Introduccin

Los numros complejos nacen en los albores del algebra, estn relacionados de forma inseparable con las solucionesde ecuaciones de grado dos y tres. Aqu se mostrara una lnea de tiempo.

1. La primera referencia aparece en el intento de resolver el siguiente problema: Clculo de los lados de un tringulorectngulo cuya rea es 7 y permetro 12.Para resolver este ltimo problema Diofanto plante resolver la ecuacin 336x2 + 24 = 172x.

2. En 1545 Jerome Cardan, matemtico italiano, publica el "Ars Magna"(El gran arte), en el cual describeun mtodo para encontrar soluciones a las ecuaciones polinmicas de tercer y cuarto grado.Aqu cardano se plantea la siguiente situacin, Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea 40,es evidente que esta cuestin es imposible. No obstante, nosotros la resolvemos de la siguiente forma :Jerome aplica sus mtodos para resolver el sistema, x + y = 10 y xy = 40, y encuentra como solucionesx = 5 +

15 y y = 55. Est es la primera vez que se manipula algebraicamente raices cuadradas denmeros negativos.Cardan tambin tropieza con estas raices al resolver ecuaciones de grado 3 cuyas soluciones son reales!!, unejemplo de ello es la siguiente ecuacin cbica

x3 15x 4 = 0.

cuyas soluciones son 4, 2 + 3, 2 3, las soluciones expresadas en trminos de la frmula de Ferrarison, x = 3

2 +

21 + 3221

3. Fue el ingeniero Rafael Bombelli unos treinta aos despues de la publicacin de la obra de Cardan, quien

introdujo un razonamiento que el mismo catalog "salvaje". Planteo que como 32 +

21 y 3221 difer-

an solo en un signo entonces las raices cbicas deban comportarse igual, de este modo planta. 32 +

21 =a+

b y que 32 +

21 = ab de esta forma por cculo directo se obtiene que a = 2 y b = 1, luego3

2 +

21 + 3221 = 4. As bombelli le daba sentido al "sin sentido"de las expresiones de Cardan.

4. Mucho tiempo despues muchos mtematicos usaban el algeba de los extraos nmeros, ejemplo de ello fueJohan Bernoulli quien resolvia problemas como el siguiente.

dxx2 + a2

= dx

(x+ ai)(x ai) = 1

2ai

( 1x+ ai

1x ai

)dx = 1

2ai(log(x+ ai) log(x ai)).

5. Leonhard Euler fue el primer matemtico en usar la notacin i =1, adems de mostrar la identidad

epii = 1.

6. Carl Friedrich Gauss prueba por primera vez el teorema fundamental del lgebra. Gauss tambien haciareferencia a la representacin geomtrica de los nmeros complejos.

7. Willian Hamiton(Inglaterra 1805-1865) da la primera definicin algebraica rigurosa de los nmeros com-plejos como pares de nmeros reales.

8. Hadamard nos deca "El camino ms corto entre dos verdades en el campo real pasa a travs delcampo complejo."Nos ilustraba con el siguiente problema, el producto de la suma de dos cuadrados de nuevo es la suma de doscuadrados. Es decir (a2 + b2)(c2 + d2) = u2 + v2.

1.1. El campo de los nmeros complejos

1. DefinicinUn nmero complejo es una expresin de la forma z = x+ iy, donde x e y son nmeros reales, la componentex es la parte real, la componente y es la parte imaginaria.

x = Re(z)

y = Im(z).

2. Observaciones

Existe una correspondencia bionvoca entre los nmeros complejos y el plano.

Los nmero de la fomra iy se conocen como imaginarios puro.

La adicin en los nmeros complejos corresponde con la adicin de vectores en el plano.

3. DefinicinEl campo de los nmeros complejos C es el conjunto de pares ordenados de nmeros reales (a, b) con adiciny multiplicacin definidas por

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

(a, b)(c, d) = (ac bd, ad+ bc).

4. Propiedades de la multiplicacin de nmeros complejos.

a) (z1z2)z3 = z1(z2z3).

b) z1z2 = z2z1.

c) z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.

d) ii = i2 = 1.e) z1 = 1/z = (x iy)/(x2 + y2), z 6= 0.

5. DefinicinEl mdulo de un nmero complejo z corresponde con la longitud del vector correspondiente a dicho nmerocomplejo, |z|.

6. DefinicinEl nmero complejo conjugado de z = x+ iy se define por z = x iy.(Apreciacin geomtrica).

7. Propiedades

a) z + w = z + w.

b) zw = zw.

c) |z| = |z|.d) |z|2 = zz.e) Re(z) = (z + z)/2.

f ) Im(z) = (z z)/2i.g) |zw| = |z||w|.h) |z + w| |z|+ |w|.i) |z w| ||z| |w||.

8. DefinicinUn polinomio complejo de grado n 0 es una funcin de la forma p(z) = anzn + . . .+ a0 donde z, a0, . . . , anpertenecen a los nmeros complejos.

9. Teorema fundamental del lgebraTodo polinomio complejo de grado n 1 tiene una factorizacin p(z) = c(z z1)m1 . . . (z zk)mk donde zjsson distintos y mj 1. Est factorizacin es nica salvo el orden de los factores.Ejemplo con p(z) = z2 + 1.

