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INTRODUCCIÓN

La creciente capacidad de las computadoras y la inmensa investigación en el campo de la

Ciencia de la Computación otorgan nuevas herramientas para apoyar el proceso de la toma

de decisiones en diversas disciplinas y áreas de diseño y manejo de la industria. La

Simulación es una de las herramientas más importantes y más interdisciplinarias. En

pocas palabras podemos decir, que la simulación realiza cuando la computadora finge ser

una tienda, un avión o un mercado de abarrotes. El usuario define la estructura del sistema

que quiere simular. Una corrida del programa de simulación correspondiente le dice cual

será el comportamiento dinámico de su empresa o de la maquina que esta diseñando. Así

podemos ver los pronósticos para la demanda y utilidad de nuestro producto, o ver cuando

un mecanismo pueda fallar en las condiciones adversas del ambiente donde funcionará.

Las aplicaciones de la simulación parecen no tener limites. Actualmente se simulan los

comportamientos hasta las partes más pequeñas de un mecanismo, el desarrollo de las

epidemias, el sistema inmunológico humano, las plantas productivas, sucursales bancarias,

el sistema de repartición de pizzas en la Ciudad de México, crecimiento de poblaciones de

especies de animales, partidos y torneos de fútbol, movimiento de los planetas y la

evolución del universo, para mencionar unos pocos ejemplos de las aplicaciones de esta

herramienta. Cabe mencionar la creciente importancia de la Simulación en la

Investigación de operaciones y en sus aplicaciones industriales. En los países altamente

desarrollados la simulación es una herramienta principal de en los procesos de toma de

decisiones, en el manejo de empresas y el planeación de la producción. Además, la

Simulación es cada vez más “amigable” para el usuario, que no tiene que ser un

especialista en computación.

El Dr. Ralph Huntsinger, ex-presidente de la “Society for Computer Simulation” y actual

Presidente del Instituto McLeod de las Ciencias de Simulación ha dicho en sus

presentaciones en el Primer Simposio sobre la Simulación por Computadora y la III

Conferencia sobre Simulación por Computadora (Universidad Panamericana, Noviembre

1992 y 1995):

!LA SIMULACIÓN ES ÚTIL Y DIVERTIDA¡

¡DISFRUTE SUS VENTAJAS¡

UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN.

La simulación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias

para analizar y estudiar sistemas complejos. En Investigaciones se formularon modelos

que se resolvían en forma analítica. En casi todos estos modelos la meta era determinar

soluciones óptimas. Sin embargo, debido a la complejidad, las relaciones estocásticas, etc.,

no todos los problemas del mundo real se pueden representar adecuadamente en forma de

modelo. Cuando se intenta utilizar modelos analíticos para sistemas como éstos, en

general necesitan de tantas hipótesis de simplificación que es probable que las soluciones

no sean buenas, o bien, sean inadecuadas para su realización. En eso caso, con frecuencia

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la única opción de modelado y análisis de que dispone quien toma decisiones es la

simulación. Simular, es reproducir artificialmente un fenómeno o las relaciones entrada-

salida de un sistema. Esto ocurre siempre cuando la operación de un sistema o la

experimentación en él son imposibles, costosas, peligrosas o poco prácticas, como en el

entrenamiento de personal de operación, pilotos de aviones, etc.

Si esta reproducción está basada en la ejecución de un programa en una

computadora digital, entonces la simulación se llama digital y usualmente se conoce como

simulación por computadora, aunque esto incluye la simulación en las computadoras

analógicas. La simulación por computadora está relacionada con los simuladores. Por

simulador entendemos no sólo un programa de simulación y la computadora que lo realiza,

sino también un aparato que muestra visualmente y a menudo físicamente las entradas y

salidas (resultados) de la simulación, como es el caso de los simuladores profesionales de

vuelo, aunque en este curso no se hablará sobre los simuladores ni sobre la simulación

analógica. A partir del advenimiento de las computadoras electrónicas, la simulación ha

sido una de las herramientas más importantes y útiles para analizar el diseño y operación de

complejos procesos o sistemas. Simular, según el Diccionario Universitario Webster, es

“fingir, llegar a la esencia de algo, prescindiendo de la realidad”.

Se puede definir a la simulación como la técnica que imita el funcionamiento de un

sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo. Esto se hace por lo general al

crear un modelo de simulación. En síntesis, cada modelo o representación de una cosa es

una forma de simulación. La simulación es un tema muy amplio y mal definido que es

muy importante para los responsables del diseño de sistemas, así como para los

responsables de su operación.

Shannon define la simulación como el proceso de diseñar un modeló de un sistema real y

realizar experimentos con él para entender el comportamiento del sistema o evaluar varias

estrategias (dentro de los limites impuestos por un criterio o por un conjunto de criterios)

para la operación del sistema. Por lo que se entiende que el proceso de simulación incluye

tanto la construcción del modelo como su uso analítico para estudiar un problema. Un

modelo de simulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca del

funcionamiento del sistema, expresado con relaciones matemáticas o lógicas entre los

objetos de interés del sistema. En contraste con las soluciones matemáticas exactas

disponibles en la mayoría de los modelos analíticos, el proceso de simulación incluye la

ejecución del modelo a través del tiempo, en general en una computadora, para generar

nuestras representativas de las mediciones del desempeño o funcionamiento. En este

aspecto, se puede considerar a la simulación como un experimento de muestreo acerca del

sistema real, cuyos resultados son puntos de muestra. Por ejemplo, para obtener la mejor

estimación del promedio de la medición del funcionamiento, calculamos el promedio de

los resultados de muestra. Es claro que tanto más puntos de muestra generemos, mejor será

nuestra estimación. Sin embargo, hay otros factores que tienen influencia sobre la bondad

de nuestra estimación final, como las condiciones iniciales de la simulación, la longitud del

intervalo que simula y la exactitud del modelo mismo.

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ALGUNOS USOS DE LA SIMULACIÓN

Las áreas de aplicación de la simulación son muy amplias, numerosas y diversas,

basta mencionar sólo algunas de ellas: Análisis del impacto ambiental causado por diversas

fuentes Análisis y diseño de sistemas de manufactura Análisis y diseño de sistemas de

comunicaciones. Evaluación del diseño de organismos prestadores de servicios públicos

(por ejemplo: hospitales, oficinas de correos, telégrafos, casas de cambio, etc.).

Análisis de sistemas de transporte terrestre, marítimo o por aire. Análisis de grandes

equipos de cómputo. Análisis de un departamento dentro de una fábrica. Adiestramiento de

operadores (centrales carboeléctricas, termoeléctricas, nucleoeléctricas, aviones,

etc.).Análisis de sistemas de acondicionamiento de aire. Planeación para la producción de

bienes. Análisis financiero de sistemas económicos.Evaluación de sistemas tácticos o de

defensa militar. La simulación se utiliza en la etapa de diseño para auxiliar en el

logro o mejoramiento de un proceso o diseño o bien a un sistema ya existente para explorar

algunas modificaciones. Se recomienda la aplicación de la simulación a sistemas ya

existentes cuando existe algún problema de operación o bien cuando se requiere llevar a

cabo una mejora en el comportamiento. El efecto que sobre el sistema ocurre cuando se

cambia alguno de sus componentes se puede examinar antes de que ocurra el cambio

físico en la planta para asegurar que el problema de operación se soluciona o bien para

determinar el medio más económico para lograr la mejora deseada. Todos los

modelos de simulación se llaman modelos de entrada-salida. Es decir, producen la salida

del sistema si se les da la entrada a sus subsistemas interactuantes. Por tanto los modelos

de simulación se “corren” en vez de “resolverse”, a fin de obtener la información o los

resultados deseados. Son incapaces de generar una solución por si mismos en el sentido de

los modelos analíticos; solo pueden servir como herramienta para el análisis del

comportamiento de un sistema en condiciones especificadas por el experimentador. Por

tanto la simulación es una teoría, si no una metodología de resolución de problemas.

Además la simulación es solo uno de varios planteamientos valiosos para resolver

problemas que están disponibles para el análisis de sistemas. Pero ¿Cuándo es útil utilizar

la simulación? Cuando existan una o más de las siguientes condiciones:1.- No existe una

completa formulación matemática del problema o los métodos analíticos para resolver el

modelo matemático no se han desarrollado aún. Muchos modelos de líneas de espera

corresponden a esta categoría.2.- Los métodos analíticos están disponibles, pero los

procedimientos matemáticos son tan complejos y difíciles, que la simulación proporciona

un método más simple de solución.3.- Las soluciones analíticas existen y son posibles, pero

están mas allá de la habilidad matemática del personal disponible El costo del diseño, la

prueba y la corrida de una simulación debe entonces evaluarse contra el costo de obtener

ayuda externa.4.- Se desea observar el trayecto histórico simulado del proceso sobre un

período, además de estimar ciertos parámetros.5.- La simulación puede ser la única

posibilidad, debido a la dificultad para realizar experimentos y observar fenómenos en su

entorno real, por ejemplo, estudios de vehículos espaciales en sus vuelos

interplanetarios.6.- Se requiere la aceleración del tiempo para sistemas o procesos que

requieren de largo tiempo para realizarse. La simulación proporciona un control sobre el

tiempo, debido a que un fenómeno se puede acelerar o retardar según se desee.

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PROBLEMAS PARA LLEVAR A CABO LA SIMULACIÓN, CUANDO LOS

SISTEMAS SON GRANDES Y COMPLEJOS:

El modelo matemático es demasiado grande y complejo, así que la escritura de los

programas de cómputo resulta ser una tarea demasiado tediosa. En la actualidad se dispone

ya de algunos programas que genera de modo automático el código de un modelo para la

simulación. El tiempo de cómputo es alto y costoso. Sin embargo y gracias a los

actuales desarrollos de poderosos equipos de computo, el tiempo de computo tiende a bajar

rápidamente. Desafortunadamente existe en el mercado una marcada impresión de

considerar a la simulación, como un simple ejercicio de programación de computadoras.

Como consecuencia de ello, codificación y la corrida para obtener finalmente una

respuesta.

SISTEMAS, MODELOS Y SIMULACIÓN

Existen diversos enunciados para definir un sistema, por ejemplo: “ un sistema de

colección de entidades ( personas, máquinas equipos, etc. ) los cuales actúan o interactuan

juntos, para lograr un propósito bien definido “ ( Schmidt & Taylor )

o bien “ Un sistema es un conjunto de componentes cuyos parámetros de comportamiento

están interrelacionados. Simular un sistema significa observar un sistema equivalente que

aproxima o imita el comportamiento del sistema real.

En la práctica, lo que se entiende por sistema depende sobre todo el objetivo que se

quiera alcanzar en un estudio en particular.

La colección de entidades que componen un sistema puede ser tan sólo un

subconjunto de un sistema más amplio. Por ejemplo, si se quiere llevar a cabo un estudio

en un banco, para poder determinar el número de cajeros que se quieren, para proporcionar

un adecuado servicio a los clientes que deseen cambiar cheques por dinero en efectivo o

bien para hacer un depósito en su cuenta de ahorros, el sistema puede ser definido como

una porción del banco que consiste en los cajeros y los clientes que esperaban en una fila

para ser atendidos. Si por otro lado se incluyera la oficina de depósito de valores y cajas

personales de seguridad, entonces la definición de sistema cambia de manera natural.

Entonces las Entidades de un sistema son los elementos que nos interesan en el

sistema y los atributos son la descripción de las propiedades de las entidades. Actividad es

el proceso que causa cambios en el sistema. Estas pueden ser: endógenas cuando se

generan dentro del mismo sistema y exógenas cuando provienen del medio exterior.

El estado de un sistema queda definido como la colección de variables necesarias

para describir un sistema particular, congruente con los objetivos de estudio ( es una

fotografía del sistema )

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En el ejemplo del banco, algunas de las posibles variables de estado que pueden

definirse son: el número de cajeros, el número de clientes en el banco, la hora de llegada de

cada cliente al banco.

Los sistemas se clasifican en discreto es aquel en el que las variables de estado

cambian instantáneamente en puntos distintos en el tiempo. Se rigen por ecuaciones lógicas

que expresan condiciones para que un evento ocurra. La simulación discreta, consiste en

seguir los cambios en el estado del sistema resultando de cada uno de los eventos que se

realizan. Por regla general este tipo de la simulación se realiza siguiendo la secuencia de

ocurrencia de eventos, es decir avanzamos el tiempo de la simulación al tiempo de la

ocurrencia del siguiente evento.

En los sistemas discretos, el flujo es tratado como un cierto número de enteros. Por

ejemplo en el análisis de flujo de personas en el supermercado, involucra el tiempo que

tarda una persona en las distancias aéreas del supermercado y el contador de salida de un

sistema discreto, otros sistemas discretos son: el análisis de como el de tráfico de autobuses

en una central camionera, e control de tráfico de: trenes en una estación ferroviaria,

aviones en el aeropuerto, vehículos en una autopista, buques en el puerto. Otro ejemplo

puede ser un banco, dado que las variables de estado como pueden ser: el número de

clientes dentro del banco, cambia solamente cuando llega un nuevo cliente o bien cuando

un cliente termina de ser atendido por un cajero y abandona el banco.

Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian de manera

continua en el tiempo. Por ejemplo si consideramos un aeroplano que se mueve por los

aires, sus variables de estado como velocidad, posición, consumo de combustible, etc.,

cambian de manera continua en el tiempo.

En los sistemas continuos el flujo a través del sistema es, el de un medio continuo,

por ejemplo el flujo de las partículas sólidas, moviéndose a velocidades relativas al tamaño

de las partículas presentes en la corriente.

En la práctica, pocos sistemas continuos puros o como sistemas discretos puros, sin

embargo predomina uno de los dos, con lo cual es posible identificarlos.

En la Figura 1 se ilustra las diferentes maneras de cómo se estudian los sistemas en

general.

Otra manera de clasificar a los sistemas es determinísticos y estocásticos. En un

análisis determinístico, las variables de entrada se especifican de una manera precisa; en

cambio en un análisis estocástico, las condiciones de entrada al sistema son inciertas, son

completamente aleatorias, es decir obedecen a una ley de distribución de probabilidad.

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SISTEMA

EXPERIMENTO CON EXPERIMENTO CON

EL SISTEMA REAL UN MODELO DEL

SISTEMA REAL

MODELO MODELO

FÍSICO MATEMÁTICO

SOLUCIÓN SIMULACIÓN

ANALÍTICA

Figura No. 1 FORMAS DE ESTUDIAR LOS SISTEMAS

EXPERIMENTO CON EL SISTEMA REAL VS. EXPERIMENTO CON EL

MODELO DEL SISTEMA.

Cuando es posible (y el costo lo permite) modificar físicamente el sistema y

operarlo en las nuevas condiciones es probable lo más adecuado sin embargo no existen

muchas preguntas acerca de la relevancia del estudio.

Esta situación raramente es factible dado el alto costo asociado con experimento o

bien porque interrumpe por demasiado tiempo la operación del equipo.

Puede darse el caso que el sistema no exista, sin embargo se requiere saber su

comportamiento para diferentes configuraciones, para observar cual es la que ofrece mayor

ventaja, tal como se da en los modernos centros de maquinado flexible de diversos tipos de

componentes, o en los sistemas tácticos de defensa de un país. Por esta razón se hace

necesario construir un modelo que aproxime de la mejor manera posible el sistema real.

Siempre que se usa un modelo, existe la pregunta de que tan precisamente refleja el

comportamiento del sistema real para propósitos de la toma de decisiones, esto tiene que

ver con la validez del modelo.

Independientemente de como y con qué hagamos nuestro modelo, en cualquier caso

involucra un proceso de abstracción, que consiste básicamente en:

a) Selección de la realidad, los elementos más importantes que intervienen en el problema

y desechar aquellos que consideramos no juegan un papel determinante en el mismo.

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b) Establecer con precisión las distintas relaciones que guarden entre si dichos elementos.

Una vez realizado este proceso de abstracción estamos en condiciones de elaborar

un modelo, dependiendo de cómo y con qué lo hagamos tomará distintas características.

Construido el modelo, podemos manipular elementos y sobre todo buscar posibles

soluciones. Resolver el problema en el modelo significa haber contestado las siguientes

preguntas:

a) ¿Existe solución? Si la respuesta es negativa habremos terminado, el modelo

construido no tiene solución podemos replantearnos la pregunta y/o replantear el modelo.

Si la respuesta es afirmativa la siguiente pregunta es:

b) ¿La solución es única? Si la respuesta es afirmativa habremos acabado, si resulta

negativa, significa que existe más de una solución, y tendríamos que formularnos la tercera

pregunta:

c) ¿Cual de todas es la que más nos conviene? Para contestar esta última, muchas veces

tenemos que volver a reflexionar sobre la realidad y/o sobre nuestro modelo, para

establecer los criterios que nos permitan decir cual es mejor.

