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Introducción a la Teoría de Subastas

Alvaro J. Riascos Villegas

Septiembre de 2008

Abstract

Notas basadas en (1). Krishna, V. 2002. Auction Theory. Academic Press. (2) Athey, S. y P. Haile.2005. Nonparametric Approaches to Auctions.

1 Introducción

• Las subastas son un mecanismo de asignación de recursos y formación de precios.

• Vamos a considerar primero el caso en que es un único objeto indivisible el que va ser subastado.

• Son un mecanismo universal y anónimo.

• Taxonomía, estas se pueden clasificar por:

— Tipo de bien (unitarias o multiunidades).

— Estructura de información (independiente o afiliadas).

— Estructura de valoración (privada, interdependiente, común).

• Tipos de subastas:

— Para subastas unitarias existen cuatro subastas básicas.

∗ Primer precio (cerrada)

∗ Segundo precio (cerrada)

∗ Inglesa (abierta)

∗ Holandesa (abierta)

• Otros ejemplos de subastas son:

1



— Subastas al tercer precio.

— Una loteria (esta sin embargo, no es una subasta estándar; una subasta es estándar cuando el

ganador es el que más ofrece por el bien).

• Las preguntas fundamentales que se hace la teoría son:

— Existencia de equilibrio del juego bayeasiano inducido.

— Equivalencia en asignación de recursos y precios de equilibrio.

— Optimalidad para el subastador.

— Eficiencia productiva (con relación a competencia perfecta - el precio de la anarquía) y de

asignación (social, en el sentido de Pareto).

— Incentivos para participar.

— Incentivos a coludir.

— Simplicidad de las reglas.

— ¿Es posible identificar los fundamentales de juego con base en observables?

— ¿Es posible refutar la teoría?

2 El Modelo Básico de Subastas

• El modelo estádar tiene la siguiente estructura:

— Estructura de información independiente y simétrica.

— Estructura de valoración privada y agentes neutros al riesgo.

— En particular, agentes simétricos (tiene dos componentes: información y valoración).

• El modelo estándar es un juego de información incompleta con la siguiente estructura:

BG =-

I, (R+)i∈I , ([0, ω])i∈I , (πi)i∈I , F ®

— I es un conjunto de jugadores (finito).

— El conjunto de acciones es el mismo para todos: Ai = R+.

2



— El conjunto de información es el mismo para todos: X = [0, ω], que en este caso lo interpretamos

como la valoración privada que del objeto tiene el agente. Obsérvese que antes denotavamos por

X al espacio producto de los conjuntos de información. Ahora, lo usamos para denotar el conjunto

de información de cada agente.

— Denotamos por F la distribución sobre X el conjunto de información individual (antes usábamos

F para denotar la distribución sobre el producto de los conjuntos de información individuales).

— F tiene densidad f .

— πi : RI + × [0, ω]I → R es el payoff de cada jugador y su forma especí fica depende del tipo de

subasta que estemos considerando.

Para resumir, utilizaremos X para denotar el conjunto de información de un jugador y f la función de

densidad con la que se revela la información del jugador.

2.1 Subasta al Segundo Precio

• En esta subasta cada agente observa su valoración xi ∈ X = [0, ω] y escribe en un sobre su oferta por

el bien. Gana el jugador que más ofrezca y paga la segunda oferta más alta. En caso de empate se

asigna el objeto aleatoriamente entre los ganadores.

• El payoff de los agentes es:

πi : RI + × [0, ω]I → R

πi(bi, b−i, xi, x−i) = xi − maxj6=i

{bj} si bi > maxj6=i

{bj}

πi(bi, b−i, xi, x−i) = 0 si bi < maxj6=i

{bj}

• La expresión del payoff pone en evidencia algunos de los supuestos que hicimos anteriormente (valo-

ración privada y neutralidad al riesgo).

• La estrategia de revelar la verdad para cada jugador, bII (xi) = xi es un equilibrio en estrategias

dominantes (débilmente). Ver proposición abajo.

