Introducción a la metodología OMAPA de resolución de problemas

Taller de introducción a la Olimpiada de Matemáticas

Olimpiada Akâ Porâ Olimpiada Nacional de Matemáticas de Educación de Jóvenes y Adultos

Autoría y Recopilación de materiales: Rodolfo Berganza Meilicke

PLAN DE LA JORNADA

Breve presentación.

Fundamentos teóricos de las Olimpiadas Akâ Porâ.

Reglamento de la 1ª Olimpiada Akâ Porâ.

Introducción.

Algunas consideraciones.

Un problema de Teoría de Números.

Método Heurístico de resolución de problemas.

Receso.

Metodologías en el aula.

Resolución de problemas.

Receso.

Geometría: su valor en el aula. Un problema motivador.

El triángulo, figura fundamental de la geometría.

Área de las figuras planas.

Resolución de problemas.

Evaluación de la jornada.

Olimpiada Nacional de Matemáticas

¿QUÉ ES OMAPA?

OMAPA (Olimpiadas Matemáticas Paraguayas), fue creada hace 20 años por un grupo de jóvenes y docentes, amantes de las matemáticas, y fue desarrollándose, a pulmón, hasta constituirse hoy en día en una entidad independiente, no gubernamental, sin fines de lucro, que administra principalmente voluntades. Desde su creación es miembro de la Federación Iberoamericana de Competencias Matemáticas y desde el año 2002 está asociada a AVINA. Los fines principales de OMAPA son: ayudar a los jóvenes estudiantes del Paraguay al máximo desarrollo de sus capacidades intelectuales lógico-matemáticas, y la aplicación de las mismas en la resolución de problemas (no sólo matemáticos). La promoción de las actividades relacionadas con la investigación y educación matemática, desarrollando y apoyando programas – preferentemente de alcance nacional – en el ámbito de las ciencias matemáticas, como así también en el de la cultura y la educación en general, que contribuyan a elevar la calidad de vida de los hombres y mujeres del Paraguay, promoviendo mediante el mejoramiento de su formación intelectual, el respeto de su dignidad de personas, y el desarrollo orgánico e integral de las mismas. Los objetivos de OMAPA, se enmarcan dentro de los propósitos generales de la Reforma Educativa, en el sentido de favorecer la creatividad, la innovación y la iniciativa autogestionaria, tratando de desarrollar el sentido de descubrimiento en los más jóvenes y proponiéndose como línea de acción: crear concursos, premios y diferentes formas de reconocimiento para jóvenes creativos con apoyo de campañas de promoción social.

¿Que es la Olimpiada Nacional de Matemáticas? La Olimpiada Nacional de Matemáticas es una estrategia para estimular el interés de los alumnos por la materia. Participan voluntariamente alumnos de todo el país, atraídos por la gimnasia intelectual y supone la resolución de problemas de diversa índole y de distintos grados de dificultad, siempre de posible solución en el nivel de conocimiento que corresponde al ciclo cursado. Se realiza en varios niveles, para alumnos de distintas edades. En los problemas se intenta estimular, no tanto la cantidad de conocimientos, como el ingenio y la habilidad para utilizarlos. Los contenidos necesarios para resolver los problemas se corresponden con el currículum de matemáticas de cada nivel. Para participar se necesita imaginación, creatividad, empeño y ganas de competir aprendiendo a pensar.

¿Que es la Olimpiada de Matemáticas Akâ Porâ? La Olimpiada de Matemáticas Akâ Porâ está dirigida a los estudiantes del Programa de Educación Básica Bilingüe de Jóvenes y Adultos, específicamente a los estudiantes del 4º Ciclo, con perspectivas de ampliar la participación de los estudiantes de los otros ciclos en los años venideros. Está organizada como todas las otras Olimpiadas que se realiza en Paraguay y en otros países del mundo como una propuesta que presenta los participantes y sus docentes un verdadero desafío individual y grupal. En este sentido para vencer el desafío tanto docentes como estudiantes se verán obligados a utilizar el máximo de su potencial en lo que respecta al razonamiento lógico-deductivo y/o el pensamiento crítico, la inventiva, etc., en la búsqueda de estrategias para la resolución de problemas. Esto está de acuerdo con los Objetivos de la Educación Paraguaya, de la Educación Básica Bilingüe de Jóvenes y Adultos y del Instituto para el Desarrollo y la Innovación Educativa (Idie) que abarca la acción de la Organización de Estados Iberoamericanos en el Paraguay. Esperamos que esta actividad permita a los estudiantes superarse como personas y lograr un crecimiento personal que los haga más hábiles para superar cualquier situación problemática que se les presente en la vida diaria. Para mayores informes comunicarse a OMAPA, a los teléfonos: 605154 o 612135, dirección Dr. César López Moreira 693 c/ Nuestra. Señora Del Carmen, e-mail: omapa@omapa.org.py

