SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CONSISTENTES INDETERMINADOS

E

INCOMPATIBLES

Por:

Domnguez C. Javier

Ruiz Cruz Juan Carlos

Barrientos Malagn Bruno

Un sistema de ecuaciones sobre puede clasificarse de acuerdo con el nmero

de soluciones o cardinal del conjunto de soluciones , de acuerdo con este criterio

un sistema puede ser:

Sistema lineal general.

Sistema compatible:

Cuando admite alguna solucin que a su vez pueden dividirse en:

1. Sistemas compatibles determinados: cuando admiten un conjunto finito de

soluciones, o un conjunto infinito de soluciones aisladas sin puntos de

acumulacin, .

2. Sistemas compatibles indeterminados: cuando existe un nmero infinito de

soluciones que forman una variedad, .

3. Sistema incompatible: cuando no admite ninguna solucin, .

De los cuales nos basaremos en Sistemas compatibles indeterminados y Sistema

incompatible.

Sistemas compatibles indeterminados

Son aquellos sistemas de ecuaciones lineales que no tienen solucin o que tienen

infinito nmero de soluciones.

Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solucin si se obtiene una fila en la

cual todos los componentes son ceros excepto el componente que est a la

derecha de la lnea vertical en la matriz aumentada. Es consistente si tiene al

menos una solucin, mientras que es inconsistente si no tiene solucin.

Ejemplo 1: Utilizar el mtodo de Gauss-Jordn para resolver el sistema

La matriz aumentada del sistema es

Una alternativa para que en el puesto sea 1 para que la eliminacin sea ms

fcil es hacer

Esta ya es la matriz escalonada reducida (revise cada una de las condiciones);

leyendo el resultado,

Este sistema tiene infinito nmero de soluciones

Ya que si a las variables y se le dan cada vez valores diferentes se

obtienen valores de y .

Las variables y se llaman variables libres y las variables y son

variables dependientes

Por ejemplo si y y es solucin

Si , , , , es solucin

Es tambin posible para resolver sistemas de ecuaciones intercambiar columnas, teniendo en cuenta que al leer la solucin, un cambio de columnas corresponde a un cambio en la variable correspondiente.

Ejemplo 2:

El sistema es compatible indeterminado, pues tiene infinitas soluciones: Una de ellas es x = 0; y = 3; otra solucin es x = 4; y = 1; tambin es x = 8; y = 1. Fijarse que la segunda ecuacin se consigue multiplicando la primera por 3 (es una combinacin lineal de ella). Si despejamos la x de la primera ecuacin: x = 6 + 2y; si hacemos y = t, obtenemos x = 6 + 2t, que es la solucin del sistema; dando valores a t conseguimos sus infinitas soluciones.

Ejemplo 3:

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un

nmero infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuacin se corresponden con la recta cuya

pendiente es y que pasa por el punto , por lo que ambas intersecan

en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solucin o

interseccin entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos

puntos.

En este tipo de sistemas, la solucin genrica consiste en expresar una o ms

variables como funcin matemtica del resto. En los sistemas lineales

compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar

como combinacin lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

La condicin necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es

que el determinante de la matriz del sistema sea cero al igual que el rango de

la matriz ampliada y menor al nmero de incgnitas (y por tanto uno de

sus auto valores ser 0).

Ejemplo 4:

1) 2x + 3y = 5

2) 4x + 6y = 10 (es el doble que la anterior)

Si aplicamos los cuatro mtodos:

Sustitucin:

1) x = (5-3y)/2

2) 4(5-3y)/2 +6y = 10 -> (20-12y)/2 +6y =10 -> 10-6y+6y=10 -> 0=0

Igualacin:

1) x = (5-3y)/2

2) x = (10-6y)/4 = (5-3y)/2

(5-3y)/2 = (5-3y)/2 -> 0=0

Reduccin:

1) 2x + 3y = 5 -> (multiplicamos x2) 4x + 6y = 10

2) 4x + 6y = 10

Restamos:

0=0

En estos tres casos obtenemos una ecuacin del tipo 0=0 que no aporta

informacin. La solucin es del tipo x = (5-3y)/2. Para cada x hay una y asociada

infinita soluciones.

Mtodo geomtrico:

Dos ecuaciones equivalentes se representan igual en el plano, por lo tanto slo

tendremos una recta dibujada. Cualquier punto de dicha recta ser solucin al

sistema.

Sistemas incompatibles

Un sistema se dice que es inconsistente o incompatible cuando no presenta ninguna solucin.

Por ejemplo, el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden grficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningn punto, es decir, no existe ningn valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemticamente un sistema de es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condicin necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero

Ejemplo 1:

Un sistema inconsistente

Solucin: La matriz aumentada para este sistema es:

El elemento1.1 de la matriz no se puede hace 1 como antes porque al multiplicar 0 por cualquier nmero real se obtiene 0.En su lugar, se puede usar la operacin elemental con renglones (iii) para obtener un numero diferente de 0 en la posicin 1,1. Se puede intercambiar el renglon1 con cualquiera de los otros 2; sin embargo, al intercambiar los renglones 1 y 3 se queda un 1 en esa posicin, Al hacerlo se obtiene lo siguiente:

De hacerse una pausa aqu; Las ultimas 2 ecuaciones son:

Lo que es imposible

As no hay una solucin. Se puede proceder como en los ltimos 2 ejemplos para obtener una forma ms estndar:

Ahora la ltima ecuacin es 0x1 + 0x2 + 0x3 = -1, lo que es imposible ya que 0 no es igual a -1, as el sistema no tiene solucin. En este caso se dice que el sistema es inconsistente.

Ejemplo 2:

El sistema es Incompatible, pues el primer miembro de ambas ecuaciones es igual, pero sin embargo el segundo es distinto

(Si dos ecuaciones son iguales no pueden dar resultados distintos).

Ejemplo 3:

Supongamos el siguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden grficamente con dos rectas, ambas con la

misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningn punto, es decir, no

existe ningn valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

Matemticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la

matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condicin

necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema

sea cero

Ejemplo 4:

1) 3x + 2y = 5

2) 3x + 2y = 6

Sustitucin:

1) x= (5-2y)/3

2) 3(5-2y)/3 +2y =6 -> 5 -2y +2y = 6 -> 5 = 6 (contradiccin)

Igualacin:

1) x= (5-2y)/3

2) x= (6-2y)/3

(5-2y)/3 = (6-2y)/3 -> 5 = 6 (contradiccin)

Reduccin:

Restamos ambas ecuaciones y sale: 0 = -1 (contradiccin)

En estos tres casos siempre saldr una igualdad falsa.

Geomtrico:

Las dos rectas sern paralelas, por lo tanto no habr interseccin.