ECONOMÍA DE LA EMPRESA:

INVERSIONES Tema 1: Métodos de selección de inversiones en

condiciones de certeza. .................................................. 1

Tema 2: Cálculo de las variables de un proyecto de inversión. ....................................................................... 13

Tema 3: Valoración de las alternativas incompletas. .................. 23 Tema 4: El riesgo en la selección de proyectos de

inversión: naturaleza y medida del riesgo. .................... 31 Tema 5: El riesgo en la selección de proyectos de

inversión: criterios de decisión. ..................................... 41 Tema 6: El coste de las fuentes financieras. .............................. 49

EXAMEN JUNIO 2010 RESUELTO. .............................................. 61

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Tema 1: Métodos de selección de inversiones en condiciones de certeza.

1.1 INTRODUCCIÓN: Toda empresa se enfrenta ante una gama más o menos variada de proyectos de inversión que puede llevar a cabo. Sin embargo, no es posible realizarlos todos, ya sea por no disponer de los fondos necesarios, por existir incompatibilidades entre ellos (técnicas, comerciales, etc.) o porque no son acordes con los objetivos de la empresa. Ante estas limitaciones, el decisor necesita disponer de una herramienta que le permita seleccionar, de entre todos los proyectos de inversión que se le presentan, aquellos que satisfagan en mayor medida sus objetivos. (El tiempo y el esfuerzo que se dediquen a esta evaluación de inversiones dependerán de la importancia de éstas, ya que el proceso supone un coste que no siempre merece la pena afrontar). Buscamos, por tanto, métodos o criterios que nos ayuden a valorar proyectos de inversión. Estos métodos se basarán para decidir en la capacidad que tiene cada proyecto para la consecución del OBJETIVO FINANCIERO DE LA EMPRESA: “MAXIMIZAR EL VALOR DE LA EMPRESA PARA SUS PROPIETARIOS”, o “maximizar el valor de mercado de las acciones”, si la empresa cotiza en bolsa. Nota: Obviamente el objetivo financiero de la empresa no es el único y por tanto la valoración

de un proyecto de inversión no debería atender únicamente a criterios financieros, pero en principio se considerarán únicamente este tipo de criterios.

Se entenderá que un proyecto de inversión cumple el objetivo financiero de la empresa si logra generar un excedente positivo una vez remunerados los capitales empleados para financiar dicho proyecto. ETAPAS del proceso de selección de inversiones en una empresa: 1.- Determinar el conjunto de PROYECTOS DE INVERSIÓN POSIBLES:

Los departamentos de Producción, Planificación Comercial, Investigación y Desarrollo etc. envían propuestas de inversión a la dirección general para que las examine. Las propuestas acordes con los objetivos de la empresa serán remitidas al departamento financiero para que este lleve a cabo una evaluación y examen de su rentabilidad.

2.- Determinar el conjunto de PROYECTOS DE INVERSIÓN ACEPTABLES: Se trata de determinar el conjunto de proyectos que contribuyen a conseguir el objetivo financiero de la empresa. Se examina, en especial, si los proyectos superan el umbral mínimo de rentabilidad (contribuyen a alcanzar el objetivo financiero de la empresa = crear valor para los propietarios). ¿Cómo se hace la evaluación?, aplicando Criterios de Selección de Inversiones (que tengan en cuenta los objetivos deseados):

a) Métodos o criterios estratégicos. El plan estratégico de la empresa establece múltiples objetivos, por lo que además del objetivo financiero de maximización estricta del valor de la empresa para los propietarios, debe considerarse otro tipo de criterios (seguridad, crecimiento, imagen de la empresa, capacidad competitiva, posicionamiento, cuota de mercado, etc). Estos objetivos y criterios serán tenidos en cuenta por la Dirección General de la Empresa (no por el departamento financiero).

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b) Criterios basados únicamente en la rentabilidad o economicidad del proyecto de inversión. Son aquellos que consideran la capacidad del proyecto para generar los rendimientos suficientes que permitan obtener un remanente tras remunerar a los aportantes de los fondos necesarios. Estos métodos se emplean en condiciones de certeza.

c) Criterios basados en la rentabilidad y en el riesgo del proyecto de inversión. Para poder evaluar proyectos de inversión en situaciones de riesgo, es decir, cuando el futuro no se conoce de antemano sino que es incierto.

3.- Determinar el conjunto de PROYECTOS DE INVERSIÓN ÓPTIMOS:

Normalmente la empresa tiene recursos financieros limitados por lo que no siempre puede llevar a cabo todos los proyectos aceptables. Además, la consideración de un proyecto de un modo aislado, si éste está relacionado con otras actividades de la empresa, puede no conseguir la maximización del valor de la empresa considerada de un modo global, por lo que deben tenerse en cuenta las implicaciones que tiene llevar a cabo un proyecto para otros proyectos o actividades de la empresa. En consecuencia, debe establecerse el conjunto de proyectos de inversión aceptables que, respetando las restricciones de fondos, logren maximizar el valor global de la empresa, para ello se emplearán técnicas de programación de inversiones (jerarquización) tanto en condiciones de certeza como de riesgo.

Inicialmente supondremos que estamos en CONDICIONES DE CERTEZA, es decir, que se cumplen simultáneamente dos supuestos básicos:

1.- El futuro se conoce perfectamente de antemano. Es decir, conocemos con certeza los FNC que va a generar cada proyecto de inversión.

2.- El mercado de capitales es perfecto, lo que supone que se cumpla lo siguiente:

2.1 Cualquier participante en el mercado negocia una cantidad de capital tan reducida respecto del conjunto, que no tiene poder para influir sobre el precio del capital (tipo de interés).

2.2 No existen costes de transacción (comisiones). 2.3 Hay transparencia informativa, sin coste alguno para el informado. 2.4 No hay limitación a la obtención de recursos financieros (no existe racionamiento del capital) al tipo

de interés de equilibrio establecido por el mercado. Por tanto, va a existir un tipo de actualización único para cada vencimiento (tipo de interés del mercado) igual para todas las empresas y recursos financieros ilimitados.

1.2 CONCEPTO DE INVERSIÓN: INVERSIÓN: Renuncia a consumir en el presente adquiriendo un activo financiero o un bien de capital para

obtener una rentabilidad (premio por posponer el consumo) que permita poder consumir más en el futuro.

Toda inversión viene definida por una serie de entradas y salidas de dinero (cobros y pagos) en un intervalo de tiempo determinado. -A Q1 Q2 Qn

0 1 2 n

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Elementos o variables de un proyecto de inversión:

Qt : Flujo Neto de Caja (FNC) del período t (cash-flow). Puede ser positivo o negativo y se calcula como: COBROSt – PAGOSt

A : Desembolso inicial. Es un FNC negativo (salida de dinero).

n: Duración de la inversión = horizonte temporal de la inversión = vida del proyecto. Es el número de períodos en que se seguirán obteniendo FNC.

Notas: - Consideraremos para simplificar (salvo que nos digan lo contrario) que todos los pagos y

cobros que se produzcan a lo largo de un año se llevan al final del mismo sin tener en cuenta las diferencias de valoración.

- Mientras estemos en certeza n, A, Qt serán variables ciertas, conocidas de antemano (antes de tomar la decisión).

Distinguimos dos tipos de inversiones: Inversiones Simples: Cuando solo existe un único cambio de signo en la secuencia de FNC.

Inversiones No Simples: Cuando existe más de un cambio de signo en la secuencia de FNC.

1.3 MÉTODOS APROXIMADOS DE SELECCIÓN DE INVERSIONES:

Son métodos con la ventaja de que son sencillos y por tanto rápidos de aplicar pero que tienen dos inconvenientes importantes: • No tienen en cuenta la cronología de los FNC, es decir, el distinto valor que tiene el dinero en el tiempo,

(no actualizan los FNC). • Sólo sirven para jerarquizar u ordenar ya que no incorporan criterios de selección que permitan aceptar

o rechazar un proyecto de inversión, es decir, no establecen ningún umbral mínimo de rentabilidad.

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1.3.1 FLUJO NETO DE CAJA MEDIO ANUAL POR UNIDAD MONETARIA DESEMBOLSADA:

Este criterio relaciona el FNC medio anual con el desembolso inicial de la inversión. Indica la cantidad de dinero que se obtiene por término medio anual, por cada unidad monetaria desembolsada:

•r

A

n1

QAn

1tt

+−=

=

Es una medida de rentabilidad relativa neta, ya que hace referencia a la ganancia sobre la cantidad invertida inicialmente (%), y, por otra parte, mide la rentabilidad después de amortizado el capital invertido.

Regla de decisión para jerarquizar: serán más rentables los proyectos que tengan un mayor •r .

Este método puede servir para evaluar inversiones poco importantes. También suele utilizarse a menudo para cálculos aproximados de rentabilidad de inversiones financieras (obligaciones, bonos...). 1.3.2 PERÍODO DE RECUPERACIÓN (PAYBACK): Es el TIEMPO necesario para que las entradas de caja generadas por la inversión hasta ese momento hagan frente a todas las salidas que ésta ha originado. INCONVENIENTE adicional de este criterio: No considera los FNC que se producen después del período de recuperación, es decir, después de recuperarse la inversión y, en su caso, los primeros FNC negativos. Esto hace que el criterio no incluya una evaluación global de los proyectos, lo que puede llevar a tomar decisiones erróneas: En cuanto al inconveniente de que no considera la depreciación del dinero en el tiempo, esto puede remediarse utilizando una variante de este método, como es el payback actualizado o payback descontado, que emplea FNC actualizados El payback es un método que no se preocupa de la rentabilidad sino de la LIQUIDEZ de la inversión, esto es, prima el hecho de que el proyecto genere FNC abundantes al principio, para así poder recuperar cuanto antes la inversión inicial. Por eso se dice que este criterio implica una gran aversión al riesgo (la desconfianza en el futuro es la que hace que se prefiera recuperar lo invertido lo antes posible). Es un método utilizado con frecuencia por las empresas multinacionales.

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1.3.3 TIPO DE RENDIMIENTO CONTABLE (TRC): Este método compara los rendimientos obtenidos con la inversión necesaria para conseguirlos. Para este método el rendimiento es el beneficio neto anual (después de amortización e impuestos) y la inversión el incremento en activo (tanto en inmovilizado como en circulante) que genera el proyecto de inversión:

Inversiónmedio Beneficio

TRC =

Es una medida de rentabilidad relativa, ya que hace referencia a la ganancia sobre la cantidad invertida inicialmente. Inconveniente específico de este método: Emplea como variable de rendimiento el beneficio contable, que se determina por el sistema contable lo que hace difícil la comparación cuando se trata de jerarquizar proyectos sujetos a diferente reglamentación contable. Además está sujeto a manipulaciones contables a través por ejemplo de alteraciones en la política de amortización. Nota: Los métodos aproximados, a pesar de que son muy utilizados en la práctica, presentan

inconsistencias de tipo teórico, por eso su uso debería restringirse a ser complementos de otros criterios, o para selección de inversiones de poca importancia y que exijan rapidez en la decisión.

1.4 MÉTODOS CLASICOS (VAN y TIR): Características de estos métodos (ventajas respecto a los métodos aproximados):

• Si tienen en cuenta la cronología de los FNC, es decir actualizan (o descuentan) los FNC con el fin de considerar el distinto valor del dinero en el tiempo.

• Sirven tanto para jerarquizar como para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión, es decir, si establecen un umbral mínimo de rentabilidad.

1.4.1 EL VALOR ACTUAL NETO (VAN): Se calcula como el valor actual de las entradas (cobros) menos el valor actual de las salidas (pagos) que genera un proyecto de inversión:

( )= +

+−=n

1tt

t

t

k1

QAVAN

Donde kt es el tipo de descuento, o tipo de actualización de la empresa para el período t.

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Nota: La tasa de actualización representa el premio mínimo o rentabilidad mínima que exige la empresa por llevar a cabo el proyecto de inversión. ¿Cuál será esa rentabilidad mínima a exigir por la empresa? Dos enfoques:

- Lo que le cuesta financiar ese proyecto (coste de capital). - La rentabilidad de la mejor inversión alternativa que se podía haber llevado a cabo

con esos recursos financieros invirtiendo hasta el momento final del período t (coste de oportunidad).

En condiciones de certeza los tipos de actualización corresponden a los tipos de interés que rigen en el mercado financiero para cada vencimiento (que además son únicos, iguales para todas las empresas). kt = 0rt. Es decir, el tipo de actualización para cada período coincide con el tipo de interés al contado para un activo financiero emitido en el momento inicial y cuyos intereses se pagan junto con el nominal al vencimiento en el momento t. Si añadimos el supuesto de que la Estructura Temporal de los Tipos de Interés es horizontal, es decir, los tipos al contado son iguales para todos los períodos (o si podemos calcular un tipo de interés promedio para toda la vida del proyecto), dispondremos de un tipo de actualización único (k), con lo que la fórmula se simplifica:

( ) ( ) ( ) ( )= +

+−=+

+++

++

+−=n

1tt

tn

n2

21

k1

QA

k1

Q

k1

Qk1

QAVAN

Significado Económico del VAN: El VAN mide la RENTABILIDAD ABSOLUTA NETA en unidades monetarias del momento actual que genera un proyecto de inversión para la empresa, (es decir, mide en el momento inicial del proyecto el incremento de valor que proporciona a los propietarios en términos absolutos, una vez descontada la inversión inicial que se ha debido efectuar para llevarlo a cabo).

Absoluta: porque es una ganancia expresada en términos absolutos (un número, no un porcentaje). Neta: porque es la ganancia que genera el proyecto después de haber amortizado (pagado, devuelto) y retribuido el capital invertido (A).

Regla de decisión para la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión: el criterio del VAN propone que un proyecto de inversión solo debe emprenderse si su VAN es mayor que cero. En efecto si VAN > 0 los FNC generados por el proyecto son más que suficientes para amortizar y retribuir al capital invertido. Este exceso aumenta las reservas, es decir, la riqueza de la empresa. Luego en este caso el proyecto aumenta el valor de la empresa para los accionistas (si el mercado de capitales es eficiente aumentará así mismo el valor de mercado de las acciones de la empresa). Por lo tanto se debe ACEPTAR el proyecto de inversión puesto que esto contribuye a la consecución del objetivo financiero de la empresa. Regla de decisión para jerarquizar: Serán mejores los proyectos que mejor contribuyan a la consecución del objetivo financiero de la empresa: los de mayor VAN.

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VENTAJAS adicionales del VAN: 1. Como ya hemos visto este criterio coincide con el objetivo financiero de la empresa. Puede afirmarse

que el VAN mide el grado en que el proyecto contribuye a lograr el objetivo financiero de la empresa. 2. Tiene la propiedad aditiva. Si consideramos varios proyectos de inversión independientes, el VAN

conjunto de todos ellos es igual a la suma de sus VANes. INCONVENIENTES del VAN: 1. Dificultad de especificar un tipo de actualización en la práctica (k), dado que en la práctica el

mercado de capitales es imperfecto descomponiéndose en diferentes mercados con distintos tipos de interés según riesgos, tipos de financiación, etc. Además el tipo de interés del mercado varía según el riesgo asociado a cada empresa y cada proyecto en concreto. Conclusión: en la práctica no hay un único tipo de interés para cada plazo a aplicar por las empresas en sus proyectos de inversión.

2. Supuesto implícito de la reinversión de los FNC intermedios:

El criterio del VAN supone implícitamente que: - los FNC positivos o bien se consumen o bien son reinvertidos total o parcialmente nada más ser

obtenidos y hasta el final de la vida de la inversión a un tipo de reinversión (k*) igual a k (tipo de actualización empleado en la valoración del proyecto).

- Los FNC negativos o bien se pagan en el momento en que se producen o bien son financiados con

recursos a un coste (k*) igual a k. Fórmula del VAN normalmente utilizada:

( ) ( ) ( )nn

221

k1

Q

k1

Qk1

QAVAN

+++

++

++−=

Fórmula del VAN suponiendo la reinversión de los FNC intermedios a una tasa k*. (VAN corregido):

( ) ( ) ( )( )n

n1n2n

21n

1

k1

Q*k1Q*k1Q*k1QA*VAN

+++++++++−= −

−−

Se comprueba que efectivamente las dos expresiones coinciden si k* = k. Luego al utilizar la fórmula normal estamos suponiendo implícitamente que esto ocurre. Ahora bien, esta hipótesis, k* = k solo se cumple si nos encontramos ante un mercado de capitales perfecto, lo que en la práctica no se da. Por consiguiente en la realidad económica (si no se consumen los FNC positivos ni se pagan directamente los negativos), deberá optarse por la fórmula del VAN corregida siempre que exista información suficiente (el decisor sea capaz de estimar unos tipos de reinversión o de financiación para los FNC futuros).

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1.4.2 EL TIPO INTERNO DE RENDIMIENTO (TIR): El TIR de un proyecto de inversión se calcula como el tipo de actualización que anula su VAN, es decir, que iguala el valor actual de los FNC al desembolso inicial:

( ) ( ) ( ) ( )= +

+−=+

+++

++

+−==n

1tt

tn

n2

21

r1

QA

r1

Q

r1

Qr1

QA0VAN

Donde r = TIR del proyecto Significado económico: El TIR mide la RENTABILIDAD RELATIVA media BRUTA por período del proyecto de inversión sobre el capital que permanece invertido a principios de cada período.

Relativa: porque es una ganancia expresada en porcentaje. Bruta: Porque es una ganancia después de haber amortizado el capital invertido pero antes de haberlo retribuido. De esa ganancia aun hay que descontar el coste de capital (pago de intereses). Se puede decir que la rentabilidad incluye la retribución a los recursos financieros.

Regla de decisión para aceptar o rechazar proyectos de inversión: Por ser una medida de rentabilidad bruta, el TIR debe compararse con el coste de la financiación (k). (r – k = ganancia neta). Serán aceptables aquellos proyectos que cumplan r > k: ganancia neta positiva (rentabilidad del proyecto de inversión > coste de financiarlo). A la hora de jerarquizar serán mejores los proyectos que presenten mayor TIR. VENTAJAS del TIR respecto del VAN: 1. Un concepto de rentabilidad relativa (%) como es el TIR es más fácil de entender. 2. Para el cálculo del TIR no es necesario utilizar la k, luego no hay que acudir al mercado de capitales.

Sin embargo esta ventaja es aparente ya que si es necesario determinar k para aplicar el criterio de aceptabilidad.

INCONVENIENTES:

1. Determinar k para el criterio de aceptabilidad.

2. El propio cálculo del TIR, ya que para obtenerlo hay que resolver una ecuación de grado n.

3. No aditividad.

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4. Hipótesis de reinversión de los FNC intermedios:

El criterio del TIR supone implícitamente que:

- Los FNC positivos o bien se consumen o bien son reinvertidos total o parcialmente nada más ser obtenidos y hasta el final de la vida de la inversión a un tipo de reinversión (k*) igual al TIR de ésta.

