juegos realmente no existió como campo de estudio aparte hasta que John von
Neumann publicó una serie de artículos en 1928.
Estos resultados fueron ampliados más tarde en su libro de 1944, The Theory of
Games and Economic Behavior, escrito junto con Oskar Morgenstern. Este trabajo
contiene un método para encontrar soluciones óptimas para juegos de suma cero de
dos personas. Durante este período, el trabajo sobre teoría de juegos se centró, sobre
todo, en teoría de juegos cooperativos.
Este tipo de teoría de juegos analiza las estrategias óptimas para grupos de
individuos, asumiendo que pueden establecer acuerdos entre sí acerca de las
estrategias más apropiadas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 139
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En 1950, aparecieron las primeras discusiones del dilema del prisionero, y se
emprendió un experimento acerca de este juego en la corporación RAND. Alrededor
de esta misma época, John Nash desarrolló una definición de una estrategia óptima
para juegos de múltiples jugadores donde el óptimo no se había definido previamente,
conocido como equilibrio de Nash.
Este equilibrio es suficientemente general, permitiendo el análisis de juegos no
cooperativos además de los juegos cooperativos.
La teoría de juegos experimentó una notable actividad en la década de 1950,
momento en el cual los conceptos base, el juego de forma extensiva, el juego ficticio,
los juegos repetitivos, y el valor de Shapley fueron desarrollados. Además, en ese
tiempo, aparecieron las primeras aplicaciones de la teoría de juegos en la filosofía y
las ciencias políticas.
En 1965, Reinhard Selten introdujo su concepto de solución de los equilibrios
perfectos del subjuego, que más adelante refinó el equilibrio de Nash. En 1967 John
Harsanyi desarrolló los conceptos de la información completa y de los juegos
bayesianos. Él, junto con John Nash y Reinhard Selten, ganaron el Premio Nobel de
Economía en 1994.
En la década de 1970 la teoría de juegos se aplicó extensamente a la biología, en
gran parte como resultado del trabajo de John Maynard Smith y su concepto
estrategia estable evolutiva. Además, los conceptos del equilibrio correlacionado, la
perfección del temblor de la mano, y del conocimiento común fueron introducidos y
analizados.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 140
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En 2005, los teóricos de juegos Thomas Schelling y Robert Aumann ganaron el
premio Nobel de Economía. Schelling trabajó en modelos dinámicos, los primeros
ejemplos de la teoría de juegos evolutiva. Por su parte, Aumann contribuyó más a la
escuela del equilibrio.
APLICACIONES.
La teoría de juegos tiene la característica de ser un área en que la sustancia
subyacente es principalmente una categoría de matemáticas aplicadas, pero la
mayoría de la investigación fundamental es desempeñada por especialistas en otras
áreas. En algunas universidades se enseña y se investiga casi exclusivamente fuera
del departamento de matemática.
Esta teoría tiene aplicaciones en numerosas áreas, entre las cuales cabe destacar las
ciencias económicas, la biología evolutiva, la psicología, las ciencias políticas y la
estrategia militar.
Aplicaciones en nuestra área Informática y lógica:
La teoría de juegos ha empezado a desempeñar un papel importante en la lógica y la
informática. Muchas teorías lógicas se asientan en la semántica de juegos. Además,
los investigadores de informática han usado juegos para modelar programas que
interactúan entre sí.
Juegos de suma cero y de suma no cero.
Artículo principal: Juego de suma cero.
A B C
1 30, −30 −10, 10 20, −20
2 10, −10 20, −20 −20, 20
Un juego de suma cero.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 141
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en
cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador
se beneficia solamente a expensas de otros).
El go, el ajedrez y el póker son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana
exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace
unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1
(considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto), mientras que en la
actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1.
La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del
prisionero, son juegos de suma no cero, porque algunos desenlaces tienen resultados
netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no
necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de
negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva, donde cada oponente
termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera dado la
negociación.
Se puede analizar más fácilmente un juego de suma cero, y cualquier juego se puede
transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador ―ficticio‖ adicional (―el
tablero‖ o ―la banca‖), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los
jugadores.
La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por
ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la
derecha.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 142
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Suma cero.
Suma cero describe una situación en la que la ganancia o pérdida de un participante
se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes. Se
llama así; porque si se suma el total de las ganancias de los participantes y se resta
las pérdidas totales el resultado es cero.
El ajedrez es un ejemplo de juego de suma cero - es imposible que los dos jugadores
ganen. La suma cero es un caso especial del caso más general de suma constante
donde los beneficios y las pérdidas de todos los jugadores suman el mismo valor.
Cortar una tarta es de suma constante o cero porque llevarte un trozo más grande
reduce la cantidad de tarta que le queda a los demás. Situaciones donde los
participantes pueden beneficiarse o perder al mismo tiempo, como el intercambio de
productos entre una nación que produce un exceso de naranjas y otra que produce un
exceso de manzanas, en la que ambas se benefician de la transacción, se denominan
de ―suma no nula‖.
El concepto fue desarrollado en la Teoría de juegos, por lo que a menudo a las
situaciones de suma cero se les llama ―juegos de suma cero‖.
Esto no implica que el concepto, o la teoría de juegos misma, se aplique únicamente a
lo que normalmente se conoce como juegos.
Las estrategias óptimas para juegos de suma cero de dos jugadores suelen emplear
estrategias minimax.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 4.3 JUEGOS DE SUMA DISTINTA A CERO 143
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En 1944 John von Neumann y Oskar Morgenstern probaron que cualquier juego de
suma cero que involucre a n jugadores es de hecho una forma generalizada de un
juego de suma cero para dos personas, y que cualquier juego de suma no cero para n
jugadores puede reducirse a un juego de suma cero para n + 1 jugadores, donde el
jugador (n + 1) representa la ganancia o pérdida total (puede pensarse en la banca de
ciertos juegos).
Esto sugiere que los juegos de suma cero para dos jugadores forman el núcleo
esencial de la teoría de juegos.
Tratar a una situación de suma no nula como una situación de suma cero, o creer que
todas las situaciones son de suma cero, se denomina falacia de suma cero.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 5 144
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD 5
CADENAS DE MARKOV
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 145
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
5.- INTRODUCCION.
Una cadena de Markov, que recibe su nombre del matemático ruso Andrei Markov, es
una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del
evento inmediato anterior.
En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. ― Recuerdan‖ el último evento y
esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento
anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes,
como tirar una moneda al aire o un dado.
En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de
compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para
analizar el reemplazo de equipo.
En matemáticas, se define como un proceso estocástico discreto que cumple con la
Propiedad de Markov, es decir, si se conoce la historia del sistema hasta su instante
actual, su estado presente resume toda la información relevante para describir en
probabilidad su estado futuro.
Una cadena de Markov es una secuencia X1, X2, X3, … de variables aleatorias. El
rango de estas variables, es llamado espacio estado, el valor de Xn es el estado del
proceso en el tiempo n. Si la distribución de probabilidad condicional de Xn+1 en
estados pasados es una función de Xn por sí sola, entonces:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 146
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Donde xi es el estado del proceso en el instante i. La identidad mostrada es la
Propiedad de Markov.
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que
ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de
este tipo tienen memoria. ―Recuerdan‖ el último evento y esto condiciona las
posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a
las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una
moneda al aire o un dado.
En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de
compra de los deudores morosos, para planear las necesidades de personal y para
analizar el reemplazo de equipo.
El análisis de Markov, llamado así en honor de un matemático ruso que desarrollo el
método en 1907, permite encontrar la probabilidad de que un sistema se encuentre en
un estado en particular en un momento dado. Algo más importante aún, es que
permite encontrar el promedio a la larga o las probabilidades de estado estable para
cada estado. Con esta información se puede predecir el comportamiento del sistema
a través del tiempo.
La tarea más difícil es reconocer cuándo puede aplicarse. La caracteristica más
importante que hay que buscar en la memoria de un evento a otro.
Formulación de las cadenas de Markov.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 147
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que
ocurra un evento depende del evento inmediato anterior. En efecto, las cadenas de
este tipo tienen memoria. ― Recuerdan‖ el último evento y esto condiciona las
posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a
las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como tirar una
moneda al aire o un dado.