20ª Olimpiada Nacional de Matemáticas 2008

Informativo para Profesores La finalidad de estos informes institucionales que les estamos proveyendo, es la de mantenerles al día sobre lo que está ocurriendo en la organización. El pasado año Omapa tuvo una proyección bastante amplia, reflejada en los datos rescatados de la Olimpiada Nacional 2007, los cuales les exponemos a continuación:

La 19ª Olimpiada Nacional de Matemáticas se desarrolló de Mayo a Octubre, desde el inicio de las inscripciones, hasta la Ronda Final.

Participaron alrededor de 200 colegios. Participaron 36.173 alumnos incluyendo los participantes independientes. 11 Departamentos del país han participado los cuales son: Alto Paraná,

Amambay, Boquerón, Caaguazú, Central, Concepción, Itapúa, Misiones, Ñeembucú, Presidente Hayes y San Pedro.

El Campamento y Ronda Final 2007 fue todo un éxito. El 28, 29 y 30 de septiembre estuvimos en Ayolas, hospedados en el Campamento G4 de la Entidad Binacional Yacyretá, que fue Sede de la Ronda Final con alrededor de 360 participantes y más de 100 profesores.

A las 8:00 de la mañana del sábado 360 alumnos rindieron el examen final. El Campamento tuvo como actividades recreativas una visita a la represa

Yacyretá, fútbol, pin pon, ajedrez, y un acto cultural y artístico el día sábado en horas de la noche.

La mañana de la ceremonia de premiación estuvo colmada de emociones y se lograron 13 Medallas de Oro, 23 Medallas de Plata, 37 Medallas de Bronce y 16 Menciones de Honor en los 3 Niveles.

Se participó de la Olimpiada de Mayo, la cual es por correspondencia y organizada por la Federación Iberoamericana de Competiciones Matemáticas.

Se ha participado de la Olimpiada del Cono Sur del 12 al 17 de junio del 2007 en la ciudad de Atlántida, Uruguay; estuvieron como Líder Nilda Chamorro y como Vice – Líder Liz Barrios.

También se participó de la Olimpiada Internacional de Matemática 2007, del 23 al 31 de julio de 2007, en la ciudad de Hanoi, Vietnam; estuvo como Líder la Ing. Gabriela Gómez Pasquali y como Vice – Líder el Profesor Carlos Sauer.

Se ha participado también de la Olimpiada Iberoamericana del 06 al 16 de septiembre de 2007, en la ciudad de Coimbra, Portugal; teniendo como Líder al Prof. José von Lücken y como Vice – Líder a la Profesora Diana Giménez de von Lücken.

Se han invitado a los 100 mejores de la XIX Olimpiada Nacional 2007 para ser entrenados por Omapa para las competencias internacionales.

A continuación les proveemos datos sobre las actividades que ya están poniéndose en funcionamiento y de las actividades planeadas con miras a alcanzar las metas propuestas anteriormente:

El periodo de inscripciones para la 20ª Olimpiada Nacional de Matemáticas estará vigente desde el mes de marzo y se extenderá hasta el mes de mayo, tanto para la Olimpiada Nacional como también para la Infantil.

Los colegios inscriptos recibirán un Ejercitario de Problemas 7 para Profesores el cual contiene el desarrollo de todas las soluciones, y un Ejercitario de Problemas 7 para alumnos.

Los talleres de entrenamiento, para los integrantes de los seleccionados nacionales se desarrollan los días sábados, de marzo a septiembre en las instalaciones de OMAPA.

A través de la constante comunicación entre OMAPA, Profesores Amigos y diversas instituciones educativas se está fortaleciendo la red de contactos, de manera a fomentar el interés de los alumnos y alumnas por este proyecto para lograr el mayor desempeño de los mismos en distintas representaciones nacionales e internacionales.