Después de resolver el problema en el modelo, podemos trasladar la solución

encontrada a la realidad, este proceso recibe el nombre de aplicación.

En el análisis de sistemas los tipos de modelos de interés son los modelos

matemáticos, el cual representa al sistema en términos de variables (enteras, reales, lógicas,

etc.) y sus relaciones mutuas, las cuales se manipulan y modifican a placer para poder

determinar la forma como responde el sistema modelado o bien como debe de

comportarse, siempre y cuando el modelo sea valido.

SOLUCIÓN ANALÍTICA CONTRA SIMULACIÓN.

Una vez que se ha construido un modelo matemático, este debe ser analizado para

saber la manera como debe ser utilizado para que de respuesta a las preguntas de interés,

acerca del sistema que supuestamente representa.

Si el modelo es lo suficiente sencillo, es posible trabajar con cantidades y relaciones

que tiendan a la exactitud, obteniéndose entonces una solución exacta. Sin embargo, aún

las soluciones analíticas pueden ser extraordinariamente complejas, requiriéndose de un

considerable tiempo de cómputo.

Pero cuando el modelo es demasiado complejo, el modelo matemático asociado es

de las mismas características y la opción de utilizar una solución analítica se desvanece,

dando paso al estudio del sistema mediante simulación.

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TIPOS DE MODELOS DE SIMULACIÓN.

MODELOS DE SIMULACIÓN ESTÁTICA VS. DINÁMICA

Un modelo de simulación estática, se entiende como la representación de un

sistema para un instante (en el tiempo) en particular o bien para representar un sistema en

el que el tiempo no es importante, por ejemplo la simulación Montecarlo; en cambio un

modelo de simulación dinámica representa a un sistema en el que el tiempo es una variable

de interés, como por ejemplo en el sistema de transporte de materiales dentro de una

fabrica, una torre de enfriamiento de una central termoeléctrica, etc..

MODELOS DE SIMULACIÓN DETERMINISTA VS ESTOCASTICA

Si un modelo de simulación no considera ninguna variable importante,

comportándose de acuerdo con una ley probabilística, se le llama un modelo de simulación

determinista. En estos modelos la salida queda determinada una vez que se especifican los

datos y relaciones de entrada al modelo, tomando una cierta cantidad de tiempo de

cómputo para su evaluación. Sin embargo, muchos sistemas se modelan tomando en

cuenta algún componente aleatorio de entrada, lo que da la característica de modelo

estocástico de simulación.

Un ejemplo sería un sistema de inventarios de una fábrica, o bien el sistema de

líneas de espera de una fabrica, etc. Estos modelos producen una salida que es en si misma

de carácter aleatorio y ésta debe ser tratada únicamente para estimar las características

reales del modelo, esta es una de las principales desventajas de este tipo de simulación.

MODELOS DE SIMULACIÓN CONTINUOS VS DISCRETOS

Los modelos de simulación discretos y continuos, se definen de manera análogo a

los sistemas discretos y continuos respectivamente. Pero debe entenderse que un modelo

discreto de simulación no siempre se usa para modelar un sistema discreto. La decisión de

utilizar un modelo discreto o continuo para simular un sistema en particular, depende de

los objetivos específicos de estudio. Por ejemplo: un modelo de flujo de tráfico en una

supercarretera, puede ser discreto si las características y movimientos de los vehículos en

forma individual es importante. En cambio si los vehículos pueden considerarse como un

agregado en el flujo de tráfico entonces se puede usar un modelo basado en ecuaciones

diferenciales presentes en un modelo continuo.

Otro ejemplo: Un fabricante de comida para perros, requiere el auxilio de una

compañía consultora con el objeto de construir un modelo de simulación para su línea de

fabricación, la cual produce medio millón de latas al día a una velocidad casi constante.

Debido a que cada una de las latas se representó como una entidad separada en el modelo,

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éste resulto ser demasiado detallado y por ende caro para correrlo, haciéndolo poco útil.

Unos meses más tarde, se hizo una reformulación del modelo, tratando al proceso como un

flujo continuo. Este nuevo modelo produjo resultados precisos y se ejecuto en una fracción

del tiempo necesario por el modelo original.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL USO DE LA SIMULACIÓN

Aunque la técnica de simulación generalmente se ve como un método de último

recurso, recientes avances en las metodología de simulación y la gran disponibilidad de

software que actualmente existe en el mercado, han hecho que la técnica de simulación sea

una de las herramientas más ampliamente usadas en el análisis de sistemas. Además de las

razones antes mencionadas, Thomas H. Naylor ha sugerido que un estudio de simulación es

muy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:

A través de un estudio de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y

externos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando los

efectos de esas alteraciones en el comportamiento del sistema.

Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor

entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren la

operación y eficiencia del sistema.

La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico para

enseñar a estudiantes habilidades básicas en análisis estadísticos, análisis teórico, etc.

La simulación de sistemas complejos puede ayudar a entender mejor la operación del

sistema, a detectar las variables más importantes que interactuan en el sistema y a

entender mejor las interrelaciones entre estas variables.

La técnica de simulación puede ser utilizada para experimentar con nuevas situaciones,

sobre las cuales tiene poca o ninguna información. A través de esta experimentación se

puede anticipar mejor a posibles resultados no previstos.

La técnica de simulación se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En

algunas ocasiones se puede tener una buena representación de un sistema (como por

ejemplo los juegos de negocios), y entonces a través de el es posible entrenar y dar

experiencia a cierto tipo de personal.

Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede ser usada

para anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en el

comportamiento del sistema.

Los sistemas los cuales son sujetos de investigación de su comportamiento no necesitan

existir actualmente para ser sujetos de experimentación basados en la simulación. Solo

necesitan existir en la mente del diseñador.

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El tiempo puede ser compresado en los modelos de simulación. El equivalente de días,

semanas y meses de un sistema real en operación frecuente pueden ser simulados en

solo segundos, minutos u horas en una computadora. Esto significa que un largo

número de alternativas de solución pueden ser simuladas y los resultados pueden estar

disponibles de forma breve y pueden ser suficientes para influir en la elección de un

diseño para un sistema.

En simulación cada variable puede sostenerse constante excepto algunas cuya influencia

está siendo estudiada. Como resultado el posible efecto de descontrol de las variables

en el comportamiento del sistema necesitan no ser tomados en cuenta. Como

frecuentemente debe ser hecho cuando el experimento está desarrollado sobre un

sistema real.

Es posible reproducir eventos aleatorios idénticos mediante una secuencia de números

aleatorios. Esto hace posible usar las técnicas de reproducción de varianza para mejorar

la precisión con la cual las características del sistema pueden ser estimadas para dar un

valor que refleje el esfuerzo de la simulación.

A diferencia de las ventajas mencionadas, la técnica de simulación presenta

importantes desventajas, éstas son:

Falla al producir resultados exactos. S supone que un sistema ésta compuesto de uno o

mas elementos que están sujetos a un comportamiento al azar. Cuando una simulación

es desarrollada con un modelo del sistema, los valores de cada variable son registrados y

los promedios de estos valores son dados en una postsimulación. Pero el promedio en

una muestra de observación solo a veces provee un estimado de lo esperado, es decir,

una simulación solo provee estimados, no resultados exactos.

Fallas al optimizar. La simulación es usada para contestar preguntas del tipo “Qué pasa

si?”, “pero no de”, “¿que es lo mejor?”. En este sentido, la simulación no es una técnica

de optimización. La simulación no generará soluciones, solo evalúa esas que han sido

propuestas.

Largo tiempo de conducción. Un estudio de simulación no puede ser conducido o

llevado a cabo en solo un fin de semana. Meses de esfuerzo pueden ser requeridos para

reunir información, construir, verificar y validar modelos, diseñar experimentos y

evaluar e interpretar los resultados.

Costos para proveer capacidad de simulación. El establecimiento y mantenimiento de

capacidad de simulación, envuelve tener mejor personal, software, hardware,

entrenamiento y otro tipo de costos.

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Abuso de simulación. Hay muchas facetas para un balanceo y comprensivo estudio de

la simulación. Ya que una persona debe tener conocimiento de una gran variedad de

áreas antes de llegar a ser un practicante de la simulación. Este hecho es algunas veces

ignorado, sin embargo como resultado, cada estudio puede incorrectamente ser

desarrollado, o podría estar incompleto, o podría caer en otro tipo de caminos, quizá

resultado de una falla del esfuerzo de la simulación.

En conclusión la simulación ofrece poderosas ventajas pero sufre de mayores

desventajas también. Afortunadamente muchas de estas desventajas están disminuyendo

en importancia en el tiempo, gracias a las herramientas que emplean simulación.

metodologias, desarrollo de computadoras y de software y decrementos en los costos de los

mismos.

Como nosotros hemos visto la simulación tiene una categoría extremadamente

buena, aun ahora en medio de tantas alternativas y su méritos podrían continuar a través

del tiempo.

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METODOLOGIA DEL PROCESO DE SIMULACIÓN.

PLANIFICAR UN PROCESO DE SIMULACIÓN REQUIERE DE LOS

SIGUIENTES PASOS:

A) FORMULACIÓN DEL PROBLEMA.

B) RECOLLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN REQUERIDA.

C) FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO.

D) EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA INFORMACIÓN

PROCESADA.

E) FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA DE COMPUTADORA.

F) VALIDACIÓN DEL PROGRAMA DE COMPUTADORA.

G) DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN.

H) ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN.

A continuación se resumen las principales características asociadas a cada paso.

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FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Generalmente un problema se presenta por síntomas, no por el diagnostico. Por lo

que antes de generar soluciones en un sistema, se deben buscar el mayor numero de

síntomas.

Según Acoff y Sasieni, las condiciones para que exista el mas simple de los

problemas son:

1. Debe existir por lo menos un individuo que se encuentra dentro de un marco de

referencia, el cual se puede atribuir el problema del sistema.

2. El individuo debe tener por lo menos un par de alternativas para resolver su problema,

en caso contrario no existe tal problema.

3. Deben de existir por lo menos, un par de soluciones, una de las cuales debe tener mayor

aceptación que la otra en el individuo. En caso contrario, no existe el problema. Esta

preferencia esta asociada a un cierto objetivo dentro del marco de referencia en donde se

encuentra el individuo del sistema.

4. La selección de cualquiera de las soluciones debe repercutir de manera diferente en los

objetivos del sistema, es decir existe una eficiencia y/o efectividad asociada con cada

solución. Estas eficiencias y/o efectividades deben ser diferentes, puesto que de lo

contrario no existe problema.

5. Por ultimo le individuo que toma las decisiones ignora las soluciones y/o eficiencia y/o

efectividades asociadas con las soluciones del problema.

Si las cinco condiciones anteriores existen, entonces se tiene un problema. Esta

situación puede complicarse en los siguientes casos:

a) El problema recae en un grupo, no en un individuo.

b) El marco de referencia donde se encuentra el grupo, cambia en forma dinámica.

c) El numero de alternativas que el grupo puede escoger es bastante grande, pero finito.

d) El grupo dentro del sistema puede tener objetivos múltiples. Peor aun, no

necesariamente estos objetivos son consistentes entre si.

e) Las alternativas que selecciona el grupo son ejecutadas por otro grupo ajeno, al cual no

se le puede considerar como elemento independiente del sistema.

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f) Los efectos de la decisión del grupo pueden sentirse por elementos que aun siendo

ajenos al sistema considerando, influyen directa o indirectamente, favorable o

desfavorablemente hacia el (político, consumidor, etc.).

Para formular un problema se necesita la siguiente información:

a) ¿Existe un problema?.

b) ¿De quien es el problema?.

c) ¿Cual es el marco de referencia del sistema donde se encuentra el problema?

d) ¿Quien o quienes toman las decisiones?

e) ¿Cuales son sus objetivos?.

f) Cuales son los componentes controlables del sistema y cuales no lo son?.

g) ¿Cuales son las interrelaciones más importantes del sistema?.

h) ¿Como se emplearan los resultados del proyecto? ¿Por quien? ¿que efectos tendrá?

i) ¿Las soluciones tendrán efecto a corto o largo plazo?

j) ¿Podrán los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fácilmente?

k) ¿Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones del proyecto? ¿En qué

grado?

FORMULAR UN PROBLEMA REQUIERE:

a) Identificar las componentes controlables de un sistema.

b) Identificar posibles rutas de acción dadas por las componentes, controlables.

c) Definir el marco de referencia, dado por las componentes no controlables

d) Definir los objetivos que se persiguen y clasificarlos por su orden de importancia.

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Identificar las relaciones importantes entre las diferentes componentes del sistema,

este paso equivale a encontrar las restricciones que existen, a la vez que permite más

adelante representar estas interrelaciones en forma matemática.

La identificación de la estructura del sistema (componentes, canales,

interrelaciones, etc.), se hace a través de un proceso sistemático, que se conoce como

diseño de sistemas.

El diseño de sistemas se lleva a cabo de la siguiente manera:

a) Se ubica al sistema considerando dentro de sistemas más grandes.

b) Se determinan las componentes del sistema.

c) Se determinan los canales de comunicación entre las componentes del sistema y de este

hacia los elementos de otros sistemas que van a tener influencia directa o indirecta.

d) Se determinan de que manera se tiene acceso a la información requerida como se

procesa esta y como se transmite entre las diferentes componentes del sistema.

RECOLECCION Y PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN.

1.- Mediante algún método de recolección se necesita capturar los siguientes datos.

- Número de llegadas por unidad de tiempo a diferente horarios.

- Tiempos entre llegadas en diferentes horarios.

- Operaciones que se realizan en el banco.

- Frecuencia de los servicios requeridos por el usuario.

- Comportamiento del usuario en las líneas de espera.

2.- Procesar la información capturada, en forma de tablas, gráficas, etc. a través de algún

paquete computacional.

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Recolección y procesamiento de la información.

RECOLECCIÓN: Es el proceso de capturar los datos disponibles que se requieren para la

simulación del comportamiento del sistema.

PROCESAMIENTO: Se comprenden las actividades requeridas para transformar los datos

en información.

Por ejemplo, un directorio telefónico es un banco de datos: mi dirección y teléfono

es información que procede de ese banco de datos el hecho de que estos datos estén

arreglados en cierta forma (procesados y forma alfabética), permite el acceso a la

información deseada de una manera sencilla.

La formulación es necesaria para poder simular un sistema.

La información debe ser: oportuna relevante y confiable.

FUENTES PARA GENERAR INFORMACIÓN

1.- Las series históricas o de tiempo: son datos útiles y de rápido procesamiento para

convertirlos en información.

2.- La opinión de expertos: Es información subjetiva, carente de detalle y de utilidad

mínima, económica y rápida de obtener cierto tipo de información complementaria.

3.- Los estudios de campo: son el método mas efectivo, aunque más costoso y tardado, de

obtener información requerida. Se requiere el diseño de una muestra estadística

representativa del universo bajo estudio; de un cuestionario que asegure la relevancia y

confiablilidad de un cuestionario y que asegure la relevancia y confiabilidad de los mismos

y de personal entrenado que aplique la encuesta. La información capturada se mete a la

computadora a través de algún paquete y se edita.

FORMULACIÓN DEL MODELO.

1. Representar el sistema mediante un esquema en el que se visualice en cada modula con

sus componentes, atributos, actividades endógenas y exógenas y las relaciones entre

estas. El conjunto de todos estos módulos es el sistema.

2. Caracterizar matemáticamente las relaciones quien gobierna la interacción de las

componentes del sistema y de las actividades endógenas y exógenas.

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Es mas fácil construir una expresión matemática de las componentes y actividades

del bloque de que todo el sistema. Sin embargo a una escala, la modelación puede ser muy

difícil o, en ciertos casos imposible.

El sistema como un todo se modela matemáticamente de acuerdo a la interconexión

de los bloques.

Por ejemplo si un sistema esta formada por una sola unidad de servicio y una línea

de espera, una expresión matemática para determinar el tiempo promedio que los clientes

están en el sistema:

TSISTEMA = TCOLA + TSERVICIO

FORMULACIÓN DEL MODELO

Al modelar el sistema banco se caracterizan por expresiones matemáticamente las

relaciones que gobiernan las interacciones de los módulos con cada uno de sus

componentes, atributos, actividades endógenas y exógenas.

A

B

C

D

E

F

Se considera que el sistema banco esta formado por el modulo siguiente:

MODULO 1: Formado por las 6 cajas.

COMPONENTES:

18

CAJAS A, B, C, D, E, F.

LINEAS DE ESPERA

ATRIBUTOS:

CAJAS: Tipo de operación que realizan, monto de dinero recaudado, clientes atendidos en

cada actividad; tiempo de servicio para cada actividad.

LINEA DE ESPERA: Tiempo promedio que un cliente esta en cola, número promedio de

cliente en cada cola.