En la figura 4.1.1 se muestra el proceso para formular una cadena de Markov. El
generador de Markov produce uno de n eventos posibles, Ej , donde j = 1, 2, . . . , n, a
intervalos discretos de tiempo (que no tiene que ser iguales ). Las probabilidades de
ocurrencia para cada uno de estos eventos depende del estado del generador. Este
estado se describe por el último evento generado.
En la figura 4.1.1, el último evento generado fue Ej , de manera que el generador se
encuentra en el estado Mj.
La probabilidad de que Ek sea el siguiente evento generado es una probabilidad
condicional : P ( Ek / Mj ). Esto se llama probabilidad de transición del estado Mj al
estado Ek. Para describir completamente una cadena de Markov es necesario saber
el estado actual y todas las probabilidades de transición.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 148
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
PROBABILIDADES DE TRANSICIÓN.
Una forma de describir una cadena de Markov es con un diagrama de estados, como
el que se muestra en la figura 4.1.2. En ésta se ilustra un sistema de Markov con
cuatro estados posibles: M1, M2 , M3 y M4 .
La probabilidad condicional o de transición de moverse de un estado a otro se indica
en el diagrama.
Otro método para exhibir las probabilidades de transición es usar una matriz de
transición. . La matriz de transición para el ejemplo del diagrama de estados se
muestra en la tabla 4.1.1.- Otro método para exhibir las probabilidades de transición
es usar una matriz de transición.
Para n = 0, 1, 2,.
El superíndice n no se escribe cuando n = 1.
Procesos estocásticos.
Un proceso estocástico se define sencillamente como una colección indexada de
variables aleatorias { X1 }, donde el subíndice t toma valores de un conjunto T dado.
Con frecuencia T se toma como el conjunto de enteros no negativos y X, representa
una característica de interés medible en el tiempo t. Por ejemplo, el proceso
estocástico, X1 , X2 , X3, .., Puede representar la colección de niveles de inventario
semanales (o mensuales) de un producto dado, o puede representar la colección de
demandas semanales (o mensuales) de este producto.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 149
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Un estudio del comportamiento de un sistema de operación durante algún periodo
suele llevar al análisis de un proceso estocástico con la siguiente estructura. En
puntos específicos del tiempo t , el sistema se encuentra exactamente en una de un
número finito de estados mutuamente excluyentes y exhaustivos, etiquetados 0, 1, . . ,
S.
Los periodos en el tiempo pueden encontrarse a intervalos iguales o su esparcimiento
puede depender del comportamiento general del sistema en el que se encuentra
sumergido el proceso estocástico.
Aunque los estados pueden constituir una caracterización tanto cualitativa como
cuantitativa del sistema, no hay pérdida de generalidad con las etiquetas numéricas 0,
1, . . , M , que se usarán en adelante para denotar los estados posibles del sistema.
Así la representación matemática del sistema físico es la de un proceso estocástico
{Xi}, en donde las variables aleatorias se observan en t = 0, 1, 2,. . ., y en donde cada
variable aleatoria puede tomar el valor de cualquiera de los M + 1 enteros 0, 1, .. , M .
Estos enteros son una caracterización de los M + 1 estados del proceso.
Propiedad Markoviana de 1o. orden .
Se dice que un proceso estocástico tiene la propiedad markoviana si
P Xt+1 = j = P X t+1 , para toda t = 0, 1, . . y toda
Sucesión i, j , K0 , K1 , . . , Ki-1 .
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 150
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se puede demostrar que esta propiedad markoviana es equivalente a establecer una
probabilidad condicional de cualquier ―evento‖ futuro dados cualquier ―evento ― pasado
y el estado actual Xi = i , es independiente del evento pasado y sólo depende del
estado actual del proceso.
Las probabilidades condicionales PXt+1 = j se llaman probabilidades de transición. Si
para cada i y j,
P Xt+1 = j = pX1 = j , para toda t = 0, 1, ….
Entonces se dice que las probabilidades de transición (de un paso) son estacionarias
y por lo general se denotan por pij . Así, tener probabilidades de transición
estacionarias implican que las probabilidades de transición no cambian con el tiempo.
La existencia de probabilidades de transición (de un paso) estacionarias también
implica que, para cada i, j y n (n = 0, 1, 2,…),
P Xt+n = j = pXn = j ,
Para toda t = 0, 1, . . . Estas probabilidades condicionales casi siempre se denotan por
y se llaman probabilidades de transición de n pasos. Así, es simplemente la
probabilidad condicional de que la variable aleatoria X, comenzando en el estado i, se
encuentre en el estado j después de n pasos ( unidades de tiempo ).
Como las son probabilidades condicionales, deben satisfacer las propiedades:
Probabilidad de transición de un solo paso.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 151
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Ejemplo:
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se
puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, … las demandas de esta cámara durante
la primera, segunda, … , semana, respectivamente.
Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número
de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de
cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de
la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 .
El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el
momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el
momento de abrir la tienda.
La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si el número de cámaras en
inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay cámaras en la tienda),
ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más
cámaras en el almacén, no se hace el pedido).
Se supone que las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario.
Entonces, {X1} para t = 0, 1, .. es un proceso estocástico de la forma que se acaba de
describir. Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan
el número posible de cámaras en inventario al final de la semana.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 152
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Observe que {Xi}, en donde Xi es el número de cámaras en el almacén al final de la
semana t ( antes de recibir el pedido}), es una cadena de Markov. Se verá ahora
cómo obtener las probabilidades de transición (de un paso), es decir, los elementos
de la matriz de transición (de un paso).
Suponiendo que cada Dt tiene una distribución Poisson con parámetro.
Para obtener es necesario evaluar. Si, Entonces. Por lo tanto, significa que la
demanda durante la semana fue de tres o más cámaras. Así, la probabilidad de que
una variable aleatoria Poisson con parámetro tome el valor de 3 o más; y se puede
obtener de una manera parecida. Si, entonces. Para obtener, la demanda durante la
semana debe ser 1 o más. Por esto, Para encontrar, observe que si.
En consecuencia, si, entonces la demanda durante la semana tiene que ser
exactamente 1. Por ende, Los elementos restantes se obtienen en forma similar, lo
que lleva a la siguiente a la siguiente matriz de transición ( de un paso):
Probabilidad de transición estacionaria de n pasos.
Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov proporcionan un método para calcular
estas probabilidades de transición de n pasos:
Estas ecuaciones simplemente señalan que al ir de un estado i al estado j en n pasos,
el proceso estará en algún estado k después de exactamente m (menor que n) pasos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 153
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Es solo la probabilidad condicional de que, si se comienza en el estado i, el proceso
vaya al estado k después de m pasos y después al estado j en n- m pasos.
Los casos especiales de m=1 y m=n-1 conducen a las expresiones.
Para toda i, j, y n de lo cual resulta que las probabilidades de transición de n pasos se
pueden obtener a partir de las probabilidades de transición de un paso de manera
recursiva. Para n=2, estas expresiones se vuelven:
Note que las son los elementos de la matriz P(2) , pero también debe de observarse
que estos elementos, se obtienen multiplicando la matriz de transición de un paso por
sí misma; esto es , P(2) = P * P = P2 .
En términos más generales, se concluye que la matriz de probabilidades de transición
de n pasos se puede obtener de la expresión: P(n) = P * P …. P = Pn = PPn−1 = Pn-1
P.
Entonces, la matriz de probabilidades de transición de n pasos se puede obtener
calculando la n-ésima potencia de la matriz de transición de un paso. Para valores no
muy grandes de n, la matriz de transición de n pasos se puede calcular en la forma
que se acaba de describir, pero cuando n es grande, tales cálculos resultan tediosos
y, más aún, los errores de redondeo pueden causar inexactitudes.
Ejemplo:
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se
puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, … las demandas de esta cámara durante
la primera, segunda, … , semana, respectivamente.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 154
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número
de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de
cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de
la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3 .
El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el
momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el
momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si
el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay
cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3.