1.2. Representacin polar

1. Coordenadas polares, dado un punto en el plano (x, y) este se ve bien definido con la longitud del vector y sungulo.De esta forma tenemos z = x+ iy = r cos() + ir sin() = |z|(cos() + i sin()) = |z|ei.Notaremos a = arg(z) y a su valor principal Arg(z), tal que pi < Arg(z) pi, de esta forma tenemosarg(z) = Arg(z) + 2kpi.Ejemplo arg(1 + i).

2. Identidades

a) |ei| = 1.b) ei = ei.

c) (ei)1 = ei.

d) ei(+) = eiei.

e) arg(z) = arg(z).f ) arg(1/z) = arg(z).g) arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2).

h) cos(n) + i sin(n) = ein = (ei)n = (cos + i sin )n(Frmula de De Moivre).

3. DefinicinSe dice que un nmero complejo z es la raz n-sima de w si zn = w.

4. ProposicinSea w = ei, entonces la n-sima raz de w se puede encontrar a travs de la frmula

= rn , = /n+ 2kpi/n

donde z = rei es tal que zn = w.

5. EjemploD una frmula para la ecuacin

x3 + a2x2 + a1x+ a0 = 0

a) Primero haremos el cambio y = x+a23.

Esto nos dar como resultado una ecuacin cbica de la forma

y3 + py + q = 0.

b) Haga y = u+ v, con lo que se tendr(u+ v)3 + p(u+ v) + q = u3 + v3 + (3uv + p)(u+ v) + q = 0.

c) Suponga que 3uv + p = 0, entonces {u3 + v3 + q = 03uv + p = 0

d) Considere ahora la ecuacin(z u3)(z v3) = 0, que evidentemente tiene como solucin a u3 y v3.Desarrollando esta ltima ecuacin tenemos, (z u3)(z v3) = z2 (u3 + v3)z + (uv)3de est forma llegamos a que

y =3

q2+

q2

4+

p3

27+

3

q2q2

4+

p3

27

6. EjemploEncontrar las races reales del polinomio p(z) = z3 15z 4 usando la frmula de Cardano-Tartaglia-Ferro.donde y es la solucin para la ecuacion de la forma y3 + py + q.

Primero hagase el siguiente clculoq2

4+

p3

27=

(4)34

+(15)327

= 121

luego usando la frmula antes citada, z = 32 +

121 + 32121

escribiendo 32 +

121 = 355ei(arctan(11/2)/3)

y 32121 = 3

55ei( arctan(11/2)/3)

tenemos que z = 25 cos(arctan(11/2)/3) = 4.

1.3. Proyeccin Estereogrfica

Para cada punto del plano complejo existe un punto de la esfera unidad que le corresponde de forma biunvoca.

7. Siendo S2 = {(X,Y, Z|X2 + Y 2 + Z2 = 1)} la esfera en el espacio tridimensional y sea el conjunto de losnmero complejos identificado por los puntos del plano xy de la forma (x, y, 0) entonces las correspondenciasson las siguientes

a) El correspondiente nmero complejo para un punto en la esfera es

x = X/(1 Z).y = Y/(1 Z).t = 1/(1 Z).

b) El correspondiente punto en la esfera dado un nmero complejo es

X = 2x/(|z|2 + 1).Y = 2y/(|z|2 + 1).Z = (|z|2 1)/(|z|2 + 1).

8. TeoremaBajo la proyeccin estereogrfica, las circunferencias en la esfera corresponden con circunferencias y lneasrectas en el plano complejo.

9. EjercicioBosqueje la imagen bajo la proyeccin estereogrfica de los siguientes conjuntos en la esfera

a) Los puntos de la esfera tales que Z < 0.

b) Lnes de latitud X =1 Z2 cos , Y = 1 Z2 sin para Z = fijado arbitrariamente Z 6= 1 y

0 2pi.c) Lneas de longitud X =

1 Z2 cos , Y = 1 Z2 sin para un fijo y 1 Z < 1.

10. Si el punto P en la esfera corresponde a z bajo la proyeccin estereogrfica, mostrar que el punto antipodalP en la esfera corresponde con 1/z.

1.4. Funciones Elementales

1. Funcin f(z) = z2.

2. Funcin multivaluada f(z) = z1/2.

3. Funcin exponencial f(z) = ez = exeiy.

Mapear los puntos z = (c1, y).

Mapear los puntos a x b, c y d.ewez = ew+z.

ewzez = ew.

ez = 1/ez.

Hacer notar que existe un z tal que ez = 1 y para todo valor z, ez 6= 0.

4. Funcin logaritmo, funcin multivaluada.w = log(z) = ln(|z|) + i( + 2kpi).

a) elog z = z.

b) log ez 6= z.c) Valor Principal, Logz = ln |z|+ iArg(z).d) Calcular log(1), log(1).e) log(zw) = log z + logw.

f ) log(1/z) = log(z).g) log(z/w) = log z logw.h) Probar que el conjunto de valores de log(i2) no es igual al conjunto de valores de 2 log(i).

i) Muestre que zn = en log(z) para n = 0,1, ...j) z1/n = e1/n log(z).