REGLAMENTO La Olimpiada Akã Porã de Matemáticas es un torneo entre estudiantes del cuarto ciclo de la Educación Básica Bilingüe de Jóvenes y Adultos que compiten en la resolución de problemas.

Participan en forma voluntaria únicamente alumnas y alumnos inscriptos en el sistema de educación formal nacional. Cabe destacar que es muy importante que el centro inste a todos los alumnos de la institución a participar para descubrir y alentar a los estudiantes participantes. En los problemas se estimula no tanto la cantidad de conocimientos, sino el ingenio y la habilidad para utilizarlos. Se resuelven sin utilizar máquinas de calcular ni formularios.

CONCEPTO COSTO INCLUYE

Inscripción a la 1ª Olimpiada Akâ Porâ

El costo de Inscripción ha sido cubierto por la OEI.

• Derecho al Taller de Introducción a las Olimpiadas Matemáticas para los docentes de las secciones que participan.

• 1 ejemplar del Manual para Docentes por centro.

• 3 ejemplares de la Guía para Alumnos por Centro.

• Copias individuales para todos los estudiantes de los exámenes de la 1ª , 2ª y 3ª Ronda.

Inscripción Examen y Ronda Final

El costo de Inscripción ha sido cubierto por la OEI.

• Derecho a participación del Examen de la Ronda Final.

Nivel 4º Ciclo de la Educación Básica Bilingüe de Jóvenes y Adultos Rondas 1ª y 2ª Rondas: Institucionales 3ª Ronda: Zonal 4ª Ronda: Nacional

Ronda Fecha Local Participan Modalidad Corrigen Clasifican

1ª Ronda

22 de agosto

En cada Centro particip

ante

Todos los estudiantes

de las secciones inscriptas.

Examen de selección múltiple

enviado por OMAPA

Los profesores

de la institución

según grilla de

soluciones enviada

por OMAPA

Todos los alumnos

que dieron el

examen. El puntaje

de cada alumno se

registra para

sumarlos al de la 2ª

Ronda

2ª Ronda

12 de setiemb

re

En cada Centro particip

ante

Todos los estudiantes

de las secciones inscriptas.

Examen de selección múltiple

enviado por OMAPA.

Tendrá el doble de

puntos que el examen

de la 1ª Ronda

Los profesores

de la institución

según grilla de

soluciones enviada

por OMAPA

El resultado de cada

alumno se registra en la planilla y su suma al de la 1ª

Ronda.

Clasifican los 5

mejores de cada Centro.

3ª Ronda

18 de

octubre

En Centros

Sede habilitados por OMAP

A

Los 5 clasificados

de cada Centro

inscripto en ese Centro

Sede

Examen de respuestas

cortas enviado por

OMAPA

El Jurado Interino formado por los

profesores acompa- ñantes de las institu-ciones que rindieron

en esa Sede según

grilla de respuestas enviadas

por OMAPA.

Se envía planillas

firmadas a OMAPA.

Se obtienen

los campeone

s de la región

Se clasifican

para la Ronda

Final los campeones de todas

las regiones y

los mejores

de todo el país hasta alcanzar

75 participant

es

Premio Regional

Se organiza en cada Región

Ronda Fecha Local Participan Modalidad Corrigen Clasifican

4ª Ronda

7 de noviem

bre

OMAPA

Los 75 clasificados de la 3ª Ronda

Examen con 5 problemas.

Las soluciones deben ser

justificadas totalmente, en todos sus

detalles

Jurado Académico

de OMAPA.

Las decisiones del Jurado Académico

son inapelables.

Medallas de Oro, Plata y

Bronce.

Menciones de honor.

INTRODUCCIÓN A LA METODOLOGÍA OMAPA

DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Muchas veces pensamos los profesores que ya hemos aprendido todo, o bien, que los conocimientos que tenemos son suficientes para desarrollar nuestra labor. Sin entrar a discutir este punto de vista, afirmamos que mucho nos falta investigar para mejorar nuestra visión de la MATEMÁTICA. Vamos a ver unas cuestiones sobre algunos temas relacionados a cosas comunes que utilizamos todos los días. 1. La suma de números de dos cifras. Una investigación desarrollada por Constance Kamii entre 1.980 y 1.982, arrojó como resultado que, universalmente, todos los niños a los cuales no se les ha enseñado “la regla”, comienzan sumando las decenas. 2. La multiplicación. Preguntemos a nuestros alumnos porqué dejamos lugares libres a la derecha, desde la segunda fila de resultados parciales. Lo más probable es que no obtengamos ninguna respuesta. 3. El “sentido” para efectuar las operaciones básicas. ¿Cuál es el fundamento para realizar las operaciones de derecha a izquierda? Si logramos fundamentar esto, nos queda la interrogación del porqué, después de efectuar la adición, la sustracción y la multiplicación de derecha a izquierda, pasamos a invertir el sentido en la división. Estamos dejando la idea de que cada cosa tiene sus “reglas particulares” y se pierde el sentido de que la matemática es, en su esencia simple, justamente porque muchas ideas básicas se aplican a toda la matemática. 4. La “multiplicación rusa”.