De otra manera, no coloca la orden (si se cuenta con una o más cámaras en el
almacén, no se hace el pedido). Se supone que las ventas se pierden cuando la
demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t = 0, 1, es un proceso estocástico
de la forma que se acaba de describir. Los estados posibles del proceso son los
enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número posible de cámaras en inventario al final
de la semana.
Así, dado que tiene una cámara al final de una semana, la probabilidad de que no
haya cámaras en inventario dos semanas después es 0.283; es decir, De igual
manera, dado que se tienen dos cámaras al final de una semana, la probabilidad de
que haya tres cámaras en el almacén dos semanas después es 0.097; esto es,
La matriz de transición de cuatro pasos también se puede obtener de la siguiente
manera:
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 155
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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P(4) = P4 = P(2) * P(2)
Así, dado que queda una cámara al final de una semana, 0.282 es la probabilidad de
que no haya cámaras en inventario 4 semanas más tarde; es decir, De igual manera,
dado que quedan dos cámaras en el almacén final de una semana, se tiene una
probabilidad de 0.171 de que haya tres cámaras en el almacén 4 semanas después;
esto es,
Probabilidades de transición estacionaria de estados estables.
Teorema.
Sea P la matriz de transición de una cadena de M estados. Existe entonces un vector
tal que.
Se establece que para cualquier estado inicial i , .
El vector a menudo se llama distribución de estado estable, o también distribución de
equilibrio para la cadena de Markov. Para encontrar la distribución de probabilidades
de estacionario para una cadena dada cuya matriz de transición es P, según el
teorema, para n grande y para toda i , (1).
Como Pij (n + 1) = (renglón i de Pn )(columna j de P), podemos escribir
(2).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 156
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Ejemplo:
Suponga que toda la industria de refrescos produce dos colas. Cuando una persona
ha comprado la cola 1, hay una probabilidad de 90 % de que su siguiente compra se
de cola 1. Si una persona compró cola 2, hay un 80 % de probabilidades que su
próxima compra sea de cola 2.
Entonces:
Al reemplazar la segunda ecuación por la condición,
Obtenemos el sistema.
Al despejar resulta que Por lo tanto, después de largo tiempo, hay probabilidad 2/3 de
que una persona dada compre cola 1 y 1/3 de probabilidad de que una persona
compre cola 2.
Tiempos de primer pasó.
Con frecuencia es conveniente poder hacer afirmaciones en términos de
probabilidades sobre el número de transiciones que hace el proceso al ir de un estado
i a un estado j por primera vez . este lapso se llama tiempos de primer paso al ir del
estado i al estado j. cuando J=i, esta tiempo de primer paso es justo el número de
transiciones hasta que el proceso regresa al estado inicial i. En este caso, el tiempo
de primer paso se llama tiempo de recurrencia para el estado i.
Para ilustrar estas definiciones, reconsidérese el ejemplo siguiente:
Una tienda de cámaras tiene en almacén un modelo especial de cámara que se
puede ordenar cada semana. Sean D1, D2, las demandas de esta cámara durante la
primera, segunda, semana, respectivamente.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 157
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Se supone que las Di son variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas que tienen una distribución de probabilidad conocida. Sea X0 el número
de cámaras que se tiene en el momento de iniciar el proceso, X1 el número de
cámaras que se tienen al final de la semana uno, X2 el número de cámaras al final de
la semana dos, etc. Suponga que X0 = 3.
El sábado en la noche la tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el
momento de abrir la tienda. La tienda hace un pedido que le entregan el lunes en el
momento de abrir la tienda. La tienda usa la siguiente política ( s, S)1 para ordenar : si
el número de cámaras en inventario al final de la semana es menor que s =1 (no hay
cámaras en la tienda), ordenar (hasta) S=3. De otra manera, no coloca la orden (si se
cuenta con una o más cámaras en el almacén, no se hace el pedido). Se supone que
las ventas se pierden cuando la demanda excede el inventario. Entonces, {X1} para t
= 0, 1. Es un proceso estocástico de la forma que se acaba de describir.
Los estados posibles del proceso son los enteros 0, 1, 2, 3 que representan el número
posible de cámaras en inventario al final de la semana.
Donde Xt es el número de cámaras en inventario al final de la semana t y se
comienza con, Suponga que ocurrió lo siguiente:
En este caso, el tiempo de primer paso para ir al estado 3 al estado 1 es dde 2
semanas, el tiempo de primer paso para ir del estado 3 al estado 0 es de 3 semanas y
el tiempo de recurrencia del estado 3 es de 4 semanas.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 158
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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En general, los tiempos de primer paso son variables aleatorias y, por lo tanto, tienen
una distribución de probabilidad asociada a ellos. Estas distribuciones de probabilidad
dependen de las probabilidades de transición del proceso. En particular, denota la
probabilidad de que el tiempo de primer paso del estado i al j sea igual a n. Se puede
demostrar que estas probabilidades satisfacen las siguientes relaciones recursivas:
Entonces se puede calcular la probabilidad de un tiempo de primer paso del estado i
al j en n pasos, de manera recursiva, a partir de las probabilidades de transición de un
paso. En el ejemplo, la distribución de probabilidad de los tiempos de primer paso del
estado 3 al estado 0 se obtiene como sigue:
Para i y j fijos, las son números no negativos tales que
Esta suma puede ser menor que 1, lo que significa que un proceso que el iniciar se
encuentra en el estado i puede no llegar nunca al estado j . Cuando la suma es igual a
1, las pueden considerarse como una distribución de probabilidad para la variable
aleatoria, el tiempo de primer pasó.
Para obtener el tiempo esperado de primer paso del estado i al estado j. Sea, que se
define como:
Entonces satisface, de manera única, la ecuación:
Cuando i=j, se llama tiempo esperado de recurrencia.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 159
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Al aplicarlo al ejemplo del inventario, estas ecuaciones se pueden usar para calcular
el tiempo esperado hasta que ya no se tengan cámaras en el almacén, suponiendo
que el proceso inicia cuando se tienen tres cámaras; es decir, se puede obtener el
tiempo esperado de primer paso .
Como todos los estados son recurrentes, el sistema de ecuaciones conduce a las
expresiones.
La solución simultánea de este sistema es
De manera que el tiempo esperado hasta que la tienda se queda sin cámaras es de
3.50 semanas.
Caso de Aplicación.
Aplicación a la administración: Planeación de Personal.
El análisis de transición puede ser útil al planear satisfacer las necesidades de
personal. Muchas firmas emplean trabajadores de diferentes niveles de clasificación
dentro de la misma categoría de trabajo. Esto es común para personal de confianza,
oficinistas, obreros calificados, no calificados y personal profesional.
La firma debe tener el número de empleados en cada nivel de clasificación para
proporcionar la oportunidad de promoción adecuada, cumplir con las habilidades
necesarias para el trabajo y controlar la nómina. Una planeación de personal a largo
plazo apropiada requiere que se considere el movimiento de personas tanto hacia
arriba en el escalafón de clasificación como hacia afuera de la organización. El
análisis de Markov puede ayudar en este esfuerzo de planeación.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.- INTRODUCCION. 160
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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El movimiento de personal a otras clasificaciones puede considerarse como una
cadena de Markov. Se supone que hay tres clasificaciones; el grado 1 es la más baja.
Además, los descensos se consideran raros y se omiten. El estado ―salen‖ es
absorbente, el cual incluye renuncias, ceses, despidos y muertes. Por supuesto, todos
los empleados finalmente alcanzan este estado.
Las transiciones del grado 1 al grado 2 y del grado 2 al grado 3 representan
promociones. Como transiciones de probabilidad, están controladas por la firma,
puede establecerse el nivel que la firma determine que es necesario para cumplir sus
objetivos.
Como ejemplo, supóngase que la firma tiene en este momento 30 empleados del 3,
90 empleados del grado 2 y 300 empleados del grado 1 y que desea mantener este
nivel de empleados durante el próximo año. Por experiencia, se espera que salgan el
30 % de los empleados de grado 1 al año, el 20 % de los empleados de grado 2 y el
10 % de aquellos que están en el grado 3.