5. Exponentes complejosCuando z 6= 0 y el exponente c es cualquier nmero complejo entonces se define zc = ec log(z).

Considere el ejemplo i2i.

Valor Prinicipal, zc = ecLog(z)

Encuentre el valor principal de (e/2(13i))3pii.6. Funciones Trigonomtricas.

Se definen de manera natural las funciones trigonomtricas asociadas a nmeros complejos sin z = (eiz eiz)/(2i), cos z = (eiz + eiz)/(2).

a) sin(z) = sin(z), cos(z) = cos(z).b) 2 sin(z) cos(w) = sin(z + w) + cos(z w).c) sin(z + w) = sin(z) cos(w) + sin(w) cos(z).

d) cos(z + w) = cos(z) cos(w) sin(z) sin(w).e) sin2(z) + sin2(z) = 1.

f ) eiz = cos(z) + i sin(z).

g) sinh(y) = (ey ey)/2 y cosh(y) = (ey + ey)/2.h) sin(y) = i sinh(y).

i) cos(iy) = cosh(y).

j) sin(z) = sin(x) cosh(y) + i cos(x) sinh(y).

k) cos(z) = cos(x) cosh(y) i sin(x) sinh(y).l) sin(z 2pi) = sin(z).

m) sin(z + pi) = sin(z).n) cos(z + 2pi) = cos(z).

) cos(z + pi) = cos(z).o) | sin(z)|2 = sin2(x) + sinh2(y).p) | cos(z)|2 = cos2(x) + sinh2(y).

7. Funciones Hiperblicas.Definimos las siguientes funciones extendidas de las funciones hiperblicas de variable real.

a) sinh(z) =ez ez

2.

b) cosh(z) =ez + ez

2.

a) i sinh(iz) = sin(z).b) i sin(iz) = sinh(z).c) cosh(iz) = cos(z).

d) sinh(z) = sinh(z).

e) cosh(z) = cosh(z).f ) cosh2(z) sinh2(z) = 1.g) sinh(z1 + z2) = sinh(z1) cosh(z2) + cosh(z1) sinh(z2).

h) cosh(z1 + z2) = cosh(z1) cosh(z2) + sinh(z1) sinh(z2).

i) sinh(z) = sinh(x) cos(y) + i cosh(x) sin(y).

j) cosh(z) = cosh(x) cos(y) + i sinh(x) sin(y).

k) | sinh(z)|2 = sinh2(x) + sin2(y).l) | cosh(z)|2 = cos2(y) + sinh2(x).

1.5. Funciones analticas

1.5.1. Repaso de anlisis

1. DefinicinUna sucesin de nmeros complejos {sn} converge a s si para todo > 0, existe un nmero entero N 1 talque |sn s| < n N .

2. Ejemplolmn

1np

= 0 Para 0 < p s entonces sn t para solo un nmero finito de valores n.lm inf sn = lm sup(sn).

8. TeoremaUna sucesin {sn} converge si y slo si lm inf sn y lm sup sn son iguales y finitos.

9. Una sucesin {sn} de nmeros complejos es convergente si y slo si la correspondiente sucesin de parte reale imaginaria tambien es convergente.

10. TeoremaUna sucesin {sn} de nmeros complejos es convergente si y slo si la correspondiente sucesin de parte reale imaginaria tambien es convergente.

11. Una sucesin {sn} es de Cauchy si sn sm 0 cuando m,n tienden a infinito.12. Una sucesin de nmeros complejos converge si y slo si est sucesin es de Cauchy.

13. Definicinf(z) tiene lmite L cuando z tiende a z0 si > 0 > 0 tal que |f(z) L| < simpre que z est en eldominio de f y 0 < |z z0| < , escribimos

lmzz0

f(z) = L.

14. LemaLa funcin de variable compleja f(z) tiene lmite L cuando z z0 si y slo si f(zn) L Para cualquiersucesin {zn} en el dominio de f tal que zn 6= z0 y zn z0.

15. Teorema sobre lmitesSi una funcin tiene lmite en z0 entonces la funcin es acotada cerca de z0. Si f(z) L y g(z) Mcuando z z0, entonces cuando z z0 nosotros tenemos

a) f(z) + g(z) L+Mb) f(z)g(z) LMc) f(z)/g(z) L/M dado que M 6= 0.d) La composicin de funciones continuas es continua.

16. Definicinf es continua en z0 si f(z) f(z0) cuando z z0. Una funcin continua es aquella que es continua encada punto de su dominio.

17. EjemploLos polinomios p(z) son continuos. DesarrolloSea > 0, debemos encontrar un > 0 tal que |zn zn0 | < siempre que |z z0| < . Para ello consideremos|z z0| < 1 entonces se seguira que |z| < 1 + |z0| de donde

|zn1 + . . .+ zn10 | |z|n1 + |z|n2|z0| . . . |z0|n1

(n 1)(|z0|+ 1)n1

. As, imponiendole a que < 1 y