Modelo General de programacin Lineal Lucy Hayde De la Cruz Cuadros

Introduccin a la Programacin lineal

El problema general es asignar recursos limitados entre actividades competitivas de la mejor manera posible (ptima).

Este problema incluye elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para realizarlas

INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEALEl adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deber ser funciones lineales. En este caso, las palabra programacin no se refiere a programacin en computadoras; en esencia es un sinnimo de planeacin. As, la programacin lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un resultado ptimo.

Significado de Programacin LinealEn este caso, las palabra programacin no se refiere a programacin en computadoras; en esencia es un sinnimo de planeacin

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deber ser funciones lineales.

Puntos de inters de la PL:La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema. Los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de cada recurso que consumir cada una de ellas.

MODELO GENERAL DE PLZ =valor de la medida global de efectividadXj =nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)Cj =incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la actividad jbi =cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para i = 1,2,...,m)aij =cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad jLos trminos clave son recursos y actividades, en donde m denota el nmero de distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el nmero de actividades bajo consideracin.

PROGRAMACIN LINEAL

Programacin LinealAs, la programacin lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un resultado ptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada (segn el modelo matemtico) entre todas las alternativas de solucin.Se resuelve problemas de n variables por m restricciones por el Mtodo simplex, tcnica M y el mtodo de las dos fases

RESOLUCIN DE PROGRAMAS LINEALESMTODO GRFICO(SE USA EN EL CASO DE DOS VARIABLES)MTODO SIMPLEX(SE USA EN RESTRICCIONES DE LA FORMA )

TCNICA M

MTODO DE LAS DOS FASES

MODELO DE PROGRAMACIN LINEAL

QUE HACER Y EN EN QUE CANTIDAD?

FORMULACIN DE MODELOS MATEMTICOS DE PROGRAMACIN LINEAL

La modelacin se define como el proceso de abstraccin del sistema real a un modelo cuantitativo. Involucra desde la definicin del sistema real y la determinacin de sus fronteras.La modelacin es sin duda una combinacin de arte y ciencia. No se puede precisar una metodologa para la construccin de un modelo.

"Los modelos no pueden reemplazar al tomador de decisiones, slo auxiliarlos"

CONSTRUCCIN DE MODELOS EN PROGRAMACIN LINEAL

aij = cantidad del recurso i por cada unidad de la actividad j

Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n)Cj = Costo de la variable de decisin Z = valor de la medida global de efectividad

Modelo General de Programacin Lineal(maximizar o minimizar) Z = c1x1 + c2x2 . +....+ cnxn,sujeto a: a11x1 + a12x2 +....+ a1nxn < b1 a21x1 + a22x2 +....+ a2nxn < b2

am1x1 + am2x2 +....+ amnxn < bmx1 0, x2 0, ..., xn 0

1. LAS VARIABLES DE DECISIN Son las incgnitas del problema y La definicin de las variables es el punto clave y bsicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.

2. FUNCIN OBJETIVOConsiste en optimizar el objetivo que persigue una situacin la cual es una funcin lineal de las diferentes actividades del problema, la funcin objetivo se maximizar o minimiza, se pretende medir la efectividad Deber definirse claramente las unidades de medicin del objetivo, como dinero, tiempo, etc.

3. LAS RESTRICCIONES ESTRUCTURALES Son diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solucin para que pueda llevarse a cabo. En cierta manera son las limitantes en los valores de los niveles de las diferentes actividades (variables). Las restricciones ms comunes son:Restricciones de capacidad. Restricciones de mercado. Restricciones de entradas.Restricciones de calidad. Restricciones de balance de materiales.

Se establece el valor factibles de las variables de decisin. Para fines de la programacin lineal se establece que todas las variables deben tomar valores positivos. En caso de formular problemas en donde sea necesario valores negativos en las variables se emplean las variable irrestrictas.

4. LAS CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD

Dado el problema lineal se tiene : Mx Z = 24 x1 + 20 x 2 s.a. 0,5 x1 + x 2 12 1,5 x1 + x 2 24 x1 0 , x 2 0

METODO GRAFICO PARA VARIABLES BIDIMENSIONALES

Suposiciones del modelo de PL VARIABLES:Hiptesis de divisibilidad y no negatividad

FUNCIN OBJETIVO Y RESTRICCIONES: Hiptesis de linealidadFORMULACIN GENERAL:Hiptesis de certidumbreMODELO DE PROGRAMACIN LINEAL

Es un Modelo que no Suboptimiza. LIMITACIONES DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

Es un modelo Esttico.Es un modelo determinstico.

Tipos de problemas Planeacin de la produccin e inventarios Mezcla de Alimentos Transporte y asignacin Planeacin financiera Mercadotecnia Asignacin de recursos Redes de optimizacin

Problema 1Paula Huertas produce chompas hechas a manos y tapetes decorativos en San Pedro de Cajas (Tarma). La experiencia indica que debe producir mnimo 10 tapetes. El taller puede producir como mximo 60 tapetes y 120 chompas. Si la ganancia de un tapete es de S/.134, la de una chompa es S/.20, y puede fabricar a lo ms 160 unidades combinadas,cuntas unidades de cada tipodebe producir para maximizarsus ganancias?

Sea x: nmero de tapetes; y: nmero de chompas Funcin objetivo: max G(x; y) = 134 x + 20 ySujeta a:x > 0; y > 0

Problema 2Se dispone de 60 libras de chocolate y de 100 libras de mentas para hacer cajas de 5 libras de dulce. Una caja regular tiene 4 libras de chocolate y 1 libra de menta y se vende en $10. Una caja de lujo tiene 2 libras de chocolates y 3 libras de menta y se vende a $16. Cuntas cajas de cada tipo deben elaborarse para maximizar el ingreso?