Una situación interesante es la forma de hacer la multiplicación 150 × 24 = 3.600. El método consiste en tomar mitades del número mayor y dobles del número menor. Luego se suman los dobles que corresponde a mitades impares.

La pregunta es, ¿qué sentido tiene esto si ya tenemos “la regla”? Si alguien se hace esta pregunta es que no tiene la apertura para buscar cosas nuevas y situaciones curiosas, que existen en número extraordinario dentro de las matemáticas. Cualquier investigación que hagamos nos llevará hacia este camino.

5. La tabla de multiplicar en las manos. Como nuestras manos tienen 5 dedos, podemos utilizar la congruencia con módulo 5, para hacer multiplicaciones de números con una cifra. Esto reduce la necesidad de conocer de memoria solamente la tabla del 1 al 5. La congruencia de los números a y b respecto al módulo m se escribe así:

a ≡ b (mód. m) Esto significa que se puede expresar la relación como: a = b + m · t y que se puede afirmar que a – b es divisible por m. Volviendo a nuestras manos, 1 dedo levantado equivale a 6 porque 6 ≡ 1 (mód. 5); 2 dedos levantados equivale a 7 ya que 7 ≡ 2 (mód. 5). Establecemos la siguiente convención:

• Los dedos levantados valen 10 y esas cantidades se suman. • Los dedos no levantados valen 1 y se halla el producto de los dedos no

levantados de la mano izquierda y la mano derecha. • Los valores obtenidos en los dos puntos anteriores se suman…… y ya está.

6. Números pares e impares. Constance Kamii cuenta en su libro “Reinventando la aritmética” lo que hizo un niño de primer grado para explicar a sus compañeros la idea de número par y de número impar:

La idea del niño es: un número es impar cuando no tiene pareja.

7. Como efectuar la sustracción en primer grado (¿o antes?) La mencionada Constance Kamii muestra en su libro como los niños respondieron a la operación 65 – 26 sin conocer “la regla de la sustracción” Algunas respuestas de los niños que se encontraron son:

60 – 20 = 40 60 – 20 = 40 40 – 6 = 34 5 – 6 = 1 (en el agujero) 34 + 5 = 39 40 – 1 = 39

Siguiendo el pensamiento de la segunda respuesta un niño pensó de la siguiente forma: a 60 se le saca 20 y queda 40. Al 6 le puedo sacar 5 pero me queda 1 que debo sacar de algún lado. Entonces, le saco al 40 y me queda 39.

Algunas consideraciones

• Para muchos profesores hacer matemáticas se trata de hacer cálculos, calcular

resultados. En definitiva para eso tenemos la máquina de calcular. • La actividad propia de las matemáticas es la resolución de problemas. • Muchas veces en el aula no hacemos problemas sino ejercicios. Debemos priorizar

la comprensión de las propiedades sobre la memorización de reglas y definiciones.

• Debemos priorizar la aplicación de procesos sobre la mecanización. Debemos priorizar trabajar los problemas usando la comprensión sobre la utilización de extensos formularios.

• Si trabajamos realmente en la resolución de problemas, estaremos construyendo el pensamiento matemático (pensamiento lógico-matemático).

• El pensamiento matemático es una forma de pensar con lógica y con una cierta estructura.

• Si conseguimos pensar de esta forma, estaremos en mejores condiciones de resolver cualquier problema (no solo de matemática).

• Generalmente, cuando nos enfrentamos a algún problema, principalmente de Olimpiadas de Matemáticas, lo primero que pensamos es que es imposible resolverlo, o por lo menos, pensamos que nosotros no tenemos ni los conocimientos ni la capacidad (¿experiencia?) para hacerlo.

• Vamos a explicar posteriormente con un ejemplo algunas cuestiones al respecto.