Si la política es contratar sólo en los niveles de clasificación más bajos, cuántos se
deben contratar y cuántos se deben promover el siguiente año para mantener
estables los niveles ?.
Este problema puede resolverse sin el análisis de Markov, pero el modelo es útil para
ayudar a conceptualizar el problema. Como se trata sólo de un ciclo, se usa el análisis
de transición.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 161
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
El análisis comienza con el grado más alto. No se hacen promociones pero el 10 %, o
sea, 3, sale. Todos ellos deben de reemplazarse por promociones del grado 2. En el
nivel de clasificación, el 20 % sale y se deben promover 3, con una pérdida de 21.
Esto se debe compensar por promoción del grado 1. Al pasar al grado 1, el 30 % sale
y 21 deben promoverse, lo cual una pérdida total de 111. Por tanto, el siguiente año
se deben contratar 111 empleados del nivel 1.
5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE
TRANSICION
DIAGRAMAS DE ESTADO
Un estado es una condición durante la vida de un objeto, de forma que cuando dicha
condición se satisface se lleva a cabo alguna acción o se espera por un evento. El
estado de un objeto se puede caracterizar por el valor de uno o varios de los atributos
de su clase, además, el estado de un objeto también se puede caracterizar por la
existencia de un enlace con otro objeto.
El diagrama de estados y transiciones engloba todos los mensajes que un objeto
puede enviar o recibir. En un diagrama de estados, un escenario representa un
camino dentro del diagrama. Dado que generalmente el intervalo entre dos envíos de
mensajes representa un estado, se pueden utilizar los diagramas de secuencia (4.2)
para buscar los diferentes estados de un objeto.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 162
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
En todo diagrama de estados existen por lo menos dos estados especiales inicial y
final: start y stop. Cada diagrama debe tener uno y sólo un estado start para que el
objeto se encuentre en estado consistente. Por contra, un diagrama puede tener
varios estados stop.
Una transición en un diagrama de estados puede tener asociada una acción y/o una
guarda, además, una transición puede disparar un evento. La acción será el
comportamiento que se obtiene cuando ocurre la transición, y el evento será el
mensaje que se envía a otro objeto del sistema. Por último, la guarda es una
expresión boolena sobre los valores de los atributos que hace que la transición sólo
se produzca si la condición evalúa a true.
Tanto las acciones como las guardas son comportamientos del objeto y
generalmente se traducen en operaciones de alguna clase.
Una transición entre estados representa un cambio de un estado origen a un estado
sucesor destino que podría ser el mismo que el estado origen, dicho cambio de
estado puede ir a compa nado de alguna acción. Las acciones se asocian a las
transiciones y se considera que ocurren de forma rápida y no interrumpible. Por
contra, las actividades se asocian a los estados pudiendo consumir más tiempo, dicha
actividad puede verse interrumpida por la ocurrencia de algún evento.
Existen dos formas de transicionar en un diagrama de estados: automáticamente y no
automáticamente. Se produce una transición automática cuando se acaba la actividad
del estado origen (no hay un evento asociado con la transición).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 163
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se produce una transición no automática cuando existe un evento que puede
pertenecer a otro objeto o incluso estar fuera del sistema.
Los diagramas de estados muestran el comportamiento de los objetos, es decir, el
conjunto de estados por los cuales pasa un objeto durante su vida, junto con los
cambios que permiten pasar de un estado a otro. Un ejemplo para el caso de la
máquina de café son los estados posibles de la clase Maquina Café (figura 5.1).
Figura: Ejemplo de diagrama de estados de la Máquina de Café.
Un estado identifica un período de tiempo (no instantáneo) en la vida del objeto
durante el cual está esperando alguna operación, tiene cierto comportamiento
característico o puede recibir cierto tipo de estímulos.
En notación UML, un estado se representa mediante un rectángulo con los bordes
redondeados, que puede tener tres compartimentos: uno para el nombre, otro para el
valor característico de los atributos del objeto en ese estado y otro para las acciones
que se realizan al entrar, salir o estar en un estado (entry, exit o do, respectivamente).
En el caso de la figura 5.1, se tienen cuatro estados (Lista, Introduciendo
Monedas, Seleccionando Azúcar y Producto?, Sirviendo Producto?), en los cuales se
desarrollan ciertas acciones al entrar, por ejemplo, al entrar al estado Introduciendo
Monedas se debe realizar la acción Mostrar Dinero Actual?. Los estados iniciales y
finales se representan mediante los símbolos de la figura 5.2.
Figura 5.2: Estado final
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 164
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Otros conceptos relacionados con los diagramas de estados son: • Eventos Un evento
es una ocurrencia que puede causar la transición de un estado a otro de un objeto.
Esta ocurrencia puede ser: o Condición que toma el valor de verdadero o falso. o
Recepción de una se nal de otro objeto en el modelo. o Recepción de un mensaje . o
Paso de cierto período de tiempo, después de entrar al estado o de cierta hora y
fecha particular. El nombre de un evento tiene alcance dentro del paquete en el cual
está definido, no es local a la clase que lo nombra.
En el caso del ejemplo de la figura 5.1, encontramos en varias transiciones el evento
userInput, que recibe como parámetro un objeto Button indicando el botón que ha sido
presionado por el usuario de la máquina de café. • Envío de mensajes Además de
mostrar la transición de estados por medio de eventos, puede representarse el
momento en el cual se envían mensajes a otros objetos.
Para ello se utiliza una línea punteada dirigida al diagrama de estados del objeto
receptor del mensaje. Si tomamos como ejemplo un control remoto que puede enviar
órdenes de encender o apagar al televisor o a la videograbadora se puede obtener un
diagrama de estados como el de la figura 5.3.
Figura: Ejemplo de envío de mensajes.
En la figura observamos un diagrama de estados para cada uno de los tres aparatos,
algunas de las transiciones del control remoto causan el envío de mensajes
togglePower a los otros aparatos (televisión y videograbadora).
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 165
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
• Transición simple Una transición simple es una relación entre dos estados que
indica que un objeto en el primer estado puede entrar al segundo estado y ejecutar
ciertas operaciones cuando un evento ocurre y si ciertas condiciones son satisfechas.
Se representa como una línea sólida entre dos estados, que puede venir a compa
nada de un texto con el siguiente formato: event-signature [guard-condition] action-
expression send-clause
Donde event-signature es la descripción del evento que da lugar a la transición;
guard-condition son las condiciones adicionales al evento necesarias para que la
transición ocurra; action-expression es un mensaje al objeto o a otro objeto que se
ejecuta como resultado de la transición y el cambio de estado; y send-clause son
acciones adicionales que se ejecutan con el cambio de estado, por ejemplo, el envío
de eventos a otros paquetes o clases.
En el caso del ejemplo inicial de la máquina de café se tiene una transición entre los
estados Introduciendo Moneda? y Seleccionado Azucary Producto? que tiene una
transición con el siguiente detalle: userInput(Button) | [Todo Ok?=true] / Mostrar Nivel
Azúcar?, Mostrar Producto?.
El evento que dispara el cambio de estado es userInput(Button). Se requiere como
condición adicional que no se haya detectado ningún fallo (Todo Ok = true) y se
ejecuta Mostrar Nivel Azúcar y Mostrar Producto.
• Transición interna Es una transición que permanece en el mismo estado, en vez de
involucrar dos estados distintos. Representa un evento que no causa cambio de
estado.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 166
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Se denota como una cadena adicional en el compartimento de acciones del estado.
Supongamos el estado de una interfaz pidiendo password al usuario. En este caso
puede tenerse una transición interna que muestre una ayuda al usuario. Esta
transición se muestra en el diagrama de la figura 5.4 con la cadena ``help / display
help‘‗ dentro del cuerpo del estado.
Figura: Ejemplo de transición interna
• Subestados Un estado puede descomponerse en subestados, con transiciones entre
ellos y conexiones al nivel superior (superestado). Las conexiones se ven al nivel
inferior como estados de inicio o fin, los cuales se suponen conectados a las entradas
y salidas del nivel inmediatamente superior. Un ejemplo es el estado marcando de un
teléfono (figura 5.5), que puede descomponerse en los subestados Inicio y marcado
parcial.