- Los FNC negativos o bien se pagan en el momento en que se producen o bien son financiados con recursos a un coste (k*) igual al TIR del proyecto.

Fórmula normal del TIR:

( ) ( ) ( ) ( )= +

+−=+

+++

++

+−==n

1tt

tn

n2

21

r1

QA

r1

Q

r1

Qr1

QA0VAN

Fórmula del TIR corregido (r*):

( ) ( ) ( )( )n

n1n2n

21n

1

*r1

Q*k1Q*k1Q*k1QA0*VAN

+++++++++−== −

−−

Se comprueba que efectivamente ambas fórmulas coinciden (es decir r = r*) si k* = r = r*, luego al utilizar la fórmula normal estamos suponiendo implícitamente que esto ocurre. Ahora bien esta hipótesis es aun menos realista que en el VAN; razones:

- Con FNC positivos el tipo de reinversión ha de ser igual al propio TIR del proyecto, luego será muy alto o muy bajo cuando éste lo sea también. Esto no es en absoluto realista.

- No es sostenible que los tipos de reinversión de los FNC positivos resulten idénticos a los costes de la financiación de los FNC negativos, sobre todo igual que antes para un TIR muy alto o muy bajo.

- Tampoco es realista suponer que los tipos de reinversión y los costes futuros de la financiación permanezcan constantes mientras dura el proyecto especialmente para proyectos largos.

Conclusión: Si no se consumen los FNC positivos ni se pagan directamente los negativos, es decir si hay reinversión y si hay información suficiente deberá utilizarse la fórmula corregida del TIR.

5. La INCONSISTENCIA del TIR:

Surge únicamente para las INVERSIONES NO SIMPLES y es debida al procedimiento de cálculo empleado en el TIR

Para calcular el TIR de un proyecto de inversión hay que resolver una ecuación de grado n, la cual puede tener n raíces o soluciones; algunas pueden ser imaginarias o reales negativas, por lo que serán rechazadas ya que el TIR debe coincidir con la raíz real positiva (si la única solución real es negativa, el TIR es negativo, por lo que el proyecto debe ser rechazado).

Ahora bien para inversiones no simples pueden existir tantas soluciones reales positivas como cambios haya en el signo de los FNC (por la regla de los signos de Descartes), lo que hace que para estos proyectos el criterio del TIR pueda resultar inconsistente, al mostrar varias rentabilidades para una misma inversión o al no mostrar ninguna.

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Para proyectos de inversión simples, sin embargo, al existir solo un cambio de signo, únicamente pueden presentar una solución real positiva, luego para estos proyectos el TIR es siempre consistente. Notas:

Existe un determinado tipo de proyectos de inversión no simples en los que, como en

los simples, solo existe una solución real positiva, por tanto en ellos el criterio del TIR también resulta consistente. Los proyectos de inversión en los que el TIR es consistente son denominados proyectos puros. Los proyectos de inversión en los que el TIR es inconsistente son denominados proyectos mixtos.

La inconsistencia se produce en el cálculo, ya que el concepto del TIR como rentabilidad relativa bruta no puede ser inconsistente.

Algunos autores mantienen que en determinados tipos de proyectos de inversión no simples (los denominados “proyectos mixtos”) existe una relación funcional entre el TIR del proyecto y el tipo de actualización k, es decir el TIR depende de k (r = f(k)). En estos proyectos para poder determinar r hay que conocer antes k, luego el cálculo del TIR no sería independiente del mercado de capitales.

COMPARACIÓN ENTRE AMBOS MÉTODOS: Los criterios VAN y TIR NO son equivalentes de forma general, razones: - Se apoyan en supuestos de reinversión de los FNC diferentes. - Miden aspectos distintos de la rentabilidad de un proyecto de inversión (tienen distinto significado

económico). Esta segunda razón parece ser la causa última de que en algunas ocasiones ambos métodos propongan distintas decisiones (incluso suponiendo que los FNC se consumen, no se reinvierten). En definitiva, estos criterios son más bien complementarios que sustitutivos o alternativos, en el sentido de que si se consideran ambos conjuntamente se realiza un estudio más completo de la rentabilidad de un proyecto de inversión. Vamos a ver en qué casos hay o no equivalencia entre VAN y TIR. a) Problema: Aceptación o rechazo de un proyecto de inversión:

Para proyectos puros (existe un único TIR) los dos criterios son equivalentes en las decisiones de aceptación o rechazo En cambio para proyectos mixtos los dos métodos pueden proponer decisiones distintas debido a que podemos encontrarnos ante la ausencia de un TIR en que basar la decisión, o que se planteen decisiones contradictorias (y alguna de ellas distinta a la que sugiere el VAN) al existir varios TIR.

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b) Problema : Jerarquización de proyectos de inversión:

b.1) En el caso de existir Intersección de Fisher en el primer cuadrante:

Los dos criterios solo proponen la misma jerarquización cuando k > rF. Los dos criterios se contradicen en la jerarquización cuando k < rF.

rF: “Tasa de retorno sobre el coste” o tipo de actualización que iguala el VAN de los dos proyectos b.2) Cuando no existe intersección de Fisher:

Ambos criterios conducen a la misma jerarquización (para cualquier valor de k). En caso de que VAN y TIR no coincidan en la jerarquización de proyectos de inversión, ¿cuál de los dos métodos debe elegirse para tomar las decisiones?.

El criterio teóricamente más correcto es el del VAN, ya que refleja la consecución del objetivo financiero de la empresa. Ahora bien, hay que tener en cuenta los problemas que plantea para determinar el tipo de actualización, y por otra parte no se debe perder la visión de un análisis global de la rentabilidad de los proyectos, en el que resultará conveniente utilizar de forma complementaria ambos métodos, e incluso añadir una medida de la liquidez, como la que proporciona el plazo de recuperación o payback.

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Anexo Tema 1 El concepto”inversión” puede entenderse desde diversos puntos de vista. En el ámbito macroeconómico, la inversión es la formación bruta de capital, es decir, aquella parte de la renta de un período que se dedica a elaborar bienes de producción o “de capital”. Por tanto, representa la adquisición de bienes productivos de equipo (inversión productiva) que permitirán la producción de otros bienes, en contraposición con la adquisición de bienes de consumo.

Desde un punto de vista microeconómico, inversiones serían todos aquellos sacrificios que las empresas o los particulares hacen con el fin de conseguir unos mayores ingresos en el futuro, que les permitan entonces incrementar su consumo. Por tanto, la decisión de inversión implica comprometer unos capitales durante un período de tiempo más o menos amplio, de forma que se puedan obtener unos rendimientos futuros; o dicho de otro modo, supone una renuncia al consumo en el momento presente con la esperanza de obtener un rendimiento, transformado en un mayor consumo en un futuro. Por tanto, todo acto de invertir se concreta en un proyecto de inversión que se extiende a lo largo de un intervalo temporal determinado.

Las inversiones pueden clasificarse:

- Según su función: - Según el plazo:

De renovación. De expansión. De modernización. Estratégicas

A largo plazo. A medio plazo. A corto plazo.

- Según su compatibilidad: - Según la corriente de cobros y pagos:

Complementarias. Sustitutivas. Independientes.

Inversiones con un solo pago y un solo cobro. Inversiones con un solo pago y varios cobros. Inversiones con varios pagos y un solo cobro. Inversiones con varios pagos y varios cobros.

Independientemente del tipo de inversión, para su análisis resulta fundamental, como destaca Schneider (1956), conocer el proceso temporal que configura una inversión; por tanto puede definirse un proyecto de inversión como un proceso temporal consistente en una corriente de cobros y pagos que se distribuyen a lo largo de un determinado intervalo temporal (horizonte del proyecto). Cualquier individuo tiene una preferencia por el consumo actual frente al consumo futuro. Por otro lado, también prefiere consumir más a menos, por lo que la renuncia al consumo presente deberá ser compensada por una mayor cantidad de consumo futuro. Cuanto mayor sea el plazo durante el cual deba renunciar al consumo, mayor deberá ser el consumo futuro que deba obtener para mantenerse indiferente. Por todo ello, en el acto de invertir se pueden distinguir los siguientes elementos:

o Un sujeto que invierte (empresa, individuo, etc.). o El objeto en que se invierte (activo financiero o real). o El coste o sacrificio de renunciar al consumo presente. o La esperanza de recompensa en el futuro (premio por posponer el consumo).

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Tema 2: Cálculo de las variables de un proyecto de inversión.

2.1 INTRODUCCIÓN: A, Qt, n, son las variables o parámetros que determinan la rentabilidad de un proyecto de inversión. Supondremos inicialmente que nos encontramos en condiciones de certeza, es decir, que son variables ciertas. En este tema vamos a aprender la forma de calcular estos parámetros. Nota: La tasa de actualización también puede influir en la rentabilidad del proyecto de

inversión; en certeza (k) será un dato del problema, para situaciones de riesgo consideraremos su cálculo en el tema 5.

Introducimos algunos SUPUESTOS SIMPLIFICADORES del cálculo que aunque deforman ligeramente la realidad no suelen afectar de forma significativa a los resultados de la evaluación del proyecto: • Pagos y cobros se producen siempre al final de cada período (sino no podríamos utilizar las fórmulas

de la capitalización compuesta). • Excluiremos el IVA de los pagos impositivos, ya que para períodos de cierta amplitud, el efecto de este

impuesto es neutro, pues se liquida la diferencia entre lo repercutido y lo soportado. Además si no hay información específica supondremos que: • Coinciden ingresos con cobros y gastos con pagos, salvo en el caso de las dotaciones a

amortizaciones y provisiones. • Los impuestos se pagan al final del período en que se devengan.

2.2 EL DESEMBOLSO INICIAL Y SUS COMPONENTES (A): Desembolso Inicial: Total de PAGOS realizados por la Empresa en el momento previo a la puesta en

funcionamiento del proyecto de inversión.

- Pagos = salidas de dinero, si no hay salida de dinero no se incluye en A. - Se incluyen todos los pagos necesarios para que el proyecto comience a funcionar.

Nota: recordar que el desembolso inicial es un FNC (negativo) luego solo recoge tesorería.

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Componentes del desembolso inicial (A): 1. Pagos necesarios para la adquisición o fabricación del Inmovilizado del proyecto de inversión.

(Inmovilizado Material e Inmaterial). A este componente lo denotaremos por IN.

Nota: La amortización de estos inmovilizados generará cada período un ahorro fiscal que tendremos en cuenta en los FNC.

2. Pago de gastos iniciales necesarios para que el proyecto pueda empezar a funcionar (gastos de

constitución y primer establecimiento, gastos de investigación, estudios de mercado, formación del personal, etc.). Los denotaremos por G.

Estos gastos son deducibles en la base del Impuesto sobre la Renta de Sociedades (IRS) por lo que generan un ahorro fiscal y, bajo el supuesto de que el impuesto se liquida en el mismo período en que se devenga, el pago o salida neta que va al desembolso inicial será: G – GT = G (1-T), siendo T el tipo impositivo del IRS.

3. Variaciones en las necesidades del Fondo de Maniobra o Fondo de Rotación (parte del Activo

Circulante que se financia con Capitales Permanentes). Aunque no siempre tiene que ser así, normalmente las inversiones en activos productivos suelen generar un incremento en las necesidades del fondo de rotación de la empresa. Dicho incremento debe ser financiado con recursos permanentes, luego se trata de una necesidad adicional de financiación a largo plazo por lo que también se recoge en el desembolso inicial. Se denota por FR. Esta inversión o al menos una parte de ella se recupera normalmente al final de la vida del proyecto. Nota: También puede suceder que el proyecto suponga una disminución en las

necesidades del fondo de maniobra, por ejemplo, cuando la financiación de explotación generada por el mismo supere al incremento de activo circulante requerido.

4. Subvenciones de capital a fondo perdido (no hay que devolverlas) obtenidas como consecuencia del proyecto (por ejemplo por su interés social...). Se denotan por S y van restando en el desembolso inicial. Si no fuesen a fondo perdido (si hay que devolverlas) se tratarían como un préstamo, es decir, como una fuente de financiación más para ese proyecto y se recogerían en la tasa de actualización (k), nunca en A.

Según lo expuesto para calcular el desembolso inicial usaremos en general la siguiente expresión:

A = IN + G (1-T) ± FR - S Nota: la forma en que se financie el proyecto de inversión no debe afectar al desembolso

inicial y tampoco a los FNC. Únicamente afecta al coste de la financiación, es decir, a la rentabilidad mínima que voy a exigir a mi proyecto de inversión (k).

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2.3 LOS FNC Y SUS COMPONENTES (Qt): FNCt = COBROS – PAGOS generados por la EXPLOTACIÓN del proyecto de inversión en el período t. A esta definición general hay que hacerle 4 aclaraciones importantes: 1. ¿Deben incluirse los pagos de gastos financieros?

a) Si (los pagos de) los gastos de la financiación a corto plazo (descuento de efectos, intereses de

préstamos a corto plazo, créditos de funcionamiento, créditos de campaña, etc.) siempre que atiendan a necesidades corrientes, transitorias o estacionales de tesorería, así como los gastos cuasifinancieros, como por ejemplo los del factoring y los de la gestión de cobro de efectos. La razón de ello es que son pagos ligados a la propia explotación del proyecto y por tanto resultan necesarios para obtener los FNC de cada período (se considera que se usan no para financiar A sino necesidades transitorias de tesorería).

Nota: De la misma forma, se incluirán entre los cobros los correspondientes a ingresos

procedentes de inversiones financieras transitorias debidas a excesos temporales de tesorería generados por la explotación del proyecto.

b) NUNCA incluiremos los gastos financieros de la financiación permanente (a largo plazo), por dos

razones:

- No son gastos generados por la explotación del proyecto, sino que surgen como consecuencia de la financiación del mismo (de la financiación de A).

- Queremos separar la rentabilidad que el proyecto en sí genera (TIR) de la rentabilidad mínima que la empresa va a exigir a su proyecto de inversión (k = lo que le cuesta financiarlo).

El efecto de estos gastos financieros a largo plazo siempre irá recogido en la k.

2. ¿Debe incluirse el pago de impuestos? Sí, habrá que incluir en los FNC todos aquellos incrementos (o decrementos) de pagos tributarios generados por el proyecto en cada período: Impuesto de Actividades Económicas, Impuesto de Bienes Inmuebles, Impuesto de Circulación, tasas, Impuestos sobre beneficios (IRPF, IRS), IVA, etc. Es decir todos los pagos de impuestos ligados a la explotación del proyecto de inversión. Respecto del impuesto sobre beneficios, IRS normalmente, debemos tener en cuenta que la base imponible considerada en el FNC para calcular el pago impositivo es ficticia, pues no considera los gastos financieros de la financiación a largo plazo, que sí son deducibles a efectos fiscales. Por tanto, el pago impositivo calculado es superior al que realmente genera el proyecto, y en consecuencia el FNC resulta infraestimado. Sin embargo, esta aparente deformación de la realidad no es tal, ya que se compensa si, para calcular el tipo de actualización (k) a través del coste efectivo de las fuentes financieras, tenemos en cuenta el efecto de escudo fiscal generado por los gastos financieros, es decir, si utilizamos como tasa de actualización una k neta de impuestos.

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Notas: - En los FNC no se recoge (ni el pago de gastos de la financiación a largo plazo ni) el ahorro

fiscal que estos gastos generan, por esto último los FNC están infraestimados.

- El VAN que calculamos, sin embargo, sí recoge ese ahorro fiscal (en vez de en el FNC en la k), luego no está infraestimado.

- Denotaremos It al FNC antes de impuestos (antes del IRS). It = Ct – Pt

- Denotaremos Qt al FNC después de impuestos. Qt = It – pago de impuestost

- Pago de impuestost = (BIt)T = (Ingresost – Gastost) T 3. ¿Cuál es el tratamiento de las amortizaciones?

La amortización no es un pago (no supone salida de tesorería), luego no se recogerá en el FNC antes de impuestos (It), sin embargo si es un gasto deducible (a incluir en la base imponible del impuesto) y por tanto genera un ahorro fiscal (= menos impuesto a pagar) que si debe recogerse en el FNC después de impuestos: Qt = Ct – Pt – pago impuestos t = Ct – Pt – [Ct – (Pt + At) ] T = (Ct – Pt) –(Ct – Pt) T + At T

Qt = It (1-T) + At T

Notas: - Para llegar a esta fórmula se ha supuesto que ingresos coinciden con cobros y gastos

con pagos (salvo los gastos de amortizaciones y provisiones) y también que el impuesto se liquida en el período de devengo.

- En el caso de haber provisiones (poco frecuentes en ejercicios) su tratamiento sería

igual que el de las amortizaciones, es decir, no se recogen como pagos en los FNC pero éstos si incluyen el ahorro fiscal que generan esa provisiones.

- La Administración solo acepta como gasto deducible la amortización calculada según

sus criterios, luego para calcular el ahorro fiscal (At T) nos fijamos en lo que dice la Administración, no en lo que dice la empresa.

4. ¿Cómo se recoge el efecto del proyecto de inversión en cada período (en términos de cobros y

pagos) sobre el resto de las actividades de la empresa?

A través de los Costes de Oportunidad para ese período (COt). Estos pueden ser: • Positivos (más coste): cuando se producen mayores pagos o menores cobros en el resto de las

actividades de la empresa como consecuencia de la explotación del proyecto de inversión. Restan en el FNC.

• Negativos (menos coste): cuando se producen menos pagos o más cobros en el resto de las

actividades de la empresa como consecuencia de la explotación del proyecto. Suman en el FNC.

- 17 -

Los costes de oportunidad tienen así mismo repercusiones fiscales que también se deben considerar en los FNC. En definitiva, la entrada o salida de dinero neta en cada período debida a los costes de oportunidad es ± COt (1-T)

Nota: Los costes de oportunidad son casi siempre muy difíciles de calcular. Cuando no sea

posible cuantificarlos con un alto grado de fiabilidad, no los tendremos en cuenta de forma explícita (si acaso, podrían considerarse más de forma cualitativa).

Teniendo en cuenta las aclaraciones anteriores una fórmula que nos será muy útil en algunos ejercicios para el cálculo de los FNC es:

Qt = It (1-T) + At T ± COt (1-T) (∀ t = 1...n-1) Como se aprecia, esta fórmula no se aplica al FNC del último período (Qn). Este se calcula de forma ligeramente diferente ya que en él deben considerarse dos circunstancias especiales:

a) La posibilidad de recuperar parcial o totalmente el fondo de rotación al vender el proyecto de inversión al final de su vida útil.

b) La necesidad de considerar esa venta del inmovilizado al final de su vida por su Valor Residual, teniendo en cuenta además los efectos fiscales, es decir las plusvalías o minusvalías que puedan aparecer. Valor Residual (VRn) = precio al que el inmovilizado puede ser vendido al final del período n.