• Obsérvece que la estrategia es la misma para cada jugador. Esto es lo que se conoce cómo un equilibrio

simétrico.

3



• Este equilibrio es independiente de la estructura de información y de que el espacio de valoración sea

[0, ω] (en particular vale aún en el caso en que la información sea correlacionada o los conjuntos de

información sean diferentes).

• El resultado no depende de la aversión al riesgo de los participantes.

• Esta subasta es eficiente desde el punto de vista social.

Proposition 1 En la subasta al segundo precio la estrategia de revelar la verdadera valoración es un equi-

librio en estrategias dominantes (débilmente).

Proof. Es decir, una estrategia para cada jugador es una función bi : [0, ω] → R+. Vamos a demostrar que

la estrategia de revelar la verdad para cada jugador, bII

(xi) = xi es un equilibrio en estrategias dominantes(débilmente).

• Supongamos que cada agente observa su valoración privada y hace una oferta por el bien.

• Fijemos un agente, digamos el agente i y concentremonos en su estrategia. Sea Y 1 = maxj6=i

{bj} . Y 1

determina si el agente i gana o no.

• Primero algunas observaciones: bi(xi) > xi no es racional (en el sentido débil) pues la estrategia

bi que es igual bi en todas partes excepto en xi, donde es revelar la verdadera valoración, la domina

débilmente - cuando la valoración es xi, el payoff del agente nunca es menor y con probabilidad positiva

es mayor.

• El argumento es independiente de las estrategias utilizadas por los demás jugadores.

• Si bi(xi) < xi pueden suceder tres cosas:

Payoff

Estrategia bi Estrategia bII

Y 1 ≤

bi < xi i gana xi−

Y 1 xi−

Y 1

bi < Y 1 < xi i pierde 0 xi − Y 1

bi < xi ≤ Y 1 i pierde 0 0

• Comparando con el resultado que hubiera tenido de utilizar la estrategia de revelar la verdad, es claro

que esta úlitma domina.

4



• Formalmente lo que hemos hecho es demostrar que la estrategia

bII (xi) = xi domina a cualquier otra estrategia bi.Esto es:

πi(xi, b−i, xi, x−i) ≥ πi(bi (xi) , b−i, xi, x−i)

para todo x ∈ X y b−i

• Obsérvese que en ninguna parte utilizamos la estructura de información.

• La estrategia de revelar la verdadera valoración es un equilibrio en estrategias dominantes (débiles).

Esto quiere decir que si eliminamos las estrategias dominadas débilmente seleccionariamos este equi-

librio. Sin embargo, existen otro tipo de equilibrios que, aunque extraños, podrían ser pasados por

alto sin ningún relfexión sobre su significado. Por ejemplo. Supongamos que los agentes utilizan las

siguientes estrategias:

bi = w

b−i = 0

Es fácil ver que estas estrategias son un equilibrio expost y en particular, son un equilibrio de Nash

Bayesiano.

• Es fácil extender el argumento al caso en que los agentes son aversos al riesgo.

• El pago esperado de un agente con valoración x, mII (x) es:

mII (x) = G(x)E −i [Y 1 | x > Y 1]

donde G(x) es a probabiidad de ganar (la probabilidad que el agente le atribuye al conjunto [x > Y 1] ,

es decir, la distribución de Y 1 y E −i [Y 1 | x > Y 1] es el pago esperado del agente dado que es ganador).

2.2 Subasta al Primer Precio

• En esta subasta los agentes observan su valoración (información) y hacen una oferta. Gana el que

oferte más alto y paga lo ofertado. En caso de empate se asigna aleatoriamente.

5



• El payoff de los agentes es:

πi : RI + × [0, ω]I → R

πi(bi, b−i, xi, x−i) = xi − bi si bi > maxj6=i

{bj}

πi(bi, b−i, xi, x−i) = 0 si bi < maxj6=i

{bj}

• Existe un compromiso claro entre ofertar alto (aumenta la probabilidad de ganar) y el pago (disminuye

el payoff ).

• Nos vamos a concentrar en el equilibrio simétrico.