Figura 5.5: Ejemplo de subestados
• Transición compleja Una transición compleja relaciona tres o más estados en una
transición de múltiples fuentes y/o múltiples destinos. Representa la subdivisión en
hilos del control del objeto o una sincronización. Se representa como una línea vertical
de la cual salen o entran varias líneas de transición de estado. En el ejemplo de la
figura 5.6 se muestra una transición a dos hilos concurrentes que luego se
sincronizan.
Figura: Ejemplo de transición compleja
• Transición a estados anidados Una transición hacia un estado complejo, descrito
mediante estados anidados, significa la entrada al estado inicial del subdiagrama.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.2 EL DIAGRAMA DE ESTADOS Y LA MATRIZ DE TRANSICION 167
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
Las transiciones que salen del estado complejo se entienden como transiciones desde
cada uno de los subestados hacia afuera, a cualquier nivel de profundidad.
En la figura 5.1 se encuentran los dos casos nombrados: desde el estado inicial se
pasa al estado Buen Funcionamiento (a su estado inicial) y de este estado salen
transiciones hacia Mal Funcionamiento? y hacia el estado final, dichas transiciones
deben comprenderse como transiciones de cada uno de los estados internos hacia los
estados externos.
Los diagramas de estado resultan adecuados para describir el comportamiento de un
objeto a través de diferentes casos de uso, sin embargo, no resultan del todo
adecuados para describir el comportamiento que incluye a una serie de objetos
colaborando entre sí. Por lo tanto, resulta útil combinar los diagramas de estado con
otras técnicas.
Por ejemplo, los diagramas de interacción (4.1) son idóneos para la descripción del
comportamiento de varios objetos en un único caso de uso, y los diagramas de
actividades (5.2) muestran de forma adecuada la secuencia general de acciones en
diferentes objetos y casos de uso. No nos debemos plantear el dice nar diagramas de
estados para todas las clases en el sistema, sino sólo para aquellas que exhiban un
comportamiento interesante de forma que la elaboración del diagrama de estados nos
ayude a entender dicho comportamiento.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION Y DE ESTADO ESTABLE.
168
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION
Y DE ESTADO ESTABLE.
Las cadenas de Markov poseen una propiedad notable en cuanto a que tienden a
aproximarse a lo que se llama estado estable. Considérese los dos ejemplos
anteriores de análisis de transición.
En el sistema de los dos estados, P (S1) resultó ser 0.75 al principio y después 0.625,
0.567, 0.531 y 0.516. Estas probabilidades se mueven hacia un límite. En forma
análoga, en el sistema de tres estados puede observarse que P(S1), por ejemplo,
adquiere los valores 0.3, 0.45, 0.53, 0.565 y 0.58. Después de unos cuantos ciclos
más, las probabilidades de estado comienzan a asentarse o estabilizarse.
Cuando una cadena de Markov ha llegado suficientemente lejos como para estar
cerca de estos límites, se dice que ha alcanzado un estado estable. Además, estos
límites son los mismos, independientemente del punto de partida del sistema.
Una máquina que produce piezas puede estar ajustada o desajustada. Si está
ajustada, suponga que la probabilidad de que esté ajustada al día siguiente es de 0.7
y que la probabilidad de que no esté es 0.3. Si la máquina está desajustada, la
probabilidad de que está ajustada al día siguiente es 0.6 y la probabilidad de que no
esté es de 0.4.
Si el estado 1 representa la situación de que la máquina está ajustada y el estado 2
representa el caso en que está desajustada, las probabilidades de cambio son las que
se indican en la Matriz 1. Observe que la suma de las probabilidades de una fila es 1.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 5.3 CALCULO DE PROBABILIDADES DE TRANSICION Y DE ESTADO ESTABLE.
169
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
A De Ajustada (estado 1) No ajustada (estado 2) Ajustada (estado 1) 0.7 0.3 No
ajustada (estado 2) 0.6 0.4.
Considere ahora el estado de la máquina en el tercer día. La probabilidad de que la
máquina se halle en el estado 1 el tercer día es: 0.7x0.7 + 0.3x0.6 =0.67 En el Excel
se da una función MMmult. o sea multiplicación de Matrices:
RESULTADOS.
A De Ajustada (1) No ajustada(2) Ajustada (1) 0,70 0,30 No ajustada(2) 0,60 0,40
Estado Uno 0,70 0,30 Tercer Día 0,67 0,33 Cuarto Día 0,67 0,33 Quinto Día 0,67 0,33
Sexto Día 0,67 0,33 Séptimo Día 0,67 0,33 Octavo Día 0,67 0,33 Noveno Día 0,67
0,33.
Estado estable: Las cadenas de Markov poseen una propiedad notable en cuanto a
que tienden a aproximarse a lo que se llama Estado estable.
En el sistema de dos estados P (1) "Ajustada" resultó ser 0.70 al principio y después
0.60, 0.67. Estas probabilidades se mueven hacia un límite y después de unos
cuantos ciclos más, las probabilidades de estado comienzan a asentarse
estabilizarse.
Cuando una cadena de Markov ha llegado lo suficientemente lejos como para estar
cerca de estos límites, se dice que ha alcanzado un estado estable.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD 6 170
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD 6
PROGRAMACIÓN
DINAMICA.
LI. Jesús Abundis Manzanares | PROGRAMACIÓN DINAMICA. 171
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
INTRODUCCION.
La programación dinámica es un enfoque general para la solución de problemas en
los que es necesario tomar decisiones en etapas sucesivas.
Las decisiones tomadas en una etapa condicionan la evolución futura del sistema,
afectando a las situaciones en las que el sistema se encontrará en el futuro
(denominadas estados), y a las decisiones que se plantearán en el futuro.
Conviene resaltar que a diferencia de la programación lineal, el modelado de
problemas de programación dinámica no sigue una forma estándar.
Así, para cada problema será necesario especificar cada uno de los componentes que
caracterizan un problema de programación dinámica.
El procedimiento general de resolución de estas situaciones se divide en el análisis
recursivo de cada una de las etapas del problema, en orden inverso, es decir
comenzando por la última y pasando en cada iteración a la etapa antecesora.
El análisis de la primera etapa finaliza con la obtención del óptimo del problema.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 6.2 FORMULACION DE MODELOS PROGRAMACION DINAMICA
172
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
10.1 MODELOS DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA
Existen tres modelos diferentes manejados por WINQSB.
Problema de la diligencia (Stagecoach Problem)
Problema de la mochila (Snapsack Problem)
programación de producción e inventarios (Production and Inventory
Scheduling)
6.2 FORMULACION DE MODELOS PROGRAMACION
DINAMICA
6.3 METODO HACIA ATRAS
Archivo PFD
LI. Jesús Abundis Manzanares | ANEXOS 173
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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ANEXOS
PROBLEMARIO.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 174
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD I
1.-INVENTARIOS. 1. Cada año la Samltown Optometry Clinic Vende 10,000 armazones para lentes la
clínica pide las armazones a un abastecedor regional, que cobre 14
dólares por armazón. Cada pedido incurre en un costo de 50 dólares.
La óptica cree que se demanda de armazones puede acumularse y que el costo por
carecer de un armazón durante un año es 15 dólares debido a la pérdida de negocios
futuros.
El costo anual por mantener un inventario es de 30 centavos por dólar del valor del
inventario.
¿Cuál es la cantidad óptima de pedido?
¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?
¿Cuál es el nivel máximo de inventario que se presentará?
Solución:
Paso 1: Identifico Modelo
Tamaño Económico de lote reabastecimiento instantáneo con faltantes permitido
(modelo con escasez).
Paso 2: Determino los costos
Precio del inventario = $15 por armazón
C3=$50 por pedido
C2=$15 unidad/año
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 175
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C1=$0.30 por dólar del valor del inventario
Entonces el costo 1 corresponde A
$30 --------- $1
x ----------- $15
$0.30/$1 * $15 = $4.50 o simplemente
C1=0.30 * valor del inventario = 0.30(15) = $4.50
Por lo tanto C1=$4.50
La demanda es de r=10,000 armazones al año.