ACTIVIDADES EXÓGENAS: Todas las actividades económicas que originan que los

usuarios lleguen al banco.

ACTIVIDADES ENDÓGENAS: Son cinco las actividades que se van a realizar en el

banco.

1. Ahorro

2. Deposito

3. Cambio de cheques

4. cambio de dinero

5. pago de servicios

estas actividades pueden hacerse en algunas o varias cajas.

El 10% realizan ahorro, de este 10% el 40% solo realizan ahorro en la caja a el

60% además van a depositar en las cajas B a F.

El 20% realizan la operación de deposito en las cajas B a F

El 40% realizaba la operación de deposito en las cajas B a F

45% cheques < 1000 cajas B y E

35% cheques 1001 a 5000 cajas C y D

20% cheques > 5000 caja F

El 20% realizan la operación cambio de dinero en las cajas de la B a F.

El 10% realizan la operación pago de servicios en las cajas B y E.

EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA

INFORMACIÓN PROCESADA

19

Se necesita averiguar el tipo de distribución probabilística que gobierna a la

información.

Para ello se requiere la realización de una serie de prueba estadísticas, para analizar

si existen diferentes significativas entre la distribución empírica observada (histograma de

los datos capturados) y la distribución teórica supuesta de no existir diferencias

significativas, se utiliza la distribución teórica que generalmente ya viene tabulada. De lo

contrario, el comportamiento del sistema debe hacerse en base a la distribución empírica

observada, lo cual acarrea cierta complejidad.

Las diferentes pruebas auxiliares para analizar estas diferencias estadísticas son:

a) Pruebas referentes a valores medios (diferentes entre medias).

b) Pruebas referentes a variaciones (Ji-cuadrada, prueba F…).

c) Pruebas referentes a conteo de datos (proporciones, tablas de contingencia, bondad de

ajuste, pruebas de corridas e intervalo).

d) Pruebas no parametricas (rangos, medianas, corrección, Kolmogorov-Smirnov, etc.).

EVALUACIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA

INFORMACIÓN PROCESADA

¿Como se evalúo que las llegadas de clientes al banco son tipo Poisson o que los

tiempos entre llegadas son de tipo exponencial?

De 9:00 a 10:00 el tiempo promedio es de 15”

De 10:00 a 12:00 el tiempo promedio es de 30”

De 12:00 a 13:00 el tiempo promedio es de 20”

En relación al tiempo de operación y caja a utilizar, como se determino que:

El 10% va a ahorrar en la caja a que de este 10%

El 40% se retira.

El 60% se va a deposito.

El 20% se va a depositar en las cajas B a F.

El 40% va a cambio de cheques que de este 40%.

El 45% son cheques < 1000 y va a las cajas B y F.

Que el 35% son cheques 1001 a 5000 y van a las cajas C y D.

Que el 20% son cheques > 5000 y van a la caja F

El 20% va a cambio de dinero en las cajas B y F.

El 10% va apago de servicios y va a las cajas B y F .

20

Como se concluyo que los tiempos de servicios en las cajas de acuerdo al tipo de

operación son:

Ahorro 3” 1”

deposito 15.

30

cambios de cheques

cheque < 1000 1'

30''

cheque 1001 a 5000 2'

45''

cheque> 5000 2 5. ' '

1

cambio de dinero 3'

1'

pago de servicios 4’ 2’

Para realizar las pruebas estadísticas se sugiere apoyarse en algún software como el

statgraphics que es un paquete estadístico.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

¿EXISTE UN PROBLEMA?

Recientemente se ha notado la disminución de clientes en el banco.

Posiblemente el trato hacia el cliente no se a el adecuado. O probablemente el

cliente tarda mucho esperando ha ser atendido que ha optado por buscar los servicios de

otro banco. Posiblemente haya muchas interrogaciones en relación a lo que esta

ocurriendo actualmente en el banco. Pero de ella, la mas importantes es la que esta

relacionada con el tiempo que permanece el cliente en el banco ¿como es este tiempo?

¿podría ser disminuido a tal grado que sea atractivo para el cliente y vuelvan a requerir los

servicios del banco?

Problema: La cantidad de clientes ha disminuido, necesitamos ser más eficientes y eficaz.

¿De quien es el problema?: De todos los que laboran en el banco pero fundamentalmente

del gerente y el cuerpo directivo.

¿Marco de referencia?: De acuerdo con la experiencia del gerente se supone que el

problema se encuentra en las cajas, específicamente en el tiempo utilizado para que un

21

cajero atienda a un cliente. El problema se encuentra en todo el sistema o específicamente

en el subsistema cajas.

¿Quien o quienes toman las decisiones?: El gerente con su cuerpo directivo.

¿Cuales son las componentes controlables del sistema?:

Las cajas: Pueden ponerse cajeros más rápidos y eficientes, aumentando su numero.

Las líneas de espera: Pueden organizarse de tal manera que la espera sea agradable.

Estrategias: A través de personal capacitado se puede orientar al cliente para mandarlo a

la caja más adecuada y rápida. Esto hacia más fluida la espera.

¿Cuales son las componentes no controlables? Los clientes en lo que se refiere a tasa de

llegada, a su deseo de irse cuando ha transcurrido cierto tiempo o existen un numero

determinado de clientes delante de el.

¿Cuales son las interrelaciones más importantes del sistema? Los recurso del sitema banco

son.

*Recursos humanos.

*Recursos financieros.

*Recursos materiales.

Entre estos existe un número muy grande de interrelaciones.

R.H R.F

R.M

En nuestro caso las interrelaciones más importantes son la que se entre los recurso

humanos con los clientes. Que llegan al banco y que por un tiempo determinado forman

parte del sistema banco.

Cada caja esta atendida por sistema humano y este atiende a otro ser humano que es

un cliente.

22

Cliente cajero

Aunque se maneje dinero y equipo eléctrico no existen interrelaciones relevantes

que sean un objetivo para este análisis.

Nos interesa la utilización de las cajas atendidas por seres humanos, denominados

cajeros.

¿Quienes harán la investigación de lo que esta ocurriendo en el sistema banco? Expertos

en investigación de operaciones, en sistemas y en simulación.

¿Como se emplearan los resultados de la investigación? Para el análisis se determinara:

Número promedio de clientes en cada caja.

El tiempo promedio que un cliente esta en caja.

El promedio que un cliente esta en el sistema.

El número promedio en el sistema.

El factor de utilización de cada una de las cajas.

El numero de los clientes que hicieron determinado tipo de servicio.

La posibilidad de que colas en las cajas con un número determinado de clientes.

Determinar los tiempos promedio de atención de los clientes en las cajas.

Los resultados anteriores se emplearan para analizar con que condiciones desde el punto de

vista funcional se encuentra el sistema banco.

¿Por Quien? El grupo de especialistas proporcionara dicha información al gerente y su

equipo administrativo para su análisis y toma de decisiones.

¿Qué efectos tendra? Puede ser que elimines cajas si es que la utilización son muy grandes.

¿Las soluciones tendran efecto a corto o largo plazo? Dada la alta competitividad con otros

bancos se sugiere realizar la simulación del sitema banco para poder tener un análisis que

traiga como resultado mejorar el servicio que dicho banco proporciona. Todo esto a corto

plazo.

a) ¿Podrán los efectos de las soluciones modificarse o cambiarse fácilmente?: En este caso

el efecto de las soluciones es proporcionar satisfacción en el cliente una parte de la

solución sería disminuir el tamaño de las líneas de espera, agilizar el tiempo de atención

de caja a los clientes. Para lograr una mayor satisfacción se debe permitir decidir hasta

que punto pueden crecerse los cambios deseados u en su momento disminuirse.

b) ¿Cuantos elementos del sistema se afectaran por las soluciones y en que grado?: Los

elementos del sistema que podrían verse afectado son alguna o algunas de las 6 cajas.

Existe la posibilidad de que alguna caja tenga su utilización baja, desaparezca, no así el

servicio que proporciona al eliminarse cajas, esto podría afectar a algún trabajador.

23

En la formulación del problema existe un proceso dialéctico entre los que tienen el

problema y los que van a construir el modelo. Algunos objetivos o propósitos pueden

definirse mediante los siguientes aspectos:

a) Preguntas que deben contestarse:

¿Realmente necesita hacerse un análisis del funcionamiento del sistema banco? ¿Podria

disminuirse el tiempo de estancia de un cliente en el sistema banco? ¿Sera necesario

instalar equipo electrónico que sirva de apoyo al cajero para dar un servicio más

rápido?, ¿Se necesitan más cajas para el servicio?

b) Hipótesis que deben ser verificadas:

La causa de que en el banco haya poca clientela se debe a que los tiempos de servicio en

las cajas son muy lentos originando la acumulación de mucha cola.

Si el cajero cuenta con equipo electrónico como apoyo a sus operaciones la eficiencia se

elevaría hasta el 90%.

Un resultado del analisis podria ser que despidieran personal.

La administración del banco podría instalar espejos, sillas, televisiones, la sala para evitar

que los llamados aburridos se fueran.

c) Efectos que deben estimarse:

¿Como afectaría al sistema banco si e instalara equipo electrónico en cada caja?

¿Como afectaría al sistema banco si se aplica el horario de servicio?

¿Como afectara al sistema banco si se instalan en la localidad otros bancos?

VALIDACIÓN DEL PROGRAMA POR COMPUTADORA

En el caso del sistema banco se tiene lo siguiente.

1.- Cada corrida genera los siguientes resultados.

a) Un numero de clientes que se van por aburridos.

b) Un número promedio de clientes que se esperan en la cola de cada caja

c) Un factor de utilización para cada una de las 6 cajas.

d) Una tabla de tiempos de tránsitos o de estancia de los clientes en el sistema.

e) Una tabla de los tiempos de estancia en cada una de las colas(cajas).

Si se realiza otra corrida se obtiene a otros resultados diferentes.

¿Cuantas veces se debe correr el programa? Aún cuando en cada corrida los

resultados son diferentes estadísticamente estos pueden ser confiables.

2.- Establecer las hipótesis para cada tipo de resultados, aún cierto nivel de significancia.

Por ejemplo si se hacen 5 simulaciones probar que probabilisticamnete los factores

de utilización de cada una de las cajas son iguales.

24

AU = UB = UC = UD = UF

AU = UB = UC = UD = UF

AU = UB = UC = UD = UF

AU = UB = UC = UD = UF

AU = UB = UC = UD = UF

3.- Realizar la prueba de hipótesis para afirmar o refutar la hipótesis como statgraphics.

4.- Simultáneamente realizan las pruebas de hipótesis, y se pueden comparar los resultados

con algún patrón de información previamente conocido para tener panorama más amplio y

confiable.

5.- Si la hipótesis no fue aceptada entonces se debe revisar exhaustivamente todo el

programa las funciones, procedimientos entradas y salidas de información, hasta encontrar

si hay el posible error.

DISEÑO DE EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN

Esta fase se puede hacer simultáneamente con las faces: diseño y validación del

programa. Una vez validado el programa se entra a la fase del diseño de experimentos que

se quieren simular, para ello se debe hacer lo siguiente:

1. Definir las variables endógenas y exógenas.

2. Definir las estructuras funcionales que las relacionan.

3. Elegir las distribuciones adecuadas a los parametros aleatorios.

4. Generar los números y variables aleatorias que de acuerdo a estas distribuciones,

representan al sistema baja estudio.

5. Realizar pruebas de hipótesis para seleccionar la información necesaria para realizar la

simulación.

6. Definir las distintas condiciones iniciales y finales de la simulación.

7. Realizar un número determinado de simulación.

8. Tabule y grafique los resultados para realizar un mejor análisis y validación de la

simulación.

DISEÑO DEL EXPERIMENTO DE SIMULACIÓN DEL SISTEMA

BANCO

25

1. ¿Están bien definidas las variables endógenas del sistema?

2. ¿Están bien definidas las estructuras funcionales que realizan las variables?

3. ¿Se han hecho las pruebas de hipótesis necesarias para afirmar que:

-Las llegadas son de tipo Poisson o que los tiempos son de tipo exponencial

-Que los tipos de servicio que van a requerir el cliente están representados por una

distribución.

-Que las duraciones de los servicios son de tipo uniforme y normal como lo espe-

sifica el enunciado.

4. ¿Se tiene bien definido el modelo generador de números aleatorios?

5. ¿Se tienen bien definidos los modelos generador de números aleatorios?

En cuanto a las condiciones iniciales y finales se tiene lo siguiente:

CONDICIONES INICIALES

El banco inicia s su funciones a las 9:00

Al inicio no hay ningún cliente

CONDICIONES FINALES

El banco solo pueden darse llegadas hasta las 13:30 horas.

La simulación termina cuando no haya un solo cliente.

8. ¿Se tienen definidas cuantas simulaciones se van a realizar?

un solo día es de 9:00 a 13:30.

solo podrían simular una semana o un mes.

9. Tabular y grafique los resultados obtenidos de cada simulación con el fin de realizar un

mejor análisis y validación de la simulación.

ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN

1. Recolectar sistemáticamente los datos producidos por la simulación.

2. Calcular ciertas estadísticas.

3. Interpretar el comportamiento de la información obtenida.

4. Validar los resultados de la simulación comparando tanto similitud entre los resultados y

las posibles series historicas que se poseen, como el uso que los decisiones le den a esta

herramienta.

La utilización del modelo por parte de los decisores es la validación crucial. De

otra forma el modelo se archiva o se tira a la basura.

ANALISIS DE RESULTADOS Y VALIDACIÓN DE LA SIMULACIÓN

26

1.- Diseñe una tabla con un formato tal que facilite la visualización de los resultados de

cada simulación del sistema banco

corrida clientes que se van colas en cada caja utilización en cajas

QA, QB, QC, QD, QE, PA, PB, PC, PD, PE,

QF PF

TABLAS DE TIEMPO

2.- Calculo de las estadísticas

promedios, desviaciones estándar porcentajes etc.

3.- Interpretación de los resultados

Hacer comparaciones de los promedios entre una y otra simulación

4.- Comparar estos resultados con algún patrón de información o con la realidad que

desea resolver.

Representaría a los decisiones.

FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA DE COMPUTADORA.

Esta fase se puede hacer simultáneamente con las fases: validación del programa y el

diseño de experimento los pasos a seguir para formular un programa de computadora

son:

a) Elaborar un diagrama de flujo que muestre el efecto de las diferentes actividades sobre

las componentes importantes del sistema

b) Diseñar la programación en algún lenguaje especial como:GPSS, SIMNET,

SIMSCRIPT, GASP, DYNAMO, etc. ó lenguajes de alto nivel: PASCAL, C.

-condiciones iniciales de la simulación.

-condiciones finales.

c) Probar el programa hasta eliminar todos los errores lógicos y no lógicos.

27

d) Generar resultados.

b) diseñar un programa:

El programa puede hacerse en lenguajes de alto nivel: C, PASCAL, FORTRAN,

BASIC, etc., lenguajes de simulación: GPSS SIMNET, cualquiera que sea el lenguaje

seleccionada en el deben ampliarse procedimientos funciones o bloques que describan la

realización de llegadas servicios y salidas.

SIMULACIÓN

I SIMULACIÓN Y TOMA DE DECICIONES.

I.1 INTRODUCCIÓN

Con el advenimiento de la computadora, una de las más importantes herramientas

para realizar el diseño y operación de sistemas o procesos complejos es la simulación.

Aunque la construcción de modelos arranca desde el Renacimiento, el uso moderno

de la palabra simulación data de 1940, cuando los científicos Von Neuman Y Ulam que

trabajaban en el proyecto Monte Carlo, durante la segunda Guerra Mundial, resolvieron

problemas de reacciones nucleares cuya solución experimental sería muy cara y el análisis

matemático demasiado complicado.

Con la utilización de la computadora en los experimentos de simulación, surgieron

incontables aplicaciones y con ello, una cantidad mayor de problemas teóricos y prácticos.

En estas notas, se intenta por consiguiente, investigar y analizar cierto número de

aplicaciones importante de simulación de las áreas economía, administración de negocios,

ingeniería industrial e sistemas computacionales investigación de operaciones, así como

también sugerir algunos métodos alternativos para resolver algunos problemas teóricos y

prácticos que surgen al efectuar simulaciones reales.

I.2 DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN.

Se ha empezado a utilizar la palabra simulación sin haber dado una definición de

ella. Por consiguiente, antes de proseguir con este tema, sería conveniente describir

algunas de las definiciones más aceptadas de y difundidas de la palabra simulación. Tomas

H. Naylor (1977), la define así:

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una

computadora digital, los cuales requieren ciertos tipos de modelos lógicos y matemáticos

28

que describen el comportamiento de un negocio o un sistema económico (o algún

componente de ellos) en periodos extensos de tiempo real.