Valor Neto Contable (VCn) = valor fiscal del inmovilizado al final del período n =

−=n

1ttAIN

• Si VRn > VCn: existe un incremento de patrimonio o plusvalía gravable.

• Si VRn < VCn: existe una disminución de patrimonio o minusvalía deducible, es decir, se origina un ahorro fiscal.

En ambos casos, la entrada neta de dinero como consecuencia de la venta se calcula a través de la expresión: VRn – (VRn - VCn) T.

Teniendo en cuenta estas consideraciones la expresión a utilizar para el cálculo de Qn es:

Qn = In (1-T) + An T ± COn (1-T) ± FRn + VRn – (VRn - VCn) T Por otra parte, en el caso de que el proyecto se refiera a la fabricación y comercialización de un producto si denominamos: Nt: nº de unidades vendidas en el período t. pt: precio de venta por unidad de producto en el período t. cvt: coste variable unitario en el período t. CFt: costes fijos totales, excluyendo dotaciones a amortizaciones, del período t. La forma de calcular It = Ct – Pt sería:

It = Nt pt – Nt cvt – CFt = Nt (pt – cvt) – CFt = Nt mt –CFt

It = Nt mt – CFt Siendo mt el margen unitario por unidad de producto en el período t.

- 18 -

Notas: - Las expresiones anteriores para el cálculo de los FNC deben tomarse solamente como

referencias útiles, ya que no abarcan todas las posibilidades. Así, en algún período pueden producirse nuevas adquisiciones de inmovilizado o desinversiones del mismo que deberán ser tenidas en cuenta específicamente.

- Además estas fórmulas han sido obtenidas bajo los supuestos de coincidencia de ingresos-cobros, gastos-pagos (salvo amortizaciones y provisiones) y de que el impuesto se liquida en el mismo período en que se devenga. Si se rompe alguno de estos supuestos las fórmulas ya no son válidas.

2.4 LA DURACIÓN DE LA VIDA ECONÓMICA DE LA INVERSIÓN (n):

n: período de tiempo durante el cual el proyecto va a estar en explotación: sobre esta duración habrá que prever los cash-flows generados por el proyecto. En ciertas circunstancias (inversión en activos financieros de renta fija, proyectos de construcción u obra pública) la vida del proyecto viene determinada con casi total precisión por condicionantes externos a la empresa. Pero en la mayoría de los casos, la duración del proyecto es incierta, o debe ser establecida por la propia empresa. Por ello, para estimar con la mayor precisión posible este parámetro habrá que comenzar distinguiendo entre dos conceptos: vida técnica y vida económica de un proyecto de inversión. La duración de la vida técnica de un equipo se determina teniendo en cuenta un único factor de depreciación: el uso. Esta vida, fijada sobre una base de datos técnicos, representa normalmente la vida máxima para el equipo. Por tanto, la vida técnica de un equipo es su duración potencial atendiendo a criterios técnicos. En un entorno dinámico, la depreciación cualitativa, también llamada obsolescencia, consecuencia del progreso técnico y otros factores, hace que pierda validez el concepto de vida técnica para dar paso al concepto de vida económica, inferior a aquella. Es decir, puede suceder que un equipo, sin haber agotado su vida técnica, no interese que siga funcionando, debido a razones económicas, ya que resulta más interesante proceder a su renovación. La vida económica es aquella aconsejable siguiendo tanto criterios técnicos como económicos. Viene definida por el momento a partir del cual la reposición del equipo es más rentable que su mantenimiento. En condiciones de no excesiva incertidumbre, el análisis económico permite actualmente determinar con cierta precisión la vida económica óptima de una inversión. Para un proyecto de inversión sin reposición la vida económica óptima es la que maximiza su VAN. Para un proyecto con reposición, ésta se producirá cuando la diferencia entre el VAN del nuevo proyecto y del antiguo sea máxima. Para la determinación de la vida económica óptima de un equipo se han elaborado una serie de modelos, tanto deterministas como estocásticos. Ahora bien, estos modelos tienen dos inconvenientes principales:

- 19 -

No nos sirven para prever los flujos de caja a partir de la determinación de la vida del proyecto, pues para estimar ésta debemos establecer previamente dichos flujos.

Actualmente, en muchos campos existe una gran incertidumbre sobre el momento futuro en que pueden aparecer innovaciones capaces de convertir en obsoletos los equipos y proyectos actuales, por tanto, los resultados sobre la vida óptima de proyectos basados en estos modelos tienen un gran margen de error.

Ante esa incertidumbre, las empresas han desarrollado varias formas de establecer con cierta precisión la vida de un proyecto. Algunas de ellas son:

Obsolescencia planificada: el proyecto tiene una vida predeterminada, generalmente corta, para que no de tiempo a la aparición de innovaciones competitivas. Es el caso de muchos electrodomésticos, automóviles, etc.

Se supone de forma ficticia que la vida del proyecto coincide con el período de planificación a largo plazo (tres a cinco años). Aunque de hecho no vaya a ser así, se supone que al final de dicho período se abandona el proyecto, vendiendo los equipos correspondientes por su valor residual, recuperando el fondo de rotación invertido, etc.

Como veremos en un tema posterior al tratar la homogeneización de duraciones, cuando se comparan dos proyectos de inversión puede escogerse para los dos la duración más corta.

El establecimiento del horizonte temporal resulta crucial en la evaluación de proyectos de inversión; ahora bien, debido a las dificultades que aparecen en la práctica para determinar la vida óptima de un proyecto, este horizonte temporal, como acaba de comentarse, se considera en muchas ocasiones como dado.

- 20 -

ANEXO EFECTO DE LA INFLACION SOBRE VAN Y TIR Cuando existe inflación se pueden expresar los FNC de dos formas distintas: En términos monetarios, es decir, en moneda corriente de cada período (informan del dinero que generará el proyecto en cada período). (Q´t) En términos reales, es decir, en moneda constante del momento cero. (informan del poder adquisitivo que tendrá ese dinero en cada período en relación al momento cero). (Qt)

Se cumple: tt

t )g1(Q

Q+

′= (siempre que la inflación sea constante todos los períodos).

Lo importante a la hora de valorar el proyecto es considerar la verdadera ganancia en poder adquisitivo que genera en cada período, en conclusión, cuando existe inflación, al plantear el VAN, además de actualizar los FNC debo deflactarlos, por lo tanto se cumplirá (suponiendo inflación constante):

333

2221

)g1()k1(Q

)g1()k1(Q

)g1)(k1(QAVAN

++′

+++

′+

++′

+−=

Es decir, el VAN debe calcularse con la moneda constante (FNC reales). Por otra parte, estas dos operaciones pueden hacerse de una vez utilizando una tasa de actualización monetaria (k´), por lo que el VAN también puede expresarse como:

De donde deducimos que, mientras g sea constante en todos los períodos se cumplirá:

)g1)(k1()k1( ++=′+ y por tanto:

kggkk ++=′

)g1(gkk

+−′

=

Nota: no se diferencia entre VAN monetario y VAN real (el VAN que calculamos es siempre real). En cuanto al TIR, si se diferencia entre TIR monetario (r´) y TIR real (r).

33

221

)k1(Q

)k1(Q

)k1(QAVAN

′+′

+′+

′+

′+′

+−=

- 21 -

El TIR monetario es el que se calcula sin tener en cuenta el efecto de la inflación, es una ganancia aparente porque se calcula con FNC monetarios (en moneda corriente).

El TIR real es el que se calcula teniendo en cuenta el efecto de la inflación, es la verdadera ganancia en poder adquisitivo que genera el proyecto, porque se calcula con FNC reales (en moneda constante).

333

2221

)g1()r1(Q

)g1()r1(Q

)g1)(r1(QA0

++′

+++

′+

++′

+−=

También aquí se deduce una relación entre el TIR monetario y el TIR real (mientras g sea constante en todos los períodos):

)g1)(r1()r1( ++=′+ y por tanto:

rggrr ++=′

)g1(grr

+−′

=

33

221

)r1(Q

)r1(Q

)r1(QA0

′+′

+′+

′+

′+′

+−=

- 23 -

Tema 3: Valoración de las al ternat ivas incompletas.

3.1 INTRODUCCIÓN: Con bastante frecuencia, la elección de una alternativa de inversión supone dejar de realizar otra u otras inversiones rentables. Se dice entonces que la aceptación de un proyecto de inversión excluye a los otros o que los proyectos son mutuamente excluyentes (incompatibles). Posibles causas de esta incompatibilidad son: a) Causas técnicas: la tecnología de ambas inversiones es tan diferente que la empresa no puede

compatibilizar las dos a la vez, o bien sólo necesita una determinada capacidad, que puede ser cubierta con una u otra técnica.

Ejemplos: - Centrales de energía: nuclear, hidroeléctrica, térmica, eólica, etc. - Calefacción central: fuel-oil, eléctrica, solar, etc.

b) Motivos comerciales: cuando el mercado impone limitaciones en cuanto a capacidad para absorber los

productos ofertados por la empresa.

Ejemplo: Una empresa está considerando dos prototipos de un determinado automóvil para el mismo segmento del mercado. El lanzamiento de cada uno por separado, puede ser un éxito, sin embargo, debe elegirse sólo uno para no saturar el mercado

c) Causas financieras: la limitación de recursos financieros puede obligar a la empresa a posponer o desestimar definitivamente la realización de algunos proyectos (porque la empresa se encuentra con limitaciones para la disposición de recursos a un coste razonable o porque la alta dirección fija un presupuesto limitado de inversiones).

d) Otras limitaciones de recursos: además de los recursos financieros, existen otros tipos de recursos que

pueden estar limitados en la empresa en determinadas circunstancias. Esto sucede especialmente con las denominadas “competencias básicas o core competencies”, es decir, los recursos intangibles asociados al conocimiento, específicos de cada empresa, que no pueden ser adquiridos en el mercado, y cuya generación requiere tiempo. Si varios proyectos de inversión rentables requieren el empleo de competencias básicas limitadas (por ejemplo, asociadas a trabajadores con unas determinadas habilidades) es muy posible que todos ellos no puedan llevarse simultáneamente a cabo.

Independientemente de la causa de la mutua exclusión entre dos o más proyectos de inversión, cuando queramos jerarquizar entre proyectos incompatibles surge la necesidad de comparar únicamente alternativas completas, es decir, homogéneas en cuanto a desembolsos iniciales y duraciones. Por ello, si es necesario, antes de aplicar cualquier método de valoración debe realizarse una homogeneización de desembolsos iniciales y/o duraciones. Han de reducirse a completas las alternativas incompletas.

- 24 -

Notas: - Solo tiene sentido plantearse la jerarquización entre proyectos de inversión incompatibles,

ya que, si los proyectos son compatibles, no resulta necesario compararlos, pues la decisión óptima consiste en emprender todos aquellos proyectos con VAN positivo o con TIR > k.

- Si las alternativas son incompletas ni el VAN ni el TIR me dan idea de la realidad al jerarquizar. Incluso podrían surgir intersecciones de Fisher ficticias que se eliminan al homogeneizar.

3.2 HOMOGENEIZACIÓN DE DESEMBOLSOS INICIALES: Problema: queremos comparar entre dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes con distinto desembolso inicial e igual duración.

Ejemplo: Si k = 5 % ¿Cuál de los dos proyectos debe llevarse a cabo? Utilice para valorar tanto el criterio del VAN como el del TIR.

Proyecto A:

-100 30 120

0 1 2 Proyecto B:

-70 20 90

0 1 2 En este caso se comprueba que existe una contradicción entre las ordenaciones proporcionadas por cada criterio. Como sabemos el criterio del VAN debe tener prelación, ya que resulta plenamente coherente con el objetivo financiero de la empresa. Sin embargo, antes de tomar una decisión, debemos tener en cuenta que se están comparando alternativas incompletas. Supongamos que la empresa dispone en el año 0 de un presupuesto para inversiones de 100. Si se queda con el proyecto A ya ha invertido todo su capital pero si opta por el proyecto B le sobran 30 que podría invertir en otro proyecto complementario. Al homogeneizar lo que vamos a hacer es tener en cuenta la rentabilidad de esa inversión complementaria (en el proyecto de menor desembolso inicial). Supondremos normalmente que ese proyecto complementario consistirá en la inversión en el mercado financiero por ejemplo en bonos cupón cero hasta el Horizonte Temporal Común. En el ejemplo, Inversión Complementaria = 100 – 70 = 30. Supongamos que la mejor alternativa para la empresa es invertirlos en un bono cupón cero con un rendimiento neto anual del 6 %.

VANA = 37,4 TIRA = 26% VANB = 30,7 TIRB = 28,6%

- 25 -

Si denotamos por C al proyecto complementario. Deberemos comparar el proyecto A con el proyecto X, (suma del proyecto B más el proyecto C). Ahora comprobamos que, con la homogeneización de desembolsos iniciales, el proyecto A es el preferible, tanto desde el punto de vista del VAN como desde el del TIR (ha desaparecido la contradicción). Notas: - En proyectos con varios FNC la homogeneización de desembolsos iniciales no garantiza por

sí misma la coincidencia de los criterios VAN y TIR en la ordenación de proyectos de inversión.

- La homogeneización de desembolsos iniciales es necesaria siempre que se deba elegir entre proyectos excluyentes, con desembolsos diferentes y se desee aplicar ambos criterios VAN y TIR (si se aplica solo uno de ellos existen circunstancias que hacen innecesaria la homogeneización, pues el resultado sería el mismo tanto si se realiza como si no).

- Si aplicamos únicamente el criterio del VAN y ocurre que el TIRC = k*= k, se hace innecesaria esta homogeneización pues VANC = 0.

- Si aplicamos el TIR para que la homogeneización de desembolsos iniciales no sea necesaria

se precisa que TIRC = k* = TIRB (TIR del proyecto de inversión con menor desembolso inicial).

3.3 HOMOGENEIZACIÓN DE DURACIONES: Problema: queremos comparar entre 2 proyectos de inversión mutuamente excluyentes con igual desembolso inicial pero distinta duración. Ejemplo:

Proyecto A: -10.000 5.000 5.000 6.000

0 1 2 3

Proyecto B: -10.000 2.000 3.000 5.000 7.500

0 1 2 3 4 Suponiendo un coste de capital para la empresa del 5 %, constante durante los próximos años. VANA = 4.480 TIRA = 26,8% VANB = 5.115,3 TIRB = 21,1%

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Nuevamente surge una contradicción entre el VAN y el TIR. Sin embargo, dado que las alternativas comparadas no son completas, esta solución no nos da idea de la realidad al jerarquizar. Entonces ¿cuál de los dos proyectos es más deseable? Para dar respuesta a este problema vamos a plantearnos dos situaciones diferentes:

a) Que ambos proyectos realicen una función fundamental en la empresa. b) Que los proyectos estudiados no desempeñen una función fundamental. 3.3.1 PROYECTOS DE INVERSIÓN FUNDAMENTALES: Son aquellos que resultan vitales para la continuidad de la empresa, luego tendrán que renovarse necesariamente al final de la vida útil de cada inversión. Si los proyectos A y B fuesen inversiones fundamentales, sería absurdo compararlos sin más al tener distintas duraciones, ya que si eligiésemos el proyecto A estaríamos suponiendo que durante un año prescindimos de una inversión fundamental. Por eso, en este caso se hace necesario realizar la homogeneización de las duraciones antes de decidirnos por uno de los proyectos. Es decir, necesitamos plantear un horizonte temporal común (idéntico) para ambos proyectos para que la valoración sea correcta. ¿Cuál es ese horizonte temporal común (HTC)?. Se plantean varias posibles soluciones: 1- Suponer que ambos proyectos son renovados un número infinito de veces (HTC = ∞). En este caso

para tomar la decisión habría que calcular el VAN o el TIR de la infinita cadena de reposiciones asociada a cada alternativa.

Pero esta solución es muy poco realista ya que supone que se va a renovar cada proyecto por otro idéntico un número infinito de veces (pasando por alto el rápido desarrollo tecnológico etc.).

2- Suponer la renovación de cada proyecto por otro idéntico en un número finito de veces; las necesarias para conseguir que ambas secuencias tengan igual duración (HTC = mínimo común múltiplo de la vida de los dos proyectos de inversión). En nuestro ejemplo HTC = 12, es decir, supondríamos que cada proyecto se renueva por otro idéntico cuantas veces sea necesario hasta llegar al año 12. En este caso compararíamos el VAN o TIR de 3 renovaciones para A y el de 2 renovaciones para B.

Pero esta solución también es criticable por las mismas razones que antes (aunque menos restrictivas).

3- Considerar como horizonte temporal común la vida económica de la inversión más corta. Es decir,

en nuestro ejemplo, estaríamos suponiendo que el proyecto B, que inicialmente tiene una vida de 4 años, se vende al final del año 3. Esta forma de solucionar tiene un inconveniente y es que exige conocer, para la inversión de mayor duración, el valor residual (valor de mercado) en el instante en el cual finaliza el otro proyecto. Además se deberá estimar el posible efecto impositivo de la venta del inmovilizado y la recuperación del fondo de rotación invertido en el proyecto. A pesar de la necesidad de estas estimaciones esta solución es considerada la más correcta por ser más realista y menos compleja que las anteriores.

- 27 -

3.3.2. PROYECTOS DE INVERSIÓN NO FUNDAMENTALES: Aquellos que no son vitales para el normal funcionamiento de la empresa pero no por ello dejan de ser interesantes, en función de su rentabilidad. En principio, estos proyectos no serán renovados. Cuando considerábamos que las inversiones eran fundamentales justificábamos la homogeneización de duraciones por razones de tipo estratégico (continuidad de la empresa). ¿De donde surge, pues, en este caso la necesidad de homogeneizar esas duraciones?. Las razones serán ahora principalmente de tipo financiero. Los proyectos A y B, aunque no deban ser renovados, no son comparables directamente porque suponen tener el dinero inmovilizado durante distintos períodos de tiempo. Es decir, nos estaríamos olvidando de la riqueza que el proyecto A puede generar durante el cuarto año. Luego, para que las alternativas sean comparables, los capitales empleados deben permanecer invertidos en uno u otro proyecto durante el mismo intervalo temporal. Para calcular el HTC supondremos (igual que antes) que coincide con la vida económica de la inversión más corta. Nota: Otra forma de calcular el HTC para inversiones no fundamentales es aplicando el

Método de Solomon (ver apartado 3.5) 3.4 HOMOGENEIZACIÓN CONJUNTA DE DESEMBOLSOS

INICIALES Y DURACIONES: Problema: queremos jerarquizar entre dos proyectos de inversión excluyentes con distinto desembolso inicial y distinta duración. Pasos:

1- Determinar el HTC = vida económica de la inversión más corta (ya se trate de inversiones fundamentales o no fundamentales).

2- Homogeneizar desembolsos iniciales, es decir, tener en cuenta en el proyecto de menor desembolso la inversión complementaria hasta el HTC previamente calculado.