Paso 3: Introducir datos en las formulas
Para Q* (cantidad optima de pedido)
¿Cuál es el nivel máximo de inventario?
¿Cuál es la escasez máxima que se presentara?
Esto se puede resolver de 2 formas
Forma 1:
Carencia máxima = Q* - S* = 573.48 – 413.45 = 124.03 armazones
O bien
Forma 2:
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 176
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Paso 4: Conclusión.
Entonces la carencia máxima que se presentará será 124.03 armazones y cada
pedido debe ser 537 o 538 armazones. Se tendrá un nivel máximo de existencias de
413.45 armazones.
2 .Compra de disquetes.
Una empresa local de contaduría en Guatemala pide cajas de 10 disquetes a un
almacén en la Ciudad. El precio por caja que cobra el almacén depende del número
de cajas que se le compren (ver tabla). La empresa de contadores utiliza 10,000
disquetes por año. El costo de hacer un pedido es 100 dólares. El único costo de
almacenamiento es el costo de oportunidad de capital, que se supone 20% por año.
P1=50 dólares, P2=40 dólares, P3=48.50 dólares
Número de cajas pedidas (q) Precio por caja (dólares)
0£ q<100 50.00
100£ q<300 49.00
q³ 300 48.50
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 177
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
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Cada vez que se hace un pedido de disquetes
¿Cuántas cajas se deben pedir?
¿Cuántos pedidos se hacen al año?
¿Cuál es el costo anual total para cumplir con la demanda de disquetes por parte de
la empresa de contadores?
Solución:
Demanda = 10,000 disquetes por año, pero los precios son por caja y sabemos que
10 disquetes trae una caja por lo tanto la demanda es de 1,000 cajas por año.
r=1,000 cajas/año
Costo de ordenar =C3=$100
Costo de almacenamiento = C1 = 0.20 del valor del inventario
C1=0.20Px : Px=P1, P2, P3...Pn
Por lo regular el costo de almacenar en este modelo se da en porcentaje del
inventario ya que el precio varía de acuerdo a la cantidad pedida.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 178
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Teniendo estos Q* óptimos miro si se encuentran en el rango de la tabla.
Q1*=141.42 0£ q<100 X No cumple
Q2*=142.86 100£ q<300 / Si cumple
Q3*=143.59 q³ 300 / Si cumple y Nuevo Q*3=300
¿Por qué si cumple Q*3 y No Q*1?
En Q*1 no puedo menos de lo que necesito por ejemplo no puedo pedir 100 ya que
faltarían 42, al contrario de Q*3 donde si puedo pedir más de 143 y pido 300 ya que
es el mínimo que me permite ese precio y el nuevo Q*3 seria 300.
Encuentro los Costó Totales:
El costo 1 se valuó dado que el Q* no cumple.
Conclusión:
Se incurre en menor costo anual el hacer un pedido óptimo de 300 cajas, con un
costo de $50,288.33/año ordenando 1,000/300=3.33 » 4 veces al año para satisfacer
la demanda.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 179
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3. Un gran productor de medicina para los nervios produce sus provisiones en
remesas, el costo de preparación para cada remese es de $750. De la producción se
obtiene 48 galones diarios del producto y cuesta $0.05 cada uno para conservarlos en
existencia. La demanda constante es de 600 galones al mes. Suponga 12 meses,
300 días al año y 25 días al mes. Encuentre la cantidad óptima de producción, el
tiempo de ciclo óptimo, la existencia máxima, la duración en días de cada remesa de
producción y el costo total óptimo.
Solución:
Tamaño económico de lote, ciclo productivo, sin faltantes permitidos.
C3= Costo de producción = $750
C1= Costo de almacenamiento = $0.05 /mes
K= tasa de producción = 48 gal/día x 25 días = 1,200 galones / mes
r = demanda = 600 gal /mes.
Se podría trabajar en días / meses / años / semanas etc y Q* siempre tiene
que dar los mismo, siempre y cuando se utilicen las mismas unidades.
Busco Existencia máxima
Producción Q*/K = 6,000gal/1,200 gal/mes =5 meses
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 180
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Tciclo= Q*/r =6,000ga/600 gal/mes= 10 meses
Produce=5/10=0.5 del tiempo 0.5 (300)=150 días/año.
Se puede utilizar cualquiera de las 2 formulas y da lo mismo para Q*
4. Una empresa de limpieza industrial ha estimado una demanda anual de 50,000
guantes, se estima que existe un costo de ruptura o escasez de Q0.30 unidad/mes se
debe analizar la forma de programar lotes de producción si se desean utilizar los
recursos minimizando los costos. El costo de mantener el inventario es de Q0.20
unidad/mes, el costo de emitir un lote es de Q150.00. Cual debería de ser la política
de la siguiente empresa y la carencia máxima que se le presentara.
Solución:
Tamaño económico del lote reabastecimiento instantáneo faltante permitido.
r= demanda = 50,000/año
C2= costo de escasez Q0.30 unidad/mes x 12 meses = Q3.60 unidad /año
C1= costo de inventario = Q0.20 unidad/mes x 12 meses = Q2.40 unidad/año
C3= costo de ordenar = Q150.00.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 181
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Nótese que el costo de almacenar (C1) se dan directamente como un valor fijo. (En
este problema).
D*=Q*-S* : D*= carencia máxima
Conclusión:
La empresa debería pedir 3,227 o 3,228 unidades cada vez que haga un pedido. Su
carencia máxima será de 1,291 unidades.
5. Una constructora debe abastecerse de 150 sacas de cemento por día,
la capacidad de producción de la máquina en la empresa es de 250 sacos al día, se
incurre en un costo de $400.00 cada vez que se realiza una corrida de producción, el
costo de almacenamiento es de $0.5 unidad por día, y cuando hace falta materia
prima existe una pérdida de $0.7 unidad por día.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 182
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a) Cuál sería la cantidad optima a pedir.
b) La escasez máxima que se presenta.
Solución:
Tamaño económico de lote, ciclo productivo, faltantes permitidos.
r = 150 sacos/día
k = 250 sacos/día
C3=$400
C1=$0.5 /día
C2=$0.7 /día.
a)
b)
Conclusión: La cantidad optima a producir seria de 1,014 o 1,015 sacos por corrida
presentándose una escasez máxima de 169 sacos.
6. Una empresa de informática se dedica a la venta de computadoras, trata de
determinar cómo minimizar los costos anuales relacionados con la compra de tarjetas
de video para las computadoras, cada vez que se hace un pedido se incurre en un
costo de $20. El precio por tarjeta de video depende del número de tarjetas pedidas
según la siguiente tabla.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 183
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No. de tarjetas pedidas de video Precio por tarjetas de video
Q<300 $10
300£ q<500 $9.80
Q³ 500 $9.70
El costo anual de almacenamiento es el 20% del valor del inventario. Cada mes la
empresa de consultaría emplea 80 tarjetas de video.
Por otra parte la empresa de informática está pensando producir las tarjetas de video
como otros componentes que ya fábrica. Ocupa a un empleado que trabaja 4 horas y
gana $3/hora y a una secretaria para realizar las llamadas la cual trabaja 1 hora y
gana $3/hora más un tiempo muerto de la máquina que se valora en $20.
El costo por almacenar la tarjetas es de $1.95/año, la empresa puede producir a
un ritmo de 100 tarjetas de video al mes y el precio de cada tarjeta producida sale en
$9.85.
Se le contrata a usted como Ingeniero para que determine cuál es la mejor decisión
que minimice los costos para la empresa.
¿Debería la empresa comprar las tarjetas o producirlas?
Solución:
Analizo descuentos por volumen
C3=$20 (costo por ordenar)
C1=0.20*valor del inventario = 0.20p /año p: precio
r = 80 tarjetas/año = 960 tarjetas / año
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 184
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Miro que Q* si están en el rango y si son válidos o no.