La resolución de problemas Estaremos “haciendo matemáticas” cuando planteamos a nuestros estudiantes la resolución de problemas y no simples ejercicios. No es aconsejable mostrar la solución de un problema al estudiante. Lo correcto es dejar que trabaje el problema, imagine estrategias de solución; dejar que invierta tiempo en la búsqueda de la solución y cuando se decide ayudarlo, darle orientaciones, pistas (nunca la solución), que le permitan seguir trabajando el problema y luego, en última instancia, analizar con el estudiante la solución del mismo. Esperamos que a los participantes les lleve más de una hora de trabajo la resolución de algunos de los problemas propuestos. Recomendamos a los profesores no quedarse con la solución del problema que se presenta en los materiales, sino que busquen otros procesos diferentes. Al hacerlo podrán descubrir procedimientos más sencillos o más elegantes que los propuestos. La resolución de problemas es un proceso que puede resultar muy placentero pero que requiere esfuerzo mental. Cuando una cuestión planteada se puede resolver en forma inmediata, ¡tenemos un ejercicio, no un problema!

María Luz Callejos, española y doctora en matemática, nos propone en su libro Un Club Matemático para la Diversidad unas pautas para la resolución de problemas, que a su vez ha adaptado del libro Aventuras Matemáticas del connotado matemático español Miguel de Guzmán. Las trascribimos a continuación y recomendamos que se las aplique en el aula porque son verdaderamente muy útiles.

PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Primera Fase: FAMILIARIZARSE CON EL PROBLEMA

Lee el problema lentamente, trata de entender todas las palabras. Distingue los datos de la incógnita; trata de ver la situación. Si puedes, haz un dibujo o un esquema de la situación. Si los datos del problema no son cantidades muy grandes, intenta expresar la

situación jugando con objetos (fichas, botones, papel, etc.). Si las cantidades que aparecen en el enunciado son grandes, entonces imagínate

el mismo problema con cantidades más pequeñas y haz como dice el punto anterior.

Si el problema está planteado en forma general, da valores concretos a los datos y trabaja con ellos.

Segunda Fase: BUSCA UNAS CUANTAS ESTRATEGIAS PARA SOLUCIONAR EL PROBLEMA

Lee la siguiente lista. Te puede ayudar: ¿Es semejante a otros problemas que ya conoces? ¿Cómo se resuelven éstos? ¿Alguna idea te podría servir? Imagínate un problema más fácil para empezar y así animarte. Experimenta con casos particulares, ¿te dan alguna pista natural al lenguaje

matemático? Supón el problema resuelto, ¿cómo se relaciona la situación de partida con la

situación final? Imagínate lo contrario de lo que quieres demostrar, ¿llegas a alguna conclusión? ¿El problema presenta alguna simetría o regularidad? ¿Será el caso general más sencillo que éste particular?

Tercera Fase: SELECCIONA UNA DE LAS ESTRATEGIAS Y TRABAJA CON ELLA

No te arrugues fácilmente. No te emperres con una estrategia. Si ves que no conduce a nada, déjala. Si la estrategia que elegiste no va bien, acude a otras de las estrategias que

seleccionaste o haz una combinación de ellas. Trata de llegar hasta el final.

Cuarta Fase: REFLEXIONA SOBRE EL PROCESO SEGUIDO

¿Entiendes bien tu solución?, ¿entiendes porqué funciona? ¿Tiene sentido esta solución o es absurda?

¿Cómo ha sido tu camino? ¿Dónde te atascaste? ¿En qué momento y cómo has salido de los atascos?

¿Cuáles han sido los momentos de cambio de rumbo? ¿Han sido acertados? ¿Sabes hacerlo ahora de manera más sencilla? ¿Sabes aplicar el método empleado a casos más generales? ¿Puedes resolver otras situaciones relacionadas con el tema que sean

interesantes?

Un problema de teoría de números

Las figuras del gráfico se han hecho con fósforos. Por ejemplo, la figura 3 está formada por 10 fósforos.

¿Cuántos fósforos se utilizarán en la figura 2 008?