La definición anterior está hecha en un sentido muy amplio, pues puede incluir

desde una maqueta, hasta un sofisticado programa de computadora. En sentido más

estricto, Masiel y Gnugnoli, definen simulación como:

Simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una

computadora digital. Estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos

matemátematicos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios,

económicos, sociales, industriales, biológicos físicos y químicos a través de largos

períodos de tiempo.

Otros estudiosos del tema como Robert E. Shannon (1988), definen simulación

como:

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un

sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el

comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias con las cuales se puede operar el

sistema.

Para los que prefieren una definición estrictamente formal, la propuesta por West

Churman puede resultar satisfactoria, ya que admite las ambigüedades e inconsistencias

inherentes al uso actual de la palabra y define la simulación como [Boni, 1963]:

Se dice que “x simula a y” si y sólo si:

a) x y y son sistemas formales;

b) y se considera como el sistema real;

c) x se toma como una aproximación del sistema real;

d) las reglas de validez en x no están exentas de error.

Las definiciones anteriores no especifican si los sistemas modelados son continuos

o discretos. Se desprende entonces que, existe la simulación de sistemas dinámicos

continuos y discretos.

1.3 SIMULACIÓN COMO UNA TECNICA PARA SOLUCIONAR

PROBLEMAS.

Simulación, es una forma de realizar experimentos en la computadora, la cual ayuda

a las empresas a realizar la simulación de un proyecto para ver si valdrá la pena

desarrollarlo en la empresa. A continuación listamos algunos de los aspectos más

importantes que se tienen que tomar en cuenta, cuando se desea llevar a cabo un

experimento de simulación, en la toma de decisiones.

29

1. La simulación hace posible estudiar y experimentar con las complejas interacciones que

ocurren en el interior de un sistema dada, ya que sea en una empresa, industria,

economía o un subsistema de cualquiera de ellas.

2. A través de la simulación se puede estudiar los efectos de ciertos cambios informativos,

de organización y ambientales, en la operación de un sistema, al hacer alteraciones en su

modelo y observar los efectos de éstas en el comportamiento del problema.

3. La observación detallada del sistema que se está simulando, conduce a un mejor

entendimiento del mismo y proporciona sugerencias para mejorarlo.

4. La experiencia que se adquiere al diseñar un modelo de simulación en una computadora,

puede ser más valiosa que la simulación en sí misma. El conocimiento que se obtiene al

diseñar un estudio de simulación sugiere, frecuentemente, cambios en el sistema en

cuestión. Los efectos de estos cambios pueden probarse, entonces, a través de la

simulación, antes implantarlos en el sistema real.

5. La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo

conocimiento acerca de cuales variables son más importantes que otras en el sistema y

cómo ellas obran entre sí.

6. La simulación puede emplearse para experimentar con situaciones nuevas acerca de las

cuales tenemos poca o ninguna información, con el objeto de estar preparados para

alguna eventualidad.

7. La simulación puede servir como una prueba de preservicio para ensayar nuevas

políticas y reglas de decisión en la operación de un sistema, antes de tomar el riesgo de

experimentar con el sistema real.

8. Las simulaciones son valiosas algunas veces, ya que proporcionan una forma

conveniente de dividir un sistema complicado en subsistamos, cualesquiera de los cuales

puede ser modelado por un analista o un equipo de expertos en esta área.

9. Para ciertos tipos de problemas estocásticos, la secuencia de los eventos puede ser muy

importante, pues La información acerca de los valores esperados y de los momentos,

puede ser suficiente para describir el proceso. En estos casos los métodos de Monte

Carlo pueden constituir la única forma satisfactoria de obtener la información requerida.

10.Las simulaciones de Monte Carlo pueden realizarse para verificar soluciones analíticas.

11.La simulación permite estudiar los sistemas dinámicos, ya sea en tiempo real, tiempo

comprimido o tiempo expandido.

12.Cuando se presentan nuevos componentes de un sistema, la simulación puede emplearse

para ayudar a descubrir los obstáculos y otros problemas que resultan de la operación

del sistema.

30

1.4 ETAPAS PARA REALIZAR UN ESTUDIO DE SIMULACIÓN.

La mayoría de los autores de libros sobre simulación, opinan que loa pasas

necesarios para llevar a cabo un experimento de simulación son:

Definición del sistema. Para tener una definición precisa del sistema que se desea

simular, es necesario hacer primeramente un análisis del mismo, con el fin de

determinar la interacción del sistema con otros sistemas, las restricciones del sistema,

las variables que interactúan dentro del sistema y sus interrelaciones, las medidas de

efectividad que se van a utilizar para definir y estudiar el sistema y los resultados que se

esperan obtener del estudio.

Formulación del modelo. Una vez que están definidos con exactitud los resultados que

se esperan obtener del estudio, el siguiente paso es definir y construir el modelo con el

cual se obtendrán los resultados deseados. En la formulación del modelo es necesario

definir todas las variables que forman parte de él, sus relaciones lógicas y los diagramas

de flujo que describan en forma completa al modelo.

Colección de datos. Es posible que la facilidad de obtención de algunos datos o la

dificultad de conseguir otros, pueda influenciar el desarrollo formulación del modelo.

Por consiguiente, es muy importante que se definan con claridad y exactitud los datos

que el modelo va a requerir para producir los resultados deseados. Normalmente, la

información requerida por un modelo se puede obtener de registros contables, de

órdenes de trabajo, de órdenes de compra, de opiniones de expertos y si no hay otro

remedio por experimentación.

Implementación del modelo en la computadora. Con el modelo definido, el siguiente

paso es decir si se utiliza algún lenguaje de propósito general, como Fortran, Basic,

Pascal, C/C++, Visual Basic, Visual C++, o Delphi, etc. o software de propósito

particular, como GPSS, GPSSH, PROMODEL SIMFACTORY, SLAM I, y II,

MICROMANAGER, etc., para procesarlo en la computadora y obtener los resultado

resultados deseados.

Validación. Una de las principales etapas de un estudio de simulación es al validación.

A través de esta es posible detallar deficiencias en la formulación del modelo. Las

formas más comunes de validar un modelo son:

- La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación.

-La exactitud con que se predicen datos históricos. -

La precisión en la predicción del futuro.

- La comprobación de falla del modelo de la persona que hará uso de los resultados que

arroje el experimento de simulación.

31

Experimentación. La experimentación con el modelo se realiza después de que ha sido

validado. La experimentación consiste en generar los datos deseados y en realizar

análisis de sensibilidad de los índices requeridos.

Interpretación. En esta etapa del estudio, se interpretan los resultados que arroja la

simulación y basándose en esto se toma una decisión. La computadora en si no toma la

decisión, sino que la información que proporciona ayuda a tomar mejores decisiones y

por consiguiente a sistemáticamente obtener mejores resultados.

Documentación. Dos tipos de documentación son requeridos para hacer un mejor uso

del modelo de simulación. La primera se refiere a la documentación de tipo técnico, es

decir, a la documentación que el departamento de procesamiento de Datos debe tener

del modelo. La segunda se refiere al manual del usuario, con el cual se facilita la

interacción y el uso del modelo desarrollado, a través de una computadora.

1.5 GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS NO UNIFORMES

Si el modelo de simulación es estocástico, la simulación debe ser capaz de generar

variables aleatorias no uniformes de distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas.

Lo anterior puede obtenerse si se cuenta con un generador de números uniformes y una

función que transforme estos números en valores de la distribución de probabilidad

deseada. A este respecto, se han desarrollado una gran cantidad de generadores para las

distribuciones más comunes como; la distribución normal, exponencial, Poisson, Erlang,

Binomial, Gamma, Beta, F, t, 2.

1.5.2 LENGUAJE DE PROGRAMACION.

Las primeras etapas de un estudio de simulación se refieren a la definición del

sistema a ser modelado y al descripción del sistema en términos de relaciones lógicas de

sus variables y diagramas de flujo. Sin embargo, llega el momento de describir el modelo

en un lenguaje que sea aceptado por la computadora que va utilizar (PC compatible). En

esta etapa se tienen dos curso de acción a seguir si no se tiene nada de software de

simulación, que son:

desarrollar el software requerido, o

Comprar software (lenguaje de programación d propósito especial). Para esta alternativa es

necesario analizar y evaluar varios paquetes de simulación (GPSS, GPSSH, PROMODEL

SIMFACTORY, SLAM , MICROMANAGER, etc.) antes de tomar la decisión final.

1.5.3 CONDICIONES INICIALES.

La mayoría de los modelos de simulación estocástica se corren con la idea de

estudiar al sistema en una situación de estado estable. Sin embargo, la mayor parte de

estos modelos presentan en su etapa inicial estados transigentes los cuales no son típicos

del estado estable. Por consiguiente es necesario establecer claramente las alternativas o

cursos de acción que existen para resolver este problema. Algunos autores piensan que la

forma de atacar este problema sería a través de :

32

Usar un tiempo de corrida suficientemente grande de modo que los períodos transientes

sean relativamente insignificantes con respecto a la condición de estado estable.

Excluir una parte apropiada de la parte inicial de la corrida.

Utilizar simulación regenerativa.

Basado en la experiencia, de las tres alternativas presentadas, la que presenta menos

desventajas es el uso de simulación regenerativa. Las otras alternativas presentan las

desventajas de ser prohibitivamente excesivas en costo.

1.5.4 TAMAÑO DE LA MUESTRA.

Uno de los factores principales a considerar en un estudio de simulación es el

tamaño de la muestra (número de corridas en la computadora). La selección de un tamaño

de muestra apropiado que asegure un nivel deseado de precisión y a la vez minimice el

costo de operación del modelo, es un problema algo difícil pero muy importante. Puesto

que la información proporcionada por el experimento de simulación sería la base para

decidir con respecto a la operación del sistema real. Esta información deberá ser tan exacta

y precisa como sea posible o al menos el grado de imprecisión presente en la información

proporcionada por el modelo debe ser conocida. Por consiguiente, es necesario que un

análisis estadístico se a realizado para determinar el tamaño de la muestra requerido.

El tamaño de la muestra puede obtenerse de dos maneras:

13.Previa e independientemente de la operación del modelo, o

14.Durante la operación del modelo basado en los resultados arrojados por el mismo. Para

la última alternativa se utiliza la técnica estadística de intervalos de confianza.

1.5.5 DISEÑO DE EXPERIMENTOS.

El diseño de experimentos es un tópico cuya relevancia en experimentos en estudios

de simulación ha sido reconocida, pero raramente aplicada. El diseño de experimentos en

estudios de simulación puede ser varios tipos, dependiendo de los propósitos específicos

que se hayan planteado. Existen diferentes formas de análisis que pueden ser utilizados.

Entre los más comunes e importantes, se pueden mencionar los siguientes:

Comparación de las medias y varianzas de las alternativas analizadas.

Determinación de la importancia y el efecto de diferentes variables en los resultados de

la simulación.

Búsqueda de los valores óptimos de un conjunto de variables.

33

Para realizar el primer tipo de análisis, al cual se le denomina comúnmente diseño

de experimentos de un factor simple, es necesario tomar muy en cuenta el tamaño de la

muestra, las condiciones iniciales y la presencia o ausencia de autocorrelación. Para el

segundo tipo de análisis, existe una gran cantidad de literatura, puesto que la gran mayoría

de los libros de texto de diseño de experimentos, explican o tratan el tema de análisis de

varianza y técnicas de regresión como medios para evaluar la importancia y el efecto de

varias variables en los resultados de operación de un sistema. Para el tercer tipo de

análisis, generalmente se requiere utilizar algoritmos heurísticos de búsqueda como por

ejemplo el algoritmo de Hookes y Jeeves.

1.5.6 VENTAJAS Y DESVENTAJAS EN EL USO DE LA SIMULACIÓN

Aunque la técnica de simulación generalmente se ve como un método de último

recurso, recientemente avances en las metodologías de simulación y la gran disponibilidad

de software que actualmente existe en el mercado, han hecho posible que la técnica de

simulación sea una de las herramientas más ampliamente usadas en el análisis de sistemas.

Además de las razones antes mencionadas, Tomas H. Naylor (1977), ha sugerido que un

estudio de simulación es muy recomendable porque presenta las siguientes ventajas:

A través de la técnica de simulación, se puede estudiar el efecto de cambios internos y

externos del sistema, al hacer alteraciones en el modelo del sistema y observando los

efectos de estas alteraciones en el comportamiento del sistema.

Una observación detallada del sistema que se está simulando puede conducir a un mejor

entendimiento del sistema y por consiguiente a sugerir estrategias que mejoren la

operación y eficiencia del sistema.

La técnica de simulación puede ser utilizada como un instrumento pedagógico, para

estudiantes al enseñarles los conocimientos básicos en el análisis teórico, el análisis

estadístico, y en la toma de decisiones.

La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo

conocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y

cómo ellas obran entre sí.

La técnica de simulación puede utilizarse para experimentar con nuevas situaciones,

sobre las cuales se tiene poca o nula información. A través de esta experimentación se

puede anticipar mejor a los posibles resultados no previstos.

34

La técnica de la simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo

conocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y

cómo ellas obran entre sí.

Se puede utilizar también para entrenamiento de personal. En algunas ocasiones se

puede tener una buena representación de un sistema (como por ejemplo los juegos de

negocios), y entonces a través de él es posible entrenar y dar experiencia a cierto tipo de

personal.

La simulación de sistemas complejos puede producir un valioso y profundo

conocimiento acerca de cuáles variables son más importantes que otras en el sistema y

cómo ellas entre sí.

Cuando nuevos elementos son introducidos en un sistema, la simulación puede utilizarse

para anticipar cuellos de botella o algún otro problema que puede surgir en el

comportamiento del sistema.

A diferencia de las ventajas mencionadas, la técnica de simulación presenta el

problema de requerir equipo de computo y recursos humanos, en ocasiones costosas.

Además, generalmente se requiere bastante tiempo para que un modelo de simulación sea

desarrollado y perfeccionado. Finalmente, es posible que la alta administración de una

organización no entienda esta técnica y esto crea dificultad en vender la idea.

1.6 EJMPLOS DE USO DE SIMULACIÓN

Existe una gran cantidad de áreas donde la técnica de simulación puede ser

aplicada. Algunos ejemplos podrían ser los siguientes:

Simulación de un sistemas de colas. Con la técnica de simulación es posible estudiar y

analizar sistemas de colas cuya representación matemática sería demasiado complicada de

analizar. Ejemplos de estos sistemas serían aquellos donde es posible la llegada al sistema

en grupo, la salida de la cola del sistema, el rehusar entrar al sistema cuando la cola es

excesivamente grande, etc.

Simulación de sistemas de inventarios. A través de simulación se puede analizar más

fácilmente sistemas de inventarios donde todos sus parámetros(tiempo de entrega,

demanda, costo de llevar inventario, etc.), son estocásticos.

Simulación de un proyecto de inversión. Existen en la práctica una gran cantidad de

proyectos de inversión donde la incertidumbre con respecto a los flujos de efectivo que el

proyecto genera a las tasas de interés, a las tasas e inflación, etc., hacen difícil y a veces

35

imposible manejar analíticamente este tipo de problemas. Para este tipo de situaciones el

uso de simulación es ampliamente recomendado.

Simulación de sistemas económicos. La técnica de simulación puede ser utilizada para

evaluar el efecto de cierto tipo de decisiones (devaluación de la moneda, el impuesto al

valor agregado, etc.), en las demás variables macroeconómicas como: producto nacional

bruto, balanza comercial, inflación, oferta monetaria, circulante, etc.

Simulación de estados financieros. La expansión y diversificación de una organización a

través de la adquisición y establecimiento de nuevas empresas, repercuten

significativamente en su posición y estructura financiera. Por consiguiente, el uso de

simulación permite analizar cuál de las estrategias de crecimiento son las que llevaran a la

organización al logro de sus objetivos y metas de corto, mediano y largo plazo.

Simulación de juegos de azar. Se pueden hacer predicciones sobre los resultados de un

juego en particular, por ejemplo mélate, tris, etc. donde las variables involucradas son

estocásticas.

II MODELACIÓN

2.1 INTRODUCCIÓN.

La ciencia trata de explicar los fenómenos; con tal fin elabora leyes. Pero

siendo la tarea del científico difícil, con frecuencia se enfrenta a problemas muy complejos,

y para explicar aquellos datos inobservables que descubre necesita emplear términos

teóricos. De esta manera, combinando y coordinando de forma adecuada un grupo de leyes

y hechos, mediante construcciones lógicas, se obtienen las teorías.

Como en la teoría de entidades no observables, que son los contenidos de los

términos teóricos, el nivel de los hechos queda abandonado. Así pues, las teorías

funcionan como explicaciones muy generales y amplias, de las cuales las leyes son

aspectos particulares.

Nos planteamos entonces la siguiente pregunta: ¿de que manera están relacionadas

las teorías, con sus términos teóricos y con los hechos? ¿Cómo volvemos al nivel fáctico (o

de hechos)?