• En este caso no existe un equilibrio en estrategias dominantes.

• Vamos a caracterizar el equilibrio de Nash-Bayesiano.

• Supongamos que i tiene una valoración xi y ofrece bi ∈ R+.

• Supongamos que todos los jugadores j 6= i utilizan una estrategia bI diferenciable y creciente.

— Es claro que bi ≤ bI (ω) (de lo contrario ganaría con seguridad pero también ganaría con seguridad

reduciedo su oferta un poco).

— También es fácil de ver que si xi = 0 entonces bi = 0 y bI (0) = 0 (pues en caso de ofertar positivo

y ganar, el payoff sería negativo).

— El conjunto de valoraciones de los demás agentes para las cuales i gana.

½bi > max

j6=i

©bI (xj)

ª¾ =

©bi > b

I (Y 1)ª

=n¡

bI ¢−1

bi > Y 1

o

— Denotamos por G la distribución de Y 1 (Y 1 es la valoración más alta entre las de los demás

agentes).

— Si la estructura de información es independiente y simétrica tenemos que G = F N −1 y su densidad

g es g = (N − 1) F N −2f.

— Entonces la probabilidad de ganar con una oferta bi es la probabilidad que i le atribuye al conjunto:

½bi > max

j6=i

©bI (xj)

ª¾

6



que es:

G(¡bI ¢−1

(bi))

• Luego el payoff (interim) del jugador i es:

E −i[πi | X i = xi] = G(¡bI ¢−1

(bi))(xi − bi)

• Las condiciones de primer orden con respecto a bi son:

g(¡bI ¢−1

(bi))

dbI((bI)−1(bi))dx

(xi − bi)−G(¡bI ¢−1

(bi)) = 0

• Si existe un equilibrio simétrico entonces bI (xi) = bi y las CPO se reducen a:

g(xi)dbI(xi)

dx

(xi − bi)−G(xi) = 0

⇒

d¡

G(x)bI (x)¢

dx = xg(x)

⇒

bI (x) =

1

G(

x) Z

x

0

yg(y)dy

• Es fácil mostrar que en efecto bI es un equilibrio creciente simétrico:

— Primero obsérvece que bI es creciente y diferenciable.

— Vamos a demostrar que no existe ningun incentivo a desviarse de esa estrategia. Supngamos que

el jugador i tiene una valoracipón x y supongamos que ofrece b donde bI (z) = b. Es decir, el

ofrece como si su valoración fuera z .

7



— El payoff esperado es:

E −i[πi(b, bI −i (X −i) , x , X −i)] = G(z)(x− b

I (z))

= G(z)x−G(z)bI (z)

= G(z)x−

Z z0

yg(y)dy

= G(z)(x− z) +

Z z0

G(y)dy

= G(z)(x− z) +

Z z0

G(y)dy

luego

E −i[πi(bI (x), bI

−i (X −i) , x , X −i)]−E −i[πi(bI (z), bI

−i (X −i) , xi, X −i)]

= G(z)(x− z)−

Z zx

G(y)dy

≥ 0.

• Utilizando la definición de esperanza condicional la estrategia bI se puede escribir como:

—

bI (x) = E −i[Y 1 | Y 1 < x]

—

bI (x) = x −

Z x0

G(y)

G(x)dy ≤ x

• El pago esperado de un agente con valoración x, mI (x) es:

mII (x) = G(¡bI ¢−1

(bI (x)))E −i[E −i [Y 1 | x > Y 1] | x > Y 1]

= G(x)E −i [Y 1 | x > Y 1] .

• Obsérvece que el pago esperado dado que el agente es ganador es el valor esperado condicional de la

estrategia de equilibrio.

• Obsévece que mI (x) = mII (x). Este es un caso particular del Teorema de Equivalencia del Ingreso

Esperado del Subastador .

• La subasta es eficiente desde el punto de vista social.