3.5. MÉTODO DE SOLOMON PARA LA HOMOGENEIZACIÓN DE DESEMBOLSOS INICIALES Y/O DURACIONES:

El método de Solomon solo se puede utilizar para inversiones NO FUNDAMENTALES. Este método consiste en suponer:

1- Que el HTC coincide con el del proyecto de mayor duración. 2- Que es posible determinar un tipo de reinversión k*, al que pueden ser reinvertidos en su totalidad

los FNC generados por los proyectos. 3- Que todos los FNC generados por los proyectos son reinvertidos a dicho tipo k* hasta el final del

HTC.

- 28 -

Utilizando este método convertimos cualquier proyecto de inversión en otro, con dos únicos FNC, uno en el momento inicial (A), y otro (Q*n) al final de la mayor de las duraciones, a la que denominaremos n. Ejemplo:

Proyecto A: -100 50 40 30

0 1 2 3 Proyecto B: -100 30 80

0 1 2 HTC = 3. Los FNC de ambos proyectos de inversión se reinvierten a k* hasta el final del año 3. Luego los proyectos se convierten en : Proyecto A: -100 Q*nA = 50 (1+k*)2 + 40 (1+k*) + 30

0 1 2 3 Proyecto B: -100 Q*nB = 30(1+k*)2 + 80 (1+k*)

0 1 2 3 El VAN y el TIR calculados por Solomon no coinciden con el VAN y el TIR clásicos. En la terminología de Solomon hablaremos de VAN Global (VANG) y TIR Global (TIRG).

Generalizando, para cualquier proyecto:

nn

)k1(*Q

AVANG+

+−= donde =

−+=n

1t

tntn *)k1(Q*Q

;)rg1(

*QA0 n

n

++−= n n

A*Q

1rgTIRG +−=≡

Fijándonos en estos resultados podemos comprobar que lo que determina los mayores VANG y TIRG de un proyecto de inversión respecto a los demás es el mayor valor que alcance Q*n. En consecuencia dos ventajas que ofrece este método son:

- Los proyectos de inversión rentables son todos simples (un único FNC positivo). - Los criterios VANG y TIRG coinciden siempre en la jerarquización de proyectos de inversión

(ausencia de “intersección de Fisher” en el primer cuadrante).

3

2

B )k1(*)k1( 80*)k1( 30

100VANG+

++++−=

3

2

A )k1(30*)k1( 40*)k1( 50

100VANG+

+++++−=

- 29 -

Ahora bien, estas propiedades tan ventajosas solo se alcanzan bajo el supuesto (3) anteriormente comentado, que puede resultar poco realista en muchas ocasiones. En consecuencia se considera que el método de Solomon tiene los siguientes inconvenientes: - Es poco realista suponer la reinversión de todos los FNC y en su totalidad hasta n (se podría relajar este

supuesto, suponiendo únicamente reinversiones parciales de los FNC pero en este caso no quedarían garantizadas las ventajas anteriores).

- Dificultad para la especificación de la tasa de reinversión k*. - Se dice que este método desvirtúa el significado económico del VAN y el TIR clásicos. Nota: Cuando k* = k el VANG coincide con el VAN clásico, por eso, en este caso no resulta necesario homogeneizar (ni desembolsos iniciales ni duraciones) si seguimos el método de Solomon y solo empleamos el VAN.

- 31 -

Tema 4: El riesgo en la selección de P. I.: Naturaleza y medida del riesgo.

4.1 INTRODUCCIÓN: En los temas anteriores hemos supuesto que todas las variables determinantes de un proyecto de inversión eran conocidas con certeza (A, Qt, y sus componentes, n, k, k*, g, variables ciertas), de forma que las previsiones se cumplían perfectamente en la realidad, por eso, al valorar proyectos de inversión utilizábamos métodos basados únicamente en la rentabilidad: VAN y TIR. Pero en la práctica este supuesto raras veces se cumple. Un entorno turbulento hace que surja el riesgo o la incertidumbre, es decir, la posibilidad de que los valores efectivamente alcanzados por las variables no coincidan con los valores estimados. A partir de ahora vamos a valorar proyectos de inversión en los que todas o alguna de las variables son variables aleatorias, es decir, no sabemos con certeza el valor que van a tomar. Las situaciones de NO CERTEZA (o incertidumbre en general) se pueden clasificar en:

A) SITUACIONES DE RIESGO: Aquellas en las que conocemos los posibles valores que pueden tomar las variables (es decir, conocemos los estados de la naturaleza que se pueden dar) y la probabilidad asociada a cada uno de esos valores (probabilidad de ocurrencia de cada estado de la naturaleza). Dos tipos de riesgo: Riesgo Objetivo: Cuando la distribución de probabilidades de las variables la hemos

obtenido de forma objetiva, es decir, basándonos en datos históricos. Riesgo Subjetivo: Cuando la distribución de probabilidades se ha obtenido de forma

subjetiva (en base a la intuición, experiencia...). Es la situación más habitual. En los próximos temas nos centraremos fundamentalmente en este tipo de situaciones, es decir, conoceremos los distintos valores que pueden tomar las variables y su distribución de probabilidades asociada (calculada habitualmente de forma subjetiva). Por ello utilizaremos métodos para valorar proyectos de inversión que recojan tanto la rentabilidad como el riesgo del proyecto (tendremos que aprender a medir ese riesgo).

B) SITUACIONES DE INCERTIDUMBRE ESTRICTA: Aquellas en las que conocemos los posibles valores que pueden tomar las variables aleatorias pero no conocemos su distribución de probabilidades asociada (conocemos los estados de la naturaleza pero no sus probabilidades asociadas). Existen varios criterios para decidir en tales condiciones (criterio de Laplace, de Wald, Hurwicz, Savage, etc.) pero se puede demostrar que todos ellos se fundamentan en una asignación implícita de probabilidades subjetivas luego se reducen al caso de “riesgo subjetivo”.

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Aún así, existen dos procedimientos para analizar (que no criterios para escoger) proyectos de inversión en incertidumbre:

Análisis de sensibilidad. Intervalos y tripletas de confianza.

C) SITUACIONES DE AMBIGÜEDAD: Ni siquiera conocemos los posibles valores que pueden tomar las variables aleatorias (no se conocen con claridad los distintos estados de la naturaleza).Todas las situaciones tienen mayor o menor grado de ambigüedad, pero la situación de ambigüedad suele ser difícilmente formalizable. Una formalización posible está en la “teoría de los subconjuntos borrosos”, aunque es bastante compleja.

En general, muchos autores estiman que lo más procedente para tratar situaciones de no certeza es buscar la mayor información posible y hacer una estimación subjetiva de probabilidades en función de dicha información.

4.2 RIESGO ECONÓMICO Y RIESGO FINANCIERO: RIESGO ECONÓMICO: En términos generales es el riesgo ligado al activo, a la estructura económica de las empresas. En cuanto a un proyecto de inversión, su riesgo económico se debe a la explotación del proyecto, es decir, surge debido a la variabilidad de los FNC (a que los FNC sean variables aleatorias). Consta de dos aspectos principales (o causas por las que esos FNC son variables aleatorias):

- La incertidumbre sobre la demanda del producto. - La variabilidad de los gastos variables y el volumen de los gastos o costes fijos. Nota: Este segundo aspecto está relacionado con el grado de apalancamiento operativo del

proyecto: cuanto mayores son los costes fijos, mayor apalancamiento operativo, mayor riesgo (ya que el beneficio es más sensible ante variaciones en la demanda). A este riesgo se le llama riesgo operativo.

Ejemplo:

Supongamos que para el lanzamiento de un nuevo producto se plantean dos proyectos alternativos:

A) Consiste en una inversión reducida con instalaciones sencillas y baja capacidad de producción. En este caso los costes fijos serían bajos pero los costes variables unitarios altos.

B) Consiste en una inversión importante, instalaciones muy modernas con alta capacidad de producción. En este caso los costes fijos serían altos pero los costes variables unitarios muy bajos.

¿Cuál de los dos proyectos tiene mayor riesgo económico?

- 33 -

RIESGO FINANCIERO: En términos generales es el riesgo ligado al pasivo de la empresa, es decir, a la forma de financiarse. Se dice que este riesgo aumenta con el endeudamiento, por dos razones: a) A mayor endeudamiento mayor probabilidad de insolvencia para la empresa (de que no pueda hacer

frente a sus deudas), con los costes que ello origina. b) Al aumentar el importe de los intereses a pagar mayor es la variabilidad de la rentabilidad sobre los

recursos propios (rentabilidad financiera). Se dice que aumenta el riesgo para los accionistas. En consecuencia cuanto mayor sea la parte del proyecto financiada con deuda también aumentará el endeudamiento general de la empresa, luego el mayor grado de endeudamiento del proyecto contribuirá a aumentar el riesgo financiero de la empresa. En cuanto al proyecto de inversión, su riesgo financiero se debe a la forma de financiar ese proyecto. Es decir surge debido a la variabilidad del coste de capital (a que la tasa de actualización k sea variable aleatoria). Nosotros trabajaremos suponiendo un coste de capital o tasa de actualización conocida de antemano, es decir, k variable cierta (supondremos que coincide con el t.i. sin riesgo), de modo que no vamos a considerar el riesgo financiero del proyecto de inversión. Nos centraremos únicamente en el riesgo económico del proyecto de inversión.

4.3 RIESGO ECONÓMICO ABSOLUTO Y RELATIVO DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN:

El análisis del riesgo económico de un proyecto puede hacerse de varias formas:

- Considerando el proyecto aisladamente, sin tener en cuenta su influencia sobre los otros proyectos de la empresa (riesgo absoluto del proyecto).

- Considerando la repercusión que ese proyecto tiene sobre el riesgo económico global de la empresa (riesgo relativo del proyecto respecto de la empresa).

- Considerando la repercusión que ese proyecto tiene sobre el riesgo asociado al conjunto de la actividad económica del país o del mundo (riesgo relativo del proyecto respecto de la economía).

RIESGO ECONÓMICO ABSOLUTO DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN: Es el riesgo económico del proyecto pero considerado individualmente, es decir, sin tener en cuenta cómo influye ese proyecto de inversión en las demás actividades de la empresa. Como sabemos este riesgo surge por la variabilidad de los FNC que a su vez provoca variabilidad de los rendimientos del proyecto ( RIT y NAV

~~variables aleatorias), es decir, se puede calcular un rendimiento

esperado o medio del proyecto pero sabemos que existe una dispersión con respecto a esa media, luego el rendimiento realmente alcanzado podrá estar por encima o por debajo del valor esperado. Existen medidores estadísticos de este riesgo: varianza, desviación típica, coeficiente de variación... o cualquier otro medidor que nos permita recoger la dispersión.

- 34 -

RIESGO ECONÓMICO RELATIVO DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN: Relativo significa con respecto a algo. Vamos a verlo con respecto a dos cosas:

Riesgo Económico relativo de un proyecto de inversión con respecto a la empresa donde se va a llevar a cabo el proyecto:

Tiene en cuenta la influencia del proyecto en las actividades de la empresa. Mide lo que varía el riesgo económico global (o absoluto) de la empresa al introducir el proyecto. No existen medidores estadísticos de este riesgo, la forma de calcularlo es:

Riesgo económico relativo del PI con respecto a la empresa

= Re+p*

- Re

(Rg. Eco. Global de la empresa tras llevar a cabo el proyecto)

(Rg. Eco. Global de la empresa antes de llevar a cabo el proyecto)

* (Para calcular Re+p se necesita conocer la correlación entre las variables del proyecto y el resto de las actividades de la empresa).

El resultado de esta operación puede ser mayor, menor o igual a cero:

Riesgo económico relativo < 0: Rep < Re. El proyecto de inversión disminuye el riesgo de la empresa, es decir, contribuye a diversificar su riesgo.

Riesgo económico relativo > 0: Rep > Re. El proyecto de inversión aumenta el riesgo de la empresa.

Riesgo económico relativo = 0: Rep = Re. El proyecto de inversión no varía el riesgo de la empresa.

Este tipo de riesgo del proyecto les interesa a aquellos inversores que tengan todo o la mayor parte de su capital invertido en la empresa (PYMES...), porque lo que busca todo inversor es diversificar su riesgo y en este caso el riesgo del inversor coincidiría con el de la empresa.

Riesgo Económico relativo con respecto a la Economía / a la Cartera de Mercado o riesgo sistemático del proyecto de inversión:

Mide lo que varía el riesgo de la cartera de mercado al introducir el proyecto de inversión. Dado que la cartera de mercado está perfectamente diversificada este riesgo coincide con el riesgo sistemático (no diversificable) del proyecto de inversión. Para estimar este riesgo deberíamos examinar cómo puede verse afectado el proyecto por factores generales de la economía, por ejemplo, su grado de dependencia del ciclo de los negocios, la importancia de los costes fijos, etc. Por otra parte, como sabemos existe un medidor del riesgo sistemático: el coeficiente beta o coeficiente de volatilidad (del TIR del proyecto), pero para calcularlo se necesitaría conocer la correlación entre las variables del proyecto y el rendimiento de la cartera del mercado.

Riesgo Económico relativo del PI con respecto a la cartera de mercado

= Rc+p – Rc =

Riesgo Sistemático del P.I.

(Rc: Riesgo económico global de la cartera de mercado).

- 35 -

Este tipo de riesgo del proyecto les interesa a aquellos inversores que no solo han invertido su capital en la empresa donde se va a llevar a cabo el proyecto sino en una cartera de empresas diversificada (cartera de mercado), porque su riesgo coincide con el de la cartera de mercado.

Dependiendo del tipo de riesgo económico considerado, es posible obtener resultados aparentemente contradictorios en lo que se refiere a la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Por ejemplo, pueden existir proyectos individualmente muy arriesgados, es decir con mucha variabilidad en sus rendimientos (por tanto, no deseables aparentemente para decisores adversos al riego) pero que relacionándolos con la empresa contribuyan a diversificar su riesgo global por lo que son atractivos para los inversores que tienen su capital en esa empresa. Para otros proyectos podría ocurrir lo contrario. Conclusión: Nos interesa considerar, en la medida de lo posible, no tanto el riesgo individual del proyecto de inversión (riesgo económico absoluto), sino su repercusión en la empresa (riesgo económico relativo con respecto de la empresa) o en la cartera de mercado si el inversor ha diversificado (riesgo económico relativo con respecto a la economía o riesgo sistemático). Sin embargo, en muchas ocasiones nos conformaremos con tener en cuenta el riesgo absoluto puesto que resulta mucho más fácil de medir, aunque siquiera de forma intuitiva siempre deberíamos tener en cuenta el riesgo relativo.

Nota: Si suponemos que la cartera de proyectos de inversión de la empresa está perfectamente diversificada el riesgo económico relativo con respecto de la empresa coincidirá con el riesgo sistemático (el resto del riesgo del proyecto se elimina vía diversificación).

Riesgo Económico relativo del PI con

respecto a la empresa

= Re+p – Re =

Riesgo Sistemático

En este caso el riesgo podría estimarse a través del coeficiente β, pero necesitaríamos conocer la correlación entre las variables del proyecto y el rendimiento de la cartera de proyectos de la empresa. 4.4 LAS MEDIDAS DEL RIESGO DE UN PROYECTO DE

INVERSIÓN: Un proyecto de inversión es arriesgado cuando alguna de las variables asociada al mismo es aleatoria. Como solo vamos a considerar el riesgo económico supondremos k variable cierta (= tipo de interés sin riesgo). Pero A y/o Qt si podrán ser variables aleatorias ( tQ

~ , A~ ), lo que implicará que el VAN y el TIR también lo sean.

A la distribución de probabilidades de la variable que delimita la rentabilidad del proyecto ( RI~T ó NA~V ) se le denomina también “perfil de riesgo del proyecto” ya que recoge toda la información y características del riesgo económico absoluto del proyecto de inversión (dispersión o concentración en torno al valor central, asimetría o forma de las colas a derecha e izquierda de la media, kurtosis o apuntamiento/aplastamiento de la distribución, etc.). Sin embargo, trabajar con toda la distribución de probabilidades resulta muy complicado. Sería mucho más operativo encontrar una magnitud que, con un solo dato, aun a costa de perder información, nos diera una idea del riesgo asociado al proyecto.

- 36 -

A continuación estudiaremos algunas de las magnitudes, más consistentes científicamente, que han sido propuestas como medidas de riesgo de un proyecto de inversión (medidores del riesgo económico absoluto). Notas: - La distribución de probabilidades del TIR tiene idéntica forma que la del VAN aunque con

distintas media y varianza (para cada VANi existirá un TIRi o ri con la misma probabilidad Pi).

- Una forma incorrecta de medir el riesgo es hacerlo en proporción al desembolso inicial (considerar que cuanto más se invierte más se puede perder), es muy incompleta y puede dar lugar a decisiones erróneas.

4.4.1 MEDIDORES SIMÉTRICOS DEL RIESGO: a) La varianza de la distribución de probabilidades del VAN o TIR. Momento centrado de segundo orden de la distribución de probabilidades. Si tenemos una distribución del VAN discreta se calcula:

[ ]=

−=σm

1ii

2

i2 PN)A~E(VVANN)A~(V

La expresión para el TIR es semejante. Características de esta medida del riesgo:

- Supone una concepción simétrica del riesgo, (por eso se dice que es un medidor simétrico del riesgo) ya que da la misma importancia a las desviaciones positivas (por encima del valor esperado) que a las negativas (por debajo).

- Mide la dispersión de forma potencial, eleva al cuadrado las desviaciones, luego las amplifica. Inconvenientes:

- Solo recoge el riesgo económico absoluto (recordar que los VANi se calculan con un tipo de actualización k libre de riesgo).

- Reduce información: Todas las características de la distribución de probabilidades del VAN o TIR se reducen a un número que solo recoge la dispersión (no la asimetría, kurtosis etc.).

- Se dice que la varianza sólo es una medida indiscutible del riesgo económico absoluto si la distribución de probabilidades asociada al VAN o el TIR es simétrica, o más correctamente normal. Si por ejemplo existe asimetría en las distribuciones de probabilidades, la varianza no es buena medida del riesgo, ya que puede llevar a error.

b) La Desviación Típica del VAN o TIR

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:

)NA~V()NA~V( 2σ=σ

- 37 -

Características:

- Mide cuánto se desvía, por término medio, el valor efectivo de la variable de su valor esperado.

- También supone una concepción simétrica del riesgo y tiene los mismos inconvenientes que la varianza.

- Una ventaja con respecto a la varianza es que al estar expresada en las mismas unidades que el valor esperado del VAN o TIR es posible compararla con éste.

c) El coeficiente de variación del VAN o TIR

Es el cociente entre la desviación típica y la esperanza matemática.

