introduccion al concepto de esperanza y varianza
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������������������ �� ���� �� �� ����� �� �� ���� �� ���
��������������� ��
� La esperanza matemática de una variable aleatoria discreta que puede tomar valores con probabilidad
se define como:
,..)()()( 2,1 xxxxfxXE ix
iii
∈∀⋅=�
ix)( ixf
� La esperanza matemática de una variable aleatoria continua se define como
�+∞
∞−
= dxxfxXE )()(
��������������� ��
� La esperanza matemática puede interpretarse intuitivamente como el valor medio de infinitas observaciones. De hecho, si representa una observación en un individuo, se cumple:
)(lim 1 XEN
XN
ii
N=
�=
∞→
iX
La esperanza matemática también puede interpretarse como un punto de equilibrio de la distribución de probabilidad � ⋅=
ixii xfxXE )()(
10 32 54
10 32 54
10 32 54
0 1 2 3 4 5
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
5.26/156/116/10)(5,4,3,2,1,06/1)(
=×++×+×===
�XE
xxf
0 1 2 3 4 5
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
5.216/1516/3416/4316/4216/3116/10)(
3,216/4)(4,116/3)(5,016/1)(
=×+×+×++×+×+×=
======
XE
xxf
xxf
xxf
������ ���������
)()()(ntesindependieson y Si
)()()()()(
)()()(
YEXEYXE
YX
XEkXkE
YEXEYXE
XEkXkE
kkE
⋅=⋅�•
+=+•+=+•
⋅=⋅•=•
����� ��������� ������� ���� ������������������� ��
� � ������ �� ����� ��� ���������� ����� ������������� ���� �
� ����������������� ����� ���� ��������� ������� ������������� �� ������ �� ��� ���� �� �� ����� ���� ��������� ������� ����� ���������������������������� �� ��������!��� ��
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Concepto de varianza
� La varianza de una variable aleatoria discreta se define como:
( )2)()( XEXEXV −=
� Esta definición equivale a:
( )22 )()()( XEXEXV −=
)()(
)()(
22i
xi
ix
i
xfxXE
xfxXE
i
i
�
�
=•
=•
La varianza puede interpretarse como un momento de la distribución de probabilidad respecto de la esperanza
10 32 54
10 32 54
10 32 54La varianza aumenta al aumentar la
dispersión de la probabilidad respecto de la
esperanza
Menor Varianza
Mayor Varianza
0 1 2 3 4 5
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
917.25.2167.9)(
167.96/156/10)(
5.26/156/116/10)(5,4,3,2,1,06/1)(
2
222
=−=
=×++×==×++×+×=
==
XV
XE
XE
xxf
�
�
0 1 2 3 4 5
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
75.15.28)(
816/1516/3416/43
16/4216/3116/10)(
5.2)(3,216/4)(4,116/3)(5,016/1)(
2
222
2222
=−=
=×+×+×++×+×+×=
=======
XV
XE
XE
xxf
xxf
xxf
Propiedades de V(X)
)()()()()()()()(
ntesindependieson y Si)()(
0)(2
XVXkV
YVXVYXV
YVXVYXV
YX
XVkXkV
kV
=+•+=−+=+
�•⋅=⋅•
=•
%���� ��#��&���
� Como la varianza tiene unidades al cuadrado, se define la desviación típica (d.t.) (también llamada estandar) comola raiz cuadrada de la varianza:
)(.. XVtd =
σσ
σ
===
=2
2
)(.
)(
XVtd
XV
� En general, la varianza de una variable se denomina como σ2. Por lo tanto la desviación típica será σ.
'� �� ��� ��#����� �� ����En muchos casos, puede ser interesante considerar una transformación de la variable original (por ejemplo: cambio de escala). En tal caso, la esperanza y la varianza de la nueva variable pueden calcularse utilizando las propiedades anteriores. Algunas transformaciones que apareceran a menudo son la estandarización de una variable y el promedio de varias variables.
EstandarizaciónSe denomina estandarización a la transformación:
)()(
XVXEX
Y−=
PromedioEl promedio de varias observaciones se calcula como:
NXXX
Y N+++= �21
Estandarización )()(
XVXEX
Y−=
( )
[ ] [ ] 0)()()(
1))(()(
)(1
)()(
1)(
)()(
=−=−=
=−=���
����
−=•
XEXEXV
XEEXEXV
XEXEXVXV
XEXEYE
( )
[ ] [ ] 10)()(
1))(()(
)(1
)()(
1)(
)()(
2
=−=−=
=−���
����
=��
�
����
−=•
XVXV
XEVXVXV
XEXVXVXV
XEXVYV
La estandarización de una variable, transforma la variable original en una variable con esperanza 0 y varianza 1
PromedioN
XXXY N+++= �21
( )
NXEXEXE
XXXENN
XXXEYE
N
NN
)()()(
1)(
21
2121
+++=
=+++=��
���
+++=•
�
��
( )
221
21221
)()()(
1)(
NXVXVXV
XXXVNN
XXXVYV
N
NN
+++=
=+++=��
���
+++=•
�
��
ntesindependie iX•
PromedioN
XXXY N+++= �21
( )
µµ =⋅=+++=
=+++=��
���
+++=•
NN
NXEXEXE
XXXENN
XXXEYE
N
NN
)()()(
1)(
21
2121
�
��
( )
NNN
NXVXVXV
XXXVNN
XXXVYV
N
NN
2
2
2
221
21221
)()()(
1)(
σσ =⋅=+++=
=+++=��
���
+++=•
�
��
2)(
)(
σµ
=•
=•
i
i
XV
XE
ntesindependie iX•