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Example 1 (Información uniforme) Si la estructura de información es uniforme en [0, 1] entonces

bI (x) =

N − 1

N

x

Example 2 (Información exponencial) Si la estructura de información es exponencial en [0,∞), F (x) =

1− exp(−λx) para algún λ > 0 y si solo hay dos agentes ( N = 2) entonces

bI (x) =

1

λ −

x exp(−λx)

1− x exp(−λx)

3 Identificación y Refutabilidad

• Las primitivas o fundamentales en una subasta son: Los jugadores, la estructura de información, las

reglas de la subasta y los objetivos o utilidades de los jugadores.

• El problema de identificación (no paramétrica) es importante porque la teoría no ofrece ninguna guía

sobre algunos observables (por ejemplo, la estructura de información).

• La identificación no parámetrica implica que los estimadores tiene una interpretación válida sobre

muestra finitas.

3.1 Formalización

• Sea {X i}i∈I un conjunto de variables latentes (no observables) y F un conjunto de distribuciones sobre

X = Πi∈I

X i. Los elementos de F denotamos por f o F X .

• Sea {Y j}i∈J

un conjunto de variables observables donde j es un conjunto finito y G un conjunto de

distribuciones sobre Y = Πi∈I

Y i. los elementos de G los denotamos por g o F Y .

Definition 1 Un modelo es un par (F ,Γ) donde F es un conjunto de distribuciones de las variables atentes

y Γ es un conjunto de funciones γ : F → G.

• La interpetación es, si F Y ∈ F es la distribución de las variables latentes entonces γ (F Y ) ∈ G es la

verdadera distribución de las variables observables.

Example 3 En una subasta, las variables latentes determinan la información que recibe cada jugador. El

conjunto F pueden ser las distribuciones sobre el espacio de información que satisfacen alguna propiedad.

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Por ejemplo, son a fi liadas, simétricas, independientes. Las variables observables son por ejemplo, la oferta

de cada agente, el precio de cierre, etc.

Definition 2 Un modelo (F ,Γ) es identi fi cable si para todo ³f, ef ́ ∈ F 2, (γ, eγ ) ∈ Γ2,

γ (f ) = eγ ( ef )

entonces (f, γ ) =³ ef, eγ ́ .

Definition 3 Un modelo (F ,Γ) es refutable si G\ ∪(f,γ )∈(F ,Γ)

γ (f ) 6= φ.

• Obsérvese que, en principio, estas son preguntas independientes. Más precisamente, la imposibilidad

de identificar un modelo no impide la posibilidad de refutarlo.

• En general, en el caso de valores privados es posible obtener resultados positivos de identi ficación y

refutabilidad bajo supuestos relativamente débiles. Cuando hay intedependencia, aversión al riesgo o

algún tipo de heterogeneidad no observada, es necesario imponer más restricciones.

• Para ser completamente formales, introduciremos las hipótesis básicas en el caso de valores privados.

• Sea πi = ui − ti donde ui : [0, ω]I → R y ti : RI + → R representan, respectivamente, la utilidad de

ganar el bien y la transferencia o pago del agente.

Condition 1 Supongamos que:

1. Los agentes son neutros al riesgo.

2. ui tiene soporte convexo, compacto y común.

3. F es a fi liada con soporte igual al producto del soporte de las marginales.

4. F tiene densidad y ésta es estrictamente positiva en el interior del soporte de F.

Theorem 1 (Subasta al Primer Precio) . Existencia de equilibrio.

1. Estrategias estrictamente crecientes. Existe un equilibrio en estrategias puras, no decrecientes tal que

sup(bi) ⊆ sup(Y (1)−i ).

Adicionalmente existe un equilibrio en estrategias puras estrictamente creciente en todos los casos

excepto cuando hay valores comunes, jugadores asymétricos y señales no independientes. En este

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caso, las estrategias son estrictamente crecientes excepto que, como máximo un jugador, puede ofrecer

inf(sup(Y (1))) con probabilidad positiva.

2. En el modelo de valores privados con (a). Independencia de la estructura de información o (b).

Simetría, si f es continuamente diferenciable el equilibrio es único. Este equilibrio es en estrategias

puras, estrictamente crecientes y diferenciables.