( ))NA~V(E

NA~V)NA~V(

σ=γ

Características:

- Como la desviación típica, mide la desviación por término medio, del valor efectivo de la variable respecto del valor esperado, pero en términos relativos.

- Igualmente supone una concepción simétrica del riesgo y tiene los mismos inconvenientes que la varianza y la desviación típica.

- Tiene la ventaja respecto a la varianza y desviación típica, de que recoge más información, ya que compara con el valor esperado.

- Cuando el valor esperado tiene valores bajos, aunque la desviación típica sea pequeña, sobre todo si ésta es mayor que el valor esperado, el coeficiente de variación tendrá un valor muy elevado, resultado que debe ser interpretado de forma apropiada.

- Se dice que el coeficiente de variación mide el riesgo económico absoluto en términos relativos.

4.4.2 OTROS MEDIDORES DEL RIESGO ECONÓMICO ABSOLUTO a) La Semivarianza de Markowitz Para las distribuciones asimétricas, se puede utilizar la Semivarianza de Markowitz, que sólo recoge las desviaciones negativas respecto del valor esperado. Si la distribución de probabilidades del TIR es discreta, sería:

( )μ≤

μ−iTIR

i2

i PTIR

Su principal inconveniente es que resulta mucho menos manipulable que la varianza. A la hora de estudiar las posibles correlaciones entre proyectos de inversión u operar simplemente con ella, es mucho menos manejable matemáticamente.

- 38 -

b) La probabilidad de pérdida y otras medidas relacionadas Es la probabilidad de que el VAN efectivo sea menor o igual que cero. Supone, por tanto, una concepción asimétrica del riego, acorde a la idea intuitiva de riesgo: probabilidad de que perdamos. Si la distribución de probabilidades es discreta:

( ) ( )≤

=≤0VAN

i

i

VANP0NA~VP

Relacionadas con la probabilidad de pérdida existen otras medidas del riesgo; una puede ser la probabilidad de que el valor efectivo del VAN (o el TIR) se encuentre fuera de un intervalo delimitado por el valor esperado más o menos n veces la desviación típica, esto es:

[ ]σ>μ− nNA~VP o [ ]σ>μ− nTIRP

Nota: La elección del medidor de riesgo del VAN o TIR depende del concepto de riesgo

que tenga el decisor. 4.5 CÁLCULO DE LA VARIANZA DEL VAN Para su cálculo se pueden emplear dos métodos según las circunstancias:

- Método Directo: se puede aplicar cuando se conoce la distribución de probabilidades del VAN, (tanto si es discreta como continua). En caso de que sea discreta mediante la fórmula:

[ ]=

−=σm

1ii

2

i2 PN)A~E(VVANN)A~(V

- Método Indirecto: se puede aplicar cuando aun sin conocer la distribución de probabilidades del VAN, sí se conoce la de los FNC. Obtenemos la varianza del Van a través de los FNC.

Si suponemos que el desembolso inicial también es variable aleatoria ( )0Q~

A~ ≡− , el VAN está formado

por una combinación lineal de variables aleatorias

( ) ( ) ( )nn

221

0k1

Q~

k1

Q~

k1Q~

Q~

NA~V+

+++

++

+=

Luego se cumplirá:

( ) ( )( )

( )( )

= = +=++

++

σ=σn

0t

n

0t

n

1tjjt

jt

t2t

22

k1

Q~

,Q~

Cov2

k1

Q~

NA~V

Por tanto, en el caso más general, para calcular la varianza de esta forma indirecta necesitamos conocer las distribuciones conjuntas de probabilidades de cada par de FNC (covarianzas), lo cual resulta difícil en especial si los Qt se encuentran parcialmente correlacionados.

- 39 -

Nota: Esta fórmula se simplifica en dos situaciones:

- En el caso de que los Qt sean linealmente independientes (dado que ( )jt Q~

,Q~

Cov = 0):

( ) ( )( )

= +σ

=σn

0tt2

t2

2

k1

Q~

NA~V

- En el caso de que los Qt estén perfectamente correlacionados (dado que

( ) ( ) ( )jtjt Q~

Q~

Q~

,Q~

Cov σσ= ):

( ) ( )( )

2n

0tt

t2

k1

Q~

NA~V

+σ=σ

=

Nota: Cuando existiendo una correlación moderada entre los FNC, se puede definir el proyecto de inversión como un árbol de probabilidades condicionadas, la varianza del VAN se puede calcular por el método directo, ya que en este caso es posible calcular la Distribución de Probabilidades del VAN (y también la del TIR): P21 Q21 Q11 P11 P22 Q22

-A P12 P23 Q23 Q12 P24 Q24 En este caso los valores de los FNC para cada período están condicionados por los del período anterior. En consecuencia, podemos considerar este proyecto de inversión arriesgado como formado por cuatro proyectos de inversión distintos (tantos como ramificaciones tiene el árbol), cada uno de ellos con un VAN y una probabilidad asociada. Luego la distribución de probabilidades del VAN se calcularía:

( )22111

1k1

Qk1

QAVAN

++

++−= ( ) 21111 PPVANP =

( )22211

2k1

Qk1

QAVAN

++

++−= ( ) 22112 PPVANP =

( )22312

3k1

Q

k1Q

AVAN+

++

+−= ( ) 23123 PPVANP =

( )22412

4k1

Qk1

QAVAN

++

++−= ( ) 24124 PPVANP =

- 40 -

4.6 CALCULO DE LAS MEDIDAS DEL RIESGO EN EL TIR: El cálculo directo de la varianza del TIR, si se conoce su distribución de probabilidades (o se puede obtener mediante un árbol de probabilidades condicionadas), no reviste mayores dificultades que en el caso del VAN (es solo aplicar la fórmula). Pero el cálculo indirecto de su varianza a partir de las distribuciones de probabilidades de los FNC es en general, a diferencia de lo que sucede con el VAN, bastante complicado, ya que se trata de calcular la varianza, no de una combinación lineal de variables aleatorias (como sucede con el VAN), sino una combinación de grado n de n+1 variables aleatorias (suponiendo que el desembolso inicial sea también aleatorio). En estos casos, el único medio para obtener la varianza del TIR de forma relativamente sencilla y rápida es por simulación estocástica, aplicando el método de Monte-Carlo.

- 41 -

Tema 5: El riesgo en la selección de P. I.: criterios de decisión.

5.1 LA ESPERANZA MATEMÁTICA DEL VAN: Es el momento centrado respecto del origen de orden uno de la variable aleatoria VAN. Si su distribución de probabilidades es discreta se calcula:

( ) =

=m

1iiipVANNA~VE

Si no conocemos la distribución de probabilidades del VAN, pero conocemos las distribuciones de probabilidad de los FNC se calcula:

( ) ( ) ( )( )

= ++−=

n

1tt

t

k1

Q~

EA~ENA~VE

En esta expresión estamos prescindiendo del supuesto de reinversión (k*), suponemos que el horizonte temporal (n) es conocido con certeza y también que el tipo de actualización es el tipo de interés sin riesgo. Criterio de Decisión:

Se aceptarán todos aquellos proyectos con ( )NA~VE > 0 y se rechazarán los que tengan un ( )NA~VE ≤ 0.

A la hora de jerarquizar, serán más rentables aquellos proyectos que tengan un mayor ( )NA~VE ,

mostrándonos indiferentes ante proyectos que tengan el mismo ( )NA~VE .

Características e Inconvenientes

- Al calcular ( )NA~VE estamos reduciendo la distribución de probabilidades a un solo parámetro, luego se pierde gran parte de la información.

- No tiene en cuenta el riesgo inherente al proyecto de inversión. El criterio se basa exclusivamente en la rentabilidad esperada del proyecto y no se fija en la variabilidad que presenta esta rentabilidad (riesgo).

- No tiene en cuenta la actitud del inversor ante el riesgo.

Debido a estos inconvenientes, este criterio tiene escasa utilidad en la valoración de proyectos de inversión arriesgados, sin embargo puede ser adecuado si se cumplen simultáneamente cuatro condiciones (lo cual es muy improbable):

- El proyecto es repetitivo. - El proyecto es independiente (del resto de actividades de la empresa). - Los resultados posibles no alcanzan valores extremos. - La empresa puede hacer frente a la posibilidad más adversa. Este criterio también podría ser adecuado para el caso de que el decisor sea neutral al riesgo (no valora el riesgo luego solo le preocupa la rentabilidad esperada). En conclusión, necesitamos encontrar procedimientos que recojan (en un solo número) rentabilidad, riesgo del proyecto y actitud del decisor ante el riesgo.

- 42 -

5.2 LA UTILIDAD ESPERADA DEL VAN: Este es un criterio de gran interés conceptual pero de escasa utilidad práctica. Es el más perfecto teóricamente (los otros métodos se fundamentan en él) pero se utiliza poco en la práctica por su complejidad y porque requiere mucha información. Para aplicar el criterio de la Utilidad Esperada del VAN seguiremos los siguientes pasos:

1. Obtener una función de utilidad para el decisor: U = f(VAN), que medirá cuánto le satisface un incremento de riqueza para la empresa originado por un proyecto cierto, medido a través del VAN.

2. Cuando el proyecto no sea cierto, es decir, el VAN sea variable aleatoria, necesitaremos conocer su

distribución de probabilidades para calcular su utilidad esperada: UE(VAN) = E[U(VAN)].

( ) ( ) ( )=

=m

1iii VANP xVANUVANUE

3. Criterio de decisión: ordenar los proyectos según su mayor o menor UE(VAN), y realizar únicamente aquéllos cuya utilidad esperada sea mayor que la utilidad de un incremento nulo de riqueza: UE(VAN) > U(0).

En relación con la utilidad esperada del VAN podemos definir un concepto muy interesante, el Equivalente Monetario Cierto (EMC) de un proyecto de inversión arriesgado: aquel valor de riqueza cierto cuya utilidad es igual a la utilidad esperada del proyecto.

U(EMC) = UE(VAN)

Para el decisor resulta indiferente ganar el EMC (ese valor cierto de riqueza) seguro o emprender el proyecto de inversión arriesgado, es decir el EMC nos dice la cantidad cierta de dinero por la que el decisor está dispuesto a cambiar el proyecto de inversión arriesgado. La importancia de conocer el EMC radica en que se puede utilizar en sí como criterio de decisión: serán rentables aquellos proyectos de inversión arriesgados cuyo EMC sea mayor que cero (EMC>0), y se ordenarán los proyectos conforme a su mayor EMC. Nota: Comparando el EMC con ( )NA~VE se puede determinar la actitud del decisor ante el riesgo:

Si EMC < ( )NA~VE → Decisor adverso al riesgo. Si EMC > ( )NA~VE → Decisor propenso al riesgo. Si EMC = ( )NA~VE → Decisor neutral al riesgo. Ventajas e Inconvenientes de este método:

Ventajas (teóricas):

- Considera todo el riesgo del proyecto, es decir, toda la distribución de probabilidades del VAN del proyecto.

- Podemos suponer que incorpora el riesgo económico relativo e incluso el riesgo financiero, siempre que la forma concreta de la función de utilidad (para cada proyecto) dependa de la riqueza actual del decisor y de la relación entre esa riqueza y el nuevo proyecto. Es decir, la función de utilidad puede incorporar el riesgo total en que incurre la empresa por afrontar el proyecto de inversión aleatorio.

- 43 -

Inconvenientes (prácticos):

- Este criterio no se puede aplicar si se desconoce la distribución de probabilidades del VAN del proyecto, la cual, en la práctica es difícil de definir.

- La decisión de invertir en una empresa es colectiva, la toma un conjunto de individuos estructurado (relacionado jerárquicamente), y construir una función de utilidad para un colectivo jerarquizado es muy difícil (aunque no tanto funciones de utilidad para un individuo).

- La función de utilidad sería distinta para cada proyecto, pues las circunstancias de riqueza de la empresa cambian, por lo que este método, para ser operativo, tendría un gran coste. Únicamente podríamos suponer una función de utilidad constante si las condiciones generales cambiasen muy poco.

Por estas razones, aunque sea interesante desde un punto de vista conceptual, este método ha encontrado escasa aplicación práctica, a pesar de que se ha empleado en algunas empresas para medir la actitud de sus directivos ante el riesgo. Los métodos siguientes, más utilizados en la práctica, tienen como objetivo encontrar una expresión más sencilla de la UE(VAN) o del EMC del proyecto sin recurrir a una función de utilidad.

5.3 EL AJUSTE AL RIESGO DEL TIPO DE ACTUALIZACIÓN Consiste en calcular el EMC del proyecto actualizando los E(Qt) a un tipo resultante de añadir al tipo de actualización sin riesgo, k, una prima p, llamada prima de riesgo, que dependerá del riesgo asociado al proyecto (absoluto o relativo).

( )= +

+−=n

1tt

t

s1

)Q~E(AEMC s = k + p

Como vemos, este método es equivalente a calcular el VAN esperado pero con un tipo de actualización ajustado a riesgo. Su ventaja radica en que es muy sencillo de aplicar y en que no necesita conocer la distribución de probabilidades del VAN ni la función de utilidad del decisor. El problema, sin embargo, estriba en el cálculo de p (prima de riesgo). Procedimientos para calcular p:

a) De forma subjetiva, según la apreciación del decisor.

b) Formalizando la subjetividad, obteniendo una p mayor a medida que se incrementa el riesgo del proyecto. Si consideramos únicamente el riesgo económico absoluto, una forma de calcular p sería por ejemplo: p = f [γ ( )NA~V ]

s k

γ(VAN) En cualquier caso, la forma de la curva sigue siendo subjetiva, y además este procedimiento no tiene en

cuenta el riesgo relativo del proyecto.

P = prima de riesgo

- 44 -

c) En el caso de que los nuevos proyectos no modifiquen significativamente el riesgo (económico y financiero) de la empresa, es decir, cuando se cumpla simultáneamente que:

- El riesgo económico relativo del proyecto con respecto de la empresa sea nulo (o casi nulo). - La estructura financiera de la empresa permanece constante tras la introducción del proyecto. Entonces puede utilizarse un tipo de actualización ajustado a riesgo y objetivo: el coste medio ponderado de los recursos financieros o coste medio ponderado del capital :

s = coste medio ponderado del capital (CMPC). E = recursos propios. D = deudas Ke = coste de los recursos propios K = coste de la deuda o tipo de actualización libre de riesgo del mercado de capitales

( )DE

Dk

DEE

kDE

Ekk

DED

kDE

Eks ee +

++

++

−=+

++

=

( ) pkDE

Ekkks e +=

+−+=

( )DE

Ekkp e +

−=

d) Para los casos en los que el riego relativo sea distinto de cero, también se puede tomar como base el

CMPC pero incrementándolo o disminuyéndolo según el efecto del proyecto sobre el riesgo total de la empresa (riesgo relativo). Pero esta relación también sería subjetiva s = CMPC + p (en función del riesgo relativo)

e) Se puede definir un tipo de actualización objetivo adecuado al riesgo relativo del proyecto utilizando las teorías de selección de carteras y de equilibrio en el mercado de capitales. El tipo de actualización ajustado al riesgo sería la rentabilidad exigida a ese proyecto en función de su riesgo sistemático. (Identificamos riesgo relativo con riesgo sistemático). Nota: El Modelo de Equilibrio General del Mercado de Capitales (CAPM) nos da la

rentabilidad esperada de un título arriesgado en función de su riesgo sistemático

Ei = RF + (EM - RF) βi

Aplicando el CAPM a las inversiones podemos calcular s (rentabilidad exigida al proyecto de inversión arriesgado) de la siguiente forma:

( ) ( )r~,R~cov RRERpks mFFmF λ+=β−+=+=

siendo:

RF = k = tipo de actualización sin riesgo o rentabilidad de un activo sin riesgo. Rm = rendimiento de la cartera del mercado o conjunto de la economía, o rendimiento de la cartera de proyectos de la empresa. r = TIR del proyecto. Em = valor medio o esperado de Rm. Cov (Rm, r) = correlación entre la rentabilidad del proyecto y la de la economía o la empresa.

β = riesgo sistemático del proyecto = ( )

2m

m r~,R~covσ

- 45 -

λ = ( )

2m

Fm RE

σ−

precio de mercado del riesgo: prima exigida por cada unidad adicional de riesgo.

p = (Em – RF) β = λ cov (Rm, r) = prima de riesgo del proyecto. Con este método calculamos la prima de riesgo en función del riesgo sistemático del proyecto de inversión que puede depender:

- De la covarianza entre el TIR del proyecto y el rendimiento de la cartera de mercado (si los propietarios de la empresa han diversificado su capital).

- De la covarianza entre el TIR del proyecto y el rendimiento del conjunto de los proyecto o cartera de proyectos de la empresa (si los propietarios tienen la mayor parte de su capital invertida en la empresa y el nuevo proyecto supone solo una un pequeña parte del capital total de la empresa). En este caso estaríamos suponiendo que la cartera de proyectos de la empresa está perfectamente diversificada.

Es decir la prima de riesgo calculada estará en función del riesgo relativo con respecto de la empresa o con respecto de la economía según el caso.

Este método resulta muy útil si el nuevo proyecto modifica el riesgo económico de la empresa, siempre que sea posible calcular ( )r~,R~cov m o β, al menos de forma aproximada.

Nota: En este caso, hemos supuesto que ( )r~,R~cov m es constante a lo largo de la vida del proyecto, así como λ.

Notas: - En este método el riesgo se considera de forma global para todo el proyecto ya que se

calcula una sola s constante para todos los períodos.

- Siempre que p sea positiva, EMC < E(VAN), luego implícitamente suponemos que el decisor es adverso al riesgo.

5.4 LA REDUCCIÓN A CERTEZA DE LOS FLUJOS NETOS DE

CAJA 5.4.1 PLANTEAMIENTO: Este método calcula el EMC del proyecto actualizando a un tipo (o tipos) sin riesgo (k o kt) los EMC de cada flujo neto de caja.

( )= +

+−=n

1ttt

k1

)Q~

EMC(AEMC

Para un cálculo correcto de los EMC de cada FNC tendríamos que conocer las distribuciones de probabilidad de los FNC y la función de utilidad del decisor para cada período, luego el proceso sería incluso más complicado que el cálculo directo de la UE(VAN). (Se plantearía UE(Qt) = U(EMC(Qt)). En la práctica los EMC de los FNC se obtienen multiplicando )Q~E( t por un coeficiente αt, siendo 0 < αt < 1,

que será menor cuanto mayor sea el riesgo del FNC, absoluto o relativo:

- 46 -

EMC(Qt) = α t )Q~

E( t → )Q

~E(

)Q~

EMC(

t

tt =α (se supone aversión del decisor al riesgo)

¿Cómo se calculan los αt?