Q*1= 138.56 < 300 SI Q1*=138.56
Q*2= 300 £ 139.97 < 500 NO pero cumplo con los 139.97 no importando que sobre y
Q2*=300 (nuevo)
Q*3= 140.69 ³ 500 NO también se cumple lo requerido y el Nuevo Q*3=500
Por lo tanto los tres Q* son válidos de las siguiente manera
Q*1=138.56 Q*2=300 Q*3=500
Obtengo costos totales
Por lo tanto para la parte de descuento por volumen conviene pedir 300 tarjetas cada
vez.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 185
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Que se le pide al proveedor con un costo anual de $9,766
Análisis para la parte de producir
C1=$1.95 /año (costo de almacenar)
r = 960/año (demanda)
k = 100/ mes =1200 /año (tasa de producción)
C3= costo de ordenar en este caso costo de producir
4 horas 1 empleado y gana $3/hora = $12
1 hora 1 secretaria $3/hora = $3
Tiempo muerto = $20
Total $35
Costo de producir = C3 = $35 por corrida
p= $9.85 (precio de tarjeta)
Conclusión:
Al producir el producto la empresa incurrirá en un gasto menor. Lo gastado en
descuentos por
Volumen seria $9,766/año y al producir seria $9,617.89 y existiría una reducción en
$148.11/año. Por lo tanto esta empresa debería producir las tarjetas de video.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 186
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7. Una compañía se abastece actualmente de cierto producto solicitando una cantidad
suficiente para satisfacer la demanda de un mes. La demanda anual del artículo es de
1500 unidades. Se estima que cada vez que hace un pedido se incurre en un costo de
$20. El costo de almacenamiento por inventario unitario por mes es de $2 y no se
admite escasez.
a. Determinar la cantidad de pedido optima y el tiempo entre pedidos
b. Determinar la diferencia de costos de inventarios anuales entre
la política optima y la política actual, de solicitar un abastecimiento de un mes
12 veces al año.
Solución:
r = 1500 unidades/año
C3 =$20
C1 =$2 unidad/mes = $24 unidad/año
T=Q*/r = 50/1500 = 1/30 año x 360 días/año = 12 días
Política Actual se le agota cada mes o sea 1/12 año
1/12=Q*/1500 Q*=125 (política actual)
Política Optima
Q*= 50
Diferencia de $540 por lo tanto se ahora más cuando existe la política óptima.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 187
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8. Una ferretería tiene que abastecer a sus clientes con 30 sacas de cemento a sus
clientes con 30 sacaos de cemento diarios siendo esta una demanda conocida. Si la
ferretería falla en la entrega del producto pierde definitivamente el negocio, para que
esto no suceda se asume que no existirá escasez. El costo de almacenamiento por
unidad de tiempo es de Q0.35 unidad al mes y el costo por hacer el pedido es de
Q55.00.
a) Cuál es la cantidad optima a pedir.
b) El periodo de agotamiento (asumir 1 mes = 30 días, 1 año = 360 días)
Solución:
r = 30 sacos / día C1= 0.35 unidad / mes
r = 900 sacos / mes C3= Q55
ó T=531.84/30 = 17.73días
9. Un agente de Mercedes Benz debe pagar $20,000 por cada automóvil que compra.
El costo anual de almacenamiento se calcula en 25% del valor del inventario. El
agente vende un promedio de 500automóviles al año. Cree que la demanda se
acumula, pero calcula que si carece de un automóvil durante un año,
perderá ganancias futuras por $20,000. Cada vez que coloca un pedido de
automóviles, sus costos suman $10,000.
a) Determine la política óptima de pedidos del agente.
b) ¿Cuál es la escasez máxima que se presentará?.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 188
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p = $20,000 p: precio
C1=0.25xvalor del inventario = 0.25p C1=0.25(20,000)=$5,000
C2=$20,000 / año
C3=$10,000
r = 500 / año.
Carencia máxima
(Nivel máximo de inventario).
# pedidos = 500/50 = 10 pedidos al año.
CT= Costo de almacenar + Costo de ordenar + Costo de escasez
10. Una empresa industrial utiliza anualmente 10.000 envases para uno de sus
productos. Cada envase tiene un precio de 0,50 u.m./unidad, siendo su coste anual
de mantenimiento de 0,15 u.m./unidad. Cursar un pedido cuesta, como término
medio, 3 u.m., y tarda en ser servido 10 días. Sabiendo que el coste del capital de la
empresa es del 15 por 100, se pide:
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 189
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a) El lote económico de pedido
b) El plazo de reaprovisionamiento
c) El punto de pedido
d) El coste total asociado a los inventarios
e) Si el proveedor ofrece un 2 por 100 de descuento sobre el precio por una compra
igual o superior a las 600 unidades, ¿qué cantidad interesa comprar cada vez?
SOLUCION:
a) El lote económico de pedido lo calcularemos a partir de la fórmula del modelo
de Wilson, en la que llamamos:
C : Consumo anual = 10.000 unidades
P : Precio = 0,50 u.m./u.f.
A : Coste de mantenimiento anual = 0,15 u.m.
S : Coste de emisión de cada pedido = 3 u.m.
i : Coste del capital = 15 %
t : Plazo de entrega = 10 días
El lote económico de pedido se obtiene de la expresión:
b) El plazo de reaprovisionamiento o días que transcurren entre cada pedido,
conocido el consumo anual, se obtiene de:
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 190
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c) Si el plazo de entrega es de 10 días, el punto de pedido o cantidad existente en
almacén que indica la necesidad de cursar un nuevo pedido, será la cantidad
necesaria para consumir durante los 10 días que tarda en llegar el pedido;
como el consumo diario es de 27,4 u.f.:
d) El coste total asociado a los inventarios será la suma de los costes parciales
relativos al aprovisionamiento, esto es:
-
Coste de adquisición = P × C
-
Coste de renovación o reaprovisionamiento = S×(C/Q) es decir, el coste de
preparación de cada pedido por el número de pedidos que se cursan al año
-
Coste de almacenamiento = (A + Pi) × Q/2
Luego el coste total del aprovisionamiento será:
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 191
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e) Si nos aplican un descuento del 2 por 100 sobre el precio por una compra igual o
superior a 600 u.f., nuestro nuevo precio será en este caso:
El coste total para esta nueva consideración será:
Vemos pues que nos interesa más comprar 600 u.f. al precio de 0,49 u.m./u.f., ya que
el coste es menor que si compramos 516 u.f. a 0,50 u.m./u.f. (5.017 < 5.115).
11. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por
año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de
ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. No se
permite faltante de unidades y su tasa de reemplazo es instantánea. Determinar:
La cantidad optima pedida
El costo total por año
El numero de pedidos por año
El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 192
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= 3 465 Unidades
El costo total estará determinado por:
Costo = [(1)(18000)] + [ (400)(18000/3465)] + [(1.2)(3465/2)] = $ 22, 156 por año
El número de pedidos por año es.
N = D / Q = 18 000 / 3465 = 5.2 Pedidos por año
El tiempo entre pedidos es
t = Q / D = 3465 / 18000 = 0.1925 años
12. Una empresa vende un artículo que tiene una demanda de 18, 000 unidades por
año, su costo de almacenamiento por unidad es de $ 1.20 por año y el costo de
ordenar una compra es de $ 400.00. El costo unitario del artículo es $ 1.00. El costo
por unidad de faltante es de $ 5.00 por año. Determinar:
La cantidad optima pedida
El costo total por año
El numero de pedidos por año
El tiempo entre pedidos
Datos
C1= $ 1.00
C2 = $ 400.00
C3 = $ 1.20
C4 = $ 5.00
La cantidad óptima a pedir se calcula de la siguiente forma.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 193
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= 3 465 Unidades
El costo total estará determinado por:
= 747 Unidades
El número de pedidos por año es
= 4.66
El tiempo entre pedidos es
=0.215
13. La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades
por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por
mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima
de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00.