Geometría Un problema motivador: “Se quiere construir triángulos que tengan 15 de perímetro y tales que las medidas de sus lados sean números enteros. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden construir? En los últimos años se ha producido un paulatino abandono de la geometría en las aulas paraguayas. La geometría ha quedado reducida a cálculos relativamente sencillos de perímetros, áreas y volúmenes de figuras y cuerpos geométricos. Esta realidad nos impulsa a proponer un curso de geometría que brinde a los alumnos las bondades de esta asignatura, entre las que podemos destacar las siguientes: • El método axiomático de la geometría está considerado como la mejor introducción

al razonamiento deductivo. Es uno de los modelos más perfectos de fundamentación racional de la ciencia. Procede a partir de axiomas y postulados, afirmaciones que se admiten por su evidencia o por acuerdo previo, y sobre ellas se deducen, de acuerdo con las reglas de la lógica, los teoremas, es decir las diferentes afirmaciones que constituyen la teoría.

• El estudio apropiado de la geometría está necesariamente alimentado por la observación y la experimentación. El esfuerzo que ellas sugieren conduce al desarrollo de la inteligencia espacial.

• La geometría es la rama de las matemáticas que permite aumentar significativamente la complejidad de los problemas propuestos y sin embargo que los mismos tengan métodos y soluciones “comprensibles” para los jóvenes, a diferencia, por ejemplo, de los métodos y soluciones del cálculo diferencial.

• La geometría exige pasar de lo particular a lo general y de lo general a lo particular, de lo concreto a lo abstracto y viceversa. En estos traspasos los jóvenes tienen la oportunidad de aplicar los principios de la lógica matemática.

• Hacer geometría implica un ejercicio continuo de codificación y decodificación entre los lenguajes numérico, algebraico y gráfico.

• La geometría contribuye al desarrollo de ciertas actitudes relacionadas con los hábitos de trabajo como son la perseverancia y flexibilidad en la búsqueda de soluciones de los problemas.

En base a estos fundamentos el programa propuesto privilegia las construcciones

geométricas, el desarrollo de axiomas, postulados y teoremas, demostraciones; y la resolución de problemas de relaciones, de creciente complejidad entre figuras y cuerpos. Se pretende con esta propuesta ayudar a los alumnos a saber hacer y no solamente a saber. Luego de las consideraciones que hemos hecho, tenemos un problema para motivarnos a iniciar el tema de la Geometría:

El triángulo, la figura fundamental de la geometría Muchos niños llegan a pensar que la figura no es un triángulo. ¿Por qué les parece que esto ocurre? Consideramos los segmentos y líneas principales en un triángulo: Bases: todo triángulo tiene 3 bases (cada uno de sus lados es una base). Ángulos: todo triángulo tiene 3 ángulos internos (o ángulos del triángulo) y 3 ángulos externos (cada uno de los suplementos de los ángulos del triángulo). Cevianas: ceviana es todo segmento que une uno de los vértices con un punto del lado opuesto o su prolongación. Hay pues cevianas internas y cevianas externas. Alturas: altura es el segmento perpendicular trazado desde uno de los vértices al lado opuesto o su prolongación. Todo triángulo tiene 3 alturas que se intersecan en un punto llamado ortocentro (H). Medianas: mediana es el segmento que une uno de los vértices con el punto medio del lado opuesto. Todo triángulo tiene 3 medianas que se intersecan en un mismo punto que se llama baricentro (G). Bisectrices: bisectriz de un triángulo es el segmento correspondiente a la bisectriz de ese ángulo, comprendido desde uno de los vértices al lado opuesto. Todo triángulo tiene 3 bisectrices que se intersecan en un punto llamado incentro. Mediatrices: mediatriz de un triángulo es la perpendicular trazada a uno de los lados por su punto medio. Todo triángulo tiene 3 mediatrices que se intersecan en un punto que se llama circuncentro.

Hay algunas situaciones interesantes que vamos a ver a continuación, simplemente como ejemplo: 1. Cuando se trazan las tres alturas de un triángulo en realidad se tienen 4 ortocentros. 2. Cada mediana de un triángulo divide al triángulo en dos triángulos con iguales

áreas. 3. Si se trazan las 3 medianas de un triángulo, éste queda dividido en 6 triángulos que

tienen todos, las áreas iguales. 4. la mediana correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo lo divide de

dos triángulos isósceles.

Área de figuras planas Toda la geometría plana se puede manejar con la conocida fórmula del área del triángulo, la fórmula de Herón, el Teorema de Pitágoras, la fórmula de la longitud de la circunferencia y la fórmula del área del círculo. Con esto evitamos el largo y a veces confuso formulario que se acostumbra dar a los alumnos.