Desde un punto de vista teórico estricto, como ya hemos dicho, habría que calcularlos a través de la determinación de los EMC de los FNC partiendo de sus distribuciones de probabilidad y de la función de utilidad del decisor para cada período. Pero, muchas veces, en la práctica, los αt se calculan de una forma subjetiva, a juicio del decisor, o formalizando dicha subjetividad suponiendo una relación subjetiva entre los αt y un medidor del riesgo de los FNC, por ejemplo, el coeficiente de variación. Representando en un gráfico esta relación tendríamos: ν )Q

~( t

αt Como se observa en el gráfico, cuanto más grande sea ν(Qt) más pequeño será αt . Ahora bien, la relación entre ambos valores será subjetiva, la deberá determinar el decisor. Nota: La correcta aplicación de este método exige que los FNC sean independientes, ya que

para determinar los coeficientes αt estamos teniendo en cuenta el riesgo asociado al FNC del período, pero no la posible interrelación entre éste y los demás flujos. No tenemos en cuenta el riesgo de forma global del proyecto, sino el riesgo período a período.

5.4.2 COMPARACIÓN CON EL MÉTODO ANTERIOR: Robicheck y Myers han investigado las condiciones para que ambos métodos sean equivalentes de forma estricta.

En principio serán equivalentes de forma débil si:

( ) ( )== +

α+−=

++−

n

1tt

ttn

1tt

t

k1

)Q~

E(A

s1

)Q~

E(A

Ahora bien, la equivalencia estricta o fuerte requeriría que, para todo t:

( ) ( )ttt

tt

k1

)Q~

E(

s1

)Q~

E(

+α

=+

Es decir, la equivalencia debería darse para todos los períodos, esto es, todos y cada uno de los sumandos que determinan el EMC deberían ser iguales.

- 47 -

Para que esto se cumpla debe producirse para todo t:

( ) ( )tt

t k1s1

1

+α=

+ → ( )

( )t

t

ts1

k1

++=α

y como:

( )( ) 1

s1k1

;s1

k1

t

1t1t

1t

1t <++=

αα

++=α +

+

+

+

Ya que k < s, (siempre que supongamos decisores adversos al riesgo). Luego para que ambos métodos sean estrictamente equivalentes se debe cumplir que αt+1 < αt . En consecuencia, suponer una prima de riesgo constante en el tipo de actualización equivale a establecer que los coeficientes de reducción de los FNC a condiciones de certeza son decrecientes, o lo que es lo mismo, que el riesgo de los FNC más alejados es siempre mayor que el de los más próximos, lo cual no siempre es cierto. Ejemplo: lanzamiento de un nuevo producto, plantaciones forestales, ganadería, etc. El método de reducción de los FNC a condiciones de certeza, es por tanto más flexible que el anterior (considera el riesgo período a período) y, debido a ello, Robicheck y Myers concluyen que es teóricamente superior. Sin embargo, esta última afirmación resulta un tanto discutible. Como indica el profesor Suarez, la diferencia fundamental entre ambos métodos estriba en que en el primero (tipo de actualización ajustado a riesgo) se considera al proyecto como un todo, mientras que en el segundo se valoran los Qt separadamente. Dado que normalmente estarán correlacionados, el proyecto debería ser considerado globalmente, como un todo unitario (luego, según Suarez es superior el método de ajuste a riesgo de la tasa de actualización). Además, siempre cabría la posibilidad de calcular primas de riesgo, de una forma subjetiva, para cada uno de los períodos, y no a partir de una única prima de riesgo constante para todo el proyecto. Notas: - Estos dos últimos métodos, aunque mucho más simples que la UE(VAN) también recogen

rentabilidad y riesgo del proyecto, y actitud ante el riesgo del decisor. - El tipo de riesgo recogido por ellos dependerá de la forma en que se halla calculado la

prima de riesgo (p) o los αt.

- 48 -

ANEXO CONDICIÓN DE EQUIVALENCIA ESTRICTA ENTRE EL MÉTODO DE AJUSTE A RIESGO DE LA TASA DE ACTUALIZACIÓN Y EL DE REDUCCIÓN A CERTEZA DE LOS FNC

= +

+−=n

0tt

t

)s1()Q(EAEMC

= +

α+−=

n

0tttt

)k1()Q(EAEMC

Esta condición significa también que si se da la equivalencia estricta se cumpliría la siguiente relación entre los tα de los distintos períodos:

)s1()k1(

t

1t

++

=α

α +

donde influye la actitud ante el riesgo del decisor que es lo que determina la relación entre “s” y “k”: INVERSOR ADVERSO (s > k) para que se de la equivalencia estricta:

t1tt

1t 1 α<α<α

α+

+

tα decrecientes con el paso del tiempo riesgo creciente los FNC más alejados, son los mas arriesgados.

INVERSOR PROPENSO (s < k) para que se de la equivalencia estricta:

t1tt

1t 1 α>α>α

α+

+

tα crecientes con el paso del tiempo riesgo decreciente los FNC más alejados, son los menos arriesgados.

INVERSOR NEUTRAL (s = k) para que se de la equivalencia estricta:

t1tt

1t 1 α=α=α

α+

+

tα constantes con el paso del tiempo riesgo constante todos los FNC son igual de arriesgados.

EQUIVALENCIA ESTRICTA EQUIVALENCIA DEBIL

Según Robicheck y Myers el Método de Reducción a Certeza de los FNC es teóricamente superior (porque considera el riesgo período a período). Según el profesor Suarez, es superior el de Ajuste a Riesgo de la tasa de actualización.

Condición de equivalencia estricta

→∀t tt

)s1()Q(E

+= t

tt

)k1()Q(E

+α

t

t

t )s1()k1(

++

=α

- 49 -

Tema 6: E l Cos te de las Fuen tes F inanc ie ras .

6.1. INTRODUCCIÓN: En este tema vamos a aprender a calcular el CMPC, para ello empezaremos por hallar el coste de cada fuente financiera utilizada por la empresa y seguidamente calcularemos una media ponderada con los costes de todas ellas teniendo en cuenta su participación sobre el total de la financiación. Al hablar de coste de un recurso financiero nos referimos a su coste marginal, es decir, al coste de la nueva financiación, lo que costaría hoy obtener ese recurso financiero. Para cada recurso financiero tenemos que diferenciar entre dos tipos de coste:

- Coste Explícito. - Coste Implícito. A) COSTE EXPLÍCITO o COSTE FINANCIERO:

Definiciones: Tasa de actualización que iguala el valor actual de las entradas con el valor actual de las salidas de

tesorería asociadas a la obtención de un recurso financiero. TIR o rentabilidad mínima que debe alcanzar un proyecto de inversión financiado con ese recurso

financiero para que el valor absoluto de la empresa permanezca constante, es decir para que no se altere la riqueza absoluta de los propietarios o accionistas.

Conclusión: el coste explícito no es coherente con el objetivo financiero de la empresa, el cual nos exige emplear el capital de forma que se consigan los máximos resultados posibles (para maximizar el valor de la empresa). Este concepto de coste no representa correctamente, por tanto, el coste de una fuente financiera. Definimos un nuevo concepto de coste: B) COSTE IMPLÍCITO:

Definiciones: TIR o rentabilidad mínima que debe alcanzar el proyecto de inversión financiado con ese recurso

financiero para que el valor relativo de la empresa no se vea alterado (es decir, para que se mantenga el valor de cotización de las acciones.)

También se define como coste de oportunidad, es decir como el TIR de la inversión más rentable

que se deja de realizar con el mismo nivel de riesgo.

- 50 -

Lo que nos va a interesar a la hora de calcular el CMPC es el coste implícito de los recursos financieros ya que es el concepto de coste más coherente con el objetivo financiero de la empresa (nos exige elegir siempre la alternativa más rentable, además representa mejor el coste de los recursos financieros). Sin embargo, en algunas ocasiones, utilizaremos el coste explícito, dado que es más sencillo de calcular pero siempre considerándolo como una buena aproximación al coste implícito. Notas: - Se dice que el coste explícito surge cuando la empresa se financia, es decir, cuando se

obtienen los recursos financieros (independientemente de que los utilice o no). - Se dice que el coste implícito surge cuando la empresa emplea los recursos financieros

(en el momento de la inversión). - No todos los recursos financieros tienen coste explícito (el coste explícito es cero

siempre que no haya una obligación formal de remunerar a la fuente financiera), pero todos tienen coste implícito.

6.2. EL COSTE DE LOS EMPRÉSTITOS: Los empréstitos son emisiones de títulos de renta fija (obligaciones y bonos) a medio y largo plazo. Vamos a suponer que el coste implícito de los empréstitos, y por ampliación en general el de cualquier tipo de endeudamiento (que genere una obligación de realizar desembolsos periódicos de intereses y reembolso), coincide con su coste explícito. Por lo tanto vamos a calcular el coste explícito del empréstito considerando que es una buena aproximación al implícito. Hay que distinguir entre: a) Coste del empréstito en el momento de su emisión. b) Coste del empréstito en un momento posterior a su emisión. a) COSTE DEL EMPRÉSTITO EN EL MOMENTO DE SU EMISIÓN: Coste explícito: tasa de actualización que iguala el valor actual de las entradas con el valor actual de las salidas asociadas a la emisión del empréstito (coincidiría con el tipo de interés efectivo del empréstito). E0 S1 S2 Sn 0 1 2 n E0 = entrada de dinero = Nominal – prima de emisión – gastos de emisión. St = salida de dinero = Amortización de capital + intereses. Planteamos:

( )= +

=n

1tt

t0

k1

SE

- 51 -

Donde k sería el coste explícito del empréstito, calculado de forma correcta siguiendo la definición. Este cálculo no es complicado, sin embargo para hacerlo aún más sencillo, nosotros en la práctica utilizaremos una fórmula simplificada:

)T1(GPn

)GP()RN(Ni

k −−

−−++=

N = Nominal de cada título. R = Prima de reembolso por título. (N + R = valor de reembolso por título) P = Precio de emisión por título = N – Prima de emisión. G = Gastos de emisión por título. (P – G = dinero que entra por título) i = Tipo de interés nominal anual. Ni = cupón. T = Tipo de gravamen. n = vida o duración o vencimiento medio del empréstito (no confundir con duración del empréstito, solo

coinciden cuando se amortiza todo el empréstito al final de su vida, es decir, cuando no hay amortización escalonada).

Esta expresión calcula el coste como la salida neta media anual por u. m. recibida por la empresa. Se trata de un cálculo aproximado pero es el que se utiliza en la práctica. b) COSTE DEL EMPRÉSTITO EN UN MOMENTO POSTERIOR A SU EMISIÓN: Con la expresión anterior podemos calcular el coste de un empréstito en circulación en el momento en que fue emitido, conocidos todos los datos (N, i, R,...). Pero lo que nos interesa es el coste marginal del empréstito, es decir, queremos saber cuánto nos costaría emitir un empréstito en el momento actual (en realidad lo que queremos calcular es el coste de un nuevo empréstito que aun no ha sido emitido).

COSTE DEL EMPRÉSTITO EN EL MOMENTO ACTUAL (1)

=Rentabilidad que el mercado exige en el momento actual a un empréstito con el nivel de riesgo de La empresa.* (2)

* Si se ofreciese menor rentabilidad el empréstito no se colocaría, y no tiene sentido ofrecer más. ¿Cómo se puede calcular esa rentabilidad que exige el mercado a la empresa?. Acudiendo al propio mercado, fijándonos en la rentabilidad que está ofreciendo un empréstito antiguo emitido por la misma empresa anteriormente y todavía en circulación. Es decir:

(1) = (2) =

Coste de un Empréstito hipotético emitido en el momento actual con las mismas condiciones que el antiguo (N, i, R) y con un precio de emisión = valor de cotización del empréstito antiguo en el momento actual.*

* De tal manera que si emitiésemos un empréstito de estas características cualquier individuo estaría indiferente entre comprar un título antiguo en el mercado o un título de esa hipotética emisión. (estaría dando justo la rentabilidad que exige el mercado al empréstito antiguo en un momento posterior a su emisión, el momento actual, es decir el coste del empréstito antiguo en el momento actual).

- 52 -

En definitiva, el coste del empréstito que estamos buscando a efectos del cálculo del CMPC se calcula de forma aproximada con la fórmula siguiente:

)T1(GPm

)GP()RN(Ni

k00

00

−−

−−++

=

N, i, R = datos tomados del empréstito antiguo en circulación. P0 = precio de cotización por título antiguo en el momento actual. G0 = gastos de emisión por título que habría en el momento actual si se emitiera un nuevo empréstito. m = vida media o vencimiento medio que le resta al empréstito antiguo en el momento t. También

coincide con el vencimiento medio del empréstito hipotético. Notas: - Si la empresa no tuviera un empréstito antiguo en circulación en el momento actual que

cotizase en bolsa, entonces puede conocer el coste del empréstito en el momento actual fijándose en el tipo de interés efectivo ofrecido por emisiones actuales, de características parecidas a las de la empresa, y realizadas con éxito. Inconvenientes:

• Es difícil encontrar dos empresas iguales en cuanto a nivel de riesgo y rentabilidad. • El hecho de que una emisión tenga éxito no garantiza que la rentabilidad proporcionada

por esa emisión sea la deseada por el público. Cualquier emisión con una rentabilidad superior a la deseada se colocará inmediatamente.

- En los cálculos se está suponiendo que el tipo impositivo del IRPF coincide con el tipo

impositivo del IS. Se supone además que el mercado financiero funciona de forma eficiente (es decir, el precio de cotización refleja el verdadero valor de los títulos).

- 6.3. EL COSTE DE LAS AMPLIACIONES DE CAPITAL: Es un coste exclusivamente implícito. Cuando se amplía capital social, salvo que se trate de acciones preferentes, (las que tienen derecho a dividendos por estatutos) la empresa no tiene obligación formal de pagar ningún tipo de dividendos ni otras remuneraciones a los aportantes de estos recursos. Por lo tanto, el coste explícito de la ampliación de capital social podría considerarse que es igual al de una subvención a fondo perdido, es decir de –100% (el valor absoluto de la empresa, respecto de la situación anterior a la ampliación se mantendrá constante aunque la empresa pierda todo el importe de la misma). Ahora bien, aunque no exista obligación formal de hacer pagos a los accionistas, éstos piden a la empresa que obtenga (de los fondos que le prestaron) la máxima rentabilidad posible (al menos tan alta como la que podrían obtener en cualquier otra inversión, externa a la empresa, con el mismo nivel de riesgo). De no ser así los accionistas comenzarán a vender sus títulos, lo que provocará una caída en la cotización de las acciones de la empresa, es decir una disminución en el valor relativo de la empresa (menor riqueza para los accionistas que aun quedan en la empresa). En definitiva, el coste implícito de la ampliación de capital social (o simplemente de los recursos propios), será el TIR o rentabilidad mínima que debe alcanzar un proyecto de inversión financiado con la ampliación de capital para que el valor relativo de la empresa no se vea alterado, es decir para que la cotización de sus títulos, en un mercado eficiente, no descienda como consecuencia de la ampliación.

- 53 -

También puede definirse como la rentabilidad mínima que la empresa debe obtener de los fondos proporcionados por los accionistas, para que el rendimiento obtenido por éstos al invertir en la empresa sea al menos igual a la inversión alternativa más rentable con el mismo nivel de riesgo, es decir, el coste implícito de al ampliación coincidiría resumiendo con la rentabilidad mínima “deseada” por los accionistas para su inversión en la empresa. El coste concreto de cada ampliación va a depender del precio al cual se realice la ampliación, así como de las circunstancias de cada empresa. Comenzamos el análisis desde los casos más sencillos hacia los más difíciles:

1- AMPLIACIÓN DE CAPITAL REALIZADA AL PRECIO DE COTIZACIÓN (el precio de emisión de las acciones nuevas(P1) coincide con el precio de cotización de las acciones antiguas (P0):

Se pueden plantear diferentes circunstancias: a) Empresa Estacionaria:

Empresa sin estímulos de crecimiento ya que la rentabilidad esperada de sus nuevas inversiones es idéntica a la rentabilidad obtenida en las antiguas.

Características:

- Solo realiza inversiones de reposición o mantenimiento, no de ampliación. - Todo el beneficio después de impuestos se reparte en forma de dividendos. - Los dividendos por acción permanecen constantes a largo plazo.

La fórmula aproximada que utilizaremos para el cálculo del coste en este caso es:

0

e P)D(E

k =

Ke = rentabilidad mínima deseada por el accionista = coste de la ampliación. E(D) = Valor esperado de los dividendos. P0 = Desembolso inicial o precio de cotización de las acciones.

b) Empresa en crecimiento:

Caso más frecuente. Empresa en la que existen estímulos de crecimiento ya que la rentabilidad esperada de los nuevos proyectos supera a la de los antiguos.

Características:

- La empresa puede retener beneficios para nuevas inversiones, luego el beneficio después de impuestos no coincide con el dividendo repartido.

- Los dividendos no tienen porqué ser constantes a largo plazo.

En esta situación resulta más complicado el cálculo de ke, por eso solo estudiamos algunas de las aproximaciones más significativas: b.1 Los dividendos crecen a una tasa constante y acumulativa anual = C. En este caso:

CP

)D(Ek

0e +=

- 54 -

b.2 Los dividendos esperados son constantes pero hay plusvalías que recogen la rentabilidad esperada de los beneficios retenidos (dividendos y plusvalías se espera sean constantes en el futuro).

Plusvalía: aumento en el precio de cotización de las acciones como consecuencia de la rentabilidad que se espera sea capaz de generar la empresa de los beneficios retenidos (incluyen también los precios de los cupones por posibles ampliaciones).

0

e P)P(E)D(E

kΔ+=

E(ΔP) es la plusvalía anual esperada.

b.3 Tanto los dividendos como las plusvalías crecen a una tasa constante y acumulativa anual C.

CP

)P(E)D(Ek

0e +Δ+=

Nota: En cualquiera de las cuatro fórmulas vistas, si existiesen gastos de emisión se restarían al P0.

c) Aplicando la teoría del equilibrio en los mercados de capitales (CAPM):

Las anteriores expresiones del coste del capital social no implican la existencia de equilibrio en el mercado de capitales. Pero teniendo en cuenta que se ha definido el coste del capital como la rentabilidad mínima que los accionistas desean obtener de su inversión en la empresa, una estimación del mismo compatible con la existencia de dicho equilibrio es el rendimiento esperado por el mercado de las acciones de la empresa según el CAPM: Ke ≡ Ei = RF + (Em – RF) βi Siendo: Ke ≡ Ei: Rendimiento esperado por el Mercado de la acción emitida por la empresa “i”, o coste de la ampliación de capital. RF: Rendimiento del activo financiero sin riesgo. Em: Rendimiento esperado de la cartera de mercado. βi : Coeficiente de volatilidad del título, como medida de su riesgo sistemático. (Em – RF): Prima de riesgo del Mercado.

2- AMPLIACIÓN DE CAPITAL REALIZADA A PRECIO DISTINTO DEL DE COTIZACIÓN (P1 ≠ P0): Puede demostrarse que:

( )( )( ) Ke

Pnnnn

nR*VcnPnPnne'K

12110

211020

++−+

=

Donde: n0 = número de acciones antiguas.