3. Si los jugadores son simétricos y f es continuamente diferenciable entonces, en el conjunto de los equi-

librios en estrategias puras no decrecientes, existe un único equilibrio que es simpetrico, estrictamente

creciente y diferenciable.

Remark 1 Cuando no es posible garantizar la unicidad del equilibrio, es necesario hacer la hipótesis adi-

cional que los observables se derivan todos de un mismo equilibrio.

Remark 2 Se puede demostrar que en el caso del modelo estándar, valores privados y estructura de infor-

mación independiente, el soporte de las estrategias de equilibrio es común.

Theorem 2 (Subasta al Primer Precio) Identi fi cación.

1. Si todos las ofertas son observadas entonces el modelo simétrico de valores privados está identi fi cado.

2. Supongamos que todas las ofertas y oferentes asociados son observados. Entonces el modelo a fi liado de

valores privados está identi fi cado.

• Los resultados de identificación se basan en algunas hipótesis sobre el comportamiento de los agentes,

la estructura de información y de valoración (utilidad). Luego los resultados de identificación son

condicionales a al modelo.

• Luego es importante en situaciones donde haya sobreidentificación de restricciones, validar algunas de

estas cuando se mantiene otras por hipótesis.

• Athey y Haile prueban lo siguiente.

1. Para el modelo afiliado de valores privados deducen varias condiciones necesarias sobre los ob-

servables para que estos sean consistentes con estrategias de equilibrio.

2. Utilizando más hipótesis demuestra condiciones necesarias y suficientes. Verificar suficiencia para

que los observables sea consistentes con estrategias de equilibrio juega el mismo papel que las

condiciones de segundo orden en un problema estándar de optimización.

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Theorem 3 (Subasta al Segundo Precio) Identi fi cación y refutabilidad. Supongamos que estámos bajo

las condiciones del modelo estándar: valores privados, estructura de información independiente y simétrica

y agentes neutros al riesgo. Entonces:

1. La distribución conjunta de las valoraciones está identi fi cada con la sola observabiliad del precio de

cierre.

2. Si más de una oferta por subasta es observada o si los precios de cierres son observados con una

variación exógena en los participantes, el modelo es refutable.

Proof. Sea Y (k) el k− ésimo estadístico de {X 1,...,X n} donde Y (1) denota el máximo.

1. Si F X tiene cualquier distribución, y tenemos una muestra aleatoria (i.i.d) de tamaño n entoncescualquier estadístico de {X 1,...,X n} determina de forma unívoca la distribución F X :

F n−i+1X (z) =

n!

(n− i)! (i− 1)!

Z F x(z)0

tn−i+1(1− t)i−1dt.

El lado derecho es estrictamente creciente en F X (z) luego, como la distribución del precio de cierre es

F 2X esto identifica F X . Finalmente, debido a la simetría e independencia, la distribución marginal F X

determina F X.

4 Equivalencias entre las Subastas

• La subasta al primer precio y la subasta holandesa son estratégicamente equivalentes. Además el

resultado es independiente de la estructura de información, valoración o actitud frente al riesgo. Por

eso decimos que es una equivalencia fuerte.

• Bajo el supuesto de valores privados, la subasta inglesa es equivalente a la subasta al segundo precio.

Sin embargo, la equivalencia no es estrategica. Por estas dos razones decimos que la equivalencia es

débil.

5 Precio Reserva

• Supongamos que el subastador anuncia un precio mínimo al que está dispuesto a vender el objeto.

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• Cuando el segundo precio es menor que el precio de reserva, el ganador paga el precio de reserva.

• En la subasta al segundo precio la estrategia de revear la verdad es un equilibrio en estrategias domi-

nantes (débilmente). Independientemente de los que los demás hagan:

— Si la valoración es mayor o igual que el precio de reserva es óptimo revelar la valoración.

— Si es menor, no hay ninguna posibilidad de obtener un payoff positivo. En este caso revelar la

verdad es indiferente para el agente.

