TRANSFORMACIONES LINEALES

Dayma TauilC.I.: 23533865

Las transformaciones lineales son las funciones y tratan sobre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (esdecir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Sean V y W dos espacios vectoriales posiblemente iguales. Una transformación lineal o mapeo lineal de V a W es una funciónT : V → W tal que para todos los vectores u y v de V y cualquier escalar c:         a) T (u + v) = T (u) + T (v)         b) T (c u) = c T (u)

 Una transformación

lineal es una función entre

espacios vectoriales, es

decir, el objetivo es transformar un espacio vectorial

en otro. 

Transformación Lineal

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : R3 M2 (x, y, z ) f (x, y, z) =

x+y-z x+3y+2z

2x+y-3z -3x+2y+3z

(1,0,1)

(-2,3,1)

(0,0,0)

f (1,3,2) =

f (3,5,1) =

f (0,0,0) =

V1

V2

V3

0 3-1 00 9-4 150 00 0

R3

(x, y, z )

M2

f (x, y, z ) = f a bc d

Ejercicios1.-

Solución

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : R3 R2

(x, y, z ) f (x, y, z) = (2x+y+3z, -x+2y+4z)

R3 R2

f(x, y, z ) f (x, y, z ) = (a, b)

(1,3,2)(3,5,1)(0,0,0)

f (1,3,2) = (11, 13)f (3,5,1) = (14, 11)f (0,0,0) = (0,0)

V1V2V3

2.-Ejercicios

Solución

Dada la siguiente aplicación lineal, obtener la imagen de tres vectores y realizar un diagrama.

f : P(2) R2

(a+bx+cx2 ) f (a+bx+cx2 ) = (a-b, 2c+a )

P(2

) (a+bx+cx2 )

R2

f (a+bx+cx2 ) = (y, z)

f

f (1-x) = (2,1)f (3+x-2x2) = (2,-1)f (0+0x+0x2) = (0,0)

(1-x)(3+x-2x2)(0+0x+0x2

)

V1V2V3

Ejercicios3.-

Solución

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas.

Método de Gauss – Jordan

Método de Gauss – Jordan

1.-

Método de Gauss – Jordan

2.-

Método de Gauss – Jordan

3.-

NúcleoEl núcleo es un subespacio vectorial perteneciente al espacio vectorial V, cuyo vector correspondiente en el espacio vectorial W es el vector cero.

...

... f

V W

v1v5v9

0wN (f)

Sean:V,W: Espacios Vectoriales

v1,v5,v90w

Vectores

N (f) = { v Є V | f (v) = 0w }

Ejercicios1.-

R3

(x, y, z)

M2

f (x, y, z) =

f a bc d

Dada la siguiente aplicación lineal, realice un diagrama, y escriba la definición de núcleo.

f : R3 M2 (x, y, z) f (x, y, z) =

N f : {x, y, z / f (x, y, z) = =

x-2z 2x+y+2z 2x+y+2z 3x+y

0 00 0

1 0 -2 02 1 2 02 1 2 03 1 0 0

x-2z = 0 2x+y+2z= 02x+y+2z= 0 3x+y=0

x-2z=0 x=2zy+6z=0 y=-6z

N f : {x, y, z / x=2z y=-6z } N f : { 2z,-6z,z / z Є R } N f : { z (2,-6,1) / z Є R } N f : {2,-6,1}

Solución

ImagenSean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se define como el conjunto de todos los valores de la aplicación T: im(T) := {ɯ ∈ W : ∃v ∈ V tal que ɯ = T(v)}.

EjercicioSea la matriz B determine el

espacio nulo, la nulidad, el espacio imagen, rango, espacio renglón y espacio columna de la matriz.

RangoSean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). El rango de T se define como la dimensión de la imagen de T:

r(T) = dim(im(T)).

Determine el rango y el espacio de los renglones de

A.

Ejercicio

NulidadSean V, W espacios vectoriales sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La nulidad de T se define como la dimensión del núcleo de T:

nul(T) = dim(ker(T)).

Determine le rango y nulidad para las siguientes matrices

Ejercicio

Matriz en una transformación lineal

Si V y W tienen dimensión finita y uno tiene elegidas bases en cada uno de los espacios, entonces todo mapa lineal de V en W puede representarse por una matriz. Recíprocamente, toda matriz representa una transformación lineal.

Sea A una matriz de m x n . Entonces la transformación matricial TA: R n R m definida por. TA(x) = A x (para x en Rn)es una transformación lineal.

Teorema 1

Teorema 2

Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T. Entonces:i.                     Im T = Im A = CATii.                   P(T) = p(AT)iii.                  Un T = NATiv.                 v(T) = v(AT

Matriz en una transformación lineal

Sea T:Rn-Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Smen Rn y Rm, respectivamente. Sea A1 la matriz de transición  de B2 a base Sm en Rm. Si AT denota la matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces.

AT = A2-1 CA1

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. sea T:V-W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T respecto a las bases B1 en V y B2  en W. Entonces:i.                     p(T) =p(AT)         ii. V(A) = v(AT)          iii. V(a) + p(T) = n

Teorema 3

Teorema 4

Conclusión

A través de este trabajo podríamos decir que las enseñanzas pasadas son unas bases importantes para comprender, analizar y poner en practica este tema, ya que de cierta manera se relacionan. Por lo que nos ha enseñado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, los cuales serán de gran relevancia en el día día del ingeniero.

El Álgebra Lineal en la actualidad es uno de los temas centrales en el currículo de la Ingeniería, además de ser aplicado en procesamiento de imágenes, graficas en computadora y muchas otras áreas de la ciencia y la vida diaria.

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Bibliografía