Encontraremos la respuesta cuando comprendamos qué es un modelo científico y

cuál es su función en la ciencia.

2.2 LA NOCIÓN DE MODELO

36

El término modelo abarca varios significados; el primero de ellos al que nos

referiremos es el de :

a) Representación. Por ejemplo, la maqueta de un edificio es un modelo porque lo

representa. Aunque no vemos el edificio, gracias al modelo comprendemos cómo será.

Otro ejemplo:

Un mapa es un modelo porque representa una zona determinada con los caminos, ríos y

montañas que existen realmente en esa zona.

b) La palabra “modelo” también se emplea en el sentido de perfección o ideal. Por

ejemplo, decimos: “Martín es un estudiante modelo” o “Lupita es una esposa modelo”.

Con ello queremos dar a entender que así como es Martín deberían ser los demás

estudiantes; y como Lupita deberían ser todas las esposas.

c) Otra significación de la palabra “modelo” es la de muestra; que se emplea, por ejemplo,

cuando en una unidad habitacional un vendedor nos muestra la casa “modelo”, también

llamada casa muestra; o bien, cuando vamos a un desfile de modas y vemos los distintos

modelos, que son muestras de la producción de un diseñador.

En la ciencia continuamente se hace referencia a los modelos científicos que

pueden entenderse abarcando tres significaciones: representan la teoría, muestran las

condiciones ideales en las que se producen un fenómeno al verificarse una ley o una teoría

y por otro lado, constituyen una muestra particular de la explicación general que da la

teoría.

Un ejemplo típico de modelo es el átomo que ilustra la teoría de Bohr, la cual

admite la existencia de átomos en la realidad y los concibe como compuestos por un núcleo

(eléctricamente positivo), alrededor del cual giran en órbitas “muy especificas” los

electrones (con carga negativa), ver figura

figura 2.1 Modelo atómico de Bohr.

37

Este modelo representa la explicación dada por Bohr, nos dice cómo se comportan

los átomos en condiciones ideales; es una muestra particular de todas las explicaciones

dadas en términos teóricos y generales.

Algunos autores reúnen estas tres significaciones: “representación”, “ideal” y

“muestra”, en una sola: configuración ideal.

Podemos decir, entonces, que un modelo científico es la “configuración ideal que

representa de manera simplificada una teoría”.

2.3 DEFINICIÓN DE MODELO

Definición: El modelo es una representación o abstracción de una situación u

objetos reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las relaciones de la

acción y la reacción en términos de causa efecto. Como un modelo es una abstracción de

la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para que sea completo, el

modelo debe ser representativo de aquellos aspectos de la realidad que están

investigándose.

Debido a que la simulación es solamente un tipo de modelación, aunque muy

importante, preparemos el escenario para un comentario sobre modelación de simulación

considerando primero la modelación en términos generales.

Una de las razones básicas para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuáles

son las variables importantes o pertinentes. El descubrimiento de las variables pertinentes

está estrechamente asociado con la investigación de las estadísticas y la simulación para

investigar las relaciones que hay entre las muchas variables de un modelo.

2.3.1 FUNCIÓN DE LOS MODELOS

El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con un modelo, es

tan general que es difícil clasificar todas las funciones que satisfagan los modelos. La

mayoría de los autores de libros de simulación, reconocen por lo menos cinco usos

comunes:

d) Una ayuda para el pensamiento.

e) Una ayuda para la comunicación.

f) Para entretenimiento e instrucción.

g) Una herramienta de predicción.

h) Una ayuda para la experimentación.

La utilidad de modelo como ayuda para el pensamiento es evidente. Los modelos

pueden ayudarnos a organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistencias. Por

ejemplo, la construcción de un modelo de representación de una red con el método PERT

38

(evaluación de programas y técnicas de revisión) para un trabajo de diseño de sistemas

complejos, obliga a pensar sobre qué pasos son necesarios y su consecuencia. Si es

adecuada, la construcción de modelos obliga a organizar, evaluar y experimentar la validez

de pensamientos.

Como una ayuda para la comunicación, los modelos bien pensados no tienen igual.

“Una imagen vale más que mil palabras” confirma esta función. Todos los lenguajes

verbales tienden a ser ambiguos e imprecisos, cuando se trata de pensar ideas o

descripciones complejas. Los modelos adecuadamente concebidos pueden ayudar a

eliminar esta ambigüedad y proporcionan un modo de comunicación más eficiente y

efectivo.

Los modelos han sido, y continúan teniendo un uso generalizado como ayudas para

el entretenimiento e instrucción. A menudo los modelos son ideales para entrenar a una

persona, para que aprenda nuevas habilidades y pueda afrontar varias eventualidades antes

de que ocurran. Un muñeco de tamaño natural es utilizado en ocasiones para enseñar

técnicas de primeros auxilios, modelos de vehículos espaciales se usan para entrenar

astronautas, modelos para enseñar a conducir automóviles, y simulación de negocios para

entrenar ejecutivos, son algunos ejemplos de modelos de entrenamiento.

Quizás, uno de los usos más importantes de los modelos, práctica e históricamente,

es la predicción de las características del comportamiento de la entidad modelada. No es

económicamente factible construir un jet supersónico para determinar sus características de

vuelo bajo condiciones extremas, sin embargo, su comportamiento se puede predecir

mediante la simulación Mediante simulación se verificaron las disposiciones de

emergencia del Apolo 13, antes de implantarlas; éstas les permitieron a los astronautas

regresar a salvo después de la explosión del tanque de oxigeno. La mayoría de los modelos

que se tratan en os libros de simulación son herramientas de predicción.

Finalmente, el uso de los modelos hace posible la experimentación controlada en

situaciones en que los experimentos directos serían imprácticos o prohibitivos por su costo.

2.4 CALSIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN

Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de sus

características esenciales, porque pueden describirse de muchos modos. Los modelos

pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones, propósitos, temas o grado de

abstracción. La base más común es la de tipos de modelos, que incluye los tipos básicos:

icónico, analógico y simbólico o matemático.

Los modelos pueden clasificarse de manera general y los modelos de simulación de

manera particular, de diversas formas. Por desgracia, ninguna es completamente

39

satisfactoria, a pesar de que cada una sirve a un propósito particular. Algunos de estos

esquemas de clasificación son los siguientes:

Estático (de corte seccional) vs. Dinámico (series de tiempo)

Determinístico vs Estocástico.

Discreto vs Continuo.

Icónico o físico vs Analógico vs Simbólico.

Podemos pensar a los modelos de simulación como un espectro continuo,

empezando con los modelos exactos o modelos reales a escala y siguiendo con los modelos

matemáticos completamente abstractos (véase la figura 2.1)

Modelos Modelos Modelos Modelos Simulación por Modelos

físicos a escala analógico administrativo computadora matemático

Exactitud Abstracción

figura 2.1 principio del espectro de modelación.

2.4.1 MODELOS ICONICOS O FÍSICOS

Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma

idealizada o en escala distinta. Para expresarlo de otro modo, una representación es un

modelo icónico hasta el grado en que sus propiedades sean las mismas que tiene lo que

representa. Los modelos icónicos son muy adecuados para la descripción de

acontecimientos en un momento especifico del tiempo. Por ejemplo, una maqueta es una

buena imagen de una fabrica, mientras que las operaciones reales de una fabrica construid

en términos de un pequeño modelo que funcione, pueden ser demasiado costosas para

construir y modificar a fin de estudiar sus posibles mejoras. Otra característica de un

modelo icónico la constituyen sus dimensiones , dos dimensiones (fotografía, plano y

mapa), o tres dimensiones(maqueta, globo, automóvil y avión), llamados generalmente

modelos escala. Cuando un modelo sobrepasa la tercera dimensión, como ocurre en

muchos problemas de investigación de operaciones y simulación, es imposible construirlo

físicamente, y entonces pertenece a otra categoría de modelos llamados simbólicos o

matemáticos.

2.4.2 MODELOS ANALOGICOS

40

Los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas y se usan más

que los icónicos, porque pueden mostrar las características del acontecimiento que se

estudia. Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia en las estadísticas

y los diagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos. A menudo un modelo

analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas entre las propiedades

de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades en propiedades analógicas,

con frecuencia podemos incrementar nuestra capacidad de hacer cambios. Otra ventaja de

los modelos analógico sobre los icónicos es que ordinariamente puede hacerse que los

primeros representen muchos procesos del mismo tipo, lo que se hace evidente en el flujo

de trabajos en procesos y productos terminados de una fabrica. No podría usarse

eficazmente un modelo icónico para estudiar los efectos de ciertos cambios en el control de

calidad. Un diagrama de flujo es un modelo analógico muy sencillo y eficaz en esas

condiciones.

2.4.3 MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)

Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas

representaciones de la realidad y toma la forma de cifras, símbolos y ecuaciones

matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente y

luego se registran como modelos simbólico o matemático que se usa comúnmente en la

investigación en general, es la ecuación. Una ecuación es concisa y fácil de comprender.

Sus símbolos no sólo son más fáciles de manipular que las palabras, sino que se escriben

más rápidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las

manipulaciones de las computadora, a través de lenguajes de programación de propósito

partículas o general, los cuales trataremos en un capítulo posterior.

Los modelos simbólicos los hemos descrito hasta ahora en un sentido muy amplio.

Las ecuaciones no sólo son ejemplos de modelos, sino que modelos comunes de negocios

incluyen además, declaraciones de ingresos, tablas de organización de empresas, etc.,

Otros ejemplos incluyen modelos gráficos y pictóricos. Hay que tener en cuenta que

pueden representarse problemas para los que las analogías son más eficientes que los

modelos simbólicos. Por ejemplo, un sistema puede ser tan complicado que la cantidad de

trabajo requerida para construir un modelo simbólico sea demasiado costosa si se relaciona

con ganancias posibles. A menudo es difícil asignar tan sólo un modelo a una clase, y esto

es especialmente cierto con respecto a los modelos de simulación, que son modelos

analógicos y que se describen con símbolos matemáticos.

2.5 TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS

Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, los

separaremos por categorías, lo que nos dará un soporte lógico para clasificarlos. Sin que

41

esta clasificación pretenda estar completa; la podemos a disposición del lector, para que

éste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales entre los modelos.

2.5.1 CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS

Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar

constantes y variables ( en gran parte números), Llamamos a esto un modelo cuantitativo.

Se considera que una ecuación matemática es un modelo de este tipo, porque representa

una abstracción de las relaciones o condiciones entre constantes y variables. Las fórmulas,

matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos algebraicos son

ejemplos comunes de los modelos matemáticos.

Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se llaman

cualitativas. Hay muchos problemas en los que no pueden cuantificarse exactamente

debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad

de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas,

relaciones demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo,

mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de

ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional, investigación de operaciones,

análisis de decisiones y simulación se pueden obtener ciertos valores representativos del

sistema bajo análisis.

2.5.2 ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA

Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse con

la investigación de operaciones (I. O.). Para usar esas técnicas se insertan los valores

(números) apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para

obtener una respuesta.

Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de

diversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo de ajuste al

problema de que se trata. Un ejemplo de este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995],

utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios métodos estándar de la I. O..

III PLANEACIÓN DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN EN

COMPUTADORAS

3.1 INTRODUCCIÓN

La simulación en computadoras es un recurso para dirigir experimentos científicos en las

empresas y sistema económico. Para planear experimentos de simulación, aplicables a los

sistemas económicos e industriales, necesariamente debemos recurrir a técnicas como la

estadística matemática, el análisis numérico, la econometría, la programación en

computadora y el diseño de experimentos.

42

3.2 METODOLOGÍA

La experiencia sugiere que la planeación de experimentos de simulación requiera de

un procedimiento que consta de las etapas siguientes:

Formulación del problema.

Recolección y procedimiento de datos tomados en realidad.

Formulación de un modelo matemático.

Estimación de los parámetros de las características operacionales a partir de los datos

reales.

Evaluación del modelo y de los parámetros estimados.

Formulación de un programa para la computadora.

Validación.

Diseño de los experimentos de simulación.

Análisis de los datos se simulación.

Aunque el orden en que se implantan esos nueve pasos permanece abierto a

discusión, la figura 3.1 los muestra bajo una ordenación basada en los resultados de

experiencias [Naylor, 1977].

Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta sumamente

arbitrario en su naturaleza y la posibilidad de juzgarlo sólo existe en un plano puramente

pragmático.

(1)

FOMULACIÓN DEL PROBLEMA

(2)

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO

DE DATOS

(3)

FORMULACIÓN DEL MODELO

MATEMATICO

(4)

ESTIMACIÓN DELOS PARAMETROS

43

MODELO RECHAZADO

EVALUACIÓN DEL (5)

MODELO

MODELO

ACEPTADO (6)

FORMULACIÓN DEL

PROGRAMA PARA LA

COMPUTADORA

(7)

VERIFICACIÓN

(8)

DISEÑO DE EXPERIMENTOS Fig. 3.1 Diagrama de

flujo para la planeación

(9) de experimentos de

simulación

ANALISIS DE DATOS DE

LA SIMULACIÓN

3.2.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de nuestra

investigación, antes de hacer cualquier intento encaminado a planear la realización de un

experimento en simulación. Encontraremos que la exposición original del problema varía

considerablemente de su versión final, ya que la formulación del problema es un proceso

secuencial que generalmente requiere de una formulación continua y progresiva de

refinamiento de los objetivos de experimento durante sus realización

Los objetivos de la investigación, tanto en la empresa y la economía, como también

en la mayoría de las ciencias sociales, toma generalmente la forma ya sea de: (1) preguntas

que deben contestarse, (2) hipótesis que se deben probarse y (3) efectos por estimarse.

3.2.2 RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LA

REALIDAD.

44

Necesitaríamos colectar y procesar una cierta cantidad de datos antes de que exista la

posibilidad de definir algún problema. Para nuestros propósitos, resulta completamente

irrelevante que los requerimientos para el procesamiento de datos procedan la formulación

del problema o viceversa; si hemos de dirigir experimentos de simulación, es importante

que ambas funciones se lleven a cabo.

Existen, por o menos, cinco razones por las cuales es necesario de disponer de un

sistema eficiente para el procesamiento de datos, que permita alcanzar el éxito al realizar

los experimentos de simulación.

En primer instancia la información descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datos

puedan sugerir hipótesis de cierta validez. Como tercer punto, los datos también pueden

sugerir y mejoras o refinamientos en los modelos matemáticos. Cuarto; es necesario que

los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parámetros de las

características disponibles de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y de

estado del sistema. Finalmente, cabe considerar que sin tales datos, serían imposibles

probar la validez de un modelo para la simulación.

La recolección de datos es el proceso de capacitación de los hechos disponibles, con

los cuales pueden ser procesados posteriormente, cuando sean necesarios. El proceso de

recolección y el almacenamiento de datos ocurre simultáneamente.

3.2.3 FORMULACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

La formulación de los modelos matemáticos consiste en tres pasos:

i. Especificación de los componentes

ii. Especificación de las variables y los parámetros

iii. Especificación de las relaciones funcionales.

Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación de

un modelo matemático reside en saber cuántas variables se deben incluir en el modelo.

La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático se

refiere a la complejidad de los mismos. Por lo general, estamos interesados en al

formulación de modelos matemáticos que produzcan descripciones o predicciones,

razonablemente exactas, referentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a la

vez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible establecer con

exactitud, la interdependencia de loas características den los modelos matemáticos, ya que

tanto él numero de variables en un modelo, como su complejidad, se encuentran

45

directamente relacionadas con los tiempos de programación, cómputo y validez. Si

alteramos cualquiera de las citadas características, alteramos a su vez el resto de ellas.

Una tercera consideración en la formulación de modelo matemáticos para

simulación en computadora estriba en el área de la eficiencia de computación, es decir, la

complejidad del algiritmo1.

Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de computo requerida para lograr algún

objetivo experimental específico.

El tiempo consumido para la programación de la computadora, constituye una

cuarta consideración al formular modelos para simulación.

3.2.4 ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS CARACTERISTICAS

OPERACIONALES A PARTIR DE LOS DATOS REALES

Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulando

varios modelos matemáticos que describen su comportamiento es necesario estimar sus

valores de los parámetros de dichos modelos y probar su significación estadística.

Ejemplo. La estimación de parámetros de los modelos económicos cae dentro del dominio

de la econométria

Entre los métodos importantes de estimación econométrica descritos por Goldber y

Johnston [Naylor, 1977], y que se comparan sobre la base de sus propiedades estadísticas y

de computación, se encuentran:

1.- Métodos de una sola ecuación.

i) Mínimos cuadrados ordinarios.

j) Mínimos cuadrados indirectos (Generalizados).

k) Ecuación única con información limitada.

l) Mínimos cuadrados de dos etapas.

2.- Métodos de ecuaciones simultáneas.

m) Máxima probabilidad con información completa.

n) Mínimos cuadrados de tres etapas.