— El pago esperado de un agente con valoración x en una subasta con precio de reserva r < x es (si

x = r es simplemente rG(r)):

mII (x, r) = G(x)E −i [max {r, Y 1} | x > Y 1]

= G(x)

Z max {r, Y 1} dτ −i(· | x > Y 1)

=

Z [x>Y 1]

max {r, Y 1} dτ −i

=

Z [x>Y 1>r]

max {r, Y 1} dτ −i +Z [r>Y 1]

max {r, Y 1} dτ −i

=Z [x>Y 1>r]

Y 1dτ −i + G(r)r

=

Z xr

G(y)dy + G(r)r

— Obsérvece que cuando x = r entonces:

mII (r, r) = G(r)r

5.2 Subasta al Primer Precio

• Un análisis similar al que hemos hecho anteriormente muestra que cuando x ≥ r la estrategia

bI (x, r) = E −i [max {r, Y 1} | x > Y 1]

es un equilibro de Nash - Bayesiano.

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• Se sigue que

mI (x, r) = mII (x, r)

• El efecto del precio de reserva sobre el ingreso esperado el subastador, E £mA(X, r)¤.

— Si el valor del objeto para el subastador es x0, no es dificil mostrar que el precio de reserva r∗ que

maximiza el ingreso esperado del subastador satisface:

r∗ −1

λ(r∗) = x0

donde λ(r∗) = f (x)1−F (x) .

• Algunas observaciones sobre el precio de reserva óptimo.

— r∗ > x0. Es óptimo para el subastador colocar un precio de reserva superior a su valoración.

— Por lo tanto la subasta óptimo es ineficiente (el objeto puede quedarse sin vender aún cuando los

agentes tengan valoraciones por el objeto superior a las del subastador). Esto se conoce como el

principio de exclusión.

Exercise 1 Supongamos que solo hay dos agentes, la valoración para el subastador es cero y la estructura

de información es uniforme en [0, 1] . Mostrar que r∗

= 12 y E £m

A

(X, r)¤ = 512 .

6 El Teorema de Equivalencia del Ingreso Esperado para el Sub-

astador

• Consideremos los cuatro formatos de subastas discutidos anteriormente.

• Supongamos que estamos ba jo las condiciones del modelo estándar.

• Supongamos que el pago esperado de un jugador con valoración privada cero es cero.

Theorem 4 (Teorema de Equivalencia del Ingreso para el Subastador) Bajo las condiciones enun-

ciadas arriba, cualquier equilibrio simétrico creciente genera el mismo ingreso esperado al subastador.

Proof. Sea mA(x) el pago esperado de un individuo con valor x en una subasta A y bA (x) un equilibrio

creciente simétrico. Por hipótesis mA(0) = 0. El payoff esperado del jugador que reporta bAi (z) (como si su

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valoración hubiera sido z ) es:

E −i[πi(bAi (z) , bA

−i (X −i) , x , X −i)] = G(z)x−mA (z) .

Las condiciones de primer orden con respecto a z evaluadas en z = x son:

dmA(y)

dy = yg(y)

=⇒

mA(x) = G(x)E −i[Y 1 | Y 1 < x].

Lo que muestra que el pago esperado de cada jugador es independiente del mecanismo particular de la

subasta.

Remark 3 El teorema se puede extender al caso en que los agentes tienen valoraciones interdependientes

(ver sección sobre ranking de ingresos - linkage principle).

Remark 4 Obsérvece que la demostración depende de que los agentes sean neutrales al riesgo.

Example 4 Si la estructura de información es uniforme en [0, 1] entonces

mA (x) = N − 1N

xN

y el ingreso esperado del subastador, E [RA] es:

E [RA] = N E [mA] = N − 1

N + 1

• Si el subastador es averso al riesgo el prefiere la subasta al primer precio que al segundo precio. La

subasta al segundo precio genera ingreso más volatiles. En la subasta al segundo precio las ofertas

están en [0, w] . En la subasta al primer precio están en [0, E [Y 1 | Y 1 < x]] ⊂ [0, E [Y 1]] .