- 55 -

n1 = número de acciones nuevas que se espera sean suscritas por antiguos accionistas. n2 = número de acciones nuevas que se espera sean suscritas por nuevos accionistas. n = número de acciones después de la ampliación. Ke’ = coste de la ampliación de capital realizada a P1 ≠ P0. Ke = coste de la ampliación de capital, si ésta se hubiese realizado al precio de emisión (P1 = P0). Vc* = valor esperado para la cotización del cupón que refleja el derecho preferente de suscripción de los antiguos accionistas. R = n0/(n1+n2): proporción entre el número de acciones antiguas y el de acciones nuevas, o número de cupones que resulta necesario poseer para adquirir una acción nueva. Esta fórmula se simplifica en las siguientes circunstancias: - Si la ampliación es suscrita íntegramente por los antiguos accionistas, n2 = 0, con lo que puede

demostrarse fácilmente que k’e = ke. - Si la ampliación es suscrita íntegramente por nuevos accionistas y los antiguos renuncian a su derecho

de suscripción preferente, entonces n1 = 0 y V*c = 0, con lo que K’e = (P0/P1) ke. - Si el valor de cotización esperado del derecho preferente de suscripción (Vc*), coincide con su valor

teórico, es decir, se cumple: V*c = (P0 - P1)/(1+R), entonces puede demostrarse que ke’ y ke coinciden. Si esto ocurre, cuando la ampliación se realiza a precio diferente del de cotización, podemos utilizar –para calcular el coste de la ampliación- las mismas expresiones utilizadas cuando los precios de emisión y cotización de las acciones coincidían.

3- CASOS ESPECIALES: Empresas individuales o con pocos socios. El coste puede conocerse directamente. Basta con

preguntar a los socios cuál es la rentabilidad que exigen a su inversión en la empresa. Empresas con un capital muy disperso y que no cotizan en bolsa. El coste de la ampliación puede

calcularse por comparación con otra empresa que si cotice en bolsa. También usando la siguiente expresión: Coste de Capital Social = Coste de las Deudas + Prima por riesgo (es necesario que la prima se mantenga constante en el espacio y en el tiempo).

Nota: El coste del capital social es difícil de calcular. El cálculo que nosotros hacemos es

solamente un cálculo aproximado.

6.4. EL COSTE DE LAS DEUDAS A LARGO Y MEDIO PLAZO Generalmente se refiere al coste explícito, y por tanto se obtiene de forma similar al de los empréstitos, esto es, como el tipo de actualización que iguala el valor actual de las entradas con el valor actual de las salidas de tesorería asociadas a la obtención del recurso financiero (coincide con el tipo de interés efectivo del préstamo después de impuestos) o de forma aproximada, como salida neta media por unidad monetaria recibida.

- 56 -

6.5. EL COSTE DE LOS BENEFICIOS RETENIDOS Beneficio retenido: parte del beneficio que no se distribuye, que se queda en la empresa en forma de reservas. El coste relevante de estos recursos financieros es el coste implícito. Esos beneficios pertenecen a la empresa y por lo tanto a los accionistas, por lo que en realidad se pueden considerar como un préstamo que hacen los accionistas a la empresa, es decir, como una ampliación de Capital Social. Por eso, en principio el coste de las reservas o beneficios retenidos se asimila al coste de la ampliación de Capital Social, porque la rentabilidad que exigirán los accionistas a esos beneficios retenidos será similar a la que le exigen a una ampliación de Capital. No podemos decir que ambos costes son exactamente iguales dado que: 1. En el mercado existen costes de transacción, lo que supone que los gastos de la ampliación de capital

superan a los gastos de retener beneficios. Esto nos lleva a pensar que el coste de los beneficios retenidos debe ser ligeramente menor al coste de la ampliación de capital.

2. El tratamiento fiscal dado a los beneficios retenidos es diferente al dado a los dividendos. El dividendo supone a los accionistas una retención, un pago inmediato, mientras que el beneficio retenido sólo tributa cuando existen plusvalías y éstas se hacen efectivas.

Luego, para que coincidiesen exactamente ambos costes sería necesario que se cumplieran dos supuestos: a) No existen costes de transacción en el mercado, es decir no hay gastos de emisión en la ampliación de

capital. b) No existen impuestos, o si existen, el tratamiento de los dividendos y de las plusvalías es el mismo. En circunstancias normales, con costes de transacción y tratamiento impositivo más favorable a la retención de beneficios, el coste de esta es ligeramente inferior al de una ampliación de capital social. Por otra parte, hay que tener en cuenta que, al calcular el coste del capital social teniendo en cuenta el valor de mercado de las acciones, en él está incluido el valor de todos los recursos propios, incluyendo los beneficios retenidos, luego ese coste incluirá también el de este recurso financiero.

6.6. EL COSTE DE LAS AMORTIZACIONES Y PROVISIONES Tanto las amortizaciones como las provisiones, no suponen nueva financiación ni nueva tesorería que entre a la empresa de fuera. Suponen simplemente la transformación de activos no líquidos (fijos) en disponibilidades líquidas (tesorería). BENEFICIOS = INGRESOS - GASTOS

• Gastos que suponen salida de tesorería. • Gastos que no suponen salida de tesorería (amortizaciones y provisiones).

De modo que amortizaciones y provisiones minoran la cifra de beneficios, así esa parte del beneficio no hay que repartirla ni llevarla a reservas, sino que tiene dos posibles destinos:

- 57 -

a) Mantenimiento del stock de capital de la empresa (reposición de las inversiones de activo fijo). b) Reembolso recursos financieros: deuda o capital social. Las disponibilidades líquidas se reinvertirán en la empresa, esto es, se escogerá la primera alternativa, si la rentabilidad obtenida por esas inversiones es superior al coste que la empresa ahorra dedicando esas disponibilidades a reembolsar recursos financieros. Por tanto, ese será el “coste de oportunidad de la inversión”. ¿Cuál es ese coste? Si se supone que la empresa desea mantener constante su estructura financiera, al reinvertir está renunciando a reembolsar capitales y deudas en la misma proporción en que se encuentran en la empresa. Es decir, está renunciando a ahorrarse un coste igual al CMPC. Conclusión: El coste de financiar inversiones con la liquidez que surge vía amortizaciones y provisiones, es decir, el coste de mantener el stock de capital, es un coste implícito (coste de oportunidad) y coincide con el CMPC.

6.7. EL COSTE DE LAS DEUDAS A CORTO PLAZO Distinguimos dos tipos de deudas a corto plazo:

A) Deudas a corto plazo con coste explícito: créditos o préstamos bancarios a corto plazo, descuento comercial, financiación de proveedores (si conceden descuento por pronto pago) etc. Su coste se calcula como el de los empréstitos o préstamos a largo plazo, de forma exacta o de forma aproximada.

B) Deudas a corto plazo sin coste explícito: Deudas con Hacienda, Seguridad Social, trabajadores, proveedores que no ofrezcan descuento por pronto pago... En este caso habría que calcular su coste implícito, para ello se puede suponer que éste se asimila al coste explícito de las deudas tipo A, ya que si la empresa no pudiera disponer de la financiación de Hacienda... no le quedaría más remedio que acudir a financiación con coste explícito, por ejemplo un préstamo a corto plazo.

6.8. EL COSTE MEDIO PONDERADO DEL CAPITAL

CMPC: Media ponderada de los costes de las distintas fuentes de financiación de la empresa.

i

n

1IiKXCMPC

=

=

Ki: Coste de la fuente de financiación “i”. Xi: % que representa cada fuente sobre el total de la financiación. SUPUESTOS QUE DEBEN CUMPLIRSE PARA QUE EL CMPC CALCULADO SEA CORRECTO Y REPRESENTATIVO A LARGO PLAZO:

A) El objetivo financiero de la empresa es: “maximizar el valor o la riqueza de la empresa para los accionistas”. Si este fuese otro cambiaría el cálculo del coste de capital.

B) El mercado de capitales es eficiente (todos los participantes en el mercado tienen aproximadamente la misma información), es decir, el precio de cotización de los títulos refleja su verdadero valor.

C) La política de dividendos de la empresa permanece constante a largo plazo, ya que una variación en dicha política puede alterar el valor de las acciones y, por consiguiente, modificar el valor del coste medio ponderado del capital.

i

n

1I

i KXCMPC =

=

- 58 -

D) Los nuevos proyectos de inversión llevados a cabo no modifican el riesgo económico de la empresa, es decir, el riesgo económico relativo de los nuevos proyectos de inversión con respecto de la empresa es cero (el riesgo económico de los nuevos proyectos de inversión coincide con el riesgo medio de los proyectos de inversión que la empresa ya tiene en funcionamiento).

E) Los nuevos proyectos de inversión llevados a cabo no modifican la estructura financiera de la empresa, es decir estructura financiera constante a largo plazo.

FUENTES FINANCIERAS A INCLUIR EN EL CÁLCULO DEL CMPC: Algunos autores opinan que deben incluirse no solo las fuentes financieras a largo sino también las de a corto plazo, puesto que la deuda a corto plazo suele ser de carácter renovable, convirtiéndose en una financiación cuasipermanente. Nosotros, igual que la mayoría de los autores, vamos a considerar que solo deben incluirse las fuentes financieras a largo plazo (empréstitos, ampliaciones de capital social, préstamos a largo plazo). Argumentos: a) Pretendemos calcular el CMPC para valorar fundamentalmente proyectos de inversión a largo plazo. b) Por prudencia financiera. Financiar proyectos de inversión a largo plazo con deuda renovable supone

incrementar la dependencia de la empresa respecto de los acreedores, normalmente bancos, con el riesgo que ello conlleva.

c) Resulta más fácil mantener una estructura financiera constante a largo plazo si tenemos en cuenta

solamente financiación a largo plazo ya que la financiación a corto plazo oscila más en función de necesidades puntuales.

CÁLCULO DE LAS PONDERACIONES (Xi): Hay 2 posturas: utilizar valores contables o utilizar valores de mercado. A) Algunos autores defienden el uso de los valores contables para calcular los xi:

VALORES CONTABLES Recursos Propios = Capital Social + Reservas – Activo Ficticio Empréstitos = Valor de Reembolso Préstamos a L/P = Valor de Reembolso Argumentos: - El valor contable más estable en el tiempo que el valor de mercado. - En la práctica el mercado de capitales no es eficiente luego la cotización de los títulos no refleja su valor

real. - Hay empresas que no cotizan en bolsa.

B) Otros autores defienden el uso del valor de mercado para el cálculo de los xi:

- 59 -

VALORES DE MERCADO Recursos Propios = nº de acciones x precio de cotización. Empréstitos = nº de obligaciones vivas (en circulación) x precio de cotización. Préstamos a L/P = No cotizan. Valor actual (con tipo de actualización ajustado a riesgo) de los flujos de tesorería a que darán lugar en el futuro. En ocasiones se usa el Valor de Reembolso, aunque no es totalmente correcto. Argumentos: - En el cálculo del coste de las ampliaciones de capital o coste de los recursos propios y en el de los

empréstitos hemos utilizado los precios de cotización del mercado, por tanto por coherencia deberíamos ponderar dichos costes con valores de mercado.

- Cuando hablamos de valores de mercado no nos referimos a la cotización de cada día, sino a valores de equilibrio (media del último trimestre...).

- Aunque los mercados financieros en la práctica no son eficientes, tampoco la contabilidad refleja el verdadero valor de la empresa.

- Para las empresas que no coticen en bolsa buscaremos empresas similares que si coticen, y en última instancia, si no queda más remedio, usaremos el valor contable como una aproximación a los valores de mercado.

Nosotros seguiremos esta segunda postura. ESTRUCTURA FINANCIERA A ELEGIR: Elegiremos la estructura financiera que creamos óptima y estable a largo plazo. Los problemas pueden plantearse cuando creemos que la estructura financiera actual no es la óptima y deseamos cambiarla. ¿Qué estructura elegimos en este caso? - Si la transición de la estructura financiera no deseada a la considerada óptima es rápida, se deberán

utilizar los datos de la estructura óptima. - Si la transición de la estructura financiera no deseada a la considerada óptima es larga (3,4,5 años), se

pueden emplear los datos de la estructura actual o se puede hacer una media entre la estructura actual y la deseada.

- 61 -

EXAMEN JUNIO 2010 EJERCICIO PRÁCTICO

La dirección de la empresa YYY, S. A. Está planteándose la posibilidad de renovar parte de la maquinaria que posee con el propósito de mejorar sus resultados económicos. Esta renovación consistiría en la sustitución de una de las dos máquinas A o B por una nueva máquina existente en el mercado. La adquisición se llevaría a efecto el 31/12/2010, comenzando su funcionamiento al día siguiente. La máquina A se compró el 01/ 01/ 2005, por un valor de 10.000 u.m. Su vida útil estimada asciende a 10 años. Esta máquina generó unos FNC monetarios y después de impuestos, de 1.750 u.m. en su primer año de vida, con un incremento de 150 u.m. en el segundo año, incremento que se espera se mantenga en el futuro, de forma sucesiva. La máquina B se compró dos años más tarde que la máquina A, por un valor de 6.800 u.m.. Su vida útil estimada asciende a 10 años. En este caso los FNC generados en el primer año, antes de impuestos y valorados todos ellos en el momento de la adquisición de la máquina, ascendieron a 1.080 u.m. y se espera un incremento anual de 240 u.m. El director financiero de la empresa, considera que debería sustituir la máquina que genere menos rentabilidad. En el mercado existe actualmente una máquina C que se puede adaptar a las necesidades de la empresa. Tiene un coste de 12.000 u.m. y una vida útil de seis años. Los FNC monetarios y después de impuestos que se esperan obtener ascienden a 4.250 u.m. en el primer año, con un incremento de 100 u.m. en cada uno de los siguientes años. NOTAS: 1.- El tipo impositivo sobre la renta de sociedades es el 35%. 2.- La empresa sigue, en todos los casos, un sistema de amortización lineal con un valor residual nulo. Podrá vender cuando lo desee cualquiera de las máquinas por su VNC. En el caso de la máquina B, podrá obtener un beneficio del 10% sobre el VNC. 3.- Desde hace cuatro años la tasa de inflación anual asciende al 3%. 4.- La financiación necesaria para el nuevo proyecto no modifica la estructura financiera de la empresa, que se considera óptima. 5.- El nuevo proyecto de inversión presenta un riesgo relativo distinto de cero. Es decir, modifica el riesgo económico de la empresa. 6.- Sabemos que para el nuevo proyecto, la Cov(Rm,r) = Mσ 2 7.- El rendimiento medio esperado de la cartera de proyectos de la empresa es del 8%. Se espera que dicha rentabilidad se mantenga en el futuro. La cartera de proyectos de inversión de la empresa está suficientemente diversificada.

- 62 -

8.-La estructura financiera de la empresa a 31/12/2010 será la siguiente:

PASIVO (miles de u.m.) Capital Social 70.000 Reservas 10.000 Empréstitos 30.000 Préstamos a C/P 12.000

El valor nominal de cada acción es de 1.000 u.m. y la cotización media de las acciones en el último trimestre ha sido del 120%. El primer dividendo que espera pagar la empresa es del 4% del capital social. Se espera que este dividendo crezca anualmente el 3%. El empréstito recogido en el balance fue emitido el 31/12/08 con una duración de 5 años y se amortizará mediante el pago de cuotas de amortización constantes en cada uno de los cuatro últimos años de su vida. Las condiciones de emisión fueron: valor nominal 500 u.m., prima de reembolso 10 u.m., gastos de emisión 0,2% y tipo de interés nominal del 6% anual. En el momento actual los títulos cotizan al 102% y se sabe que los gastos de emisión actuales serían del 0,5%. El número de empréstitos en circulación asciende a 60.000. El préstamo a corto plazo le fue concedido a la empresa a un 3% de tipo de interés efectivo.

9- El tipo de interés, neto de impuestos, de los bonos del tesoro es del 3%. Además, la empresa puede reinvertir todos los fondos que desee en el mercado financiero a ese tipo de interés (suponemos la no reinversión de los FNC intermedios). DETERMINE: ¿Aconsejaría usted a la empresa que llevara a cabo la renovación de equipos plante

- 63 -

SOLUCIÓN Lo primero que vamos a hacer es jerarquizar entre las opciones A y la B, para ver cuál es menos rentable y por tanto cuál es la que sustituiríamos en su caso por la C. Para ello, dado que se trata de proyectos arriesgados, comparamos el EMC de cada alternativa: Calculamos ambos EMCs por el método de ajuste a riesgo de la tasa de actualización:

( )= +

+−=n

1tt

t

s1

)Q~E(AEMC

s = CMPC (se cumplen las condiciones, ya que se trata de mantener una máquina en funcionamiento, luego entendemos que no se modifica ni el riesgo económico ni la estructura financiera de la empresa).

NOTA: Para poder aplicar como tasa ajustada a riesgo el CMPC el problema debe dejar claro que las dos condiciones necesarias se cumplen. La única excepción se da en problemas de renovación y para la opción no renovar, es decir dejar que una máquina antigua siga funcionando (en este caso se puede suponer que las condiciones se cumplen salvo que el problema diga expresamente lo contrario).

E(It)

E(Q’t)

PROYECTO A

1-1-05 06 07 08 09 At = 1.000

1010.000 =

IN = 10.000

Vvtat = VCt

1.750 1.900 2.050 2.200 2.350 2.500 2.650 2.800 2.950 3.100

10 110

121

132

143

154

PROYECTO B

5 -4 -3 -2

At = 680=10

6.800

IN = 6.800

Vvtat =1,1 VCt

1.080 1.320 1.560 1.800 2.040 2.280 2.520 2.760

-1 0 1 2 3 4 6

5

At = 0002.=6

12.000

Vvtat = VCt

IN = 12.000 4.250 4.350 4.450 4.550

0 1 2 3 4 6

PROYECTO C

E(Q’t)

- 64 -

Cálculo del CMPC:

Coste de los Reursos Propios: N = 1000

P0 = 120% ke = 0,0630,031.200

40CP

E(D)0

=+=+

E(D) = 4% C = 3%

Coste del Empréstito:

=−

−−++

=00

00

GPm

)GP()RN(Ni

k 0,040,652,5-5102

2,5)-(510-10)(5000,06500=⋅

++×

Nota: cogemos del empréstito antiguo los datos de N, i, R y su cotización en el momento actual. Los gastos de emisión serían los actuales.

Ponderaciones: VALOR DE MERCADO Xi Recursos Propios 2001

000100000070 .

... × 84.000.000 0,733

Empréstito 60.000* x 510 30.600.000 0,267 114.600.000 1

*En este caso el número de obligaciones vivas es un dato del problema (número de empréstitos en circulación).