3.2.5 EVALUACIÓN DEL MODELO Y DE LOS PARAMETROS ESTIMADOS

Es necesario hacer un juicio del valor inicial de la suficiencia de nuestro modelo,

para probarlo. Esto se logra haciendo una comparación de las mediciones iniciales

obtenidas por nuestro modelo de simulación con las obtenidas de la realidad.

46

Este paso representa sólo la primera etapa en la prueba de un modelo de simulación

previa a las corridas reales en la computadora, por lo que en este punto nuestro interés

reside en probar las suposiciones o entradas que se programarán en la computadora.

En caso de que las características operacionales tomen la forma de distribuciones de

probabilidad, será necesario aplicar pruebas de bondad de ajuste que determinen qué

también se ajusta una distribución hipotética de probabilidad a los datos del mundo real.

Deseamos también probar la importancia estadística de nuestras estimaciones de los

valores esperados, variancias y otros parámetros de estas distribuciones de probabilidad.

Estas pruebas podrían comprender:

1.- Prueba d referente a las medidas.

o) Prueba de una muestra relativa a las medidas

p) Diferencias entre medias

2.- Prueba referentes a las variancias

q) ji cuadrada

r) Prueba F

3.- Pruebas basadas sobre el conteo de datos.

s) Prueba referente a las proporciones

t) Diferencias entre K proporciones

u) Tablas de contingencia

v) Pruebas de bondad de ajuste

4.- Pruebas no paramétricas

w) Las pruebas de signo

x) Pruebas basadas en suma de rangos

y) Pruebas de la mediana

z) La prueba U (Tchebychev)

aa)Pruebas de corridas

bb)Prueba de correlación en serie

En caso de que las caracteristicas operacionales tomen la forma de los modelos

econométricos, requerimos probar la importancia estadística de cada uno de los parámetros

estimados en tales modelos, mediante el uso de las pruebas estándar t, y F. También

desearemos aplicar pruebas que nos permitiran las violaciones en las suposiciones

fundamentales de nuestros modelos econométricos; estas podrían comprender las pruebas

para:

1. Errores en las variables

2. Colinearidad múltiple

3. Heterosedasticidad

4. Autocorrelación

5. Identificación

De entre las preguntas que nos interesa formular durante esta etapa del procedimiento, se

encuentran las siguientes:

47

¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de que

contribuyen muy poco a nuestra capacidad para predecir el comportamiento de las

variables endógenas de nuestro sistema?

¿omitimos la inclusión de una o más variables exógenas que pudieran afectar el

comportamiento de las variables endógenas en nuestro sistema?

¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre las variables

endógenas y exógenas de nuestro sistema?

¿Apreciamos debidamente las estimaciones de los parámetros de las caracteristicas

operacionales de nuestro sistema?

¿Cómo se comportan los valores teóricos de las variables endógenas de nuestro sistema con

los valores históricos o reales basados en cálculos manuales? (ya que aún no formulamos

un programa para computadora).

Sólo si es posibles contestar satisfactoriamente las seis preguntas, procederemos al

paso 6: la formulación de un programa para computadora. De otro, repetiremos los pasos

del 1 al 5 hasta que sea posible responder satisfactoriamente las preguntas.

4.2.3 FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA PARA LA COMPUTADORA.

La formualción de un programa para computadoras, cuyo propósito sea dirigir los

experimentos de simulación con nuestros modelos del sistema bajo estudio, requiere que se

considere especialmente las siguientes actividades:

1. Diagrama de flujo

2. Lenguaje de computadora

Compiladores de propósito general

Lenguajes de simulación de propósitos especiales

3. Búsqueda de errores

4. Datos de entrada y condiciones iniciales

5. Generación de datos

6. Reportes de salida

Al escribir un programa de simulación para computadora la primera etapa requiere

la formulación de un diagrama de flujo que bosqueje la secuencia lógica de los eventos que

realizará la computadora, al generar los tiempos planificados para las variables endógenas

de nuestro modelo.

Podemos escribir nuestro programa en un lenguaje de propósitos generales como

FORTRAN, BASIC, PASCAL , C++ o sus visuales o bien emplear un lenguaje de

simulación como . SIMPAC, DINAMO, PROGRAM SIMULATE, GPSS, o nuevos como

48

GPSSH, SLAM, PROMODEL, SINFACTORY, MICLROMANAGER, entre otros.

Dependerá de la aplicación, el uso del lenguaje adecuado. En un capítulo posterior se

describirán alguno de estos lenguajes y su aplicación particular.

3.2.7 VALIDACIÓN

Ciertamente, el problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica

un sinnúmero de complejidades de tipo práctico, teórico, estadístico e inclusive filosófico.

La validación de experimentos de simulación forma parte de un problema mucho más

general, es decir, el de la validación de cualquier clase de modelo o hipótesis. Las

preguntas básicas son: “¿Qué significa validar una hipótesis?” y “¿Cuáles criterios deberán

utilizarse para establecer la validez de una hipótesis?”.

Aún así parece que por lo general sólo dos pruebas se consideran apropiadas para

validar los modelos simulación. Primeramente, ¿Qué tan bien coinciden los valores

simulados de las variables endógenas con los datos históricos conocidos, si es que estos

están disponibles?. En segundo lugar, ¿Qué tan exactas son las predicciones del

comportamiento del sistema real hechas por el modelo de simulación, para períodos futuros

(de tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran variedad de pruebas

estadísticas, tanto como clásicas como recientes.

4.2.4 DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN

Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para la

computadora, estaremos en posibilidad de considerar su uso para dirigir efectivamente, los

experimentos de simulación. De hecho, como ya hemos definido nuestro problema

experimental, las variables endógenas y lo factores (variables exógenas y parámetros),

deberemos interesarnos ahora por los detalles de diseño experimental.

En esta fase, es posible identificar dos metas importantes: en primer lugar,

seleccionaremos los niveles de los factores y las combinaciones de niveles, así como el

orden de experimentos; en seguida y una vez que seleccionaremos nuestras combinaciones

de factores, deberemos esforzarnos por asegurar que los resultados queden libres de

errores fortuitos.

3.2.9 ANALISIS DE LOS DATOS SIMULADOS

La etapa final en el procesamiento requiere un análisis de los datos generados por la

computadora, a partir del modelo que simular. Tal análisis consiste de tres pasos:

1.- Recolección y procesamiento de los datos simulados.

2.- Cálculo de la estadística de las pruebas.

3.- Interpretación de los resultados.

Aunque el análisis de los datos simulados es de hecho semejante al análisis de los

datos del mundo real (Véanse los pasos 2, 3 y 4 de la figura 3.1) existen algunas diferencias

49

importantes. El análisis de los datos de simulación en computadora es, según los expertos,

considerablemente más difícil que el análisis de los datos del mundo real.

IV GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS Y PSEUDOALEATORIOS.

4.1 INTRODUCCIÓN.

En el presente capítulo presentaremos los métodos más utilizados, para generar

números aleatorios y pseudoaleatorios con computadora. Dejemos el tema de la

aplicación, para el capitulo V.

Antes de continuar, es necesario establecer la siguiente terminología. El término

variable aleatoria se emplea para nombrar una función de valor real, definida sobre un

espacio muestral asociado con los resultados de un experimento conceptual, de naturaleza

azoroza. El valor numérico resultante de un experimento, de cada una de las variables

aleatorias, se llama número aleatorio. Se utilizan letras mayúsculas para denotar las

variables aleatorias y minúsculas, para denotar valores de éstas variables aleatorias y

minúsculas, para denotar valores de éstas variables, es decir, para los números aleatorios.

Por ejemplo, F(x); la función de distribución acumulada para una variable aleatoria X,

indica la probabilidad de que X sea menor o igual al particular valor x de la función de

probabilidad de la variable aleatoria X, cuando X= x.

4.2 TECNICAS PARA GENERAR NÚMEROS ALEATORIOS.

Se han venido usando cuatro métodos alternativos para generar las sucesiones de

números aleatorios, estos son:

4.2.1 Métodos manuales

Lanzamiento de monedas

Lanzamiento de dados

Barajas

Dispositivos mecánicos

Dispositivos electrónicos

Ventajas: Son aleatorios

Desventajas: No reproducibles

4.2.2 TABLAS DE BIBLIOTECA.

Son números aleatorios que se han publicado; por ejemplo a Millon Random

Digits, de la Corporación Rand, de los cuales podemos encontrar listas de los en los libros

50

de probabilidad y tablas de matemáticas. Estos números fueron generados por alguno de

los métodos de computación analógica, los cuales mencionados a continuación.

Ventaja: Provienen de un fenómeno aleatorio y son reproducibles.

Desventaja: No se obtiene en tiempo real.

4.2.5 MÉTODOS DE COMPUTACIÓN ANALÓGICA

Los métodos de computación analógica dependen de ciertos procesos físicos

aleatorios (por ejemplo, el comportamiento de una corriente eléctrica), por lo que se

considera que conducen verdaderos números aleatorios.

Ventaja: Aleatorios.

Desventaja: No reproducible.

4.2.4 MÉTODOS DE COMPUTACIÓN DIGITAL

Se distinguen tres métodos para producir números aleatorio cuando se usa la

computación digital (computadoras), los cuales son:

4.2.4.1 PROVISIÓN EXTERNA.

Consiste en grabar en la memoria de la computadora, las tablas Randa, a fin de tratar

estos números como datos de entrada para un determinado problema.

4.2.4.2 GENERACIÓN POR MEDIO DE PROCESOS FÍSICOS

ALEATORIOS.

Consiste en usar algún aditamento especial de la computadora, para registra los

resultados de algún proceso aleatorio y ademas, reduzca estas resultados a sucesiones de

dígitos.

4.2.4.3 GENERACIÓN INTERNA POR MEDIO DE UNA RELACIÓN

DE RECURRENCIA.

Consiste en generar números pseudoaleatorios por medio de ecuaciones de

rrecurrencia, en las que necesariamente se tiene que dar un valor inicial o semilla, para

generar los siguientes valores. Vamos ha centrar nuestra atención en este último método de

computación digital, y los describiremos ampliamente.

Ventaja: Son reproducibles.

Desventaja: Son pseudoaleatorios.

4.2.4.4 CARACTERISTICAS DE LOS NÚMEROS

PSEUDOALEATORIOS a) Uniformemente distribuidos

b) Estadísticamente independientes

c) Reproducibles

d) Sin repetición dentro de una longitud determinada

51

4.3METODOS QUE UTILIZAN ECUACUACIONES DE

RECURRENCIA PARA GENERAR NUMEROS

PSEUDOALEATORIOS. Aquí describiremos los métodos de generación de números pseudoaleatorios,

usando ecuaciones de recurrencia.

4.3.1 METODO DE CUADRADOS CENTRALES.

Históricamente, el primer método aritmético para generar números

pseudoaleatorios, fue el de los cuadrados centrales, en el que cada número de la sucesión se

obtiene tomando los dígitos centrales del cuadro del número precedente. El modelo

matemático que los describe es:

n0 = semilla entera (entero positivo)

ni = dígitos centrales de n2i-1

xi = dígitos centrales de x2i-1 para i = 1, 2, 3,…

ejemplo: a) enteros

sea:

n0 = 83,

n1 = d. c. (6889) = 88

n2 = d. c. (7744) = 74

n3 = d. c. (5476) = 47

n4 = d. c. (2209) = 20

n5 = d. c. (0400) = 40

n6 = d. c. (1600) = 60

b) FRACCIONARIO(Semilla impar y primo)

n0 = 0.528

n1 = 0.278784 = 0.787

n2 = 0.619369 = 0.193

n3 = 0.037249 = 0.372

n4 = 0.138124 = 0.383

n5 = 0.146689 = 0.466

n6 = 0.217151 = 0.171

n7 = 0.029241 = 0.292

n8 = 0.085264 = 0.852

n9 = 0.725904 = 0.259

n10 = 0.067021 = 0.670

n11 = 0.4489 = 0.489

n12 = 0.239121 = 0.391

n13 = 0.152881 = 0.528 P = 13

52

n14 = 0.278784 = 0.787

METODOS DE GENERACIÓN DE NUM. PSEUDOALEATORIOS U(0,1).

-Métodos congruenciales “69”

reglas:

C debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5

a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar buenos

resultados, seleccione a de tal forma que (a) mod 8= 5 para una computadora binario a o

(a) mod 200 = 21 para una computadora decimal.

M debe ser el número entero más grande que la computadora acepte

De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados par un generador

congruencial mixto en una computadora binaria son:

a = 8 * c 3

c = cualquier entero

r0 = cualquier entero impar (ni)

m =2b donde b>2 y que m sea aceptado por la computadora

4.3.2 METODO DE CONGRUENCIAS PARA GENERAR NÚMEROS

PSEUDOALEATORIOS

Fórmulas generales de congruencias.

MIXTO MULTIPLICATIVO

ni+1 = (ani +c)mod m ni+1 = (a*ni )mod m

Para i = 0, 1, 2, …,m-1, donde a, c, m son enteros positivos. A n0 se le llama

semilla inicial.

n ain c

ai

am

FHG

IKJ

LNM

OQP0

1

1mod

donde i = 0, 1, 2,…,m-1

a, c, n0 < m

h = máximo periodo

Método multiplicativo c =0 Método mixto c 0

BASE 2

h = 2b-2

; b<2 h = m = 2b ; donde b > 2

53

m= 2b

ab

2 12

a m donde a impar a ss 2 1 2;

n0 impar positivo c = impar positivo y n0 entero

positivo

(a,m) =1

ab

2 12 ;

bb

b par

bb impar2

21

2

LNMOQP

RS|

T|

valida para b 4

si b = 3 poner a = 5.

BASE 10

h = 5 * 10d-2

; d>3 h = m 10d; d 3

m = 10d a

d

10 12

a t p 200

a ss 10 1 1; t= cualquier entero positivo si d = 3, poner a = 101

p 3 8 0mod

para d 4 ad

LNM

OQP10 12

p = {3,11,13,19,21,27,29,

53,59,61,77,83,91 c= impar positivo y (c,5) = 1

etc} mod 200

n0 impar positivo y (a,5)01 n0 entero positivo

METODO MIXTO BASE 2

Genera tantos números igual al modulo para b> 2

METODO MULTIPLICATIVO BASE 10

m > h

mínimo del modulo sería 10,000

p= 3 8mod residuo 3

p< mod m

(a,5) = 1 significa que a no debe ser múltiplo de 5

METODO MIXTO BASE 10

Se genera un periodo igual al modulo

54

h m dd

10 32

a ad

10 12

a s 10 1; s= 1, 2, 3,…

caso particular

c que no sea múltiplo de 5

c= 1, 3, 7, 9, 11, 13, 117, 19, ….(m-1)

n0 = cualquier entero positivo…(m-1)

ejemplo:

h = m = 103 d = 3

a 103/2

+ 1 = 32.62

posibles de a s a

2 101 el que más se acerca a 32.62 es 101, a = 101

3 1001

4 10001

d a d a

3 32.62 3 101

4 101 4 101

5 317.22 más cercano al valor de a. 5 101

6 1001 6 1001

7 3163.27 7 1001

8 10001 8 10001

9 31623.77 9

Cuando d = 3, a = 32.62 en los valores de 5 a 9 cualquier valor que más se acerque

a 32.62 es s = 2 y a = 101

dd d par

dd impar2

21

2

RS|

T|

d= 4 a=104/2

+ 1 = 102 + 1

d= 5 a=105/2

+ 1 = 101

55

Ejemplo: Base 2 MULTIPLICATIVO

h = 27

b -2 = 7 de donde b= 7 + 2 , b =9

n = 2b-2

, b > 2.

M = 2b m = 2

9 , m = 512.

a m a impar

a 512 22 63.

a t 8 3 , t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

t a

0 3

1 5

11

2 13

19

3 21

27

4 29

35

n0 = 1, 3, 5, 7, 9,… 511, impar menor que m.

(a , m) = 1 primo relativo, divisibles entre 1, máximo común divisor

(5 , 15) = 1 No son primos relativos

(8 , 9) = 1 son primos relativos porque no tienen factores primos comunes que los

puedan dividir. Ni+1 = 21ni mod 512

i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …127

127 + n0 = 128

56

h = 27 = 128.

NOTA: con estos parámetros genero 128 datos.

4.3.3 Método aditivo de congruencias

n n n mi i i k

1a fmod

con k = 1, 2, 3, 4, 5, …

n n n n semillask0 1 2

, , ,...

Se presupone k valores iniciales dados, con k un número entero positivo. Si k = 1, la

ecuación de recurrencia genera la conocida sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se

comporta como las sucesión que se genera con el método multiplicativo de congruencias,

con el factor a 1 5 2c h .

Las propiedades estadísticas de este método tienden a

mejorarse cuando k se incremente. Además, este método genera períodos mayores que el

módulo m.