Problema 3El gerente de una oficina necesita comprar archiveros nuevos. Sabe que un archivero Ace cuesta $ 40, requiere 6 pies cuadrados de espacio de piso y tiene capacidad de 8 pies cbicos. Por otra parte, cada archivero Excello cuesta $ 80, requiere 8 pies cuadrados de espacio de piso y tiene capacidad de 12 pies cbicos. El gerente no puede gastar ms de $ 560 en los archiveros y la oficina no tiene espacio para ms de 72 pies cuadrados de archivero. Se desea tener la capacidad mxima de almacenaje dentro de las limitaciones impuestas por el dinero y espacio. Cuntos archiveros de cada tipo debe comprar?

Problema 4Un agricultor va a comprar fertilizante que contienen tres nutrientes: A, B y C. Los mnimos necesarios son 160 unidades de A, 200 unidades de B y 80 de C. Una compaa ofrece dos marcas de fertilizantes: Crece Rpido cuesta $8 una bolsa, contiene 3 unidades de A, 5 de B y 1 de C. Crece Fcil cuesta $6 cada bolsa, y contiene 2 unidades de cada nutriente.Si el agricultor desea minimizar el costo mientras se satisfacen los requerimientos de nutrientes, cuntas bolsas de cada marca debe comprar?Si el gerente de la compaa desea maximizar su ingreso cuntas bolsas de cada marca debe vender? Por qu no existe un ingreso mximo?

Problema 5Un alumno decide dedicar su tiempo libre en vender artculos de belleza de dos tipos: A y B. Por vender una unidad de A le pagan $8 y por vender una unidad de B, $5. Las condiciones son: el nmero de artculos vendidos, de A debe exceder al triple de B en 21; y a lo ms debe vender 6 artculos en total.Cuntos artculos de cada tipo debe vender para maximizar el ingreso?Por qu no existe una solucin ptima?

EL PROBLEMAEN INVESTIGACIN OPERATIVA ASI COMO EN MEDICINA, EL PROBLEMA SE PRESENTA POR LOS SINTOMAS.SE DEBE BUSCAR EL MAYOR NUMERO DE SINTOMAS ANTES DE EMPEZAR EL PROYECTO QUE GENERARA SOLUCIONES

SEGN ACKOFF SASIENIDEBE EXISTIR POR LO MENOS UN INDIVIDUO DENTRO DE UN MARCO DE REFERENCIA AL CUAL SE LE PUEDA ATRIBUIR EL PROBLEMA DEL SISTEMA.EL INDIVIDUO DEBE TENER POR LO MENOS UN PAR DE ALTERNATIVAS PARA RESOLVER EL PROBLEMADEBE EXISTIR POR LO MENOS DOS SOLUCIONES, UNA DE ELLAS DEBE TENER MAYOR ACEPTACION, DONDE LA PREFERENCIA ESTA ASOCIADA A UN CIERTO OBJETIVO DENTRO DEL MARCO DE REFERENCIA .

LA SELECCIN DE UNA DE LAS SOLUCIONES DEBE REPERCUTIR DE MANERA DIFERENTE EN LOS OBJETIVOS DEL SISTEMA, ES DECIR EXISTE UNA EFICIENCIA Y EFICACIA ASOCIADAS A LA SOLUCION.EL INDIVIDUO QUE TOMA LA DECISION IGNORA LA SOLUCION.SI EXISTEN ESTAS 5 SITUACIONES SE TIENE UN PROBLEMA.

QU ES UN PROBLEMA?DIREMOS QUE UN PROBLEMA ES LA DIFERENCIA ENTRE LA SITUACIN REAL Y LA SITUACIN DESEADA Y LA SITUACIN REAL EN UN INSTANTE DE TIEMPO.

FORMULACION DEL PROBLEMA SE DEBE IDENTIFICAR LOS COMPONENTES CONTROLABLES DEL SISTEMA.IDENTIFICAR LAS POSIBLES RUTAS DE ACCION DADAS POR ESTOS COMPONENTES.DEFINIR EL MARCO REFERENCIAL DADO POR LOS COMPONENTES NO CONTROLABLES.

DEFINIR LOS OBJETIVOS Y CLASIFICAR SEGN SU IMPORTANCIA.IDENTIFICAR LA INTERRELACIONES PRIMARIAS ENTRE LOS DIFERENTES COMPONENTES DEL SISTEMA.ENCONTRAR LAS RESTRICCIONES QUE EXISTEN, LAS CUALES SERAN REPRESENTADAS MATEMATICAMENTE.

PARA LA FORMULAR UN PROBLEMA SE NECESITA LA SIGUIENTE INFORMACIN:Existe el problema?De quin es el problema?Cul es el marco de referencia donde se encuentra el problema?Quin o quienes toman la decisin?Cules son los objetivos?Cules son los componentes controlables del sistema y cuales no lo son?

Cules son las interrelaciones ms importantes del sistema?Cmo se emplearn los resultados del proyecto , por quin, qu efectos tendrn?Las soluciones tendrn efecto a corto a largo plazo?Podrn modificarse los efectos de las soluciones?Cuntos elementos del sistema se afectarn por las soluciones del sistema y en que grado ?

TIPOS DE PROBLEMASDETERMINSTICOSCON RIESGOBAJO INCERTIDUMBRE