CMPC = 6,3% x 0,733 + 4% x 0,267 = 5,7% PROYECTO A A= 0

Nos dan ya calculados los E(Qt) en monetario. En cuanto al valor de venta en el último período: VvtaA

4 = VCA4 = 10.000 – 1.000 x 10 = 0, por lo que no hay nada que añadir.

9.9921,0573.100

1,0572.950

1,0572.800

1,0572.6500-EMC 432A =++++=

- 65 -

Nota: La homogeneización de los desembolsos iniciales es innecesaria, porque al coincidir k* con k = 3%, sabemos que se va a anular el VAN de la inversión complementaria. En cualquier caso el desembolso de B también será cero. PROYECTO B A= 0 E(Q’1) = 2.040 · 1,035 (1 – 0,35) + 680 · 0,35 = 1.775 E(Q’2) = 2.280 · 1,036 (1 – 0,35) + 680 · 0,35 = 2.008 E(Q’3) = 2.520 · 1,037 (1 – 0,35) + 680 · 0,35 = 2.253 E(Q’4) = 2.760 · 1,038 (1 – 0,35) + 680 · 0,35 + 1.496* – 136 · 0,35 = 3.959 Nota: nos dan FNC antes de impuestos y valorados en el momento de adquisición de la máquina (es decir en moneda constante del momento -4, o lo que es lo mismo, deflactados hasta -4) por lo que hay que inflactar. *VvtaB

4 = 1,1 · VCB4 = 1.496

VCB4 = 6.800 – 680 · 8 = 1.360

8.5531,0573.959

1,0572.253

1,0572.008

1,0571.7750-EMC 432B =++++=

Observamos que se cumple EMCA > EMCB, es decir, esta empresa valora más el proyecto A (cambiaría este proyecto por un mayor valor cierto de riqueza). Por tanto, la máquina que en su caso se daría de baja es la B. Comparamos a continuación las alternativas B y C. PROYECTO C Este proyecto se evalúa también con el método de ajuste a riesgo de la tasa de actualización, aunque no usaremos como tasa ajustada a riesgo el CMPC ya que su riesgo relativo es distinto de cero. Usaremos en este caso el CAPM. A= 12.000 – 4.488* + 408 · 0,35 = 7.655 *VvtaB

0 = 1,1 · VCB0 = 4.488

VCB0 = 6.800 – 680 · 4 = 4.080

Nos dan ya calculados los E(Qt) en monetario. En cuanto al valor de venta en el último período: VvtaC

4 = VCC4 = 12.000 – 2.000 · 4 = 4.000.

s = RF + (EM – RF) β = 3% + (8% - 3%) · 1 = 8%

136=PΔ

408=PΔ

- 66 -

9.8271,08

40004.5501,084.450

1,084.350

1,084.2507.655-EMC 432C =+++++=

CONCLUSIÓN: Dado que EMCB < EMCC, sustituiremos la máquina B por la C. Nos quedaremos por tanto con A y con C, que son los proyectos que más valor tienen para la empresa. Nota: En este caso, como hemos comentado, no era necesario homogeneizar los desembolsos iniciales puesto que k* = k. En caso de no coincidir ambas tasas, deberíamos haber comparado EMCC con EMCB+COMPLEMENTARIO. Es decir antes de comparar faltaría añadirle a B una inversión complementaria por un importe de 7655 (invertido a k* durante 4 años). (Al comparar los EMCs de A y B, como ambos tienen un desembolso de cero, no haría falta la homogeneización).

- 67 -

EXAMEN JUNIO 2010 TEST

1. La empresa ETXE S.A. tiene previsto llevar a cabo una inversión de la que conoce los siguientes datos

previsionales para el año 1:

AÑO1 VENTAS 240.000 COMPRAS 120.000 GASTOS PERSONAL 29.000 OTROS GASTOS 15.600 AMORTIZACIONES 24.000 INTERESES C/P INTERESES L/P 10.000

Además sabemos que:

- Las ventas se producen a finales de cada mes, cobrándose el 60% al contado y el resto en efectos a 4 meses. La comisión bancaria por la gestión de cobro de los efectos es de un 2,5% sobre el nominal. El importe de las ventas de cada mes es:

Ventas mensuales De enero a junio 15.000 De julio a diciembre 25.000

- Las compras, los gastos de personal y los otros gastos se pagan al contado. - El tipo impositivo sobre la renta de sociedades es del 30% (suponemos que se paga en el año de devengo) ¿Cuál es el flujo neto de caja después de impuestos del año uno? a) FNC < 16.000 b) 19.000 c) 22.000 d) 25.000 e) FNC >25.000

2. Con los datos del problema anterior ¿cuál sería el FNC del año uno en el caso de que los efectos se llevasen a descontar a una

entidad financiera a un tipo de interés anual del 10% (en este caso no se gestionaría el cobro de las letras)?

a) FNC < 30.000 b) 40.000 c) 43.340 d) 52.500 e) FNC >55.000 3. Se conocen los siguientes datos para un proyecto de dos años de duración: A = 100, Q1 = 60 y para el FNC del año 2:

Q2 50 61 Probabilidad 0,7 0,3

La función de la empresa es U(VAN) = 10

20VAN + . El tipo de interés sin riesgo es el 5% ¿Cuál de las siguientes

afirmaciones es cierta? c) El proyecto es aceptable b) El proyecto no es aceptable c) El inversor es adverso al riesgo d) El inversor es neutral al riesgo e) a y c son ciertas

4. Un proyecto de dos años de vida es valorado por dos inversores distintos:

- El inversor A emplea como método de valoración el criterio de ajuste a riesgo de la tasa de actualización. - El inversor B emplea el método de reducción a certeza de los FNC. El coeficiente de reducción que calcula para el año dos

es: 2α = 0,95294.

- 68 -

El tipo de interés de los bonos del tesoro es 2,5%. La tasa de inflación prevista para los dos próximos años es del 2% (emplear la simplificación de Fisher). Suponiendo que se cumple la equivalencia estricta entre el método aplicado por el inversor y el aplicado por el inversor B. ¿Cuál es la prima de riesgo que emplea el inversor A? a) 0,5% b) 2% c) 2,5% d) 3% e) 3,5%

5. Una empresa está valorando un proyecto cierto con un desembolso inicial de 20.000 euros que se financian íntegramente con recursos propios. Para esta inversión se conoce la siguiente información:

AÑO CAPITAL

INVERTIDO RETRIBUCIÓN AL CAPITAL

REEMBOLSO DE RECURSOS PROPIOS

RENTA

0 20.000 1 20.000 1.000 3.600 0 2 16.400 820 3.780 0 3 12.620 631 3.969 0 4 8.651 432,55 4.167,45 0 5 4.483,55 224,18 4.483,55 0

En cada período la parte del FNC que no se destina a retribuir al capital se destina a reembolso de los recursos propios. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Con un coste de capital del 4% esta inversión no resultaría aceptable. b) Con un coste de capital del 4% esta inversión resultaría aceptable. c) Con un coste de capital del 4% esta inversión resultaría indiferente. d) La inversión no es simple. e) a y d son ciertas.

6. Una empresa tiene en la actualidad un empréstito antiguo en circulación para el que se conocen los siguientes datos: Nominal

de los títulos: 1.000 euros, prima de reembolso: 100 u.m., prima de emisión: 15 u.m., tasa de interés nominal: 10%, gastos de emisión: 0,7%, precio de cotización actual en el mercado: 120%. Se sabe que los inversores actualmente exigen a esta emisión un rendimiento del 3,72%. Tipo impositivo: 35%, gastos de emisión actuales: 0,5% ¿Cuál es la vida media que hoy le resta a las obligaciones del empréstito antiguo? (resultado redondeado)

a) menos de 1 año b) 2 años c) 3 años d) 4años e) 5 años 7. Para un proyecto arriesgado de 3 años de vida se conocen los siguientes datos acerca de sus FNC (FNC

linealmente independientes):

)1(2 Qσ )2(2 Qσ )3(2 Qσ

36 25 49 )(2

iQσ = Varianza del FNC iésimo

Sabiendo que el tipo de interés sin riesgo es del 2%, ¿Cuál es la desviación típica del VAN del proyecto? a) 219,05 b) 223,34 c) 15,10 d) 14,80 e) 10,10

8. Un inversor desea aumentar su capacidad de producción en 10.000 unidades para lo cual está evaluando las siguientes alternativas de inversión fundamentales:

A Q1 Q2 Q3

INVERSIÓN A -10.000 3.000 4.000 5.000 INVERSIÓN B -10.000 5.000 6.000 INVERSIÓN C -8.000 3.870 5.000

- La capacidad de producción de cada proyecto es de 12.000 unidades.

- 69 -

- El coste de capital es el 5% además existe la opción de reinvertir cualquier cantidad de dinero en el mercado financiero a una tasa de interés del 4%.

- El valor de venta de la inversión A en el momento 2 es 4.000 u.m. - No hay impuestos.

Teniendo en cuenta los datos anteriores ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) VANA > VANC > VANB b) VANB > VANC > VANA c) VANA = VANB = VANC d) Según Solomon VANGA > VANGB > VANGC e) b y d son ciertas

9. Se ha estimado la distribución de probabilidades de los FNC correspondientes a un proyecto arriesgado:

A Q1 Pr(Q1) Q2 Pr(Q2) 10.000 3.000 0,4 5.000 0,3 5.000 0,3 7.000 0,5 7.000 0,3 9.000 0,2

Los inversores desean valorar este proyecto con el criterio de ajuste a riesgo de la tasa de actualización y calculan una prima de riesgo igual al 3%. El tipo de interés sin riesgo es el 5%. Teniendo en cuenta los datos anteriores ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

a) VAN = 739,2 b) E(VAN) = 739,2 c) EMC = 274,3 d) b y c son ciertas e) a, b, y c son ciertas

10. Se conocen los FNC de un proyecto de inversión cierto valorados en unidades monetarias constantes:

A Q1 Q2 100.000 58.000 61.292,6

El coste de capital es el 10% y las tasas de inflación previstas para los próximos dos años son respectivamente: g1 = 2%, g2 = 3%. ¿Entre qué valores se encuentra el VAN del proyecto?

a) VAN < 4.000 b) 4.000,1 < VAN < 6.000 c) 6.000,1 < VAN < 8.000 d) 8.000,1 < VAN < 10.000 e) 10.000,1 < VAN

11. Se están considerando dos proyectos de inversión no fundamentales: A y B, con desembolsos iniciales

distintos. La duración del proyecto A es nA = 4 años y la del proyecto B es nB = 6 años. Teniendo en cuenta los datos anteriores ¿cuál de las siguientes alternativas es cierta? a) En la valoración de estas alternativas el horizonte temporal común coincidirá con la vida de la

inversión más corta, es decir, será 4 años. b) En la valoración de estas alternativas utilizando el método de Solomon el horizonte temporal común

coincidirá con la vida de la inversión más larga, es decir, será 6 años. c) En la valoración de estas alternativas utilizando el método de Solomon el horizonte temporal común

coincidirá con la vida de la inversión más larga, pero no es posible homogenizar los desembolsos iniciales.

d) a y b son ciertas. e) a, b y c son ciertas.

- 70 -

12. Se utiliza un préstamo a largo plazo para la financiación de un proyecto cierto. Además, se sabe que la actividad de explotación del proyecto se financia a su vez con un préstamo a corto plazo. Si se utiliza el criterio VAN en la valoración de este proyecto ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) En el cálculo de los FNC consideraremos el pago de intereses a corto plazo y la amortización anual

del préstamo a largo plazo. b) En el cálculo de los FNC no consideraremos los intereses del préstamo a largo plazo pero si los del

préstamo a corto plazo. c) Los intereses a largo plazo influyen en el cálculo de la rentabilidad mínima a exigir al proyecto. d) En el cálculo de los FNC consideraremos pago de intereses tanto a largo como a corto plazo. e) b y c son ciertas.

13. Se conoce la siguiente información para un proyecto “P” y para la cartera de proyectos de la empresa ”M”:

E(VAN) σ (VAN)

P 100.000 20.000 M 300.000 60.000

M + P 400.000 60.000 Si la empresa utiliza el coeficiente de variación para medir el riesgo del proyecto ¿cuál es el riesgo

relativo? a) Nulo b) 0,05 c) Coincide con el riesgo absoluto del proyecto d) – 0,05 e) c y d son ciertas

14. En relación al cálculo del CMPC ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) El coste de los beneficios retenidos coincide con el de las ampliaciones de capital. b) Se tiene en cuenta en dicho cálculo el coste de amortizaciones y provisiones. c) El coste de las amortizaciones y provisiones es un coste implícito. d) El empréstito solo tiene coste explícito. e) Todas las anteriores son ciertas. 15. Para la valoración de ciertas alternativas de inversión se conoce la siguiente matriz de resultados:

E1 P(E1) = 0,2 E2 P(E2) = 0,7 E3 P(E3) = 0,1 A1 R11 = 100 R12 = 150 R13 = 150 A2 R21 = 100 R22 = 220 R23 = 300 A3 R31 = 300 R32 = 200 R33 = 500

Ai: Alternativas posibles Ei: Estados de la naturaleza Rij: Resultados posibles según cada alternativa y cada estado Teniendo en cuenta esta información ¿en qué situación nos encontramos?

a) Certeza b) Riesgo c) Incertidumbre estricta d) Ambigüedad

- 71 -

SOLUCIÓN 1.- b)

Ventas no coinciden con cobros, porque hay letras y no se llevan a descontar. Necesito por tanto calcular la cifra de cobros. Como en este caso las ventas no se distribuyen uniformemente a lo largo del año, para saber la parte de las ventas del año que se cobran en ese mismo año hacemos: Cobros = ventas – lo que va a quedar pendiente de cobro para el año próximo (las letras de septiembre, octubre, noviembre y diciembre): Cobros = 240.000 – 40 % · 25.000 · 4 = 200.000 Q1 = 200.000 – (120.000 + 29.000 +15.600 + 1.400*) – (240.000 – (120.000 + 29.000 + 15.600 + 1.400 + 24.000)) · 0,3 = 19.000 *Comisión por gestión de cobro = 15.000 · 0,4 · 0,025 · 6 + 25.000 · 0,4 · 0,025 · 2 = 1.400 En el año 1 se gestiona el cobro de 8 letras (las 8 primeras letras del año que son las que vencen dentro del año): calculamos 6 comisiones mensuales de enero a junio + 2 comisiones mensuales de julio y agosto. El resto de las letras vencen en el segundo año, luego la gestión de su cobro afectaría al flujo del año 2.

2.- e)

En este caso ventas si coinciden con cobros, porque las letras se llevan a descontar (se cumplen por tanto todos los supuestos habituales, utilizo la fórmula para meter el pago impositivo): Q1 = 240.000 – (120.000 + 29.000 +15.600 + 3.200*) · (1-0,3) + 24.000 · 0,3 = 57.740 *Gastos financieros por descuento de letras = 240.000 · 0,4 · 0,10 · 4/12 = 3.200 Se calculan igual que siempre, da igual si las ventas se distribuyen o no uniformemente a lo largo del año porque el cálculo se hace para las letras de todo el año, no va por meses como la comisión por gestión de cobro.

3.- e) El árbol del proyecto sería: 50 0,7 -100 60 0,3 61

2,491,05

501,0560-100VAN 21 =++= P1 = 0,7

VAN2 = 12,47 P2 = 0,3

- 72 -

0,5028·0,310

2012,47·0,710

202,49 UE(VAN) =+

++

=

Para saber si el proyecto es o no aceptable podemos comparar la UE(VAN) con U(0), o bien calcular el EMC. Dado que también queremos conocer la actitud ante el riesgo del decisor calculamos el EMC: U(EMC) = UE(VAN)

5,28 EMC0,502810

20EMC =→=+ proyecto aceptable

E(VAN) = 2,49 · 0,7 + 12,47 · 0,3 = 5,48

EMC < E(VAN) inversor adverso al riesgo

4.- c)

Dado que sabemos que se cumple la equivalencia estricta el coeficiente alfa 2 cumplirá:

2,5%PP2,5%Pk5%s0,95294s)(1

1,025s)(1k)(1α 2

2

2

2

2 =→+=+==→=+

=++=

5.- b)

Para obtener el VAN dada una k del 4% obtenemos los FNC y los actualizamos:

FNC 1.000 + 3.600 = 4.600 820 + 3.600 = 4.600 631 + 3969 = 4.600 432,55 + 4167,45 = 4.600 224,18 + 4.483,55 = 4.600

0=>+++++= 5432 1,044.600

1,044.600

1,044.600

1,044.600

1,044.600-20.000VAN

Proyecto aceptable. Proyecto simple. Nota: el coste de capital según la tabla es el 5% = 1.000/20.000… y para esa k el VAN saldría 0.

- 73 -

6.- c)

Lo que nos piden es m = vida media del empréstito hipotético = vida media que hoy le resta al empréstito antiguo:

3m0,372*0,35)(15)-(1.200

m5)-(1.200-100)(1.000 0,1 · 1.000

k =→=−

++=

*rentabilidad que exigen hoy los inversores = coste del empréstito hipotético

7.- e)

En este caso no podemos usar el método directo para obtener la varianza del VAN ya que no conocemos la distribución de probabilidades del VAN ni la podemos calcular, pero podemos aplicar el método indirecto (teniendo en cuenta que los FNC son linealmente independientes):

( ) ( )( )

10,05σ(VAN)101,201,02

491,02

251,02

36k1QσNAVσ 62

n

0t22t

t2

2 =→=++=+

==

~~

Nota: Si nos hubiesen dicho que los FNC están perfectamente correlacionados la fórmula a aplicar sería:

( ) ( )( )

2n

0tt

t2

k1QσNAVσ

+=

=

~~

Y si no nos hubiesen dicho nada sobre la relación entre los FNC, no tendríamos datos suficientes para calcular la varianza.

8.- b)

113,371,058.000

1,053.000-10.000VAN 2A =++=

204,081,056.000

1,055.000-10.000VAN 2B =++=

182,951,05

2.000·1,042.0001,055.000

1,053.870-8.000VAN 2

2

2C =+−++=

9.- d)

E(Q1) = 3.000 · 0,4 + 5.000 · 0,3 + 7.000 · 0,3 = 4.800 E(Q2) = 5.000 · 0,3 + 7.000 · 0,5 + 9.000 · 0,2 = 6.800

739,21,056.800

1,054.800-10.000E(VAN) 2 =++=

274,31,086.800

1,084.800-10.000EMC 2 =++=

- 74 -

10.-c)

7.0001,1

,02·1,0361.292,6·11,1

258.000·1,0-100.000VAN 2 =++=

11.-d)

12.-e)

13.-d)

Riesgo Relativo = RE+P – RE = EPE γ-γ +

= 0,05

300.00060.000

400.00060.000 −=−

El riesgo absoluto del proyecto sería: 0,2100.00020.000γP ==

14.-c) 15.-b)