• Aplicaciones del teorema de equivalencia de ingreso: Subastas todos pagan, subasta al tercer precio e

incertidumbre en el número de jugadores.

15



7 Desviaciones del Modelo Estándar

• Mantenemos dos de los supuestos básicos del modelo estánadar: Valores privados e independencia de

la información.

• Estudiamos el caso de aversión al riesgo (pero jugadores simétricos en su utilidad) y asimetrías en la

estructura de información.

• En la sección anterior vimos que en la subasta la subasta al segundo precio era una un equilibrio en

estrategias dominates revelar la verdadera valoración. Por lo tanto, el ingreso esperado del subastador

es el mismo.

7.1 Aversión al Riesgo

Proposition 2 Con agentes aversos al riesgo pero estructura de información simétrica, las ofertas en la

subasta al primer precio son más altas que con agentes neutros al riesgo. Luego en este caso, con agentes

aversos al riesgo, el ingreso esperado en la subasta al primer precio es más alto que en la subasta al segundo

precio.

• Sea u : R → R la función de utilidad de los agentes.

• El pago esperado es:

E −i[πi | X i = x] = G(z)u(x− bI r(z))

Las condiciones de primer orden con respecto a bi son:

dbI rdx

= u(x− b

I r(x))

u0(x− bI r(x))

g(x)

G(x)

En particular, cuando los agentes son neutros al riesgo:

dbI

dx = ¡x−bI

(x)¢ g(x)

G(x)

• Ahora, es fácil comprobar que

— Si u(0) = 0, y > 0 y u es estrictamente cóncava entonces:

u(x)

u0(x) > y

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— bI r(0) = b

I (0) = 0.

• Esta última observación implica que:

bI r(x) > bI (x)

• Intuitivamente un agente averso al riesgo "compra" cobertura frente al riesgo de perder.

7.2 Asimetrías en la Información

Example 5 Supongamos que tenemos dos agentes. X i ∼ F i distribuidas en [0, wi] .

• Supongamos que existe un equilibrio creciente y diferenciable b1, b2. Denotanos los agentes por i y j.

El pago esperado de cada agente es:

E −i[πi | X i = x] = F j(b−1j (b))(b−1

i (b)− b)

• Las condiciones de primer orden son:

φ0j(b) =

F j(φj(b))

f j(φj(b))

1

(φi(b)− b)

donde φj = b−1

j y φi = b−1

i .

• Este sistema de ecuaciones diferenciables puede utilizarse para demostrar que existe una solución junto

con la condición de frontera φi(0) = 0.

• Esto no es totalmente trivial pues en la frontera la ecuación es indeterminada.

Example 6 (El caso uniforme) Supongamos F 1 y F 2 son distribuciones uniformes con w1 ≥ w2. En-

tonces las condiciones de primer orden se reducen a:

φ0j(b) = φj(b)

(φi(b)− b)

Utilizando que b1(w1) = b2(w2) ≡ b = 12 , es fácil demostrar que las siguientes estrategias son solución al

sistema de ecuaciones diferenciables:

bi(x) = 1

κix

³1−

p 1− κix2

´

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1/2

4/5 4/3

b1b2

Figure 1:

donde κi = 1w2

i

− 1w2

j

.

Cuando w1 = 43 y w2 = 4

5 entonces las solución tiene la forma:

7.2.1 Ingreso Esperado del Subastador

• El mensaje principal es que no existe un ordenamiento univoco de del ingreso esperado del subastador

en presencia de asimetrías.

• Consideremos el ejemplo anterior con w1 = 1

1−α y w2 = 1

1+α . El gráfi

co anterior corresponde al casoα = 1

4 .