PRUEBAS DE ALEATORIEDAD

3.1 PRUEBA DE LOS PROMEDIOS

Esta prueba es conocida como uniforme o rectangular, el valor esperado y la

varianza de una variable aleatoria uniformemente distribuida están dadas por las siguientes

expresiones:

E(x) = 10 x dx = ½

Var = 10 ( x - ½)2 dx = 1/12

-

Una prueba de hipótesis de promedios puede ser planteada e la siguiente forma

57

Hipótesis nula Ho : = ½

Zx M

n0

Hipótesis alternativa H1 : ½

En seguida, su promedio aritmético es evaluada de acuerdo a la siguiente expresión:

xU U U U

Nn

1 2 3

...

U = N.A.

Se determina el valor estadístico. Si

Z Z0

2

,

entonces se acepta la hipótesis de los números pseudoaleatorios.

Ejercicio:

Paso 1: Ho : M = 1/2 con = 5%

Ho : M 1/2

0.828 0.744 0.663 0.169 0.090

0.365 0.151 0.105 0.646 0.198

0.073 0.915 0.245 0.584 0.647

0.414 0.296 0.460 0.237 0.671

0.608 0.700 0.353 0.414 0.963

X =

Zx M

n0

Z0 =

58

/2= 0 1 - /2=

CONCLUCION:

Z Z0

2

PRUEBA DE LOS PROMEDIOS

u x

U x

( ) {

( ) {

0

1

0

1

en otra parte

si 0 x 1

en otra parte

si 0 x 1

u x P X x( ) ( )

Zx M

n0

x

n1 2

1 12

59

MEYER

n 30

N > 30

U U(x)

1

1

E x x dx

E x M

( )

[ ]

z 0

1

2 2 2

1 2

1 3 1 4 1 12

5.2 PRUEBA DE FRECUENCIA

El estadístico usado en esta prueba es

xFO FE

FEdondei i

ii

n

0

2

2

1

a f

;

FOi= frecuencia observada del i-ésimo subintervalo

FEi = frecuencia esperada del i-ésimo subintervalo

N = tamaño de la muestra

n = número de subintervalos

Este estadístico se compara con x

n ,( ),1

2

la cual representa una variable aleatoria

Chi-cuadrada con n-1 grados de libertad y un nivel de significancia . Six x

n0

2

1

2 ,( ) ,

entonces se acepta la hipótesis.

Usar pruebas de bondad de ajuste x2

60

5.3 PRUEBA DE LA DISTANCIA

Los números pseudoaleatorios generados son considerados como dígitos, entonces

la prueba consiste en contar el número de dígitos que aparecen entre ocurrencias sucesivas

de un mismo dígito. Por ejemplo, 58245, ilustra un hueco de tamaño 3 entre los dos 5. La

probabilidad de cada uno de los tamaños de hueco se obtiene con la siguiente expresión:

Pi

i 01 0 9. ( . ) para i = 0,1,2,3...

Como teóricamente el valor del tamaño del hueco puede ser infinito, es conveniente

agrupar probabilidades para valores de i mayores o iguales a un determinado valor de n.

Tal sumatoria se obtiene de acuerdo con la siguiente expresión:

Pi n

m n n

m

01 0 9 0 90

. ( . ) . i = tamaño del hueco

El estadístico que se usa en estas pruebas se obtiene como :

xFO FE

FEx xi i

ii

n

n0

2

2

1

0

2 2

( )

. ,,

Si

entonces los números pasan la prueba.

i ni Pi FOi Acum FEi FOi

0 81917 0.1 3 3 13(0.1)=1.3 3

1 78981 0.9 8 11 12(0.9)=1.17 8

2 97982 0.081 1 13 13(0.081)=1.053 1

3 7753 0.729 1 13 13(0.729)=9.477 1

4 72771

5 08160

6 64041

7 72141

8 25223

9 60814

NOTA = Entre los huecos no debe de haber frecuencia de 1 por lo tanto se sube

al anterior

xFO FE

FEi i

ii

n

2

2

1

3

( )

(3-1.3)2/1.3 = 2.2231

61

(8-1.17)2 /1.17 = 39.871

(1-1.053)2 /1.053 = 0.00266

(1-9.477)2 /9.477 = 7.5825

= 496792

x

2

0 05

599

49 67 599

0

2

0

2 2

0

2

0 05 3 1 2

2

.

.

. . .

,

. ,

x

x x

x x

n

se rechaza H0

Frecuencias esperadas y observadas para los diferentes tamaños de huecos, considerando a

los números pseudoaleatorios generados como números reales.

i Pi FOi FEi

0 FO0 = FOi ()

1 (1-) FO1 = FOi ()(1-)

2 (1-)2 FO2 = FOi ()(1-)

2

. . . .

. . . .

. . . .

i (1-)i FOi = FOi ()(1-)

i

. . . .

. . . .

. . . .

>=n (1-)n FOn = FOi(1-)

n

total 1.0 FOi = FOi

0.78961 0.05230 0.10699 0.55877 0.14151

0.76086 0.12079 0.27738 0.65726 0.76269

0.80548 0.82654 0.29453 0.20852 0.42989

0.58518 0.98611 0.34488 0.34358 0.11537

62

0.89898 0.57880 0.67621 0.05010 0.00121

0.28269 0.73059 0.70119 0.18284 0.49962

0.38618 0.76910 0.68334 0.55170 0.10850

0.79982 0.45679 0.21631 0.87616 0.55742

0.58972 0.33216 0.03185 0.61168 0.09264

0.69623 0.17028 0.05475 0.91512 0.76262

0.29931 0.30831 0.83358 0.51781 0.03272

0.57410 0.26593 0.85903 0.43308 0.35286

0.24000 0.65559 0.38507 0.90829 0.94187

0.93655 0.88809 0.81772 0.36982 0.19904

0.54325 0.62400 0.09133 0.41678 0.33954

0.58244 0.85853 0.88752 0.33729 0.15506

0.23949 0.53559 0.33381 0.49383 0.75103

0.19962 0.65002 0.74579 0.79113 0.63453

0.19157 0.40644 0.08128 0.73465 0.22724

0.22287 0.07281 0.64183 0.44267 0.72102

Pi = (1-)i para i = 0,1,2,3…

P ni

m n

m

n

( ) ( )1 10

i Pi FOi FEi

0 0.4 12 40(0.4) = 6.00

1 0.24 12 40(0.4)(0.6) = 9.6

2 0.144 10 40(0.4)(0.6) = 5.76

>=3 0.216 6 40(0.6) = 8.64

total 1.00 70=40 FE = 40

xFO FE

FE

x

x

i i

ii

n

0

2

2 2

0

2 2

2 2

0

2

0

2

12 16

16

12 9 6

9 6

12 576

576

10 576

576

6 8 64

8 64

1 0 6 312111 580666

557778

557778 7 81

( ) ( ) .

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

. . .

.

. .

a f

pasan la prueba de la distancia.

5.4 PRUEBAS DE SERIES

63

Consiste en generar n números pseudoaleatorios de los cuales se forman parejas

aleatorias entre Ui y Ui+2 . En seguida se determina la celda a que pertenece cada pareja

ordenada como en la figura.

1

(n-1)/n

(n-2)/n

2/n

1/n

1/n 2/n (n-2)/n (n-1)/n 1

Con lo cual se determina al frecuencia observada de cada celda. La frecuencia esperada de

cada una de las celdas se obtiene al dividir el total de parejas coordenadas por el total de

celdas. Finalmente, conocida la frecuencia observada y esperada de cada celda se obtiene

el estadístico:

xn

NFO

n

N

FO FE

x x

i

i

n

i

n

ij ij

nn

0

2

2 2

1

2

11

2

0

2

1

2

1 1

2

FHG

IKJ

( )

,,

( - )

Si entonces los números pasan la prueba.

Prueba de series.

Para probar el grado de aleatoriedad entre Núm. sucesivos se forman parejas de N donde

N= números pseudoaleatorios.

(U1 ,U2), (U2 ,U3), (U3 ,U4), . . . (U8 ,U9), (U9 ,U10)

64

En seguida, se determina la celda a que pertenece cada pareja.

1 n/n

4/n

3/n

2/n

1/n

0

1/n 2/n 3/n 1 n/n

Con lo cual se determina la frecuencia esperada de cada celda se obtiene:

N= Números 100 FE = N/n

n= Particiones 5

si n = 5 se tiene una matriz de 5x5 = 25 =n

si N = 100 se obtendran 99 parejas. FE = 99/25=

nz N

x M

( ( ) )

( )

2

2 1 2

2

NOTA: Cuando la pareja de puntos cae en un vértice se

coloca a la izq. es por la línea y abajo.

Prueba de series:

0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234

0.71890 0.61234 0.86322 0.94134 0.99872 0.27657

0.34565 0.02387 0.67347 0.10987 0.25678 0.25593

0.82345 0.12387 0.05389 0.82474 0.59289 0.36782

0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231

1- = 0.95 = 1-0.95 = 0.05 /2= 0.05/2 = 0.025

n=4 elige el valor de n.

Núm. de parejas a formar N = 30-1 = 29 parejas

FE = (N-1)/ n2 = (30-1)/ 4

2 = 1.8125

Paso 1: Ho: ri independiente

H : ri dependiente.

Crear un histograma de dos dimensiones con M intervalos, clasificando cada pareja de

números consecutivos (ri, ri+1) dentro de las casillas de dicho histograma de frecuencias. El

núm. total de pares ordenados en cada casilla formara la frecuencia observada: FOi.

65

Paso 2: Calcular la frecuencia esperada en cada casilla FEi deacuerdo con FEi= num/m

de núm. es el numero total de parejas ordenadas.

Paso 3. Calcular el error C, con la ecuación siguiente:

CFE FO

FEx

n

NFO FEi i

ii

m

ij ij

i

m

( )

( )2

1

0

2

2

2

11 ó

Paso 4: Si el valor C es menor o igual al estadístico de tablas x2 con m-1 grados de

libertad y una probabilidad de rechazo , entonces aceptamos que estadísticamente los

números son independientes.

(0.72484 , 0.48999) 1

(0.48999 , 0.50502) 3 2 1 2

(0.50502 , 0.39528 ) 0.75

(0.39528 , 0.36782 )

(0.36782 , 0.90234 ) 1 1 1 3

(0.90234 , 0.71890) 0.5

(0.71890 , 0.61234) 1 3 3 1

(0.61234 , 0.86322) 0.25

(0.86322 , 0.94134) 2 2 2 2

(0.94134 , 0.99872)

(0.99872 , 0.27657) 0 0.25 0.5 0.75 1

(0.27657 , 0.34565)

(0.34565 , 0.02387)

(0.02387 , 0.67347)

(0.67347 , 0.10987)

(0.10987 , 0.25678)

(0.25678 , 0.25593)

(0.25593 , 0.82345)

(0.82345 , 0.12387)

(0.12387 , 0.05389)

(0.05389 , 0.82474)

(0.82474 , 0.59289)

(0.59289 , 0.36782)

(0.36782 , 0.03991)

(0.03991 , 0.10461)

(0.10461 , 0.93716)

(0.93716 , 0.16894)

(0.16894 , 0.98953)

66

(0.98953 , 0.73231)

c 1

181257 18125 1 5 18125 2 4 18125 3 5752 2 2

.( . ) ( . ) ( . ) .

c

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

( . )

.

(

18125 2

18125

18125 2

18125

18125 1

18125

18125 2

18125

18125 1

18125

18125 3

18125

18125 3

18125

18125 1

18125

18125 1

18125

18125 1

18125

18125 1

18125

18125 3

18125

18125 3

18125

18125 2

18125

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

18125 1

18125

18125 2

18125

2 2. )

.

( . )

.

5.758

X X X

M

C X

m0

2 2

0 05 15

2

2

2500

16 1 15

5758 25

, . ,.

.

Se acepta que los núm son independientes.

PRUEBAS DE CORRIDA

Una corrida se define como un conjunto de números que aparecen ordenados en

forma monotonicamente creciente o decreciente: por ejemplo 03, 23, 57, 92, 99 contienen

una sola corrida, mientras que 03, 99, 23, 92, 27 contiene (03,99), (223,92), (57) si se

utiliza el signo + para identificar que el número que aparece a la derecha de otro es mayor,

o - si es menor, se tiene que:

30, 23, 57, 92, 99 +, +, +, +, +,

mientras que

03, 99, 23, 92, 57 +, -, +, -

Esta prueba se basa en el supuesto que el numero de corridas es una variable aleatoria. Si

una secuencia tiene más de 20 números, el numero de corridas que es una variable aleatoria

distribuida normalmente con media y varianza conocida.

67

La prueba se realiza de la siguiente manera:

Paso 1.- Se formula la hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria.

Paso 2.- Se selecciona una muestra de tamaño n (n>20)

Paso 3.- Se definen con los signos +, - las posibles corridas.

Paso 4.- Se define la estadística r como el numero de corridas.

Paso 5.- si n>20 y Ho es verdadera, entonces r se aproxima a una distribución normal

con media:

E r n( ) ( ) 1

32 1

V r n( ) ( ) 1

9016 29

Paso 6.- Se acepta ho, a un nivel de riesgo , si

21

2

z

r E r

Var r

( )

( )

a f

donde z(*) esta tabulada en la distribución normal.

Ejemplo: Se tiene la siguiente secuencia de números pseudoaleatorios:

10 37 08 99 12 66 31 85 63 73 32 04 68

02 99 74 10 77 32 42 76 64 19 09 80 34

45 02 05 03 13 74 09 70 36 76 82 64 74

64 34 24 23 28 64 36 35 68 90 35

si r = 35

E r n( ) ( ) ( ) 1

32 1

1

3100 1 33

68

V r n( ) (800 ) . 1

92 1

1

9029 857a f

De tablas:

Z(0.68) = 0.7517

Por lo que para el nivel de significancia por ejemplo 10%

20 68 1

2

010

20 7517 1

010

2

0 05 0 7517 0 95

Z( . )

..

.

. . .

Se afirma la Hipótesis Ho: La secuencia de números es aleatoria.

5.7 PRUEBA DE POKER

Esta prueba examina en forma individual los dígitos del número pseudoaleatorio

generado. La forma como esta prueba se realiza es tomando 5 dígitos a al vez y

clasificándolos como : Par, dos pares, tercia, póker quintilla full y todos diferentes. Las

probabilidades para cada una de las manos del póker diferentes se muestran enseguida:

Todos diferentes = 0.3024

Un par = 0.504

Dos pares = 0.108

Tercia = 0.072

Full = 0.009

Quintilla = 0.0001

Con las probabilidades anteriores y con el número de números pseudoaleatorios

generados, se puede calcular la frecuencia esperada de cada posible resultado, la cual al

compararse con la frecuencia observada, produce el estadístico:

69

0

7

2

1

7

( )FO FE

FEi i

ii Si

0

2

6

2, . Entonces los números pasan la

prueba.

i Pi FO FE

0

2

Todos diferentes 0.3024 3 29(0.3024)=8.7696 (8.7696-3)2/8.7696=3.7958

Un par 0.504

Dos pares 0.108

Tercia 0.072

Full 0.009

Quintilla 0.0001

29

1

7

i

0

2

1

7

i

55787 dos pares

33333 Quintilla

16543 Todos diferentes

17145 Un par

51575 Tercia

44343 Full

11171 Póker

Ho: Los N. A. son independientes con 10% Si

0

2

6

2, se acepta Ho.

5.8 PRUEBAS DE LAS CORRIDAS

5.8.1 Prueba de las corridas arriba y abajo del promedio

En esta versión de la prueba de las corridas, una secuencia de números

pseudoaleatorios es generada. En seguida, una secuencia binaria es obtenida, en la cual es

0 si Ui es menor a 0.5 y 1 si es mayor. Una vez obtenida la secuencia binaria, el siguiente

paso e la cantidad de veces que una misma longitud de corridas se repite (frecuencia

observada de la corrida de la longitud i). Una sucesión de i ceros (unos) enmarcada por

unos (ceros) en los extremos, representa una corrida de longitud i. El Número total

esperado de corridas y el número esperado para cada tamaño de corrida se obtienen con las

siguientes expresiones:

70

EN

FEN i

i i

1

2

3

2 2

Estas frecuencias esperadas son comparadas con las observadas a través de la distribución

Chi-cuadrada y una decisión sobre la aleatoriedad de los números pseudoaleatorios

generados es tomada.

Prueba de corridas arriba y abajo del promedio.

0.65 1

0.55 1

0.91 1

0.25 0 i F0i

0.65 1

0.02 0 0

0.41 0 1

0.31 0

0.40 0

0.08 0

0.69 1

0.46 0 Ho: La secuencia de N. A. es aleatoria con M = 0.5

0.80 1 y 5%

0.83 1

0.27 0

i FOi FEi

0

2

0 8 9 ( 9-8)2/9= 0.1111

1 7 4.25 (4.25-7)2 = 1.7794

15 i

1

2

18905.