= 4 470 Unidades
El costo total anual es
= $ 40, 026
El inventario máximo estaría determinado por:
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 194
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= 2 235 Unidades
14. La demanda de un artículo de una determinada compañía es de 18, 000 unidades
por año y la compañía puede producir ese artículo a una tasa de 3 000 unidades por
mes, El costo de organizar una tanda de producción es $ 500.00 y el costo de
almacenamiento de una unidad es de $ 0.15 por mes. Determinar la cantidad optima
de debe de manufacturarse y el costo total por año suponiendo que el costo de una
unidad es de $ 2.00. El costo por unidad agotada es de $ 20.00 por año.
Datos
D = 18, 000 Unidades por año
R = 3,000 por mes
C1 = $ 2.00
C2 = $ 500.00
C3 = $ 0.15 por mes
C4 = $ 20.00 por año
La cantidad optima estará definida por:
= 4670 Unidades
Para calcular el costo anual primero se deben calcular el numero de unidades
agotadas.
= 193 Unidades
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 195
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El costo total quedara definido por
Costo Total = $ 39, 855 por periodo de plan.
15. Una Cía. fabricante de refrescos a observado que requiere anualmente de 3000
baleros que son utilizados en las bombas de agua con un programa de mantenimiento
preventivo diseñado por el departamento de producción. El costo de cada unidad es
de $ 80,000, el costo de oportunidad de inversión es de 12% del costo del producto.
Los costos generados por el control de inventarios como son el sueldo de personal de
almacén, agua y electricidad es de 2,400 * unidad, otro costo que representa aun los
deterioros, extravió y envejecimiento de los productos almacenados anualmente y
alcanzan un costo de $2,000 * unidad .La orden de compra se ha estimado en
$120,000.
Suponga que el proveedor tarda en promedio 15 días en surtir una orden, determinar:
El tamaño económico del lote.
El inventario máximo.
El inventario Promedio.
El punto de reorden.
El tiempo requerido para consumir el inventario máximo.
Costo total del inventario.
Número de pedidos.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 196
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Datos:
D = 3000 unidad por año.
Ci = $80,000
Co =$120,000
Ch= 0.12 (80,000)+ 2,900 + 2,000
Ch = 14,000 unidades por año.
L = 15 días.
16. Frecuentemente un gerente de producción desea tomar la producción, ya sea de
comprar o manufacturar un artículo. Los modelos vistos hasta el momento pueden ser
usados para tomar tal decisión.
Suponga que un artículo puede ser comprado a $25 la unidad o fabricado a un tasa
de producción de 10,000 unidades por año, con un costo de $22 la unidad.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 197
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Sin embargo si lo compramos el costo de una orden es de 45 mientras que el costo
de organizar una tanda de producción. (Preparar el equipo) es de $50. La demanda
es de 2,500 unidades por año, el costo de conservar el inventario es de 10% del costo
del producto. Determinar que es preferible, si comprar o manufacturar.
Comprar
Ci = $25 u.
Co= $5
Ch = 0.10(25) = $2.5
D = 2,500 u / año.
Ct = $ 62,750
Manufacturar
S = 10,000 u / año.
Ci = $22 unidades.
Co =$50
D = 2,500 u / año.
Ch = 0.10 (22) = $2.2
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 198
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Ct = 55,692
De acuerdo con los costos obtenidos conviene mejor manufacturar el producto que
comprarlo.
Una vez que el gerente ha decidido fabricar el producto desea conocer también:
a. El inventario máximo.
b. El tiempo de producción.
c. El punto de reorden (una orden tarda 1 semana en atenderse).
d. El tiempo de ciclo.
e. El tiempo en que no existe producción y que no se puede ocupar para
dar mantenimiento a las maquinas.
f. El inventario promedio.
g. El número de órdenes de fabricación.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 199
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17. Un impresor que en la actualidad está haciendo una compra mensual, estudio el
comportamiento del papel libro de 70 gr. en los últimos doce meses, encontró que su
demanda fue de: 10, 11, 10, 9, 10, 11, 9, 10.5, 10, 9, 9 y 11.5 toneladas por mes,
estima el precio de compra se va a mantener en $2.300.000 por tonelada, su costo de
pedido en $500.000 y por política carga un 15% del costo unitario al manejo de los
inventarios más $55.000 por concepto de bodegaje, calcular:
1. El modelo a manejar en estas condiciones.
Lo primero que debemos observar es el comportamiento de la demanda el cual
vemos que es relativamente constante, por lo que podemos asumir que nuestro
modelo se comporta de acuerdo a los parámetros de un modelo de cantidad
económica de pedido con los siguientes datos de entrada:
D = 120 toneladas año.
Co = $500.000.
C = $2.300.000 tonelada.
Cc = $400.000 tonelada/año.
Por tanto.
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 200
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Como podemos observar en esta política de compra de inventarios, la empresa
ahorra más de un 20% en el costo asociado a los inventarios que tendría si efectuase
una compra mensual (CA = 12*500.000 + [12/2]*400.000 = $8.500.000), lo que
sumado al ahorro que se lograría con los diferentes productos que maneja la
compañía permitirá mejoras importantes en la rentabilidad al final del ejercicio.
20. Una compañía de taxis consume gasolina a una tasa de 8500 galones/mes. La
gasolina cuesta 1.05$/galón y tiene un coste de emisión de pedido de 1000$/pedido.
El coste de mantener el inventario es 1 centavo/galón/mes.
a) Determine cuándo y cuánto se debe ordenar, si desea minimizar el coste total.
b) Suponga que se permiten roturas de stock, y que éste asciende a 50
centavos/galón/mes.
c) Suponga que el coste de la gasolina baja a 1$/galón si compran, al menos, 50000
galones.
d) Suponga que el coste de la gasolina es 1.20$/galón si el tamaño del pedido es
menor de 20000galones, 1.10$/galón si a2=40000 galones, y 1.00$/galón si Q es,
como mínimo, 40000 galones.
e) ¿Es necesario el dato de q para resolver este problema?
LI. Jesús Abundis Manzanares | UNIDAD I 201
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
SOLUCION:
Apartado a:
Q*= 41231 galones.
Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,21 ; Frecuencia (nº de pedidos al año): 2,47
T* (meses)= 4,85; T* (días) = 146.
Apartado b:
Q* = 41641 galones
Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,20 ; Frecuencia (nº de pedidos al año) = 2,45
T* (meses)= 4,90; T* (días) = 147.
Apartado c:
Q1* = 41231 galones
Q2* = 42249 galones
CT(Q1*) = 9337 $
CT(a) = 8908 $
Q*= a = 50000 galones
Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,17; Frecuencia (nº de pedidos al año) = 2,04
T* (meses): 5,88; T* (días): 176.
Apartado d:
Q1* = 38568 galones
Q2* = 40283 galones
Q3* = 42249 galones.
SITUACIÓN: a1<Q1*<a2<Q2*<Q3* Þ Q*=Q3*=42249 galones
Frecuencia (nº de pedidos al mes): 0,20; Frecuencia (nº de pedidos al año) = 2,41
T* (meses)= 4,97; T* (días) = 149.
LI. Jesús Abundis Manzanares | 202
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
GLOBAL
UNIDAD II
Líneas de espera.
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UNIDAD III
Simulación
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UNIDAD IV
Teoría de Juegos
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UNIDAD V
Cadenas de Markov
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UNIDAD VI
Programación
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LI. Jesús Abundis Manzanares | BIBLIOGRAFIAS. 203
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GLOBAL
BIBLIOGRAFIAS.
METODOS Y MODELOS DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES DR.
JUAN PRAWDA WITENBERG VOL 2, LIMUSA NORIEGA EDITORES.
TOMA DE DECISIONES INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES ROBERT
J. THIERAUF, LIMUSA.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 5TA EDICION HAMDY A. TAHA
ALFAOMEGA.
INVESTIGACION DE OPERACIONES APLICACIONES Y
ALGORITMOS 4TA EDICION WAYNE L. WINSTON THOMSON.
Introducción a la Inv. Operaciones (Hillier-Lieberman) McGraw-Hill Octava
edición 2007.
ARCHIVO PDF
http://www.iit.upcomillas.es/aramos/simio/transpa/t_dp_ar.pdf
http://www.eumed.net/libros-gratis/2011b/969/indice.htm