• En la subasta al segundo precio la distribución del precio de cierre de la subasta es:

LII α ( p) = P [min {x1, x2} ≤ p]

y usando la independencia de las dos distribuciones es fácil ver que:

LII α ( p) = 2 p− (1− α2) p2

Esto implica que LII α ( p) es creciente en α. Por lo tanto el ingreso esperado del subastador satisface:

LII α ( p) ≥ LII

0 ( p) - el caso simétrico = 2 p− p2

18



• En la subasta al primer precio las estrategías de equilibrio son:

φ1(b) = 2b

1− 4αb2

, φ2(b) = 2b

1 + 4αb2

.

La distribución del precio de cierre es:

LI α( p) = P [max {b1(x1), b2(x2)} ≤ p]

=

¡1− α2

¢(2 p)2

1− α2(2 p)4

Ahora, es fácil mostrar que:

∂LI α( p)∂α

≤ 0

⇔

p ≤1

2.

Luego LI α( p) es decreciente en α y por lo tanto:

LI α( p) ≤ LI

0( p) = 4 p2

• En conclusión:

2 p− p2 = LII 0 ( p) ≤ LII

α ( p)

LI α( p) ≤ LI

0( p) = 4 p2

y

E [LII

0 ( p)] = Z 1

0 p(2− 2 p)dp =

1

3

E [LI 0( p)] =

Z 12

0

8 p2dp = 1

3

luego para todo α

E [LI α( p)] ≤ E [LII

α ( p)]

19



7.2.2 Eficiencia

• La subasta al segundo precio sigue siendo eficiente.

Proposition 3 Con asimetrías en la estructura de información con probabilidad positiva la subasta al primer

precio es ine fi ciente.

8 Desviaciones del Modelo Estándar (valores interdependientes e

información dependiente)

• Valores comunes y valores interdependientes

• La maldición del ganador

• Afiliación

• El modelo simétrico y el equilibrio en las subastas inglesa, primero y segundo precio.

• Comparación del ingreso para el subastador

• Ranking de ingreso para el subastador (linkage principle ) o una generalización del teorema de equiva-

lencia del ingreso para el subastador.

• Aplicación del teorema generalizado: El papel de la información pública en una subasta.

9 Colusión

• Las preguntas claves son: ¿Cómo un cartel puede asegurar que se respetará los arreglos a los que se

ha llegado entre ellos? ¿Cómo se reparten las ganacias de la colusión entre los miembros del cartel?

¿Cómo deben responder los otros en particular el subastador?

• Nos enfocamos en el modelo estándar excepto que la estructura de información puede ser asimétrica

(por simplicidad suponemos las valoraciones todas tiene el mismo intervalo).

• Aun si los jugadores fueran exante simétricos, la presencia de carteles introduciria asimetrias entre

ellos.

20




• Supongamos que el cartel sólo hace una oferta igual a la valoración más alta del objeto entre sus

miembros.

• La presencia de un cartel no afecta el comportamiento ni el pago esperado de los que están por fuera.

Sigue siendo una estrategia dominante (débilmente) revelar la verdadera valoración. Para los miembros

del cartel es una estrategia dominante (débilmente) hacer una oferta con la valoración más alta entre

los miembros del cartel (y cero o el precio de reserva todos los demás).

• Un cartel obtiene sus ganancias de disminuir la competencia en la subasta. En efecto, el pago esperdao

de los miembros del cartel es menor que si no estuvieran cartlizados.

• Incrementar los miembros del cartel aumenta el beneficio del mismo. Luego el cartel óptimo es aquel

que contiene a todos los jugadores.

• El análisis anterior se baso en que el cartel hacia una oferta igual a la valoración más alta que del objeto

tienen sus miembros. Sin embargo, esta valoración es de valor privado para los mismo miembros y hay

que diseñar un mecanismo para escoger esa valoración o representante del cartel en la subasta.

• Para hacer esto se hace una subasta preliminar denominada PAKT (preauction knockout). En el caso

de la subasta al segundo precio este PAKT es también una subasta en la que el ganador es el que ofrece

más alto y le paga al centro (administrador del cartel) un valor que depende de el pago si no hubiera

cartel. Este mecanismo fuerza a los jugadores a revelar la verdad pero no es balanceado excepto en

términos esperados.

introduccion_teoria_subastas

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