71

EN

E corridas

FEN i

FE

o i

1

2

15 1

28

3

2

15 0 3

29

15 1 3

2

17

44 25

1 0 1

1 1 1

.

0

2

0 05 2 1

2

0 05 1

23 841

0

2

0 05 1

18905

.

. , . ,.

. ,

La secuencia de No. es aleatoria con M= 0.5 y alfa =5%. Se acepta Ho.

5.8.2 Prueba de corridas arriba y abajo.

Se genera una secuencia de números igual que en el inciso anterior y luego se

obtienen una secuencia binaria, en la cual el i-ésimo término es cero si Uii< Ui+1 y 1 al

contrario. Una vez obtenida la secuencia binaria, se sigue el mismo procedimiento descrito

anteriormente y se obtienen la frecuencia observada para cada tamaño de corrida. El

número total esperado para cada tamaño de corrida se obtiene con las siguientes

expresiones:

72

EN

FEi i N i i i

ii N

FEN

i NN

2 1

3

23 1 3 4

31

21

2 3 2

1

( ) ( )

( )!;

!

Finalmente, el estadístico Chi-cuadrada se determina de acuerdo a la

siguiente expresión:

0

2

2

1

( )FO FE

FEi i

ii

n

Donde n es el número de términos de la ecuación anterior. Es importante señalar

que el cálculo del estadístico Chi-cuadrada, la frecuencia esperada para cada tamaño de

corrida debe ser igual o mayor a 5.

Si las frecuencias esperadas para corridas de tamaño grande son menores que 5,

tales frecuencias se deben agrupar con las adyacentes de tal modo que la frecuencia

esperada de los tamaños de corrida sea al menos 5.

Si

0

2

2

2, entonces los números pasan la prueba.

pruebas de corridas arriba y abajo.

i

1 0.84 1

2 0.53 1

3 0.43 0

4 0.45 1

5 0.74 0 Ho: La sec. De No, es aleatoria con 5%

73

6 0.66 0

7 0.33 1

8 0.85 0

9 0.37 1 FE20-1= 2/20!

10 0.69 0

11 0.10 1

12 0.76 0

13 0.68 0

14 0.60 1

15 0.97 0

16 0.03 1

17 0.72 0

18 0.17 1

19 0.29 0

20 0.16 1

EN

FEi i N i i i

ii N

2 1

3

2 20 1

313666

23 1 3 4

31

2 3 2

( ).

( ) ( )

( )!;

FE

2

0 3 0 1 20 0 3 0 0 4

0 38

2 3 2( ( ) ) ( ( ) )

( )!

FE1

2 3 2

21 3 1 1 20 1 3 1 1 4

1 38 9166

( ( ) ) ( ( ) )

( )!.

i FOi FEi

0

2

0 10 8 ( 8-10)2/8= 0.1111

1 10 8. 9166 (8.9166-10)2 /8.9166=0.1316

74

10 0 6316

1

2

.i

0 05 1

2

0

2

0 05 1

2

3841

0 6316 3841

. ,

. ,

.

. .

Se acepta Ho. Los No. son aleatorios.

PRUEBA DE KOLMOGOROV- SMIRNOV

Esta prueba sirve para verificar o negar la hipótesis que un conjunto de

observaciones provienen de una distribución.

La estadística D que se utiliza en esta prueba es una medida de la diferencia

máxima observada entre la distribución empírica y la teórica supuesta. D es una variable

aleatoria.

Se utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de números

pseudoaleatorios tienen una distribución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

Paso 1: se formula la hipótesis nula, Ho. De que los números provienen de una distri-

bución uniforme en el intervalo cerrado [0,1].

Paso 2: Se selecciona una muestra de tamaño n de números pseudoaleatorios generados

n = 1000. Sea Fn(x), de la siguiente manera.

Paso 3: Calcule la función de distribución acumulada empírica fn(x) de la siguiente

manera.

-Ordene los valores de la secuencia, tal que

i i

1 para toda i.

-Haga Fn(0)

Fnn

ii

i( ) , , ,...

1 2 3

Paso 4: Evalue la estadística de Kolmogorov-smirnov, de a partir de

D MAX Fn x x

i i ( )

0 1 x

i

75

Paso 5 Consulte la tabla de limites de aceptación para la prueba de kolmogorov- Smirnov,

para un tamaño de muestra n y un determinado nivel de riesgo alfa, si D es menor o igual a

este numero se acepta Ho, de otra manera se rechaza.

Ejemplo: De una tabla de número aleatorios se eligen los siguientes 50 (divididos entre

100 Para que su valor oscile entre 0 y 1.

0.10 0.37 0.08 0.99 0.12 0.66 0.31 0.85 0.63 0.73 0.32

0.04 0.68 0.02 0.99 0.74 0.10 0.77 0.32 0.42 0.76 0.64

0.19 0.09 0.80 0.34 0.45 0.02 0.05 0.03 0.13 0.74 0.09

0.70 0.36 0.76 0.82 0.65 0.74 0.64 0.34 0.24 0.23 0.38

0.64 0.36 0.35 0.68 0.90 0.35

Se desea probar la hipótesis Ho: Provienen de una distribución uniforme en [0,1], a un

nivel de significancia del 90%

Paso 2. Se arregla la tabla anterior para que se cumpla la condición x x

i i

1 para toda i.

1 0.02

2 0.02

3 0.03

4 0.04

5 0.05

6 0.08

7 0.09

8 0.10

9 0.10

10 0.10

11 0.12

12 0.13

13 0.19

14 0.23

15 0.24

16 0.26

17 0.32

18 0.34

19 0.34

20 0.35

21 0.35

22 0.36

23 0.36

24 0.37

25 0.38

26 0.42

27 0.45

28 0.63

29 0.64

30 0.64

31 0.64

32 0.65

76

33 0.66

34 0.68

35 0.68

36 0.70

37 0.70

38 0.73

39 0.74

40 0.74

41 0.74

42 0.76

43 0.80

44 0.82

45 0.85

46 0.90

47 0.94

48 0.97

49 0.99

50 0.99

Paso 3 Se construye Fn(xi) para toda i siendo n = 50/100 = 0.5

Fn xn

i ni

i( ) , , , . . .

1 2 3

Fn(0.00) = 0.00

Fn(0.02) = 0.04

Fn(0.0.3) = 0.03

Fn(0.04) = 0.08

Fn(0.05) = 0.10

Fn(0.08) = 0.12

Fn(0.09) = 0.16

Fn(0.10) = 0.20

Fn(0.12) = 0.22

Fn(0.13) = 0.24

Fn(0.19) = 0.26

Fn(0.23) = 0.28

Fn(0.24) = 0.30

Fn(0.31) = 0.32

Fn(0.32) = 0.34

Fn(0.34) = 0.38

Fn(0.35) = 0.42

Fn(0.36) = 0.43

Fn(0.37) = 0.48

Fn(0.38) = 0.50

Fn(0.42) = 0.52

Fn(0.45) = 0.54

Fn(0.63) = 0.56

77

Fn(0.64) = 0.62

Fn(0.65) = 0.64

Fn(0.66) = 0.66

Fn(0.68) = 0.70

Fn(0.70) = 0.74

Fn(0.73) = 0.76

Fn(0.74) = 0.82

Fn(0.77) = 0.84

Fn(0.80) = 0.86

Fn(0.82) = 0.88

Fn(0.85) = 0.90

Fn(0.90) = 0.92

Fn(0.94) = 0.96

Fn(0.97) = 0.98

Fn(0.99) = 0.100

Paso 4: D = MAX [Fn(xi)-xi]

D = [0.00 - 0.00] = 0

[0.04 - 0.02] = 0.02

[0.06 - 0.03] = 0.03

[0.08 - 0.04] = 0.04

D = 0.12; Que ocurre para Fn(0.38)

Paso 5: Para un nivel de significancia del 90% y una muestra de 50 números se tiene de la

tabla, un valor de 0.170 como D < 0.170 se acepta Ho: Los 50 números si provienen de una

distribución uniforme en el intervalo [0,1].

UNIDAD I I I

Generación de variables aleatorias

Funciones de probabilidad

Definición: sea f(x) una función de variable real continua o discreta. F(x) es una función

de probabilidad, si satisface las condiciones siguientes:

78

1)

f x x R

f x m m R

( ) ;

( ) ; ;

0 (positiva y acotada)

m infinito

2)

f x dx

f xx D

( )

( )

z

1

1

en caso continuo

en caso discreo; D es el dominio de f(x)

Función acumulada

definición: Sea f(x) una función de probabilidad continua o discreta. Se define la función

acumulada de f(x) denotada F(x) como:

a)

a) en caso continuo

b) en caso discreto

F x f t dt

F x f t

x

t D

x

( ) ( )

( ) ( )

z

Metodo de la transformada inversa

Si f(x) es una función de probabilidad continua o discreta y F()x es su función acumulada,

entonces podemos obtener la variable aleatoria x con distribución f(x) haciendo r = F(x);

r, despues despejamos x como x= F-1

(r); ri (0,1) pseudoaleatorio uniforme, i =

0,1,2,3,4, . . . ,h-1

79

f x e

f x e dt

f x f t dt

e dt

e

x

t

x

x

t

t x e t

( )

( )

( ) ( )

zz

zz

x 0 exponencial

= 0dt +

=

0

x

-

0

0 x<0

x 0

l

m

0

0

1

Metodo de rechazos

Si f(x) es una función de variable aleatoria continua o discreta, acotada y definida para

a x b a b R ; , y finitos, entonces se puede aplicar la técnica de rechazos para

generar valores de la variable aleatoria x por los 4 pasos siguientes:

1.- Escalar f(x) multi`licándola por una constante positiva c tal que cf(x )<= 1; c= 1/m;

m f x a x b ( ) qm

2.- Obtener x a través de la realción lineal x = a + (b-a)r; r (0,1)

3.- Generar parejas de números pseudoaleatorios (ri,ri+1)[ (r1,r2) (r2,r3) (r3,r4), . . . , (rh-

2,rh-1)]

4.- Investigar si ri+1 <= cf(xi), si es así, se acepta xi si no se rechaza.

i ni ri xi = a+(b-a)ri cf(xi) ¿ri+1<= cf(xi) ?

0 n0 r0 x0 cf(x0) 0 ó 1

1 n1 r1 x1 cf(x1) 0 ó 1

2 n2 r2 x2 cf(x2) 0 ó 1

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

n-1 nh-1 rh-1 xh-1 cf(xh-1) último se compara con r0

80

n nh=0 r0 ----- ------- -----

a=-1

b= 1

c=

f xx

( );

RST

0 en otra parte

-1 x 12

1 2

r F x

e r

e r

x r

x r

x

x

( )

ln( )

ln( )

donde 0 r 1

1

1

1

11

0 < r <1

0 > r >-1

1>1-r > 0

0<1-r<1

0 < R < 1

x Ri i

1

ln

Distribución de Poisson

Sea t una variable aleatoria discreta, con distribución de Poisson con media .

Pr( )!

( ) ( )

t Re

R

con

E t Var t

R

y

La función inversa se obtiene formando productos de variables leatorias uniformemente

distribuidos en [0,1], denotados ri, hasta que este producto sea menor que e, es decir, hasta

que se satisfaga la desigualdad:

81

r e ri

i

t

i

i

t

1 1

1

Al cumplirse esta desigualdad se encuentra el valor de t (la vaiable aleatoria con

distribición de Poisson) con media .

Distribución lognormal.

Sea t una variable aleatoria positiva con distribución lognormal.

Entonces:

x = log t

f x e

con

E x e

Var x e e

x M

M

M

( ) ;

( )

( ) [ ][ ]

( )

( )

F

HGIKJ

1

2

1

2

2

2 2

2

2

2

< x <

La función inversa se obtiene de :

t F r r r r en

Mn

rn

i

i

n

FHG

IKJ

FHG

IKJ

LNMM

OQPP

1

1 2 3

12 2

1 2

1( , , , . . . )

recomendandose que n>=12

Distribución Geometrica.

Sea t una variable aleatoria con función de densidad geometrica f(t)= pqt t= 0,1,2,3,....

con q = 1- p 0 <= p <= 1

La función de distribución es:

82

F t pq

con

E tq

p

Var tq

p

t F rr

q

x

x

t

( )

( )

( )

( )log

log

0

2

1La función inversa

donde r es un número aleatorio con distribución uniforme en [0,1].

Nota: Esta función t debe redondearse al entero inmediato inferior.

Distribución uniforme en el intervalo cerrado [a,b]

Sea t una variable aleatoria distribuida exponencialmente, con media 1 / ; su

función de densidad es:

f t e

entonces

t r

t( )

:

log( )

y su distribución

F(t) = 1 - e- t

11

donde r es una variable aleatoria con distribución uniforme en [0,1].

Distribución Erlang

Sea t una variable aleatoria con distribución de Erlang con media R/ y varianza

R/2, es decir, con densidad

83

f t Rt e

R

et

m

donde

E t R

Var t R

R R t

t

m

m

R

( , )( ) !

;

( )

( ) !

:

( )

( )

( )

1

1

1

2

1

1

R = 1,2,3,4, . . .

entonces su distribución es:

F(t, R) = 1 -

La función inversa es:

t F r r r rR i

i

R

1

1 2

1

1( , , . . . ) log

donde r1,r2,...rR son variables aleatorias independientes con distribución uniforme en [0,1].

Distribución Normal

Sea t una variable aleatoria con distribución normal con media M y varianza 2

su densidad es:

f x e

E x M

Var x

t M

( )

( )

( )

( )

F

HGIKJ1

2

2

22

2

Entonces si M=0 y 2=1 la función inversa es aproximadamente: igual a:

84

t F r r rr n

n

n

i

i

n

FH

IK

1

1 2

1

2

1

12

( , , . . . )e j

donde r1,r2,...rR son variables aleatorias

independientes con distribución uniforme en el intervalo [0,1].

Es recomendanle que n>=10. Si se quiere una variable aleatoria con distribución

normal con una media y varianza cualquiera, la formula anterior se convierte en:

t F r r r r Mn i

i

1

1 2

1

12

6( , , . . . ) ( )

Distribución ji-cuadrada

Sea t uan variable aleatoria con distribución ji-cuadrada con n grados de libertad y

densidad dada por;

f tn

t e

E t n

Var t n

n

n t

( )!

( )

( )

1

22

2

2

21

2

e je j e j

0 t , n = 1,2, . . .

se tiene

si n es un numero par , la función inversa es:

t F r r r r

R n

R i

i

n

1

1 2

1

2

2

2

12

( , , . . . ) log/

mientras que si n es non, la función inversa es la suma de n variables aleatorias cuadradas,

cada una de ellas con distribución normal, M=0 y =1

85

t F r r r rn i

i

n

1

1 2

2

1

( , , . . . )

donde cada ri se obtiene de :

t F r r rr n

n

n

i

i

n

FH

IK

1

1 2

1

2

1

12

( , , . . . )e j

Distribución binomial negativa (o de pascal)

Sea t una variable aleatoria con función de densidad binomial negativa

f t p q

q p

E tRq

p

Var tRq

p

t

r

q

t

R t R t

i

i

R

( ) ,

,

( )

( )

log

log

1

2

1

1

b g t = 0,1,2,3, . . .

0 p 1

con

la función inversa es:

donde r1,r2,...rR son R variables aleatorias independientes con distribución uniforme en el

intervalo [0,1].

Distribución Binomial

Sea t una variable aleatoria t con distribución binomial se genera de la suma de n varibles

(no aleatorias) xi i=1,... tal que cada vez que se obtiene una variable aleatoria ri, i=1,2,3...n

con distribución uniforme en [0,1] se realiza de la siguiente transformación:

86

x x p

x x p

i i

i i

1

1 1

si r

si r

0

i

i

Para x = 0 la función inversa es

m

t F x x x xn i

i

n

1

1 2

0

( , , . . . )

Distribución empirica

Variables aleatorias con cualquier distribución empiríca discreta o continua que

pueda aproximarse por una distribución discreta, pueden generarse para el siguiente

metodo:

Si t es una variable aleatoria r con distribución uniforme en [0,1] que cumpla con la

siguiente desigualdad. Si t=bi con probabilidad

Números Aleatorios con distribuciones diferentes a la uniforme.

Para cada variable aleatoria x con distribución cualquiera F(x), existe una variable

aleatoria r, unica, distribuida uniformente, tal que: F(x)= r.

r es la probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución cualquiera

F(*) tenga un valor menor a x.

Cuando es posible encontrar la función inversa F-1

(r)=x, se pueden generar variables

aleatorias con distribución F(*), a partir de variables aleatorias r, distribuidas uniformente

en el intervalo cerrado [0,1].

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